ÈÞÍÜ ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ 2013 ÌÀÉ Þ ¹3 ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ  íîìåðå: Ó×ÐÅÄÈÒÅËÜ Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê ' # ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ À.Ë.Ñåìåíîâ % ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí, Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà) ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ À.Â.Àíäæàíñ, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ % ! ! ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ Èñòîðèÿ, ïîëíàÿ çàãàäîê. Ë.Òêà÷åâ ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è Ì2301Ì2308, Ô2308Ô2314 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2286Ì2293, Ô2293Ô2299 Ðàâíûå ïëîùàäè è ïîâîðîòû. Â.Ðàñòîðãóåâ «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠÇàäà÷è Óäèâèòåëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ, èëè Ðàññêàç î ãîôðå. Ñ.Äâîðÿíèíîâ ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Òåðìîìåòðèÿ !" !& !' ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Ìíîæåñòâà è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè. Ë.Àëüòøóëåð Îðàëî è êðûëî. Â.Âûøèíñêèé, À.Ñòàñåíêî Ýòà ìàíÿùàÿ ãëóáèíà. À.Ñòàñåíêî ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Á.Ìóêóøåâ "! ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ñêîëüêî ìîæíî æäàòü? È.Àêóëè÷ "$ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Âîò ÷òî-òî ñ ãîðî÷êè ñïóñòèëîñü... À.×åðíîóöàí # ## ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XXI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Ðåãèîíàëüíûé ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå À.Í.Êîëìîãîðîâ Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí, È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð Ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä, èëè Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà. À.Àíäðååâ, À.Ïàíîâ ! " ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ Ê 150-ËÅÒÈÞ À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ Çíà÷åíèå ìàòåìàòèêè äëÿ êîðàáëåñòðîåíèÿ. À.Êðûëîâ Êîðàáåëüíûé èíæåíåð-ñàìîó÷êà. À.Êðûëîâ Î âîëíîâîì ñîïðîòèâëåíèè âîäû è î ñïóòíîé âîëíå. À.Êðûëîâ #$ #' ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ I II III IV Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüÿì À.Êðûëîâà Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé Ê T 2013/¹3 1 5 0 - Ë Å ÒÊ ÂÈÀ ÍÞ À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ  àâãóñòå íûíåøíåãî ãîäà èñïîëíÿåòñÿ 150 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Àëåêñåÿ Íèêîëàåâè÷à Êðûëîâà (18631945) âûäàþùåãîñÿ ó÷åíîãî-ýíöèêëîïåäèñòà, êîðàáëåñòðîèòåëÿ, ìåõàíèêà, ìàòåìàòèêà è èíæåíåðà, àêàäåìèêà. Âñþ æèçíü Êðûëîâ ñòðîèë êîðàáëè è ó÷èë ñòðîèòü êîðàáëè à äëÿ ýòîãî íóæíû çíàíèÿ èç ñàìûõ ðàçíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ îáëàñòåé. Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ çíàë î êîðàáëÿõ, ïî-âèäèìîìó, âñå îò íåîáõîäèìûõ ïðè ñòðîèòåëüñòâå ñóäíà ñëåñàðíûõ èíñòðóìåíòîâ äî ñëîæíåéøèõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé, ñâÿçàííûõ ñî âñåìè ñòîðîíàìè ìîðåõîäíîãî äåëà. Îí àâòîð ôóíäàìåíòàëüíîé «Òåîðèè êà÷êè êîðàáëÿ», èçîáðåòàòåëü ìíîæåñòâà ïîëåçíûõ ïðèáîðîâ (â òîì ÷èñëå ìåõàíè÷åñêîãî ïðèáîðà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé), íå ãîâîðÿ óæå î ìíîæåñòâå íàó÷íûõ ðàáîò è ó÷åáíûõ ïîñîáèé ïî ìåõàíèêå, ìàòåìàòèêå è óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Åñòü ó íåãî è òðóäû ïî àñòðîíîìèè, è òðóäû ïî ïðàêòè÷åñêîé îïòèêå. Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ îñòàâèë âîñïîìèíàíèÿ î ñâîåé æèçíè à æèçíü îí ïðîæèë äîëãóþ, ÿðêóþ è èíòåðåñíóþ. Âîñïîìèíàíèÿ ïðåâîñõîäíî íàïèñàíû, ìû âñåì ñîâåòóåì íàéòè èõ è ïðî÷èòàòü. Íî, íàäî ñêàçàòü, è íàó÷íûå ðàáîòû, è äîêëàäíûå çàïèñêè ïî ìîðñêîìó ìèíèñòåðñòâó îí òîæå óìåë ïèñàòü ÿñíî, îáðàçíî è äîõîä÷èâî. Ïðåäëàãàåì âàøåìó âíèìàíèþ òðè íåáîëüøèå ñòàòüè À.Í.Êðûëîâà, âîøåäøèå â êíèãó «Àêàäåìèê À.Í.Êðûëîâ. Âîñïîìèíàíèÿ è î÷åðêè» (Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1956). Çíà÷åíèå ìàòåìàòèêè äëÿ êîðàáëåñòðîèòåëÿ À.ÊÐÛËΠ§ 1. ÎÁÛ×ÍÎ Ñ×ÈÒÀÞÒ, ×ÒÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÑËÓ- æèò îñíîâîþ îáðàçîâàíèÿ èíæåíåðà è ÷òî âñÿêèé èíæåíåð äîëæåí çíàòü ìàòåìàòèêó. Íàñòîÿùèé î÷åðê ïîñâÿùåí ðàññìîòðåíèþ âîïðîñà î òîì, â êàêîé ìåðå òàêîé âçãëÿä ïðàâèëåí èëè íåïðàâèëåí, à âìåñòå ñ òåì è âîïðîñó î òîì, êîãî è êàê ó÷èòü ìàòåìàòèêå. Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ñâîåì ñîñòîÿíèè íàñòîëüêî îáøèðíà è ðàçíîîáðàçíà, ÷òî ìîæíî ñìåëî ñêàçàòü, ÷òî â ïîëíîì îáúåìå îíà óìó ÷åëîâå÷åñêîìó íåïîñòèæèìà, à ñëåäîâàòåëüíî, äîëæåí áûòü ñäåëàí ñòðîãèé âûáîð òîãî, ÷òî èç ìàòåìàòèêè íóæíî çíàòü è çà÷åì íóæíî çíàòü èíæåíåðó äàííîé ñïåöèàëüíîñòè.  ýòîì âûáîðå íàì ìîæåò ïîìî÷ü è ñàìîå îáùåå îáîçðåíèå èñòîðè÷åñêîãî õîäà ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè è ïðàêòè÷åñêèõ åå ïðèëîæåíèé. § 2. Åâðîïåéñêèå íàðîäû óíàñëåäîâàëè ñâîþ êóëüòóðó îò äðåâíèõ ãðåêîâ, íàñåëÿâøèõ ïîáåðåæüå âîñòî÷íîé ÷àñòè Ñðåäèçåìíîãî ìîðÿ, ãëàâíûì îáðàçîì òåïåðåøíþþ Ãðåöèþ. Çäåñü, â îñîáåííîñòè â Àôèíàõ, çà 400 ëåò äî íàøåé ýðû óæå áûëà ïîïóëÿðíà ôèëîñîôèÿ è êàê îäíà èç åå îòðàñëåé ëîãèêà, ò. å. èñêóññòâî äåëàòü ïðàâèëüíûå óìîçàêëþ÷åíèÿ èç äàííûõ ïðåäïîñûëîê. Ïðè çíàìåíèòûõ Ïëàòîíå è Àðèñòîòåëå îáðàçöîâûì ïðèìåðîì ëîãèêè ñëóæèëà ãåîìåòðèÿ, íå â ñìûñëå ïðîìûøëåííîãî çåìëåìåðèÿ è îïðåäåëåíèÿ ãðàíèö çåìåëüíûõ ó÷àñòêîâ, à êàê ÷èñòî îòâëå÷åííàÿ íàóêà, èçó÷àâøàÿ èäåàëüíûå îáðàçû, åþ ñàìîþ ñîçäàííûå, ïî ñâîéñòâàì ñâîèì ñîîòâåòñòâóþùèå ðåàëüíûì, èìåþùèìñÿ â ïðèðîäå. Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ Êðûëîâ Ýòî èçó÷åíèå îñíîâûâàëîñü íà íåáîëüøîì ÷èñëå àêñèîì, îïðåäåëåíèé è íà òðåõ ïîñòóëàòàõ. ß íå áóäó ïåðå÷èñëÿòü ýòèõ àêñèîì, âàì èçâåñòíûõ, à ïðèâåäó Ê 150-ËÅÒÈÞ ëèøü ïîñòóëàòû, î êîòîðûõ â ñîâðåìåííûõ ðóêîâîäñòâàõ ïî ãåîìåòðèè ÷àñòî íå óïîìèíàåòñÿ ñîâñåì. Âîò îíè. 1) ×åðåç äâå äàííûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 2) Îãðàíè÷åííàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà ïðÿìîþ æå íà ëþáóþ äëèíó. 3) Êîãäà äàí ðàäèóñ, îäèí êîíåö êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â äàííîé òî÷êå, òî ýòèì ðàäèóñîì ìîæåò áûòü îïèñàí êðóã. Çàòåì âñå ó÷åíèå, ñîñòàâëÿþùåå, ïî òåïåðåøíåé òåðìèíîëîãèè, ýëåìåíòàðíóþ ãåîìåòðèþ, ïðèâîäèòñÿ, ñâîäÿ âñå äîêàçàòåëüñòâà ÷èñòî ëîãè÷åñêèìè ðàññóæäåíèÿìè ê àêñèîìàì è âñå ïîñòðîåíèÿ ê ñêàçàííûì ïîñòóëàòàì. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêëà òà ãåîìåòðèÿ, êîòîðàÿ ñ íåïîäðàæàåìûì ñîâåðøåíñòâîì èçëîæåíà ïðèìåðíî çà 250 ëåò äî í.ý. Åâêëèäîì. Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî â òî âðåìÿ ãåîìåòðèþ èçó÷àëè âçðîñëûå þíîøè, à âåðíåå, â ÷àñû äîñóãà çðåëûå áîðîäàòûå ìóæè, èñêóøåííûå â ñëîâîïðåíèÿõ ïåðåä ñóäèëèùàìè è àðåîïàãàìè, èáî ëèøü îíè ìîãëè îöåíèòü âñþ òîíêîñòü ëîãèêè Åâêëèäà; òåïåðü æå â Àíãëèè â áóêâàëüíûõ ïåðåâîäàõ ìó÷àþò 12- è 13ëåòíèõ ìàëü÷èêîâ, è ìîæíî ëèøü óäèâëÿòüñÿ, êàê îáùåñòâî «Çàùèòû äåòåé îò æåñòîêîãî îáðàùåíèÿ è ïîêðîâèòåëüñòâà æèâîòíûì» ýòî äîïóñêàåò. Ïîïðîáóéòå âçÿòü Åâêëèäà â ïåðåâîäå è ïîñìîòðèòå, êàêîå óìñòâåííîå íàïðÿæåíèå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðîñëåäèòü õîä åãî äîêàçàòåëüñòâ, íî çàòî êàêîâà èçóìè- Âåðôü äåðåâÿííîãî ñóäîñòðîåíèÿ À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ ! òåëüíàÿ ëîãè÷íîñòü è ñòðîãîñòü èõ è êàêîâà èõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Êîíå÷íî, ýòî èçó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò, ìîæåò áûòü, è ïðåâîñõîäíóþ óìñòâåííóþ òðåíèðîâêó, íî âî âñÿêîé òðåíèðîâêå íàäî ñîáëþäàòü äîëæíóþ ìåðó.  øêîëå æå Ïëàòîíà çàðîäèëîñü è ó÷åíèå î êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèÿõ (ïî ïîâîäó çíàìåíèòîé çàäà÷è îá óäâîåíèè êóáà), êîòîðîå âïîñëåäñòâèè, òàêæå çà 250 ëåò äî í.ý., áûëî äîâåäåíî Àïîëëîíèåì äî òàêîé ñòåïåíè ïîëíîòû è ñîâåðøåíñòâà, ÷òî õîòÿ âàñ è ìó÷èëè â êóðñå àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçó÷åíèåì ñâîéñòâ ýòèõ êðèâûõ, íî ýòî ñîñòàâëÿåò ëèøü ìàëóþ äîëþ òîãî, ÷òî íàõîäèòñÿ â ñî÷èíåíèè Àïîëëîíèÿ è ÷òî èì ñàìèì ñîçäàíî. Åñëè ê ýòîìó ïðèñîåäèíèòü åùå ñî÷èíåíèÿ Àðõèìåäà, âåëè÷àéøåãî èç ìàòåìàòèêîâ âñåõ âðåìåí è íàðîäîâ, òî âû ïîëó÷èòå íåêîòîðîå ñóæäåíèå î òîì, êàêîâ áûë ãåíèé äðåâíèõ ãðåêîâ. Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî âñå â ýòèõ ñî÷èíåíèÿõ èçëàãàåòñÿ ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè ñ ïîëíîþ «åâêëèäîâîé» ñòðîãîñòüþ ðàññóæäåíèé, íå ïðèáåãàÿ ê òîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèìâîëèñòèêå, ê êîòîðîé ìû òàê ïðèâûêëè òåïåðü. Õîòÿ îò äðåâíèõ îñòàëèñü ãèãàíòñêèå ïî ðàçìåðàì è èçóìèòåëüíûå ïî êðàñîòå è ïðîïîðöèîíàëüíîñòè çäàíèÿ è ñîîðóæåíèÿ, íî ñîâåðøåííî íå èçâåñòíî, êàêèì îáðàçîì îíè ðàçðàáàòûâàëè ïðîåêòû ýòèõ ñîîðóæåíèé è îêàçûâàëà ëè èì â ýòîì ïîìîùü ãåîìåòðèÿ. Ìíîãîå çàñòàâëÿåò äóìàòü, ÷òî ýòà ïîìîùü áûëà íè÷òîæíà. § 3. Ñ çàâîåâàíèåì äðåâíåãî ìèðà ðèìëÿíàìè îòâëå÷åííàÿ, ÷èñòî ëîãè÷åñêàÿ íàóêà ãðåêîâ ïîñòåïåííî " ÊÂÀÍT 2013/¹3 ïðèõîäèò â óïàäîê, ñìåíÿÿñü ïðàêòè÷åñêîé àðõèòåêòóðîé, ãèäðàâëèêîé è çåìëåìåðèåì, à â IV è V ââ., ìîæíî ñêàçàòü, âñÿêàÿ íàóêà óòðà÷èâàåòñÿ è çàìèðàåò íà öåëîå òûñÿ÷åëåòèå. Íî ïðàêòèêà è òåõíèêà êàê èñêóññòâî, íåçàâèñèìî îò óòðàòû îòâëå÷åííîé íàóêè, ïðîäîëæàþò ðàçâèâàòüñÿ, è ñîçäàåòñÿ êàê áû ðàçðûâ ìåæäó îòâëå÷åííîþ íàóêîþ è ïðàêòèêîé. Ìû òåïåðü ñ ïîíÿòèåì î ìàòåìàòèêå ñâÿçûâàåì ïîíÿòèå î âû÷èñëåíèÿõ â ñàìîì îáùåì è îáøèðíîì çíà÷åíèè ýòîãî ñëîâà.  äðåâíîñòè îãðàíè÷èâàëèñü ëèøü ïðîèçâîäñòâîì ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé, ïðè÷åì îíî âõîäèëî ãëàâíûì îáðàçîì ëèøü â àñòðîíîìèþ, â êîòîðîé áûëî äîâåäåíî äî çíà÷èòåëüíîãî ñîâåðøåíñòâà, íåñìîòðÿ íà íåóäîáñòâà ïèñüìåííîé íóìåðàöèè äðåâíèõ ãðåêîâ. Ñ XVI â. â Åâðîïå çàðîæäàåòñÿ ïðèøåäøåå îò àðàáîâ èñêóññòâî áóêâåííîãî èñ÷èñëåíèÿ è ôîðìàëüíàÿ àëãåáðà, êîòîðàÿ, ïîñòåïåííî ñîâåðøåíñòâóÿñü, ê ñåðåäèíå XVII â. äîñòèãàåò çíà÷èòåëüíîãî ðàçâèòèÿ. § 4. Çäåñü ïðèõîäèòñÿ óïîìÿíóòü âåëèêîãî ôèëîñîôà è ìàòåìàòèêà Äåêàðòà; ñ îäíîé ñòîðîíû, îí ñâîèì àôîðèçìîì «Cogito ergo sum» (Ìûñëþ çíà÷èò ñóùåñòâóþ) êàê áû âíîâü íàëîæèë íà ìàòåìàòèêó òîò îòïå÷àòîê îòâëå÷åííîñòè, êîòîðûé îíà íå òîëüêî ñîõðàíèëà è äîíûíå, íî êîòîðûé îñîáåííî óñèëèëñÿ çà ïîñëåäíèå 70 ëåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Äåêàðò ïðåîáðàçîâàë ãåîìåòðèþ ââåäåíèåì â íåå àëãåáðû è åå âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå áûëè ñîâåðøåííî ÷óæäû äðåâíèì.  1670-õ ãîäàõ Íüþòîí ñîçäàåò «èñ÷èñëåíèå ôëþåíò è ôëþêñèé», ò.å. òåêóùèõ êîëè÷åñòâ, êàê îí åãî íàçûâàåò. Íåçàâèñèìî îò íåãî â 1680-õ ãîäàõ ýòî æå èñ÷èñëåíèå íàõîäèòñÿ è îïóáëèêîâûâàåòñÿ ôèëîñîôîì Ëåéáíèöåì è íàçûâàåòñÿ èì «èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ». Íüþòîí âìåñòå ñ òåì â èçäàííîì èì â 1686 ã. ñî÷èíåíèè «Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè» ðàçâèâàåò è êàê áû âíîâü ñîçäàåò äèíàìèêó, ïåðâûå íà÷àëà êîòîðîé áûëè ïîëîæåíû çà 50 ëåò ïåðåä òåì Ãàëèëååì, è äîâîäèò ýòó íàóêó äî âûñîêîé ñòåïåíè ðàçâèòèÿ ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèì ïóòåì, ïî îáðàçöó äðåâíèõ, è ïðèëàãàåò ñîçäàííîå èì ó÷åíèå ê óñòàíîâëåíèþ ñèñòåìû ìèðà è ïîçíàíèþ è ïðèëîæåíèÿì çàêîíà òÿãîòåíèÿ, èì îòêðûòîãî, ê èçó÷åíèþ äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë.  