Колебания упругих тел

Глава 2
Колебания упругих тел
Деформируемые твердые тела в отличие от абсолютно твердых
тел, рассматриваемых теоретической механикой, могут изменять
свою форму под действием приложенных к ним сил. Упругими называются такие деформируемые тела, которые после снятия приложенной нагрузки принимают свою первоначальную форму.
2.1.
Уравнения колебаний
Движение деформируемого тела в общем случае можно описать
при помощи трехмерного вектора перемещений U (x, y, z, t), который задает перемещение точки тела с декартовыми координатами
x, y, z в момент времени t. Вместо декартовых координат можно
использовать криволинейные координаты q1 , q2 , q3 .
Вектор U в общем случае можно представить в виде U = Uh +Ud ,
где Uh — перемещение тела как жесткого целого, Ud — вектор, описывающий деформацию тела. В теоретической механике рассматриваются абсолютно твердые тела, для которых Ud = 0. В большинстве задач механики деформируемого твердого тела предполагается, что закрепление тела не позволяет ему перемещаться как
жесткому целому, т. е. Uh = 0.
При деформации твердого тела между его частями возникают
силы взаимодействия. Предположим, что тело разделено на две части A и B плоскостью S. В сечении тела плоскостью зафиксируем
точку O и вырежем из сечения площадку площадью ∆S, содержащую точку O. Пусть ∆F — равнодействующая сил, действующих
на эту площадку со стороны части тела B. Вектором напряжений
1
в точке O называется вектор
∆F
.
∆S
Вектор σ может меняться не только при изменении положения точки O, но и при повороте плоскости. Проекции вектора σ называются
напряжениями.
Определить перемещения и напряжения в упругом твердом теле, возникающие под действием заданных внешних сил, можно с
помощью уравнений теории упругости. Если тело находится в равновесии, то для решения этой задачи можно использовать статические уравнения теории упругости. При исследовании движения тела решаются динамические уравнения, которые получаются путем
добавления инерционных членов к уравнениям статики. Динамические уравнения теории упругости позволяют описать движение и,
в частности, колебания любого упругого тела, однако их решение,
как правило, является трудной задачей.
Во многих конструкциях встречаются тела (стержни, пластины,
оболочки) некоторые размеры которых малы по сравнению с другими их размерами. Рассмотрим, например, однородный цилиндр с
радиусом основания R и высотой l. Если R ¿ l, то цилиндр называют стержнем длиной l с круговым поперечным сечением (рис. 1a).
Ось стержня совпадает с осью цилиндра. Она представляет собой
σ = lim
∆S→0
a)
b)
2R
R
h
l
Рис. 1. Стержень и пластина.
отрезок прямой, поэтому рассматриваемый стержень называется
прямолинейным. В общем случае тело называется стержнем, если
один из его характерных размеров (длина) много больше, двух других характерных размеров (размеров поперечного сечения). Сечениями стержня могут быть любые плоские фигуры. Если кривизна
оси стержня отлична от нуля, то стержень называется криволинейным.
Пусть теперь h ¿ R, где h высота цилиндра, а R по-прежнему
радиус его основания (рис. 1b). В этом случае цилиндр называют
2
круговой пластиной толщиной h. Срединной поверхностью пластины является круг, параллельный основаниям цилиндра и находящийся на расстоянии h/2 от каждого из них.
Оболочка отличается от пластины тем, что ее срединная поверхность имеет ненулевую кривизну. Так, например, сферической
оболочкой радиуса R и толщиной h называется тело, границами
которого являются две сферы с радиусами R − h/2 и R + h/2. Срединной поверхностью такой оболочки является сфера радиуса R.
В общем случае пластиной или оболочкой называется тело один
из характерных размеров которого (толщина) мал по сравнению
двумя другими характерными размерами (размерами срединной
поверхности).
Безразмерные уравнения теории упругости содержат отношения характерных размеров тела. Если эти уравнения описывают
равновесие или движение стержней, пластин или оболочек, то в них
входят малые параметры. Это позволяет с помощью асимптотических методов получить более простые приближенные уравнения.
При наличии дополнительных малых параметров возможно дальнейшее упрощение уравнений. Так, например, сильно растянутый
стержень называют струной, а сильно растянутую в своей плоскости пластину — мембраной. Для описания движения струны или
мембраны используются более простые уравнения, чем для описания движения стержня или пластины.
Впервые приближенные уравнений движения стержней пластин
и оболочек были получены путем использовании некоторых предположений (гипотез). В дальнейшем с помощью асимптотического
анализа уравнений теории упругости была подтверждена справедливость большинства из этих гипотез и установлена область их применимости.
Рассмотрим в качестве примера уравнения продольной деформации прямолинейного однородного стержня. Направим ось x по
оси стержня (рис. 2). Тогда поперечное сечение стержня G будет
y
u
G
l
0
z
Рис. 2. Продольная деформация стержня.
3
x
параллельно координатной плоскости yz. Предположим, что при
продольной деформации стержня выполняется следующая гипотеза.
Гипотеза. Все точки любого поперечного сечения стержня смещаются в направлении оси стержня на одинаковую величину u (см.
рис. 2). Асимптотический анализ показывает, что это предположение тем больше соответствует действительности, чем меньше отношение характерного размера поперечного сечения к длине стержня.
Из сделанного предположения следует, что перемещения точек
стержня не зависят от координат y, z и являются функциями только координаты x и времени t: u = u(x, t). Это означает, что для
определения перемещений точек стержня достаточно определить
перемещения точек оси стержня, так как перемещение любой точки стержня совпадает с перемещением точки оси стержня, лежащей
в том же сечении.
Рассмотрим отрезок оси стержня, лежащий между точкам с координатами x и x + ∆x (рис. 3). Предположим, что u = u(x), т. е.
будем решать задачу статики.
u(x+∆ x)
u(x)
x+∆ x
x
Рис. 3. Удлинение стержня.
После деформации, т. е. после перемещений концов отрезка на
расстояния u(x) и u(x + ∆x), первоначальная длина отрезка ∆x
изменится, если u(x) 6= u(x+∆x). В случае u(x) < u(x+∆x) отрезок
растянется, а в случае u(x) > u(x + ∆x) — сожмется. Разность
u(x + ∆x) − u(x) характеризует удлинение отрезка, а величина
u(x + ∆x) − u(x)
∆x
представляет собой его относительное удлинение. Относительным
удлинением или деформацией растяжения-сжатия в точке x называется функция
ε(x, ∆x) =
u(x + ∆x) − u(x)
du
=
.
∆x→0
∆x
dx
ε(x) = lim ε(x, ∆x) = lim
∆x→0
Уравнение
ε(x) =
4
du
dx
(2.1)
дает выражение деформации через перемещение u, которое называют геометрическим соотношением.
Предположим, что зависимость напряжения от деформации является линейной, т. е. выполняется закон Гука
σ(x) = Eε(x),
где E — модуль Юнга, являющийся характеристикой материала
стержня. Для всех точек поперечного сечения стержня G(x), проходящего через точку с координатой x, деформация ε(x) имеет одинаковую величину. Из закона Гука следует, что напряжения σ(x)
равномерно распределены по сечению G, поэтому продольное усилие в стержне F (x) = Sσ(x), где S — площадь поперечного сечения.
Умножив уравнение закона Гука на S, получим выражение усилия
через деформацию:
F (x) = SEε(x).
(2.2)
Равенство (2.2) называется уравнением состояния или соотношением упругости.
Для определения усилия F следует составить уравнение равновесия стержня под действием приложенных к нему нагрузок. Приравняем нулю сумму проекций на ось x всех сил, действующих на
часть стержня, вырезанную из него сечениями G(x) и G(x + ∆x)
(рис. 4):
F(x+∆x)
F(x)
∆Q
x+∆x
x
Рис. 4. Силы, действующие на часть стержня.
F (x + ∆x) − F (x) + ∆Q = 0.
Здесь ∆Q — равнодействующая внешних сил. Разделив это равенство на ∆x и перейдя к пределу при ∆x → 0, получим уравнение
равновесия:
dF
+ q(x) = 0,
(2.3)
dx
где функция
∆Q
q(x) = lim
∆x→0 ∆x
5
называется внешней распределенной нагрузкой. В частности, в случае действия силы тяжести на вертикально расположенный стержень
∆Q = g∆m = Sρg∆x, q = Sρg,
где g — ускорение свободного падения.
Система уравнений (2.1)–(2.3) описывает продольную деформацию стержня. Подстановка (2.1) в (2.2) дает следующее выражение
для продольного усилия в стержне
F = SE
du
.
dx
(2.4)
Подставляя (2.4) в (2.3), получаем уравнение в перемещениях
µ
¶
d
du
SE
+ q(x) = 0.
(2.5)
dx
dx
Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные, которые определяются из двух граничных условий, заданных на концах стержня. Если произведение SE не зависит от
x, то уравнение (2.5) принимает вид
SE
d2 u
+ q(x) = 0.
dx2
(2.6)
Найдем решение уравнения (2.6) в случае, когда деформация
стержня происходит под действие силы P , направленной вдоль оси
стержня и приложенной к его правому концу x = l. Левый конец
стержня x = 0 заделан, т. е. u(0) = 0 (рис. 5). В рассматриваемом
P
O
x
l
Рис. 5. Деформация стержня под действие силы P .
случае q = 0, и общее решение уравнения (2.6) имеет вид
u = ax + b.
Из условия u(0) = 0 следует, что b = 0. Постоянная a находится
после подстановки решения u = ax в граничное условие
SE
du
= P,
dx
6
x=l
на правом конце стержня, которое представляет собой условие равновесия сечения x = l. Учитывая, что ESa = P , получаем формулу
для перемещения точки стержня с координатой x:
u=
Px
.
SE
Отметим, что в рассматриваемом случае деформация ε = P/(SE)
не зависит от x. Перемещение конца стержня u(l) = P l/(SE), поэтому жесткость стержня на растяжение c = P/u(l) = SE/l, а его
потенциальная энергия
Π=
cu2 (l)
1
= SEε2 l.
