управление объединенными портфелями инвесторов с

5943
УДК 007, 336.76
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕДИНЕННЫМИ
ПОРТФЕЛЯМИ ИНВЕСТОРОВ
С РАЗЛИЧНЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ
В.Г. Саркисов
Самарский государственный технический университет
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
E-mail: vigen.sarkisov@mail.ru
Ключевые слова: доверительное управление, эффективная граница, индивидуальные
предпочтения, инвестиционный портфель
Аннотация: Предложен новый подход к коллективному доверительному управлению
инвестициями – объединение в пул инвесторов с различными предпочтениями. Определены условия возникновения дополнительной полезности при формировании объединенного портфеля. Показана нецелесообразность разбиения множества инвесторов на
группы в зависимости от индивидуальных предпочтений.
1. Введение
Как в классических [1, 2], так и в современных работах по управлению инвестиционным портфелем решается задача формирования портфеля отдельного инвестора или
группы инвесторов, имеющих одинаковые или близкие предпочтения.
В настоящее время реализуются два основных подхода:
 индивидуальное управление – для каждого инвестора вырабатывается или выбирается индивидуальная стратегия управления портфелем, соответствующая его системе предпочтений;
 коллективное управление – инвесторы со схожими предпочтениями объединяются в
группы (фонды, пулы), для каждой группы выбирается оптимальная стратегия (например, консервативная с низкими риском и доходностью или агрессивная с высокими риском и доходностью).
Индивидуальное управление позволяет более качественно учитывать предпочтения
инвесторов, показывает более высокую эффективность, однако сама услуга управления
требует больших трудозатрат и обходится инвестору дороже. При коллективном
управлении труд управляющего оплачивается совместно всеми инвесторами группы,
что снижает затраты отдельного инвестора, однако, коллективный портфель является
для каждого отдельного инвестора неоптимальным.
В настоящей работе предлагается новый подход к коллективному управлению –
объединение инвесторов с существенно различающимися предпочтениями. Предлагаемый метод позволяет не только улучшить ранее известные возможности коллективного
управления, но и обеспечить для каждого из инвесторов более высокую эффективность,
чем он имел бы при оптимальном индивидуальном управлении.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5944
2. Формулировка задачи оптимального управления
портфелем ценных бумаг
Рассмотрим задачу минимизации уровня риска V портфеля при заданном уровне
доходности. Множество доступных для инвестирования активов обозначим
I={1,2,…,n}. Структуру инвестиционного портфеля будем описывать вектором долей
активов в портфеле x=(x1,x2,…,xn)T, xXRn. Множество допустимых портфелей X –
выпуклый многогранник в пространстве Rn, задаваемый набором ограничений (равенств и неравенств):
 f k  x   0, k  1, K
(1)
,

 g l  x   0, l  1, L
где fi(x) и gi(x) – линейные функции:
n
f k x    k ,0   kT x   k ,0    k ,i xi ,  k   k ,1 , k , 2 ,...,  k ,n T ,
i 1
n
g l  x    l ,0   lT x   l ,0    l ,i xi ,  k   l ,1 ,  l , 2 ,...,  l ,n T .
i 1
Математическое ожидание доходности E портфеля x является линейной комбинацией математических ожиданий доходностей m=(m1,m2,…,mn)T активов, входящих в
портфель:
n
(2)
E ( x)  m T x   mi xi .
i 1
С учетом (1) и (2) задача минимизации риска V портфеля при заданной доходности
E имеет следующий вид:
V  x   min
x

 f k  x   0, i  1, K
(3)
.

