Демонстрационное представление и тензорные произведения

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290, с. 154–165
УДК 512.81
Демонстрационное представление и тензорные
произведения алгебр Клиффорда1
Н. Г. Марчук2
Поступило 15 марта 2015 г.
Доказано, что тензорное произведение любых алгебр Клиффорда изоморфно одной алгебре
Клиффорда над некоторой коммутативной алгеброй. Также доказано, что любая комплексная
или вещественная алгебра Клиффорда C(p, q) может быть представлена в виде тензорного произведения алгебр Клиффорда второго и первого порядков. Предложен канонический вид такого
представления.
DOI: 10.1134/S0371968515030139
Математический аппарат алгебр Клиффорда находит приложения в таких областях, как
электромагнетизм и теория поля, механика и робототехника, обработка сигналов и вычислительная математика, а также во многих других прикладных областях. С 1985 г. регулярно проводятся конференции ICCA (International Conference on Clifford Algebras and their
Applications). С 1990 г. выходит журнал “Advances in Applied Clifford Algebras”, а с 2011 г. выходит журнал “Clifford Analysis, Clifford Algebras and their Applications”. Многообразие приложений теории алгебр Клиффорда обусловлено большой гибкостью математического аппарата
алгебр Клиффорда — этот математический аппарат можно настраивать на разные области
приложений. По своей гибкости математический аппарат алгебр Клиффорда сравним с математическим аппаратом матриц. Но не следует противопоставлять эти два математические
аппарата, они взаимно дополняют друг друга. Алгебры Клиффорда можно рассматривать с
разных точек зрения, и это отражено в разных определениях алгебр Клиффорда, о которых
мы скажем дальше. Например, многие физики-теоретики воспринимают и используют алгебру
Клиффорда как алгебру γ-матриц Дирака.
В работе Н. Джекобсона [2] представлена точка зрения на алгебры Клиффорда как на
тензорные произведения алгебр Клиффорда меньших размерностей. Данная статья посвящена дальнейшей разработке этой точки зрения на алгебры Клиффорда. Мы рассматриваем вещественные или комплексные алгебры Клиффорда как тензорные произведения алгебр
Клиффорда размерностей 2 и 1 и получаем аналог (в терминах тензорных произведений)
картановской классификации вещественных алгебр Клиффорда. По нашему мнению, новая
точка зрения придает бо̀льшую гибкость теории алгебр Клиффорда и расширяет возможности
использования математического аппарата алгебр Клиффорда в приложениях.
Показано, что любая комплексная или вещественная алгебра Клиффорда C(p, q) может
быть представлена в виде тензорного произведения алгебр Клиффорда второго и первого порядков. Предложен канонический вид такого представления. Главный результат статьи состоит в доказательстве того, что тензорное произведение любых алгебр Клиффорда изоморфно
одной алгебре Клиффорда над некоторой коммутативной алгеброй.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-50-00005).
2 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия.
E-mail: [email protected]
c Н.Г. Марчук, 2015
154
ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
155
В данной работе класс комплексных алгебр Клиффорда разделен на два подкласса — существенно комплексных алгебр Клиффорда и комплексных алгебр Клиффорда. Аналог картановской классификации распространен на класс (несущественно) комплексных алгебр Клиффорда. Для существенно комплексных алгебр Клиффорда ситуация упрощается, так как алгебры
CC (p, q), n = p + q, при каждом фиксированном натуральном n изоморфны алгебре Клиффорда CC (n) ≡ CC (n, 0) и изоморфны алгебре комплексных матриц Mat(2n/2 , C) при четном n и
алгебре матриц Mat(2(n−1)/2 , C) ⊕ Mat(2(n−1)/2 , C) при нечетном n. Поэтому все интересующие
нас утверждения могут быть получены из теории матриц.
1. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА CR (p, q) И C(p, q)
Введение алгебр Клиффорда. В литературе используются несколько различных (эквивалентных) определений алгебр Клиффорда. Например, в [4] рассмотрены три определения
алгебры Клиффорда и показана их эквивалентность. После работ Е. Картана при определении алгебры Клиффорда внимание концентрируется на n-мерном векторном пространстве V с
заданной квадратичной формой Q сигнатуры (p, q), где n = p + q. При этом требуется, чтобы
алгебра Клиффорда содержала изометричную копию V .
В рассматриваемом далее определении алгебры Клиффорда используется базис специального вида, занумерованный упорядоченными мультииндексами. Наше определение алгебры
Клиффорда близко к первоначальному определению У. Клиффорда [1]. Обсуждения определений алгебр Клиффорда содержатся также в [6, 7].
Пусть E — векторное пространство над полем F вещественных чисел R или над полем
комплексных чисел C. Пусть n — натуральное число и размерность пространства E равна
dim E = 2n . Пусть в E введен базис
e, ea , ea1 a2 , . . . , e1...n ,
где
a1 < a2 < . . . ,
(1.1)
занумерованный упорядоченными мультииндексами длины от 0 до n. Индексы a, a1 , a2 , . . .
пробегают значения от 1 до n.