2
2
(2.7)
Уравнение, описывающее движение стержня, получается из уравнения (2.5) добавлением в него распределенной инерционной нагрузки
∂2u
qr = −ms 2 ,
∂t
где ms = ρS — масса поперечного сечения, а также заменами u(x)
на u(x, t), q(x) на q(x, t) и обыкновенной производной d/dx частной
производной ∂/∂x:
µ
¶
∂
∂u
∂2u
SE
− ρS 2 + q(x, t) = 0.
(2.8)
∂x
∂x
∂t
Уравнение (2.8) называют уравнением вынужденных продольных
колебаний стержня под действием внешней распределенной нагрузки q(x, t). Уравнение свободных колебаний получим из (2.8), положив q(x, t) = 0:
µ
¶
∂
∂u
∂2u
SE
− ρS 2 = 0.
(2.9)
∂x
∂x
∂t
В случае SE = const уравнение (2.9) принимает вид
a2
∂2u ∂2u
− 2 = 0,
∂x2
∂t
(2.10)
где a2 = E/ρ. Такой же вид имеет уравнение колебаний струны
(1.14), однако для струны параметр a определяется по другой формуле.
7
2.2.
Принцип Гамильтона
Используя принцип Гамильтона [1], выведем уравнение малых
колебаний системы с одной степенью свободы, положение которой
определяется обобщенной координатой q. Функционал
Z t2
W (q) =
L dt
t1
где L = T − Π — функция Лагранжа, называется действием по
Гамильтону. Для рассматриваемой системы выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют вид
T = aq̇ 2 /2,
Π = cq 2 /2,
В соответствии с принципом Гамильтона δW = 0 при условии
δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0
(2.11)
Вычислив вариацию действия δW с помощью интегрирования по
частям и приравняв ее нулю, получим
Z t2
Z t2
t
δW =
(aq̇δ q̇ − cqδq)dt = aq̇δq|t21 −
(aq̈ + cq)δqdt = 0.
t1
t1
Внеинтегральный член обращается в нуль в силу (2.11), а функция δq(t) является произвольной непрерывно дифференцируемой
функцией, поэтому из последнего равенства следует, что
aq̈ + cq = 0,
т. е. обобщенная координата q удовлетворяет уравнению малых колебаний.
Принцип Гамильтона можно использовать и для вывода уравнений колебаний упругих тел. Рассмотрим его применение к задаче
о продольных колебаниях стержня.
Для вычисления кинетической и потенциальной энергии стержня длиной l разобьем его на N частей, имеющих длины ∆xi . Приближенное значение кинетической энергии равно сумме кинетических энергий этих частей:
Ts '
N
X
i=1
Ti ,
Ti =
1
ρi Si ∆xi vi2 ,
2
8
vi =
∂ui
,
∂t
где ρi , Si и vi — плотность материала, площадь и скорость одного из поперечных сечений, принадлежащего i-й части стержня. В
силу гипотезы, сформулированной в предыдущем разделе, при продольной деформации все точки любого поперечного сечения имеют
одинаковую скорость, направленную вдоль оси стержня. Переход к
пределу при N → ∞ и max ∆xi → 0 в полученном равенстве дает
следующую формулу для кинетической энергии стержня
1
Ts =
2
Z
µ
l
ρS
0
∂u
∂t
¶2
dx.
(2.12)
Формула (2.7) для потенциальной энергии стержня справедлива только при деформации стержня под действием силы, когда
ε = const. Используя эту формулу в общем случае для вычисления потенциальной энергии малой части стержня длиной ∆x, для
которой εi ' const, получим
Πs '
N
X
Πi ,
Πi =
i=1
1
Si Ei ∆xi ε2i ,
2
εi =
∂ui
.
∂x
После перехода к пределу при N → ∞ и max ∆xi → 0 последнее
равенство принимает вид
Πs =
1
2
Z
µ
l
SE
0
∂u
∂x
¶2
dx.
(2.13)
Следовательно, в задаче о продольных колебаниях стержня действие по Гамильтону W определяется по формуле
µ ¶2 #
Z t2
Z Z " µ ¶2
1 t2 l
∂u
∂u
W (u) =
dx dt.
(Ts − Πs ) dt =
− SE
ρS
2
∂t
∂x
t1
t1
0
Для того, чтобы вывести уравнения колебаний, следует приравнять нулю вариацию действия
µ ¶
µ ¶¸
Z t2 Z l ·
∂u
∂u
∂u
∂u
δW =
ρS δ
− SE δ
dx dt
∂t
∂t
∂x
∂x
t1
0
при условиях
δu(x, t1 ) = δu(x, t2 ) = 0.
9
(2.14)
Принимая во внимание формулы
µ ¶
µ ¶
∂u
∂δu
∂u
∂δu
δ
=
, δ
=
∂t
∂t
∂x
∂x
с помощью интегрирования по частям получим
δW = Ia − Ib + I = 0,
(2.15)
где
¯t
¯l
Z t2
∂u ¯¯
∂u ¯¯ 2
SE
ρS
δu dx, Ib =
δu dt
Ia =
∂t ¯t1
∂x ¯0
t1
µ
¶
¸
Z0 t2 Z l ·
∂
∂u
∂2u
I=
SE
− ρS 2 δu dx dt.
∂x
∂x
∂t
t1
0
Z
l
(2.16)
Из условий (2.14) вытекает, что Ia = 0. Предположение о том, что
хотя бы один из коэффициентов при функциях δu(0, t), δu(l, t) и
δu(x, t) отличен от нуля приводит к противоречию, так как δu(x, t)
— произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Следовательно,
∂u
∂u
(0) =
(l) = 0
(2.17)
∂x
∂x
µ
¶
∂u
∂2u
∂
SE
− ρS 2 = 0.
(2.18)
∂x
∂x
∂t
Уравнение (2.18) совпадает с уравнением (2.9).
Таким образом, из принципа Гамильтона вытекает не только
уравнение свободных колебаний стержня (2.18), но и условия (2.17),
которые называют естественными граничными условиями. Физический смысл этих условий состоит в отсутствии усилий на концах
стержня, т. е. граничные условия (2.17) выполнены для стержня со
свободными концами.
Предположим, что на левом конце стержня задано условие заделки u(0, t) = 0. Тогда δu(0, t) = 0, и из равенства (2.15) следует,
что производная ∂u/∂x равна нулю только при x = l, т. е. имеется только одно естественное граничное условие. В случае u(0, t) =
u(l, t) = 0 применение принципа Гамильтона дает только уравнение
(2.19), так как Ib = 0 ввиду того, что δu(0, t) = δu(l, t) = 0.
Особую роль естественные граничные условия играют в методе Ритца. При использовании этого метода можно выбирать координатные функции, не удовлетворяющие естественным граничным
10
условиям. Если система, состоящая из таких функций будет полной, то для оператора теории колебаний приближенное решение
будет сходиться к точному решению, удовлетворяющему естественным граничным условиям. Следует все же отметить, что сходимость к точному решению, как правило, будет более быстрой, если
координатные функции удовлетворяют всем граничным условиям.
С помощью принципа Гамильтона можно получить граничные
условия для более сложных вариантов закрепления концов стержня. Предположим, что концы стержня x = 0 и x = l соединены с
неподвижными опорами пружинами с жесткостями c1 и c2 соответственно (рис. 6).
c1
c2
x
l
0
Рис. 6. Упругое закрепление концов стержня.
В рассматриваемом случае функция Лагранжа имеет вид
L = Ls + Lc .
(2.19)
Здесь Ls = Ts − Πs — функция Лагранжа для стержня, Lc — функция Лагранжа для пружин. Кинетическая и потенциальная энергии
стержня в выражении для Ls определяются по формулам (2.12) и
(2.13). Пренебрегая кинетической энергией пружин, получаем
1
Lc = −Πc = − [c1 u2 (0, t) + c2 u2 (l, t)],
2
где Πc — потенциальная энергия пружин.
Приравняв нулю вариацию действия W , получим
δW = I − Ib − Ic = 0,
(2.20)
где I и Ib определяются по формулам (2.16),
Z t2
Ic =
[c1 u(0, t)δu(0, t) + c2 u(l, t)δu(l, t)] dt.
t1
Из равенства (2.20) вытекают уравнения колебаний (2.18) и граничные условия упругого закрепления концов стержня
ES
∂u
= c1 u,
∂x
x = 0,
ES
11
∂u
= −c2 u,
∂x
x = l.
(2.21)
Условия (2.21) представляют собой условия равновесия сечений
стержня x = 0 и x = l под действием внутреннего усилия F и
сил c1 u(0, t), c2 u(l, t), действующих со стороны пружин.
Получим граничные условия для стержня, к концам которого
x = 0 и x = l прикреплены сосредоточенные массы m1 и m2 (рис. 7).
m1
m2
x
l
0
Рис. 7. Стержень с сосредоточенными массами.
В этом случае L = Ls + Tm , где Ls — функция Лагранжа для
стержня,
·
¸2
·
¸2
m1 ∂u
m2 ∂u
Tm =
(0, t) +
(l, t)
2 ∂t
2 ∂t
— кинетическая энергия сосредоточенных масс.
Использование принципа Гамильтона и интегрирование по частям интегралов в формуле δW = 0 с учетом условий (2.17) дают
равенство
I − Ib − Im = 0,
(2.22)
где
Z
t2
Im =
t1
·
¸
∂2u
∂2u
m1 2 (0, t)δu(0, t) + m2 2 (l, t)δu(l, t) dt.
∂t
∂t
Следствиями соотношения (2.22) являются уравнения колебаний
стержня (2.19) и граничные условия
ES
∂u
∂2u
= m1 2 ,
∂x
∂t
x = 0,
ES
∂u
∂2u
= −m2 2 ,
∂x
∂t
x = l,
(2.23)
Физический смысл каждого из условий (2.23) заключается в равенстве нулю на конце стержня суммы проекций на ось x внутреннего
усилия F и силы инерции сосредоточенной массы.
