У НТ й Б ри
advertisement
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ БН ТУ Кафедра «Техническая физика» ри й ЭЛЕКТРОСТАТИКА Учебное пособие по физике ит о для студентов дневной и заочной форм обучения Ре по з Электронное учебное издание Минск 2012 УДК С о с т а в и т е л и: В.И. Кудин, В.А. Мартинович ТУ Рецензенты: В.Р. Соболь, зав. кафедрой «Общая и теоретическая физика» БГПУ, доктор физико-математических наук; БН А.А. Баранов, доцент кафедры «Физика» БНТУ ит о ри й В пособии изложены основы электростатики: электрическое поле в вакууме, электрическое поле в веществе, проводники в электрическом поле, электроемкость уединенного проводника и конденсатора, энергия электрического поля. Для проверки усвоения материала приведены контрольные вопросы. Материал изложен в объеме программы курса физики для технического университета и окажет помощь студентам в освоении лекционного курса, на практических занятиях, а также при подготовке к выполнению лабораторных работ физического практикума по данному разделу физики. Ре по з Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017) 292-77-52 факс (017) 292-91-37 Регистрационный № БНТУ/ФИТР47 –59.2012 БНТУ, 2012 Кудин В.И., Мартинович В.А., 2012 2 Содержание Ре по з ит о ри й БН ТУ 1.ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ ..................................................... 4 1.1. Электрические заряды и их взаимодействие.......................................... 4 1.2. Электрическое поле. Напряженность электрического поля................. 5 1.3. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля......... 7 1.4. Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной нити.. 10 1.5. Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости......................................................................................................... 10 1.6. Электрическое поле двух параллельных равномерно заряженных плоскостей....................................................................................................... 11 1.7. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Теорема о циркуляции для электростатического поля ................................................. 12 1.8. Потенциал электростатического поля............................................... 14 1.9. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля ………………………………………………………………………...17 1.10. Действие электрического поля на электрический диполь........... 18 Контрольные вопросы.................................................................................... 19 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ ................................................ 23 2.1. Введение................................................................................................... 23 2.2. Диэлектрики. Поляризация диэлектриков............................................ 23 2.3. Электрическое поле внутри диэлектрика. Вектор электрического смещения ......................................................................................................... 25 2.4. Сегнетоэлектрики.................................................................................... 28 Контрольные вопросы.................................................................................... 31 3. Электроемкость. Энергия электрического поля ........................................ 32 3.1. Равновесие зарядов на проводнике ....................................................... 32 3.2. Проводник во внешнем электрическом поле ....................................... 33 3.3. Электроемкость уединенного проводника ........................................... 34 3.4. Конденсаторы и их электроемкость ...................................................... 35 3.5. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов......... 37 3.6. Энергия заряженного проводника......................................................... 38 3.7. Энергия заряженного конденсатора...................................................... 39 3.8. Энергия электрического поля ................................................................ 41 Контрольные вопросы.................................................................................... 42 ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 44 3 Посвящается памяти Е.П. Кузнецовой ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ ТУ 1.1. Электрические заряды и их взаимодействие ит о ри й БН Электрический заряд является фундаментальным свойством большинства элементарных частиц. Электрические заряды бывают двух видов – положительные и отрицательные. В окружающем нас мире количества положительных и отрицательных зарядов в высокой степени одинаковы. Это необходимо, поскольку одноименные электрические заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Так, согласно электронной теории вещество состоит из положительно заряженных атомных ядер и отрицательно заряженных электронов. Электрический заряд элементарных частиц по абсолютной величине кратен элементарному заряду e = 1,6·10-19 Кл. При этом электрический заряд электрона qe = − e , электрический заряд протона q p = + e . Тогда любой электрический заряд q = ± N e ., где N – число одноименных электрических зарядов, т.е. электрический заряд квантуется. В электрически изолированной системе, т.е. в системе, через границу которой не проходят электрически заряженные частицы, имеет место закон сохранения электрического заряда: Алгебраическая сумма зарядов электрически изолированной системы является постоянной величиной, т.е. сохраняется во времени. N ∑q i =1 i = const . Ре по з Это не означает, что сохраняются в отдельности положительный и отрицательный заряды системы. Например, если в системе имеются фотоны высоких энергий, или такие фотоны попадают через ее границу, то они при взаимодействии с атомами вещества могут породить пару, состоящую из отрицательно заряженного электрона и положительно заряженного позитрона. Возможен и обратный процесс, в котором пара электрон – позитрон исчезает с испусканием фотонов. Подобного рода процессы меняют количества положительного и отрицательного зарядов в системе, однако полный заряд ее сохраняется неизменным. В дальнейшем рассмотрении мы будем иметь дело с частицами низких энергий, для которых такие процессы невозможны. Тогда будет сохраняться не только полный заряд, но также положительный и отрицательный заряды в отдельности. Сначала рассмотрим взаимодействие неподвижных точечных зарядов. Наука, которая занимается изучением взаимодействия неподвижных 4 F= 1 | q1 q2 | , 4πε0 r 2 ТУ зарядов, называется электростатикой. Основной закон электростатики был открыт Кулоном в 1785 г. Он формулируется следующим образом: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает с направлением прямой, соединяющей заряды, и она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы. (1.1) ри й БН где ε0 = 8,85·10-12 Ф/м – электрическая постоянная. Кулон открыл свой закон, измеряя силы притяжения и отталкивания заряженных шариков с помощью крутильных весов, изобретенных им же самим. (опыты Кулона описываются во всех школьных учебниках физики). Точечные заряды в законе Кулона означают, что линейные размеры тел, на которых сосредоточены заряды, пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Закон предполагает, что заряды помещены в абсолютном вакууме. Опытная проверка его производится в воздухе, однако, влияние воздуха на силы взаимодействия очень мало и в большинстве случаев им можно пренебречь. ит о 1.2. Электрическое поле. Напряженность электрического поля Ре по з Взаимодействие между покоящимися электрическими зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд создает в окружающем его пространстве электрическое поле, которое проявляет себя в том, что электрический заряд q0, помещенный в данную точку поля, r оказывается под действием силы F . Силовой характеристикой r электрического поля является напряженность электрического поля E : Напряженность электрического поля равна силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля. r r F E= (1.2) q0 В СИ единицей измерения электрического заряда является кулон – [q] = 1 Кл, но единицей измерения напряженности электрического поля выбран не 1 Н/Кл, а вольт, деленный на метр – [Е] = 1 В/м. Это будет пояснено при дальнейшем изучении электростатики. Рассмотрим электрическое поле неподвижного положительного точечного заряда q (рис. 1.1). Согласно закону Кулона сила, действующая 5 на пробный положительный заряд q0, положение которого задано радиусом r вектором r , равна r F= r 1 q0 q r . 4πε0 r 3 r E= (1.3) Пусть имеется система электрических зарядов q1, q2, q3, . . . qn. Тогда сила, действующая на пробный положительный заряд q0, равна r n r F = ∑ Fi . БН Рис. 1.1. Взаимодействие точечных зарядов. r 1 qr . 