Ч а с т
advertisement
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== Часть III. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ Содержание: Лекция 18. Ожидаемая доходность и риск портфеля Лекция 19. Выбор рискованного портфеля Лекция 20. Модели оценки доходности активов Лекция 21. Стратегии в управлении портфелем Лекция 22. Оценка эффективности управления портфелем 1 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== Лекция 18. Ожидаемая доходность и риск портфеля Ключевые понятия Портфель Ожидаемая доходность портфеля Ожидаемый риск портфеля Линейная зависимость Ковариация Вероятная (стохастическая) зависимость Коэффициент корреляции Риск портфеля из двух активов Корреляция доходностей +1 Корреляция доходностей -1 Активы с некоррелируемыми доходностями Теория портфеля Г. Марковица Риск портфеля из нескольких активов Доминирующий портфель tzade Содержание: 18.1. Ожидаемая доходность портфеля ….……………………………………………………..…… 18.2. Ожидаемый риск портфеля …………………………………….……………………………..…. 3 5 Практикум Приложения: управление портфелем; риски …………………………………………………….…… А В предыдущих лекциях (темы №10-14) уже рассматривались вопросы, связанные с оценкой ожидаемой доходности и риска отдельных активов (краткосрочных инструментов, облигаций и акций). Теперь необходимо рассмотреть ожидаемую доходность и ожидаемый риск портфеля активов. Портфель – это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор. В портфель могут входить как инструменты одного вида, например, только акции, так и разные активы: ценные бумаги, деривативы, недвижимость. Цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Она достигается: ● за счет диверсификации портфеля по составу активов; ● за счёт тщательного подбора финансовых инструментов. В статье Гарри Марковица 1952 года «Выбор портфеля» была впервые предложена математи1 ческая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг . Главной заслугой этой работы явилась предложенная теоретико-вероятностная формализация понятия риска и доходности, что позволило выбор оптимальной инвестиционной стратегии сформулировать как оптимиза2 ционную задачу . В 1963 году ученик Марковица Уильям Шарп предложил так называемую однофакторную модель или модель с одним индексом (the single-index model) рынка капиталов, в которой впоследствии появились ставшие знаменитыми коэффициенты «Альфа» и «Бета» как характеристики акций. На основе этой модели Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, что позволило применять методы портфельной оптимизации на практике. Сегодня модель Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестиционного капитала по различным типам активов: акциям, облигациям, недвижимости и т.д. Модель Шарпа используется на втором этапе, когда 1 2 Markowitz H.M. Portfolio Selection //Journal of Finance. 1952. 7(1). March. P. 77-91. См.: Ширяев В.И. С. 6-9. 2 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== капитал, инвестируемый в определённый сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (т.е. по конкретным акциям, облигациям и т.п.). Гарри Марковиц (р.1922) Уильям Шарп (р.1934) Джеймс Тобин (1918-2002) Мертон Миллер (1923-2000) Влияние «портфельной теории» Марковица значительно усилилось после появления в конце 1950-х годов работ Джеймса Тобина. Следует отметить некоторые различия между подходами Марковица и Тобина. Подход Марковица базируется на микроэкономическом анализе, так как акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбираемых активов. К тому же первоначально модель Марковица касалась в основном портфеля акций. Тобин предложил включить в анализ безрисковые активы, например, облигации. Его подход является по существу, макроэкономическим, поскольку основным объектом изучения является распределение совокупного капитала в экономике в виде денег и ценных бумаг. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковица. Ф. Модильяни (1918-2003) Майрон Шоулз (р. 1941) Фишер Блэк (1938-1995) Марк Э. Рубинштейн С 1964 года появляются работы, открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или CAPM (Capital Asset Price Model). Основным результатом САРМ явилось установление соотношения между доходностью и риском актива на равновесном рынке. При этом важным является тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестора инвестор должен учитывать не весь риск, связанный с активом (риск по Марковицу), а только часть его, называемую систематическим риском. Эта часть риска тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представляется коэффициентом Бета, ведённым Шарпом. Остальная часть – несистематический риск – устраняется выбором соответствующего оптимального портфеля. Характер связи между доходностью и риском имеет вид линейной зависимости, и тем самым обычное практическое правило «большая доходность – больший риск» получает точное аналитическое представление. В целом к 1980-м годам инвестиционная теория, синтезирующую портфельную теорию Марковица-Тобина и САРМ, получает широкое применение. Развитие указанных теорий шло параллельно с развитием других разделов финансовой науки. В 1950-1960-х-х годах появились работы Франко Модильяни и Мертона Миллера по финансам корпораций и финансовому менеджменту. Анализ структуры капитала фирмы, проблемы пла- 3 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== нирования капитальных расходов, оценка стоимости фирмы – основные темы этих работ, которые стали ныне классическими. В 1973 г. Марк Рубинштейн попытался пересмотреть традиционную теорию финансов корпораций с учетом идей портфельного анализа. В 1973 году Майроном Шоулзом и Фишером Блеком была предложена модель опционов, получившая наименование модели Блека-Шоулза. Портфельная теория Марковица-Тобина-Шарпа использовала элементарные теоретиковероятностные и оптимизационные методы. Современные же теории потребовали весьма тонких и сложных модельных инструментов. 18.1. Ожидаемая доходность портфеля Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него бумаг, то есть: E (rp ) E (r1 )1 E (r2 ) 2 ... E (rn ) n , (18.1) где E (rp ) - ожидаемая доходность (ex ante return) портфеля за определенный период1; E (r1 ); E (r2 ); E (rn ) - ожидаемая доходность соответственно первой, второй и n-й бумаги; она рассчитывается как средняя арифметическая доходности бумаги за предыдущие периоды времени; 1 ; 2 ; n удельный вес в портфеле первой, второй и n-й бумаги. Компактно формула (18.1) записывается следующим образом: n E (rp ) E (ri ) i . (18.1а) i 1 Удельный вес актива в портфеле определяется как отношение её стоимости к стоимости всего портфеля: P i i , PP где θi – удельный вес i-го актива; Pi – стоимость i-го актива; PP – стоимость портфеля. При этом сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов равна единице. Пример 18.1. Инвестор желает приобрести акции компании «Альфа», распределение вероятностей доходности которых (за определенный период) приведено в таблице 18.1. Таблица 18.1. Распределение вероятностей доходности акций компании «Альфа» n (исторические примеры значений доходности акции в прошлом) 1 2 3 4 5 Полная Доходность (в %) 15 10 5 0 -5 Вероятность реализации доходности 0,50 0,30 0,13 0,05 0,02 1,00 Символ Е в теории вероятностей обычно используется для обозначения оператора математического ожидания. Если X – некоторая случайная величина, то Е(Х) обозначает ее математическое ожидание или, как еще говорят, ожидаемое среднее случайной величины. 1 4 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== Определим ожидаемую (среднюю) доходность акций компании «Альфа»: E (rAlfa ) 0,50(15%) 0,30(10%) 0,13(5%) 0,05(0) 0,02(5%) 11%. 18.2. Ожидаемый риск портфеля Слово риск означает «подверженность опасности, убыткам, потерям и т.п.». По отношению к инвестированию это определение претерпело изменения. Принятое в инвестиционном менеджменте уточнение понятие риска было сформулировано Марковицем. Он определил риск при помощи хорошо известной статистической величины – вариации как меры возможных отклонений от ожидаемого (среднего) значения. 