Лабораторная работа 2.15 ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Лабораторная работа 2.15
ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА
Цель работы: экспериментальное и теоретическое
исследование изменения величины индукции магнитного поля
вдоль оси соленоида.
Задание: по экспериментальным данным, полученным с
помощью баллистического метода, рассчитать распределение
индукции магнитного поля вдоль оси соленоида. Получить
теоретические значения индукции магнитного поля на оси
соленоида, пользуясь законом Био-Савара-Лапласа. Сравнить (на
графике) экспериментальные и теоретические значения
величины индукции магнитного поля (вдоль оси соленоида).
Подготовка к выполнению работы: изучить закон БиоСавара-Лапласа
и
теорему
о
циркуляции
вектора
→
B,
→
позволяющие провести расчеты значения вектора индукции B
магнитных полей, создаваемых проводником с током различной
конфигурации. Изучить метод измерения индукции
магнитного поля, предложенный А. Г. Столетовым.
→
B
Библиографический список
1. Савельев И. В. Курс общей физики.-М.:Наука, 1987.-т.2,
§§ 42, 47, 49, 50, 61, 62.
Контрольные вопросы
1. Как формулируется закон Био-Савара-Лапласа?
2. Как применяется закон Био-Савара-Лапласа для расчета
→
вектора B на оси кругового тока?
3. Как применяется закон Био-Савара-Лапласа для расчета
→
вектора B в случае прямого тока?
4. Как применяется закон Био-Савара-Лапласа для расчета
→
вектора B на оси соленоида?
→
5. Как формулируется теорема о циркуляции вектора B ?
→
6. Как применяется теорема о циркуляции вектора B
расчета поля соленоида?
для
→
7. Чему равно значение вектора B в середине и на концах
соленоида (соленоид конечной длины)?
→
8. Как определить направление вектора B на оси соленоида?
9. Как формулируется закон электромагнитной индукции (закон
Фарадея-Максвелла-Ленца)?
10. Как применить закон электромагнитной индукции к расчету
количества электричества, прошедшего через рамку?
11. В чем заключается баллистический метод измерения
индукции А. Г. Столетова?
Описание аппаратуры и метода измерений
Магнитное поле на оси соленоида можно рассчитать
следующим образом: если выделить малый участок dl длины
соленоида, то на него придется ndl витков (n - число витков на
N
, где N - общее число витков, L единицу длины, равное
L
длина соленоида); обозначая силу тока в каждом витке через I ,
можно участок dl соленоида рассматривать как круговой ток
силы Indl . Индукция магнитного поля в некоторой точке A на
оси соленоида, создаваемая этим участком согласно закону БиоСавара-Лапласа, равна
InR 2
dl ,
dBl = μ 0
(1)
2( R 2 + l 2 ) 3 / 2
где l- расстояние по оси от участка dl до точки А; R - радиус
витка (рис.1 а).
Вводя в рассмотрение угол β между положительным
направлением оси соленоида (положительное направление оси
соленоида связано с направлением тока в соленоиде правилом
правого буравчика) и радиус-вектором, проведенным из
рассматриваемой точки к участку dl (см. рис. 1 а), получим
l = Rctgβ ,
откуда
dl = −
dβ
R.
sin 2 β
Кроме того,
2
2
R +l =
R2
2
sin β
.
Подставляя dl и ( R 2 + l 2 ) в (1), получим
μ In sin βdβ
.
dBl = − 0
2
Вектор индукции в точке А от всех элементов направлен
вдоль оси токов, поэтому для получения результирующего
значения индукции B в точке А надо проинтегрировать
полученное выражение по всем значениям β
μ In β
μ In
(2)
Bl = − 0 ∫β 1 sin βdβ = 0 (cos β1 − cos β 2 ) .
2
2
2
Для магнитного поля внутри соленоида (см. рис. 1б) вместо
угла β2 удобно ввести угол β3, определяемый соотношением
β3=π-β2 тогда формула (2) принимает следующий вид:
μ In
(3)
Bl = 0 (cos β1 + cos β 3 ) .
2
Для точки, находящейся у конца соленоида, индукция считается
μ In
по формуле B = 0 cos β 1 , если положить один из углов,
2
например β 3 , равным π / 2 . Для бесконечно длинного соленоида
имеем β 1 = 0 , β 2 = π , откуда индукция магнитного поля внутри
соленоида
B = μ 0 nI .
Для всякого конечного соленоида индукция магнитного
поля будет меньше, чем для бесконечно длинного. В этом случае
наибольшее значение индукции будет в точке, равноудаленной
от концов соленоида. Направлена индукция магнитного поля
вдоль оси соленоида согласно правилу правого буравчика так,
что, глядя вдоль направления индукции, мы видим точки витков,
идущие по часовой стрелке.
dl
а)
β2
О
β1
β
D
А
О′
R
L
б)
О
β3
β2
β1
О′
А
Рис.1
Для экспериментального исследования кривой индукции в
данной работе используется предложенный А. Г. Столетовым
баллистический метод.
