Программа АСАН 2015 Лебедевx

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Департамент прикладной математики
Рабочая программа дисциплины «Асимптотический анализ»
для образовательной программы «Системы управления и обработки информации в инженерии»
направления подготовки 01.04.04 «Прикладная математика»
уровень «магистр»
Разработчики программы: В.В. Лебедев, доктор физ.-мат. наук, доцент, v_lebedev@hse.ru
А.В. Романов, кандидат физ.-мат. наук, aromanov@hse.ru
Одобрена на заседании департамента прикладной математики
«___»___________2015 г.
Руководитель департамента А.В. Белов
________________
Рекомендована Академическим советом образовательной программы
«___»____________ 2015 г., № протокола_________________
Утверждена «___»____________ 2015 г.
Академический руководитель образовательной программы
Е. А. Попова
________________
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета
и другими вузами без разрешения подразделения-разработчика программы.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 01.04.04 «Прикладная математика» подготовки магистра,
изучающих дисциплину «Асимптотический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС по направлению подготовки 01.04.04 «Прикладная математика» (уровень
магистратуры).
 Образовательной программой «Прикладная математика» направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 01.04.04 «Прикладная
математика» подготовки магистра, утвержденным в 2015 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Асимптотический анализ» является:

3
ознакомление студентов с основными понятиями и методами асимптотического
анализа.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен.
 Знать методы вычисления асимптотик последовательностей, сумм, функций и
интегралов.
 Владеть методом Лапласа и методом стационарной фазы для асимптотического
анализа интегралов.
 Владеть методами нахождения асимптотик решений дифференциальных уравнений.
 Уметь использовать аппарат асимптотических методов для решения конкретных
задач.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции.
Компетенция
Код по
ФГОС
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Обладает способностью к ОК-1
абстрактному
мышлению,
анализу, синтезу
Обладает способностью
ОПК-2
разрабатывать эффективные
математические методы
решения задач
естествознания, техники,
экономики и управления
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
Обладает способностью
разрабатывать и исследовать
математические модели
объектов, систем, процессов
и технологий,
предназначенных для
проведения расчетов,
анализа, подготовки
решений
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
ПК-7
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных
дисциплин и блоку базовых дисциплин.
Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках
курсов «Математический анализ», «Линейная алгебра и геометрия», «Теория функций
комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 «Принципы построения математических моделей».
5
№
1
2
3
4
5
6
7
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Асимптотические формулы в целом
Формула Тейлора. Асимптотики
последовательностей и функций
Неявные функции и корни уравнений
Асимптотики функций, заданных
интегралами с переменным пределом
Асимптотики сумм
Асимптотики функций, заданных
интегралом с параметром
Асимптотики решений дифференциальных
уравнений
Итого:
5
Аудиторные часы
Самостоятельная
работа
Лекции Семинары
10
9
1
1
3
4
6
4
12
15
2
2
4
5
6
8
23
23
4
4
5
7
14
12
22
2
6
14
114
16
34
64
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Итоговый
6.1
Форма контроля
Модули
2
Параметры
3
Домашнее
Задание
10
письменная работа
Экзамен
√
устный экзамен 240 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Домашнее задание состоит в решении стандартных задач по материалам курса,
требующих технических навыков.
Выставляемая оценка за домашнее задание равна среднему арифметическому
полученных студентом оценок (по 10-ти балльной шкале) за отдельные задачи.
На экзамене проверяется: 1) умение студента решать задачи с помощью методов,
изложенных в курсе; 2) знание студентом определений и умение доказывать теоремы курса.
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Асимптотические формулы в целом
История развития теории асимптотических оценок; предмет и методы асимптотического
анализа. Символ эквивалентности , символы o и O ; алгебраические действия над ними.
Асимптотическая оценка. Шкала бесконечно больших и бесконечно малых элементарных
функций. Понятие асимптотической формулы (асимптотического представления).
Алгебраические операции с асимптотическими формулами и суперпозиция асимптотических
формул.
Замена
переменной
в
асимптотических
формулах.
Асимптотическая
последовательность и асимптотический ряд (асимптотическое разложение).
Литература: [1], [2].
Раздел 2. Формула Тейлора. Асимптотики последовательностей и функций
Формула Тейлора с остатками o и O . Формула Тейлора для основных элементарных
функций. Приложения к построению асимптотических формул последовательностей, заданных
явно. Применение формулы Тейлора для построения асимптотических формул функций,
заданных явно.
Литература: [1], [2], [3].
Раздел 3. Неявные функции и корни уравнений
Построению асимптотики функций, заданных неявно при помощи формулы Тейлора и
при помощи метода наибольших показателей. Построение асимптотики корней уравнений.
Литература: [1], [3].
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
Раздел 4. Асимптотики функций, заданных интегралами с переменным пределом
Асимптотики функций, являющихся частичными интегралами расходящихся
несобственных интегралов. Асимптотики функций, являющихся остатками сходящихся
несобственных интегралов. Теоремы сравнения. Получение асимптотик интегралов при
помощи формул Тейлора и при помощи интегрирования по частям.
Литература: [3], [4].
Раздел 5. Асимптотики сумм
Теорема об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных членов. Теорема
об оценке сумм с помощью интегралов посредством метода центральных прямоугольников.
Построение асимптотик частичных сумм расходящихся рядов и остатков сходящихся.
Литература: [1], [3], [6].
Раздел 6. Асимптотики функций, заданных интегралом с параметром
Метод Лапласа. Метод стационарной фазы.
Литература: [1], [4], [6].
Раздел 7. Асимптотики решений дифференциальных уравнений
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Теоремы Бохера о линейной,
экспоненциальной и синусоидальной асимптотике. Асимптотика функций Бесселя.
Литература: [5].
8
Образовательные технологии
Образовательные технологии не предусмотрены.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1
Тематика заданий текущего контроля
Типовой вариант домашнего задания
Модули 2–3
1. Напишите асимптотические формулы для данной функции, с не менее чем двумя
членами, не считая остатка:
 tg x 
а) f ( x)  ln 
, x  0 ;
 x 
б) f ( x)   cos x 
x3 sin x
, x  0.
2. Пользуясь формулой Тейлора, найдите асимптотику корней уравнения, с не менее чем двумя
членами, не считая остатка:
sin x 
x
.
x 1
3. С помощью метода наибольших показателей найдите главный член асимптотики
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
функции, заданной неявно:
x 2  2 y 2  3xy 2 ; D : x  1,
x /2 y  x .
4. Выведите асимптотику функции, заданной интегралом, с не менее чем двумя членами,
не считая остатка:
а) F ( x)  