1. Использование вариации для измерения риска Вариация, или дисперсия, случайной величины служит мерой разброса её значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая «степень отклонения» возможных конкретных значений от средней или ожидаемой доходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью. Формула для определения вариации доходности i-го актива записывается следующим образом: var(r ) 2 p1 r1 E (r ) p2 r2 E (r ) ... pn rn E (r ) , 2 2 2 (18.2) или var(r) =σ2 = n p r E (r ) . i 1 2 i (18.2a) i Используя распределение вероятностей доходности для акций компании XYZ, можно вычислить вариацию доходности rXYZ: var(rXYZ ) 2 0,50(15% 11%) 2 0,30(10% 11%) 2 0,13(5% 11%) 2 0,05(0% 11%) 2 0,02(5% 11%) 2 24%. Таким образом, вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям. Стандартное отклонение. Поскольку вариация имеет размерность квадрата измеряемой величины, ее принято преобразовывать в стандартное отклонение, т.е. извлекать квадратный корень. Тогда риск (σ) получает ту же размерность, что и доходность: (r ) var(r ) Тогда для акции компании XYZ стандартное отклонение равно: (rXYZ ) 24 4,9%. Риск тем больше, чем больше вариация (var) или стандартное отклонение (σ). 5 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== Критика вариации как меры риска. Существует два довода против использования ва- риации в качестве меры риска. Первый довод – вариация учитывает отклонение в обе стороны по отношению к среднему значению. Действительно, реализованная доходность может быть как выше, так и ниже среднего значения, при этом первый случай также вносит вклад в величину вариации и, следовательно, риска. Инвестор же не расценивает превышение реальной доходности над ожидаемой как неприятный результат. Напротив, он приветствует такой исход дела. Поэтому многие исследователи считают, что при измерении риска не должны рассматриваться случаи, когда возможная доходность выше ожидаемой. Марковиц понимал этот недостаток вариации и предлагал меру риска, которая учитывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению. Эту меру называют полувариацией (semi-variance). Полувариация рассчитывается как обычная вариация, кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. Однако сложности вычисления, связанные с использованием полувариации, привели к тому, что в своих работах Марковиц был вынужден ограничиться обычной вариацией. Второй довод, относящийся к недостаткам вариации, как меры риска, состоит в том, что она нечувствительна к асимметричности распределения отклонений от среднего значения. В случае несимметричных распределений приходится пользоваться другими характеристиками типа коэффициента асимметрии и т.п. Марковиц не рассматривал подобные характеристики в своей теории. Использование вариации можно оправдать, основываясь на эмпирических исследованиях, подтверждающих относительную симметричность статистических распределений доходностей акции. Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рассматривает только ожидаемую доходность и вариацию, теория портфеля в формулировке Марковица получила название двухпараметрической модели (two-parameter model). 2. Теснота связи между доходностями активов В отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений доходностей активов, так как разные активы могут реагировать неоднозначно на изменение рыночной конъюнктуры. В связи с этим стандартные отклонения доходности различных активов могут взаимно погашаться, что соответственно снижает портфельный риск. Портфельный риск зависит от направлений изменения доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка, и от интенсивностей этих изменений. В связи с этим портфельному инвестору важно знать, как будет изменяться доходность одного актива при изменении доходности другого актива. Между доходностями активов может существовать функциональная зависимость. Самый простой случай – линейная зависимость: rY a brX , (18.3) где rY – доходность бумаги Y; rX – доходность бумаги Х; а и b – константы. В случае линейной зависимости одному значению доходности актива Х соответствует одно определённое значение доходности актива Y. Равенство 18.3 представляет положительную зависимость между X и Y, о чём свидетельствует знак «плюс» перед величиной b (см.: рис. 18.1). На рис. 18.1 изображено, что при росте доходности бумаги Х доходность бумаги Y также возрастает, а при падении – соответственно снижается. Величина а представляет 6 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== собой