Оптимизация налоговой системы в условиях уклонения от налогов

Êîíñîðöèóì ýêîíîìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è îáðàçîâàíèÿ
Ñåðèÿ "Íàó÷íûå äîêëàäû"
lαabcd
Îïòèìèçàöèÿ íàëîãîâîé ñèñòåìû
â óñëîâèÿõ óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ
Ðîëü îãðàíè÷åíèé íà øòðàô
lαabcd
À.À. Âàñèí
Ï.À. Âàñèíà
Íàó÷íûé äîêëàä ¹ 01/09
Ïðîåêò (¹ 99-245) ðåàëèçîâàí ïðè ïîääåðæêå
Êîíñîðöèóìà ýêîíîìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è îáðàçîâàíèÿ
Äîêëàä ïóáëèêóåòñÿ â ðàìêàõ íàïðàâëåíèÿ
Ýêîíîìèêà îáùåñòâåííîãî ñåêòîðà
Ìíåíèå àâòîðîâ ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ òî÷êîé çðåíèÿ Êîíñîðöèóìà
 À.À. Âàñèí, Ï.À. Âàñèíà 2002
Êëàññèôèêàöèÿ JEL: C70, C72, H26
ÂÀÑÈÍ À.À., ÂÀÑÈÍÀ Ï.À. Îïòèìèçàöèÿ íàëîãîâîé ñèñòåìû
â óñëîâèÿõ óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ:
ðîëü îãðàíè÷åíèé íà øòðàô. — Ì.: EERC, 2002. — 48 c.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ ãðóïïû èíäèâèäóóìîâ, äîõîäû êîòîðûõ âûñòóïàþò íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè
âåëè÷èíàìè ñ îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì. Äîõîä àãåíòà ÿâëÿåòñÿ
åãî ÷àñòíîé èíôîðìàöèåé è ìîæåò áûòü âûÿñíåí òîëüêî ïóòåì àóäèòà, òðåáóþùåãî çàòðàò. Öåëü ðàáîòû — îïèñàíèå îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðû íàëîãîâûõ ñòàâîê è ñòðàòåãèè ïðîâåðîê, ìàêñèìèçèðóþùèõ
÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ, îòðàæàþùèõ èíòåðåñû íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Àâòîðû îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ, óñòîé÷èâóþ ê óêëîíåíèþ, â çàâèñèìîñòè îò îãðàíè÷åíèÿ íà
øòðàô. Îíè ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ óêëîíåíèå
îò íàëîãîâ ìîæåò óâåëè÷èòü ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä, íî îáû÷íî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: Ðîññèÿ, îïòèìàëüíàÿ ñòðóêòóðà íàëîãîâûõ ñòàâîê,
îãðàíè÷åíèå íà øòðàô, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ ñòðàòåãèÿ.
Áëàãîäàðíîñòè. Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü Õóàíó Êàðèëüî,
Äæèìó Ëÿéöåëó è Ëåîíèäó Ïîëèùóêó çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.
Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷ Âàñèí
Ïîëèíà Àëåêñàíäðîâíà Âàñèíà
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà
119899, Ìîñêâà, Âîðîáüåâû Ãîðû, ÌÃÓ,
2-îé ó÷åáíûé êîðïóñ, ô-ò ÂÌèÊ
Òåë.: (095) 939 24 91
Ôàêñ: (095) 939 25 96
E-mail: vasin@cs.msu.ru
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎÑÛËÊÈ È ÂÛÂÎÄÛ
5
1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ
7
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
2.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè. Ïåðâîå ëó÷øåå ðåøåíèå
2.2. Ìîäåëü ñ äâóìÿ âîçìîæíûìè óðîâíÿìè äîõîäà
2.3. Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè, óñòîé÷èâûå ê óêëîíåíèþ
3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ
3.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè
3.2. Îá îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòîâ, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ
3.3. Îáùåêîíòðàêòíûé ïîäõîä
11
11
16
25
30
30
32
32
4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
34
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
38
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
47
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎÑÛËÊÈ È ÂÛÂÎÄÛ
5
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎÑÛËÊÈ È ÂÛÂÎÄÛ
 êðàòêîñðî÷íîé ïåðñïåêòèâå ðîññèéñêàÿ ýêîíîìèêà ñòàëêèâàåòñÿ
ñî ñëåäóþùåé äèëåììîé. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóþò âàæíûå
ïðè÷èíû (áîëüøîé âíåøíèé äîëã, îñòðûå ñîöèàëüíûå ïðîáëåìû)
äëÿ óâåëè÷åíèÿ áþäæåòíûõ ðàñõîäîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îáùåìó
ìíåíèþ, íàëîãîâûå ñòàâêè äîëæíû áûòü ïîíèæåíû, òàê êàê ïðè íûíåøíèõ ðàáîòàòü ÷åñòíî íåâîçìîæíî.
Âîçìîæíîñòü ðàçðåøèòü ýòó äèëåììó îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ñóáúåêòîâ ýêîíîìèêè íå ïëàòèò ñåé÷àñ íàëîãè. Ñîãëàñíî îöåíêàì ýêñïåðòîâ Âñåìèðíîãî Áàíêà è ÌÂÔ, ðåàëüíûé íàëîãîâûé äîõîä â 1999 ã. ñîñòàâèë ìåíåå 50% îò óðîâíÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷åñòíîìó ïîâåäåíèþ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ.
Óìåíüøåíèå íàëîãîâûõ ñòàâîê ñàìî ïî ñåáå íå óâåëè÷èò íàëîãîâûé
äîõîä. Òå, êòî íå ïëàòèë íàëîãè, ïî-ïðåæíåìó íå áóäóò èõ ïëàòèòü, à
òå, êòî ïëàòèë, áóäóò ïëàòèòü ìåíüøå. Ðåàëüíûé ñïîñîá ðàçðåøåíèÿ
äèëåììû — îäíîâðåìåííàÿ îïòèìèçàöèÿ íàëîãîâûõ ñòàâîê è ñòðàòåãèè ïðîâåðîê.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåòè÷åñêèå
çàäà÷è. Îñíîâíàÿ ìîäåëü âêëþ÷àåò ïðàâèòåëüñòâî è ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè äîõîäàìè ñ îäèíàêîâûì
ðàñïðåäåëåíèåì. Âñå íàëîãîïëàòåëüùèêè è ïðàâèòåëüñòâî çíàþò
ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà â íà÷àëå ïåðèîäà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè äî óïëàòû íàëîãà êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê âûÿñíÿåò ñâîé
ñîáñòâåííûé äîõîä è ñîîáùàåò î íåì ïðàâèòåëüñòâó (íåîáÿçàòåëüíî
ïðàâäèâî). Ïðàâèòåëüñòâî íå çíàåò êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé äîõîäà.
Îíî ìîæåò îðãàíèçîâàòü íàëîãîâóþ ïðîâåðêó àãåíòîâ, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòü óêëîíåíèå. Àóäèò âñåãäà îïðåäåëÿåò ðåàëüíûé äîõîä è
èìååò ôèêñèðîâàííóþ ñòîèìîñòü. Ïðàâèòåëüñòâî ñîáèðàåò íàëîãè
ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùåãî ìåõàíèçìà. Îíî óñòàíàâëèâàåò ñòðóêòóðó
íàëîãîâûõ ñòàâîê, çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà,
ñòðóêòóðó øòðàôîâ, çàâèñÿùóþ îò ðåàëüíîãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî
äîõîäà, è âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî
äîõîäà.
Íàøà öåëü — èññëåäîâàòü çàäà÷ó íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè â ïîñòàíîâêå "ïðèíöèïàë-àãåíò", òî åñòü íàéòè ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà,
ìàêñèìèçèðóþùóþ ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè àãåíòîâ è ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ. Îæèäàåìûé äîõîä àãåíòà äîëæåí ïðåâûøàòü çàäàííûé æåëàòåëüíûé óðîâåíü. Ïðè
6
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
íàèõóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå äîõîä àãåíòà äîëæåí ïðåâûøàòü ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó, íåîáõîäèìóþ äëÿ "âûæèâàíèÿ" íàëîãîïëàòåëüùèêà.
Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëåäóþùèå âàðèàíòû îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô: a)
øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, b)
÷èñòûé øòðàô (çà âû÷åòîì íåäîïëà÷åííîãî íàëîãà) ïðîïîðöèîíàëåí
ñîêðûòîìó äîõîäó; c) øòðàô îãðàíè÷åí èç-çà çàäàííîé ìèíèìàëüíîé
âåëè÷èíû äîõîäà àãåíòà; d) øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó
ñîêðûòîìó äîõîäó.
Ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû. Âñåãäà îïòèìàëüíî
óñòàíàâëèâàòü ìàêñèìàëüíûé ïðè óêàçàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ âìåíåííûé íàëîã. Åñëè äèñïåðñèÿ äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà îòíîñèòåëüíî
ìàëà, òî ââåäåíèå ëþáîãî äðóãîãî äîïîëíèòåëüíîãî íàëîãà íå óâåëè÷èò ÷èñòûé äîõîä. Íî åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáûëè âåëèêà, à çàòðàòû íà ïðîâåðêó îòíîñèòåëüíî íèçêè, òî, ñîãëàñíî îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðå íàëîãîâûõ ñòàâîê, ñî âñåõ äîõîäîâ, ìåíüøèõ
íåêîòîðîãî ïîðîãà, áåðåòñÿ òàêîé íàëîã, ÷òî îñòàòîê ðàâåí ìèíèìàëüíîìó óðîâíþ äîõîäà, à äëÿ âñåõ áîëüøèõ äîõîäîâ íàëîã ïîñòîÿíåí. Îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé ïðîâåðîê ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîå "ïîðîãîâîå" ïðàâèëî: äåêëàðàöèè äîõîäà, ìåíüøåãî, ÷åì ïîðîãîâîå çíà÷åíèå, ïðîâåðÿþòñÿ ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò
óêëîíåíèå îò íàëîãîâ íåâûãîäíûì, à îñòàëüíûå äåêëàðàöèè íå ïðîâåðÿþòñÿ. Â íåêîòîðîì ñìûñëå îïòèìàëüíûé êîíòðàêò íå çàâèñèò îò
íàêàçàíèÿ: íå âàæíî, ïðîïîðöèîíàëåí ëè øòðàô íåäîïëà÷åííîìó
íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó, èëè âêëþ÷àåò îáå êîìïîíåíòû. Ñóììà
øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè è ïîðîãîâûé óðîâåíü äîõîäà.
Âàæíûé àñïåêò — ÿâëÿåòñÿ ëè óêàçàííûé êîíòðàêò îïòèìàëüíûì
â öåëîì, òî åñòü, âñåãäà ëè óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ îïòèìàëüíàÿ
íàëîãîâàÿ ïîëèòèêà ïðàâèòåëüñòâà.  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîé òî÷êîé çðåíèÿ, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà
äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ äëÿ íåêîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè
óêàçàííûõ âàðèàíòàõ øòðàôà a èëè b. Ýòî ïðîèñõîäèò, åñëè èìåþòñÿ
äâà âîçìîæíûõ óðîâíÿ äîõîäà, åãî äèñïåðñèÿ íå âåëèêà è íå ìàëà,
à øòðàô çà óêëîíåíèå îòíîñèòåëüíî ìàë. Îäíàêî äëÿ òèïè÷íûõ
íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé äîõîäà îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëåí â öåëîì (ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè
øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó). Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèé c èëè d.
1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ
7
1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èíôîðìàöèîííûå àñèììåòðèè íàêëàäûâàþò ñóùåñòâåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà âûáîð íàëîãîâîé ïîëèòèêè.  áîëüøåé ÷àñòè ëèòåðàòóðû,
ïîñâÿùåííîé îïòèìàëüíîìó íàëîãîîáëîæåíèþ (Reinganum, Wilde,
1985; Border, Sobel, 1987; Chander, Wilde, 1998 è äð.), äîõîäû èíäèâèäóóìîâ çàäàþòñÿ ýêçîãåííî. Èíôîðìàöèîííûå îãðàíè÷åíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ, òàê êàê äîõîä èíäèâèäóóìà ïðÿìî íå íàáëþäàåì. Åãî ìîæíî
óñòàíîâèòü òîëüêî ïóòåì àóäèòà. Â äàííîé ïîñòàíîâêå ñòðàòåãèÿ
ïðàâèòåëüñòâà äîëæíà âêëþ÷àòü, êðîìå íàëîãîâûõ ñòàâîê, ñòðàòåãèþ
ïðîâåðîê è ñõåìó íàêàçàíèé çà íåïðàâèëüíóþ äåêëàðàöèþ äîõîäîâ.
Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò âîïðîñ î âçàèìîçàâèñèìîñòè îïòèìàëüíûõ íàëîãîâûõ ñòàâîê, ñòðàòåãèè ïðîâåðîê, îãðàíè÷åíèé ó÷àñòèÿ è
îãðàíè÷åíèé íà øòðàô.
Ðàííèå ðåçóëüòàòû â îáëàñòè îïòèìàëüíîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ (ñì.
Atkinson, Stiglitz, 1980) îòíîñÿòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà âñå íàëîãîïëàòåëüùèêè íåéòðàëüíû ê ðèñêó, èõ îãðàíè÷åíèå ó÷àñòèÿ ñâÿçàíî ñ
îæèäàåìûì äîõîäîì ïîñëå óïëàòû íàëîãà, è ïðàâèòåëüñòâî çíàåò
òèï êàæäîãî àãåíòà, â ÷àñòíîñòè, âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå åãî
äîõîäà. Òîãäà, ñîãëàñíî Òåîðåìå î áëàãîñîñòîÿíèè (òàì æå) óïîìÿíóòàÿ àñèììåòðèÿ èíôîðìàöèè íåñóùåñòâåííà, ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò äîñòèãíóòü ïåðâîãî ëó÷øåãî ðåçóëüòàòà ïîñðåäñòâîì âìåíåííîãî íàëîãà, çàâèñÿùåãî îò òèïà àãåíòà, è íåîáõîäèìîñòü â àóäèòå îòñóòñòâóåò.
Îäíàêî íà ïðàêòèêå íàëîãîïëàòåëüùèêè íå ìîãóò áûòü ïîëíîñòüþ
íåéòðàëüíû ê ðèñêó ïðè ïðîèçâîëüíîé íàëîãîâîé ïîëèòèêå. Íàïðèìåð, äëÿ ôèðìû îáû÷íî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå
(çàâèñÿùåå îò åå òèïà), òàêîå, ÷òî, åñëè äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ îêàæåòñÿ íèæå ýòîãî ïîðîãà, òî ôèðìà íå ìîæåò ïîëó÷èòü êðåäèò è ñòàíîâèòñÿ áàíêðîòîì. Èçâåñòíûå ìîäåëè îïòèìàëüíîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ â óñëîâèÿõ óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ (Chander, Wilde, 1998;
Mookherjee, Png, 1989) ïðèíèìàþò â ðàñ÷åò ýòî óñëîâèå â âèäå îãðàíè÷åíèÿ ó÷àñòèÿ. Òàê, äîõîä íàëîãîïëàòåëüùèêà ïîñëå óïëàòû
íàëîãà è øòðàôà ïðåäïîëàãàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì ïðè ëþáûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ, êàê áóäòî ôèðìà íà÷èíàåò áåñêîíå÷íî èçáåãàòü ðèñêà
ïðè èñõîäàõ íèæå ïîðîãîâîãî óðîâíÿ.  ýòîì ñëó÷àå îïòèìàëüíûé
íàëîã, â îáùåì, çàâèñèò îò äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà, è îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé ïîëèòèêè ñòàíîâèòñÿ íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â áîëüøåé ÷àñòè ëèòåðàòóðû ïî îïòèìàëüíîìó
íàëîãîâîìó ïðèíóæäåíèþ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèáî ïîñòîÿííûå ïðå-
8
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
äåëüíûå íàëîãîâûå ñòàâêè, ëèáî ôèêñèðîâàííûå íàëîãè è øòðàôû
(ñì. Cremer, Marchand, Pestieau, 1990; Sanchez, Sobel, 1993).
