Программа АСАНx - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины Асимптотический анализ
для направления 231300.68 «Прикладная математика» подготовки магистра
Авторы программы: Лебедев В.В., кандидат физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
Романов А.В., кандидат физ.-мат. наук, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2013 г
Зав. кафедрой Л.И. Кузьмина
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2013 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 231300.68 «Прикладная математика» подготовки
магистра по специализации «Системы управления и обработки информации в инженерии»,
изучающих дисциплину «Асимптотический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС для направления 231300 «Прикладная математика» подготовки магистра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 231300.68 «Прикладная
математика» подготовки магистра по специализации «Системы управления и
обработки информации в инженерии», утвержденным в 2013 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Асимптотический анализ» являются:


3
приобретение знаний и умений в соответствии с государственным
образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования,
формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного
мышления;
ознакомление студентов с основными понятиями и методами асимптотического
анализа.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен.
 Знать методы вычисления асимптотик последовательностей, сумм, функций и
интегралов.
 Уметь использовать аппарат асимптотических методов для решения конкретных
задач.
 Владеть методом Лапласа, стационарной фазы и методом перевала для
асимптотического анализа интегралов; методами пограничного слоя и другими для
нахождения асимптотик решений дифференциальных уравнений.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Способность
демонстрировать знания
фундаментальных и
прикладных дисциплин ОПП
магистратуры
ОК-5
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
Способность использовать
углубленные теоретические
и практические знания, часть
которых находится на
передовом рубеже данной
науки
ОК-6
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
Способность разрабатывать
эффективные
математические методы
решения задач
естествознания, техники,
экономики и управления
ПК-2
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных
дисциплин и блоку базовых дисциплин.
Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках
курсов «Математический анализ», «Линейная алгебра и геометрия», «Теория функций
комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 «Принципы построения математических моделей».
5
№
1
2
3
4
5
6
7
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Самостоятельная
работа
14
8
14
12
4
2
4
4
10
6
10
8
22
18
6
6
16
12
20
6
14
108
32
76
Асимптотические формулы в целом
Формула Тейлора
Неявные функции и корни уравнений
Асимптотики функций, заданных
интегралами с переменным пределом.
Асимптотики сумм
Асимптотики функций, заданных
интегралом с параметром
Асимптотики решений дифференциальных
уравнений
Итого:
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма контроля
Модуль 2
Текущий
(неделя)
Домашнее
задание
7
Итоговый
Зачёт
√
6.1
Параметры
устный зачёт 240 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Домашнее задание состоит в решении стандартных задач по материалам курса,
требующих технических навыков.
Выставляемая оценка за домашнее задание равна среднему арифметическому
полученных студентом оценок (по 10-ти балльной шкале) за отдельные задачи.
На зачёте проверяется: 1) умение студента решать задачи с помощью методов,
изложенных в курсе; 2) знание студентом определений и умение доказывать теоремы курса.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
В модуле 2 даётся одно домашнее задание:
Oнакопл  Oдз .
Итоговая (идущая в диплом) оценка по учебной дисциплине формируется следующим
образом:
Oитоговая  0.7  Oнакопл  0.3  Озачёт .
Способ округления оценок на всех этапах контроля: в пользу студента.
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Асимптотические формулы в целом.
История развития теории асимптотических оценок; предмет и методы асимптотического
анализа. Символ эквивалентности , символы o и O ; алгебраические действия над ними.
Асимптотическая оценка. Шкала бесконечно больших и бесконечно малых элементарных
функций. Понятие асимптотической формулы (асимптотического представления).
Алгебраические операции с асимптотическими формулами и суперпозиция асимптотических
формул.
Замена
переменной
в
асимптотических
формулах.
Асимптотическая
последовательность и асимптотический ряд (асимптотическое разложение).
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
Литература: [1], [2].
Раздел 2. Формула Тейлора.
Формула Тейлора с остатками o и O . Формула Тейлора для основных элементарных
функций. Применение формулы Тейлора для построения асимптотических формул функций,
заданных явно. Приложения к построению асимптотических формул последовательностей,
заданных явно.
Литература: [1], [2], [3].
Раздел 3. Неявные функции и корни уравнений.
Построению асимптотики функций, заданных неявно при помощи формулы Тейлора и
при помощи метода наибольших показателей. Построение асимптотики корней уравнений.
Литература: [1], [3].
Раздел 4. Асимптотики функций, заданных интегралами с переменным пределом.
Асимптотики функций, являющихся частичными интегралами расходящихся
несобственных интегралов. Асимптотики функций, являющихся остатками сходящихся
несобственных интегралов. Теоремы сравнения. Получение асимптотик интегралов при
помощи формул Тейлора и при помощи интегрирования по частям.
Литература: [3], [4].
Раздел 5. Асимптотики сумм.
Теорема об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных членов. Теорема
об оценке сумм с помощью интегралов посредством метода центральных прямоугольников.
Построение асимптотик частичных сумм расходящихся рядов и остатков сходящихся.
Литература: [1], [3], [8].
Раздел 6. Асимптотики функций, заданных интегралом с параметром.
Метод Лапласа. Метод стационарной фазы. Метод перевала.
Литература: [1], [4], [7], [8].
Раздел 7. Асимптотики решений дифференциальных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Теоремы Бохера о линейной,
экспоненциальной и синусоидальной асимптотике. Асимптотика функций Бесселя. Метод
пограничного слоя.
Литература: [5], [6].
8
Образовательные технологии
Образовательные технологии не предусмотрены.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1
Тематика заданий текущего контроля
Пример задачи из домашнего задания: найти главный член асимптотики для
Sn 
n
 k.
1
k 1
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету по курсу.
1. Дайте определение символа эквивалентности
, символов o и O . Расскажите об
f ( x) g ( x) и
алгебраических действиях с ними. Докажите, что соотношения
f ( x) g ( x)  o( g ( x)) , x  a , означают одно и то же. Какое слагаемое в сумме называется
главным (или старшим)?
2. Расположите в порядке старшинства роста  логарифмическую, степенную и
показательную функции. Что такое асимптотическая формула? Приведите примеры.
Расскажите об алгебраических операциях с асимптотическими формулами.
3. Что такое асимптотическая последовательность? Что такое асимптотический ряд?
Расскажите об алгебраических операциях с ними.
4. Запишите формулу Тейлора в общем виде с остатками o и O . Запишите формулу Тейлора
для sin x , cos x , ln(1  x) , (1  x) при x  0 .
5. Расскажите о суперпозиции асимптотических формул (о замене переменной в
асимптотических формулах). Получите асимптотическую формулу для x x при x  0 , сохраняя
два ненулевых члена асимптотики, не считая остатка.
6. Расскажите о применении асимптотик функций к построению асимптотик
последовательностей. Выпишите три ненулевых члена (не считая остатка) для
an  n  1  n  1 ln n  n .

