Башкирцева И.А., Перевалова Т.В. Бифуркация ``Точка покоя

116
Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции
БИФУРКАЦИЯ “ТОЧКА ПОКОЯ - ЦИКЛ” ДЛЯ
СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
Башкирцева И.А., Перевалова Т.В.1
e-mail: tatyana.perevalova@usu.ru
Анализ поведения динамических систем, возмущаемых внешним
шумом, является актуальной задачей современной нелинейной динамики. Классическим разделом качественной теории детерминированных динамических систем является бифуркация перехода от
точки покоя к циклу. Целью данной работы является изучение бифуркации “точка покоя–цикл” для стохастических аттракторов.
Рассмотрим детерминированную нелинейную систему дифференциальных уравнений
dx = f (x) dt,
x, f ∈ Rn ,
(1)
где f (x) –достаточно гладкая функция. Предполагается, что у системы (1) существует T-периодическое решение x = ξ(t), фазовая
кривая которого (цикл Г) является экспоненциально устойчивой.
При изучении воздействия случайных возмущений традиционной
математической моделью является система стохастических дифференциальных уравнений Ито
dx = f (x) dt + εσ(x) dw(t).
(2)
Здесь w(t) – n–мерный винеровский процесс, σ(x) – зависимость
случайных возмущений от состояния системы, ε – интенсивность. В
результате действия невырожденных шумов случайные траектории
системы покидают детерминированный аттрактор и формируют вокруг него некоторый пучок. Детальное вероятностное описание случайных траекторий в этом пучке в терминах плотности распределения дается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). Если
характер переходного процесса является несущественным, то можно
ограничиться рассмотрением стационарной плотности распределения ρ(x, ε), задаваемой стационарным уравнением ФПК. Непосредственное использование этого уравнения даже в простейших ситуациях весьма затруднительно. Для систем с малыми случайными возмущениями в работе А.Д.Венцеля и М.И.Фрейдлина [1] предложен
1 Работа
частично поддержана грантами РФФИ ( N06-01-00625, N06-08-00396).
117
Дифференциальные и интегральные уравнения
подход, использующий квазипотенциал v(x) = − lim ε2 ln ρ(x, ε). Он
ε→0
связан с некоторой вариационной задачей минимизации функционала действия и удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Его точное решение является по-прежнему весьма сложной задачей. Здесь
возможен конструктивный подход, связанный с введением еще одной
асимптотики - малой окрестности аттрактора.
В работе рассматриваются стохастические аттракторы, связанные с устойчивой точкой покоя и предельным циклом. На примерах
моделей Ван-дер-Поля и брюсселятора продемонстрированы общие
закономерности и отличительные особенности реакции аттракторов
(точка покоя - цикл) на случайные возмущения.
Точка покоя. В случае устойчивой точки покоя x̄, для квазипотенциала используется квадратичная аппроксимация v(x) ≈
1
−1
(x − x̄)). Матрица W является решением алгебраиче2 (x − x̄, W
ского уравнения
F W + W F > = −S,
(3)
>
где F = ∂f
∂x (x̄), S = GG , G = σ(x̄).
Матрица W , связывая интенсивность воздействия ε2 с ковариацией ε2 W разброса случайных траекторий вокруг x̄, играет роль
коэффициента стохастической чувствительности равновесия x̄.
Предельный цикл. В случае устойчивого цикла на плоскости
для описания разброса случайных траекторий используется функция стохастической чувствительности m(t) [2]. Эта скалярная функция является решением краевой задачи
ṁ = a(t)m + b(t), m(0) = m(T )
(4)
с T -периодическими коэффициентами a(t) = p> (t)(F > (t) + F (t))p(t),
>
b(t) = p> (t)S(t)p(t). Здесь F (t) = ∂f
∂x (ξ(t)), S(t) = G(t)G (t), G(t) =
σ(ξ(t)), p(t) – нормированный вектор, ортогональный циклу в точке
ξ(t). В анализе влияния случайных возмущений на стохастическую
динамику системы около предельного цикла важную роль играет
величина M = max m(t) – коэффициент стохастической чувстви[0,T ]
тельности цикла к случайным возмущениям.
Осциллятор Ван-дер-Поля. Рассмотрим стохастическую систему
ẋ = y
(5)
ẏ = −x + δy(1 − x2 ) + εẇ,
118
Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции
Здесь δ – параметр нелинейности, w(t) – скалярный стандартный
винеровский процесс, ε – интенсивность случайной помехи.
В детерминированной модели Ван-дер-Поля (ε = 0) при переходе
параметра δ через бифуркационное значение δ∗ = 0 точка покоя
(0, 0) теряет устойчивость и в системе рождается предельный цикл.
