Оптимизация налоговой системы в условиях уклонения от налогов
реклама
Êîíñîðöèóì ýêîíîìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è îáðàçîâàíèÿ Ñåðèÿ "Íàó÷íûå äîêëàäû" lαabcd Îïòèìèçàöèÿ íàëîãîâîé ñèñòåìû â óñëîâèÿõ óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ Ðîëü îãðàíè÷åíèé íà øòðàô lαabcd À.À. Âàñèí Ï.À. Âàñèíà Íàó÷íûé äîêëàä ¹ 01/09 Ïðîåêò (¹ 99-245) ðåàëèçîâàí ïðè ïîääåðæêå Êîíñîðöèóìà ýêîíîìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è îáðàçîâàíèÿ Äîêëàä ïóáëèêóåòñÿ â ðàìêàõ íàïðàâëåíèÿ Ýêîíîìèêà îáùåñòâåííîãî ñåêòîðà Ìíåíèå àâòîðîâ ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ òî÷êîé çðåíèÿ Êîíñîðöèóìà À.À. Âàñèí, Ï.À. Âàñèíà 2002 Êëàññèôèêàöèÿ JEL: C70, C72, H26 ÂÀÑÈÍ À.À., ÂÀÑÈÍÀ Ï.À. Îïòèìèçàöèÿ íàëîãîâîé ñèñòåìû â óñëîâèÿõ óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ: ðîëü îãðàíè÷åíèé íà øòðàô. — Ì.: EERC, 2002. — 48 c. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ ãðóïïû èíäèâèäóóìîâ, äîõîäû êîòîðûõ âûñòóïàþò íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì. Äîõîä àãåíòà ÿâëÿåòñÿ åãî ÷àñòíîé èíôîðìàöèåé è ìîæåò áûòü âûÿñíåí òîëüêî ïóòåì àóäèòà, òðåáóþùåãî çàòðàò. Öåëü ðàáîòû — îïèñàíèå îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðû íàëîãîâûõ ñòàâîê è ñòðàòåãèè ïðîâåðîê, ìàêñèìèçèðóþùèõ ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ, îòðàæàþùèõ èíòåðåñû íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Àâòîðû îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ, óñòîé÷èâóþ ê óêëîíåíèþ, â çàâèñèìîñòè îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô. Îíè ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ óêëîíåíèå îò íàëîãîâ ìîæåò óâåëè÷èòü ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä, íî îáû÷íî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: Ðîññèÿ, îïòèìàëüíàÿ ñòðóêòóðà íàëîãîâûõ ñòàâîê, îãðàíè÷åíèå íà øòðàô, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ ñòðàòåãèÿ. Áëàãîäàðíîñòè. Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü Õóàíó Êàðèëüî, Äæèìó Ëÿéöåëó è Ëåîíèäó Ïîëèùóêó çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ. Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷ Âàñèí Ïîëèíà Àëåêñàíäðîâíà Âàñèíà Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà 119899, Ìîñêâà, Âîðîáüåâû Ãîðû, ÌÃÓ, 2-îé ó÷åáíûé êîðïóñ, ô-ò ÂÌèÊ Òåë.: (095) 939 24 91 Ôàêñ: (095) 939 25 96 E-mail: [email protected] ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎÑÛËÊÈ È ÂÛÂÎÄÛ 5 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ 7 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 2.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè. Ïåðâîå ëó÷øåå ðåøåíèå 2.2. Ìîäåëü ñ äâóìÿ âîçìîæíûìè óðîâíÿìè äîõîäà 2.3. Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè, óñòîé÷èâûå ê óêëîíåíèþ 3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ 3.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè 3.2. Îá îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòîâ, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ 3.3. Îáùåêîíòðàêòíûé ïîäõîä 11 11 16 25 30 30 32 32 4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ 34 ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 38 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 47 ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎÑÛËÊÈ È ÂÛÂÎÄÛ 5 ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎÑÛËÊÈ È ÂÛÂÎÄÛ Â êðàòêîñðî÷íîé ïåðñïåêòèâå ðîññèéñêàÿ ýêîíîìèêà ñòàëêèâàåòñÿ ñî ñëåäóþùåé äèëåììîé. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóþò âàæíûå ïðè÷èíû (áîëüøîé âíåøíèé äîëã, îñòðûå ñîöèàëüíûå ïðîáëåìû) äëÿ óâåëè÷åíèÿ áþäæåòíûõ ðàñõîäîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îáùåìó ìíåíèþ, íàëîãîâûå ñòàâêè äîëæíû áûòü ïîíèæåíû, òàê êàê ïðè íûíåøíèõ ðàáîòàòü ÷åñòíî íåâîçìîæíî. Âîçìîæíîñòü ðàçðåøèòü ýòó äèëåììó îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ñóáúåêòîâ ýêîíîìèêè íå ïëàòèò ñåé÷àñ íàëîãè. Ñîãëàñíî îöåíêàì ýêñïåðòîâ Âñåìèðíîãî Áàíêà è ÌÂÔ, ðåàëüíûé íàëîãîâûé äîõîä â 1999 ã. ñîñòàâèë ìåíåå 50% îò óðîâíÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷åñòíîìó ïîâåäåíèþ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Óìåíüøåíèå íàëîãîâûõ ñòàâîê ñàìî ïî ñåáå íå óâåëè÷èò íàëîãîâûé äîõîä. Òå, êòî íå ïëàòèë íàëîãè, ïî-ïðåæíåìó íå áóäóò èõ ïëàòèòü, à òå, êòî ïëàòèë, áóäóò ïëàòèòü ìåíüøå. Ðåàëüíûé ñïîñîá ðàçðåøåíèÿ äèëåììû — îäíîâðåìåííàÿ îïòèìèçàöèÿ íàëîãîâûõ ñòàâîê è ñòðàòåãèè ïðîâåðîê.  íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåòè÷åñêèå çàäà÷è. Îñíîâíàÿ ìîäåëü âêëþ÷àåò ïðàâèòåëüñòâî è ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè äîõîäàìè ñ îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì. Âñå íàëîãîïëàòåëüùèêè è ïðàâèòåëüñòâî çíàþò ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà â íà÷àëå ïåðèîäà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè äî óïëàòû íàëîãà êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê âûÿñíÿåò ñâîé ñîáñòâåííûé äîõîä è ñîîáùàåò î íåì ïðàâèòåëüñòâó (íåîáÿçàòåëüíî ïðàâäèâî). Ïðàâèòåëüñòâî íå çíàåò êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé äîõîäà. Îíî ìîæåò îðãàíèçîâàòü íàëîãîâóþ ïðîâåðêó àãåíòîâ, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòü óêëîíåíèå. Àóäèò âñåãäà îïðåäåëÿåò ðåàëüíûé äîõîä è èìååò ôèêñèðîâàííóþ ñòîèìîñòü. Ïðàâèòåëüñòâî ñîáèðàåò íàëîãè ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùåãî ìåõàíèçìà. Îíî óñòàíàâëèâàåò ñòðóêòóðó íàëîãîâûõ ñòàâîê, çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà, ñòðóêòóðó øòðàôîâ, çàâèñÿùóþ îò ðåàëüíîãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà, è âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà. Íàøà öåëü — èññëåäîâàòü çàäà÷ó íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè â ïîñòàíîâêå "ïðèíöèïàë-àãåíò", òî åñòü íàéòè ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà, ìàêñèìèçèðóþùóþ ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè àãåíòîâ è ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ. Îæèäàåìûé äîõîä àãåíòà äîëæåí ïðåâûøàòü çàäàííûé æåëàòåëüíûé óðîâåíü. Ïðè 6 ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ íàèõóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå äîõîä àãåíòà äîëæåí ïðåâûøàòü ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó, íåîáõîäèìóþ äëÿ "âûæèâàíèÿ" íàëîãîïëàòåëüùèêà. Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëåäóþùèå âàðèàíòû îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô: a) øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, b) ÷èñòûé øòðàô (çà âû÷åòîì íåäîïëà÷åííîãî íàëîãà) ïðîïîðöèîíàëåí ñîêðûòîìó äîõîäó; c) øòðàô îãðàíè÷åí èç-çà çàäàííîé ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû äîõîäà àãåíòà; d) øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó ñîêðûòîìó äîõîäó. Ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû. Âñåãäà îïòèìàëüíî óñòàíàâëèâàòü ìàêñèìàëüíûé ïðè óêàçàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ âìåíåííûé íàëîã. Åñëè äèñïåðñèÿ äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà îòíîñèòåëüíî ìàëà, òî ââåäåíèå ëþáîãî äðóãîãî äîïîëíèòåëüíîãî íàëîãà íå óâåëè÷èò ÷èñòûé äîõîä. Íî åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáûëè âåëèêà, à çàòðàòû íà ïðîâåðêó îòíîñèòåëüíî íèçêè, òî, ñîãëàñíî îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðå íàëîãîâûõ ñòàâîê, ñî âñåõ äîõîäîâ, ìåíüøèõ íåêîòîðîãî ïîðîãà, áåðåòñÿ òàêîé íàëîã, ÷òî îñòàòîê ðàâåí ìèíèìàëüíîìó óðîâíþ äîõîäà, à äëÿ âñåõ áîëüøèõ äîõîäîâ íàëîã ïîñòîÿíåí. Îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé ïðîâåðîê ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîå "ïîðîãîâîå" ïðàâèëî: äåêëàðàöèè äîõîäà, ìåíüøåãî, ÷åì ïîðîãîâîå çíà÷åíèå, ïðîâåðÿþòñÿ ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ íåâûãîäíûì, à îñòàëüíûå äåêëàðàöèè íå ïðîâåðÿþòñÿ.  íåêîòîðîì ñìûñëå îïòèìàëüíûé êîíòðàêò íå çàâèñèò îò íàêàçàíèÿ: íå âàæíî, ïðîïîðöèîíàëåí ëè øòðàô íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó, èëè âêëþ÷àåò îáå êîìïîíåíòû. Ñóììà øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè è ïîðîãîâûé óðîâåíü äîõîäà. Âàæíûé àñïåêò — ÿâëÿåòñÿ ëè óêàçàííûé êîíòðàêò îïòèìàëüíûì â öåëîì, òî åñòü, âñåãäà ëè óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ïîëèòèêà ïðàâèòåëüñòâà.  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîé òî÷êîé çðåíèÿ, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ äëÿ íåêîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè óêàçàííûõ âàðèàíòàõ øòðàôà a èëè b. Ýòî ïðîèñõîäèò, åñëè èìåþòñÿ äâà âîçìîæíûõ óðîâíÿ äîõîäà, åãî äèñïåðñèÿ íå âåëèêà è íå ìàëà, à øòðàô çà óêëîíåíèå îòíîñèòåëüíî ìàë. Îäíàêî äëÿ òèïè÷íûõ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé äîõîäà îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëåí â öåëîì (ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó). Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèé c èëè d. 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ 7 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Èíôîðìàöèîííûå àñèììåòðèè íàêëàäûâàþò ñóùåñòâåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà âûáîð íàëîãîâîé ïîëèòèêè.  áîëüøåé ÷àñòè ëèòåðàòóðû, ïîñâÿùåííîé îïòèìàëüíîìó íàëîãîîáëîæåíèþ (Reinganum, Wilde, 1985; Border, Sobel, 1987; Chander, Wilde, 1998 è äð.), äîõîäû èíäèâèäóóìîâ çàäàþòñÿ ýêçîãåííî. Èíôîðìàöèîííûå îãðàíè÷åíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ, òàê êàê äîõîä èíäèâèäóóìà ïðÿìî íå íàáëþäàåì. Åãî ìîæíî óñòàíîâèòü òîëüêî ïóòåì àóäèòà.  äàííîé ïîñòàíîâêå ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äîëæíà âêëþ÷àòü, êðîìå íàëîãîâûõ ñòàâîê, ñòðàòåãèþ ïðîâåðîê è ñõåìó íàêàçàíèé çà íåïðàâèëüíóþ äåêëàðàöèþ äîõîäîâ. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò âîïðîñ î âçàèìîçàâèñèìîñòè îïòèìàëüíûõ íàëîãîâûõ ñòàâîê, ñòðàòåãèè ïðîâåðîê, îãðàíè÷åíèé ó÷àñòèÿ è îãðàíè÷åíèé íà øòðàô. Ðàííèå ðåçóëüòàòû â îáëàñòè îïòèìàëüíîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ (ñì. Atkinson, Stiglitz, 1980) îòíîñÿòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà âñå íàëîãîïëàòåëüùèêè íåéòðàëüíû ê ðèñêó, èõ îãðàíè÷åíèå ó÷àñòèÿ ñâÿçàíî ñ îæèäàåìûì äîõîäîì ïîñëå óïëàòû íàëîãà, è ïðàâèòåëüñòâî çíàåò òèï êàæäîãî àãåíòà, â ÷àñòíîñòè, âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå åãî äîõîäà. Òîãäà, ñîãëàñíî Òåîðåìå î áëàãîñîñòîÿíèè (òàì æå) óïîìÿíóòàÿ àñèììåòðèÿ èíôîðìàöèè íåñóùåñòâåííà, ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò äîñòèãíóòü ïåðâîãî ëó÷øåãî ðåçóëüòàòà ïîñðåäñòâîì âìåíåííîãî íàëîãà, çàâèñÿùåãî îò òèïà àãåíòà, è íåîáõîäèìîñòü â àóäèòå îòñóòñòâóåò. Îäíàêî íà ïðàêòèêå íàëîãîïëàòåëüùèêè íå ìîãóò áûòü ïîëíîñòüþ íåéòðàëüíû ê ðèñêó ïðè ïðîèçâîëüíîé íàëîãîâîé ïîëèòèêå. Íàïðèìåð, äëÿ ôèðìû îáû÷íî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå (çàâèñÿùåå îò åå òèïà), òàêîå, ÷òî, åñëè äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ îêàæåòñÿ íèæå ýòîãî ïîðîãà, òî ôèðìà íå ìîæåò ïîëó÷èòü êðåäèò è ñòàíîâèòñÿ áàíêðîòîì. Èçâåñòíûå ìîäåëè îïòèìàëüíîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ â óñëîâèÿõ óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ (Chander, Wilde, 1998; Mookherjee, Png, 1989) ïðèíèìàþò â ðàñ÷åò ýòî óñëîâèå â âèäå îãðàíè÷åíèÿ ó÷àñòèÿ. Òàê, äîõîä íàëîãîïëàòåëüùèêà ïîñëå óïëàòû íàëîãà è øòðàôà ïðåäïîëàãàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì ïðè ëþáûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ, êàê áóäòî ôèðìà íà÷èíàåò áåñêîíå÷íî èçáåãàòü ðèñêà ïðè èñõîäàõ íèæå ïîðîãîâîãî óðîâíÿ.  