 

7. Как при помощи формулы Тейлора получить асимптотику функции заданной неявно? При
x  0 найдите два слагаемых и укажите остаток для y  y ( x ) , если xy  y 6  1  0 , y (0)  1 .
8. Изложите метод наибольших показателей. При x   выпишите асимптотику для
функции
y  y ( x) ,
заданной
неявно
уравнением
x 2  2 y3  3xy 2
в
области
x  1,
x /2 y  x .
9. На примере уравнения sin x  x /  x  1  0 продемонстрируйте, как ищутся асимптотики
корней уравнения f ( x)  0 , в случае, когда они образуют последовательность, занумерованную
в порядке возрастания (или убывания).
10. Докажите теорему сравнения для функций, являющихся частичными интегралами
расходящихся несобственных интегралов.
11. Докажите теорему сравнения для функций, являющихся остатками сходящихся
несобственных интегралов.
12. С помощью формулы Тейлора получите при x   два ненулевых члена и остаток для
x
0 t sin(1/ t ) dt .
13. С помощью формулы Тейлора получите при x   два ненулевых члена и остаток для
 2/5 3
t
/(t  1) dt .
x

14. При помощи интегрирования по частям получите два ненулевых члена и остаток для
x t
1 e
/ t dt , x   .
15. При помощи интегрирования по частям получите два ненулевых члена и остаток для

x te
t
dt , x   .
16. Докажите теорему об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных членов.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
17. При помощи теоремы об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных
членов найдите главный член и остаток асимптотики для
 k 1 k 2 ln k .
n
18. При помощи теоремы об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных
членов найдите главный член и остаток асимптотики для

 k n1/ k 4 .
19. Докажите теорему об оценке сумм с помощью интегралов посредством метода
центральных прямоугольников.
20. При помощи метода центральных прямоугольников найдите два слагаемых и остаток для
 k 1 k ln k .
n
21. При помощи метода центральных прямоугольников найдите два слагаемых и остаток для
 k n1/ k 2 .
2n
22. Расскажите о методе Лапласа. Получите главный член асимптотики в случае внутренней
критической точки.
23. Получите главный член асимптотики в методе Лапласа для случая критической точки,
лежащей на границе.
24. Пользуясь методом Лапласа получите главный член асимптотики для n! (формулу
Стирлинга).
25. Изложите метод стационарной фазы.
26. Изложите метод перевала.
27. Докажите теорему Бохера о линейной асимптотике решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
28. Докажите теорему Бохера об экспоненциальной асимптотике решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
29. Докажите теорему Бохера синусоидальной асимптотике решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
30. Выведите главный член и остаток асимптотики функций Бесселя.
31. Изложите метод пограничного слоя.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1] Н. Г. Де Брейн, Асимптотические методы в анализе, М.: ИЛ, 1961.
10.2 Основная литература
[2] Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3 томах),
8-е изд., М.: Физматлит, 2006.
[3] Р. С. Исмагилов, А. Г. Федотов, Элементарные асимптотические методы,
М.: МГИЭМ, 1997.
[4] А. Эрдейн, Асимптотические разложения, М.: ГИФМЛ, 1962.
[5] И. В. Каменев, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, М.: МИЭМ, 1982.
[6] Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике, М.: Мир, 1972.
10.3 Дополнительная литература
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 231300.68
«Прикладная математика» подготовки магистра
[7] М. В. Федорюк, Метод перевала, М.: Наука, 1977.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
[8] М. В. Федорюк, Асимптотика, интегралы и ряды, М.: Наука, 1987.
10.5 Программные средства
Программные средства не предусмотрены.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Дистанционная поддержка дисциплины не предусмотрена.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.
9