Итак, если длины высот a h , b h , c h удовлетворяют нерат

ÊÂÀÍT 2003/¹1
30
Óïðàæíåíèÿ
1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (2), òî ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ
à + b > ñ,
b + ñ > à,
(3)
ñ+à>b
ýêâèâàëåíòíà ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ
ηa + ηb > ηc ,
ηb + ηc > ηa ,
(4)
ηc + ηa > ηb .
2. Ïîêàæèòå, ÷òî
S = (( ηa + ηb + ηc )( ηa + ηb − ηc )( ηb + ηc − ηa )(ηc + ηa − ηb ))
−1 2
. (5)
Èòàê, åñëè äëèíû âûñîò ha , hb , hc óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (4), òî ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà âû÷èñëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ïî ôîðìóëå (5).
Íî â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâà (1) ïîçâîëÿþò îäíîçíà÷íî âû÷èñëèòü è
H>
H=
äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà à, b, ñ.
= >
?
Óïðàæíåíèÿ
H?
3. Îäíîçíà÷íî ëè îïðåäåëÿþò òðåóãîëüíèê ðàäèóñû ra , rb , rc âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé (ðèñ.2)?
4. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì âûñîòàì ha ,
hb , hc .
Ðèñ. 2
Îäíîçíà÷íî ëè îïðåäåëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê
ñâîèìè ìåäèàíàìè?
 øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè (ñì., íàïðèìåð, [1], ñ.212,
çàäà÷à 788) äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî èç ìåäèàí ïðîèçâîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî,
åñëè òðåóãîëüíèê ñ çàäàííûìè äëèíàìè ìåäèàí ma , mb , mc
ñóùåñòâóåò, òî âåëè÷èíû ma , mb , mc äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü
íåðàâåíñòâàì
ma + mb > mc,
mb + mc > ma ,
(6)
+
>
.
mc ma mb
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âîïðîñà îá îäíîçíà÷íîñòè âîññòàíîâëåíèÿ òðåóãîëüíèêà ïî åãî òðåì ìåäèàíàì óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè, ñâÿçûâàþùèìè äëèíû
ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ñ åãî ñòîðîíàìè à, b, ñ:
2ma2 = 2 (b2 + c2 ) − a 2 ,
2mb2 = 2 ( c2 + a2 ) − b 2 ,
Óïðàæíåíèÿ
2m = 2 ( a + b
2
c
2
2
(7)
)−c .
2
5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëèíû ìåäèàí ma , mb , mc òðåóãîëüíèêà
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (6), òî ñòîðîíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà à,
b, ñ â ñèëó ðàâåíñòâ (7) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî.
6. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì ìåäèàíàì ma , mb , mc .
Îäíîçíà÷íî ëè îïðåäåëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê ñâîèìè
áèññåêòðèñàìè?
Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ íåêîòîðûìè
çàäàííûìè äëèíàìè òðåõ áèññåêòðèñ ñóùåñòâóåò. Â ýòîì
ñëó÷àå äîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèê ñâîèìè áèññåêòðèñàìè
îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. À èìåííî, äîêàæåì ñëåäóþùèé
ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ.
Òåîðåìà. Åñëè òðè áèññåêòðèñû îäíîãî òðåóãîëüíèêà
ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû òðåì áèññåêòðèñàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òðåóãîëüíèêè ∆1 è ∆ 2 èìåþò
ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå áèññåêòðèñû. Íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííûìè ñòîðîíàìè ýòèõ äâóõ òðåóãîëüíèêîâ ñòîðîíû, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ðàâíûå áèññåêòðèñû. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ:
1) âñå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâåííûõ ñòîðîí äðóãîãî òðåóãîëüíèêà;
2) ðîâíî îäíà ñòîðîíà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ñîîòâåòñòâåííîé ñòîðîíû äðóãîãî òðåóãîëüíèêà.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé 1).
Åñëè âñå ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû,
òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû ïî òðåòüåìó ïðèçíàêó ðàâåíñòâà
òðåóãîëüíèêîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó òðåóãîëüíèêîâ èìåþòñÿ íåðàâíûå
ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèêè íå ìîãóò áûòü ïîäîáíûìè ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ, îòëè÷íûì îò 1.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áèññåêòðèñû îäíîãî
èç òðåóãîëüíèêîâ áûëè áû áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ áèññåêòðèñ äðóãîãî. Ñëåäîâàòåëüíî, ó òðåóãîëüíèêîâ èìåþòñÿ
íåðàâíûå óãëû. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ∆1 íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâåííûõ ñòîðîí
òðåóãîëüíèêà ∆ 2 . Ïîñêîëüêó ó òðåóãîëüíèêîâ ∆1 è ∆ 2 èìåþòñÿ íåðàâíûå óãëû, òî â òðåóãîëüíèêå ∆1 íàéäåòñÿ óãîë ϕ1 ,
ìåíüøèé ñîîòâåòñòâåííîãî óãëà ϕ2 â òðåóãîëüíèêå ∆ 2 . Åñëè
óãîë ϕ1 â òðåóãîëüíèêå ∆1 îáðàçîâàí ñòîðîíàìè p1 , q1 , à
óãîë ϕ2 â òðåóãîëüíèêå ∆ 2 îáðàçîâàí ñòîðîíàìè p2 , q2 , òî
äëÿ äëèí áèññåêòðèñ l1 , l2 ýòèõ óãëîâ èìååì
ϕ
ϕ
2 cos 1
2 cos 2
2
2
l1 =
l =
(8)
1
1 , 2
1
1 .
+
+
p1 q1
p2 q2
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé
ϕ
2 cos
2 ,
l=
(9)
1 1
+
p q
ñâÿçûâàþùåé äëèíó áèññåêòðèñû l ñî çíà÷åíèåì óãëà ϕ , â
êîòîðîì îíà ïðîâåäåíà, à òàêæå ñ äëèíàìè p è q îáðàçóþùèõ
ýòîò óãîë ñòîðîí òðåóãîëüíèêà.
Óïðàæíåíèå 7. Âûâåäèòå ôîðìóëó (9).
Âåðíåìñÿ ê ñîîòíîøåíèÿì (8). Òàê êàê ϕ2 > ϕ1 , p2 ≤ p1 ,
q2 ≤ q1 , òî l2 < l1 – ïðîòèâîðå÷èå.
Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òðåóãîëüíèêè ìîãóò èìåòü
òîëüêî ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé 2).
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîðîíû a1 ,
b1 , c1 òðåóãîëüíèêà ∆1 ñîîòâåòñòâåííû ñòîðîíàì a2 , b2 , c2
òðåóãîëüíèêà ∆ 2 , ïðè÷åì
a1 < a2 , b1 ≥ b2 , c1 ≥ c2 .
(10)
Âîñïîëüçîâàâøèñü åùå îäíîé èçâåñòíîé ôîðìóëîé, ñâÿçûâàþùåé äëèíó áèññåêòðèñû ñ äëèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
èìååì


a12

la21 = b1c1  1 −
2 ,

(b1 + c1 ) 

(11)


a22
2

la2 = b2c2  1 −
2 .

(b2 + c2 ) 

2
2
Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâ (10), èç (11) ñëåäóåò la2 < la1 – ïðîòèâîðå÷èå.