Математическое планирование

КУИЬЫШЕВСКНЙ
О Р Д Е Н А ТРУДОВОГО
К Р А С НО Г О З Н А М Е Н И
А В И А Ц И О Н Н Ы Й ИНСТИТУТ
и м е н и С (1 К О Р О Л Е В А
КУЙБЫШЕВ
М И Н И СТЕРСТВО ВЫ СШ ЕГО И С РЕ Д Н Е ГО
С П ЕЦ И А Л ЬН О ГО О БРА ЗО ВА Н И Я РСФ СР
К У Й БЫ Ш Е В С К И Й ордена ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМ ЕНИ
А ВИАЦИОННЫ Й ИНСТИТУТ им ен и АКАДЕМИКА С. П. КОРОЛЕВА
В. А. БАРВИНОК.
П. А. Б О Р Д А К О В
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В ПРОИЗВОДСТВЕ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
У ч е бн о е п о с о б и е
.о-.
■- и .-«сияй
ни-тут
КУ ЙБЫ Ш ЕВ
1990
К у
Ы > 6
K U . S
+
G 2 .S .4 . е о & .ь \(р ч * )
У Д К 629.7:621.73.01
М атематическое планирование эксперимента в производстве
летательных аппаратов: Учеб. п особи е / В. А. Б а р в и н о к ,
П. А. Б о р д а к о в ;
К у й б ы ш ев, ави ац . ин-т
К ч й бы ш ов,
1990. 64 с.
Р ассм о тр ен ы м етоди чески е вопросы п р о вед ен и я эксп ер и м ен ­
тал ь н ы х
и ссл едован и й техн ол оги ч ески х п роц ессов п р о и зв о д ­
ств а л етат ел ьн ы х а п п а р а т о в с прим енением м атем ати ч еско го
п л а н и р о ван и я эксп ери м ен та. Д а н ы у к а за н и я по в ы б о р у двух- и
тр ех ф ак то р н ы х п лан ов вто р о го п о р я д к а на осн ован и и их х а р а к ­
тер и стик и целей п р оводи м ы х и ссл едован и й. П о д р о б н о и зл о ж ен а
м ето д и к а п р о веден и я и ссл едован и й и д ан ы п рим еры п олучени я
и а н ал и за м атем ати ч ески х м оделей техн ологических процессов.
П осо би е п ред н азн ач ен о д л я с ту д ен то в ави ац и он н ого в у за
сп ец и ал ьн о сти 13.01.
Т абл. 21. Ил. 11. Б и б ли о гр .: 16 н азв.
П еч атаетс я по реш ению р ед ак ц и о н н о -и зд ат ел ьс к о го со вета
К у й б ы ш е в ск о ю о р д ен а Т р у д о во го К р а сн о го Зн ам ен и а в и а ц и о н ­
ного и н сти тута им. а к а д е м и к а С. П. К о р о л ева
Р ец ен зен ты : П. В. Р а с с к а з о в, В. А. Р я с н ы й,
Н. К. К р ю ч к о в
© Куйбышевский авиационный институт, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
И н те н с и в н о е р аз в ит ие а в и ац и о н н о й и к о с м и ч е ­
ской т е х н ик и суще ст ве н но п о в ы ш а е т т р е б о в а н и я
к те хно ло г и и к а к н ау ке о р а з л и ч н ы х с т о р о на х п р о ­
и з в о д с т в е н н ы х процессов
и зг о то вл ен и я д е т а л е й
л е т а т е л ь н ы х а п п а р ат о в , их сборки, с в ар ки и и сп ы ­
таний.
В р е з у л ь т а т е те хниче ского пропресса т е х н о л о ­
г иче ские р е ко ме нд ац ии , о с н ов а н н ые тол ьк о на к а ­
чественной о ц ен ке или о п и с ы в а ю щ и е з а в и си мо ст ь
с в о йств от единичног о т е х но л ог и ч ес ког о ф а кт о р а ,
в н а с т о я щ е е в р е м я не д а ю т о п ти м ал ь н ы х п р а к т и ­
ческих р е з ул ь та то в. Р е ш е н и е п р о б л е м ы а н а л и з а и
о п т и м и з а ц и и т е хн ол о г ии в т а к и х усл ов ия х ц е л е с о ­
о б р а з н о вести, о п и р а я с ь на ст р огие м а т е м а т и ч е ­
ские методы.
В п е р в о й ч а с т и п о с о б и я [1J подр об н о
и з л а г а е т с я м е т о д и ка в ы б о р а о сно в ных ф а к т о р о в и
п а р а м е т р о в о п т и м и з а ц и и т е х но л ог ич е с ки х пр оц ен ­
тов, а т а к ж е и з л о ж е н ы м етод ы п л а н и р о в а н и я по
п о л н о м у и д р о б н о м у ф а к т о р н о м у э к с пе ри ме нт а м.
Во второй
части
пособия
п одробно
и з л а г а ю т с я м ет од ы п л а н и р о в а н и я э к сп ер им ен та
вт оро го п о р я д к а . В н а с т о я щ е е в р е м я в технической
литературе
и ме ют с я
сведения
по п р им е н е н ию
д в у х — трех м ат е ма т и ч е ск и х п ла н о в второго п о р я д ­
ка ( ц е н т р а л ь н ы е к о мп о зи ц ио нн ые и р о т а т а б е л ь н ы е
планы).
В уче бн ом пособии п р и в о д я т с я о б о б щ е н н ы е
м е т о д ы п р о в е д е н и я э к сп ер им ен то в и их а н а л и з а
с п о м о щ ь ю 12— 14 п ла н ов второго п о р я д к а п р и м е ­
н и те ль н о к з а д а ч а м
п р ои з в о д ст в а л е т а т е л ь н ы х
аппаратов.
Ц е л ь д а н н о г о п о с о б и я — в достаточно
3
доступной ф орм е познакомить студентов с основ ­
ными идеями и методами математического плани­
рования второго порядка, изложить методику про­
ведения экспериментальных исследований п ри м е­
нительно к технологическим процессам и зготовле­
ния деталей летательных аппаратов, их сборки и
сварки, например, ди ф фузионной сварки и пайки,
плазменного и ионно-плазменного напыления, м аг­
нитно-импульсной сварки и штамповки, пробивки
отверстий и дорнования, штамповки полиуретаном
и другим технологическим процессам, получившим
развитие в Куйбышевском авиационном институте.
1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Требования, предъявляемые к откликам у и и варьируемым
факторам х, технологических процессов, порядок их выбора и
определения области изменения контролируемых параметров
0 ; < х, < bi подробн о изложены в работе [1J.
В безразм ерн ы х (кодируемых) единицах область изменения
контролируемых параметров записывается в виде гиперкуба
— 1 < Xi <
1,
где / = 1 , . . . , 6 — индекс варьируемого фактора.
Д л я двухфакторного эксперимента ( 6 = 2 ) область и зм ене­
ния представляет собой квадрат со стороной 2 единицы, для
трехфакторного эксперимента ( 6 = 3 ) — куб с длиной ребра 2
единицы.
Как правило, целью экспериментальных исследований явля­
ется отыскание зависимости м еж д у откликом у„ и контроли­
руемыми парам етрам и a*,, x i , ..., х* технологического процесса.
Такую зависимость м ож н о представить в виде функции ц(х, fi),
являющейся полиномом второй степени
У и = т] (х, р) = р* Г (х) = р0 + 2 Р'
1<!<А
x it
+ 2 Рй1< / < / < / ;
(1.1)
где т)(л', Р) — математическое ож и да н и е величины у,„ и зм ерен­
ной с дисперсией а у2\
Р * = (Ро, Pi, Р2. •••, Р'Ь Pll, Pi2* ■••• Pin, р22. р23
Рпп)
— вектор неизвестных коэффициентов уравнения (1. 1);
' Г (х ) = ( ! ,
х2
Хп, х , 2, х , х 2, ..., х , х п, -'V', лдл'з
х кг )
-— вектор линейно независимых функций.
При этом считается, что выполнены сл едую щ и е условия:
а) результаты измерений у\ , у 2, ..., yi представляют собой
независимые, нормально распределенны е величины;
б) выборочные оценки S vl2, S u22,
..., S yi2однородны , т. с.
соответствую щ ие дисперсии o tfl2, <т;/22,ст^з2, ..., a ut2 не зависят ог
матем атических ож и дан и й n ^ i . Р).
Р),
ч(х*,
Р);
5
в) о ш и б к и в и з м е р е н и и к о н т р о л и р у е м ы х п е р е м е н н ых Х\ , л'2,
Хк м а л ы по с р а в н е н и ю с о ш и б к о й в о п р е д е л е н и и у.
З а д а ч у план ирова ния эксперимента мо жн о сф ормулировать
с л е д у ю щ и м о б р а з о м : -выбрать точки х = ( х и х 2, ..., х к) в ф а к ­
то р н ом п р о с т р а н с т в е — 1 < х , < 1 и в них ч и с л а п ов т о р н ы х и з м е ­
рений т а к и м о б р а з о м , чт об ы л у ч ш е всего о ц ен и т ь п а р а м е т р ы р
и ф у н к ц и ю тДх, р) в той о б л а с т и , где п р о и з в о д и л и сь из м е ре ни я.
О ц е н к и п а р а м е т р о в р п р и ня т о о б о з н а ч а т ь ч е р ез Ь, а а п ­
п р о к с и м и р у ю щ и й по л и но м з а п и с ы в а т ь в в и д е
y ( x , b ) = b 0+
2
1<Т <£
biXi+
I
2
!> их? + , 2
b i j Xi Xj .
1
Т а к и м о б р а з о м , в ы б и р а я п л а н э к с пе р и ме нт а , т. е. о п р е д е л я я
ч ис ло т оч ек п л а н а , их в з а и м н о е . ра с п ол ож е н и е в ф а к т о р н о м
п р о с т р а н с т в е и чис ло и з м ер ен ий в к а ж д о м из них, м о ж н о р е г у ­
л и р о в а т ь п о к а з а т е л и точности о ц е н ок п а р а м е т р о в р ег ре сс ио н ­
ной з а ви си мо ст и, а т а к ж е п о к а з а т е л и точности о ценк и ре г ре с­
сионной фу н к ц и и во всей о б л а с т и п л а н и р о в а н и я и в о тд ел ьн ых
се з он ах
Д л я бол е е четкой л о г и к и в п о ст ан о вк е з а д а ч и и п о с л е д у ю ­
щ их и с с л е д о в а н и я х мето д ом п л а н и р о в а н и я э к сп ер и ме н т а н е о б­
х од и мо о п р ед е л и ть н ек от о ры е о б щ и е понятия.
О б ы ч н о под э к с п е р и м е н т о м
п о д р а з у м е в а е т с я мно г о­
к р а т н о е в о с п р о и зв е де н и е ис с ле д уе м о го п роцесса д л я изучения
з а ко н о м е р н о с т и его п рон и ка н ия , степень в л и я ни я на него р а з ­
л и чн ых ф а к т о р о в и в з а и м о с в я з ь м е ж д у ними. О ст а н о в и м с я на
с л е д у ю щ е й т е рми но л ог ии . О д н о к р а т н о е ф и к с и р о в а н и е о п р е д е ­
л ен но г о н а б о ра вхо д ных п а р а м е т р о в ( ф а к т о р о в ) д- и п а р а м е т ­
ров о т к л и к о в у бу дем н а з ы в а т ь и з м е р е н и е м .
Фиксиро­
в а н н а я к о м б и н а ц и я з на че ний в хо д ных п а р а м е т р о в д- н а з ы в а е т с я
у р о пнем ф а к т о р н о г о п р о с т р а н с т в а .
.Многократное
п овт орение измере ний д л я одного уро вня н аз о в е м о п ы т о м .
С а м э кс п е р им е н т счита ем с о с то я щ и м из серии оп ыто в на ра ?пых у ро в н я х и п а р а л л е л ь н ы х измеренш'! на о д и н а к о в ы х у р о в ­
нях (факторного п ро ст ран с тва .
2. Ц Е Н Т Р А Л Ь Н О Е К О М П О З И Ц И О Н Н О Е
ПЛАНИРОВАНИЕ
Д л я п олучения м а т е м а т и ч е ск о й м оде ли в виде п ол и н о ма в т о ­
рого п о р я д к а число у ро в не й н е з а в и с и м ы х п е р е ме н н ых д о л ж н о
бы т ь на ед и н иц у б о л ь ш е степени и н т е р п ол яц ио нн ог о м но го ­
члена.
6
Е с л и и с п о л ь з о в а т ь все в о з м о ж н ы е с о ч е т а н и я у р о в н е й по
к а ж д о м у ф а к т о р у , т. е. строить п о лн ый ф а к т о р н ы й э к с п е р и ­
мент ( П Ф Э ) , то н е о бх од и мо прове сти 3* и з м е р ен и я, где к —
чис ло ф а кт о р о в . Т а к о е п л а н и р о в а н и е н е р а ц и о н а л ь н о , т а к к а к
при k > 3 т р е б у е т с я н е о п р а в д а н н о б о л ь ш е е число измерений.
С о к р а т и т ь число и зм е р ен и й м о жн о , и с п о л ь з у я ц е н т р а л ь но е
к о мп о з и ц и о н н о е п л а н и р о в а н и е ( Ц К П ) , я д р о м к от о рог о я в л я ­
ютс я о р т о г о н а л ь н ы е п л а н ы перв ого п о р я д к а и нек от о р о е число
д о п о л н и т е л ь н ы х точек ( « з в е з дн ые » то ч ки ) , к о т о р ые л е ж а т на
с ф е р е д и а м е т р о м 2 а [2, 14J, Ц К П п о л но с т ью соо т ве т ст ву е т идее
ш а г о в о г о п л а н и р о в а н и я . На пер в ом э та пе э кс п е р и м ен т ст рои тся
в соо т ве т ст ви и с ме т о ди к о й П Ф Э . В с л у ч а е н е а д е кв а т н о с т и л и ­
нейной м а т е м а т и ч е с к о й м оде ли д е л а е т с я с л е д у ю щ и й шаг : д о ­
с т р а и в а е т с я П Ф Э до п л а н а вто рого п о р я д к а . П о ст ро ен ие с в о ­
д и т с я к о п р е д е л е н и ю р а с с т о я н и я а от ц ен т р а п л а н а до « з в е з д ­
ных» точек (рис. 2.1). П л е ч о а в ыб и р а е т с я т а к и м о б р а з о м , чт о­
б ы его в е л и ч и н а у д о в л е т в о р я л а у сл о в и ю о р то г о н а л ь н о с т и или
р о т а т а б е л ь н о с т и п л а н а . П л а н о с т а е т с я о р то г о н а л ь н ы м , если
с к а л я р н ы е п р о и з в е д е н и я всех ве к т ор ов - с то лб цо в в м а т р и ц е н е­
з а в и с и м ы х п ер е ме н н ы х р а в н ы нулю. П р и этом все к о э ф ф и ц и ­
е н т ы у р а в н е н и я р ег ре сс и и н а х о д я т с я н ез а в и с и м о д ру г от друг.».
В р о т а т а б е л ь н ы х п л а н а х д ис перс ии п р е д ск а з а н н о г о з н а ч е ­
ния р а в н ы на о д и н а к о в ы х р ас ст о я н и ях от ц ен т ра пл а н а .
В ф а к т о р н о м п р о с т р а нс т ве «з в е зд н ые » точки р а с п о л а г а ю т с я
на осях к о ор ди на т , п ро х о дя щ и х через цент р плана.
2.1.
О РТО ГО Н АЛЬНЫ Е П Л А Н Ы
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В о р т о г о н а л ь н о м Ц К П п л ан с ч и та ет с я о п ти м а л ь н ы м , если
м а т р и ц а п л а н и р о в а н и я о б л а д а е т о р то г о н а л ь н ы м и св о йств ами.
Ч т о б ы п р и д а т ь м а т р и ц е т а к и е свойства, н ео бх оди м о провес г i
п р е о б р а з о в а н и е к в а д р а т и ч н ы х п е р е ме нн ых и о п р ед е л е н н ы м о б ­
р а з о м в ы б р а т ь ве л и ч и ну плеча а « зв е зд ны х » точек.
Ус л ови е о р т о г о н а л ь н о с т и м а т р и ц ы п л а н и р о в а н и я м ож н о
з а п и с а т ь в в ид е
S
и=1
х ои x ‘ iu
=
0
и
2
и —\
х 2 '“
=
0.
(
2 . 1)
П е р в о е из у с л ов ий (2.1) в ы п о л н я е т с я путем п р е о б р а з о в а н и я
к в а д р а т и ч н ы х п е р е м е н н ых
П
£
( X/ ) * =
х* - i , 2,
(2.2)
г де t i = 2 k + 2 k + \ — чис ло точек п л а н а (2* — чис ло т оч ек я д р а ,
2 k — чи с ло « з в е з д н ы х » точек, 1 — о дн а н у л е в а я т о ч к а ) .
7
и с.
2.1.
Композиционные
планы
второго
п орядка:
а — двухф акторны е,
6 — тр ех ф ак то р н ы е
В е л и ч и н а xi 2 з а в и с и т от чис ла ф а к т о р о в k
_ , _ - J 1 + J of
хг
2к + 2 к + \
Ве ли ч и ну
хг
обычн о
обозначают
а
через
<р.
Следовательно,
2* + 2 а
Ф = х .2
И з в т о р о г о у сл о в и я
и плеча
.2* +.2 а 2.
2“ + 2 к + \
(2.1) м о ж н о вывести у р а в н е н и е
2fe(l—ф)2—4ср(«2—ф) + 2 ( k —ф)ф2+ ф2= 0.
Н а о с н о в а н и и р еш ен и я си ст ем ы у р а в н е н и й
ж е н и я д л я о п р е д е л е н и я ер и а:
ф -
V
I
получим
,
выра­
(2 -4 )
(2.4)
П р и к > 5 в к ач ест ве я д ра м о ж е т и с п о л ь зо в а т ь с я полуреп л и к а от П Ф Э , число опытов в кот о р ой р а в н о 2 к ~ . При
о п р е д е л е н и и ф и а в этом с л у ч а е в ф о р м у л ы (2 .3) и (2. )
н у ж н о п о д с т а в л я т ь в м ес т о к величину к
1.
В
т а бл .
2.1
п р и ве де ны
в е л и чи н ы
а и ф,
р ас сч и т а н н ы е
д ля к
7.
В т а б л . 2.2 и 2.3 п р и в ед ен ы м ат р и ц ы п л а н и р о в а н и я для
д в у х - и тр е.х ф а к т ор н ог о эк сп ер и м е н т а .
П р и о р т о г о н а л ь н о м п л а н и р ов ан и и к о эф ф и ц и е н ты у р а в н ен и я
иег р е сси и о п р е д е л я ю т с я н ез а в и с и м о д р уг от д р у г а по с л е д у ю ­
щим ф о р м у л а м :
п
v
и *—
bo -
*
Уи
п'
Е
■
—
Xiu у и
/)■ = i S» l
••
Е ■< ' •*
о.
u = I
,
=
л
V ХыЭн'ЧнЮи
и—
= I ---------- . ? ло,-,.
Л
_
- {*'“-) У"
"=> _____
•
V (.V,„.V,„)2
Е [(г' т)Ф
Л=1
"= 1
t де j, / — номера с т ол бц ов м а т р и ц ы п л а н и р о в а н и я ; д > — эле
м е н т ы /-го ст о лб ца .
О ц е н к и ди с пе р си й к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я репрессии рас
с ч и т ы в а ю т с я со от ве т ст ве н но но ф о р м у л а м ;
о 0
5 2 Ь 0=
S3В О С П р
— Z
.S2В О С П р
СЧ
*
Ь
Ы =
Ц -------------
Т абли ц а
2.1
Параметры ортогональных планов второго порядка
Я дро
п л ан а
1
О б щ ее чи с­
л о оп ы тов
а
Ф
2/3 « 0 ,6 6 6 7
1,0000
1/
г
1,2154
22
9
23
15
24
25
4 /5 - 0 ,8
1,4142
2 3_1
27
4 1 /3
9
1,5467
28
43
,4 V 8.6
43
ж 0,8627
1,5960
2 6 -1
45
4 ^ 10
15
ж 0,8433
1,7244
2б
77
8 |
2 7- '
79
8 1 / —
« 0 ,9 0 0 1
Г
79
1,8818
8 Л [
2
Г
143
1,9095
27
143
» 0 ,7 3 0 3
15
. ж 0,7698
/
"
«0, 9117
1,7606
« 0 ,9 4 6 1
Таблица
2.2
М атрица центрального композиционного планирования
второго порядка для k — 2
О пы ты
П л ан и р о в ан и е
типа
22
« З в езд н ы е» точки
Н у л е в а я точка
10
•'"о
х2
Х\2— 2/3
V -2 /3
Л'1 -Гг
!/
+
+
+
+
1
1
1
1
—1
+ 1
—1
+ 1
—1
—1
+ 1
+ 1
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
+ 1
—1
—1
У1
У2
+ 1
Р<
+
+
+
+
1
1
1
1
—1
+ 1
0
0
0
0
—1
— 2/3
— 2 /3
1/3
1/3
0
0
0
0
Уз
+ 1
1/3
1/3
-2 /3
-2 /3
+ 1
0
0
— 2/3
— 2/3
0
Ув
Уз
Ре
Рт
Рз
то ч ка
Матрица
центрального
композиционного
планирования
второго
порядка
,
C2
' ВОСПр
C.o
Ъ'ьи
C2
C 9
--------------- ;
2 (*,»*,U)J
u= l
ВОСПр
n-------------- ;
2 I( a: / ) T
M= 1
i (,,-i =
где 5 2воспр — оценка дисперсии воспроизводимости результатов
изм ерений (методика ее расчета дан а в разд. 4.1). В табл. 2.4
П
даны
расчетные значения величин V x 21K.