4πε0 r 3 ТУ Тогда напряженность электрического поля, создаваемого положительным точечным зарядом в данной точке, определяется формулой: i =1 ри й Отсюда следует принцип суперпозиции электрических полей: r n r E = ∑ Ei . i =1 (1.4) ит о Напряженность электрического поля системы электрических зарядов равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Ре по з На рис. 1.2 приведен пример применения принципа суперпозиции в случае электрического поля двух положительных зарядов. Рис. 1.2. Принцип суперпозиции. Электрическое поле можно наглядно изобразить с помощью силовых r линий вектора напряженности E . r Силовыми линиями вектора напряженности E называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением r r вектора E , а густота линий определяет модуль вектора E .(рис. 1.3). 6 ТУ r БН Рис. 1.3. Силовые линии вектора E . по з ит о ри й r E начинаются на Силовые линии вектора напряженности положительном заряде и заканчиваются на отрицательном заряде. В случае одного положительного заряда силовые линии начинаются на положительном заряде и уходят на бесконечность, а в случае одного отрицательного заряда силовые линии приходят из бесконечности и сходятся на отрицательном заряде (рис. 1.4). r Ре Рис. 1.4. Силовые линии вектора E для а) положительного, и б) отрицательного зарядов. 1.3. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля Понятие потока вектора является одним из важнейших понятий векторного анализа. Оно используется при формулировке важнейших свойств электрического, магнитного и других векторных полей. Первоначально это понятие было введено в гидродинамике, отсюда и происходит присутствие слова «поток», хотя с этим понятием в электричестве и магнетизме не связано никакое реальное течение. 7 ТУ Возьмем в физически бесконечно малом объеме электрического поля площадку dS и будем считать электрическое поле в этом объеме r однородным. Тогда потоком вектора напряженности E через площадку dS называется следующая величина: d Φ = EdS cos α , r r α E где – угол между вектором и единичным вектором нормали n к площадке dS (рис. 1.5). Это выражение можно записать в другом виде: БН d Φ = En dS , ри й r E E = cos α E где n – проекция вектора на нормаль к площадке dS . Рис. 1.5. К определению r Если поверхность S не бесконечно мала, то потока вектора E . при вычислении потока вектора напряженности r E через поверхность S эту поверхность надо условно разбить на бесконечно малые площадки dS , а затем вычислить интеграл по всей поверхности S : Φ = ∫∫ En dS . (1.5) S Ре по з ит о Перейдем теперь к доказательству важной теоремы электростатики – теоремы Остроградского-Гаусса. Она определяет поток вектора r напряженности E электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S . За нормаль к поверхности S примем внешнюю нормаль, т.е. нормаль, направленную наружу. Предположим сначала, что электрическое поле создается одним положительным точечным зарядом q , находящимся внутри поверхности S (рис. 1.6). Рис. 1.6. К выводу теоремы Остроградского-Гаусса. На поверхности S в этом случае напряженность электрического поля определяется выражением E= q . 4πε0 r 2 (1.6) Для того чтобы вычислить поток r E вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность S , дополнительно возьмем две сферические поверхности S1 и S2 , одна из которых находится внутри поверхности S , а другая – охватывает поверхность снаружи. Поток 8 Φ 2 = ∫∫ En dS = E2 S 2 = S2 ТУ r вектора напряженности E через сферические поверхности S1 и S2 , легко вычисляется, поскольку для сферической поверхности En = E и является постоянной величиной на поверхности сферы. Используя для E выражение (1.6), вычисляем потоки Φ1 и Φ 2 : q q 2 4 r Φ1 = ∫∫ En dS = E1S1 = π = , 1 4πε0 r12 ε0 S1 q q 4π r22 = . 2 ε0 4πε0 r2 Ре по з ит о ри й БН r q , тогда и поток вектора напряженности E ε0 через произвольную замкнутую поверхность S равен q Φ = ∫∫ En dS = , ε0 S Пусть имеется система электрических зарядов q1, q2, q3, . . . qn. Тогда согласно принципу суперпозиции потоки векторов напряженности каждого из зарядов будут складываться алгебраически n 1 n Φ = ∑ Φ i = ∑ qi , ε0 i =1 i =1 т.е. получаем математическую запись теоремы Остроградского-Гаусса: 1 n Φ = ∫∫ En dS = ∑ qi . (1.7) ε 0 i =1 S r Поток вектора напряженности электрического поля E через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную ε0 . Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть использована для вычисления напряженности электрических полей, создаваемых системой электрических зарядов. Однако для расчета электрических полей произвольной системы зарядов этой теоремы недостаточно. Это видно уже из того, что теорема Остроградского-Гаусса есть скалярное соотношение, \а одного скалярного уравнения недостаточно для определения трех неизвестных компонент вектора напряженности Ex , E y , Ez . Необходима известная симметрия задачи, чтобы последняя свелась к решению одного скалярного уравнения. В таких случаях теорема Остроградского-Гаусса может оказаться достаточной для r вычисления вектора E . Приведем примеры. Замечаем, что Φ1 = Φ 2 = 9 1.4. Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной нити ит о ри й БН ТУ Заряженную нить можно считать бесконечной, если расстояние до точек, в которых вычисляется напряженность электрического поля, намного меньше длины нити. Величина заряда на бесконечной заряженной нити задается линейной плотностью заряда τ = dq dl . т.е. зарядом, приходящимся на единицу длину нити. По предположению линейная плотность заряда на заряженной нити постоянна. В виду осевой симметрии r вектор напряженности E направлен радиально – к линии или от нее, в r зависимости от знака заряда. В виду той же симметрии длина вектора E может зависеть только от расстояния до нити r . Поскольку теорема Остроградского-Гаусса имеет место для произвольной замкнутой поверхности, то в случае данной задачи выберем цилиндрическую поверхность. При этом ось цилиндра совпадает с нитью, радиус цилиндра равен r , и длину цилиндра выберем равной l (рис. 1.7). На боковой поверхности En = E и является постоянной величиной, а для оснований цилиндра En = 0 . В этом случае r легко вычислить поток вектора E через данную поверхность: Φ = ∫∫ En dS = E Sбок = E 2π r l . S по з По теореме этот поток равен Ре Рис. 1.7. Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной нити. Остроградского-Гаусса q τl = . ε0 ε0 Сравнивая оба выражения, получаем формулу для напряженности электрического поля бесконечной равномерно заряженной нити: |τ| E= . (1.8) 2πε0 r Φ= 1.5. Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости В случае бесконечной заряженной плоскости величина заряда задается поверхностной плотностью заряда σ = dq dS . т.е. зарядом, приходящимся на единицу площади поверхности. В виду симметрии r вектор E должен быть перпендикулярным к этой плоскости. Он направлен 10 БН ТУ от плоскости, если она заряжена положительно, и к плоскости, если ее r заряд отрицательный. В виду той же симметрии длина вектора E может зависеть только от расстояния до заряженной плоскости, но не может зависеть от того, по какую сторону от нее находится точка наблюдения. В качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр с основаниями, симметрично расположенными по разные стороны плоскости, и с образующими, перпендикулярными к ней (рис. 1.8). Если S – площадь r каждого из оснований, то поток вектора E через одно основание будет r ЕS , а через оба основания 2ЕS . Поток вектора E через боковую r r поверхность цилиндра равен нулю, так на ней векторы E и n взаимно r перпендикулярны. Тогда поток вектора E через всю поверхность цилиндра равен: Φ = 2ES . по з ит о ри й По теореме Остроградского-Гаусса этот поток равен q σS Φ= = . ε0 ε0 Сравнивая оба выражения, получаем формулу для напряженности электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости: |σ| E= . (1.9) 2ε 0 Рис. 1.8. Электрическое поле Таким образом, напряженности бесконечной равномерно электрического поля бесконечной заряженной плоскости. равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до нее. Плоскость может считаться бесконечной, если расстояние от нее пренебрежимо мало по сравнению с ее размерами. r E Только на таких расстояниях не зависит от расстояния до плоскости. 1.6. Электрическое поле двух параллельных равномерно заряженных плоскостей Ре Пусть на двух параллельных плоскостях находятся разноименные заряды с одинаковыми по величине поверхностными плотностями зарядов r r +σ и −σ . Напряженности E1 и E2 электрических полей, создаваемых каждой из заряженных плоскостей в отдельности, будут равны по величине, но противоположно направлены (рис. 1.9). 11 ТУ Рис. 1.9. Электрическое поле двух разноименно заряженных плоскостей. по з ит о ри й БН r r E E Между плоскостями направления векторов 1 и 2 совпадают и при их сложении получаем |σ| E = E1 + E2 = . ε0 r В пространстве вне плоскостей направления векторов E1 и r r E2 противоположны, и результирующая напряженность E электрического поля равна нулю, т.