Mookherjee è Png (1989) èññëåäóþò çàäà÷ó íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ
â ïîñòàíîâêå, áëèçêîé ê òåîðèè êîíòðàêòîâ. Îíè ðàññìàòðèâàþò íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, èçáåãàþùèõ ðèñêà, è âêëþ÷àþò â ñâîþ ìîäåëü
ïðîáëåìó ìîðàëüíîãî ðèñêà, ïðè ýòîì äîïóñêàþòñÿ ëþáûå ñòàâêè
íàëîãîâ è øòðàôîâ, óäîâëåòâîðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì ó÷àñòèÿ. Èõ ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî òàêîé ïîäõîä èìååò íåêîòîðûå íåäîñòàòêè: íàéäåííàÿ èìè îïòèìàëüíàÿ ñõåìà øòðàôîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ñëåäóåò øòðàôîâàòü óêëîíÿþùåãîñÿ îò íàëîãà íà ñóììó âñåãî äîõîäà íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû ñîêðûòîãî äîõîäà. Î÷åâèäíî, òàêîå ïðàâèëî íå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî íà ïðàêòèêå. Áîëåå òîãî, êàê çàìå÷àþò Chander è Wilde (ñ. 177), íåðåàëèñòè÷íî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
øòðàôû ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðîì âûáîðà íàëîãîâîãî ðóêîâîäñòâà. Íà
ïðàêòèêå øòðàôû ìîãóò áûòü îãðàíè÷åíû, íàïðèìåð, îáùåïðèíÿòîé
ýòè÷åñêîé íîðìîé, ïðåäïîëàãàþùåé, ÷òî íàêàçàíèå äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü òÿæåñòè ïðåñòóïëåíèÿ.
Chander è Wilde (äàëåå CW) èññëåäóþò çàäà÷ó íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, íåéòðàëüíûõ ê ðèñêó, ñ ýêçîãåííî çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà. Èñõîäÿ èç óêàçàííûõ àðãóìåíòîâ,
îíè ðàññìàòðèâàþò äðóãîé òèï îãðàíè÷åíèÿ íà íàêàçàíèå: øòðàô
ïîñëå ïðîâåðêè ðàâåí ñîêðûòîìó äîõîäó. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ýôôåêòèâíîé ñõåìû, âêëþ÷àþùåé íàëîã, øòðàô è ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòè
ïðîâåðêè, òàêèå, ÷òî íèêàêàÿ äðóãàÿ ñõåìà íå ïîçâîëÿåò óâåëè÷èòü
îæèäàåìûé ïëàòåæ ëþáîãî ïëàòåëüùèêà áåç óâåëè÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ïðîâåðêè äëÿ íåêîòîðîãî äåêëàðèðîâàííîãî äîõîäà. Àâòîðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñõåì, óñòîé÷èâûõ
ê óêëîíåíèþ, è óñòàíàâëèâàþò èõ îáùèå ñâîéñòâà: íàëîãîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü íåóáûâàþùåé ñ íåâîçðàñòàþùåé ñðåäíåé ñòàâêîé
íàëîãà, âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ñòàâêîé íàëîãà è íå âîçðàñòàåò.
Îòìåòèì, ÷òî ïðîáëåìà íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè èçó÷àëàñü ïðè
îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô, íå èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå.  äåéñòâèòåëüíîñòè îáíàðóæåííûé íåïëàòåëüùèê äîëæåí êîìïåíñèðîâàòü
âûÿâëåííûé íåóïëà÷åííûé íàëîã è òàêæå çàïëàòèòü íåêîòîðûé
øòðàô.  îäíèõ ñòðàíàõ îí ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, â íåêîòîðûõ äðóãèõ (âêëþ÷àÿ Ðîññèþ) — ñîêðûòîìó äîõîäó.
Íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, äëÿ òàêèõ óñëîâèé íå áûëî ïîëó÷åíî ðåçóëüòàòîâ îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòà, óñòîé÷èâîãî ê
óêëîíåíèþ. Áîëåå òîãî, â ëèòåðàòóðå óñòàíîâëåíû íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé ñõåìû, íî íå óêàçàí ìåòîä
åå ðàñ÷åòà.
1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ
9
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èçó÷åíà ïðîáëåìà íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ
ðàçíûõ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô è íàéäåíà îïòèìàëüíàÿ ñòðóêòóðà íàëîãîâûõ ñòàâîê â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèêè íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû âûÿñíÿåì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ, à òàêæå óêàçûâàåì âîçìîæíûå
ïðè÷èíû òîãî, ÷òî ïðàâèòåëüñòâî äîïóñêàåò íåêîòîðûé óðîâåíü óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ.
Íàøà îñíîâíàÿ ìîäåëü âêëþ÷àåò ïðàâèòåëüñòâî è ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè äîõîäàìè ñ îäèíàêîâûì
ðàñïðåäåëåíèåì. Ïðàâèòåëüñòâî ("ïðèíöèïàë") è êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ("àãåíò") çíàþò ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè äî óïëàòû íàëîãà àãåíò âûÿñíÿåò ñâîé äîõîä, ïðàâèòåëüñòâî æå íå çíàåò êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé ïîñëåäíåãî. Àãåíò ñîîáùàåò î ñâîåì äîõîäå ïðàâèòåëüñòâó, à îíî, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò
îðãàíèçîâàòü íàëîãîâóþ ïðîâåðêó àãåíòà, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòü óêëîíåíèå. Àóäèò âñåãäà îïðåäåëÿåò ðåàëüíûé äîõîä è èìååò ôèêñèðîâàííóþ ñòîèìîñòü. Ïðàâèòåëüñòâî ñîáèðàåò íàëîãè ïîñðåäñòâîì
ñëåäóþùåãî ìåõàíèçìà. Îíî óñòàíàâëèâàåò íàëîãîâóþ ñòàâêó (ïëàòåæ äî ïðîâåðêè), çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà, íàçíà÷àåò øòðàô (ïëàòåæ ïîñëå ïðîâåðêè), çàâèñÿùèé îò ðåàëüíîãî è
çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà, à òàêæå âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà.
Íàøà öåëü — èññëåäîâàòü çàäà÷ó íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè â ïîñòàíîâêå "ïðèíöèïàë-àãåíò", òî åñòü íàéòè ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà,
ìàêñèìèçèðóþùóþ ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä (äîõîä çà âû÷åòîì çàòðàò íà àóäèò) ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè àãåíòîâ è îãðàíè÷åíèÿõ
ó÷àñòèÿ, îòíîñÿùèõñÿ ê äîõîäàì íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê íåéòðàëåí ê ðèñêó è ñòðåìèòñÿ
ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ.
Ìû ðàññìàòðèâàåì äâà òèïà îãðàíè÷åíèé ó÷àñòèÿ: îäíî, îñíîâàííîå
íà îæèäàåìîì äîõîäå ïîñëå âûïëàòû íàëîãîâ è øòðàôîâ, âòîðîå —
íà ðåàëèçîâàâøåéñÿ âåëè÷èíå äîõîäà ïîñëå âûïëàòû íàëîãîâ è
øòðàôîâ.
1. Îæèäàåìûé ñðåäíèé äîõîä àãåíòà ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè
äîëæåí ïðåâûøàòü çàäàííûé æåëàòåëüíûé óðîâåíü ñðåäíåãî
äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà, íàçûâàåìûé "àëüòåðíàòèâíûì äîõîäîì".
2. Òàê êàê äîõîä êàæäîãî àãåíòà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ìû
òðåáóåì, ÷òîáû ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè è íàèõóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå äåéñòâèòåëüíûé (íå îæèäàåìûé) äîõîä àãåíòà
ïðåâûøàë ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó, íåîáõîäèìóþ äëÿ "âûæèâàíèÿ"
íàëîãîïëàòåëüùèêà.
10
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
Äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ñëåäóþùèå âàðèàíòû äîïóñòèìûõ øòðàôîâ, íàëàãàåìûõ íà âûÿâëåííûõ àãåíòîâ, óêëîíÿþùèõñÿ îò íàëîãà:
a) øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó,
b) ÷èñòûé øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí ñîêðûòîìó äîõîäó; c) øòðàô îãðàíè÷åí èç-çà çàäàííîé ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû äîõîäà àãåíòà ïîñëå
âûïëàòû íàëîãîâ è øòðàôîâ; d) âûïëàòà ïîñëå ïðîâåðêè ïðîïîðöèîíàëüíà îáíàðóæåííîìó ñîêðûòîìó äîõîäó.
Íàøè îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ñîñòîÿò â ñëåäóþùåì. Â òî âðåìÿ êàê
îïòèìàëüíûé êîíòðàêò âñåãäà óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô c è d, óêëîíåíèå îò íàëîãà "áîãàòûõ" àãåíòîâ ìîæåò
áûòü, îäíàêî, îïòèìàëüíî äëÿ ïðàâèòåëüñòâà â ñëó÷àå äâóõ óðîâíåé
äîõîäà, åñëè ÷èñòûé øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó
èëè ñîêðûòîìó äîõîäó (âàðèàíòû øòðàôà a, b) è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äîñòàòî÷íî ìàë. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà ñðåäè ñòðàòåãèé, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëüíûé
íàëîã ëèáî ðàâåí âñåìó äîõîäó, ïðåâûøàþùåìó ìèíèìàëüíûé óðîâåíü, äëÿ íåâûñîêèõ äîõîäîâ è ïîñòîÿíåí äëÿ áîëüøèõ äîõîäîâ, ëèáî îí ïîñòîÿíåí äëÿ âñåõ äîõîäîâ.  ïåðâîì ñëó÷àå îïòèìàëüíàÿ
ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê — âåðîÿòíîñòíîå ïîðîãîâîå ïðàâèëî (ñð.
Sanchez, Sobel, 1993): êàæäûé äåêëàðèðîâàííûé äîõîä, ìåíüøèé íåêîòîðîãî ïîðîãà, ïðîâåðÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå íåâûãîäíûì, à êàæäûé äîõîä, áîëüøèé ïîðîãà, íå ïðîâåðÿåòñÿ. Ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô a è îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ,
óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëüíà â öåëîì.
Ìû îáîáùàåì íåêîòîðûå èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ áîëåå îáùåé ìîäåëè, â êîòîðîé ðåçóëüòàò ïðîâåðêè çàâèñèò íå òîëüêî îò óñèëèÿ
ïðàâèòåëüñòâà, íî òàêæå îò ñîîòíîøåíèÿ âñåãî äîõîäà è ñîêðûòîãî
äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà.
Íàó÷íàÿ íîâèçíà íàñòîÿùåé ñòàòüè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Êðîìå îãðàíè÷åíèé íà øòðàô c è d, èçó÷åííûõ CW, ðàññìîòðåíû äâà äðóãèõ
ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ âàðèàíòà è ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò
íåîáÿçàòåëüíî óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ. Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü õàðàêòåðèñòèê îïòèìàëüíîãî êîíòðàêòà îò øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ,
àëüòåðíàòèâíîãî äîõîäà è äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Ïîëó÷åíû
"ïðîçðà÷íûå" ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà, âêëþ÷àÿ òî÷íî îïðåäåëåííûå ïðàâèëà ïðîâåðêè è ñòðóêòóðó íàëîãîâûõ ñòàâîê. Ïîñòðîåíà îáîáùåííàÿ ìîäåëü, â êîòîðîé
ðåçóëüòàò ïðîâåðêè çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óñèëèåì ïðàâèòåëüñòâà, ïîëíûì è ñîêðûòûì äîõîäàìè íàëîãîïëàòåëüùèêà. Äëÿ
íåå îáîáùåíû ðåçóëüòàòû CW îá îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòîâ, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ.
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
11
Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ, êîòîðûå îãðàíè÷èâàþò íàø àíàëèç, äîñòàòî÷íî ñòàíäàðòíû, íàïðèìåð, èõ èñïîëüçóþò CW. Êàê è â áîëüøåé
÷àñòè ëèòåðàòóðû, â íàøåé ðàáîòå íå ó÷èòûâàåòñÿ âîçäåéñòâèå íàëîãîîáëîæåíèÿ íà ïðîèçâîäñòâåííóþ àêòèâíîñòü íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû íå äóìàåì, ÷òî ó÷åò ýòîãî âîçäåéñòâèÿ êà÷åñòâåííî èçìåíèë
áû íàøè ðåçóëüòàòû. Êàê ïîêàçûâàåò Mirrlees (1971), ïîäîáíûå ýôôåêòû ìîãóò òîëüêî óñèëèòü ðåãðåññèâíîñòü îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé
øêàëû. Íî íàéäåííàÿ íàìè îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòðóêòóðà óæå
÷ðåçâû÷àéíî ðåãðåññèâíà.
Äðóãîå îñíîâíîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàëîãîïëàòåëüùèêè íåéòðàëüíû ê ðèñêó. Òàê êàê ìû êîíöåíòðèðóåìñÿ íà íàëîãîîáëîæåíèè ôèðì è ââîäèì îãðàíè÷åíèå, ïðåäîòâðàùàþùåå èõ áàíêðîòñòâî, òî ýòî óñëîâèå êàæåòñÿ íå ñëèøêîì îãðàíè÷èòåëüíûì.
Îò÷åò ïîñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðàçäåëå 2.1 îïèñàíà îñíîâíàÿ ìîäåëü.  ðàçäåëå 2.2 ðåøàåòñÿ çàäà÷à íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè
äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ âîçìîæíûõ óðîâíåé äîõîäà è óñòàíàâëèâàåòñÿ, ïðè
êàêèõ óñëîâèÿõ óêëîíåíèå îò íàëîãîâ âûãîäíî ïðàâèòåëüñòâó.  ðàçäåëå 2.3 îïðåäåëÿåòñÿ îïòèìàëüíûé óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ êîíòðàêò äëÿ ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô.  ðàçäåëå 3 èçó÷àåòñÿ
îáîáùåííàÿ ìîäåëü, ãäå ðåçóëüòàò ïðîâåðêè çàâèñèò íå òîëüêî îò
óñèëèÿ ïðàâèòåëüñòâà, íî è îò åãî ñîîòíîøåíèÿ ñ ïîëíûì è ñîêðûòûì äîõîäàìè íàëîãîïëàòåëüùèêà.  ðàçäåëå 3.2 ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò ïî-ïðåæíåìó óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ñ èëè d.  ðàçäåëå 3.3 çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îáùèõ êîíòðàêòîâ è ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò
îïòèìàëüíûé ïðîñòîé êîíòðàêò ïðè îãðàíè÷åíèè ñ. Ðàçäåë 4 çàâåðøàåò ðàáîòó ôîðìóëèðîâêîé òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ âûâîäîâ,
îòíîñÿùèõñÿ ê ðîññèéñêîé ýêîíîìèêå. Òåõíè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà
íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé îòíåñåíû â Ïðèëîæåíèå.
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
2.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè. Ïåðâîå ëó÷øåå ðåøåíèå
Ðàññìàòðèâàåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïðàâèòåëüñòâîì è ãðóïïîé
íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Äîõîä I êàæäîãî íàëîãîïëàòåëüùèêà — íåçàâèñèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ G(I) , îïðåäåëåííîé íà îòðåçêå [IL , IH ] . Çíà÷åíèå äîõîäà — ÷àñòíàÿ èíôîðìàöèÿ íàëîãîïëàòåëüùèêà. Ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà sG , èëè ïðîñòîé
êîíòðàêò, âêëþ÷àåò òðè êîìïîíåíòû: íåóáûâàþùóþ íàëîãîâóþ ôóíê-