<♦=1
Значения
С то л б ц ы
в м атр и ц е
планиро­
ван и я
п
2
Таблица
2.4
для ортогональны х планов второго порядка
и=1
Я д р о п л ан а
27
25
26_i
2 5
2 5—1
2*
23
22
27
143
78
77
45
43
2 7 _ 1
2s
х„
9
15
Xi
6
10,9544 20 20,7846 37,0944
Ха
4
8
16
16
32
32
64
64
128
X i 2— с р
2
4,364
8
8,241
16,767
17,684
19,217
25,241
26,589
37,9471 70,1994 71,1019
135,2924
Уравнение регрессии при ортогональном планировании вто­
рого порядка имеет вид
У — Ьд +
У
biXi +
b,jXjXj
2
I
2 ba(Xi ) 2.
l< i< &
l </<*
i¥=i
Учитывая зависимость (2.2),
переписать следую щ им образом :
у = Ь0' — 2
Величину
ф Ьц+
(6'— 2
v
Ф^/т)
biXi +
уравнение
2
регрессии
buXiXj +
1
'^j
обо зн а ч аю т
V
2
можно
&“* ‘2-
Коэффициент
!
оценивается с дисперсией
S 2 „o = S V +
2 ф 2 5 2»а-
Таким обр азом , в настоящем р азд ел е изложены методы по­
строения ортогональных композиционных планов второго по­
рядка и расчета коэффициентов уравнения регрессии.
Требование ортогональности плана во многих случаях не
является обязательным. Так, для сокращения числа измерений
12
или с Целью п о в ы ш е н и я точности о ценк и ре г ре сс ионн ой ф у н к ­
ции ц е л е с о о б р а з н о и сп о л ь з о в а т ь д р у г и е пл ан ы.
2.2. Р О Т А Т А Б Е Л Ь Н Ы Е П Л АН Ы ВТО РО ГО П О Р Я Д К А
О с н о в н а я ос об е н н ос ть р о т а т а б е л ь н ы х п ла н о в з а к л ю ч а е т с я
в их в о з м о ж н о с т и п р е д с к а з ы в а т ь з н а че н ия ф у нк ци и о т к л и к а
с ди с п ер с ие й , о д и н а ко в о й на р ав н ых р а с с т о я н и я х от ц ен т р а п л а ­
на, т. е. о бе спе чи т ь его и нв а р и а н т н о с т ь при в р а щ е н и и си с те мы
к о о р д и н а т о т н о с и т е л ь н о ц ен тр а [ 2 , 12J.
П о с т р о е н и е р о т а т а б е л ь н ы х п ла н о в пр о и зв о д ит с я а н а л о г и ч н о
о р т о г о н а л ь н ы м п л а н а м вт оро го п ор я д к а . В к а ч е ст в е я д р а п л а ­
на и с п о л ь з у е т с я П Ф Э , а при числе ф а к т о р о в боле е четыре х
м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь с о о т в е т ст в у ющ ие п ол уре пл ик и . З а т е м н ео б ­
х од и м о в ы п о л н и т ь и з м ер е ни я в «зв е зд ных » т о ч к а х и провести
н е с к о л ь к о э к сп е р и м е н т о в в нулевой точке ( цен тр п л а н а ) . « З в е з д ­
ное» плечо а в ы б и р а е т с я из у сл о в ия и нв а р и а н т н о с т и п л ан а
к в р а щ е н и ю и п р и б л и ж е н н о в ы ч и с л яе тс я по ф о р м у л е а ~ 2 кЛ
д л я я д р а , с о д е р ж а щ е г о П Ф Э или по ф о р м у л е а = 2
1)/4 д л я
я д р а , с о д е р ж а щ е г о по л ур епл ик у.
П р и р о т а т а б е л ь н о м п л ан и р о в а н и и очень в а ж н о в ы б р а т ь к о ­
л и ч е ст в о и з м е р е н и й на нулевом уровне. Д а н н ы е , н е о б х о д и м ые
д л я по ст ро е н и я ц е н т р а л ь н ы х к о мп о з иц ио н н ы х р о т а т а б е л ь н ы х
п л ано в , п р и в е д е н ы в т а б л . 2.5 [4].
Таблица
2. 5
П араметры центральных композиционных ротатабельны х
планов второго порядка
Ч и сл о точек
Ч и сл о
ф акто­
ров
Я дро
« зв е зд ­
на нулевом
общ ее
Величина
плеча
звезд н ы х
точек а
п лан а
ных»
уровне
22
2з
4
5
13
6
0
20
1,682
4
2*
8
7
31
2,000
5
25
10
10
52
2,378
25- 1
10
6
32
2,000
12
15
91
2,828
12
9
53
2,378
3,333
2,828
k
2
3
5
6
6
26
2«-1
7
27
14
21
163
7
2 7 -1
14
14
92
1,414
13
В табл. 2.6 и 2.7 приведены матрицы планирования
двух- и трехфакторных ротатабельных планов.
дЛ>1
Т а б л и ц а 2.6
Матрица ротатабельного планирования второго порядка для k = 2
О пы ты
х'о
П л ан и р о ван и е
типа
22
+
+
+
+
« З в езд н ы е»
точки
X,
+
+
+
+
+
—1
—1
—1
1
1
1
1
+ 1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
— 1,414
0
+ 1,414
0
— 1,414
0
0
+ 1,414
+ 1
+ 1
+ 1
+1
Н у л ев ы е
точки
**
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
х .2
*2*
+
+
+
+
+
+
+
+
у
х ,х 2
—1
Fh
Fh
1
1
1
1
+ 1
+ 1
—1
+ 2
+ 2
0
0
0
0
+ 2
+ 2
0
0
0
0
№
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fh
Fho
1
1
1
1
Hi
У*
Ун
Fh
У8
Flo
У 12
Fir,
В з а в ис им о с т и от чи с ла ф а к т о р о в и др уг их п а р а м е т р о в в ы ­
б р а нн ог о п ла на к о э ф ф и ц и ен т ы у р а в н ен и я рег рессии н а х о д я т с я
по с л е д у ю щ и м ф о р м у л а м :
Ьа = 4
[2 Я2 ( к + 2) v
П
С
Л
Ы—1
с2
4
П
i= 1
^
п
гы
i
.v2,,, г/„ +
X2,u у и ~ 2 А с
£
1 I.' =
^
x iuXjUy u ;
Ы~ \
«=
д-2, „ у и\-
гл j
{c2 [(k + 2 ) } . ~ k \ V
+ с2 ( 1 - Я )
v
и= 1
Л
Ь i — "“Т”
b" =
г /,,- 2 /.- с У
и= I
1
£
и =
</«} •
1
Л л я плана, ядром которого является ПФЭ, величины с, Я и .4
определяю тся следую щ им образом:
14
11
+
о о о о о с
о о о о о о
о о с о о
О С: О о О С
+ +
+ +
О
+
!
:
!
+
х х
сч сч
х х_
С О О С сч" сч*
X X
X. х
сч сч
(N* СЧ С С 3
планирования
ротатабельного
о о о о о
+ +
+ 4- + + + Н- + +
второго
порядка
X X
Х^ X
сч сч
О С N W 2
+ + + + +• + + +
Матрица
о о о о о
+ +
+ + + + + + + +
о
о о о о о о
+ +
сч сч
X х
X ю
о о с о —
о о о о о о
+ Ч- + +
— — о
I ! + +- ;
о о о о о о
! ь
+ +*
сч сч
X
X X
о
—'‘ —’" о о о о
+ !+ + + !
+ -t-4*+- + + + '+
! +
+ +
+ +
- ++-
+ + + + + +
*=t
-с*
15
Если ядро плана составляет полуреплика, тогда
п 2*—1
X =
*
А =
и(=2 1 лг.-«)я
ны,
1
2 л [(* + 2) к—к]
Д ля у п р о щ е н и я р а с ч е т о в [4] м о ж н о о п р е д е л и т ь все в е л и ч и ­
з а в и с я щ и е о т к о н ст р у к ц и и п л а н а , и со ст а ви т ь т а б л . 2.8.
Т а б л и ц а 2.8
Д анны е для расчета коэффициентов уравнения регрессии
при ротатабельном планировании второго порядка
Ядро
п л ан а
22
23
2*
25_1
2s
21'. -1
26
2 7- 1
27
&0
bi
bi
0,200000
0,166338
0,142857
0,159091
0,099982
0,110749
1,066653
1,070312
0,100000
0,056791
0,035714
0,034091
0,019392
0,018738
0,010553
0,009766
1,047611
0,006428
0,125000
0,073224
0,041667
0,041667
0,023088
0,023087
0,012499
0,012500
0,006656
1
bn
bu
1
6„"
б ,/
bii
0,250000
0,125000
0,062500
0,062500
0,031346
0,031250
0,015833
0,015625
0,008089
bu'
1 6„"
0,125000
0,062500
0,031250
0,031250
0,015666
0,015625
0,007914
0,007812
0,004044
0,018750
0,006889
0,003720
0,002841
0,001523
0,001217
0,000681
0.000488
0,000418
I
bu"'
0,100000
0,056791
0,035714
0,034091
0,019392
0,018738
0,010553
0,009766
0,006428
Т о г д а д л я в ыч ис л ен ия к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я регрессии
м о ж н о и с п ол ьз о в а ть с л е д у ю щ и е у п р о щ ен н ы е з а вис им ос т и:
1)0 = б0' У Уи — 6ц" 2
и
=1
(2 .5)
Ъ Х1иУи\
i— \ и—
1
п
bi — 6/ ^ Xiu у и\
и
( 2 .6 )
—I
(2 .7 )
bij — 6i/ 2 %iu Xju Уttf
и= 1
bi i
—бЦ и2asI*^ш2Уи~\~ 8 а i з~212и~ Xiu*
1 Уи
Ь а '"
2 I У и-
и—
О ц е н к и д и сп ерс и й к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я рег рессии
С 2 _
__2 Л Я 2 (й + 2)
е2
( 2 .8 )
I
С..2
___
£_
С?
.
O b i
—
n
О ВОСПр»
r2
— п к °С 2 воспр»
С , . 2 __ _ £ __
Г"
Oblf
с
»3b/i
?
—
/4[{£-f2)X—(£—1))с2 ^2
О
!----------
воспр-
У п р о щ е н н ы е з а в и с и м о с т и имеют с л е д у ю щ и й вид:
5 2ад =
Yo 5 2»о сп р S' * b i =
S^t> ij — yij
‘Ь^воспр
Y* ^ 2в о сп р ,'
( 2 .9 )
S^b а —у а 5^воспр.
С оответствую щ ие значения у сведены
в табл. 2.9.
Т аблица
2.9
Д анны е для определения оценок дисперсий коэффициентов
уравнения регрессии при ротатабельном
планировании второго порядка
Я дро
п л ан а
22
2я
2<
2 3 — )
2s
2^-1
2 б
2 7 - 1
27
То
Т,
Та
0,2000
0,1663
0,1429
0,159!
0,1000
0,1107
0,0667
0,1250
0,0732
0,0417
0,0417
0,0231
0,0231
0,0125
0,0125
0,0067
0,2500
0,1250
0,0725
0,0625
0,0312
0,0312
0,0158
0,0156
0,0081
0,0703
0,0476
Тн
0,1250
0,0625
0,0312
0.0312
0,0157
0,0156
0,0079
0,0078
0,0040
О п р еделен ие оценки дисперсии воспроизводимости S 2BOcnp и
последую щ ий статистический анализ уравнения регрессии под­
робно описаны в разд. 4. Н еобходи м о отметить, что для о п р е ­
деления ошибки измерений м ож н о использовать результаты,
полученные в центре плана эксперимента
2
02
С2
О воспр — ‘-’О —
(you — До)2
Ц== *
..
|
То — I
"
•
2 Уои
и= I
г д е Уои— ы-е измерение в центре плана; у 0= ------------------ среднеТо
арифм етическое значение отклика в центре плана; уо — число
и змерений в центре плана.
17
Р о т а т а б е л ь н ы е п л а н ы б ы л и п р е д л о ж е н ы Б о к с о м д о с та то чн о
д а в н о (1960 г.), до н е д а в не г о вр е ме ни были почти е д и н с т в е н ­
ными п л а н а м и второго п о р я д к а и п ол уч и л и ш и р о к о е р а с п р о с т ­
р а н е н и е [2, 12]. О д н а к о по своим х а р а к т е р и с т и к а м они у ст уп аю т
д ру ги м изве ст ным в н а с т о я щ е е в р е м я п л ан а м. В с в я з и с этим
р о т а т а б е л ь н ы е п л а н ы н а иб ол ее ц е л е с о о б р а з н о п ри ме ня т ь , когда
в о з н и к а е т н е о бхо дим ост ь и с п о л ьз ов а ть св ой ств о р о т а т а б е л ь н з п и и изучить в н у т р е н н ю ю част ь о б л а с т и ф а к т о р н о г о п р о с т р а н ­
с т ва в виде ш а р а р ад иу со м т < 1 .
3. И С С Л Е Д О В А Н И Е П Л А Н О В В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А
И Р Е К О М Е Н Д А Ц И И ПО ИХ П Р И М Е Н Е Н И Ю
П р и исс л ед о ван ии и с ра вн е ни и п ла н о в в т оро г о п о р я д к а моле­
но и сп ол ьз о в а ть методику, п р е д л о ж е н н у ю в р а б о т а х [ 11,6].
К а ж д ы й п л ан н е об хо дим о х а р а к т е р и з о в а т ь с л е д у ю щ и м и по­
казателями:
количество ф а кт оро в , в х о д я щ и х в план, и число их уровней;
количество измер е н ий в э к сп ер им е н те ;
точность оценки п а р а м е т р о в у р а в н е н и я регрессии;
точность оценк и регрессионной ф у н к ц и и в целом.
В качест ве п о к а з а т е л я точности о це н ки п а р а м е т р о в у р а в н е ­
ния регрессии {р} м о жн о вз я ть в е л ичин у о п р е д е л и т е л я и н ф о р ­
мац и он но й матри ц ы, к от о р а я о п р е д е л я е т с я
по с л е д у ю щ е й
фо р м у л е:
del А = del (Л/-1 X * X ) ,
где Л" — м а т р и ц а н ез ав и си мы х п ер е ме нных р а з м е р а i V x ^ ; Л ' —число всех измере ний в э ксп ери мен т е; т — ч и с л о п а р а м е т р о в
в ур ав не н и и регрессии.
Д л я сра вн ен ия п л ан о в с р а з л и ч н ы м числом и з м е р е н и й п о к а ­
з а т е л и точности р а с с м а т р и в а ю т с я о т н о с и т е л ь н ы м и к о дно м у
измере нию.
В е л и чи на del А о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н а о б ъ е м у э л л и п с о и ­
да рас се яния. Э л л ип со и д р а с с е я н и я п о л но с т ью о п р е д е л я е т с я
э л е м е н т а м и к о в а р и а ц и о н но й м а т р и ц ы А ~ 1 и о ц е н к а м и к о э ф ­
фи ци ен то в регрессии р. П л а н ы, м а к с и м и з и р у ю щ и е в е л ичин у
det А, т. е. м и н и ми з и р у ю щ и е о бъ ем э л л и п с о и д а р а с с е я н и я , н а ­
з ы в а ю т с я D - о п ти ма ль н ым и. Сл ед о в а т е л ь н о , чем б о л ь ш е del А,
тем б л и ж е п л а н к D - оптима льному.
Др уги ми в а ж ны м и характерис тик ами планов явл яю т ся п о к а ­
з а т е л и точности оценки рег рессионной ф у нк ци и в ц ел о м . О ц е н к а
д и с пе р с ии значений, п р е д с к а з а н н ы х у р а в н ен и е м
регрессии,
и ме е т вид
5 2{урасч} = 5 2воспр N-i
18
(х) Л_, f (х) i
О ц е н к а д и с п е р с и и в о с п ро из во ди м о с ти S 2BochP з а в и с и т от
точ ност и п ро в е д е н и я и зм е р ен ий и с т ац и о н а р н о ст и пр оц е с са и
не з а в и с и т от к о о р д и н а т точек п л а н а. П о э т о м у в к ач ес т ве х а ­
р а к т е р и с т и к и п л а н а ц е л е с о о б р аз н о р а с с м а т р и в а т ь ве л ичину
d ( x ) = N ~ 11* (х) A - ' f ( x ) .
М а к с и м а л ь н а я , м и н и м а л ь н а я и с р е д н я я д и сп ер с и и оценки м о ­
д е л и по о б л а с т и — 1 < * / < 1 п р е д с т а в л е н ы с л е д у ю щ и м о бр а з ом :
f/max = m a x N ~ ] f * ( x ) A ~ ! f ( x ) ;
-1
dm in =
—
rnin A'-1 /* (A-) A - ] f ( x ) ;
1<Х<1
f . . . . . - I ,V •/>('. ! ! 4 {X)
a cp —
yr
.
г де Vx — о б ъ е м э к с п е р и м е н т а л ь н о й области.
Т а к и м о б р а з о м , чем мен ь ше ве л ичины rfmax, d m,n и d cp, тем т о ч ­
нее и н т е р п о л я ц и о н н ы й полином о п ис ы ва е т ис с ле д уе м ый процесс.
3.1.
ДВУХФ ЛКТОРН ОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ВТОРОГО П О РЯДКА
Д в у х ф а к т о р н о е п л а н и р о в а н и е второго п о р я д к а м о ж е т о с у ­
щ е с т в л я т ь с я на м н о ж е с т в а х точек Коно [8] и К и ф е р а [7| ( п л а ­
ны К о
и K i n ) , а т а к ж е с п о м о щь ю п лан ов Х а р т л и [15] ( Н а 2),
Б о к с а - Д р е й п е р а [3] (В — D l2, В — D 22, В — D 32 и В — D 42), В 2 п л а ­
нов [11J, п р а в и л ь н ы х пяти- и шес ти уг ол ьн ик ов [10], D - о п т и ­
м а л ь н ы х и р о т а т а б е л ь н ы х пл ан ов Бо кс а.
Характеристики
d e M , d m3X, rfmin и d cp д л я у к а з а н н ы х
п л а н о в п р и в е д е н ы в т а бл . 3.1 [6]. Ш и р о к и й в ы б ор п л а н о в п о з в о ­
л я е т в ы б р а т ь тот или иной, исходя из к онкре тной ситуации:
о пи с а н и е п ро це с са во всей исс л ед уемо й о бл а ст и, н а х о ж д е н и е
о п т и м а л ь н о й точки или п одоб л а с ти , д о с т и ж е н и е о пр ед ел енн о й
ц е л и при м и н и м а л ь н ы х з а т р а т а х вре ме ни и сы р ья на э к с п е р и ­
м е н т и т. д.
П л а н ы этой р а з м е р н о с т и с о д е р ж и т от 6 до 9 р а з л и ч н ы х т о ­
чек. К о о р д и н а т ы точек н е к о то рых п ла н ов и к олич ес тва п о в т о р ­
н ых и з м е р е н и й в них у„ п р ив е де ны в т а бл . 3.2. Д л я д в у х ф а к ­
т о р н ы х п л а н о в вт оро го п о р я д к а пост ро ен ы линии р ав н ого у р о в ­
ня д и с п е р с и и п р е д с к а з а н н ы х рег ре сс ионной функ цией зна че н ий
о т к л и к а (рис. 3.1— 3.6). Точки п ла н о в на рис. 3.1— 3.6 о тм еч ен ы
к о н ц е н т р и ч е с к и м и о к р у ж н о с т я м и , число к от о рых соответствует
ч ис л у п о в т о р н ы х из мере ни й .
П л а н ы К о 12 и K i n — это дискретные планы. Р аспределе-
,2
Таблица
3.1
Ч и сл о
ф акторов, k
Ч и сл о
п ар ам етр о в
регрессии
О бщ ее
коли чество
изм ерений
Сравнительные характеристики двухф акторны х планов второго порядка
Н азвание
п л ан а
D -о п ти м ал ьн ы й
2
'
6
K d i1 ,
K in
B -D n
20
21
9
14
В — £>22
_ d 32
f i - 0 42
6
вг
Hai
8
b
6
7
7
Ш ести у го л ьн и к
( ,V - 7 )
Ш ести у го л ьн и к
(/V = 1 0 )
П я т и у го л ь н и к
Р о та т а б с л ь н ы й
det А
d г}.
