Построение и исследование имитационных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
А.В. Лямин, А.В. Русак
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ
ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Методическое пособие
Санкт-Петербург
2012
Лямин А.В., Русак А.В. Построение и исследование имитационных моделей систем
массового обслуживания. Методическое пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. – 35 с.
Настоящее учебное пособие разработано для магистрантов обучающихся по образовательной
программе «Автоматизация и управление в образовательных системах» направления
подготовки 09.04.02 – «Информационные системы и технологии» и изучающих дисциплину
«Системный анализ и моделирование информационных процессов и систем», которая
преподается на кафедре компьютерных образовательных технологий НИУ ИТМО. Пособие
содержит необходимые теоретические сведения и методические указания для построения и
исследования имитационных моделей систем массового обслуживания. Представлена
подробная программа исследования, приведены формулы для расчета параметров модели,
изложение материала сопровождается примерами и пояснениями
Рекомендовано к печати ученым советом факультета КТиУ ___.___.201_, протокол №____.
2
Содержание
Введение .............................................................................................................................................4
1 Общие сведения о системах массового обслуживания ...............................................................6
2 Описание исследуемой системы ...................................................................................................7
3 Анализ задачи и обзор аналогов....................................................................................................9
3.1 Анализ задачи...........................................................................................................................9
3.2 Обзор аналогов .......................................................................................................................10
4 Выбор входных распределений. Построение генераторов случайных чисел.........................12
4.1 Выбор входных распределений ............................................................................................12
4.2 Экспоненциальное распределение .......................................................................................13
4.3 Построение генераторов случайных чисел .........................................................................13
4.4 Проверка генераторов случайных чисел .............................................................................15
5 Алгоритмизация и программирование имитационной модели................................................21
5.1 Требования к программной реализации ..............................................................................21
5.2 Пользовательский интерфейс программы ...........................................................................23
6 Предварительные прогоны системы и построение факторного плана....................................24
6.1 Предварительные прогоны системы ....................................................................................24
6.2 Построение факторного плана..............................................................................................26
7 Расчет эффектов. Построение уравнений регрессии.................................................................29
7.1 Расчет эффектов .....................................................................................................................29
7.2 Построение уравнений регрессии ........................................................................................31
8 Расчет экономической оценки вариантов системы ...................................................................33
Список использованных источников .............................................................................................35
3
Введение
В повседневной жизни человек постоянно сталкивается с различными формами
обслуживания и обслуживающими системами. Для формализации процессов, протекающих в
таких системах, используются математические объекты, называемые системами массового
обслуживания (СМО). Система массового обслуживания представляет собой динамическую
систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при
ограниченных ресурсах системы. Примерами таких систем могут служить телефонные
станции, справочные бюро, ремонтные мастерские, магазины, поликлиники, аэропорты,
билетные кассы, производственный конвейер по обработке деталей, процесс обработки
информации на ЭВМ, перемещение электрических зарядов в некотором устройстве и т.д.
Каждая такая система состоит из одного или нескольких обслуживающих устройств,
называемых
каналами
обслуживания,
которые
предоставляют
какие-либо
услуги
требованиям (заявкам). В качестве каналов могут выступать линии связи; лица,
выполняющие те ли иные операции; различные приборы и т.п. Работа любой системы
массового обслуживания состоит в удовлетворении поступающего на нее потока требований.
Заявки поступают в систему одна за другой в случайные моменты времени. Обслуживание
заявки длится некоторое время, после чего обслуживающее устройство освобождается и
готово к обслуживанию нового требования. Каждая обслуживающая система имеет свою
дисциплину обслуживания, которая определяет поведение заявки в системе и вне ее: каким
образом образуется очередь, по какому правилу требования из очереди переходят на
обслуживание и т.д.
Основной задачей теории массового обслуживания является изучение режима
функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в
процессе обслуживания; установление зависимости между характером потока заявок,
производительностью отдельного канала, числом каналов обслуживания и эффективностью
обслуживания в целом. В качестве характеристик эффективности обслуживания в
зависимости от условий и целей исследования могут применяться различные величины и
функции, например, средний процент заявок, получивших отказ и покинувших систему
необслуженными; среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом; среднее
время ожидания заявки в очереди и среднее время нахождения заявки в системе; закон
распределения длины очереди и т. д. Одной из важнейших задач исследования СМО
является задача оптимизации, заключающаяся в достижении определенного уровня
обслуживания
(максимального
сокращения
очереди
или
потерь
требований)
при
минимальных затратах на построение и эксплуатацию системы.
4
Большинство систем массового обслуживания работает под воздействием случайных
факторов. Как правило, случайными величинами являются моменты поступления
требований,
а
также
длительность
их
обслуживания.
Таким
образом,
процесс
функционирования систем массового обслуживания носит случайный характер, а методы их
изучения сводятся к построению некоторых случайных процессов и их дальнейшему
исследованию.
Реальные системы массового обслуживания, как правило, состоят из большого числа
элементов, имеющих сложные внутренние связи. Использование аналитических моделей в
таких случаях не позволяет получить достоверных результатов и зачастую для построения и
изучения СМО переходят к имитационным моделям. К имитационному моделированию
прибегают, когда эксперимент над реальной системой или нецелесообразен по различным
причинам, или не возможен в принципе. Например, имитационное моделирование часто
используют, когда перед запуском или модернизацией какой-либо системы на производстве
требуется убедиться в оправданности принятого решения и понять, как будет вести себя
система в новых условиях. Имитационное моделирование – это метод исследования, при
котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей
реальную систему, и с ней проводятся множественные эксперименты с целью получения
информации о характеристиках процесса функционирования системы. Эта информация
может быть использована как для анализа характеристик, так и для их оптимизации при
заданных ограничениях, т.е. для синтеза новых структуры, алгоритмов и параметров
системы. Имитационная модель представляет собой совокупность объектов и их атрибутов,
которые позволяют однозначно описать состояние системы в определенный момент
времени. Одним из преимуществ имитационного моделирования является то, что данный
метод позволяет изучить длительный интервал функционирования системы в сжатые сроки.
5
1 Общие сведения о системах массового обслуживания
Рассмотрим основные понятия теории систем массового обслуживания, используемые
как при аналитическом, так и при имитационном моделировании.
Под
системой
математический
массового
объект,
обслуживания
содержащий
один
(англ.
или
system)
понимают
приборов
(каналов),
queueing
несколько
обслуживающих поступающие в систему заявки (требования), и накопитель, в котором
находятся заявки, ожидающие обслуживания, образуя при этом очередь.
Заявка (требование) – объект, поступающий в СМО и требующий обслуживания в
обслуживающем приборе. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на
удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета,
покупка билета, получение материалов на складе, обработка информации ЭВМ от удаленных
терминалов. Совокупность заявок, распределенных во времени, образуют поток заявок.
Обслуживающий прибор (устройство, канал, линия) – элемент СМО, функцией
которого является обслуживание заявок. Например, к ним относятся каналы телефонной
связи, посадочные полосы, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и
складах. В каждый момент времени в приборе на обслуживании может находиться только
одна заявка.
Обслуживание – задержка заявки на некоторое время в обслуживающем приборе.
Длительность обслуживания – время задержки (обслуживания) заявки в приборе.
Накопитель – совокупность мест для ожидания заявок перед обслуживающим
прибором. Количество мест для ожидания определяет ёмкость накопителя.
Заявка, поступившая на вход СМО, может находиться в двух состояниях:
− в состоянии обслуживания (в приборе);
− в состоянии ожидания (в накопителе), если все приборы заняты обслуживанием
других заявок.
Заявки, находящиеся в накопителе и ожидающие обслуживания, образуют очередь
заявок. Количество заявок, ожидающих обслуживания в накопителе, определяет длину
очереди.
Дисциплина обслуживания – правило выбора заявок из очереди для обслуживания в
приборе.
6
2 Описание исследуемой системы
Настоящее учебное пособие содержит описание основных принципов имитационного
моделирования на примере исследования систем массового обслуживания. Целью
исследования является оптимизация заданной системы с учетом ее экономической оценки.
Задание на исследование формулируется следующим образом.
Пример технического задания. Требуется разработать программу для имитационного
моделирования системы массового обслуживания с s устройствами, каждое из которых
может одновременно обслуживать только одно требование. Интервалы времени между
поступлением требований являются независимыми случайными величинами со средним
значением
µА.
Время
обслуживания
также
является
случайной
величиной
некоррелированной с интервалами поступления требований. Среднее значение времени