расстояние, на котором линия зависимости пересекает ось ординат, а величина b демонстрирует угол наклона линии зависимости к оси абсцисс и равна тангенсу этого угла. Доходность Y a Доходность Y Y=a - bX Y=a+bX a Доходность Х Доходность Х Рис. 18.1. Положительная линейная зависимость Рис. 18.2. Отрицательная линейная зависимость Зависимости может быть и отрицательной величиной, как это изображено на рис. 18.2 : rY a brX , (18.4) Вместе с тем зависимость между доходностями активов обычно бывает не функциональной: одному значению доходности одной бумаги могут соответствовать разные значения другой бумаги. Такую зависимость называют вероятностной или стохастической. В таком случае при изменении доходности одной бумаги можно судить лишь о том, с какой вероятностью какие значения может принять доходность другой бумаги. Ковариация и корреляция. При формировании портфеля степень взаимосвязи между доходностями двух ценных бумаг можно определить с помощью таких показателей как ковариация и коэффициент корреляции. Ковариация демонстрирует степень зависимости двух случайных величин. Ковариация может принимать положительные, отрицательные значения и равняться нулю. При положительной ковариации доходностей двух активов с ростом доходности одного актива доходность другого также будет возрастать. При падении доходности первого актива доходность второго будет снижаться. Например, мы можем утверждать, что, как правило, высокие люди весят больше, чем люди маленького роста, то есть рост и вес имеют позитивную ковариацию. При отрицательной ковариации переменные имеют тенденцию изменяться в противоположных направлениях. При этом рост доходности первого актива будет сопровождаться снижением доходности второго актива, и наоборот. Чем больше величина ковариации, тем сильнее зависимость между переменными. Например, если рыночные процентные ставки неожиданно возрастают, индекс фондового рынке имеет тенденцию к понижению. При нулевой ковариации никакой зависимости между переменными не существует. Например, при подкидывании двух монет результат подбрасывания одной монеты никак не влияет на результат подбрасывания другой монеты. Следовательно, эти два результата независимы друг от друга. Допустим, имеются статистические данные по доходности активов Х и Y за n лет. Доходность актива Х за первый год равна rX1, второй – rX2, n-й – rXn. Соответственно доходность актива Y за первый год составила rY1, второй – rY2, n-й – rYn. Ковариация доходностей активов X и Y определяется по формуле 7 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== (r Xi cov xy rX )(rYi rY ) (18.5) . n где covXY – ковариация доходности активов Х и Y. Пример 18.2. Портфель состоит из двух активов: Х и Y. ● Доходность актива Х за пять лет составляла соответственно: 18%, 26%, 21%, 24%, 23%. ● Доходность актива Y: 19%, 27%, 20%, 25%, 28%. Определить ковариацию доходностей активов. РЕШЕНИЕ. Определяем среднюю доходность активов: rX 18 26 21 24 23 22,4%, 5 rY 19 27 20 25 28 23,8%. 5 В соответствии с формулой 18.5 определяем ковариацию доходностей активов: covxy = [(18 – 22,4)(19 – 23,8) + (26 – 22,4)(27 – 23,8) + (21 – 22,4)(20 – 23,8) + + (24 – 22,4) (25 – 23,8) + (23 – 22,4)(28 – 23,8)]/5= 8,48 При определении ковариации производится выборка из совокупностей доходности активов, так как невозможно учесть все их значения. Поэтому на основании формулы 18.5 получают выборочную ковариацию. Как и при расчете дисперсии, оценка ковариации имеет отрицательное смещение, так как отклонения считаются не от истинного среднего значения переменных, а от выборочных средних. Выборочные средние находятся в центре выборки и поэтому отклонения от них в среднем меньше, чем от действительных средних значений переменных. Оценка ковариации будет несмещенной, если в делителе формулы 18.5 величину n заменить на величину (n – 1). (r xi cov xy r x )(ryi r y ) n 1 . (18.6) В нашем примере несмещенная оценка ковариации составляет: cov xy 42,4 10,60. 