x
t  2 e2t dt , x   ;
x
1
б) F ( x)   t sin dt , x   .
0
t
5. Найдите главный член асимптотики для:
n
а) sn   k 3  k 2 , n   ;
k 1
n
arctg k
, n  .
2
k 1 k
rn  
б)
6. Найдите асимптотику решений данного уравнения при x   :
y  e  x y  0.
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу
1. Дайте определение символа эквивалентности
, символов o и O . Расскажите об
f ( x) g ( x)
алгебраических действиях с ними. Докажите, что соотношения
и
f ( x) g ( x)  o( g ( x)) , x  a , означают одно и то же. Какое слагаемое в сумме называется
главным (или старшим)?
2. Расположите в порядке старшинства роста  логарифмическую, степенную и
показательную функции. Что такое асимптотическая формула? Приведите примеры.
Расскажите об алгебраических операциях с асимптотическими формулами.
3. Что такое асимптотическая последовательность? Что такое асимптотический ряд?
Расскажите об алгебраических операциях с ними.
4. Запишите формулу Тейлора в общем виде с остатками o и O . Запишите формулу Тейлора
для sin x , cos x , ln(1  x) , (1  x) при x  0 .
5. Расскажите о суперпозиции асимптотических формул (о замене переменной в
асимптотических формулах). Получите асимптотическую формулу для x x при x  0 , сохраняя
два ненулевых члена асимптотики, не считая остатка.
6. Расскажите о применении асимптотик функций к построению асимптотик
последовательностей. Выпишите три ненулевых члена (не считая остатка) для
an  n  1  n  1 ln n  n .