обслуживания требований – µS. Если в момент поступления очередного требования имеется
хотя бы одно свободное устройство, то оно немедленно приступает к обслуживанию этого
требования, а если все обслуживающие устройства заняты и в очереди находится не более l–l
требования, то реакция системы определяется дисциплиной обслуживания. Если же в
очереди находятся l требований, то очередное требование покидает систему необслуженным.
Оценке подлежат следующие параметры:
− коэффициент использования системы ρ;
− среднее время ожидания заявки в очереди Тq;
− среднее время пребывания заявки в системе Тs;
− среднее по времени число требований в очереди Nq;
− среднее по времени число требований в системе Ns;
− абсолютная пропускная способность Ca;
− относительная пропускная способность Cr.
При выработке рекомендаций по оптимизации системы необходимо руководствоваться
следующей экономической оценкой вариантов системы:
I = Eн c1s + c2 ( N s − N q ) + c3 ( s − N s + N q ) + c4T (µ −А1 − Са ) + с5TN q ,
где Eн = 0.15 (руб/год)/руб – нормативный коэффициент экономической эффективности
капитальных вложений, с1– цена одного устройства, с2 и с3 – годовые текущие затраты на
обслуживание работающего и бездействующего устройства, с4 – потери от невыполнения
одного требования, с5 – приведенные затраты на содержание одного требования, Т = 2.5×107
– годовой фонд времени работы системы.
В общем случае программу исследования имитационной модели системы массового
обслуживания можно разбить на следующие этапы:
7
1) Анализ задания.
2) Обзор аналогов исследуемой системы.
3) Выбор входных распределений случайных величин.
4) Построение и анализ генераторов случайных величин.
5) Разработка логики работы программы моделирования.
6) Программирование модели и разработка графического пользовательского
интерфейса.
7) Построение факторного плана и проведение экспериментов с моделью.
8) Обработка и анализ выходных данных моделирования, построение графиков
временных зависимостей основных параметров.
9) Расчет и анализ эффектов факторов.
10) Построение регрессионной модели исследуемой системы и ее анализ, оценка
адекватности модели.
11) Вычисление экономической оценки исследуемой системы.
12) Выработка рекомендаций по оптимизации исследуемой системы.
Ниже приведено подробное описание каждого этапа имитационного моделирования с
примерами и рекомендациями.
8
3 Анализ задачи и обзор аналогов
На данном этапе от исследователя требуется детально проанализировать полученное
техническое задание: четко сформулировать цель работы и определить основные задачи,
которые необходимо выполнить для достижения поставленной цели; определить входные и
выходные переменные модели, параметры, требующие оценки, выбрать критерии оценки
эффективности процесса функционирования системы; подобрать аналог разрабатываемой
системы, наиболее полно удовлетворяющий требованиям технического задания и исходным
данным.
3.1 Анализ задачи
Тщательное проведение анализа поставленной задачи способствует преодолению
трудностей, возникающих в дальнейшем при моделировании.
В первую очередь необходимо привести структурную схему исследуемой СМО с
подробным описанием особенностей ее функционирования. Любая система массового
обслуживания включает в себя следующие компоненты: процесс поступления, механизм
обслуживания и дисциплину обслуживания. Процесс поступления включает описание
механизма появления требований в системе. Механизм обслуживания определяется числом
устройств обслуживания s, наличием для каждого устройства своей очереди (накопителя)
или существованием единой очереди для всех устройств, а также распределением времени
обслуживания требований. Дисциплина обслуживания определяет правило, которое
устройство обслуживания использует для выбора из очереди следующего требования по
завершении обслуживания текущего требования. На практике чаще других встречаются
следующие дисциплины обслуживания:
FIFO (First-In, First-Out) – очередь, требования обслуживаются по принципу «первым
пришел – первым обслужен».
LIFO (Last-In, First-Out) – стек, требования обслуживаются по принципу «последним
пришел – первым обслужен».
Приоритет на n значений – требования обслуживаются в порядке их значимости.
Исходя из правил выбора заявок из накопителя на обслуживание, различают относительные
и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более
высоким приоритетом, поступившая в систему, ожидает окончания обслуживания
предшествующей заявки и только после этого занимает обслуживающее устройство.
Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в
систему, прерывает обслуживание заявки с более низким приоритетом и сама занимает
9
обслуживающее устройство, при этом вытесненная заявка может либо покинуть систему,
либо может быть снова записана в очередь.
Циклическая с квантом q – в случае если устройство не успевает обработать текущую
заявку за отведенный квант времени, заявка помещается в конец очереди.
Обобщенная структура СМО представлена на рисунке 1.
Заявки на
обслуживание
Очередь
Устройства
Обработанные
заявки
Отказы
Рисунок 1 – Структура системы массового обслуживания
В данной работе исследуются системы массового обслуживания, обладающие
следующими характеристиками:
1. Система
принадлежит
к
классу
комбинированных
(смешанных)
систем
обслуживания: требование попадает в накопитель в том случае, если длина очереди
не превышает заданного числа l, в противном случае требование покидает систему
необслуженным.
2. Система имеет s устройств обслуживания и единую очередь для всех устройств.
3. Система состоит из однотипных обслуживающих устройств, характеризуемых
общим законом распределения времени обслуживания.
4. Пусть Ai – случайная величина, определяющая время между поступлениями
требования (i – 1) и требования i. Случайные величины А1, А2, … – независимые и
одинаково распределенные.
5. Пусть Si – случайная величина, определяющая время обслуживания поступившего
требования i. Случайные величины S1, S2, … – независимые и одинаково
распределенные.
6. Величины Ai и Si не зависят друг от друга.
7. Дисциплина обслуживания задается вариантом технического задания.
3.2 Обзор аналогов
На данном этапе необходимо выделить один или более аналогов системы массового
обслуживания, удовлетворяющих условиям, поставленным в техническом задании. Один из
представленных аналогов должен быть выбран за основной, в соответствии с которым будет
производиться разработка системы.
10
При выборе аналогов необходимо руководствоваться не только заданной дисциплиной
обслуживания, но и другими параметрами системы, в том числе и параметрами для расчета
экономической оценки. Необходимо не просто перечислить подходящие аналоги, требуется
показать, что они действительно удовлетворяют требованиям технического задания.
Например, пусть система имеет следующие параметры:
–
дисциплина обслуживания – LIFO;
–
количество устройств системы – 3;
–
емкость накопителя – 25;
–
среднее время поступления требований – 15 с;
–
среднее время обработки требований – 30 с;
–
цена устройства обслуживания – 3⋅108 руб.;
–
годовые текущие затраты на обслуживание работающего и бездействующего
устройства – 2⋅104 руб. и 2⋅103 руб. соответственно;
–
потери от невыполнения требования – 0,05 руб.;
–
приведенные затраты на содержание одного требования – 0,055 руб.
Для системы с заданными параметрами можно подобрать несколько аналогов.
Аналог 1: Система наблюдения за траекторией спутника
Со спутников на орбите в среднем каждые 15с поступают пакеты данных на станцию,
где три ЭВМ их обрабатывают и затем возвращают каждому спутнику пакет данных,
содержащий инструкции по корректировке его движения. В среднем, время с момента начала
обработки данных ЭВМ до получения инструкций спутнику равно 30с. Роль накопителя в
данном случае играет база данных, организованная по принципу LIFO и вмещающая
одновременно до 25 пакетов с данными включительно.
Аналог 2: Система бухгалтерского учета товарно-материальных ценностей
В финансовый отдел крупного магазина в среднем каждые 15с поступают сообщения
об
изменениях
товарно-материальных
ценностей.
Заявки
обрабатываются
тремя
бухгалтерами, на обработку одной заявки в среднем тратится 30с. Поступающие документы
хранятся в папке в виде стопки, емкость папки ограничена 25 сообщениями.
Исходя из параметров экономической оценки, можно сделать вывод, что для системы с
представленными параметрами более подходящим будет первый аналог – система
наблюдения за траекторией спутника. Данная система удовлетворяет практически всем
условиям технического задания.
11
4 Выбор входных распределений. Построение генераторов случайных
чисел
Целью данного раздела является определение распределения входных случайных
величин в соответствии с выбранным аналогом, построение соответствующих генераторов и
оценка их работы.
4.1 Выбор входных распределений
При исследовании работы системы массового обслуживания первой задачей является
изучение потока требований. Потоком требований (входящим потоком) называется
совокупность заявок на обслуживание, поступающих в обслуживающую систему. Поток
требований может быть описан некоторой случайной функцией X(t), определяющей число
требований, нуждающихся в обслуживании за промежуток времени (0, t].
В ряде практических случаях поток требований является простейшим потоком (или
близким к нему), поскольку удовлетворяет условиям стационарности, ординарности и
отсутствия последействий. Например, такими свойствами обладает поток требований на
ремонт неисправного оборудования, если число единиц оборудования достаточно велико.
Поток вызовов, поступающих на АТС, также можно считать простейшим, но лишь на
отдельных отрезках времени, т.к. в течение суток режим работы АТС может меняться в
значительных пределах. Как известно, простейший поток описывается процессом Пуассона с
параметром λt, а случайная величина, равная времени между двумя последовательными
регистрациями события в таком потоке имеет показательное распределение [1]. Поэтому,
если доказать, что входящий поток требований выбранного аналога обладает свойствами
стационарности, ординарности и отсутствия последействий и, следовательно, является
простейшим, то интервалы времени между поступлением заявок в систему будут
распределены по экспоненциальному закону со средним значением µ А. При этом величина λ
= 1/µ А называется интенсивностью поступления требований.
Время
обслуживания
является
характеристикой
функционирования
каждого
отдельного устройства обслуживающей системы. Оно показывает, сколько времени
затрачивается на обслуживание одного требования данным обслуживающим устройством.
Как правило, время обслуживания является случайной величиной. К примеру, телевизоры,
поступающие в ремонтную мастерскую, имеют различные неисправности, следовательно, и
время, требуемое для их устранения, может быть различным. На практике в большинстве
СМО время обработки заявки имеет показательный закон распределения со средним
значением µS. Величина ω = 1/µ s называется скоростью обслуживания.
12
4.2 Экспоненциальное распределение
Случайная величина X имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если
плотность ее распределения задается формулой
 0 при x < 0,