òå÷åíèå XVIII â. àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ äîâîäèòñÿ äî âûñîêîé ñòåïåíè ñîâåðøåíñòâà; íà åãî îñíîâå ðàçâèâàåòñÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, êîòîðàÿ ñïåðâà, ïî ïðèìåðó Íüþòîíà, ïðèëàãàåòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ê èçó÷åíèþ äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë è îò÷àñòè ê áàëëèñòèêå. Ñ ñåðåäèíû XVIII â. ìåõàíèêà íà÷èíàåò ïðèëàãàòüñÿ ê ðåøåíèþ âîïðîñîâ òåõíè÷åñêèõ íå òîëüêî èç îáëàñòè ñòàòèêè, êîòîðàÿ áûëà ñîçäàíà Àðõèìåäîì, íî è äèíàìèêè. Ñ XIX â. òåõíè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ ìåõàíèêè êàê â îáëàñòè ñòàòèêè, òàê è äèíàìèêè âñå áîëåå è áîëåå ïðîíèêàþò â òåõíèêó è âñå áîëåå è áîëåå åå îõâàòûâàþò. § 5. Íî è ìàòåìàòèêà íå ñòîèò íà ìåñòå, îíà ïðîäîëæàåò ðàçâèâàòüñÿ â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ, êîòîðûå ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü òàê: à) ðàçâèòèå âû÷èñëèòåëüíûõ, â îáøèðíîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà, ïðîöåññîâ; á) èçó÷åíèå ñâîéñòâ ôóíêöèé, âîçíèêàþùèõ ïðè âû÷èñëåíèÿõ, óñòàíîâëåíèå ñòðîãîñòè è ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ñàìèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññîâ; â) îáùåå èçó÷åíèå ñâîéñòâ ÷èñåë; ã) èçó÷åíèå ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà è îáîáùåíèå èõ; ä) èçó÷åíèå ñïåöèàëüíî àëãåáðàè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ñâîéñòâ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé; å) óñîâåðøåíñòâîâàíèå ñïîñîáîâ ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé, ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ èõ è ïðèëîæåíèÿ ýòèõ ìåòîäîâ. Êàæäàÿ èç ýòèõ îáëàñòåé ðàçðîñëàñü òàê, ÷òî ëèòåðàòóðà ïî êàæäîé èç íèõ â îòäåëüíîñòè ñîñòàâëÿåò öåëóþ áèáëèîòåêó èç ìíîãèõ ñîòåí, ìíîãèõ òûñÿ÷, à èíîãäà è ìíîãèõ äåñÿòêîâ òûñÿ÷ æóðíàëüíûõ ñòàòåé, ðóêîâîäñòâ è òðàêòàòîâ. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà òàêæå ðàçðîñëàñü íå â ìåíüøåé ñòåïåíè; â íåå âõîäÿò: à) ÷èñòî òåîðåòè÷åñêàÿ èëè òàê íàçûâàåìàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ìåõàíèêà; á) «íåáåñíàÿ ìåõàíèêà», ò. å. ïðèëîæåíèå ìåõàíèêè ê èçó÷åíèþ äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë; â) òàê íàçûâàåìàÿ ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà, ò.å. ïðèëîæåíèå ìåõàíèêè ê âîïðîñàì èçó÷åíèÿ ìåõàíèçìîâ è ïîñòðîåíèÿ èõ; ã) òåîðèÿ óïðóãîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ, èçó÷àþùàÿ âìåñòå ñî «ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêîé» ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ, ðàñ÷åòû ðàçíîãî ðîäà êîíñòðóêöèé è âîçíèêàþùèõ â íèõ íàïðÿæåíèé; ä) íàêîíåö, ñþäà æå íàäî îòíåñòè ìàòåìàòè÷åñêóþ ôèçèêó ñ åå ïîäðàçäåëåíèÿìè, êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò îáøèðíûå ïðèëîæåíèÿ â ïðàêòèêå è òåõíèêå. Ëèòåðàòóðà ïî êàæäîìó èç ýòèõ îòäåëîâ ãðîìàäíà è, ìîæíî ñêàçàòü, ïðàêòè÷åñêè íåîáîçðèìà. § 6. Ïðè íàøåì áåãëîì îáçîðå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè ìû îáðàòèëè âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÷èñòûé ìàòåìàòèê, êîòîðîãî ìû áóäåì íàçûâàòü «ãåîìåòð», òðåáóåò îò ñâîåé íàóêè ìàòåìàòèêè ïðåæäå âñåãî áåçóêîðèçíåííîé ëîãè÷íîñòè è ñòðîãîñòè ñóæäåíèé. Îäíî âðåìÿ â êîíöå XVIII â. ìàòåìàòèêà êàê áû îò÷àñòè ñáèëàñü ñ ýòîãî ïóòè, íî óæå â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX â. áûëà íà íåãî âíîâü íåóêëîííî íàïðàâëåíà Ãàóññîì, Àáåëåì è Êîøè; íà÷èíàÿ æå ñ ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XIX â., ïî ïî÷èíó Âåéåðøòðàññà, â ìàòåìàòèêó âíîâü ââîäèòñÿ, ìîæíî ñêàçàòü, «åâêëèäîâà ñòðîãîñòü», à ñ íåþ îòâëå÷åííîñòü. Ìàòåìàòèêà ñàìà ñîçäàåò òå èäåàëüíûå îáðàçû, íàä êîòîðûìè îíà îïåðèðóåò, íå òîëüêî íå ïðèáåãàÿ ïðè ýòîì ê íàãëÿäíîñòè, íî òùàòåëüíî èçãîíÿÿ èç ñâîèõ ðàññóæäåíèé è äîêàçàòåëüñòâ âñÿêóþ íàãëÿäíîñòü, âñÿêîå ñâèäåòåëüñòâî ÷óâñòâ. Ãåîìåòð íå òîëüêî íå âåðèò ñâîèì ÷óâñòâàì, íî íå ïðèçíàåò ñàìîãî èõ ñóùåñòâîâàíèÿ; îí åñòü äåêàðòîâî ìûñëÿùåå ñóùåñòâî. Ãåîìåòðó íåò äåëà äî òîãî, åñòü ëè â ïðèðîäå òàêèå ïðåäìåòû, ê êîòîðûì åãî îáðàçû îòíîñÿòñÿ, äëÿ íåãî âàæíî, ÷òî îí èõ ñîçäàë â ñâîåì óìå, ïðèïèñàë èì Ê 150-ËÅÒÈÞ îïðåäåëåíèÿ, àêñèîìû è äîïóùåíèÿ, ïîñëå ÷åãî îí ñ ïîëíîþ ëîãè÷íîñòüþ è ñòðîãîñòüþ ðàçâèâàåò ñëåäñòâèÿ ýòèõ àêñèîì è äîïóùåíèé, íå ââîäÿ ïðè ýòîì íèêàêèõ äðóãèõ àêñèîì è íèêàêèõ íîâûõ äîïóùåíèé, äî îñòàëüíîãî åìó äåëà íåò. § 7. ßñíî, ÷òî ïðàêòèê, òåõíèê, êàêîâûì è äîëæåí áûòü âñÿêèé èíæåíåð, ñìîòðèò íà äåëî ñîâåðøåííî èíà÷å. Îí äîëæåí ðàçâèâàòü íå òîëüêî ñâîé óì, íî è ñâîè ÷óâñòâà òàê, ÷òîáû îíè åãî íå îáìàíûâàëè; îí äîëæåí íå òîëüêî óìåòü ñìîòðåòü, íî è âèäåòü, îí äîëæåí óìåòü íå òîëüêî ñëóøàòü, íî è ñëûøàòü, íå òîëüêî íþõàòü, íî è ÷óÿòü; ñâîè æå óìîçàêëþ÷åíèÿ îí äîëæåí ñâîäèòü íå ê ðîáêîìó äåêàðòîâó «ìûñëþ çíà÷èò ñóùåñòâóþ», à ê òâåðäîìó, ïðàêòè÷åñêîìó: «ÿ ýòî âèæó, ñëûøó, îñÿçàþ, ÷óþ çíà÷èò ýòî òàê è åñòü». Äëÿ ãåîìåòðà ìàòåìàòèêà ñàìà ïî ñåáå åñòü êîíå÷íàÿ öåëü, äëÿ èíæåíåðà ýòî åñòü ñðåäñòâî, ýòî åñòü èíñòðóìåíò òàêîé æå, êàê øòàíãåëü, çóáèëî, ðó÷íèê, íàïèëüíèê äëÿ ñëåñàðÿ èëè ïîëóñàæåíîê, òîïîð è ïèëà äëÿ ïëîòíèêà. Èíæåíåð äîëæåí ïî ñâîåé ñïåöèàëüíîñòè óìåòü âëàäåòü ñâîèì èíñòðóìåíòîì, íî îí âîâñå íå äîëæåí óìåòü åãî äåëàòü; ïëîòíèê íå äîëæåí óìåòü âûêîâàòü èëè íàâàðèòü òîïîð, íî äîëæåí óìåòü îòëè÷èòü õîðîøèé òîïîð îò ïëîõîãî; ñëåñàðü íå äîëæåí óìåòü ñàì íàñåêàòü íàïèëüíèê, íî äîëæåí âûáðàòü òîò íàïèëüíèê, êîòîðûé åìó íàäî. Òàê âîò, ãåîìåòðà, êîòîðûé ñîçäàåò íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå âûâîäû, ìîæíî óïîäîáèòü íåêîåìó âîîáðàæàåìîìó óíèâåðñàëüíîìó èíñòðóìåíòàëüùèêó, êîòîðûé ãîòîâèò íà ñêëàä èíñòðóìåíò íà âñÿêóþ ïîòðåáó; îí äåëàåò âñå, íà÷èíàÿ îò êóâàëäû è êîí÷àÿ òîí÷àéøèì ìèêðîñêîïîì è òî÷íåéøèì õðîíîìåòðîì. Ãåîìåòð ñîçäàåò ìåòîäû ðåøåíèÿ âîïðîñîâ, íå òîëüêî âîçíèêàþùèõ âñëåäñòâèå ñîâðåìåííûõ íàäîáíîñòåé, íî è äëÿ áóäóùèõ, êîòîðûå âîçíèêíóò, ìîæåò áûòü, çàâòðà, ìîæåò áûòü, ÷åðåç òûñÿ÷ó ëåò. Âîîáðàçèòå æå òåïåðü èíæåíåðà, âîøåäøåãî â ýòîò ñêëàä è æåëàþùåãî â íåì íàéòè íóæíûé åìó èíñòðóìåíò. Îí ïðåæäå âñåãî áóäåò ïîðàæåí îãðîìíûì, ïîäàâëÿþùèì êîëè÷åñòâîì âñåãî íàêîïëåííîãî çà 2500 ëåò ìàòåðèàëà, åãî èçóìèòåëüíûì ðàçíîîáðàçèåì. Ïðè áîëåå âíèìàòåëüíîì ðàññìîòðåíèè îí çàìåòèò ñðåäè ìàññû äðóãèõ âåùåé, êàæóùèõñÿ ïðîñòûìè, è íåêîòîðûå ñëîæíåéøèå àïïàðàòû íåïîíÿòíîãî åìó íàçíà÷åíèÿ, íî èçóìèòåëüíûå ïî îòäåëêå èõ ìíîãî÷èñëåííûõ äåòàëåé, ïî òùàòåëüíîé èõ ïðèãîíêå, äà ê òîìó æå îïðàâëåííûå â ñåðåáðî è çîëîòî. Êîðâåò «Ðûíäà» À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ # Ñðåäè àïïàðàòîâ íîâåéøåãî èçãîòîâëåíèÿ îí óâèäèò ìíîæåñòâî ïðèáîðîâ, ñëóæàùèõ äëÿ ñàìîé òî÷íîé, ñàìîé òùàòåëüíîé îòäåëêè èçäåëèé, ò.å. ìíîæåñòâî ðàçíûõ øàáåðîâ è øëèôîâàëüíûõ ñòàíêîâ. Çàìåòèò îí è ìíîãî óñòàðåëîãî, âûøåäøåãî èç óïîòðåáëåíèÿ, ìåñòàìè áóäåò ïîïàäàòüñÿ è ïðîñòî ðàçíûé õëàì. Íî âåäü èíæåíåð ïðèøåë ñþäà íå çàòåì, ÷òîáû ëþáîâàòüñÿ íåèñ÷èñëèìûìè ñîêðîâèùàìè: íå çîëîòî è ñåðåáðî åìó íóæíû, à áûñòðîðåæóùàÿ ñòàëü, åìó íóæåí íå ñòîëüêî øàáåð, ñêîëüêî ãðóáàÿ îáäèðêà, ãðóáîå íàäåæíîå çóáèëî, âåäü íå øàáåðîì æå áóäåò îí âûáèðàòü øïóíò ó àõòåðøòåâíÿ. Ïðèñìîòðåâøèñü åùå áëèæå, îí ñðåäè ýòîãî áåñ÷èñëåííîãî ðàçíîîáðàçèÿ çàìåòèò ðÿä, âèäèìî, èçäàâíà ñèñòåìàòè÷åñêè ïîäîáðàííûõ àññîðòèìåíòîâ, îñòàþùèõñÿ ïî÷òè íåèçìåííûìè â òå÷åíèå 150 ëåò, ê òîìó æå êëàäîâùèê åìó ïîäñêàæåò, ÷òî èõ òàê ÷àñòî òðåáóþò, ÷òî è íå íàïàñåøüñÿ, à çà îñòàëüíûì çàõîäÿò ëèøü çíàòîêè ìàñòåðà è ëþáèòåëè. Íå îòíåñòèñü ëè åìó ñ äîâåðèåì ê ýòèì, åùå èçäàâíà âåëèêèìè ìàñòåðàìè ïîäîáðàííûì àññîðòèìåíòàì è íå ñëåäóåò ëè åìó âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè ãîòîâûìè è äåñÿòèëåòèÿìè, åñëè íå ñòîëåòèÿìè, èñïûòàííûìè èíñòðóìåíòàìè è íàó÷èòüñÿ èìè ïðàâèëüíî è èñêóñíî âëàäåòü, à çàòåì óæå, êîãäà îí ñàì ñòàíåò çíàòîêîì è ìàñòåðîì, ïîðûòüñÿ è â îñòàëüíûõ ñîêðîâèùàõ è ïîïûòàòüñÿ èçâëå÷ü èç íèõ èìåííî òî, ÷òî åìó íàäî, íå áðåçãóÿ è øàáåðàìè. Òàê âîò, ýòè ñèñòåìàòè÷åñêèå àññîðòèìåíòû ýòî òå êóðñû, êîòîðûå âàì ÷èòàþò, è òå ðóêîâîäñòâà, èçó÷åíèå êîòîðûõ âàì ðåêîìåíäóþò, à êëàäîâùèêè è èíñòðóìåíòàëüùèêè ýòî òå ïðîôåññîðà è ðóêîâîäèòåëè, êîòîðûå âàñ îáó÷àþò. Ìîæåò áûòü, îíè ñàìè è íå èíæåíåðû, íî çàòî îíè õîðîøî çíàþò è õîðîøî âëàäåþò ââåðåííûì èì èíñòðóìåíòîì, ñêëàä ñâîé îíè èçó÷èëè è çíàþò, ãäå è ÷òî â íåì ìîæíî íàéòè. $ ÊÂÀÍT 2013/¹3 § 8. Îäíàêî, ÷òîáû ïðàâèëüíî âûáðàòü ãîòîâûé èëè ïðàâèëüíî ïîäîáðàòü ñâîé àññîðòèìåíò èíñòðóìåíòîâ, íàäî áëèæå ðàçîáðàòüñÿ â òîì äåëå, äëÿ êîòîðîãî îí íóæåí. Äëÿ ýòîãî îïÿòü-òàêè áåãëî è â îáùèõ ÷åðòàõ ïðîñëåäèì ðàçâèòèå êîðàáëåñòðîåíèÿ. Î ñóäîñòðîåíèè äðåâíèõ êóëüòóðíûõ íàðîäîâ ïî÷òè íå ñîõðàíèëîñü íèêàêèõ äàííûõ, ïî êîòîðûì èíæåíåð ìîã áû ñîñòàâèòü ÿñíîå ïðåäñòàâëåíèå î ñóäàõ, èõ óñòðîéñòâå, ñïîñîáàõ èõ ïðîåêòèðîâàíèÿ è ïîñòðîéêè. Ðàññêàçû íåêîòîðûõ èñòîðèêîâ ïî áîëüøåé ÷àñòè ñâèäåòåëüñòâóþò îá èõ òåõíè÷åñêîé áåçãðàìîòíîñòè è ëåãêîâåðèè. Ìåæäó òåì íà÷àëî ñóäîñòðîåíèÿ âîñõîäèò çàäîëãî äî âñÿêîé ïèñüìåííîñòè è âñÿêîé èñòîðèè... ×åðòåæåé òîãäà, ïî-âèäèìîìó, íå áûëî, èëè îíè èçãîòîâëÿëèñü íà ïîêðûòûõ âîñêîì äîùå÷êàõ èëè âðåìåííûõ äåðåâÿííûõ ïîìîñòàõ âðîäå òåõ, êîòîðûìè è òåïåðü ïîëüçóþòñÿ êóñòàðè ïðè ïîñòðîéêå ðå÷íûõ áàðæ; ÿñíî, ÷òî îò ýòîãî íè÷åãî íå ñîõðàíèëîñü, äà è íå ìîãëî ñîõðàíèòüñÿ. Çäåñü, âèäèìî, âñå øëî ïðåèìóùåñòâåííî ÷èñòî ïðàêòè÷åñêè, ïåðåäàâàÿñü îò îòöà ê ñûíó, îò ìàñòåðà ê ó÷åíèêó, à íå êàê íàóêà. Äàæå îñíîâíîé çàêîí î ðàâíîâåñèè ïëàâàþùèõ òåë, äàííûé Àðõèìåäîì çà 250 ëåò äî í.ý., áûë âïåðâûå ïðèìåíåí ê äåëó ñóäîñòðîåíèÿ ëèøü â 1660-õ ãîäàõ Àíòîíèåì Äèíîì â Àíãëèè, êîãäà â íåé óæå áûë Íüþòîí, ìàòåìàòè÷åñêèé ãåíèé êîòîðîãî ïî÷èòàåòñÿ îäèíàêîâûì ñ ãåíèåì Àðõèìåäà. Íî çäåñü ïðèõîäèòñÿ çàìåòèòü, ÷òî, ñóäÿ ïî íàéäåííîìó îêîëî Òóíèñà, âáëèçè òîãî ìåñòà, ãäå áûë äðåâíèé Êàðôàãåí, çàòîíóâøåìó ñóäíó, ãðóæåííîìó â÷åðíå îòäåëàííûìè ñòàòóÿìè, íà êîòîðîì ñîõðàíèëàñü êîïèÿ òîãî äîêóìåíòà, ÷òî òåïåðü íàçûâàþò «÷àðòåð ïàðòèåé», âèäíî, ÷òî è òîãäà, ò.å. ïðèìåðíî 2000 ëåò òîìó íàçàä, ýòîò äîêóìåíò ñîñòàâëÿëñÿ ïî÷òè â òåõ æå âûðàæåíèÿõ, êàê è òåïåðü, òàêæå ïðåäóñìàòðèâàëèñü ñëó÷àè «íåïðåîäîëèìûõ ñèë», äà ïðèòîì åùå è øêèïåð êëÿëñÿ «Çåâñîì è âñåìè áîãàìè Îëèìïà õðàíèòü óñëîâèÿ ÷àðòåðà ñâÿòî è íåðóøèìî è äîáàâî÷íîãî ãðóçà íà ñâîå ñóäíî íå ïðèíèìàòü». Çíà÷èò, ïðàêòèêà ìîðåïëàâàíèÿ è òîãäà ñîçíàâàëà çíà÷åíèå íàäâîäíîãî áîðòà, õîòÿ åäâà ëè çíàëà çàêîí Àðõèìåäà. Ïåðâûå ðóêîâîäñòâà ïî «Òåîðèè êîðàáëÿ» ïîÿâèëèñü â 1740-õ ãîäàõ.  íèõ âïåðâûå áûëî óñòàíîâëåíî ó÷åíèå îá îñòîé÷èâîñòè êîðàáëÿ.  íà÷àëå 1800-õ ãîäîâ áûëè óñâîåíû ïîëüçà è íåîáõîäèìîñòü äèàãîíàëüíûõ ñâÿçåé, ïðèäàâàâøèõ êðåïîñòü è íåèçìåíÿåìîñòü ñóäîâîìó áîðòó; äà è òî òåîðèÿ ýòîãî äåëà áûëà îáîñíîâàíà ôèçèêîì Þíãîì.  1840-õ ãîäàõ íà÷àëàñü ïîñòðîéêà æåëåçíûõ ïàðîâûõ ñóäîâ; îíà ñòàëà áûñòðî ðàçâèâàòüñÿ, íî çäåñü äîâîëüíî äîëãîå âðåìÿ (îêîëî 30 ëåò) øëè îùóïüþ è ñîõðàíÿëè íå òîëüêî íåíóæíîå, íî äàæå âðåäíîå íàñëåäèå äåðåâÿííîãî ñóäîñòðîåíèÿ, âðîäå òîëñòîãî, íà ðåáðî ïîñòàâëåííîãî ïîëîñîâîãî êèëÿ. Ëèøü â 1870 ã. Ðèä äàë äî ñèõ ïîð ñîõðàíèâøèåñÿ ïðàêòè÷åñêèå ïðèåìû âû÷èñëåíèÿ îñòîé÷èâîñòè êîðàáëÿ íà áîëüøèõ íàêëîíåíèÿõ è ðàñ÷åòû íàïðÿæåíèé, âîçíèêàþùèõ â ñâÿçÿõ êîðàáëÿ íà âîëíåíèè. Ñòàëü â ñóäîñòðîåíèå ââåäåíà ñ íà÷àëà 1800-õ ãîäîâ. Óòî÷íåíèå ðàñ÷åòîâ êîðàáëÿ êàê öåëîãî ñîîðóæåíèÿ, à òàêæå åãî âàæíåéøèõ äåòàëåé ñîçäàíî òðóäàìè È.Ã.Áóáíîâà, Ï.Ô.Ïàïêîâè÷à, Þ.À.Øèìàíñêîãî, êîòîðûõ ÿ ïî÷èòàþ çà ÷åñòü ñ÷èòàòü â ÷èñëå ìîèõ ó÷åíèêîâ. Îòñþäà âû âèäèòå, íàñêîëüêî ìîëîäî äåéñòâèòåëüíî íàó÷íîå èçó÷åíèå êîðàáëÿ, åãî êîíñòðóêöèè, åãî ìîðåõîäíûõ êà÷åñòâ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåìè íåèñ÷èñëèìûìè ñòîëåòèÿìè, â òå÷åíèå êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ñóäîñòðîåíèå è ìîðåïëàâàíèå, è íàñêîëüêî çäåñü ïðàêòèêà ïðåäøåñòâîâàëà òåîðèè. § 9. Ïîñòàðàåìñÿ òåïåðü óñòàíîâèòü â îáùèõ ÷åðòàõ òîò ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, êîòîðûì äîëæåí ðàñïîëàãàòü êîðàáåëüíûé èíæåíåð, ÷òîáû âïîëíå ñîçíàòåëüíî ðàññ÷èòûâàòü ïðîåêòèðóåìûé èì êîðàáëü, è ïðèòîì âîåííûé, êàê íàèáîëåå ñëîæíûé, ïðè÷åì èíæåíåð íèêàêèìè ïðàâèëàìè íè Ëëîéäà, íè Ðåãèñòðà íå ñòåñíåí. Ïîä ñëîâîì «ñîçíàòåëüíî» áóäåì ðàçóìåòü, ÷òî èíæåíåð õîòÿ è áóäåò ïðèìåíÿòü ãîòîâûå è äàâíî ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû, íî îí âïîëíå îâëàäååò òåìè îòäåëàìè ìàòåìàòèêè, íà êîòîðûõ ýòè ìåòîäû îñíîâàíû, è, çíà÷èò, ìîæåò âïîëíå ÿñíî ñóäèòü îá èõ ïðèìåíèìîñòè è óñëîâèÿõ åå. Íà÷íåì ñ òåîðèè êîðàáëÿ. Ðàñ÷åò ïëàâó÷åñòè è îñòîé÷èâîñòè òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ íà÷àë èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé è îáúåìîâ, ïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè è ïðî÷. Ïðè÷åì âñå ýòî âûðàæàåòñÿ ïðîñòûìè, à íå êðàòíûìè èíòåãðàëàìè, èñ÷èñëÿåìûìè ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì êâàäðàòóð. Âû÷èñëåíèå îñòîé÷èâîñòè, êðîìå òîãî, òðåáóåò îò÷åòëèâîãî ïîíÿòèÿ î êðèâèçíå è ýâîëþòå è ñâÿçè ìåæäó êîîðäèíàòàìè òî÷åê ýâîëþòû è ýâîëüâåíòû. Èññëåäîâàíèå âëèÿíèÿ ïîâðåæäåíèé íà ïîñàäêó è îñòîé÷èâîñòü êîðàáëÿ òðåáóåò äëÿ ïîëíîé îò÷åòëèâîñòè çíàíèÿ ñâîéñòâ ìîìåíòîâ èíåðöèè ïëîñêîé ôèãóðû è îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ åå ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè. Ðàñ÷åò êà÷êè íà âîëíåíèè òðåáóåò çíàíèÿ îñíîâ ãèäðîäèíàìèêè è òåîðèè «ìàëûõ» êîëåáàíèé òâåðäîãî òåëà, êàê ñâîáîäíûõ, òàê è âûíóæäåííûõ, ò.