12
2.3.
Частоты и формы продольных
колебаний стержня
Решение уравнения (2.10), описывающего свободные продольные колебания стержня, будем искать в виде
u(x, t) = u(x) sin ωt.
(2.24)
Подставив это решение в уравнение (2.10), получим
u00 + α2 u = 0,
(2.25)
0
где α = ω/a, u = du/dx. Подстановка решения (2.24) в граничные условия дает граничные условия для уравнения (2.25). Общее
решение уравнения (2.25) имеет вид
u(x) = A cos αx + B sin αx,
(2.26)
где A и B — произвольные постоянные, которые находятся путем
подстановки (2.26) в граничные условия.
Будем искать нетривиальное решение уравнения (2.25), рассматривая разные варианты граничных условий на концах стержня.
1) Если оба конца стержня заделаны т. е. u(0) = u(l) = 0
(рис. 8a), то A = 0, u(x) = B sin αx. Исключив случай тривиального
a)
b)
c)
d)
e)
Рис. 8. Варианты граничных условий.
решения B = 0, из условия u(l) = 0 получим, что α является корнем уравнения sin αl = 0. Положительные корни этого уравнения
имеют вид αn = πn/l, n = 1, 2 . . . , а частоты и формы колебаний
определяются по формулам
aπn
ωn = aαn =
, un (x) = B sin αn x, n = 1, 2 . . .
l
2) Пусть один конец стержня заделан, а другой свободен (рис. 8b).
Подставив решение (2.26) в граничные условия
u0 (l) = 0,
u(0) = 0,
13
где
u0 = −Aα sin αx + Bα cos αx,
получим A = 0, Bα cos(αl) = 0. Следовательно,
π´
1³
ωn = aαn , un (x) = B sin αn x, αn =
πn −
,
l
2
n = 1, 2 . . .
Во втором случае частоты колебаний меньше, чем в первом. Это
связано с тем, что для перехода от второго случая к первому надо
наложить связь u(l) = 0, а наложение связи приводит к увеличению
частот.
3) Для стержня со свободными концами (рис. 8c) граничные
условия имеют вид
u0 (0) = u0 (l) = 0,
а частоты и формы колебаний находятся по формулам
πn
ωn = aαn , un (x) = A cos αn x, αn =
.
l
На первый взгляд этот результат противоречит обобщенной теореме Релея-Куранта из раздела 1.7, так как такие же частоты имеет стержень с заделанными концами, а при наложении связей частоты должны увеличиваться. Однако, в рассматриваемом случае,
в отличие от двух предыдущих, стержень имеет нулевую частоту,
которую и следует считать первой частотой колебаний. Действительно, при α = 0 уравнение (2.25) имеет нетривиальное решение
u = A 6= 0, соответствующее смещению стержня как жесткого целого. Поэтому формулы для вычисления частот и форм колебаний
следует записать в следующей форме:
ωn = aαn ,
un (x) = A cos αn x,
αn =
π(n − 1)
,
l
n = 1, 2 . . . .
Наличие нулевой частоты, соответствующей смещению стержня
как жесткого целого, свидетельствует о том что дифференциальный оператор Lu = −u00 не является положительно определенным
в пространстве функций, удовлетворяющих граничным условиям
u0 (0) = u0 (l) = 0.
4) Предположим, что один конец стержня свободен, а другой
упруго закреплен с помощью пружины жесткостью c (рис. 8d). В
этом случае граничные условия для уравнения (2.25) имеют вид
u0 = 0,
при x = 0,
ESu0 + cu = 0,
14
при x = l.
Подстановка в эти условия решения (2.26) дает следующее уравнение для определения α
ctg(αl) = αES/c.
Введем обозначения
z = αl,
γ=
c
cl
= ,
ES
cs
cs =
ES
,
l
где cs — жесткость стержня на растяжение. Тогда уравнение примет вид
ctg z = z/γ.
(2.27)
Зависимость корней zk этого уравнения от относительной жесткости пружины γ можно изучить с помощью рис. 9, на котором
изображены графики левой и правой частей уравнения (2.27). Точ-
γ
γ
0
z1
z2
→
→
0
∞
2π
Рис. 9. Корни уравнения (2.27).
ки пересечения графика котангенса с прямой определяют положение корней z1 , z2 и т.д. С увеличением жесткости пружины c растет
γ, тангенс угла наклона прямой уменьшается и она поворачивается
по часовой стрелке. При этом корни zk увеличиваются, приближаясь к значениям −π/2 + πk, соответствующим заделке правого
15
конца стержня. Уменьшение γ вызывает поворот прямой против
часовой стрелки и уменьшение корней, которые при γ → 0 стремятся к пределам 0, π, 2π, . . . Эти пределы соответствуют частотам
колебаний стержня со свободными концами.
Уравнение (2.27) не имеет аналитического решения, однако при
малом γ можно получить явную приближенную формулу для корня
z1 , который в этом случае тоже будет малым. Если z1 — корень
уравнения (2.27), то z1 tg z1 = γ. Используя малость z1 заменим
tg z1 на z1 . Получим приближенное равенство z12 = γ, из которого
следует, что
Eγ
c
ω12 = a2 α12 = 2 =
,
ρl
ms
где ms = ρSl — масса стержня. Таким образом, при приближенном определения первой частоты колебаний упруго закрепленного
стержня можно заменить его абсолютно твердым телом массой ms ,
если жесткость стержня cs намного больше жесткости пружины c.
5) Пусть левый конец стержня заделан, а к правому концу прикреплен груз массой m (рис. 8e). Подставив решение (2.26) в граничные условия
u(0) = 0,
ESu0 (l) − ω 2 mu(l) = 0
получим уравнение
ctg(αl) = αlm/ms ,
которое можно записать в виде
ctg z = z/β,
(2.28)
где z = αl, β = ms /m — отношение массы стержня к массе груза.
Уравнение (2.28) совпадает по форме с уравнением (2.27). Зависимость его корней от параметра β можно проследить с помощью
рис. 9, заменив на нем γ на β. При уменьшении массы груза отношение β растет, корни уравнения (2.28) z1 , z2 , . . . увеличиваются и
стремятся к значениям π/2, 3π/2, . . . , соответствующим колебаниям стержня со свободным концом x = l. Увеличение массы груза
приводит к уменьшению корней. В частности z1 → 0 при β → 0.
Так же, как и в примере 4, в случае β ¿ 1 получаем приближенное равенство z12 = β, из которого вытекает, что
ω12 = a2 α12 =
16
Eβ
cs
= .
ρl2
m
Следовательно, в том случае, когда масса груза значительно больше массы стержня, при приближенном определении первой частоты
колебаний можно не учитывать массу стержня, заменив его невесомой пружиной, имеющей жесткость cs .
Полученную приближенную формулу для ω1 можно уточнить,
если при вычислении tg z1 учитывать два члена разложения в ряд:
tg z1 ' z1 + z13 /3.
В этом случае уравнение для определения z1 принимает вид
z1 (z1 + z13 /3) = β.
Решение уравнения будем искать в виде ряда z12 = β + bβ 2 + . . ..
После подстановки ряда в уравнение и приравнивания нулю коэффициента при β 2 получаем b = −1/3,
z12 ' β(1 − β/3).
Из последней формулы вытекает, что
ω12 '
cs
.
m + ms /3
Сравнивая полученную формулу с формулой ω12 = cs /m, можно заключить, что для оценки влияния массы стержня на первую частоту колебаний к массе m нужно прибавить одну треть массы стержня.
2.4.
Свободные продольные колебания стержня
Уравнение (2.10)
∂2u ∂2u
− 2 = 0,
∂x2
∂t
описывающее свободные продольные колебания стержня, было получено в разделе 2.1.
Пусть на концах стрежня заданы произвольные однородные
граничные условия, а начальные условия имеют вид
a2
u(x, 0) = f (x),
∂u
(x, 0) = g(x).
∂t
17
Решение задачи будем искать в виде ряда
u(x, t) =
∞
X
ui (x)Ti (t),
(2.29)
i=1
где ui (x) — формы колебаний, удовлетворяющие уравнению
u00i + αi2 ui = 0,
αi = ωi /a
и заданным граничным условиям. В частности, в случае заделки
концов стержня
ui = sin αi x, αi = πi/l.
Подстановка решения (2.29) в уравнение свободных колебаний
дает
∞
X
(a2 u00i Ti − ui T̈i ) = 0.
i=1
Умножим ряд в левой части на uk и проинтегрируем по длине
стержня. Учитывая равенства
Z l
00
2
ui = −αi ui ,
ui uk dx = (ui , uk ) = 0 при i 6= k,
0
последнее из которых обусловлено ортогональностью форм колебаний, для определения функции Tk получаем уравнение
T¨k + ωk2 Tk = 0,
ωk = aαk .
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tk = Ak cos(ωk t) + Bk sin(ωk t).
Для определения произвольных постоянных Ak и Bk подставим
(2.29) в начальные условия. Полученные равенства
∞
X
i=1
Ai ui (x) = f (x),
∞
X
ωi Bi ui (x) = g(x),
i=1
умножим скалярно на uk . Из ортогональности форм колебаний следует, что
(f, uk )
(g, uk )
Ak =
, Bk =
.
(uk , uk )
ωk (uk , uk )
18
В качестве примера найдем решение задачи о свободных колебания стержня длиной l с заделанными концами при следующих
начальных условиях
u(x, 0) = f (x) = u1 (x) = sin(πx/l),
∂u
(x, 0) = g(x) = 0.
∂t
Ввиду того, что A1 = 1, Ak = 0 при k = 2, 3, . . ., Bk = 0 при
k = 1, 2, . . ., решение имеет вид
u = u1 cos ω1 t = sin(πx/l) cos(πat/l).
(2.30)
Колебания стержня, описываемые формулой (2.30) называются колебаниями по первой форме.
Пусть левый конец стержня заделан, а правый — свободен.
Стержень находится в равновесии под действием растягивающей
силы P0 , приложенной к правому его концу (см. рис. 5).
