Выбор налоговой ставки в конкурентной среде

Ãàëåãîâ À.È., Ãàðíàåâ À.Þ.
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Âûáîð íàëîãîâîé ñòàâêè â êîíêóðåíòíîé ñðåäå
Ââåäåíèå.  äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå çàäà÷è âûáîðà îïòèìàëüíîé íàëîãîâîé ñòàâêè â óñëîâèÿõ êîíêóðåíòíîé áîðüáû.
Ñíà÷àëà áóäåò ðàññìîòðåíà çàäà÷à î êîíêóðåíòíîé áîðüáå â ðàìêàõ
ìîäåëè Êóðíî, à çàòåì çàäà÷à îá èíâåñòèöèè â ðåêëàìó.  êàæäîé
çàäà÷å ôèðìû ñòîÿò ïåðåä âûáîðîì íàëîãîâîé ñèñòåìû: íàëîãîîáëîæåíèå ñ îáùåé âûðó÷êè (T) (êîãäà íàëîã ïëàòèòñÿ ñ îáùåé âûðó÷êè)
èëè íàëîãîîáëîæåíèå ñ ÷èñòîé ïðèáûëè (P) (êîãäà íàëîã ïëàòèòñÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè), ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íàëîãîâûìè ñòàâêàìè.
 ïåðâîé çàäà÷å ìû ðàññìîòðèì ïðîáëåìó îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî âûïóñêà ïðîèçâîäñòâà è íàëîãîâîé ñòàâêè. Âî âòîðîé çàäà÷å
áóäåò ðàññìîòðåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà íà ðûíêå ïðèñóòñòâóþò äâå ôèðìû ,è ïåðåä êàæäîé ôèðìîé ñòîèò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ îáúåìà èíâåñòèðîâàíèÿ â ðåêëàìó è äàëåå îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîé ñòàâêè
íàëîãîîáëîæåíèÿ. ×àñòíûé ñëó÷àé ïåðâîé çàäà÷è äëÿ êîíêðåòíûõ
çíà÷åíèé íàëîãîâûõ ñòàâîê áûë ðàññìîòðåí â [1]. Îáå çàäà÷è áóäóò
ðàññìîòðåíû â ðàìêàõ äâóõøàãîâîé ìîäåëè: íà ïåðâîì øàãå ôèðìû
îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíûé îáúåì èíâåñòèöèè (âûïóñêà), à íà âòîðîì
íàëîãîâóþ ñòàâêó. Äëÿ êàæäîé çàäà÷è ìû ïîêàæåì êðèòåðèé âûáîðà
íàëîãîâîé ñòàâêè.
Çàäà÷à 1 : Îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîãî âûïóñêà.  äàííîì
ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâóõøàãîâîé ñöåíàðèé äóîïîëèè ñ âûáîðîì
íàëîãîâîé ñòàâêè. Íà ïåðâîì øàãå ôèðìû ïëàíèðóþò âûïóñê â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî, à íà âòîðîì øàãå îíè âûáèðàþò êàêóþ íàëîãîâóþ
ñòàâêó. Ïóñòü qi áóäåò êîëè÷åñòâîì ïðîäóêòà, ïðîèçâåäåííîãî ôèðìîé i è p áóäåò öåíîé ïðîäóêòà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò îáùåãî êîëè÷åñòâî òîâàðà íà ðûíêå: p = A−q , ãäå q = q1 +q2 . A åñòü ìàêñèìàëüíàÿ
öåíà, âîçìîæíàÿ íà ðûíêå. Êðîìå òîãî, ïóñòü ñòîèìîñòü ïðîèçâîäñòâà îäíîé åäèíèöû ïðîäóêöèè åñòü c äëÿ îáåèõ ôèðì è ïóñòü A > c.
Èãðà äâóõøàãîâàÿ. Íà ïåðâîì øàãå èãðû ôèðìû îïðåäåëÿþò ïëàí
ïðîèçâîäñòâà ïðè ôèêñèðîâàííûõ íàëîãîâûõ ñòàâêàõ, à íà âòîðîì
âûáèðàþò íàëîãîâûå ñòàâêè. Ïîýòîìó, íà âòîðîì øàãå ïîëó÷àåì
ñëåäóþùóþ áèìàòðè÷íóþ èãðó:
P
T
P
PP
PP
(π1∗
, π2∗
)
TP
TP
(π1∗ , π2∗
)
T
PT
PT
(π1∗
, π2∗
),
TT
TT
(π1∗ , π2∗
)
(1)
ãäå πist , s, t ∈ {T, P } îïòèìàëüíàÿ ïðèáûëü ôèðìû i îïðåäåëÿåìàÿ
ñ ïîìîùüþ ìîäåëè Êóðíî, ïðè âûáîðå ïåðâîé ôèðìîé ñòðàòåãèè s,
à âòîðîé t. Èç ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé Êóðíî èìååì,
βP (A − c)2 P P
, π2∗
9
(βT A − c)2 T T
TT
π1∗
=
, π2∗
9βT
βP (βT A + c − 2βT c)2 P T
PT
π1∗
=
, π2∗
9βT
(βT A + βT c − 2c)2 T P
TP
π1∗
=
, π2∗
9βT
PP
π1∗
=
βP (A − c)2
,
9
(βT A − c)2
=
,
9βT
(βT A + βT c − 2c)2
=
,
9βT
βP (βT A + c − 2βT c)2
=
.
9βT
=
(2)
Ïðè÷åì βP = 1 − TP è TP ñòàâêà íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè, βT = 1 − TT è TT - ñòàâêà íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ îáùåãî äîõîäà. Ò.ê.
