Метод координат в пространстве (вычисление углов и расстояний)

Метод координат в пространстве (вычисление углов и расстояний)
НЕОБХОДИМЫЕ ЗНАНИЯ И УМЕНИЯ:
1. Уметь удачным образом вводить прямоугольную декартову систему координат в пространстве (ПДСК)
2. Уметь записывать координаты точек во введённой ПДСК
3. Уметь находить координаты вектора, зная координаты его начала и конца (если А(x1; y1; z1) и В(x2; y2; z2) то
4. Уметь находить длину вектора (если
АВ (x; y; z), то | АВ | =
АВ (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1) )
x2  y 2  z2 )
a и b (если a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2), то a b = x1  x2 + y1  y2 + z1  z2)
a b , α = arccos ( a b ) )
6. Уметь находить косинус угла между векторами и сам угол (cosα 
|a | |b|
|a | |b|
5. Уметь находить скалярное произведение векторов
7. Уметь сопоставлять найденный угол между векторами с углом между соответствующими прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями.
8. Знать общий вид уравнения плоскости и координаты вектора нормали к плоскости (если α: Ax + By + Cz + D = 0, то n (A; B; C) )
9. Уметь записывать уравнение плоскости по трём точкам, через которые она проходит, решая соответствующую систему уравнений.
10. Знать, какой вид имеет уравнение плоскости: а) проходящей через начало координат б) параллельной координатной оси в) параллельной
координатной плоскости
10. Знать формулу, задающую расстояние от точки А(x0; y0; z0) до плоскости α: Ax + By + Cz + D = 0 ( r(A; α) = | Ax0  By0  Cz0  D | )
A2  B 2  C 2
11. Уметь задачи о вычислении расстояний: а) от прямой до плоскости б) между параллельными плоскостями в) между скрещивающимися
прямыми сводить к основной задаче вычисления расстояния от точки до плоскости.
Задача 1. Вычисление угла между двумя прямыми в пространстве.
В пространстве даны две прямые АВ и CD (пересекающиеся, скрещивающиеся или параллельные). Найти угол между ними.
Решение:
1) введём прямоугольную декартову систему координат в пространстве (ПДСК).
2) запишем координаты точек А, В, C, D во введённой системе координат.
3) найдём координаты векторов АВ и CD .
4) найдём длины векторов АВ и CD и их скалярное произведение.
5) найдём косинус угла между АВ и CD (пусть он равен t, t  [-1;1] )
6) косинус угла между прямыми АВ и CD равен |t|, тогда∟(АВ;CD) = arccos |t|
Задача 2. Вычисление угла между прямой и плоскостью в пространстве.
В пространстве даны две прямая АВ и плоскость MNK, которую она пересекает. Найти угол между ними.
Решение:
1) введём прямоугольную декартову систему координат в пространстве (ПДСК).
2) запишем координаты точек А и В во введённой системе координат.
3) найдём координаты вектора АВ
4) запишем уравнение плоскости MNK
5) найдём координаты вектора n - вектора нормали к плоскости MNK
6) найдём косинус угла между АВ и n (пусть он равен t, t  [-1;1] )
7) синус угла между прямой АВ и плоскостью MNK равен |t|, тогда ∟(АВ; MNK) = arcsin |t|
Задача 3. Вычисление угла между двумя плоскостями в пространстве.
В пространстве даны плоскость АВС и плоскость MNK. Найти угол между ними.
Решение:
1) введём прямоугольную декартову систему координат в пространстве (ПДСК).
2) запишем уравнение плоскости АВС
3) запишем уравнение плоскости MNK
4) найдём координаты вектора n1 - вектора нормали к плоскости АВС
5) найдём координаты вектора n2 - вектора нормали к плоскости MNK
6) найдём косинус угла между n1 и n2 (пусть он равен t, t  [-1;1] )
7) косинус угла между плоскостями АВС и MNK равен |t|, тогда ∟(АВС; MNK) = arccos
Задача 4. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
В пространстве даны точка S и плоскость MNK. Найти расстояние от точки S до плоскости MNK.
Решение:
1) введём прямоугольную декартову систему координат в пространстве (ПДСК).
2) запишем координаты точки S во введённой системе координат (пусть координаты S(x0; y0; z0) )
3) запишем уравнение плоскости MNK (оно будет иметь вид Ax + By + Cz + D = 0)
4) Тогда
|t|
r (S; MNK) = | Ax0  By0  Cz0  D |
A2  B 2  C 2
Задача 5. Нахождение расстояния между параллельными прямой и плоскостью.
В пространстве даны прямая АВ и плоскость MNK, АВ || MNK. Найти расстояние между ними.
Решение: возьмём любую точку S на прямой АВ и найдём расстояние от неё до плоскости MNK (см. задачу 4).
Тогда r (AB; MNK)= r (S; MNK)
Задача 6. Нахождение расстояния между параллельными плоскостями.
В пространстве даны две параллельные плоскости АВС и MNK. Найти расстояние между ними.
Решение: возьмём любую точку S в плоскости АВС и найдём расстояние от неё до плоскости MNK (см. задачу 4).
Тогда r (ABC; MNK)= r (S; MNK)
Задача 7. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
В пространстве даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Найти расстояние между ними.
Решение: зафиксируем прямую АВ. Возьмём произвольную точку N на прямой CD и проведём через неё прямую А1В1, параллельную АВ.
Через прямые CD и А1В1 проведём плоскость α. Тогда r (AB; CD) = r (AB; α), причём АВ || α. Таким образом, задача свелась к задаче 5.
ПРИМЕР
Дан куб АВСDА1В1С1D1, АВ = 6. Точки O, O1 H – центры граней куба, Е – центр куба,
точки M, N, К, F, G – середины соответствующих рёбер куба.
Найти: 1) угол между прямыми MF и O1H
2) угол между прямой MF и плоскостью АО1H
3) угол между плоскостью АО1H и плоскостью АА1D1
4) расстояние от точки О до плоскости АО 1H
5) расстояние между скрещивающимися прямыми АН и С1М
Решение: 1)
1. Введём ПДСК в пространстве так, как показано на рисунке
2. Запишем координаты нужных точек во введённой ПДСК
М(0;3;6), F(3;6;0), O1(3;3;6), H(6;3;3), A(0;6;0), O(3;3;0), C1(6;0;6)
3. Найдём координаты векторов MF и O1H : MF (3-0; 6-3; 0-6) = MF (3;3;-6)
O1H (6-3;
3-3; 3-6) = O1H (3; 0; -3)
4. Найдём длины векторов MF и O1H : | MF | = 32  32  (6)2 = 54 = 3 6
| O1H | = 32  02  (3)2 = 18 = 3 2
4)
1. АО1H: x + 3y + z -18 =0, O(3;3;0)
5. Найдём скалярное произведение векторов MF и O1H : MF ∙ O1H = 3∙3+3∙0+(-6) ∙(-3) = 27
6. Найдём косинус угла между векторами MF
27
и O1H : cosα =
=
3 6 3 2
3 = 3
2
12
7. cos ∟(MF; O1H) = | 3 | = 3 , значит ∟(MF; O1H) = 300
2
2
Замечание: данную задачу можно решить и геометрически, если заметить, что угол
между прямыми (скрещивающимися!) MF и O1H равен углу между прямыми MF и ME,
т.е. это угол FME. А его можно найти из одноимённого треугольника по теореме
косинусов, предварительно найдя его стороны. ПРОДЕЛАЙТЕ ЭТО САМОСТОЯТЕЛЬНО!
2)
1. Запишем уравнение плоскости АО1H: A(0;6;0), O1(3;3;6), H(6;3;3)
подставим координаты точек в общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D = 0. Получим
систему уравнений: 6B  D  0