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
12
öèþ T (Ir ) , ãäå Ir (I) ∈ [IL , I] — çàðåãèñòðèðîâàííûé äîõîä, âåðîÿòíîñòü
ïðîâåðêè p(Ir ) ∈ [0,1] è ôóíêöèþ øòðàôà F (I, Ir ) , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò
äîïîëíèòåëüíûé ïëàòåæ àãåíòà â çàâèñèìîñòè îò åãî äåéñòâèòåëüíîãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà. Â ýòîé âåðñèè ìîäåëè àóäèò âñåãäà îáíàðóæèâàåò äåéñòâèòåëüíûé äîõîä, è ñòîèìîñòü c àóäèòà
ôèêñèðîâàíà.
Ïðè çàäàííîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê
ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì,
â çàâèñèìîñòè îò ðåàëüíîãî äîõîäà åãî çàÿâëåííûé äîõîä ñîñòàâèò
def
Ir (I, sG ) → min{T (Ir ) + p(Ir )F (I, Ir )} = Teff (I, sG ) .
Ir
(2.1.1)
Âåëè÷èíà ñïðàâà — ýòî ýôôåêòèâíûé íàëîã èëè îæèäàåìûé îáùèé
ïëàòåæ àãåíòà ñ äîõîäîì I ïðè ñòðàòåãèè sG .
Çàäà÷åé ïðàâèòåëüñòâà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìèçàöèÿ îæèäàåìîãî íàëîãîâîãî äîõîäà çà âû÷åòîì èçäåðæåê íà àóäèò1:
IH
∫ {Teff (I, sG ) − cp[Ir (I, sG )]}dG(I) → max
sG
(2.1.2)
IL
(íèæå ìû îïóñêàåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ) ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ:
∫ [I − Teff (I, sG )]dG(I) ≥ Ialt ,
(2.1.3)
òî åñòü îæèäàåìûé äîõîä àãåíòà ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè äîëæåí ïðåâûøàòü àëüòåðíàòèâíûé äîõîä Ialt . Âåëè÷èíà Ialt ÿâëÿåòñÿ
æåëàåìûì (ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàâèòåëüñòâà) óðîâíåì îæèäàåìîãî äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà â íàøåé ìîäåëè. Äðóãàÿ èíòåðïðåòàöèÿ —
ýòî îæèäàåìûé äîõîä ôèðìû, åñëè îíà ïåðåíîñèò ñâîþ äåÿòåëüíîñòü â äðóãóþ ñòðàíó èëè ïåðåêëþ÷àåòñÿ â íåîáëàãàåìóþ ñôåðó
äåÿòåëüíîñòè ("ðåçåðâíàÿ" âåëè÷èíà äîõîäà). Îòìåòèì, ÷òî ôèðìà
1 Â öåëîì ìàêñèìèçàöèÿ íàëîãîâîãî äîõîäà íå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé öåëüþ
ïðàâèòåëüñòâà. Äðóãàÿ òèïè÷íàÿ ïîñòàíîâêà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðàâèòåëüñòâî ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ôóíêöèþ îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîÿíèÿ, çàâèñÿùóþ îò ñðåäíåãî äîõîäà ïîñëå óïëàòû íàëîãà è ÷èñòîãî íàëîãîâîãî äîõîäà ãîñóäàðñòâà (ñð. Atkinson, Stiglitz, 1980). Òîãäà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì íàøåé ìîäåëè ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè
àëüòåðíàòèâíîãî äîõîäà.
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
13
äåëàåò ñâîé âûáîð â íà÷àëå íàëîãîâîãî ïåðèîäà, êîãäà èçâåñòíî
òîëüêî ðàñïðåäåëåíèå G(I) (à íå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå I ).
T [Ir (I)] + F [I, Ir (I)] ≤ I − Imin åñëè p[Ir (I)] > 0 ,
(2.1.4a)
T [Ir (I)] ≤ I − Imin åñëè p[Ir (I)] < 1 ,
(2.1.4b)
è
òî åñòü ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè è íàèõóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå
äîõîä äîëæåí ïðåâûøàòü âåëè÷èíó Imin , êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ
"âûæèâàíèÿ" íàëîãîïëàòåëüùèêà. Íà ïðàêòèêå Imin
ìîæåò áûòü ïî-
ðîãîâûì çíà÷åíèåì, òàêèì, ÷òî åñëè îñòàòîê íà ñ÷åòó ôèðìû îïóñêàåòñÿ íèæå ýòîãî óðîâíÿ, òî ôèðìà íå ìîæåò ïîëó÷èòü êðåäèò è âûíóæäåíà ïðåêðàòèòü äåÿòåëüíîñòü.
Ìû ðàññìàòðèâàåì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô:
a) F (I, Ir ) = (1 + δ a )[T (I) − T (Ir )] (øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó
íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó);
b) F (I, Ir ) = T (I) − T (Ir ) + δ b (I − Ir ) (÷èñòûé øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí ñîêðûòîìó äîõîäó);
!
c) 0 ≤ F (I, Ir ) ≤ I − T (Ir ) − I äëÿ ëþáûõ I, Ir (øòðàô îãðàíè÷åí èç-çà çà!
äàííîé ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû äîõîäà àãåíòà I (≤ Imin ) ïðè íåîïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè íàëîãîïëàòåëüùèêà);
d) F (I, Ir ) = δ d (I − Ir ) (âûïëàòà ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà îáíàðóæåííîìó ñîêðûòîìó äîõîäó).
 äåéñòâèòåëüíîñòè ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò âûáèðàòü øòðàô òîëüêî
ïðè óñëîâèè ñ. Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â ýòîì îãðàíè÷åíèè îçíà÷àåò,
÷òî íåò ïðåìèè íè çà ïðàâäèâóþ äåêëàðàöèþ, íè çà ëîæü. Ýòî óñëîâèå èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòü ñäåëàòü çàòðàòû íà ïðèíóæäåíèå ñêîëü
óãîäíî ìàëûìè ïóòåì ïðåäëîæåíèÿ àãåíòàì ñ ìàëûìè âåðîÿòíîñòÿìè áîëüøèõ ïðåìèé, ïîîùðÿÿ èõ, òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàòü
ñòðàòåãèè, ïðåäïî÷èòàåìûå ïðàâèòåëüñòâîì2.
2 Tirole (1992) îïèñûâàåò ñîîòâåòñòâóþùèé êîíòðàêò â îáùåé ïîñòàíîâêå
"ïðèíöèïàë-àãåíò". CW íå òðåáóþò âûïîëíåíèÿ óêàçàííîãî íåðàâåíñòâà, íî
ïðåäïîëàãàþò òîëüêî, ÷òî íåò áîëüøèõ ïðåìèé çà ÷åñòíîñòü. Îäíàêî ëåãêî
âèäåòü, ÷òî áîëüøèå ïðåìèè çà ìàëóþ ëîæü ìîãóò ïðèâåñòè ê òîìó æå ýôôåêòó. Áîëåå òîãî, ìû íå ðàññìàòðèâàåì äàæå îãðàíè÷åííûå ïðåìèè, òàê êàê
ýòî ñîçäàåò ñèëüíûå ñòèìóëû äëÿ ñãîâîðà ìåæäó íàëîãîâîé ñëóæáîé è íàëîãîïëàòåëüùèêàìè.
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
14
Ïåðâûå äâà âàðèàíòà ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíî ñóùåñòâóþùåìó çàêîíîäàòåëüñòâó â ðÿäå ñòðàí, â òî âðåìÿ êàê ïîñëåäíèå äâà èçó÷åíû
CW. Èç èõ ðåçóëüòàòîâ (ñì. ðàçäåë 1 è ëåììó 3 íà ñòð. 177) âûòåêàåò
ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2.1.1. Ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô c èëè d äëÿ çàäà÷è
(2.1.2–2.1.4) ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, òî åñòü òàêîå ðåøåíèå sG , ÷òî Ir (I, sG ) = I äëÿ
ëþáîãî I . Áîëåå òîãî, îïòèìàëüíûé øòðàô âñåãäà áóäåò ìàêñèìàëü!
íûì â ñëó÷àå c: F (I, Ir ) = I − T (Ir ) − I äëÿ ëþáîãî I ≠ Ir .
Çàìå÷àíèå. CW ðàññìàòðèâàþò òîëüêî ñëó÷àé δ d = 1 äëÿ âàðèàíòà d,
íî èõ äîêàçàòåëüñòâî îñòàåòñÿ âåðíûì äëÿ ëþáîãî δ d > 0 .
Íèæå â ðàçäåëå 2.2 äîêàçàí àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ áîëåå îáùåé ìîäåëè àóäèòà.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïîêàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàò
òåîðåìû íå âåðåí è óêëîíåíèå îò íàëîãîâ ìîæåò áûòü îïòèìàëüíûì
äëÿ ïðàâèòåëüñòâà ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô a èëè b.
Äâå âåëè÷èíû èãðàþò êðèòè÷åñêóþ ðîëü â ïîñëåäóþùåì àíàëèçå
ìîäåëè.
def
TLM = IL − Imin
— ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé íàëîã íà íèçêèé äîõîä ïðè âûïîëíåíèè
îãðàíè÷åíèÿ ó÷àñòèÿ (2.1.4). Ýòà âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò ñòàáèëüíîñòü íàëîãîïëàòåëüùèêà ïðè íàèõóäøåì ñîñòîÿíèè ïðèðîäû.
def
∆EI =
∫ IdG(I) − Ialt
— îæèäàåìàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ïðèáûëü àãåíòà äî íàëîãîîáëîæåíèÿ
îòíîñèòåëüíî åãî àëüòåðíàòèâíîãî äîõîäà. Äëÿ ôèðìû ýòà âåëè÷èíà
õàðàêòåðèçóåò ïðèáûëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà.
Åñëè ìû èñêëþ÷èì îãðàíè÷åíèå íà ñòèìóëû èíäèâèäóóìà (2.1.1),
ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàëîãîïëàòåëüùèêè íå óêëîíÿþòñÿ, è óñòàíîâèì
p(Ir ) ≡ 0 , òî ïîëó÷èì çàäà÷ó íà ïîèñê ïåðâîãî ëó÷øåãî ðåøåíèÿ äëÿ
ìàêñèìèçàöèè ÷èñòîãî äîõîäà ïðàâèòåëüñòâà:
R[T (.)] = ∫ T (I)dG(I) → max
T (I)
(2.1.5)
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
15
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
∫ T (I)dG(I) ≤ ∆EI
(2.1.6)
T (I) ≤ I − Imin, I ∈ IL , IH  .
(2.1.7)
Î÷åâèäíî, ðåøåíèå íå çàâèñèò îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ íàëîãîâîé ôóíêöèè:
T (I) = T (IL ) + ∆T (I),
ãäå T (IL ) — âìåíåííûé íàëîã, âûïëà÷èâàåìûé êàæäûì íàëîãîïëàòåëüùèêîì, à ∆T (I) ≥ 0 — äîïîëíèòåëüíûé íàëîã, çàâèñÿùèé îò äîõîäà. Èñõîäÿ èç (2.1.7), T (IL ) ≤ TLM .
Óòâåðæäåíèå 2.1.2. Ïåðâîå ëó÷øåå çíà÷åíèå ÷èñòîãî íàëîãîâîãî äîõîäà ðàâíî ∆EI . Åñëè TLM ≥ ∆EI , òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äëÿ èñõîäíîé çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó
íàèëó÷øåìó ðåøåíèþ: T (I) ≡ ∆EI , p(I) ≡ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñîîòâåòñòâèè ñ îãðàíè÷åíèåì (2.1.7), R(I) ≤ ∆EI .
Åñëè TLM ≥ ∆EI , òî çàäàííàÿ ñòðàòåãèÿ îáåñïå÷èâàåò äîõîä ∆EI è
óäîâëåòâîðÿåò âñåì îãðàíè÷åíèÿì. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé
TLM < ∆EI . Íàéäåì ïåðâîå ëó÷øåå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
I
R(I ) =
∫ (I − Imin )dG(I) + (I
− Imin )[1 − G(I )] ,
IL
êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò äîõîä äëÿ íàëîãîâîé ñòàâêè
I − Imin, åñëè I ≤ I
.
T (I) = 
 I − Imin, åñëè I > I
Îòìåòèì, ÷òî R(I ) íåïðåðûâíà ïî I , è
R(IL ) = TLM < ∆EI, R(IH ) = ∫ IdG(I) − Imin > ∆EI .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò âåëè÷èíà I , òàêàÿ, ÷òî R(I ) = ∆EI .
Òàêèì îáðàçîì, ïîêà TLM ≥ ∆EI , ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò ïîëó÷èòü ïåðâûé ëó÷øèé ðåçóëüòàò ïîñðåäñòâîì âìåíåííîãî íàëîãà T (I) = TL = ∆EI .
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
16
Íåò íåîáõîäèìîñòè ñîáèðàòü êàêèå-ëèáî äðóãèå íàëîãè èëè îðãàíèçîâûâàòü ïðîâåðêè. Èñõîäÿ èç ïðåäøåñòâóþùåãî îáñóæäåíèÿ óñëîâèé (2.1.3), (2.1.4), íåðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî îæèäàåìàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ïðèáûëü ìåíüøå, ÷åì ìàêñèìàëüíûé âìåíåííûé ïëàòåæ,
êîòîðûé íå ïîäðûâàåò äåÿòåëüíîñòü ôèðìû ïðè íåáëàãîïðèÿòíûõ
óñëîâèÿõ. Ñëó÷àé TLM < ∆EI áîëåå ñëîæåí.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå
ðåøàåòñÿ çàäà÷à äëÿ îäíîãî òèïà ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà è ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò ïîëó÷èòü ìàêñèìàëüíûé äîõîä, òîëüêî åñëè íàëîãîïëàòåëüùèêè óêëîíÿþòñÿ.
2.2. Ìîäåëü ñ äâóìÿ âîçìîæíûìè óðîâíÿìè äîõîäà
Ðàññìîòðèì ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, êîòîðûå ïîëó÷àþò âûñîêèé
äîõîä IH ñ âåðîÿòíîñòüþ q è íèçêèé äîõîä IL ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − q .
Ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà âêëþ÷àåò íàëîãè TL è TH íà ýòè äîõîäû,
âåðîÿòíîñòü p ïðîâåðêè äåêëàðàöèé íèçêîãî äîõîäà è øòðàô F çà
óêëîíåíèå (åñëè ýòîò øòðàô íå çàäàåòñÿ ýêçîãåííî). Îáîçíà÷èì
÷åðåç
def
def
∆I = IH − IL , ∆T = TH − TL ≥ 0 .
Ñòðàòåãèåé íàëîãîïëàòåëüùèêà ÿâëÿåòñÿ åãî çàÿâëåííûé äîõîä
Ir ∈ {IL , IH } ïðè ïîëó÷åíèè âûñîêîãî äîõîäà. Òàê êàê íàëîãîïëàòåëüùèê ìàêñèìèçèðóåò ñâîé îæèäàåìûé äîõîä, òî
Ir = IL ïðè pF < ∆T , èíà÷å Ir = IH .
(2.2.1)
Ïðàâèòåëüñòâî ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü îæèäàåìûé ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå
R→
max
(TL ,∆T ,F , p)
,
(2.2.2)
ãäå R = TL + q ∆T − p(1 − q)c ïðè pF ≥ ∆T , èíà÷å R = TL + qpF − pc .
Îãðàíè÷åíèÿ ó÷àñòèÿ ïðèíèìàþò âèä
TL + q min(∆T , pF ) ≤ ∆EI = IL + q ∆I − Ialt ,
(2.2.3)
TL ≤ TLM = IL − Imin; IH − TH ≥ Imin ïðè Ir = IH ,
(2.2.4)
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
17
èíà÷å IH − TL − F ≥ Imin .
×åòûðå âàðèàíòà îãðàíè÷åíèé íà øòðàô âûãëÿäÿò â ýòîé ìîäåëè êàê
a) F = (1 + δ a )∆T ;
b) F = ∆T + δ b ∆I;
!
c) IL + ∆I − TL − max(∆T , F ) ≥ I ;
d) F = δ d ∆I.
Åñëè TLM ≥ ∆EI , ÷òî ýêâèâàëåíòíî Ialt − Imin ≥ q ∆I , òî â ñîîòâåòñòâèè
ñ óòâåðæäåíèåì 2.1.2 îïòèìàëüíûé ÷èñòûé äîõîä äëÿ çàäà÷è
(2.1.1)–(2.1.4) ðàâåí R* = ∆EI ïðè ëþáîì îãðàíè÷åíèè íà øòðàô
a – d è ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ëó÷øèì ðåøåíèåì. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà — ∆T = 0 , TL = ∆EI, p = 0 .
Åñëè TLM < ∆EI , òî ïåðâîå ëó÷øåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äîõîäà òî æå,
íî òðåáóåò êîìáèíàöèè îáîèõ òèïîâ íàëîãà. Íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è
íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè (2.2.1)–(2.2.4) äëÿ ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèé
íà øòðàô.
a) Fa = (1 + δ a )∆T . Îòìåòèì, ÷òî íàëîãîïëàòåëüùèêè óêëîíÿþòñÿ â
ýòîì ñëó÷àå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
def
∆T > 0, p < p*a = 1/(1 + δ a ) .
Óòâåðæäåíèå íèæå ïîêàçûâàåò, êàê îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.
Óòâåðæäåíèå 2.2.1. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
c < q ∆I .
(2.2.5)
Òîãäà äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ c, q, ∆I è δ a ñóùåñòâóåò òðè âàðèàíòà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà â çàâèñèìîñòè îò ðàçíèöû Ialt − Imin . Åñëè
q ∆I ≤ Ialt − Imin ,
(2.2.6)
òî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé áóäåò óñòàíîâèòü âìåíåííûé íàëîã
TL = ∆EI(= IL + q ∆I − Ialt ) , ∆T = 0, p = 0.
 èíòåðâàëå

