5.4. Применяемые показатели надежности технической системы

Если границы областей исправности во всех полях реализации
составляющих модели надежности возможно представить
функционально, а составляющие процесса (5.7) будут независимыми,
то уравнение (5.20) будет тождественно уравнению
n
П(у(i) - y(i)
m (t)) = 0,
i=1
(5.21)
где ym(i)(t) – граница области исправности в поле реализации і-го
функционального параметра.
Долговечность Т технической системы с линейной структурой
надежности представляется как случайная переменная, выраженная
формулой
Т = min {T},
i
i=1,...,n
(5.22)
где Тi – случайные переменные, которые описывают распределение
времени работы технической системы от начала эксплуатации до
момента времени, когда появляется параметрическое повреждение,
обусловленное і-м функциональным параметром.
5.4. Применяемые показатели надежности
технической системы
5.4.1. Использование показателей надежности
Одним из практических применений теории надежности является
определение и исследование количественных характеристик
надежности технических систем.
Данные о характеристиках надежности являются необходимыми
при проектировании новых механических систем (объектов).
Показатели надежности позволяют провести сравнение различных
систем (объектов), предлагаемых на рынке разными
производителями. Все чаще показатели надежности используются
также для оценки качества выполнения систем и оценки
правильности их эксплуатации.
Выбор соответствующих показателей зависит от поставленных
перед технической системой требований надежности и
конструкционно-эксплуатационных требований. Можно выделить
четыре группы показателей:
1) показатели надежности, касающиеся повреждаемости;
313
2) показатели надежности, касающиеся ремонта;
3) показатели надежности, касающиеся хранения
транспортировки (перевозки);
4) показатели надежности, касающиеся применения.
или
5.4.2. Показатели повреждаемости
1) Вероятность нормальной работы до повреждения (функция
∞
надежности)
%%
R(t) = P{T ≥ t} = ∫ f(t)dt,
t
(5.23)
~
где Т – случайная
переменная времени нормальной работы
t
~
технической системы;
f ( ) – плотность вероятности распределения
t
случайной переменной Т;
– время работы до повреждения
заменяемого элемента (системы).
Функция надежности R(t) означает вероятность того, что на
промежутке времени [0, t] техническая система не подвергнется
повреждению.
Статистическая оценка выборки для определенного момента
времени t
n(t)
R*(t) = n ,
(5.24)
где n(t) – число систем (объектов), которые на отрезке времени [0, t]
не испытали повреждений; n – количество исследуемых систем
(величина выборки).
Показатель используется для неремонтированных систем. Также
можно его применять для ремонтированных систем, однако только к
описанию первого повреждения.
2) Вероятность повреждения объекта t
%%
F(t) = P{T < t} = 1 − R(t) = ∫ f(t)dt.
0
(5.25)
Показатель F(t) означает, что на промежутке времени [0, t] система
повреждается.
Статистическая оценка выборки для определенного момента
m( t )
n − n(t )
времени t
n
=
314
n
F*(t) =
,
(5.26)
где m(t) – количество систем, поврежденных на промежутке времени
[0, t].
Область применения показателя F(t) аналогична показателю R(t).
3) Интенсивность повреждений f(t)
λ(t) =
R(t)
,
(5.27)
где λ(t) – условная плотность вероятности повреждения в момент
времени t, если до этого система работала без повреждений.
Статистическая оценка выборки для определенного момента
времени t
λ* (t) =
n(t) − n(t + Δt)
,
n(t)Δt
(5.28)
где n(t) >> 1 – количество систем, которые на промежутке времени [0,
t] не испытали повреждений; n(t + Δt) – количество систем, которые
на промежутке времени [0, t + Δt] не испытали повреждений;
Δt –
прирост времени.
Показатель используется для неремонтированных технических
систем.
4) Параметр потока повреждений
ω(t) =
dE(Tu )
,
dT
(5.29)
где Tu – случайная переменная, которая указывает количество
повреждений на отрезке времени [0,t]. Показатель ω(t) указывает
среднюю частоту повреждений, вычисленную как отношение
количества повреждений исследуемых технических систем на
протяжении достаточно малого времени к количеству этих всех
систем.
Статистическая оценка параметра потока повреждений для
определенного момента времени t в случае, когда поврежденные во
r
время исследования системы заменены новыми или
nΔt
отремонтированными,
ω*(t) =
,
(5.30)
где r = n(t) – n(t + Δt) – количество повреждений на промежутке
времени [t, t + Δt]; n – количество исследованных систем; Δt –
315
промежуток времени, на протяжении которого проводились
∞
исследования.
Показатель ω*(t) θиспользуется
только для ремонтированных
П = Е Т = tf(t)dt,
систем.
0
5) Среднее время нормальной работы
до первого повреждения
( ) ∫
(5.31)
где f(t) – плотность вероятности случайной переменной Т,
определяющей время пребывания объекта в состоянии пригодности
(время нормальной работы системы).
Показатель θП является математическим ожиданием случайной
переменной Т.
Математическое ожидание случайной переменной вычисляется
как сумма произведений значений ее величины на их вероятности.
