Задачи к зачету (осень)

1
Задачи к зачету (осень)
1. Используя формулу Стирлинга n! ≈
√
2πn(n/e)n , покажите, что при N ≫ 1 и
K ≫ 1 вероятность биномиального распределения
PNK =
N!
2N K!(N − K)!
(1)
стремится к распределению Гаусса.
2. Нарисовать координатную сетку для новых координат
x′ = x − y,
(2)
y ′ = y.
(3)
3. Найти метрический тензор для координат (u, v, z ′), связанных с цилиндрическими
координатами (r, ϕ, z) соотношениями
u = r(1 − cos ϕ),
(4)
v = r(1 + cos ϕ),
(5)
z ′ = z.
(6)
4. Найти метрический тензор для координат (u, v, ϕ′), связанных со сферическими
координатами (r, θ, ϕ) соотношениями
u = r(1 − cos θ),
(7)
v = r(1 + cos θ),
(8)
ϕ′ = ϕ.
(9)
5. Проверить, что общая формула для гауссовой кривизны (85), см. учебник 1, дает
величину k = 1/Rc2 для координат r и ϕ (dl2 = dr 2 + Rc2 sin2 (r/Rc )dϕ2 ).
6. Проверить, что общая формула для гауссовой кривизны (85), см. учебник 1, дает
величину k = 1/Rc2 для координат r1 и ϕ (dl2 = dr12 /(1 − r12 /Rc2 ) + r12 dϕ2 ).
2
7. Проверить, что общая формула для гауссовой кривизны (85), см. учебник 1, дает
величину k = 1/Rc2 и для сферических координат θ и ϕ (dl2 = Rc2 dθ2 + Rc2 sin2 θdϕ2 ).
8. Найти кривизну поверхности гиперболоида вращения
x2 + y 2 − z 2 = R2
(10)
9. Покажите, что для κ = +1 трехмерный объем метрики Фридмана-РобертсонаУолкера конечен. Чему он равен?
10. Получите формулу Эйнштейна для мощности излучения гравитационных волн при
условии M1 6= M2 . Покажите, что и в этом случае излучение идет на удвоенной
частоте.
11. Объясните, почему электрон (заряд e, масса me ), колеблющийся в поле электромагнитной волны, будет излучать дипольную электромагнитную волну, однако гравитационное дипольное излучение электрона будет отсутствовать.
12. Переходя при интегрировании к углу E (экцентрическая аномалия), найдите среднее по времени расстояние планеты от фокуса
13. Покажите, что для двух звезд с массами M1 и M2 , движущимся по круговым орбитам, расстояние между ними a за счет излучения гравитационных волн изменяется
как
a(t) = a0
t
1−
t0
1/4
,
(11)
где время жизни двойной системы
t0 =
5
c5 a40
.
256 G3 M1 M2 (M1 + M2 )
Оцените t0 для реальных двойных систем.
(12)