z - Математическое моделирование и биомеханика в современном

УДК 539.3; 612.13
А. Ю. Кунделев
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, E-mail: [email protected])
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В
ПОДВЕРЖЕННЫХ НАЧАЛЬНОМУ НАТЯЖЕНИЮ
ТОЛСТОСТЕННЫХ СОСУДАХ С ЖИДКОСТЬЮ
Исследуется движение вязкой однородной несжимаемой ньютоновской
жидкости в толстостенном сосуде на примере течения крови в артерии.
Сосуд рассматривается как толстостенный цилиндр из ортотропного
гиперупругого материала, подверженный начальным продольным и окружным
деформациям. Решение двумерных уравнений движения производится с
помощью разложения неизвестных функций в ряд по методу Галеркина и
последующего численного интегрирования по времени. Модель предназначена
для исследования прохождения вдоль сосуда волны давления, вызванной
коротким импульсом на входе. В частности, изучено влияние начального
продольного натяжения на скорость волны давления и напряжение сдвига на
стенке. Показано, что влияние величины продольного натяжения на
характеристики потока может быть существенным.
Досліджується рух в’язкої однорідної нестисливої ньютонівської рідини в
товстостінній судині на прикладі течії крові в артерії. Судина розглядається
як товстостіннiй циліндр з ортотропного гіперпружного матеріалу, що
зазнає початкових поздовжніх та колових деформацій. Розв’язання
двовимiрних рівнянь руху здійснюється за допомогою розкладання невідомих
функцій в ряд за методом Гальоркіна та наступного чисельного інтегрування
за часом. Модель призначена для дослідження проходження вздовж судини
хвилi тиску, викликаної коротким iмпульсом на вході. Зокрема, вивчено вплив
початкового поздовжнього натягу на швидкість хвилi тиску та напругу зсуву
на стінці. Показано, що вплив величини поздовжнього натягу на
характеристики потоку може бути істотним.
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 1998
Введение
Последние несколько десятилетий проблема распространения волн давления по
кровеносным сосудам привлекает значительное внимание исследователей. Причина этого
интереса достаточно очевидна: более глубокое понимание гемодинамики позволяет с
большей точностью указывать патологические зоны в артериях и венах и получать данные о
трудноизмеримых характеристиках потока, таких как напряжение сдвига на стенке и
распределение скоростей.
В известных исследованиях применяется большое количество моделей крови и
сосудов,
с
различной
степенью
точности
приближающих
реальную
ситуацию.
Распространение волн достаточно хорошо изучено экспериментально, но теоретическое
представление результатов по-прежнему не является удовлетворительным. В частности,
были проведены эксперименты для проверки точности некоторых теоретических моделей,
показавшие,
что
результаты,
полученные при
использовании
линейных моделей,
значительно отличаются от данных опыта [1, 2]. Поэтому актуальным представляется
создание
нелинейных
моделей,
которые
с
большей
точностью
соответствуют
биологическим объектам.
В
современных
исследованиях
стенка
сосуда
моделируется
упругим
или
вязкоупругим тонкостенным цилиндром [3, 4, 5]. Однако, для крупных кровеносных сосудов
относительная толщина стенки равна примерно 1/6, что не позволяет считать данное
приближение удовлетворительным [6]. В большинстве работ, посвященных течению крови в
артериях, игнорируется тот факт, что сосуды in vivo подвержены натяжению, величина
которого в среднем составляет 1.2–1.8 от длины в свободном состоянии.
Данная статья посвящена разработке более точной модели движения вязкой
жидкости в сосуде с упругими стенками и исследованию влияния на поток жидкости
начального натяжения сосудов.