ýòîì ñëó÷àå îïòèìàëüíûé íàëîã, â îáùåì, çàâèñèò îò äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà, è îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé ïîëèòèêè ñòàíîâèòñÿ íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â áîëüøåé ÷àñòè ëèòåðàòóðû ïî îïòèìàëüíîìó íàëîãîâîìó ïðèíóæäåíèþ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèáî ïîñòîÿííûå ïðå- 8 ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ äåëüíûå íàëîãîâûå ñòàâêè, ëèáî ôèêñèðîâàííûå íàëîãè è øòðàôû (ñì. Cremer, Marchand, Pestieau, 1990; Sanchez, Sobel, 1993). Mookherjee è Png (1989) èññëåäóþò çàäà÷ó íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ â ïîñòàíîâêå, áëèçêîé ê òåîðèè êîíòðàêòîâ. Îíè ðàññìàòðèâàþò íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, èçáåãàþùèõ ðèñêà, è âêëþ÷àþò â ñâîþ ìîäåëü ïðîáëåìó ìîðàëüíîãî ðèñêà, ïðè ýòîì äîïóñêàþòñÿ ëþáûå ñòàâêè íàëîãîâ è øòðàôîâ, óäîâëåòâîðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì ó÷àñòèÿ. Èõ ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî òàêîé ïîäõîä èìååò íåêîòîðûå íåäîñòàòêè: íàéäåííàÿ èìè îïòèìàëüíàÿ ñõåìà øòðàôîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñëåäóåò øòðàôîâàòü óêëîíÿþùåãîñÿ îò íàëîãà íà ñóììó âñåãî äîõîäà íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû ñîêðûòîãî äîõîäà. Î÷åâèäíî, òàêîå ïðàâèëî íå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî íà ïðàêòèêå. Áîëåå òîãî, êàê çàìå÷àþò Chander è Wilde (ñ. 177), íåðåàëèñòè÷íî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî øòðàôû ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðîì âûáîðà íàëîãîâîãî ðóêîâîäñòâà. Íà ïðàêòèêå øòðàôû ìîãóò áûòü îãðàíè÷åíû, íàïðèìåð, îáùåïðèíÿòîé ýòè÷åñêîé íîðìîé, ïðåäïîëàãàþùåé, ÷òî íàêàçàíèå äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü òÿæåñòè ïðåñòóïëåíèÿ. Chander è Wilde (äàëåå CW) èññëåäóþò çàäà÷ó íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, íåéòðàëüíûõ ê ðèñêó, ñ ýêçîãåííî çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà. Èñõîäÿ èç óêàçàííûõ àðãóìåíòîâ, îíè ðàññìàòðèâàþò äðóãîé òèï îãðàíè÷åíèÿ íà íàêàçàíèå: øòðàô ïîñëå ïðîâåðêè ðàâåí ñîêðûòîìó äîõîäó. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ýôôåêòèâíîé ñõåìû, âêëþ÷àþùåé íàëîã, øòðàô è ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòè ïðîâåðêè, òàêèå, ÷òî íèêàêàÿ äðóãàÿ ñõåìà íå ïîçâîëÿåò óâåëè÷èòü îæèäàåìûé ïëàòåæ ëþáîãî ïëàòåëüùèêà áåç óâåëè÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ïðîâåðêè äëÿ íåêîòîðîãî äåêëàðèðîâàííîãî äîõîäà. Àâòîðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñõåì, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ, è óñòàíàâëèâàþò èõ îáùèå ñâîéñòâà: íàëîãîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü íåóáûâàþùåé ñ íåâîçðàñòàþùåé ñðåäíåé ñòàâêîé íàëîãà, âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ñòàâêîé íàëîãà è íå âîçðàñòàåò. Îòìåòèì, ÷òî ïðîáëåìà íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè èçó÷àëàñü ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô, íå èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå.  äåéñòâèòåëüíîñòè îáíàðóæåííûé íåïëàòåëüùèê äîëæåí êîìïåíñèðîâàòü âûÿâëåííûé íåóïëà÷åííûé íàëîã è òàêæå çàïëàòèòü íåêîòîðûé øòðàô.  îäíèõ ñòðàíàõ îí ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, â íåêîòîðûõ äðóãèõ (âêëþ÷àÿ Ðîññèþ) — ñîêðûòîìó äîõîäó. Íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, äëÿ òàêèõ óñëîâèé íå áûëî ïîëó÷åíî ðåçóëüòàòîâ îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòà, óñòîé÷èâîãî ê óêëîíåíèþ. Áîëåå òîãî, â ëèòåðàòóðå óñòàíîâëåíû íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé ñõåìû, íî íå óêàçàí ìåòîä åå ðàñ÷åòà. 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ 9  íàñòîÿùåé ñòàòüå èçó÷åíà ïðîáëåìà íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ ðàçíûõ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô è íàéäåíà îïòèìàëüíàÿ ñòðóêòóðà íàëîãîâûõ ñòàâîê â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèêè íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû âûÿñíÿåì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ, à òàêæå óêàçûâàåì âîçìîæíûå ïðè÷èíû òîãî, ÷òî ïðàâèòåëüñòâî äîïóñêàåò íåêîòîðûé óðîâåíü óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ. Íàøà îñíîâíàÿ ìîäåëü âêëþ÷àåò ïðàâèòåëüñòâî è ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè äîõîäàìè ñ îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïðàâèòåëüñòâî ("ïðèíöèïàë") è êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ("àãåíò") çíàþò ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè äî óïëàòû íàëîãà àãåíò âûÿñíÿåò ñâîé äîõîä, ïðàâèòåëüñòâî æå íå çíàåò êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé ïîñëåäíåãî. Àãåíò ñîîáùàåò î ñâîåì äîõîäå ïðàâèòåëüñòâó, à îíî, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò îðãàíèçîâàòü íàëîãîâóþ ïðîâåðêó àãåíòà, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòü óêëîíåíèå. Àóäèò âñåãäà îïðåäåëÿåò ðåàëüíûé äîõîä è èìååò ôèêñèðîâàííóþ ñòîèìîñòü. Ïðàâèòåëüñòâî ñîáèðàåò íàëîãè ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùåãî ìåõàíèçìà. Îíî óñòàíàâëèâàåò íàëîãîâóþ ñòàâêó (ïëàòåæ äî ïðîâåðêè), çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà, íàçíà÷àåò øòðàô (ïëàòåæ ïîñëå ïðîâåðêè), çàâèñÿùèé îò ðåàëüíîãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà, à òàêæå âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, çàâèñÿùóþ îò çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà. Íàøà öåëü — èññëåäîâàòü çàäà÷ó íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè â ïîñòàíîâêå "ïðèíöèïàë-àãåíò", òî åñòü íàéòè ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà, ìàêñèìèçèðóþùóþ ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä (äîõîä çà âû÷åòîì çàòðàò íà àóäèò) ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè àãåíòîâ è îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ, îòíîñÿùèõñÿ ê äîõîäàì íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê íåéòðàëåí ê ðèñêó è ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ. Ìû ðàññìàòðèâàåì äâà òèïà îãðàíè÷åíèé ó÷àñòèÿ: îäíî, îñíîâàííîå íà îæèäàåìîì äîõîäå ïîñëå âûïëàòû íàëîãîâ è øòðàôîâ, âòîðîå — íà ðåàëèçîâàâøåéñÿ âåëè÷èíå äîõîäà ïîñëå âûïëàòû íàëîãîâ è øòðàôîâ. 1. Îæèäàåìûé ñðåäíèé äîõîä àãåíòà ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè äîëæåí ïðåâûøàòü çàäàííûé æåëàòåëüíûé óðîâåíü ñðåäíåãî äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà, íàçûâàåìûé "àëüòåðíàòèâíûì äîõîäîì". 2. Òàê êàê äîõîä êàæäîãî àãåíòà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ìû òðåáóåì, ÷òîáû ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè è íàèõóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå äåéñòâèòåëüíûé (íå îæèäàåìûé) äîõîä àãåíòà ïðåâûøàë ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó, íåîáõîäèìóþ äëÿ "âûæèâàíèÿ" íàëîãîïëàòåëüùèêà. 10 ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ñëåäóþùèå âàðèàíòû äîïóñòèìûõ øòðàôîâ, íàëàãàåìûõ íà âûÿâëåííûõ àãåíòîâ, óêëîíÿþùèõñÿ îò íàëîãà: a) øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, b) ÷èñòûé øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí ñîêðûòîìó äîõîäó; c) øòðàô îãðàíè÷åí èç-çà çàäàííîé ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû äîõîäà àãåíòà ïîñëå âûïëàòû íàëîãîâ è øòðàôîâ; d) âûïëàòà ïîñëå ïðîâåðêè ïðîïîðöèîíàëüíà îáíàðóæåííîìó ñîêðûòîìó äîõîäó. Íàøè îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ñîñòîÿò â ñëåäóþùåì.  òî âðåìÿ êàê îïòèìàëüíûé êîíòðàêò âñåãäà óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô c è d, óêëîíåíèå îò íàëîãà "áîãàòûõ" àãåíòîâ ìîæåò áûòü, îäíàêî, îïòèìàëüíî äëÿ ïðàâèòåëüñòâà â ñëó÷àå äâóõ óðîâíåé äîõîäà, åñëè ÷èñòûé øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó (âàðèàíòû øòðàôà a, b) è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äîñòàòî÷íî ìàë. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà ñðåäè ñòðàòåãèé, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëüíûé íàëîã ëèáî ðàâåí âñåìó äîõîäó, ïðåâûøàþùåìó ìèíèìàëüíûé óðîâåíü, äëÿ íåâûñîêèõ äîõîäîâ è ïîñòîÿíåí äëÿ áîëüøèõ äîõîäîâ, ëèáî îí ïîñòîÿíåí äëÿ âñåõ äîõîäîâ.  ïåðâîì ñëó÷àå îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê — âåðîÿòíîñòíîå ïîðîãîâîå ïðàâèëî (ñð. Sanchez, Sobel, 1993): êàæäûé äåêëàðèðîâàííûé äîõîä, ìåíüøèé íåêîòîðîãî ïîðîãà, ïðîâåðÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå íåâûãîäíûì, à êàæäûé äîõîä, áîëüøèé ïîðîãà, íå ïðîâåðÿåòñÿ. Ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô a è îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëüíà â öåëîì. Ìû îáîáùàåì íåêîòîðûå èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ áîëåå îáùåé ìîäåëè, â êîòîðîé ðåçóëüòàò ïðîâåðêè çàâèñèò íå òîëüêî îò óñèëèÿ ïðàâèòåëüñòâà, íî òàêæå îò ñîîòíîøåíèÿ âñåãî äîõîäà è ñîêðûòîãî äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà. Íàó÷íàÿ íîâèçíà íàñòîÿùåé ñòàòüè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Êðîìå îãðàíè÷åíèé íà øòðàô c è d, èçó÷åííûõ CW, ðàññìîòðåíû äâà äðóãèõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ âàðèàíòà è ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò íåîáÿçàòåëüíî óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ. Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü õàðàêòåðèñòèê îïòèìàëüíîãî êîíòðàêòà îò øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ, àëüòåðíàòèâíîãî äîõîäà è äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Ïîëó÷åíû "ïðîçðà÷íûå" ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà, âêëþ÷àÿ òî÷íî îïðåäåëåííûå ïðàâèëà ïðîâåðêè è ñòðóêòóðó íàëîãîâûõ ñòàâîê. Ïîñòðîåíà îáîáùåííàÿ ìîäåëü, â êîòîðîé ðåçóëüòàò ïðîâåðêè çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óñèëèåì ïðàâèòåëüñòâà, ïîëíûì è ñîêðûòûì äîõîäàìè íàëîãîïëàòåëüùèêà. Äëÿ íåå îáîáùåíû ðåçóëüòàòû CW îá îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòîâ, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ. 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 11 Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ, êîòîðûå îãðàíè÷èâàþò íàø àíàëèç, äîñòàòî÷íî ñòàíäàðòíû, íàïðèìåð, èõ èñïîëüçóþò CW. Êàê è â áîëüøåé ÷àñòè ëèòåðàòóðû, â íàøåé ðàáîòå íå ó÷èòûâàåòñÿ âîçäåéñòâèå íàëîãîîáëîæåíèÿ íà ïðîèçâîäñòâåííóþ àêòèâíîñòü íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû íå äóìàåì, ÷òî ó÷åò ýòîãî âîçäåéñòâèÿ êà÷åñòâåííî èçìåíèë áû íàøè ðåçóëüòàòû. Êàê ïîêàçûâàåò Mirrlees (1971), ïîäîáíûå ýôôåêòû ìîãóò òîëüêî óñèëèòü ðåãðåññèâíîñòü îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé øêàëû. Íî íàéäåííàÿ íàìè îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòðóêòóðà óæå ÷ðåçâû÷àéíî ðåãðåññèâíà. Äðóãîå îñíîâíîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàëîãîïëàòåëüùèêè íåéòðàëüíû ê ðèñêó. Òàê êàê ìû êîíöåíòðèðóåìñÿ íà íàëîãîîáëîæåíèè ôèðì è ââîäèì îãðàíè÷åíèå, ïðåäîòâðàùàþùåå èõ áàíêðîòñòâî, òî ýòî óñëîâèå êàæåòñÿ íå ñëèøêîì îãðàíè÷èòåëüíûì. Îò÷åò ïîñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðàçäåëå 2.1 îïèñàíà îñíîâíàÿ ìîäåëü.  