е. все электрическое поле в данном случае сосредоточено между заряженными плоскостями. На этом принципе построены электрические конденсаторы. Если на двух параллельных плоскостях находятся одноименные r r заряды, то между плоскостями векторы E1 и E2 направлены в r противоположные стороны, и результирующая напряженность E электрического поля равна нулю, т.е. в этом случае электрическое поле вне пластин отлично от нуля, и его напряженность равна: |σ| E = E1 + E2 = . ε0 Ре 1.7. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Теорема о циркуляции для электростатического поля Пусть неподвижный положительный точечный заряд q создает в окружающем пространстве электрическое поле с напряженностью r E= r 1 qr , 4πε0 r 3 и пусть в этом поле перемещается пробный точечный заряд q0 , переходя из начального положения 1 в конечное положение 2 по траектории 1-2 (рис. 1.11). 12 Работа, совершаемая электрическим полем при таком перемещении, выражается криволинейным интегралом r r r r q0 q rdr A12 = ∫ q0 Edr = . 4πε0 12∫ r 3 12 r r rdr = rdr , убедиться, r r 2 = r2 . Поэтому интегралу криволинейный интеграл чем дифференцируя сводится r можно к тождество определенному БН Рис. 1.11. К вычислению работы, совершаемой электрическим полем. в ТУ Но q q 2 dr qq qq A12 = 0 ∫ 2 = 0 − 0 , 4πε0 r1 r 4πε0 r1 4πε0 r2 2 (1.10) ит о ри й т.е. работу по перемещению заряда q0 в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 можно представить, как разность значений функции W в точках 1 и 2: A12 = W1 − W2 . Отсюда видно, что работа не зависит от формы траектории движения заряда q0 , и как следствие, работа по перемещению электрического заряда в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю: v r A = ∫ Fdl = 0 . (1.11) L Ре по з В случае единичного положительного заряда работа по его перемещению в электрическом поле по замкнутому пути сводится к r r криволинейному интегралу ∫ Еdl . Такой интеграл называется циркуляцией L r вектора E по замкнутому контуру L (рис. 1.12). Рис. 1.12. К определению r Тогда согласно выражению (1.11) имеет место теорема о циркуляции для электростатического поля: r r Е (1.12) ∫L dl = 0 . r E Циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L в электростатическом поле равна нулю. циркуляции вектора E . 13 1.8. Потенциал электростатического поля Ре по з ит о ри й БН ТУ Выражение для работы по перемещению заряда в электрическом поле A12 = W1 − W2 имеет место в случае произвольного электростатического поля, а функция W = W ( x, y, z ) представляет собой потенциальную энергию, которой обладает заряд q0 , помещенный в данную точку поля. Энергетической характеристикой электростатического поля в данной точке поля является потенциал электростатического поля ϕ : W ϕ= . (1.13) q0 Потенциал электростатического поля ϕ равен потенциальной энергии, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля. В СИ единицей измерения потенциала электростатического поля 1 Дж является 1 вольт: [ ϕ] = 1 В = . 1 Кл Как видно из выражения (1.10) для работы по перемещению заряда q0 в электрическом поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом q , потенциал электрического поля точечного заряда равен: q ϕ= . (1.14) 4πε0 r В случае электростатического поля, создаваемого системой электрических зарядов q1, q2, q3, . . . qn, принцип суперпозиции электрических полей формулируется следующим образом; Потенциал электростатического поля системы электрических зарядов равен алгебраической сумме потенциалов электростатических полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности, т.е. ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕN . Из определения потенциала ϕ электростатического поля (1.13) следует, что потенциальная энергия, которой обладает заряд q0 , помещенный в данную точку поля, равна W = q0 ϕ . Тогда работу по перемещению заряда q0 в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 ,согласно формуле (1.11), можно представить в виде: A12 = W1 − W2 = q0 ( ϕ1 − ϕ2 ) = q0U , (1.15) где величина U = ϕ1 − ϕ2 называется разностью потенциалов между точками 1 и 2 электростатического поля. В соответствии с формулой (1.14) потенциал ϕ электростатического поля на бесконечности полагается равным нулю, и поэтому в учебной 14 ТУ литературе по физике можно встретить другое определение потенциала ϕ , которое следует из (1.15): А ϕ = 1∞ . q0 Потенциал электростатического поля ϕ численно равен работе, которую совершает электростатическое поле при перемещении единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность. БН Однако название этой физической величины «потенциал» уже указывает на то, что более естественно давать определение этой величины через потенциальную энергию электростатического поля. Используя формулу (1.15), можно ввести внесистемную единицу измерения энергии элементарных частиц 1 эВ (электрон-вольт), которая обычно используется в атомной и в ядерной физике. По определению: 1 эВ – это кинетическая энергия, которую получает электрон, ускоренный разностью потенциалов 1В. ит о ри й Так как кинетическая энергия электрона равна работе по перемещению электрона в электрическом поле A = qU , то 1эВ = е ⋅1В = 1, 6 ⋅10−19 Дж . Для наглядного изображения картины электростатического поля r кроме силовых линий вектора напряженности E используются также эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальной поверхностью называется воображаемая поверхность в электростатическом поле, все точки которой имеют одинаковый потенциал ϕ . Ре по з Вследствие этого работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю: dA = q0 ( ϕ1 − ϕ2 ) = 0 . С другой стороны эта работа равна : r r dA = q0 Edl = q0 Edl cos α = 0 , r r α dl Отсюда следует, что угол между векторами E и равен 900, т.е. r вектор напряженности электрического поля E и, следовательно, силовые r E линии вектора всегда перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. Обычно эквипотенциальные поверхности чертят так, что при переходе от одной поверхности к соседней поверхности потенциал получает одно и то же приращение ∆ϕ . Для большей наглядности чертят также силовые линии, которые ортогональны к эквипотенциальным поверхностям. Там, где соседние поверхности наиболее близко подходят друг к другу, 15 БН ТУ напряженность электрического поля максимальна. Наоборот, в местах, где r расстояния между ними велики, напряженность электрического поля E будет мала. На рис. 1.13 и рис. 1.14 с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей изображены некоторые простейшие электростатические поля. Ре по з ит о ри й Рис. 1.13. Электрическое поле а) положительного точечного заряда, б) двух разноименно заряженных плоскостей. Рис. 1.14. Электрическое поле двух разноименно заряженных точечных зарядов. 16 1.9. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля можно вычислить двумя БН Работу способами: ТУ Установим связь между скалярной энергетической характеристикой электростатического поля – потенциалом ϕ и векторной силовой r характеристикой поля - напряженностью E . Для этого возьмем две близко расположенные эквипотенциальные поверхности и вычислим работу по перемещению пробного электрического заряда q0 по кратчайшему расстоянию dl между ними (рис. 1.15). r r r r dA = Fdl = q0 Edl = q0 Edl , dA = q0 ( ϕ1 − ϕ2 ) = −q0 d ϕ . Ре по з ит о ри й Сравнивая эти два выражения, получим Edl = −d ϕ , или Рис. 1.15. К выводу связи dϕ между потенциалом и E=− . (1.16) dl напряженностью электростатического поля. Для того что бы придать этому соотношению векторную форму, поступим следующим образом. Возьмем две близкие точки 1 и 2, расположенные на оси Х. Работа по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую будет равна Eх dх . С другой стороны та же работа равна ϕ1 − ϕ2 = −d ϕ . Приравнивая оба выражения, получим d ϕ = − Eх dх . Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z. В результате получим три соотношения: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Eх = − , E y = − , Ez = − . ∂x ∂y ∂z Их можно объединить в одну векторную формулу: r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r E = − i + j+ k . (1.17) ∂y ∂z ∂x r Так как E есть вектор, то и выражение, стоящее в скобках, есть также вектор. Он называется градиентом скаляра ϕ и обозначается grad ϕ . Если r ввести символический вектор-оператор ∇ (вектор набла): r ∂ r ∂ r ∂ r ∇≡ i + j+ k, ∂x ∂y ∂z 17 БН ТУ то grad ϕ можно рассматривать как произведение вектора-оператора r ∇ на скаляр ϕ , т.е. r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r grad ϕ = ∇ϕ = i+ j+ k. (1.18) ∂x ∂y ∂z Тогда формулу (1.17) связи между потенциалом электростатического поля и напряженностью можно записать короче, а именно r r r Е = − grad ϕ или Е = −∇ϕ . (1.19) Для выяснения геометрического смысла градиента потенциала ϕ r возьмем эквипотенциальную поверхность и проведем вектор нормаль n к r ней в сторону возрастания потенциала ϕ . В данном случае нормаль n показывает направление максимального возрастания функции ϕ ( x, y, z ) . Тогда формула (1.18) переходит в выражение: ∂ϕ r grad ϕ = n. ∂n ит о ри й Таким образом, градиент функции ϕ ( x, y, z ) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длина равна производной функции ϕ в том же направлении. Преимущество этого определения состоит в том, что оно носит инвариантный характер, т.