Тема: Случайные процессы На вход интегрирующего устройства поступает случайный процесс X t

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru.
c
МатБюро
— решение задач по высшей математике
Тема: Случайные процессы
Задание. На вход интегрирующего устройства поступает случайный процесс X(t)
с характеристиками:
mX (t) = t2 − 5,
KX (t1 , t2 ) = 2 sin 3t1 sin 3t2 .
Найти mY (t), KY (t1 , t2 ), DY (t), если Y (t) = t2
Решение. Обозначим Z(t) =
t
0
t
0
X(τ ) dτ + 3t.
X(τ ) dτ , тогда Y (t) = t2 Z(t) + 3t. Найдем сначала
характеристики случайного процесса Z(t).
t
mZ (t) =
t
mX (τ ) dτ =
0
2
(τ − 5) dτ =
0
t1 t2
KZ (t1 , t2 ) =
=2
t2
sin 3τ1 dτ1 ·
0
0
t t3
= − 5t.
3
0
t1 t2
KX (τ1 , τ2 ) dτ1 dτ2 =
0
t1
τ3
− 5τ
3
0
2 sin 3τ1 sin 3τ2 dτ1 dτ2 =
0
0
t1
t2 2
2
sin 3τ2 dτ2 = cos 3τ1 · cos 3τ2 = (cos 3t1 − 1)(cos 3t2 − 1).
9
9
0
0
2
DZ (t) = KZ (t, t) = (cos 3t − 1)2 .
9
Теперь найдем характеристики Y (t) = t2 Z(t) + 3t. Математическое ожидание случайного процесса Y (t):
t5
mY (t) = M t2 Z(t) + 3t = t2 mZ (t) + 3t = − 5t3 + 3t.
3
Корреляционная функция случайного процесса Y (t):
2
KY (t1 , t2 ) = K t2 Z(t) + 3t = t21 · t22 · KZ (t1 , t2 ) + 0 = t21 t22 (cos 3t1 − 1)(cos 3t2 − 1).
9
Дисперсия случайного процесса Y (t):
2
DY (t) = KY (t, t) = t4 (cos 3t − 1)2 .
9
1