ðàçäåëå 2.2 ðåøàåòñÿ çàäà÷à íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ âîçìîæíûõ óðîâíåé äîõîäà è óñòàíàâëèâàåòñÿ, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ óêëîíåíèå îò íàëîãîâ âûãîäíî ïðàâèòåëüñòâó.  ðàçäåëå 2.3 îïðåäåëÿåòñÿ îïòèìàëüíûé óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ êîíòðàêò äëÿ ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô.  ðàçäåëå 3 èçó÷àåòñÿ îáîáùåííàÿ ìîäåëü, ãäå ðåçóëüòàò ïðîâåðêè çàâèñèò íå òîëüêî îò óñèëèÿ ïðàâèòåëüñòâà, íî è îò åãî ñîîòíîøåíèÿ ñ ïîëíûì è ñîêðûòûì äîõîäàìè íàëîãîïëàòåëüùèêà.  ðàçäåëå 3.2 ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò ïî-ïðåæíåìó óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ñ èëè d.  ðàçäåëå 3.3 çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îáùèõ êîíòðàêòîâ è ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíûé ïðîñòîé êîíòðàêò ïðè îãðàíè÷åíèè ñ. Ðàçäåë 4 çàâåðøàåò ðàáîòó ôîðìóëèðîâêîé òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ âûâîäîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðîññèéñêîé ýêîíîìèêå. Òåõíè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé îòíåñåíû â Ïðèëîæåíèå. 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 2.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè. Ïåðâîå ëó÷øåå ðåøåíèå Ðàññìàòðèâàåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïðàâèòåëüñòâîì è ãðóïïîé íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Äîõîä I êàæäîãî íàëîãîïëàòåëüùèêà — íåçàâèñèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ G(I) , îïðåäåëåííîé íà îòðåçêå [IL , IH ] . Çíà÷åíèå äîõîäà — ÷àñòíàÿ èíôîðìàöèÿ íàëîãîïëàòåëüùèêà. Ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà sG , èëè ïðîñòîé êîíòðàêò, âêëþ÷àåò òðè êîìïîíåíòû: íåóáûâàþùóþ íàëîãîâóþ ôóíê- ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 12 öèþ T (Ir ) , ãäå Ir (I) ∈ [IL , I] — çàðåãèñòðèðîâàííûé äîõîä, âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè p(Ir ) ∈ [0,1] è ôóíêöèþ øòðàôà F (I, Ir ) , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò äîïîëíèòåëüíûé ïëàòåæ àãåíòà â çàâèñèìîñòè îò åãî äåéñòâèòåëüíîãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà.  ýòîé âåðñèè ìîäåëè àóäèò âñåãäà îáíàðóæèâàåò äåéñòâèòåëüíûé äîõîä, è ñòîèìîñòü c àóäèòà ôèêñèðîâàíà. Ïðè çàäàííîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò ðåàëüíîãî äîõîäà åãî çàÿâëåííûé äîõîä ñîñòàâèò def Ir (I, sG ) → min{T (Ir ) + p(Ir )F (I, Ir )} = Teff (I, sG ) . Ir (2.1.1) Âåëè÷èíà ñïðàâà — ýòî ýôôåêòèâíûé íàëîã èëè îæèäàåìûé îáùèé ïëàòåæ àãåíòà ñ äîõîäîì I ïðè ñòðàòåãèè sG . Çàäà÷åé ïðàâèòåëüñòâà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìèçàöèÿ îæèäàåìîãî íàëîãîâîãî äîõîäà çà âû÷åòîì èçäåðæåê íà àóäèò1: IH ∫ {Teff (I, sG ) − cp[Ir (I, sG )]}dG(I) → max sG (2.1.2) IL (íèæå ìû îïóñêàåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ) ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ: ∫ [I − Teff (I, sG )]dG(I) ≥ Ialt , (2.1.3) òî åñòü îæèäàåìûé äîõîä àãåíòà ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè äîëæåí ïðåâûøàòü àëüòåðíàòèâíûé äîõîä Ialt . Âåëè÷èíà Ialt ÿâëÿåòñÿ æåëàåìûì (ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàâèòåëüñòâà) óðîâíåì îæèäàåìîãî äîõîäà íàëîãîïëàòåëüùèêà â íàøåé ìîäåëè. Äðóãàÿ èíòåðïðåòàöèÿ — ýòî îæèäàåìûé äîõîä ôèðìû, åñëè îíà ïåðåíîñèò ñâîþ äåÿòåëüíîñòü â äðóãóþ ñòðàíó èëè ïåðåêëþ÷àåòñÿ â íåîáëàãàåìóþ ñôåðó äåÿòåëüíîñòè ("ðåçåðâíàÿ" âåëè÷èíà äîõîäà). Îòìåòèì, ÷òî ôèðìà 1  öåëîì ìàêñèìèçàöèÿ íàëîãîâîãî äîõîäà íå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé öåëüþ ïðàâèòåëüñòâà. Äðóãàÿ òèïè÷íàÿ ïîñòàíîâêà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðàâèòåëüñòâî ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ôóíêöèþ îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîÿíèÿ, çàâèñÿùóþ îò ñðåäíåãî äîõîäà ïîñëå óïëàòû íàëîãà è ÷èñòîãî íàëîãîâîãî äîõîäà ãîñóäàðñòâà (ñð. Atkinson, Stiglitz, 1980). Òîãäà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì íàøåé ìîäåëè ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè àëüòåðíàòèâíîãî äîõîäà. 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 13 äåëàåò ñâîé âûáîð â íà÷àëå íàëîãîâîãî ïåðèîäà, êîãäà èçâåñòíî òîëüêî ðàñïðåäåëåíèå G(I) (à íå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå I ). T [Ir (I)] + F [I, Ir (I)] ≤ I − Imin åñëè p[Ir (I)] > 0 , (2.1.4a) T [Ir (I)] ≤ I − Imin åñëè p[Ir (I)] < 1 , (2.1.4b) è òî åñòü ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè è íàèõóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå äîõîä äîëæåí ïðåâûøàòü âåëè÷èíó Imin , êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ "âûæèâàíèÿ" íàëîãîïëàòåëüùèêà. Íà ïðàêòèêå Imin ìîæåò áûòü ïî- ðîãîâûì çíà÷åíèåì, òàêèì, ÷òî åñëè îñòàòîê íà ñ÷åòó ôèðìû îïóñêàåòñÿ íèæå ýòîãî óðîâíÿ, òî ôèðìà íå ìîæåò ïîëó÷èòü êðåäèò è âûíóæäåíà ïðåêðàòèòü äåÿòåëüíîñòü. Ìû ðàññìàòðèâàåì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô: a) F (I, Ir ) = (1 + δ a )[T (I) − T (Ir )] (øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí îáíàðóæåííîìó íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó); b) F (I, Ir ) = T (I) − T (Ir ) + δ b (I − Ir ) (÷èñòûé øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí ñîêðûòîìó äîõîäó); ! c) 0 ≤ F (I, Ir ) ≤ I − T (Ir ) − I äëÿ ëþáûõ I, Ir (øòðàô îãðàíè÷åí èç-çà çà! äàííîé ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû äîõîäà àãåíòà I (≤ Imin ) ïðè íåîïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè íàëîãîïëàòåëüùèêà); d) F (I, Ir ) = δ d (I − Ir ) (âûïëàòà ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà îáíàðóæåííîìó ñîêðûòîìó äîõîäó).  äåéñòâèòåëüíîñòè ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò âûáèðàòü øòðàô òîëüêî ïðè óñëîâèè ñ. Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â ýòîì îãðàíè÷åíèè îçíà÷àåò, ÷òî íåò ïðåìèè íè çà ïðàâäèâóþ äåêëàðàöèþ, íè çà ëîæü. Ýòî óñëîâèå èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòü ñäåëàòü çàòðàòû íà ïðèíóæäåíèå ñêîëü óãîäíî ìàëûìè ïóòåì ïðåäëîæåíèÿ àãåíòàì ñ ìàëûìè âåðîÿòíîñòÿìè áîëüøèõ ïðåìèé, ïîîùðÿÿ èõ, òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàòü ñòðàòåãèè, ïðåäïî÷èòàåìûå ïðàâèòåëüñòâîì2. 2 Tirole (1992) îïèñûâàåò ñîîòâåòñòâóþùèé êîíòðàêò â îáùåé ïîñòàíîâêå "ïðèíöèïàë-àãåíò". CW íå òðåáóþò âûïîëíåíèÿ óêàçàííîãî íåðàâåíñòâà, íî ïðåäïîëàãàþò òîëüêî, ÷òî íåò áîëüøèõ ïðåìèé çà ÷åñòíîñòü. Îäíàêî ëåãêî âèäåòü, ÷òî áîëüøèå ïðåìèè çà ìàëóþ ëîæü ìîãóò ïðèâåñòè ê òîìó æå ýôôåêòó. Áîëåå òîãî, ìû íå ðàññìàòðèâàåì äàæå îãðàíè÷åííûå ïðåìèè, òàê êàê ýòî ñîçäàåò ñèëüíûå ñòèìóëû äëÿ ñãîâîðà ìåæäó íàëîãîâîé ñëóæáîé è íàëîãîïëàòåëüùèêàìè. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 14 Ïåðâûå äâà âàðèàíòà ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíî ñóùåñòâóþùåìó çàêîíîäàòåëüñòâó â ðÿäå ñòðàí, â òî âðåìÿ êàê ïîñëåäíèå äâà èçó÷åíû CW. Èç èõ ðåçóëüòàòîâ (ñì. ðàçäåë 1 è ëåììó 3 íà ñòð. 177) âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2.1.1. Ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô c èëè d äëÿ çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, òî åñòü òàêîå ðåøåíèå sG , ÷òî Ir (I, sG ) = I äëÿ ëþáîãî I . Áîëåå òîãî, îïòèìàëüíûé øòðàô âñåãäà áóäåò ìàêñèìàëü! íûì â ñëó÷àå c: F (I, Ir ) = I − T (Ir ) − I äëÿ ëþáîãî I ≠ Ir . Çàìå÷àíèå. CW ðàññìàòðèâàþò òîëüêî ñëó÷àé δ d = 1 äëÿ âàðèàíòà d, íî èõ äîêàçàòåëüñòâî îñòàåòñÿ âåðíûì äëÿ ëþáîãî δ d > 0 . Íèæå â ðàçäåëå 2.2 äîêàçàí àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ áîëåå îáùåé ìîäåëè àóäèòà.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïîêàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàò òåîðåìû íå âåðåí è óêëîíåíèå îò íàëîãîâ ìîæåò áûòü îïòèìàëüíûì äëÿ ïðàâèòåëüñòâà ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô a èëè b. Äâå âåëè÷èíû èãðàþò êðèòè÷åñêóþ ðîëü â ïîñëåäóþùåì àíàëèçå ìîäåëè. def TLM = IL − Imin — ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé íàëîã íà íèçêèé äîõîä ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèÿ ó÷àñòèÿ (2.1.4). Ýòà âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò ñòàáèëüíîñòü íàëîãîïëàòåëüùèêà ïðè íàèõóäøåì ñîñòîÿíèè ïðèðîäû. def ∆EI = ∫ IdG(I) − Ialt — îæèäàåìàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ïðèáûëü àãåíòà äî íàëîãîîáëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî åãî àëüòåðíàòèâíîãî äîõîäà. Äëÿ ôèðìû ýòà âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò ïðèáûëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà. Åñëè ìû èñêëþ÷èì îãðàíè÷åíèå íà ñòèìóëû èíäèâèäóóìà (2.1.1), ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàëîãîïëàòåëüùèêè íå óêëîíÿþòñÿ, è óñòàíîâèì p(Ir ) ≡ 0 , òî ïîëó÷èì çàäà÷ó íà ïîèñê ïåðâîãî ëó÷øåãî ðåøåíèÿ äëÿ ìàêñèìèçàöèè ÷èñòîãî äîõîäà ïðàâèòåëüñòâà: R[T (.)] = ∫ T (I)dG(I) → max T (I) (2.1.5) 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 15 ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ∫ T (I)dG(I) ≤ ∆EI (2.1.6) T (I) ≤ I − Imin, I ∈ IL , IH . (2.1.7) Î÷åâèäíî, ðåøåíèå íå çàâèñèò îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ íàëîãîâîé ôóíêöèè: T (I) = T (IL ) + ∆T (I), ãäå T (IL ) — âìåíåííûé íàëîã, âûïëà÷èâàåìûé êàæäûì íàëîãîïëàòåëüùèêîì, à ∆T (I) ≥ 0 — äîïîëíèòåëüíûé íàëîã, çàâèñÿùèé îò äîõîäà. Èñõîäÿ èç (2.1.7), T (IL ) ≤ TLM . Óòâåðæäåíèå 2.1.2. Ïåðâîå ëó÷øåå çíà÷åíèå ÷èñòîãî íàëîãîâîãî äîõîäà ðàâíî ∆EI . Åñëè TLM ≥ ∆EI , òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äëÿ èñõîäíîé çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó íàèëó÷øåìó ðåøåíèþ: T (I) ≡ ∆EI , p(I) ≡ 0. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñîîòâåòñòâèè ñ îãðàíè÷åíèåì (2.1.7), R(I) ≤ ∆EI . Åñëè TLM ≥ ∆EI , òî çàäàííàÿ ñòðàòåãèÿ îáåñïå÷èâàåò äîõîä ∆EI è óäîâëåòâîðÿåò âñåì îãðàíè÷åíèÿì. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé TLM < ∆EI . Íàéäåì ïåðâîå ëó÷øåå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ I R(I ) = ∫ (I − Imin )dG(I) + (I − Imin )[1 − G(I )] , IL êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò äîõîä äëÿ íàëîãîâîé ñòàâêè I − Imin, åñëè I ≤ I . T (I) = I − Imin, åñëè I > I Îòìåòèì, ÷òî R(I ) íåïðåðûâíà ïî I , è R(IL ) = TLM < ∆EI, R(IH ) = ∫ IdG(I) − Imin > ∆EI . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò âåëè÷èíà I , òàêàÿ, ÷òî R(I ) = ∆EI . Òàêèì îáðàçîì, ïîêà TLM ≥ ∆EI , ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò ïîëó÷èòü ïåðâûé ëó÷øèé ðåçóëüòàò ïîñðåäñòâîì âìåíåííîãî íàëîãà T (I) = TL = ∆EI . ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 16 Íåò íåîáõîäèìîñòè ñîáèðàòü êàêèå-ëèáî äðóãèå íàëîãè èëè îðãàíèçîâûâàòü ïðîâåðêè. Èñõîäÿ èç ïðåäøåñòâóþùåãî îáñóæäåíèÿ óñëîâèé (2.1.3), (2.1.4), íåðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî îæèäàåìàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ïðèáûëü ìåíüøå, ÷åì ìàêñèìàëüíûé âìåíåííûé ïëàòåæ, êîòîðûé íå ïîäðûâàåò äåÿòåëüíîñòü ôèðìû ïðè íåáëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ. Ñëó÷àé TLM < ∆EI áîëåå ñëîæåí.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ðåøàåòñÿ çàäà÷à äëÿ îäíîãî òèïà ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà è ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò ïîëó÷èòü ìàêñèìàëüíûé äîõîä, òîëüêî åñëè íàëîãîïëàòåëüùèêè óêëîíÿþòñÿ. 2.2. Ìîäåëü ñ äâóìÿ âîçìîæíûìè óðîâíÿìè äîõîäà Ðàññìîòðèì ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, êîòîðûå ïîëó÷àþò âûñîêèé äîõîä IH ñ âåðîÿòíîñòüþ q è íèçêèé äîõîä IL ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − q . Ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà âêëþ÷àåò íàëîãè TL è TH íà ýòè äîõîäû, âåðîÿòíîñòü p ïðîâåðêè äåêëàðàöèé íèçêîãî äîõîäà è øòðàô F çà óêëîíåíèå (åñëè ýòîò øòðàô íå çàäàåòñÿ ýêçîãåííî). Îáîçíà÷èì ÷åðåç def def ∆I = IH − IL , ∆T = TH − TL ≥ 0 . Ñòðàòåãèåé íàëîãîïëàòåëüùèêà ÿâëÿåòñÿ åãî çàÿâëåííûé äîõîä Ir ∈ {IL , IH } ïðè ïîëó÷åíèè âûñîêîãî äîõîäà. Òàê êàê íàëîãîïëàòåëüùèê ìàêñèìèçèðóåò ñâîé îæèäàåìûé äîõîä, òî Ir = IL ïðè pF < ∆T , èíà÷å Ir = IH . (2.2.1) Ïðàâèòåëüñòâî ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü îæèäàåìûé ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå R→ max (TL ,∆T ,F , p) , (2.2.2) ãäå R = TL + q ∆T − p(1 − q)c ïðè pF ≥ ∆T , èíà÷å R = TL + qpF − pc . Îãðàíè÷åíèÿ ó÷àñòèÿ ïðèíèìàþò âèä TL + q min(∆T , pF ) ≤ ∆EI = IL + q ∆I − Ialt , (2.2.3) TL ≤ TLM = IL − Imin; IH − TH ≥ Imin ïðè Ir = IH , (2.2.4) 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 17 èíà÷å IH − TL − F ≥ Imin . ×åòûðå âàðèàíòà îãðàíè÷åíèé íà øòðàô âûãëÿäÿò â ýòîé ìîäåëè êàê a) F = (1 + δ a )∆T ; b) F = ∆T + δ b ∆I; ! c) IL + ∆I − TL − max(∆T , F ) ≥ I ; d) F = δ d ∆I. Åñëè TLM ≥ ∆EI , ÷òî ýêâèâàëåíòíî Ialt − Imin ≥ q ∆I , òî â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 2.1.2 îïòèìàëüíûé ÷èñòûé äîõîä äëÿ çàäà÷è (2.1.1)–(2.1.4) ðàâåí R* = ∆EI ïðè ëþáîì îãðàíè÷åíèè íà øòðàô a – d è ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ëó÷øèì ðåøåíèåì. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà — ∆T = 0 , TL = ∆EI, p = 0 . Åñëè TLM < ∆EI , òî ïåðâîå ëó÷øåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äîõîäà òî æå, íî òðåáóåò êîìáèíàöèè îáîèõ òèïîâ íàëîãà. Íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè (2.2.1)–(2.2.4) äëÿ ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô. a) Fa = (1 + δ a )∆T . Îòìåòèì, ÷òî íàëîãîïëàòåëüùèêè óêëîíÿþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà def ∆T > 0, p < p*a = 1/(1 + δ a ) . Óòâåðæäåíèå íèæå ïîêàçûâàåò, êàê îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Óòâåðæäåíèå 2.2.1. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà c < q ∆I . (2.2.5) Òîãäà äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ c, q, ∆I è δ a ñóùåñòâóåò òðè âàðèàíòà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà â çàâèñèìîñòè îò ðàçíèöû Ialt − Imin . Åñëè q ∆I ≤ Ialt − Imin , (2.2.6) òî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé áóäåò óñòàíîâèòü âìåíåííûé íàëîã TL = ∆EI(= IL + q ∆I − Ialt ) , ∆T = 0, p = 0.  èíòåðâàëå 1− q q ∆I 1 − < Ialt − Imin < q ∆I + δa 1 (2.2.7) ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 18 îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âêëþ÷àåò TL = TLM , äîïîëíèòåëüíûé íàëîã ∆T = ∆Ip*a (ñëåäîâàòåëüíî, F = ∆I) , âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè p= ∆EI − TLM q ∆I Ialt − Imin * = 1− < pa . q ∆I Âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI (òî åñòü ìàêñèìàëüíûé ïðè (2.2.3)), à ÷èñòûé äîõîä — R = ∆EI − pc .  îñòàþùåìñÿ èíòåðâàëå 1− q 0 < Ialt − Imin ≤ q ∆I 1 − , 1+ δ a (2.2.8) îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ: TL = TLM , p = p*a, ∆T = (∆EI − TLM ) / q . ×åñòíîå ïîâåäåíèå íàëîãîïëàòåëüùèêîâ îïòèìàëüíî, è âàëîâîé äîõîä Rg îïÿòü ðàâåí ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − (1 − q)p*ac . Òàêèì îáðàçîì, â èíòåðâàëå (2.2.7) äëÿ ïðàâèòåëüñòâà îïòèìàëüíî äîïóñòèòü óêëîíåíèå îò íàëîãà ïëàòåëüùèêîâ ñ âûñîêèì äîõîäîì è ïîëó÷àòü ïðèáûëü ïîñðåäñòâîì øòðàôîâ. Ñòîèìîñòü ñáîðà øòðàôîâ îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå èçäåðæåê îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, óñòîé÷èâîé ê óêëîíåíèþ (êîòîðàÿ äàåò òàêîé æå âàëîâîé äîõîä). Ðèñ. 1 îïèñûâàåò íàøè ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.2.5). Ïðè c(1 − q)p*a < q ∆I ≤ c îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóåò ðèñ. 2. Íà èíòåðâàëå q ∆I − c(1 − q)pa* ≤ Ialt − Imin < q ∆I îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) . Âàëîâîé è ÷èñòûé äîõîä ïðè ýòîé ñòðàòåãèè ðàâíû R = TLM < ∆EI .  èíòåðâàëå 0 ≤ Ialt − Imin < q ∆I − c(1 − q)p*a îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — ( TL = TLM , p = p*a, ∆T = (∆EI − TLM ) / q ), êàê â îáëàñòè (2.2.8) ïðè (2.2.5). 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 19 I Óñòîé÷èâîñòü ê óêëîíåíèþ II Óêëîíåíèå îò íàëîãîâ III Âìåíåííûé íàëîã R g = ∆EI R = TL = ∆ EI TL = TLM R = ∆ EI − pc p= pa* = 1/(1 + δ a ) q∆T = ∆EI − TLM p= ∆EI − TLM ∆Iq p = 0, ∆ T = 0 F = ∆I Ialt − Imin 1− q q ∆I q ∆ I 1 − 1+ δa Ðèñ. 1. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô Fa = (1 +δa)∆T è óñëîâèÿ c < q∆I 0 Óñòîé÷èâîñòü ê óêëîíåíèþ Rg = ∆EI Âìåíåííûé íàëîã R = TL = TLM R = TL = ∆EI TL = TLM R = ∆EI − pc p = 0, ∆T = 0 p = pa* = 1/(1 + δ a) q ∆T = ∆EI − TLM 0 q ∆I − c(1 − q)pa* q∆I Ialt − Imin Ðèñ. 2. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ ïðè âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô a) è óñëîâèÿ c(1 – q)p*a < q∆I ≤ c ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 20 Ïðè q ∆I ≤ c(1 − q) p*a âìåíåííûé íàëîã âñåãäà îáåñïå÷èâàåò ìàêñèìàëüíûé äîõîä. Åñëè Ialt − Imin < q ∆I , òî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé ÿâëÿåòñÿ (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) . Îáñóäèì ýòîò ðåçóëüòàò. Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ c < q ∆I . Òàê êàê ∆I õàðàêòåðèçóåò äèñïåðñèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà (ïðè ôèêñèðîâàííîì q ), ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî âìåíåííûé íàëîã îïòèìàëåí, êîãäà äèñïåðñèÿ äîñòàòî÷íî ìàëà îòíîñèòåëüíî ðàçíèöû ìåæäó Ialt è Imin . Åñëè äèñïåðñèÿ îòíîñèòåëüíî âåëèêà, òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ, à íà ïðîìåæóòî÷íîì èíòåðâàëå îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ. Äðóãàÿ èíòåðïðåòàöèÿ îòíîñèòñÿ ê âåëè÷èíàì ∆EI è TLM . Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâà (2.2.6–2.2.8) ýêâèâàëåíòíû 0 ≤ TLM − ∆EI , 0 < ∆EI − TLM < q ∆I 1− q , 1+ δ a 1− q q ∆I ≤ ∆EI − TLM < q ∆I , 1+ δ a ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê ðàçíèöà ∆EI − TLM õàðàêòåðèçóåò ñîîòíîøåíèå ïðèáûëüíîñòè ïðîèçâîäñòâà è åãî ñòàáèëüíîñòè, ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íàëîãîîáëîæåíèå âìåíåííûì íàëîãîì îïòèìàëüíî, êîãäà ïðèáûëüíîñòü îòíîñèòåëüíî íèçêà (îáëàñòü (2.2.6)), ìîíîòîííûé íàëîã è ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê, âûíóæäàþùàÿ ÷åñòíóþ äåêëàðàöèþ, îïòèìàëüíû, êîãäà ïðèáûëüíîñòü îòíîñèòåëüíî âûñîêà (2.2.8), à ìîíîòîííûé íàëîã âìåñòå ñ óêëîíåíèåì îïòèìàëüíû â ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè (2.2.7). Ðèñ. 2 ïîêàçûâàåò, ÷òî, åñëè ñòîèìîñòü àóäèòà îòíîñèòåëüíî âûñîêà (c ≥ q ∆I) , òî âìåíåííûé íàëîã áîëåå ïðèáûëåí, ÷åì äîïóùåíèå óêëîíåíèÿ îò íàëîãà â ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè.  äðóãèõ àñïåêòàõ ðèñóíîê àíàëîãè÷åí ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ðåçóëüòàòà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Âñå ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé ïðàâèòåëüñòâà äåëèòñÿ íà òðè ïîäìíîæåñòâà: îáëàñòü I, ãäå pF ≥ ∆T > 0 è ÷åñòíîå ñîîáùåíèå î äîõîäàõ îïòèìàëüíî äëÿ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, îáëàñòü II, ãäå ∆T ≥ pF > 0 è îïòèìàëüíî óêëîíÿòüñÿ îò íàëîãà, è îáëàñòü III, ãäå ∆T = 0 .  ïîñëåä- 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 21 íåé îáëàñòè îïòèìàëüíûì ïðàâèëîì ïðîâåðîê, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ p = 0 , ìàêñèìàëüíûì äîõîäîì ïðè TLM < ∆EI — âåëè÷èíà TLM íåçàâèñèìî îò îãðàíè÷åíèé íà øòðàô.  îáëàñòÿõ I è II îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âêëþ÷àåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé âìåíåííûé íàëîã TL = TLM (åãî ñáîð íå òðåáóåò íèêàêèõ çàòðàò íà àóäèò).  îáëàñòè II äîõîä ñîáèðàåòñÿ â ôîðìå øòðàôîâ. Ìàêñèìàëüíûé âàëîâîé äîõîä ðàâåí ∆EI . ×òîáû ïîëó÷èòü åãî, ìû óñòàíàâëèâàåì pF = (∆EI − TLM ) / q . Ïðè ýòîì óñëîâèè øòðàô äîëæåí áûòü íàñòîëüêî áîëüøèì, íàñêîëüêî âîçìîæíî, òàê êàê ìû ñòðåìèìñÿ ìèíèìèçèðîâàòü çàòðàòû íà àóäèò. Èç-çà îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô (2.2.4) Fmax = ∆I . Óñëîâèå (2.2.5) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñáîð øòðàôîâ âûãîäåí ïðè òàêîé åãî âåëè÷èíå.  îáëàñòè I äîõîä ïðèõîäèò îò íàëîãîâ. Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ, ∆T = (∆EI − TLM ) / q , è ìèíèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, êîòîðàÿ äåëàåò ÷åñòíóþ äåêëàðàöèþ îïòèìàëüíîé, ðàâíà p*a. Ñðàâíèâàÿ p*a ñ îïòèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïðîâåðêè â îáëàñòè II, ìû îïðåäåëÿåì ãðàíèöó ìåæäó îáëàñòÿìè II è III.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî. Ñì. ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè. Ðàññìîòðèì òåïåðü îãðàíè÷åíèå b) F = ∆T + δ b ∆I . Óòâåðæäåíèå 2.2.2. Ïóñòü c < q ∆I, q + δ b < 1 . Òîãäà â îáëàñòè q ∆I(q + δ b ) < Ialt − Imin < q ∆I îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âêëþ÷àåò: TL = TLM , äîïîëíèòåëüíûé íàëîã ∆T = ∆I(1 − δ b ) (ñëåäîâàòåëüíî, F = ∆I) , âåðîÿòíîñòü ïðîâåðîê p= ∆EI − TLM q ∆I Ialt − Imin = 1− < ∆T / F , q ∆I òàêèì îáðàçîì, ýòà ñòðàòåãèÿ äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ. Âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI , à ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − pc .  îáëàñòè 0 < Ialt − Imin ≤ q ∆I(q + δ b ) îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — TL = TLM , ∆T = (∆EI − TLM ) / q , p*b = ∆T /(∆T + δ b ∆I) . (*) ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 22 ×åñòíîå ïîâåäåíèå íàëîãîïëàòåëüùèêîâ îïòèìàëüíî, à âàëîâàÿ âåëè÷èíà Rg îïÿòü ðàâíà ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − (1 − q)p*b c . Äëÿ ëþáûõ äðóãèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ëèáî ñòðàòåãèÿ (*), ëèáî âìåíåííûé íàëîã (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) îïòèìàëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî äàíî â Ïðèëîæåíèè. Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ a, åñëè øòðàôíîé êîýôôèöèåíò δ b äîñòàòî÷íî âåëèê ( > 1 − q) , òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò âñåãäà óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ îïòèìàëüíûé êîíòðàêò ïîäðàçóìåâàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ a èëè b.  ýòîì îòëè÷èå äàííûõ îãðàíè÷åíèé îò ñëó÷àåâ c è d, ãäå îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, âñåãäà ñóùåñòâóåò ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.1.1. Óêàæåì îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðè ! c) F ≤ IH − I − TL . Óòâåðæäåíèå 2.2.3.  îáëàñòè ∆EI > TLM îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà — def ! ( TL = TLM , ∆T = (∆EI − TLM ) / q, F = Fc = IH − I − TLM , def p = pc = ∆T / Fc ), åñëè qFc > (1 − q)c . Òîãäà âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − (1 − q)pc c . Ïðè qFc ≤ (1 − q)c âìåíåííûé íàëîã (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) îïòèìàëåí äëÿ ïðàâèòåëüñòâà. Óòâåðæäåíèå 2.2.4. Ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô d) Fd = δ d ∆I îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà â îáëàñòè ∆EI ≥ TLM èìååò âèä (TL = TLM , ∆T = (∆EI − TLM ) / q, def p = pd = ∆T / Fd ) , åñëè qFd > (1 − q)c . Òîãäà âàëîâîé äîõîä Rg ðàâåí ∆EI , â òî âðåìÿ êàê ÷èñòûé äîõîä R = ∆EI − (1 − q)pd c . Èíà÷å âìåíåííûé íàëîã (TL = TLM , p = 0, ∆T = 0) îïòèìàëåí äëÿ ïðàâèòåëüñòâà. 