Дискретная модель газообмена СО в легких человека

Дискретная модель газообмена СО в
легких человека
Е. В. Бабарсков
Построена дискретная модель газообмена СО в легких человека, позволяющая рассчитывать концентрацию СО в
выдыхаемом воздухе в зависимости от физиологических и
реальных спирометрических параметров. Получены формулы для расчета измеряемой концентрации СО при спонтанном и форсированном режимах дыхания.
Сформулирована постановка обратной задачи, в результате
решения которой по значениям измеряемой концентрации
СО и детальным спирометрическим данным, могут быть
рассчитаны диффузионная способность мембраны и альвеолярный объем легких.
На основе полученных результатов может быть разработано программное обеспечение для обработки данных приборов функциональной диагностики заболеваний, характеризующихся нарушением проницаемости альвеолярнокапиллярной мембраны, таких как хроническая обструктивная болезнь легких, легочная артериальная гипертензия
и др.
Ключевые слова: газообмен, монооксид углерода, диффузионная способность легких, альвеолярный объем, математическое моделирование.
Ранее мы представили математическую модель газообмена СО в
легких человека в приближении циклической вентиляции с постоянными скоростями вдоха и выдоха [1]. Это позволило получить аналитическое решение задачи, т.е. установить функциональную зависимость концентрации СО в выдыхаемом воздухе от определяющих
физиологических и интегральных спирометрических параметров.
59
Е. В. Бабарсков
На основе найденной функциональной зависимости была решена
обратная задача т.е. по значениям измеряемой концентрации СО, при
различных режимах дыхания и его задержке с учетом интегральных
спирометрических параметров, рассчитаны – коэффициент переноса
(диффузионная способность) альвеолярно-капиллярной мембраны и
альвеолярный объем легких. Однако на современном уровне развития техники создаются экспериментальные установки, которые кроме
измерения СО в выдыхаемом воздухе позволяют проводить детальную
спирометрию дыхательных маневров [2]. Поэтому представляется актуальной разработка дискретной модели газообмена СО с учетом реального паттерна дыхания с переменными скоростями вдоха и выдоха.
Решение уравнений респираторного цикла
Как и раньше будем считать дыхание строго периодическим, тогда очевидно, что в начале фазы вдоха “мертвый” объем VD заполнен
конечной порцией выдыхаемого альвеолярного воздуха предыдущего
цикла с концентрацией СО равной CD , после вдыхания которой в
легкие начинает поступать атмосферный воздух с концентрацией экзогенного СО равной CE .
Тогда уравнения динамического баланса массы газа в альвеолярном
объеме для фазы вдоха будут иметь вид:

 dM = K · C̃ − C + CD · Q 0 ≤ t ≤ tD
dt
(1)
 dM = K · C̃ − C + CE · Q
tD ≤ t ≤ tI
dt
где
Q - объемная скорость вдоха;
K - коэффициент переноса;
C - текущая альвеолярная концентрация СО;
C̃ - равновесная концентрация СО;
M = C · V - масса СО в текущем альвеолярном объеме V ;
tI - полное время вдоха;
tD - время вдоха воздуха из “мертвого” объема.
Представим реальное изменение альвеолярного объема ∆V в процессе вентиляции в виде N равных дискретных изменений (слоев) на
60
Дискретная модель газообмена СО в легких человека
величину dV от начального значения V0 до конечного VN с переменными скоростями Qi (0 ≤ i ≤ N − 1) при вдохе и обратного изменения
от VN до V0 со скоростями Q0i (0 ≤ i ≤ N −1) при выдохе (рис. 1). Тогда
“мертвому” объему VD , будет соответствовать ND = VdVD дискретных
изменений.
Рис. 1: Иллюстрация дискретной модели
Положим, что в начале фазы вдоха концентрация СО равнялась
C0 , а в конце CN . Будем считать также, что в пределах каждого
слоя скорости вдоха, Qi , выдоха, Q0i , и коэффициента переноса, Ki ,
постоянны.
что
В результате решения первого уравнения системы (1) при условии,
dV
V0 <<1, получаем следующее выражение для расчета альвеоляр61
Е. В. Бабарсков
ной концентрации в конце вдоха воздуха из “мертвого” объема:
CN D = C0 − (C0 − CD ) · dV ·
NX
D −1
i=0
NX
D −1
1
Ki
+ (C̃ − C0 ) · dV ·
(2)
Vi
Qi · Vi
i=0
Решая второе уравнение системы (1) получаем выражение для расчета конечной альвеолярной концентрации в конце фазы вдоха:


N
−1 N
−1
X
X
K
1
1
i
 + CE · dV ·
CN = CN D · 1 − dV ·
+
+
Vi Qi · Vi
Vi
i=ND
+C̃ · dV ·
i=ND
N
−1
X
i=ND
Ki
Qi · Vi
(3)
С учетом (2) получаем следующее соотношение между начальной
и конечной концентрацией в фазе вдоха:
CN = C0 · (1 − dV · (A1 + A2 )) (1 − dV · A3 ) + C̃ · dV ·
·(A2 · (1 − dV · A3 ) + A5 ) + CE · dV · A4 + CD · dV · A1 · (1 − dV · A3 )
(4)
где
P D −1 1
A1 = N
Vi ;
Pi=0
ND −1 Ki
A2 = i=0 Qi ·Vi ;
P −1 1
A3 = N
i=N
V +
PN −1D 1 i
A4 = i=ND Vi ;
P −1 Ki
A5 = N
i=ND Qi ·Vi
Ki
Qi ·Vi
;
(5)
Для расчета альвеолярной концентрации в фазе выдоха справедливо следующее уравнение динамического баланса:
dM
= K · C̃ − C − C · Q
(6)
dt
В результате послойного решения данного уравнения в принятом приближении дискретной модели, получаем:
CL0
= CN + C̃ − CN · dV ·
L−1
X
i−0
62
KN −i
Q0i · VN −i
(7)
Дискретная модель газообмена СО в легких человека
0 = C , следовательно, имеем следующее условие соПри L = N , CN
0
гласованности решений:
C0 = CN + C̃ − CN · B1 · dV
(8)
где
B1 =
N
−1
X
i=0
KN −i
Q0i · VN −i
(9)
Принимая во внимание выражение (4) находим зависимость начальной альвеолярной концентрации C0 от ее равновесного значения,
C̃, концентрации CO в атмосферном воздухе, CE , и “мертвом” объеме, CD , а также от физиологических и спирометрических параметров,
определяющих значения коэффициентов A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , B1 :
(A2 ·dV ·(1−A3 ·dV )+A5 ·dV )·(1−B1 ·dV )+B1 ·dV
1−(1−(A1 +A2 )·dV )·(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV )
A4 ·dV ·(1−B1 ·dV )
1−(1−(A1 +A2 )·dV )·(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV ) +
(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV )·A1 ·dV
1−(1−(A1 +A2 )·dV )·(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV )
C0 = C̃ ·
CE ·
CD ·
+
(10)
Подставляя полученное выражение в (4), находим значение альвеолярной концентрации в конце фазы вдоха:
(1−A3 ·dV )·(1−A1 ·dV )+A5 ·dV −1
CN = C̃ + C̃ · 1−(1−(A
+
1 +A2 )·dV )·(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV )
A4 ·dV
CE · 1−(1−(A1 +A2 )·dV )·(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV ) +
CD ·
(11)
(1−A3 ·dV )·A1 ·dV
1−(1−(A1 +A2 )·dV )·(1−A3 ·dV )·(1−B1 ·dV )
Это конечное выражение потребуется нам в дальнейшем для расчета измеряемой концентрации СО в выдыхаемом воздухе, в принятом
приближении при различных режимах дыхания.
Расчет измеряемой концентрации СО
Баланс массы СО в выдыхаемом объеме воздуха ∆V определяется
следующим уравнением:
CM · ∆V = CE · VD + CA · (∆V − VD )
63
(12)
Е. В. Бабарсков
Здесь интегральная альвеолярная концентрация рассчитывается по
формуле:
Z V0 +VD
1
CA = −
·
Cdv
(13)
∆V − VD v=VN
Так как имеет место приближенное равенство:
Z V0D
N −N
D −1
X
Cdv ≈ −
C 0 ·i dV,
v=VN
(14)
i=0
то интегральная альвеолярная концентрация определяется следующим
выражением:
N =N
D −1
X
1
·
Ci0 · dV
(15)
CA ≈
∆V − VD
i=0
Используя выражение (7) получаем:
N −N
D −1
X
Ci0 · dV = (N − ND ) · CN + C̃ − CN · dV ·
i=0
·
N −N
D −1
X
i=0