0,114-10 —1
0,108-10 - 1
0 , 1 1 1-10—1
0 ,9 7 5 -1 0 -“
о .п о - ю - 1
0,574-10 - 2
0,5 4 9 -1 0 -0,870-10 - 2
0,816-10 - 3
0,268-10 - а
d min
d пых
5,96
6,92
5,73
7,68
7,18
7,25
6,25
11,18
16,50
6,67
66,50
25,39
3,31
3,28
3,18
3,20
3,14
2,64
2,65
3,68
3,76
3,76
4,56
4,78
4,59
4,05
4,18
4,91
6 ,0 0
6 ,0 0
10
0,12 6 -1 0 -
6 ,0 2
29,10
2,41
6
13
0 ,2 6 2 -1 0 0,133-10-
5,57
5,95
25,20
28,59
3,60
2,47
Таблица
3.2
Д вухф акторны е планы второго порядка
11лан
№
п/п
1
К ом
2
3
1
Ki-,2
в — D l2
2
3
I
2
3
1
В --- D 22
2
3
В — D 32
В — Вф
1
3
3
3
3
3
3
1
1
1
|
№
п/п
Х'
—1
—1
4
+ 1
—1
-1
5
6
—1
+ 1
—1
+ 1
—1
—1
+ 1
—1 —1
+ 1 —1
—1 + 1
4
5
6
4
5
6
>
+ 1
2
+ 1
3
2
2
1
1
—1
1
1
1
+ 1
+ 1
3
4
1
—1 —1
0
■
---- h
3
4
1
1
+ 1
1
.V»
п/п
Ь
A'i
•'"2
—1
+ 1
7
8
1
0
1
0
0
9
2
0
0
+ 1
—1
+ 1
2
0
— 1
1
0
+ 1
+ 1
0
7
8
9
2
0
0
—1
+ 1
+ 1
—1
+ 1
1
1
2
1
1
*2
+ 1
—1
—1 —1 4
+ 1 —J 5
—1 + 1 6
1
-Ч
3
2
2
2
2
2
2
29
Т»
0
0
+ 1
7
1
0
0
8
1
0
0
9
1
0
0
+ 1
—1
+ 1
+ 1
—1
— 0,13
— 1
+ 0,13
—1
+ 1
0
0
0
0
7
8
9
1
0
— 1
1
0
+ 1
2
0
5
6
1
1
+ 1
+ 0,39
5
6
1
1
+ 1
+ 1
0
— 0,39
—1
—1
+ 1
5,91
5,91
5,28
S3,
b'JB
7,18
t>.d-'t
Р и с . 3.1. Л и н и и равн ого у р о вн я дисперсии п р ед ­
сказан ны х
регрессионной
ф у н кц и ей
значений
о тк л и к а д л я п л ан ов K o i2 (а ) и /<т 12 (о)
21
■5,00
5.00
5,00
5 .0
6 .1 7
С- /V
4,8
3,14
6 ,2 5
Р и с . 3.2. Л и н и и р ав н о го у р о вн я ди сперси и п р е д ­
с к азан н ы х регрессион н ой ф ункц ией значени й о тк л и ­
к а д л я п л ан ов В — 0 1 2 (а) и В — D 22{6)
22
В. do
4,0
5 ,0
5’5 6,0
6,00
6 ,0 0
а
6,00
3,0
6,0
8,0
Р и с . 3.3.
Л и н и и р авн о го у ровн я дисперсии
п р е д с к а за н н ы х регрессионной ф ун кцией значений
о т к л и к а д л я п л ан ов В —
(а) и В — 1 ) ^( 6 ) .
23
f,3
187
10,0
6 ,8 7
a
58
66,5
ч >=-<
6A
7,0
66 .5
5,8
Р и с . 3.4. Л и н и и
р авн о го
у р о вн я
дисперсии
п р ед ск а зан н ы х регрессион н ой ф ун кц ией значений
о тк л и к а д л я п л ан ов В 2 (а) и Н а 2 ( б)
24
7,0
20
8,20
Р и с . 3.5. Л и н и и
равн ого
у р о в н я дисперсии
п р е д с к а за н н ы х регрессионной ф ункцией значений
о т к л и к а д л я п л ан ов ш ести угольн и ка Л’ = 7 (а)
и ш ести угольн и ка Л' = 1 0(6)
25
6,0
6,0
6,0
6,0
2 3 .5 9
2.6
8,1
Р и с. 3,6. Л и ни н
р ав н о го у р о в н я дисперсии
п р ед сказан н ы х регрессионной ф ункцией значений
о тк л и к а д л я п л ан о в: п яти угол ьн и к N = 6 (о) и
р о тат аб ел ь н ы й Б о к с а (б)
26
ние п о в т о р н ы х и з м е р е н и й внут ри м н о же с тв точек п л а н о в о с у ­
щ е с т в л я е т с я на о с н о ва н ии к ри те р и я м а к с и м и з а ц и и о п р е д е л и ­
те ля и н ф о р м а ц и о н н о й м ат р иц ы. По в е личине о п р е д е л и т е л я и н­
ф о р м а ц и о н н о й м а т р и ц ы эти п л а н ы п р ак ти че с ки с о в п а д а ю т с так
н а з ы в а е м ы м и D -оптимальны-ми н е п р е р ы в н ы м и п л а н а м и ( в е л и ­
чи н ы с о о т в е т с т в у ю щ и х -им о п р е д ел ит е ле й det А я в л я ю т с я в е р х ­
ни ми г р а н и ц а м и д л я всех прочих п л ан о в ) . Очевидно, что у к а ­
з а н н ы е п л а н ы с л е ду е т п р и ме ня т ь при уточнении п а р а м е т р о в
модели.
П о в е л и ч и н е d cp одни из л у чш их — это п л а ны В — D i2 н
В — 0 22. П о в е л и ч и н а м D max, d mln и d cp п л а н ы K o l2, K i \ i ,
В
и В — D 22 о т л и ч а ю т с я нез начительно. Д и а п а з о н и з м е н е ­
ния д и с п е р с и и п р е д с к а з а н н ы х регрессионной фун к ц и е й з н а ч е ­
ний по о б л а с т и — 1 < л р, < 1 д л я них н ев ел ик (см. рис. 3.1, 3.2).
С л е д о в а т е л ь н о , их м о ж н о с успехом и сп ол ьз о в а ть д л я о пи с а ни я
п р о ц ес са в о всей и с с ле д уе м ой обл а ст и .
Д о ст ат очно хорошие показатели
имеет восьмиточечпый
пл ан В 2 (см. рис. 3.4,а ) . Есл и н а р я д у с др у г им и з а д а ч а м и ст о­
ит з а д а ч а м и н и м и з а ц и и числа опытов, м о ж н о ис п ол ьз о ва ть
ш е с ти то ч еч ны е п л а н ы В — D 32 или В — D 42 (см. рис. 3.3). П л а н ы
Н а 2, п р а в и л ь н ы е пяти- и шес тиу г ол ьни к и, р о т а т а б е л ь н ы й план
Б о к с а (-рис. 3.4,6; 3.5; 3.6) имеют х а р а к т е р и с т и к и del Л и
з н а ч и т е л ь н о б ол ее х у д ш и е по с р а вн е н и ю с в ы ш е р а с с м о т р е н ­
ным и п л а н а м и .
—
^12
3.2. Т Р Е Х Ф А К Т О Р Н О Е
В Т О РО ГО П О Р Я Д К А
ПЛАНИРОВАНИЕ
Т р е х ф а к т о р н ы е п л а н ы второго п о р я д к а с о д е р ж а т от 10 до 26
р а з л и ч н ы х т оч е к . В т а бл . 3.3 п р и в е д е н ы х а р а к т е р и с т и к и 11 п л а ­
нов в т о ро г о п о р я д к а .
П о в е л и ч и н а м del Л к D - о п т и ма ль н ом у н еп р е р ыв н о м у очень
б л и з к и п л а н ы К о [3 (31 и зм ере ни е) и K i i3 (30 и зм ер е н и й ). О д ­
н а к о число и з м е р е н и й д л я них нам но г о п р е в ы ш а е т число к о э ф ­
ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я регрессии. И х р е к ом ен ду е т с я применять ,
ес ли з а т р а т ы на э кс п е р и м ен т невелики, или тр е бу ет с я в ыс ок ая
то ч н ост ь о це н ки п а р а ме т р о в . Н е з н а ч и т е л ьн о у ст уп ают п л а н а м
К о \з и K i \3 п л а н ы К о 23 и K i23 по ве л ич и на м det Л. П о в е л и чи ­
на м d cp, d max и d mi„ эти п л а н ы о т л и ч а ю т с я д р у г о т д р у г а не­
с у щ е ст ве н но .
В с л у ч а е , к о г д а э к с п е р и м е н т а то р ог ран ич ен в количес тве
и зм е р е н и й , м о ж н о и сп о л ь з о в а ть н а с ы щ е н н ы е (число и змере н и й
р а в н о чис лу п а р а м е т р о в у р а в н ен и я ре г ре сс ии) д е с ят ит оч еч ны е
п л а н ы В — Ь 13 и В — D i3. П е р в ы й из них имеет д р о б н ы е к о о р д и ­
н а т ы точек, в т о р о й — ц ел о ч и с л е нн ы е .
27
Т аблица
3.3
Н азв ан и е
плана
D -опти м альны й
Д'0 |з
Д'Опз
Ч исло
ф ак т о р о в
Сравнительные характеристики трехфакторных планов второго порядка
Ч исло
пара­
м етров
р егр ес­
сии
3
10
О бщ ее
ко л и ­
чество
и зм е­
рений
31
21
К >23
30
26
В-D , з
11 /);
10
Дог,
1>з
/)'
О р то го н ал ьн ы й
и
//о 3
(/= 1 2 3 )
Р и тлтп бельн ы й
10
14
15
15
det А
0,556-10 - !
0,489-10 - 3
0,470-10 - 3
0,308-10 - 3
0,204-10 - 3
0,857-10 - 4
0,453-10 ~ 3
0,436-10 - 4
0,421 - 10—5
d max
d ср
d mi
4,94
5,55
5,66
5,22
4,54
3,08
1 1 ,2 0 4,31
20,94 4,13
25,06 4,62
7,60
7,75
7,77
6,61
7,07
7.33
5,83
5,77
6,97
10,59
11,53
14,15
13,43
18,39
31,74
11
0,363-1о-5
10,82
76,89
3,24
20
0,132-10-*
15,11
96,44
3,21
Н е п л о х и е х а р а к т е р и с т и к и имеет пл ан В 3. В е л и ч и н а del 1
д л я него б л и з к а к о п р е д е л и т е л ю D - о пт и м а ль н ог о п л а н а . П о
исличине tfi-p этот пл ан один из л учши х. Е г о м о ж н о р е к о м е н ­
д о в ат ь при описа нии т е хн ол о г ич е с ког о п р оц е с са во всей ис с ле ­
д у ем о й обла ст и.
У ч и т ыв а я, что п л а н ы /Со,3 и K i n и н ек от о ры е д р у г и е я в л я ­
ются н ен а с ы ще н н ы м и , они могут быть и с п о л ь з о в а н ы д л я по ­
с т ро ен ия м оде ле й боле е в ыс ок ог о п о р я д к а ( н а п р и ме р , в о з м о ж ­
но д о б а в л е н и е к ак и х - л и б о тр ой ных в з а и м о д ей с т в и й ) .
Н е о б х о ди м о отмет ить, что р о т а т а б е л ь н ы й пл ан Б о к с а , к о т о ­
рый получил ш и р о ко е р а с пр о ст р а не ни е , по своим х а р а к т е р и с ­
т и к а м з н а чи т е л ь н о ус т уп а е т всем прочим. И т о л ь к о в случае,
если и с с л е д о в а т е л ю н е о бх о д и мо и с п о л ь з о в а т ь св ой ств о р от а га б е льнос ти, его п р и ме н е н и е м о ж е т бы т ь о п р а в д а н о .
В т а бл . 3.4 п ри ве де н ы м а т р и ц ы п л а н и р о в а н и я д л я р я д а трехф п иг о р н ых п л ан о в в т о ро г о п о р я д к а .
4. П Л А Н И Р О В А Н И Е , О Б Р А Б О Т К А И А Н А Л И З
РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
О п р еделен ие и выбор парам етров оптим изации
28
(откликов),
с?
1
$
*
+ т т + + °
7
7
7
7
7
+
— —О О О О —— |
+ +
1+ 1
°
——о о о о с
+ +
----- о о о о о
1+
<Э © О © — — О О
1+
о с — ---------о
1+ 1+
о о ------------ о
+ ! +
----- — © О с: О
; 'f ! +
*
1
1
1
“
1
lO CDг». оО о
----- — см см
ICOСО 00 СГ> О —1 О С - СМсо '"t LO© I
— ----------— сч сч — СМ СМ см см см сч 1
— о о о о ----+
! +
— о о о о ----+
i
7
+ 17 + +
£*
w
0
0
7
_
7
7
7
“
-------------------------------- 00
7
+1
7
7
7
7
7
1+ + ° “
7
7
7
7
7
+
1
“
°
1+ + 1+ 1+
+
7
7
°
°
“
-
7
+
I
г~
.«1 —
г, ^
ОС
СП О
—■СМ СО -Н
X О: О — 0*1 СО
О — О] СО -ГСО О I-- с
«
! 1 1 i + + +
1 1+ + 1 1+
1 1 1 ! + + +
"
7
7
+
|
7 7
! i S | + Ы- +
! | + + 1 1+ + 1
ч
1+ 1+ 1+ 1
1+ 1+ 1+ 1
! + 1+ 1+ 1+ 1
— СМсо Tf. Ю *D f-
— WCO-VIOCONXCI
3
?—
oi
OJ СЧ СН OJ сн <м
С
— СЧ СО
План
Трехфакторные планы
Ко\^ К,о2з, Ki'23, K i\ 2i
второго порядка
В — ^13, В — D 23
№
п /п
— ----- — — см см
1
ю со
о
5<
м
еч
о
:<
я
2
20
3.4
—
— —‘О О
табл.
Окончание
I
о о -«.
1+ 1 +
I+ +
—О —О ——
+
0
+
—0
- —о о
—— — 1
I
I
+
I+
I
I
1
0
0
0
— сч со Th
1+
о — —о о
I +
о —
+
+ + 1 1
++.
O iO
050
+
о о о о
I ++ 1
Ю С О Ь -О О О ^ О ]
еЧ —
I
—
«— — о О
+ + +
ф ^
— ——о о
^
^ —
+
30
'-ct'-xo o
I
+
I
+
+
+
+x i
^
+
i
! +
I
i +
+
I
i +
I
—
I
i
+
i
ю ^ s
+
+
— — —
I
i
+
I
i
+
j
x
+
|
+ i
i
m x s x
i
M
+
| j +
I +
;
—
—w x - r i c
aa
30
I
1О О о
I ! + + : M
i
—w л т in a s
o —о —
05 05 о
— —О О О
I
——
о" I о ' +
+ I 44
I
|
сГо* 1 +
1+ +
2 ~ 041 £2 rr
|
—^ ro -*r —сч rc
Q
I
<4
7
ч и с ла в а р ь и р у е м ы х ф а к т о р о в т е хн ол ог и ч е с ких про цес сов и и н ­
т е р в а л о в их в а р ь и р о в а н и я пр ов о д ит с я в со ответствии с р е к о м е н ­
д а ц и я м и , к о т о р ы е подр об н о и з л о ж е н ы в р а б о т е [1J.
У ч и т ы в а я , во- первых, и м е ю щ у ю с я и н ф о р м а ц и ю о х а р а к т е р е
Функции о т к л и к а , н ап ри м ер , по о д н о ф а к т о р н ы м з а в и си мо с т я м ,
в о- вторых, т р е б о в а н и я к м а т е ма т ич е с к о й м од е ли с точки з р е ни я
н а х о ж д е н и я о п т и м а л ь н ы х условий п р о те к а н и я процесса или его
о п и с а н и я во всей и с с ле д у е м ой о бл а с т и ф а к т о р н о г о п р о с т р а н ­
ст ва, в третьих, число в а р ь и р у е м ы х ф а к т о р о в (двух- или т р е х ­
ф а к т о р н ы й э к с п е р и м е н т ) , и сс ле д ов а т ел ь д о л ж е н в ы б р а т ь план
э к с п е р и м е н т а с п р и е м л е м ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и , к о то р ые п р ед ­
с т а в л е н ы в р аз д . 3.
Посл еду ющими обязат ельными эта па ми планирования и про­
в е де н и я э к сп е р и м е н т а , о б р а бо т к и и а н а л и з а его р е з у л ь т а то в
являются:
к о д и р о в а н и е ф а к т о р о в и сос та вл е н ие п л а н а - м а т р и ц ы э к с пе ­
р и м е н т а в н а т у р а л ь н ы х е д и н иц ах и з у ч а е м ы х ф а кт о ро в ;
п р о в е д е н и е р а н д о м и з а ц и и измере н и й и р е а л и з а ц и я п ла на
эксперимента;
п р о в е р к а в о сп ро и з в о д и мо с т и ( ра вн от очно с ти ) измерений;
р а с че т и о це н к а з на чи мо ст и к оэ ф ф и ц и е н т о в у р а в н ен и я
рег ре сс ии;
п р о в е р к а а д е к в а т н о с т и м а т е ма т ич ес к о й модели;
а н а л и з и и н те р п р е т а ц и я р е з у л ь т а то в э кспери мен т а.
4 1. К О Д И Р О В А Н И Е Ф АКТО РО В
П о с к о л ь к у ф а к т о р ы и зуч ае мо г о тех но л огич ес ко г о процесса
н е о д н о р о д н ы и им е ют р а з л и ч н ы е ед и ни цы и змере н и я, их с л е ­
д уе т п р и ве ст и к единой системе исчисления путем п ер ех о д а o r
д е й с т в и т е л ь н ы х з н ач е ни й ф а к т о р о в к к о д ир о ва н н ым . В р е з у л ь ­
т а т е т а к о г о п е р е х о д а в к а ж д о й точке п ла на э к с п ер и ме н т а у р о в ­
ни ф а к т о р о в те хн о л ог и че с ко го про цес са д о л ж н ы быть в ы р а ж е ­
ны в к о д о в ы х е д и н и ц а х и з м е р ен и я и с о от ве т ст вующих им н а т у ­
р а л ь н ы х з н а ч е н ия х .
Если интервал варьирования для ьго фактора в натураль­
ных е д и н и ц а х имеет вид
X / n im
-V/
X: m ax,
то н а т у р а л ь н о е з н а ч е н и е ф а к т о р а на нул ев ом у ровн е в к одовых
е д и н и ц а х ( о б о з н а ч а е т с я «О») о п р е д е л я е т с я по ф о р м у л е
-
Интервал
варьирования
* i m ax
min
в натуральных
единицах
и з м ер ен и я
31
d Xi соо т вет ст вует р а с с т о я н и ю м е ж д у т о ч к а м и п л а н а , р а в н о м у
е д и н и ц е в к о до в ы х з на че ни я х, и о п р е д е л я е т с я по ф о р м у л е
dx i = -
J. а х i ш ах
»
(4-] )
где d.Vi тах — р ас с т о я н и е в к од о в ы х е д и н и ц а х от ц е н т р а ( н у л е ­
вого у ро в н я) до н а и б о л е е у д а л е н н о й точки п л а н а в д о л ь с о от ­
в е т с т в у ю щ ей к о о р д и н а т ы к а ж д о г о ф а к т о р а .
Н а п р и м е р , в с л уч а е и с п о л ь з о в а н и я ц е н т р а л ь н ы х к о м п о з и ц и ­
он н ых п л а н о в dx/max р ав но ве л ич и не пл еча « з в е з д ны х » т оч е к а ,
а п р и и спо л ьз о ва ни и б о л ь ш и н ст в а др у ги х п ла н о в d.v;max равно
единице.
Т а к и м обр аз о м, з н а я к о о р д и н а т ы в к од о в ы х е д и н и ц а х всех
т оч ек п л а н а (см. т а б л . 2.2, 2.3, 2.6, 2.7; 3.2, 3.4), м о ж н о р а с с ч и ­
т а ть н а т у р а л ь н ы е з н а че н ия с о о т в е т ст ву ющ и х к о о р д и н а т по к а ж ­
д о м у ф а к т о р у по с л е д у ю щ е й фор му ле :
xi = Xi dxi,
где xi — н а т у р а л ь н о е з н а че ние к о ор д и на т ы, х; — к о д о в о е з н а ­
чение к о ор д и на т ы.
Н а о с н о в а н ии пр ов е де нн ых р ас че тов п ро и з в о д и т с я п о с т р о е ­
ние п л а н а - м а т р и ц ы э к с п е р и м е н т а в н а т у р а л ь н ы х з н а че н ия х
ф а кт о р о в . К а ж д а я с т ро ка построенной п л а н - м а т р и ц ы п р е д с т а в ­
л я е т собой с о вокуп н ос ть уровней в а р ь и р у е м ы х ф а кт о р о в , т. е.
