Бинарные отношения

Лектор: Михеев С. Е.
Бинарные отношения
Определение 4. Декартовым произведением множества A на множество B (обозначение: A×B) называется множество, состоящее из всех пар элементов, таких, что первый
элемент принадлежит A, второй элемент принадлежит, B т. е.
A×B:= {(a, b) | a  A  b  B}.
Отображение декартова квадрата M×M в двоичное множество Λ называют бинарным отношением. Бинарные отношения обозначаются: аRb или R (a,b) (от английского
relation).
Бинарные отношения могут иметь свойства:
1) рефлексивность: аRа – истина a ;
аRа – ложь a ;
2) антирефлексивность:
3) симметрия:
аRb  bRa a, b ;
4) антисимметрия:
аRb 
5) транзитивность
аRb  bRc  аRc a, b, c .
bRa a, b ;
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности если выполняются
свойства 1), 3) и 5). Для отношения эквивалентности используются вместо R специальные
знаки: = , ~, ≡.
Отношение порядка: строгого – выполняются свойства 2), 4) и 5);
нестрогого – выполняются свойства 1), 4) и 5).
Теорема 2. Отношение равномощности является отношением эквивалентности.
Для него (отношения равномощности) ARB означает µ(А)=µ(В). Ещё одна запись равномощности - А~В. Симметричность и рефлексивность очевидны, покажем транзитивность:
µ(А)=µ(В)  µ(В)=µ(С)  µ(А)=µ(С).
Действительно, пусть µ(А)=µ(В), значит, существует инъекция f, отображающая А
в В, т.е. (  у  В) (  !х  А) f(x)=у. Пусть µ(B)=µ(С), значит, существует инъекция g,
отображающая В в С, т.е. (  z  C) (  !y  B) g(у)=z.
Суперпозиция двух функций h(x)  g(f(x)) есть некоторое отображение h: A→С,
которое является инъекцией из А в С. Аналогично устанавливается существование инъекции из С в А, то есть А и С равномощны.
Замечание 1. Отметим, что если f и g - сюръекции, то f(А)=В и g(В)=С следовательно g(f(А))=С  h(A)=C. Значит, h - сюръекция.
Теорема 3. Отношение строгого неравенства мощностей является отношением
строгого порядка.
Доказательство. Свойства 1) и 4) очевидны. Докажем транзитивность, то есть что
µ(А)<µ(В)  µ(В)<µ(С)  µ(А)<µ(С)
(*)
5
Лектор: Михеев С. Е.
Лемма 1. Пусть имеются три множества А, В и С, существуют инъекции f из А в В и
g из B в C , и не существуют инъекции из В в А, тогда существует инъекция из А в C и
не существует инъекции из C в A . Иными словами,
(  f: А→В)  (  g: B→С)  ( u : B  A ) 
Или ещё другими словами
µ(А)<µ(В)  µ(В)≤µ(С)  µ(А)<µ(С)
 h: A↔С.
(**)
Доказательство леммы 1. Предположим, что есть инъекция из С в А - φ: С→А.
Между множествами В и g(B) взаимно-однозначное соответствие устанавливается отображением g . Так как g(B)  C, то должно выполняться  ( g ( B))  A .
Но каждому элементу из g(B) соответствует единственный прообраз из В. Таким
образом, суперпозиция  ( g ) сопоставляет каждому элементу из B один элемент из A , то
есть является инъекцией из В в А, что противоречит условию (µ(А)<µ(С)). Источник противоречия – предположение о существовании инъекции  . Следовательно, инъекции  :
C  A не существует. А суперпозиция g ( f ) является инъекцией А в C . Следовательно,
µ(А)<µ(С). Лемма 1 доказана.
Так как µ(В)< µ(C)  µ(В) ≤ µ(C), то из (**) следует (*). Теорема 3 доказана.