(N − ND − 1 − i) · KN −i
Q0i · VN −i
(16)
!
· dV
Интегральная концентрация СО в “мертвом” объеме определяется
конечной порцией альвеолярного газа в фазе выдоха:
Z V0
1
·
Cdv
(17)
CD = −
VD V0D
Принимая во внимание приближенное равенство:
Z V0
N
X
Cdv ≈ −
Ci0 · dV,
V0D
(18)
i=N −ND +1
С учетом выражения (7) получаем:
N
X
Ci0 · dV = ND · CN + C̃ − CN · dV
i=N −ND +1
ND ·
N −N
D −1
X
l=0
KN −l
Q0l · VN −l
!
+
NX
D −1
l=0
KND −l
(ND − l) · 0
QN −ND +l · VND −l
!
· dV
(19)
64
Дискретная модель газообмена СО в легких человека
Таким образом, интегральная концентрация СО в “мертвом” объеме определяется выражением:
CD ≈ CN + C̃ − CN · B2 · dV,
(20)
где
B2 =
N −N
D −1
X
i=0
NX
D −1 KND −i
KN −i
i
· 0
+
1−
0
Qi · VN −i
ND
QN −ND +i · VND −i
(21)
i=0
Подставим полученное выражение (20) для интегральной концентрации СО в “мертвом” объеме в выражение (11) для интегральной
альвеолярной концентрации в конце фазы вдоха и после несложных
преобразований получим:
C̃ − CE · A4 · dV
CN = C̃ −
·
1 − (1 − A3 · dV )
·
1
((1 − (A1 + A2 ) · dV ) · (1 − B1 · dV ) + (1 − B2 · dV ) · A1 · dV )
(22)
Далее подставляя полученное выражение () в (16), (19), с учетом
уравнения баланса (12), получаем следующее выражение для расчета
измеряемой концентрации СО в выдыхаемом объеме воздуха:
CM = C̃ − C̃ − CE · D1
(23)
где
ND
N
+ 1−
ND
N
− B3 · dV
· D2
A4 ·dV
D2 = 1−(1−A3 ·dV )·((1−(A1 +A2 )·dV )(1−B1 ·dV )+(1−B2 ·dV )A1 ·dV )
PN −ND −1 K
+1+i
B3 = i=0
· Q0 ·VNN−i−i
1 − ND N
i
D1 =
(24)
Нетрудно показать, что если в конце фазы вдоха была сделана
задержка дыхания на время T , то параметр D1 будет определяться по
формуле:
ND
KN
ND
D1 =
+ 1−
− B3 · dV · D2 · exp −
·T
(25)
N
N
VN
65
Е. В. Бабарсков
Глубокое форсированное дыхание
В случае глубокого форсированного дыхания dV =
Vi
∆V
VA = 1 − VA ·
VN −i
∆V
VA = 1 − VA
1−
· Ni
i
N
∆V
N
, поэтому:
(26)
,
следовательно:
A1 · dV =
∆V
VA
·
1
N
·
A2 · dV =
∆V
VA
·
1
N
·
A3 · dV =
∆V
VA
·
1
N
·
A4 · dV =
∆V
VA
·
1
N
·
A5 · dV =
∆V
VA
·
1
N
B1 · dV =
∆V
VA
·
1
N
B2 · dV =
+
PND −1
i=0
B3 · dV =
∆V
VA
·
1
N
PND −1
1
1− ∆V
· 1− Ni )
VA (
PND −1 Ki
1
i=0
Qi · 1− ∆V ·(1− i )
V
N
i=0
PN −1 i=ND
·
A
1
1− ∆V
·(1− Ni )
V
·
A
PN −1
·
·
PN −ND −1
1+ ∆V
·
V
1− i
N
ND
N
A
·
(27)
A
i=0
D
1
N
Ki
Qi
1
i=ND 1− ∆V ·(1− i )
VA
N
P −1 Ki
1
· N
·
i=ND Qi 1− ∆V (1− i )
VA
N
PN −1 KN −i
1
· i=0 Q0 · 1− ∆V · i
i
V
N
KND −i
Q0N −N +i
∆V
VA
1+
PN −ND −1
i=0
KN −i
Q0i
−1− Ni
KN −i
Q0i
1
· 1− ∆V
V
! A
+
N
·
i
N
+1+i
1− DN
· Ni
1− ∆V
V
A
В приближении модели эластичной оболочки, K = KM ·
поэтому
Ki =
KM
VA
KN −i =
·
4
1− ∆V
·(1− Ni ) 3
V
KM
VA
A
∆V
·
VA
1− ∆V
· Ni
V
A
∆V
VA
KND −i =
KM
VA
·
1+ ∆V
·
V
A
следовательно:
66
V
VA
4
3
,
· ∆V
,
· ∆V
ND
−1− Ni
N
∆V
VA
4
3
· ∆V
(28)
Дискретная модель газообмена СО в легких человека
·
KM
VA
·
PNd −1
1
N
·
KM
VA
·
PN −1
B1 · dV =
1
N
·
KM
VA
·
B2 · dV =
∆V
N
A2 · dV =
1
N
A5 · dV =
+
·
KM
VA
i=0
1
·(1− Ni ) 3
1− ∆V
V
· ∆V
A
Qi
1
∆V
1− V ·(1− Ni ) 3
· ∆V
i=ND
Qi
1
3
·i
PN −1 1− ∆V
VA N
· ∆V
0
i=0
Q
i