о п р е д е л я е т р е ж и м ы , пр и к отор ых н е о бх од и мо р е а л и з о в а т ь э к с ­
п ер и ме н т или в соответствии с пр ин ятой н ам и т е р м и но л ог и е й
о с у щ е с т в и т ь одно измерение. Ч и с л о п овт ор ных из м е ре ни й в к а ж ­
до й точке п л а н а - м а т р и ц ы , т. е. при одно м с оч ет ан ии у ров н е й
и з у ч а е м ы х ф а к т ор ов , у с т а н а в л и в а е т с я в со от вет ст ви и с в ы б р а н ­
н ым п л а н о м э к с п е р и м ен т а или с а ми м и с с л е д о в а т ел е м в ц ел ях
п о с л е д у ю щ е й пр ов е рк и и зм е р е ни й на р ав н от о чн ос ть и о п р е д е л е ­
ния оценки д ис перс ии в о с пр о и зв о д им о ст и ( ош и б ки ) и змере ний.
4.2. Р А Н Д О М И З А Ц И Я И ЗМ Е Р Е Н И И
И Р Е А Л И З А Ц И Я Э К С П Е РИ М Е Н Т А
Р а н д о м и з а ц и е й называется процедура установления
с л у ч а й н о г о п о р я д к а п р ов е де ни я из м е ре ни й ( опыт ов ) во в р е м е ­
ни, т а к к а к к р о ме в а р ь и р у е м ы х ф а к т о р о в при и сс л е д о в а н и и т е х ­
н о л о г и че с к их процессов имеет ся ц е л ый р я д д о п о л н и т е л ь н ы х
ф а к т о р о в , о к а з ы в а ю щ и х в ли ян и е на ф у н к ц и ю о т к ли ко в . Р а н д о ­
м и з а ц и я внос ит э л е м е н т с л уч ай но с т и в л и я н и я д о п о л н и т е л ь н ы х
ф а к т о р о в на р е з у л ь т а т и п оз в о л яе т о бо с н о в а н н о п р и м е н я т ь а п ­
п а р а т м а т е м а т и ч е с к о й с т ати с ти к и . Д л я о с у щ е с т в л е н и я р а н д о ­
м и з а ц и и п о л ь з у ю т с я т а б л и ц а м и с л у ч а й н ы х чисел, из в л еч е ние м
н о м е р о в о пы т о в из « у р ны » и т. п. В р езул ьтате р андом и зац ии
32
п о с л е до в а т е л ь н о с т ь пр ов е де ни я и з м е ре ни й во вр еме ни С учетом
всех точек п л а н а и по вт ор ных и з м е р е ний не соот вет ст вует по­
р я д к о в ы м н о м е р а м опытов, п р ед с т а вл е нн ых в с о от вет ст вующи х
планах-матрицах.
Р е а л и з а ц и я э к с п е р и м е н т а про вод ится в соответствии с п о р я д ­
ком п ро в е д е н и я и з м ер е н ий после р ан д о м и з а ц и и . В ре з у л ь т а те
р е а л и з а ц и и э к с п е р и м е н т а о п р е д е л я ю т с я з на че н и я о т к ли ко в или
п а р а м е т р о в о п т и м и з а ц и и в к а ж д о м опыте и п овт орном и з м е р е ­
нии, что ф и к с и р у е т с я в т а б л и ц е ре з уль та тов. Ч и с ло зна че н ий
о тк л и к о в в к а ж д о й с т р ок е п л а н а - м а т р и ц ы в т а б л и ц е р е з у л ь т а ­
тов с о от ве т ст ву е т числу п овт орн ых и з м е ре ний в опыте, а число
с т р о к — ч и с лу о пы т о в в э кспери мен т е, н ап ри ме р , д л я э к сп е р и ­
м е н т а К о {з — т а б л . 4.1.
Н е о б х о д и м о отмет ить, что если в п л ан е - м а т р и ц е э к с п е р и м е н ­
та и т а б л и ц е р е з у л ь т а т о в у ровн и ф а к т о р о в д о л ж н ы з а п и с ы ­
в а т ь ся в к о д о в ы х "единицах, то з на ч е н и я о т к л и к а при к а ж д о м
из м е р е ни и — в н а т у р а л ь н ы х единицах.
Т аблица
Ко.з (Лг=31, Л,= 10)
П лан-матрица
эксперимента у„<( 1 < и < М i,
№
п /п
A'l
А'з
А*2
4.1
и результаты
1
'Л<;
Ч"
1
—
1
— 1
_]
2
Уи
У 12
2
+
1
— 1
—
1
2
У 21
У 22
3
—
1
+ 1
— 1
2
!/з1
.'/32
У*'
У42
4
5
+ 1
+ 1
— 1
2
— 1
— 1
+ 1
2
1
'/52
6
+ 1
— 1
— 1
2
У 61
У62
7
— 1
+ 1
+ 1
2
.'/71
Уп
8
+ 1
+ 1
+ 1
2
Уhi
У62
9
— 1
— 1
0
1
7/91
----
10
— 1
+ 1
0
1
.'/|01
----
11
+ 1
— 1
0
1
Уi n
----
12
+ 1
+ 1
0
i
.'/121
У ,м
.'/•41
----
--
13
0
— 1
— 1
1
14
0
— 1
+ 1
1
15
0
+ 1
+ 1
0
0
0
—1
+ 1
—1
—1
+ 1
+ 1
1
1
1
1
Т/151
1
У 191
---
2
У 201
У262
2
Ут
У212
16
17
18
19
20
21
0
—1
+ 1
—1
+1
0
0
0
0
.'/161
.'/171
.'/181
----
--
-----
33
4.3. ПРОВЕРКА РАВНОТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ
Н а настоящем этапе проводится анализ результатов экспе­
римента на предмет наличия отдельных грубых ош ибок и зм е­
рений (выбросов) и оценивается дисперсия воспроизводимости
экспериментальных данных. Д л я проверки равноточности из­
мерений необходим о провести их дублирование в некоторых
точках плана или всего плана в целом. Например, планы Коно,
Кифера и другие предусматривают дублирование опытов в не­
которых точках, которые и могут быть использованы для опре­
деления оценки дисперсии воспроизводимости (табл. 4 .1). Если
планом эксперимента дублирование измерений не п р еду см а т ­
ривается, исследователь д о л ж ен выбрать, в каких точках плана
и сколько раз необходим о повторить измерения для оценки д и с ­
персии воспроизводимости.
Рассмотрим случай неравномерного дублирования и зм ере­
ний. Пусть для вычисления оценки дисперсии воспроизводимости
и проверки равноточности измерений используется
точек
(jV! м ож ет быть меньше, равно или больше числа точек плана),
в которых проводятся повторные измерения по у и раз в каждой,
/ / = 1 -к A'i. Выборочная оценка дисперсии в п-м опыте вычис­
ляется по формуле
sV = -r r r
(У«-Уи)2
2
(4.2)
со степенями свободы f„ = ( yu — 1).
С реднее арифметическое значение отклика в w-й точке плана
определяется по формуле
Г/и = ~
2
Уш. .
(4.3)
I <-К уи
Оценка дисперсии воспроизводимости измерений при р еа л и з а ­
ции плана эксперимента вычисляется как среднее взвешенное
Е /„Sh,„
S*aocnp =
(4.4)
1
со степенями свободы
/ во<-Пр =
2
/« =
2
Y« — -'v i-
Проверка равноточности измерений (однородности ряда о ц е­
нок дисперсий S 2W1, S~у 2 , ..., S V v . ) осуществляется с помощью
статистики
В ЭК ^ В С (/воспр (и 5 2вОСПР
2
fulnS' ^yu),
I<и oV ,
г де С = 1 + - ^ 4 — —Г
3 (А 4 — 1)
34
2
-г---------- — )
fu
увосвр;
(4.6)
Б а р т л е т п о к а з а л , что ве л ич и на В р а с п р е д е л е н а п р и б л и ж е н ­
но к а к к р и т е р и й П и р с о н а х2 со с т еп е ня ми с в об о д ы / =
— 1,
если f u > 2.
В ч а с т н о м сл уч ае , к ог д а число п о вт ор н ых и зм е р е ни й в т о ч ­
к а х п л а н а о д и н а к о в о (yi = Y = --- = Y'Vi = y)- т о п р о в е рк у о д н о ­
ро дн ос ти в ы б о р о ч н ы х о це н ок д и сп ерс и й н е о бх о д и мо п р о в од ит ь
с п о м о щ ь ю к р и т е р и я К ох р е н а ( G - ст а ти с тика )
2
max {S2i/„}
1<u</V i
1< u < А'
с ч и с л а м и с т епе ней с в о б о д ы /, = }и = \ — 1 и / 2=j Vj .
Э к с п е р и м е н т а л ь н ы е з на ч е н ия В эк и G3K к ри те р и я с р а в н и ­
в а ю т с я со о тв е т ст ве н но с т а б л и ч н ы м и з н а ч е н ия м и х 2 и
—
ст ат и с ти к и. Е с л и В эк < х2*. f или G3K < GT„, / lt / 2, то при в ы ­
б р а н н о м у р о в н е з на ч и м ос т и а г ипотез а о р а в н от очн ос ти и з м е ­
рен ий ( о дн ор о д но с т и о ценок дис перс ий ) не о тв ер г ае тся .
В п р от ив но м с лу ча е н еоб ходим о у с т р а н и т ь причину н е о д но ­
р о дно с ти о ц е н о к дис п ерс ий , н ап ри м ер , путем у ве ли ч е н ия о б ъ е м а
в ы б о р о к п о в ы ш е н и я точности измерений, п р е о б р а з о в а н и я к р и ­
т е р и е в о пт им ал ь но с т и.
П о с л е д о с т и ж е н и я одн о р о дн ос т и о ценок д и сп ер с и й э к с п е р и ­
м е н т а и с с л е д о в а т е л ь м о ж е т перейти к выч ис л ени ю п а р а м е т р о в
м а т е м а т и ч е с к о й модели.
4.4. В Ы Ч И С Л Е Н И Е К О ЭФ Ф И Ц И ЕН ТО В У РА В Н ЕН И Я
Р Е Г Р Е С С И И И О Ц Е Н К А ИХ ЗН АЧ И М О СТИ
В ы ч и с л е н и е к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я регрессии п р о и з в о ­
ди тс я , к а к и в о всех в и д ах п л а н и р о в а н и я э кс пе ри м е нт а, с п о мо ­
щ ь ю ме т о да н а и м е н ь ш и х к ва д р ат о в . В матри ч н ой ф о р м е векторс т о л б е ц к о э ф ф и ц и е н т о в имеет вид
в =
(А* Г А ) - 1 А* Г К ,
где А' — м а т р и ц а н е з а в и с и м ы х п е р еме нн ых р а з м е р а
яХнс,
д и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а весов р а з м е р а
У — в е кт о р - с т о л б е ц о тк л и к о в р а з м е р а « X I ; п — число точек
п л а н а ; m — ч и с ло о ц е н и в а е м ы х к о э ф ф и ц и е н т о в модели.
О п е р а ц и и п е р е м н о ж е н и я и о б р а щ е н и я м а т р и ц т рудоемки.
В ра з д. 2 д а н ы м е т о д и к а и у п р о щ е н н ы е за в и си мо с т и д л я в ыч ис ­
л е н и я к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я рег рессии в с лу ч ае и сп ол ь з о ­
в а н и я к о мп о з и ц и о н н ы х о р то г о н а л ь н ы х и р о т а т а б е л ь н ы х п лан ов
второго порядка.
35
Т а б л и ц а
4. 2
М атрица L для вычисления коэффициентов регрессии
по двухф акторны м планам К о [2, Ki и, В — D 32, В —D l2, В —0 22, В — D&
План
Матрица L
о
'г-
2
Q
I
аз
1
аз
сч
I1
аз
36
*2
У12
.01
*п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
— 0,094
— 0,094
— 0,094
— 0,094
0,188
0,188
0,188
0,188
0,625
— 0,188
0,188
— 0,188
— 0,188
— 0,125
0,125
0
0
0
— 0,214
— 0,214
0,214
0,214
0
0
- 0 ,0 7 1
0,071
0
0,141
0,141
0,141
0,141
0,219
0,219
— 0,281
— 0,281
— 0,438
0,250
— 0,250
— 0,250
0,250
0
0
0
0
0
0,188
0,188
0,188
0,188
— 0,375
— 0,375
0,125
0,125
—0,250
1
2
3
4
5
6
7
8
9
— 0,136
— 0,136
— 0,077
— 0,077
0,213
0,213
0,271
0,155
0,574
— 0,188
0,188
—0,188
0,188
— 0,125
0,125
0
0
0
— 0,198
— 0,198
0,208
0,208
— 0,010
— 0,010
— 0,103
0,084
0,019
0,203
0,203
0,116
0,116
0,181
0,181
— 0,406
— 0,232
—0,361
0,250
— 0,250
— 0,250
0,250
0
0
0
0
0
0,160
0,160
0,198
0,198
— 0,358
— 0,358
0,181
0,103
—0,284
у.'/*
Уя
1
2
3
4
5
6
— 0,063
—0,004
—0,004
0,977
0,047
0,047
— 0,194
0,231
— 0,269
- 0 174
0,203
0,203
0,194
0,269
— 0,231
0.174
— 0,203
— 0,203
— 0,306
0,269
0.269
0,174
— 0,203
— 0,203
0,184
— 0.061
0,297
— 0,576
0,670
— 0,514
0,184
0,297
— 0,061
— 0,576
— 0,514
0,670
УI
№
Уз
Гц
?7-,
Уз
1
2
3
4
5
6
7
8
9
— 0,111
— 0,111
— 0,111
— 0,11 1
0,222
0,222
0,222
0,222
0,556
— 0,167
0,167
- 0 .1 6 7
0,167
— 0,167
0,167
0
0
0
— 0,167
— 0,167
0,167
0,167
0
0
— 0,167
0,167
0
0,167
0,167
0,167
0,167
0,167
0,167
— 0,333
— 0.333
- 0 ,3 3 3
0,250
— 0,250
— 0,250
0,250
0
0
0
0
0
0,167
0,167
0,167
0.167
— 0,333
— 0,333
0,167
0,167
—0.333
У\
У-1
Уз
У*
Уз
//б
У:
fls
1
2
3
4
5
6
7
8
9
— 0,077
— 0.077
-0 .0 7 7
— 0.077
0,154
0,154
0,154
0,154
0,692
— 0,200
0,200
- 0 ,2 0 0
0,200
—0,100
0,100
0
0
0
— 0,200
— 0,200
0,200
0,200
0
0
—0,100
0,100
0
0,154
0,154
0,154
0,154
0,192
0,192
— 0,308
— 0,308
— 0,385
— 0 ,250
- 0 ,2 5 1
0 ,250
0,250
0
0
0
0
0
0.154
0,154
0,154
0,154
— 0,308
— 0,308
0,192
0.192
— 0,385
У1
У2
/.'■’>
fn
Ун
Уб
У7
У8
уя
*1
*п
*22
Вектор
выхода
У
[h
Г/2
Иг
И*
1/5
Ун
Уз
.'/«
Уз
У2
■J,
У*
У5
.'/6
//9
О кон чан ие т а б л . 4.2
О
1
2Q
11/11 iJXf
П лан
М атри ц а
1
2
3
4
5
6
1>а
0
0
0
1 .0 0
0
0
6,
ь2
— 0,25
— 0,25
0
0
0,25
0
— 0,25
0
0
— 0,25
0,25
— 0,25
0,25
0
0,25
0,25
Ьц
0,25
— 0.25
L
В ектор
вы хода..'
Ь 12
Ь22
— 0,25
0,50
1 ,0 0
— 1 ,0 0
— 0,25
— 1 ,0 0
0,25
0,25
0,50
0
0
0
У
fh
1)2
Уг
У*
№
Г/б
Д л я н е к о т о р ы х п ланов, р ек о м е н д у е м ы х в раз д. 3, и в табл.
4.2— 4.3 п р и в е д е н ы м а т р и ц ы L ~ [ ( X * W X ) ~ ' X* W\* с о о тв е т ст ­
ве нно д л я дв у х- и т р е х ф а к т о р н ы х пл ан ов второ го п о р я д к а [6].
И с п о л ь з у я их, с п о м о щ ь ю Э В М или м и к р о к а л ь к у л я т о р а н ах о д я т
к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и я регрессии.
П у с т ь l ui — э л е м е н т м а т р и ц ы L , с о о тв е т ст ву ющ и й и -му
о п ы т у и г-му ф а кт о р у , его к в а д р а т у или в з а и мо д ей с т в и ю ф а к ­
торов.
Тогда
коэффициент
6,
в ыч и с л я е т с я
с л е д у ющ и м
образом:
bi— li Y = 2 lUi Г/и.
1<К<(1
Т а к и м о б р а з о м , н а х о ж д е н и е л юб о г о к о э ф ф и ц ие нт а с в о д и i си
к в ы ч и с л е н и ю с к а л я р н о г о пр ои зве де н и я двух векто ров- с тол б цов,
о ди н из к о т о р ы х — со от ве т ст вующий с т о л бе ц м а т р и ц ы L, д р у ­
гой — в е кт ор о т к л и к о в Y.
П р о в е р к а па з н а ч и м о с т ь к о э ффи ци ен то в у р а в н е н и я р е г ре с­
сии п р о во д и т с я с п о м о щь ю /- кри т ер ия С т ы о д е н т а
/д к =
А
_
( 4 .6 ;
со с т еп е н я ми с в об о д ы / — / в<„-пр.
О ц е н к и с р е д н е к в а д р а т и ч н ы х о ши бок выч исл е ния к о э ф ф и ц и ­
ент ов у р а в н е н и я регрессии о п р е д е л я ют с я с ле ду ющ им об р аз о м:
S h i —- \
О .S’-'uin-iip
( 4 .7 )
В е л и ч и н ы а д л я р а з ли ч н ы х двух- и т р е х ф а к т о р н ы х планов
п р и в е д е н ы в т а б л . 4.4. Есл и п р о д у б л и р о в а т ь весь план, н а п р и ­
мер, k раз. что п о з в о л я е т боле е точно оценит ь п а р а м е т р ы мо­
де л и , то в ф о р м у л ы н е о бх од и мо ввести п оп рав ки . Во всех ф о р ­
м у л а х, где у ч а с т в у е т ве л ич и на у, ее н у ж н о з а м е н и т ь на у ' = к \ .
В м е с т о ф о р м у л ы (4.7) с л е ду е т п р и ме ня т ь с л е д у ю щ е е в ы р а ­
жение:
S b ' = V ~ т S2,iocnp37
11,
!
IS.'5,
1 1 15.1S','i 1.1i-.1 i^.1 1S'.1~.1S'.1^.1^-.1
' 1i ,
i
iililljl
? 2 *“illIsisIS
о о"о о о’о'о"о*о о о о о о о о о*о о*о' о
J
ocoSoooo
II
аз О О О
gggg
о*о o’о
Шё Ш\
з'о 'О О О О О О О О О О О О О О О О О О
о о о'|
i
ООо О
I
Sg g g 1 оI £ £ - ?
О О О О о О О о О О о О О о ’О о ’о о о о ,
£
§§
О
ГО
О
r
^
! I
О О О с
СО '
“ q - .c q e .o q S 8
g g Scoo =
о о' о о о о o ' о*о о о о о*о о о о' о О О* о*
I
gggg
I
ё Ш
О С С о
I I I
= lllllsllllll
о ' о с ’ о ’ о ' о ’ О о ' о' о о о ' О О О О О о о о о
I ё§§§
•«С О
О
о о
f
I i § a 11 i 3 8 ё i 12 - 2 £ i sii i 8
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
ГО -M г " м
ю
-г ю
— r o ro
^
M r. W N N
t- - -M i O
g.§ g.g.g s .g g 8 g.
S.= S S S 3 S 8 §
o 'o c o o o o o o 'o o o o o ’o 'o o o o o o
M
i
:
i
= g8i
Ills
i
;^s
§
I
1
1
1
1
§
1
:r
1 . 1 1 1
3
I
l
l
s
OOOOOOOOOOOOCOOO>
I
sililliisllsl 1 SSsil
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
1 .1 1 1 1 i l . i | 1 1 1 1 i i l i s s z j ' i
О
o' o' о' о*о о о' о' о' о о о' о' о' о о о о' о' о"
—
38
О Т L
.TО Г- ос О О —C
--I сс
«
-СО t" ос о о ■
—
5555
o' o*o*—
Ills
с о с с
—*ПГ
С■
*
"
4 .3
табл.
П родолж ение
Ю—r--OlO —h-GTfC4^r
О
С С
T f T f ■** О С О tC С iC X О 0 4
•~ ОС О
О O') О
О СГ>»Л*0 LOiOlOli? lO«ЛOl
C O c O g O rO C O g O O C C O O
е о о с .-- ——- c .q o q o q o q w
о*сГо о*о*o’о' о*о*о' о*о*о’о о*о*о*
го со со со
00 0р0.
00
с о 00
о о .о
ОС X
© о о
о о* о* о* о " о ’ о* о ’ о* о* о ’
I I I
Oi
r tCOi^f CCO
го — — оо со — — ос
0о0
—
О — — — о
о о * о о * о* о* о* о* о о
I I i
0 0 0 0*00000 0*0 0*00000
ХОХФОССХ^^сСЛ
© о О О ОО О О ©о О О ^ ^ ^ ^ О!