3 A  3B  6C  D  0
6 A  3B  3C  D  0

выразим из первого уравнения В через D и подставим во 2 и 3 уравнение. После
упрощений получим: 6B  D  0

3 A  6C  0,5D  0
6 A  3C  0,5D  0

выразим А через С и D из второго уравнения и подставим в 3 уравнение. После
упрощений окончательно получим: 
1
B   6 D

1

D
A  
18

1

C  
D

18

Подставим найденные значения А, В, С в уравнение плоскости, получим:
- 1 Dx - 1 Dy - 1 z + D = 0. Поделив на D и умножив на (-18) обе части уравнения
18
6
18
3. Найдём косинус угла между векторами MF (3;3;-6) и n (1;3;1).
Получим cosα = 2
66
4. Синус угла между прямой MF и плоскостью АО1H равен
2 ,
66
значит ∟( MF; АО1H) = arcsin 2
66
3)
1. АО1H: x + 3y + z -18 =0,
АА1D1: x = 0 (т.е. 1∙x + 0∙y + 0∙z + 0 = 0)
2. Векторы нормали к данным плоскостям имеют координаты:
n1 (1;3;1), n2 (1;0;0)
3. Найдём косинус угла между векторами n1 и n2 . Получим cosα
1
11
= |1  3  3  3  1  0  ( 18) | =
12  32  12
| 6 |
6
=
11
11
5)
1. Зафиксируем прямую С1М. Через точку А на
прямой АН проведём прямую, параллельную
прямой С1М. Это прямая АК. (докажите, что
АК||С1М, рассмотрев четырёхугольник
АКС1М и доказав, что он – параллелограмм)
2. Тогда С1М || AKH и расстояние между
данными скрещивающимися прямыми АН и
С1М равно расстоянию между прямой С1М и
плоскостью АКН. Таким образом, задача
свелась к Задаче 5.
3. Запишем уравнение плоскости АКН
(сделайте это самостоятельно!)
получим АКН: x + 2y + 0z - 12 = 0
4. r (С1М; АКН) = r (С1; АКН)
C1(6;0;6), АКН: x + 2y + 0z - 12 = 0
r (C1; AKH) =
| Ax0  By0  Cz0  D |
A2  B 2  C 2
=
6
= |1  6  2  0  0  6  ( 12) | = | 6 | =
2
2
2
5
5
1 2 0
Итак, r (АН; С1М) =
6
5
1) Найдите угол между прямыми МН и GK
(двумя способами!)
2) Найдите угол между прямой МН и
плоскостью А1С1К
3) Найдите угол между плоскостями А1С1К
и АВС (двумя способами!)
4) Найдите расстояние от точки В до
плоскости А1С1К
5) Найдите расстояние между
скрещивающимися прямыми DA1 и KF
6*) Найдите расстояние между
скрещивающимися прямыми МН и GK
2. Вектор нормали к плоскости АО1H имеет координаты n (1;3;1)
значит ∟( АО1H; АА1D1) = arccos
A2  B 2  C 2
________________________________________
окончательно получим: АО1H: x + 3y + z -18 =0
4. Косинус угла между данными плоскостями равен
r (O; AO1H) = | Ax0  By0  Cz0  D | =
1 ,
11
=
1
11