1
·i 3
PN −ND−1 1− ∆V
VA N
+
·  i=0
Q0i
A
1
N
3
· 1− ND + Ni
PND −1 1− NiD · 1− ∆V
VA
i=0
Q0N −N +i
(29)


D
B3 · dV =
∆V
N
·
KM
VA
·
PN −ND −1
1 N +1+i
· Ni 3 · 1− DN
1− ∆V
V
A
i=0
Q0i
Вместо определяющих физиологических параметров, альвеолярного объема легких VA и коэффициента переноса альвеолярнокапиллярной мембраны KM , введем новые переменные:X = ∆V
VA ; Y =
KM
VA .
Тогда для расчета коэффициента в формуле (23) получаем следующие
выражения:
+ 1−
ND
N
− Y · F1 · D2
D1 =
ND
N
D2 =
F2
1−(1−F2 −Y ·F3 )·((1−(F4 +Y ·F5 ))·(1−Y ·F7 )+F4 ·(1−Y ·F6 ))
,
(30)
в которых спирометрические коэффициенты для случая глубокого
форсированного дыхания рассчитываются по формулам:
1
PN −ND −1 F2 =
∆V
N
1
N ·
X·
F3 =
∆V
N
·
F1 =
·
i=0
1−
ND
N
−
PN −1
1
i=ND 1−(1− i )·X
N
1
PN −1 (1−(1− Ni )·X ) 3
i=ND
Qi
67
1
N
−
i
N
·
(1− Ni ·X ) 3
Q0i
Е. В. Бабарсков
F4 =
1
N
F5 =
∆V
N
·X ·
PND −1
i=0
1
1−(1− Ni )·X
1
F6 =
∆V
N
·
PND −1 (1−(1− Ni )·X ) 3
i=0
Qi
1
PN −ND −1 (1− Ni ·X ) 3
·
Q0i
i=0
+
1
PND −1 1− NiD · 1− 1− NND + Ni ·X 3
+ i=0
Q0N −N +i
(31)