f ( x) =  1 − µx
 µ e при x ≥ 0.

(1)
Функция распределения имеет вид:
 0 при x ≤ 0,

F ( x) =  x 1 − µt
 ∫ µ e dt при x > 0.
0
(2)
Графики плотности распределения и функции экспоненциального распределения
приведены на рисунке 2.
а)
б)
Рисунок 2 – Графики плотности экспоненциального распределения (а) и функции
экспоненциального распределения (б) при µ = 1
Параметры экспоненциального распределения: M[ X ] = µ , σ2 = D[ X ] = µ 2 .
4.3 Построение генераторов случайных чисел
Исходя из выбранных входных распределений, требуется построить два генератора
псевдослучайных последовательностей: для интервалов времени между поступлением
требований и времени их обслуживания с заданными средними значениями µ A и µ S
соответственно. Существует множество методов генерирования случайных величин.
Применяемый конкретный алгоритм зависит от распределения, из которого генерируется
случайная величина.
Для моделирования экспоненциально распределенной случайной величины наиболее
часто используется метод обратного преобразования. На первом шаге с помощью
мультипликативного генератора создается последовательность стандартно равномерно
распределенных случайных чисел γi:
13
ξi+1 = (aξi) (mod m),
ξi∈(1, m-1), |(1, m-1)|=m-1,
γi =
(3)
ξi
.
m
Рекомендуемые параметры, обеспечивающие для такого генератора максимальный
период, – m = 231-1 = 2 147 483 647; a = 630 360 016.
Затем стандартно равномерно распределенная случайная величина γ преобразуется в
величину X с заданным законом распределения F согласно формуле:
X = F −1 ( γ ) ,
(4)
где F-1 – это обратная функция распределения F.
Для экспоненциально распределенной случайной величины
X = −µ ln(1 − γ ) ,
(5)
но, поскольку величины 1 – γ и γ имеют одинаковое распределение U(0,1), то для
моделирования можно использовать следующую формулу
X = −µ ln γ .
(6)
Начальные условия для генераторов могут быть взяты любые из множества
допустимых значений, т.е. любые целые положительные числа меньше или равны (m–1), где
m – модуль мультипликативного генератора. Однако по ансамблю серии экспериментов
начальные условия должны представлять собой некоррелированные последовательности.
Для обеспечения этого условия рекомендуется для создания наборов начальных значений
использовать, например, мультипликативный генератор, выдающий значения в диапазоне [1;
m–1].
Моделирование приоритетов. Приоритет требования можно представить как
дискретную случайную величину. Каждый раз, когда в систему поступает новое требование,
необходимо разыграть эту случайную величину и присвоить полученное число приоритету
поступившего требования. Таким образом, для случайной величины «приоритет» должен
быть построен генератор дискретной случайной величины, выдающий численные значения
приоритета в соответствии с установленным распределением. Таблица распределения этой
случайной величины должна быть задана в соответствии с выбранным аналогом.
Для получения дискретных случайных чисел также можно воспользоваться методом
обратной функции. На первом этапе генерируется равномерно распределенная на интервале
(0,1) случайная величина γ. Тогда алгоритм вычисления дискретных случайных чисел таких,
что P(X=x1) = p1, P(X=x2) = p2, …, P(X=xn) = pn, сводится к выполнению следующих действий:
если γ < p1, то X = x1, иначе
14
если γ < p1 + p2, то X = x2, иначе
……………………………………
если γ < p1 + p2 + … + pn, то X = xn.
Полученная таким образом последовательность будет соответствовать дискретной
случайной величине с заданной таблицей распределения.
4.4 Проверка генераторов случайных чисел
Чтобы убедиться, что построенные генераторы выдают независимые случайные
величины с заданным законом распределения, необходимо провести оценку их работы. Для
этого для каждого смоделированного генератора необходимо:
1. Оценить математическое ожидание и дисперсию по формулам (7) и (8)
соответственно.
n
µˆ =
∑x
i =1
n
i
,
(7)
n
∑ ( x − µˆ )
σˆ 2 =
i =1
2
i
n −1
,
(8)
где xi – элемент полученной выборки, n – объем выборки.
Полученные оценки необходимо сравнить с заданными средними значениями
случайных величин µ А и µS. В случае использовании экспоненциального распределения
оценка математического ожидания µˆ ≈ µ A для генератора последовательности интервалов
времени между поступлением требований и µˆ ≈ µ S для генератора значений времени
обслуживания требований. Оценка дисперсии для данных генераторов σˆ 2 ≈ µ 2A и σˆ 2 ≈ µ 2S
соответственно.
2. Оценить корреляционную функцию по графикам (j, ρ(j)) и (Xj, Xj+1). При построении
графика коэффициента корреляции следует ограничиться первыми 20 значениями
(рисунок 3а), второй график строится по всей выборке значений (рисунок 3б).
Корреляционный анализ позволяет осуществить проверку независимости элементов
сгенерированной последовательности. Мерой линейной стохастической зависимости между
случайными величинами является коэффициент корреляции: чем ближе его значение к нулю,
тем слабее исследуемая линейная связь.
Для вычисления оценки корреляционной функции можно воспользоваться следующей
формулой:
ρˆ j =
kˆ j
, j = 1,..., n − 1 ,
σˆ 2
(9)
15
где kˆ j – оценка ковариационной функции, которая вычисляется по формуле
n− j
kˆ j =
а)
∑ ( x − µˆ ) ⋅ ( x
i+ j
i
i =1
− µˆ )
, j = 1,..., n − 1 .
n− j
(10)
б)
0.025
120
0.02
100
0.015
0.01
80
0.005
60
0
-0.005
40
-0.01
20
-0.015
-0.02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0
20
40
60
80
100
120
Рисунок 3 – График коэффициента корреляции (а) и диаграмма разброса (б)
3. Построить доверительный интервал и осуществить с его помощью проверку
гипотезы о значении математического ожидания.
Доверительным интервалом числовой характеристики θ генеральной совокупности с
доверительной вероятностью β называется интервал (θ1, θ2) со случайными границами θ1=
=θ1(x1, x2,…xn), θ2= θ2(x1, x2,…xn), который накрывает θ с вероятностью β: P(θ1<θ< θ2)=β.
Для вычисления границ доверительного интервала для среднего значения используют
следующую формулу:
σˆ u1−α 2
σˆ u1−α 2 