е. никак не связано с выбором системы координат. 1.10. Действие электрического поля на электрический диполь по з Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов + q и − q , расстояние l между которыми намного меньше расстояния r до тех точек, в которых определяется электрическое поле. Прямая линия, проведенная через оба электрических заряда, называется осью диполя. Ре Рассмотрим поведение электрического диполя во внешнем электрическом поле. В случае однородного электрического поля на заряды r r + q и − q , образующие диполь, действуют силы F1 и F2 , равные по величине, но противоположные по направлению (рис. 1.16а). Эти силы образуют пару сил, плечо которой равно l sin α , т. е. зависит от ориентации диполя относительно электрического поля. Модуль каждой из сил равен r r qE . Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил F1 и F2 , действующих на диполь М = qE l sin α . (1.20) 18 ТУ БН Рис. 1.16. Электрический диполь в а) однородном и б) неоднородном электрических полях. ри й Для того чтобы записать выражение для вектора момента пары сил r r r М , введем векторную величину p = q l , называемую электрическим r моментом диполя, где l – вектор проведенный от отрицательного заряда к положительному заряду. Тогда, согласно формуле (1.20), момент сил, действующих на диполь в электрическом поле, будет равен векторному r r произведению векторов p и Е : r r r M = p E . (1.21) ит о Момент сил (1.21) стремится повернуть диполь так, чтобы его r электрический момент p установился по направлению электрического поля. Ре по з Теперь рассмотрим случай неоднородного электрического поля, обладающего симметрией относительно оси Х (рис. 1.16б). Пусть центр диполя лежит на этой оси, причем электрический момент диполя образует r r с осью угол α , отличный от π 2 . В этом случае силы F1 и F2 , действующие на заряды диполя, не одинаковы по величине. Поэтому кроме вращательного момента на диполь будет действовать сила, стремящаяся переместить диполь в направлении оси Х. При угле α < π 2 эта сила будет втягивать диполь в область более сильного поля. При угле α > π 2 диполь будет выталкиваться из электрического поля. Контрольные вопросы 1. Что является носителем электрического заряда? Какие электрические заряды существуют в природе? 19 Ре по з ит о ри й БН ТУ 2. В каких единицах измеряется электрический заряд в СИ? 3. Сформулируйте закон сохранения электрического заряда. 4. Могут ли электрические заряды исчезать и возникать вновь? Если да, то приведите пример. 5. Сформулируйте закон Кулона. Какой формулой выражается закон Кулона? 6. Наименование единицы измерения электрической постоянной в СИ? 7. Сравните силу электростатического кулоновского отталкивания двух протонов с силой их гравитационного притяжения. 8. Как вычислить силу взаимодействия точечных зарядов, образующих электрически изолированную систему зарядов? Приведите пример. 9. Как вычислить силу взаимодействия точечного заряда с зарядом, равномерно распределенным по телу конечных размеров? Приведите пример. 10.Какая физическая величина является силовой характеристикой электрического поля и в каких единицах измеряется эта величина в СИ? 11.Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей. Приведите примеры. 12.Для чего служат силовые линии вектора напряженности электрического поля, как они строятся и как они направлены? Приведите примеры. 13.Чему равна напряженность электростатического поля точечного заряда? 14.Что называется потоком вектора напряжённости электрического поля через поверхность? 15.Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля. Дайте формулировку теоремы. Для чего она служит? 16.Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме полой заряженной металлической сферой радиуса R с зарядом q, в точках, расположенных внутри и вне сферы. 17.Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме равномерно заряженным шаром радиуса R с объемной плотностью заряда ρ, в точках, расположенных внутри и вне шара. 18.Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме бесконечной равномерно заряженной нитью. 19.Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме бесконечной заряженной плоскостью. 20.Электрическое поле создается в вакууме тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине электрический заряд, линейная плотность которого τ > 0. Определить напряженность электрического поля в точке, удаленной от правого конца стержня на расстояние, равное длине стержня l. Точка расположена на продолжении оси стержня. 21.Тонкий стержень согнут в полукольцо радиуса R. Стержень заряжен с линейной плотностью заряда τ > 0. Чему равна напряженность электростатического поля в вакууме в центре кольца? 20 Ре по з ит о ри й БН ТУ 22.Потенциал электростатического поля. Дайте определение. Какой характеристикой электрического поля он является? 23.Дайте определение единицы измерения потенциала электрического поля. 24.Как вычисляется работа по перемещению заряда в электрическом поле? 25.Внесистемная единица измерения энергии 1 эВ. Где эта единица измерения применяется, как 1 эВ связан с единицей 1 Дж? 26.Дайте формулировку теоремы о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля. Как вычисляется циркуляции вектора напряжённости электростатического поля по заданному контуру? 27.Чему равна циркуляция вектора напряженности электрического поля, созданного в вакууме точечным зарядом q, вдоль контура, охватывающего этот заряд? 28.Эквипотенциальные поверхности. Для чего они служат и как строятся? 29.Дайте определение градиента потенциала электростатического поля. Установите связь между напряжённостью электростатического поля и потенциалом. Как направлены вектора напряженности и градиента потенциала этого поля? 30.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля положительного точечного заряда. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 31.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля отрицательного точечного заряда. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 32.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля положительно заряженной металлической сферы. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 33.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля отрицательно заряженной металлической сферы. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 34.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля диполя. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 35.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля бесконечной положительно заряженной нити. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 36.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля бесконечной положительно 21 Ре по з ит о ри й БН ТУ заряженной плоскости. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 37.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля двух параллельных положительно заряженных плоскостей с одинаковой поверхностной плотностью заряда. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 38.Изобразите силовые линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического поля заряженного плоского конденсатора. Укажите направление векторов напряженности и градиента потенциала этого поля. 39.Чему равен потенциал электрического поля, созданного в вакууме полой заряженной металлической сферой радиуса R с зарядом q, в точках, расположенных внутри и вне сферы? 40.Какова разность потенциалов между двумя точками, расположенными в вакууме на расстояниях a и b от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ? 41.Какова разность потенциалов между двумя точками, расположенными в вакууме на расстояниях a и b от бесконечной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда τ? 42.Электрическое поле создается в вакууме тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине электрический заряд, линейная плотность которого τ > 0. Определить потенциал электрического поля в точке, удаленной от правого конца стержня на расстояние, равное длине стержня l. Точка расположена на продолжении оси стержня. 43.Тонкий стержень согнут в полукольцо радиуса R. Стержень заряжен с линейной плотностью заряда τ > 0. Чему равен потенциал электростатического поля в вакууме в центре кольца? 44.