D
1
F7 =
∆V
N
·
PN −1 (1− Ni ·X ) 3
i=0
Q0i
Спонтанное дыхание
Рассмотрим случай спонтанного дыхания, когда альвеолярный
объем изменяется от V S0 до V SN с переменной скоростью QS при
вдохе и обратно с переменной скоростью QS 0 при выдохе. Положим,
что конечный и начальный альвеолярные объемы связаны с максимальным альвеолярным объемом VA соотношениями:
V SN = VA − ∆VSF
V S0 = VA − ∆VSF − ∆V S ,
∆V S = V SN − V S0
(32)
где ∆VSF - разность между максимальными значениями альвеолярного объема при спонтанном и глубоком форсированном дыхании в фазе
вдоха (резервный объем вдоха).
Так же как и ранее разделим весь дыхательный объем ∆V S на
S
N S равных частей (слоев), dV S = ∆V
N S , при этом “мертвому” объему
VD
будут соответствовать NDS = dV
S слоев. Тогда в соответствии с (23),
(24) измеряемая концентрация будет определяться выражением:
CM S = C̃ − C̃ − CE · D1S
,
D1S = NDS + 1 − NDS − B3S · dV S · D2S
NS
D2S =
NS
A4S ·dV S
1−(1−A3S ·dV S)·((1−(A1S +A2S )·dV S)·(1−B1S )+(1−B2S )·A1S ·dV S)
(33)
68
Дискретная модель газообмена СО в легких человека
где комплексные спирометрические параметры определяются формулами:
P S−1 KN S−i
B1S = N
i=0
QSi0 ·V SN S−i
PN S−NDS −1
KN S−i
B2S = i=0
+
0
QS
i ·V SN S−i
PNDS −1
KNDS −i
i
+ i=0
1 − NDS · QS 0
N S−NDS +i
·V SNDS −i
PN S−NDS −1 K
B3S = i=0
1 − NDSN+1+i
· QS 0 ·VNSS−i
S
N S−i
i
P DS −1 1
(34)
A1S = N
i=0
V
S
i
P DS −1 Ki
A2S = N
i=0
QSi ·V Si
A3S = A4S + A5S
P S−1 1
A4S = N
DS Vi
Pi=N
S−1
Ki
A5S = N
i=NDS QSi ·V Si
Так как V Si = V S0 + i · dV S, то можно записать
∆VSF
S ∆V
i
V Si = VA · 1 − ∆V
·
·
+
1
−
VA
∆VS
N S ∆V
∆VSF
∆V S ∆V
V SN S−i = VA · 1 − ∆V · VA · ∆V S + NiS
∆VSF
NDS
S ∆V
V SNDS −i = VA · 1 − ∆V
·
·
∆V
VA
∆V S + 1 − N S +
(35)
i
NS
В приближении модели эластичной оболочки получаем:
Ki =
KM
VA
KN S−i =
·
· ∆V
A
KM
VA
KNDS −i =
4
∆VSF
3
+1− NiS
∆V S
∆V
VA
4
∆V
3
∆V S ∆V
1− ∆V · V · ∆VSF
+ NiS
S
A
∆V
VA
∆V
N
∆V S ∆V
1− ∆V · V · ∆VSF
+1− NDS
S
S
A
∆V
VA
S ∆V
1− ∆V
·V ·
∆V
·
KM
VA
·
(36)
· ∆V
+ NiS
4
3
· ∆V
В результате, выражения (23), (24) для расчета измеряемой концентрации в случае спонтанного дыхания могут быть преобразованы
к виду:
CM S = C̃ − C̃ − CE · D1S
, (37)
D1S = NNSSD + 1 − NNSSD − Y · F1S · D2S
D2S =
F2S
1−(1−F2S −Y ·F3S )·((1−(F4S +Y ·F5S ))·(1−Y ·F7S )+F4S ·(1−Y ·F6S ))
69
Е. В. Бабарсков
где
F2S =
∆V S
NS
∆V S
∆V
·
F3S =
F4S =
∆V S
NS
∆V S
∆V
·
·
F5S =
∆V S
NS
·
F6S =
∆V S
NS
·
F1S =
·
1
1− ∆V · ∆VSF + i ·X 3
∆V
∆V S
NS
N SD +1+i
1−
·
i=0
NS
QSi0
PN S−1
1
X
i=N SD 1− ∆V S · ∆VSF +1− i ·X
NS ·
∆V
∆V
NS
1
∆V
S
· ∆VSF
+1− NiS ·X 3
PN S−1 1− ∆V
∆V
S
i=N SD
QSi
PN SD −1
X
1
·
∆VSF
i=0
NS
S
·
+1− NiS ·X
1− ∆V
∆V
∆V S
1
∆VSF
i
S
·
+1−
·X 3
PN SD −1 1− ∆V
∆V
∆V S
NS
QSi
 i=0