4 Впрочем, для больших выборок эта корректировка не имеет существенного значения. Два основных недостатка ковариации, которые делают неудобным её использование для получения сопоставительной тесноты взаимосвязи между переменными. Во-первых, значение ковариации зависит от единиц их измерения случайных величин. Если в примере 18.2 измерить доходности не в процентах, а в десятичных значениях, то значение ковариации равнялось бы не 8,48, а 0,00848. Во-вторых, как следует из формул 18.5 и 18.6, ковариация характеризует не только зависимость переменных, но и их рассеяние вокруг средних значений. Поэтому, например, если одна из переменных мало отклоняется от своего среднего значения, то величина ковариации будет небольшой, какой бы тесной не была зависимость переменных 8 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== от X и Y. Эти две проблемы делают сравнение различного рода ковариаций затруднительным. Для преодоления недостатков ковариации используют корреляцию: статистическую меру, весьма близкую к ковариации. Связь между ковариацией и корреляцией. Итак, проблема сравнения связи между различными парами случайных переменных может быть решена через оригинальный способ распределения ковариации между двумя случайными переменными посредством результата их стандартного отклонения. В результате подобной операции над ковариацией, итоговый результат всегда будет находиться между – 1 и +1. Это число называется коэффициентом корреляции (correlation coefficient) между двумя случайными переменными, и определяется по следующей формуле: corrxy cov xy x y (18.7) , где corrxy – коэффициент корреляции переменных X и Y; σx – стандартное отклонение переменной Х; σy – стандартное отклонение переменной Y. Существенного различия между терминами «корреляция» и «ковариация» не существует. Деление ковариации на результат стандартного отклонения лишь нормирует ковариацию, превращая её в безразмерный показатель – коэффициент. Y Y X X Рис. 18.3. Положительная корреляция, меньше +1 Рис. 18.4. Отрицательная корреляция, больше -1 Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости переменных и является величиной безразмерной. Тенденция к линейной зависимости двух переменных может иметь более или менее выраженный характер. В связи с этим значения коэффициента корреляции изменяются в диапазоне от минус единицы (-1), до плюс единицы (+1). При этом значение, равное +1, отражает полное совпадение направления движения, а – 1 означает полное несовпадение. В случае, когда коэффициент равен +1, между доходностями двух активов существует положительная линейная функциональная зависимость, соответствующая формуле (18.3), как это изображено на рис. 18.1. Здесь одному значению доходности актива Х соответствует определённое значение доходности актива Y. Таким образом, все возможные значения доходностей активов Х и Y располагаются на прямой линии с положительным наклоном: доходности изменяются в одном направлении (либо растут, либо падают). Если коэффициент корреляции положительный, но меньше +1, зависимость между доходностями двух активов менее тесная. На рис. 18.3 изображена положительная корреляция доходностей активов Х и Y, меньшая +1. Значения доходностей активов изображены здесь в виде рассеянных точек. Несмотря на отсутствие строгой зависимости 9 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== между переменными, видно, что большему значению Х соответствует большее значение Y. Поскольку корреляция меньше чем + 1, то в отдельных случаях при росте доходности бумаги Х доходность Y может как падать, так и расти. То есть, положительная корреляция означает, что при возрастании одной переменной другая имеет тенденцию возрастать. Если коэффициент корреляции равен -1, между доходностями активов существует отрицательная линейная функциональная зависимость, соответствующая формуле 18.4, как это изображено на рис. 18.2: при росте доходности актива Х доходность актива Y падает, и наоборот. Y Y X Рис. 18.5. Нулевая корреляция X время Рис. 18.6. Корреляция доходностей +1 Случай отрицательной корреляции, но меньше (по абсолютной величине) чем - 1, изображён на рис. 18.4.