РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО

Известия НАН Армении, Физика, т.41, №1, с.56-62 (2006)
УДК 621.3
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
В p-i-n ДИОДЕ
А.Л. ХАЧАТРЯН
Ереванский государственный университет
(Поступила в редакцию 12 января 2005 г.)
Для нахождения распределения электрического потенциала в p-i-n диоде приведено
решение уравнения Пуассона. Представлены зависимости электрического потенциала от
координат и параметров диода.
1. Теория
В наших предыдущих работах [1,2] была представлена комплексная модель p-i-n
солнечных элементов (СЭ) с квантовыми точками. В частности, было показано, что фототок,
генерируемый в СЭ, зависит от электрического поля, сформированного в активной i области
СЭ. Кроме того, большое количество полупроводниковых приборов основаны на базе p-i-n
диода, поэтому важно знать точное значение электрического поля, сформированного в
p-i-n переходе. Исходя из этого, рассмотрим поведение электрического поля в p-i-n диоде,
строение которого изображено на рис.1а. Предположим, что области диода p и n
легированы, соответственно, N a и N d концентрациями акцепторов и доноров,
распределение которых имеет крутой фронт, как показано на рис.1в. Ограничимся
рассмотрением случая высокой температуры, когда все примеси ионизированы, а
концентрации основных носителей в p и n областях равны nn ≈ N d , p p ≈ N a . В состоянии
равновесия уровень химического потенциала в правой и левой частях должен находиться на
одной высоте (рис.1б). В этом случае высота потенциального барьера равна
ϕmax =
(
)
1
µ p − µn ,
e
(1)
где e – заряд электрона, µn и µ p – уровни химического потенциала в областях n и p,
соответственно.
С
другой
стороны,
известно,
что
| µn |= kT ln( N c / nn ),
2
| µ p |= Eg − kT ln( N y / p p ) и Eg = kT ln( N c N v / ni ), где kT – тепловая энергия электронов, Eg
– ширина запрещенной зоны, ni – концентрация свободных носителей собственного
проводника, а N c и N v – плотности состояний электронов и дырок в соответствующих зонах.
Следовательно для потенциального барьера можно написать
56
ϕmax =
kT nn p p
ln 2 ,
e
ni
(2)
что совпадает с выражением для потенциального барьера обычного p-n перехода [3,4].
p
i
n
à)
E
Ec
–µ p
eϕ max
–µ p
EF
EV
0
d
á)
N
Na
x
ϕ max
ρ
â)
x
eNd
d+dp
0
d
x
d
x
ã)
–eNa
ϕ
ϕ max
ä)
0
Рис.1. а) Схематическая диаграмма p-i-n диода, б) энергетическая диаграмма
p-i-n диода, в) распределение акцепторов и доноров, г) распределение
объемного заряда, д) ход потенциала.
Ограничимся рассмотрением случая невырожденного полупроводника,
распределение свободных носителей заряда можно представить следующим образом:
 eϕ ( z ) 
p ( z ) = N a exp  −

kT 

и
 eϕ
− eϕ ( z ) 
n ( z ) = N d exp  − max
,
kT


когда
(3)
где ϕ ( z ) – распределение потенциала в диоде (рис.1д). Поведение ϕ ( z ) определяется из
57
решения уравнения Пуассона
d 2ϕ ( z )
dx
2
=−
ρ (z)
,
εε 0
(4)
где ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника, ε 0 – электрическая постоянная, а
ρ ( z ) – объемный заряд, равный

 eϕ ( z ) 
 −eN a + eN a exp  −
,
kT 



 eϕ ( z ) 
 eϕ max − eϕ ( z ) 

ρ ( z ) = eN a exp  −
 − eN d exp  −
,
kT 
kT





 eϕ
− eϕ ( z ) 
eN d − eN d exp  − max
,

kT


− ∞ < x < 0,
0< x< d,
(5)
d < x < +∞ .
Уравнение Пуассона (4), с учетом выражения (5), решается только численными
методами. Однако, если считать, что область i довольно широкая, то можно показать, что поле
в основном проникает в область i, то есть (eϕ ( z ) / kT ) < 1, когда −∞ < x < 0 и
(eϕ max − eϕ ( z )) / kT < 1, когда d < x < +∞. Учитывая это, значение объемного заряда в областях
p и n можно разложить в ряд и отбросить нелинейные члены ряда. Соответственно, для
выражения (5), получаем
eϕ ( z )