Пусть p и q — неотрицательные целые числа и p + q = n, n ≥ 1. Введем диагональную
матрицу η размера n:
η = η ab = diag( 1, . . . , 1, −1, . . . , −1 ).
p
(1.2)
q
Введем на E операцию клиффордова умножения U, V → U V , которая двум произвольным
элементам U, V ∈ E ставит в соответствие элемент U V ∈ E по следующим правилам:
1) дистрибутивность и согласованность с линейной структурой: для любых U, V, W ∈ E
и α, β ∈ F
U (αV + βW ) = αU V + βU W,
(αU + βV )W = αU W + βV W ;
2) ассоциативность: для любых U, V, W ∈ E
(U V )W = U (V W );
3) унитальность: для любого U ∈ E
U e = eU = U ;
4) для всех a, b = 1, . . . , n
ea eb + eb ea = 2η ab e;
5) для всех 1 ≤ a1 < . . . < ak ≤ n
ea1 . . . eak = ea1 ...ak .
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
(1.3)
156
Н.Г. МАРЧУК
Тогда введенная таким образом алгебра называется алгеброй Клиффорда и обозначается
через CR (p, q) в случае поля вещественных чисел и через CC (p, q) = C(p, q) в случае поля
комплексных чисел. Заметим, что
CR (p, q) ⊂ C(p, q).
В тех случаях, когда рассуждения верны для обоих случаев, будем писать CF (p, q), подразумевая, что F = R или F = C.
Элемент e называется единицей алгебры Клиффорда. Пара чисел (p, q) называется сигнатурой алгебры Клиффорда CF (p, q). Заметим, что в литературе часто сигнатурой называется
число p − q.
Элементы ea называются генераторами 3 алгебры Клиффорда. Термин “генератор” означает, что любой элемент базиса (1.1) является произведением генераторов ea либо линейной
комбинацией произведений генераторов.
Число n = p + q (число генераторов) будем называть размерностью алгебры Клиффорда
CF (p, q) (при этом размерность алгебры Клиффорда как векторного пространства равна 2n ).
Итак, в силу условий 1)–4) мы имеем ассоциативную некоммутативную (при n ≥ 2) унитальную алгебру с определяющими соотношениями (1.3).
Любой элемент U алгебры Клиффорда CF (p, q) представляется в виде разложения по базису (1.1):
ua1 a2 ea1 a2 + . . . + u1...n e1...n ,
(1.4)
U = ue + ua ea +
a1 <a2
где u, ua , ua1 a2 , . . . , u1...n — вещественные (в случае CR (p, q)) или комплексные (в случае C(p, q))
числа. Далее будем использовать подобные обозначения для элементов и их коэффициентов
без дополнительных оговорок.
Обозначим через CFk (p, q), k = 0, . . . n, векторные (вещественные или комплексные) подпространства пространства CF (p, q), натянутые на базисные элементы ea1 ...ak , занумерованные
упорядоченными мультииндексами длины k. Элементы из CFk (p, q) будем называть элементами ранга k. Имеем
CF (p, q) = CF0 (p, q) ⊕ . . . ⊕ CFn (p, q) = CFEven (p, q) ⊕ CFOdd (p, q),
где
CFEven (p, q) = CF0 (p, q) ⊕ CF2 (p, q) ⊕ . . . ,
dim CFk (p, q) = Cnk ,
CFOdd (p, q) = CF1 (p, q) ⊕ CF3 (p, q) ⊕ . . . ,
dim CFEven (p, q) = dim CFOdd (p, q) = 2n−1 ,
а Cnk — биномиальные коэффициенты. Элементы подпространства CFEven (p, q) называются четными элементами, а элементы подпространства CFOdd (p, q) — нечетными элементами алгебры
Клиффорда.
О выделенности подпространства элементов ранга 1. Через V = CF1 (p, q) обозначим векторное пространство размерности n, натянутое на генераторы ea . От одного набора
генераторов ea можно перейти к другому набору генераторов (другому базису векторного
пространства V )
éa = pab eb
(1.5)
с помощью вещественной матрицы
P = pab ∈ Mat(n, R),
3 В русскоязычной литературе вместо термина “генератор” часто используется термин “порождающий”.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
157
удовлетворяющей условию (псевдо)ортогональности
P T ηP = η,
т.е. P ∈ O(p, q). Можно доказать, что пространства CFk (p, q) элементов ранга k, построенные
на основе набора генераторов ea , останутся неизменными при переходе к новому набору генераторов éa (этот важный факт подробно рассматривается в [5]). В частности, пространство V
не изменится. Поэтому полагают, что набор генераторов éa определяет ту же самую алгебру
Клиффорда CF (p, q).
Таким образом, алгебру Клиффорда можно рассматривать как 2n -мерное векторное пространство E с операцией клиффордова умножения на элементах E (заданной, например, правилами 1)–5) и зависящей от сигнатуры (p, q)) и с выделенным n-мерным подпространством V
(элементы ортонормированного базиса которого можно взять в качестве генераторов алгебры
Клиффорда).