ñóììà íàëîãîîáëîæåíèÿ â ñëó÷àå íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ îáùåé âûðó÷êè áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè, òî â
ðåàëüíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ TT < TP . Èòàê βT > βP . Ââåäåì
îáîçíà÷åíèÿ:
p
βt (2c − βp c − βt c) − βt βp (2c − 2βt c)
t2 =
,
βt2 − βp βt
p
βt c + βp c − 2βp βt c + 2 βt βp (c − βt c)
t3 =
,
βt2 − βp βt
p
βt c + βp c − 2βp βt c − 2 βt βp (c − βt c)
t4 =
.
βt2 − βp βt
(3)
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî:
√
t3 > t4 , t2 > t4 , t3 > t2 , ïðè βt < (9 + 4 5)βp
 ñëåäóþùåé òåîðåìå ïðèâåäåíî ðåøåíèå áèìàòðè÷íîé èãðû, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò êðèòåðèé âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè:
(à) Åñëè βt <
áóäåò ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó
Òåîðåìà 1.
(b) Åñëè
øó,
√
(9 + 4 5)βp è t2 ≤ A < t3 , òî (P, P )
A > t3 èëè A ≤ t4 , òî (T, T ) áóäåò ðàâíîâåñèåì ïî Íý-
(c) Åñëè
√ t4
√
< A < t2 è βt < (9 + 4 5)βp èëè t4 < A < t3 è
βt > (9 + 4 5)βp , òî (P,T) áóäåò ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.
Çàäà÷à 2 : Èãðà îá èíâåñòèöèè â ðåêëàìó.
Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà ôèðìà èíâåñòèðóåò ñðåäñòâà â ðåêëàìó äëÿ ïîâûøåíèÿ ïðèáûëè, à çàòåì âûáèðàåò íàëîãîâóþ ñòàâêó
îïòèìàëüíûì îáðàçîì.
×èñòàÿ ïðèáûëü äî íàëîãîîáëîæåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Vx
(4)
− cx,
X
ãäå x - îáúåì èíâåñòèöèè, X - îáùèé îáúåì èíâåñòèöèé íà ðûíêå, â íàøåì ñëó÷àå X = x1 + x2 , V - êîýôôèöèåíò ïðèáûëüíîñòè
èíâåñòèöèè, õàðàêòåðèçóþùèé îòäà÷ó îò èíâåñòèöèè, c - èçäåðæêè
èíâåñòèðîâàíèÿ.
Åñëè ôèðìà ïðåäïî÷èòàåò íàëîãîîáëîæåíèå ñ ÷èñòîé ïðèáûëè, òîãäà
åå ôóíêöèåé ïðèáûëè áóäåò πP (q), åñëè ôèðìà âûáåðåò íàëîãîîáëîæåíèå ñ îáùåé âûðó÷êè, òîãäà åå ôóíêöèåé ïðèáûëè áóäåò πT (q),
ãäå
π
e(q) =
Vx
Vx
(5)
− cx), π
eT (x) = βT
− cx,
X
X
ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû βT , βP îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ïåðâîé çàäà÷è.
Êàê è â ïåðâîé çàäà÷è, ðàññìîòðåâ âñåâîçìîæíûå âàðèàíòû âûáîðà íàëîãîâûõ ñòàâîê äëÿ êàæäîé èç ôèðì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ
áèìàòðè÷íóþ èãðó:
π
eP (x) = βP (
P
T
P
PP
PP
(e
π1∗
,π
e2∗
)
TP
TP
(e
π1∗ , π
e2∗
)
T
PT
PT
(e
π1∗
,π
e2∗
),
TT
TT
(e
π1∗ , π
e2∗
)
(6)
ãäå:
βP V
βT V
TT
PP
, π
e1∗
=π
e2∗
=
,
4
4
βP V
βT3 V
PT
=
,
π
e
=
,
2∗
(1 + βT )2
(1 + βT )2
βP V
βT3 V
TP
=
,
π
e
=
.
1∗
(1 + βT )2
(1 + βT )2
PP
PP
π
e1∗
=π
e2∗
=
PT
π
e1∗
TP
π
e2∗
(7)
Ðåøåíèåì áèìàòðè÷íîé èãðû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðàÿ è áóäåò êðèòåðèåì âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè:
Òåîðåìà 2.
(à)
(P, P ) áóäåò ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó, ïðè βp ≥
βT (1 + βT )2 c
,
4
βT (1 + βT )2 c
.
4
Çàêëþ÷åíèå. Íàìè áûëè ðàññìîòðåíû äâå çàäà÷è âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè: çàäà÷à î êîíêóðåíòíîé áîðüáå â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî
è çàäà÷à îá èíâåñòèöèè â ðåêëàìó. Äëÿ êàæäîé çàäà÷è ïîëó÷åíû
îïòèìàëüíûå êðèòåðèè âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè. Â ïåðâîé èãðå ìû
íàøëè, ÷òî òî÷êîé ïåðåêëþ÷åíèÿ äëÿ íàèáîëåå√÷àñòî âñòðå÷àåìîãî
äëÿ íàëîãîâûõ ñòàâîê ñëó÷àÿ (êîãäà βt > (9 + 4 5)βp ), ñî ñòðàòåãèè
(P ,P ) íà ñòðàòåãèþ (T ,T ) ÿâëÿåòñÿ t3 . Äëÿ âòîðîé èãðû òàêàÿ òî÷êà
βT (1 + βT )2 c
ïåðåêëþ÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ
.
4
(b)
(T, T ) áóäåò ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó, ïðè βp <
Ëèòåðàòóðà
1. Galegov A., Garnaev A. A Tax Game in a Cournot Duopoly // Game
Theory and Applications, Vol. XII, Nova Sci. Publ., Hauppauge, NY,
2007.