P  µˆ −
< µ < µˆ +
 = 1− α ,
n
n 

(11)
где u1−α 2 – квантиль стандартного нормального распределения порядка 1 − α 2 ,
α = 1 − β – уровень значимости. Для α = 0.05 u1−α 2 = 1.96.
Гипотеза Н0: µ̂ = µ 0
принимается, если построенный доверительный интервал
покрывает µ0, и отвергается в противном случае. Для интервалов времени между
поступлением требований µ 0 = µ A , для времени обслуживания µ 0 = µ S .
Статистика критерия значимости для данного метода вычисляется по формуле:
Z= n
µˆ − µ 0
.
σˆ
(12)
Если Z < u1−α 2 , то гипотеза Н0 принимается, если же Z ≥ u1−α 2 , гипотеза отвергается.
16
Пример. Пусть в результате ста экспериментов получены следующие оценки числовых
характеристик случайной величины: µ̂ =0.132, σ̂2 =1.44. Для уровня значимости α=0.05
необходимо проверить гипотезу H0: µ0=0.25.
Решение: При уровне значимости α=0.05 квантиль нормального распределения
u1−α 2 = u0.975 = 1.96 .
Статистика критерия значимости Z = n
µˆ − µ 0
0.132 − 0.25
−0.118
= 100
= 10
≈ −0.98 .
σˆ
1.2
1.44
Z = 0.98 < u0.975 = 1.96 , следовательно, гипотеза H0: µ0=0.25 принимается.
4. Проверить гипотезу о законе распределения методом гистограмм
Метод гистограмм позволяет визуально оценить закон распределения, поскольку
гистограмма служит приближением к неизвестной плотности случайной величины X.
Для построения гистограммы промежуток [b0, bk], на котором распределены
полученные случайные величины, разбивают на несколько одинаковых интервалов шириной
∆x. Число интервалов k выбирается произвольно, однако необходимо отметить, что при
слишком большом числе промежутков картина распределения будет искажена случайными
колебаниями частот, при слишком малом будут сглажены и затушеваны характерные
особенности распределения. Для определения k можно рекомендовать следующую
полуэмпирическую формулу [1]
k ≈ 1.72 3 n .
(13)
После разбиения на интервалы подсчитывается количество случайных величин ni,
попавших в каждый из таких интервалов, а затем по формуле (14) рассчитывают частоту
попадания в каждый интервал:
hi =
ni
.
n
(14)
Над каждым из интервалов разбиения строится прямоугольник, площадь которого
равна частоте попадания ni в этот интервал, высота каждого прямоугольника рассчитывается
по формуле:
l=
hi
.
∆x
(15)
Полученную ступенчатую линию называют гистограммой.
Для более наглядной оценки рекомендуется в окне вывода гистограммы привести
соответствующий график плотности распределения (рисунок 4).
17
Рисунок 4 – Гистограмма и график плотности вероятности
экспоненциального распределения
Для оценки генератора приоритетов вместо гистограммы необходимо построить
график частоты появления дискретной случайной величины в результате эксперимента и
сравнить его с заданным распределением (рисунок 5).
Рисунок 5 – График частоты появления дискретной случайной величины
5. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности методом χ2
Исчерпывающей характеристикой изучаемой случайной величины является ее закон
распределения. Для проверки гипотезы о законе распределения применяются различные
критерии согласия. В данной работе рассмотрим наиболее обоснованный и наиболее часто
используемый на практике критерий χ2 (хи-квадрат), введенный К. Пирсоном [1]. Этот метод
дает возможность, в отличие от метода проверки с помощью гистограммы, получить
численные данные, позволяющие подтвердить или опровергнуть гипотезу.
Правило проверки гипотезы о законе распределения по методу χ2
1. Выдвигается гипотеза Н0 о генеральном законе распределения с функцией
распределения
F(x).
Под
конкурирующей
гипотезой
Н1
понимается
гипотеза
о
справедливости одного из конкурирующих распределений.
2. Генеральная совокупность, т.е. множество значений изучаемой случайной величины
X разбивается на k непересекающихся подмножеств ∆1, ∆2, …, ∆k. Если генеральная
совокупность – это вся вещественная ось, то подмножества ∆i = (ai-1, ai] представляют собой
18
полуоткрытые промежутки (i = 2, …, k-1), а крайние промежутки будут полубесконечными:
∆1 = (-∞, a1], ∆k. = (ak, +∞). При выборе числа интервалов разбиения k можно
руководствоваться формулой (13) или формулой Старджесса [1]:
k ≈ 1 + 3.3lg n ,
(16)
где n – объем генеральной совокупности.
Длины промежутков разбиения удобно делать равными, за исключением крайних,
которые могут быть полубесконечными. После разбиения генеральной совокупности на
подмножества необходимо вычислить частоты попадания n1, n2, …, nk выборочных
элементов в подмножества ∆1, ∆2, …, ∆k соответственно.
3. Вычислить pi = P(X ∈ ∆i), i = 1, … k:
 ai
 ∫ f ( x)dx