Еще раз подчеркнем, что в этом традиционном подходе к определению алгебр Клиффорда
допускаются только такие замены базиса (1.1), которые индуцируются вещественными (псевдо)ортогональными заменами генераторов (1.5) (т.е. ортонормированного базиса (псевдо)евклидова пространства V ).
Комплексные и существенно комплексные алгебры Клиффорда. В литературе
при обсуждении комплексных алгебр Клиффорда многие авторы вместо рассмотрения алгебр Клиффорда C(p, q) произвольной сигнатуры (p, q) рассматривают только алгебры одной
сигнатуры C(n) = C(n, 0). Такое ограничение обосновывают следующим аргументом. Если
рассматривать алгебру Клиффорда C(p, q) (p + q = n) с антикоммутирующими генераторами
e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en , для которых
(ea )2 = e,
a = 1, . . . , p,
(ea )2 = −e,
a = p + 1, . . . , n,
то можно взять новый набор генераторов è1 , . . . , èn такой, что
èa = ea ,
a = 1, . . . , p,
èa = iea ,
a = p + 1, . . . , n.
Этот набор генераторов порождает комплексную алгебру Клиффорда C(n) = C(n, 0), так
как (èa )2 = e, a = 1, . . . , n. Отсюда делается вывод о том, что алгебра C(p, q) сводится к
алгебре C(n) (изоморфна ей).
Покажем, что с точки зрения некоторых приложений (мы занимаемся приложениями алгебры Клиффорда к уравнениям теории поля) сведение алгебры C(p, q) к алгебре C(n) не
всегда является целесообразным.
Действительно, в теории уравнения Дирака используется комплексная алгебра Клиффорда
C(p, q) с антикоммутирующими генераторами e1 , e2 , e3 , e4 такими, что (e1 )2 = e, (ek )2 = −e,
k = 2, 3, 4. Общий элемент U ∈ C(1, 3) имеет вид
uab eab +
uabc eabc + u1234 e1234 ,
U = ue + ua ea +
a<b
a<b<c
где u, ua , uab , uabc , u1234 — комплексные числа (или функции).
В теории возникает необходимость использовать операцию комплексного сопряжения элемента алгебры Клиффорда, которая определяется следующим образом:
U = ūe + ūa ea +
ūab eab +
ūabc eabc + ū1234 e1234 ,
(1.6)
a<b
a<b<c
где ū, ūa , ūab , ūabc , ū1234 — комплексно сопряженные числа (или функции). Таким образом,
с позиции комплексного сопряжения элементы базиса e, ea , eab , . . . считаются вещественными
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
158
Н.Г. МАРЧУК
(ē = e, ēa = ea , . . . ) и операция комплексного сопряжения действует только на коэффициенты
разложения элемента U по базису алгебры Клиффорда.
Если введем новый набор генераторов è1 , . . . , è4 такой, что
è1 = e1 ,
èk = iek ,
k = 2, 3, 4,
то тем самым перейдем от алгебры C(1, 3) к алгебре C(4). Но при этом мы уже не можем
считать, что базисные элементы алгебры Клиффорда C(4) вещественны, а значит, не можем
пользоваться операцией комплексного сопряжения (1.6). Это обстоятельство делает переход
от алгебры C(p, q) к алгебре C(n) неоправданным.
Таким образом, мы пришли к осознанию того факта, что класс комплексных алгебр Клиффорда следует разделить на два подкласса: подкласс существенно комплексных алгебр Клиффорда и подкласс комплексных алгебр Клиффорда. К подклассу существенно комплексных алгебр Клиффорда мы относим те, в которых допускаются линейные замены базиса с комплексными коэффициентами, тогда как к классу (несущественно) комплексных алгебр Клиффорда
мы отнесем те, в которых допускаются линейные замены базиса только с вещественными
коэффициентами, а значит, определена операция комплексного сопряжения (1.6).
Дальше в этой статье мы будем рассматривать только (несущественно) комплексные алгебры Клиффорда.
Озадачивающий пример. Попробуем рассмотреть общие замены базиса (1.1), в которых связываются элементы разных рангов. Начнем с примера алгебр Клиффорда второго
порядка (n = 2). Имеются три алгебры Клиффорда второго порядка C(2, 0), C(1, 1), C(0, 2) с
единицей e, генераторами e1 , e2 и базисом
e, e1 , e2 , e12 ,
(1.7)
где e12 = e1 e2 = −e2 e1 и
(e1 )2 = e,
(e2 )2 = e
для
C(2, 0),
(e1 )2 = e,
(e2 )2 = −e
для
C(1, 1),
(e1 )2 = −e,
(e2 )2 = −e
для
C(0, 2).
Рассмотрим алгебру C(2, 0) с базисом (1.7), удовлетворяющим условиям
(e1 )2 = e,
(e2 )2 = e,
(e12 )2 = −e.
Элементы e1 , e2 , e12 антикоммутируют друг с другом. Сделаем замену базиса (1.7), перейдя
к новому базису по формулам
é = e,
é1 = e1 ,
é2 = e12 ,
é12 = é1 é2 = e2 .