О
О
О
О
Ю 1Л Ю Ю I r t l O ‘О Ю О
с О О 5 ОО О О О О О О
о О* О* О* О*О* О* О* о *
О 04 О
04
о* о* © ‘ о О о о
о О о о
о* О
*О*О О О О О о о
00 00 00 00
о о
— СО ©
Г '- С Ч — ©
о* о *
о* о* о*
- - -
04 — ©
о* о
о о о
С О О О г
'•<
о - - -
СО L.O
о с о
О* о * о * о * о * о * о * о * о
о* о
I I
О
ООООс,ООО’
о О О О Ю Ю 1-0 > о С . _
О О О о . о о о о ————о о. •о
I4-
- WOMCiDOrJOCC
0 0 0 0 0 0 0.0
I I
о * О* О* о * О* О* О* О* О С ©
о
ГОГОГОГОГОСОГОСО
ОООООООООООООСОО
о о*
— — COO —
„о . ~ — — о —
о о
о о*о*о о
с
Г О С О О О С О Г О О О С О Г -О
—
о — о — О — О.
—
ео “о* о* о* о* о* о* о* о* о* о
lCO400OJlOOJ00C4
го го го го
го го го го
00 00 00 00
о
о * о * о о * о * о* о * о о о о о о
§ 8 8 8
о о * о* о* о
о о
О О 00 О О О X О О ' х
о'
сососогососососо
о о О О О О ^ iO
О Ос О .
о о о о О О
о
см
С О С С О © С О С О © © © © э О
о о — о.О Р. — О о о —
о* о* о* о * о о о * о* о о * о *
с | 0 N СЧ
N С
o o g o c o c ;
О* О !
:
• X О ОС — о с о о с о о о о о о о о о р о р
о ' о ' о ' о * о ' О* О О* с Р р — :
ГО
о оГОгГО
оГО
оГО
оСоОГО
оС
оО
то го го го
;С со О о
о р. О 0 0 0 0 . 0
о* о* о* о * о* р
о* о о о
с
о о о о
о* о " о* о* <
•
м г:
о о ' о ' о* о ' о ' о ' о ' о ' о ' о*
1Г^—Xf-~_С.—'Ot Nh
о * о* о ’ о*
о
о* о* о*
о* о *
о* о* о
о* о* о о
О) X Ю О
OGOCOOCO^r^r —
------------------------GOO.
X с
■О с . ’Г Т
N '—
' С О О Г1
о с
О О . — —. о ч (М. 04.
о О* О* О* О О* О* О* О* О* о *
- W X ’t i O O S X O O 39
4.3
О- Л
*3
fr- О х
* х
%3
Ш яз
Продолж ение
табл.
О
rtx a o -o -O o o o i
s—
o—
o. t—
o_О
m. О
' -. O
f i.iCoD—
^ N—
.
сГ о* о ' о ' о ' о ' о ' о ' о
I I
t4*-' f-~ Ь -Ь - 1 ^ -Ь -Г > - Ь ^ 1 ^ .^ г ^ .^ о О О О О О O '
O O O O O O O O — — — - .Ю Л Ю Й Ю Й Л
О 0 . 0 .о o . o . 0 . 0 . — — —^— с о о . о о о о .
о ' о ' о о о ' о о о ' о ' о ' о о ' о ' о ' о ' о ' о ' О* о*
M i l
ссхссеоссссессс
——©
О чг
0Ю0Ю0
о8 о о о о
о о ' о ' о ‘ о ' о ' о* о о
I I I
оо og оо оо
о о о о
о ' о ' о ' о о ' о о ' о ' о о о о о ' О о ' О* О О о
II
^ О О - ао - оо эо о
— — —-О — о . — о О.
о ' о ' о* о* о ' о ' о о ' о
I
0 0 0 .0 0 0 0 0 0
о ' о' о' о' о'о ' о 'о' о'
I
I I I :
^ "М“М о i-О О Ю о —
Tj*OOf^Of^-OuCCO
о о ' о ' о ' о ' о ' о ’о о '
I I I I+ I+ ++
со го сч -гр сч т**
■"i* rj* со -f cri
0 . 0 . 0 . о O .o
о о ' о ' о ' о ‘ о ' о* с
II
^ c o rtro r^ c o rtro
ОСОСССООООООССОС
о . 0 . 0 . о . о о. о . о
о ' о ' о ’ о ' о ’ о* о ' о* <
1 1 1 1
!
СЧГССОСЧтрСЧтГОО
О О О О С О О Ю 1Л
I I
о о . о О. о о . О о . о . о . о . о . о о о о — — —
о о о о о ’ о о о ' о ' о ' о* о ’ о ' о ' о* о ' о ' о о
cj о .п т- г о ’t
C O O tC T f
о о о о о о
) о ' о ' о ' о о* о ' о о
I
сс се <о ес
00 00 00 00 00 00 X 00
0 0 0 .0 0 ^ 0 0 0
JO O O O O O O O O
ССССОГОсССОСОССОХГСО
•£'
О СО О О О С О оО О О оО ЗС Х О О О С О О
о. о о . о . о о о о о о о о
<Г о* о ' о ' о ' о ' о* о ' о ' о* о ' о о ' с
I- I"- М- м h-t-- Г-- Г-~ о О О О Мh~ Г—Г~- о о о
О О О О О О О О iC ЮiC t O-----------------Ю Юic
О. 0 .0 . О. О. О. О. О.о . О О О ——. — — О О О
о о о ' о ' о ' о ' о ' о*о ' о ' о ' о ’ о ' о ' о '
О*о ' о ’ о '
lO iC
«С
r*V
;
iC tC iC iC iC iс
о. о. о. о . о . о. о . о.
о ' о ' о ' о ' о ’ о ' о ' о" о о : >о
О О О CDо О О
Ю iC lO lO iC iC iC
о . О. О. о . о о о.
o ' o ’о ' о ' о ' о ' о '
м м
^ Ю Ю К М ^ К О 'Л
СО — - f l о сч С т t о .о . о. о .о .о . о о . о
о'о'р о'о'о'о'о 'о'
о*С Ю
о о1C Ю
о оЮ IоC оLO iC
о lоO оЮ о4 0 оIC о»C IоC о»C оЮ
O .o . 0 . 0. o .o . o o o o o o o o o o
о о ' о ' о ' о ' о* о о ' о ' о* о ' о ' о ' о ' о ' о ' о о о
II
h- ^ -чр — Cl — М ’УЮ
o o o o o o o o o
o'o'o'o'o'o'o'o 'o'
I
II II
г; >
40
II
II
I I
СЧ<МСЧОСЧОСЧО*СЧ
O O O O O O O O O О О О
L O lC iC iC iC iC iO iC L O L C iC lC
I N O C 'O C O lO C S ^
о — — Г-» 00 t-~ 00 ОС рw N ^ o o .o o o o
о ' о ‘о ' о ' о ' о ' о ' о ' о '
2 ° 2 Q O O o o o o o q o o o
§2О SО SО О
О О О Ю Л СЮ С Л Д ЛЮЮ
— — — —. — — — —. о . о . о . о . о о . о о о . о . о .
о о о о о ' о ' о ' о ' о ' о ' о ' о ' о* о о о ' о ' о ' о
I I I II I I I
<NCO^|COr-«0000
О О О
Ю Ю Ю
О .о .о .О .о о . О .о . О .Р О .О
О О .о .
о о о о о' о ' о ' о ' о ' о ' о ' о' о о о о о ' о ' о
I
I
]
1011 11 1
-*СЧСОтРЮОГ"-ЭСОО —(МССтРЮ
ОГ—
ХО
4.3
О
— (М «
П родолж ение
табл.
в
О СО СО СО СО СО го
© СО СО СО СО СО СО
О ОООООО
СОСОСОСОСОСОСОСООООООО
-QOrrcn
о о о о О О , О СЧ СЯ СЯ сч сч сч
о " о ” о ’ о " о ’ о ” О* ©“ о " о * o ’o ’o ’o '
о'с '"О О О
©
0 0 ОО ч г —
©О
.С
ЮЮ1ЛЮ1ЛЮ1ЛЮ
СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧ
о
© о о
о
о
о
^
СО СО СО СО СО СО
— о •'f о О
© <ЭС
00 —
о„2сч_© *т_
СОСОСОСОСОСОСОСООООООО
© © © © © © © © LO © Ю © © Ю
— со со СО со со со
•*о о_— —
о o ' о" о" о ' o ’o '
о © о о о о О о СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ
о о"" О О О О О О o ' o ’ о* о* о " о ”
© ' о" о ' ©' о ”
ЮЮ© © © © Ю©
LOО X о о
о ’ о ”о " о ' о ' о о ' о * <
о' о' о’о' о'
© © © © © © © ©
©о о осо
о о ООООС
о* ©" о" о ”о*
счсчсчсчсчсчсчсч
о
о
о
о о
о о
о
04 СЧ СЧ СЧ сч сч сч сч
аз
О со со со со со со
© СО СО со со со СО
о о" о
о
о
о
о о
о о © о
О©©©О
СОСОСОСОСОСОСОСООООООО
© < © © © © © © © © © © © © ©
© © © © © о . © о сч сч £4. сч сч еч
Ц
— "Ч- О © сч
©
ос *
© СЧ ©
О
©
СЧ
о о* о ' о ' © o ’ о ' о ' © ' © ' © ' о ' О* о ”
i
i
>8 S 8 S S
!
So
^ ©©с
о " © ' о * о " © “О*о ' ©“ о О © < > о ' © Г
I
о о
©©©©©ООО
о
©©ООООСООСОООО
©©©©©ООО
О С
i
О СО о
UO i n uO
о
о" о ’ о о
88
о ' о* о ’
о
88888
СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ
«О с о
счечсчсчсчс
чсч
о о о
о о ©
о о
© о
>о' ©' ©*©’©:
О
©
О
— — — сч
© © © —
— © О сч
О © ©© ©О © © ©© ©©© ©
O lC lC irtffl
g О О о о
'■Г
—
-""Г<
О -©
*Г■о*о*> о<—Ге“Г
о* о-—Г/~с
« о* ©" © © ©" ©
©' ©■©*■©' о'
С О СО С О СО С О СО С О СО О О © © © ©
о _ о С О О С С С С !
!
О — см СО ^
о
о
о
i
о ч СЧ СЧ_
i
— еч со
© © N- з о © © — с ч с о
*— с ч с о ^
©
41
У
В ектор
вы хода
табл. 4.3
Окончание
*55
1Л, <£?> ГI—
О СЧ1Й Ю О
— со со со —
ч г е ч — — сч
о ”о" o ' о ’ о"
1
•ft
••О СО
© ©
— —
о о*
о
сч
сч
о
1
1
—
сп
©
о*
—
со
о
о
I I
сч
■м
СЧ
©
СЧ
о '
о
—
СЧ
о"
1
ю о
-сГ
X
о.
tл
-С
«С!1
о '
l
1
ю — —
со о с о
—
о ' o 'о '
1
•ft
о '
© о о LO iO
— — — СО со
■*г г г с ч — —
о ' о ' о* о ' о '
i
©
СЧ
О
о '
О СП
СЧ СЧ
О О
о 'о '
t
42
-f
CScONONC^Ort
—
© _ СЧ О
* r СЧ
—
СЧ —
o ’о* о" о* о* о"" о" o ’ о* о '
I
I
©СсООссОсООО©
СМсм — сч — сч — о см
О о' о' о' о' о' о' о' о' о “
i
I
!
!
i
О О О Л ^COOSNN
ОООМССПОФ'Л^
СЧ СЧ^ СЧ —
—■ — СЧ О
О
СЧ
о*о’о' о”o’о о о*о*о"
II
II
;о О
■ W O>O
Оl N
CS V - C I N - /
о"o’о”о*о' о"о”о*о":
о о оJ5ооNс SСО
р сfОsо Oос оOс' -о
8—со
О О
S —- О ООС ЧСЧС сЧ С Ч —
0-
Г4—
o’о"о" i о' о*о' с
1
сч —
О О
— О
о “о '
—
О
о
о '
сч
СП—
о '
с ч сч
О О
— —
о ’о '
1
с
•ft
II
1
© СЧ СЧ СЧ —
сч — о о о
о сч —
о
©■ © ' о " © " о "
О)
—
04
о '
о о о"о' о о о о o’о'
! I
1
1
-ft*
со
0.0 сч
сч
1
.
СЧ — С Ч С Ч С Ч — — С Ч О ^ О ^
:
— го —
M
со
О
—
о '
O W O O O rtrtN h N
1
о ' о ' о ' о
-4
о' о*o' o' о*"о"o' о*о*сГ
11+11
ьО
<©
—
о
—
O^NfOOONWfOO
C' fi t OWOOt OWCOO
- O O ' N ' V ’J 'M
'СЧ
I I
О lO
— сО
"Ф —
о ' о*
О)
O N N SN C C O
SNСООСОСОСОООГОО
—о —о о сч о сч —^сч_
о"о' о' о о' о' о"о' о' о'
O O N N N S N n o O
ООфОСОСОсОСООО
— — о о сч о ©„— сч CN
о ' о" ©
*о*-о" о" o ’о ' o’о”
1 1 1 1
1
О О СЧ СЧ с ч
о а ^ ’Ч1 м*
W O O O
о " о* о о ' о '
©Cr5C^*'Ot'-ls- t —ь -г -г-.
ОЛСОСОСОСОСОООСО
^ — — “ ^ • ’Ч '^ О О О
о" о © о “о ' о" © о" о" о
1 1 11
O S 0 C O O
- C ^ C 3 ^ 4 0 C p t* - « 0 0
©
ч** Ч*
rf 05
X
—
СЧ
о"
© X 00
СЧ СЧ —
o ’ с" о"
©
©
©
©‘
X
X
о
о*
05
©
© lO_
o '
o '
VO
коэффициентов
о
©
СЧ
О
05
X о
©_
о' о'
сч
X
О X
ос h- о 05
X — ©.
о*
о*
X
Tf
о
о'
О
1.0 о
о
дисперсий
iC
N
lO 1C
СЧ
—
X
О)
©
О
Й
оценок
о'
©
п
—
00 Г-
©
LO
©
4fr
©
сч
о'
—"
©
о
о
X © © 05
ОО СЧ СЧ 05
о
сч сч
о" о" о ' о
X
сч^
о"
X
X
—
о"
сч
©
о
-г
о'
СО сч со ©
оо © X сч
о о
о ' о“
о
о ' с*
х
X х
х
X
© О
О
х
©
сч
—
О
X х
О О
тг
О
©
©__ —
-Ч-
Ю
©
определения
о' ©“o' о”о
для
05 ©
LO с ч
_ СЧ
о” о
С
X
■4Ч
J- ©
сч о о о
о ' о”
o'
©
- Г
t ^ ©X О
' 4 Хf ©Г ' ^3 ©
" X0 O0 X5 O
O
C4f (N
о 5 е О — — сч
о ' ©Г о ' о" о*- ©" о" о" о
с,
X г©
©
о —
©Г о* о
Величины
X
©
о
сГ
СЧ сч - ч ; Ю LC
o ' o ' o ' o ' сГ о"
о
сч
о '
о о
О) X
сч сч_
о '
о ^ fо о ^_ г-СЧ хX О
05 х
сч
©“ — сч'
о
о*
Tf ©
05 X
©
О* o '
© x © h - o © x ©
X
t-- ©
©© X
с ч © х © 0 © х
—- X
© ©
О
X
©
Х_ X
^
00
СО,
X
©Г
СЧ ©
X
сТ o ' o '
05
o'
-Г ©“ ©■ ©Г ©* о" о* o'
© ©
M
я *
« §
N IN
Q Q Q Q
вk;
—. © © чг о
сч х
сч
М
М
i l l
Ми
Л со
—
X
•= I
N; HI чI ЧI 4I
„
Я
О О
n; !<
—’
—
о
1
М
= ..£*
я п ЧI ?I
.©
J< :< оа аз «5
43
Д л я проверки значимости к о э ф ф и ц и е н т а п р о в о д и т с я с р а в н е ­
н и е э к с п е р и м е н т а л ь н о г о з н а ч е н и я t3K - к р и т е р и я с те о р е ти ч е с к и м
t T, в з я т ы м из р а б о т [1, 13], при з а д а н н о м у р о в н е з н а ч и м о с т и а
и ст е п е н ь ю св о б о д ы , р а в н о й / = = / Воспр. Е с л и э к с п е р и м е н т а л ь н о е
з н а ч е н и е t ? K— к р и т е р и я б о л ь ш е т е о р ети ч ес к о г о <т« , f (Д»К> / \ Д ,
то с в е р о я т н о с т ь ю р =
— а г и п о теза о зн а ч и м о с т и с о о т в е т ­
с т в у ю щ е г о к о э ф ф и ц и е н т а у р а в н е н и я регре сс и и не о т в е р г а е т с я .
Е с л и ti3K <
f, то к о э ф ф и ц и е н т у р а в н е н и я р егр ессии с в е р о я т ­
ностью р =
— а м о ж н о с ч и та ть н ез н ач и м ы м .
Н е о б х о д и м о отм ет и ть, что н е з н а ч и т е л ь н ы й к о э ф ф и ц и е н т
м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь из у р а в н е н и я р егр ессии то л ь к о в том с л у ­
ч а е, если он не с в я з а н к о р р е л я ц и о н н о й з а в и с и м о с т ь ю с д руги м и
к о э ф ф и ц и е н т а м и . В п роти в ном с л у ч а е в о з н и к а е т необ х о д и м о ст ь
п е р е сч ет а з н а ч е н и й всех к о э ф ф и ц и ен т о в , с в я з а н н ы х к о р р е л я ц и ­
он н о й за в и си м о ст ью .
Д л я б о л ь ш и н с т в а п л а н о в вт орого п о р я д к а у сл ов и е о р т о г о ­
н а л ь н о с т и , а зн а ч и т н е з а в и с и м о с т и о п р е д е л е н и я к о э ф ф и ц и е н ­
тов у р а в н е н и я регрессии, не вы п о л н я е т с я . В та б л . 4.5 п р и ве д е н ы
д а н н ы е о н ал и ч и и к о р р е л я ц и о н н ы х св язей к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в ­
нений регресси и вт о р о го п о р я д к а [ J.
Т а к и м о б р а з о м , и с с л е д о в а т е л ь , оценив з н а ч и м о с т ь к о э ф ф и ­
циентов, м о ж е т з а п и с а т ь м а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь изу ч ае м о г о
п р о ц ес са в ви д е у р а в н е н и й регрессии ви д а
1
1
6
y=b0+
2
b ''x i +
bnXi2 +
2
l <ick
I
2
biiXiXj
i=£j
I< (< 4
1< /< /!
с учетом всех зн а ч и м ы х и с в я з а н н ы х к о р р е л я ц и о н н о к о э ф ф и ­
циентов.
4.5. П Р О В Е Р К А У РА В Н Е Н И Я Р Е Г РЕ С С И И
НА А Д Е К В А Т Н О С Т Ь
П о с л е с о с т а в л е н и я у р а в н е н и я регрессии и с с л е д о в а т е л ю не­
о б х о д и м о зн а т ь , м о ж н о л и его и с п о л ь з о в а т ь к а к м а т е м а т и ч е ­
с к ую м о д е л ь т е х н о л о ги ч е с к о г о п р о ц ес са с точ ки з р е н и я то ч н о ­
сти о п и с а н и я э к с п е р и м е н т а л ь н ы х д а н н ы х . Д л я этого п р о во д и тся
п р о в е р к а у р а в н е н и я р егресси и на а д е к в а т н о с т ь .
П р о в е р к а о с у щ е с т в л я е т с я с п о м о щ ь ю д и с п ер с и о н н о го о тн о ­
ш ения Ф иш ера
F»K= 5 г. д/5*.оспр.
(4.8)
О ц е н к а д исперси и, о п р е д е л я ю щ а я н е а д е к в а т н о с т ь п р е д с т а в ­
л е н и я р е з у л ь т а т о в э к с п е р и м е н т а S 2aa со ст е п е н я м и св о б о д ы
i i — N — т — /воспр, в ы ч и с л я е т с я по с л е д у ю щ е й ф о р м у л е :
5 2ад =
4-
2
ЧЛУизк — Уи*™4) 2,
'4< и< п
44
(4.9)
Таблица 4.5
К орреляция парам етров уравнений регрессии для планов второго порядка
Размер­
ность
п л ан а i
Н азвание
п л ан а
К о р р е л я ц и и м е ж д у к о эф ф иц и ен т ам и
КО |2
2
Ь0 с Ьц, Ьц (.между собой)
* 1,2
2
Ь0 с />2 и
В-D , 2
2
Ь, с Ьц
*2 с Ьн, Ьц
( м е ж д у собой)
B~D n
2
Ь0 с Ьц, Ьц ( м е ж д у собой)
В ---£>:а
2
Все к оэф ф иц и ен ты за к о р р е л п р о в а н ы м е ж д у собой
£>42
В
2
Ьп с Ь ц , Ьц ( м е ж д у собой)
* о 13
3
К о р р е л я ц и я о тсутству ет д л я ко эф ф иц и ен то в
* 023
3
Ь0 с Ьц, Ьц
К/,а
3
Ьп с Ь п, Ь
Ьг, b 12, Ь2з
( м е ж д у собой)
,2 и
Ьц, 6 , с Ь ,2, Ьи и Ь-Г ,
Ь2 с Ь ,,, Ь з с Ь j 2. Ь ,2 с Ь |,
6 ;.з с й23,
( м е ж д у собой)
*>23
3
бз
3
Ьо с Ьц, Ьц ( м е ж д у собой)
б -£ > ,з
3
все коэф ф ициенты за к о р р е л п р о в а н ы м е ж д у собой
-О 23
3
все коэф ф ициенты з ак о р р е л п р о в а н ы м е ж д у собой
В
/>о с Ьц, Ьц ( м е ж д у собой)
где /V — число всех изм ере н и й в плане, т — число к о э ф ф и ц и ­
ен то в в у р а в н е н и и регрессии, у„ — число п овторны х и зм ерен ии
в и -й то ч к е п л а н а , у иж — средн ее зн а ч е н и е о т к л и к а в н-й точке
п л а н а , г/„расч — з н а ч е н и е о т к л и к а в «-Й точке п л ан а , р а с с ч и т а н ­
ное по у р а в н е н и ю регрессии.
