ЛЕКЦИЯ № 12 Скалярное и векторное поля. Градиент. Производная по направлению. Цель:

ЛЕКЦИЯ № 12
Скалярное и векторное поля.
Градиент. Производная по направлению.
Цель: Изучение скалярного и векторного полей, производной по направлению,
градиента.
Задачи:
1. Дать определения скалярного и векторного полей.
2. Дать определения линий и поверхностей уровня.
3. Привести определение производной по направлению, формулу ее связи с частными производными.
4. Привести определение градиента, его связь с производной по направлению, физический смысл.
Желаемый результат:
Студенты должны знать скалярное и векторное поля, производную по направлению, градиент.
Учебные вопросы:
1. Скалярное и векторное поля.
2. Линии и поверхности уровня.
3. Производная по направлению, ее связь с частными производными.
4. Градиент, его связь с производной по направлению, физический смысл.
Скалярное и векторное поля.
Всякий раз, когда каждой точке некоторой плоскости или пространственной
области соответствует определенное число, говорят, что задана "функция точки"
или что имеется скалярное поле. Обозначают функцию точки (скалярное поле)
φ(М) или φ= φ(x,y,z) где x,y,z координаты точки М.
Если же каждой точке некоторой области соответствует некоторый вектор,
то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки. Обозначают
векторную функцию (векторное поле) точки a M или a x, y, z
Определение. Если в каждой точке М координатного пространства Oxyz (или не1
которой его части) однозначно определена некоторая скалярная величина
u(x,y,z)=u(M) или однозначно определен вектор a x, y, z = a M , то это пространство (или его часть) называется соответственно скалярным полем величины u(x,y,z)
или векторным полем вектора a .
Так, например, поле атмосферного давления, поле температур неравномерно
нагретого тела или среды, поле плотности неоднородного тела - скалярные поля, а
силовое поле, магнитное поле, поле линейных скоростей вращающегося твердого
тела, поле, линейных скоростей потока жидкости поле тяготения, поле градиента векторные поля.
Изучение скалярных полей производится методами дифференциального исчисления функций трех и двух переменных поскольку задание скалярного поля в
пространстве эквивалентно заданию одной функции трех независимых переменных, а на плоскости - одной функции двух независимых переменных.
Для геометрического, наглядного представления скалярного поля используют
линии уровня. Линии уровня или горизонтали - это линии, где функция точки
φ=φ(x,y) постоянна:
φ(x,y)=const.
В пространственном случае, уравнение
φ(x,y,z)=const
есть уравнение поверхности уровня.
Например, для функции
x2
y 2 получим линии уровня в виде концентриче-
ских окружностей, уравнений которых будет x 2
y2
const .
Пример. Найдем линии уровня плоского скалярного поля z=xy. Линии уровня этого
поля будут иметь уравнение xy=const.
Это будет семейство гипербол, асимптотами которых служат оси координат. При
xy=0 линиями уровня будут две прямые x=0 , y=0.
Производная по направлению
При дальнейшем изложении нам потребуется ещё один вид производной, так
называемая производная по направлению.
Функция φ= φ(x,y,z) точки характеризует величину поля в каждой его точке.
2
Скорость изменения функции φ(x,y,z) в данной точке по данному направлению характеризуется производной функции по направлению.
Пусть точка М(x,y,z) движется в скалярном поле φ= φ(x,y,z) в направлении
вектора l . Возьмем разность значений функций φ(x,y,z) в точке М(x,y,z) и в близкой к ней точке M 1 ( x
x, y
z) , также лежащей на векторе l
y, z
Обозначим l расстояние между точками М и М1 .
Определение. Предел отношения разности значений функции φ(М1)- φ(М) к длине
отрезка прямой
l между точками М и М1 при условии, что
l
0 называется
производной по направлению l функции φ(x,y,z) в точке М(x,y,z):
Обозначается
lim
l
l
.
l
0
(1)
Производная по направлению связана с частными производными:
x
,
y
,
z
следующим образом
l
где cos , cos , cos
x
cos
y
cos
z
cos ,
(2)
- направляющие косинусы вектора l , т.е. косинусы углов,
образованных l с положительными направлениями координатных осей.