Предположим, что в момент времени t = 0 действие силы прекратилось. Рассмотрим свободные колебания стержня, возникающие при t > 0. Используя формулу для перемещений стержня под
действием растягивающей силы из раздела 2.1, получаем начальные условия
u(x, 0) = f (x) = ε0 x,
∂u
(x, 0) = g(x) = 0,
∂t
ε0 =
P0
.
ES
Решение ищем в виде (2.29), где
ui = sin αi x,
αi =
2i − 1
π,
2l
причем cos αi l = 0, sin αi l = ±1. Из условия g = 0 следует, что
Bk = 0. Принимая во внимание, что
Z l
Z l
1 − cos 2αi x
l
(ui , ui ) =
sin2 αi x dx =
dx = ,
2
2
0
0
находим
Z
Z
2
2ε0 l
2ε0 αi l
2ε0
z sin z dz = 2 sin αi l.
Ai = (f, ui ) =
x sin αi x dx = 2
l
l 0
lαi 0
lαi
Следовательно,
u(x, t) =
∞
2ε0 X sin αi x sin αi l
cos ωi t.
l i=1
αi2
19
Полученное решение удовлетворяет начальным условиям. В частности
∞
2ε0 X 1
= ε0 l,
u(l, 0) =
l i=1 αi2
так как
∞
X
i=1
2.5.
1
1
1
π2
.
=
1
+
+
+
.
.
.
=
(2i − 1)2
32
52
8
Вынужденные продольные колебания стержня
Найдем решение уравнения вынужденных продольных колебаний стержня
µ
¶
∂
∂u
∂2u
SE
− ρS 2 + p(x, t) = 0,
∂x
∂x
∂t
удовлетворяющее начальным условиям
∂u
(x, 0) = g(x).
∂t
u(x, 0) = f (x),
Предположим, что SE = const, и запишем уравнение в виде
a2
∂2u ∂2u
− 2 + q(x, t) = 0,
∂x2
∂t
где a2 = E/ρ, q = p/(ρS).
Как и в случае свободных колебаний, решение можно искать в
виде (2.29)
∞
X
u(x, t) =
ui (x)Ti (t),
i=1
где Ti — неизвестные функции, а ui — ортогональные формы колебаний, удовлетворяющие уравнению
u00i + αi2 ui = 0,
αi = ωi /a
и заданным граничным условиям.
Подстановка ряда (2.29) в уравнение вынужденных колебаний
с последующим скалярным умножением полученного равенства на
функции uk дает уравнения
T¨k + ωk2 Tk = Fk (t),
Fk = (q, uk )/(uk , uk ),
20
k = 1, 2, . . .
для определения функций Tk .
Общее решение каждого такого линейного дифференциального
уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения Tk∗ (t) неоднородного уравнения:
Tk = Ak cos(ωk t) + Bk sin(ωk t) + Tk∗ (t).
Если в качестве частного решения взять интеграл Дюамеля
Z t
1
∗
Tk (t) =
Fk (τ ) sin[ωk (t − τ )] dτ,
ωk 0
удовлетворяющий нулевым начальным условиям Tk∗ (0) = Ṫk∗ (0) =
0, то подстановка решения (2.29) в начальные условия, приводит к
тем же формулам для определения Ak и Bk , что и в случае свободных колебаний стержня:
Ak =
(f, uk )
,
(uk , uk )
Bk =
(g, uk )
,
ωk (uk , uk )
k = 1, 2, . . .
Рассмотрим вынужденные колебания однородного стержня под
действием силы P (t), приложенной к его свободному концу x = l.
Другой конце стержня заделан, т. е. u(0) = 0. В аналогичной задаче
статики (см. раздел 2.1) мы включали силу P в граничное условие
на конце x = l. В задаче о колебаниях удобнее учесть силу P (t)
путем добавления в правую часть уравнения колебаний распределенной нагрузки
(
0,
0 6 x < l − ε,
p(x, t) = lim pε (x, t), pε (x, t) =
ε→0
P (t)/ε,
l − ε 6 x 6 l.
При этом граничное условие на конце x = l имеет вид ∂u/∂x = 0.
Введем импульсную функцию δ(x) по формуле
(
0,
x < −ε, x > 0
δ(x) = lim δε (x), δε (x) =
ε→0
1/ε,
−ε 6 x 6 0.
Тогда
pε (x, t) = P (t)δε (x − l),
21
p(x, t) = P (t)δ(x − l).
Для произвольной непрерывной функции f (x) по теореме о
среднем
Z 0
Z 0
1
f (x)δε (x) dx =
f (x) dx = f (x∗ ), −ε < x∗ < 0.
ε
−l
−ε
Из этого равенства предельным переходом при ε → 0 получаем
Z 0
f (x)δ(x) dx = f (0).
−l
Замена переменной x = z+l и использование предыдущей формулы
дают соотношение
Z
Z
l
0
f (x)δ(x − l) dx =
0
f (z + l)δ(z) dx = f (l).
(2.31)
−l
Уравнение вынужденных колебаний для рассматриваемого примера
∂2u
∂2u
SE 2 − ρS 2 + P (t)δ(x − l) = 0
∂x
∂t
можно записать так
a2
∂2u ∂2u
− 2 + q(x, t) = 0,
∂x2
∂t
где q(x, t) = Q(t)δ(x − l), Q = P/(ρS).
Его решение ищем в виде ряда
u(x, t) =
∞
X
ui (x)Ti (t),
ui = sin αi x,
αi =
i=1
(2i − 1)π
.
2l
Принимая во внимание, что
Z
l
(q, uk ) = Q
uk (x)δ(x − l) dx = Quk (l) = Q sin αk l,
(uk , uk ) = l/2,
0
получаем
Tk∗ (t) =
2 sin αk l
ωk l
Z
t
Q(τ ) sin[ωk (t − τ )] dτ.
0
22
лы
Рассмотрим воздействие на стержень внезапно приложенной си(
0,
t<0
P (t) =
P0 ,
t > 0.
Пусть в начальный момент времени стержень недеформирован и
неподвижен, т. е.
∂u
(x, 0) = g(x) = 0.
∂t
u(x, 0) = f (x) = 0,
Тогда Ak = Bk = 0, и
Tk (t) = Tk∗ (t) =
2Q0 sin αk l
ωk l
Z
t
sin[ωk (t − τ )] dτ,
Q0 =
0
P0
.
ρS
Вычислив интеграл, получаем
2Q0 sin αk l
(1 − cos ωk t),
ωk2 l
∞
2Q0 X sin αi l
sin αi x(1 − cos ωi t).
u(x, t) =
l i=1 ωi2
Tk (t) =
В частности, перемещение конца стержня определяется по формуле
∞
2Q0 X (1 − cos ωi t)
u(l, t) =
,
l i=1
ωi2
так как sin2 αi l = 1.
В момент времени t = 2l/a выполняются равенства
cos ωi t = cos 2αi l = cos(2i − 1)π = −1,
поэтому при t = 2l/a конец стержня имеет максимальное перемещение
um =
∞
∞
4Q0 X 1
16Q0 l X
1
2Q0 l
2P0 l
=
= 2 =
= 2u0 ,
2
2
2
2
2
la i=1 αi
a π i=1 (2i − 1)
a
SE
где u0 — перемещение конца стержня под действием статической
нагрузки P0 .
23
2.6.
Колебания балки
При продольных колебаниях точки прямолинейного стержня
смещаются вдоль его оси, соединяющей центры масс поперечных
сечений. При поперечных колебаниях точки стержня движутся
в направлении, перпендикулярном оси. В линейном приближении
уравнения, описывающие эти два вида колебаний, не связаны между собой, поэтому частоты и формы продольных и поперечных колебаний обычно находятся независимо друг от друга.
При смещениях точек стержня в поперечном направлении ось
стержня изгибается. Стержень, работающий на изгиб, принято называть балкой. Выражения “колебания балки” и “поперечные колебания стержня” являются синонимами.
Рассмотрим однородный прямолинейный стержень постоянного
поперечного сечения, который имеет плоскость симметрии, проходящую через ось стержня, Плоскость симметрии есть, в частности,
у стержней с прямоугольным и круглым поперечными сечениями.
Направим ось Ox по оси стержня, а ось Oy выберем так, чтобы она
лежала в плоскости симметрии (рис. 10).
y
l
x
z
y
ϑ
w
x
Рис. 10. Изгиб балки.
Начнем, как обычно, с вывода уравнений статики. Предположим, что силы, действующие на стержень лежат в плоскости симметрии. В противном случае изгиб балки будет сопровождаться
кручением. Смещение точки оси балки в направлении оси Oy обозначим w(x). Будем считать, что при изгибе балки ее сечения не
24
меняют форму и остаются перпендикулярными к оси балки. Эта
гипотеза подтвержается как экспериментальными данными, так
и асимптотическим анализом уравнений теории упругости. Следствием принятой гипотезы является равенство
ϑ = w0 =
dw
,
dx
где ϑ — угол поворота сечения балки (см. рис. 10).
Кривизна оси недеформированной балки k0 = 0. Для деформированной балки
k = w00 /(1 + w02 )3/2 .
В линейной теории предполагается, что w0 = ϑ ¿ 1, и для определения кривизны используется приближенная формула k = w00 = ϑ0 .
Изменение кривизны балки при ее деформировании
κ = k − k0 = w00 = ϑ0 .
(2.32)
Соотношение (2.32) дает связь деформации κ с перемещением w.
Вывод соотношения упругости для балки является более сложным, чем вывод этого соотношения в случае растяжения стержня.
На рис. 11 изображена часть деформированной балки, вырезанная
из нее сечениями G(x) и G(x+∆x), пересекающими ось балки в точках с координатами x и x+∆x. При изгибе балки угол поворота ϑ(x)
∆ϑ
∆u
∆x
y
Рис. 11. Деформация балки.