Основные уравнения движения жидкости
Периодическое движение крови в сосуде описывается с помощью уравнений НавьеСтокса для несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения движения и
несжимаемости записываются в векторной форме следующим образом:
r
dv
r
ρ
= −∇P + ν∆v ,
(1)
dt
r
(2)
∇v = 0 ,
где vr – вектор скорости; P – давление; ρ – плотность жидкости; ν – ее кинематическая
вязкость. Предполагается, что течение осесимметрично, поэтому удобно использовать
цилиндрическую систему координат r , ϑ , x (ось x направлена вдоль сосуда). Введем
безразмерные переменные и константы:
)
t = t0 t ,
r = R0 i r),
2 )
P = ρC 0 P + P0 ,
u=
R0 i )
u,
t0
α = R0i
1
,
νt 0
),
w = C0 w
x = C 0 t 0 x),
)
где f обозначает безразмерную величину; u, w – радиальная и осевая компоненты скорости
соответственно; t 0 – характерное время задачи; R0i – внутренний радиус сосуда до
деформации; C 0 – характерная скорость волны давления; P0 – среднее артериальное
давление и α – параметр Womersley [5], описывающий нестабильность системы.
Математическая модель усложняется тем, что течение происходит в области с
подвижными границами. Для упрощения формулирования условий на границе вводится
трансформация координаты
η = r a ( x, t ) ,
(3)
где a( x, t ) = Ri (t ) R0i – безразмерный внутренний радиус сосуда.
Переходя к безразмерным величинам, используя (3) и упрощение Pedley [7],
основанное на том, что радиус сосуда много меньше длины волны давления:
R0i λ ≡ R0i C 0 t 0 << 1 ,
(4)
из уравнений (1) и (2) получим в цилиндрической системе координат:
∂w
∂P
1
=−
+ 2 2
∂t
∂x α a
 ∂ 2 w 1 ∂w   η ∂a u  ∂w
 ∂w ∂a ∂w η 

+
+
−
−
w

−
 , (5)

2
 ∂η
η ∂η   a ∂t a  ∂η
 ∂x ∂x ∂η a 

∂P ∂r = 0 ,
(6)
1 ∂
(ηu ) + a ∂w − ∂a ∂w η = 0 .
η ∂η
∂x ∂x ∂η
(7)
(Здесь и далее для удобства записи “шляпки” над безразмерными переменными не ставятся.)
Уравнение движения, записанное для радиальной компоненты скорости, упрощается
до уравнения (6), из которого следует независимость давления от радиальной координаты.
Решение строится в предположении, что отсутствует или пренебрежимо мало
продольное перемещение стенки сосуда (см., например, [8]) и на ее внутренней поверхности
осевая компонента скорости обращается в нуль, а радиальная – совпадает со скоростью
смещения стенки:
w = 0,
u=
∂a
∂t
при
η = 1.
(8)
при
η = 0.
(9)
В силу осевой симметрии потока имеем
u = 0,
∂w
=0
∂η
Используя преобразования, аналогичные Cavalcanti [9], из уравнения неразрывности
(7) получим
 ∂a ∂a 
u = η w + ,
 ∂x ∂t 
(10)
и уравнение Навье-Стокса для продольной компоненты скорости (5) запишем в виде
∂w
∂P
1
=−
+ 2 2
∂t
∂x α a
 ∂ 2 w 1 ∂w  2 ∂a
2 ∂a 2

+
+
w
+
w .
 ∂η 2 η ∂η  a ∂t
a
∂
x


(11)
Если в (10) и (11) положить ∂a ∂t = ∂a ∂x ≡ 0 , то правая часть выражения (10)
обращается в тождественный нуль, что свидетельствует об отсутствии радиальной
компоненты скорости потока, а выражение (11) упрощается до уравнения движения
жидкости, полученного Womersly [5] для цилиндрического сосуда с жесткими стенками:
∂w
∂P
1
=−
+ 2 2
∂t
∂x α a
 ∂w ∂ 2 w 


 ∂η + ∂η 2  .


Для численного интегрирования системы уравнение неразрывности (2) удобно
переписать в интегральной форме:
∂a
1 ∂
=−
Q,
∂t
2πa ∂x
(12)
где Q – безразмерная функция потока,
1
Q = 2πa 2 ∫ ηw dη .