Так как (é1 )2 = e, (é2 )2 = −e, мы приходим к алгебре Клиффорда C(1, 1), которая оказывается изоморфной алгебре Клиффорда C(2, 0) (начиная с этого момента и до конца статьи мы
забываем про выделенность векторного пространства, натянутого на генераторы). Проведенное выше рассуждение, как легко убедиться, нельзя применить к алгебре Клиффорда C(0, 2).
Поэтому при n = 2 три алгебры Клиффорда можно разделить на два класса. К первому классу
относятся изоморфные между собой алгебры C(2, 0) и C(1, 1), а ко второму классу относится
алгебра C(0, 2), которая неизоморфна первым двум алгебрам.
Рассмотренный пример алгебр Клиффорда C(p, q) с p + q = 2 позволяет поставить следующую более общую задачу: для произвольного натурального n надо разбить алгебры Клиффорда C(p, q) с p + q = n на несколько классов так, чтобы в один класс входили изоморфные между
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
159
собой алгебры Клиффорда. При этом алгебры Клиффорда, входящие в разные классы, неизоморфны. Дальше эта задача будет решена. Забегая вперед, проинформируем читателя, что
при каждом натуральном четном n ≥ 2 множество алгебр Клиффорда C(p, q) с p + q = n разбивается на два класса изоморфных алгебр Клиффорда, а при нечетном n ≥ 3 — на три класса
изоморфных алгебр Клиффорда. При этом получающаяся классификация алгебр Клиффорда
согласуется с картановской классификацией вещественных алгебр Клиффорда.
2. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА КАК ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
АЛГЕБР КЛИФФОРДА ВТОРОГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Тензорное произведение алгебр. Напомним, что алгеброй A над полем F называется
векторное пространство V над F, на котором задана операция умножения A × A → A, ставящая в соответствие каждой паре элементов x, y ∈ A единственный элемент xy ∈ A, причем
операция умножения согласована с линейной структурой и выполняется свойство дистрибутивности
(x + y)z = xz + yz,
∀x, y, z ∈ A.
x(y + z) = xy + xz
Пусть дана алгебра A над полем F, являющаяся векторным пространством V с операцией
умножения элементов A1 , A2 → A1 · A2 , и пусть дана алгебра B над полем F, являющаяся
векторным пространством W с операцией умножения элементов B1 , B2 → B1 ∗ B2 . Тензорное
произведение A ⊗ B алгебр A и B над полем F — это тензорное произведение V ⊗ W векторных
пространств V и W , снабженное операцией умножения
(A1 ⊗ B1 ) ◦ (A2 ⊗ B2 ) = (A1 · A2 ) ⊗ (B1 ∗ B2 )
∀A1 , A2 ∈ A,
∀B1 , B2 ∈ B.
(2.1)
Пример. В качестве следующего примера рассмотрим алгебру Клиффорда C(1, 3) с
единицей e, антикоммутирующими генераторами e1 , e2 , e3 , e4 , удовлетворяющими условиям
(e1 )2 = −(e2 )2 = −(e3 )2 = −(e4 )2 = e, и с базисом из 16 элементов, занумерованных упорядоченными мультииндексами:
e, e1 , e2 , e3 , e4 , e12 , e13 , e14 , e23 , e24 , e34 , e123 , e124 , e134 , e234 , e1234 ,
(2.2)
причем ej1 ...jk = ej1 . . . ejk для 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ 4. Последнее условие, в частности, означает,
что все базисные элементы записываются в виде произведений генераторов. Теперь возьмем
следующие четыре элемента базиса (2.2):
O1 = e1 ,
E1 = e12 ,
O2 = e123 ,
E2 = e34 .
Легко видеть, что генераторы e1 , e2 , e3 , e4 можно записать в виде произведений элементов
O1 , E1 , O2 , E2 . Поэтому набор элементов O1 , E1 , O2 , E2 образует новый набор генераторов
алгебры Клиффорда C(1, 3). Имеем
O1 E1 = −E1 O1 ,
O12 = E12 = e,
O2 E2 = −E2 O2 ,
O22 = E22 = −e.
Поэтому мы можем рассматривать элементы O1 и E1 как генераторы алгебры Клиффорда
C(O1 , E1 ) C(2, 0), а элементы O2 и E2 как генераторы алгебры Клиффорда C(O2 , E2 ) C(0, 2). Кроме этого, каждый из элементов O1 , E1 как элемент алгебры Клиффорда C(1, 3)
коммутирует с каждым из элементов O2 , E2 , т.е. каждый элемент алгебры C(O1 , E1 ) коммутирует с каждым элементом алгебры C(O2 , E2 ).
Следовательно, алгебра Клиффорда C(1, 3) изоморфна тензорному произведению
C(O1 , E1 ) ⊗ C(O2 , E2 ) C(2, 0) ⊗ C(0, 2)
и при этом в условии (2.1) в качестве всех операций ◦, ·, ∗, ⊗ берем операцию клиффордова
умножения в C(1, 3).
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
160
Н.Г. МАРЧУК
В силу изоморфизма C(2, 0) C(1, 1), который был рассмотрен в первом примере, имеем
C(1, 3) C(1, 1) ⊗ C(0, 2).