å. èíòåãðèðîâàíèÿ ñîâîêóïíûõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Åñëè êîðàáëü ïðåäïîëîæåíî ñíàáäèòü óñïîêîèòåëÿìè êà÷êè â âèäå öèñòåðí, òî íàäî èìåòü åùå íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ãèäðîäèíàìèêè, à åñëè óñïîêîèòåëü äîëæåí áûòü ãèðîñêîïè÷åñêèì, òî òðåáóåòñÿ áîëåå óãëóáëåííîå çíàíèå äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíæåíåð íå áóäåò ðàññ÷èòûâàòü òåîðåòè÷åñêè «ïðèâåäåííîé ìàññû» óâëåêàåìîé êîðàáëåì âîäû ïðè êà÷àíèÿõ åãî, à âîñïîëüçóåòñÿ èìåþùèìèñÿ íà ýòîò ñ÷åò îïûòíûìè äàííûìè, èáî òàêîé ðàñ÷åò ïîòðåáîâàë áû òàêèõ ñâåäåíèé èç ãèäðîäèíàìèêè, íà ñîîáùåíèå êîòîðûõ â êóðñå íå õâàòèëî áû âðåìåíè, åñëè íå ðàçâèâàòü ýòîò îòäåë â óùåðá äðóãèì, áîëåå ïðîñòûì, íî çàòî áîëåå îáèõîäíûì. Õîäêîñòü èëè òðåáóåò åùå áîëåå óãëóáëåííîãî çíàíèÿ ãèäðîäèíàìèêè è èçó÷åíèÿ ñèñòåìû âîëí, îáðàçóåìûõ ïðè äâèæåíèè êîðàáëÿ, èëè æå íàäî îãðàíè÷èòüñÿ Ê 150-ËÅÒÈÞ ïðèìåíåíèåì ýìïèðè÷åñêèõ ôîðìóë è ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèÿ ïîäîáíûõ ñóäîâ è ìîäåëåé... Ïîâîðîòëèâîñòü ïëîõî ïîääàåòñÿ ó÷åòó, è ñóæäåíèå î íåé îñíîâûâàþò íà ñóùåñòâóþùåé ïðàêòèêå è ðåçóëüòàòàõ èñïûòàíèÿ ñóäîâ, ïîäõîäÿùèõ ïî òèïó ê ïðîåêòèðóåìîìó. Èòàê, ïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíòû êîðàáëÿ è âñå, ÷òî îòíîñèòñÿ ê ìîðåõîäíûì åãî êà÷åñòâàì, óñòàíîâëåíî è ðàññ÷èòàíî; òîãäà èäåò âòîðîé âîïðîñ, ãäå íà ïåðâûé ïëàí âûñòóïàåò ñòðîèòåëüíàÿ ìåõàíèêà êîðàáëÿ, ñîãëàñíî îñíîâàíèÿì êîòîðîé íàäî ïðîèçâåñòè ðàñ÷åòû ïðî÷íîñòè êîðàáëÿ êàê öåëîãî ñîîðóæåíèÿ è ðàñ÷åòû ïðî÷íîñòè âñåõ äåòàëåé è îòäåëüíûõ óñòðîéñòâ åãî. Çäåñü òðåáóåòñÿ ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, íåæåëè äëÿ òåîðèè êîðàáëÿ, èáî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ èçãèáîì è ñæàòèåì ïëàñòèí è óñòîé÷èâîñòüþ èõ, à äëÿ ýòîãî òðåáóþòñÿ îñíîâàòåëüíûå ïîçíàíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è âåñü íåîáõîäèìûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñ áèãàðìîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì, ó÷åíèåì î ðÿäàõ, ïîäîáíûõ ðÿäàì Ôóðüå, è ïðèòîì íå òîëüêî ïðîñòûõ, íî è äâîéíûõ. Çàòåì âîçíèêíóò âîïðîñû î ïîäêðåïëåíèÿõ ïîä îðóäèÿìè èëè áàøíÿìè è î äåéñòâèè íà íèõ âûñòðåëà, ò.å. ñèë «ìàëîé» ïðîäîëæèòåëüíîñòè, è ðàññìîòðåíèå âîïðîñà î òîì, ñ÷èòàòü ëè ýòî äåéñòâèå «ñòàòè÷åñêèì» èëè «äèíàìè÷åñêèì». Ýòî ñâÿçàíî ñ èçó÷åíèåì êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ óïðóãèõ ñèñòåì, ÷òî òðåáóåò åùå áîëåå ñëîæíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, íåæåëè âîïðîñ î âèáðàöèè âñåãî êîðàáëÿ, è ñ ó÷åíèåì î ôóíäàìåíòàëüíûõ ôóíêöèÿõ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñëàõ. Âìåñòå ñ òåì çäåñü íåîáõîäèìî ñòîëü æå îò÷åòëèâîå çíàíèå è óìåíèå ÷èñëåííî èíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ìåæäó òåì êàê äëÿ ó÷åíèÿ î ïëàâó÷åñòè è îñòîé÷èâîñòè òðåáóåòñÿ óìåíüå ïðèáëèæåííî ïðîèçâîäèòü êâàäðàòóðû. Êàê òîëüêî áóäåò óñòàíîâëåíî, ÷òó èìåííî îò êîðàáåëüíîãî èíæåíåðà òðåáóåòñÿ ïî åãî ñïåöèàëüíîñòè, òàê ñåé÷àñ æå óñòàíàâëèâàåòñÿ è ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì çíàíèé èç àíàëèçà è ìåõàíèêè. Íî çäåñü íàäî òùàòåëüíî çàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû íå ââîäèòü ëèøíèõ òðåáîâàíèé; âåäü îòòîãî ÷òî âåðõíÿÿ ïàëóáà ïîêðûâàåòñÿ äåðåâÿííûì íàñòèëîì, íåëüçÿ æå òðåáîâàòü èçó÷åíèÿ áîòàíèêè, èëè îòòîãî ÷òî â êàþò-êîìïàíèè äèâàí îáèò êîæåé, íåëüçÿ òðåáîâàòü èçó÷åíèÿ çîîëîãèè; òàê è çäåñü, åñëè ïðè ðàññìîòðåíèè êàêîãî-òî ÷àñòíîãî âîïðîñà âñòðå÷àåòñÿ íåêîòîðàÿ ôîðìóëà, òî ãîðàçäî ëó÷øå ïðèâåñòè åå áåç äîêàçàòåëüñòâà, à íå ââîäèòü â êóðñ öåëûé îòäåë ìàòåìàòèêè, ÷òîáû äàòü ïîëíûé âûâîä ýòîé åäèíè÷íîé ôîðìóëû... Ïðè èçó÷åíèè àíàëèçà è ìåõàíèêè è ïîäñîáíûõ îòäåëîâ èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåé àëãåáðû äîëæíû ñîáëþäàòüñÿ îïðåäåëåííàÿ ïîñòåïåííîñòü è ïîëíîòà; ìíîãîå ìîæåò êàçàòüñÿ èçëèøíèì è íåïîñðåäñòâåííûõ ïðèëîæåíèé íå èìåþùèì, íî îíî íóæíî äëÿ ÿñíîãî óñâîåíèÿ äàëüíåéøåãî è íå ìîæåò áûòü ïðîïóùåíî ïîäîáíî ñêó÷íîé ãëàâå ðîìàíà. Çäåñü áûëî áû ñëèøêîì äîëãî è íåóìåñòíî ïåðå÷èñëÿòü íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ, ò.å. êàê áû ñîñòàâëÿòü ó÷åáíûé ïëàí; äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü åãî ïðèíöèïû: ñîîòâåòñòâåííî òîé ïîäãîòîâêå, êîòîðóþ èíæåíåð À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ % äîëæåí ïîëó÷èòü ïî ñâîåé ñïåöèàëüíîñòè, óñòàíàâëèâàåòñÿ îáúåì åãî ïîçíàíèé ïî ïðèêëàäíûì ïðåäìåòàì, ò.å. òåîðèè êîðàáëÿ, ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêå êîðàáëÿ ñî âêëþ÷åíèåì òåîðèè óïðóãîñòè (åñëè íàäî) è ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ; êàê òîëüêî îáúåì ïðèêëàäíûõ ïðåäìåòîâ îïðåäåëåí, òàê îïðåäåëÿåòñÿ è ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîçíàíèé. ×òî êàñàåòñÿ ñàìîãî ïðåïîäàâàíèÿ èõ è îòâîäèìîãî èì ìåñòà, òî ìîæåò áûòü äâà âçãëÿäà: èëè âñå ìàòåìàòè÷åñêîå îòíîñèòü ê êóðñó ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè, èëè æå ê ýòèì êóðñàì îòíîñèòü òîëüêî òå îáùèå ïîçíàíèÿ, êîòîðûå âõîäÿò â íåñêîëüêî, ïî êðàéíåé ìåðå â äâà, ïðèêëàäíûõ ñïåöèàëüíûõ ïðåäìåòà, à òå îòäåëû, êîòîðûå âõîäÿò òîëüêî â îäèí ïðåäìåò, îòíîñèòü ê ââåäåíèþ â ýòîò ïðåäìåò èëè ê ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâå åãî. Ïî ñóòè äåëà ýòî ðàñïðåäåëåíèå â êîíöå êîíöîâ ýêâèâàëåíòíî. Ãîðàçäî âàæíåå ðåøåíèå äðóãîãî âîïðîñà, à èìåííî: åñòü ëè íåîáõîäèìîñòü îò êàæäîãî êîðàáåëüíîãî èíæåíåðà òðåáîâàòü âñå â ïîëíîì îáúåìå, ñîâåðøåííî äëÿ âñåõ îäíîîáðàçíîì. Âåäü äåÿòåëüíîñòü èíæåíåðà âåñüìà ðàçíîîáðàçíà. Îäèí èíæåíåð ðàáîòàåò è ïðåäíàçíà÷àåò ñåáÿ ê ðàáîòå â êîíñòðóêòîðñêîì áþðî, äðóãîé áîëåå ñêëîíåí ê ðàáîòå íà ïðîèçâîäñòâå, ê ðàáîòå â öåõå. Îäíè èíæåíåðû èìåþò â âèäó ðàáîòàòü ñïåöèàëüíî ïî êîììåð÷åñêîìó ñóäîñòðîåíèþ, äðóãèå ïî âîåííîìó. Äîëæíà ëè øêîëà äàâàòü êàê áû çàêîí÷åííóþ ïîäãîòîâêó, èëè îíà äîëæíà äàâàòü òîëüêî òå ïðèíöèïèàëüíûå îñíîâû, íà êîòîðûõ èíæåíåð íà ñàìîé ñëóæáå áóäåò âäóì÷èâîé ïðàêòèêîé ñîâåðøåíñòâîâàòüñÿ, íåïðåðûâíî ïîâûøàÿ ñâîþ êâàëèôèêàöèþ, íàó÷íóþ è òåõíè÷åñêóþ, ê ÷åìó òåïåðü ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñòîëüêî âîçìîæíîñòåé? Íàäî ïîìíèòü àôîðèçì Êîçüìû Ïðóòêîâà: «Íåëüçÿ îáúÿòü íåîáúÿòíîå». Íàäî ëè âñåõ ïîäãîíÿòü ïîä îäèí øàáëîí, èëè íàäî è â ñàìîé âûñøåé øêîëå ñ÷èòàòüñÿ ñ èíäèâèäóàëüíûìè ñïîñîáíîñòÿìè åñëè íå êàæäîãî ó÷àùåãîñÿ, òî ãëàâíûõ ãðóïï ó÷àùèõñÿ? Íå ïðàâèëüíåå ëè áóäåò, åñëè äëÿ êàæäîé òàêîé ãðóïïû óñòàíîâèòü ìèíèìàëüíîå òðåáîâàíèå ïî îäíèì ïðåäìåòàì, íî çàòî ìàêñèìàëüíîå ïî äðóãèì? Ïîñòàíîâêà êóðñà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè áóäåò òîãäà èíàÿ, íåæåëè â ïåðâîì ñëó÷àå; êóðñ ñàì ñîáîþ ðàçîáüåòñÿ íà ìèíèìàëüíûé, îáùèé äëÿ âñåõ ãðóïï, è íà îòäåëüíûå äîïîëíèòåëüíûå êóðñû, êîòîðûå ÿâÿòñÿ îáÿçàòåëüíûìè äëÿ ãðóïï, ñîîòâåòñòâåííî ñïåöèàëèçèðîâàâøèõñÿ. Ìíå ëè÷íî äóìàåòñÿ, ÷òî ýòà ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà áóäåò áîëåå ðàöèîíàëüíà, íåæåëè ñèñòåìà îãóëüíîãî îáó÷åíèÿ âñåõ è êàæäîãî îäíîìó è òîìó æå, íå ñ÷èòàÿñü ñ åãî ñêëîííîñòüþ. § 10. Ñêàæó íåñêîëüêî ñëîâ î ñàìîì õàðàêòåðå ïîñòàíîâêè ïðåïîäàâàíèÿ è ñàìîãî êóðñà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè äëÿ èíæåíåðîâ. Âûøå óæå áûëà îòìå÷åíà ðàçíèöà âçãëÿäîâ íà ìàòåìàòèêó ãåîìåòðà è èíæåíåðà. Ñîîòâåòñòâåííî ýòîé ðàçíèöå äîëæåí áûòü ïîñòàâëåí è êóðñ. Äëÿ ãåîìåòðà, êîòîðûé äîëæåí âïîñëåäñòâèè ñîçäàâàòü íîâûå ìåòîäû â ìàòåìàòèêå èëè íîâûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ âîïðîñîâ, à çíà÷èò, è äîëæ- & ÊÂÀÍT 2013/¹3 íûì îáðàçîì ýòè ìåòîäû îáîñíîâûâàòü, ïîëíàÿ è áåçóêîðèçíåííàÿ ñòðîãîñòü áåçóñëîâíî íåîáõîäèìà. Äëÿ èíæåíåðà, êîòîðîìó ãëàâíûì îáðàçîì ïðèäåòñÿ ýòè ìåòîäû ïðèëàãàòü ê ðåøåíèþ êîíêðåòíûõ âîïðîñîâ â óçêîé îáëàñòè åãî ñïåöèàëüíîñòè, òàêàÿ âñåîáúåìëþùàÿ ñòðîãîñòü ÿâëÿåòñÿ áåñöåëüíîé. Íà èíæåíåðà ýòè ñòðîãèå, ëèøåííûå íàãëÿäíîñòè äîêàçàòåëüñòâà è ðàññóæäåíèÿ íàâîäÿò òîñêó è óíûíèå, îí âèäèò â íèõ òîïòàíèå íà ìåñòå, æåâàíèå æâà÷êè, ñòðåìëåíèå äîêàçûâàòü î÷åâèäíîå, ÷òî äàâíî èì ïîíÿòî è ÷òî åìó äî äîêàçàòåëüñòâà êàæåòñÿ áîëåå ÿñíûì è ïîíÿòíûì, íåæåëè ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà. Ãåîìåòð îáûêíîâåííî ìàëî öåíèò âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû, îñîáåííî äîâåäåíèå èõ äî êîíöà, ò.å. äî ÷èñëåííîãî ðåçóëüòàòà, âû÷èñëÿåìîãî ñ çàäàííîé íàïåðåä, îáûêíîâåííî íåáîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè; èíæåíåð æå ñìîòðèò íà äåëî êàê ðàç îáðàòíî: â ðåøåíèè âû÷èñëåíèåì êîíêðåòíî ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà îí âèäèò è öåíèò èìåííî ïðèêëàäíóþ ñòîðîíó, óñìàòðèâàÿ â íåé ïðèìåð òîãî, êàê íàäî ïîñòóïàòü â àíàëîãè÷íîì ñëó÷àå â ïðåäñòîÿùåé åìó ïðàêòèêå. § 11. Ìîëîäûå èíæåíåðû ÷àñòî ñêëîííû îòíîñèòüñÿ ñ ñâîåãî ðîäà ïðåíåáðåæåíèåì «ê ðàçíîãî ðîäà ïðàâèëàì Ëëîéäîâ è Ðåãèñòðîâ», ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòè ïðàâèëà ñîñòàâëåíû ïî ïðèíöèïó «íàçíà÷ü ðàçìåð, ñêàæåì òîëùèíó, íà ãëàç äà ÷åòâåðòü äþéìà ïðèáàâü». Íà ñàìîì æå äåëå ýòî äàëåêî íå òàê. Âîçüìåì äëÿ ïðèìåðà àíãëèéñêèé Ëëîéä. Îí ñóùåñòâóåò êàê êëàññèôèêàöèîííîå îáùåñòâî, ò.å. íàáëþäàþùåå çà íàäëåæàùåé ïðî÷íîñòüþ êîðàáëÿ è åãî ñíàáæåíèÿ êàê âî âðåìÿ ïîñòðîéêè, òàê è âî âðåìÿ ñëóæáû, ñòî ëåò. Âñå ñëó÷àè ïîâðåæäåíèÿ ñóäîâ îñìàòðèâàþòñÿ åãî èíñïåêòîðàìè, ðàññåÿííûìè ïî ïîðòàì âñåãî ìèðà, è äîâîäÿòñÿ äî ñâåäåíèÿ ãëàâíîé ëîíäîíñêîé êîíòîðû Îáùåñòâà, â êîòîðîé ðàáîòàþò îïûòíåéøèå èíæåíåðû ñ îáøèðíîé ïðàêòèêîé è øèðîêèì íàó÷íûì îáðàçîâàíèåì. Ñåé÷àñ â ñïèñêàõ àíãëèéñêîãî Ëëîéäà íàõîäèòñÿ îêîëî 35 òûñÿ÷ ïàðîõîäîâ âñåõ íàöèé; îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, êàêîé îãðîìíûé ìàòåðèàë è êàêîå áîãàòñòâî îïûòíûõ äàííûõ è «ñëó÷àåâ» íàêîïëÿåòñÿ â åãî ãëàâíîé êîíòîðå. Ïðàâèëà Ëëîéäà íå ÿâëÿþòñÿ íåèçìåííûìè, îíè ïîñòîÿííî ñîâåðøåíñòâóþòñÿ íà îñíîâàíèè äåéñòâèòåëüíîãî îïûòà ïëàâàíèÿ ñóäîâ è àíàëèçà àâàðèé èëè ïîâðåæäåíèé, èìè ïîíåñåííûõ. Áîëåå òîãî, ïðåäîñòàâëåíî îòñòóïàòü îò áóêâû ýòèõ ïðàâèë, ïîäòâåðæäàÿ îòñòóïëåíèå ðàñ÷åòàìè, ïðåäñòàâëÿåìûìè íà ïðîñìîòð è îäîáðåíèå ãëàâíîé êîíòîðû, â êîòîðîé òàêèì îáðàçîì ãðóïïèðóåòñÿ è ýòîò îïûò, âåäóùèé ê ïîñòîÿííîìó ñîâåðøåíñòâîâàíèþ ïðàâèë. Ââèäó ýòîãî ïðàâèëà ïåðèîäè÷åñêè ïåðåèçäàþòñÿ, ïðè÷åì â íèõ âíîñÿòñÿ ñóùåñòâåííûå èçìåíåíèÿ, ïîëüçà êîòîðûõ îïðàâäàëàñü ïðàêòèêîé; ïîýòîìó ïðàâèëà ýòè çàñëóæèâàþò âíèìàòåëüíîãî è âäóì÷èâîãî èçó÷åíèÿ. § 12. Çíàìåíèòûé àíãëèéñêèé íàòóðàëèñò Ãåêñëè ëåò 70 òîìó íàçàä ñêàçàë: «Ìàòåìàòèêà, ïîäîáíî æåðíîâó, ïåðåìàëûâàåò ëèøü òî, ÷òî ïîä íåãî çàñûïàþò». Âû âèäåëè, ÷òî â ñòðîãîé «åâêëèäîâîé» ìàòåìàòèêå ýòà çàñûïêà ñîñòîèò èç òàêèõ àêñèîì è ïîñòóëàòîâ, â ñïðàâåäëèâîñòè êîòîðûõ èíæåíåð óñîìíèòüñÿ íå ìî- æåò, à òàê êàê ëèøü ýòè àêñèîìû è ïîñòóëàòû «ïåðåìàëûâàþòñÿ» áåç äîáàâëåíèÿ íîâûõ (à åñëè ÷òî äîáàâëÿåòñÿ, òî äîëæíî áûòü òî÷íî è ÿñíî óêàçàíî), òî èíæåíåð è ïðèäàåò òàêóþ âåðó ìàòåìàòè÷åñêîìó äîêàçàòåëüñòâó. Íî çäåñü íåîáõîäèìî ïîñòîÿííî èìåòü â âèäó ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî: êîãäà êîíêðåòíûé âîïðîñ ïðèâîäèòñÿ ê âîïðîñó ìàòåìàòè÷åñêîìó, òî âñåãäà ïðèõîäèòñÿ äåëàòü ðÿä äîïóùåíèé, èáî ìàòåìàòèêà âìåñòå ñ ìåõàíèêîé îïåðèðóþò íàä îáúåêòàìè èäåàëüíûìè, ëèøü áîëåå èëè ìåíåå áëèçêèìè ê îáúåêòàì ðåàëüíûì, ê êîòîðûì èíæåíåð áóäåò ïðèëàãàòü ïîëó÷åííûå ìàòåìàòè÷åñêèå âûâîäû. ßñíî, ÷òî ñêîëüêî áû íè áûëî òî÷íî ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå, îíî íå ìîæåò áûòü òî÷íåå òåõ ïðèáëèæåííûõ ïðåäïîñûëîê, íà êîèõ îíî îñíîâàíî. Îá ýòîì ÷àñòî çàáûâàþò, äåëàþò âíà÷àëå êàêîå-íèáóäü ãðóáîå ïðèáëèæåííîå ïðåäïîëîæåíèå èëè äîïóùåíèå, ÷àñòî äàæå íå îãîâîðèâ òàêîâîå, à çàòåì ïðèäàþò ïîëó÷åííîé ôîðìóëå ãîðàçäî áîëüøåå äîâåðèå, íåæåëè îíà çàñëóæèâàåò, è ýòî ïîòîìó, ÷òî åå âûâîä ñëîæíûé. § 13.  