,
 −eN a
kT


 eϕ ( z ) 
 eϕmax − eϕ ( z ) 
ρ ( z ) = eN a exp  −
 − eN d exp  −
,
kT 
kT





eϕ
− eϕ ( z )
eN d max
,
kT

− ∞ < x < 0,
0< x<d,
(6)
d < x < +∞ .
Введем следующие обозначения:
ϕ ( x = 0) = ϕ0 ,
ϕ ( x = d ) = ϕd ,
u = eϕ / kT ,
2
2
2
2
umax = eϕmax / kT , l p = kT εε 0 / e N A и ln = kT εε 0 / e N D , где u – безразмерный потенциал.
Следовательно, уравнение Пуассона в различных областях можно написать в виде
 d 2u p ( z )
1

= up ( z) 2 ,
− ∞ < x < 0,
2
lp
 dz
 2
1
1
 d uI
0< x<d,
 2 = 2 exp uI ( z ) − umax  − 2 exp  −u I ( z )  ,
ln
lp
 dz
 2
 d un = − 1 ( u
d < x < ∞.
max − un ( z ) ) ,
 dz 2
ln2

Решение первого уравнения системы (7) имеет вид
58
(7)
z
 z
u p ( z ) = C1 exp   + C2 exp  −  ,
 l p 
 l p 
(8)
где C1 и C2 – постоянные, которые можно определить из граничных условий:
u p ( −∞ ) = 0
u p ( 0 ) = u0 .
и
(9)
Учитывая граничные условия (9), для выражения (8) получаем
z
u p ( z ) = u0 exp   .
 l p 
(10)
В отличие от обычного p-n перехода, электрический потенциал меняется
экспоненциально. Аналогично (10), для потенциала в облaсти n можно получить:
d − z
un ( z ) = umax − ( umax − ud ) exp 
.
 ln 
(11)
В этом случae граничными условиями являются:
un ( ∞ ) = umax
un ( d ) = ud .
и
(12)
Как видно из (10) и (11), на длинах l p и ln , в областях p и n соответственно,
электрический потенциал уменьшается в e раз. То есть l p и ln являются длинами
экранирования, и они тем меньше, чем больше легирация областей p и n. Уравнение
Пуассона в области i аналитически не решается, поэтому воспользуемся методом
последовательного интегрирования. Умножив обе стороны второго уравнения системы (7) на
2(duI ( z ) / dz ), получаем следующее выражение:
2
1

 du ( z ) 
1
d I
 = 2  2 exp uI ( z ) − umax  − 2 exp  −u I ( z )   duI ( z ) ,
lp
 ln
 dz 

(13)
которое, после интегрирования в области {0, z} с учетом условий ui (0) = u p (0) = u0 и
ui′ ( 0 ) = u ′p (0) = u0 / l p , принимает следующий вид:
2
2
1

 du I ( z )   u0 
1

 −   = 2  2 exp[−umax ] ( exp [ui ( z ) ] − exp[u0 ]) + 2 ( exp[ −ui ( z )] − exp[ −u0 ])  . (14)
lp
 ln
 dz   l p 

Из уравнения (14) можно найти выражение для электрического поля в области i:
 l 2p

duI ( z ) 1
=
u0 2 + 2  2 exp[−umax ](exp[ui ( z )] − exp[u0 ]) + (exp[−ui ( z )] − exp[−u0 ])  . (15)
dz
lp
 ln

Еще раз интегрируя выражение (15) можно получить
Fi ui ( z )  =
z
,
lp
59
(16)
где
Fi ui ( z )  =
ui ( z )
∫
u0
dui
 l p2

u0 2 + 2  2 exp[−umax ] ( exp [ui ] − exp [u0 ]) + ( exp [ −ui ] − exp [ −u0 ] ) 
 ln