0
(13)
Математическая модель стенки сосуда
Для того, чтобы завершить математическую формулировку задачи, необходимо
ввести зависимость между давлением и внутренним радиусом сосуда. Предполагается, что
артерия представляет собой толстостенный цилиндр из ортотропного однородного
несжимаемого гиперупругого материала. Инерция стенки не учитывается [10, 11],
изгибными напряжениями пренебрегаем в силу предположения “длинной волны” (4).
Если записать уравнения равновесия для сегмента толстостенного цилиндра,
подверженного внутреннему давлению ( Pi = P ) при отсутствии внешнего ( Pe = 0 ), можно
получить следующую зависимость для давления в артерии (Ogden, [12]):
где
λ θi (t ) = λ θ
P=∫
λ θe
λ θi
r = R0 i
= Ri (t ) R0i
(1 − λ λ )
2
∂W
dλ ,
∂λ
относительная
−1
(14)
z
–
величина
(обезразмеренный внутренний радиус), а λ θe (t ) = λ θ
внешний радиус;
λz
r = R0 e
внутреннего
= Re (t ) R0e
радиуса
– относительный
– заданное относительное удлинение сосуда в продольном
направлении. Так как материал сосуда считается несжимаемым, существует очевидная связь
между Re и Ri :
−1
(
)
Re = λ z R0e − R0i + Ri ,
(15)
С учетом (15) уравнение (11) описывает искомую зависимость между давлением в сосуде и
2
2
2
2
его внутренним безразмерным радиусом. Удлинение сосуда определяется постоянной
растягивающей силой
N = (λ i λ z − 1)λ z
λ θe
∫ (λ λ z − 1)
2
−2
λσ z dλ ,
λ θi
из чего следует что λ z , вообще говоря, зависит от λ θi и меняется со временем. Однако,
изменение радиуса с прохождением пульсовой волны настолько мало (2–4%), что можно
пренебречь изменением значения
λz
и считать относительное удлинение сосуда
постоянным. Здесь W = W (λ θ , λ z ) – функция потенциальной энергии материала стенки,
задающая ее физические свойства. Конкретный вид и параметры W определяют, исходя из
результатов эксперимента.
Метод решения задачи
Исходная задача сведена к системе дифференциальных уравнений (11), (12).
Выражение для потока (13), уравнение состояния стенки (14) и функция потенциальной
энергии (15) замыкают систему, которую необходимо проинтегрировать по осевой,
радиальной координатам и времени.
Для численного решения задачи использовался метод, предложенный в статье Б. Я.
Кантора и А. Ю. Кунделева [6]. Продольная компонента скорости w разлагается в ряд по
)
функциям Галеркина ϕ i = η i +1 − 1 , i=1..N, ортонормированным методом Грама-Шмидта:
N
w ≈ w N = ∑ β i ( x, t )ϕ i (η) .
(16)
i =1
Вид функций ϕ̂ i обеспечивает удовлетворение продольной скоростью w краевых
условий (8) и (9). После подстановки выражения для скорости (16) в уравнение движения
(11) и уравнение неразрывности (12), примененяя метод Галеркина, получаем систему из
(N+1) уравнений относительно β i ( x, t ), i = 1..N и a(x,t). Частные производные неизвестных
функций по осевой координате в каждой точке заменялись центральными конечными
разностями второго порядка точности:
f
− f m−1
∂f m
= m+1
(m=1..M–1),
2hx
∂x
где M – число разбиений участка интегрирования; hx – достаточно малый шаг дискретизации
по оси x. После всех преобразований уравнения неразрывности и движения приобретают
вид
da m
1 Qm +1 − Qm −1
=−
;
dt
am
2hx
dβ m , k
dt
=
1
2
am
N
∑ Ai,k β i,m +
i =1
P − Pm −1
2 ∂a m
2 a m +1 − a m−1 N N
β m ,k +
β i , m β j , m Dijk − E k m +1
∑∑
a m ∂t
am
2hx
2h x
i =1 j =1
(m=1..M–1, k=1..N).
Для численного интегрирования этих уравнений необходимо задать начальные
условия (при t=0) а также значения неизвестных функций a m (t ) и β m, k (t ) в точках m=0 и
m=M.