Замечание 2. Транзитивность отношения “мощность меньше”доказывается элементарно,
µ(А)≤µ(В)  µ(В)≤µ(С)  µ(А)≤µ(С)
↓
↓
f
g
 В  инъекция В 
С
 инъекция А 
Суперпозиция g(f) – инъекция из А в С. ■
Транзитивность отношения “мощность строго меньше” (теорему 3) можно доказать
несколько иначе, используя вместо леммы 1 лемму 2.
Лемма 2. Пусть имеются три множества А, В и С, существуют инъекции f из А
в В и g из B в C , и не существуют инъекции из С в B, тогда существует инъекция из А в
C и не существует инъекции из C в A . Иными словами:
(  f: А→В)  (  g: B→С)  (
 u: C→B) =
Или ещё другими словами:
µ(А)≤µ(В)  µ(В)<µ(С)  µ(А)<µ(С).
6
 h: A↔С.
(**)
Лектор: Михеев С. Е.
Фактор множества
Пусть в некотором множестве A есть отношение эквивалентности. Из A возьмём
элемент а и рассмотрим элементы эквивалентные а. Они образуют класс эквивалентности.
Пример. A=R1. Возьмём в качестве отношения эквивалентности в декартовом квадрате
А×А равенство первых координат. т. е. если a, b  A×A, полагаем a b  a1=b1
множество элементов, эквивалентных a .
Определение 5. Фактор множество для данного множества и отношения эквивалентности – это множество классов эквивалентности.
Происходит разделение множества на подмножества.
Фактор множество множества всех множеств по отношению равномощности – это
множество кардинальных чисел.
Определение 6. (  А  В) µ(А)=µ(В), тогда В – бесконечное, и В –конечное когда
(  А  В) µ(А)=µ(В)  A  B .
Ещё определения конечности и бесконечности.
6.1. B конечно, если А  В  µ(А)<µ(В).
6.2. B конечно если x  B  µ(B)>µ(В \ {x}).
6.3. B конечно если x B  µ(B  {x})>µ(В).
6.4. Множество не являющееся конечным называется бесконечным.
Кардинальные числа конечных множеств называются натуральными числами.
Элементарно доказывается
Теорема 4. Если A и B конечны, то µ(А×B) = µ(A) µ(В). □
В 1878 году была доказана великая
Теорема Кантора. Множество всех подмножеств множества А имеет мощность
большую, чем мощность множества А.
Обозначение: 2А – множество всех подмножеств множества А.
В принятых обозначениях мощности и множества всех подмножеств теорема Кантора записывается так:
µ(А)<µ(2А).
(1)
А
µ(А)
Позднее ( в гл.2) будет доказано, что если А конечное, то µ(2 )=2
7
Лектор: Михеев С. Е.
Доказательство теоремы Кантора. От противного. Допустим, что есть биекция
А
2А. Тогда должны существовать такие х, что x  f(x). Действительно, противное
означало бы, что (x  A) f ( x)   x - это множество из одного элемента x. Но тогда без
прообраза остаётся пустое подмножество  . Положим X  {x | x  f ( x)} . Как выяснилось,
X ≠ .
Каков прообраз X? Он не может принадлежать X
по определению X. Но если он не в X , то его надо
было бы включить в X согласно определению X ,
а раз его нет в X , то X построено неверно. Полученное противоречие (у " X " нет прообраза) доказывает теорему Кантора.
Определение 4. С:= µ(Z) – мощность множества целых чисел, называется счётной.
Из теоремы Кантора следует, что множество подмножеств целых чисел несчётно, то есть
µ(2z)> µ(Z). Или, что также: µ(2z)>C. Мощность континуума – мощность множества всех
подмножеств счётного множества.
Гипотеза Кантора. Бесконечных множеств с промежуточной мощностью между счётным множеством и континуумом не существует.
Во второй половине двадцатого века было доказано, что это утверждение можно
принять в качестве аксиомы и развивать две равноправные математики: одну с гипотезой
Кантора, а другую – допускающую существование промежуточных мощностей.
8