Электрон влетает в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имя скорость V , направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами равно d. Длина каждой пластины равна L. Какую наименьшую разность потенциалов ∆ϕ нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? Приложение 1. Электрическое поле в вакууме 22 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2.1. Введение БН ТУ При рассмотрении электрических явлений в веществе очень важно иметь представление о порядке величин сил, действующих между протонами и электронами. Эти силы очень велики по сравнению с гравитационными силами притяжения между теми же частицами. Так, отношение силы электрического взаимодействия к силе гравитационного взаимодействия между протоном и электроном равно примерно 10 42. В обычных условиях столь большие силы не проявляются только потому, что тела электрически нейтральны. Положительные заряды атомных ядер почти полностью скомпенсированы отрицательными зарядами электронов, При электризации тел нарушения такой компенсации ничтожны. ит о ри й При внесении тела в электрическое поле легкие электроны испытывают смещения против поля. Смещения атомных ядер по сравнению с ними пренебрежимо малы. Происходит частичное разделение положительных и отрицательных зарядов. В отдельных местах тела появляются макроскопические заряды различных знаков. Это явление называется электрической индукцией, а появляющиеся в результате этого явления заряды – индукционными зарядами. Индукционные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое накладывается на внешнее электрическое поле. По своим электрическим свойствам вещества делятся на проводники, полупроводники и изоляторы (диэлектрики). Явление электрической индукции для этих типов вещества носит совершенно разный характер. по з 2.2. Диэлектрики. Поляризация диэлектриков Ре Диэлектрики – это вещества, неспособные проводить электрический ток. Однако, если диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле, на его поверхности возникают электрические заряды. Это явление называется поляризацией диэлектрика. Такое название оно получило потому, что на диэлектрике появляются два электрических полюса (плюс и минус). Электрические заряды внутри диэлектрика могут смещаться из своих положений равновесия только на малые расстояния, порядка атомных, поэтому они называются связанными зарядами. Пусть, например, диэлектрик состоит из электрически нейтральных молекул. Под действием приложенного поля центр тяжести электронов в молекуле немного смещается относительно центра тяжести атомных ядер. Молекулы становятся электрическими диполями, ориентированными положительно заряженными концами в направлении электрического поля. Как 23 ТУ показывает опыт, дипольный момент молекулы при этом пропорционален r r p =βε E напряженности электрического поля, т.е. , где β – величина, 0 называемая поляризуемостью молекулы. Внутри диэлектрика положительные и отрицательные заряды диполей скомпенсированы, но при этом на двух противоположных поверхностях диэлектрика появляются положительный и отрицательный заряды, которые не скомпенсированы, т. е. диэлектрик поляризуется. БН Механизм поляризации диэлектрика может быть и иным. Существуют диэлектрики, молекулы которых обладают дипольными моментами уже в отсутствие внешнего электрического поля. Такие молекулы называются полярными молекулами. Если электрического поля нет, то полярные молекулы совершают хаотические тепловые движения и ориентированы совершенно беспорядочно. При наложении электрического поля дипольные моменты молекул ориентируются преимущественно в направлении электрического поля, в результате чего диэлектрик поляризуется. ри й Заметим, что молекулы, которые при отсутствии внешнего электрического поля не обладают дипольными моментами, называются неполярными молекулами. Механизм поляризации диэлектрика с неполярными молекулами уже рассматривался ранее. ит о Степень поляризации диэлектрика характеризуется величиной, которая называется поляризованностью или вектором поляризации: r P= N r ∑p i =1 i Ре по з , (2.1) ∆V где ∆V – макроскопически малый объем вещества, взятый в окрестности r рассматриваемой точки, pi – электрический дипольный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем дипольным моментам молекул, заключенных в объеме ∆V. Опыт показывает, что у изотропных диэлектриков любого типа r r поляризованность Р связана с напряженностью Е электрического поля в той же точке простым соотношением r r P = κ ε0 E , (2.2) r где κ (каппа) – не зависящая от Е , безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика. Для диэлектриков, построенных из неполярных молекул, формула (2.2) вытекает из следующих простых соображений. В пределы объема ∆V попадает количество молекул, равное n∆V , где n – число молекул в 24 единице объема. Каждый из моментов отдельной r r определяется формулой pi =βε0 E . Следовательно, молекулы r pi r r p = n ∆ V βε E . ∑ i 0 N i =1 ТУ Разделив это выражение на ∆V, получим поляризованность r r P = n βε0 E . Наконец, вводя обозначение κ = n β , придем к формуле (2.2). Диэлектрическая восприимчивость κ таких диэлектриков не зависит от температуры. ри й БН В случае диэлектриков, построенных из полярных молекул, ориентирующему действию внешнего поля противится тепловое движение молекул, стремящееся направить их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов молекул в направлении поля. Соответствующий статистический расчет показывает в согласии с опытом, r r Р Е что поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля, т. е. приводит к формуле (2.2). В данном случае κ диэлектрическая восприимчивость обратно пропорциональна абсолютной температуре. ит о 2.3. Электрическое поле внутри диэлектрика. Вектор электрического смещения Ре по з Поместим диэлектрик между пластинами плоского заряженного конденсатора (рис. 2.1). При этом на поверхности диэлектрика, обращенной к положительно заряженной пластине, появляются отрицательные связанные заряды с поверхностной плотностью − σсв , а на поверхности диэлектрика, обращенной к отрицательно заряженной пластине, появляются положительные связанные заряды с поверхностной r плотностью + σсв . Напряженность Е электрического поля внутри диэлектрика равна r r r Е = Е0 + Е1 , (2.3) r где Е0 – напряженность внешнего по отношению к диэлектрику электрического поля, создаваемого зарядами на пластинах конденсатора; r Е1 – напряженность электрического поля, создаваемого связанными зарядами на поверхности диэлектрика. 25 r Е Модуль вектора напряженности 1 электрического поля, создаваемого связанными зарядами, вычисляется следующим образом σсв qсв l P = = , ε 0 ε0 S l ε0 ТУ Е1 = где l – расстояние между пластинами конденсатора, S – площадь пластин конденсатора. При вычислении Е1 используется определение поляризованности (2.1) и учитывается, что суммарный дипольный момент диэлектрика в объеме Sl конденсатора r r равен qсв l . Как видно из рис. 2.1, вектора Е1 и Р направлены в r противоположные стороны, поэтому напряженность Е1 электрического поля, создаваемого связанными зарядами, равна r r P Е1 = − , (2.4) ε0 r Подставляя (2.4) в (2.3), получаем выражение для напряженности Е электрического поля внутри диэлектрика: r r r P Е = Е0 − . (2.5) ε0 ит о ри й БН Рис. 2.1. Электрическое поле внутри диэлектрика. по з Несмотря на то, что, электрическое поле в диэлектрике полностью r определяется поляризованностью P , для описания этого поля удобно ввести другой вектор r r r D = ε0 Е + P , (2.6) который называется вектором электрического смещения. Ре Используя выражение (2.2) для поляризованности диэлектрика r r r P = κ ε0 E , получаем связь между вектором электрического смещения D и r напряженностью Е электрического поля в диэлектрике: r r r r D = ε0 Е + κ ε0 Е = (1 + κ ) ε0 Е . ε = 1 + κ , называемую Если ввести физическую величину диэлектрической проницаемостью диэлектрика, то формула связи между r r векторами D и Е принимает следующий вид: 26 r r D = ε ε0 Е . (2.7) r r r 1 q0 q r 1 qr , E= . 4πε0 ε r 3 4πε0 ε r 3 ри й r F= БН ТУ Как следует из (2.5), напряженность электрического поля в r r r диэлектрической среде меньше чем в вакууме, где Р = 0 и Е = Е0 . r r r r r Подставляя P = κ ε0 E в формулу (2.5), получим Е = Е0 − κ E , откуда r r 1 + κ Е ) = Е0 или следует ( r r Е0 Е= . ε r Таким образом, напряженность электрического поля Е в среде r Е меньше чем напряженность 0 электрического поля в вакууме в ε раз. Поэтому формулы для закона Кулона и для напряженности точечного заряда в среде будут иметь следующий вид: r Согласно соотношению (2.7) вектор электрического смещения D для поля точечного заряда равен ит о r r qr D= . 4π r 3 Ре по з Обратим внимание на то, что в это выражение не входит r диэлектрическая проницаемость ε . Вектор электрического смещения D не будет зависеть от ε и в случае других электрических полей. В этом и r заключается преимущество использования вектора D для описания электрического поля в среде, где имеются области с различной диэлектрической проницаемостью. Силовые линии вектора напряженность на границе таких областей терпят разрыв, в то время как силовые линии r вектора электрического смещения D непрерывны (рис. 2.2). 