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 23 Ñì. äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè. Òåïåðü ñðàâíèì îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàâèòåëüñòâà. Ïðè ëþáîì îãðàíè÷åíèè a, b èëè d ìàêñèìàëüíûé äîõîä âîçðàñòàåò (èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íå óáûâàåò) ïî øòðàôíûì êîýôôèöèåíòàì δ a, δ b èëè δ d ñîîòâåòñòâåííî è ñòðåìèòñÿ ê ïåðâîé ëó÷øåé âåëè÷èíå ∆EI , â òî âðåìÿ êàê êîýôôèöèåíò ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.  ! ñëó÷àå c òî æå óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ìû ïîëîæèì δ c = − I . Òàê ÷òî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì ñðàâíèòü îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ïóòåì íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ âåëè÷èí øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ñîãëàñíî Óòâåðæäåíèÿì 2.2.1–2.2.4, ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü íåñêîëüêî îáëàñòåé ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Íà÷íåì ñ Ialt − Imin < q ∆I, def δ a ≥ max{0, δ a*} ãäå δ a* = Ialt − Imin − q2 ∆I , q ∆I − Ialt + Imin (2.2.10) δ a* — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 1− q Ialt − Imin = q ∆I 1 − . 1 + δ Çàìåòèì, ÷òî ïðè Ialt − Imin < q2 ∆I òàêîå ðåøåíèå îòðèöàòåëüíî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç R N x ìàêñèìàëüíûé ÷èñòûé äîõîä â ìíîæåñòâå ñòðàòåãèé N ∈ {I, II, III} ïðè îãðàíè÷åíèè x ∈ {a, b, c, d} . Òîãäà RaI ≥ RaII ïðè (2.2.10), ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2.2.1. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â îáëàñòè I — def ∆T = ∆T * = ∆EI − TLM 1 , , T = TLM , p = q 1+ δa (2.2.11) ! ãäå øòðàô çà óêëîíåíèå ðàâåí F = ∆T * (1 + δ a ) . Îïðåäåëèì δ b , I è δ d èç óðàâíåíèé: ! F = ∆T * (1 + δ a ) = ∆T * + ∆Iδ b = ∆I + Imin − I = ∆Iδ d . (2.2.12) Òîãäà äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ñòðàòåãèÿ (2.2.11) îïòèìàëüíà â îáëàñòè I. Äîõîä ïðàâèòåëüñòâà è äîõîäû âñåõ àãåíòîâ íå çàâèñÿò îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ïðè (2.2.11–2.2.12). Òàê êàê îïòè- ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 24 ìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â îáëàñòè III (ãäå ∆T = 0) è R III x íå çàâèñÿò îò îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô, òî æå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ãëîáàëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå (2.2.12) îïðåäåëÿåò ýêâèâàëåíòíûå øòðàôíûå êîýôôèöèåíòû ïðè (2.2.11). Òåïåðü ðàññìîòðèì Ialt − Imin > q2 ∆I, δ a ∈ (0, δ a* ). Òîãäà RaII > RaI , îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â îáëàñòè II — ∆T = ∆EI − TLM ∆I . (îòêóäà F = ∆I ), TL = TLM , p = 1+ δ a q ∆I Çàìåòèì, ÷òî äîõîä ïðàâèòåëüñòâà è ðàñïðåäåëåíèå äîõîäîâ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ íå çàâèñÿò îò δ a , òàê êàê àãåíòû óêëîíÿþòñÿ îò íàëîãà. Òàêèì îáðàçîì, âñå âåëè÷èíû δ a ∈ {0, δ a* } ýêâèâàëåíòíû â ýòîì ñìûñëå. Åäèíñòâåííàÿ êîìïîíåíòà, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ, — íîìèíàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà ∆T . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ∆T * (1 + δ a* ) = ∆I(1 − q) . Óðàâíåíèÿ (2.2.12) îïðå! äåëÿþò ýêâèâàëåíòíûå âåëè÷èíû δ b* , I * è δ d* äëÿ δ a* : δ b* = ∆T *δ a* Ialt − Imin − q2 ∆I = , ∆I q ∆I δ d* = ∆T * (1 + δ a* ) = 1 − q , ∆I ! I * − Imin = q ∆I . ! ! Íî I ≤ Imin , òàê ÷òî ýêâèâàëåíòíàÿ âåëè÷èíà I * ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ def δa ≥ δa = ∆I ∆T * − 1. Çàìåòèì, ÷òî F (δ a ) = ∆I. Ïðè îãðàíè÷åíèè b RbII > RbI , åñëè 0 < δ b < δ b* è Ialt − Imin > q2 ∆I. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ â II òà æå, çà èñêëþ÷åíèåì ∆T = ∆I(1 − δ b ) (òàêîãî, ÷òî F = ∆I) , è ïðèíîñèò òå æå äîõîäû àãåíòàì, âàëîâîé è ÷èñòûé äîõîä. Âñå δ b ∈ (0, δ b* ) ýêâèâàëåíòíû, òàê æå êàê δ a ∈ (0, δ a* ) . 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 25 Ïðè îãðàíè÷åíèè d RdI ≥ RdII , è äëÿ ëþáîãî δ d < δ d* RdI (δ d ) < RdI (δ d* ) = RaI (δ a* ) = RaII (δ a ) ïðè δ a ∈ (0, δ a* ) . Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ñëó÷àåâ a è b, ÷èñòûé äîõîä óáûâàåò âìåñòå ñ δ d , ïîêà íå äîñòèãàåò TLM = RdIII . 2.3. Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè, óñòîé÷èâûå ê óêëîíåíèþ Âåðíåìñÿ ê îáùåé ìîäåëè ñ ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà G(I) . Ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.1.1, îïòèìàëüíûé êîíòðàêò âñåãäà óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà øòðàô c, d. Èñõîäÿ èç Óòâåðæäåíèé 2.2.1–2.2.2, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òî æå ñàìîå âåðíî ïðè îãðàíè÷åíèÿõ a èëè b, åñëè øòðàôíûå êîýôôèöèåíòû äîñòàòî÷íî âåëèêè.  ýòîì ðàçäåëå íàéäåíà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, äëÿ çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) ïðè ñëåäóþùåì îãðàíè÷åíèè íà øòðàô, êîòîðîå îáîáùàåò a, b è d: F = k ∆T + l ∆I , ãäå k, l ≥ 0 , ∆I = I − Ir ; ∆T = T (I) − T (Ir ) ; (2.3.1) çàìåòèì, ÷òî a) ñîîòâåòñòâóåò l = 0 , b — k = 1 , d — k = 0 . Áîëåå òîãî, ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòà ñòðàòåãèÿ îïòèìàëüíà â öåëîì ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ. Äëÿ ëþáîé íàëîãîâîé ñõåìû T îáîçíà÷èì ÷åðåç I ìèíèìàëüíûé äîõîä, òàêîé, ÷òî T (I) = T (I ) äëÿ ëþáîãî I > I , òî åñòü íàëîã ôèêñèðîâàí äëÿ áîëüøèõ äîõîäîâ. Òîãäà ñòðàòåãèÿ sG = (T , p) óñòîé÷èâà ê óêëîíåíèþ ïðè (2.3.1) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà p(Ir ) ≥ ∆T äëÿ ëþáûõ I > Ir , Ir < I . F (2.3.2) Òàêèì îáðàçîì, îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à äëÿ ñòðàòåãèé, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ, ôîðìóëèðóåòñÿ êàê: [T (.), p(.)] → max{Rg [T (.)] − C[ p(.)]} , ãäå Rg [T (.)] = ∫ T (I)dG(I) (2.3.3) ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 26 — âàëîâîé äîõîä, C[ p(.)] = c ∫ p(I)dG(I) — îáùèå çàòðàòû íà àóäèò, ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2.3.2) è îãðàíè÷åíèÿì ó÷àñòèÿ Rg [T (.)] ≤ ∆EI = ∫ IdG(I) − Ialt , (2.3.4) 0 ≤ T (I) ≤ I − Imin . (2.3.5) Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíóþ íàëîãîâóþ ñòðóêòóðó è ïðàâèëî ïðîâåðîê äëÿ çàäà÷è (2.3.1–2.3.5). Óòâåðæäåíèå 2.3.1. Îïòèìàëüíûé íàëîãîâûé ãðàôèê T âîãíóò, òî åñòü T (λ I1 + (1 − λ)I2 ) ≥ λT (I1) + (1 − λ)T (I2 ) äëÿ ëþáûõ I1 < I2 , λ ∈ [0,1] . Äëÿ ëþáîé âîãíóòîé íàëîãîâîé ñõåìû îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðîê ðàâíà p(Ir ,T ) = (k + l / T+' (Ir ))−1 , (2.3.6) ãäå T+' (Ir ) — ïðåäåëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà äëÿ äîõîäà Ir . Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äîõîä Rg íå çàâèñèò îò ïðàâèëà ïðîâåðîê. Äëÿ ëþáîãî íàëîãà T îïòèìàëüíîå ïðàâèëî ïðîâåðîê, êîòîðîå óñòîé÷èâî ê óêëîíåíèþ è ìèíèìèçèðóåò çàòðàòû íà àóäèò, èìååò âèä p(I) = sup[∆T /(k ∆T + l ∆I)] ∆I > 0 äëÿ ëþáîãî I < I , p(I) = 0 äëÿ ëþáîãî I ≥ I . (2.3.7) Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè äëÿ ëþáîãî Ir ðàâíà ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ, êîòîðîå äåëàåò äåêëàðàöèþ Ir íåâûãîäíîé äëÿ ëþáîãî I > Ir . Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ãðàôèê T íå âîãíóò. Òîãäà åãî ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íà íåêîòîðîì îòðåçêå ëåæèò âûøå T (ñì. ðèñ. 3). Çàìåíèì T ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèåé íà ýòîì îòðåçêå è îáîçíà÷èì íîâûé íàëîãîâûé ãðàôèê ÷åðåç T * . Òîãäà âàëîâîé äîõîä âîçðàñòåò. Èñõîäÿ èç (2.3.7), îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü íå óâåëè÷èò- 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 27 ñÿ äëÿ ëþáîãî Ir , òàê êàê sup ∆T ∆T * = sup ∆I ∆I äëÿ ëþáîãî I ≤ I1 èëè I ≥ I2 , à sup ∆T ∆T * ≥ sup ∆I ∆I äëÿ ëþáîãî I ∈ (I1, I2 ) . Åäèíñòâåííàÿ ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Rg (T * ) ìîæåò íå óäîâëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèþ (2.3.4). T* T Ðèñ. 3. I1 I2 Äëÿ ëþáîãî T è íàëîãîâîãî óðîâíÿ Y ∈ [0, T (IH )] îáîçíà÷èì ÷åðåç TY ñëåäóþùèé íàëîãîâûé ãðàôèê: TY (I) = T (I) ïðè T (I) ≤ Y , èíà÷å T (I) = Y . Çàìåòèì, ÷òî Rg (TY ) íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ îò 0 äî Rg (T ) , â òî âðåìÿ êàê Y ìåíÿåòñÿ îò 0 äî T (IH ) . Îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè p(Ir ,TY ) íå óáûâàåò ïî Y äëÿ ëþáîãî Ir . Òàêèì îáðàçîì, åñëè Rg (T * ) ïðåâûøàåò ∆EI , òî ìû ìîæåì âûáðàòü Y < T (IH ) , òàêîå, ÷òî Rg (TY ) = ∆EI , è óìåíüøèòü çàòðàòû íà àóäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, íà- ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 28 ëîã T íå îïòèìàëåí.  èòîãå, äëÿ ëþáîãî âîãíóòîãî íàëîãîâîãî ãðàôèêà îòíîøåíèå ∆T / ∆I íå âîçðàñòàåò ïî ∆I , òàê ÷òî ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå (2.3.6) èç (2.3.7) ïðè ∆I , ñòðåìÿùåìñÿ ê 0. Çàìå÷àíèå. CW ïîëó÷èëè àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô F = ∆I . Ýòî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà øòðàô íàêëàäûâàåòñÿ ïî ïðîãðåññèâíîé øêàëå â çàâèñèìîñòè îò ∆I , òî åñòü k çàâèñèò îò ∆I è âîçðàñòàåò ïî íåìó. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü ρ (I) = dG(I) dI ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäà, è µ (I) = 1 − G(I) ρ (I) îïðåäåëÿåò ñòàâêó ðèñêà. Äëÿ îáû÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé, òàêèõ, êàê ëîãíîðìàëüíîå, ðàâíîìåðíîå è äð., ýòà ñòàâêà óáûâàåò ïî I . Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàõîäèò îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà, óñòîé÷èâóþ ê óêëîíåíèþ, äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé äîõîäà ñ óáûâàþùåé ñòàâêîé ðèñêà. Åñëè ∆EI ≤ TLM , òî, ñîãëàñíî Óòâåðæäåíèþ 2.1.2, îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ — óñòàíîâèòü âìåíåííûé íàëîã T ≡ ∆EI . Ïóñòü ∆EI > TLM . Òåîðåìà 2.3.2. Åñëè µ (I) óáûâàåò ïî I , òî îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñõåìà T äëÿ çàäà÷è (2.3.1–2.3.5) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: ñóùåñòâóåò I , òàêîå ÷òî T (I) = I − Imin äëÿ ëþáîãî I≤I è T (I) = T (I ) äëÿ ëþáîãî I > I . Îïòèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå I óäîâëåòâîðÿåò ëèáî óñëîâèÿì Rg (T ) = ∆EI è µ (I ) > c c , ëèáî Rg (T ) < ∆EI è µ (I ) = . k+l k+l Îïòèìàëüíîå ïðàâèëî ïðîâåðîê — p(I) ≡ 1/(k + l) ïðè I < I , p(I) ≡ 0 ïðè I ≥ I . Áîëåå òîãî, åñëè øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó (îãðàíè÷åíèå íà øòðàô à): k = 1 + δ a , l = 0 ), óêàçàííàÿ ñòðàòåãèÿ îïòèìàëüíà â öåëîì äëÿ èñõîäíîé çàäà÷è (2.1.2–2.1.4) (ñì. äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè). 2. ÎÑÍÎÂÍÀß ÌÎÄÅËÜ 29 Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè îïòèìàëüíîì ïðàâèëå ïðîâåðîê ÷èñòûé íàëîãîâûé äîõîä ëèíåéíî çàâèñèò îò ïðåäåëüíîé íàëîãîâîé ñòàâêè T+' (I) , òàê ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòàâêà ëèáî ìàêñèìàëüíà (= 1) , ëèáî ìèíèìàëüíà (= 0) . Òàê êàê T âîãíóò ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2.3.1, òî îí ñîîòâåòñòâóåò ðèñ. 4. T T =I IL 45o p IL I IH 1 k +l I Ðèñ. 4. Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, ïðè Imin = 0, ∆EI > TLM (= IL) Òàêèì îáðàçîì, â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîãî íàëîãà áåðåòñÿ âåñü äîõîä âûøå ìèíèìàëüíîãî ïðè I < I , è íàëîã ïîñòîÿíåí äëÿ âñåõ äîõîäîâ, áîëüøèõ I . Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê — èçâåñòíîå ïîðîãîâîå ïðàâèëî (ñì. Sanchez, Sobel, 1993): çàÿâëåííûé äîõîä íèæå ïîðîãà I ïðîâåðÿåòñÿ ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå îò íàëîãà íåâûãîäíûì, à äîõîäû âûøå I íå ïðîâåðÿþòñÿ. Ýòîò ðàçäåë çàâåðøàåòñÿ ñðàâíåíèåì ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèé íà øòðàô. Òåîðåìà 2.3.2 ïîêàçûâàåò, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, óñ- 30 ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ òîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ, è ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñòûé äîõîä íå çàâèñÿò îò ñîîòíîøåíèÿ øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ k è l . Øòðàô, ïðîïîðöèîíàëüíûé íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó, ýêâèâàëåíòåí øòðàôó, ïðîïîðöèîíàëüíîìó ñîêðûòîìó äîõîäó, òàê êàê îïòèìàëüíûé íàëîã ðàâåí äîõîäó ñâûøå ìèíèìàëüíîãî óðîâíÿ. Çàòðàòû íà àóäèò óáûâàþò è ÷èñòûé äîõîä âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì k + l . 3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ 3.1. Ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ïðîâåðîê, êîòîðîé ìû ñëåäîâàëè â Ðàçäåëå 2, ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èìåþòñÿ òîëüêî äâà èñõîäà âçàèìîäåéñòâèÿ íàëîãîïëàòåëüùèêà è íàëîãîâîé ñëóæáû: ëèáî àãåíòà íå ïðîâåðÿþò è íå îáíàðóæèâàþò óêëîíåíèÿ, ëèáî ïðè àóäèòå âûÿâëÿåòñÿ âåñü óêðûòûé äîõîä ïðè ôèêñèðîâàííûõ çàòðàòàõ íà àóäèò. Îäíàêî ýòî ïðåäïîëîæåíèå íà ïðàêòèêå îáû÷íî íå âûïîëíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðèìåðû. 1. Ïóñòü íàëîãîïëàòåëüùèê ïîëó÷àåò ñâîé äîõîä îò òîðãîâëè êàêèìòî òîâàðîì. Êàæäàÿ åäèíèöà òîâàðà ïðèíîñèò ôèêñèðîâàííûé äîõîä i äî íàëîãîîáëîæåíèÿ. Îáúåì ïðîäàæ — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì. Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì i = 1 . Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå G(I) îäèíàêîâî äëÿ äîõîäà è îáúåìà ïðîäàæ. ×òîáû óêëîíèòüñÿ îò íàëîãà, íàëîãîïëàòåëüùèê ðåãèñòðèðóåò òîëüêî íåêîòîðóþ ÷àñòü Ir ñâîèõ ïðîäàæ. Îñòàëüíîå ïðîäàåòñÿ çà íàëè÷íûå áåç ðåãèñòðàöèè. ×òîáû îáíàðóæèòü óêëîíåíèå îò íàëîãà, àóäèòîðû ñêðûòíî íàáëþäàþò â òå÷åíèå íåêîòîðîãî ïåðèîäà âñå ïðîäàæè è çàòåì ïðîâåðÿþò, áûëè ëè ïðîäàæè çàðåãèñòðèðîâàíû. Èõ óñèëèå e ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó ïðîâåðåííîé ïðîäóêöèè. Åñëè íåçàðåãèñòðèðîâàííûå ïðîäàæè ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëåíû âî âñåì ìíîæåñòâå ïðîäàæ, òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ íåçàðåãèñòðèðîâàííîãî äîõîäà d çàâèñèò îò îáùåãî è çàðåãèñòðèðîâàííîãî îáúåìîâ è óñèëèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: p(d | I, Ir , e) = CId− I CIe − d / CIe , ãäå CIe = e !(I − e)!/ I ! — r r áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò. 2. Åñëè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå âñå íåçàðåãèñòðèðîâàííûå ïðîäàæè ñêîíöåíòðèðîâàíû â íåêîòîðîì èíòåðâàëå âñåãî ïåðèîäà ïðîäàæ, òî p(0 | I, Ir , e) = (Ir − e) / I, p(e | I, Ir , e) = (I − Ir − e) / I , è ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíî äëÿ d ∈ (0, e) . 3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ 31 Çàìåòèì, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ îæèäàåìûé îáíàðóæåííûé íåçàðåãèñòðèðîâàííûé äîõîä ñîñòàâèò Ed (I, Ir , e) = e(I − Ir ) / I . 3. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà àóäèòîðû ïðîâåðÿþò îò÷åòû ïîñëå òîãî, êàê ïðîäàæè çàêîí÷åíû, è íå ìîãóò âûäåëèòü çàðåãèñòðèðîâàííóþ ïðîäóêöèþ, à òîëüêî îöåíèòü îáùèé îáúåì. Îáúåì ó÷òåííîé ïðîäóêöèè ïðîïîðöèîíàëåí óñèëèþ. Òîãäà îáíàðóæåííûé íåçàðåãèñòðèðîâàííûé äîõîä ñîñòàâèò d (I, Ir , e) = 0 ïðè e ≤ Ir , e − Ir ïðè e ∈ (Ir , I) è I − Ir ïðè e > I . Çàìå÷àíèå. Íà ïðàêòèêå íàëîãîâàÿ ñëóæáà ìîæåò âàðüèðîâàòü ñâîå óñèëèå â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì îáúåìîì è íå ïðèìåíÿòü e > I . Ðåçóëüòàòû, ñôîðìóëèðîâàííûå íèæå, îñòàþòñÿ â ñèëå ïðè òàêîé ìîäèôèêàöèè ìîäåëè. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ïðîâåðîê, èñïîëüçîâàííàÿ â Ðàçäåëå 2, ôîðìàëüíî ýêâèâàëåíòíà ñëó÷àþ, êîãäà e = π , p(0 | I, Ir , π ) = 1 − π , p(I − Ir | I, Ir , π ) = π . Ôîðìàëüíàÿ ïîñòàíîâêà îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ äëÿ çàäàííîé âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ïðàêòè÷åñêè àíàëîãè÷íà (2.1.1–2.1.4). Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðè çàäàííîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà sG = [T (Ir ), e(Ir )] êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä. Òî åñòü â çàâèñèìîñòè îò èñòèííîãî äîõîäà åãî ðåãèñòðèðóåìûé äîõîä ðàâåí Ir (I, sG ) → min{T (Ir ) + ∑ p[d Ir d def I, Ir , e(Ir )]F (d, Ir )} = Teff (I, sG ) . Çàäà÷à ïðàâèòåëüñòâà (2.1.2) è îãðàíè÷åíèå íà îæèäàåìûé äîõîä íàëîãîïëàòåëüùèêà îñòàþòñÿ òåìè æå. Îãðàíè÷åíèå íà ìèíèìàëüíûé äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ òåïåðü ïðèíèìàåò âèä T [Ir (I)] + F [d, Ir (I)] ≤ I − Imin äëÿ ëþáîãî d ∈ Ir , I . Âàðèàíòû îãðàíè÷åíèé íà øòðàô âûãëÿäÿò êàê: a) F (d, Ir ) = (1 + δ )[T (Ir + d) − T (Ir )] ; b) F (d, Ir ) = T (Ir + d) − T (Ir ) + δ d ; ! c) 0 ≤ F (d, Ir ) ≤ Ir + d − T (Ir ) − I äëÿ ëþáîãî d ∈ Ir , I , ! ãäå I — ìèíèìàëüíûé äîõîä ïðè íåîïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè íàëîãîïëàòåëüùèêà; d) F (d, Ir ) = δ d . ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 32 3.2. Îá îïòèìàëüíîñòè êîíòðàêòîâ, óñòîé÷èâûõ ê óêëîíåíèþ Òåïåðü íàøà öåëü ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ìîæíî îáîáùèòü Òåîðåìó 2.1.1 äëÿ äàííîé ìîäåëè. Òåîðåìà 3.2.1. Åñëè âåðîÿòíîñòíàÿ ôóíêöèÿ âûÿâëåíèÿ óêëîíåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ p(0 | I,Y , e) ≤ p(0 | I, Ir , e) äëÿ ëþáîãî I > Y ≥ Ir è e , (3.2.1) òî äëÿ çàäà÷è íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè, îïèñàííîé â Ðàçäåëå 3.1, ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô c) ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ. Òî æå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô d, åñëè ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ed (I,Y , e) + Ed (Y , Ir , e) ≥ Ed (I, Ir , e) äëÿ ëþáîãî I > Y ≥ Ir . (3.2.2) Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ñòàíäàðòíà (ñð. â CW ñ Ëåììîé 3 íà ñ. 177). Ðàññìîòðèì êîíòðàêò sG = (T , e) , òàêîé, ÷òî Ir (I, sG ) ≠ I äëÿ íåêîòîðîãî I . Îáîçíà÷èì ÷åðåç * * (T *, e* ) íîâûé êîíòðàêò, òàêîé, ÷òî T (I) = Teff (I, sG ), e (I) = e[Ir (I, sG )] .  Ïðèëîæåíèè ïîêàçàíî, ÷òî ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ýòîò íîâûé êîíòðàêò óñòîé÷èâ ê óêëîíåíèþ è ýêâèâàëåíòåí èñõîäíîìó äëÿ âñåõ àãåíòîâ, âêëþ÷àÿ ïðàâèòåëüñòâî. Îáñóäèì óñëîâèÿ (3.2.1, 3.2.2). Îíè âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ïðîâåðîê è, áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé ìîäåëè, â êîòîðîé p(d | I, Ir , e) íå çàâèñèò îò Ir . Âòîðîå óñëîâèå òàêæå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ïðèìåðîâ 1, 2, 3 è ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî îáùèì. Îäíàêî íè îäèí èç ýòèõ ïðèìåðîâ íå óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó óñëîâèþ. Òî åñòü, âîçìîæíî, îïòèìàëüíûé êîíòðàêò ïðè îãðàíè÷åíèè c îáû÷íî íå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ê óêëîíåíèþ â ðàìêàõ îáùåé ìîäåëè ïðîâåðîê. 3.3. Îáùåêîíòðàêòíûé ïîäõîä Ðàññìîòðèì ìîäåëü, çàäàííóþ ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà G(I) , ñòîèìîñòüþ óñèëèÿ íà ïðîâåðêó C(e) , è âåðîÿòíîñòüþ p(Id | I, e) îáíàðóæåíèÿ äîõîäà Id ïðè èñòèííîì äîõîäå I è óñèëèè íà ïðîâåðêó e . Îáùèé êîíòðàêò cG äëÿ ýòîé ìîäåëè ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà ñîîá- 3. ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÀÓÄÈÒÀ 33 ùåíèé M , íàëîãîâîé ôóíêöèè T (m) , m ∈ M , ôóíêöèè ïðîâåðîê e(m) è ôóíêöèè øòðàôîâ F (Id , m) . Åäèíñòâåííàÿ ðàçíèöà ñ ïðåäûäóùåé ìîäåëüþ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñîîáùåíèå m ìîæåò èìåòü äðóãîé ñìûñë, ÷åì ðåãèñòðèðóåìûé äîõîä. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî êîíòðàêòà àíàëîãè÷íà (2.1.1–2.1.4). Êàæäûé íàëîãîïëàòåëüùèê ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò åãî èñòèííîãî äîõîäà åãî ñîîáùåíèå m(I, cG ) → min{T (m) + ∑ p(Id m def I, e(m))F (Id , m)} = Teff (I, cG ) . (3.3.1) Id Çàäà÷åé ïðàâèòåëüñòâà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìèçàöèÿ íàëîãîâîãî äîõîäà çà âû÷åòîì çàòðàò íà àóäèò ∫ {Teff (I, cG ) − C[e(m(I, cG ))]}dG(I) → max cG (3.3.2) ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ ó÷àñòèÿ: ∫ [I − Teff (I, cG )]dG(I) ≥ Ialt , (3.3.3) òî åñòü îæèäàåìûé äîõîä àãåíòà ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè äîëæåí ïðåâûøàòü àëüòåðíàòèâíûé äîõîä. Îãðàíè÷åíèå íà ìèíèìàëüíûé äîõîä ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ òåïåðü âûãëÿäèò êàê T [m(I)] + F [Id , m(I)] ≤ I − Imin (3.3.4) äëÿ ëþáîãî âûÿâëåííîãî Id , âîçìîæíîãî ïðè I è e(m) , à àíàëîã îãðàíè÷åíèÿ íà øòðàô ñ äëÿ ìîäåëè îáùèõ êîíòðàêòîâ âûãëÿäèò êàê ! 0 ≤ F (Id , m) ≤ Id − T (m) − I (3.3.5) äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ m, Id . Ëþáàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà, èëè ïðîñòîé êîíòðàêò, ðàññìîòðåííûé â Ðàçäåëàõ 2.1–3.2, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáùåãî êîíòðàêòà ñ ìíîæåñòâîì M = [IL , IH ] . Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîæíî îãðàíè÷èòü âîçìîæíîñòè ïðàâèòåëüñòâà ïðîñòûì êîíòðàêòîì áåç êàêîé-ëèáî ïîòåðè äîõîäà. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 34 Òåîðåìà 3.3.1. Äëÿ ëþáîãî îáùåãî êîíòðàêòà cG ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíûé ïðîñòîé êîíòðàêò sG , òàêîé, ÷òî 1) e* (Ir (I, sG )) = e(m(I, cG )) , * 2) Teff (I, sG ) = Teff (I, cG ) äëÿ ëþáîãî I , è, áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîãî äîõîäà I ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà ïîñëå óïëàòû íàëîãà îäèíàêîâî äëÿ îáîèõ êîíòðàêòîâ. Ñì. äîêàçàòåëüñòâî â Ïðèëîæåíèè. Çàìåòèì, ÷òî ïðè îãðàíè÷åíèè íà øòðàô (3.3.5) ñóùåñòâóåò, ñîãëàñíî Òåîðåìå 3.2.1, îïòèìàëüíûé ïðîñòîé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ. Óñëîâèå (3.2.1) â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ çàâèñèò ëèøü îò I è e . Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíûé ïðîñòîé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, îáåñïå÷èâàåò ìàêñèìàëüíûé äîõîä â çàäà÷å (3.3.2–3.3.5).  ðàìêàõ îáùåêîíòðàêòíîãî ïîäõîäà ìû íå ñóìåëè ââåñòè êàêîéíèáóäü àíàëîã îãðàíè÷åíèé a, b, d, èëè ïðèíöèïà: "íàêàçàíèå äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü òÿæåñòè ïðåñòóïëåíèÿ". Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåãèñòðàöèÿ äîõîäà íà ïðàêòèêå ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïîñûëêè àáñòðàêòíîãî ñîîáùåíèÿ. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì îáùåêîíòðàêòíûé ïîäõîä íå òàê ïîëåçåí ïðè èññëåäîâàíèè çàäà÷ íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ. 