Система уравнений переноса излучения в присутствии

Система уравнений переноса излучения в
присутствии магнитного поля для линий
поглощения.
Одной из первых работ, посвященных формулировке и решению уравнений переноса
излучения в магнитоактивных линиях, была статья Унно (1956). Унно предложил систему
уравнений переноса в следующем виде:
dI
= (1 + η I ) ⋅ I + ηQ ⋅ Q + ηV ⋅V − (1 + η I ) ⋅ B
dτ
dQ
cos ϑ
= ηQ ⋅ I + (1 + η I ) ⋅ Q − ηQ ⋅ B
dτ
dV
cos ϑ
= ηV ⋅ I + (1 + η I ) ⋅V − ηV ⋅ B
dτ
cos ϑ
[1]
где cos ϑ - косинус гелиоцентрического угла (иногда в формулах указывается как μ )
B
- функция Планка (при условии ЛТР),
I , Q,U ,V - параметры Стокса.
Коэффициенты поглощения в параметрах Стокса определяются как:
ηI =
ηp
⋅ sin 2 γ +
ηl + ηr
2
⎛η p η +ηr
η Q = ⎜⎜ − l
4
⎝ 2
4
⋅ (1 + cos 2 γ )
⎞
⎟⎟ ⋅ sin 2 γ
⎠
,
[2]
⎛ − ηl + ηr ⎞
⎟ ⋅ cos γ
2
⎝
⎠
ηV = ⎜
где
ηp
ηl
ηr
-
коэффициент поглощения линейно-поляризованного света
коэффициент поглощения света, левополяризованного по кругу
коэффициент поглощения света, правополяризованного по кругу
Величины η p ,η l и η r совпадают с коэффициентом поглощения в линии κ λ , не
-
расщеплённой в магнитном поле, за исключением того, что η l и η r смещены по длине
волны от κ λ на величину магнитного расщепления линии ± Δλ H .
Индексы при коэффициентах l , r - left, right иногда заменяются на индексы b, r - blue, red.
Известно, что в продольном поле σ -компонента с меньшей частотой ( red ) при
направлении излучения вдоль поля поляризована по правому ( right ) кругу.
Уравнения Унно написаны без учёта процессов рассеяния в линии и без учёта
магнитооптического эффекта. Учесть магнитооптический эффект впервые удалось
Д.Н.Рачковскому. Он сформулировал систему уравнения переноса излучения и нашёл её
аналитическое решение: Рачковский (1962 а,б). Мы не будем выписывать формулы
Рачковского, поскольку они имеют несколько иные обозначения, чем в работах более
поздних и более обобщающих, к которым мы скоро обратимся, Рачковский (1962 а)
дополнил функцию Фойгта частью, описывающей преломление в линии.
Функция Фойгта:
∞
e− y
H ( a, v j ) = ∫
⋅ dy
π − ∞ (v j − y ) 2 + a 2
a
2
,
[3]
а преломление в линии описывает функция:
2
∞
( y − v j ) ⋅ e−y
1
F ( a, v j ) =
⋅ dy ,
2π −∫∞ (v j − y ) 2 + a 2
где
[4]
j
- относится к компонентам расщепления линии π , σ l и σ r
a
- постоянная затухания и
v = Δλ Δλ D - расстояние до центра линии в единицах доплеровской полуширины.
Рачковский вывел соотношение:
v + ia
⎛ π
⎞
t2
⎜
+
H (a, v) − 2iF (a, v) =
e
i
e
dt
∫0 ⎟⎟
⎜ 2
π
⎝
⎠
разлагая правую часть в ряд Тейлора по степеням a получил
;
F (a, v) = F0 (v) + aF1 (v) + a 2 F2 (v) + a 3 F3 (v) +
2
F0 = −
1
⋅ f (v )
π
F1 = v ⋅ e − v
где
f (v ) = e
− ( v + ia ) 2
F2 = −
π
+ f (v ) ⋅
(2v 2 − 1)
[6]
π
2
1
F3 = v ⋅ e −v (3 − 2v 2 )
3
2
− v2
v
[5]
,
v
∫e
t2
dt
- интеграл Доусона.