Здесь в целом между переменными наблюдается закономерность: большему значению Х соответствует меньшее значение Y, и, наоборот. Однако зависимость не строгая. Поэтому при отрицательной корреляции в случае возрастания доходности одного актива доходность другого имеет тенденцию в среднем убывать. При коэффициенте корреляции равном нулю никакой зависимости между переменными не существует. Данная ситуация изображена на рис. 18.5. Обратимся к примеру 18.2 и рассчитаем для активов Х и Y коэффициент корреляции. Ковариация равнялась 10,6. Поэтому стандартные отклонения доходностей активов Х и Y равны соответственно:: x (18 22,4) 2 (26 22,4) 2 (21 22,4) 2 (24 22,4) 2 (23 22,4) 2 9,55%, 4 y (19 23,8) 2 (27 23,8) 2 (20 23,8) 2 (25 23,8) 2 (28 23,8) 2 16,70%. 4 Коэффициент корреляции равен: corrxy 10,60 0,0665. 9,55 16,70 3. Риск портфеля из двух активов Риск портфеля подобно любому активу рассчитывается через дисперсию и стандартные отклонения. Если у нас уже есть ожидаемый доход и расхождение каждого портфеля активов Х и Y, также как и ковариация между ними и весом каждой акции в портфеле, тогда уравнение 18.2а может быть трансформировано в следующее выражение риска портфеля (вариации или дисперсии, σ2P): 10 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== 2 p 2 X 2 X 2 Y 2 Y 2 X Y cov XY , (18.8) По формуле 18.8 получаем риск портфеля, измеренный дисперсией. Так как corrXY cov XY XY , формулу 18.8 можно переписать и так: 2 p 2 X 2 X 2 Y 2 Y 2 X Y corrXY . (18.9) Риск портфеля, измеренный стандартным отклонением доходности (σР), равен: P 2P . Пример 18.3. Чему равен риск портфеля с активами Х и Y, если θХ = 0,4; θY = 0,6; σx = 15%; σY = 25%; covXY = 0,55. Решение. Дисперсия портфеля равна: 2 p 0,4 2 152 0,6 2 252 2 0,4 0,6 0,55 624,32. Риск портфеля составляет: p 624,32 16,26%. Риск портфеля двух активов с корреляцией доходностей +1. При данной корреляции переменные линейно функционально зависимы, что уже было изображено на рис. 18.1. При corrXY = 1 формула 18.9 преобразуется в: 2 p 2 X 2 X 2 Y 2 Y 2 X Y corrXY ( X X Y Y ) 2 (18.10) при этом p X X Y Y . (18.10а) Объединение таких активов в один портфель не снижает риск, так как при изменении конъюнктуры доходности активов будут изменяться в прямой зависимости в одном и том же направлении (рис. 18.6). В этом случае диверсификация не сокращает риска, а лишь усредняет его. В данном случае риск можно уменьшить лишь сокращая доходность. E(r) Доходность Y Y X Х σ Рис. 18.7. Варианты портфелей из двух активов с корреляцией доходностей время Рис. 18.8. Корреляция доходностей -1 Сочетая в портфеле активы Х и Y в различных пропорциях, инвестор может с точки зрения риска и доходности сформировать любой портфель, лежащий на прямой XY (рис. 11 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== 18.7), где по оси ординат откладывается ожидаемая доходность, а по оси абсцисс – риск в виде стандартного отклонения доходности. Риск портфеля двух активов с корреляцией доходностей -1: здесь переменные находятся в отрицательной линейной функциональной зависимости (рис. 18.2). Здесь формула 18.9 превращается в формулу квадрата разности: и 2 p 2 X 2 X 2 Y 2 Y 2 X Y corrXY ( X X Y Y ) 2 (18.11) p | X X Y Y | . (18.11а) В данной формуле 18.11а правая часть взята по модулю: стандартное отклонение – величина положительная. E(r) Y Z X σ Рис. 18.9. Варианты портфелей, состоящих из двух активов с корреляцией доходностей -1 Портфель активов с корреляцией доходностей -1 сокращает портфельный риск по сравнению с риском каждого отдельного актива, поскольку (см.: рис. 18.8) разнонаправленные движения доходностей активов Х и Y взаимно поглощаются. При этом ожидаемая доходность портфеля останется неизменной, и зависит от ожидаемой доходности каждого актива и его удельного веса в портфеле. Комбинируя активы Х и Y с разными удельными весами, можно, с точки зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который будет находиться на прямых ZX и ZY (см.: рис. 18.9). При этом точке Z портфель инвестора не имеет риска. Чтобы сформировать такой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса Х и Y. Для этого приравняем уравнение 18.11а к нулю и найдём θX и θY: p X X Y Y 0. Так как то X 1 Y , (1 Y ) X Y Y 0. Поэтому: Y X X Y и 12 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== X 1 X X Y Y X Y . Пример 18.4. Корреляция доходностей активов равна -1. Из них сформирована