4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíà çàäà÷à îïòèìèçàöèè íàëîãîâîé ñèñòåìû ñ ó÷åòîì óêëîíåíèÿ îò íàëîãîâ äëÿ ãðóïïû íàëîãîïëàòåëüùèêîâ, äîõîäû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì. Íàøè ðåçóëüòàòû ïðîÿñíÿþò ðîëü îãðàíè÷åíèé ó÷àñòèÿ è îãðàíè÷åíèé íà øòðàô ïðè îïðåäåëåíèè îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè íàëîãîâîãî ïðèíóæäåíèÿ. Ñîãëàñíî èçâåñòíîé Òåîðåìå î áëàãîñîñòîÿíèè, åñëè ïðàâèòåëüñòâî îáëàäàåò ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ðàñïðåäåëåíèè äîõîäà, à íàëîãîïëàòåëüùèêè íåéòðàëüíû ê ðèñêó, òî îïòèìàëüíî ââîäèòü âìåíåííûé íàëîã è íå îðãàíèçîâûâàòü ïðîâåðêè. Îäíàêî, åñëè ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åíèå íà ìèíèìàëüíûé äîõîä ïðè õóäøåì ñëó÷àéíîì èñõîäå, òî ìîæåò áûòü îïòèìàëüíûì êîìáèíèðîâàíèå âìåíåííîãî íàëîãà ñ äðóãèìè òèïàìè íàëîãîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìàêñèìàëüíûé âìåíåííûé íàëîã îãðàíè÷åí, ñ îäíîé ñòîðîíû, âåëè÷èíîé, êîòîðàÿ ìîæåò íàðóøèòü 4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ 35 äåÿòåëüíîñòü ôèðìû ïðè íåáëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ ïðîèçâîäñòâà, à ñ äðóãîé, — äîïîëíèòåëüíîé îæèäàåìîé ïðèáûëüþ äî íàëîãîîáëîæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåé æåëàòåëüíîìó äëÿ ýòîé ãðóïïû óðîâíþ ïðèáûëè ïîñëå íàëîãîîáëîæåíèÿ. Íàøè ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè óïîìÿíóòûõ óñëîâèÿõ âñåãäà îïòèìàëüíî óñòàíàâëèâàòü ìàêñèìàëüíûé âìåíåííûé íàëîã. Åñëè âåëè÷èíà ñþðïëàñà îòíîñèòåëüíî ìàëà, òî ââåäåíèå ëþáîãî äðóãîãî íàëîãà íå óâåëè÷èò ÷èñòûé íàëîã. Íî åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáûëè âåëèêà, à çàòðàòû íà ïðîâåðêó îòíîñèòåëüíî íèçêè, òî îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó: ñî âñåõ äîõîäîâ, ìåíüøèõ íåêîòîðîãî ïîðîãà, áåðåòñÿ òàêîé íàëîã, ÷òî îñòàòîê ðàâåí ìèíèìàëüíîìó óðîâíþ äîõîäà, à äëÿ âñåõ áîëüøèõ äîõîäîâ íàëîã ïîñòîÿíåí. Îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé ïðîâåðîê ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîå "ïîðîãîâîå" ïðàâèëî: äåêëàðàöèè äîõîäà, ìåíüøåãî, ÷åì ïîðîãîâîå çíà÷åíèå, ïðîâåðÿþòñÿ ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äåëàåò óêëîíåíèå îò íàëîãîâ íåâûãîäíûì, à îñòàëüíûå äåêëàðàöèè íå ïðîâåðÿþòñÿ.  íåêîòîðîì ñìûñëå îïòèìàëüíûé êîíòðàêò íå çàâèñèò îò íàêàçàíèÿ: íåâàæíî, ïðîïîðöèîíàëåí ëè øòðàô íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó, èëè âêëþ÷àåò îáå êîìïîíåíòû. Òàê êàê íàëîã ðàâåí âñåìó äîõîäó ñâåðõ ìèíèìàëüíîãî óðîâíÿ, èìååò çíà÷åíèå òîëüêî ñóììà øòðàôíûõ êîýôôèöèåíòîâ. ×òîáû íàéòè îïòèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå äîõîäà, ìîæíî íà÷àòü ñ ñàìîãî íèçêîãî óðîâíÿ è ïîâûøàòü åãî, ïîêà ïðåäåëüíûå çàòðàòû íà àóäèò íå ïðåâûñÿò ïðåäåëüíûé äîõîä èëè ïîêà îæèäàåìûé äîõîä àãåíòîâ ïîñëå óïëàòû íàëîãà íå äîñòèãíåò æåëàòåëüíîãî óðîâíÿ. Íàø ôîðìàëüíûé ðåçóëüòàò àíàëîãè÷åí èçâåñòíûì óòâåðæäåíèÿì îá îïòèìàëüíîñòè ðåãðåññèâíûõ íàëîãîâ (ñì. Mirrlees, CW è äð.). Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî îæèäàåìûé äîõîä â íàøåì ñëó÷àå îäèíàêîâ äëÿ âñåõ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ìû òîëüêî ïîêàçàëè, ÷òî îïòèìàëüíî ïîîùðÿòü óäà÷ëèâûõ àãåíòîâ ñ áîëåå âûñîêèìè äîõîäàìè. Êàê ýòîò ðåçóëüòàò ñîîòíîñèòñÿ ñ ïðàêòèêîé íàëîãîîáëîæåíèÿ â Ðîññèè? Òèïè÷íûé ïîäõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàëîãîâîãî ïåðèîäà íàëîãîâàÿ ñëóæáà óñòàíàâëèâàåò íîðìàòèâíûå óðîâíè íàëîãà äëÿ êîíòðîëèðóåìûõ åþ ôèðì â çàâèñèìîñòè îò èíôîðìàöèè î íèõ è íåêîòîðûõ îáùèõ õàðàêòåðèñòèêàõ ðûíêà â äàííûé ïåðèîä (ñì. Ìåòîäèêó, 1997). Òàêîé óðîâåíü íàëîãà ñîîòâåòñòâóåò ïîðîãîâîìó çíà÷åíèþ íàëîãà â íàøåé ìîäåëè. Òîëüêî ôèðìû, êîòîðûå íå âûïëà÷èâàþò ýòîò íîðìàòèâíûé íàëîã, òùàòåëüíî ïðîâåðÿþòñÿ è íàêàçûâàþòñÿ. Îäíî ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îò íàøåé ìîäåëè ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàëîã (òàê æå, êàê è øòðàô) ìîæåò ïðèíèìàòü äðóãóþ ôîðìó è èäòè íå â äîõîä ïðàâèòåëüñòâà, à êóäà-òî åùå (íàïðèìåð, ýòî ìî- 36 ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ æåò áûòü "äîáðîâîëüíîå" ïîæåðòâîâàíèå, êîòîðîå íàïðàâëÿåòñÿ â íåêîòîðûå ôîíäû ìåñòíîé àäìèíèñòðàöèè, ñì. ßêîâëåâ, 2000). Çàìåòèì, ÷òî êðèìèíàëüíûå ãðóïïû òàêæå èñïîëüçóþò ïîäîáíûé ïîäõîä ê ïðåäïðèÿòèÿì, íàõîäÿùèìñÿ ïîä èõ êîíòðîëåì. Îäíà èç ïðîáëåì ñîñòîèò â òîì, êàê îïðåäåëÿòü æåëàòåëüíûé óðîâåíü äîõîäà ïîñëå óïëàòû íàëîãà Ialt äëÿ ðàçëè÷íûõ ãðóïï íàëîãîïëàòåëüùèêîâ. Ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ýòè âåëè÷èíû äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ ïðè ðåøåíèè îáùåé çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîÿíèÿ äëÿ ýêîíîìèêè.  äàííîì êîíòåêñòå íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîçâîëÿåò íå ðàññìàòðèâàòü íàëîãîâîå óêëîíåíèå ïðè ïîñòàíîâêå è èññëåäîâàíèè ýòîé ñëîæíîé ïðîáëåìû, òàê êàê ìû îïðåäåëèëè ìèíèìàëüíûå çàòðàòû íà ñáîð íàëîãà â çàâèñèìîñòè îò çàäàííîãî æåëàòåëüíîãî äîõîäà Ialt . Âàæíûé àñïåêò — ÿâëÿåòñÿ ëè óêàçàííûé êîíòðàêò îïòèìàëüíûì â öåëîì, òî åñòü, âñåãäà ëè óñòîé÷èâà îïòèìàëüíàÿ íàëîãîâàÿ ïîëèòèêà ïðàâèòåëüñòâà.  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîé òî÷êè çðåíèÿ (ñì. Chander è Wilde, 1998; Mookherjee è Png, 1989 è äð.), ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðàâèòåëüñòâà äîïóñêàåò óêëîíåíèå îò íàëîãà, åñëè øòðàô çà óêëîíåíèå ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó èëè ñîêðûòîìó äîõîäó. Ýòî ïðîèñõîäèò, åñëè èìåþòñÿ äâà âîçìîæíûõ óðîâíÿ äîõîäà, øòðàô çà óêëîíåíèå îòíîñèòåëüíî ìàë, à ïðèáûëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà íå î÷åíü âûñîêà è íå î÷åíü íèçêà, íî ïðåâûøàåò â íåêîòîðîé ñòåïåíè ðàçíîñòü ìèíèìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî è äîïóñòèìîãî çíà÷åíèé äîõîäà (ñì. ðèñ. 1). Îäíàêî äëÿ òèïè÷íûõ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé äîõîäà (ðàâíîìåðíîãî, ýêñïîíåíöèàëüíîãî è äð.), îïòèìàëüíûé êîíòðàêò, óñòîé÷èâûé ê óêëîíåíèþ, îïòèìàëåí â öåëîì (ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó).  íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû àáñòðàãèðîâàëèñü îò äâóõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðîáëåì.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðàâèòåëüñòâî èìååò äåëî ñ ãåòåðîãåííûìè íàëîãîïëàòåëüùèêàìè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îíî íå ðàñïîëàãàåò äîñòàòî÷íî ïîëíîé èíôîðìàöèåé îá èõ íà÷àëüíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ (òî åñòü, ðàñïðåäåëåíèÿõ äîõîäà) è íå ìîæåò ïðåäëîæèòü ñïåöèàëèçèðîâàííûé êîíòðàêò. Ìû ïîëó÷èëè íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäåëè ñ íåñëó÷àéíûìè äîõîäàìè â ðàáîòå Marhuenda, Vasin, Vasina (2000). Îäíàêî èçó÷åíèå ìîäåëè, âêëþ÷àþùåé îáà òèïà èíôîðìàöèîííîé àñèììåòðèè, îñòàåòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìîé. Äðóãîé âàæíûé àñïåêò — êîððóïöèÿ â íàëîãîâîé àäìèíèñòðàöèè (îäíî èç ïîñëåäíèõ èññëåäîâàíèé íà ýòó òåìó áûëî îñóùåñòâëåíî Hindriks è äð., 1999). Îòìåòèì, ÷òî ââåäåíèå â íàøó ìîäåëü âîçìîæ- 4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ 37 íîñòè ñãîâîðà ìåæäó íàëîãîïëàòåëüùèêîì è ïðîâåðÿþùèì åãî èíñïåêòîðîì ñóùåñòâåííî íå èçìåíèò ðåçóëüòàòîâ îòíîñèòåëüíî îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðàâèòåëüñòâà. Ïóòåì ââåäåíèÿ ïðåìèé àóäèòîðàì çà âûÿâëåíèå óêëîíåíèÿ îò óïëàòû íàëîãà ïðàâèòåëüñòâî ìîæåò íåéòðàëèçîâàòü ñòèìóëû äëÿ âçÿòî÷íè÷åñòâà è ïîëó÷èòü òîò æå îïòèìàëüíûé íàëîãîâûé äîõîä (ñì. Vasin è Panova, 1999). Kofman è Lawarree (1993, 1996) ïîëó÷èëè ïîõîæèé ðåçóëüòàò äëÿ ìîäåëè "õîçÿèí-óïðàâëÿþùèé-àãåíò" â äðóãîé ïîñòàíîâêå. Ðîëü ñîçäàíèÿ ñòèìóëîâ äëÿ ãîññëóæàùèõ â ïðîöåññå áîðüáû ñ êîððóïöèåé ïðèçíàíà â ýêîíîìè÷åñêîé ëèòåðàòóðå (ñì. Bardhan, 1977). Ïîäëèííàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî óñëîâèå ñëó÷àéíûõ âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó íàëîãîïëàòåëüùèêàìè è àóäèòîðàìè â óïîìÿíóòûõ ìîäåëÿõ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîòèâîðå÷èò ïðàêòèêå. Äëÿ äîëãîâðåìåííûõ îòíîøåíèé ìåæäó íàëîãîïëàòåëüùèêîì è èíñïåêòîðîì óïîìÿíóòàÿ ñèñòåìà ïðåìèé íå òàê ýôôåêòèâíà. Òàêèì îáðàçîì, ýòà ïðîáëåìà íóæäàåòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì èññëåäîâàíèè. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 38 ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.1. Èñõîäÿ èç óòâåðæäåíèÿ 2.1.2, äîñòàòî÷íî èçó÷èòü ñëó÷àé Ialt − Imin < q ∆I . Îáîçíà÷èì ÷åðåç y = pF ñðåäíèé ïëàòåæ â áþäæåò èç äîïîëíèòåëüíîãî äîõîäà. Çàäà÷à íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè â îáëàñòè II ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: TL + qy − pc → max (Ï.1) ïðè TL + qy ≤ ∆EI, TL ≤ TLM , TL + y ≤ TLM + ∆I. p Ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ TL , y > 0 îïòèìàëüíîå p ïðåâðàùàåò ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â ðàâåíñòâî. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîëæíû ìàêñèìèçèðîâàòü def R(TL , y ) = TL + qy − cy /(TLM − TL + ∆I) â îáëàñòè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 5. y TL + qy = ∆EI 0 Ðèñ. 5. TLM ∆EI TL ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 39 Óñëîâèå (2.2.5) îçíà÷àåò, ÷òî R(TL , y ) âîçðàñòàåò ïî y ïðè ëþáîì äîïóñòèìîì TL . Íà ïðÿìîé TL + qy = ∆EI äîõîä ðàâåí ∆EI − cp(y ) , ãäå p(y ) = y . ∆I + TLM − ∆EI + qy Âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè âîçðàñòàåò ïî y è äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà ïðè TL = TLM , y = ∆EI − TLM . q Òàêèì îáðàçîì, ìàêñèìàëüíûé äîõîä ðàâåí R II = ∆EI − c ∆EI − TLM , ∆Iq îïòèìàëüíûé øòðàô — F = ∆I . ×òîáû íàéòè îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ ïðàâèòåëüñòâà, äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü R II ñ ìàêñèìàëüíûìè äîõîäàìè â îáëàñòÿõ I è III.  ïîñëåäíåé îáëàñòè R III = TLM , òàê êàê ∆T = 0 . Òàêèì îáðàçîì, R II > R III ïðè (2.2.5).  îáëàñòè I R I = ∆EI − (1 − q) c 1+ δ è R II > R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∆EI − TLM 1 − q < , ∆Iq 1+ δ ÷òî ýêâèâàëåíòíî 1− q Ialt − Imin > q ∆I 1 − . 1 + δ Åñëè q ∆I ≤ c , òî R III ≥ R II , à R III ≥ R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Ialt − Imin ≥ q ∆I − c(1 − q) pa* . Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.2.  îáëàñòè II ïîñòàíîâêà è ðåøåíèå çàäà÷è íàëîãîâîé îïòèìèçàöèè òàêèå æå, êàê ïðè a): F = ∆I, pII = ∆EI − TLM q ∆I − Ialt + Imin ; = q ∆I q ∆I ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 40 åäèíñòâåííàÿ ðàçíèöà, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ∆T = ∆I(1 − δ b ) .  îáëàñòè I ∆EI > TLM ⇒ R I = max[TL + q ∆T − (1 − q)cp] ïðè îãðàíè÷åíèÿõ p(∆T + δ∆I) ≥ ∆T , TL ≤ TLM , TL + q∆T ≤ ∆EI, ∆T ≤ ∆I . Òîãäà pI = ∆T , ∆T + δ ∆I è ÷èñòûé äîõîä äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà, êîãäà TL: + q ∆T = ∆EI , TL = TLM , I −I ∆T = ∆I − alt min . q Òàê æå, êàê ïðè a), R III = TLM , è R II > R III òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà q ∆I > c . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, R II > R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà pII = ∆EI − TLM < pI (1 − q) . q ∆I Òàêèì îáðàçîì, R II > max(R I , R III ) , åñëè (q + δ b )q ∆I < Ialt − Imin < q ∆I . Åñëè q ∆I ≤ c , òî R III > R II , à R III > R I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà TLM ≥ ∆EI − c(1 − q) ∆EI − TLM ⇔ ∆EI − TLM + qδ b ∆I ⇔ c(1 + q) ≥ q∆I(1 + δ b ) − (Ialt − Imin) ⇔ ⇔ q ∆I ≥ Ialt − Imin ≥ q ∆I(1 + δ b) − c(1 − q) . Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.3.  