1− q 
q ∆I  1 −
 < Ialt − Imin < q ∆I
+ δa 
1

(2.2.7)
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
18
îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âêëþ÷àåò TL = TLM , äîïîëíèòåëüíûé íàëîã
∆T = ∆Ip*a (ñëåäîâàòåëüíî, F = ∆I) , âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè
p=
∆EI − TLM
q ∆I
Ialt − Imin 

*
 = 1−
 < pa .
q ∆I


Âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI (òî åñòü ìàêñèìàëüíûé ïðè (2.2.3)), à
÷èñòûé äîõîä — R = ∆EI − pc .
 îñòàþùåìñÿ èíòåðâàëå

1− q 
0 < Ialt − Imin ≤ q ∆I 1 −
,
1+ δ a 

(2.2.8)
îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ: TL = TLM , p = p*a, ∆T = (∆EI − TLM ) / q . ×åñòíîå
ïîâåäåíèå íàëîãîïëàòåëüùèêîâ îïòèìàëüíî, è âàëîâîé äîõîä Rg
îïÿòü ðàâåí ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − (1 − q)p*ac .
Òàêèì îáðàçîì, â èíòåðâàëå (2.2.7) äëÿ ïðàâèòåëüñòâà îïòèìàëüíî
äîïóñòèòü óêëîíåíèå îò íàëîãà ïëàòåëüùèêîâ ñ âûñîêèì äîõîäîì è
ïîëó÷àòü ïðèáûëü ïîñðåäñòâîì øòðàôîâ. Ñòîèìîñòü ñáîðà øòðàôîâ
îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå èçäåðæåê îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, óñòîé÷èâîé ê
óêëîíåíèþ (êîòîðàÿ äàåò òàêîé æå âàëîâîé äîõîä).
Ðèñ. 1 îïèñûâàåò íàøè ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.2.5).
Ïðè c(1 − q)p*a < q ∆I ≤ c îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóåò ðèñ. 2. Íà èíòåðâàëå
q ∆I − c(1 − q)pa* ≤ Ialt − Imin < q ∆I
îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) . Âàëîâîé è ÷èñòûé
äîõîä ïðè ýòîé ñòðàòåãèè ðàâíû R = TLM < ∆EI .
 èíòåðâàëå
0 ≤ Ialt − Imin < q ∆I − c(1 − q)p*a
îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — ( TL = TLM , p = p*a, ∆T = (∆EI − TLM ) / q ), êàê
â îáëàñòè (2.2.8) ïðè (2.2.5).
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
19
I Óñòîé÷èâîñòü
ê óêëîíåíèþ
II Óêëîíåíèå
îò íàëîãîâ
III Âìåíåííûé
íàëîã
R g = ∆EI
R = TL = ∆ EI
TL = TLM
R = ∆ EI − pc
p=
pa*
= 1/(1 + δ a )
q∆T = ∆EI − TLM
p=
∆EI − TLM
∆Iq
p = 0, ∆ T = 0
F = ∆I
Ialt − Imin

1− q 
q ∆I
q ∆ I 1 −

1+ δa 

Ðèñ. 1. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ
ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô Fa = (1 +δa)∆T è
óñëîâèÿ c < q∆I
0
Óñòîé÷èâîñòü
ê óêëîíåíèþ
Rg = ∆EI
Âìåíåííûé íàëîã
R = TL = TLM
R = TL = ∆EI
TL = TLM
R = ∆EI − pc
p = 0, ∆T = 0
p = pa* = 1/(1 + δ a)
q ∆T = ∆EI − TLM
0
q ∆I − c(1 − q)pa*
q∆I
Ialt − Imin
Ðèñ. 2. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ
ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô a) è óñëîâèÿ
c(1 – q)p*a < q∆I ≤ c
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
20
Ïðè q ∆I ≤ c(1 − q) p*a âìåíåííûé íàëîã âñåãäà îáåñïå÷èâàåò ìàêñèìàëüíûé äîõîä. Åñëè Ialt − Imin < q ∆I , òî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé ÿâëÿåòñÿ (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) .
Îáñóäèì ýòîò ðåçóëüòàò.
Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ c < q ∆I . Òàê êàê ∆I õàðàêòåðèçóåò äèñïåðñèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà (ïðè ôèêñèðîâàííîì q ), ìû ìîæåì ñêàçàòü,
÷òî âìåíåííûé íàëîã îïòèìàëåí, êîãäà äèñïåðñèÿ äîñòàòî÷íî ìàëà
îòíîñèòåëüíî ðàçíèöû ìåæäó Ialt è Imin . Åñëè äèñïåðñèÿ îòíîñèòåëüíî âåëèêà, òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ, à
íà ïðîìåæóòî÷íîì èíòåðâàëå îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà
äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ. Äðóãàÿ èíòåðïðåòàöèÿ îòíîñèòñÿ ê
âåëè÷èíàì ∆EI è TLM .
Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâà (2.2.6–2.2.8) ýêâèâàëåíòíû
0 ≤ TLM − ∆EI ,
0 < ∆EI − TLM < q ∆I
1− q
,
1+ δ a
 1− q 
q ∆I 
 ≤ ∆EI − TLM < q ∆I ,
 1+ δ a 
ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê ðàçíèöà ∆EI − TLM õàðàêòåðèçóåò ñîîòíîøåíèå ïðèáûëüíîñòè ïðîèçâîäñòâà è åãî ñòàáèëüíîñòè, ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íàëîãîîáëîæåíèå âìåíåííûì íàëîãîì îïòèìàëüíî,
êîãäà ïðèáûëüíîñòü îòíîñèòåëüíî íèçêà (îáëàñòü (2.2.6)), ìîíîòîííûé íàëîã è ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê, âûíóæäàþùàÿ ÷åñòíóþ äåêëàðàöèþ, îïòèìàëüíû, êîãäà ïðèáûëüíîñòü îòíîñèòåëüíî âûñîêà (2.2.8),
à ìîíîòîííûé íàëîã âìåñòå ñ óêëîíåíèåì îïòèìàëüíû â ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè (2.2.7). Ðèñ. 2 ïîêàçûâàåò, ÷òî, åñëè ñòîèìîñòü àóäèòà îòíîñèòåëüíî âûñîêà (c ≥ q ∆I) , òî âìåíåííûé íàëîã áîëåå ïðèáûëåí, ÷åì äîïóùåíèå óêëîíåíèÿ îò íàëîãà â ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè.
 äðóãèõ àñïåêòàõ ðèñóíîê àíàëîãè÷åí ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ.
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ðåçóëüòàòà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Âñå ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé ïðàâèòåëüñòâà äåëèòñÿ íà òðè ïîäìíîæåñòâà: îáëàñòü I, ãäå pF ≥ ∆T > 0 è ÷åñòíîå ñîîáùåíèå î äîõîäàõ îïòèìàëüíî äëÿ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, îáëàñòü II, ãäå ∆T ≥ pF > 0 è îïòèìàëüíî óêëîíÿòüñÿ îò íàëîãà, è îáëàñòü III, ãäå ∆T = 0 .  ïîñëåä-
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
21
íåé îáëàñòè îïòèìàëüíûì ïðàâèëîì ïðîâåðîê, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ
p = 0 , ìàêñèìàëüíûì äîõîäîì ïðè TLM < ∆EI — âåëè÷èíà TLM íåçàâèñèìî îò îãðàíè÷åíèé íà øòðàô.
 îáëàñòÿõ I è II îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âêëþ÷àåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé âìåíåííûé íàëîã TL = TLM (åãî ñáîð íå òðåáóåò íèêàêèõ çàòðàò íà àóäèò).  îáëàñòè II äîõîä ñîáèðàåòñÿ â ôîðìå øòðàôîâ.
Ìàêñèìàëüíûé âàëîâîé äîõîä ðàâåí ∆EI . ×òîáû ïîëó÷èòü åãî, ìû
óñòàíàâëèâàåì pF = (∆EI − TLM ) / q . Ïðè ýòîì óñëîâèè øòðàô äîëæåí
áûòü íàñòîëüêî áîëüøèì, íàñêîëüêî âîçìîæíî, òàê êàê ìû ñòðåìèìñÿ ìèíèìèçèðîâàòü çàòðàòû íà àóäèò. Èç-çà îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô
(2.2.4) Fmax = ∆I . Óñëîâèå (2.2.5) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñáîð øòðàôîâ âûãîäåí ïðè òàêîé åãî âåëè÷èíå.
 îáëàñòè I äîõîä ïðèõîäèò îò íàëîãîâ. Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ,
∆T = (∆EI − TLM ) / q , è ìèíèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, êîòîðàÿ
äåëàåò ÷åñòíóþ äåêëàðàöèþ îïòèìàëüíîé, ðàâíà p*a. Ñðàâíèâàÿ p*a
ñ îïòèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïðîâåðêè â îáëàñòè II, ìû îïðåäåëÿåì
ãðàíèöó ìåæäó îáëàñòÿìè II è III.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî. Ñì. ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè.
Ðàññìîòðèì òåïåðü îãðàíè÷åíèå b) F = ∆T + δ b ∆I .
Óòâåðæäåíèå 2.2.2. Ïóñòü c < q ∆I, q + δ b < 1 . Òîãäà â îáëàñòè
q ∆I(q + δ b ) < Ialt − Imin < q ∆I
îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âêëþ÷àåò: TL = TLM , äîïîëíèòåëüíûé íàëîã
∆T = ∆I(1 − δ b ) (ñëåäîâàòåëüíî, F = ∆I) , âåðîÿòíîñòü ïðîâåðîê
p=
∆EI − TLM
q ∆I
Ialt − Imin 

 = 1−
 < ∆T / F ,
q ∆I


òàêèì îáðàçîì, ýòà ñòðàòåãèÿ äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ. Âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI , à ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − pc .
 îáëàñòè
0 < Ialt − Imin ≤ q ∆I(q + δ b )
îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ —
TL = TLM , ∆T = (∆EI − TLM ) / q , p*b = ∆T /(∆T + δ b ∆I) .
(*)
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
22
×åñòíîå ïîâåäåíèå íàëîãîïëàòåëüùèêîâ îïòèìàëüíî, à âàëîâàÿ âåëè÷èíà Rg îïÿòü ðàâíà ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä
R = ∆EI − (1 − q)p*b c . Äëÿ ëþáûõ äðóãèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ëèáî
ñòðàòåãèÿ (*), ëèáî âìåíåííûé íàëîã (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) îïòèìàëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî äàíî â Ïðèëîæåíèè. Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ a, åñëè øòðàôíîé êîýôôèöèåíò δ b äîñòàòî÷íî âåëèê ( > 1 − q) , òî
îïòèìàëüíûé êîíòðàêò âñåãäà óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ îïòèìàëüíûé êîíòðàêò ïîäðàçóìåâàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
a èëè b.  ýòîì îòëè÷èå äàííûõ îãðàíè÷åíèé îò ñëó÷àåâ c è d, ãäå
îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, âñåãäà ñóùåñòâóåò
ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.1.1.
Óêàæåì îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðè
!
c) F ≤ IH − I − TL .
Óòâåðæäåíèå 2.2.3. Â îáëàñòè ∆EI > TLM îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà —
def
!
( TL = TLM , ∆T = (∆EI − TLM ) / q, F = Fc = IH − I − TLM ,
def
p = pc = ∆T / Fc ), åñëè qFc > (1 − q)c .
Òîãäà âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä
R = ∆EI − (1 − q)pc c . Ïðè qFc ≤ (1 − q)c
âìåíåííûé íàëîã (TL = TLM ,
p = 0, ∆T = 0) îïòèìàëåí äëÿ ïðàâèòåëüñòâà.
Óòâåðæäåíèå 2.2.4. Ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô d) Fd = δ d ∆I îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà â îáëàñòè ∆EI ≥ TLM èìååò âèä
(TL = TLM ,
∆T = (∆EI − TLM ) / q,
def
p = pd = ∆T / Fd ) ,
åñëè qFd > (1 − q)c .
Òîãäà âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä
R = ∆EI − (1 − q)pd c . Èíà÷å âìåíåííûé íàëîã (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0)
îïòèìàëåí äëÿ ïðàâèòåëüñòâà.
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
23
Ñì. äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè.
Òåïåðü ñðàâíèì îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàâèòåëüñòâà.
Ïðè ëþáîì îãðàíè÷åíèè a, b èëè d ìàêñèìàëüíûé äîõîä âîçðàñòàåò
(èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íå óáûâàåò) ïî øòðàôíûì êîýôôèöèåíòàì
δ a, δ b èëè δ d ñîîòâåòñòâåííî è ñòðåìèòñÿ ê ïåðâîé ëó÷øåé âåëè÷èíå ∆EI , â òî âðåìÿ êàê êîýôôèöèåíò ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Â
!
ñëó÷àå c òî æå óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ìû ïîëîæèì δ c = − I .
Òàê ÷òî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì ñðàâíèòü îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô
ïóòåì íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ âåëè÷èí øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ñîãëàñíî Óòâåðæäåíèÿì 2.2.1–2.2.4, ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü
íåñêîëüêî îáëàñòåé ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Íà÷íåì ñ Ialt − Imin < q ∆I,
def
δ a ≥ max{0, δ a*} ãäå δ a* =
Ialt − Imin − q2 ∆I
,
q ∆I − Ialt + Imin
(2.2.10)
δ a* — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
1− q 

