Тема 3. Операторы физических величин

Тема 3. Операторы физических
величин

3.1. Средние значения физических величин
Среднее значение координаты
в классической физике
N(x)
Средняя координата студентов в
аудитории на данной лекции
x
x
1
N
Ni xi
xi
Среднее значение координаты
в классической физике
Δ N(x)
x
x
1
N
Ni xi
xi
xi
Средняя координата
одного студента в
аудитории за все время
обучения (N - общее
количество лекций, ΔNiколичество лекций с
координатой студента xi)
Ni
xi
N
wi xi
xi
Среднее значение координаты
в классической физике
ρ(x)
N(x)
Средняя координата при
непрерывном распределении
(ΔNi-количество объектов с
координатой в пределах Δxi)
Δxi
x
1
N
x
Ni
xi
N
Ni xi
xi
xi
x
x
0
x dx
i xi
xi
x
Среднее значение координаты
в квантовой физике
U
0
x
E
E5
E4
E3
E2
E1
l x
x
0
2
x dx
r
x
x
x dx
r dV
V
x
x dx
U
A r
E
E5
E4
E3
E2
E1
0
x
dV
U r
dV
V
U r
V
x
x
2
A r
x xcp
x
2
2
0 !!!
x
x
2
2
2 xxcp
2
xcp
2
xcp
ВЫВОД:

Для ансамбля микрочастиц, описываемых
ψ(r), как сами координаты, так и любая
функция от координат А(r) в
стационарных состояниях не имеют
определенных значений. Энергия при
этом определена, что свидетельствует о
несовместимости одновременного
измерения А(r) и E.
Тема 3. Операторы физических
величин


3.1. Средние значения физических величин
3.2. Понятие об операторах физических величин
Ek
Ek
Ek dV
V
2
2m
2
(E U )
?
0
Ek
2
Ek
2m
2
Ek
V
2
2m
2
E k dV
dV
V
E
Ek U
2
H
2m
E
2
U
H dV
V
Вывод:
• В квантовой механике для определения среднего
значения физической величины A r , p
ей необходимо сопоставить некий оператор A r , p .
Тогда
A r, p
A r, p
V
dV
Уравнение Шрёдингера
H
E
Одно из основных утверждений
квантовой механики
• Состояние, в котором физическая величина А
имеет определенное значение Аi и описывается
волновой функцией
i , является решением
операторного уравнения A
A
• Аi – являются собственными значениями
оператора A , а i - его собственными
функциями
Если
A
2
A r, p
, то
A A r, p
Сравним
2
Ek
p
2m
Ek
p
i
px
2m
i
x
2
Тема 3. Операторы физических
величин


3.2. Понятие об операторах физических величин
3.3. Собственные значения проекции и квадрата
модуля момента импульса
В классичекой физике
2
E
2
pr
L r
p
p
U
2m
2
p
U
2 m 2m
2
2
pr L
U
2m 2 I
L
i
L r
p
L r
p
ex
ey
ez
x
y
z
x
i
y
i
z
L
i
L ....... i
x
ex
ey
ez
x
y
z
x
y
Lz
i
y
y
x
i
ez
z
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
Lz
i
Lz
Lz
i
Lz
i
Ae
Lz
Lz
m
1 im
e
2
m 0, 1, 2,...- магнитное квантовое число
Из соотношения неопределенностей следует, что Lz и Lx,
Lz и Ly не могут иметь одновременно определенных
значений. Поэтому Lz ≠ L
z
Вектор L как бы
прецессирует вокруг
выбранной оси.
m=3
m=2
Lz
m=1
m=0 0
m=-1
2
Lz
0
0
m=-2
Всего 2l+1значений
m=-3
L
z
m=3
m=2
1 m
2l 1 m
2
Lz
m=1
m=0 0
m=-1
m=-2
m=-3
L
2
Lz
1
3
2
l l 1
l
m
l
2 2
Ll
l
l l 1
0,1,2,... - орбитальное квантовое число
Орбитальный момент импульса:
L  l (l 1)
L
I
Орбитальный магнитный момент:
µ
Б
l (l 1)
Б
Проекция магнитного момента:
Lz
m
(l = 0,1,2,3,…,(n-1))
e
2me
IS;
- магнетон Бора
z
(m = 0, 1, 2, 3, …, ± l)
e
Lz
2me
z
Б
m
Опыт Штерна и Герлаха
Экран
N
Атомный пучок
S
Результаты опыта Штерна и Герлаха
Без поля
Ожидаемый
результат
Hg, Mg
Ag, Na, K
V
Mn
Fe