îáëàñòè I ìû ñòðåìèìñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü R I = (TL + q ∆T − (1 − q)cp) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ ! F + TL ≤ IH − I , TL ≤ TLM , TL + q ∆T ≤ ∆EI è pF ≥ ∆T . Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíûå p* = ! ∆T , F * (TL ) = IH − I − TL . F ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 41 Åñëè qFc > (1 − q)c äëÿ ëþáîãî TL ≤ TLM , òî q− (1 − q)c F * (TL ) >0 äëÿ ëþáîãî TL ≤ TLM , TL* + q ∆T * = ∆EI , è îïòèìàëüíûé íàëîã TL* ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè, ïðîïîðöèîíàëüíóþ ∆EI − TL ! . IH − I − TL ! Ialt > Imin > I , Òàê êàê ! ∆EI = IL + q ∆I − Ialt < IH − I è TL* = TLM . Åñëè qFc ≤ (1 − q)c , òî ∆T * = 0 , TL* = TLM . Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèÿ 2.2.4 àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. Åäèíñòâåííàÿ q ∆T * + TL* ðàçíèöà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Fd* = δ d ∆I, òàê ÷òî = ∆EI , åñëè qFd > (1 − q)c. Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 2.3.2. Ñîãëàñíî Óòâåðæäåíèþ 2.3.1, ìû ìîæåì âûðàçèòü ÷èñòûé äîõîä ïðè îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðîâåðîê ñëåäóþùèì îáðàçîì: −1 ∫{T+ (I)[µ(I) − (kT+ (I) + l) ' ' ]}dG(I) . Òàê êàê ñòàâêà ðèñêà è T+' óáûâàþò ïî I , êîýôôèöèåíò ïðè T+' ìîíîòîííî óáûâàåò ïî I . Òàêèì îáðàçîì, ïðè îïòèìàëüíîì T ïðåäåëüíàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà T+' ìàêñèìàëüíà, òî åñòü ðàâíà 1 äî íåêîòîðîãî I è ìèíèìàëüíà, òî åñòü ðàâíà 0, íà÷èíàÿ ñ ýòîãî I . Îáîçíà÷èì ÷åðåç R(I ) (ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç Rg (I ) ) ÷èñòûé (ñîîò- âåòñòâåííî âàëîâîé) äîõîä äëÿ íàëîãîâîé ñõåìû ñ ïîðîãîì I . Òîãäà I R(I ) = c ∫ ρ(I)(I − k + l )dI + [1 − G(I )]I , IL c R ′(I ) = ρ (I ) I − − ρ (I )I + 1 − G(I ) . k + l Åñëè µ (IL ) > c , k+l ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 42 òî R(I ) — óíèìîäàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ åäèíñòâåííûì ìàêñèìóìîì â òî÷êå I" , òàêèì, ÷òî µ(I") > c . k +l Îïòèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå I* ðàâíî I" ïðè Rg (I") ≤ ∆EI , èíà÷å Rg (I* ) = ∆EI . Ïðè âûïîëíåíèè ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà µ (IL ) ≤ c , k +l âìåíåííûé íàëîã T ≡ TLM îïòèìàëåí. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà l = 0, k = 1 + δ a .  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå (2.1.4) ïðèíèìàåò âèä: T (I) + δ a{T (I) − T [Ir (I)]} ≤ I − Imin åñëè q(I) > 0 (a) è T [Ir (I)] ≤ I − Imin åñëè q(I) < 1 . (b) Çäåñü q(I) = p[Ir (I)] — ýôôåêòèâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè äëÿ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñ äîõîäîì I . Íèæå ìû äîêàçûâàåì òåîðåìó ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ T (I) ≤ I − Imin äëÿ ëþáîãî I . (Ï.2) Åñëè q(I) > 0 , òî èç (a) âûòåêàåò (Ï.2). Ìû ïîëàãàåì, ÷òî ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíûì, åñëè q(I) = 0 è Ir (I) ≠ I .  ëþáîì ñëó÷àå òàêîå îãðàíè÷åíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì â íàøåé ïîñòàíîâêå. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðè âûïîëíåíèè (Ï.2), íî áåç óñëîâèÿ (2.1.4). Èçó÷èì îïòèìèçàöèîííóþ ïðîáëåìó â îòíîøåíèè ïðàâèëà ïðîâåðîê ïðè ôèêñèðîâàííîì íåóáûâàþùåì íàëîãîâîì ãðàôèêå T . Ñîãëàñíî Sanchez è Sobel (1993), îïòèìàëüíûì ïðàâèëîì ïðîâåðîê ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è R(q(.)) = ∫ q(I)[(1 + δ a)T+' (I)µ (I) − c]dG(I) → max q(.) ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 43 ïðè îãðàíè÷åíèÿõ: q(I) íå âîçðàñòàåò ïî I , q(I) ∈ [0,(1 + δ a)−1] , Rg (q(.)) = ∫ q(I)(1 + δ a)T+' (I)µ (I)dG(I) ≤ ∆EI . (Ï.3) Óòâåðæäåíèå 2 èç Sanchez è Sobel ïîêàçûâàåò, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå â âèäå: 1/(1 + δ a ) q (I) = p 0 * if I ∈ [IL , I1), ! if I ∈ [I1, I ), ! if I ∈ [I , IH ], ! 1 ãäå IL ≤ I1 ≤ I ≤ IH , p ∈ 0, . 1+ δa Ýòà ýôôåêòèâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ïðîâåðîê 1 1 + δ a * p (I) = p 0 if I ∈ [IL , I1), if I ∈ [I1, I2 ), if I ≥ I2 , ãäå I2 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ! ! T (I2 ) = Teff (I ) = T (I1) + p(1 + δ a )[T (I ) − T (I1)]. Ýòîò ðåçóëüòàò ëåãêî ñëåäóåò èç òåîðèè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: (Ï.3) ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ äâóìÿ îãðàíè÷åíèÿìè ïîìèìî ìîíîòîííîñòè q(I) . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ðåøåíèå q* (I) è ñîîòâåòñòâóþùàÿ p* (I) , êîòîðàÿ èìååò êàê ìàêñèìóì äâà ñêà÷êà. Áîëåå òîãî, åñëè T+' (I)µ (I) íå âîçðàñòàåò, òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå òîëüêî ñ îäíèì ñêà÷êîì, òî åñòü ïîðîãîâîå ïðàâèëî. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (2.1.4) íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíûì îòíîñèòåëüíî T , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò (Ï.2) ïðè ëþáîì ïîðîãîâîì ïðàâèëå. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé ïàðû T (.), p(.) , ãäå p(.) — ïîðîãîâîå ïðàâèëî ñ ïîðîãîì I , ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 44 óñòîé÷èâàÿ ê óêëîíåíèþ ñòðàòåãèÿ T (.), p(.) , ãäå T (I), I ≤ I , T (I) = T (I ), I > I . ×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî, ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé ïàðû (T , q) , âêëþ÷àÿ òðåõóðîâíåâóþ ýôôåêòèâíóþ âåðîÿòíîñòü ïðîâåðîê â çàäà÷å (2.1.2–2.1.3, Ï.2),. ñóùåñòâóåò äîïóñòèìàÿ ñòðàòåãèÿ (T *, q* ) , ãäå äëÿ ëþáîãî I T * (I) = I − Imin (òàê ÷òî T — âîãíóòûé íàëîãîâûé ãðàôèê), q* — ëèáî òðåõóðîâíåâîå, ëèáî ïîðîãîâîå ïðàâèëî ïðîâåðîê è R(T *, q* ) ≥ R(T , q) . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî T ïðè ôèêñèðîâàííîì q . Ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü åå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ! I R(T , q) = ∫ Teff (I)dG(I) − c ∫ q(I)dG(I) → max IL T (.) ãäå ! Teff (I) = [1 − p(1 + δ a )]T (I1) + p(1 + δ a )T (I) ïðè I ∈ (I1, I ] , (Ï.4) ! ! Teff (I) = T (I) ïðè I ≤ I1, Teff (I) = Teff (I ) ïðè I > I ïðè îãðàíè÷åíèÿõ: Rg (T , q) = ∫ Teff (I)dG(I) ≤ EI (Ï.5) è (Ï.2). Åñëè ìû èñêëþ÷èì îãðàíè÷åíèå (Ï.5), òî êàê Teff (I) ≤ * Teff (I) T* * — ðåøåíèå, òàê èñõîäÿ èç (Ï.4, Ï.2). Åñëè (T , q) íå óäîâëåòâîðÿ! åò (Ï.5), òî ðàññìîòðèì R êàê ôóíêöèþ I ïðè ôèêñèðîâàííûõ T *, I1 ! ! è p . Äëÿ I ' ≤ I1 îïðåäåëèì q(I | I ') êàê ïîðîãîâîå ïðàâèëî ñ ïîðî! ! ãîì I ' . Çàìåòèì, ÷òî R íåïðåðûâíà è âîçðàñòàåò ïî I . Òàêèì îáðà!' ! ! ! ! çîì, ñóùåñòâóåò I ∈ (I1, I ) , òàêîé, ÷òî Rg (T *, I ') = ∆EI è R(T *, I ') > R(T , I ) , ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 45 òàê êàê ! ! IL IL I' I !' q ( I | I ) dG ( I ) q ( I ) dG ( I ) = < ∫ ∫ ∫ q(I)dG(I) . Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.2.1. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê T íå óáûâàåò, òî T * òîæå íå óáûâàåò. Äîêàæåì, ÷òî Ir* (I) = I ïðè (T *, e* ) . Ìû ñòðåìèìñÿ ïîêàçàòü, ÷òî T *(I, Y ) ≥ T *(I) äëÿ ëþáîãî Y < I . (*) Ïóñòü Ir = Ir (Y ), e = e[Ir (Y )] ïðè (T , e) . Òîãäà T *(I) ≤ T (I, Ir ) = T (Ir ) + ∑ p(d | I, Ir , e)F (d, Ir ) , d T (I, Y ) = T (Ir ) + ∑ p(d | Y , Ir , e)F (d, Ir ) + ∑ p(d | I, Y , e)p(d, Y ) . * d d Òàêèì îáðàçîì, ïðè óñëîâèè d íåðàâåíñòâî (*) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (3.2.2). Ïðè c íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî ! p(0 | I,Y , e)p(0 | Y , Ir , e)T (Ir ) + p(0 | I,Y , E )p(d ≠ 0 | Y , Ir , e)(y − I ) + ! ! + p(d ≠ 0 | I,Y , e)(I − I ) ≥ P(0, I, Ir , e)T (Ir ) + p(d ≠ 0 | I, Ir , e)(I − I ). Ïîñëåäíåå ñëåäóåò èç (3.2.1).  ïðèìåðå 1 Y p(0 | I,Y , e) = I e (äëÿ ìàëûõ e ), â ïðèìåðå 2 ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà Y −e I ïðè e < Y .  ïðèìåðå 3 ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî Y ≥ I . Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ (3.2.1) â îáùåì íå âûïîëíÿåòñÿ. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ 46 Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.3.1. Äëÿ çàäàííîãî êîíòðàêòà cG äëÿ ëþáîãî ñîîáùåíèÿ m îáîçíà÷èì ÷åðåç Inc(m) ìíîæåñòâî äîõîäîâ, òàêèõ, ÷òî m(I, cG ) = m . Äëÿ ëþáîãî Ir , òàêîãî, ÷òî def Ir = Ir (m) = min Inc(m) äëÿ íåêîòîðîãî m , ïóñòü e* (Ir ) = e(m), T * (Ir ) = T (m), F * (Id , Ir ) = F (I, m) . Åñëè Ir ≠ Ir (m) , òî ïóñòü T * (Ir ) = min{T (m) äëÿ m , òàêèõ, ÷òî Ir (m) ≥ Ir }, F * (Id , Ir ) = max F (Id , m) , e* (Ir ) = e[m(IL )] . m Òàêîå îïðåäåëåíèå ñîõðàíÿåò ìîíîòîííîñòü íàëîãîâîé ôóíêöèè: åñëè T [m(I)] íå óáûâàåò ïî I , òî T * (I) íå óáûâàåò ïî I . Êðîìå òîãî, åñëè èñõîäíàÿ øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.3.5), òî ! íîâàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 0 ≤ F * (Id , Ir ) ≤ Id − T * (Ir ) − I äëÿ ëþáûõ âîçìîæíûõ Id , Ir . ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 47 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ ßêîâëåâ, À.À. (2000) ×åðíûé îôôøîð, Ýêñïåðò ¹ 43. Atkinson, A.B. and J. E. Stiglitz (1980) Lectures on public economics (London: McGraw-Hill). Bardhan, P. (1997) Corruption and Development, Journal of Economic Literature XXXV, 1320 – 1346. Border, K. and J. Sobel (1987) Samurai Account: A Theory of Auditing and Plunder, Review of Economic Studies 54, 525 – 540. Chander, P. and L. Wilde (1998) A General Characterization of Optimal Income Tax Enforcement, Review of Economic Studies 65, 165 – 189. Cowell, F. and G. F. Gordon (1995) Auditing with "ghosts," in: G. Fiorentini and S.Peltzman, eds., The Economics of Organized Crime (New York: Cambridge University Press) 184 – 198. Cremer, H., M. Marchand, and P. Pistieau (1990) Evading, Auditing and Taxing: The Equity-Compliance Tradeoff, Journal of Public Economics 43, 67 – 92. Hindriks, J., M. Keen, and A. Muthoo (1999) Corruption, Extortion and Evasion, Journal of Public Economics 74 (3), 395 – 430. Klitgaard (1988) Controlling Corruption (University of California Press, Berkeley, CA). Kofman F. and J. Lawarree (1993) Collusion in Hierarchical Agency, Econometrica 61, 629 – 656. Kofman, F. and J. Lawarree (1996) On the Optimality of Allowing Collusion, Journal of Public Economics 61, 383 – 407. Marhuenda, F., A. A. Vasin, and P. A. Vasina (2000) Tax enforcement for heterogeneous firms, contributed paper to the conference "Transforming Governance in Economies in Transition" (New Economic School, Moscow) Metodika provedeniya analiza hozyaistvennoy deyatel'nosti predpriyatiy and organizatsiy (1997) Preprint (Moscow). Mirrlees, J. (1971) An Exploration in the Theory of Optimal Income Taxation, Review of Economic Studies 328, 175 – 208. Mookherjee, D. and I. P. L. Png (1989) Optimal Auditing, Insurance and Redistribution, Quarterly Journal of Economics 104, 339 – 415. Reinganum, J. F. and L. L. Wilde (1985) Income tax compliance in a principalagent framework, Journal of Public Economics 26, 1 – 18. Sanchez, I. and J. Sobel (1993) Hierarchical design and enforcement of income tax policies, Journal of Public Economics 50, 345 – 69. 48 ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÍÀËÎÃÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Tirole, J. (1992) Collusion and the Theory of Organization, in: J.-J. Laffont, ed., Advances in Economic Theory, Sixth World Congress, vol.2 (Cambridge University Press, Cambridge). Vasin, A. A. and E.I. Panova (1999) Tax Collection and Corruption in Fiscal Bodies, EERC Working Paper No 99/10 (Economics Education and Research Consortium, Moscow).