Ialt − Imin = q ∆I 1 −
.
1 + δ 

Çàìåòèì, ÷òî ïðè Ialt − Imin < q2 ∆I òàêîå ðåøåíèå îòðèöàòåëüíî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç R N
x
ìàêñèìàëüíûé ÷èñòûé äîõîä â ìíîæåñòâå
ñòðàòåãèé N ∈ {I, II, III} ïðè îãðàíè÷åíèè x ∈ {a, b, c, d} . Òîãäà RaI ≥ RaII
ïðè (2.2.10), ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2.2.1. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â
îáëàñòè I —
def
∆T = ∆T * =
∆EI − TLM
1
,
, T = TLM , p =
q
1+ δa
(2.2.11)
!
ãäå øòðàô çà óêëîíåíèå ðàâåí F = ∆T * (1 + δ a ) . Îïðåäåëèì δ b , I è δ d
èç óðàâíåíèé:
!
F = ∆T * (1 + δ a ) = ∆T * + ∆Iδ b = ∆I + Imin − I = ∆Iδ d .
(2.2.12)
Òîãäà äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ñòðàòåãèÿ (2.2.11) îïòèìàëüíà â îáëàñòè I. Äîõîä ïðàâèòåëüñòâà è äîõîäû âñåõ àãåíòîâ íå
çàâèñÿò îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ïðè (2.2.11–2.2.12). Òàê êàê îïòè-
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
24
ìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â îáëàñòè III (ãäå ∆T = 0) è R III
x íå çàâèñÿò îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô, òî æå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ãëîáàëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå (2.2.12) îïðåäåëÿåò
ýêâèâàëåíòíûå øòðàôíûå êîýôôèöèåíòû ïðè (2.2.11).
Òåïåðü ðàññìîòðèì Ialt − Imin > q2 ∆I, δ a ∈ (0, δ a* ). Òîãäà RaII > RaI , îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â îáëàñòè II —
∆T =
∆EI − TLM
∆I
.
(îòêóäà F = ∆I ), TL = TLM , p =
1+ δ a
q ∆I
Çàìåòèì, ÷òî äîõîä ïðàâèòåëüñòâà è ðàñïðåäåëåíèå äîõîäîâ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ íå çàâèñÿò îò δ a , òàê êàê àãåíòû óêëîíÿþòñÿ îò íàëîãà. Òàêèì îáðàçîì, âñå âåëè÷èíû δ a ∈ {0, δ a* } ýêâèâàëåíòíû â ýòîì
ñìûñëå. Åäèíñòâåííàÿ êîìïîíåíòà, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ, — íîìèíàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà ∆T .
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ∆T * (1 + δ a* ) = ∆I(1 − q) . Óðàâíåíèÿ (2.2.12) îïðå!
äåëÿþò ýêâèâàëåíòíûå âåëè÷èíû δ b* , I * è δ d* äëÿ δ a* :
δ b* =
∆T *δ a* Ialt − Imin − q2 ∆I
=
,
∆I
q ∆I
δ d* =
∆T *
(1 + δ a* ) = 1 − q ,
∆I
!
I * − Imin = q ∆I .
!
!
Íî I ≤ Imin , òàê ÷òî ýêâèâàëåíòíàÿ âåëè÷èíà I * ñóùåñòâóåò òîëüêî
äëÿ
def
δa ≥ δa =
∆I
∆T *
− 1.
Çàìåòèì, ÷òî F (δ a ) = ∆I.
Ïðè îãðàíè÷åíèè b RbII > RbI , åñëè 0 < δ b < δ b* è Ialt − Imin > q2 ∆I. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â II òà æå, çà èñêëþ÷åíèåì ∆T = ∆I(1 − δ b ) (òàêîãî, ÷òî F = ∆I) , è ïðèíîñèò òå æå äîõîäû àãåíòàì, âàëîâîé è ÷èñòûé
äîõîä. Âñå δ b ∈ (0, δ b* ) ýêâèâàëåíòíû, òàê æå êàê δ a ∈ (0, δ a* ) .
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
25
Ïðè îãðàíè÷åíèè d RdI ≥ RdII , è äëÿ ëþáîãî δ d < δ d*
RdI (δ d ) < RdI (δ d* ) = RaI (δ a* ) = RaII (δ a )
ïðè δ a ∈ (0, δ a* ) .
Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ñëó÷àåâ a è b, ÷èñòûé äîõîä óáûâàåò
âìåñòå ñ δ d , ïîêà íå äîñòèãàåò TLM = RdIII .
2.3. Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè, óñòîé÷èâûå ê óêëîíåíèþ
Âåðíåìñÿ ê îáùåé ìîäåëè ñ ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà G(I) . Ñîãëàñíî
Òåîðåìå 2.1.1, îïòèìàëüíûé êîíòðàêò âñåãäà óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô c, d. Èñõîäÿ èç Óòâåðæäåíèé 2.2.1–2.2.2,
ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òî æå ñàìîå âåðíî ïðè îãðàíè÷åíèÿõ a
èëè b, åñëè øòðàôíûå êîýôôèöèåíòû äîñòàòî÷íî âåëèêè.  ýòîì
ðàçäåëå íàéäåíà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ,
äëÿ çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) ïðè ñëåäóþùåì îãðàíè÷åíèè íà øòðàô, êîòîðîå îáîáùàåò a, b è d:
F = k ∆T + l ∆I , ãäå k, l ≥ 0 , ∆I = I − Ir ; ∆T = T (I) − T (Ir ) ;
(2.3.1)
çàìåòèì, ÷òî a) ñîîòâåòñòâóåò l = 0 , b — k = 1 , d — k = 0 . Áîëåå òîãî, ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòà ñòðàòåãèÿ îïòèìàëüíà â öåëîì ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ.
Äëÿ ëþáîé íàëîãîâîé ñõåìû T îáîçíà÷èì ÷åðåç I
ìèíèìàëüíûé
äîõîä, òàêîé, ÷òî T (I) = T (I ) äëÿ ëþáîãî I > I , òî åñòü íàëîã ôèêñèðîâàí äëÿ áîëüøèõ äîõîäîâ. Òîãäà ñòðàòåãèÿ sG = (T , p) óñòîé÷èâà ê
óêëîíåíèþ ïðè (2.3.1) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
p(Ir ) ≥
∆T
äëÿ ëþáûõ I > Ir , Ir < I .
F
(2.3.2)
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à äëÿ ñòðàòåãèé, óñòîé÷èâûõ
ê óêëîíåíèþ, ôîðìóëèðóåòñÿ êàê:
[T (.), p(.)] → max{Rg [T (.)] − C[ p(.)]} ,
ãäå
Rg [T (.)] = ∫ T (I)dG(I)
(2.3.3)
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
26
— âàëîâîé äîõîä,
C[ p(.)] = c ∫ p(I)dG(I)
— îáùèå çàòðàòû íà àóäèò, ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ (2.3.2) è îãðàíè÷åíèÿì ó÷àñòèÿ
Rg [T (.)] ≤ ∆EI = ∫ IdG(I) − Ialt ,
(2.3.4)
0 ≤ T (I) ≤ I − Imin .
(2.3.5)
Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíóþ íàëîãîâóþ ñòðóêòóðó è ïðàâèëî ïðîâåðîê äëÿ çàäà÷è (2.3.1–2.3.5).
Óòâåðæäåíèå 2.3.1. Îïòèìàëüíûé íàëîãîâûé ãðàôèê T âîãíóò, òî
åñòü T (λ I1 + (1 − λ)I2 ) ≥ λT (I1) + (1 − λ)T (I2 ) äëÿ ëþáûõ I1 < I2 , λ ∈ [0,1] .
Äëÿ ëþáîé âîãíóòîé íàëîãîâîé ñõåìû îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðîê ðàâíà
p(Ir ,T ) = (k + l / T+' (Ir ))−1 ,
(2.3.6)
ãäå T+' (Ir ) — ïðåäåëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà äëÿ äîõîäà Ir .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äîõîä Rg íå çàâèñèò îò
ïðàâèëà ïðîâåðîê. Äëÿ ëþáîãî íàëîãà T îïòèìàëüíîå ïðàâèëî ïðîâåðîê, êîòîðîå óñòîé÷èâî ê óêëîíåíèþ è ìèíèìèçèðóåò çàòðàòû íà
àóäèò, èìååò âèä
p(I) = sup[∆T /(k ∆T + l ∆I)]
∆I > 0
äëÿ ëþáîãî
I < I , p(I) = 0 äëÿ ëþáîãî I ≥ I .
(2.3.7)
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè äëÿ ëþáîãî Ir
ðàâíà ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ, êîòîðîå äåëàåò äåêëàðàöèþ Ir íåâûãîäíîé äëÿ ëþáîãî I > Ir .
Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ãðàôèê T íå âîãíóò. Òîãäà åãî ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íà íåêîòîðîì îòðåçêå ëåæèò âûøå T (ñì.
ðèñ. 3). Çàìåíèì T ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèåé íà ýòîì îòðåçêå è
îáîçíà÷èì íîâûé íàëîãîâûé ãðàôèê ÷åðåç T * . Òîãäà âàëîâîé äîõîä
âîçðàñòåò. Èñõîäÿ èç (2.3.7), îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü íå óâåëè÷èò-
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
27
ñÿ äëÿ ëþáîãî Ir , òàê êàê
sup
∆T
∆T *
= sup
∆I
∆I
äëÿ ëþáîãî I ≤ I1 èëè I ≥ I2 , à
sup
∆T
∆T *
≥ sup
∆I
∆I
äëÿ ëþáîãî I ∈ (I1, I2 ) . Åäèíñòâåííàÿ ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
Rg (T * ) ìîæåò íå óäîâëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèþ (2.3.4).
T*
T
Ðèñ. 3.
I1
I2
Äëÿ ëþáîãî T è íàëîãîâîãî óðîâíÿ Y ∈ [0, T (IH )] îáîçíà÷èì ÷åðåç TY
ñëåäóþùèé
íàëîãîâûé
ãðàôèê:
TY (I) = T (I)
ïðè
T (I) ≤ Y ,
èíà÷å
T (I) = Y . Çàìåòèì, ÷òî Rg (TY ) íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ îò 0 äî Rg (T ) , â
òî âðåìÿ êàê Y ìåíÿåòñÿ îò 0 äî T (IH ) . Îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü
ïðîâåðêè p(Ir ,TY ) íå óáûâàåò ïî Y äëÿ ëþáîãî Ir . Òàêèì îáðàçîì,
åñëè Rg (T * ) ïðåâûøàåò ∆EI , òî ìû ìîæåì âûáðàòü Y < T (IH ) , òàêîå,
÷òî Rg (TY ) = ∆EI , è óìåíüøèòü çàòðàòû íà àóäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, íà-
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
28
ëîã T íå îïòèìàëåí.  èòîãå, äëÿ ëþáîãî âîãíóòîãî íàëîãîâîãî ãðàôèêà îòíîøåíèå ∆T / ∆I íå âîçðàñòàåò ïî ∆I , òàê ÷òî ìû ïîëó÷àåì
âûðàæåíèå (2.3.6) èç (2.3.7) ïðè ∆I , ñòðåìÿùåìñÿ ê 0.
Çàìå÷àíèå. CW ïîëó÷èëè àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïðè îãðàíè÷åíèè
íà øòðàô F = ∆I . Ýòî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà øòðàô íàêëàäûâàåòñÿ ïî ïðîãðåññèâíîé øêàëå â çàâèñèìîñòè îò
∆I , òî åñòü k çàâèñèò îò ∆I è âîçðàñòàåò ïî íåìó.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü
ρ (I) =
dG(I)
dI
ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà, è
µ (I) =
1 − G(I)
ρ (I)
îïðåäåëÿåò ñòàâêó ðèñêà. Äëÿ îáû÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé, òàêèõ, êàê ëîãíîðìàëüíîå, ðàâíîìåðíîå è äð., ýòà ñòàâêà óáûâàåò ïî I . Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàõîäèò îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ
ïðàâèòåëüñòâà, óñòîé÷èâóþ ê óêëîíåíèþ, äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé
äîõîäà ñ óáûâàþùåé ñòàâêîé ðèñêà. Åñëè ∆EI ≤ TLM , òî, ñîãëàñíî
Óòâåðæäåíèþ 2.1.2, îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — óñòàíîâèòü âìåíåííûé
íàëîã T ≡ ∆EI . Ïóñòü ∆EI > TLM .
Òåîðåìà 2.3.2. Åñëè µ (I) óáûâàåò ïî I , òî îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ
ñõåìà T äëÿ çàäà÷è (2.3.1–2.3.5) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: ñóùåñòâóåò
I , òàêîå ÷òî T (I) = I − Imin
äëÿ ëþáîãî
I≤I
è
T (I) = T (I ) äëÿ ëþáîãî I > I . Îïòèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå I
óäîâëåòâîðÿåò ëèáî óñëîâèÿì Rg (T ) = ∆EI è
µ (I ) >
c
c
, ëèáî Rg (T ) < ∆EI è µ (I ) =
.
k+l
k+l
Îïòèìàëüíîå ïðàâèëî ïðîâåðîê — p(I) ≡ 1/(k + l) ïðè I < I , p(I) ≡ 0
ïðè I ≥ I .
Áîëåå òîãî, åñëè øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó
(îãðàíè÷åíèå íà øòðàô à): k = 1 + δ a , l = 0 ), óêàçàííàÿ ñòðàòåãèÿ îïòèìàëüíà â öåëîì äëÿ èñõîäíîé çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) (ñì. äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè).
2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ
29
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè îïòèìàëüíîì ïðàâèëå
ïðîâåðîê ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä ëèíåéíî çàâèñèò îò ïðåäåëüíîé
íàëîãîâîé ñòàâêè T+' (I) , òàê ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòàâêà ëèáî ìàêñèìàëüíà (= 1) , ëèáî ìèíèìàëüíà (= 0) . Òàê êàê T âîãíóò ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2.3.1, òî îí ñîîòâåòñòâóåò ðèñ. 4.
T
T =I
IL
45o
p
IL
I
IH
1
k +l
I
Ðèñ. 4. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ,
ïðè Imin = 0, ∆EI > TLM (= IL)
Òàêèì îáðàçîì, â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîãî íàëîãà áåðåòñÿ âåñü äîõîä
âûøå ìèíèìàëüíîãî ïðè I < I , è íàëîã ïîñòîÿíåí äëÿ âñåõ äîõîäîâ,
áîëüøèõ I . Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê — èçâåñòíîå ïîðîãîâîå
ïðàâèëî (ñì. Sanchez, Sobel, 1993): çàÿâëåííûé äîõîä íèæå ïîðîãà I
ïðîâåðÿåòñÿ ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå
îò íàëîãà íåâûãîäíûì, à äîõîäû âûøå I íå ïðîâåðÿþòñÿ.
Ýòîò ðàçäåë çàâåðøàåòñÿ ñðàâíåíèåì ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèé íà
