ГИПЕрБоЛИЧЕСКИЙ ТИП дВИжЕнИЯ ПАССИВно


УДК 53
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
59

Гиперболический тип движения пассивно
гравитирующего тела во второй задаче Хилла
Жапбаров С.А., Ажибеков К.Ж., Ермаханов М.Н., Бесбаев Г.А.,
Курымбаева Н., Бекболатова С.С.
Южно-Казахстанский государственный университет им. М.О. Ауэзова, Шымкент,
e-mail: [email protected]
В статье для пассивно гравитирующего тела в поле тяготения центрального и внешнего тела получены
дифференциальные уравнения орбитального движения. Найдены полярные координаты в случае гиперболического типа движения. Найденные решения можно использовать в качестве промежуточной орбиты.
Ключевые слова: гравитирующее тело, масса, движение
Hyperbolic type motion passively gravitating body
in the second task of the hill
Zhapbarov S.A., Azhibekov K.Z., Ermahanov M.N., Besbaev G.A.,
Kurymbaeva N., Bekbolatova S.S.
South Kazakhstan state University M.O. Auezov, Shymkent, e-mail: [email protected]
In an article for passively gravitating body in the gravitational field of the Central and exterior body obtained
differential equations of the orbital motion. Found polar coordinates in the case of hyperbolic type motion. The
solutions found can be used as an intermediate orbit.
Keywords: gravitating body, mass, movement
Пусть пассивно гравитирующее тело
массы m0 движется в поле тяготения центрального тела массы m1 и внешнего тела
массы m2. Пусть m1 > m2 >> m0 и внешнего
тело движется относительно центрального
тела по окружности, тогда силовая функция
плоской второй задачи Хилла имеет вид:
u=
µ 1 2
+ ϑρ ρ 2
(1)
µ f ( m1 + m2 )  – гравитационная погде=
стоянная, v – постоянный параметр, х,
у – координаты пассивно гравитирующего
тела, ρ2 = x2 + y2.
Силовая функция (1) учитывает поле тяготения шарообразного центрального тела
и некоторую часть поля тяготения внешнего тела.
Выполнив замену переменных с учетом
(1) дифференциальные уравнения движения пассивно гравитирующего тела можно
записать в следующем виде:
dv =
=
где w
wdw
α + Hw2 + 2 w3 − w4
,
dt c 3 1
=
⋅ dv µ 2 w
vc 6
c2 1
2hc 2
⋅ , H = 2 , α= 4 ,
µ
ρ µ
µ
с – постоянная интеграла площадей,
h – постоянная интеграла энергий.
Варьируя параметры α и H найдем следующие типы движения пассивно гравитирующего тела во второй задаче Хилла:
1. Прямолинейное движение α = 0,
H = 0.
2. Параболический тип движения α > 0,
H = 0.
3. Эллиптический тип движения α > 0,
H < 0.
4. Гиперболический тип движения α > 0,
H > 0.
5. Круговой тип движения α > 0, H < 0,
e = 0.
где e – эксцентриситет орбиты пассивно
гравитирующего тела.
В случае гиперболического типа движения имеем α > 0, H > 0, поэтому (2) перепишем без изменения.
dv =
wdw
α + Hw2 + 2 w3 − w4
dt c 3 1
.
=
⋅
dv µ 2 w2
(2)
Подкоренной полином имеет четыре
корня. Пользуясь теоремой и расширенной
теоремой Декарта находим, что полином
имеет один положительный и один отрицательный корень. На долю комплексных кор-
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 1, 2015
60
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

ней остается два корня. Обозначив положительный корень через α1, а отрицательный
через α2 и комплексно сопряженные через
α 3 = b1 + c1i , α 4 = b1 − c1i приходим к ситуации, которых у нас складывалось в случае
параболического движения [3].
В реальных движениях G4 ( w ) > 0, поэтому имеем два интервала которые составляют область возможности движения:

А: интервал α1 < w .
В: интервал α 2 < w < α1 .
Рассмотрим далее первый интервал
т.е. А, здесь уместно оставить обозначения без изменения, тогда в интервале
α1 < w полярные координаты пассивно
гравитирующего тела в случае А гиперболического типа движения определяется
выражениями
π
π
3π
v = ( v00 + kv01 + k 2 v02 ) u + k 2 v12 sin u + Rv21 sin u + k 2 v42 sin u +
κ
2κ
κ
+ k 2 v52 sin
=
ρ
(e
00
3π
5π
7π
9π
u + k 2 v62 sin u + k 2 v72 sin u + k 2 v82 sin u + ... 2κ
2κ
2κ
κ
π
π
2π
+ k 2 e02 ) + ( k 2 e12 + k 3e13 ) cos u + ( ke21 + k 3e23 ) cos u + k 3e33 cos u +
κ
2κ
κ
+ k 2 e42 cos
(3)
+ k 3e73 cos
3π
3π
5π
u + ( k 2 e52 + k 3e53 ) cos u + ( k 2 e62 + k 3e63 ) cos +
κ
2κ
κ
5π
7π
9π
4π
u + ( k 2 e82 + k 3e83 ) cos u + ( k 2 e112 + k 3e113 ) cos k 3e123 cos u + ..... (4)
κ
2κ
2κ
2κ
1
u =α 0t + ( k 2T12 + k 3T13 ) sin β0t + ( kT21 + k 2T22 + k 3T23 ) sin β0t +
2
3
+ ( k 2T32 + k 3T33 ) sin 2β0t + ( k 2T42 + k 3T43 ) sin 3β0t + ( k 2T52 + k 3T53 ) sin β0t +
2
5
7
+ ( k 2T62 + k 3T63 ) sin 5β0t + k 3T73 sin β0t + ( k 2T82 + k 3T83 ) sin β0t +
2
2
+ k 3T93 sin
11
9
β0t + ( k 2T102 + k 3T103 ) sin β0t + k 2T112 sin 4β0t + ... 2
2
а в случае В на интервале α 2 < w < α1 выражениями:
v=
( v00 + k 2v02 ) u + ku11 sin
ρ=
ρ00 + k 2ρ02 + k ρ11 cos
π
π
u + k 2 v32 sin u
2κ
κ
π
π
u + k 2ρ32 cos u
2κ
κ
u =α 0t + kT01 sin β1t + k 2T22 sin β1t
MODERN HIGH TECHNOLOGIES № 1, 2015
(5)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Здесь следует иметь в виду, что корни
α1, α2, α3, α4 будут совершенно другими, чем
при параболическом типе движения пассивно гравитирующего тела. В это можно убедиться определив методами алгебры границы этих корней в об их движениях.
Полученные решения пригодны и в случае малого наклона орбиты к основной
плоскости. Кроме этого решения в позиционных координатах не имеют вековых
членов. Используя (3) и (5) можно решить
пространственную вторую задачу Хилла
в случае малого наклона орбиты к основной плоскости.
Таким образом для плоской задачи Хилла найдены полярные координаты пассивно гравитирующего тела в случае гипер-

61
болического типа движения на интегралах
α1 < w , α 2 < ω < α1 , как явные функции
времени.
Полученные решения представляют собой новую плоскую промежуточную орбиту ИЗС.
Cписок литературы
1. Шинибаев Н.Д., Досыбеков С.К. Классификация типов движений во второй промежуточной орбите Хилла. //
Поиск. Научный журнал министерства науки и высшего образование. – 1999. – № 3. – С. 145–150.
2. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководства по небесной
механике и астродинамике. Глав.ред. физ. – мат. лит. – М.:
Наука, 1976. – 864 с.
3. Жапбаров С.А., Жумабекова С., Карибай Г.Ж., Колбаев Б.Р. Параболический тип движения пассивно гравитирубщего тела во второй плоской задаче Хилла. // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. – С. 3.
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 1, 2015