сечения G(x) отличается от угла поворота ϑ(x+∆x) = ϑ(x)+∆ϑ сечения G(x + ∆x). Благодаря этому происходит растяжение-сжатие
25
материала балки в продольном направлении. В случае, изображенном на рис. 11, волокна в верхней части балки растягиваются, а в
нижней части сжимаются. Ось балки принадлежит нейтральному
слою, волокна которого сохраняют свою длину. Нейтральный слой
разделяет сжатую и растянутую части балки.
Расмотрим волокно в верхней части балки, находящееся на расстоянии y от нейтрального слоя. После деформации его длина увеличится на величину ∆u = y∆ϑ. Относительное удлинение волокна
ε(x, ∆x) = ∆u/∆x, а его деформация растяжения-сжатия в точке
x определяется по формуле
ε(x) = lim ε(x, ∆x) = y lim
∆x→0
∆x→0
∆ϑ
dϑ
=y
= yκ.
∆x
dx
Для вычисления нормальных напряжений в сечении G(x) воспользуемся законом Гука:
σ = Eε = Eyκ,
где E — модуль Юнга. Деформации и нормальные напряжения распределяются по высоте сечения по линейному закону.
Момент
Z
Z
M=
yσdS = Eκ
y 2 dS,
G
G
cоздаваемый относительно оси z нормальными напряжениями в сечении G(x), называется изгибающим моментом. Обозначим
Z
J=
y 2 dS
G
момент инерции поперечного сечения относительно оси z. Тогда
формула для изгибающего момента принимает вид
M = EJκ.
(2.33)
Величина EJ называется жесткостью балки на изгиб. Равенство
(2.33) представляет собой соотношение упругости для балки.
Для балки с прямоугольным поперечным сечением шириной a
и высотой b
Z a/2 Z b/2
ab3
y 2 dydz =
.
J=
12
−a/2 −b/2
26
Момент инерции кругового поперечного сечения радиуса r равен
J = πr4 /4.
Предположим, что на балку действует распределенная нормальная нагрузка q(x). Для вывода первого уравнения равновесия приравняем нулю сумму проекций на ось y всех сил, действующих
на часть балки, вырезанную из нее сечениями G(x) и G(x + ∆x)
(рис. 12). Разделив полученное равенство
Q(x)
M(x+∆x)
M(x)
q∆x
∆x
Q(x+∆x)
Рис. 12. Силы и моменты, действующие на часть балки.
Q(x) + q∆x − Q(x + ∆x) = 0
на ∆x и перейдя к пределу при ∆x → 0, получим уравнение
Q0 = q.
(2.34)
Перерезывающая сила Q представляет собой равнодействующую
касательных напряжений в сечении G(x).
Условие равенства моментов сил относительно точки пересечения оси стержня с его правым концом имеет вид
M (x + ∆x) − M (x) − Q(x)∆x − q(∆x)2 /2 = 0.
Деление последнего соотношения на ∆x с последующим переходом
к пределу при ∆x → 0 дает второе уравнение равновесия:
M 0 = Q.
(2.35)
Подставив (2.32) в (2.33) и (2.33) в (2.35), находим следующие
выражения для усилий
M = EJw00 ,
Q = (EJw00 )0 .
(2.36)
После подстановки второй формулы (2.36) в (2.34) получим уравнение изгиба балки в перемещениях:
(EJw00 )00 = q.
27
(2.37)
Дифференциальное уравнение (2.37) имеет 4-й порядок, поэтому на каждом конце балки должно быть задано по два граничных
условия. В литературе чаще всего встречаются следующие варианты однородных граничных условий: заделка w = ϑ = 0, шарнирный
край w = M = 0 и свободный край M = Q = 0.
Уравнение, описывающее свободные колебания балки, получается из уравнения (2.37) заменой распределенной нагрузки q инерционной нагрузкой, а также заменой w(x) на w(x, t):
µ
¶
∂2w
∂2w
∂2
EJ
+
ρS
= 0.
(2.38)
∂x2
∂x2
∂t2
Для вывода уравнения (2.38) и естественных граничных условий
можно использовать принцип Гамильтона, учитывая что потенциальная и кинетическая энергия балки определяются по формулам
µ 2 ¶2
µ
¶2
Z
Z
Z
1 l
1 l
∂ w
1 l
∂w
Π=
M κdx =
EJ
ρS
dx, T =
dx.
2 0
2 0
∂x2
2 0
∂t
Будем искать решение уравнения (2.38) в виде
w(x, t) = w(x) sin ωt.
Подставив это решение в уравнение (2.38), получим уравнение для
определения частот и форм колебаний
µ
¶
d2
d2 w
EJ 2 − ρSω 2 w = 0.
dx2
dx
В дальнейшем будем рассматривать только случай EJ = const,
для которого последнее уравнение принимает вид
d4 w
− α4 w = 0,
dx4
α4 =
ρS 2
ω ,
EJ
(2.39)
а граничные условия можно записать следующим образом
w = w0 = 0
w = w00 = 0
w00 = w000 = 0
заделка,
шарнирный край,
свободный край.
Подставив в уравнение (2.39) функцию w = ekx , получим характеристическое уравнение
k 4 − α4 = 0,
28
четырем корням которого k1,2 = ±iα, k3,4 = ±α соответствуют
четыре линейно независимых решения уравнения (2.39):
w1,2 = e±iαx ,
w3,4 = e±αx .
Линейные комбинации этих решений
eiαx − e−iαx
eiαx + e−iαx
, cos αx =
,
2i
2
eαx − e−αx
eαx + e−αx
sh αx =
, ch αx =
2
2
sin αx =
тоже являются линейно независимыми решениями, поэтому общее
решение уравнения (2.39) имеет вид
w = C1 sin αx + C2 cos αx + C3 sh αx + C4 ch αx.
(2.40)
Подстановка общего решения в граничные условия дает систему
четырех однородных алгебраических уравнений для определения
произвольных постоянных Ci . Эта система имеет нетривиальное
решение, если ее определитель равен нулю. Приравняв нулю определитель, получим уравнение для определения α. Частоты колебаний выражаются через корни этого уравнения c помощью второй
формулы (2.39):
s
ω=
EJ 2
α .
ρS
Граничные условия для шарнирно опертой балки длиной l имеют вид
w = w00 = 0, x = 0, x = l.
Подставив решение (2.40) в граничные условия при x = 0, получим
C2 + C4 = 0,
α2 (−C2 + C4 ) = 0.
Предположим, что α 6= 0. Тогда из последнего равенства следует,
что C2 = C4 = 0. Подстановка (2.40) в два оставшихся граничных
условия дает систему уравнений
C1 sin αl + C3 sh αl = 0,
−α2 C1 sin αl + α2 C3 sh αl = 0.
Приравняв нулю определитель этой системы получим уравнение
частот
α2 sin αl sh αl = 0.
29
Ввиду того, что α 6= 0, положительные корни этого уравнения имеют вид
αk = πk/l, k = 1, 2, . . . ,
а частоты колебаний шарнирно опертой балки находятся по формуле
s
s
EJ 2
EJ π 2 k 2
ωk =
αk =
.
ρS
ρS l2
Сравним первую частоту изгибных колебаний шарнирно опертого стержня с прямоугольным поперечным сечением шириной a и
высотой b
s
E π2 b
ω1b =
12ρ l2
с частотой продольных колебаний этого же стержня с заделанными
концами (разд. 2.3)
s
Eπ
.
ρ l
ω1l =
Отношение частот
ω1b
πb
= √
ω1l
l 12
является малой величиной, так как мало отношение размера поперечного сечения b к длине стержня l. Низшие частоты колебаний
обычно представляют наибольший интерес для технических приложений, поэтому определение частот изгибных колебаний является
более важной практической задачей, чем определение частот продольных колебаний.
Упражнение. Показать, что при α = 0 задача о колебаниях
шарнирно опертой балки имеет только тривиальное решение.
2.7.
Функции Крылова
Академик А.Н. Крылов представил общее решение уравнения
(2.39) для определения частот и форм колебаний балки в виде
w = AS(αx) + BT (αx) + CU (αx) + DV (αx),
30
(2.41)
где
S(z) = (ch z + cos z)/2,
U (z) = (ch z − cos z)/2,
T (z) = (sh z + sin z)/2,
V (z) = (sh z − sin z)/2.
(2.42)
Функции S, T , U , V , которые называют функциями Крылова или
балочными функциями, обладают следующим полезным свойством
S(0) = 1,
T (0) = U (0) = V (0) = 0.
Кроме того, при дифференцировании любая балочная функция
превращается в другую балочную функцию: S 0 = V , V 0 = U и
т. д. Правило дифференцирования функций Крылова можно представить в виде диаграммы
S
%
&
-
.
T
V
U
где переход по стрелке соответствует дифференцированию. Для того, чтобы найти n-ю производную нужно выполнить n переходов
по стрелкам. Так, например, с помощью диаграммы получаем, что
S 00 = U , V 000 = S.
Подстановка общего решения (2.41) в граничные условия дает более простые системы для определения произвольных постоянных, чем подстановка в них решения (2.40). Используем решение
(2.41) для определения частот колебаний балки при различных граничных условиях.
1. Шарнирно опертая балка.
Дифференцирование решения (2.41) с помощью диаграммы дает формулу
w00 = α2 [AU (αx) + BV (αx) + CS(αx) + DT (αx)].
Подставив решение (2.41) в граничные условия w(0) = w00 (0) = 0, с
учетом последней формулы получим, что A = C = 0. Использование двух других граничных условий w(l) = w00 (l) = 0 дает систему
уравнений
BT (z) + DV (z) = 0,
α2 [BT (z) + DV (z)] = 0,
31
z = αl.
Приравняв нулю определитель этой системы, получаем уравнение
частот T 2 (z) − V 2 (z) = 0, равносильное уравнению sh z sin z = 0.
Последнее уравнение имеет корни zk = αk l = πk, k = 1, 2, . . ., что
совпадает с результатом из предыдущего раздела. Использование
функций Крылова позволило вывести уравнение частот более простым способом.