Интегрирование системы дифференциальных уравнений проводилось методом
“предсказание-коррекция” Адамса четвертого порядка точности с автоматическим выбором
величины шага по времени.
Начальные и граничные условия
В начальный момент жидкость находится в покое:
β i (t ) t =0 = 0 для i =1..N,
а сосуд подвержен начальному давлению P0 . Из уравнения (14), связывающего давление и
безразмерный внутренний радиус сосуда, определяются начальные значения Ri , Re и,
следовательно, a m (t ) t =0 .
Для завершения формулировки задачи необходимо также задать граничные условия
для радиуса сосуда и потока. Предполагаем, что внутренний радиус в крайних точках не
зависит от времени:
a m (t ) m =0, m = M ≡ a (0) .
На входе задаем следующую функцию потока:
Qm (t ) m=0
0 ≤ t ≤ T 2,
Qmax t (T 2) ,

= − Qmax (t − T ) (T 2 ), T 2 ≤ t ≤ T ,
0,
t > T,

где T – длина импульса входного потока; Qmax – максимум амплитуды потока. По
результатам исследований Segers [13], такая форма входной волны потока наилучшим
образом приближает реальную ситуацию. И, наконец, предполагаем, что выход из
исследуемого участка полностью закрыт:
Qm (t ) m =M = 0 .
Параметры модели
Численные исследования проводились для трех моделей кровеносного сосуда. Первая
(модель А) была предложена Vanishev [14] для грудной артерии собаки:
W = c1 Eθ + c2 Eθ Ez + c3 E z + c4 Eθ + c5 Eθ E z + c6 Eθ E z + c7 E z ,
2
2
3
2
2
3
коэффициенты имеют следующие значения (Па):
c1 =32300.0, c 2 =3400.0, c3 =24700.0, c 4 =2500.0, c5 =6800.0, c6 =86200.0, c7 = –4100.0.
Вторая (модель В) использовалась в статье Kasyanov [15] для брюшной аорты
человека:
W = A(exp K − 1) + E (exp L − 1) ,
где
(
+ G (λ
) (
− 1 (λ λ ) ) + H (λ
)
− 1 (λ λ ) ) .
K = B(λ z − λ e ) + C λe − 1 (λ e λ z ) + D λ z − 1 (λe λ z ) ;
2
L = F (λ z − λe )
2
2
2
2
e
e
z
2
z
e
z
Значения коэффициентов:
A = 1579 Па, B = –0.638, C = 1.358, D = 1.274, E = 20300 Па, F = –0.090, G = 0.455, H = 0.518.
Третья (модель С) применялась Hart [3] для грудной артерии кролика:
W =
(
)
c
exp b1 E θ 2 + b2 E z 2 + b3 E r 2 + 2b4 Eθ E z + 2b5 E z E r + 2b6 Eθ Er ,
2
где с=22.40 кПа, b1 =1.0672, b2 =0.4775, b3 =0.0499, b4 =0.0903, b5 =0.0585 и b6 =0.0042.
Во всех функциях потенциальной энергии Eθ , E r , E z – компоненты тензора
деформаций Грина в окружном, радиальном и продольном направлениях соответственно.
Они связаны с величинами относительных удлинений такими соотношениями:
Ej =
(
)
1
λ j2 −1
2
( j = r , θ, z ) .
Из условия несжимаемости материала следует
λrλ zλθ = 1.
Для всех трех случаев геометрические параметры исследуемого участка сосуда, а
также физиологические свойства крови полагались одними и теми же. Используемые
данные: ρ = 1060 кг/м3 – плотность крови; µ = 4⋅10-3 Па⋅с – вязкость крови; L = 100 см –
длина участка артерии; R0i = 6.0 мм – внутренний радиус артерии; h = 1.0 мм – толщина
стенки сосуда; M = 100 – число разбиений исследуемого участка по оси сосуда; N = 5 –
количество функций Галеркина в разложении продольной скорости; T = 0.03 с – длина
импульса входного потока;
Qmax
= 2.5⋅10-6 м3/с – максимум входного потока;
P0 = 80 мм.рт.ст. = 10.6 кПа – начальное давление, которому подвержен сосуд.