(2.3)
Этот изоморфизм будем называть редуктивным представлением алгебры Клиффорда C(1, 3),
так как он сводит алгебру Клиффорда четвертого порядка к тензорному произведению алгебр
Клиффорда меньших порядков.
Изоморфизм (2.3) имеет место как в случае комплексных алгебр Клиффорда, так и в
случае вещественных алгебр Клиффорда. Как известно, в вещественном случае
CR (1, 1) Mat(2, R),
CR (0, 2) H,
где Mat(2, R) — алгебра матриц второго порядка с вещественными элементами и H — тело
кватернионов. Поэтому вещественная алгебра CR (1, 3) изоморфна алгебре матриц второго порядка над телом кватернионов. Этот известный результат обычно появляется в теории алгебр
Клиффорда в разделе, посвященном 8-периодичности Картана–Ботта.
Итог рассмотрения этого примера состоит в том, что алгебра Клиффорда C(1, 3) изоморфна тензорному произведению двух алгебр Клиффорда второго порядка (2.3). Дальше
мы обобщим этот результат и найдем редуктивные представления для алгебр Клиффорда
всех размерностей и сигнатур.
Демонстрационное редуктивное представление алгебры Клиффорда в виде тензорного произведения алгебр Клиффорда размерностей 2 и 1. Рассмотрим алгебру Клиффорда C(p, q), p + q = n ≥ 1, с единицей e, антикоммутирующими генераторами
e1 , . . . , en , удовлетворяющими условиям (e1 )2 = . . . = (ep )2 = e, (ep+1 )2 = . . . = (en )2 = −e, и с
базисом из 2n элементов (1.1), занумерованных упорядоченными мультииндексами. Возьмем
следующий набор из n элементов:
Ok =
2k−1
j=1
j
2k−1
e =e
k−1
n+1
,
k = 1, . . . ,
2
Ej ,
j=1
Ek = e2k−1 e2k ,
k = 1, . . . ,
n
2
,
где квадратными скобками обозначена целая часть числа. Здесь Ok — нечетные (Odd) элементы и Ek — четные (Even) элементы алгебры Клиффорда C(p, q). При четном n введенные
элементы распадаются на n/2 пар (Ok , Ek ), k = 1, . . . , n/2, а при нечетном n введенные элементы распадаются на (n − 1)/2 пар (Ok , Ek ), k = 1, . . . , (n − 1)/2, и один элемент O(n+1)/2 .
Генераторы e1 , . . . , en можно записать в виде произведений элементов Ok , Ek по формулам
[k/2]
1
e = O1 ,
k
e = O[(k+1)/2]
Ej ,
2 ≤ k ≤ n.
j=1
Поэтому набор из n элементов Ok , Ek можно рассматривать как новый набор генераторов
алгебры Клиффорда C(p, q).
Теорема 1. Элементы Ok , Ek имеют следующие коммутационные свойства при всех
k, l = 1, . . . , [n/2]:
[Ok , El ] = 0,
k = l,
{Ok , Ek } = 0,
[Ek , El ] = 0,
Ok2 = ±e,
[Ok , Ol ] = 0,
Ek2 = ±e,
(2.4)
где {A, B} = AB + BA, [A, B] = AB − BA.
Доказательство. Теорема легко доказывается с помощью свойства антикоммутации генераторов ea eb = −eb ea при a = b. ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
161
Обозначим через C(A) алгебру Клиффорда первого порядка (n = 1), построенную с помощью одного элемента A ∈ C(p, q), A2 = ±e, рассматриваемого в качестве генератора алгебры
Клиффорда C(A). Обозначим через C(A, B) алгебру Клиффорда второго порядка (n = 2), построенную с помощью двух элементов A, B ∈ C(p, q) таких, что A2 = ±e, B 2 = ±e, AB = −BA,
рассматриваемых в качестве генераторов алгебры Клиффорда C(A, B). Из формул (2.4) следует, что алгебра Клиффорда C(p, q) изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда
второго и первого порядков. А именно, при четном n = p + q имеем
C(p, q) C(O1 , E1 ) ⊗ . . . ⊗ C(On/2 , En/2 ),
(2.5)
C(p, q) C(O1 , E1 ) ⊗ . . . ⊗ C(O(n−1)/2 , E(n−1)/2 ) ⊗ C(O(n+1)/2 ).
(2.6)
а при нечетном n имеем
В частности,
C(p, q) C(e1 ),
n = p + q = 1,
C(p, q) C(e1 , e12 ),
n = p + q = 2,
C(p, q) C(e1 , e12 ) ⊗ C(e123 ),
n = p + q = 3,
C(p, q) C(e1 , e12 ) ⊗ C(e123 , e34 ),
n = p + q = 4,
C(p, q) C(e1 , e12 ) ⊗ C(e123 , e34 ) ⊗ C(e12345 ),
n = p + q = 5,
C(p, q) C(e1 , e12 ) ⊗ C(e123 , e34 ) ⊗ C(e12345 , e56 ),
n = p + q = 6.
