Отдел образования МО «Еравнинский район» МАОУ

Отдел образования МО «Еравнинский район»
МАОУ «Исингинская средняя общеобразовательная школа»
Районная НПК «Шаг в будущее»
Секция «Математика»
МНОГОВАРИАНТНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Автор: Нимбуев М., ученик 11 класса
МАОУ «Исингинская сош»
Руководитель: Базарова О.Ц., учитель
математики МАОУ «Исош»
2014 год
Оглавление
I. Введение
II. Классификация многовариантных задач
III. Полезные утверждения необходимые для решения задач
IV. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного
расположения элементов фигуры
V. Заключение
VI. Литература
I.
Введение
Человеку
любой
профессии
приходится
сталкиваться
с
нестандартными
ситуациями, то есть ситуациями, в которых неизвестен алгоритм необходимых действий.
Такие проблемы возникают и у учащихся в процессе обучения математике. Это в
конечном итоге приводит к необходимости формирования у школьников умений ставить
и решать задачи самых разнообразных типов. Решение задач способствует пробуждению у
школьников потребности соединять знания и труд, овладевать способами познания.
Особая роль в подготовке учащихся к самостоятельной деятельности принадлежит
нестандартным задачам. К серии таких задач
относятся и планиметрические задачи,
содержащие в условии некую неопределенность, которая позволяет трактовать условие
неоднозначно. В результате удается построить несколько чертежей, удовлетворяющих
условию задачи - поэтому подобные задачи называют многовариантными.
Эти задачи зачастую оказываются самыми трудными задачами, с которыми очень
плохо справляются ученики, на ЕГЭ большинство учащихся даже не начинают решать
планиметрическую задачу, и, как следствие, теряют баллы, учитывая актуальность данной
темы, я провел исследовательскую работу.
Объект исследования - многовариантные задачи.
Предмет исследования – многовариантные задачи, включенные в школьные
учебники, сборники задач, КИМы ЕГЭ.
Гипотеза исследования – если выделить основные умения, необходимые при
решении многовариантных задач, то это будет способствовать качественному решению
задач данного содержания.
Цель исследования – математическая классификация многовариантных задач.
Цель, предмет и гипотеза исследования обусловили выдвижение и решение
следующих задач исследования:
изучить теоретический материал по данной теме;
проанализировать тексты многовариантных задач школьных учебников и задачников
для средней школы, КИМов;
научиться решать многовариантные задачи самому.
Методы исследования:
- анализ
- эксперимент
II.
Классификация многовариантных задач
Проанализировав информацию из разных источников, в согласии с авторами
пособия «Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные
задачи)»
А.Г.Коряновым,
А.А.
Прокофьевым
определяем
классификацию
многовариантных задач:
1. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного
расположения элементов фигуры
 расположение точек на прямой
 расположение точек вне прямой
 выбор обозначений вершин многоугольника
 выбор некоторого элемента фигуры
 выбор плоской фигуры
2. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного
расположения фигур
2.1. Взаимное расположение прямолинейных фигур
2.2. Взаимное расположение окружностей
 расположение центров окружностей относительно общей касательной
 расположение центров окружностей относительно их общей точки касания
 расположение центров окружностей относительно общей хорды
 расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности
 расположение точек касания окружности и прямой
Данная классификация помогает более качественно осмыслить подходы к решению
многовариантных задач и увидеть эту многовариантность в условии. Также при решении
данных задач полезно знать некоторые утверждения, которые, как правило, не
встречаются в школьных учебниках.
III. Полезные утверждения необходимые для решения задач
1) Пересекающиеся окружности в точках А и В имеют общую хорду АВ.
2) Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
3) Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.
4) Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.
5) Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
6) Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является
равнобедренной.
7) Радиус (диаметр), перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.
8) Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.
9) Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих
к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям).
10) Прямая параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от
него треугольник, подобный данному.
11) Вписанный угол измеряется половиной дуг, на которую он опирается.
12) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на
середине гипотенузы.
IV. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании
взаимного расположения элементов фигуры
В данной работе хочу представить несколько задач на неоднозначность описания
взаимного расположения элементов фигуры.
Рассмотрим задачу на расположение точек на прямой.