27 ТУ БН r r Рис. 2.2. Силовые линии а) вектора Е и б) вектора D в среде с двумя областями с различными ε . Теорема Остроградского-Гаусса для потока вектора электрического r смещения D через замкнутую поверхность S записывается в виде: n Φ D = ∫∫ Dn dS = ∑ qi . (2.8) ри й S i =1 2 Как видно из (2.8), в СИ [ Φ D ] = 1 Кл , а [ D ] = 1 Кл м . ит о Теорема Остроградского-Гаусса для потока вектора электрического r r смещения D (2.8), теорема о циркуляции вектора напряженности E (1.12), r r а также формула связи между векторами D и Е (2.7) являются основными уравнениями электростатики. 2.4. Сегнетоэлектрики по з Сегнетоэлектрики – это вещества, которые могут обладать спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью в отсутствие внешнего электрического поля. Свое название они получили от сегнетовой соли, для которой это явление было первоначально открыто. Сегнетоэлектрики обладают рядом характерных свойств, которыми они отличаются от остальных диэлектриков: Ре 1) Диэлектрическая проницаемость ε сегнетоэлектриков бывает очень большая, порядка нескольких тысяч ( ε ≈ 104 ). 2) Зависимость поляризованности P от напряженности Е , т. е. P = f ( Е ) , не является линейной (рис. 2.3а). Следовательно, диэлектрическая проницаемость ε не постоянная величина, а зависит r от напряженности электрического поля Е (рис.2.3б). 28 ТУ БН Рис. 2.3. Зависимость а) поляризованности P б) диэлектрической проницаемости ε от напряженности Е . Ре по з ит о ри й 3) При изменениях электрического поля значения поляризованности P (а следовательно, и электрического смещения D ) отстают от напряженности поля Е , т. е. определяются предшествующими значениями Е . Это явление называется гистерезисом (от греческого «гистерезис – запаздывание). При циклических изменениях поля зависимость P от Е следует изображать кривой, называемой петлей гистерезиса (рис. 2.4). При первоначальном включении поля поляризованность растет с Е в соответствии с ветвью 1 кривой. Уменьшение P происходит по ветви 2. При обращении Е в нуль Pr , сегнетоэлектрик сохраняет значение поляризованности называемое остаточной поляризованностью. Только под действием Ес противоположно направленного поля напряженности поляризованность становится равной нулю. Это значение напряженности называется коэрцитивной силой. При дальнейшем изменении Е получается ветвь 3 петли гистерезиса и т. д. Рис. 2.4. Зависимость P от Е при циклических изменениях поля (петля гистерезиса). 29 Поведение поляризованности сегнетоэлектриков аналогично поведению намагниченности ферромагнетиков. По этой причине сегнетоэлектрики называют иногда ферроэлектриками. БН ТУ Сегнетоэлектриками могут быть только кристаллические вещества, причем такие, у которых отсутствует центр симметрии. Взаимодействие частиц в кристалле сегнетоэлектрика приводит к тому, что их дипольные моменты спонтанно устанавливаются параллельно друг другу. Обычно в кристалле возникают области, в пределах каждой из которых дипольные моменты параллельны друг другу, однако направления поляризации разных областей бывают различными, так что результирующий момент всего кристалла может быть равен нулю. Области спонтанной (самопроизвольной) поляризации называются доменами. Под действием внешнего электрического поля моменты доменов поворачиваются как целое, устанавливаясь по направлению поля. Ре по з ит о ри й Для каждого сегнетоэлектрика имеется температура, при которой вещество утрачивает необычные свойства и становится нормальным диэлектриком. Эта температура называется точкой Кюри. Сегнетова соль имеет две точки Кюри: –15 0С и +22,5 0С, причем она ведет себя как сегнетоэлектрик лишь в температурном интервале, ограниченном указанными значениями. При температуре ниже –15 0С и выше +22,5 0С электрические свойства сегнетовой соли обычны. 30 Контрольные вопросы по з ит о ри й БН ТУ 1. Как ведет себя свободный электрический диполь (полярная молекула) в однородном электростатическом поле? Чему равен вращающий момент, действующий на электрический диполь в электрическом поле? 2. Как ведет себя свободный электрический диполь (полярная молекула) в неоднородном электростатическом поле? Какие силы действуют на электрический диполь в этом случае? 3. Чему равен максимальный вращающий момент, действующий на свободный электрический диполь в электростатическом поле? 4. Явление поляризации диэлектрика. Виды поляризации диэлектрика. 5. Какой физической величиной описывается степень поляризации диэлектрика? Дайте определение этой физической величины. 6. Какая существует связь между векторами электрического смещения и напряженности электрического поля? 7. Получите связь между относительной диэлектрической проницаемостью и относительной диэлектрической восприимчивостью диэлектрика. 8. Как зависит относительная диэлектрическая проницаемость от температуры у неполярных диэлектриков? Изобразите на графике в координатных осях ε = f (1/T ). 9. Как зависит относительная диэлектрическая проницаемость от температуры у полярных диэлектриков? Изобразите на графике в координатных осях ε = f (1/T ). 10.Сегнетоэлектрики и их свойства. Петля гистерезиса. Домены. Применение сегнетоэлектриков. Ре Приложение 2. Электрическое поле в веществе 31 3. Электроемкость. Энергия электрического поля 3.1. Равновесие зарядов на проводнике Для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий: 1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю ТУ → E = 0. → → E = En . БН Это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным ( ϕ = const ). 2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности: по з ит о ри й Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. При равновесии все заряды распределены по поверхности проводника с некоторой плотностью σ. Этот вывод вытекает из того, что одноимённые элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стараются располагаться на наибольшем расстоянии друг от друга. Рассмотрим небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника (рис. 3.1). Поток вектора → электрического смещения D через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри → → проводника E , а значит и D , равно нулю. Вне проводника, в непосредственной близости к нему → Ре напряженность поля E направлена по нормали к поверхности. Поэтому для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра Dn = 0 , а для внешнего основания Dn = D . Следовательно, Рис. 3.1. поток смещения через рассматриваемую Напряженность поверхность равен D dS , где D – величина электрического поля смещения в непосредственной близости к вблизи поверхности поверхности проводника. Внутри цилиндра проводника. содержится сторонний заряд σ dS , где σ – плотность заряда в данном месте поверхности проводника. Применив теорему Остроградского-Гаусса, 32 получим, D dS = σ dS , т.е. D = σ . Отсюда следует, что напряженность поля вблизи поверхности проводника равна E= σ , ε0 ε ри й БН ТУ где ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник. Плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности – она растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно большой бывает плотность зарядов на остриях. Поэтому напряженность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что возникает ионизация молекул газа, окружающего проводник. Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Поэтому такое явление называют истечением заряда с острия. 3.2. Проводник во внешнем электрическом поле При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направлении → Ре по з ит о вектора E , отрицательные – в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами (рис. 3.2.; пунктиром показаны линии напряженности внешнего поля). Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Следовательно, накапливание зарядов у концов проводника приводит к ослаблению в нем поля. Перераспределение носителей заряда происходит до тех пор, пока не будут Рис. 3.2. Проводник во внешнем выполнены условия (1) и (2), т. е. электрическом поле. пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными к его поверхности (см. рис. 3.2). Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности – они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды распределяются по внешней 33 ТУ поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основывается электростатическая защита. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Подобный экран действует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а в виде густой сетки. 3.3. Электроемкость уединенного проводника ри й БН Потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду. Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Соответственно в такое же число раз возрастет работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т. е. потенциал проводника. Таким образом, для уединенного проводника (3.1) q = Cϕ. Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом называется электроемкостью (сокращенно просто емкостью) проводника. Из (3.1) следует, что ит о C= q . ϕ (3.2) Электроемкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Вычислим потенциал заряженного шара радиуса R. Между разностью потенциалов и напряженностью поля существует связь: 2 → → по з ϕ1 − ϕ2 = ∫ E d l . 1 Напряженность поля внутри шара равна нулю, а на поверхности шара и за его пределами напряженность поля определяется формулой E= 1 q . 4π ε 0 ε r 2 (3.3) Ре Поэтому потенциал шара ϕ можно найти, проинтегрировав выражение (3.3) по r от R до ∞ (потенциал на бесконечности полагаем равным нулю): ϕ= ∞ 1 1 q q dr = . 2 ∫ 4πε 0 R ε r 4πε 0 εR (3.4) Сопоставив (3.4) с (3.2), найдем, что емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с проницаемостью ε , равна 34 С = 4πε 0 εR . БН ТУ (3.5) За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Эта единица емкости называется фарадой (Ф). Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиуса 9.109 м, т. е. радиуса, в 1500 раз большего радиуса Земли. Следовательно, фарада – очень большая величина. Поэтому на практике пользуются единицами, равными долям фарады: миллифарадой (мФ); микрофарадой (мкФ), нанофарадой (нФ) и пикофарадой (пФ). 3.4. Конденсаторы и их электроемкость Ре по з ит о ри й Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкФ. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе («конденсировали») заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды. Заряды, противоположные по знаку заряду проводника q, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные с q, и, следовательно, оказывают большое влияние на его потенциал. Поэтому при поднесении к заряженному проводнику какого-либо тела потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине. Согласно формуле (3.2) это означает увеличение емкости проводника. Конденсаторы делают в виде двух проводников, помещенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называют его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку. 35 Основной характеристикой конденсатора является его электроемкость, под которой понимают величину, пропорциональную заряду q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками: С= q . ϕ1 − ϕ 2 (3.6) q , U (3.7) БН С= ТУ Разность потенциалов ϕ1 − ϕ 2 называют напряжением между соответствующими точками. Будем обозначать напряжение буквой U. Воспользовавшись этим обозначением, можно придать формуле (3.6) вид ри й где U – напряжение между обкладками. Емкость конденсаторов измеряется в тех же единицах, что и емкость уединенных проводников. Величина емкости определяется геометрией конденсатора (формой и размерами обкладок и величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. Найдем формулу для емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками равна E= σ q = , ε0ε ε0ε S ит о где ε – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей зазор между обкладками. Тогда разность потенциалов между обкладками равна ϕ1 − ϕ2 = Ed = qd . ε0ε S по з Отсюда для емкости плоского конденсатора получается формула C= ε0ε S , d (3.8) Ре где S – площадь обкладки, d – величина зазора между обкладками, ε – диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего зазор. Отметим, что емкость реального плоского конденсатора определяется формулой (3.8) с тем большей точностью, чем меньше зазор d по сравнению с линейными размерами обкладок. Из формулы (3.8) следует, что размерность электрической постоянной ε 0 равна размерности электроемкости, деленной на размерность длины. В соответствии с этим ε 0 измеряется в фарадах на метр. Если пренебречь рассеянием поля вблизи краев обкладок, нетрудно получить для емкости цилиндрического конденсатора формулу 36 C= 2πε0ε l , ln ( R2 / R1 ) (3.9) C = 4πε 0 ε ТУ где l – длина конденсатора, R1 и R2 – радиусы внутренней и внешней обкладок. Эта формула определяет емкость реального конденсатора с тем большей точностью, чем меньше зазор между обкладками d = R2 − R1 по сравнению с l и R1. Емкость сферического конденсатора равна R1 R2 , R2 − R1 (3.10) ри й БН где R1 и R2 – радиусы внутренней и внешней обкладок. Помимо емкости каждый конденсатор характеризуется предельным напряжением U max , которое можно прикладывать к обкладкам конденсатора, не опасаясь его пробоя. При превышении этого напряжения между обкладками проскакивает искра, в результате чего разрушается диэлектрик и конденсатор выходит из строя. по з ит о 3.5. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов Возьмём батарею последовательно соединенных конденсаторов и приложим к ней напряжение U . Конденсаторы зарядятся, при этом величины зарядов на обкладках конденсаторов будут равны между собой, т.е. q1 = q 2 = q3 = ... = q n = q , Рис. 3.3. Последовательное соединение конденсаторов и U = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n . величину, обратную Ре Запишем емкости батареи конденсаторов, в виде U 1 U U1 U 2 1 1 1 = = + + ... + n = + + ... + . C q q1 q 2 q n C1 C 2 Cn В результате получаем, формулу для ёмкости последовательно соединённых конденсаторов: 1 1 1 1 = + + ... + C C1 C 2 Cn – ёмкость последовательно соединенных конденсаторов. Возьмем теперь батарею параллельно соединенных конденсаторов. 37 Приложим напряжение U . В этом случае напряжения на обкладках конденсаторов будут равны между собой U 1 = U 2 = U 3 = ... = U n = U , и q = q1 + q 2 + ... + q n . C= ТУ Рис. 3.4. Параллельное соединение конденсаторов q q1 q 2 + + ... + n = C1 + C 2 + ... + C n U1 U 2 Un БН C = C1 + C 2 + ... + C n – ёмкость параллельно соединенных конденсаторов 3.6. Энергия заряженного проводника Wp = ри й Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов ∆q . Энергия взаимодействия системы зарядов равна 1 ∑ qiϕ i . 2 (3.11) по з ит о где ϕi – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме заряда qi , в той точке, где помещается заряд qi . Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды ∆q , одинаковы и равны потенциалу ϕ проводника. Воспользовавшись формулой (3.11), получим для энергии заряженного проводника выражение Wp = 1 1 1 ϕ ∆q = ϕ∑ ∆q = ϕ q . ∑ 2 2 2 (3.12) Ре Приняв во внимание соотношение (3.12), можно написать Wp = ϕ q q 2 C ϕ2 = = . 2 2C 2 (313) Любое из этих выражений дает энергию заряженного проводника. 38 3.7. Энергия заряженного конденсатора Wp = ТУ Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд + q , равен ϕ1, а потенциал обкладки, на которой находится заряд − q , равен ϕ2. Тогда каждый из элементарных зарядов ∆q , на которые можно разделить заряд + q , находится в точке с потенциалом ϕ1, а каждый из зарядов, на которые можно разделить заряд − q , – в точке с потенциалом ϕ2. Согласно формуле (3.11) энергия такой системы зарядов равна. 1 1 1 ( + q ) ϕ1 + ( − q ) ϕ2 = q ( ϕ1 − ϕ2 ) = qU . 2 2 2 (3.14) Wp = qU q 2 CU 2 = = . 2 2C 2 БН Воспользовавшись определением электроемкости конденсатора (3.7), можно написать три выражения для энергии заряженного конденсатора: (3.15) ит о q2 q2 Wp = = x. 2C 2ε 0εS ри й Формулы (3.15) отличаются от формул (3.13) только заменой ϕ на U. С помощью выражения для потенциальной энергии можно найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга. Допустим, что расстояние между пластинами может меняться. Свяжем начало оси х с левой пластиной. Тогда координата х второй пластины будет определять зазор d между обкладками. Согласно формулам (3.8) и (3.15) по з Продифференцируем это выражение по х, полагая заряд на обкладках неизменным (конденсатор отключен от источника напряжения). В результате получим проекцию на ось х силы, действующей на правую пластину: Fx = − ∂W p ∂x =− q2 2ε 0εS . Ре Модуль этого выражения дает величину силы, с которой обкладки притягивают друг друга: F= q2 2ε 0εS . (3.16) Теперь попытаемся вычислить силу притяжения между обкладками плоского конденсатора как произведение напряженности поля, создаваемого одной из обкладок, на заряд, сосредоточенный на другой. Напряженность поля, создаваемого одной обкладкой, равна E= q σ = . 2ε 0 2ε 0 S (3.17) 39 Диэлектрик ослабляет поле в зазоре в ε раз, но это имеет место только внутри диэлектрика. Заряды на обкладках располагаются вне диэлектрика и поэтому находятся под действием поля напряженности (3.17). Умножив заряд обкладки q на эту напряженность, получим для силы выражение q2 . 