Изоморфизмы (2.5) и (2.6) будем называть демонстрационными редуктивными представлениями алгебр Клиффорда. Эти представления демонстрируют тот факт, что любая алгебра
Клиффорда C(p, q) изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда второго и первого порядков.
Дальше нам понадобится
Теорема 2 4 . Справедливы следующие изоморфизмы алгебр Клиффорда:
C(p + 1, q + 1) C(p, q) ⊗ C(1, 1),
(2.7)
C(q + 1, p − 1) C(p, q),
p ≥ 1,
(2.8)
C(p − 4, q + 4) C(p, q),
p ≥ 4,
(2.9)
C(p, q + 8) C(p, q) ⊗ C(0, 8),
(2.10)
C(0, 3) C(1, 0) ⊗ C(0, 2),
(2.11)
C(2, 2) C(1, 1) ⊗ C(1, 1) C(0, 2) ⊗ C(0, 2).
(2.12)
Доказательство. Доказательство первых четырех изоморфизмов изложено в [4, Ch. 16]
для случая вещественных алгебр Клиффорда. С помощью известных изоморфизмов
CR (0, 0) R,
CR (1, 0) R ⊕ R,
CR (0, 2) ⊗ CR (1, 0) H ⊕ H,
CR (0, 1) C,
CR (0, 2) H,
CR (1, 1) Mat(2, R)
(2.13)
можно проверить, что приведенные в [4] доказательства справедливы и для комплексных алгебр Клиффорда.
4 В этой теореме собраны известные утверждения, доказательство которых можно найти, например, в [2]
или [3].
11
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
162
Н.Г. МАРЧУК
Докажем изоморфизм (2.11). С помощью демонстрационного редуктивного представления (2.6), примененного к алгебре Клиффорда C(0, 3) с генераторами e1 , e2 , e3 , удовлетворяющими условиям (e1 )2 = (e2 )2 = (e3 )2 = −e, получим
C(0, 3) C(e1 , e12 ) ⊗ C(e123 ),
(2.14)
причем (e12 )2 = −e и (e123 )2 = e. Поэтому изоморфизм (2.14) дает изоморфизм (2.11).
Аналогичным способом докажем изоморфизм (2.12). Действительно, с помощью демонстрационного редуктивного представления (2.5), примененного к алгебре Клиффорда C(2, 2)
с генераторами e1 , e2 , e3 , e4 , удовлетворяющими условиям (e1 )2 = (e2 )2 = −e, (e3 )2 = (e4 )2 = e,
получим
C(2, 2) C(e1 , e12 ) ⊗ C(e123 , e34 ),
(2.15)
причем (e12 )2 = −e, (e123 )2 = −e и (e34 )2 = −e. Поэтому изоморфизм (2.15) дает изоморфизм
C(2, 2) C(0, 2) ⊗ C(0, 2).
С другой стороны, изоморфизм (2.7) дает изоморфизм
C(2, 2) C(1, 1) ⊗ C(1, 1),
что доказывает изоморфизм (2.12). Теорема доказана. Теорема 3 (о пяти классах алгебр Клиффорда). Для любого натурального n и любых
неотрицательных целых p, q таких, что p + q = n, алгебра Клиффорда CF (p, q) над полем
вещественных чисел (F = R) или полем комплексных чисел (F = C) изоморфна одному из
следующих тензорных произведений алгебр Клиффорда второго и первого порядков:
⎧ F
n/2
если p − q = 0, 2 mod 8,
⎪
⎪ C (1, 1) ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ CF (1, 1)(n−1)/2 ⊗ CF (1, 0),
если p − q = 1 mod 8,
⎪
⎨
F
(2.16)
C (p, q) CF (1, 1)(n−1)/2 ⊗ CF (0, 1),
если p − q = 3, 7 mod 8,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
если p − q = 4, 6 mod 8,
CF (1, 1)(n−2)/2 ⊗ CF (0, 2),
⎪
⎪
⎪
⎩ F
C (1, 1)(n−3)/2 ⊗ CF (0, 2) ⊗ CF (1, 0), если p − q = 5 mod 8,
где CF (1, 1)k — тензорное произведение CF (1, 1) ⊗ . . . ⊗ CF (1, 1) с k сомножителями.
Редуктивные представления, заданные формулами (2.16), будем называть каноническими
редуктивными представлениями алгебр Клиффорда. Каждая алгебра Клиффорда CF (p, q)
имеет единственное каноническое редуктивное представление.
Прежде чем доказывать теорему, сделаем три замечания.
1. Эта теорема означает, что множество вещественных или комплексных алгебр Клиффорда CF (p, q) разбивается на пять классов в зависимости от числа p − q mod 8.
2. Фиксируем размерность n и рассмотрим все n + 1 алгебр Клиффорда CF (p, q) с p + q = n.