.
(17)
Уравнение (16) неявным образом выражает зависимость электрического потенциала
от координат в области i. Ясно, что значения для u0 и ud все еще не известны. Для
нахождения этих значений небходимо учитывать тот факт, что электрический потенциал, а
также его производная должны быть непрерывны в точке z = d , то есть
ui ( d ) = un ( d ) = ud
и
ui′ ( d ) = un′ ( d ) =
umax − ud
ln
.
(18)
Учитывая тот факт, что exp[u0 ] << exp[ud ], уравнения (18) можно переписать следующим
образом:
umax − ud =
ln
lp
 l 2p

u0 2 + 2  2 exp [ud − umax ] − exp [ −u0 ] ,
 ln

d
Fi [ud ] = .
lp
(19)
(20)
Из трансцендентных уравнений (19) и (20) можно вычислить значения u0 и ud .
2. Численный расчет
Для наглядности полученных результатов рассмотрим диод, параметры которого
приведены в табл.1. Соответственно, для характерных параметров диода получаем:
ϕmax = 1.397 эВ, umax = 55.9 и ln = l p = 6 нм.
Табл.1
ni
Na
Nd
Eg
kT
d
ε
3.6·1011
5 · 1023
5 ·1023
1.4
0.025
м–3
м–3
м–3
эВ
эВ
3
13
мкм
м13Решая численными методами уравнения (19) и (20), получа u0 = 0.9 ем ud = 55, и
что и демонстрирует приемлемость линейного приближения. На
рис.2 приведены
зависимости электрического поля и электрического потенциала от координат. Пунктирные
линии соответствуют решению уравнения Пуассона в приближении Шоттки, когда заряд
свободных носителей пренебрегается. Как видно из рисунков, оба решения в середине
облас i ти мало отличаются друг от друга. Однако у границ облас i ти отличия становятся бо-
60
лее заметными, и как видно из рис.2а, электрическое поле у краев намного превышает поле в
середине. Этот факт обусловлен тем, что у границ свободные носители заряда облас i ти
формируют со связанными зарядами областей n и p переходы p-i и i-n. На рис.3 приведено
более масштабное представление этих переходов. Как видно из рисунков, электрический
потенциал у границ имеет ярко выраженную крутую форму, далее он становится более линейным, и в середине облас i ти электрическое поле уже постоянно. Такое поведение
потенциала не проявляется в приближении Шоттки, при котором электрическое поле везде в
облас i ти постоян
0
50
-0.5
-1
40
-1.5
E(z) (106 V/m)
u(z)
30
-2
20
-2.5
-3
10
-3.5
0
0
500
1000
1500
2000
z(nm)
à
2500
3000
0
500
1000
1500
2000
2500
z(nm)
3000
á
Рис.2.
Зависимости
электрического
поля
и электрического потенциала (б) от координат.
u(z)
(а)
u(z)
4
55
3
54
2
53
1
52
0
-20
0
z(nm)
à20
z(nm)
40
60
2940
2960
2980
á 3000
3020
Рис.3. Масштабное представление p-i (а) и i-n (b) переходов.
Работа выполнена в рамках целевой научной программы РА “Полупроводниковая
61
наноэлектроника”. Автор выражает благодарность проф. С.Г.Петросяну, за обсуждение
результатов и за ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. V.Aroutiounian, S.Petrosyan, A.Khachatryan, K.Touryan.
K.Touryan J. Appl. Phys., 89,
89 2268 (2001).
2. V.Aroutiounian, S.Petrosyan, A.Khachatryan.
A.Khachatryan EuroSun2004, The 5th ISES EUROPE SOLAR
CONFERENCE, Freiburg, Germany, 2004, p.69.
3. Г.Е.Пикус.
Пикус. Основы теории полупроводниковых приборов. М., Наука, 1965.
4. С.Зи.
Зи. Физика полупроводниковых приборов, М., Мир, 1984.
ԷԼԵԿՏՐԱԿԱՆ ՊՈՏԵՆՑԻԱԼԻ ԲԱՇԽՈՒՄԸ p-i-n ԴԻՈԴՈՒՄ
Ա Լ. ԽԱՉԱՏՐՅԱՆ
Լուծված է Պուասոնի հավասարումը p-i-n դիոդում էլեկտրական դաշտը գտնելու համար: Ներկայացված է էլեկտրական պոտենցիալի կախվածությունը կոօրդինատից և դիոդի պարամետրերից:
DISTRIBUTION OF THE ELECTRIC POTENTIAL IN A p-i-n DIODE
A.L. KHACHATRYAN
The Poisson equation is solved to find the electric potential distribution in a p-i-n diode. Dependences
of the electric potential on the coordinate and diode parameters are presented.
62