2ε 0 S (3.18) ТУ F′ = ри й БН Формулы (3.16) и (3.18) не совпадают. С опытом согласуется значение силы (3.16), получающееся из выражения для энергии. Это объясняется тем, что, кроме «электрической» силы (3.18), на обкладки действуют со стороны диэлектрика механические силы, стремящиеся их раздвинуть. У края обкладок имеем рассеянное поле, убывающее по величине при удалении от края (рис. 3.5). Молекулы диэлектрика, обладая дипольным моментом, испытывают действие силы, втягивающей их в область более сильного поля. В результате давление между обкладками повышается и появляется сила, ослабляющая действие силы (3.18) в ε раз. ит о Рис. 3.5. Электрическое поле у края обкладок конденсатора. Ре по з Если заряженный конденсатор с воздушным зазором частично погрузить в жидкий диэлектрик, наблюдается втягивание диэлектрика в пространство между пластинами (рис. 3.6). Это явление объясняется следующим образом. Диэлектрическая проницаемость воздуха практически равна единице. Поэтому до погружения пластин в диэлектрик емкость конденсатора можно считать равной С 0 = ε 0 S / d , а энергию равной W0 = q 2 / 2C0 . При частичном заполнении зазора диэлектриком конденсатор можно рассматривать как два параллельно включенных конденсатора, один из которых имеет площадь обкладки, равную xS (х – относительная часть зазора, заполненная жидкостью), и заполнен диэлектриком с ε >1, второй с воздушным зазором имеет площадь обкладки равную (1-x)S. При параллельном включении конденсаторов емкости складываются: С = С1 + С 2 = ε 0 S (1 − x ) ε 0εSx d + d = C0 + ε 0 (ε − 1)S d x > C0 . 40 ит о ри й БН ТУ Поскольку C > C 0 , энергия W = q 2 / 2C будет меньше, чем Wo (заряд q предполагается неизменным – перед погружением в жидкость конденсатор был отключен от источника напряжения). Следовательно, заполнение зазора диэлектриком оказывается энергетически выгодным. Поэтому диэлектрик втягивается в конденсатор и уровень его в зазоре поднимается. Это в свою очередь приводит к возрастанию потенциальной энергии диэлектрика в поле сил тяжести. В конечном итоге уровень диэлектрика в зазоре установится на некоторой высоте, соответствующей минимуму суммарной энергии Рис. 3.6. Конденсатор, (электрической и гравитационной). Рассмотренное погруженный в явление сходно с капиллярным поднятием диэлектрик. жидкости в узком зазоре между пластинками. Втягивание диэлектрика в зазор между обкладками можно объяснить также и с микроскопической точки зрения. У краев пластин конденсатора имеется неоднородное поле. Молекулы диэлектрика обладают собственным дипольным моментом либо приобретают его под действием поля; поэтому на них действуют силы, стремящиеся переместить их в область сильного поля, т. е. внутрь конденсатора. Под действием этих сил жидкость втягивается в зазор до тех пор, пока электрические силы, действующие на жидкость у края пластин, не будут уравновешены весом столба жидкости. 3.8. Энергия электрического поля по з Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подстановка в формулу W p = CU 2 / 2 выражения (3.8) для емкости дает CU 2 ε0ε SU 2 ε0ε U = = Wp = Sd . 2 2d 2 d 2 Ре Частное U/d равно напряженности поля в зазоре, а произведение Sd представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, ε0ε E 2 Wp = V. 2 (3.19) Формула Wp = q2/2C связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (3.19) – с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии – заряды или поле? В пределах электростатики, 41 ε0ε E 2 2 ри й w= БН ТУ которая изучает постоянные по времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными волнами; энергия, заставляющая звучать радиоприемник, переносится от передающей станции электромагнитными волнами, и т. д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле, Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w, равной энергии поля, деленной на занимаемый полем объем. Из формулы (3.19) следует, что плотность энергии поля напряженности Е, созданного в среде с проницаемостью ε, равна (3.20) С учетом соотношения между D и E формулу (3.20) можно представить в виде, w= ε0ε E 2 ED D2 = = . 2 2 2ε 0 ε (3.21) → → ит о В изотропном диэлектрике направления векторов E и D совпадают. Поэтому формуле для плотности энергии можно придать вид → → ED w= . 2 по з Контрольные вопросы Ре 1. Незаряженный проводник помещен в однородное электрическое поле с напряженностью Ео. Какова напряженность поля внутри проводника? Каким будет поле внутри заряженного проводника? 2. Два проводника, находящиеся в вакууме, несут разные по величине положительные заряды. Может ли существовать разность потенциалов между этими проводниками, если их привести в соприкосновение? 3. Чему равна работа по перемещению заряда q по поверхности проводника, потенциал которого φ? 4. Как, имея отрицательно заряженный проводник, наэлектризовать положительным электричеством другой проводник, не меняя заряд первого? 5. Изобразите графически, как расположены эквипотенциальные поверхности и линии напряженности поля, существующего между металлическим заряженным шаром и заземленной проводящей плоскостью. 42 Ре по з ит о ри й БН ТУ 6. Имеется заряженный до некоторого положительного потенциала изолированный проводник. Приблизим к нему на конечное расстояние заземленную проводящую плоскость. Как это отразится на потенциале проводника? 7. Почему при внесении незаряженного проводника в электрическое поле последнее искажается? 8. Может ли заряд с металлического шарика, заряженного до потенциала 1 В, полностью перейти на металлический шар, заряженный до потенциала 1000 В? 9. Всегда ли поверхностная плотность зарядов у заряженного металлического шара во всех точках одинакова? 10.Для того чтобы разрядить электроскоп, обычно прикасаются к его стержню пальцем. Всегда ли можно таким способом разрядить электроскоп? 11.В чем суть электростатической защиты? 12.Дайте определение единицы измерения электроёмкости. 13.Получите формулу для емкости металлической уединенной сферы, находящейся в диэлектрической среде. 14.Как изменится емкость металлического шара при погружении его полностью в масло? 15.Как увеличить электрическую емкость проводника, не меняя его форму и размеры? 16.Как изменится емкость плоского воздушного конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить вдвое? 17.Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических сфер, пространство между которыми заполнено диэлектриком. Получите формулу для емкости сферического конденсатора. 18.Цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных металлических цилиндров, пространство между которыми заполнено диэлектриком. Получите формулу для емкости цилиндрического конденсатора. 19.Как выражается энергия электростатического поля, энергия системы точечных электрических зарядов, энергия заряженного проводника (расположенных в вакууме)? 20.Какой формулой выражается объемная плотность энергия электростатического поля 21..Два проводящих шара различного диаметра приводят в соприкосновение и заряжают. Затем их отводят на значительное расстояние. Будут ли они иметь при этом одинаковые потенциалы? 22.Как находят емкость конденсатора, если между его обкладками расположено несколько различных диэлектрических слоев? 43 по з ит о ри й БН ТУ 23.Чем отличаются явления в следующих случаях: емкость конденсатора изменяют (изменяя расстояние между обкладками или удаляя диэлектрик) а) после отключения конденсатора от источника напряжения; б) не отключая конденсатор от источника напряжения? 24.Диэлектрические проницаемости вещества заметно изменяются при повышении температуры (обычно убывают). Предположим, что заряженный конденсатор охлаждают, вследствие чего его энергия уменьшается. Куда «исчезает» избыток энергии? 25.Как изменится емкость плоского конденсатора, если между его пластинами поместить проводящую пластинку пренебрежимо малой толщины? Как будет влиять на изменение емкости конденсатора относительное расположение введенной пластинки? Будет ли влиять на изменение емкости конденсатора толщина введенной пластинки? 26.Как изменится емкость плоского конденсатора, если между его пластинами поместить: а) слой металла, заполняющего половину пространства между пластинами; б) такой же толщины слой диэлектрика? 27.В заряженный конденсатор вставляют край пластины из диэлектрика. Что произойдет, если пластину предоставить самой себе (трение не учитывать)? 28.Воздушный конденсатор заряжают до некоторой разности потенциалов и в заряженном состоянии заливают керосином. Почему и во сколько раз уменьшается энергия конденсатора? 29. Плоский воздушный конденсатор после зарядки отключают от источника напряжения и погружают в керосин. Что произойдет с энергией конденсатора? Нет ли здесь нарушения закона сохранения энергии? Ре Приложение 3. Проводники в электрическом поле. Конденсаторы. ЛИТЕРАТУРА 1. Савельев, И.В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов: в 3 т. / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – Т. 2: Электричество и магнетизм. – 432 с. 44 Ре по з ит о ри й БН ТУ 2. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие для физ. спец. вузов: в 5 т. / Д.В. Сивухин. – М.: Наука, 1990. – Т. 3: Электричество. – 591 с. 3. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1977. 4. Головейко А.Г., Пуко Р.А. Введение в предмет и содержание электродинамики. – Минск, БНТУ, 2005 г., 47 с. 5. Головейко А.Г., Пуко Р.А. Электромагнитное поле и его взаимодействие с веществом. – Минск, БНТУ, 2006 г., 82 с. 6. Кудин В.И., Мартинович В.А. Электрические свойства металлов и полупроводников. [Электр. ресурс] 2008. − Электрон. данные (697 000 байт). – Мн.: БНТУ/ ФИТР 47-5.2008. – 1 CD-ROM. 45