Рассмотрим баллистический метод и принцип действия
баллистического гальванометра.
Сущность баллистического метода измерения индукции
магнитного поля заключается в следующем: баллистический
гальванометр включается в цепь измерительной катушки (U )
(рис. 2), помещаемой в магнитное поле, индукция которого
подлежит измерению. (Размер катушки определяется степенью
неоднородности поля. Чем неоднороднее поле, тем меньше
должны быть размеры катушки.) Отброс баллистического
гальванометра пропорционален заряду, протекающему через
рамку гальванометра, если время протекания заряда мало по
сравнению с периодом собственных колебаний подвижной
системы гальванометра. Поскольку в измерительной катушке,
соединенной с гальванометром, достаточно быстро изменится
магнитный поток, то отброс баллистического гальванометра
пропорционален изменению магнитного потока, пересекающего
витки измерительной катушки. Быстрое изменение магнитного
потока получают, производя изменение направления тока в
соленоиде на обратное (коммутацию тока). При коммутации тока
индукция магнитного поля меняет направление на обратное.
Изменение
магнитного
поля
соленоида
приводит
к
возникновению ЭДС самоиндукции и индукционного тока,
создающего магнитное поле, препятствующее образованию
потока через измерительную катушку. Внешнее сопротивление,
включенное в цепь, вызывает уменьшение индукционного тока.
В результате индукция магнитного поля меняется от + B до − B ,
при этом суммарный поток, пересекающий витки измерительной
катушки, равен 2Φ , где
(4)
Φ = BSN .
Заряд,
протекающий
через
рамку
гальванометра,
пропорционален изменению магнитного потока, пересекающего
витки измерительной катушки
2Φ 2 BSN
(5)
Q=
=
,
R
R
где R-сопротивление цепи измерительной катушки, S - площадь
одного витка измерительной катушки.
Баллистический гальванометр представляет собой особую
разновидность гальванометра магнитоэлектрической системы,
конструктивно отличаясь от обычного искусственным
увеличением момента инерции подвижной системы. Он
применяется для измерения количества электричества (заряда),
протекающего по цепи за промежуток времени, малый по
сравнению с периодом собственных колебаний подвижной
системы гальванометра. Кратковременные токи возникают в
цепях при разрядке конденсатора, быстром изменении
магнитного потока и т.д.
При протекании тока через рамку гальванометра ее
движение в общем случае описывается уравнением
d 2α
dα
K
+P
+ Dα = BNSI ,
(6)
2
dt
dt
α - угол отклонения рамки;
K - момент инерции подвижной системы;
BNSI - момент сил, вызывающих движение рамки;
Dα - момент сил кручения рамки подвеса;
dα
- момент сил, тормозящих движение рамки,
P
dt
где P = P1 + P2 , P1 - коэффициент торможения вследствие трения
о воздух, P2 - коэффициент электромагнитного торможения,
являющегося следствием того, что в рамке во время движения
индуцируется ЭДС.
Рассмотрим частные случаи решения уравнения (6). В
отсутствии подведенного тока (разомкнутая рамка) и когда
можно пренебречь трением рамки о воздух, угловая частота
свободных колебаний
D
ω02 = .
K
Для замкнутой рамки
D
P2
2
ω = −
K 4K 2
и колебания рамки (если ток к ней не подведен, но она была
выведена из положения равновесия) будут происходить по
закону
P
α = α 0e − μt sin(ωt + ϕ ) , где μ =
.
2K
dα
= 0 ) будет включен ток
dt
движение рамки можно описать
Если же в покоящуюся рамку (α = 0 ;
постоянной силы, то
выражением:
2
2
⎡
ω ⎤
− μt μ + ω
α = α k ⎢1 − e
sin(ωt + arctg )⎥ ,
2
μ ⎥⎦
ω
⎢⎣
BNSI
- установившееся отклонение рамки
где α K =
D
гальванометра при прохождении по ней тока I .
Если у гальванометра
P 2 = 4 KD ,
(7)
то ω равно нулю, и поворот рамки на угол α совершается
апериодически, т. е. рамка поворачивается и подходит
асимптотически к положению равновесия, не переходя его.
Гальванометр, у которого подобрано указанное равенство (7),
называется критически успокоенным, причем этого удобнее
всего достигнуть, изменяя величину тока внешнего
сопротивления R , на которое замкнута обмотка рамки. Близкий к
критическому режим работы гальванометра и является
практически наиболее удобным для измерений, т. к.
обеспечивает минимальное время подхода подвижной системы
гальванометра к положению равновесия. Увеличивая трение, т. е.
уменьшая сопротивление R внешней цепи гальванометра так,
чтобы P 2 стало больше 4 KD , мы заставим поворачиваться
рамку гальванометра тоже апериодически, но с меньшей
скоростью.
В
этом
случае
гальванометр
называют
переуспокоенным. Если P 2 < 4 KD , то движение рамки
происходит периодически (колебательно).