î÷åðêå î Ï.À.Òèòîâå 1 óêàçàíî, ÷òî èíæåíåð äîëæåí íåïðåñòàííî íàêîïëÿòü ïðàêòè÷åñêèé îïûò, îí äîëæåí âûðàáîòàòü ñâîé ãëàçîìåð è ñðàçó âèäåòü, âåðåí ëè ðåçóëüòàò ðàñ÷åòà, èëè íåò. À âîò äðóãîé ïðèìåð. Çíàìåíèòûé èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Òóëëèî Ëåâè ×èâèòà, ìåæäó ïðî÷èì ñîñòàâèâøèé ïðåâîñõîäíûé êóðñ ìåõàíèêè, ïðî÷åë ãîäà òðè òîìó íàçàä â Âåíå, ïî ïðèãëàøåíèþ Àâñòðèéñêîãî îáùåñòâà èíæåíåðîâ, äîêëàä «Î äèíàìè÷åñêîé íàãðóçêå óïðóãèõ ñèñòåì». Èçÿùíåéøèìè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòîðîíû âûâîäàìè îí óñòàíîâèë íåêîòîðûé îáùèé êðèòåðèé, êîòîðûì îïðåäåëÿåòñÿ âåðõíèé ïðåäåë äèíàìè÷åñêîé íàãðóçêè, ò.å. òàêîå çíà÷åíèå åå, êîòîðîãî îíà ïðè äàííûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ ïðåâçîéòè íå ìîæåò.  ôîðìóëû Ëåâè ×èâèòà âõîäèò ïðîäîëæèòåëüíîñòü äåéñòâèÿ íàãðóçêè, ïîýòîìó, íàïðèìåð, ïîëó÷èëîñü, ÷òî ïðè ïðîõîäå ïîåçäà ïî ìîñòó äèíàìè÷åñêàÿ íàãðóçêà òåì áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü õîäà ïîåçäà ìåíüøå. Êàê ïðàâîâåðíûé ìàòåìàòèê îí âåðèò ñâîåé ôîðìóëå áîëüøå, íåæåëè ãëàçó è çäðàâîìó ñìûñëó, è íå âèäèò â íåé íàãëÿäíîé íåñîîáðàçíîñòè. Ìàòåìàòè÷åñêè åãî ôîðìóëà âåðíà, íî îíà äàåò ñëèøêîì áîëüøîå çíà÷åíèå ñêàçàííîãî âåðõíåãî ïðåäåëà, íå èìåþùåå ïðàêòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ. Âîçüìåì äëÿ ïðèìåðà çíàìåíèòûé ìîñò «Áðèòàíèÿ», ïîñòðîåííûé â 1848 ã. Ïðîëåòû ýòîãî ìîñòà èìåþò äëèíó îêîëî 450 ôóòîâ, ñå÷åíèå ìîñòà êîðîá÷àòîå, ñî ñïëîøíûìè áîêîâûìè ñòåíêàìè è ñî ñïëîøíûìè, è ïðèòîì äâîéíûìè, âåðõíåþ è íèæíåþ ïàíåëÿìè, òàê ÷òî êàæäûé ïðîëåò èìååò àíàëîãèþ ñ êîðàáëåì. Òàê âîò, ïî ôîðìóëå Ëåâè ×èâèòà ïðè ïðîõîäå ïî ýòîìó ìîñòó òîâàðíîãî ïîåçäà, èäóùåãî ñàìûì ìàëûì õîäîì, âåðõíèé ïðåäåë äèíàìè÷åñêîé íàãðóçêè ïîëó÷àåòñÿ 3000 ò íà ïîãîííûé ôóò, ò.å. 1350000 ò íà âåñü ïðîëåò. Íà ñàìîì æå äåëå âåðõíèé ïðåäåë ýòîé íàãðóçêè åñòü 3 ò íà ïîãîííûé ôóò, ò.å. 1350 ò íà âåñü ïðîëåò. Íà ýòó íàãðóçêó îí è ðàññ÷èòàí åãî çíàìåíèòûìè ñòðîèòåëÿìè 1 Ñì. ñëåäóþùóþ ñòàòüþ. (Ïðèì. ðåä.) Ê 150-ËÅÒÈÞ Ôåðáåðíîì è Ñòåôåíñîíîì, è ñòîèò îí ñ 1848 ã. íåçûáëåìî, ïðîïóñòèâ ìèëëèîíû ïîåçäîâ ñ áîëüøèìè è ìàëûìè õîäàìè. Êîíå÷íî, 3000 ò áîëüøå 3 ò, ôîðìóëà Ëåâè ×èâèòà âåðíà, à êàêîé â íåé òîëê? Âñÿêèé èíæåíåð çàìåòèë áû ïðàêòè÷åñêóþ íåïðèãîäíîñòü ôîðìóëû è, îáðàòèâøèñü ê ïðåäïîñûëêàì, ñäåëàííûì ïðè åå âûâîäå, ëåãêî óâèäåë áû íåñîîòâåòñòâèå äåéñòâèòåëüíîñòè, à çíàìåíèòûé ìàòåìàòèê, ïðèâûêøèé ñî âñåþ «åâêëèäîâîé» ñòðîãîñòüþ ïåðåìàëûâàòü Êîðàáåëüíûé èíæåíåð-ñàìîó÷êà À.ÊÐÛËΠ 1894 Ã. ÂÍÅÇÀÏÍÎ ÑÊÎÍ×ÀËÑß ÎÄÈÍ ÈÇ ÑÀÌÛÕ ÇÀÌÅ- ÷àòåëüíûõ ðóññêèõ êîðàáåëüíûõ èíæåíåðîâ Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ, ïàìÿòè êîòîðîãî ÿ è õî÷ó ïîñâÿòèòü ýòè ñòðîêè. Îòåö Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à áûë ðîäîì ðÿçàíñêèé êðåñòüÿíèí è ñëóæèë ìàøèíèñòîì íà ïàðîõîäàõ Ïåòðîçàâîäñêîé ëèíèè. Êîãäà ñûíó ìèíóëî 12 ëåò, îí ñòàë áðàòü åãî íà ëåòî ê ñåáå íà ïàðîõîä ïîäðó÷íûì â ìàøèíó, à íà çèìó ïîñûëàë íà ðàáîòó íà Êðîíøòàäòñêèé ïàðîõîäíûé çàâîä; ñ 16-ëåòíåãî âîçðàñòà îí îïðåäåëèë åãî ðàáî÷èì â êîðàáåëüíóþ ìàñòåðñêóþ Íåâñêîãî çàâîäà. Èç êîðàáåëüíîé ìàñòåðñêîé Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à íàçíà÷èëè íà ïëàç ïîäðó÷íûì, ñ ïëàçà â çàâîäñêóþ ÷åðòåæíóþ, à èç ÷åðòåæíîé ñïåðâà ïëàçîâûì ìàñòåðîì, à ïîòîì ïîìîùíèêîì êîðàáåëüíîãî ìàñòåðà, êîòîðûì òîãäà áûë ïàìÿòíûé ñòàðûì èíæåíåðàì àíãëè÷àíèí Áåéí.  òå ãîäû ê Íåâñêîìó çàâîäó îòíîñèëàñü è Îõòèíñêàÿ àäìèðàëòåéñêàÿ âåðôü, íà êîòîðîé â òî âðåìÿ ñòðîèëñÿ ïîëóáðîíåíîñíûé ôðåãàò «Ãåíåðàë-àäìèðàë». Ïîñòðîéêà åãî åùå íå áûëà äîâåäåíà äî êîíöà, êàê Áåéí óìåð, è ìàñòåðîì áûë íàçíà÷åí ìîëîäîé òîãäà Ï.À.Òèòîâ. Ïîñëå «Ãåíåðàëàäìèðàëà» íà òîì æå çàâîäå Òèòîâûì áûëè ïîñòðîåíû êëèïåðû «Ðàçáîéíèê» è «Âåñòíèê».  1881 ã. Âîåííî-èíæåíåðíîå âåäîìñòâî ðåøèëî ïîñòðîèòü ñðàçó ïÿòüäåñÿò ìàëûõ ïîäâîäíûõ ëîäîê ñèñòåìû Äæåâåöêîãî, ïðèâîäèìûõ â äâèæåíèå íîæíûì ïðèâîäîì, íà êîòîðîì ðàáîòàëî äâà ÷åëîâåêà èç ÷èñëà òðåõ, ñîñòàâëÿâøèõ ýêèïàæ ëîäêè. Ïîñòðîéêà äîëæíà áûëà âåñòèñü ñîâåðøåííî ñåêðåòíî íà ñïåöèàëüíîì íåáîëüøîì çàâîäå, ïðîèçâîäèâøåì ñáîðêó; èçãîòîâëåíèå æå îòäåëüíûõ ÷àñòåé áûëî ïîðó÷åíî ðàçíûì çàâîäàì. Ïîäâîäíàÿ ëîäêà Äæåâåöêîãî îáðàçöà 1881 ãîäà, ïåðåîáîðóäîâàííàÿ â ýëåêòðîõîä À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ ' àêñèîìû è ïîñòóëàòû, íå çàìåòèë ãðóáîñòè îäíîãî èç ñâîèõ ïîñòóëàòîâ, ñîîáðàçíî êîòîðîìó è ïîëó÷èë ñòîëü âûñîêèé âåðõíèé ïðåäåë. Òèòîâà çíàëè íåìíîãèå êîðàáåëüíûå èíæåíåðû òîãî âðåìåíè. Çíàìåíèòîãî Ëåâè ×èâèòà çà åãî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû çíàþò è ïî÷èòàþò ìàòåìàòèêè âñåãî ìèðà. Åñëè áû âû ãîòîâèëèñü áûòü ìàòåìàòèêàìè, ÿ ïîæåëàë áû âàì ñòàòü Ëåâè ×èâèòàìè, íî âû ãîòîâèòåñü áûòü êîðàáåëüíûìè èíæåíåðàìè, ïîýòîìó æåëàþ âàì ñòàòü Òèòîâûìè. Êîðïóñ ëîäêè ñîñòîÿë èç òðåõ âûãíóòûõ æåëåçíûõ ëèñòîâ äîâîëüíî õèòðîé ôîðìû. Ëèñòû ýòè áûëè âû÷åð÷åíû â ðàçëè÷íîì ìàñøòàáå è ðîçäàíû äëÿ èçãîòîâëåíèÿ òðåì ðàçíûì çàâîäàì, â òîì ÷èñëå è Íåâñêîìó. Äâà èç ýòèõ çàâîäîâ, ïîáèâøèñü íàä ýòèì äåëîì è ïåðåïîðòèâ íåìàëîå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà, ïåðåäàëè çàòåì ñâîé çàêàç Íåâñêîìó çàâîäó, è òàêèì îáðàçîì ðàáîòà îêàçàëàñü ñîñðåäîòî÷åííîé â ðóêàõ Òèòîâà. Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ëþáèë îá ýòîì âñïîìèíàòü. Ïîñòóïèëè ê íàì çàêàçû îò ðàçíûõ çàâîäîâ íà ëèñòû, âûêðîåííûå êàêèìè-òî óñêîðíèêàìè âðîäå òåõ, ÷òî ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà ñ àïåëüñèíà êîðêó çâåçäî÷êîé ñíèìàòü, è âñå âû÷åð÷åíû â ðàçíûõ ìàñøòàáàõ, ê òîìó æå îäèí â ôóòîâîé ìåðå, äðóãèå â ìåòðè÷åñêîé, è íàäî èõ íå òîëüêî âûêðîèòü, íî è âûêîëîòèòü ïî ÷åðòåæó. Äóìàþ, íåñïðîñòà ýòî, õîòü è ñ ðàçíûõ çàâîäîâ. Âû÷åðòèë ÿ èõ âñå òðè â îäíîì ìàñøòàáå è ïîñìîòðåë, ÷òî áóäåò, åñëè èõ âñå âìåñòå ñëîæèòü. Ïîëó÷èëñÿ êàê áû áîëüøîé àìåðèêàíñêèé îðåõ. Òîãäà, ÿñíîå äåëî, ñîãëàñîâàë ÿ ó íèõ ïàçû, ñäåëàë íàêðîè, êàê ñëåäóåò âûêîëîòèë òðè ëèñòà è ñëîæèë âìåñòå. Ïðèåçæàåò Äæåâåöêèé, ñ íèì ôðàíöóç, ïîòîì ìîé ïðèÿòåëü Ãàðóò; êàê âçãëÿíóëè, òàê è àõíóëè: Âåäü ýòî ñåêðåò! Êàêîé òàì, ãîâîðþ, ñåêðåò; äàâàéòå ëó÷øå ÿ âàì â âàøèõ ëèñòàõ è äûðû ïðîêîëþ, à òî ïðèäåòñÿ íà ìåñòå òðåùåòêîé ñâåðëèòü íèêîãäà íå êîí÷èòå. Òàê è ñäåëàë ÿ èì ýòè ëèñòû, à ïîòîì èõ Ãàðóò íà ñâîåì çàâîäèêå ñêëåïûâàë. Êàæåòñÿ, â 1882 ã. Îõòèíñêàÿ âåðôü áûëà çàêðûòà. Çàâîä Áåðäà êóïèëî âíîâü îñíîâàííîå Ôðàíêî-ðóññêîå îáùåñòâî, êîòîðîå òàêæå ïîëó÷èëî â áåçâîçìåçäíîå «àðåíäíîå ïîëüçîâàíèå» Ãàëåðíûé îñòðîâîê ñ áûâøèìè íà íåì ýëëèíãàìè è ìàñòåðñêèìè. Ïðè ýòîì Îáùåñòâó áûëè çàêàçàíû ïî âûñîêîé öåíå êðåéñåðû «Âèòÿçü» è «Ðûíäà». Ïåðâûì äèðåêòîðîì îáðàçîâàâøèõñÿ Ôðàíêî-ðóññêèõ çàâîäîâ áûë ôðàíöóç, èíæåíåð Ïàâåë Êàðëîâè÷ Äþáþè, ðîäñòâåííèê ìîëîäîé êðàñàâèöû-ôðàíöóæåíêè Ìàðèè Èâàíîâíû, íà êîòîðîé íåçàäîëãî ïåðåä ýòèì æåíèëñÿ ìîðñêîé ìèíèñòð, àäìèðàë È.À.Øåñòàêîâ. Ñòàë Äþáþè èñêàòü êîðàáåëüíîãî èíæåíåðà, êîòîðîìó îí ìîã áû ââåðèòü âåðôü Ãàëåðíîãî îñòðîâêà è ïîñòðîéêó êðåéñåðîâ. Îáðàòèëñÿ îí ê ñâîåìó òîâàðèùó ïî ïàðèæñêîìó èíæåíåðíîìó ó÷èëèùó Äæåâåöêîìó, è òîò ðåêîìåíäîâàë åìó Ï.À.Òèòîâà. Òàêèì îáðàçîì, Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ñòàë ãëàâíûì èíæåíåðîì è óïðàâëÿþùèì âåðôüþ Ãàëåðíîãî îñòðîâêà, õîòÿ, îáëàäàÿ ðåäêîé ïðàêòè÷åñêîé îïûòíîñòüþ ïî âñåì ÷àñòÿì êîðàáëåñòðîåíèÿ, îí íå èìåë äèïëîìà äàæå ñåëüñêîé øêîëû. «Ðûíäà» è «Âèòÿçü» áûëè íàøè ïåðâûå ñóäà, ïîñòðîåííûå íå èç æåëåçà, à èç ñóäîñòðîèòåëüíîé ñòàëè, è Ïåòðó Àêèíäèíîâè÷ó ïðèøëîñü ñàìîìó âûðàáîòàòü âñå ïðèåìû ïðåäîñòîðîæíîñòè ïðè åå îáðàáîòêå, â îñîáåííîñòè ãîðÿ÷åé, êîòîðîé ÊÂÀÍT 2013/¹3 â òî âðåìÿ ïðè îñòðûõ îáâîäàõ, ïðè ââàðíûõ áèìñîâûõ êíèöàõ, ïðè ìíîæåñòâå ðàçíîãî ðîäà óãîëüíèêîâ áûëî îñîáåííî ìíîãî. Ïðè ñïóñêå «Âèòÿçü», ïî âèíå çàâåäóþùåãî çåìëå÷åðïàíèåì â Ïåòåðáóðãñêîì ïîðòó, ïîòåðïåë ñåðüåçíóþ àâàðèþ. Ýëëèíã, â êîòîðîì «Âèòÿçü» ñòðîèëñÿ, ïóñòîâàë 17 ëåò, è ïåðåä íèì èç ïðàâîãî óñòüÿ Ôîíòàíêè (òåïåðü çàïðóæåííîãî) íàíåñëî ìåëü. Äëÿ óñòðîéñòâà ïîäâîäíîãî ñïóñêîâîãî ôóíäàìåíòà ìåæäó äàìáàìè áûëà ñäåëàíà ïåðåìû÷êà, êîòîðóþ ðàçîáðàëè ïåðåä ñïóñêîì, âûäåðíóâ øïóíòîâûå ñâàè êðàíîì, ïðè÷åì ãëèíó, çàáèòóþ ìåæäó íèìè, áûëî ðåøåíî óáðàòü çåìëå÷åðïàëêîé, óãëóáèâ âìåñòå ñ òåì è êàíàë, ñîñòàâëÿâøèé ïðîäîëæåíèå êàíàëà ìåæäó äàìáàìè. Âîò ýòà ðàáîòà è áûëà âûïîëíåíà ïåòåðáóðãñêèì ïîðòîì íåäîñòàòî÷íî âíèìàòåëüíî, òàê ÷òî ïðè ñïóñêå «Âèòÿçü» ïðîáîðîçäèë êîðìîé ïî ãðóíòó, øêàëû (çàäåðæíèêè) ó ðóëÿ îáëîìèëèñü, ðóëü ïîëîæèëñÿ íà áîðò è âûâîðîòèë ïåòëè, âìåñòå ñ àõòåðøòåâíåì. Ïðåäñòîÿëà òÿæåëàÿ è ñëîæíàÿ ðàáîòà ïî çàìåíå àõòåðøòåâíÿ íîâûì, è òóò-òî è ïðîÿâèëàñü âñÿ îïûòíîñòü è íàõîä÷èâîñòü Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à. Îí ïîñòðîèë äåðåâÿííûé êåññîí ïî êîðìîâûì îáâîäàì «Âèòÿçÿ», ïîäâåë åãî ïîä êîðìó, âûêà÷àë âîäó è çà çèìó, íå ââîäÿ ñóäíà â äîê, ñìåíèë åìó àõòåðøòåâåíü. ×åðåç 20 ëåò ïîäîáíóþ æå ðàáîòó ïðîèçâåëè â Ïîðò-Àðòóðå Ï.Ô.Âåøêóðöåâ è Í.Å.Êóòåéíèêîâ, èñïðàâèâ ïîâðåæäåíèÿ, ïðè÷èíåííûå âçðûâàìè ìèí áðîíåíîñöàì «Ðåòâèçàí» è «Öåñàðåâè÷» è êðåéñåðó «Ïàëëàäà». Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîéêè «Ðûíäû» è «Âèòÿçÿ» Ôðàíêîðóññêèé çàâîä ïîëó÷èë çàêàç íà ïîñòðîéêó áðîíåíîñöà «Èìïåðàòîð Íèêîëàé I». Çäåñü Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ââåë öåëûé ðÿä îðèãèíàëüíûõ ïðèåìîâ ðàáîòû, âàæíåéøèì è ñàìûì ñìåëûì èç êîòîðûõ áûëà ïîñòðîéêà êîðàáëÿ áåç ðûáèí; âìåñòî ïîñëåäíèõ åìó ñëóæèëè äíèùåâûå è ïàëóáíûå ñòðèíãåðû. Çàâîäó ýòî äàâàëî íåñêîëüêî òûñÿ÷ ýêîíîìèè íà ëåñå è ðàáî÷åé ñèëå, íî Áðîíåíîñåö «Èìïåðàòîð Íèêîëàé I» çàòî òðåáîâàëî îò Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à íåîáûêíîâåííîé ýíåðãèè è òðóäà: âñþ ðàçáèâêó ñòðèíãåðîâ è ðàñòÿæêó èõ íà ïëàçå ñ ðàçìåòêîé öåíòðîâ äûð îí èñïîëíÿë ñàì, ñâîèìè ðóêàìè, ïîñëå øàáàøà è íî÷üþ, òàê êàê â ðàáî÷åå âðåìÿ îí âñåöåëî áûë ïîãëîùåí òåêóùåé ðàáîòîé. Ïîìîùíèêîâ èíæåíåðîâ ó íåãî íå áûëî. ß õîðîøî ïîìíþ ýòî âðåìÿ.  èþëå 1887 ã. ÿ áûë êîìàíäèðîâàí ïîñòóïëåíèåì â àêàäåìèþ íà ïðàêòèêó ïî êîðàáëåñòðîèòåëüíûì ðàáîòàì íà Ôðàíêî-ðóññêèé çàâîä. Îáëà÷èâøèñü â ïîëíóþ ïàðàäíóþ ôîðìó, ÿ ÿâèëñÿ ê íàáëþäàþùåìó çà ïîñòðîéêîé ñòàðøåìó ñóäîñòðîèòåëþ Í.Å.Êóòåéíèêîâó, ïîçíàêîìèëñÿ ñ ìîèìè áóäóùèìè ñîòîâàðèùàìè, åãî ïîìîùíèêàìè, êîðàáåëüíûìè èíæåíåðàìè Å.À.Ââåäåíñêèì, Í.È.Õîìÿêîâûì è Í.È.Áîêîâûì, à çàòåì ïîøåë ïðåäñòàâèòüñÿ óïðàâëÿþùåìó âåðôüþ. Ìåíÿ ðàäóøíî ïðèíÿë ñèäåâøèé çà ïèñüìåííûì ñòîëîì â ìàëåíüêîì, ïëîùàäüþ íå áîëåå 6 êâ. ìåòðîâ, êàáèíåòèêå ìîãó÷èé ðóññêèé áîãàòûðü, ñ êîòîðîãî Âàñíåöîâ ñìåëî ìîã áû ïèñàòü Èëüþ Ìóðîìöà. Âûñëóøàâ, ÷òî ìíå íàäî, îí ñêàçàë, ÷òî âñå, ÷òî åñòü íà çàâîäå, äëÿ ìåíÿ âñåãäà îòêðûòî è ÷òî ÷åì áîëüøåìó ÿ íàó÷óñü, òåì ðàäîñòíåå åìó áóäåò. Ýòî áûë Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ. Âñêîðå ìû ñ íèì, íåñìîòðÿ íà ðàçíèöó ëåò (îí áûë ñòàðøå ìåíÿ íà 20 ëåò), ñîøëèñü, à çàòåì è ïîäðóæèëèñü. Ïðè ïîñòðîéêå «Íèêîëàÿ I» Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ïðèìåíèë è öåëûé ðÿä äåòàëüíûõ óñîâåðøåíñòâîâàíèé â ïðîèçâîäñòâå ðàáîò, êîòîðûå âåëè ê áîëüøåé èõ òî÷íîñòè è òùàòåëüíîñòè, íå òîëüêî íå ïîâûøàÿ ñòîèìîñòè, íî äàæå ñíèæàÿ åå. Êàê ïðèìåð, óêàæó íà ðàçìåòêó è çàòåì ïðîêîëêó äûð. Äûðû íà ëèñòàõ ðàçìå÷àëèñü ïî ðåéêå ñ ïëàçà, è íàìå÷åííûå öåíòðû èõ ñïåðâà ïðîêåðíèâàëèñü, êàê îáû÷íî, êåðíåðîì, ïî êîòîðîìó ðàçìåò÷èê óäàðÿë ðó÷íèêîì; ïîëó÷àëñÿ êîíè÷åñêèé êåðí äèàìåòðîì îêîëî 2 ìì. Ïîñëå ýòîãî ïðîõîäèëè âòîðûì êåðíåðîì èëè áîðîäêîì, ïî êîòîðîìó ìîëîòîáîåö óäàðÿë òÿæåëîé êóâàëäîé; ïîëó÷àëñÿ êîíè÷åñêèé æå êåðí, íî äèàìåòðîì îêîëî 6 ìì è ãëóáèíîé îêîëî 4 ìì. Øòåìïåëü äûðîïðîáèâíîãî ïðåññà îêàí÷èâàëñÿ íå ïðîñòî êðóãîì, êàê îáûêíîâåííî, à â ñåðåäèíå ýòîãî êðóãà âîçâûøàëñÿ êîíóñ âûñîòîé îêîëî 5 ìì ïðè äèàìåòðå îêîëî 7 ìì. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ïðîêàëûâàíèå äûð ïðîèñõîäèëî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Øòåìïåëü, ñïóñêàÿñü, ïðåæäå ÷åì íàæàòü ëèñò, êàñàëñÿ ïðîèçâîäÿùåé ñâîåãî êîíóñà, ïðîêåðíåííîãî íà ëèñòå, è ñàì ñîáîé ïðîäâèãàë ëèñò òàê, ÷òî îñè îáîèõ êîíóñîâ ñîâïàäàëè. Ëèñò ïîëó÷àëñÿ àáñîëþòíî öåíòðèðîâàííûì, à äûðà ïðàâèëüíî ïðîáèòîé. Äðóãîé, òàêæå ïî âèäó, ìåëî÷üþ, çíà÷èòåëüíî óñêîðÿâøåé è óòî÷íÿâøåé ðàáîòó, áûëà çåíêîâêà äûð. Íàäî ïîìíèòü, ÷òî 50 ëåò íàçàä ïíåâìàòèêè íå áûëî, ýëåêòðè÷åñêîå îñâåùåíèå áûëî â çàðîäûøå (÷åòûðå ñâå÷è ßáëî÷êîâà áîëüøå äëÿ êóðüåçà, ÷åì äëÿ ñâåòà, íà âåñü ýëëèíã), î ãàçîâîé ðåçêå íèêòî è íå ïîìûøëÿë. Åñëè íàäî áûëî ñâåðëèòü èëè çåíêîâàòü äûðó íà ìåñòå, òî ýòî äåëàëîñü âðó÷íóþ òðåùîò- Ê 150-ËÅÒÈÞ êîé, èáî äðóãèõ ñðåäñòâ íå áûëî. Îòñþäà, åñòåñòâåííî, âîçíèêàëà çàáîòà âñå äûðû ðàççåíêîâàòü íà ñòàíêå. Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ è òóò ââåë êðàéíå ïðîñòîå ïðèñïîñîáëåíèå çåíêîâêó ñ íàïðàâëÿþùèì ñòåðæíåì è çàïëå÷èêîì. Ðàáî÷èé, çåíêóÿ, ïðîñòî íàæèìàë ðû÷àã, ïîêà çàïëå÷èê çåíêîâêè íå óïðåòñÿ â ïîâåðõíîñòü ëèñòà. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèì îáðàçîì ðàáîòà øëà áûñòðåå, íå òðåáóÿ ñî ñòîðîíû ðàáî÷åãî íàïðÿæåííîãî âíèìàíèÿ, è âñå äûðû ïîòîì ïîëó÷àëèñü àáñîëþòíî îäèíàêîâûìè è íàçíà÷åííîãî ðàçìåðà. Ïëîòíîñòü êëåïêè ñèëüíî çàâèñèò îò ïðàâèëüíîãî äåðæàíèÿ è äîñòàòî÷íîãî âåñà ïîääåðæêè. Íà ýòó ñòîðîíó Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ îáðàùàë îñîáåííîå âíèìàíèå, è ó íåãî áûë öåëûé ðÿä âåñüìà îñòðîóìíûõ è ïðîñòûõ ïðèñïîñîáëåíèé, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ïðàâèëüíîå äåðæàíèå òÿæåëîé ïîääåðæêè, íå âûçûâàÿ èçëèøíåãî óòîìëåíèÿ ðàáî÷åãî. ×åêàíêà â òî âðåìÿ, ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ïðîèçâîäèëàñü âðó÷íóþ, è çäåñü Òèòîâûì òàêæå áûëè âûðàáîòàíû ñâîè ïðèåìû ðàáîòû. Ñðåäè ðàáî÷èõ Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ïîëüçîâàëñÿ áåçãðàíè÷íûì óâàæåíèåì è àâòîðèòåòîì, èáî ðàáî÷èå âèäåëè â íåì ñâîåãî ÷åëîâåêà, êîòîðûé êàæäóþ ðàáîòó çíàë è óìåë âûïîëíÿòü â ñîâåðøåíñòâå. È äåéñòâèòåëüíî, ÷àñòî ìîæíî áûëî âèäåòü, êàê Òèòîâ ïîäõîäèë ê ìîëîäîìó, åùå íåîïûòíîìó ðàáî÷åìó, áðàë ó íåãî, íàïðèìåð, ðó÷íèê è çóáèëî è ïîêàçûâàë, êàê íàäî, îáðóáàÿ êðîìêó ëèñòà, äåðæàòü çóáèëî, êàê áèòü ðó÷íèêîì è ïðî÷åå. Ïðè ýòîì ñòðóæêà ó íåãî çàâèâàëàñü êàê áû ñàìà ñîáîé, è ñòàðèêè-ðàáî÷èå ëþáîâàëèñü åãî ðàáîòîé.  òî âðåìÿ íå ñóùåñòâîâàëî åùå è ñâåòîêîïèðîâêè. Ïîäëèííûå ÷åðòåæè, ïðåäñòàâëÿâøèåñÿ íà óòâåðæäåíèå ìèíèñòðó èëè èíûì âûñîêèì íà÷àëüíèêàì, èñïîëíÿëèñü íà áóìàãå â òóøü è ðàñêðàøèâàëèñü; êîïèè ñíèìàëèñü íà êîëåíêîð è òàêæå ðàñêðàøèâàëèñü. Ïîýòîìó íà îáùèõ ÷åðòåæàõ, ïîñòóïàâøèõ íà çàâîä èç Ìîðñêîãî òåõíè÷åñêîãî êîìèòåòà äëÿ ðóêîâîäñòâà ïðè ïîñòðîéêå, ñ ãîðàçäî áîëüøåé òùàòåëüíîñòüþ ðàçäåëûâàëèñü ïóãîâèöû íà êðåñëàõ àäìèðàëüñêîé êàþòû èëè óçîð åå êîâðà, íåæåëè ñóùåñòâåííûå äåòàëè ñóäíà. Âñå ðàáî÷èå è èñïîëíèòåëüíûå ÷åðòåæè ðàçðàáàòûâàëèñü ñàìèì çàâîäîì, è âîò òóò âñå äèâèëèñü íà Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à. Âñÿ êîðàáëåñòðîèòåëüíàÿ ÷åðòåæíàÿ çàíèìàëà êîìíàòó ïðèìåðíî â 30 êâ. ìåòðîâ, â êîòîðîé ïîìåùàëîñü ñåìü ÷åðòåæíûõ ñòîëîâ; èç íèõ îäèí áûë çàíÿò çàâåäóþùèì ÷åðòåæíîé èíæåíåð-òåõíîëîãîì À.Ì.Êàðíèöêèì, íà äâóõ äðóãèõ ðàáîòàëè ñòàðøèå ÷åðòåæíèêè Íàäòî÷ååâ è Ìèõàéëîâ, à íà îñòàëüíûõ ÷åòûðå ìîëîäûõ ÷åðòåæíèêà-êîïèèñòà. Äëÿ âñÿêîé äåòàëè, äëÿ âñÿêîãî óñòðîéñòâà, äàæå òàêèõ êðóïíûõ, êàê øòåâíè, ðóëåâàÿ ðàìà, êðîíøòåéíû äëÿ âàëîâ è ïð., Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ äàâàë íàáðîñàííûé èì ñàìèì ýñêèç ñ ðàçìåðàìè. ×åðòèë îí îò ðóêè íà îáûêíîâåííîé ãðàôëåíîé â êëåòêó áóìàãå, âñåãäà ïåðîì è ñ íåîáûêíîâåííîé áûñòðîòîé. Ïåðåäàâ ÷åðòåæ Íàäòî÷ååâó èëè Ìèõàéëîâó, îí èçðåäêà ïîäõîäèë ê íèì, ÷òîáû ïîïðàâèòü êàêóþ-ëèáî ìåëî÷ü èëè óêàçàòü ïîäðîáíîñòü. Âåðíîñòü åãî ãëàçà áûëà ïîðàçèòåëüíàÿ. Íàçíà÷àÿ, íàïðèìåð, ðàçìåðû îòäåëüíûõ ÷àñòåé ÿêîðíîãî èëè áóêñèðíîãî óñòðîéñòâà, èëè øëþïáàëîê, èëè ïîäêðåïëåíèé ïîä îðóäèÿ, îí íèêîãäà íå çàãëÿäûâàë íè â êàêèå ñïðàâî÷íèêè, ñòîÿâøèå íà ïîëêå â åãî êàáèíåòå, è, ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, íå äåëàë, äà è íå óìåë äåëàòü íèêàêèõ ðàñ÷åòîâ. Í.Å.Êóòåéíèêîâ, áûâøèé â òî âðåìÿ ñàìûì îáðàçîâàííûì êîðàáåëüíûì èíæåíåðîì â íàøåì ôëîòå, ÷àñòî ïûòàëñÿ ïðîâåðÿòü ðàñ÷åòàìè ðàçìåðû, íàçíà÷åííûå Òèòîâûì, íî âñêîðå óáåäèëñÿ, ÷òî ýòî íàïðàñíûé òðóä, ðàñ÷åò ëèøü ïîäòâåðæäàë òî, ÷òî Òèòîâ íàçíà÷èë íà ãëàç. Ýòè ðàñ÷åòû Í.Å.Êóòåéíèêîâ ïîðó÷àë èñïîëíÿòü ñâîèì À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ ïîìîùíèêàì. Åùå áóäó÷è â Ìîðñêîì ó÷èëèùå, ÿ ñàìîñòîÿòåëüíî èçó÷èë ïðèìåðíî óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ âûñøåãî àíàëèçà; ïîñëå âûïóñêà ÿ òðè ãîäà ðàáîòàë ïî äåâèàöèè êîìïàñîâ è ïî ðàçíûì äðóãèì âîïðîñàì, òðåáîâàâøèì ïðèëîæåíèÿ ìàòåìàòèêè (êàê ïîìîùíèê È.Ï.Êîëîíãà è ïîä åãî ðóêîâîäñòâîì). Í.Å.Êóòåéíèêîâ âñêîðå çàìåòèë, ÷òî ÿ ãîðàçäî ñâîáîäíåå âëàäåþ ìàòåìàòèêîé, íåæåëè åãî ïîìîùíèêè-èíæåíåðû, è ïîýòîìó áîëåå ñëîæíûå ðàñ÷åòû ñòàë ïîðó÷àòü ìíå. Çàìåòèë ýòî è Òèòîâ è èíîãäà, ïîäçûâàÿ ìåíÿ, ãîâîðèë: Çàéäè-êà, ìè÷ìàí, êî ìíå, ïîäñ÷èòàé-êà ìíå îäíó øòó÷êó.  1888 ã. ÿ ïîñòóïèë â Ìîðñêóþ àêàäåìèþ, â 1890 ã. îêîí÷èë â íåé êóðñ è áûë ñðàçó íàçíà÷åí ðóêîâîäèòåëåì ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ñëóøàòåëåé ïî ìàòåìàòèêå; âñêîðå, ââèäó áîëåçíè, à çàòåì äëèòåëüíîé êîìàíäèðîâêè À.À.Ãðåõíåâà, ìíå áûëî ïîðó÷åíî ÷òåíèå êóðñà òåîðèè êîðàáëÿ.  ýòî âðåìÿ íà Ôðàíêî-ðóññêîì çàâîäå ñòðîèëñÿ áðîíåíîñåö «Íàâàðèí», è ÿ ÷àñòåíüêî çàáåãàë íà Ãàëåðíûé îñòðîâîê ïðîâåäàòü Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à è óâèäåòü ÷òî-íèáóäü íîâåíüêîå. Êàê-òî ðàç îí ìíå è ãîâîðèò: Õîòü òû òåïåðü è ïðîôåññîð, äà è ÷èí ó òåáÿ äðóãîé, à ÿ âñå òåáÿ ìè÷ìàíîì áóäó çâàòü. Òàê âîò, ìè÷ìàí, âèæó ÿ, òû ïî öèôèðíîìó äåëó ìàñòàê. Îáó÷è òû ìåíÿ ýòîé öèôèðè, ñêîëüêî åå äëÿ ìîåãî äåëà íóæíî, òîëüêî íèêîìó íå ãîâîðè, à òî åùå ìåíÿ çàñìåþò. È ñòàëè ìû ñ Ïåòðîì Àêèíäèíîâè÷åì ïî âå÷åðàì êàæäóþ ñðåäó è ñóááîòó çàíèìàòüñÿ ìàòåìàòèêîé, íà÷àâ ñ ýëåìåíòàðíîé àëãåáðû. Íå÷åãî ãîâîðèòü, ÷òî ÿ ðåäêî âñòðå÷àë ñòîëü ñïîñîáíîãî ó÷åíèêà è íèêîãäà íå âñòðå÷àë ñòîëü óñåðäíîãî. Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ áûñòðî óâèäåë, ÷òî àëãåáðà åñòü îñíîâíîé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíò, è ðåøèë, ÷òî èì íàäî íàó÷èòüñÿ âëàäåòü áûñòðî, óâåðåííî è áåçîøèáî÷íî. È âîò, âîçâðàòèâøèñü ñ çàâîäà, îí ñàäèëñÿ çà çàäà÷íèê Áû÷êîâà è äî ïîçäíåé íî÷è ðåøàë çàäà÷ó çà çàäà÷åé, ÷òîáû «ðóêó íàáèòü». Òàê ìû â äâà ãîäà ïðîøëè ýëåìåíòàðíóþ àëãåáðó, òðèãîíîìåòðèþ, íà÷àëà àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, íà÷àëà äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, îñíîâàíèÿ ñòàòèêè, îñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ è íà÷àëà òåîðèè êîðàáëÿ. Òèòîâó áûëî òîãäà 4849 ëåò. Îñîáåííî ðàäîâàëñÿ Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ïîñëå òîãî, êàê îí óñâîèë òðèãîíîìåòðèþ, âû÷èñëåíèå ïî ëîãàðèôìàì è ïîëüçîâàíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêîé, ÷òî òîãäà òîæå áûëî êàê áû ðåäêîñòüþ.  òî âðåìÿ êîãäà ìû, íàêîíåö, äîøëè äî ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ è ðàñ÷åòîâ áàëîê, ñòîåê è ïð., êàê ðàç çàêàí÷èâàëàñü ïîñòðîéêà «Íàâàðèíà», è íå ðàç Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ãîâàðèâàë ìíå: Íó-êà, ìè÷ìàí, äàâàé ñ÷èòàòü êàêóþ-íèáóäü ñòðåëó èëè øëþïáàëêó. Ïî îêîí÷àíèè ðàñ÷åòà îí îòêðûâàë ÿùèê ñâîåãî ïèñüìåííîãî ñòîëà, âûíèìàë ýñêèç è ãîâîðèë: Äà, ìè÷ìàí, òâîè ôîðìóëû âåðíûå: âèäèøü, ÿ ðàçìåðû íàçíà÷èë íà ãëàç ñõîäÿòñÿ. Ëèøü âîñåìíàäöàòü ëåò ñïóñòÿ, çàíèìàÿ ñàìóþ âûñîêóþ äîëæíîñòü ïî êîðàáëåñòðîåíèþ, ÿ îöåíèë èñòèííîå çíà÷åíèå ýòèõ ñëîâ Òèòîâà. Íàñòîÿùèé èíæåíåð äîëæåí âåðèòü ñâîåìó ãëàçó áîëüøå, ÷åì ëþáîé ôîðìóëå; îí äîëæåí ïîìíèòü ñëîâà íàòóðàëèñòà è ôèëîñîôà Ãåêñëè: «Ìàòåìàòèêà, ïîäîáíî æåðíîâó, ïåðåìàëûâàåò ëèøü òî, ÷òî ïîä íåãî çàñûïàþò», è âîò íà ýòó-òî çàñûïêó ïðåæäå âñåãî èíæåíåð è äîëæåí ñìîòðåòü. Êàæåòñÿ, â 1891 ã. ïðèåõàë â Ïåòåðáóðã ïðåäñåäàòåëü ïðàâëåíèÿ Îáùåñòâà ôðàíêî-ðóññêèõ çàâîäîâ, ñòàðèê-ôðàíöóç, áûâøèé ìíîãî ëåò äèðåêòîðîì êîðàáëåñòðîåíèÿ ôðàí- ÊÂÀÍT 2013/¹3 öóçñêîãî ôëîòà, ÷ëåí Ïàðèæñêîé àêàäåìèè íàóê, çíàìåíèòûé èíæåíåð äå Áþññè. Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî îí ïîñåòèë ïîñòðîéêó «Íàâàðèíà». Ï.Ê.Äþáþè õîòåë åãî áûñòðåíüêî ïðîâåñòè ïî ïîñòðîéêå è óâåñòè íà êàêîé-òî çâàíûé çàâòðàê. Íî íå òóò-òî áûëî. Ñòàðèê ñðàçó çàìåòèë, ÷òî ïîñòðîéêà âåäåòñÿ íå ðóòèííûìè, à îðèãèíàëüíûìè ñïîñîáàìè, áûñòðî ñâåë Äþáþè íà ðîëü ïðîñòîãî ïåðåâîä÷èêà è ñòàë âíèêàòü âî âñå äåòàëè, ðàññïðàøèâàÿ Òèòîâà. Îí çàáûë è ïðî çàâòðàê, îáëàçèë âåñü êîðàáëü, ïðîâåäÿ íà ïîñòðîéêå ÷àñà ÷åòûðå. Ðàññòàâàÿñü, îí âçÿë Òèòîâà çà ðóêó è, íå âûïóñêàÿ åå, ñêàçàë ïðè âñåõ Äþáþè: Ïåðåâåäèòå âàøåìó èíæåíåðó ìîè ñëîâà. ß 48 ëåò ñòðîèë ñóäà ôðàíöóçñêîãî ôëîòà, ÿ áûâàë íà âåðôÿõ âñåãî ìèðà, íî íèãäå ÿ ñòîëü ìíîãîìó íå íàó÷èëñÿ, êàê íà ýòîé ïîñòðîéêå. Òèòîâ áûë ðàñòðîãàí ïî÷òè äî ñëåç, çàòî âå÷åðîì è áûëî æå ó íåãî ïðèÿòåëÿì óãîùåíèå! Êàæåòñÿ, â 1892 èëè 1893 ã. Ìîðñêîå ìèíèñòåðñòâî îðãàíèçîâàëî êîíêóðñ íà ñîñòàâëåíèå ïðîåêòà áðîíåíîñöà ïî îáúÿâëåííûì çàäàíèÿì, ïðè÷åì áûëè íàçíà÷åíû äâå äîâîëüíî êðóïíûå ïðåìèè. Íà êîíêóðñ áûëî ïðåäñòàâëåíî ìíîãî ïðîåêòîâ, è ïî ðàññìîòðåíèè èõ Òåõíè÷åñêèì êîìèòåòîì áûëè ïðèçíàíû: çàñëóæèâàþùèì ïåðâîé ïðåìèè ïðîåêò ïîä äåâèçîì «Íåïîáåäèìûé» è âòîðîé ïðåìèè ïðîåêò ïîä äåâèçîì «Êðåìëü». Âñêðûâàþò êîíâåðò ñ äåâèçîì è ÷èòàþò: «Ñîñòàâèòåëü ïðîåêòà ïîä äåâèçîì «Íåïîáåäèìûé» èíæåíåð Ôðàíêîðóññêîãî çàâîäà Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ»; çàòåì ÷èòàþò: «Ñîñòàâèòåëü ïðîåêòà ïîä äåâèçîì «Êðåìëü» èíæåíåð Ôðàíêî-ðóññêîãî çàâîäà Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ». Ïðîèçîøëà íåìàÿ ñöåíà, áîëåå êàðòèííàÿ, íåæåëè çàêëþ÷èòåëüíàÿ ñöåíà â «Ðåâèçîðå», èáî ìíîãèå ÷ëåíû êîìèòåòà îòíîñèëèñü ê Òèòîâó ñâûñîêà è ãîâîðèëè ïðî íåãî: «Äà îí äëÿ âðàçóìèòåëüíîñòè ñëîâî èíæåíåð ïèøåò ñ äâóìÿ ÿòÿìè». È âäðóã òàêîé ïàññàæ: äâà åãî ïðîåêòà, îðèãèíàëüíûõ, îòëè÷íî ðàçðàáîòàííûõ, ïðåâîñõîäíî âû÷åð÷åííûõ è ñíàáæåííûõ âñåìè òðåáóåìûìè ðàñ÷åòàìè, ïîëó÷àþò îáå âûñøèå ïðåìèè. Îò ïîëó÷åíèÿ ïðåìèé Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ îòêàçàëñÿ, ïåðåäàâ èõ, êàæåòñÿ, â ïîëüçó Ìîðñêîãî èíæåíåðíîãî ó÷èëèùà. Íî íå ñóæäåíî áûëî Ïåòðó Àêèíäèíîâè÷ó ïîñòðîèòü íè «Íåïîáåäèìîãî», íè «Êðåìëÿ» â íî÷ü íà 16 àâãóñòà 1894 ã. îí âíåçàïíî ñêîí÷àëñÿ â âîçðàñòå 51 ãîäà, â ïîëíîì ðàñöâåòå ñèë è òàëàíòà. Î âîëíîâîì ñîïðîòèâëåíèè âîäû è î ñïóòíîé âîëíå À.ÊÐÛËΠΠÑÅÍÜÞ 1885 Ã. ÌÍÅ ÏÐÈØËÎÑÜ ÏÎÄ ÐÓÊÎ- âîäñòâîì È.Ï.Êîëîíãà óíè÷òîæàòü äåâèàöèþ ó êîðìîâûõ ïóòåâûõ êîìïàñîâ ìèííîãî êðåéñåðà «Ëåéòåíàíò Èëüèí», êîòîðûé òîãäà âûøåë íà ïðèåìíûå õîäîâûå èñïûòàíèÿ.  òî âðåìÿ ýòî áûëî ñàìîå áûñòðîõîäíîå è ñàìîå áîëüøîå èç ìèííûõ ñóäîâ íàøåãî ôëîòà. Åãî õîä áûë ðàâåí 2021 óçëó 1, âîäîèçìåùåíèå 750 ò. Ìåíÿ òîãäà æå ïîðàçèëè ïî÷òè ïîëíîå îòñóòñòâèå áóðóíà ó ôîðøòåâíÿ, íåçíà÷èòåëüíîñòü íîñîâîé âîëíû, ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèå ðàñõîäÿùèåñÿ âîëíû è ñèñòåìà âåñüìà áîëüøèõ (âûñîòîé îêîëî 2 ì) ïîïåðå÷íûõ âîëí çà êîðìîé, áåæàâøèõ çà êîðàáëåì, íî ñî ñêîðîñòüþ, ìåíüøåé ñêîðîñòè åãî õîäà, òàê ÷òî ýòà ñèñòåìà âîëí îòñòàâàëà îò êîðàáëÿ; îäíàêî ïðè ìåðòâîì øòèëå îíà áûëà ÿñíî çàìåòíà íà ðàññòîÿíèè áîëåå 2 ìèëü, ÷òî áûëî âèäíî ïî âåõàì ìåðíîé ìèëè. Âîëíû íà ñâîå îáðàçîâàíèå òðåáóþò çàòðàòû ýíåðãèè; ñòàíîâèëîñü ÿñíûì, ÷òî ýòà ýíåðãèÿ äîñòàâëÿëàñü ãëàâíûìè 1 Èíòåðåñíî, ÷òî: 1 óçåë = 1 ìîðñêàÿ ìèëÿ â ÷àñ, 1 ìîðñêàÿ ìèëÿ â ÷àñ = 1,852 êì, 1 ôóò = 12 äþéìîâ = 0,3048 ì, 1 ñàæåíü = 1/500 âåðñòû = 3 àðøèíà = 12 ïÿäåé = = 48 âåðøêîâ = 7 ôóòîâ = 2,1336 ì. (Ïðèì. ðåä.) Ïîðòðåò À.Í.Êðûëîâà çà ðàáîòîé ìåõàíèçìàìè êîðàáëÿ è áåçâîçâðàòíî óíîñèëàñü â ìîðå. Ýòî ÿâëÿëîñü âåñüìà íàãëÿäíûì ïîäòâåðæäåíèåì òåîðèè, äàííîé çà 10 ëåò ïåðåä òåì Â.Ôðóäîì, çàêëþ÷àþùåéñÿ â ïîäðàçäåëåíèè ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Ê 150-ËÅÒÈÞ âîäû íà ñîïðîòèâëåíèå îò òðåíèÿ è âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå è â ðàçäåëüíîì îïðåäåëåíèè òîãî è äðóãîãî ïî îïûòàì íàä ìîäåëÿìè, à çàòåì îïðåäåëåíèè ïîòðåáíîé ìîùíîñòè äëÿ äàííîé ñêîðîñòè õîäà êîðàáëÿ. Íàø Îïûòîâûé áàññåéí áûë îòêðûò â 1892 ã. ïî ñîâåòó Ä.È.Ìåíäåëååâà. 