pi =  ai−1
.
 ∑ P( x j )
 ai−1 < x j ≤ ai
(17)
4. Вычислить выборочное значение статистики критерия χ2:
(ni − npi ) 2
Z =∑
.
npi
i =1
k
(18)
5. Выбрать уровень значимости α и найти по справочной таблице квантиль χ 2k -1,1-α
распределения хи-квадрат с k – 1 степенями свободы порядка 1 – α.
6. Сравнить Z и квантиль χ 2k -1,1-α .
Если Z < χ 2k -1,1-α , то гипотеза Н0 принимается.
Если Z ≥ χ 2k -1,1-α , то гипотеза Н0 отвергается, выбирается одно из альтернативных
распределений и процедура проверки повторяется.
Замечание 1. Числом степеней свободы функции называется число ее независимых
аргументов. Аргументами статистики χ2 являются частоты n1, n2, …, nk, которые связаны
равенством n1 + n2 +…+ nk = n, а в остальном независимы в силу независимости элементов
выборки. Таким образом, функция χ2 имеет k – 1 независимых аргументов.
Замечание 2. При сомнительной ситуации, когда Z ≈ χ 2k -1,1-α , следует увеличить объем
выборки, чтобы требуемое неравенство было более четким.
Замечание 3. Если для каких-либо подмножеств ∆i (i = 1, …, k) не выполняется условие
npi ≥ 5 , то следует объединить соседние промежутки.
19
Замечание 4. Для вычисления критерия χ2 может быть также использован
равновероятный подход: генеральная совокупность разбивается на k интервалов разной
длины, но с равной теоретической вероятностью попадания в каждый из них pi.
Пример. В результате эксперимента получена следующая выборка случайной величины
X: {0.34, 0.56, 0.45, 0.32, 0.54, 0.22, 0.77, 0.66, 0.53, 0.21}. С помощью метода χ2 проверить,
соответствует ли данная выборка стандартному равномерному распределению U(0,1).
Решение: В соответствие с правилом проверки гипотезы множество значений
стандартно
равномерно
распределенной
случайной
необходимо
поделить
на
k
непересекающихся интервалов и подсчитать, сколько значений из выборки попало в каждый
из интервалов. Согласно формуле (13) k=4. При делении множества значений (0, 1) на четыре
равных интервала, нетрудно убедиться, что данные интервалы будут равновероятными:
p1=p2=p3=p4=0.25. Расчет выборочного значения статистики критерия χ2 представлен в
таблице 1.
Таблица 1 – Расчет выборочного значения статистики критерия χ2
№
интервала
1
Границы
интервала
(0, 0.25]
ni
pi
(ni – npi)2/npi
2
0.25
0.1
2
(0.25, 0.5]
3
0.25
0.1
3
(0.5, 0.75]
4
0.25
0.9
4
(0.75, 1)
1
0.25
0.9
Z=2
Для уровня значимости α=0.05 и k–1=3 степеней свободы χ23,0.95=7.8. Таким образом,
|Z|=2<χ23,0.95=7.8,
следовательно,
гипотеза
о
соответствии
представленной
выборки
стандартному равномерному распределению подтверждается.
20
5 Алгоритмизация и программирование имитационной модели
Данный раздел предполагает краткое описание программной реализации системы
массового обслуживания, включая краткое описание разработанных функций и основных
используемых переменных; описание пользовательского графического интерфейса, а также
построение блок-схемы, отражающей логику работы программы. В пояснительной записке
достаточно привести обобщенную схему алгоритма работы главной программы, используя
укрупненные блоки такие, как «Добавление заявки в очередь», «Обработка заявки» или
«Сортировка очереди», а затем более подробно раскрыть наиболее значимые из них.
Детального описания алгоритма всех созданных функций не требуется.
5.1 Требования к программной реализации
Для программной реализации студент может выбрать любой язык программирования
высокого уровня, однако рекомендуется использовать среду MATLAB. Данный пакет
предназначен для инженерных и научных вычислений, обладает достаточной гибкостью и
мощностью языка, поддерживает математические вычисления, визуализацию результатов,
разработку различных приложений, включая графический интерфейс пользователя. В рамках
данной курсовой работы запрещено использовать специальные языки имитационного
моделирования (GPSS, SIMULA и др.).
Программная модель системы массового обслуживания должна адекватно отражать
поведение элементов системы в процессе ее функционирования, т.е. в их взаимодействии
друг с другом и внешней средой, и в то же время не создавать трудностей при ее реализации.
Полнота модели должна предоставлять пользователю возможность получения оценок
необходимых характеристик работы СМО с требуемой точностью и достоверностью.
Гибкость модели должна давать возможность моделирования различных ситуаций при
варьировании структуры, алгоритмов функционирования и параметров системы массового
обслуживания. Кроме того, программная реализация должна обеспечивать одновременную
(в один и тот же момент системного времени) и независимую работу необходимого числа
элементов системы и укладываться в приемлемые затраты ресурсов ЭВМ (машинного
времени и памяти) при реализации машинного эксперимента.
В основе разработки программной реализации СМО рекомендуется использовать
принцип дискретно-событийного моделирования, при этом логика работы программы
должна соответствовать выбранному аналогу. Дискретно-событийное моделирование
используется для построения моделей, отражающих развитие системы во времени, когда
состояния переменных системы меняются мгновенно в конкретные моменты времени [2]. В
такие моменты времени происходят события, которые могут изменить состояние системы.
Именно таким образом функционируют системы массового обслуживания. Состояние
21
системы определяется как совокупность переменных, необходимых для ее описания на
определенный момент времени в соответствии с задачей исследования. Например, при
исследовании работы банка переменными состояния могут служить число занятых кассиров,
число посетителей в банке, время прибытия каждого клиента в банк и др.
Алгоритм
работы
программы
с
использованием
дискретно-событийного
моделирования в общем виде можно представить блок-схемой, представленной на рисунке 6.
Начало
Инициализация
переменных
Генерация случайных
величин
ДА
Условие
остановки
выполнено?
НЕТ
Сбор статистики
Определение
следующего
события
Конец
Рисунок 6 – Блок-схема алгоритма работы программы моделирования
системы массового обслуживания
В имитационном моделировании критерии остановки прогона могут быть различными,
например, достижение определенного времени моделирования, обработка определенного
количества требований и т.д. В каждом конкретном случае критерий остановки определяться
целью исследования и выбранным аналогом. В зависимости от того, имеет ли аналог четко
определенный график работы (магазин, банк, городской транспорт) или является системой
непрерывного действия (информационный сервер, международный аэропорт), может быть
22
поставлена задача анализа переходного или установившегося процесса, что и определяет
условие остановки моделирования.
5.2 Пользовательский интерфейс программы
Обязательным
условием
выполнения
курсовой
работы
является
разработка
пользовательского интерфейса. Один из возможных вариантов его реализации приведен на
рисунке 7. Интерфейс должен обеспечивать пользователю возможность управления
процессом моделирования, ввод исходных данных, просмотр результатов моделирования и
требуемых графиков. Желательно также предусмотреть режим визуализации процесса
моделирования: отображение процесса поступления заявок, работы обслуживающих
устройств, заполнение очереди и т.д. С целью предотвращения ошибок, связанных с
некорректным вводом данных (отрицательное число, нечисловое значение и т.п.), в
программе должна быть предусмотрена обработка таких ситуаций.
В пояснительной записке должно быть приведено описание разработанного интерфейса
и даны краткие пояснения по работе с ним.
Рисунок 7 – Пример пользовательского интерфейса СМО
23
6 Предварительные прогоны системы и построение факторного плана
Данная глава предполагает использование методов статистического планирования
экспериментов, при котором «эксперимент» представляет собой выполнение компьютерной
имитационной модели, моделирование альтернативных системных конфигураций, а также
изучение и сравнение полученных результатов. Основная цель экспериментальных
исследований с помощью имитационной модели состоит в наиболее глубоком изучении
поведения моделируемой системы. Эта информация может быть использована как для
анализа характеристик системы, так и для их оптимизации при заданных ограничениях.
Планирование экспериментов перед выполнением прогонов модели позволяет решить, какие
именно конфигурации следует создавать, чтобы получить нужную информацию при
наименьшем объеме моделирования. Успех имитационного эксперимента с моделью
системы существенным образом зависит от правильной обработки и последующего анализа
и интерпретации результатов моделирования.
6.1 Предварительные прогоны системы
Очевидно, что на основании одного прогона имитационной модели невозможно
получить достоверные данные о показателях работы системы и подобрать оптимальные
входные параметры. Для определения параметров системы с заданной точностью и
надежностью используются различные методы повышения точности измерений случайных
величин. Один из подходов заключается в том, что необходимая точность достигается за
счет многократного проведения независимых экспериментов в каждой точке факторного
плана.
Для определения необходимого количества экспериментов для каждой точки
факторного плана обычно проводится не менее 10 предварительных независимых прогонов с
входными значениями, указанными в техническом задании, и различными начальными
значениями генераторов входных параметров. Чем больше таких прогонов будет совершено,
тем выше точность расчета необходимого числа экспериментов. Затем результаты
моделирования сводятся в единую таблицу (таблица 2). Проведение предварительных
испытаний позволяет также установить свойства исследуемой системы: загрузку очереди,
