МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Н.Н. Бутакова
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
Учебно-методический комплекс
Рабочая программа для студентов
направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика
Тюменский государственный университет
2011
Н.Н.
Бутакова.
Асимптотические
методы
нелинейной
механики.
Учебно-
методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов направления
«Механика. Прикладная математика» Института математики и компьютерных наук.
Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2011, 6 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Асимптотические методы нелинейной
механики [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Н.Н. Бутакова, к.ф.-м.н., доцент, и.о. зав. кафедрой
математического моделирования
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
1. Цели и задачи курса
Целью преподавания дисциплины является изучение методов возмущений,
применяемых при решении задач гидродинамики, теории оболочек и т.д. Методы
возмущений применяются в областях, где математическая модель описывается
дифференциальными уравнениями, аналитическое решение которых невозможно или
достаточно сложно получить вследствие того, что в уравнении содержится либо малый
параметр, либо большая координата. Задачи курса: формирование представления об
основных методах возмущений, применяемых при решении подобных задач, об
использовании для этих целей пакетов программ Maple, Matlab. Студент должен знать:
основные понятия теории асимптотических разложений, методы возмущений, методы
нахождения сращиваемых асимптотических разложений; уметь: представлять решение
поставленной задачи в форме возмущенного разложения; используя методы теории
возмущений, приводить разложение к равномерно пригодному.
2. Тематический план курса
№
Тема
1
Основные понятия и
определения
Прямые разложения и
источники неравномерности
Алгебраические уравнения,
содержащие малый параметр
Всего
2
3
4
5
6
Уравнение Дюффинга
Линейный осциллятор с
затуханием
Системы с квадратичными и
кубическими нелинейностями
Всего
7
Уравнение Матье
8
Задачи с пограничным слоем
Итоговая контрольная работа
Всего
Итого
Лекци
и, час.
Практиче
ские
занятия,
час.
Модуль 1
2
2
Самостоят
ельная и
индивидуа
льная
работа,
час.
Итого
часов по
теме
Итого
количест
во баллов
4
8
0-10
2
2
4
8
0-10
2
2
4
8
0-10
6
Модуль 2
2
2
2
2
12
24
0-30
4
4
8
8
0-10
0-10
2
4
8
0-10
12
24
0-30
2
4
4
10
34
8
10
8
22
70
0-10
0-10
0-20
0-40
0-100
6
6
2
4
6
18
2
6
Модуль 3
2
2
2
6
18
3. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Основные определения и понятия: возмущения по параметру, возмущения
по координате, символы порядка и калибровочные функции, асимптотические разложения
и последовательности, неравномерные разложения, действия над асимптотическими
разложениями, примеры.
Тема 2. Прямые разложения и источники неравномерностей: бесконечные
области, малый параметр при старшей производной, изменение типа дифференциального
уравнения в частных производных, наличие особенностей, роль координатных систем,
примеры.
2
Тема 3. Алгебраические уравнения, содержащие малый параметр: квадратные,
кубические уравнения; уравнения, содержащие малый параметр при старшей степени,
примеры.
Тема 4. Уравнение Дюффинга: прямое разложение; точное решение, причина
неравномерности. Получение равномерно пригодного разложения с помощью метода
перенормировки.
Методика Линдштедта-Пуанкаре. Метод вариации произвольных
постоянных. Метод усреднения. Сопоставление результатов, полученных при применении
методов.
Тема 5. Линейный осциллятор с затуханием: прямое разложение; точное решение.
Метод многих масштабов. Метод усреднения.
Тема 6. Системы с квадратичными и кубическими нелинейностями: прямое
разложение. Применение изученных методов для получения равномерно пригодного
разложения.
Обобщенный
метод
усреднения.
Метод
Крылова-БоголюбоваМитропольского.
Тема 7. Уравнение Матье: прямое разложение; теория Флоке; метод растянутых
параметров; метод Уиттекера.
Тема 8. Задачи с пограничным слоем: Метод сращиваемых асимптотических
разложений. Высшие приближения. Задачи с двумя пограничными слоями. Примеры.
4. План практических занятий
1. Основные определения и понятия (2 час.):
1) возмущения по параметру;
2) возмущения по координате;
3) действия над асимптотическими разложениями, примеры.
2. Прямые разложения и источники неравномерностей (2 час.):
1) малый параметр при старшей производной;
2) изменение типа дифференциального уравнения в частных производных, наличие
особенностей.
3. Алгебраические уравнения, содержащие малый параметр (2 час.):
1) квадратные, кубические уравнения;
2) уравнения, содержащие малый параметр при старшей степени.
4. Уравнение Дюффинга (2 час.):
1) метод перенормировки;
2) методика Линдштедта-Пуанкаре;
3) метод вариации произвольных постоянных;
4) метод усреднения.
5. Линейный осциллятор с затуханием (2 час.):
1) прямое разложение;
2) метод многих масштабов;
3) метод усреднения.
6. Системы с квадратичными и кубическими нелинейностями (2 час.):
1) прямое разложение;
2) обобщенный метод усреднения;
3) метод Крылова-Боголюбова-Митропольского.
7. Уравнение Матье (2 час.):
1) прямое разложение;
2) метод растянутых параметров;
3) метод Уиттекера.
8. Задачи с пограничным слоем (2 час.):
1) метод сращиваемых асимптотических разложений;
2) задачи с двумя пограничными слоями.
3
5. Примерные задания для контрольной работы
1.
Определить три члена разложения для каждого корня уравнения при малом
ε: x 2  2   x  3  2  0
2.
Определить три члена разложения для каждого корня уравнения при малом
ε: x 4  x 2  3x  2  0
3.
Построить асимптотическое разложение интеграла при большом
положительном х:

а)
sin( t  x )
 t dt ;
x

б)
 t  1
 e t dt

в)
x
dt
 t 2 ln t
x
1
г)
e
 xt
ln( 1  t )dt
0
4.
Рассмотреть уравнение x  02 x  x 2 x (  1)
а) построить двучленное прямое разложение решения и исследовать его
равномерность; б) с помощью метода перенормировки сделать это разложение
равномерно пригодным; в) построить равномерно пригодное разложение первого порядка
с помощью методики Линдштедта-Пуанкаре; г) используя метод многих масштабов,
построить равномерно пригодное разложение первого порядка; д) используя метод
усреднения, построить равномерно пригодное разложение первого порядка.
x
 0.
5.
Рассмотреть уравнение x 
1   cos 2 t
а) построить разложение второго порядка для уравнений переходных кривых
вблизи точек   0,   1,   4. б) используя метод Уиттекера, построить разложение
второго порядка для решения х в окрестности этих кривых.
6.
Рассмотреть краевую задачу y   y   1, y(0)  , y(1)   .
а) найти точное решение; б) используя методы сращиваемых асимптотических
разложений и многих масштабов, построить равномерно пригодное разложение первого
порядка. Сопоставить результаты.
6. Контрольные вопросы к экзамену
1.
Анализ размерностей. Калибровочные функции.
2.
Прямые разложения. Действия над разложениями.
3.
Алгебраические уравнения, содержащие малый параметр.
4.
Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому параметру.
5.
Прямое разложение решения уравнения Дюффинга. Анализ точного
решения.
6.
Метод Линдштедта-Пуанкаре. Метод перенормировки.
7.
Метод многих масштабов.
8.
Метод вариации постоянных. Метод усреднения.
9.
Линейный осциллятор с затуханием. Точное решение.
10.
Асимтотика решения.
11.
Системы с нелинейностями. Обобщенный метод усреднения.
12.
Метод Крылова-Боголюбова-Митропольского.
13.
Уравнение Матье. Теория Флоке.
14.
Метод растянутых параметров.
15.
Метод Уиттекера.
16.
Задачи с пограничным слоем. Метод сращиваемых асимптотических
разложений.
17.
Задачи с двумя пограничными слоями.
4
7. Литература
основная:
1.
Андрианов И.В., Баранцев Р.Г, Маневич Л.И. Асимптотическая математика
и синергетика: путь к целостной простоте. – М.: URSS, 2009. - 304с.
2.
Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. – М.:
Физматлит, 2009. - 248с.2.
3.
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. –М.:
УРСС, 2007 .-240 с.
дополнительная:
1.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. – 408 с. [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://lib.mexmat.ru/books/1543
2.
Джакалья Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. –М.:
Наука, 1979 .-319 c.
3.
Копсон Е.Т. Асимптотические разложения. - М.: Мир, 1966. – 160 с.,
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/1567
4.
Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука,
1969. – 378 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/1564
5.
Найфэ А. Х. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984 .-535 c.
6.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1990 .-528 c.
8. Планирование самостоятельной работы студентов
№
1
1
2
3
4
5
6
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнитель
ные
2
3
4
Модуль 1
Основные понятия и
решение
работа с
определения
контрольной работы; литературой
выполнение
домашнего задания
Прямые разложения и
решение
работа с
источники неравномерности
контрольной работы; литературой
выполнение
домашнего задания
Алгебраические уравнения,
решение
работа с
содержащие малый параметр
контрольной работы; литературой
выполнение
домашнего задания
Всего
Модуль 2
Уравнение Дюффинга
решение
работа с
контрольной работы; литературой
выполнение
домашнего задания
Линейный осциллятор с
решение
работа с
затуханием
контрольной работы; литературой
выполнение
домашнего задания
Системы с квадратичными и
решение
работа с
кубическими нелинейностями
контрольной работы; литературой
выполнение
домашнего задания
Всего
5
Объем
часов
Кол-во
баллов
6
7
4
0-5
4
0-5
4
0-5
12
0-15
4
0-5
4
0-3
4
0-5
12
0-15
1
2
Модуль 3
Уравнение Матье
решение
контрольной работы;
выполнение
домашнего задания
Задачи с пограничным слоем
решение
контрольной работы;
выполнение
домашнего задания
Итоговая контрольная работа
решение
контрольной работы
Всего
Итого
7
8
3
4
6
работа с
литературой
2
0-5
работа с
литературой
4
0-5
работа с
литературой
4
0-20
10
34
0-30
0-30
8. Балльная оценка успеваемости студента
Тема
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Основные понятия и
определения
Прямые разложения и источники
неравномерности
Алгебраические уравнения,
содержащие малый параметр
Всего
1
Уравнение Дюффинга
Линейный осциллятор с
затуханием
Системы с квадратичными и
кубическими нелинейностями
Всего
7. Уравнение Матье
8. Задачи с пограничным слоем
Итоговая контрольная работа
Всего
Итого
решение задач
на
практическом
занятии
выполнение
домашнего
задания
Итого
количест
во баллов
3
4
5
-
0-5
0-5
0-10
-
0-5
0-5
0-10
-
0-5
0-5
0-10
0-15
3
0-15
4
0-30
5
0-5
0-5
0-10
-
0-5
0-5
0-10
-
0-5
0-5
0-10
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-5
0-5
0-10
0-40
0-10
0-40
0-10
0-10
0-20
0-30
0-100
контрольн
ая работа
2
Модуль 1
2
Модуль 2
-
Модуль 3
0-20
0-20
6
7