Как видно, относительная толщина стенки взята равной 1/6 (именно такое отношение
наблюдается в большинстве крупных кровеносных сосудов млекопитающих), что не
позволяет получить результаты с достаточной точностью при применении теории тонких
оболочек (о границах применения приближения кровеносных сосудов как тонкостенных
цилиндров см. статью Б. Я. Кантора и А. Ю. Кунделева [6]). Поэтому использовалась модель
толстостенного сосуда. Порядок разложения N выбирался как компромисс между точностью
вычислений и временем счета.
Для исследования влияния натяжения сосуда на поток крови в нем расчеты
проводились для значений относительного удлинения сосуда от 1.0 (сосуд не растянут) до
1.8. Как показывают эксперименты, λ z для сосудов in vivo лежит в пределах от 1.2 до 1.8.
Результаты
Изучение влияния начального натяжения сосуда на поток крови в нем проводилось
на примере прохождения волны давления, вызванной очень коротким (30 мс) импульсом
потока на входе в исследуемый участок. Трехмерный график распространения волны
Давление, мм. рт. ст.
давления вдоль сосуда (брюшная аорта человека) приведен на рис. 1.
продольная
координат а
в ремя, с
Рис. 1. График распространения волны давления вдоль сосуда с течением времени.
Модель В.
Импульс потока вызывает возмущение давления, волна которого проходит вдоль
сосуда со скоростью 5.05 м/с. Примерно через 0.2 с волна достигает его конца, полностью
отражается и возвращается обратно. Здесь она снова полностью отражается, так как начало
сосуда тоже считается закрытым. С прохождением вдоль сосуда амплитуда волны давления
постепенно снижается (вследствие потерь энергии на преодоление вязкости жидкости), к
концу первой секунды уменьшаясь в 2.5 раза (с 4 до 1.5 мм.рт.ст).
При изменении λ z с 1.0 до 1.4 (это значение близко к величине растяжения брюшной
аорты человека in vivo) происходят изменения скорости распространения и амплитуды
волны давления. На рис. 2 сплошными линиями изображены профили волны давления для
той же модели через 0.06, 0.10, 0.14, 0.18 и 0.22 с после начального импульса для
нерастянутого сосуда; пунктирной линией показаны профили волны давления в те же
моменты времени при λ z =1.4. Наблюдается увеличение амплитуды волны давления почти в
1.5 раза с одновременным замедлением скорости ее распространения.
86
85
давление, мм.рт.ст.
84
83
82
81
80
79
78
77
76
0.00 0.07 0.14 0.21 0.29 0.36 0.43 0.50 0.57 0.64 0.71 0.79 0.86 0.93 1.00
продольная координата, м
Рис. 2. Давление как функция продольной координаты в различные моменты времени для
нерастянутого и растянутого сосуда. Модель В.
На рис. 3 приведены изменения скорости волны давления C 0 при увеличении
продольного натяжения с 1.0 до 1.8. Характерно, что для всех трех используемых функций
потенциальной энергии скорость C 0 падает. Наиболее заметен этот эффект для модели А
(грудная артерия собаки). Если для нерастянутого сосуда C 0 =4.26 м/с, то при λ z =1.8
скорость распространения давления уменьшается до 2.16 м/с, т.е. в два раза.
скорость волны давления, м/с
8.0
7.0
6.0
5.0
модель A
4.0
модель B
3.0
модель C
2.0
1.0
0.0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
продольное натяжение
Рис. 3. Изменение скорости волны давления с изменением величины продольного
натяжения.