1 ÿíâàðÿ 1900 ã. ÿ áûë íàçíà÷åí íà äîëæíîñòü çàâåäóþùåãî áàññåéíîì è ñ ëåòà 1900 ã. ïðèñòóïèë ê ðÿäó íàòóðíûõ ïðîãðåññèâíûõ èñïûòàíèé ñóäîâ, êîòîðûå ïðåæäå ïî÷òè íå ïðîèçâîäèëèñü; ïàðàëëåëüíî èñïûòûâàëèñü è ìîäåëè ýòèõ ñóäîâ. Áûëî âåñüìà óäèâèòåëüíî, íàñêîëüêî áëèçêî òåîðèÿ Ôðóäà, íåñìîòðÿ íà èçâåñòíîå åå ïðîòèâîðå÷èå òåîðåòè÷åñêèì îñíîâàì ãèäðîäèíàìèêè, ñîãëàñîâàëàñü ñ äåéñòâèòåëüíîñòüþ (ïîãðåøíîñòü â ñêîðîñòè ñîñòàâëÿëà îêîëî 22,5%), õîòÿ ìíîãèå ñóäà («Ïåòðîïàâëîâñê», «Ñåâàñòîïîëü», «Ïîëòàâà», «Àëåêñàíäð III») áûëè ïîëíîãî îáðàçîâàíèÿ è ãëàâíàÿ ÷àñòü ìîùíîñòè ïîãëîùàëàñü ó íèõ âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì.  ÿíâàðå 1898 ã. áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ Ìèò÷åëÿ î òåîðèè âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. ß ïûòàëñÿ òîãäà æå ïðèëîæèòü ýòó òåîðèþ ê âû÷èñëåíèþ âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, íî ñ ïåðâûõ æå øàãîâ âñòðåòèë òàêèå îñíîâíûå ãèïîòåçû, îáùèå äëÿ áîëüøåé ÷àñòè ïîëîæåíèé êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêè, êîòîðûå ìåíÿ ñðàçó îòòîëêíóëè îò çàòðàòû áîëüøîãî òðóäà è âðåìåíè íà îáñòîÿòåëüíîå èçó÷åíèå ñòàòüè Ìèò÷åëÿ è íà ïîñòàíîâêó îïûòîâ äëÿ åå ïðîâåðêè, íàñòîëüêî ýòè ãèïîòåçû êàçàëèñü ïðîòèâîðå÷àùèìè âñåé óñòàíîâèâøåéñÿ ïðàêòèêå áàññåéíîâ, êàê íàøåãî, òàê è çàãðàíè÷íûõ. Ê òàêîãî ðîäà ãèïîòåçàì îòíîñÿòñÿ ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ. 1. Æèäêîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ èäåàëüíîé, ò.å. íå âÿçêîé. Âñÿ æå äåÿòåëüíîñòü áàññåéíà îñíîâûâàëàñü íà âû÷èñëåíèè òðåíèÿ íà îñíîâàíèè îïûòîâ Ôðóäà, à â èäåàëüíîé æèäêîñòè âíóòðåííåãî òðåíèÿ èëè âÿçêîñòè íåò. 2. Æèäêîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ íåñæèìàåìîé òàêàÿ æèäêîñòü çâóêà ïðîâîäèòü íå ìîæåò. Ìåæäó òåì, â ýòî âðåìÿ èçó÷àëñÿ ãèäðîôîí ñèñòåìû Íèðåíáåðãà; ãèäðîôîí òàê îãëóøèòåëüíî âûë â Ãàëåðíîé ãàâàíè, ÷òî åãî áûëî ñëûøíî çà 7 âåðñò íà Íåâñêîì ïëàâó÷åì ìàÿêå; ïî âîçäóõó æå òóäà çâóê íå äîñòèãàë. Ïðåäâàðèòåëüíûå îïûòû ñ ýòèì ãèäðîôîíîì ïðîèçâîäèëèñü â áàññåéíå. Îïÿòü âûõîäèëî íåïðèìèðèìîå ïðîòèâîðå÷èå ìåæäó òåîðåòè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêîé èäåàëüíîé æèäêîñòè è ïðàêòèêîé.  1909 ã., êîãäà ÿ óæå áûë ãëàâíûì èíñïåêòîðîì êîðàáëåñòðîåíèÿ è ïðåäñåäàòåëåì Ìîðñêîãî òåõíè÷åñêîãî êîìèòåòà, ïî ìîåìó ïðåäñòàâëåíèþ, ââèäó ïðåäñòîÿâøèõ èñïûòàíèé áû- Êðåéñåð «Êàãóë» À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ ! ñòðîõîäíûõ ìèíîíîñöåâ è ñòðîèâøèõñÿ íàøèõ ïåðâûõ äðåäíîóòîâ, áûëî ðåøåíî ïðîèçâåñòè â ×åðíîì ìîðå, íà Ëóêóëëüñêîé ìåðíîé ìèëå, èñïûòàíèÿ âëèÿíèÿ ãëóáèíû âîäû íà âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå. Äëÿ ïðîèçâîäñòâà ýòèõ èñïûòàíèé áûëà íàçíà÷åíà êîìèññèÿ ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì çàâåäóþùåãî áàññåéíîì ïðîô. È.Ã.Áóáíîâà ïðè ó÷àñòèè ïåðñîíàëà áàññåéíà.  ðàñïîðÿæåíèå êîìèññèè áûë ïðåäîñòàâëåí íà äâà ìåñÿöà êðåéñåð «Êàãóë», âîäîèçìåùåíèåì 6500 ò, ñòîèìîñòüþ â 8 ìëí òîãäàøíèõ ðóáëåé; òàêèì îáðàçîì, îäíî ïîãàøåíèå è ïðîöåíòû íà çàòðà÷åííûé êàïèòàë çà äâà ìåñÿöà ñîñòàâëÿëè îêîëî 150000 ðóáëåé. Ê ýòèì íàêëàäíûì ðàñõîäàì íàäî ïðèáàâèòü ñîäåðæàíèå è äîâîëüñòâèå êîìàíäû (500 ÷åëîâåê), îôèöåðîâ è ìåõàíèêîâ (25 ÷åëîâåê) è ñòîèìîñòü óãëÿ, ìàñëà è ïð. åùå îêîëî 50000 ðóáëåé. Ðåçóëüòàòû ýòèõ èñïûòàíèé, ïðîèçâåäåííûõ ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííûìè ñàìîçàïèñûâàþùèìè ïðèáîðàìè, áûëè îïóáëèêîâàíû îòäåëüíîé êíèãîé è íå óòðàòèëè ñâîåãî çíà÷åíèÿ è ïîó÷èòåëüíîñòè è ïî ñèå âðåìÿ. Äåëî â òîì, ÷òî ïðîô. Ñðåòåíñêèé â 1938 ã. ðàçâèë è îáîáùèë òåîðèþ Ìèò÷åëÿ, à ïðîô. Õàíîâè÷ è ïðîô. Ïàâëåíêî ïîêàçàëè óïðîùåííûå ñïîñîáû ïðîèçâîäñòâà îòíîñÿùèõñÿ ñþäà ÷èñëîâûõ ðàñ÷åòîâ. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé «Êàãóëà» äàþò âîçìîæíîñòü ñëè÷èòü ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ñ íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäåííûìè äàííûìè, óñòàíîâèâ ïðè ýòîì ðàçìåðû ñïóòíîé âîëíû, ÷òî ïðè òåïåðåøíèõ áûñòðîõîäíûõ ñóäàõ è ñðàâíèòåëüíîì ìåëêîâîäüå Ôèíñêîãî çàëèâà ïîëó÷àåò íåìàëîâàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Íà òîé æå Ëóêóëëüñêîé ìåðíîé ìèëå â 1915 ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì êîíòð-àäìèðàëà Áåëîãîëîâîãî ðàáîòàëà êîìèññèÿ ïî ïðîèçâîäñòâó ïðèåìíûõ èñïûòàíèé øåñòè ìèíîíîñöåâ òèïà «Áûñòðûé» (âîäîèçìåùå- " ÊÂÀÍT 2013/¹3 íèå 1350 ò, ìàøèíà â 30000 ë.ñ., õîä 35 óçëîâ).  ÷èñëå êîíòðàêòíûõ èñïûòàíèé áûëî îãîâîðåíî 10-÷àñîâîå èñïûòàíèå ïðè ñêîðîñòè â 30 óçëîâ, ÷òî òðåáîâàëî ìîùíîñòè îêîëî 0,8 îò ïîëíîé. Íå çíàÿ îá èñïûòàíèÿõ «Êàãóëà» èëè íå ïðèäàâàÿ èì çíà÷åíèÿ, êîíòð-àäìèðàë Áåëîãîëîâûé õîòåë äîáèòüñÿ òðåáóåìîãî õîäà 30 óçëîâ è íà ãëóáèíå îêîëî 20 ì. Îäíàêî, õîòÿ ìàøèíà ðàçâèëà ìîùíîñòü íå â 20000, à â 30000 ñèë è äàæå áîëüøå, õîä îñòàâàëñÿ ðàâíûì 29 óçëàì è äàëüøå íå âîçðàñòàë. Çà êîðìîé áåæàëà ãðîìàäíàÿ âîëíà, è, åñëè áû íå ïðîòåñò ïðåäñòàâèòåëÿ çàâîäà (ñ çàïèñüþ â àêò èñïûòàíèé è â âàõòåííûé æóðíàë), êîòëû áûëè áû ñîææåíû è ïðîèçîøåë áû ìàññîâûé ðàçðûâ êîòåëüíûõ òðóáîê, ïðè÷åì ïîñòðàäàëè áû êî÷åãàðû, ïîäîáíî òîìó êàê â 1888 ã. îò äðóãîé ïðè÷èíû íà áðîíåíîñöå «Ñèíîï» áûëè îáâàðåíû íàñìåðòü 29 êî÷åãàðîâ è ìàòðîñîâ. Àâàðèÿ íà «Êàãóëå» èìåëà áû è äðóãèå ÷ðåçâû÷àéíî òÿæåëûå ïîñëåäñòâèÿ: ëè÷íûé ñîñòàâ âñåãî ôëîòà ïîòåðÿë áû äîâåðèå ê âîäîòðóáíûì êîòëàì, ò.å. ôëîò ïîòåðÿë áû äîâåðèå ê ñâîèì êîðàáëÿì, à ýòî óæå çíà÷èòåëüíî âàæíåå, ÷åì äîâåðèå èëè íåäîâåðèå ê ôîðìóëå Ìèò÷åëÿ, ê ãèïîòåçàì ãèäðîäèíàìèêè èëè ê ñïðàâåäëèâîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Èñïûòàíèÿ íà Ëóêóëëüñêîé ìèëå áûëè ïðåêðàùåíû (ïðîäîëæåíèåì èõ ÿâèëèñü èñïûòàíèÿ áëèç ìûñà Ñàðû÷, ãäå ãëóáèíà âîäû ñîñòàâëÿëà îêîëî 100 ñàæåíåé è ìèíîíîñåö ñâîáîäíî ðàçâèë 30 óçëîâ ïðè ìîùíîñòè, íåñêîëüêî áîëüøåé 20000 ñèë). Ìíå áûëî ïîðó÷åíî ðàçîáðàòü ýòî äåëî. ß òîãäà æå ñîñòàâèë î íåì ïîäðîáíóþ çàïèñêó, êîòîðàÿ òîëüêî â 1931 ã. áûëà íàïå÷àòàíà â «Áþëëåòåíå Íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî êîìèòåòà» ïîä çàãëàâèåì «Îá èñïûòàíèÿõ ìèíîíîñöà «Áûñòðûé». Ñóùíîñòü ÿâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, êàê ýòî áûëî óñòàíîâëåíî îïûòàìè ßððîó åùå â 1905 ã., ÷òî ïðè ñêîðîñòè v= gh , ãäå v ñêîðîñòü, h ãëóáèíà âîäû, g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè, îáðàçóåòñÿ ñïóòíàÿ âîëíà, ñêîðîñòü áåãà êîòîðîé ðàâíà ñêîðîñòè õîäà êîðàáëÿ, è äîáàâî÷íàÿ ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ ìàøèíîé êîðàáëÿ, çàòðà÷èâàåòñÿ íå íà óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè õîäà, êàê áûëî áû íà ãëóáîêîé âîäå, à íà ïîääåðæàíèå ýòîé âîëíû. Íàäî, ÷òîáû ìàøèíà ðàçâèëà ìîùíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðèìåðíî ñêîðîñòè, íà 56 óçëîâ áîëüøåé óêàçàííîé «êðèòè÷åñêîé»; òîãäà êîðàáëü, êàê áû ñêà÷êàìè, ñðàçó äîñòèãíåò ýòîé ïîâûøåííîé ñêîðîñòè è äàëåå ïîéäåò íîðìàëüíî, ïîäîáíî òîìó êàê íà ãëóáîêîé âîäå. Ñêîðîñòü 30 óçëîâ ñîñòàâëÿåò 51 ôóò â ñåêóíäó; «êðèòè÷åñêàÿ» ãëóáèíà âîäû: h= v2 51 ◊ 51 = ôóò = 81 ôóò = 14,5 ñàæåíè ; g 32,2 ýòî êàê ðàç òà ãëóáèíà, íà êîòîðîé ïðîèçâîäèëîñü èñïûòàíèå íà Ëóêóëëüñêîé ìåðíîé ìèëå, è íàäî áûëî áû ðàçâèòü ìîùíîñòü íå â 20000 ñèë, ñîîòâåòñòâóþùóþ 30 óçëàì, à ìîùíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ 36 óçëàì, îêîëî 33000 ñèë, ò.å. áîëüøóþ, íåæåëè ïðåäåëüíàÿ. Ñòðåìëåíèå äîñòèãíóòü ñêîðîñòè â 30 óçëîâ íà 10-÷àñîâîì èñïûòàíèè áûëî áû ðàâíîñèëüíî ïðîèçâîäñòâó èñïûòàíèÿ ñàìûì ïîëíûì õîäîì â òå÷åíèå 10 ÷àñîâ, ÷òî íàäîðâàëî áû êîòëû.  1912 ã. ìèíîíîñåö «Íîâèê» ïîä êîìàíäîâàíèåì êàïèòàíà 2-ãî ðàíãà Ä.Í.Âåðäåðåâñêîãî ïðîõîäèë 20-óçëîâûì õîäîì â ðàññòîÿíèè îêîëî 6 ìèëü ìèìî ìàÿêà, ðàñïîëîæåííîãî ïðè âõîäå â îäèí èç øõåðíûõ ôàðâàòåðîâ, ïîäîáíî òîìó êàê áàøíÿ Ãðîõàðà ðàñïîëîæåíà ïðè âõîäå â Ãåëüñèíãôîðñ. Ó ýòîãî ìàÿêà áûëà ïîñòðîåíà íà ñâàÿõ äåðåâÿííàÿ ïðèñòàíü, ïîìîñò êîòîðîé âîçâûøàëñÿ íàä âîäîé íà 9 ôóòîâ. Áûë ìåðòâûé øòèëü, íà ïðèñòàíè ëåæàëà ââåðõ êèëåì øëþïêà, è îêîëî íåå èãðàëè äâà ìàëü÷èêà, îäèí 10 ëåò, äðóãîé 6 ëåò. Ñòàðøèé çàìåòèë, ÷òî ïî ìîðþ ê ïðèñòàíè èäåò âûñîêàÿ âîëíà, è áðîñèëñÿ áåæàòü ê áåðåãó; ìëàäøèé îñòàëñÿ íà ïðèñòàíè. Âîëíà âêàòèëà íà ïðèñòàíü, ñìûëà øëþïêó è âñå, ÷òî áûëî íà ïðèñòàíè, â òîì ÷èñëå è ìàëü÷èêà, êîòîðûé è óòîíóë. Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî ñ «Íîâèêà» íè÷åãî ýòîãî âèäíî íå áûëî, è ëèøü ïî ïðèõîäå â Ãàíãå êîìàíäèðó áûëà äîñòàâëåíà òåëåãðàììà î ïðîèñøåäøåì íåñ÷àñòèè. Áûëî íàðÿæåíî ñëåäñòâèå, è ìîðñêîé ìèíèñòð ïîðó÷èë ìíå äîëîæèòü åìó ýòî äåëî. Îêàçàëîñü, ÷òî íà îòêðûòîì ïëåñå ïî ïóòè «Íîâèêà» áûëà êîðîòêàÿ áàíêà ñ ãëóáèíîé âîäû â 35 ôóòîâ. Ýòà ãëóáèíà ÿâëÿåòñÿ êàê ðàç «êðèòè÷åñêîé» äëÿ ñêîðîñòè 20 óçëîâ; íà íåé è îáðàçîâàëàñü ãðîìàäíàÿ âîëíà, êîòîðàÿ çàòåì ïîáåæàëà äàëüøå è íàòâîðèëà áåäó. Ýòî áûëà âîèñòèíó «íåïðåäâèäåííàÿ íà ìîðå ñëó÷àéíîñòü». Ñëó÷àé ñ «Íîâèêîì» ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî îïàñíî íå äëÿ ñàìîãî êîðàáëÿ, à äëÿ ìàÿêîâ, áàøåí, çíàêîâ, ïîñòðîåííûõ íà íèçìåííûõ ìåñòàõ, äëÿ ìèìî èäóùèõ ñóäîâ è ïð. ðàçâèòèå íà äàííîé ãëóáèíå «êðèòè÷åñêîé» è áëèçêèõ ê íåé ñêîðîñòåé (íà÷èíàÿ ïðèìåðíî îò ñêîðîñòè â 0,75 äî 1,25 îò êðèòè÷åñêîé). Ïîäâåðãíóâ çàíîâî èññëåäîâàíèþ âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå «Êàãóëà» è îïðåäåëèâ ïî ôîðìóëàì ïðîô. Ñðåòåíñêîãî ýëåìåíòû ñïóòíîé âîëíû äëÿ òèïè÷íûõ ñóäîâ Êðàñíîçíàìåííîãî Áàëòèéñêîãî ôëîòà (ýñêàäðåííîãî ìèíîíîñöà, ëèäåðà, êðåéñåðà, ëèíåéíîãî êîðàáëÿ), ìîæíî áûëî áû íàíåñòè íà ãåíåðàëüíûå êàðòû Áàëòèéñêîãî ìîðÿ èçîáàòû, ò.å. ëèíèè ðàâíûõ ãëóáèí, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèòè÷åñêèì ñêîðîñòÿì. Èçó÷èâ òàêóþ êàðòó è èìåÿ åå ïåðåä ñîáîé, êîìàíäèð èëè ñòàðøèé øòóðìàí êîðàáëÿ ìîãëè áû âûáèðàòü êóðñû è ñêîðîñòè ñâîåãî êîðàáëÿ òàê, ÷òîáû íå ïðè÷èíÿòü âðåäà áåðåãîâûì ñîîðóæåíèÿì. Âìåñòå ñ òåì èì íå ïðèøëîñü áû óäèâëÿòüñÿ âíåçàïíûì ïàäåíèÿì õîäêîñòè êîðàáëÿ è ïðèïèñûâàòü íåâåäîìûì ïðè÷èíàì ýòî åñòåñòâåííîå è íåèçáåæíîå ÿâëåíèå. Òàêàÿ ðàáîòà, âûïîëíåííàÿ â Âîåííî-ìîðñêîé àêàäåìèè, áûëà áû ïîëåçíûì óïðàæíåíèåì äëÿ ñëóøàòåëåé àêàäåìèè è â òî æå âðåìÿ ìîãëà áû ñ ïîëüçîé ïîñëóæèòü è äëÿ ôëîòà. Ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä, èëè Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà À.ÀÍÄÐÅÅÂ, À.ÏÀÍÎÂ Ë ÀÇÅÐÍÛÉ ÐÅÇÎÍÀÒÎÐ ÏÐÅÄÑÒÀÂËßÅÒ ÑÎÁÎÉ ïðîñòîå îïòè÷åñêîå óñòðîéñòâî äâà ñôåðè÷åñêèõ çåðêàëà, ðàñïîëîæåííûõ äðóã ïðîòèâ äðóãà.  ïðîøëîì íîìåðå «Êâàíòà» â ñòàòüå «Ëàçåðíûé ðåçîíàòîð» îáñóæäàëñÿ âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òàêîãî ðåçîíàòîðà. Åñëè êîðîòêî, òî ðå÷ü øëà î ñëåäóþùåì.  çàâèñèìîñòè îò ñî÷åòàíèÿ ðàäèóñîâ çåðêàë R1 è R2 è ðàññòîÿíèÿ L ìåæäó íèìè (ðèñ.1) ñâåòîâîé ëó÷, ïðîõîäÿùèé âáëèçè îñè (ïàðàêñèàëüíûé ëó÷), äåìîíÐèñ.1. Ëàçåðíûé ðåçîíàòîð, çàäà- ñòðèðóåò äâà òèïà ïîíû ðàäèóñû çåðêàë è ðàññòîÿíèå âåäåíèÿ. Ïðè îäíèõ ìåæäó íèìè ñî÷åòàíèÿõ ïàðàìåòðîâ ïàðàêñèàëüíûé ëó÷ ïîñëå íåñêîëüêèõ îòðàæåíèé âûáðàñûâàåòñÿ èç ïðîñòðàíñòâà ìåæäó çåðêàëàìè, è òàêîé ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Ïðè äðóãèõ ñî÷åòàíèÿõ ïàðàêñèàëüíûé ëó÷ ïðè ëþáîì êîëè÷åñòâå îòðàæåíèé ïðîäîëæàåò îñòàâàòüñÿ âíóòðè ðåçîíàòîðà, è òàêîé ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Âèåòà è ôîðìóëû ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà áûë âûâåäåí êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà, à ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà ýòîò êðèòåðèé áûë ïîäòâåðæäåí. Ñåé÷àñ ìû äîáàâèì ê ýòîìó ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, êîòîðûé ïîçâîëèò óâèäåòü íàÿâó ýòó ñàìóþ óñòîé÷èâîñòü/íåóñòîé÷èâîñòü, è çàîäíî ñêîíñòðóèðóåì ìåõàíè÷åñêóþ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà. Ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä Ðèñ.2. Èç-çà ðàçíîñòè äàâëåíèé âîçäóõà ðåçèíîâàÿ ïëåíêà ïðèíèìàåò ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó Íà ýòîò ðàç â êà÷åñòâå îäíîãî çåðêàëà ìû èñïîëüçóåì ðåçèíîâóþ ïëåíêó îò âîçäóøíîãî øàðèêà, â êà÷åñòâå «äðóãîãî çåðêàëà» ãðàâèòàöèîííîå ïîëå, à ñâåòîâîé ëó÷ çàìåíèì ìåòàëëè÷åñêèì øàðèêîì. Íà îáû÷íóþ ñòåêëÿííóþ áàíêó íàòÿíåì êóñîê ðåçèíîâîé ïëåí- êè. Íàæìåì íà íåå è âûïóñòèì èç áàíêè íåìíîãî âîçäóõà, ÷òîáû ïîä äåéñòâèåì àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ ïëåíêà ïðîãíóëàñü âíóòðü, à çàòåì çàôèêñèðóåì åå ðåçèíîâûì êîëå÷êîì (ðèñ.2). Åñëè íà òàêóþ ïëåíêó ñ ìàëîé âûñîòû òî÷íî ïî öåíòðó îòïóñòèòü íåáîëüøîé ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê, òî îí áóäåò ìíîãîêðàòíî ïîäïðûãèâàòü, îòðàæàÿñü îò ïëåíêè, è ýòè îòðàæåíèÿ áóäóò ïðîäîëæàòüñÿ äîñòàòî÷íî äîëãî. Íà ñàìîì äåëå, âñå çàâèñèò îò ñàìîé ïëåíêè, îò áàíêè è îò ðàçìåðîâ øàðèêà.