Уравнение (2.39) имеет нетривиальные решения при α = 0 только в том случае, когда балка может перемещаться как абсолютно
твердое тело. Так, например, если левый конец балки шарнирно
оперт, а правый — свободен, то балка может вращаться вокруг своего левого конца. В этом и последующих примерах предполагается,
что α 6= 0, так как рассматриваемые граничные условия не допускают перемещений балки как абсолютно твердого тела.
2. Балка с заделанными концами.
Пусть на концах балки выполняются условия заделки:
w = w0 = 0,
x = 0,
x = l.
Ввиду того, что
w0 = α[AV (αx) + BS(αx) + CT (αx) + DU (αx)],
из условий на крае x = 0 следует, что A = B = 0. Подстановка решения (2.41) в граничные условия на крае x = l приводит к системе
уравнений
CU (z) + DV (z) = 0,
CT (z) + DU (z) = 0.
Уравнение для определения α имеет вид U 2 (z)−T (z)V (z) = 0. Подставим в это уравнение выражения (2.42) для балочных функций.
Принимая во внимание, что
sin2 z + cos2 z = 1,
ch2 z − sh2 z = 1,
получаем уравнение частот
cos z = 1/ ch z,
(2.43)
корни которого нельзя найти в явном виде. Для их определения
используются численные методы.
Изучение графиков функций y = cos z и y = 1/ ch z (рис. 13).
позволяет найти приближенные выражения для корней уравнения
32
1
0
π/2
z1
z2
z
Рис. 13. Графический метод решения уравнения (2.43).
(2.43). Ввиду того, что функция y = 1/ ch z стремится к нулю
при z → ∞, точки пересечения ее графика с графиком функции
y = cos z при увеличении z приближаются к лежащим на оси z точкам с координатами π/2+πk, k = 1, 2, . . . , соответствующим корням
уравнения cos z = 0. Следовательно, при больших значениях k для
определения корней zk уравнения (2.43) можно использовать приближенную формулу zk ' π/2 + πk. Отметим, что уже при k = 1
точное значение корня z1 = 4.730 отличается от его приближенного значения 3π/2 = 4.712 менее, чем на 0.5%. С увеличением k
погрешность приближенного решения становится еще меньше.
3. Балка с заделанным и шарнирно опертым краями.
Рассмотрим колебания балки с заделанным краем x = 0 и шарнирно опертым краем x = l. Как и в предыдущем примере, из условий w(0) = w0 (0) = 0 вытекает, что A = B = 0. Используя условия
w(l) = w00 (l) = 0, получаем систему уравнений
CU (z) + DV (z) = 0,
CS(z) + DT (z) = 0.
Уравнение частот U (z)T (z) − S(z)V (z) = 0 после преобразований
принимает вид
tg z = th z.
(2.44)
Графики функций y = tg z и y = th z изображены на рис. 14.
При увеличении k = 1, 2, . . . корни zk уравнения (2.44) приближаются к корням π/4 + πk уравнения tg z = 1, так как th z → 1 при
z → ∞. Уже при k = 1 приближенное значение корня 5π/4 = 3.927
с точностью до четырех знаков совпадает с точным значением
z1 = 3.927.
33
1
0
π/2
z1
z2
z
Рис. 14. Графический метод решения уравнения (2.44).
4. Консольная балка.
Консольной балкой или консолью называется балка одни конец
которой заделан, а другой свободен. Предположим, что заделан конец x = 0. В этом случае A = B = 0, и подстановка решения (2.41)
в граничные условия w00 (l) = w000 (l) = 0 дает систему уравнений
CS(z) + DT (z) = 0,
CV (z) + DS(z) = 0.
Уравнение частот S 2 (z)−V (z)T (z) = 0 можно преобразовать к виду
cos z = −1/ ch z,
(2.45)
На рис. 15 представлены графики функций, стоящих в правой и
левой частях этого уравнения. Как и примере 2, с увеличением
1
0
z1
z2
z
π/2
-1
Рис. 15. Графический метод решения уравнения (2.45).
k корни zk уравнения (2.44) приближаются к корням уравнения
cos z = 1, однако приближенным значением корня z1 является π/2,
а не 3π/2. При z = π/2 функция −1/ ch z еще не очень близка к
34
нулю, поэтому приближенное значение π/2 = 1.571 заметно отличается от точного значения корня z1 = 1.875. Однако уже для k = 2
формула z2 ' 3π/2 = 4.712 дает хорошее приближение к точному
значению корня z2 = 4.694.
2.8.
Влияние продольной силы на колебания балки
Рассмотрим колебания балки при воздействии на нее растягивающей силы F0 , направленной вдоль оси стержня (рис. 16).
y
x
F0
F0
Рис. 16. Балка, растянутая продольной силой
Для вывода уравнений равновесия приравняем нулю суммы
проекций на оси x и y всех сил, действующих на часть балки с
концами x и x + ∆x (рис. 17).
y
M +∆M
q
F+ ∆F
Q + ∆Q
M
Q
ϑ
F
∆w
O
w
∆x
x
x
x +∆ x
Рис. 17. Часть балки, растянутой продольной силой
Принимая во внимание, что угол поворота ϑ является малым
получаем:
F + ∆F − F = 0,
q∆x + Q − Q − ∆Q = 0.
Разделим эти равенства на ∆x и перейдем к пределу при ∆x → 0.
Тогда они принимут вид
dF
= 0,
dx
dQ
= q.
dx
35
Следовательно, F = F0 .
Учитывая, что ∆F = 0, запишем условие равенства моментов
сил относительно точки O:
−M + M + ∆M − Q∆x − F ∆w − q∆x
∆x
= 0.
2
Разделив это соотношение на ∆x и устремив ∆x к нулю, получим
dM
dw
=Q+F
.
dx
dx
(2.46)
Продифференцировав равенство (2.46) по x и подставив в него выражение (2.36) для изгибающего момента, придем к уравнению изгиба растянутой балки в перемещениях:
µ
¶
d2
d2 w
d2 w
EJ
=q+F 2.
(2.47)
2
2
dx
dx
dx
В случае F = 0 уравнение (2.47) совпадает с уравнением (2.37).
Так же, как в случае нерастянутой балкой, заменой распределенной нагрузки q инерционной нагрузкой и заменой w(x) на w(x, t)
из уравнения (2.47) можно получить уравнение свободных колебаний балки:
µ
¶
∂2
∂2w
∂2w
∂2w
EJ
+
ρS
−
F
= 0.
(2.48)
∂x2
∂x2
∂t2
∂x2
Предположим, что EJ = const. Подставив решение
w(x, t) = w(x) sin ωt.
в уравнение (2.48) получим уравнение для определения частот и
форм колебаний балки
d4 w
d2 w
−
2h
− α4 w = 0,
dx4
dx2
2h =
F
,
EJ
α4 =
ρS 2
ω .
EJ
(2.49)
Решение уравнения (2.49) ищем в виде w = eγx . Характеристическое уравнение
γ 4 − 2hγ 2 − α4 = 0,
имеет корни
qp
γ1,2 = ±
h2 + α4 + h = ±σ1 ,
γ3,4
36
qp
= ±i
h2 + α4 − h = ±iσ2 .
Следовательно, общее решения уравнения (2.49)
w = A ch σ1 x + B sh σ1 x + C cos σ2 x + D sin σ2 x.
(2.50)
Подстановка решения (2.50) в граничные условия позволяет
найти частоты и формы колебаний. В случае шарнирного опирания
концов балки
w = w00 = 0, x = 0, x = l,
решение
πk
(2.51)
l
удовлетворяет граничным условиям. Подставив решение (2.51) в
уравнение (2.49), получим
wk = sin pk x,
pk =
αk4 = p4k + 2hp2k
и, следовательно, квадрат частоты
µ
¶
EJ 2 2
F
EJ 4
αk =
pk pk +
,
ωk2 =
ρS
ρS
EJ
k = 1, 2, . . .
Очевидно, что с ростом растягивающей силы частоты колебаний
увеличиваются.
В случае F À EJp2k имеет место приближенное равенство
ωk2 '
F 2
p ,
ρS k
и частоты колебаний балки близки к частотам колебаний струны.
Если сила F достаточно велика, то для решений w(x), которые меняются не слишком быстро, (в случае шарнирного опирания k не
должно быть большим числом) в уравнении (2.48) можно отбросить
первое слагаемое и получить уравнение колебаний струны (1.14).
Таким образом, струна является сильно растянутой балкой.
Рассмотрим теперь случай, когда F — сжимающая сила. Тогда
αk4 = p4k − 2hp2k .
Наличие сжимающей силы приводит к уменьшению частот, а при
µ ¶2
F
πk
2
2
2h =
= pk , F = EJpk = EJ
, k = 1, 2, . . .
EJ
l
37
величина αk = 0 и частота ωk обращаются в нуль. Обращение частот в нуль свидетельствует о потере устойчивости, прямолинейного положения равновесия балки. Наименьшее значение
Fc =
EJπ 2
l2
силы F , при котором теряется устойчивость называется критической силой, а уравнение ω1 = 0 — динамическим критерием устойчивости.
Для определения критической силы можно использовать и статический критерий устойчивости. Рассмотрим статическую задачу
о сжатии балки силой F , предполагая, что q = 0, EJ = const. Тогда
уравнение (2.47) принимает вид
d4 w
d2 w
+ β 2 2 = 0,
4
dx
dx
β2 =
F
.
EJ
(2.52)
Для любого β уравнение (2.52) имеет тривиальное решение
w = 0, соответствующее прямолинейному положению равновесия
балки. Наличие нетривиального решения этого уравнения свидетельствует о потере устойчивости. При граничных условиях шарнирного опирания нетривиальные решения имеют вид
wk = sin βk x,
βk =
πk
.
l
Наименьшему положительному значению βk равному π/l соответствует критическая сила
Fc = EJ
π2
,
l2
которая совпадает с критической силой, найденной с помощью динамического критерия устойчивости. При F < Fc уравнение (2.52)
не имеет нетривиальных решений, и прямолинейное положение равновесия балки устойчиво.
2.9.