портфель без риска на сумму 500 тыс. руб. Риск актива Х равен 25%, Y = 35%. Сколько средств следует вложить в каждый актив. Решение. Определим долю активов в портфеле: Y 25 0,417, 25 35 X 1 0,417 0,583. Актив Y должен стоить: 500 тыс. · 0,417 = 208,5 тыс. руб., актив Х должен стоить: 500 тыс. · 0,583 = 291,5 тыс. руб. Риск портфеля двух активов с некоррелируемыми доходностями. В случае отсутствия корреляции между доходностями активов формула 18.9 принимает вид: 2 2 X 2 X 2Y 2Y . (18.12) Отсюда очевидно, что портфель активов с некоррелируемыми доходностями способен снизить риск. Пример 18.5. Чему равен риск портфеля из активов Х и Y, если θХ = 0,4; θY = 0,6; σx = 15%; σY = 30%; коэффициент корреляции доходностей бумаг равен нулю. Решение. Дисперсия портфеля составляет: 2 P 0,4 2 152 0,6 2 30 2 360. Риск портфеля, представленный квадратным отклонением, равен: P 360 18,97%. Как известно, можно получит портфель с минимальным риском при отсутствии корреляции доходностей двух активов. Для этого следует продифференцировать уравнение 18.12 по θХ и приравнять его к нулю при том, что Y 1 X : d P 2 X 2 X (1 X ) 2 2 Y d X то есть d P 2 X 2 X 2 Y 2 X 2 Y 2 X 2 Y , d X или d P 2 X 2 X 2 2 Y 2 X 2 Y 0. d X Тогда: 13 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== X 2 X 2 Y 2 Y или X 2Y 2 X 2Y и Y 1 2X 2 X 2Y Итак, мы рассмотрели риск портфеля из двух активов для случаев корреляции доходностей активов: +1, -1 и 0. Мы уяснили, что риск портфеля уменьшается, при уменьшении корреляция доходностей входящих в него активов. Это должен иметь в виду инвестор, составляя портфель с активами с наименьшей корреляцией. В этом случае он может снизить ожидаемый риск портфеля, не ожидая его ожидаемой доходности. Поясним это на примере. Выводы для портфеля из двух активов. ● если портфель состоит из активов с корреляцией +1, то возможно лишь усреднить, но не уменьшить совокупный риск; ● если портфель состоит из активов с корреляцией меньше +1, его риск уменьшается по мере уменьшения корреляции доходностей активов, при этом сохраняется неизменный уровня ожидаемой доходности портфеля; ● если портфель состоит из активов с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска; ● при формировании портфеля следует подбирать активы с минимально возможной корреляцией. Вместе с тем следует иметь в виду, что данные выводы имеют значения только в условиях более или менее нормальной экономической конъюнктуры . При возникновении мощных финансовых потрясений большинство активов начинают вести себя так, как- будто они имеют корреляцию близкую к +1. В условиях кризиса инвесторы начинают искать (часто безуспешно) активы, ценность которых не снижалась бы и во время экономического коллапса: золото, другие благородные металлы, произведения искусства, дорогие вина и т. п.1 4. Риск портфеля из нескольких активов. Теперь выясним, как определяется риск портфеля, состоящего из нескольких активов. Он рассчитывается по формуле: n n 2 P i j cov ij , (18.13) i 1 j 1 где σ2Р – риск портфеля; θi – удельный вес i-го актива в портфеле; θj – удельный вес j-го актива в портфеле; covij – ковариация доходностей i-го и j-го активов. С конкретными проявлениями подобных событий можно ознакомиться в приложениях данного курса («Теория ценных бумаг») к лекции № 18, в приложениях к лекции №6 («6-Б»), а также (о золоте и других благородных металлах) в приложении к лекции №1 («1-А») нашего курса 1 «Деньги. Кредит. Банки». 14 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== Знак двойной суммы n n означает, что, раскрывая формулу 18.13, сначала следу- i 1 j 1 ет взять значение i=1 и умножить на него все значения j от 1 до n. Затем повторить данную операцию, но уже для i=2, и т.