процент отказов, коэффициент загрузки системы и др.
Таблица 2 – Результаты предварительных прогонов
№
1
…
10
µ̂
ρ
24
σ̂2
ε
n
Требуемое количество экспериментов определяется округлением в большую сторону
максимального результата из полученных по формуле (19) значений для каждого из
параметров, подлежащих оценке.
n=
u12−α 2σˆ 2
ε2
,
(19)
где u1−α 2 – квантиль стандартного нормального распределения порядка 1 − α 2 , (для уровня
значимости α = 0.05 u1−α 2 = u0.975 = 1.96 );
σˆ 2 – оценка дисперсии выходного параметра, полученная на основе результатов
предварительных прогонов системы;
ε – уровень точности, обычно на практике принимаемый равным 5% от оценки
математического ожидания.
Выходные параметры системы рассчитываются по следующим формулам:
—
ρ=
коэффициент использования системы ρ:
1 s
∑ ui ,
s i =1
(20)
где s – число устройств,
ui =
pi
– коэффициент использования i-ого устройства,
T
pi — время, которое i-ое устройство находилось в состоянии обработки заявки,
T — общее время моделирования;
— среднее время ожидания заявки в очереди Tq :
n
Tq = lim
∑d
i =1
n →∞
i
,
n
(21)
где d i – время пребывания i-той заявки в очереди,
n – общее число поступивших в систему требований;
— среднее время пребывания заявки в системе Ts :
n
Ts = lim
n →∞
∑w
i =1
n
i
≈ Tq + µ s ,
(22)
где wi – время пребывания i-той заявки в системе,
µ s – среднее время обработки требований;
25
— среднее по времени число требований в очереди N q :
T
N q = lim
∫ q(t )
0
T →∞
T
≈
Tq
µA
,
(23)
где q (t ) – длина очереди в текущий момент времени t,
µ A – среднее время поступления требований;
— среднее по времени число требований в системе N s :
T
N s = lim
T →∞
∫ l (t )
0
T
≈
Ts
,
µA
(24)
где l (t ) – число заявок в системе в текущий момент времени t,
— абсолютная пропускная способность системы Ca :
Ca =
nS
,
T
(25)
где nS – число заявок, успешно обработанных системой;
— относительная пропускная способность системы Cr :
Cr =
Для
nS
.
n
уменьшения
(26)
количества
экспериментов
можно
или
увеличить
число
предварительных прогонов, или воспользоваться одним из известных методов понижения
дисперсии [2].
6.2 Построение факторного плана
Эффективность машинных экспериментов существенно зависит от выбора плана
эксперимента, т.к. именно план определяет объем и порядок проведения вычислений, а
также методы обработки результатов моделирования.
В терминологии планирования экспериментов входные переменные и структурные
допущения, составляющие модель, называются факторами, а выходные показатели работы –
откликами. При проведении имитационных экспериментов различают управляемые и
неуправляемые факторы в зависимости от того, можно ли в соответствующей реальной
системе управлять ими. Решение о том, какие факторы считать фиксированными
показателями модели, а какие управляемыми, зависит от выбранного аналога.
Каждый фактор в эксперименте может принимать одно из нескольких значений,
называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из
возможных состояний рассматриваемой системы. В тоже время этот набор представляет
26
собой условия проведения одного из возможных экспериментов. При планировании
эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. При этом все факторы
должны быть управляемыми, т.е. их
уровни могут целенаправленно выбираться
экспериментатором, а к совокупности факторов предъявляются требования совместимости и
независимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а
независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне
независимо от уровня других.
Одной из стратегий, с помощью которой можно измерять взаимодействие k факторов,
является факторный план 2k. Данная стратегия предполагает выбор двух уровней каждого
фактора и проведение экспериментальных прогонов для каждой из 2k возможных
комбинаций уровней факторов (точек плана). Обычно с одним уровнем связывается знак «–»,
с другим – знак «+» (таблица 3). Знак выбирается произвольно, хотя для количественных
факторов знак «–» лучше связывать с меньшим значением фактора, чтобы избежать
путаницы. Относительно определения уровней факторов общих правил не существует.
Подходящие значения выбираются, исходя из результатов предварительных прогонов, цели
моделирования, интуитивного знания модели и из условия ограниченности откликов,
например, не должно создаваться ситуаций, когда очередь непрерывно возрастает. В целом
можно отметить, что уровни должны находиться в реальных пределах, кроме того, не
рекомендуется выбирать значения уровней, сильно отличающиеся друг от друга, поскольку в
этом случае могут быть пропущены важные аспекты отклика.
Таблица 3 – Значения уровней факторов
Фактор
–
+
Фактор 1 (x1)
Значение 1 (x1min)
Значение 2 (x1max)
Фактор 2 (x2)
Значение 1 (x2min)
Значение 2 (x2max)
Фактор 3 (x3)
Значение 1 (x3min)
Значение 2 (x3max)
В качестве факторов в системе массового обслуживания могут выступать:
–
количество обслуживающих устройств системы s;
–
ёмкость накопителя l ;
–
среднее значение интервалов времени между поступлением требований µА;
–
среднее время обработки требований µS;
–
величина кванта q при циклической системе обслуживания.
Откликами являются требующие оценки параметры системы:
–
коэффициент использования системы ρ;
–
среднее время ожидания заявки в очереди Тq;
27
–
среднее время пребывания заявки в системе Тs;
–
среднее по времени число требований в очереди Nq;
–
среднее по времени число требований в системе Ns;
–
абсолютная пропускная способность Ca;
–
относительная пропускная способность Cr.
В рамках данного курсового проекта для исследования системы требуется для каждой
точки факторного плана провести n экспериментов с различными начальными значениями
генераторов, где n – необходимое количество прогонов рассчитывается по формуле (19). Для
этого, исходя из аналога системы, необходимо определить управляемые факторы, составить
таблицу их кодирования (таблица 3) и в каждом эксперименте произвести оценку параметров
системы, выступающих в качестве откликов. Результаты моделирования по каждой точке
факторного плана должны быть сведены в таблицу и представлены в приложении
пояснительной записки. Кроме того, для каждой точки факторного плана необходимо
рассчитать среднее значение каждого отклика по результатам n независимых экспериментов
и записать данные в матрицу плана (таблица 4). Все эксперименты, результаты которых
приводятся в пояснительной записке, должны быть описаны, т.е. указаны начальные условия
и значения параметров.
Таблица 4 – Матрица и результаты моделирования для факторного плана 23
Точка Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 ρ
Тq
Тs
Nq
Ns
Ca
Cr
Плана
1
–
–
–
Rρ1 RTq1 RTs1 RNq1 RNs1 RCa1 RCr1
2
+
–
–
Rρ2 RTq2 RTs2 RNq2 RNs2 RCa2 RCr2
3
–
+
–
Rρ3 RTq3 RTs3 RNq3 RNs3 RCa3 RCr3
4
+
+
–
Rρ4 RTq4 RTs4 RNq4 RNs4 RCa4 RCr4
5
–
–
+
Rρ5 RTq5 RTs5 RNq5 RNs5 RCa5 RCr5
6
+
–
+
Rρ6 RTq6 RTs6 RNq6 RNs6 RCa6 RCr6
7
–
+
+
Rρ7 RTq7 RTs7 RNq7 RNs7 RCa7 RCr7
8
+
+
+
Rρ8 RTq8 RTs8 RNq8 RNs8 RCa8 RCr8
Переменные Rij, где i = ρ, Тq, Тs, Nq, Ns, Ca, Cr, j = 1, 2, …, 8, являются средними
значениями соответствующего отклика при моделировании i-ой точки факторного плана n
раз. Например, Rρ3 – это среднее значение отклика ρ (коэффициент использования системы),
полученное в результате n экспериментов с факторами 1 и 3 на уровне «–» и фактора 2 на
уровне «+» при различных начальных значениях генераторов входных воздействий.
28
7 Расчет эффектов. Построение уравнений регрессии
Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом
соответствующую набору данных, полученных в ходе моделирования. Под наилучшим
соответствием понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью
между прогнозируемой моделью и данными эксперимента. Такой функцией ошибки при
регрессионном анализе служит сумма квадратов ошибок [3]. Общая постановка задачи
регрессионного анализа заключается в следующем: по выборке (xi, yi) наблюдаемых
(экспериментальных) данных о значениях факторов и отклика требуется построить оценку
функциональной зависимости y от x: yˆ = fˆ ( x ) .
7.1 Расчет эффектов
Для исследования воздействия факторов на отклики системы необходимо рассчитать
главные эффекты и эффекты взаимодействия и проанализировать полученные результаты.
Главным эффектом фактора j называется средняя величина изменения в отклике,
обусловленная переходом соответствующего фактора с уровня «–» на уровень «+» при
сохранении без изменений остальных факторов. Такая средняя величина берется для всех
комбинаций уровней факторов.
Для факторного плана типа 23 главный эффект факторов 1, 2, 3 для каждого отклика
определяется соответственно формулами (27), (28) и (29)
e1 =
( R2 − R1 ) + ( R4 − R3 ) + ( R6 − R5 ) + ( R8 − R7 )
,
4
(27)
e2 =
( R3 − R1 ) + ( R4 − R2 ) + ( R7 − R5 ) + ( R8 − R6 )
,
4
(28)
e3 =
( R5 − R1 ) + ( R6 − R2 ) + ( R7 − R3 ) + ( R8 − R4 )
,
4
(29)
где ej – главный эффект j-го фактора, Ri – среднее значение соответствующего отклика j-го
фактора.
Главными эффектами измеряется средняя величина изменения в отклике, связанная с
изменением отдельного фактора. Однако, в некоторых случаях эффект фактора j1 может
зависеть от другого фактора j2. В таких случаях говорят о взаимодействии двух факторов.
Степень такого взаимодействия измеряется эффектом взаимодействия двух факторов e j1 j2 ,
который определяется как половина разности между средним эффектом фактора j1 при
нахождении фактора j2 на уровне «+» (все остальные факторы за исключением j1 и j2
остаются неизменными) и средним эффектом фактора j1 при нахождении фактора j2 на
29
уровне «–». Для факторного плана 23 эффекты взаимодействия определяются с помощью
формул (30) – (32):
e12 =
1  ( R4 − R3 ) + ( R8 − R7 ) ( R2 − R1 ) + ( R6 − R5 ) 
−
,
2 
2
2