 g l  x   0, j  1, L
 T
m x  E
Задача (3) является задачей нелинейного программирования с линейными ограничениями вида равенств и неравенств.
В результате решения (3) при различных значениях E может быть найдена функция
V(E), описывающая портфели x*(E) с минимально возможным риском при данной доходности. Множество таких портфелей образует эффективную границу X* множества
допустимых портфелей X.
3. Объединение портфелей пары инвесторов с различными
предпочтениями
В зависимости от индивидуальных предпочтений по риску и доходности, оптимальным для инвестора является тот или иной портфель на эффективной границе множества портфелей. Обозначим портфель первого инвестора x1*, а второго – x2*. Портфель xsum, полученный путем объединения портфелей инвесторов с существенно различающимися предпочтениями, часто является неоптимальным, что говорит о возможности увеличения математического ожидания доходности E или снижения риска V при
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5945
объединении портфелей. Таким образом, формирование объединенного портфеля
группы инвесторов потенциально создает для каждого из инвесторов лучшее соотношение риска и доходности, чем они имели бы без объединения портфелей.
Рассмотрим условия возникновения такого преимущества.
Теорема 1. Все портфели, полученные путем объединения двух допустимых
портфелей, являются допустимыми (xsumX), то есть удовлетворяют ограничениям
(1).
Доказательство теоремы 1. Пусть структуры объединяемых портфелей описыва-


T


T
ются векторами x1*  x11* , x12* ,..., x1n* и x 2*  x12* , x22* ,..., xn2* . Обозначим, долю портфеля x1* в объединенном портфеле через μ (μ[0,1]), а долю x2* – через 1–μ. Тогда

структура объединенного портфеля описывается вектором x sum  x1sum , x2sum ,..., xnsum
x
sum
 x  1   x ,
1*

T
:
2*


x sum  x11*  1   x12* , x12*  1   x22* ,..., x1n*  1   xn2* .
1*
Учитывая, что портфели x и x допустимы, покажем, что портфель xsum также является допустимым.
 
2*
n
n
i 1
i 1


f k x sum   k ,0    k ,i xisum   k ,0   1       k ,i xi1*  1   xi2* 
 
n
n




    k ,0    k ,i xi1*   1     k ,0    k ,i xi2*     f k x1* 
i 1
i 1




 
 1     f k x 2*    0  1     0  0


n
n
i 1
i 1


g l x sum   l ,0    l ,i xisum   l ,0   1       l ,i xi1*  1   xi2* 
 
 
n
n




    l ,0    l ,i xi1*   1     l ,0    l ,i xi2*     g l x1*  1     g l x 2*  0
i 1
i 1




sum
Таким образом, портфель x удовлетворяет ограничениям (1).
Теорема 1 доказана.
Если xsumX*, то он является оптимальным и возможности для повышения доходности E или снижения риска V не возникают. Если же xsumX*, то очевидно, что существует такой портфель x*X*, что E(x*)E(xsum) и V(x*)V(xsum). Замена xsum на x* позволяет каждому из инвесторов получить более высокую доходность и низкий риск, чем
при управлении каждым из портфелей в отдельности.
Следовательно, условием существования возможности получения дополнительной
полезности является непопадание объединенного портфеля на эффективную границу.
Теорема 2. Для того чтобы объединенный портфель пары инвесторов
sum
x
 x1*  1   x 2* являлся неоптимальным в смысле (3), необходимо чтобы хотя
бы одна из зависимостей xi*(E) была нелинейна на отрезке между x1* и x2*.
Доказательство теоремы 2. Очевидно, что объединенный портфель xsum является
оптимальным только в том случае, когда он принадлежит эффективной границе X*
множества допустимых портфелей X. Портфели x1* и x2* являются оптимальными
(x1*,x2*X*). На рис. 1 представлен отрезок эффективной границы между x1* и x2* и объединенный портфель xsum.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5946
Рис. 1. Отрезок эффективной границы между x1* и x2*.
Зависимость долей портфеля xsum от μ является линейной:
xisum  xi1*  1   xi2* , i  1, n .
(4)
Подставим (4) в (2) и выразим μ:
 


 E x   1   E x   E x    E x   E x  ,
E x   E x 

.
E x   E x 
n
n
n
n
i 1
i 1
E x sum   mi xisum   mi xi1*  1   xi2*    mi xi1*  1    mi xi2* 
i 1
i 1
1*
2*
sum
(5)
2*
1*
2*
2*
1*
2*
Подставим (5) в (4) и сгруппируем получившееся выражение относительно E(xsum):
E x sum  E x 2* 1*  E x sum  E x 2*  2*
E x sum
sum