О ц е н к а ди с п ерс и и вос п р ои звод и м ос ти э к сп ер и м ен т ал ь н ы ';
д а н н ы х 5 2ш)смр со ст еп е н ям и св обод ы h = /воспр ==
У }и—
=
1
уи —
Ад
определяется
п о с л е д у ю щ е й ф орм ул е:
С2
_
1
о воспр — ,
/воспр
V
V
\У ш
эк
Г. эк > i
Чи ) ,
где .У, — число точек п л а н а , в которы х п р о в о д я т с я повторны е
и з м е р е н и я , у,,,3" — ед ин ичное (<-е) и зм ер е н и е о т к л и к а в и-й
то ч к е п л а н а .
Э к с п е р и м е н т а л ь н о е зн а ч е н и е F 3>'■- с т ати с ти к и с р а в н и в а е т с я
с к р и т и ч е с к и м F 3 7, ц, п, взя т ы м из р аб о т [1, 13J, с учетом з н а ­
чи м ости а- П р и этом, если F 3* < F T, ,п,/ , то с в е р о ятн о с тью
2
45
1
p = — а г и п о те з а об а д е к в а т н о с т и по л учен но го у р а в н е н и я
р ег р е сс и и не о т в е р г а е т с я . В пр о ти в но м с л у ч а е у р а в н е н и е р е г ­
рессии н е а д е к в а т н о и его н е л ь зя и с п о л ь з о в а т ь д л я и зу ч ен и я
те х н о л о ги ч е с к о г о п р о ц е с с а . П р и ч и н а м и п о л у ч е н и я н е а д е к в а т ­
ного у р а в н е н и я р егресси и могут б ы ть о тс у т с т в и е р а н д о м и з а ц и и
при п р ове д е н и и и зм ер е н и й или н и з к а я степ ень а п п р о к с и м и р у ю ­
щ его п о л и н о м а . О дн и м из э ф ф е к т и в н ы х путей д л я а д е к в а т н о г о
о п и с а н и я п о верх ности о т к л и к а у р а в н е н и е м регрессии второго
п о р я д к а я в л я е т с я ум е н ь ш е н и е п р е д е л о в в а р ь и р о в а н и я x,min и
Ximах и зу ч а е м ы х ф а к т о р о в . С л е д о в а т е л ь н о , всю и н те р ес у ю щ у ю
о б л а с т ь ф а к т о р н о г о п р о с т р а н с т в а нео б х о д и м о р а з д р о б и т ь на
п о д о б л а с т и и п ровод и ть п л а н и р о в а н и е д л я к а ж д о й 'п о д о б л а с т и .
П о с л е по л у ч е н и я а д е к в а т н о г о у р а в н е н и я регрессии и с с л е д о ­
в а т е л ь м о ж е т перейти к а н а л и з у м а т е м а т и ч е с к о й м одели. П ри
а н а л и з е нео б х о д и м о пом нить, что и сп ол ь зуя у р а в н е н и е р е г р е с ­
сии к а к и н т е р п о л я ц и о н н у ю ф о р м у л у , мы п о л у ч а е м не точные
значения
ф ун к ц ии о т к л и к а (не м а т е м а т и ч е с к и е
ожидания
г) (х, р ) ) , а л и ш ь их оц ен к и р расч. Д о в е р и т е л ь н ы й и н т е р в а л д л я
м а т е м а т и ч е с к о г о о ж и д а н и я ф ун к ц и и о т к л и к а в точке л'о м о ж ет
б ы ть полмчен с в е р о я т н о с т ь ю р =
— а с п ом ощ ь ю оценки
у раеч(*о) [7]
1
г/расч (*0) — t , . f воспрV Г + 5 ^ Р а«(л-оТГ< П ( х0) <
<£раСЧ(*о) —t. , г воспрV 1 + S 2fc r" (.Vo)}.
О ц е н к у д и с п ер с и и п р е д с к а з ы в а е м ы х зн а ч е н и й о т к л и к а в т о ч ­
ке х S 2{ypaQ4( x 0)} м о ж н о о п р е д е л и т ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
0
2
Д хо) [у(хп)—;уРасч(.с0)Р
П
где у ( х о) — чи сло по вт о р н ы х и зм ер е н и й в точ ке х с.
В с л у ч а я х , к о гд а у р а в н е н и е в торо го п о р я д к а н е а д е к в а т н о ,
м о ж н о п о в ы ш а т ь степень п о л и н о м а с п о м о щ ь ю о р т о г о н а л ь н ы х
полиномов Чебы ш ева.
с г„
о и / р а с ч р Ч ) Н — ----------------------- f -----------------------1
4.6.
М Е ТО ДЫ П Р О В Е Д Е Н И Я А Н А Л И З А
У РА В Н Е Н И И Р Е Г РЕ С С И И
М е т о д ы п р о в е д е н и я а н а л и з а п ол ученн ого у р а в н е н и я р е г р е с ­
сии могут бы ть р а з л и ч н ы м и . М о ж н о постр оить лин ии р ав н ы х
з н а ч е н и й ф ун к ц и и о т к л и к а [ 1 , 4 , 6 ] или ее н о м о г р а м м у [ , 16],
п р и в е сти у р а в н е н и е регрессии к к а н о н и ч е с к о м у виду, и с п о л ь зо ­
в а т ь а н а л и т и ч е с к и е м е т о д ы пои ск а э к с п е р и м е н т а л ь н ы х з н а ч е ­
ний ф у н к ц и и и т. д.
Р а с с м о т р и м м е т о д и к у к ан о н и ч е ск и х п р е о б р а з о в а н и й , п р е д ­
л о ж е н н у ю в р а б о т е [4]. У р а в н е н и е регрессии, п о л у ч е н н о е с п о ­
6
46
м о щ ь ю п л а н о в второго п о р я д к а , в об щ е м с л у ч а е имеет с л е д у ю ­
щ ий вид:
У
= Ь0 +
У,
+ y i Ьц Xi х\ + V] Ьц Xi2.
i=/Lj
bi xi
(4.10)
l « / < *
У р а в н е н и е (4.10) м о ж н о привести к к ан о н и ч е ск о м у виду
У— Ус =
1
2
9 ; г<2 +
2
ci z i2г+ 1< / < *
К а н о н и ч е с к о е п р е о б р а з о в а н и е состоит из дв ух этапов. Н а
первом
п р о и зв о д и т с я перенос н а ч а л а к о о р д и н а т в э к с т р е ­
м а л ь н у ю точку. Н а в т о р о м п р о и зв о д и тс я з а м е н а стар ы х
к о о р д и н а т н ы х осей х, н овым и z,-, п оверн у ты м и на некоторы й
у гол о т н о с и т е л ь н о с т а р ы х осей.
П р и д в у х ф а к т о р н о м п л а н и р о в а н и и второго п о р я д к а у р а в н е ­
ние р ег р е сс и и з а п и с ы в а е т с я сл е дую щ и м о б р а зо м :
y = b0 + bi Л"| + Ь2 х 2 4" Ь 12 х 1 Х2 + b\ 1
-\-Ь2 2
х 2
■
(4 .1 1 )
Э к с т р е м у м ф у н к ц и и н ах о д и тс я в точке, в к оторой в ы п о л н я е тс я
ус л о в и е
<hj
_
г)х |
ihl
__ «
<Гг2
Д и ф ф е р е н ц и р у я у р а в н е н и е (4.11) по Х\ и х 2. получим систему
двух уравнений:
- 2
с!*,
ду
— Ь\ ~\- Ь\2х 2 + 2 6 ц Ад — 0,
b 2- Vbn X\ + 2^22-Ь = 0.
(4. 12)
Р е ш а я с и с те м у (4.12), м о ж н о о п р ед ел и ть к о о р д и н ат ы э к с т р е ­
м а л ь н о й точ ки с(а ' , ; х ' г) и у р ав н ен и е (4.11) з а п и с а т ь в виде
12
У— Ус = Ь12( х 1— х к ) ( х 2— х 2<) + Ь п ( x l- ~ x lc)'J + b 22 ( х2— х 2<У\
где Ус — зн а ч е н и е о т к л и к а у в э к с т р е м а л ь н о й точке с.
К а н о н и ч е с к о е у р а в н е н и е при д в у х ф а к т о р н о м п л ан и р о в а н и и
вт о р о го п о р я д к а м о ж н о з а п и с а т ь в виде
Величины
01
У— Ус = Hi
и 0 2 — корни
П арам етры а и р
2
2
{2 + 0 z22.
х ар а к т е р и с т и ч е с к о г о
(413)
уравнения
0 2 + а © + р = 0.
равны:
а = — (6 ц + Ь22) ;
Р — Ь ц - Ь 22 — 0 , 2 5 Ь 122.
47
К оординаты z x и z 2 м ож н о записать в сл едую щ ем виде:
Z\ = l\ ( х х— х хс) + т х( х 2— х 2с);
z 2 = l2( x x— x lc) + m 2( x 2— x 2c)\
где U и
— косинусы угла поворота новых координатны х осей
относительно старых.
Н аправляю щ ие косинусы определяю тся из вы ражений:
пи
2(0*—bu )
U
Ь12
*
V I + (пи l b ) 2
Т а к и м о б р а з о м , с т а р ы е к о о р д и н а т ы ад и х 2 с в я з а н ы с новыми
z x и z 2 п оср едством с л е д у ю щ и х з а в и си м о ст ей :
А'] = /| z x + l2 z 2 - f х и \
х 2 = m x z x + m 2 z 2 + x 2c.
П р и пом ощ и в ы ш е о п и с а н н о го сп особа в о зм о ж е н п ереход
к к а н о н и ч е с к о м у ви ду у р а в н е н и я н е з а в и с и м о от того, ск о л ьк о
ф а к т о р о в у ч а ст в у ет в изучении те х н о л о ги ч ес ко г о процесса. Так,
при к = 3 к а н о н и ч е с к о е у р а в н е н и е им еет в и д
2
У— Ус = 0 \ z \2 + (^2~22-
В е л и ч и н ы 0 ( и 0 — корни
'
(4.14)
характеристического
уравнения
3 2
0 + а 0 + (30 + у = 0.
Значение входящ их
ров р а в н ы :
р=
в уравнения
(4.15)
(4.14) и
(4.15)
парамет­
а = — ( Ь ц + Ь22 + £>зз);
5
п Ь22~\-Ьц b33 + b22b33— 0 , 2 5 ( b x22 + b x32 + b232)\
22
у = 0,25 (Ьц b232 + b22 b x32 + b33 b x — b x2 b X3 b 23) — b x2 b X3 b 23\
z \ = l \ ( x \—
a ' k )
+ I 1l \ ( x
2—
-v
2f )
+
n
i ( A
'3
X 3c )
;
z 2 = l2( x \ — A',, ) + tn2( x2— a'2c ) + n 2( x3— л'з,);
Z3 = U(X[— Xic) + m 3 ( x2— x 2c) + n 3(x з— л'з,).
Н а п р а в л я ю щ и е коси нусы
нии с и с т е м ы урав н ен и й :
т { и л,
определяются
! пц
Ь1ъ( Ь п — 6 , ) —-0,5 Ь п Ь п
h
* ,з ( 6 22— © О — 0,5 fe,2 6,з
tlj
0,5
/*
&!з(&22— 0 i ) — 0,5 bi2 &23
*
— 2 ( Ь ц — 0 | ) (&22— 0 ‘)
V \ + (пи //,•)*+ (ml b y
48
’
при р е ш е ­
*
Стары е координаты
дую щ им образом:
(
л-ь
Xi = /( Z| +
■ л'2 = m | ^ | +
(
X 2 — rii Z \ +
3
/2 /33
х2 и х
z2 +
в ы р а ж а ю т с я через новы е с л е ­
z +
г 2-\-гПз г'з + л'зс;
Z2 +
Л3 2 3 -)- Л'зс.
П р и у в е л и ч е н и и к о л и ч ес тва исс л ед у ем ы х ф а к т о р о в (более
тр е х ) п ер е х о д к к а н о н и ч е с к о м у ви ду с т ан о в и т ся очень т р у д о е м ­
ким и о с у щ е с т в л я е т с я с п ом ощ ью ЭВМ.
П о л у ч и в к ан о н и ч е с к о е у р ав н ен и е , и сс л е д о в а т е л ь м о ж е т у с ­
т а н о в и т ь э к с т р е м у м ф ун к ц и и о т к л и к а и х а р а к т е р ее и зм ен ен и я
в ф а к т о р н о м п р о ст р ан с тв е . П р и р а в н и в а я вел и чи н у о т к л и к а у
в у р а в н е н и я х (4.13) или (4.14) к о п р ед ел е н н ы м ф и к с и р о в а н н ы м
з н а ч е н и я м , м о ж н о п ол учи ть к р и в ы е равн ого в ы х о д а . В н а с т о я ­
щ е е в р е м я это т способ а н а л и з а получил ш и р о к о е р а с п р о с т р а ­
нение, о со б ен н о при д в у х ф а к т о р н о м п л ан и рова н и и .
Н а рис. 4.1, 4.2 п р и ве д е н ы четы ре в о з м о ж н ы х в и д а к о н т у р ­
ных к р и в ы х в д в у х ф а к т о р н о м пр ост р ан с тве : гип ерб олы , э л л и п ­
сы, п а р а л л е л ь н ы е п р я м ы е , п а р а б о л ы .
16 Ш
Рис.
4.1.
В о з м о ж н ы е виды ко н ту рн ы х кривых в д в у х ф а к т о р н о м п р о ­
с тр ан с тв е: а — гиперболический п а р а б о л о и д (О, и в 2 и мею т ра зн ы е зн а к и ) ;
б — эл л и п ти чески й п а р а б о л о и д ( в , и в 2 и мею т о д и н а к о в ы е з н а к и ;
Если коэффициенты 01 и 0 2 имеют разны е знаки, поверх­
ность отклика представляет собой гиперболический п арабол ои д
(рис. 4.1,а ) . Ц ентр фигуры назы вается минимаксом или «сед49
Р и с . 4.2. В о з м о ж н ы е виды к о н ту рн ы х кривых в д в у х ф а к т о р н о м п р о ­
стран с тве: а — гре бень ( 0 2 = 0,
— кр у ти зн а н а к л о н а ) ; О — стац и о н ар н о е
в о зв ы ш е н и е ( 0 2 = 0)
л ом ». Е сл и к о э ф ф и ц и е н т 0 ) п о л о ж и т е л е н , то о т к л и к у — у с
у в е л и ч и в а е т с я при д в и ж е н и и по оси
в обе сто р о н ы от ц ен т р а
ф и г у р ы , а по оси г — у м е н ь ш а е т с я . И с с л е д о в а т е л ь , с т р е м я щ и й ­
ся к м а к с и м а л ь н о м у з н а ч е н и ю о т к л и к а , д о л ж е н п р о в о д и т ь и зу ­
чени е п о в е р х н о сти о т к л и к а в д о л ь оси г,.
Н е о б х о д и м о о тм ети ть, что п оверхно сть о т к л и к а , п р е д с т а в ­
л я е м а я неп ол н ы м к в а д р а т н ы м у р а в н е н и е м , в с е г д а я в л я е т с я г и ­
п ер б о л и ч е с к и м п а р а б о л о и д о м .
Если коэффициенты
i и
и м ею т о д и н а к о в ы е з н а к и , п о­
в е р х н о с ть о т к л и к а п р е д с т а в л я е т собой э л л и п ти ч е с к и й п а р а б о ­
л о и д (ри с.4.1,6). Ц е н т р ф и г у р ы ( э к с т р е м а л ь н а я то ч к а с) я в л я ­
е тся м а к с и м у м о м , если к о э ф ф и ц и е н т ы
и
отрицательны,
и м и н и м у м о м , е с л и они п о л о ж и т е л ь н ы .
Е с л и цен тр ф и г у р ы н ах о д и т с я в б л и зи или в о б л а с т и ф а к ­
т о р н о г о п р о с т р а н с т в а , где п р о в о д и л с я э к сп ер и м ен т , то д л я о п ­
р е д е л е н и я о п т и м а л ь н ы х величин ф а к т о р о в нео б х о д и м о у б е д и т ь ­
ся, что э к с т р е м а л ь н о е з н а ч е н и е о т к л и к а , п р е д с к а з а н н о е м о ­
д е л ь ю , д о с т а т о ч н о х о р о ш о с о в п а д а е т с о п ы тн ы м и д а н н ы м и .
Е с л и один из к о эф ф и ц и ен т о в , н а п р и м е р 0 2, р ав ен нул ю , то
п о в е р х н о сть о т к л и к а п р е д с т а в л я е т собой с т а ц и о н а р н о е в о з в ы ­
ш ен и е (рис. 4 .2 ,6 ). В е л и ч и н а у, я в л я е т с я о т к л и к о м в л ю б о й т о ч ­
ке на оси Z\. Ц е н т р о м ф и г у р ы м о ж е т бы ть л ю б а я т о ч к а на
2
6 02
01 02
ОСИ 2 ] .
50
К о г д а к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и я , н а п р и м е р , b i2 и Ь2'2 р а в н ы
нулю , т о г д а к а н о н и ч е с к о е у р а в н е н и е п р и н и м а е т вид
01 ,2 b2
у = ус =
z
+
z 2.
Л о к а л ь н о п о в е р х н о сть о т к л и к а п р е д с т а в л я е т собой в о з р а с т а ю ­
щ ее в о з в ы ш е н и е — гребень, к р у т и зн а н а к л о н а к оторого р а в н а
1)2 (рис. 4.2,а ) . Ц е н т р ф и г у р ы л е ж и т на оси z b но отнесен в б е с ­
ко н еч н о с ть по оси z 2. И с с л е д о в а н и е этой п о верхн ости а н а л о г и ч ­
но с л у ч а ю и зу ч ен и я п о верхн ости о т к л и к а , п р е д с т а в л я ю щ е й с о ­
бой г и п е р б о л и ч е с к и й п ар а б о л о и д .
П р и чи с л е ф а к т о р о в k > 2 изучение повер хности о т к л и к а
п р о и з в о д и т с я исход я из та к и х ж е с о о б р а ж е н и й . О д н а к о в о т л и ­
чие о т п о ве р х н о сте й при k = 2, кото р ы е м о ж н о изу ч ать г р а ф и ­
чески, п о в е р х н о сти k
в общ ем сл у ч ае и з у ч а ю т с я а н а л и т и ­
чески [9].
П р и и зуч ен и и те хн о л оги ч еского п р оц есса с п ом ощ ь ю н е­
с к о л ь к и х ф ун к ц и й о т к л и к а и с с л е д о в а т е л ю часто пр и х о д и т ся
н а х о д и т ь у с л о в н ы й э к стр е м у м одной из ф ун к ц ий у i — f \ ( x i , x 2,
■Уз, ..., л'*) при ог р ан и ч ен и я х , н а к л а д ы в а е м ы х другой фун кц ией
>2
У2 = 1\
(-И. А2>Л'з,
хк
)■
В с л у ч а е д в у х ф а к т о р о в эта з а д а ч а м о ж е т быть р еш е н а г р а ­
ф и ч ес ки с п о м о щ ь ю построений линий р ав н ого вы ход а по к а н о ­
н и ческ и м у р а в н е н и я м .
П р и k > 3 з а д а ч у п ри х оди тся р еш а ть с п ом ощ ью ЭВ М ,
п о л ь з у я с ь м ето д о м н еоп ре де л ен н ы х м н о ж и те л ей Л а г р а н ж а [9|.
М е то д н е о п р е д е л е н н ы х м н о ж и т е л е й Л а г р а н ж а своди тся к р е ш е ­
нию си с т е м ы ур ав н ен и й :
(Ц \
Ox,
Of,
,
()х2
()h
,
’ "
,
>4
+ /. - ()х2
f -
_& _ + д
()\'ъ
Па-,
<)x?t
= 0;
= 0;
= 0;
У2 = /2 (A'b Х2< ■■■» Л'Аг)
о тн о с и тел ь н о п ер е м е н н ы х лд, х 2, .v3, ..., Xi при некотором ф и к ­
с и р о в а н н о м з н а ч е н и и у 2. Д л я реш ен ия си с те м ы нелинейны х
у р а в н е н и й и с п о л ь зу ю т с я методы, п одробно и з л о ж е н н ы е в спе­
ц и а л ь н о й л и т е р а т у р е [9J.