Тогда из формул (2.16) получим, что при четном n алгебры Клиффорда CF (p, q) с p + q = n
распадаются на два класса, соответствующих p − q = 0, 2 mod 8 и p − q = 4, 6 mod 8. При
этом алгебры Клиффорда, принадлежащие одному классу, изоморфны между собой и неизоморфны алгебрам Клиффорда, принадлежащим другому классу. При нечетном n алгебры
Клиффорда CF (p, q) с p + q = n распадаются на три класса, соответствующих p − q = 1 mod 8,
p − q = 3, 7 mod 8 и p − q = 5 mod 8. При этом алгебры Клиффорда, принадлежащие одному классу, изоморфны между собой и неизоморфны алгебрам Клиффорда, принадлежащим
другим классам.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
163
3. Рассмотрим формулы (2.16) для вещественных алгебр Клиффорда CR (p, q) и воспользуемся известными изоморфизмами (2.13). В результате придем к утверждению о том, что
вещественные алгебры Клиффорда CR (p, q), n = p + q, изоморфны следующим матричным
алгебрам:
⎧
Mat(2n/2 , R),
если p − q = 0, 2 mod 8,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Mat(2(n−1)/2 , R) ⊕ Mat(2(n−1)/2 , R), если p − q = 1 mod 8,
⎪
⎨
(2.17)
CR (p, q) Mat(2(n−1)/2 , C),
если p − q = 3, 7 mod 8,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
если p − q = 4, 6 mod 8,
Mat(2(n−2)/2 , H),
⎪
⎪
⎪
⎩
Mat(2(n−3)/2 , H) ⊕ Mat(2(n−3)/2 , H), если p − q = 5 mod 8.
Это утверждение было доказано Э. Картаном в 1908 г. Поэтому картановская классификация
вещественных алгебр Клиффорда согласуется с нашей классификацией (2.16) для вещественных алгебр Клиффорда. Отметим также, что классификация (2.16) распространяется и на
(несущественно) комплексные алгебры Клиффорда.
Доказательство теоремы 3 проведем для комплексных алгебр Клиффорда (для вещественных алгебр Клиффорда доказательство, очевидно, также справедливо). При рассмотрении алгебр Клиффорда C(p, q) наша цель состоит в том, чтобы эти алгебры Клиффорда представить в виде тензорных произведений алгебр Клиффорда C(1, 1), C(1, 0), C(0, 1) и C(0, 2).
Выделим три случая p > q, p = q и p < q. Применим изоморфизм (2.7) к указанным трем
случаям:
• при p > q получим C(p, q) C(1, 1)q ⊗ C(p − q, 0);
• при p = q получим C(p, q) C(1, 1)p ;
• при p < q получим C(p, q) C(1, 1)p ⊗ C(0, q − p).
Поэтому нам достаточно представить алгебры Клиффорда вида C(k, 0) и C(0, k) в виде тензорных произведений алгебр Клиффорда второго и первого порядков. С помощью изоморфизмов (2.8), (2.7) при k ≥ 2 получим
C(k, 0) C(1, k − 1) C(1, 1) ⊗ C(0, k − 2).
Поэтому теперь нам достаточно представить алгебры Клиффорда C(0, k) в виде тензорных
произведений алгебр Клиффорда второго и первого порядков. Используя изоморфизм (2.9), а
также изоморфизмы (2.8), (2.7), (2.11), будем иметь
C(0, 3) C(0, 2) ⊗ C(1, 0),
C(0, 4) C(4, 0) C(1, 1) ⊗ C(0, 2),
C(0, 5) C(4, 1) C(1, 1) ⊗ C(3, 0) C(1, 1)2 ⊗ C(0, 1),
C(0, 6) C(4, 2) C(1, 1)2 ⊗ C(2, 0) C(1, 1)3 ,
C(0, 7) C(4, 3) C(1, 1)3 ⊗ C(1, 0),
C(0, 8) C(4, 4) C(1, 1)4 .
Дополняя эти изоморфизмы изоморфизмом (2.10), получим представления всех алгебр Клиффорда C(0, k), k > 8, в виде тензорных произведений алгебр Клиффорда второго и первого
порядков.
Таким образом, мы представили все алгебры Клиффорда C(p, q) в виде тензорных произведений алгебр Клиффорда второго и первого порядков. Легко проверить, что полученные
представления записываются в виде формул (2.16). Теорема доказана. ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
11*
164
Н.Г. МАРЧУК
3. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ АЛГЕБР КЛИФФОРДА
Тензорное произведение произвольного конечного числа алгебр Клиффорда
четных размерностей. Сначала рассмотрим тензорное произведение алгебр Клиффорда
четной размерности
CF (p1 , q1 ) ⊗ . . . ⊗ CF (pk , qk ),
(3.1)
где все размерности nj = pj + qj , j = 1, . . . , k, являются четными. В этом случае по теореме 3
(о пяти классах алгебр Клиффорда) каждая из алгебр Клиффорда CF (pj , qj ) представляется
в одном из двух видов
F
C (1, 1)n/2 ,
если p − q = 0, 2 mod 8,
F
C (p, q) CF (1, 1)(n−2)/2 ⊗ CF (0, 2), если p − q = 4, 6 mod 8.