(30)
e13 =
1  ( R6 − R5 ) + ( R8 − R7 ) ( R2 − R1 ) + ( R4 − R3 ) 
−
,
2 
2
2

(31)
e23 =
1  ( R7 − R5 ) + ( R8 − R6 ) ( R3 − R1 ) + ( R4 − R2 ) 
−
.
2 
2
2

(32)
Эффекты взаимодействия между двумя факторами полностью симметричны, т.е.
e12 = e21 , e23 = e32 и т.д.
Можно также определить эффекты взаимодействия между тремя и более факторами,
хотя их интерпретация будет уже более сложной. Для факторного плана 23 эффект
взаимодействия между двумя факторами составляет половину разности между средним
эффектом взаимодействия двух факторов 1 и 2 при нахождении фактора 3 на уровне «+» и
средним эффектом взаимодействия факторов 1 и 2 при нахождении фактора 3 на уровне «–»:
e123 =
1  ( R8 − R7 ) − ( R6 − R5 ) ( R4 − R3 ) − ( R2 − R1 ) 
−
.
2 
2
2

(33)
Эффекты взаимодействия между тремя и более факторами также являются
симметричными: e123 = e132 = e231 и т.д.
Для наглядного представления главных эффектов и эффектов взаимодействия
рекомендуется результаты расчета представить в виде таблицы 5:
Таблица 5 – Эффекты
Эффект
e1
e2
e3
e12
e13
e23
e123
ρ
Тq
Тs
Nq
Ns
Ca
Cr
Если наблюдается наличие взаимодействия между двумя или более факторами, главные
эффекты факторов, задействованных в таком существенном взаимодействии, нельзя
интерпретировать лишь как эффект перехода данного фактора с уровня «–» на уровень «+»,
поскольку величина и, возможно, направление его перемещения зависят от уровня по
30
крайней
мере
еще
одного
фактора.
Поэтому
результаты
эксперимента
следует
интерпретировать более обобщенно.
Поскольку отклики Ri являются случайными величинами, эффекты также являются
случайными. Чтобы установить, являются ли эффекты «реальными», т.е. отличными от тех,
которые объясняются случайными колебаниями, необходимо получить оценку их дисперсии.
Для этого используются различные методы, наиболее простой заключается в повторе всего
факторного плана n раз и получении n независимых значений каждого эффекта. Затем на их
основе строятся доверительные интервалы для ожидаемых эффектов. Если доверительный
интервал для определенного эффекта не содержит нуль, можно считать данный эффект
реальным, в противном случае статистических доказательств его наличия нет. При больших
значениях n ширина доверительного интервала уменьшается, и, следовательно, определить
реальность эффекта проще.
Если эффекты взаимодействия несущественны, возможно построение дробного
факторного плана. Но решение строить дробный факторный план должно быть обосновано.
Например, это допустимо в том случае, когда известно, что оптимальное значение
коэффициента использования системы может быть получено за счет изменения только
одного фактора.
7.2 Построение уравнений регрессии
Уравнения регрессии позволяют аналитически задать зависимость между факторами,
влияющими на показатели работы, и откликами. Регрессионная зависимость может быть
записана как в виде линейной, так и нелинейной функции. В курсовой работе для поиска
зависимости для каждого из откликов используем модель измерений следующего вида:
yi = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 + a123 x1 x2 x3 ,
(34)
где yi - значение соответствующего отклика в i-ой точке факторного плана,
a0, a1, a2, a3, a12, a13, a23, a123 – неизвестные коэффициенты уравнения регрессии,
xj – значение j-го фактора.
В этом случае для каждого выходного параметра (отклика) получаем систему из восьми
уравнений с восемью неизвестными:
31
 y1 = a0 + a1 x1min + a2 x2 min + a3 x3min + a12 x1min x2min + a13 x1min x3min + a23 x2 min x3min + a123 x1min x2 min x3min