В о т д е л ь н ы х с л у ч а я х д л я изучени я п оверхности о т к л и к а
ц е л е с о о б р а з н о и с п о л ь з о в а т ь м етод ы построен ия н о м о гр а м м [16J.
Т ак , н а п р и м е р , д л я дв ух- и т р е х ф а к т о р н о г о п л а н и р о в а н и я вто51
рого п о р я д к а м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь соо т вет ст вен н о н о м о г р а м м ы
из в ы р а в н е н н ы х то ч ек с д в у м я п а р а л л е л ь н ы м и и о дной к р и в о ­
л и н ей н о й ш к а л а м и , с д в у м я п а р а л л е л ь н ы м и ш к а л а м и и полем.
Е сл и один из к о э ф ф и ц и е н т о в Ьи , Ь22 или Ь33 р а в е н н у л ю или
бо л е е чем на п о р я д о к м е н ь ш е д в у х други х, то пост ро ен и е та к и х
н о м о г р а м м с в о д и тс я к сл е д у ю щ е м у . У р а в н е н и е регресси и с л е ­
дуе т при ве сти к ви ду
f\fu + /
2^34 134
+ I
= 0.
(4.16)
В н аш е м сл у ч ае , н а п р и м е р , при Ь33, р ав н о м н у л ю или b33<^ibu
и bi 2 , у р а в н е н и е р егресси и (4.10) д л я т р е х ф а к т о р н о г о э к с п е р и ­
м ен та за п и ш е м в виде
ХЪ(b{3 х \ + &23 Х2 + Ь3) + (Ьо— у ) +
+
(^11 х 12 + ^22 х 2 * +
Ь\Х{
Ь 2Х2 +
1>\ 2Х \ Х 2 ) =
0.
П ростейш ие уравнения элементов ном ограмм ы запиш утся сле­
дую щ им образом:
шкала а ь
д = 0, у = /, = л'3;
ш к а л а а 2:
х = Н, у = / 2 = Ьй— у,
п о л е ( а 3;
):
04
v = н**
/34 + ST34
^34
—
— (ftll ^ 1 ~ + Ь 22
/ з4 + £ з4
н________
^13 *1 + Ь2з
Х2+
Ь3 + 1
’
- 6 , Xi + b$ V2 + ^l9 -У, -V2 )
&13 *1 + ^ 2 3 *2 +
+ 1
С х е м а н о м о г р а м м ы п р и в е д е н а на рис. 4.3,а. Н о м о г р а м м а со с т о ­
ит из п а р а л л е л ь н ы х ш к а л а \ и а г и б и н а р н о г о п о л я ( а 3, « ),
связан ны х одним выравниванием.
4
У
-и
О
х
Р и с . 4.3. Сх е м ы н о м о гр а м м : а — из п а р а л л е л ь н ы х ш к а л оо
и я 2 и би н ар н о г о п о л я а 3, а 4; б — из вы р а в н е н н ы х точек
с п а р а л л е л ь н ы м и ш к а л а м и он и ct2 и кр и во л и н ей н о й ш к а л о й а 3
52
В в е д е м в у р а в н е н и е эл е м е н т о в н о м о г р а м м ы п а р а м е т р ы т , п,
и и /, причем будем с ч и та ть т > 0 и п > 0. Д л я этого у р а в ­
нение (4.16) з а п и ш е м в виде
— а) ] -у*- + [ / г ( / г — / ) ] - — - + (
0/34 ^34 34
+
+ ^
) = 0.
Н о в ы е у р а в н е н и я э л е м е н т о в н о м о гр а м м ы , с о д е р ж а щ и е п а р а ­
м е т р ы п р е о б р а з о в а н и я , з а п и ш у т с я сл е д у ю щ и м о б р а з о м :
ш кала а р
х = 0, у = m ( f i — a) = m ( x 3— а ) ;
(4.17)
ш к а л а а 2:
х = Я,
y = n ( f 2— l ) = n ( b 0— y ~ l ) ;
(4.18)
п о л е ( а 3, а 4):
х
=
т !l
1
g3<
п з4 Д
__
I Л ' р + ^ 2 2 ' ^ 2 ^ + 6 | 2 -V| T 9 +
=
_________________________
“
ч ( К з X] + &23 Т 2 + & з ) Г
— mn j a f u + lgM-1 Ы
nfM + m g M
( й | -f- 43^ 1,3) -Г| 4 -
т
*
_
( Й 2 + Ч ^ 2з ) -C2 “f + 3 4 + ]
п ( Ь 13 Л'| + ft23 * 2 + ^ з ) + ' 4
И з у р а в н е н и й (4.17) и (4.19) следует, что п а р а м е т р / / о п р е ­
д е л я ет расстояние м еж д у п араллельны м и ш калам и,п ар а м е тр ы
т
ип о п р е д е л я ю т р а з м е р ы ш к а л
и т.2, а п а р а м е т р ы а и /—
п о л о ж е н и е ш к а л по ве р ти к ал и . К о н с тр у и р о в а н и е н о м о г р а м м ы
состои т в п о д б о р е зн а ч е н и й п а р а м е т р о в //, т , п, а, I. П ри под­
б о р е п а р а м е т р о в с т р е м я т с я к тому, чтобы все эл ем ен т ы н о м о ­
г р а м м ы н а х о д и л и с ь в п р е д е л а х ч е р т е ж а и бол ее полно з а н и м а ­
ли его п л о щ а д ь . О б ы ч н о п а р а м е т р ы т и и н а з н а ч а ю т гак,
чт обы ш к а л ы a t и а 2 бы ли п р и б л и зи т е л ь н о о д и н а к о в о й д л и ­
ны.
П а р а м е т р ы а и I д а ю т в о зм о ж н о с ть
пом естить л ю б у ю
то ч ку ш к а л ы
и л ю б у ю точку ш к а л ы « 2 на оси Ох. О бы ч но
в к а ч е с т в е этих точек в ы б и р а ю т ни ж н и е концы ш к а л или их
се р е д и н ы [16].
П р и д в у х ф а к т о р н о м п л а н и р о в а н и и н о м о г р а м м а строи тся из
в ы р а в н е н н ы х то ч ек с п а р а л л е л ь н ы м и ш к а л а м и со и сс2 и к р и ­
вол и н ейн ой ш к а л о й а 3. Т а к н ап р и м ер, если Ь22 = 0 или b22<^ i b \ \ ,
ю у р а в н е н и е регрессии з а п и ш е т с я с л е д у ю щ и м о б р а зо м :
y = b0 + b ] l x l'2 + b l2x l x 2 + b2 x 2 + b, .V,.
(4.20)
У р а в н е н и е (4.20) нео б х о д и м о при вести к ви ду
/1
/з + /г 8з + Ьз = 0.
П олагая
2
f i —x 2 , fa — b i 2 x i - ^ b 2, / = ^о— У,
£з=1.
Лз = 6 ц X , 2 + М ь
получим уравнение
53
x 2 (bi 2 Xi + b2) + (Ь0— у ) + (&u X\2 + b[ X\) = 0 .
С х е м а н о м о г р а м м ы п р и в е д е н а на рис. 4.3,6. У р а в н е н и я э л е ­
м ен то в н о м о г р а м м ы з а п и ш у т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
ш кала а ь
х=0,
ш к а л а а 2:
ш к а л а а 3:
х = Н,
y = m ( f l— а ) = т ( х 2— а ) ;
v=
и —
~ l n n (a fz + lg3 + !h )
y = n ( f 2— l ) = n ( b 0— у — /);
т и g3 =
"fs + m g s
т н________
п ( b l 2 Xi + b 2) + m
’
2
_ _ — т п [ Ь и Л',2 + ( b l + a b l2) x l + a b + l}
n f 3+ i n g 3
п (bi2 x'i - T b2) + t n
К о н с т р у и р о в а н и е н о м о г р а м м ы состоит в п о д б о р е зн а ч е н и й п а ­
р а м е т р о в Н, т , п, а и /.
Т а к и м .о б р а з о м , в н а с т о я щ е м р а з д е л е и з л о ж е н ы н ек о то р ы е
м е т о д ы п р о в е д е н и я а н а л и з а м а т е м а т и ч е с к о й м одели т е х н о л о г и ­
ческого процесса. Н а о сн о в ан и и п р о в е д е н н о го а н а л и з а и с с л е д о ­
в а т е л ь д а е т к о н к р е т н ы е те х н о л о ги ч ес ки е р е к о м е н д а ц и и по п р и ­
м ен ен ию пр о ц ес са в п р о и зво д ст ве. Р е к о м е н д а ц и и м о гу т быть
п р е д с т а в л е н ы в виде т а б л и ц о п т и м а л ь н ы х з н а ч е н и й п а р а м е т р о в
те хн ол оги и и в о з м о ж н ы х отк л он ен и й , г р а ф и к о в или н о м о гр а м м ,
п о к а з ы в а ю щ и х св я з ь о т к л и к о в с в а р ь и р у е м ы м и п а р а м е т р а м и ,
с п о м о щ ь ю кото р ы х м о ж н о н а з н а ч и т ь р е ж и м ы те хн ол оги ч еского
проц есса.
5. П Р И М Е Р П Р И М Е Н Е Н И Я
ПЛАНИРОВАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
В р а б о т е [1] в к а ч е с т в е п р и м е р а р а с с м а т р и в а е т с я и с с л е д о ­
в а н и е те хн ол оги и д и ф ф у зи о н н о й с в а р к и в в а к у у м е ж а р о п р о ч ­
ного с п л а в а В Ж Л - 1 2 У со с т а л ь ю ЭИ 961. И с с л е д о в а н и я п р о в о ­
д и л и с ь в ц е л я х р а з р а б о т к и те х н о л о ги ч ес к о г о п р о ц ес са и зг о т о в ­
л е н и я ро тор ов ту рб ин м а л о р а з м е р н ы х г а зо т у р б и н н ы х д в и г а т е ­
л ей [5].
Н а о с н о в а н и и а н а л и з а ф а к т о р о в те х н о л о ги ч ес ко г о п р о цесса
п ок азан а целесообразность трехфакторного планирования экс­
п ер и м ен т а. В а р ь и р у е м ы м и п ер е м е н н ы м и я в л я ю т с я т е м п е р а т у р а
с в а р к и Гсв, д а в л е н и е с ж а т и я д е т а л и при с в а р к и Р св, в р е м я и з о ­
т е р м и ч е с к о й в ы д е р ж к и при с в а р к е т св. Д л я к оли ч ес тве н н ой
о ц е н к и к а ч е с т в а с в а р н ы х соедин ен ий и сп о л ь зу ю тс я п о к а з а т е л и :
.п р е д е л прочн ости при р а с т я ж е н и и у и в е л и ч и н а о ст ато ч н о й
м а к р о с к о п и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и с о е д и н е н и я z.
54
С п о м о щ ь ю п л а н и р о в а н и я э к с п е р и м е н т а по м е т о д и к е П Ф Э
п о л у ч е н ы д в а у р а в н е н и я регрессии. О дно из них
2 = 3 , 8 2 5 + 2,175 х, + 1,425 -v2 + 0,55 х 3 + 0,675 х, х 3
а д е к в а т н о о п и с ы в а е т за в и с и м о с т ь ост ато ч н ой м ак р о п л а с т и ч е ской д е ф о р м а ц и и с в а р н о г о со еди нен ия z от т е м п е р а т у р ы с в а р ­
ки х, в д и а п а з о н е 1293... 1403 К, д а в л е н и я с ж а т и я х 2 8...17МГ1а
и вр е м е н и с в а р к и х 3 8...17 мин. Д л я з а в и си м о ст и прочности
с в а р н о г о с о е д и н е н и я у от х х, х2 и х 3 а д е к в а т н о г о у р а в н е н и я
регрессии с п о м о щ ь ю П Ф Э п олучить не у д а е т с я и в о зн и к а е т
н ео б х о д и м о с т ь в п овы ш ен ии степени а п п р о к с и м и р у ю щ е г о п о л и ­
н о м а путем п р и м ен ен и я п л ан ов вт орого п о р я д к а . К а к п о к а з а л и
п р е д в а р и т е л ь н ы е эк сп ери м ен ты , н аи б о л ьш и й интерес д л я и с с л е ­
дования представляет область факторного пространства, бл и з­
к а я к ц ен т р у п л а н а . П о э т о м у тр е х ф а к т о р н о е р о т а т а б е л ь н о е п л а ­
н и р о в а н и е вт о р о го п о р я д к а вп о л н е у д о в л е т в о р я е т т р е б о в а н и я м
эксперимента. П лан -м атри ц а такого планирования п ред став­
л е н а в т а б л . 2.7.
Э к с п е р и м е н т ы , в ы п о л н е н н ы е по м етод и ке П Ф Э [1], п о к а з ы ­
ваю т, что н а и б о л ь ш е е в л и я н и е на прочность св арн ого с о е д и н е­
ния о к а з ы в а е т т е м п е р а т у р а св ар к и х\, т а к к а к к о э ф ф и ц и ен т Ь\
при X! в н е с к о л ь к о р а з бо л ь ш е д ру ги х к оэф ф иц иентов. В связи
с этим ц е л е с о о б р а з н о у м ен ь ш и т ь и н тервал в а р ь и р о в а н и я д л я
т е м п е р а т у р ы св а р к и , тем сам ы м повысив ве роятн ос ть а д е к в а т ­
ного о п и с а н и я ф ун к ц и и о т к л и к а полиномом второго п о р я д к а ,
т. е. у п р о щ а е т с я з а д а ч а а п п р о к си м ац и и поверхности о тк л и к а
п о в е р х н о сть ю вт орого п о р я д к а . У ч иты вая вы ш е с к а за н н о е , д и а ­
п азон и зм е н е н и я д л я т е м п е р а т у р ы св арк и ц е л е со о б р азн о в ы ­
брать равным
1.323 К < 7 \ в < 1423 К.
Т о г д а и н т е р в а л в а р ь и р о в а н и я в н а т у р а л ь н ы х един иц ах д л я т е м ­
п е р а т у р ы с в а р к и с учетом, что п л еч о « зв е зд н ы х » точек в ротат а б е л ь н о м п л а н е « = 1 , 6 8 2 , вы числи м по ф о р м у л е (Т.1):
И н т е р в а л ы в а р ь и р о в а н и я д л я д а в л е н и я с ж а т и я ар <.в = 4,5 AVI la
и вр е м е н и с в а р к и « - с» = 4 , 5 мин ост ави м без изменений. Ц ентр
п л а н а н а х о д и т с я в точке, к о о р д и н а т ы к отор ы х в н а т у р а л ь н ы х
ед и н и ц а х р а в н ы xi = T iB= 1373 К; Х = Т \ в = 12,5 М П а и х 3 = т1В —
= 12,5 мин.
К о о р д и н а т н ы е и н а т у р а л ь н ы е зн а ч е н и я в а р ь и р у е м ы х ф а к т о ­
ров п р о ц ес са д и ф ф у зи о н н о й с в а р к и д л я т р е х ф а к т о р н о г о ротат а б е л ь н о г о п л а н а п р е д с т а в л е н ы в та б л . 5.1.
Ядром трехф акторного ротатабельного плана является П Ф Э
т и п а 23 с чи с л о м точек, р ав н ы м восьми. Д л я оценки ди сперси и
55
2
Т а б л и ц а 5.1
Кодированны е и натуральные значения факторов процесса
диф ф узи он ной сварки сплава В Ж Л -12У со сталью ЭИ961
Параметры
реж има
Код
Нулевой
у ро вен ь
0
И н тервал Н и ж н и й
в а р ь и р о ­ ур о вен ь
ва н и я
—1
Верхний
у р о в ен ь
6х,
+ 1
« З в е з д н ы е » точки
— 1,682
+ 1,682
xi
1373
30
1343
1403
1323
7423
Р св, М П а
Х2
12,5
4,5
8,0
17,0
5,0
20,0
т ( в , мин
х3
12,5
4,5
8,0
17,0
5,0
20,0
к
в о с п р о и зв о д и м о с т и и зм ер е н и й п р о ве д е м в этих т о ч к а х по д в а
о п ы т а , т. е. п овт ори м П Ф Э д в а ж д ы . Р о т а та б е л ь н ы й п л а н с о д е р ­
ж и т т а к ж е ш есть « зв е зд н ы х » точек, в к о то р ы х проведем по о д ­
ному опыту. В нулевой точ ке п л а н а п р о в о д и тся 6 опытов, к о т о ­
ры е и сп о л ь зу ю т с я д л я оц ен к и д и с п ер с и и во с п р о и зв о д и м о с ти
изм ерений.
Т а к и м о б р а з о м , р а н д о м и з а ц и и б ы л и п о д в ер г н у ты все 28 о п ы ­
тов: 16 оп ы тов — П Ф Э ти п а 23, 6 — « зв е зд н ы е» точки, 6 — ну­
л е в а я точка. П о с л е р а н д о м и з а ц и и бы ли р е а л и з о в а н ы о п ы ты и
п р о в е д е н ы и зм ер е н и я п рочности с в а р н о г о сое д и н е н и я, р е з у л ь ­
т а т ы кото р ы х п р е д с т а в л е н ы в та б л . 5.2.
Т а к к а к при р е а л и з а ц и и в ы б р а н н о г о п л а н а о с у щ е с т в л я е т с я
н е р а в н о м е р н о е д у б л и р о в а н и е изм ерени й, д л я п р о ве р ки равноточности изм ере н и й нео б х о д и м о и с п о л ь з о в а т ь ст а т и с т и к у Б а р г л е т а . В е л и чи н ы , п ол учен н ы е по ф о р м у л е (4.2) и (4.3), п р е д ­
с т а в л е н ы в та б л . 5.2. О ц е н к а д и с п ер с и и во с п р о и зв о д и м о с т и р е ­
з у л ь т а т о в э к с п е р и м е н т а о п р е д е л я е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м (4.4):
С2
_
' воспр
450 + 50 + 200 + 238 + 78 + 512 + 3 2 + 1 2 8 + 5 - 446
1+1+1+1+1+1+1+1+5
=
_ 3 9 |6 _ =
=
со ст еп е н я м и с в о б о д ы /воспр = 1 3 .
Э кспериментальное значение статистики Б а р т л е т а
В™ = ~ g
—
301>2
(4.5)
= [13 In 301,2— (In 4 5 0 -f In 50 + /« 2 0 0 + In 238 - f
+ In 72 + In 512 + /n32 + ln Ш + 5 / л 4 4 6 ) ] =
J .338
= 3,000.
Табличное
значение
x 2 "статистики
при степени
свободы
/ = /воспр = 13 и уровне значим ости а — 0,05 равно 5,9. Таким
о б р а зо м , B 3K< x 2*f, т. е. гипотеза о равноточности измерений
с вероятностью 95% не отвергается. С ледовательно, мы имеем
56
<N
®о©Хсч<мечХ
uу o wС4o jn
M s "«л; « w—
I I
"GCOgiOhOOJO
I© S ® S 2 2 ;
30005 05*05
0 0 0 - 0 5 0 1 •— СО СЧ X ff) X
X
XXXXX
I-, h- h- f- !-XXXXXX
O O O - O i O 't
- - X <N ОС О X
0 0 O C 5 ff)X O >
О О Ю Ю 1Л 1Л
1Юаз 03 X h- У
X X X X X X
00 00
O C O O M M
00 00
оо о оо о
1/$5
гг
X
ч
о
.«С
lrtXsOt'-®*“,
СУ—‘—Х о с ХyуXу
X O oJisO C D O
воспроизводимости
O^OOJfO^NCOlN
N-O0CO5^O05C
++++++++
00 ОС
O C ^ IC N O !
X 00
Ы СЧ
из
+ + + + + + + +
X 00 „
о с оо оо
н оценка
СЧ СЧ '
+ + + + + + + +
XX
измерений
++TTTT++
оо о оо о
Результаты
+
+
I + 7 7 +
7
7
+
7
7
! +
7
7
гмсч
Xx
о о о о XX
T
T
T
i 7
7
7
7
оо с ооо
i +
04 £N
X X
ООX х о О
о о о оо о
I I++ I I + +
С
УС
У
I+ I+ !+ I+
E1RUO
dawoH
«cyx^fxx^x
X« о о о о
«СО
оооооо
7+
Ci О—С
ЧX У
XX h- XФ о
57
д ел о с р езультатам и эксперим ента, у которого н аблю дается
одн ородн ость оценок дисперсий отдельны^ измерений.