 

8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
7. Как при помощи формулы Тейлора получить асимптотику функции заданной неявно? При
x  0 найдите два слагаемых и укажите остаток для y  y ( x ) , если xy  y 6  1  0 , y (0)  1 .
8. Изложите метод наибольших показателей. При x   выпишите асимптотику для
функции
y  y ( x) ,
заданной
неявно
уравнением
x 2  2 y3  3xy 2
в
области
x  1,
x /2 y  x .
9. На примере уравнения sin x  x /  x  1  0 продемонстрируйте, как ищутся асимптотики
корней уравнения f ( x)  0 , в случае, когда они образуют последовательность, занумерованную
в порядке возрастания (или убывания).
10. Докажите теорему сравнения для функций, являющихся частичными интегралами
расходящихся несобственных интегралов.
11. Докажите теорему сравнения для функций, являющихся остатками сходящихся
несобственных интегралов.
12. С помощью формулы Тейлора получите при x   два ненулевых члена и остаток для
x
0 t sin(1/ t ) dt .
13. С помощью формулы Тейлора получите при x   два ненулевых члена и остаток для
 2/5 3
t
/(t  1) dt .
x

14. При помощи интегрирования по частям получите два ненулевых члена и остаток для
x t
e
1

/ t dt , x   .
15. При помощи интегрирования по частям получите два ненулевых члена и остаток для

x te
t
dt , x   .
16. Докажите теорему об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных членов.
17. При помощи теоремы об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных
членов найдите главный член и остаток асимптотики для
 k 1 k 2 ln k .
n
18. При помощи теоремы об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных
членов найдите главный член и остаток асимптотики для

 k n1/ k 4 .
19. Докажите теорему об оценке сумм с помощью интегралов посредством метода
центральных прямоугольников.
20. При помощи метода центральных прямоугольников найдите два слагаемых и остаток для
 k 1 k ln k .
n
21. При помощи метода центральных прямоугольников найдите два слагаемых и остаток для
 k n1/ k 2 .
2n
22. Расскажите о методе Лапласа. Получите главный член асимптотики в случае внутренней
критической точки.
23. Получите главный член асимптотики в методе Лапласа для случая критической точки,
лежащей на границе.
24. Пользуясь методом Лапласа получите главный член асимптотики для n! (формулу
Стирлинга).
25. Изложите метод стационарной фазы.
26. Докажите теорему Бохера о линейной асимптотике решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
27. Докажите теорему Бохера об экспоненциальной асимптотике решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
28. Докажите теорему Бохера синусоидальной асимптотике решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
29. Выведите главный член и остаток асимптотики функций Бесселя.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
В начале модуля 2 выдаётся одно домашнее задание; в модуле 3 оно сдаётся:
Oнакопл / итоговая  Одз .
Итоговая (идущая в диплом) оценка по учебной дисциплине формируется следующим
образом:
Oитоговая  0.7  Oнакопл / итоговая  0.3  Оэкзамен .
Итоговый экзамен подразумевает проверку знаний студентов по всему курсу.
Способ округления оценок на всех этапах контроля: в пользу студента.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
[1] Н. Г. Де Брейн, Асимптотические методы в анализе, М.: ИЛ, 1961.
11.2 Основная литература
[2] Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3 томах),
8-е изд., М.: Физматлит, 2006.
[3] Р. С. Исмагилов, А. Г. Федотов, Элементарные асимптотические методы,
М.: МГИЭМ, 1997.
[4] А. Эрдейи, Асимптотические разложения, М.: ГИФМЛ, 1962.
[5] И. В. Каменев, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, М.: МИЭМ, 1982.
11.3 Дополнительная литература
[6] М. В. Федорюк, Асимптотика, интегралы и ряды, М.: Наука, 1987.
11.4 Справочники, словари, энциклопедии
Не предусмотрено.
11.5 Программные средства
Программные средства не предусмотрены.
11.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Дистанционная поддержка дисциплины не предусмотрена.
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Асимптотический анализ для направления 01.04.04
«Прикладная математика» подготовки магистра
12 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.
11