Колебания мембраны
Рассмотрим пластинку (рис. 18) к краю которой приложены
равномерно распределенные растягивающие нормальные напряжения σn . Если эти напряжения достаточно велики, то пластинка на38
σn
Рис. 18. Мембрана
зывается мембраной. Введем на срединной поверхности декартовы
координаты x и y. Тогда уравнение свободных колебаний мембраны
можно записать в виде
µ 2
¶
∂ w ∂2w
∂2w
a2
+
− 2 = 0, a2 = σn /ρ,
(2.53)
2
2
∂x
∂y
∂t
где w(x, y) — прогиб, т. е. перемещение точки мембраны в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности, ρ — плотность
материала.
Сравним это уравнение с уравнением колебаний струны
a2
∂2w ∂2w
− 2 = 0.
∂x2
∂t
где a2 = F/(Sρ), F — растягивающая сила, S — площадь поперечного сечения струны. Если приложенные к концам струны растягивающие нормальные напряжения σn распределены равномерно,
то σn = F/s и a2 = σn /ρ. Таким образом, мембрана может рассматриваться как “двумерная” струна, причем мембрана — это сильно
растянутая пластинка, а струна — сильно растянутый стержень.
Уравнение (2.53) можно записать в виде:
a2 ∆w −
∂2w
= 0,
∂t2
(2.54)
где ∆ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 — оператор Лапласа в декартовых координатах.
Подставив в уравнение (2.54) решение в виде
w(x, y, t) = w(x, y) sin ωt,
39
получим уравнение для определения частот и форм колебаний мембраны:
a2 ∆w + ω 2 w = 0.
(2.55)
Граничные условия для уравнения (2.55) имеют вид: w(x, y) = 0
при (x, y) ∈ L, где L — контур мембраны.
Рассмотрим колебания прямоугольной мембраны длиной b и шириной c (рис. 19). Граничные условия для прямоугольной мембраны
y
c
O
b
x
Рис. 19. Прямоугольная мембрана
можно задать следующим образом:
w(x, y) = 0,
x = 0,
x = b,
y = 0,
y = c.
Решение
w(x, y) = sin
πmx
πny
sin
,
b
c
m, n = 1, 2, . . .
удовлетворяет граничным условиям. Подставив его в уравнение
(2.55), найдем выражения для квадратов частот:
¶
µ 2
n2
m
2
2 2
+ 2 , m, n = 1, 2, . . .
ω =a π
b2
c
В случае квадратной мембраны c = b получим:
ω2 =
π 2 a2 2
(m + n2 ).
b2
Линии внутри мембраны, на которых прогиб w(x, y) равен нулю, называются узловыми линиями. Для формы колебаний с m =
40
n = 1, соответствующей низшей частоте, узловые линии отсутствуют. В общем случае на прямоугольной мембране появляются m − 1
вертикальных и n − 1 горизонтальных равномерно расположенных
прямых узловых линий. Узловые линии для случая m = 5, n = 4
изображены на рис. 20.
Рис. 20. Узловые линии на прямоугольной мембране
Квадратная мембрана имеет кратные частоты колебаний. Кратные частоты возникают при колебаниях симметричных упругих
тел.
При m = 1, n = 2 и m = 2, n = 1 решениям
w = sin
πx
2πy
sin
,
b
c
w = sin
2πx
πy
sin
b
c
соответствует одна и та же кратная частота, квадрат которой равен
ω 2 = 5π 2 a2 /b2 .
Форма колебаний является линейной комбинацией указанных
решений:
2πy
2πx
πy
πx
sin
+ D sin
sin
,
w = C sin
b
b
b
b
где C и D — произвольные постоянные.
Если C = 0, то на мембране имеется одна вертикальная прямая
узловая линия (рис. 21a), а при D = 0 — одна горизонтальная
узловая линия (рис. 21b). Для нахождения узловых линий в общем
a)
b)
c)
d)
Рис. 21. Узловые линии на квадратной мембране
41
e)
случае удобно записать форму колебаний в следующем виде:
πx
πy ³
πy
πx ´
w = 2 sin
sin
C cos
+ D cos
.
b
b
b
b
Прогиб w равен нулю во внутренних точках мембраны, координаты
которых удовлетворяют уравнению
C cos
πy
πx
+ D cos
= 0,
b
b
Если C = D, то уравнение узловой линии принимает вид x + y = b
(рис. 21c). При C = −D получаем x = y (рис. 21d). В остальных
случаях узловая линия не является прямой. На рис. 21e изображена
узловая линия для D = 2C.
2.10.
Колебания круглой мембраны
При определении частот и форм колебаний декартовы координаты удобно использовать для прямоугольных мембран. Если мембрана имеет другую форму, то на ее срединной поверхности обычно
вводятся ортогональные криволинейные координаты q1 и q2 . Оператор Лапласа в этом случае имеет вид:
·
µ
¶
µ
¶¸
1
∂
H2 ∂w
∂
H1 ∂w
∆w =
+
,
H1 H2 ∂q1 H1 ∂q1
∂q2 H2 ∂q2
где H1 и H2 — коэффициенты Ламе.
Рассмотрим круглую мембрану радиусом R и введем полярные
координаты r и ϕ (рис. 22), для которых H1 = 1, H2 = r,
y
r
ϕ
x
R
Рис. 22. Круглая мембрана
42
∆w =
1 ∂
r ∂r
µ
¶
∂w
1 ∂2w
r
+ 2
.
∂r
r ∂ϕ2
(2.56)
В уравнении (2.56) проведем разделение переменных
w(r, ϕ) = w(r) cos mϕ,
(2.57)
где m — число волн по окружности. В случае m = 0 колебания
называются осесимметричными. Граничные условия закрепления
края круглой мембраны имеют вид w(R) = 0.
Подставив решение (2.57) в уравнение колебаний (2.55) с оператором Лапласа (2.56), получим уравнение:
µ
¶
1 ∂
∂w
m2
ω
r
− 2 w + α2 w = 0, α = ,
r ∂r
∂r
r
a
которое после несложных преобразований принимает вид
r2
∂2w
∂w
+r
+ (α2 r2 − m2 )w = 0.
2
∂r
∂r
(2.58)
Сделав в уравнении (2.58) замену переменной x = αr, получим
уравнение Бесселя
x2
∂2w
∂w
+x
+ (x2 − m2 )w = 0,
2
∂x
∂x
(2.59)
решение которого представляется в виде линейной комбинации
двух функций:
w = CJm (x) + DNm (x),
где Nm называется функцией Неймана, а Jm — функцией Бесселя. Функцию Неймана называют также функцией Вебера и обозначают Ym . Функция Nm обращается в бесконечность в точке
x = 0, поэтому в выражении для w следует выбрать D = 0. Тогда w(r) = CJm (αr), а граничное условие w(R) = 0 принимает вид
Jm (αR) = 0. Для определения частот колебаний необходимо найти
значения α, удовлетворяющие последнему уравнению. Введем обозначение z = αR. Тогда z является корнем функции Бесселя Jm .
Значения нулей функции Jm приведены в Таблице 1, где n — номер
корня. Корни занумерованы в порядке возрастания.
Наряду с решением w = Jm (αr) cos mϕ уравнение (2.55) для
круглой мембраны имеет решение w = Jm (αr) sin mϕ, соответствующее тем же самым значениям частот. Следовательно, все частоты
43
n=1
n=2
n=3
m=0
2.405
5.520
8.654
m=1
3.832
7.016
10.173
Табли
m=2
5.136
8.417
11.620
ца 1
m=3
6.380
9.761
13.015
колебаний круглой мембраны за исключением частот осесимметричных колебаний являются кратными, а формы колебаний колебаний имеют вид
w(r, ϕ) = Jm (αr)(C cos mϕ + D sin mϕ),
где C и D — призвольные постоянные.
Узловые линии представляют собой окружности и диаметры
окружности. Чем выше частота, тем больше узловых линий имеется на поверхности мембраны. Соответствующие разным частотам
узловые линии, изображены на (рис. 23).
m=0
m=1
m=2
n =1
n=2
n= 3
Рис. 23. Узловые линии на круглой мембране
Для приближенного вычисления частот можно использовать
асимптотические и вариационные методы. Так, например, корни
функции Бесселя Jm можно найти с помощью главного члена ее
44
асимптотического разложения
r
³
2
mπ π ´
Jm (x) '
cos x −
−
,
πx
2
4
x À 1,
x À m,
(2.60)
который приведен в справочнике [3].
Условия x À 1, x À m говорят о том, что точность асимптотической формулы увеличивается с увеличением искомого корня,
однако для случая m = 0 неплохие резльтаты получаются даже для
наименьших корней. Действительно, при m = 0 формула (2.60) дает приближенное уравнение
cos(z − π/4) = 0,
корни которого
π π
+ + π(k − 1)
4
2
мало отличиются от корней функции J0 . Приближенные значения
первых трех корней z̃1 = 2.36, z̃2 = 5.50, z̃3 = 8.64 меньше их
точных значений z1 = 2.40, z2 = 5.52, z3 = 8.65 на 1.7%, 0.4%,
0.1% соответственно, причем погрешность асимптотического решения быстро убывает с увеличением номера корня.
Использование формулы (2.60) дает хорошие результаты при
вычислении высших частот, однако наибольший интерес для приложений представляют низшие частоты, так как на них чаще всего возникают резонансы. Для определения низших частот используется метод Релея-Ритца. Найдем методом Релея приближенное
значение первой частоты колебаний круглой мембраны ω1 , точное
значение которой ω1 = aα1 = az1 /R.
Ввиду того, что ω1 соответствует осесимметричная форма колебаний, подставим m = 0 в уравнение (2.58). Уравнение примет
вид
d dw
− r
= α2 rw.
(2.61)
dr dr
Умножим обе части уравнения (2.61) на w и проинтегрируем по r
от 0 до R. Преобразование левой части получившегося равенства с
помощью интегрирования по частям дает формулу
z̃k =
−r
¯R Z R µ
¶2
dw
dw ¯¯
r
w¯ +
dr = α2 rw.
dr 0
dr
0
45
Учитывая, что внеинтегральный член равен нулю, получаем отношение Релея для круглой мембраны:
RR
r(w0 )2 dr
dw
2
α = R0 R
, w0 =
.