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîäïðûãèâàíèé áóäåò äîõîäèòü äî îäíîé ìèíóòû, à òî è áîëüøå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè ïðè êàæäîì ñîóäàðåíèè øàðèêà ñ ïëåíêîé êðàéíå ìàëû. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, ìû íàáëþäàåì, ÷òî ïðè ìàëîé íà÷àëüíîé âûñîòå øàðèê óñòîé÷èâî äâèæåòñÿ âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè. Áóäåì òåïåðü ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü âûñîòó, ñ êîòîðîé îòïóñêàåì øàðèê.  íåêîòîðûé ìîìåíò, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé âûñîòû hêð , âîçíèêàåò íåóñòîé÷èâîñòü. À èìåííî, åñëè íà÷àëüíàÿ âûñîòà áîëüøå hêð , òî, êàê áû òî÷íî ìû íè ïðèöåëèâàëèñü ïî öåíòðó ïëåíêè, âñå ðàâíî ïîñëå íåñêîëüêèõ ñîóäàðåíèé øàðèê áóäåò âûáðîøåí çà ïðåäåëû ïëåíêè. Ýòî òî æå ñàìîå ÿâëåíèå íåóñòîé÷èâîñòè, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â ëàçåðíîì ðåçîíàòîðå. ×òîáû ðàçîáðàòüñÿ ñ ìåõàíèçìîì íåóñòîé÷èâîñòè â ýòîì ñëó÷àå è îöåíèòü âåëè÷èíó êðèòè÷åñêîé âûñîòû hêð , ïåðåéäåì îò ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ê êîìïüþòåðíîé. Ïàðàáîëè÷åñêèé ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä Çàìåíèì ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ðåçèíîâîé ïëåíêè íà èäåàëüíóþ îòðàæàþùóþ ïàðàáîëè÷åñêóþ ïëåíêó. «Èäåàëüíóþ» ýòî çíà÷èò òàêóþ, ÷òî ïðè ñîóäàðåíèÿõ ñ íåé íå ïðîèñõîäèò ïîòåðè ýíåðãèè øàðèêà è óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ. Âûáîð æå ïàðàáîëè÷åñêîé ôîðìû ïëåíêè ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî äëÿ íåå âñå ðàñ÷åòû îêàçûâàåòñÿ íàìíîãî ïðîùå, ÷åì äëÿ ñôåðè÷åñêîé. Äëÿ íà÷àëà áóäåì ðàáîòàòü ñ îòðàæàþùåé ïàðàáî2 ëîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì y = x . Êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò (ðèñ.3), ÷òî â ýòîì ñëó÷àå hêð = 0,25 . Íî íà âûñîòå 0,25 êàê ðàç ðàñïîëîæåí îïòè÷åñêèé ôîêóñ ïàðàáîëû y = x2 ïó÷îê ñâåòîâûõ ëó÷åé, èäóùèé ïàðàëëåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè ýòîé $ ÊÂÀÍT 2013/¹3 òè/íåóñòîé÷èâîñòè, ÷òî áûëî îïèñàíî â ñòàòüå «Ëàçåðíûé ðåçîíàòîð». Âûÿñíèì ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ íåóñòîé÷èâîñòè â ãðàâèòàöèîííîì ïàðàáîëè÷åñêîì áèëüÿðäå. Êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò: åñëè òðàåêòîðèÿ øàðèêà ïðîøëà ÷åðåç ôîêóñ, òî ïîñëå ñëåäóþùåãî ñîóäàðåíèÿ îíà ñíîâà ïðîéäåò ÷åðåç ôîêóñ. È åñëè øàðèê ïðîøåë ÷åðåç ôîêóñ ïî íèñõîäÿùåé âåòâè ïàðàáîëû, òî åãî òðàåêòîðèÿ íåêîòîðîå âðåìÿ áóäåò ïðèòÿãèâàòüñÿ ê îñè áèëüÿðäà. Èòàê, âáëèçè îñè áèëüÿðäà ïðîõîäÿò òðàåêòîðèè, êîòîðûå ê ýòîé ñàìîé îñè ïðèòÿãèâàþòñÿ. Ïîäîæäåì, ïîêà òàêàÿ òðàåêòîðèÿ äîâîëüíî ñèëüíî ïðèòÿíåòñÿ ê îñè, è â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè îáðàòèì íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ øàðèêà. Øàðèê áóäåò äâèãàòüñÿ ïî òîé æå ñàìîé òðàåêòîðèè, íî â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íîâàÿ òðàåêòîðèÿ òîæå áóäåò ïðîõîäèòü âáëèçè îñè, íî óæå áóäåò îòòàëêèâàòüñÿ îò íåå. Òàêèì îáðàçîì, ñðåäè ïàðàêñèàëüíûõ òðàåêòîðèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôîêóñ, åñòü è ïðèòÿãèâàþùèåñÿ è îòòàëêèâàþùèåñÿ. Òåïåðü îñòàåòñÿ ó÷åñòü, ÷òî êîìïüþòåðíûå âû÷èñëåíèÿ ïðîèñõîäÿò ñ îãðàíè÷åííîé òî÷íîñòüþ. Çà ñ÷åò îøèáîê îêðóãëåíèÿ, ðîëü êîòîðûõ âîçðàñòàåò ïðè ïðèáëèæåíèè òðàåêòîðèè ê îñè, ïðîèñõîäèò «ïåðåñàäêà» ñ ïðèòÿãèâàþùåéñÿ òðàåêòîðèè íà îòòàëêèâàþùóþñÿ, è øàðèê îòáðàñûâàåòñÿ îò îñè áèëüÿðäà. Ìîæíî åùå ñêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ ïàðàêñèàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ, ïîäíèìàþùàÿñÿ âûøå ôîêóñà, ÿâëÿåòñÿ «ñìåñüþ» ïðèòÿãèâàþùåéñÿ è îòòàëêèâàþùåéñÿ òðàåêòîðèé. Çà ñ÷åò îòòàëêèâàþùåé êîìïîíåíòû òàêàÿ òðàåêòîðèÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îòáðàñûâàåòñÿ îò îñè áèëüÿðäà, ÷òî è ïðîèñõîäèëî â íàøèõ êîìïüþòåðíûõ (ñì. ðèñ.3 è 4) è ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ. À òåïåðü ïåðåéäåì ê îáåùàííîé íàìè ìåõàíè÷åñêîé ìîäåëè. Ðèñ.3. Øàðèê îòïóñêàåòñÿ ñ âûñîòû h 0 ñ îòêëîíåíèåì îò îñè 0,0001; ñëåâà h 0 = 0,24 ïîñëå 500 ñîóäàðåíèé, ñïðàâà h 0 = 0,26 ïîñëå 20 ñîóäàðåíèé ïàðàáîëû, ïîñëå îòðàæåíèÿ îò íåå ñîáèðàåòñÿ â ýòîì ôîêóñå. Òî÷íî òàê æå è äëÿ ëþáîé ïàðàáîëû y = ax2 êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà, ðàçäåëÿþùàÿ óñòîé÷èâûå è íåóñòîé÷èâûå îñåâûå òðàåêòîðèè, áóäåò ðàâíà hêð = 1 4 a , ÷òî ñîâïàäàåò ñ âûñîòîé îïòè÷åñêîãî ôîêóñà òàêîé ïàðàáîëû. Ó ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà ôîêóñ ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè ïîëîâèíû ðàäèóñà îò âåðøèíû èìåííî òàì ñîáèðàþòñÿ ïàðàêñèàëüíûå ëó÷è, ïàðàëëåëüíûå îñè çåðêàëà, ïîñëå îòðàæåíèÿ. Íàø êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ãîâîðèò, ÷òî, ïî-âèäèìîìó, äëÿ ñôåðè÷åñêîé îòðàæàþùåé ïëåíêè ðàäèóñîì R êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà, îòäåëÿþùàÿ óñòîé÷èâûå òðàåêòîðèè îò íåóñòîé÷èâûõ, áóäåò ðàâíà hêð = R 2 . Ìåõàíèçì íåóñòîé÷èâîñòè ãðàâèòàöèîííîãî áèëüÿðäà Çàïóñòèì øàðèê òàê, ÷òîáû îí ïðîëåòåë ÷åðåç ôîêóñ ïàðàáîëè÷åñêîãî áèëüÿðäà (ðèñ.4). Âèäíî, ÷òî ïîñëå Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà Ðèñ.4. Øàðèê âñå âðåìÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ôîêóñ ïàðàáîëû è íà íà÷àëüíîì ýòàïå òðàåêòîðèè ïðèæèìàåòñÿ ê åå îñè; çàòåì øàðèê íà÷èíàåò îòòàëêèâàòüñÿ îò îñè, è åãî âûáðàñûâàåò çà ïðåäåëû ïëåíêè êàæäîãî îòðàæåíèÿ îí òîæå ïðîõîäèò ÷åðåç ôîêóñ. È åñëè îí ïðîëåòåë ÷åðåç ôîêóñ ïî íèñõîäÿùåé âåòâè ïàðàáîëû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4 ñëåâà, òî åãî òðàåêòîðèÿ áóäåò ïðèæèìàòüñÿ ê îñè ïàðàáîëû. Íî, êàê ñëåäóåò èç ðèñóíêå 4 ñïðàâà, â íåêîòîðûé ìîìåíò òðàåêòîðèÿ øàðèêà íà÷èíàåò îòòàëêèâàòüñÿ îò îñè, è åãî âûáðàñûâàåò çà ïðåäåëû ïëåíêè. Ïðàâûå ÷àñòè ðèñóíêîâ 3 è 4 ãîâîðÿò, ïî ñóòè, îá îäíîì è òîì æå: åñëè ïðèîñåâàÿ äàëüøå ìû áóäåì ãîâîðèòü ïàðàêñèàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ øàðèêà ïîäíèìàåòñÿ âûøå ôîêóñà, òî ïîñëå íåñêîëüêèõ ñîóäàðåíèé åå îòáðàñûâàåò îò îñè. Íàîáîðîò, åñëè ïàðàêñèàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ öåëèêîì ðàñïîëîæåíà íèæå ôîêóñà, òî îíà âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ âáëèçè îñè (ñì. ðèñ.3 ñëåâà). È çäåñü ìû íàáëþäàåì òî æå ñàìîå ÿâëåíèå óñòîé÷èâîñ- Åñëè áû óäàëîñü âûêëþ÷èòü ãðàâèòàöèþ è îêàçàòüñÿ â óñëîâèÿõ íåâåñîìîñòè, òî äâå ðàñïîëîæåííûå äðóã ïðîòèâ äðóãà áàíêè ñ äâèæóùèìñÿ ìåæäó íèìè øàðèêîì ìîãëè áû ïîñëóæèòü îòëè÷íîé ìåõàíè÷åñêîé ìîäåëüþ ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà (ðèñ.5). Ñ ïîìîùüþ ýòîé êîíñòðóêöèè ìû ñìîãëè áû, íàïðèìåð, ïðîâåñòè ôèçè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ïî ïðîâåðêå êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà. À èìåííî, ëàçåðíûé ðåçîíàòîð ñ ðàäèóñàìè çåðêàë R1 , R2 è ðàññòîÿíèåì L ìåæäó íèìè áóäåò óñòîé- Ðèñ.5. Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÷èâûì, åñëè % ÍÀÓÊÈ Ïîäñòàâèì y = ax (L - R1 )( L - R2 )(L - R1 - R2 ) < 0 , 2 2 â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè: ( ) x + ax2 - R 2 = R2 . Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èì è áóäåò íåóñòîé÷èâûì, åñëè (L - R1 )( L - R2 )(L - R1 - R2 ) ≥ 0 . Ïîä êîíåö äâà íåáîëüøèõ äîáàâëåíèÿ. Ïàðàáîëà ïðîòèâ îêðóæíîñòè  êàêîé-òî ìîìåíò íàì ïðèøëîñü çàìåíèòü ñôåðè÷åñêóþ îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàáîëè÷åñêîé, è ïðè ýòîì ìû èñõîäèëè èç îïòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ìû ïîñ÷èòàëè, ÷òî ïðè òàêîé çàìåíå îïòè÷åñêèå ôîêóñû ýòèõ ïîâåðõíîñòåé äîëæíû ñîâïàäàòü. Ïîñìîòðèì íà äðóãèå ñîîáðàæåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ñäåëàòü ïðàâèëüíóþ çàìåíó. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîñêîå ñå÷åíèå ïàðàáîëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì y = ax2 , à ïëîñêîå ñå÷åíèå 2 ñôåðû çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì x2 + ( y - R) = R2 . Ýòî ïàðàáîëà è îêðóæíîñòü, îíè êàñàþòñÿ äðóã äðóãà â íà÷àëå êîîðäèíàò. Íà ðèñóíêå 6 ïîêàçàíî, ÷òî îêðóæíîñòü áîëüøîãî ðàäèóñà èìååò ñ ïàðàáîëîé òðè îáùèå òî÷êè, à îêðóæíîñòü ìàëîãî ðàäèóñà òîëüêî îäíó òî÷êó êàñàíèÿ. Åñëè ìû íà÷íåì óìåíüøàòü ðàäèóñ áîëüøîé îêðóæíîñòè, òî åå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïàðàáîÐèñ.6. Áîëüøàÿ îêðóæíîñòü ñëèø- ëîé áóäóò ñõîäèòüñÿ ê êîì âåëèêà, ìàëåíüêàÿ ñëèøêîì íà÷àëó êîîðäèíàò. Î÷åâèäíî, ÷òî òîò ðàìàëà äèóñ R, ïðè êîòîðîì ýòè òî÷êè ñîëüþòñÿ ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áóäåò ðàäèóñîì îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ ëó÷øå âñåãî ïðèáëèæàåò óêàçàííóþ ïàðàáîëó. Âû÷èñëèì åãî. ( ) x2 a2 x2 - (1 - 2aR) = 0 . Ïðè áîëüøèõ R, êîãäà 1 - 2aR < 0 , ýòî óðàâíåíèå èìååò ÷åòûðå êîðíÿ: x1,2 = 0 , x3,4 = ± (1 a) - 2R , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òðåì òî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ. Ïðè ìàëûõ R, êîãäà 1 - 2aR > 0 , óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: x1,2 = 0 , è â ýòîì ñëó÷àå ïàðàáîëà è îêðóæíîñòü èìåþò òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó òî÷êó êàñàíèÿ. Ýòîò ïåðåõîä îò îäíîãî ñëó÷àÿ ê äðóãîìó ïðîèñõîäèò, êîãäà R 1 = . 1 - 2aR = 0 , èëè 4a 2 Íî ýòî êàê ðàç è åñòü óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ îïòè÷åñêèõ ôîêóñîâ ïàðàáîëè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé. Äîïîëíèòåëüíîå çàäàíèå Îíî ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ òåõ, êòî ñîáèðàåòñÿ ïðîâîäèòü êîìïüþòåðíûå ýêñïåðèìåíòû ïî ïîñòðîåíèþ òðàåêòîðèé øàðèêà â ãðàâèòàöèîííîì ïàðàáîëè÷åñêîì áèëüÿðäå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîé òðàåêòîðèè íóæíî ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿòü êîîðäèíàòû n-é òî÷êè ñîóäàðåíèÿ ( xn, yn ) è êîîðäèíàòû âåêòîðà ñêîðîñòè (un , vn ) íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå ýòîãî ñîóäàðåíèÿ. Ïðîâåðüòå, ÷òî âäîëü òðàåêòîðèè øàðèêà ñîõðàíÿåòñÿ âåëè÷èíà un2 vn2 + + gyn . 2 2 Ýòî ïðîñòî-íàïðîñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (çäåñü g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ). Òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ åùå îäíà âåëè÷èíà, à èìåííî 2aun xn - vn . Òàêèå ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ èíòåãðàëàìè áèëüÿðäà. Òàêèì îáðàçîì, ó ïàðàáîëè÷åñêîãî áèëüÿðäà èìåþòñÿ äâà èíòåãðàëà. ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ Èñòîðèÿ, ïîëíàÿ çàãàäîê Ë.ÒÊÀ×Å ΠÊÀÇÛÂÀÅÒÑß, ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÅ ËÓ×È ÁÛËÈ ÎÒÊÐÛÒÛ ñ ïîìîùüþ... øêîëüíîãî ýëåêòðîñêîïà. Åùå â 1785 ãîäó Øàðëü Êóëîí ïðåäñòàâèë òðè äîêëàäà ïî ýëåêòðè÷åñòâó è ìàãíåòèçìó Ôðàíöóçñêîé àêàäåìèè íàóê.  