0
Ранее такое же разложение в ряд было известно и для функции H (a, v) .
Выпишем коэффициенты для H 0 - H 3 :
H 0 = e −v
2
⋅ (1 − 2v ⋅ f (v))
H1 = −
H 2 = (1 − 2v 2 ) ⋅ e − v
4
⋅ 1 − v 2 − ( 3v − 2v 3 ) ⋅ f (v)
H3 = −
3 π
2
2
(
π
[7]
)
Уравнения Беккерса (1969) отличаются от уравнений Рачковского большей наглядностью,
удобством записи и схожестью их с уравнениями Унно. На уравнениях Беккерса
основывается большое число работ, посвященных конкретным вычислениям профилей
линий, т.к. они позволяют получить полное численное решение, основанное на
алгоритмах Рунге-Кутта. Беккерс предложил в своей работе хорошие граничные условия,
которые являются точными решениями для атмосферы Милна Эддингтона при
B = B0 (1 + βτ ) и η = η (τ B ) , где τ B - граничная оптическая глубина τ :
(
I B = B + (B ′ cos ϑ ⋅ (1 + η I ) ) (1 + η I ) 2 − η Q2 − ηU2 − ηV2
QB = − B ′ cos ϑ ⋅ η Q ((1 + η I ) − η − η − η
2
(
((1 + η
2
Q
2
U
U B = − B ′ cos ϑ ⋅ η u (1 + η I ) − η − η − η
V B = − B ′ cos ϑ ⋅ ηV
где η , B и B ′ ≡
2
I
2
Q
2
U
)
)
)
2
V
2
V
) 2 − η Q2 − ηU2 − ηV2
)
[8]
,
dB
взяты при граничном значении τ B .
dτ
Е. и М. Ланди дель'Инноченти (1972) получили систему уравнений переноса излучения в
параметрах Стокса независимым путём - с использованием техники матрицы плотности.
Тем самым они подтвердили правильность ранее выведенных уравнений и прояснили
некоторые разночтения, встречающиеся в литературе, в которых разные авторы вкладывали несколько различный смысл в величины одинаково обозначаемые. Систему
обозначений Ланди дель'Инноченти мы и выпишем в качестве основы для составления
рабочей программы расчёта профилей магнитоактивных линий численными методами по
реальным моделям фотосферы. Итак, система уравнений переноса излучения:
dI
= (1 + η I ) ⋅ ( I − B) + η Q ⋅ Q + ηU ⋅ U + ηV ⋅ V
dτ
dQ
cos ϑ
= η Q ⋅ ( I − B) + (1 + η I ) ⋅ Q + ρV ⋅ U − ρU ⋅ V
dτ
dU
cos ϑ
= ηU ⋅ ( I − B) + (1 + η I ) ⋅ U − ρV ⋅ Q + ρ Q ⋅ V
dτ
dV
cos ϑ
= ηV ⋅ ( I − B) + (1 + η I ) ⋅ V + ρU ⋅ Q − ρ Q ⋅ U
dτ
cos ϑ
[9]
Коэффициенты поглощения и преломления, отнесённые к коэффициенту поглощения в
непрерывном спектре:
η I = η p sin 2 γ + (η b + η r ) ⋅ (1 + cos 2 γ )
η Q = (η p − (η b + η r )) ⋅ sin 2 γ ⋅ cos 2 χ
ρ Q = ( ρ p − ( ρ b + ρ r )) ⋅ sin 2 γ ⋅ cos 2 χ
ηU = (η p − (η b + η r )) ⋅ sin 2 γ ⋅ sin 2 χ
ρ U = ( ρ p − ( ρ b + ρ r )) ⋅ sin 2 γ ⋅ sin 2 χ
ηV = 2 ⋅ (η r − η b ) ⋅ cos γ
ρV = 2 ⋅ ( ρ b − ρ r ) ⋅ cos γ
[10]
Величины η p , η l , η r , ρ p , ρ l , ρ r мы определим несколько иначе, чем это сделано в
статье Ланди дель'Инноченти. Это делается для удобства расчётов не только простых
триплетов, но и линий с произвольной структурой зеемановского расщепления:
η p = η 0 ∑ Pi ⋅ H (a, v + v H ⋅ g i )
i∈π комп
ηb , r = η0 ∑ Pi ⋅ H (a, v ∓ vH ⋅ g i )
[11]
i∈σ b ,σ r
ρ p = −2η0 ∑ Pi ⋅ F (a, v + vH ⋅ gi )
i∈π комп
ρb , r = −2η0 ∑ Pi ⋅ F (a, v ∓ vH ⋅ gi )
,
i∈σ b ,σ r
где
gi
Pi
- факторы Ланде для отдельных компонент расщепления, а
- относительные интенсивности соответствующих компонент.