(6)
xi 
xi  1 
x 
xi1* 
1*
2*
1*
2*  i
1*
2*

E x E x
E x E x
E x E x


E x 2*
E x1*
E x sum
1*
2*

xi 
xi 
xi2* 
1*
2*
1*
2*
1*
2*
E x E x
E x E x
E x E x
   
   
 
   
   
   
 
 
 
   
   
   
E x x  E x x
x x

E x  
  E x    .
E x   E x 
E x   E x 
1*
i
1*
1*
2*
i
sum
2*
2*
i
1*
2*
2*
1*
i
i
sum
i
Следовательно, доли xisum портфеля xsum линейно зависят от математического ожидания доходности портфеля.
Если xsum(E)x*(E) (то есть, xsumX*), то хотя бы одна из зависимостей xi*(E) отличается от линейной, что и требовалось доказать.
Теорема 2 доказана.
Замечание. Для большинства практически используемых критериев риска (например, дисперсии доходности) условие нелинейности хотя бы одна из зависимостей xi*(E)
является не только необходимым, но и достаточным условием неоптимальности (в
смысле (3)) объединенного портфеля пары инвесторов [3].
При выполнении условия теоремы 2 объединенный портфель xsum пары инвесторов
является неоптимальным и допустимым (в соответствии с теоремой 1), что дает возможность повысить доходность и/или снизить риск, выбрав на эффективной границе X*
подходящий портфель xsum*X*.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5947
4. Анализ эффективности разбиения множества инвесторов
на подмножества
Обобщим результаты, полученные для пары инвесторов на случай произвольного
множества инвесторов.
При анализе возможностей инвестирования для множества инвесторов возникает
вопрос оптимального разбиения этого множества на подмножества с целью повышения
эффективности.
Пусть множество M  1, 2, ..., m состоит из m инвесторов, для каждого из которых
c учетом индивидуальных предпочтений на эффективной границе выбран оптимальный
портфель xj* (j=1..m). Объединенный портфель множества инвесторов M:
x sum    j x j* ,
jM
где коэффициенты μj характеризуют долю j-го инвестора в объединенном портфеле
множества:
n
 j 1,
j 1
j  0.
При выполнении условия теоремы 2, портфель xsum не принадлежит эффективной
границе и может быть заменен эффективным портфелем xsum*, который характеризуется
математическим ожиданием доходности не меньшим, а риском не большим, чем у
портфеля xsum.
Разобьем множество M на непересекающиеся подмножества Mk:
m
Mk  M ,
k 1
M k  M l  , k  l .
Подмножество Mk характеризуется объединенным портфелем xsum k:
x sum k    j x j* ,
jM k
Для каждого из подмножеств Mk может быть найден оптимальный портфель
x
X*.
Теорема 3. Портфель x, являющийся объединением всех портфелей xsum k* подмножеств Mk, не может иметь одновременно большее математическое ожидание
доходности и меньший риск, чем портфель xsum*.
Доказательство теоремы 3. Пусть все множество инвесторов разбито на два подмножества и для каждого подмножества найден объединенный портфель (xsum 1 и xsum 2)
и соответствующий оптимальный портфель (xsum 1* и xsum 2*). Если эффективная граница
на отрезке между xsum 1* и xsum 2* является линейной, то портфель x, полученный при их
объединении принадлежит эффективной границе (в соответствии с теоремой 2). Если
же эффективная граница между xsum 1* и xsum 2* нелинейна, то портфель x (также в соответствии с теоремой 2) не является эффективным.
При разбиении множества инвесторов на большее количество подмножеств, можно
провести аналогичные рассуждения, присоединяя к одному из подмножеств последовательно все остальные: M  M 1  M 2   M 3 ...  M m  . Если эффективная граница линейна на всем участке, куда попадают объединенные портфели подмножеств xsum k*, то
объединение подмножеств в одно множество не влияет на эффективность. Любое отsum k*
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5948
клонение от линейности позволяет провести оптимизацию и найти более эффективный
портфель всего множества, чем объединенный портфель всех подмножеств.
Теорема 3 доказана.
Следствие: любое разбиение множества инвесторов на группы дает эффективность
оптимизации портфеля не выше, чем оптимизация объединенного портфеля всего множества инвесторов.
Теорема 3 приводит к следующему алгоритму действий:
1) Идентификация предпочтений инвесторов и выбор для каждого инвестора наиболее подходящего индивидуального портфеля на эффективной границе.
2) Формирование структуры портфеля, являющегося объединением всех индивидуальных портфелей.
3) Выбор на эффективной границе портфеля с риском и доходностью не хуже, чем
у объединенного портфеля.
4) Распределение дополнительной полезности между инвесторами и управляющей
компанией.
5. О распределении дополнительной полезности
между инвесторами
На рис. 2 представлено множество реализуемых портфелей X с эффективной границей X* и оптимальными для отдельных инвесторов портфелями x1*, x2*X*. Объединением портфелей x1* и x2* является портфель xsumX*. Оптимизация портфеля xsum приводит к формированию портфеля x*X*. Дополнительная полезность (снижение риска
и/или повышение доходности) может быть перераспределена между инвесторами. В
результате инвесторы получат риск и доходность, соответствующие точкам x1** и x2**.
Рис. 2. Портфели инвесторов с учетом перераспределения дополнительной полезности.
Важно, что по отдельности x1** и x2** не являются реализуемыми портфелями
(x1**, x2**X), то есть портфели со столь высокой доходностью и низким риском не могут быть получены без использования процедуры объединения портфелей.
В общем случае распределение дополнительной полезности (снижение риска или
повышение доходности) является вопросом договоренности/соглашения инвесторов.
При выработке договоренности предлагается пользоваться следующим соображением: чем сильнее индивидуальный портфель данного инвестора отличается от объединенного оптимизированного портфеля, тем больше его вклад в повышение эффективности управления. Следовательно, основная часть дополнительной полезности
должна быть распределена в пользу таких инвесторов. Если же индивидуальный порт-
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5949
фель инвестора по структуре совпадает с объединенным, то такой инвестор не участвует в создании дополнительной полезности.
Задача формирования соглашения является предметом дополнительного исследования и остается за рамками настоящей работы.
6. Выводы