2
dr
rw dr
0
Чтобы получить хорошее приближение к первой частоте колебаний мембраны, в отношение Релея надо подставить функцию w(r),
которая удовлетворяет граничному условию w(R) = 0 и мало отличается от формы колебаний. В качестве такой функции возмем
w(r) = cos(βr),
β=
π
.
2R
Ее подстановка в отношение Релея с последующей заменой переменной интегрирования x = βr приводит к равенству
Z π/2
Z π/2
β 2 I1
α̃2 =
, I1 =
x sin2 x dx, I2 =
x cos2 x dx,
I2
0
0
где α̃ — приближенное значение α. Испоользуя интегрирование по
частям, получаем
Ã
!
Z
Z π/2
1 π/2
1 2
1 π2
I1 =
(x−x cos 2x) dx =
+
sin 2x dx =
(π +4).
2 0
4 4
16
0
Учитывая, что I1 + I2 = π 2 /8, находим I2 = (π 2 − 4)/16. Следовательно,
r
2
π π2 + 4
2
2π +4
α̃ = β 2
, z̃1 = α̃R =
= 2.415.
π −4
2 π2 − 4
Полученное методом Релея приближенное значение z̃1 = 2.415 всего
лишь на 0.4% больше точного значения z1 = 2.405.
2.11.
Колебания прямоугольной пластины
При выводе уравнений пластин используется гипотеза Кирхгофа в соответствии с которой любое волокно пластины перпендикулярное ее срединной поверхности до деформации остается перпендикулярным к срединной поверхности после деформации, а его
длина не изменяется.
46
На срединной поверхности прямоугольной пластины введем декартову систему координат Oxy, а ось Oz направим по нормали
к срединной поверхности, как показано на рис. 24. На этом же
рисунке приведены положительные направления перерезывающих
z
w
c
O
y
b
q
Myx
My
Mxy
x
Qx
Qy
Mx
Рис. 24. Прямоугольная мембрана
сил Qx , Qy изгибающих моментов Mx , My и крутящих моментов
Mxy = Myx , возникающих под действием распределенной нормальной нагрузки q(x, y).
Вырежем из пластины прямоугольник шириной ∆x и длиной
∆y и рассмотрим действующие на него силы и моменты. Приравняем нулю сумму проекций сил на ось Oz и суммы моментов сил
относительно осей Ox и Oy. Разделив три полученных равенства
на ∆x∆y и перейдя к пределу при ∆x → 0 и ∆y → 0, получим три
уравнения равновесия пластины:
∂Qx
∂Qy
+
= q(x, y),
∂x
∂y
Qx =
∂Mx
∂Mxy
+
,
∂x
∂y
Qy =
(2.62)
∂My
∂Mxy
+
.
∂y
∂x
(2.63)
Сравнивая эти уравнения с уравнениями равновесия балки (2.34) и
(2.35), можно отметить, что пластина представляет собой “двумерную” балку.
Уравнения состояния (соотношения упругости) имеют вид:
Mx = D(κx + νκy ),
My = D(κy + νκx ),
47
Mxy = D(1 − ν)κxy ,
(2.64)
где κx , κy и κxy — кривизны и кручение. Величина
D=
Eh3
12(1 − ν 2 )
называется изгибной жесткостью, E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона, удовлетворяющий неравенству 0 6 ν 6 0.5.
С помощью кинематических соотношений деформации выражаются через прогиб пластины w:
κx =
∂ϑx
,
∂x
κy =
∂ϑy
,
∂y
κxy =
∂ϑx
,
∂y
ϑx =
∂w
,
∂x
ϑy =
∂w
,
∂y
(2.65)
где ϑx , ϑy — углы поворота нормали.
Подставим (2.63) в (2.62), и (2.65) в (2.64). Тогда
∂ 2 Mx
∂ 2 My
∂ 2 Mxy
+2
+
= q(x, y),
2
∂x
∂x∂y
∂y 2
µ 2
¶
µ 2
¶
∂ w
∂2w
∂ w
∂2w
Mx = D
+
ν
,
M
=
D
+
ν
,
y
∂x2
∂y 2
∂y 2
∂x2
∂2w
Mxy = D(1 − ν)
.
∂x∂y
(2.66)
(2.67)
Подстановка (2.67) в (2.66) дает уравнение статики прямоугольной
пластины в перемещениях:
¶
µ 4
∂4w
∂4w
∂ w
+
2
+
= q.
(2.68)
D
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
Обозначим
∆2 w = ∆(∆w) =
∂2w
∂x2
µ
∂2w ∂2w
+
∂x2
∂y 2
¶
+
∂2
∂y 2
µ
∂2w ∂2w
+
∂x2
∂y 2
¶
.
Тогда уравнение (2.68) примет вид:
D∆2 w = q
(2.69).
Это уравнение называют уравнением Софи Жермен.
Уравнение свободных колебаний прямоугольной пластины получим заменой статической нагрузки q инерционной нагрузкой:
D∆2 w = −ρh
48
∂2w
.
∂t2
(2.70)
Подстановка в (2.70) решение
w(x, y, t) = w(x, y) sin ωt
дает уравнение для определения частот и форм колебаний:
D∆2 w = ρhω 2 w.
(2.71)
Уравнения колебаний и естественные граничные условия можно
получить, используя принцип Гамильтона. Потенциальная и кинетическая энергия пластины определяются по формулам
Z
Z µ 2 ¶
1
∂ w
Π=
(Mx κx + My κy + 2Mxy κxy ) dS, T = ρh
dS,
2 S
∂t2
S
где двойные интегралы берутся по поверхности пластины.
Простейшие граничные условия на крае x = const прямоугольной пластины можно записать в виде таблицы Первое условие слеw=0
Qx +
ϑx =
∂Mxy
=0
∂y
∂w
=0
∂x
Mx = 0
дует выбрать из левого столбца, а второе — из правого столбца.
Всего имеется 4 варианта граничных условий.
Наиболее часто встречаются следующие 3 варианта:
∂w
=0
∂x
w = Mx = 0
w=
заделка,
шарнирный край,
∂Mxy
Mx = Qx +
=0
∂y
свободный край.
Ввиду того, что на³шарнирном´ крае w = 0 и, следовательно,
∂2w
∂2w
∂2w
∂y 2 = 0, а Mx = D ∂x2 + ν ∂y 2 , условия шарнирного опирания
принимают вид:
∂2w
w=
= 0.
∂x2
С условиями свободного края связан известный парадокс. С одной стороны на свободном крае, казалось бы, должны быть равны
49
нулю все усилия и моменты: Mx = Mxy = Qx . Именно так и предложил записывать граничные условия на свободном крае пластины
Пуассон. С другой стороны уравнение изгиба пластины имеет 4-й
порядок, поэтому его решение может удовлетворять только двум
граничным условиям на одном крае. Рассмотрев равновесие краевого элемента пластины, Кирхгофф исправил ошибку Пуассона и
получил два приведенные выше граничные условия на свободном
крае. Условия свободного края являются естественными граничными условиями и могут быть выведены также из принципа Гамильтона.
Таблица граничных условий на крае y = const получена заменой
w=0
Qy +
ϑy =
∂Mxy
=0
∂x
∂w
=0
∂y
My = 0
x на y и y на x в условиях на крае x = const. Условия шарниного
опирания края y = const имеют вид
w=
∂2w
= 0.
∂y 2
Рассмотрим прямоугольную пластину, все края которой шарнирно закреплены:
w=
∂2w
= 0,
∂x2
x = 0,
x = b,
w=
∂2w
= 0,
∂y 2
y = 0,
y = c.
Удовлетворяющее граничным условиям решение
w = sin
πmx
πny
sin
,
b
c
m, n = 1, 2, . . .
подставим в уравнение (2.71). Получим:
s µ
s
¶
µ 2
¶
2
2
D
m
n
E
m
n2
2
2
+ 2 = hπ
+ 2 .
ω=π
ρh b2
c
12(1 − ν 2 )ρ b2
c
Частоты колебаний пластины пропорциональны ее толщине h.
50
Формы колебаний пластины совпадают с формами колебаний
прямоугольной мембраны, поэтому расположение узловых линий
на пластине будем таким же, как на мембране (см. рис. 20). Как и
квадратная мембрана, квадратная пластина имеет кратные частоты.
Пусть шарнирно закреплены два края пластины, параллельные
оси x:
∂2w
w=
= 0, y = 0, y = c.
∂y 2
Решение будем искать в виде:
w(x, y) = w(x) sin
πn
y.
c
Подстановка этого решeния в уравнение (2.71) дает обыкновенное
дифференциальное уравнение
³ πn ´2 d2 w ³ πn ´4
d4 w
ρhω 2
+
2
+
w
=
w
dx4
c
dx2
c
D
для определения w(x). Полученное уравнение аналогично уравнению колебаний балки, находящейся под действием продольной силы. Если края пластины x = 0, x = b заделаны, то граничные
условия w = w0 = 0, x = 0, x = b для функции w(x) соответствуют
жестко заделанным концам балки.
Аналогичное решение может быть найдено в случае, когда шарнирно закреплены два края пластины, параллельные оси y. Для
других вариантов граничных условий задача о колебаниях прямоугольной пластины аналитических решений не имеет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., 1967.
2. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., 1976.
3. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., 1977.
51
Оглавление
2 Колебания упругих тел
2.1. Уравнения колебаний . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Принцип Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Частоты и формы продольных
колебаний стержня . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Свободные продольные колебания стержня . .
2.5. Вынужденные продольные колебания стержня
2.6. Колебания балки . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Функции Крылова . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Влияние продольной силы на колебания балки
2.9. Колебания мембраны . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Колебания круглой мембраны . . . . . . . . . .
2.11. Колебания прямоугольной пластины . . . . . .
52
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
8
13
17
20
24
30
35
38
42
46