Важной характеристикой потока является величина напряжения сдвига на стенке
сосуда. Экспериментами подтверждено, что области с пониженным напряжением сдвига
хорошо коррелируются с участками, имеющими поврежденный эндотелий. Наличие таких
областей ведет к образованию жировой прослойки на стенках сосуда и в итоге – к
атеросклерозу. График, представляющий зависимость величины напряжения сдвига от
начального продольного натяжения, изображен на рис. 4. Видно, что при натяжениях от 1.2
до 1.6, характерных для большинства сосудов, амплитуда напряжения сдвига меняется
незначительно (менее 5%) для грудной артерии собаки (модель А) и грудной артерии
амплитуда напряжения сдвига, Па
кролика (модель С), а для брюшной аорты человека ее увеличение составило более 75%.
12.0
10.0
8.0
модель A
модель B
6.0
модель C
4.0
2.0
0.0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
продольное натяжение
Рис. 4. Изменение амплитуды напряжения сдвига с изменением величины продольного
натяжения.
При увеличении λ z амплитуда напряжения сдвига (рис. 5) возрастает нелинейно.
Вместе с тем сдвигаются по времени пики напряжения сдвига вследствие повышения
скорости потока. Как видно из рис. 6, для модели В растяжение сосуда в 1.8 раза влечет за
собой увеличение максимальной скорости потока более чем в 3 раза. Обращает на себя
внимание также то, для моделей А и С небольшое растяжение сосуда приводит к
уменьшению скорости потока с минимумом в районе натяжения, испытываемого сосудом
in vivo, и лишь после превышения этой отметки начинается ее постепенный рост.
5.0
Lz=1.0
напряжение сдвига, Па
4.0
Lz=1.4
Lz=1.8
3.0
2.0
1.0
0.0
0.00
0.03
0.06
0.08
0.11
0.14
0.17
0.19
0.22
0.25
0.27
0.30
-1.0
-2.0
-3.0
время, с
Рис. 5. Напряжение сдвига на стенке сосуда как функция времени для не растянутого
( λ z =1.0) и растянутого ( λ z =1.4, 1.8) сосудов. Модель В.
продольная скорость, см/с
40
35
30
25
модель A
20
модель B
15
модель С
10
5
0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
продольное натяжение
Рис. 6. Зависимость максимальной скорости потока от продольного натяжения.
В статье, по-видимому, впервые оценен эффект влияния начального продольного
натяжения сосуда на характеристики потока вязкой жидкости в гиперупругих толстостенных
цилиндрах. Для исследования использовались три различные модели стенки сосуда,
предложенные в работах Vanishav, Kasyanov и Hart. Из представленного в настоящей статье
следует, что влияние начального натяжения λ z на поток зависит от материала сосуда, и
поэтому нет единой закономерности, которая описывала бы поведение сосуда и жидкости в
нем.
При проверке представленной теории было проведено сравнение с результатами,
изложенными в статье [3]. Для исследования скорости распространения волны давления
авторами работы [3] применялась модель тонкостенного цилиндра, содержащего жидкость,
причем движение жидкости не учитывалось, что не позволяло определить такие параметры,
как скорость течения жидкости, напряжение сдвига на стенке и др. Сравнение проводилось
для потенциала Vanishev (модель А), толщина стенки принималась равной 0.5 мм при
радиусе сосуда в ненапряженном состоянии 3.5 мм. Начальное давление считалось равным
13 мм.рт.ст., что соответствует λθ = 1.2. При сравнении мы использовали две зависимости
“давление-радиус”: представленную в формуле (14), учитывающую толщину стенки сосуда,
и ее приближенный вариант, записанный в предположении, что относительная толщина
стенки δ = (R0 e − R0 i ) R0 i достаточно мала:
∂W
.
∂λ
В уравнении (17) λ – любое значение между λ i и λ e .
P = δλ z −1λ−1
(17)
Результаты сравнения показаны на рис. 7. Графики 1 и 2 изображают зависимости
скорости волны давления от величины λ z , полученные с использованием формул (14) и (17)
соответственно; график 3 взят из статьи [3]. Как видно, графики 2 и 3 практически
совпадают; а использование более точной зависимости (14) дает значение скорости,
отличающееся примерно на 10%.
скорость волны давления, м/с
3.0
2.5
2.0
1
1.5
2
3
1.0
0.5
0.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
продольное натяжение
Рис. 7. Сравнение результатов, полученных в работе, с предыдущими исследованиями.