Период колебаний рамки равен
2π
T=
.
2
D
P
−
K 4K 2
При P ≈ 0 , чего можно достигнуть, заставляя работать
гальванометр при разомкнутой цепи рамки, период колебания
подвижной системы
K
.
T0 = 2π
D
Из всего изложенного следует, что характер движения
рамки (при неизменных K и D ) изменяется в широких пределах
от периодического с малым затуханием до апериодического,
причем тот или иной режим движения рамки достигается в
основном регулированием постоянной электромагнитного
торможения P2 , а последняя зависит от сопротивления внешней
цепи, в которую включена обмотка рамки прибора. На этом
основан способ быстрого успокоения колебаний рамки
(демпфирование). Достаточно ее обмотку замкнуть накоротко в
тот момент, когда она в процессе колебаний проходит через
положение покоя (нуля), чтобы она быстро остановилась.
Движение рамки гальванометра за время t < τ , где τ - время
протекания тока, описывается уравнением
d 2α
K 2 = BNSI ,
(8)
dt
т. к. первоначально рамка была неподвижна и за время τ не
успевает выйти из положения равновесия.
Проинтегрируем правую и левую части уравнения (8) по
времени. В результате получим:
dα
(9)
K
= BNSQ ,
dt
где Q - полный заряд, протекший через гальванометр. После
окончания протекания тока рамка приобретает кинетическую
энергию, равную
2
1 ⎛ dα ⎞
(10)
EK = K⎜
⎟ .
2 ⎝ dt ⎠
Эта энергия затрачивается на закручивание рамки на угол α и
равна совершенной при этом работе
Dα 02
α0
A = ∫0 Dαdα =
,
(11)
2
где Dα - момент сил кручения при угле поворота α
2
Dα 02
1 ⎛ dα ⎞
.
(12)
K⎜
⎟ =
2 ⎝ dt ⎠
2
Рамка начинает свое движение только после протекания тока, и
движение рамки в период t > τ описывается однородным
уравнением вида
d 2α
dα
K 2 +P
+ Dα = 0 .
dt
dt
Учитывая (9), (12), получаем момент инерции баллистического
гальванометра
B 2 N 2 S 2Q 2
.
K=
2
Dα 0
Период свободных колебаний разомкнутой рамки равен
T02 D
K
, откуда K =
.
(15)
T0 = 2π
2
D
4π
Приравняв (14) и (15), получаем, что при условии отсутствия
торможения ( P = 0 )
T Dα 0 T0
Cα 0 = C ′α 0 ,
Q= 0
=
(16)
2πBNS 2π
где С - динамическая постоянная гальванометра,
CT
C ′ = 0 - баллистическая постоянная гальванометра.
2π
Подставив (16) в (5), имеем
C ′α 0 R
,
(17)
B=
2 SN
где C ′ - баллистическая постоянная гальванометра, α 0 - первый
отброс.
Обозначив
C ′R
= C∗,
2 SN
получим
B = C ∗α 0 .
(18)
C ∗ - имеет размерность Тл/дел и указана на установке.
На рис. 2 представлена схема установки.
А
К
В-24М
И
L
R
G
Рис.2
Схема состоит из соленоида, в который вставляется
стержень L с намотанной на него измерительной катушкой И.
Цепь соленоида включает выпрямитель В-24М, амперметр А,
переключатель К. Измерительная катушка И замкнута на
баллистический гальванометр G.
Порядок выполнения работы
1. Включив установку, собранную по схеме, представленной на
рис. 2, устанавливают определенное значение силы тока через
соленоид (в соответствии с заданием преподавателя).
2. Передвигают стержень L, а вместе с ним измерительную
катушку И, вдоль оси соленоида из крайнего левого в крайнее
правое положение и через каждый сантиметр (для этого на
стержне сделаны отметки) фиксируют отброс гальванометра в
момент изменения тока в цепи соленоида. Для изменения
направления тока на противоположное
воспользоваться ключом К.
необходимо
Обработка результатов
1. Рассчитывают теоретическое значение индукции магнитного
поля Bтеор для исследуемого соленоида по формулам (2), (3).
Для этого необходимо, зная параметры соленоида (длина
соленоида и его радиус), вычислить значения углов и
косинусов этих углов для ряда точек вдоль оси соленоида.
Полученные результаты заносят в табл. 1.
Таблица 1
x, см
cos β1
cos β 3
cos β 1 + cos β 3
B теор , Тл
2. По данным измерений отбросов гальванометра рассчитывают
экспериментальные значения индукции магнитного поля Bэксп
вдоль оси соленоида, используя формулу (18). Полученные
данные заносят в табл. 2.
Таблица 2.
x, см
α 0 , дел
Bэксп , Тл
3. Строят на одном графике теоретическое и экспериментальное
распределение величины индукции магнитного поля вдоль оси
соленоида.
4. Сравнивают
в
пределах
погрешностей
измерений
экспериментальные и теоретические значения индукции
магнитного поля соленоида.