øòðàô. Òåîðåìà 2.3.2 ïîêàçûâàåò, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñ-
30
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
òîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, è ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñòûé äîõîä íå çàâèñÿò
îò ñîîòíîøåíèÿ øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ k è l . Øòðàô, ïðîïîðöèîíàëüíûé íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, ýêâèâàëåíòåí øòðàôó, ïðîïîðöèîíàëüíîìó ñîêðûòîìó äîõîäó, òàê êàê îïòèìàëüíûé íàëîã ðàâåí
äîõîäó ñâûøå ìèíèìàëüíîãî óðîâíÿ. Çàòðàòû íà àóäèò óáûâàþò è
÷èñòûé äîõîä âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì k + l .
3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ
3.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè
Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ïðîâåðîê, êîòîðîé ìû ñëåäîâàëè â Ðàçäåëå 2,
ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èìåþòñÿ òîëüêî äâà èñõîäà âçàèìîäåéñòâèÿ íàëîãîïëàòåëüùèêà è íàëîãîâîé ñëóæáû: ëèáî àãåíòà íå ïðîâåðÿþò è íå
îáíàðóæèâàþò óêëîíåíèÿ, ëèáî ïðè àóäèòå âûÿâëÿåòñÿ âåñü óêðûòûé
äîõîä ïðè ôèêñèðîâàííûõ çàòðàòàõ íà àóäèò. Îäíàêî ýòî ïðåäïîëîæåíèå íà ïðàêòèêå îáû÷íî íå âûïîëíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå
ïðèìåðû.
1. Ïóñòü íàëîãîïëàòåëüùèê ïîëó÷àåò ñâîé äîõîä îò òîðãîâëè êàêèìòî òîâàðîì. Êàæäàÿ åäèíèöà òîâàðà ïðèíîñèò ôèêñèðîâàííûé äîõîä
i äî íàëîãîîáëîæåíèÿ. Îáúåì ïðîäàæ — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì. Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì i = 1 . Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå G(I) îäèíàêîâî äëÿ äîõîäà è îáúåìà ïðîäàæ.
×òîáû óêëîíèòüñÿ îò íàëîãà, íàëîãîïëàòåëüùèê ðåãèñòðèðóåò òîëüêî
íåêîòîðóþ ÷àñòü Ir ñâîèõ ïðîäàæ. Îñòàëüíîå ïðîäàåòñÿ çà íàëè÷íûå
áåç ðåãèñòðàöèè. ×òîáû îáíàðóæèòü óêëîíåíèå îò íàëîãà, àóäèòîðû
ñêðûòíî íàáëþäàþò â òå÷åíèå íåêîòîðîãî ïåðèîäà âñå ïðîäàæè è
çàòåì ïðîâåðÿþò, áûëè ëè ïðîäàæè çàðåãèñòðèðîâàíû. Èõ óñèëèå e
ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó ïðîâåðåííîé ïðîäóêöèè. Åñëè íåçàðåãèñòðèðîâàííûå ïðîäàæè ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëåíû âî âñåì ìíîæåñòâå
ïðîäàæ, òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ íåçàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà
d çàâèñèò îò îáùåãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî îáúåìîâ è óñèëèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: p(d | I, Ir , e) = CId− I CIe − d / CIe , ãäå CIe = e !(I − e)!/ I ! —
r
r
áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò.
2. Åñëè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå âñå íåçàðåãèñòðèðîâàííûå ïðîäàæè
ñêîíöåíòðèðîâàíû â íåêîòîðîì èíòåðâàëå âñåãî ïåðèîäà ïðîäàæ, òî
p(0 | I, Ir , e) = (Ir − e) / I, p(e | I, Ir , e) = (I − Ir − e) / I , è ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíî äëÿ d ∈ (0, e) .
3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ
31
Çàìåòèì, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ îæèäàåìûé îáíàðóæåííûé íåçàðåãèñòðèðîâàííûé äîõîä ñîñòàâèò Ed (I, Ir , e) = e(I − Ir ) / I .
3. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà àóäèòîðû ïðîâåðÿþò îò÷åòû ïîñëå òîãî,
êàê ïðîäàæè çàêîí÷åíû, è íå ìîãóò âûäåëèòü çàðåãèñòðèðîâàííóþ
ïðîäóêöèþ, à òîëüêî îöåíèòü îáùèé îáúåì. Îáúåì ó÷òåííîé ïðîäóêöèè ïðîïîðöèîíàëåí óñèëèþ. Òîãäà îáíàðóæåííûé íåçàðåãèñòðèðîâàííûé äîõîä ñîñòàâèò d (I, Ir , e) = 0 ïðè e ≤ Ir , e − Ir ïðè e ∈ (Ir , I) è
I − Ir ïðè e > I .
Çàìå÷àíèå. Íà ïðàêòèêå íàëîãîâàÿ ñëóæáà ìîæåò âàðüèðîâàòü ñâîå
óñèëèå â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì îáúåìîì è íå ïðèìåíÿòü e > I .
Ðåçóëüòàòû, ñôîðìóëèðîâàííûå íèæå, îñòàþòñÿ â ñèëå ïðè òàêîé
ìîäèôèêàöèè ìîäåëè. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ïðîâåðîê, èñïîëüçîâàííàÿ â Ðàçäåëå 2, ôîðìàëüíî ýêâèâàëåíòíà ñëó÷àþ, êîãäà e = π ,
p(0 | I, Ir , π ) = 1 − π , p(I − Ir | I, Ir , π ) = π .
Ôîðìàëüíàÿ ïîñòàíîâêà îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ äëÿ çàäàííîé âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ïðàêòè÷åñêè àíàëîãè÷íà (2.1.1–2.1.4). Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðè çàäàííîé ñòðàòåãèè
ïðàâèòåëüñòâà sG = [T (Ir ), e(Ir )] êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ñòðåìèòñÿ
ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä. Òî åñòü â çàâèñèìîñòè îò
èñòèííîãî äîõîäà åãî ðåãèñòðèðóåìûé äîõîä ðàâåí
Ir (I, sG ) → min{T (Ir ) + ∑ p[d
Ir
d
def
I, Ir , e(Ir )]F (d, Ir )} = Teff (I, sG ) .
Çàäà÷à ïðàâèòåëüñòâà (2.1.2) è îãðàíè÷åíèå íà îæèäàåìûé äîõîä
íàëîãîïëàòåëüùèêà îñòàþòñÿ òåìè æå. Îãðàíè÷åíèå íà ìèíèìàëüíûé
äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ òåïåðü ïðèíèìàåò âèä
T [Ir (I)] + F [d, Ir (I)] ≤ I − Imin äëÿ ëþáîãî d ∈ Ir , I  .
Âàðèàíòû îãðàíè÷åíèé íà øòðàô âûãëÿäÿò êàê:
a) F (d, Ir ) = (1 + δ )[T (Ir + d) − T (Ir )] ;
b) F (d, Ir ) = T (Ir + d) − T (Ir ) + δ d ;
!
c) 0 ≤ F (d, Ir ) ≤ Ir + d − T (Ir ) − I äëÿ ëþáîãî d ∈ Ir , I  ,
!
ãäå I — ìèíèìàëüíûé äîõîä ïðè íåîïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè íàëîãîïëàòåëüùèêà;
d) F (d, Ir ) = δ d .
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
32
3.2. Îá îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòîâ,
óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ
Òåïåðü íàøà öåëü ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ìîæíî îáîáùèòü Òåîðåìó 2.1.1 äëÿ äàííîé ìîäåëè.
Òåîðåìà 3.2.1. Åñëè âåðîÿòíîñòíàÿ ôóíêöèÿ âûÿâëåíèÿ óêëîíåíèÿ
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
p(0 | I,Y , e) ≤ p(0 | I, Ir , e) äëÿ ëþáîãî I > Y ≥ Ir è e ,
(3.2.1)
òî äëÿ çàäà÷è íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè, îïèñàííîé â Ðàçäåëå 3.1,
ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô c) ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíûé êîíòðàêò,
óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ. Òî æå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè
îãðàíè÷åíèè íà øòðàô d, åñëè ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ
Ed (I,Y , e) + Ed (Y , Ir , e) ≥ Ed (I, Ir , e) äëÿ ëþáîãî I > Y ≥ Ir .
(3.2.2)
Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ñòàíäàðòíà (ñð. â CW ñ Ëåììîé 3 íà ñ. 177).
Ðàññìîòðèì êîíòðàêò sG = (T , e) , òàêîé, ÷òî Ir (I, sG ) ≠ I äëÿ íåêîòîðîãî
I . Îáîçíà÷èì ÷åðåç
*
*
(T *, e* )
íîâûé êîíòðàêò, òàêîé, ÷òî
T (I) = Teff (I, sG ), e (I) = e[Ir (I, sG )] . Â Ïðèëîæåíèè ïîêàçàíî, ÷òî ïðè
óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ýòîò íîâûé êîíòðàêò óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ
è ýêâèâàëåíòåí èñõîäíîìó äëÿ âñåõ àãåíòîâ, âêëþ÷àÿ ïðàâèòåëüñòâî.
Îáñóäèì óñëîâèÿ (3.2.1, 3.2.2). Îíè âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ñòàíäàðòíîé
ìîäåëè ïðîâåðîê è, áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé ìîäåëè, â êîòîðîé
p(d | I, Ir , e) íå çàâèñèò îò Ir . Âòîðîå óñëîâèå òàêæå âûïîëíÿåòñÿ
äëÿ ïðèìåðîâ 1, 2, 3 è ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî îáùèì. Îäíàêî
íè îäèí èç ýòèõ ïðèìåðîâ íå óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó óñëîâèþ. Òî
åñòü, âîçìîæíî, îïòèìàëüíûé êîíòðàêò ïðè îãðàíè÷åíèè c îáû÷íî
íå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ê óêëîíåíèþ â ðàìêàõ îáùåé ìîäåëè ïðîâåðîê.
3.3. Îáùåêîíòðàêòíûé ïîäõîä
Ðàññìîòðèì ìîäåëü, çàäàííóþ ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà G(I) , ñòîèìîñòüþ óñèëèÿ íà ïðîâåðêó C(e) , è âåðîÿòíîñòüþ p(Id | I, e) îáíàðóæåíèÿ äîõîäà Id ïðè èñòèííîì äîõîäå I è óñèëèè íà ïðîâåðêó e .
Îáùèé êîíòðàêò cG äëÿ ýòîé ìîäåëè ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà ñîîá-
3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ
33
ùåíèé M , íàëîãîâîé ôóíêöèè T (m) , m ∈ M , ôóíêöèè ïðîâåðîê e(m)
è ôóíêöèè øòðàôîâ F (Id , m) . Åäèíñòâåííàÿ ðàçíèöà ñ ïðåäûäóùåé
ìîäåëüþ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñîîáùåíèå m ìîæåò èìåòü äðóãîé
ñìûñë, ÷åì ðåãèñòðèðóåìûé äîõîä.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî êîíòðàêòà àíàëîãè÷íà
(2.1.1–2.1.4). Êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü
ñâîé îæèäàåìûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò åãî èñòèííîãî äîõîäà åãî ñîîáùåíèå
m(I, cG ) → min{T (m) + ∑ p(Id
m
def
I, e(m))F (Id , m)} = Teff (I, cG ) .
(3.3.1)
Id
Çàäà÷åé ïðàâèòåëüñòâà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìèçàöèÿ íàëîãîâîãî äîõîäà
çà âû÷åòîì çàòðàò íà àóäèò
∫ {Teff (I, cG ) − C[e(m(I, cG ))]}dG(I) → max
cG
(3.3.2)
ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ:
∫ [I − Teff (I, cG )]dG(I) ≥ Ialt ,
(3.3.3)
òî åñòü îæèäàåìûé äîõîä àãåíòà ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè äîëæåí ïðåâûøàòü àëüòåðíàòèâíûé äîõîä.
Îãðàíè÷åíèå íà ìèíèìàëüíûé äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ òåïåðü
âûãëÿäèò êàê
T [m(I)] + F [Id , m(I)] ≤ I − Imin
(3.3.4)
äëÿ ëþáîãî âûÿâëåííîãî Id , âîçìîæíîãî ïðè I è e(m) , à àíàëîã
îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ñ äëÿ ìîäåëè îáùèõ êîíòðàêòîâ âûãëÿäèò
êàê
!
0 ≤ F (Id , m) ≤ Id − T (m) − I
(3.3.5)
äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ m, Id .
Ëþáàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà, èëè ïðîñòîé êîíòðàêò, ðàññìîòðåííûé â Ðàçäåëàõ 2.1–3.2, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáùåãî êîíòðàêòà
ñ ìíîæåñòâîì M = [IL , IH ] . Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî
ìîæíî îãðàíè÷èòü âîçìîæíîñòè ïðàâèòåëüñòâà ïðîñòûì êîíòðàêòîì
áåç êàêîé-ëèáî ïîòåðè äîõîäà.
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
34
Òåîðåìà 3.3.1. Äëÿ ëþáîãî îáùåãî êîíòðàêòà cG ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíûé ïðîñòîé êîíòðàêò sG , òàêîé, ÷òî
1) e* (Ir (I, sG )) = e(m(I, cG )) ,
*
2) Teff
(I, sG ) = Teff (I, cG ) äëÿ ëþáîãî I ,
è, áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîãî äîõîäà I ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà ïîñëå
óïëàòû íàëîãà îäèíàêîâî äëÿ îáîèõ êîíòðàêòîâ.
Ñì. äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô (3.3.5) ñóùåñòâóåò, ñîãëàñíî Òåîðåìå 3.2.1, îïòèìàëüíûé ïðîñòîé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ. Óñëîâèå (3.2.1) â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ çàâèñèò ëèøü îò I è e . Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíûé ïðîñòîé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, îáåñïå÷èâàåò
ìàêñèìàëüíûé äîõîä â çàäà÷å (3.3.2–3.3.5).