Исходя из приведенных нами результатов можно утверждать, что изменение
продольного натяжения сосуда способно оказать значительное влияние на характеристики
потока. Этот эффект особенно проявляется для сосуда с функцией потенциальной энергии,
описывающей упругие свойства брюшной аорты человека. Пренебрежение степенью
продольного натяжения в отдельных случаях может привести к серьезным искажениям
результатов и недооценке значений таких важных параметров, как напряжение сдвига на
стенке сосуда и продольная скорость потока.
Литература
1.
2.
LiJ. K, Melbin J., Riffle R. A. et al. Pulse wave propagation.– Circ. Res.–49–P.442-452.
Minor W. R., Bertram C. D. The relation between arterial viscoelasticity and wave propagation in the canine
femoral artery in vivo. –Circ. Res.–43–P.870-879.
3. Hart V., Shi J. Effects of initial stretches on wave speeds in thin orthotropic hyperelastic tubes containing fluid
flow// Appl. Math. Modelling.–1994.–18.–P.198–207.
4. Wang D. M., Tarbell J. M. Nonlinear analysis of oscillatory flow, with a nonzero mean, in an elastic tube (artery)
// J. Biomech. Eng.–1995.–117.–P.127–135.
5. Womersley J. R. An elastic tube theory of pulse transmission and oscillatory flow in mammalian arteries // Wright
Air Dev. Center, Tech. Rep. 1957.–P.560–614.
6. Кантор Б. Я., Кунделев А. Ю. Моделирование периодического течения вязкой жидкости в толстостенном
сосуде // Проблемы машиностороения – 1998.–2.–С. 94–101.
7. Pedley T. J. The fluid mechanics of large blood vessels. – London: Cambridge University Press, 1980.–540p.
8. Manac J. The two-dimentional in vitro passive stress-strain elasticity relationship for steer thoracic aorta blood
vessel tissue // J. Biomech.–1980.–13.–P.637–646.
9. Cavalcanti S. Hemodynamics of an artery with mild stenosis // J. Biomech.–1995.– 28, N 4.–P.387–399.
10. Cowley S. J. Elastic jumps on fluid-filled elastic tubes // J. Fluid Mech.–1982.–116.–P.459–473.
11. Cowley S. J. On the wavetraines associated with elastic jumps on fluid-filled elastic tubes // Quart. J. Mech. Appl.
Math.–1983.–36.–P.289–312.
12. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. – London: Cambridge University Press, 1984.–720p.
13. Segers P., Coomans I., Verdonck P., Stergiopulos N. In vitro evaluation of an extended pulse pressure method for
the estimation of total arterial compliance // Computers in Cardiology.–1996.–P.273–276.
14. Vanishev R. N., Young J. T. Janicki J. S. et al. Nonlinear anisotropic elastic properties of the canine aorta. //
Biophys. J.–1972.–12.–P.1008-1027.
15. Kasyanov V. The anisotropic nonlinear model of human large blood vessels // Mehanika Polimerov.–1974.–5.–
P.204–211.
Поступила в редакцию
15.10.98
A. Yu. Kundeleff
Insitute of Mechanical Engineering Problems NASU
(Kharkov, E-mail: [email protected])
THE ANALYSIS OF PRESSURE PULSE PROPAGATION IN THICKWALLED PRESTRESSED VESSELS WITH A FLUID
In this study the distribution of blood flow in large vessels is investigated. A viscous
incompressible homogeneous Newtonian fluid simulates the blood. The vessel is
considered as a thick orthotropic hyperelastic cylinder, which is subject to initial
longitudinal and circumferential deformations. Two-dimensional motion equations
are solved using Galerkin decomposition and subsequent numerical integration with
respect to time. The model is employed to study the propagation along an arterial
vessel of a pressure pulse produced by a single flow pulse applied at the proximal
vessel extremity. In particular, the effects of the longitudinal stretch ratio on the
characteristics of a flow are investigated. It is shown, that the influence of
longitudinal stretch ratio on the flow characteristics can be essential.