Следовательно, тензорное произведение (3.1) представляется в виде
CF (1, 1)r ⊗ CF (0, 2)s
(3.2)
и с помощью изоморфизма (2.12) можно добиться того, что в тензорном произведении (3.2)
будет s = 1 (лишь один множитель CF (0, 2)) либо s = 0 (ни одного такого множителя). В обоих
случаях тензорное произведение (3.2) изоморфно одной алгебре Клиффорда четной размерности CF (p, q), p + q = n = n1 + . . . + nk . Таким образом, доказана следующая
Теорема 4. Тензорное произведение (3.1) произвольного конечного числа k алгебр Клиффорда четных размерностей nj = pj + qj , j = 1, . . . , k, изоморфно одной алгебре Клиффорда
CF (p, q), p + q = n = n1 + . . . + nk . Коммутативные алгебры Клиффорда. В начале статьи было дано определение алгебры Клиффорда CF (p, q), p + q = n, как векторного пространства E размерности 2n над
полем F с базисом (1.1) и структурными константами (1.2). При этом для элементов векторного пространства E была задана операция клиффордова умножения с помощью правил 1)–5).
Теперь рассмотрим аналогичную конструкцию ассоциативной унитальной алгебры, которая отличается от приведенной выше конструкции только в одном пункте. А именно, правило
клиффордова умножения 4) с формулой (1.3) заменяется на следующее правило5 :
4а) для всех a, b = 1, . . . , n
ea eb − eb ea = 0,
(ea )2 = η aa e.
(3.3)
Это новое правило означает, что все генераторы e1 , . . . , en коммутируют и квадраты генераторов равны ±e.
Получившуюся коммутативную алгебру над полем F называют коммутативной алгеброй
Клиффорда и обозначают через CcomF (p, q).
С каждым из генераторов e1 , . . . , ep можно связать алгебру Клиффорда CF (1, 0), построенную с помощью этого генератора. И с каждым из генераторов ep+1 , . . . , en можно связать
алгебру Клиффорда CF (0, 1), построенную с помощью этого генератора. В случае одномерных
алгебр Клиффорда нет разницы между обычной и коммутативной алгебрами Клиффорда.
5 Получающуюся в результате коммутативную алгебру можно связать с классом обобщенных алгебр Клиф-
форда, которые строятся с помощью генераторов e1 , . . . , en , удовлетворяющих следующим условиям:
• ei ej + ωej ei = 0, i = j, ω — примитивный корень из единицы, ω m = 1, m — натуральное число;
• (ej )m = g j e, g j = ±1.
При m = 2, ω = 1 получаем обычную алгебру Клиффорда, а при m = 2, ω = −1 получаем коммутативную
обобщенную алгебру Клиффорда, которую мы и используем в этом пункте.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290
ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
165
Свойство коммутативности алгебры Клиффорда CcomF (p, q) влечет за собой представимость
коммутативной алгебры Клиффорда в виде тензорного произведения алгебр Клиффорда первого порядка
CcomF (p, q) CF (1, 0) ⊗ . . . ⊗ CF (1, 0) ⊗ CF (0, 1) ⊗ . . . ⊗ CF (0, 1),
где в правой части тензорное произведение содержит p сомножителей CF (1, 0) и q сомножителей CF (0, 1).
Тензорное произведение произвольного конечного числа алгебр Клиффорда.
Рассмотрим тензорное произведение алгебр Клиффорда (3.1), в котором размерности алгебр
Клиффорда nj = pj + qj , j = 1, . . . , k, могут быть как четными, так и нечетными. Применяя
к тензорному произведению (3.1) теорему 3 и изоморфизм (2.12), получим
CF (p1 , q1 ) ⊗ . . . ⊗ CF (pk , qk ) CF (1, 1)r ⊗ CF (0, 2)s ⊗ CF (1, 0)t ⊗ CF (0, 1)u ,
(3.4)
где s = 1 или 0. Поэтому правую часть этой формулы можно рассматривать как одну алгебру Клиффорда четной размерности (изоморфную CF (1, 1)r ⊗ CF (0, 2)s ) над коммутативной
алгеброй Клиффорда CF (1, 0)t ⊗ CF (0, 1)u , у которой размерность t + u равна числу алгебр
Клиффорда нечетной размерности в тензорном произведении в левой части формулы (3.4).
Таким образом, доказана следующая
Теорема 5. Тензорное произведение (3.1) произвольного конечного числа алгебр Клиффорда изоморфно одной алгебре Клиффорда CF (p, q) над коммутативной алгеброй Клиффорда. При этом размерность данной коммутативной алгебры Клиффорда равна числу алгебр
Клиффорда нечетной размерности в тензорном произведении (3.1). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Clifford. Application of Grassmann’s extensive algebra // Amer. J. Math. 1878. V. 1. P. 350–358.
2. Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebas. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1968. (Colloq.
Publ.; V. 39).
3. Lawson H.B., Jr., Michelsohn M.-L. Spin geometry. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1989.
4. Lounesto P. Clifford algebras and spinors. 2nd ed. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001.
5. Марчук Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая
динамика”, 2009.
6. Marchuk N. Field theory equations. Scott Valley, CA: CreateSpace Independent Publ. Platform, 2012.
7. Марчук Н.Г., Широков Д.С. Введение в теорию алгебр Клиффорда. М.: Фазис, 2012.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2015, т. 290