Задача. Вычислить площадь треугольника, если две его стороны равны 25 и 17,
а высота, проведенная к третьей стороне, равна 15.
Комментарий. Неоднозначность формулировки состоит в том, что в условии не
указано, лежит или нет основание высоты, проведенной к третьей стороне, на ней.
Возможно два варианта чертежа
Ответ: 210 или 90
Рассмотрим задачу на расположение точек вне прямой.
В задачах этого типа точки могут располагаться в одной или разных полуплоскостях
и связаны некоторым условием (например, принадлежат одной окружности, лежат на
одном перпендикуляре и т.д.)
Задача. Окружность радиуса 2 касается стороны AC прямоугольного треугольника
ABC в точке C. Найти расстояние от вершины B до центра окружности, если катеты
треугольника AB и AC равны 5 и 4 соответственно.
Комментарий. В данном примере возможно два варианта
рисунков, удовлетворяющих условию задачи, так как центр
окружности может лежать выше или ниже прямой AC. Дальше, используя теорему
Пифагора, нетрудно получить ответ.
Ответ: 5 или 65.
Рассмотрим задачу на выбор обозначений вершин многоугольника.
К задачам этого типа относят такие задачи, условие которых допускает различные
решения в зависимости от варианта буквенного обозначения вершин многоугольника.
Задача.
являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника,
отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S. Найти площадь
треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C. Комментарий. При решении
данной задачи необходимо рассмотреть четыре случая.
Ответ: S или 3S.
Рассмотрим задачу на выбор некоторого элемента фигуры.
К задачам этого типа относят такие задачи, в условии которых дана числовая
величина элемента фигуры, но не указано какого конкретно из имеющихся. В случае
линейного элемента это может быть, например, сторона многоугольника или длина
отрезка перпендикуляра, опущенного на сторону фигуры, и т.д. В случае углового
элемента это может быть, например, какой-то из углов фигуры.
Задача. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия. Найти площадь
треугольника CMN.
Комментарий. При решении данной задачи неоднозначность состоит в выборе
средней линии. Необходимо рассмотреть три случая, даже если они приводят к одному
ответу.
V. Заключение
Подводя итоги работы, я пришел к выводу, что что в школьном курсе геометрии
многовариантным задачам место не отведено. Эти задачи традиционно популярны при
проведении всевозможных конкурсов, олимпиад, а так же имеет место на ЕГЭ.
Умение решать многовариантные задачи позволяет учащимся овладеть конкретными
математическими
знаниями,
необходимыми
для
применения
в
практической
деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей,
умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа,
самостоятельно выполнять различные творческие работы.
Данная работа способствовала совершенствованию и расширению моего круга
знаний.
Умений
и
навыков
производить
необходимые
вычисления,
«видеть»
неопределенность задачи.
В работе я постарался провести классификацию многовариантных задач, собрать
некоторые утверждения полезные при решении задач и дать подробное решение
планиметрических задач с простейшими условиями.
Литература
1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. «Планиметрические задачи с неоднозначностью в
условии (многовариантные задачи)» Москва, Брянск, 2013
2. Гордин Р.К. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия / под
ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011
3. Демоварианты ЕГЭ по математике 2010, 211, 2012, 2013 годов.
4. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по
геометрии. Учеб.-метод. пособие. — К.: Магистр, 1996 (глава IV
«Многовариантные задачи»).
Рецензия
на работу по математике
ученика 11 класса Нимбуева Мэргэна
на тему « Многовариантные геометрические задачи»
Работа
Нимбуева
Мэргэна
посвящена
планиметрическим
задачам
с
неоднозначностью в условии. Рецензируемая работа чётко структурирована: имеются
введение, постановка задач, основное содержание,
выводы, список изученной
литературы. Актуальность данной работы не вызывает сомнений.
Материалы работы свидетельствуют о том, что исследователь внимательно изучил
материал по данной теме. Думаю, что Мэргэну еще нужно было рассмотреть
многовариантные задачи как
результат
неоднозначности
в задании
взаимного
расположения фигур. Работа имеет практическую значимость: собранные информации и
данные можно использовать при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам.
Учитывая сложность предмета исследования, творческий подход, считаю, что работа
заслуживает высокой оценки.
Учитель математика МАОУ «ИСОШ»:_____/О.Ц.Базарова/