 ðàìêàõ îáùåêîíòðàêòíîãî ïîäõîäà ìû íå ñóìåëè ââåñòè êàêîéíèáóäü àíàëîã îãðàíè÷åíèé a, b, d, èëè ïðèíöèïà: "íàêàçàíèå äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü òÿæåñòè ïðåñòóïëåíèÿ". Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû
ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåãèñòðàöèÿ äîõîäà íà ïðàêòèêå ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïîñûëêè àáñòðàêòíîãî ñîîáùåíèÿ. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì îáùåêîíòðàêòíûé ïîäõîä íå òàê ïîëåçåí ïðè èññëåäîâàíèè çàäà÷ íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ.
4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíà çàäà÷à îïòèìèçàöèè íàëîãîâîé
ñèñòåìû ñ ó÷åòîì óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ äëÿ ãðóïïû íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, äîõîäû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì. Íàøè ðåçóëüòàòû ïðîÿñíÿþò
ðîëü îãðàíè÷åíèé ó÷àñòèÿ è îãðàíè÷åíèé íà øòðàô ïðè îïðåäåëåíèè
îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ.
Ñîãëàñíî èçâåñòíîé Òåîðåìå î áëàãîñîñòîÿíèè, åñëè ïðàâèòåëüñòâî
îáëàäàåò ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ðàñïðåäåëåíèè äîõîäà, à íàëîãîïëàòåëüùèêè íåéòðàëüíû ê ðèñêó, òî îïòèìàëüíî ââîäèòü âìåíåííûé
íàëîã è íå îðãàíèçîâûâàòü ïðîâåðêè. Îäíàêî, åñëè ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åíèå íà ìèíèìàëüíûé äîõîä ïðè õóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå, òî
ìîæåò áûòü îïòèìàëüíûì êîìáèíèðîâàíèå âìåíåííîãî íàëîãà ñ äðóãèìè òèïàìè íàëîãîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìàêñèìàëüíûé âìåíåííûé íàëîã
îãðàíè÷åí, ñ îäíîé ñòîðîíû, âåëè÷èíîé, êîòîðàÿ ìîæåò íàðóøèòü
4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
35
äåÿòåëüíîñòü ôèðìû ïðè íåáëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ ïðîèçâîäñòâà, à
ñ äðóãîé, — äîïîëíèòåëüíîé îæèäàåìîé ïðèáûëüþ äî íàëîãîîáëîæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåé æåëàòåëüíîìó äëÿ ýòîé ãðóïïû óðîâíþ
ïðèáûëè ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ.
Íàøè ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè óïîìÿíóòûõ óñëîâèÿõ âñåãäà
îïòèìàëüíî óñòàíàâëèâàòü ìàêñèìàëüíûé âìåíåííûé íàëîã. Åñëè
âåëè÷èíà ñþðïëàñà îòíîñèòåëüíî ìàëà, òî ââåäåíèå ëþáîãî äðóãîãî
íàëîãà íå óâåëè÷èò ÷èñòûé íàëîã. Íî åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
ïðèáûëè âåëèêà, à çàòðàòû íà ïðîâåðêó îòíîñèòåëüíî íèçêè, òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, èìååò ñëåäóþùóþ
ñòðóêòóðó: ñî âñåõ äîõîäîâ, ìåíüøèõ íåêîòîðîãî ïîðîãà, áåðåòñÿ òàêîé íàëîã, ÷òî îñòàòîê ðàâåí ìèíèìàëüíîìó óðîâíþ äîõîäà, à äëÿ
âñåõ áîëüøèõ äîõîäîâ íàëîã ïîñòîÿíåí. Îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé
ïðîâåðîê ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîå "ïîðîãîâîå" ïðàâèëî: äåêëàðàöèè äîõîäà, ìåíüøåãî, ÷åì ïîðîãîâîå çíà÷åíèå, ïðîâåðÿþòñÿ ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ íåâûãîäíûì, à îñòàëüíûå äåêëàðàöèè íå ïðîâåðÿþòñÿ.  íåêîòîðîì ñìûñëå
îïòèìàëüíûé êîíòðàêò íå çàâèñèò îò íàêàçàíèÿ: íåâàæíî, ïðîïîðöèîíàëåí ëè øòðàô íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó,
èëè âêëþ÷àåò îáå êîìïîíåíòû. Òàê êàê íàëîã ðàâåí âñåìó äîõîäó
ñâåðõ ìèíèìàëüíîãî óðîâíÿ, èìååò çíà÷åíèå òîëüêî ñóììà øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ.
×òîáû íàéòè îïòèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå äîõîäà, ìîæíî íà÷àòü
ñ ñàìîãî íèçêîãî óðîâíÿ è ïîâûøàòü åãî, ïîêà ïðåäåëüíûå çàòðàòû
íà àóäèò íå ïðåâûñÿò ïðåäåëüíûé äîõîä èëè ïîêà îæèäàåìûé äîõîä
àãåíòîâ ïîñëå óïëàòû íàëîãà íå äîñòèãíåò æåëàòåëüíîãî óðîâíÿ.
Íàø ôîðìàëüíûé ðåçóëüòàò àíàëîãè÷åí èçâåñòíûì óòâåðæäåíèÿì îá
îïòèìàëüíîñòè ðåãðåññèâíûõ íàëîãîâ (ñì. Mirrlees, CW è äð.). Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî îæèäàåìûé äîõîä â íàøåì ñëó÷àå îäèíàêîâ äëÿ
âñåõ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû òîëüêî ïîêàçàëè, ÷òî îïòèìàëüíî ïîîùðÿòü óäà÷ëèâûõ àãåíòîâ ñ áîëåå âûñîêèìè äîõîäàìè.
Êàê ýòîò ðåçóëüòàò ñîîòíîñèòñÿ ñ ïðàêòèêîé íàëîãîîáëîæåíèÿ â Ðîññèè? Òèïè÷íûé ïîäõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàëîãîâîãî
ïåðèîäà íàëîãîâàÿ ñëóæáà óñòàíàâëèâàåò íîðìàòèâíûå óðîâíè íàëîãà äëÿ êîíòðîëèðóåìûõ åþ ôèðì â çàâèñèìîñòè îò èíôîðìàöèè î
íèõ è íåêîòîðûõ îáùèõ õàðàêòåðèñòèêàõ ðûíêà â äàííûé ïåðèîä (ñì.
Ìåòîäèêó, 1997). Òàêîé óðîâåíü íàëîãà ñîîòâåòñòâóåò ïîðîãîâîìó
çíà÷åíèþ íàëîãà â íàøåé ìîäåëè. Òîëüêî ôèðìû, êîòîðûå íå âûïëà÷èâàþò ýòîò íîðìàòèâíûé íàëîã, òùàòåëüíî ïðîâåðÿþòñÿ è íàêàçûâàþòñÿ. Îäíî ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îò íàøåé ìîäåëè ñîñòîèò â
òîì, ÷òî íàëîã (òàê æå, êàê è øòðàô) ìîæåò ïðèíèìàòü äðóãóþ ôîðìó
è èäòè íå â äîõîä ïðàâèòåëüñòâà, à êóäà-òî åùå (íàïðèìåð, ýòî ìî-
36
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
æåò áûòü "äîáðîâîëüíîå" ïîæåðòâîâàíèå, êîòîðîå íàïðàâëÿåòñÿ â
íåêîòîðûå ôîíäû ìåñòíîé àäìèíèñòðàöèè, ñì. ßêîâëåâ, 2000). Çàìåòèì, ÷òî êðèìèíàëüíûå ãðóïïû òàêæå èñïîëüçóþò ïîäîáíûé ïîäõîä ê ïðåäïðèÿòèÿì, íàõîäÿùèìñÿ ïîä èõ êîíòðîëåì.
Îäíà èç ïðîáëåì ñîñòîèò â òîì, êàê îïðåäåëÿòü æåëàòåëüíûé óðîâåíü äîõîäà ïîñëå óïëàòû íàëîãà Ialt äëÿ ðàçëè÷íûõ ãðóïï íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ýòè âåëè÷èíû äîëæíû
îïðåäåëÿòüñÿ ïðè ðåøåíèè îáùåé çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîÿíèÿ äëÿ ýêîíîìèêè.  äàííîì êîíòåêñòå íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîçâîëÿåò íå ðàññìàòðèâàòü íàëîãîâîå óêëîíåíèå
ïðè ïîñòàíîâêå è èññëåäîâàíèè ýòîé ñëîæíîé ïðîáëåìû, òàê êàê ìû
îïðåäåëèëè ìèíèìàëüíûå çàòðàòû íà ñáîð íàëîãà â çàâèñèìîñòè îò
çàäàííîãî æåëàòåëüíîãî äîõîäà Ialt .
Âàæíûé àñïåêò — ÿâëÿåòñÿ ëè óêàçàííûé êîíòðàêò îïòèìàëüíûì
â öåëîì, òî åñòü, âñåãäà ëè óñòîé÷èâà îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ïîëèòèêà ïðàâèòåëüñòâà.  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîé òî÷êè çðåíèÿ
(ñì. Chander è Wilde, 1998; Mookherjee è Png, 1989 è äð.), ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãà, åñëè øòðàô çà óêëîíåíèå
ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó. Ýòî
ïðîèñõîäèò, åñëè èìåþòñÿ äâà âîçìîæíûõ óðîâíÿ äîõîäà, øòðàô çà
óêëîíåíèå îòíîñèòåëüíî ìàë, à ïðèáûëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà íå î÷åíü
âûñîêà è íå î÷åíü íèçêà, íî ïðåâûøàåò â íåêîòîðîé ñòåïåíè ðàçíîñòü ìèíèìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî è äîïóñòèìîãî çíà÷åíèé äîõîäà
(ñì. ðèñ. 1). Îäíàêî äëÿ òèïè÷íûõ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé äîõîäà (ðàâíîìåðíîãî, ýêñïîíåíöèàëüíîãî è äð.), îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëåí â öåëîì (ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó).
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû àáñòðàãèðîâàëèñü îò äâóõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðîáëåì.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðàâèòåëüñòâî èìååò äåëî ñ ãåòåðîãåííûìè íàëîãîïëàòåëüùèêàìè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îíî íå ðàñïîëàãàåò äîñòàòî÷íî ïîëíîé èíôîðìàöèåé îá èõ íà÷àëüíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ (òî åñòü, ðàñïðåäåëåíèÿõ äîõîäà) è íå ìîæåò ïðåäëîæèòü
ñïåöèàëèçèðîâàííûé êîíòðàêò. Ìû ïîëó÷èëè íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû
äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäåëè ñ íåñëó÷àéíûìè äîõîäàìè â ðàáîòå
Marhuenda, Vasin, Vasina (2000). Îäíàêî èçó÷åíèå ìîäåëè, âêëþ÷àþùåé îáà òèïà èíôîðìàöèîííîé àñèììåòðèè, îñòàåòñÿ àêòóàëüíîé
ïðîáëåìîé.
Äðóãîé âàæíûé àñïåêò — êîððóïöèÿ â íàëîãîâîé àäìèíèñòðàöèè (îäíî èç ïîñëåäíèõ èññëåäîâàíèé íà ýòó òåìó áûëî îñóùåñòâëåíî
Hindriks è äð., 1999). Îòìåòèì, ÷òî ââåäåíèå â íàøó ìîäåëü âîçìîæ-
4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
37
íîñòè ñãîâîðà ìåæäó íàëîãîïëàòåëüùèêîì è ïðîâåðÿþùèì åãî èíñïåêòîðîì ñóùåñòâåííî íå èçìåíèò ðåçóëüòàòîâ îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà. Ïóòåì ââåäåíèÿ ïðåìèé àóäèòîðàì çà âûÿâëåíèå óêëîíåíèÿ îò óïëàòû íàëîãà ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò
íåéòðàëèçîâàòü ñòèìóëû äëÿ âçÿòî÷íè÷åñòâà è ïîëó÷èòü òîò æå îïòèìàëüíûé íàëîãîâûé äîõîä (ñì. Vasin è Panova, 1999). Kofman è
Lawarree (1993, 1996) ïîëó÷èëè ïîõîæèé ðåçóëüòàò äëÿ ìîäåëè "õîçÿèí-óïðàâëÿþùèé-àãåíò" â äðóãîé ïîñòàíîâêå. Ðîëü ñîçäàíèÿ ñòèìóëîâ äëÿ ãîññëóæàùèõ â ïðîöåññå áîðüáû ñ êîððóïöèåé ïðèçíàíà â
ýêîíîìè÷åñêîé ëèòåðàòóðå (ñì. Bardhan, 1977). Ïîäëèííàÿ ïðîáëåìà
ñîñòîèò â òîì, ÷òî óñëîâèå ñëó÷àéíûõ âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó íàëîãîïëàòåëüùèêàìè è àóäèòîðàìè â óïîìÿíóòûõ ìîäåëÿõ âî ìíîãèõ
ñëó÷àÿõ ïðîòèâîðå÷èò ïðàêòèêå. Äëÿ äîëãîâðåìåííûõ îòíîøåíèé
ìåæäó íàëîãîïëàòåëüùèêîì è èíñïåêòîðîì óïîìÿíóòàÿ ñèñòåìà
ïðåìèé íå òàê ýôôåêòèâíà. Òàêèì îáðàçîì, ýòà ïðîáëåìà íóæäàåòñÿ
â äîïîëíèòåëüíîì èññëåäîâàíèè.
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
38
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.1. Èñõîäÿ èç óòâåðæäåíèÿ 2.1.2,
äîñòàòî÷íî èçó÷èòü ñëó÷àé Ialt − Imin < q ∆I . Îáîçíà÷èì ÷åðåç y = pF
ñðåäíèé ïëàòåæ â áþäæåò èç äîïîëíèòåëüíîãî äîõîäà. Çàäà÷à íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè â îáëàñòè II ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
TL + qy − pc → max
(Ï.1)
ïðè
TL + qy ≤ ∆EI, TL ≤ TLM , TL +
y
≤ TLM + ∆I.
p
Ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ TL , y > 0 îïòèìàëüíîå p ïðåâðàùàåò ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â ðàâåíñòâî. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîëæíû ìàêñèìèçèðîâàòü
def
R(TL , y ) = TL + qy − cy /(TLM − TL + ∆I)
â îáëàñòè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 5.
y
TL + qy = ∆EI
0
Ðèñ. 5.
TLM
∆EI
TL
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
39
Óñëîâèå (2.2.5) îçíà÷àåò, ÷òî R(TL , y ) âîçðàñòàåò ïî y ïðè ëþáîì
äîïóñòèìîì TL . Íà ïðÿìîé TL + qy = ∆EI äîõîä ðàâåí ∆EI − cp(y ) , ãäå
p(y ) =
y
.
∆I + TLM − ∆EI + qy
Âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè âîçðàñòàåò ïî y è äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà ïðè
TL = TLM , y =
∆EI − TLM
.
q
Òàêèì îáðàçîì, ìàêñèìàëüíûé äîõîä ðàâåí
R II = ∆EI − c
∆EI − TLM
,
∆Iq
îïòèìàëüíûé øòðàô — F = ∆I .
×òîáû íàéòè îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà, äîñòàòî÷íî
ñðàâíèòü R II ñ ìàêñèìàëüíûìè äîõîäàìè â îáëàñòÿõ I è III. Â ïîñëåäíåé îáëàñòè R III = TLM , òàê êàê ∆T = 0 . Òàêèì îáðàçîì, R II > R III
ïðè (2.2.5).
 îáëàñòè I
R I = ∆EI − (1 − q)
c
1+ δ
è R II > R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
∆EI − TLM 1 − q
<
,
∆Iq
1+ δ
÷òî ýêâèâàëåíòíî
1− q 