При δ < 0 элементы матрицы стохастической чувствительности
1
W равны w11 = w22 = − 2δ
, w12 = w21 = 0.
При δ > 0 функцию стохастической чувствительности m(t) можно найти лишь численно, решая задачу (4).
Классическим аппаратом для исследования устойчивости аттрактора являются: собственные значения матрицы системы первого
приближения - для точки покоя, характеристический показатель для предельного цикла. На рис. 1а изображена зависимость этих характеристик от параметра нелинейности. Видно, что вблизи точки
бифуркации устойчивость аттрактора слабая. В зоне предельного
RT
цикла ( δ > 0) характеристический показатель λ = T1 trF (t)dt мо0
нотонно убывает, что свидетельствует об увеличении устойчивости
цикла.
На рис.1б изображена зависимость коэффициента стохастической чувствительности аттрактора от параметра δ. При удалении
от точки бифуркации δ∗ = 0 запас стохастической устойчивости
аттрактора увеличивается, стохастическая чувствительность предельного цикла ( δ > 0) является монотонно убывающей функцией. Главной чертой является неограниченный рост стохастической
чувствительности при стремлении параметра δ к бифуркационному
значению.
Брюсселятор. Рассмотрим систему
ẋ = a − (b + 1)x + x2 y + εẇ
(6)
ẏ = bx − x2 y,
полученную добавлением малых случайных возмущений в классическую модель брюсселятора. Для невозмущенной системы (ε = 0)
значение b∗ = 1 + a2 является точкой бифуркации. При переходе
b
параметра b через b∗ положение равновесия x̄ = a, ȳ =
теряет
a
устойчивость, и у системы появляется устойчивый предельный цикл.
119
Дифференциальные и интегральные уравнения
При b < 1 + a2 элементы матрицы стохастической чувствительности W для точки покоя равны
w11 =
1+a2
b
b2
, w12 =w21 = −
, w22 = 2
.
2
2
2(1+a −b)
2(1+a −b)
2a (1+a2 −b)
При b > 1 + a2 функция стохастической чувствительности m(t)
является решением задачи (4).
0
−4
−2
0
150
2
100
−2
50
а)
б)
−4
0
−0.1
0
0.1
Рис. 1: Модель Ван-дер-Поля
10
0
0.4
0.8
1.04
1.4
8
−0.6
6
4
2
−1.2
а)
б)
0
1
1.02
1.04
1.06
1.08
Рис. 2: Брюсселятор
На рис. 2а представлена зависимость собственных значений матрицы системы первого приближения и характеристического показателя λ от параметра b при фиксированном a = 0.2. Эти графики
повторяют основные черты подобных графиков для модели Ван-дерПоля.
Рассмотрим стохастическую чувствительность аттракторов брюсселятора. Как видно из рис. 2б, характер зависимости коэффициента
стохастической чувствительности для точки покоя такой же, как и
у модели Ван-дер-Поля.
В зоне предельных циклов (рис. 2а, b>1.04) характеристический
показатель λ с ростом b монотонно убывает, что означает увеличение степени устойчивости цикла к возмущению начальных данных.
120
Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции
x2
x
x2
2
5.4
4
4
2
2
5
4.6
а)
0.15
0.2
0.25
x
1
б)
0
0.5
1
1.5
x
1
в)
0
1
2
x1
Рис. 3: Случайные траектории брюсселятора для ε = 10−5 а) b = 1.06
б) b = 1.064082 в) b = 1.065
Казалось бы, это должно сопровождаться соответствующим снижением чувствительности цикла и к случайным возмущениям. Однако
здесь наблюдается обратное. На рассматриваемом интервале функция M (b) резко возрастает, график ее имеет острый пик и лишь затем убывает. Критическим значением параметра b здесь является
b̄ = argmaxb M (b) = 1.064082 , M (b̄) = 4.4 · 1010 . Сравним пучок
случайных траекторий стохастического брюсселятора при значениях параметра b, близких к b̄ (рис. 3). Как видно, брюсселятор при
b̄ становится сверхчувствительным. Для очень малых возмущений
наблюдается резкий рост амплитуды отклонения траектории от цикла. Функция стохастической чувствительности хорошо отражает эту
особенность.
Таким образом, функция стохастической чувствительности позволяет достаточно просто описать особенности разброса случайных
траекторий вокруг детерминированного аттрактора.
Список литературы
[1]. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуация в динамических
системах под воздействием малых случайныз возмущений. —М.:
Наука, 1979.
[2]. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным возмущениям. // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика.
2001 Т. 9. № 6. С. 104–114.