Если возможные значения переменной будут x1, x2, x3...,xn и их
вероятности равны между собой P1=P
=...=Pn= 1/n, то математическим
1 n 2 среднее
*
ожиданием переменной θявляется
арифметическое ее
ti ,
П =
возможных значений.
n i=1
Статистическая оценка среднего времени до первого повреждения
∑
(5.32)
∞
( ) ∫
где t – время, при котором
техническая система; n –
θk = Еповреждена
Тk = tfki-я
(t)dt.
количество исследуемых систем.
0
6) Среднее время нормальной работы между повреждениями
(5.33)
Показатель θk является математическим
ожиданием случайной
1 n
время
работы между двумя
переменной Тk, определяющей
θ*k =
t ki ,
следующими повреждениями. k i=1
Статистическая оценка среднего времени между повреждениями
∑
(5.34)
где tki – время пребывания і-й технической системы в состоянии
пригодности от (k – 1)-го ремонта до появления k-го повреждения; n –
316
5.4.3. Показатели долговечности
1) Среднее календарное время эксплуатации
∞
θс = Е ( Тс ) = ∫ tfс (t)dt,
(5.35)
0
где fc(t) – плотность вероятности случайной переменной Tc.
Показатель θс является математическим ожиданием случайной
переменной Тс, которая определяет продолжительность календарного
промежутка времени от начала работы до вывода системы из
эксплуатации.
Статистическая оценка среднего календарного времени
эксплуатации
θ*с =
1 n
∑ ti ,
n i=1
(5.36)
где ti – время (в календарных единицах), после которого і-я
техническая система выведена из эксплуатации.
Показатель θ*с находит применение для неремонтированных и
ремонтированных технических систем.
2) Продолжительность (ресурс) работы неремонтированной
технической системы
Каждая техническая система характеризуется определенным
количеством выполненной работы (ее объемом) до момента
повреждения или ее вывода из эксплуатации. С понятием объема
работы связано понятие ресурса (продолжительности).
Под понятием ресурс понимается объем работы, предусмотренной
к выполнению, от начала эксплуатации до момента достижения предельного состояния.
Применяется также γ-процентный ресурс как объем работы tγ,
который достигается γp процентами систем данного типа. Этот ресурс
вычисляется согласно функции надежности при заданном уровне
вероятности γp/100 так:
R(tγ) = γp/100.
(5.37)
После решения уравнения (5.37) получаем искомый ресурс tγ.
Величина γp означает, что выраженное в процентах количество
технических систем (элементов) достигнет принятую
продолжительность работы.
317
3) Средняя продолжительность (ресурс) работы
∞
θs = Е ( Тs ) = ∫ tfs (t)dt.
(5.38)
0
Показатель θs является математическим ожиданием случайной
переменной Ts, определяющей объем работы, выполненный системой
от начала эксплуатации до момента вывода из эксплуатации.
Статистическая оценка средней продолжительности
θ*s =
1 n
∑ ti ,
n i=1
(5.39)
где tі – объем работы, выполненный і-й технической системой от
начала эксплуатации до вывода ее из эксплуатации.
Показатель θ*s может применяться для не ремонтированных и
ремонтированных технических систем.
4) Средняя продолжительность работы до первого
капитального ремонта
∞
θg = Е ( Тg ) = ∫ tfg (t)dt.
(5.40)
0
Показатель θg является математическим ожиданием случайной
переменной Tg, определяющей объем работы, выполненный системой
от начала эксплуатации до первого капитального ремонта.
Статистическая оценка средней продолжительности работы до
первого капитального ремонта
1 n
θ = ∑ ti ,
n i=1
*
g
(5.41)
где tі – объем работы, выполненный і-й технической системой за
время от начала эксплуатации до первого капитального ремонта.
5.4.4. Показатели надежности по использованию
технической системы
1) Показатель готовности технической системы
Kg =
E(Tk )
,
E(Tk ) + E(Tn )
318
(5.42)
где Tk – случайная переменная, описывающая время работы
технической системы между повреждениями; Tn – случайная
переменная, описывающая время простоя технической системы от
момента появления повреждения до момента восстановления состояния
пригодности.
Показатель Kg означает вероятность того, что техническая система
будет находиться в состоянии пригодности в произвольный момент
времени.
Статистическая оценка выборки
K*g =
n∞
,
n
(5.43)
где n∞ – количество пригодных технических систем в момент
времени, достаточно отдаленный от начала эксплуатации; n –
количество исследуемых систем.
Показатель готовности Kg* находит применение главным образом
в ремонтированных технических системах.
2) Показатель технического использования
t
%%
K w = P{Ti < t} = ∫ fi (t)dt,
0
(5.44)
где Тi – случайная переменная, описывающая время поддержания
технической системы в состоянии пригодности выполнения в
произвольный момент времени определенных функций.
Показатель Kw означает вероятность того, что в произвольный
момент времени техническая система находится в состоянии
пригодности и выполняет задачи, для которых она создана.
Статистическая оценка выборки t
K*w =
s
t s + t ns + t ps
,
(5.45)
где ts – суммарное время нормальной работы технической системы в
рассматриваемом процессе эксплуатации; tns – суммарное время
ремонтов системы в этом же периоде; tps – суммарное время,
затраченное на профилактические мероприятия технической системы
в этом же периоде.
Показатель применяется при описании ремонтированных систем.
319