Ialt − Imin > q ∆I 1 −
.
1 + δ 

Åñëè q ∆I ≤ c , òî R III ≥ R II , à R III ≥ R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Ialt − Imin ≥ q ∆I − c(1 − q) pa* .
Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.2.  îáëàñòè II ïîñòàíîâêà è ðåøåíèå çàäà÷è íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè òàêèå æå, êàê ïðè a):
F = ∆I, pII =
∆EI − TLM
q ∆I − Ialt + Imin
;
=
q ∆I
q ∆I
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
40
åäèíñòâåííàÿ ðàçíèöà, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ∆T = ∆I(1 − δ b ) .
 îáëàñòè I ∆EI > TLM ⇒ R I = max[TL + q ∆T − (1 − q)cp]
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
p(∆T + δ∆I) ≥ ∆T , TL ≤ TLM , TL + q∆T ≤ ∆EI, ∆T ≤ ∆I .
Òîãäà
pI =
∆T
,
∆T + δ ∆I
è ÷èñòûé äîõîä äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà, êîãäà
TL: + q ∆T = ∆EI ,
TL = TLM ,
I −I
∆T = ∆I − alt min .
q
Òàê æå, êàê ïðè a), R III = TLM , è R II > R III òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
q ∆I > c . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, R II > R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
pII =
∆EI − TLM
< pI (1 − q) .
q ∆I
Òàêèì îáðàçîì, R II > max(R I , R III ) , åñëè (q + δ b )q ∆I < Ialt − Imin < q ∆I .
Åñëè q ∆I ≤ c , òî R III > R II , à R III > R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
TLM ≥ ∆EI − c(1 − q)
∆EI − TLM
⇔
∆EI − TLM + qδ b ∆I
⇔ c(1 + q) ≥ q∆I(1 + δ b ) − (Ialt − Imin) ⇔
⇔ q ∆I ≥ Ialt − Imin ≥ q ∆I(1 + δ b) − c(1 − q) .
Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.3.  îáëàñòè I ìû ñòðåìèìñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü R I = (TL + q ∆T − (1 − q)cp) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
!
F + TL ≤ IH − I , TL ≤ TLM , TL + q ∆T ≤ ∆EI è pF ≥ ∆T .
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíûå
p* =
!
∆T
, F * (TL ) = IH − I − TL .
F
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
41
Åñëè qFc > (1 − q)c äëÿ ëþáîãî TL ≤ TLM , òî
q−
(1 − q)c
F * (TL )
>0
äëÿ ëþáîãî TL ≤ TLM , TL* + q ∆T * = ∆EI , è îïòèìàëüíûé íàëîã TL* ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, ïðîïîðöèîíàëüíóþ
∆EI − TL
!
.
IH − I − TL
!
Ialt > Imin > I ,
Òàê êàê
!
∆EI = IL + q ∆I − Ialt < IH − I
è
TL* = TLM . Åñëè
qFc ≤ (1 − q)c , òî ∆T * = 0 , TL* = TLM .
Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.4 àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. Åäèíñòâåííàÿ
q ∆T
*
+ TL*
ðàçíèöà
çàêëþ÷àåòñÿ
â
òîì,
÷òî
Fd* = δ d ∆I,
òàê
÷òî
= ∆EI , åñëè qFd > (1 − q)c.
Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 2.3.2. Ñîãëàñíî Óòâåðæäåíèþ 2.3.1, ìû
ìîæåì âûðàçèòü ÷èñòûé äîõîä ïðè îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðîâåðîê
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
−1
∫{T+ (I)[µ(I) − (kT+ (I) + l)
'
'
]}dG(I) .
Òàê êàê ñòàâêà ðèñêà è T+' óáûâàþò ïî I , êîýôôèöèåíò ïðè T+' ìîíîòîííî óáûâàåò ïî I . Òàêèì îáðàçîì, ïðè îïòèìàëüíîì T ïðåäåëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà T+' ìàêñèìàëüíà, òî åñòü ðàâíà 1 äî íåêîòîðîãî I è ìèíèìàëüíà, òî åñòü ðàâíà 0, íà÷èíàÿ ñ ýòîãî I .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç R(I )
(ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç Rg (I ) ) ÷èñòûé (ñîîò-
âåòñòâåííî âàëîâîé) äîõîä äëÿ íàëîãîâîé ñõåìû ñ ïîðîãîì I . Òîãäà
I
R(I ) =
c
∫ ρ(I)(I − k + l )dI + [1 − G(I )]I ,
IL
c 

R ′(I ) = ρ (I )  I −
− ρ (I )I + 1 − G(I ) .
k + l 

Åñëè
µ (IL ) >
c
,
k+l
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
42
òî R(I ) — óíèìîäàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ åäèíñòâåííûì ìàêñèìóìîì â
òî÷êå I" , òàêèì, ÷òî
µ(I") >
c
.
k +l
Îïòèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå I* ðàâíî I" ïðè Rg (I") ≤ ∆EI , èíà÷å
Rg (I* ) = ∆EI . Ïðè âûïîëíåíèè ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà
µ (IL ) ≤
c
,
k +l
âìåíåííûé íàëîã T ≡ TLM îïòèìàëåí.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
l = 0, k = 1 + δ a .  ýòîì ñëó÷àå
óñëîâèå (2.1.4) ïðèíèìàåò âèä:
T (I) + δ a{T (I) − T [Ir (I)]} ≤ I − Imin åñëè q(I) > 0
(a)
è T [Ir (I)] ≤ I − Imin åñëè q(I) < 1 .
(b)
Çäåñü q(I) = p[Ir (I)] — ýôôåêòèâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè äëÿ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñ äîõîäîì I .
Íèæå ìû äîêàçûâàåì òåîðåìó ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
T (I) ≤ I − Imin äëÿ ëþáîãî I .
(Ï.2)
Åñëè q(I) > 0 , òî èç (a) âûòåêàåò (Ï.2). Ìû ïîëàãàåì, ÷òî ýòî óñëîâèå
íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíûì, åñëè q(I) = 0 è Ir (I) ≠ I .  ëþáîì ñëó÷àå òàêîå îãðàíè÷åíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì â íàøåé ïîñòàíîâêå.
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðè âûïîëíåíèè (Ï.2), íî áåç óñëîâèÿ
(2.1.4).
Èçó÷èì îïòèìèçàöèîííóþ ïðîáëåìó â îòíîøåíèè ïðàâèëà ïðîâåðîê
ïðè ôèêñèðîâàííîì íåóáûâàþùåì íàëîãîâîì ãðàôèêå T . Ñîãëàñíî
Sanchez è Sobel (1993), îïòèìàëüíûì ïðàâèëîì ïðîâåðîê ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèå çàäà÷è
R(q(.)) = ∫ q(I)[(1 + δ a)T+' (I)µ (I) − c]dG(I) → max
q(.)
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
43
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ: q(I) íå âîçðàñòàåò ïî I ,
q(I) ∈ [0,(1 + δ a)−1] ,
Rg (q(.)) = ∫ q(I)(1 + δ a)T+' (I)µ (I)dG(I) ≤ ∆EI .
(Ï.3)
Óòâåðæäåíèå 2 èç Sanchez è Sobel ïîêàçûâàåò, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå â âèäå:
1/(1 + δ a )

q (I) =  p

0
*
if I ∈ [IL , I1),
!
if I ∈ [I1, I ),
!
if I ∈ [I , IH ],
!

1 
ãäå IL ≤ I1 ≤ I ≤ IH , p ∈  0,
.
 1+ δa 
Ýòà ýôôåêòèâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ïðîâåðîê
 1
1 + δ
a

*
p (I) =  p


0
if I ∈ [IL , I1),
if I ∈ [I1, I2 ),
if I ≥ I2 ,
ãäå I2 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
!
!
T (I2 ) = Teff (I ) = T (I1) + p(1 + δ a )[T (I ) − T (I1)].
Ýòîò ðåçóëüòàò ëåãêî ñëåäóåò èç òåîðèè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: (Ï.3) ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ äâóìÿ îãðàíè÷åíèÿìè ïîìèìî ìîíîòîííîñòè q(I) . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ðåøåíèå q* (I) è ñîîòâåòñòâóþùàÿ p* (I) , êîòîðàÿ
èìååò êàê ìàêñèìóì äâà ñêà÷êà. Áîëåå òîãî, åñëè T+' (I)µ (I) íå âîçðàñòàåò, òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå òîëüêî ñ îäíèì ñêà÷êîì, òî åñòü
ïîðîãîâîå ïðàâèëî. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (2.1.4) íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíûì îòíîñèòåëüíî T , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò (Ï.2) ïðè ëþáîì ïîðîãîâîì ïðàâèëå. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé ïàðû T (.), p(.) , ãäå
p(.) — ïîðîãîâîå ïðàâèëî ñ ïîðîãîì I , ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
44
óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ ñòðàòåãèÿ T (.), p(.) , ãäå
T (I), I ≤ I ,
T (I) = 
T (I ), I > I .
×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî, ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé ïàðû (T , q) , âêëþ÷àÿ òðåõóðîâíåâóþ ýôôåêòèâíóþ âåðîÿòíîñòü
ïðîâåðîê â çàäà÷å (2.1.2–2.1.3, Ï.2),. ñóùåñòâóåò äîïóñòèìàÿ ñòðàòåãèÿ (T *, q* ) , ãäå äëÿ ëþáîãî I T * (I) = I − Imin (òàê ÷òî T — âîãíóòûé
íàëîãîâûé ãðàôèê), q* — ëèáî òðåõóðîâíåâîå, ëèáî ïîðîãîâîå ïðàâèëî ïðîâåðîê è R(T *, q* ) ≥ R(T , q) .
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî T ïðè ôèêñèðîâàííîì q . Ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü åå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
!
I
R(T , q) = ∫ Teff (I)dG(I) − c ∫ q(I)dG(I) → max
IL
T (.)
ãäå
!
Teff (I) = [1 − p(1 + δ a )]T (I1) + p(1 + δ a )T (I) ïðè I ∈ (I1, I ] ,
(Ï.4)
!
!
Teff (I) = T (I) ïðè I ≤ I1, Teff (I) = Teff (I ) ïðè I > I
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
Rg (T , q) = ∫ Teff (I)dG(I) ≤ EI
(Ï.5)
è (Ï.2).
Åñëè ìû èñêëþ÷èì îãðàíè÷åíèå (Ï.5), òî
êàê Teff (I) ≤
*
Teff
(I)
T*
*
— ðåøåíèå, òàê
èñõîäÿ èç (Ï.4, Ï.2). Åñëè (T , q) íå óäîâëåòâîðÿ!
åò (Ï.5), òî ðàññìîòðèì R êàê ôóíêöèþ I ïðè ôèêñèðîâàííûõ T *, I1
!
!
è p . Äëÿ I ' ≤ I1 îïðåäåëèì q(I | I ') êàê ïîðîãîâîå ïðàâèëî ñ ïîðî!
!
ãîì I ' . Çàìåòèì, ÷òî R íåïðåðûâíà è âîçðàñòàåò ïî I . Òàêèì îáðà!'
!
!
!
!
çîì, ñóùåñòâóåò I ∈ (I1, I ) , òàêîé, ÷òî Rg (T *, I ') = ∆EI è R(T *, I ') > R(T , I ) ,
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
45
òàê êàê
!
!
IL
IL
I'
I
!'
q
(
I
|
I
)
dG
(
I
)
q
(
I
)
dG
(
I
)
=
<
∫
∫
∫ q(I)dG(I) .
Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.2.1. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê T íå óáûâàåò,
òî T * òîæå íå óáûâàåò. Äîêàæåì, ÷òî Ir* (I) = I ïðè (T *, e* ) . Ìû ñòðåìèìñÿ ïîêàçàòü, ÷òî
T *(I, Y ) ≥ T *(I) äëÿ ëþáîãî Y < I .
(*)
Ïóñòü
Ir = Ir (Y ), e = e[Ir (Y )] ïðè (T , e) .
Òîãäà
T *(I) ≤ T (I, Ir ) = T (Ir ) +
∑ p(d | I, Ir , e)F (d, Ir ) ,
d
T (I, Y ) = T (Ir ) + ∑ p(d | Y , Ir , e)F (d, Ir ) + ∑ p(d | I, Y , e)p(d, Y ) .
*
d
d
Òàêèì îáðàçîì, ïðè óñëîâèè d íåðàâåíñòâî (*) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (3.2.2).
Ïðè c íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî
!
p(0 | I,Y , e)p(0 | Y , Ir , e)T (Ir ) + p(0 | I,Y , E )p(d ≠ 0 | Y , Ir , e)(y − I ) +
!
!
+ p(d ≠ 0 | I,Y , e)(I − I ) ≥ P(0, I, Ir , e)T (Ir ) + p(d ≠ 0 | I, Ir , e)(I − I ).
Ïîñëåäíåå ñëåäóåò èç (3.2.1).
 ïðèìåðå 1
Y 
p(0 | I,Y , e) =  
I 
e
(äëÿ ìàëûõ e ), â ïðèìåðå 2 ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà
Y −e
I
ïðè e < Y . Â ïðèìåðå 3 ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî Y ≥ I .
Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ (3.2.1) â îáùåì íå âûïîëíÿåòñÿ.
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
46
Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.3.1. Äëÿ çàäàííîãî êîíòðàêòà cG äëÿ ëþáîãî ñîîáùåíèÿ m îáîçíà÷èì ÷åðåç Inc(m) ìíîæåñòâî äîõîäîâ, òàêèõ, ÷òî m(I, cG ) = m . Äëÿ ëþáîãî Ir , òàêîãî, ÷òî
def
Ir = Ir (m) = min Inc(m)
äëÿ íåêîòîðîãî m , ïóñòü e* (Ir ) = e(m), T * (Ir ) = T (m), F * (Id , Ir ) = F (I, m) .
Åñëè Ir ≠ Ir (m) , òî ïóñòü T * (Ir ) = min{T (m) äëÿ m , òàêèõ, ÷òî
Ir (m) ≥ Ir }, F * (Id , Ir ) = max F (Id , m) , e* (Ir ) = e[m(IL )] .
m
Òàêîå îïðåäåëåíèå ñîõðàíÿåò ìîíîòîííîñòü íàëîãîâîé ôóíêöèè: åñëè T [m(I)] íå óáûâàåò ïî I , òî T * (I) íå óáûâàåò ïî I . Êðîìå òîãî,
åñëè èñõîäíàÿ øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.3.5), òî
!
íîâàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 0 ≤ F * (Id , Ir ) ≤ Id − T * (Ir ) − I
äëÿ ëþáûõ âîçìîæíûõ Id , Ir .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
47
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
ßêîâëåâ, À.À. (2000) ×åðíûé îôôøîð, Ýêñïåðò ¹ 43.
Atkinson, A.B. and J. E. Stiglitz (1980) Lectures on public economics (London:
McGraw-Hill).
Bardhan, P. (1997) Corruption and Development, Journal of Economic Literature
XXXV, 1320 – 1346.
Border, K. and J. Sobel (1987) Samurai Account: A Theory of Auditing and Plunder, Review of Economic Studies 54, 525 – 540.
Chander, P. and L. Wilde (1998) A General Characterization of Optimal Income
Tax Enforcement, Review of Economic Studies 65, 165 – 189.
Cowell, F. and G. F. Gordon (1995) Auditing with "ghosts," in: G. Fiorentini and
S.Peltzman, eds., The Economics of Organized Crime (New York: Cambridge University Press) 184 – 198.
Cremer, H., M. Marchand, and P. Pistieau (1990) Evading, Auditing and Taxing:
The Equity-Compliance Tradeoff, Journal of Public Economics 43, 67 – 92.
Hindriks, J., M. Keen, and A. Muthoo (1999) Corruption, Extortion and Evasion,
Journal of Public Economics 74 (3), 395 – 430.
Klitgaard (1988) Controlling Corruption (University of California Press, Berkeley, CA).
Kofman F. and J. Lawarree (1993) Collusion in Hierarchical Agency, Econometrica
61, 629 – 656.
Kofman, F. and J. Lawarree (1996) On the Optimality of Allowing Collusion, Journal of Public Economics 61, 383 – 407.
Marhuenda, F., A. A. Vasin, and P. A. Vasina (2000) Tax enforcement for heterogeneous firms, contributed paper to the conference "Transforming Governance in
Economies in Transition" (New Economic School, Moscow)
Metodika provedeniya analiza hozyaistvennoy deyatel'nosti predpriyatiy and organizatsiy (1997) Preprint (Moscow).
Mirrlees, J. (1971) An Exploration in the Theory of Optimal Income Taxation, Review of Economic Studies 328, 175 – 208.
Mookherjee, D. and I. P. L. Png (1989) Optimal Auditing, Insurance and Redistribution, Quarterly Journal of Economics 104, 339 – 415.
Reinganum, J. F. and L. L. Wilde (1985) Income tax compliance in a principalagent framework, Journal of Public Economics 26, 1 – 18.
Sanchez, I. and J. Sobel (1993) Hierarchical design and enforcement of income
tax policies, Journal of Public Economics 50, 345 – 69.
48
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
Tirole, J. (1992) Collusion and the Theory of Organization, in: J.-J. Laffont, ed.,
Advances in Economic Theory, Sixth World Congress, vol.2 (Cambridge University
Press, Cambridge).
Vasin, A. A. and E.I. Panova (1999) Tax Collection and Corruption in Fiscal Bodies,
EERC Working Paper No 99/10 (Economics Education and Research Consortium,
Moscow).