Н а с л е д у ю щ е м э т а п е п р о в е д е м р ас ч е т к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в ­
не н и я регрессии, и с п о л ь зу я с о о т н о ш ен и я (2.5) — (2.8) и д а н н ы е
т а б л . 2.8. Н е о б х о д и м о отм ет и ть, что р о т а т а б е л ь н ы й п л а н с о д е р ­
ж и т 20 точ ек , т. е. при р ас ч е т е к о э ф ф и ц и е н т о в над о у ч и т ы в а т ь
все 6 н у л ев ы х точек. Н а п р и м е р , к о э ф ф и ц и е н т 60 равен:
Ь0 = 0,166338 (810 + 1010 + 906 + 945 + 780 + 1045 + 940 + 1035 +
+ 8 1 0 + 1038 + 921 + 989 + 8 90 + 934 + 850 + 890 + 895 + 885 + 875 +
+ 8 4 5 ) - 0,056791 ( 8 1 0 + 1010 + 906 + 945 + 7 8 0 + 1045 + 9 4 0 + 1035 +
+ 2 ,8 2 8 -8 1 0 + 2 ,8 2 8 -1 0 3 8 ) + ( 8 1 0 + 1010 + 906 + 945 + 780 + 1046 +
+ 9 4 0 + (035 + 2 , 8 2 8 - 9 2 1 + 2 , 8 2 8 - 9 8 9 ) + ( 8 1 0 + 1Q10 + 9 0 6 + 945 +
7 8 0 + 1045 4 9 4 0 + 1035 + 2 ,8 2 8 -8 9 0 + 2 ,8 2 8 -9 3 4 ) = 0 ,1 6 6 3 3 8 - 1 8 2 9 3 —
— 0,056791 (12697,144 + 12872,48 + 126296272) = 3042,821 —
— 2 1 6 9 ,3 5 3 5 = 8 7 3 ,4 6 7 5 « 873,47.
Остальны е
зом:
коэффициенты
определяю тся
сл е д у ю щ и м
обра­
6, = 10,073224 (— 810 + 1 0 1 0 — 906 + 945 — 7 8 0 + 1 0 4 5 — 940 +
+ 1035— 1,682 - 8 1 0 + 1 , 6 8 2 • 1038) = 0 , 0 7 3 2 2 4 • 982,496 « 71,94;
6 2 = 0 ,0 73224-29 5,37 6 « 21,63;
!>з — 0,073224 • 203,008 ~ 14,87;
6 . 2 = 0 , 1 2 5 ( 8 1 0 — 1010-— 906 + 945 + 780— 1045— 9 4 0 + 1035) = 0,125 (— 331) « — 41,37;
6.3 = 0,125-121 « 15,12;
623 = 0,125 -1 19 ^ 14,87;
6 „ = 0 , 0 6 2 5 ( 8 1 0 + 1010 + 906 + 945 + 7 8 0 + 1 0 4 5 + 9 4 0 + 1 0 3 5 4+ 2,828-921 + 2 ,8 2 8 -9 8 9 ) + 0,0 0 6 8 8 9 -3 8 1 9 8 ,8 9 6 — 0 ,5 6 7 9 1 -1 8 2 9 3 =
- 0,0625 • 12697,144 + 263,15219— 1038,8778 = 793,5715— 775,7256 «
~ 17,85;
622 = 0,0625 • 12872,48 — 775,7256 » 28,80;
Лзз = 0,0625 • 1 2 6 2 9 ,2 7 2 — 775,7256 « 13,60.
У р а в н е н и е регрессии им еет вид
у = 873,47 + 71,94 .V, + 21,63 х 2 + 14,87 л-3— 41,37 х, д-2 +
+ 15,12 л-,л'3 + 14,87 л'2л'з + 17,85 л-,2 + 28,80 х 22 + 13,60 д 32.
(5.1)
З н а ч и м о с т ь к о э ф ф и ц и е н т о в у р а в н е н и я регрессии о п р е д е л и м
с п о м о щ ь ю к р и т е р и я С т ь ю д е н т а (4.6). Д л я его о п р е д е л е н и я
в ы ч и сл и м оц ен к и с р е д н е к в а д р а т и ч н ы х о ш и б о к к о э ф ф и ц и ен т о в
по ф о р м у л е (4.7) с у четом за в и с и м о с т и (2.9)
Sbo = / 0 , 1 6 6 3 - 3 0 1 , 2 = 7,077;
5 * , = S M = S M=
/
S M2 = S„, 3 = 5 ^ =
58
0 .0 7 3 2 -3 0 1 ,2 = 4,696;
У 0 ,1 2 5 -3 0 1 ,2 = 6,136;
Sbi i = S b22 = S b33= У 0,0625-301,2 = 4,338.
Э к с п е р и м е н т а л ь н ы е з н а ч е н и я к р и т е р и я С т ь ю д е н т а со с т е п е ­
ням и с в о б о д ы / = /воспР= 13 п р е д с т а в л е н ы с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
, э к _ 873,47 _ 19о 4 .
ьо
7^)77 — 123,4,
f 71,94
tb 1— 4>696
te 0. ,
15,3,6,2
2Ц53
4696
’ ’
14.87
0 0. ,
1-41,371
,
15,12 _ 0 , .
T096 = J ' J> tbl2~ ~ 6 j 3 6
tbl3~ 6,136 “ A ° ’
14.87
„
,
17,85 _ ,
,
_ 28,80 _
fi.
^ 23== 6 Ж = ’ ’
^638
’ ’ "22 “ 4,338 — ’ ’
,
_ 13,60 _ о ,
633
4,338
’ '
tbi =
Д л я п р о в е р к и зн а ч и м о с т и к оэ ф ф и ц и ен т о в о п р ед ел и м те о р е ­
т и ч ес к о е з н а ч е н и е к р и т е р и я С т ь ю д е н т а [1] с уровн ем з н а ч и м о ­
сти а = 0,05 / т= 2 , 1 6 . С р а в н е н и е э к с п е р и м е н т а л ь н ы х зн ачении
к р и т е р и я с т а б л и ч н ы м и п о к а з ы в а е т , что д л я всех к о э ф ф и ц и е н ­
то в в ы п о л н я е т с я н ер а в е н ств о /эк > / т, т. е. с в е р о ятн о с тью 95%
м о ж н о у т в е р ж д а т ь о зн а ч и м о сти всех к о эф ф иц иентов.
А д е к в а т н о с т ь п ол ученного у р а в н е н и я регрессии (5.1) п р о ­
ве ри м по к р и т е р и ю Ф и ш е р а (4.8), д л я р ас ч е та которого с о с т а ­
вим т а б л . 5.3.
О ц е н к а д и с п ер с и и , о п р е д е л я ю щ а я н е а д е к в а т н о с т ь п р е д с т а в ­
л е н и я р е з у л ь т а т о в э к сп ер и м ен т а, согл ас н о ф о р м у л е (4.19)
им еет вид
„ 2 _ (16 + 0 + 16 + 16 + 16 + 25 + 1+ 16 + 49 + 49 + 4 + 4 + 9 + 9 + 5 ■0,22) _ jg ^
Ъ ад = '
“
28—10—13
со ст е п е н я м и с в о б о д ы j = 2 8 — 10— 1 3 = 5 .
Э к с п е р и м е н т а л ь н о е зн а ч е н и е к р и тер и я Ф и ш е р а опр ед ел и м
с л е д у ю щ и м о б р а з о м (4.15):
рък _ -<в'22- _ Q JC
г
301,2 “ U’l b со с т е п е н я м и с в о б о д ы / т = 5 и / 2 = 1 3 .
Т а б л и ч н о е з н а ч е н и е к р и т е р и я Ф и ш е р а со степен ям и свободы
/[ = 5 и/ г = 1 3 и
у р о в н е м зн а ч и м о с т и « = 0,05 о пр ед ел им
из
т а б л и ц р а б о т ы [1]
А то,о55.1з = 3,025.
Э к с п е р и м е н т а л ь н о е з н а ч е н и е к р и т е р и я Ф и ш е р а м ен ь ш е т а б ­
л и чного. С л е д о в а т е л ь н о , с ве р о я т н о с т ь ю 95% г и п отеза об а д е к ­
ва т н о с т и п ол уче н н ого у р а в н е н и я не о тв е р г а е т с я .
Т а к и м о б р а з о м , у р а в н е н и е регрессии
у = 873,47 + 71,94 х, + 21,63 * 2 + 1 4 , 8 7 х 3— 41,37 х , х 2 +
+ 15,12 XiX3 + 14,87 х 2* з + 17,85 xy2 + 28,8 х 22 + 13,6 х 32.
59
сч
ю'
Л
=г
В*
и
е.
3
2г>
S
1
сч сч сч СЧ СЧ СЧ
сч сч сч сч сч сч
С О О 'ч О ^ О ^ О ^ — ^
05 Ф
-4t*
о ” о ”о о о" о
N- N- N- N- t— N~
r f тф Т|^
z>
ГЗ
С.
Т Г О О - ^ О Ф "
— — —« -П" 00 ^ СО СО
0 0 O O )5 5 t^ O ff)O
СОЮ 05 — N N
О Tf — 05 00 СО
00 О 05 05 00 05
О О Ю Ю О Ю О Ю
— —- О ^ О О ^ - с Г С О
О О о й О З ^ О ф О
О 00 — 05 О ■'Г
— со СЧ 00 05 СО
00 о 05 05 00 05
^
со”со”со”со”со”со”
N S N S N N
00 00 00 00 00 00
»5
o
o
o
00 00
g g
o
уравнения
+ + + + + + + +
ос ос
£
+1
1
!
1
1
I+
++
С-5
ц
и
5?
*г
+ i+
1
О О О О О О
с? о о с о о
0
0
0
2 ,8 2 8
ыы
О С; о с с о
О О о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
+
+ТТ++ТТ+
сч сч
00 оо
77+777++
Номер
о п ы та
*
оооооо
7+
0
0
— 1, 682
+ 1, 682
00
7777++++
о о о о со<Я
7+7+777+
^ - С Ч С О ^ ^ ^ Г '- О О
05 о —счСО ^
+ 0
000
Результаты
5?
60
+
00 00
2 ,8 2 8
++++++++
С с N Мс с
— 1,682
1,682
измерений
и оценка
адекватности
++++++++
со со со со со со
N* N- N- t-- N- N00 00 00 00 00 00
сч”сч”
0
регрессии
с=5
оооооо
оооооо
LO О N- СО05 о
а д е к в а т н о о п и с ы в а е т з а в и с и м о с т ь прочности с в а р н о г о с о е д и н е­
ния у с п л а в а В Ж Л - 1 2 У со с т а л ь ю ЭИ961 от основн ы х п а р а ­
м е т р о в р е ж и м а д и ф ф у зи о н н о й св ар к и : т е м п е р а т у р ы с в а р к и л,,
д а в л е н и я с ж а т и я х 2 и в рем ен и с в а р к и х 3.
М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь д и ф ф у зи о н н о й с в а р к и в в а к у у м е
с п л а в а В Ж Л - 1 2 У со с т а л ь ю Э И 961 з а п и ш е т с я ввиде системы
д в у х у р а в н е н и й регрессии:
(
у = 873,47 + 71,94 х, + 21,63 х г + 14,87 х 3 — 41,37x,x2 -f
+ 15,12 -v, л + 14,87 х 2 х 3 + 17,85 х , 2-|-28,8 х 224 - 13,6 х 32;
{
z = 3,825 + 2,175 л-, + 1,425 х 2 + 0,55 х 3 + 0,675 л, х 3.
-3
Д л я о п р е д е л е н и я о п т и м а л ь н ы х зн ачений п а р а м е т р о в р е ж и м а
с в а р к и ТСЙ, Л св и тсв изучим поверхности о т к л и к о в у п z с
п о м о щ ь ю п о ст р о ен и я линий рав н ого вы хо д а. Н а рис. 5.1 п р е д ­
с т а в л е н ы л и н и и р ав н о го вы ход а у (кр и вы е 1— 4) и z (кривы е
5— 8) при Тсв = 12,5 мин и тсв = 20 мин.
'' | - .
-
|
1
Ч-
!
1
г
Р и с . 5.1. Л и н и и равн о й прочности и остат о чн ой м ак ро п л асти ч еско й д е ф о р м а ц и и
д и ф ф у зи о н н о го соединения
В Ж Л 12У -Э И 961
А нали з линий равного вы хода показы вает, что получение
сварны х соединений с прочностными свойствами 900— 950 М П а
61
(к р и в ы е 3 , 4 ) (0всв> О ,9 а восн) в о з м о ж н о в ш и р о к о м д и а п а з о н е и з ­
м е н е н и я осн о в н ы х п а р а м е т р о в . П р и д и ф ф у з и о н н о й с в а р к е ц е л е ­
с о о б р а з н о с т р е м и т ь с я к у м е н ь ш е н и ю т е п л о в о г о в о з д е й с т в и я на м а ­
т е р и а л ы , т. е. к с н и ж е н и ю т е м п е р а т у р ы с в а р к и . Д и ф ф у з и о н н а я
с в а р к а п ри вы с о к и х д а в л е н и я х с ж а т и я д е т а л е й им еет ц е л ы й р яд
н е д о с т а т к о в , с в я з а н н ы х с потерей у стой чивости в а л а , б о л ь ш и м и
м а к р о п л а с т и ч е с к и м и д е ф о р м а ц и я м и сп л а в о в , к о т о р ы е могут
п р и в о д и т ь к п о я в л е н и ю тр е щ и н и т. п. У ч иты вая в ы ш е с к а з а н ­
ное, м о ж н о о тм ети ть, что о п т и м а л ь н о е Зн а че н и е вр е м е н и с в а р ­
ки тсв р а в н о 20 мин.
С в а р н ы е сое ди н е н и я с п рочностью , не м ен ь ш е й 900 М П а
( к р и в а я 3, рис. 5.1), м о ж н о п олучи ть в ш и р о к о м д и а п а з о н е и з ­
м ен ен и я д а в л е н и я с ж а т и я пои т е м п е р а т у р е 1373 К. У в ел и че н и е
т е м п е р а т у р ы с в а р к и до 1383 К п р и во д и т к росту п рочности
со е д и н е н и я д о 950 М П а в д и а п а з о н е и зм ен е н и я д а в л е н и я с ж а ­
ти я от 8,0 до 11,5 М П а .
Т а к и м о б р а з о м , о п т и м а л ь н ы е з н а ч е н и я осн овны х п а р а м е т ­
р о в д и ф ф у зи о н н о й с в а р к и с п л а в а В Ж Л - 1 2 У со с т а л ь ю ЭИ961
р а в н ы : Г св= 1 3 7 3 — 1383 К; РсВ = 8 , 0 — 11,5 М П а , т св = 20 мин.
П р и этом в е л и ч и н а ост аточ н ой м а к р о п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и
с о с т а в л я е т м ен ь ш е 5% и.ри прочн ости с в а р н о г о сое ди н е н и я
не м ен ее 900 М П а .
Б И Б Л И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Й СП И СО К
1. Б о р д а к о в
П. А. П л а н и р о в а н и е эк сп ери м ен та в технологических
и ссл ед о в ан и ях п р о и зв о д с тв а л е т а т е л ь н ы х а п п а р а т о в : Учеб. п особи е/К у й бы ш ев,
аниац. ии-т. К у й б ы ш е в , 1986. 32 с.
2. B o x G. Е. P., W i l s o n К. В. , S t a t . Sos., S. В, 13. ЛЬ 1, 1951.
3. B o x М.
D r a p e r N. R. F a c t o r i a l d e s i g n s , th X* X C r i t e r io n , and
s o m e re la te d m a t t e r s . T ech n ical r e p o rt ЛЬ 207, D e p a r t a m e n t of S t a t i s t i c s . 2, I9 60
4. Б и н а р с к и й М. С., Л у р ь е М. В. П л а н и р о в а н и е эксперимента
в техн ологич ески х и ссл едо в ан и ях. Киев : Т ехн и ка. 1975. 167 с.
5. В ы б о р р е ж и м о в с в а р к и в а л а из с т а л и Э И 961 с рото ром г а з о т у р б и н ­
ного д в и г а т е л я из с п л а в а В Ж Л - 1 2 У / Б о р д а к о в Г1. А. и д р . / / А в т о м а т и ч е ­
с к а я с в а р к а . 1979. ЛЬ 7. С. 5 4 — 56.
6. К а р а м ы ш е в а Ф. Н. , Ж у ч к о в а А. Н. М е то д и ч е ск и е р е к о м е н ­
д а ц и и по п л ан и р о в ан и ю эк сп ер и м ен та в технологии с т р о й м а т е р и а л о в / Урал Н И И с т р о м п р о е к т . Ч ел яб и н с к , 1973. 40 с.
7. K i f e r I. Ann. M a t h . S t a t ., 32, 1961.
8. К о n о К. M e m o ir s of t h e F a c u l t y of Science K y u s h u U n i v e r s i t y , A.
16, 1962.
9. К о р н H. В., К о р н А, В. С п р а в о ч н и к но вы сш ей м а т ем ати к е. М.:
Н а у к а , 1987. 5 74 с.
10. Л и с е н к о в А. Н. О н еко то ры х п л а н а х вто р о г о п о р я д к а и их ис­
п о л ь зо в а н и и при и ссл едов ан и и м н о г о ф а к т о р н ы х о б ъ е к т о в . П р о б л е м ы п л а н и ­
р о в а н и я эксп ер и м ен та. М.: Н а у к а , 1969. 71 с.
11. Н а л и м о в В. В., Г о л и к о в а Т. И . Л о ги ч е с к и е о с н о в а н и я п л а ­
н и р о в а н и я э к с п е р и м е н т а /МГУ. М., 1971. 69с.
I.,
62
12. Н а л и м о в В. В., Ч е р н о в а Н. А. С тати сти чески е м етоды п л а н и ­
р о в а н и я эк с т р е м а л ь н ы х экспер имен то в. М.: Н а у к а , 1965. 275 с.
13. П у с т ы л ь н и к Е. И. Стати стическ ие м етоды а н а л и з а и о бр аб о тки
н абл ю ден и й . М.: Н а у к а , 1968. 2 8 8 с.
14. У ш а к о в Н. Н. О п т и м и за ц и я тех нологически х процессов в п р и б о р о ­
строен ии. М.: М а ш и н о ст р о ен и е, 1981. 56 с.
15. H a r t l y Н. О. B iom etrics, 15, 1959.
16. Х о в а н с к и й
Г. С. Н о м о г р а ф и я и се в о зм о ж н ости . М.: Н а у к а ,
1977. 128 с.
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие
.
1. П о с т а н о в к а з а д а ч и
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
5
2. Ц е н т р а л ь н о е ко м п ози ц и о н но е п л а н и р о в а н и е
2.1. О р т о г о н а л ь н ы е п л ан ы второго п о р я д к а
2.2. Р о т а т а б е л ь н ы е п л ан ы вто р о г о п о р я д к а .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
7
13
3. И с с л е д о в а н и е пл ан о в вто р о г о п о р я д к а и р ек о м ен д ац и и по их
п р и м енен ию
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
3.1. Д в у х ф а к т о р н о е п л а н и р о в а н и е вто р о г о п о р я д к а
.
.
.1 9
3.2. Т р е х ф а к т о р н о е п л а н и р о в а н и е вто р о г о п о р я д к а
.
.
.
27
‘1. П л а н и р о в а н и е , о б р а б о т к а и ан а л и з р е зу л ь т а т о в эксп ер и м ен та
.
28
4.1. К о д и р о в а н и е ф а к т о р о в
.
.
.
.
.
.
.
31
4.2. Р а н д о м и з а ц и я изм ерений и р е а л и з а ц и я эксп ер и м ен та
32
4.3. П р о в е р к а р авн о то ч н ости изм ерен и й
.
.
.
.
.
33
4.4. Вычисление к о эф ф и ц и ен т о в у р а в н е н и я регрессии и о ц ен к а их
зн ач и м о ст и .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
4.5. П р о в е р к а у р ав н ен и я регрессии на а д е к в а т н о с т ь
.
. 4 4
4.6. М е тоды про ведени я а н а л и з а у равн ен и й регрессии
. 4 6
5. П р и м е р п р и м енен ия п л а н и р о в а н и я вто р о г о п о р я д к а в т е х н о л о г и ч е ­
с ки х и сс л е д о в а н и я х .
.
.
.
.
.
.
.
.
54
Б и б л и о г р а ф и ч е с к и й сп исок
64
.
.
.
.
.
.
.
.
62
Барвинок
Бордаков
И т а л и и Алексеевич
Н а в е л А лександрович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ЭКСПЕРИМ ЕНТА И ПРОИЗВОДСТВЕ
Л ЕТ А Т ЕЛ ЬН Ы Х АППАРАТОВ
Учеб ное пособие
Р е д а к т о р Т. И. К у з н е ц о в а
Техн. р е д а к т о р II. М. К а л е и ю к
К о р р е к т о р И. С. К у и р и я н о в а
Свод . тем. план ,М> 121
С д а н о в н або р 30.03.90 г. П одп и сан о в печать 1.0(1.90 г.
Е О 00391. Ф о р м а т 6 0 x 8 4 1/16. Б у м а г а о берточн ая.
П е ч а т ь вы со кая . Г ар н и ту р а л и т е р а т у р н а я .
Уел. п. л. 3,72. Уел. кр.-отт. 3,85. Уч.-изд. л. 3.6.
Т и р а ж 500 экз. З а к а з 342. Ц ен а 10 коп.
Ку й б ы ш е вски й о рден а Т ру д о в о го К р а сн о го Зн ам ен и
ав и ац и он н ы й институт имени а к а д е м и к а С. Г1. Королева,
443086. К ' й б ы ш е в , М ос ковское шоссе, 34.
Тип. Э О З К у й б ы ш е в ск о го ави ац и он н ого института ,
443001, К у й б ы ш е в, ул. У л ь ян о вск а я, 18.