1
∆VSF
3
∆V S
i
PN S−N SD −1 1− ∆V · ∆V S + N S ·X

+ 
0
i=0


QSi
 PN SD −1 
i


1
−
·
i=0
N
S


D
1
 ∆V S ∆V

N SD
3
i
 1− ∆V · ∆VSF

+1−
+
·X
S
NS
NS
PN S−N SD −1 ·
F7S =
∆V S
NS
·
0
QSN
S−N SD +i
1
∆VSF
∆V S
PN S−1 1− ∆V · ∆V S + NiS ·X 3
i=0
QSi0
(38)
Обратная задача
Таким образом, мы получили выражения для расчета измеряемых концентраций при различных режимах дыхания. Выражения (23),
(24), (25), (30), (31) позволяют рассчитать измеряемую концентрацию
для режима глубокого форсированного дыхания с учетом его задержки в конце фазы вдоха. Выражения (37) и (38) позволяют рассчитать
измеряемую концентрацию при спонтанном дыхании. Предположим,
что мы экспериментально определили эти значения, а также измерили концентрацию СО во вдыхаемом воздухе, тогда имеют место
следующие соотношения:

ND
ND

C̃ − CE · N + 1 − N − Y · F1 · D2

 CM = C̃ − 


CM T = C̃ − C̃ − CE · NND + 1 − NND − Y · F1 · D2 ·
(39)

·
exp
(−Y
·
T
))




 CM S = C̃ − C̃ − CE · D1S
70
Дискретная модель газообмена СО в легких человека
Решая третье уравнение этой системы относительно равновесной
концентрации, получаем:
C̃ =
CM S − CE · D1S
1 − D1S
(40)
После подстановки этого выражения в первое и второе уравнение
системы (39), с учетом спирометрических данных, получаем следующую систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными,
X, Y :

ND
ND
+
−Y
·F
1−
1−
·D
·exp(−Y
·T
)

1
2
N
N
 CM T −CE =
CM −CE
1−D1 (41)
ND
ND

 CM T −CE = 1− N + 1− N −Y ·F1 ·D2 ·exp(−Y ·T )
CM S −CE
1−D1S
В результате решения данной системы относительно указанных неизвестных, используя например итерационный метод Ньютона, рассчитываем альвеолярный объем и коэффициент переноса альвеолярнокапиллярной мембраны легких, VA , KM .
Заключение
Построена дискретная модель газообмена СО в легких человека,
позволяющая рассчитывать концентрацию СО в выдыхаемом воздухе, в зависимости от физиологических и реальных спирометрических
параметров.
Сформулирована постановка обратной задачи, в результате решения которой по значениям измеряемой концентрации СО и детальным спирометрическим данным, могут быть рассчитаны диффузионная способность мембраны и альвеолярный объем легких.
На основе полученных результатов может быть разработано программное обеспечение для обработки данных приборов функциональной диагностики легочных заболеваний, характеризующихся нарушением проницаемости альвеолярно-капиллярной мембраны, таких как
хроническая обструктивная болезнь легких, легочная артериальная
гипертензия и др.
71
Е. В. Бабарсков
Список литературы
[1] Бабарсков Е. В. Зависимость содержания СО в выдохе человека от параметров респираторной системы // Интеллектуальные
системы. Теория и приложения 2015; 19, вып.2: 5-28.
[2] Fritsch T., Hering P., Murtz M. Infrared laser spectroscopy for
online recording of exhaled carbon monoxide – a progress report //
J. Breath Res. 2007; 1: R1-R8.
72
Discrete model of CO gas exchange in
human lung
E. V. Babarskov
Developed discrete model of CO gas exchange in
human lung, allows to calculate CO concentration in the
exhaled air, depending on physiological and real spirometric
parameters. Formulas for calculating of measured CO
concentrations during spontaneous breathing and forced mode
were found.Formulated inverse task, as a result of the
solution by which using values of measured CO concentration
and detailed spirometric data can be calculated membrane
diffusion capacity and alveolar lung volume.On the basis
of our finds can be developed software for data processing
devices for functional diagnostics of diseases characterized
by impaired permeability of the alveolar-capillary membrane,
such as chronic obstructive pulmonary disease, pulmonary
arterial hypertension and others.
Keywords: gas exchange, carbon monoxide, lung
diffusion capacity, alveolar volume, mathematical modeling.
73