д. В итоге получим n2 слагаемых: n n 2 P i j cov ij , (18.13а) i 1 j 1 2 12 cov11 21 2 cov12 21 3 cov13 … + 21 n cov1n 1 актив 22 cov 222 2 2 3 cov 23 … + 2 2 n cov 2 n … + 2 3 n cov 3n для 2 активов 2 32 cov 33 для 3 активов … n2 cov 2nn для n активов Как уже упоминалось, для портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходностей +1, риск представляет собой совершенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого случая не наблюдается уменьшение риска, а происходит лишь его усреднение. Это правило верно и для портфеля с тремя и более активами. Если портфель состоит из активов с корреляцией равной нулю, его риск рассчитывается по формуле: n 2 P 2 i 2 i (18.14) i 1 и P n 2 i 2i . (18.15) i 1 В случае, если активы имеют одинаковую дисперсию и удельный вес, формулы 18.14 и 18.15 принимают соответственно следующий вид: 2P и P 2 (18.16) n2 n (18.17) . То есть риск портфеля убывает по мере увеличения количества входящих в него активов. Формулу 18.13 можно представить так: 15 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== n n 2 P 2 i 2 i i 1 n 2 i i 1 j 1,i j 2 j cov ij . (18.18) Если портфель состоит из активов с равными удельными весами, формула 18.19 будет иметь вид: 2 n n 11 1 P 2i cov ij , i 1 n i 1 j 1,i j n n 1 где - удельный вес бумаги в портфеле. n n 2 (18.19) При увеличении количества активов в портфеле значение первого слагаемого в формуле 18.19 уменьшается, а при большом значении n оно приближается к нулю. Поэтому для большого значения n формулу 18.19 можно записать следующим образом: n 2P i 1 n 11 cov ij . j 1,i j n n (18.20) Умножим и разделим правую часть формулы 18.20 на (n-1): n 2P i 1 n 1 cov ij n n(n 1) j 1,i j n или 2P cov ij n 1 n n . n i 1 j 1,i j n(n 1) (18.21) В формуле (18.21) для большого значения n выражение ражение n n n 1 стремится к единице, а выn cov ij – к средней ковариации доходностей активов, входящих в портn(n 1) фель, так как в числителе данного выражения стоит сумма ковариаций, а в знаменателе – их число. То есть при включении в портфель большого количества активов и при условии, что их удельные веса приблизительно одинаковы, риск портфеля по своей величине будет близок к значению средней ковариации доходностей входящих в него активов. i 1 j 1,i j Доминирующий портфель. В лекции 14 (параграф 2) мы рассматривали принцип доминирования при выборе активов. Это полностью применимо и при выборе оптимального портфеля. Портфель (актив) имеющий более высокий уровень доходности при том же уровне риска или более низкий риск при той же ожидаемой доходности, чем остальные портфели (активы), называется доминирующим. Другими словами, на рис. 14.2 шесть активов (М, В, С, А , Е, Т) можно рассматривать и как шесть портфелей, и рассуждать аналогично. Рациональный инвестор неизменно сделает выбор в пользу доминирующего портфеля, поскольку доминирующий портфель – это наилучший выбор с точки зрения доходности и риска для всех возможных альтернативных вариантов. 16 Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com Последнее обновление 22.02.2012 г. =================================================================================================== Литература Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф., Петров В.С. Инвестиционное дело. М. 2010. Боди З., Кейн А., Маркус А.Дж. Принципы инвестиций. М., СПб. 2002. Бригхэм Ю., Эрхардт М.С. Финансовый менеджмент. СПб. 2007. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. 3е изд. М. 2009. 5. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг. – М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2005, - 454 с. 6. Винс Р. Математика управления капиталом: методы анализа и риска для трейдеров и портфельных менеджеров. 3-е изд. Пер. с англ. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2008. – 400 с. 7. Гитман Л.Дж., Джонк М.Дж. Основы инвестирования. М. 1999. 8. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. – М.: Филинъ, 1998. – 146 с. 9. Кравченко П.П. Курс лекций для портфельного инвестора. – М.: Дело и Сервис, 2010. – 304 с. 10. Криничанский К.В. Рынок ценных бумаг. 2-е изд. – М.: Дело и Сервис, 2010. – 608 с. . 11. Никонова И.А. Ценные бумаги для бизнеса. М. 2006. 12. Тьюлз Р.Д. и др. Фондовый рынок. М. 2000. 13. Фабоцци Ф. Дж. Управление инвестициями. М. 2000. 14. Хейл Т. Разумное инвестирование. Пер. с англ. – М.: Волтерс Клувер, 2009. – 448 с. 15. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. – М.: ГУ ВШЭ, 1999. – 144 с. 16. Ширяев В.И. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками. 2-е изд. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 216 с. 1. 2. 3. 4. 17