Оптимальный для отдельного инвестора портфель x1*X* может быть улучшен путем объединения его с портфелем другого инвестора x2*X* и последующей оптимизации суммарного портфеля.
Предложен принципиально новый подход к формированию инвестиционных фондов – объединение инвесторов с несовпадающими предпочтениями и выработка
единой стратегии управления объединенным портфелем. Эффективность управления таким фондом выше, чем максимально достижимая не только при классическом коллективном, но и (что более существенно) при индивидуальном управлении.
Сформулированы условия возникновения дополнительной полезности для произвольной меры риска: дополнительная полезность возникает при нелинейном характере зависимости долей оптимального инвестиционного портфеля от математического ожидания доходности.
Доказана целесообразность централизованного управления инвестиционными
портфелями множества инвесторов. Показано, что формирование общего портфеля
множества инвесторов является более эффективным, чем формирование отдельных
портфелей для всех его подмножеств.
Предлагаемый подход к формированию портфеля группы инвесторов с несовпадающими предпочтениями может быть распространен с рассматриваемой двухкритериальной модели (доходность-риск) на более сложные многокритериальные модели.
Список литературы
1.
2.
3.
Markowitz H. Portfolio selection // The Journal of Finance. 1952. No. 1. С. 77-91.
Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies. 1958. No. 67. P.
65-86.
Саркисов В.Г. Критериальные множества оценок качества управления инвестиционным портфелем
при различных критериях риска // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки». 2012. № 4 (36). С. 82-90.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.