Сумма относительных интенсивностей всех компонент
Ланди дель'Инноченти и у Беккерса
∑ P = 4 .)
∑P
i
нормирована на единицу. (У
i
i
i
Функцию Фойгта мы определяли выше. От формул Ланди дель'Инноченти мы сделали
ещё два отступления – во-первых, использовали обозначения всех углов, введённые
Беккерсом и, во-вторых, определение параметров Стокса взяли как у Унно и Беккерса.
В работе П.Арена и Е.Ланди дель'Инноченти (1982 A&A, Suppl.v.48,№1,p.81-85) формулы
аналитических решений уравнений переноса с учётом аномальной дисперсии имеют
следующий вид:
2
2
2
2
I − IC
β ⎧⎪ (1 + η I ) ⋅ ((1 + η I ) + ρQ + ρU + ρV ⎫⎪
=
− 1⎬
⎨
IC
β + 1 ⎪⎩
Δ
⎪⎭
2
Q
β ⎧⎪ (1 + η I ) ⋅ηQ + (1 + η I ) ⋅ (ηV ρU − ηU ρV ) + ρQ ⋅ (ηQ ρQ + ηU ρU + ηV ρV ) ⎫⎪
=−
⎨
⎬
Δ
IC
β + 1 ⎪⎩
⎪⎭
2
β ⎧⎪ (1 + η I ) ⋅ηU + (1 + η I ) ⋅ (ηQ ρV − ηV ρQ ) + ρU ⋅ (ηQ ρQ + ηU ρU + ηV ρV ) ⎫⎪
U
=−
⎨
⎬
Δ
β + 1 ⎪⎩
IC
⎪⎭
2
β ⎧⎪ (1 + η I ) ⋅ ηV + ρv ⋅ (ηQ ρQ + ηU ρU + ηV ρV ) ⎫⎪
V
,
[12]
=−
⎨
⎬
Δ
β + 1 ⎪⎩
IC
⎪⎭
где
Δ = (1 + η I ) 2 ⋅ ((1 + η I ) 2 − ηQ2 − ηU2 − ηV2 + ρQ2 + ρU2 + ρV2 ) − (ηQ ρQ + ηU ρU + ηV ρV ) 2 ,
β = β 0 cos θ ,
cos θ - косинус гелиоцентрического угла
β0
- параметр атмосферы Милна-Эддингтона в формуле B = B0 (1 + β 0τ )
Расчёты по этим формулам совпадают с расчётами по формулам Рачковского (1962 б).
Они позволяют проверить работу алгоритма численного интегрирования для случая
атмосферы Милна-Эддингтона.
Литература:
W. Unno, Publ. Astron. Soc. Jpn. 8, 108 (1956)
Д.Н.Рачковский Изв.КрАО т.27 148-161 (1962)
Д.Н.Рачковский Изв.КрАО т.28 259-270 (1962)
Beckers, J.M.: Solar Physics 9 372-386 (1969)
E.Beckers, J.M.: Solar Physics 9 372-386 (1969)
Landi Degl'Innocenti, E. & M.: Solar Physics 27, 319 (1972)
P.Arena,E.Landi Degl'Innocenti: Astron.&Astrophys.,Suppl. v.48, 81-85 (1982)