Мы указали, какая связь существует между производной по направлению и
частными производными функции, в данной точке для пространственного случая.
В случае для плоскости формула (2) запишется так:
l
Здесь cos , cos
x
cos
y
cos .
- направляющие косинусы.
Градиент
Пусть на плоскости мы выбрали l . Единичный вектор обозначим el .
Вектор e l мы можем выразить с помощью его координат и ортов:
el
j cos ,
i cos
3
где
2
.
Скорость изменения нашей функции φ=φ(Р) в точке Р по выбранному направлению определяется "производной по направлению":
l
Скалярные величины
x
,
x
cos
y
cos .
(3)
можно рассматривать в качестве координат неко-
y
торого вектора.
Определение. Градиентом скалярного поля φ=φ(x,y) в точке Р называется вектор,
координатами которого являются частные производные функции φ=φ(x,y).
Обозначается
grad( P)
x
i
y
j.
(4)
В формуле (3) имеет место скалярное произведение векторов:
el grad( P)
x
i
j
y
i cos
j cos
x
cos
y
cos .
Сравнивая с формулой (2), видим, что
el grad ( P )
l
.
Таким образом, мы получим новое представление производной по направлению в
виде скалярного произведения двух векторов
l
el grad (P ) .
(5)
Как направлен градиент относительно проходящей через данную точку линии
уровня. Обратимся к формуле для
l
,переписав её
l
=gradφ e l .
Эта формула говорит о том, что производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор
этого направления. Но из векторной алгебры нам известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению двух сомножителей, один из которых равен длине первого вектора, а второй - проекции второго на направление первого.
Поэтому мы можем утверждать, что производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции в данной точке на направление l ,
4
т.е.
l
grad l .
Для упрощения мы проекцию gradφ на направление единичного вектора e l ,
обозначили через gradl . При составлении этой формулы мы учитываем, что
модуль, вектора e l равен единице.
Возьмем заданную точку Ро и проходящую через неё линию уровня S. Как нам
известно, вдоль линии уровня значение функции остается постоянным:
φ0=φ(Р0)=const
Далее возьмем в точке Р0 производную по направлению линии уровня. Обозначим
эту производную
s
. Но производная по направлению линии уровня всегда равна
нулю, так как функция там постоянна, т.е
s
grad
ls
0.
В нашем случае оба множителя grad φ и ls не равны нулю.
Но в таком случае скалярное произведение может быть равно нулю лишь тогда,
когда векторы-сомножители перпендикулярны друг к другу. Это в свою очередь
означает, что вектор gradφ всегда перпендикулярен к вектору l , другими словами,
gradφ всегда направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную
точку. Модуль градиента и направление вектора gradφ относительно выбранной
нами системы координат мы легко определим по известным нам формулам векторной алгебры
grad
x
'
2
2
y
' ,
'x
cos
x
'
2
'
2
y'
2
y
'y
cos
x'
2
,
.
Определив с помощью этих формул направление grad мы можем определить
и направление проходящей через данную точку Р0 линии уровня S. Нам уже известно, что направление линии уровня, проходящей через точку Р, это направление, по которому "крутизна поверхности", характеризующей скалярное поле, совсем не изменяется, так как производная, взятая по направлению линии уровня всегда равна нулю.
5
Обратимся к формуле, выражающей производную по направлению через проекцию градиента на выбранное направление:
l
grad l .
Совершенно ясно, что при проектировании вектора на разные направления мы
получаем наибольшую величину проекции, равную длине вектора, именно при
проектировании этого вектора на его собственное направление. Поэтому и величина gradl
будет наибольшей в том случае, если этот вектор проектируется на свое
собственное направление.
В этом случае величина gradl
gradl
будет равна модулю вектора grad φ, т.е.
grad
x
'
2
y
'
2
.
Физический смысл градиента: Градиент - это вектор, который по направлению и численному значению характеризует наибольшую скорость изменения
скалярной величины.
Вопросы для самоподготовки:
1. Что называется скалярным и векторным полем?
2. Дать определения линий и поверхностей уровня.
3. Что называется производной по направлению?
4. Какова связь производной по направлению с частными производными?
5. Что такое градиент?
6. Какова его связь с производной по направлению?
6