 y2 = a0 + a1 x1max + a2 x2 min + a3 x3min + a12 x1max x2min + a13 x1max x3min + a23 x2 min x3min + a123 x1max x2 min x3min
 y3 = a0 + a1 x1min + a2 x2 max + a3 x3min + a12 x1min x2max + a13 x1min x3min + a23 x2 max x3min + a123 x1min x2max x3min

 y4 = a0 + a1 x1max + a2 x2 max + a3 x3min + a12 x1max x2max + a13 x1max x3min + a23 x2 max x3min + a123 x1max x2max x3min

 y5 = a0 + a1 x1min + a2 x2 min + a3 x3max + a12 x1min x2min + a13 x1min x3max + a23 x2 min x3max + a123 x1min x2min x3max
 y6 = a0 + a1 x1max + a2 x2 min + a3 x3max + a12 x1max x2min + a13 x1max x3max + a23 x2 min x3max + a123 x1max x2 min x3min

 y7 = a0 + a1 x1min + a2 x2 max + a3 x3max + a12 x1min x2max + a13 x1min x3 max + a23 x2 max x3max + a123 x1min x2 max x3max
y = a + a x
0
1 1max + a2 x2max + a3 x3max + a12 x1max x2 max + a13 x1max x3max + a23 x2 max x3max + a123 x1max x2max x3max
 8
где y1, …, y8 – значения откликов в соответствующих точках факторного плана,
a0, …, a123 – неизвестные коэффициенты,
ximin, ximax (i = 1, …, 3) – значения соответствующих уровней управляемых факторов,
задаваемые схемой кодирования (таблица 2).
Если определить системы не равен нулю, система будет иметь единственное решение,
определяемое формулой:
a = A -1b ,
(35)
 a0 
a 
 1 
где a =  ⋮  – вектор неизвестных коэффициентов,
 
 a23 
 a123 
1
1

A = ⋮

1
1
x1min
x1max
x1min
x1max
x2 min
x2 min
…
…
x2max
x2max
⋱
… x2max x3max
… x2max x3max
x2min x3min
x2min x3min
x1min x2 min x3min 
x1max x2min x3min 
 – матрица коэффициентов системы,
⋮

x1min x2 max x3max 
x1max x2max x3max 
 y1 
b=  ⋮  – вектор значений откликов.
 y8 
Для проверки полученного уравнения регрессии достаточно поочередно для каждого
отклика сообщить приращение каждому в отдельности фактору. Затем необходимо
проанализировать полученное приращение отклика, соотнося его с приращением фактора.
Все представленные результаты должны быть прокомментированы.
32
8 Расчет экономической оценки вариантов системы
По результатам проведенного моделирования, используя полученную статистику,
требуется провести оптимизацию заданной системы массового обслуживания. При
выработке рекомендаций по оптимизации необходимо руководствоваться следующей
экономической оценкой вариантов системы:
I = Eн c1s + c2 ( N s − N q ) + c3 ( s − N s + N q ) + c4T (µ −А1 − Са ) + с5TN q ,
(36)
где Eн = 0.15 (руб/год)/руб – нормативный коэффициент экономической эффективности
капитальных вложений,
с1– цена одного устройства,
с2 и с3 – годовые текущие затраты на обслуживание работающего и бездействующего
устройства соответственно,
с4 – потери от невыполнения одного требования,
с5 – приведенные затраты на содержание одного требования,
Т = 2.5×107 – годовой фонд времени работы системы.
Оптимальными считаются такие значения входных параметров модели, при которых
система массового обслуживания успешно функционирует при наименьших затратах на ее
реализацию. Таким образом, задача расчета оптимальных входных параметров сводится к
нахождению минимума функции экономической оценки системы. Для решения данной
задачи можно воспользоваться одним из известных методов нахождения экстремумов
функции, например, одним из градиентных методов оптимизации. Другой подход
заключается в пошаговом расчете значений функции экономической оценки во множестве
точек факторного пространства.
Расчет и выбор оптимальных параметров системы рекомендуется начинать с анализа
функции экономической оценки системы. В первую очередь следует выявить параметры,
оказывающие наибольшее влияние на значение функции экономических потерь. В
зависимости от заданных параметров функции в одних случаях может быть выгодным
увеличить количество обслуживающих устройств или емкость накопителя с целью снижения
числа требований в очереди и отказов и минимизации за счет этого потерь от содержания и
невыполнения требований. В других системах стоимость устройств обслуживания и затраты
на их содержание могут значительно превышать потери от невыполнения требований, тогда
выгоднее окажется уменьшать число обслуживающих аппаратов и т.д.
Используя уравнения регрессии, полученные на предыдущем шаге, экономическую
оценку исследуемой системы можно выразить через управляемые факторы и их
произведения. Используя данную зависимость можно рассчитать экономические потери в
33
каждой из исследуемых точек факторного плана. Однако расчета только лишь в точках
факторного плана будет недостаточно, т.к. велика вероятность, что искомый минимум
окажется между значениями уровней факторов, выбранных для проведения факторного
плана. Чтобы этого избежать, необходимо в соответствии с выбранным аналогом для
каждого управляемого фактора определить область изменения его значений, а также
приемлемый шаг дискретизации и произвести расчет экономической оценки для всех точек
определенного таким образом факторного пространства. Найдя минимум из полученного
множества оценок, следует обратить внимание на соответствующие ему отклики системы.
Если они окажутся приемлемыми для выбранного аналога (допустимый процент отказов,
допустимое время ожидания в очереди и т.д.), то данные входные параметры могут быть
приняты за оптимальные. Если же найденному минимуму экономической оценки
соответствуют недопустимые значения откликов, то в качестве оптимального может быть
рекомендован более дорогой вариант реализации системы, но обеспечивающий при этом
более эффективное ее использование.
При подборе оптимальных значений параметров, не оказывающих существенного
влияния на экономические потери, следует исходить из расчета более эффективного
использования системы: стремится к увеличению пропускной способности и коэффициента
использования, уменьшению числа отказов, числа требований в очереди и т.д.
34
Список использованных источников
1. Вероятностные разделы математики / Под ред. Максимова Ю.Д. – СПб.: «Иван
Федоров», 2001. – 592 с.
2. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. – СПб.:
Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.
3. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. 4-е изд. – М.: Высшая школа,
2005. – 343 с.
35