îäíîì èç íèõ îí îïèñàë ñâîè ýêñïåðèìåíòû, ïîêàçàâøèå, ÷òî èçîëèðîâàííûå íàýëåêòðèçîâàííûå òåëà ñïîíòàííî ðàçðÿæàþòñÿ è ÷òî êà÷åñòâî èçîëÿöèè íå âëèÿåò íà ýòî ÿâëåíèå. Ïðîøëî 50 ëåò, è Ìàéêë Ôàðàäåé â 1835 ãîäó (à çàòåì Óèëüÿì Êðóêñ â 1879) îáíàðóæèë, ÷òî ñêîðîñòü ðàçðÿäà óìåíüøàåòñÿ, êîãäà óìåíüøàåòñÿ äàâëåíèå âîçäóõà: òàêèì îáðàçîì, íåïîñðåäñòâåííîé ïðè÷èíîé ðàçðÿäà ÿâëÿåòñÿ èîíèçàöèÿ âîçäóõà. Íî ÷òî èîíèçóåò âîçäóõ? Ïîïûòêè îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ è ïðîëîæèëè ïóòü ê îòêðûòèþ â 1912 ãîäó êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé.  1896 ãîäó Àíðè Áåêêåðåëü îòêðûë ñïîíòàííóþ ðàäèîàêòèâíîñòü. Âñêîðå ïîñëå ýòîãî áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî çàðÿæåííûé ýëåêòðîñêîï áûñòðåå ðàçðÿæàåòñÿ â ïðèñóòñòâèè ðàäèîàêòèâíîãî ìàòåðèàëà, è ñêîðîñòü ðàçðÿäà ýëåêòðîñêîïà áûëà èñïîëüçîâàíà äëÿ èçìåðåíèÿ óðîâíÿ ðàäèîàêòèâíîñòè. Îêîëî 1900 ãîäà ×àðëüç Âèëüñîí è, íåçàâèñèìî, Þëèóñ Ýëñòåð è Ãàíñ Ãåéòåëü óëó÷øèëè òåõíèêó òùàòåëüíîé èçîëÿöèè ýëåêòðîñêîïà â çàìêíóòîì ñîñóäå è òåì ñàìûì ïîâûñèëè åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü.  1901 ãîäó Âèëüñîí ñäåëàë ïî òåì âðåìåíàì ôàíòàñòè÷åñêîå ïðåäïîëîæåíèå î âíåçåìíîé ïðèðîäå íàáëþäàåìîé ðàäèàöèè, èìåþùåé èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêóþ ïðîíèêàþùóþ ñèëó. Îí ïðîâåë èññëåäîâàíèÿ â òóííåëÿõ, íî íå îáíàðóæèë óìåíüøåíèÿ ñêîðîñòè èîíèçàöèè, ÷òî & ÊÂÀÍT 2013/¹3 ×àðëüç Âèëüñîí ïðîòèâîðå÷èëî åãî ãèïîòåçå, è îíà áûëà çàáûòà íà ìíîãèå ãîäû. Ýðíåñò Ðåçåðôîðä è Ãåíðè Êóê â 19031906 ãîäàõ ïðîâåëè êîëè÷åñòâåííûå èçìåðåíèÿ ñ ýëåêòðîñêîïîì, çàùèùåííîì ìåòàëëè÷åñêèìè ñòåíêàìè òîëùèíîé â íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ, è óáåäèëèñü â òîì, ÷òî èîíèçàöèÿ âîçäóõà îò òàêîé çàùèòû èçìåíÿëàñü íåçíà÷èòåëüíî. Ýòîò âûâîä áûë ïîäòâåðæäåí èçìåðåíèÿìè äðóãîé ãðóïïû ó÷åíûõ, êîòîðûå ïîãðóæàëè ýëåêòðîñêîï â áàê ñ âîäîé. Âîçíèê î÷åâèäíûé âîïðîñ î ïðèðîäå ýòîé ðàäèàöèè: èìååò ëè îíà çåìíîå èëè âíåçåìíîå ïðîèñõîæäåíèå. Ïðîñòåéøåé ãèïîòåçîé áûëî, ÷òî ðàäèàöèÿ ñâÿçàíà ñ ðàäèîàêòèâíûìè ýëåìåíòàìè â çåìíîé êîðå è â âîçäóõå, î ñóùåñòâîâàíèè êîòîðûõ ñòàëî èçâåñòíî ïîñëå èññëåäîâàíèé åñòåñòâåííîé ðàäèîàêòèâíîñòè Ìàðèåé è Ïüåðîì Êþðè. Çåìíàÿ ïðèðîäà íàáëþäàåìîé ðàäèàöèè áûëà îáùåé òî÷êîé çðåíèÿ, îäíàêî äîáèòüñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ îêàçàëîñü íåëåãêî. Òàê, áûëè ïðåäïðèíÿòû áîëüøèå óñèëèÿ, ÷òîáû ñîçäàòü òðàíñïîðòàáåëüíûé ýëåêòðîñêîï â âåíñêîé Þëèóñ Ýëñòåð è Ãàíñ Ãåéãåëü ìåòåîðîëîãè÷åñêîé ãðóïïå, ëèäèðîâàâøåé â òî âðåìÿ â èçìåðåíèÿõ èîíèçàöèè â àòìîñôåðå. Îäíàêî îêîí÷àòåëüíàÿ ðàçðàáîòêà òàêîãî èíñòðóìåíòà ïðèíàäëåæèò èåçóèòñêîìó ñâÿùåííèêó è ó÷åíîìó Òåîäîðó Âóëüôó.  ýëåêòðîñêîïå Âóëüôà äâà ìåòàëëè÷åñêèõ ëåïåñòêà áûëè çàìåíåíû ñòåêëÿííûìè ïðîâîëî÷êàìè, íàïûëåííûìè ìåòàëëîì è ðàñòÿíóòûìè ïðóæèíêîé òàêæå èç ñòåêëà. Ïîêàçàíèÿ ýëåêòðîìåòðà ñ÷èòûâàëèñü ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà.  1909 ãîäó Âóëüô ñîçäàë ýòîò ýëåêòðîìåòð äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè îáðàçîâàíèÿ èîíîâ âíóòðè ãåðìåòè÷åñêè çàêðûòîãî êîíòåéíåðà è èñïîëüçîâàë åãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü óðîâåíü ðàäèàöèè íà âåðõó Ýéôåëåâîé áàøíè (300 ì íàä çåìëåé). Ïðèäåðæèâàÿñü ãèïîòåçû çåìíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ áîëüøåé ÷àñòè èîíèçàöèè, îí îæèäàë óâèäåòü ñóùåñòâåííîå óìåíüøåíèå èîíèçàöèè íà âåðõó áàøíè ïî ñðàâíåíèþ ñ åå âåëè÷èíîé íà óðîâíå çåìëè. Îäíàêî óìåíüøåíèå ñêîðîñòè èîíèçàöèè îêàçàëîñü ñëèøêîì ìàëûì äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ýòîé ãèïîòåçû. Íàáëþäåíèÿ Âóëüôà áûëè çàãàäî÷íû è òðåáîâàëè îáúÿñíåíèÿ. Îäíèì èç âîçìîæíûõ ïóòåé ðåøåíèÿ ýòîé çàãàäêè áûëî ïðîâåäåíèå èçìåðåíèé íà áîëüøèõ âûñîòàõ. Ê òîìó âðåìåíè áàëëîííûå ýêñïåðèìåíòû èñïîëüçîâàëèñü óæå áîëåå 100 ëåò äëÿ èññëåäîâàíèÿ àòìîñôåðíîãî ýëåêòðè÷åñòâà íà âûñîòàõ äî 7000 ì, è áûëî î÷åâèäíî, ÷òî èìåííî îíè ìîãóò äàòü îòâåò íà âîïðîñ ïðîèñõîæäåíèÿ ïðîíèêàþùåãî èçëó÷åíèÿ. Ìåòåîðîëîã Ôðàíö Ëèíêå ñîâåðøèë 12 áàëëîííûõ ïîëåòîâ â 19001903 ãîäàõ, ïîäíèìàÿñü äî âûñîòû 5500 ì ñ ýëåêòðîñêîïàìè êîíñòðóêöèè Ýëñòåðà è Ãåéòåëÿ. Îïóáëèêîâàííûé èì îò÷åò çàêëþ÷àëñÿ ñëîâàìè: « íà âûñîòå 1 êì èîíèçàöèÿ ìåíüøå, ÷åì íà ïîâåðõíîñòè, ìåæäó 1 è 3 êì èìååò òî æå ñàìîå çíà÷åíèå è ñòàíîâèòñÿ áîëüøå â 4 ðàçà íà âûñîòå 5,5 êì Îøèáêè èçìåðåíèé ïîçâîëÿþò ñäåëàòü òîëüêî çàêëþ÷åíèå, ÷òî ïðè÷èíà èîíèçàöèè äîëæíà áûòü íàéäåíà ïðåæäå âñåãî â Çåìëå». Íèêòî ïîçäíåå íå ññûëàëñÿ íà Ëèíêå ïî-âèäèìîìó, ïîòîìó, ÷òî îí ñäåëàë ïðàâèëüíûå èçìåðåíèÿ, íî ïðèøåë ê íåïðàâèëüíîìó âûâîäó. Êàðë Áåðãâèòö ó÷åíèê Ýëñòåðà è Ãåéòåëÿ ïîäíÿëñÿ â 1909 ãîäó íà àýðîñòàòå íà âûñîòó 1300 ì è îáíàðóæèë, ÷òî âåëè÷èíà èîíèçàöèè óìåíüøèëàñü íà 24% ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíîé íà çåìëå. Îäíàêî åãî ðåçóëüòàò áûë ïîäâåðãíóò ñîìíåíèÿì ââèäó òîãî, ÷òî ýëåêòðîìåòð ñëîìàëñÿ âî âðåìÿ ïîëåòà. Ïðèìåðíî â ýòî æå âðåìÿ àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû Àëôðåäîì Ãîêåëåì, êîòîðûé ïîäíèìàëñÿ äî âûñîòû 3000 ì. Èìåííî îí âïåðâûå ââåë òåðìèí «êîñìè÷åñêàÿ ðàäèàöèÿ».  1911 ãîäó Âèêòîð Ãåññ ñîâåðøèë ñâîè ïåðâûå äâà áàëëîííûõ ïîëåòà. Äëÿ íèõ áûëè ïðåäîñòàâëåíû àýðîñòàòû àâñòðèéñêîé àðìèè. Öåëüþ óæå ñàìîãî ïåðâîãî ïîëåòà áûëî èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè ïðîíèêàþùåãî èçëó÷åíèÿ, ïðèâîäÿùåãî ê ðàçðÿäó ýëåêòðîñêîïà, îò âûñîòû. Ãåññ äîñòèã âûñîòû îêîëî 1100 ì è íå îáíàðóæèë ñóùåñòâåííîãî èçìåíåíèÿ â èíòåíñèâíîñòè ðàäèàöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ èçìåðåíèÿìè íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Îäíàêî ýòî óêàçûâàëî íà ñóùåñòâîâàíèå êàêîãî-òî èñòî÷íèêà ðàäèàöèè â äîïîëíåíèå ê ãàììà-ëó÷àì, âîçíèêàþùèì ïðè ðàäèîàêòèâíûõ ðàñïàäàõ â çåìíîé êîðå. Ïåðâûå øåñòü ïîëåòîâ 1912 ãîäà ïðîâîäèëèñü ñ áàçû âáëèçè Âåíû íà÷èíàÿ ñ 17 àïðåëÿ, êîãäà ïðîèñõîäèëî ÷àñòè÷íîå ñîëíå÷íîå çàòìåíèå. Äîñòèãíóâ âûñîòû 2750 ì, Ãåññ íå îáíàðóæèë óìåíüøåíèÿ ïðîíèêàþùåé ðàäèàöèè âî âðåìÿ çàòìåíèÿ. Íàïðîòèâ, îí ïîëó÷èë óêàçàíèå íà åå óâåëè÷åíèå íà âûñîòå îêîëî 2000 ì. 7 àâãóñòà 1912 ãîäà ñîñòîÿëñÿ ïîñëåäíèé èç ñåìè áàëëîííûõ ïîëåòîâ Ãåññà, êîòîðûå îí ñîâåðøèë â òå÷åíèå 1912 ãîäà.  íèõ èñïîëüçîâàëèñü òðè ýëåêòðîñêîïà Âóëüôà. Îäèí èç ýëåêòðîñêîïîâ áûë îòêðûò íà âîçäóõ. Ñ ó÷åòîì óìåíüøåíèÿ ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ äàâëåíèÿ ýòîò ýëåêòðîñêîï ïîêàçàë äâóêðàòíîå óâåëè÷åíèå èîíèçàöèè íà âûñîòå 4000 ì ïî ñðàâíåíèþ ñ èîíèçàöèåé íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ýòî áûëî ñâèäåòåëüñòâîì òîãî, ÷òî ðàäèàöèÿ ïîïàäàåò â àòìîñôåðó èç âíåøíåãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðåæäå ÷åì äîëîæèòü ýòè ðåçóëüòàòû, Ãåññ ïðîâåë êîìáèíèðîâàííûé àíàëèç âñåõ äàííûõ ïî ñâîèì ïîëåòàì: íà âûñîòàõ âûøå 2000 ì èçìåðåííûé óðîâåíü ðàäèàöèè íà÷èíàë ðàñòè; ìåæäó 3000 è 4000 ì êîëè÷åñòâî èîíîâ âîçðîñëî íà 4 ïàðû; íà âûñîòàõ îò 4000 äî 5200 ì óâåëè÷åíèå äîñòèãàëî îò 16 äî 18 ïàð èîíîâ. Âûâîäû Ãåññà áûëè òàêèìè: «Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåííûõ íàáëþäåíèé íàèáîëåå ëåãêî ìîãóò áûòü îáúÿñíåíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èçëó÷åíèå ñ î÷åíü âûñîêîé ïðîíèêàþùåé ñèëîé âõîäèò â íàøó àòìîñôåðó ñâåðõó Òàê êàê íå îáíàðóæåíî óìåíüøåíèÿ èçëó÷åíèÿ íè íî÷üþ, íè âî âðåìÿ ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ, òî òðóäíî ðàññìàòðèâàòü Ñîëíöå â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà ýòîãî èçëó÷åíèÿ».  19131914 ãîäàõ Âåðíåð Êîëüñòåð ïîäòâåðäèë ðåçóëüòàòû è âûâîäû Ãåññà, ïðîâåäÿ èçìåðåíèÿ íà âûñîòàõ äî 9200 ì. Òîãäà æå îí îáíàðóæèë, ÷òî êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ âîçäóõîì îêàçàëñÿ â 8 ðàç ìåíüøå îæèäàåìîãî â ñëó÷àå, åñëè áû ýòî áûëè ãàììà-ëó÷è, îäíàêî íå ïðèäàë ýòîìó çíà÷åíèÿ. Åãî ïîñëåäíèé ïîëåò ñîñòîÿëñÿ â äåíü íà÷àëà ïåðâîé ìèðîâîé âîéíû, íàäîëãî ïðåðâàâøåé èññëåäîâàíèÿ ýòîãî çàãàäî÷íîãî ÿâëåíèÿ. Èòàê, ãîäîì êîñìè÷åñêîé ðàäèàöèè ÿâëÿåòñÿ 1912 ãîä. Âèêòîð Ãåññ áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè «çà îòêðûòèå êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé» òîëüêî â 1936 ãîäó. Ê òîìó âðåìåíè åãî ðîëü è ôóíäàìåíòàëüíàÿ âàæíîñòü ýòîé «åñòåñòâåííîé ëàáîðàòîðèè» ñòàëè î÷åâèäíûìè. Òåðìèí «êîñìè÷åñêèå ëó÷è» áûë ââåäåí â îáðàùåíèå Ðîáåðòîì Ìèëëèêåíîì, êîòîðûé ïðîâîäèë èçìåðåíèÿ èîíèçàöèè íà áîëüøèõ ãëóáèíàõ è áîëüøèõ âûñîòàõ. Îí ïîëàãàë, ÷òî ïåðâè÷íûå êîñìè÷åñêèå ëó÷è ÿâëÿþòñÿ ãàììà-ëó÷àìè, ò.å. ýíåðãè÷íûìè ôîòîíàìè, è ïðåäïîëîæèë èõ ðîæäåíèå â ìåæçâåçäíîé ñðåäå â ðåçóëüòàòå ñëèÿíèÿ àòîìîâ âîäîðîäà è ïðåâðàùåíèÿ èõ â áîëåå òÿæåëûå àòîìû. Îäíàêî â 1927 ãîäó ßêîá Êëåé ïðîâåë èçìåðåíèÿ êîñìè÷åñêîé èîíèçàöèè íà òåððèòîðèè îò îñòðîâà ßâà âáëèçè Àâñòðàëèè äî ãîðîäà Ãåíóÿ â Èòàëèè è îáíàðóæèë èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â çàâèñèìîñòè îò øèðîòû, ÷òî áûëî ïîäòâåðæäåíî è â äðóãèõ ýêñïåðèìåíòàõ. Óìåíüøåíèå èíòåíñèâíîñòè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé íà ýêâàòîðå óêàçûâàëî íà òî, ÷òî ïåðâè÷íûå êîñìè÷åñêèå ëó÷è îòêëîíÿþòñÿ ãåîìàãíèòíûì ïîëåì è äîëæíû áûòü çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, à íå ôîòîíàìè.  1929 ãîäó Âàëüòåð Áîòå è Âåðíåð Êîëüõåðñòåð îáíàðóæèëè, ÷òî êîñìè÷åñêèå ÷àñòèöû ñïîñîáíû ïðîíèçûâàòü çîëîòóþ ïëàñòèíó òîëùèíîé 4,1 ñì. Áûëî î÷åâèäíî, ÷òî ýòî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû. Êàêîâ æå çíàê çàðÿäà êîñìè÷åñêèõ ÷àñòèö? Áðóíî Ðîññè â 1930 ãîäó ïðåäñêàçàë ðàçëè÷èå ìåæäó èíòåíñèâíîñòÿìè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé, ïðèõîäÿùèõ ñ âîñòîêà è ñ çàïàäà, êîòîðîå ñâÿçàíî ñî çíàêîì çàðÿäà ïåðâè÷íûõ ÷àñòèö.  íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íà ñàìîì äåëå èíòåíñèâíîñòü áîëüøå ñ çàïàäà, ò.å. áóëüøàÿ ÷àñòü ïåðâè÷íûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè. Ïðîâîäÿ ñâîè ýêñïåðèìåíòû, Ðîññè îòêðûë øèðîêèå àòìîñôåðíûå ëèâíè ÷àñòèö, íî íå èçó÷èë ýòî ÿâëåíèå â äåòàëÿõ. Ïîçäíåå, â 1938 ãîäó, ýòè ëèâíè, âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðâè÷íûõ ëó÷åé ñ ÿäðàìè àòîìîâ àòìîñôåðû, áûëè ïåðåîòêðûòû è èçó÷åíû Ïüåðîì Îæå. Âî ìíîãèõ èññëåäîâàíèÿõ ñ 1930 ïî 1945 ãîä áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïåðâè÷íûå êîñìè÷åñêèå ëó÷è ÿâëÿþòñÿ â îñíîâíîì ïðîòîíàìè, à âòîðè÷íàÿ ðàäèàöèÿ, âîçíèêàþùàÿ â àòìîñôåðå, âûçûâàåòñÿ ïî áîëüøåé ÷àñòè ýëåêòðîíàìè, ôîòîíàìè è ìþîíàìè.  1948 ãîäó íàáëþäåíèÿ ñ ÿäåðíîé ýìóëüñèåé, ïîäíÿòîé áàëëîíàìè ïî÷òè íà ãðàíèöó àòìîñôåðû, ïîêàçàëè, ÷òî ïðèáëèçèòåëüíî 10% ïåðâè÷íûõ ÷àñòèö ýòî ÿäðà ãåëèÿ ÍÀÓÊÈ ' Çàèíòåðåñîâàííàÿ îáùåñòâåííîñòü ïðîâîæàåò Âèêòîðà Ãåññà â îäèí èç ïåðâûõ áàëëîííûõ ïîëåòîâ ( α -÷àñòèöû) è 1% ýòî ÿäðà áîëåå òÿæåëûõ ýëåìåíòîâ, òàêèõ êàê óãëåðîä, æåëåçî è ñâèíåö. Çàãàäêà ïðîèñõîæäåíèÿ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé íå ðåøåíà äî êîíöà ïî ñèþ ïîðó.  1933 ãîäó Ôðèö Öâèêè è Âàëüòåð Áààäå ïåðâûìè âûñêàçàëè ãèïîòåçó î òîì, ÷òî êîñìè÷åñêèå ëó÷è ðîæäàþòñÿ ïðè âñïûøêàõ ñâåðõíîâûõ çâåçä, êîòîðûå, ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ïðîèñõîäÿò ïðè êîëëàïñå çâåçä ïîñëå âûãîðàíèÿ âñåãî òåðìîÿäåðíîãî òîïëèâà. Ýòà ãèïîòåçà ïîëó÷èëà ðàçëè÷íûå òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå îáîñíîâàíèÿ, â òîì ÷èñëå ñ ïîìîùüþ èçìåðåíèÿ íåéòðèííîãî ñèãíàëà îò âñïûøêè ñâåðõíîâîé 1987 ãîäà, ïðîèçîøåäøåé â Áîëüøîì Ìàãåëëàíîâîì îáëàêå ñïóòíèêå íàøåé ãàëàêòèêè Ìëå÷íûé ïóòü. Ïåðâûå íàáëþäåíèÿ òðåêîâ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö èç àòìîñôåðû ïðîâåë Äìèòðèé Ñêîáåëüöûí. Èì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èìïóëüñû ýòèõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö òàê âûñîêè, ÷òî îíè íå ìîãóò áûòü ïðîäóêòàìè ðàñïàäà ðàäèîàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ñêîáåëüöûí îáíàðóæèë òàêæå, ÷òî òàêèå îáúåêòû ÷àñòî ïîÿâëÿþòñÿ â êàìåðå Âèëüñîíà ãðóïïàìè ïî íåñêîëüêî ÷àñòèö. Ýòî ñòàëî ïåðâûì íàáëþäåíèåì ëèâíåé êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé. Ó÷åíèê Äìèòðèÿ Ñêîáåëüöûíà Ñåðãåé Âåðíîâ ðàçðàáîòàë íîâûé ìåòîä ñòðàòîñôåðíûõ èññëåäîâàíèé ñ ïîìîùüþ øàðîâ-ðàäèîçîíäîâ, ÷åì çàëîæèë ïðèíöèïèàëüíî íîâóþ ýêñïåðèìåíòàëüíóþ áàçó äëÿ èññëåäîâàíèé.  1935 ãîäó îí âûïîëíèë èçìåðåíèÿ ïåðâè÷íîãî êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ íà âûñîòå 13,6 êì, èñïîëüçóÿ ñ÷åò÷èêè Ãåéãåðà.  1932 ãîäó Êàðë Àíäåðñîí ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèë â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ ÷àñòèöû, êîòîðûå âåäóò ñåáÿ, êàê ýëåêòðîíû, íî èìåþùèå ïîëîæèòåëüíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Òàê áûë îòêðûò ïîçèòðîí. «Çà îòêðûòèå ïîçèòðîíà» Àíäåðñîí â 1936 ãîäó ïîëó÷èë Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ. Ïîñëå îòêðûòèÿ ïîçèòðîíà êîñìè÷åñêèå ëó÷è äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëèñü ôàáðèêîé íîâûõ îòêðûòèé. Òàê, â 1937 ãîäó áûë îòêðûò ìþîí ( µ -ìåçîí), â 1947 ïèîí ( π -ìåçîí) è êàîí (K-ìåçîí), â 1951 Λ -ãèïåðîí è ò.ä.  1965 ãîäó áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíî ñóùåñòâîâàíèå ðåëèêòîâîãî ìèêðîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ, òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàííîãî Äæîðäæåì Ãàìîâûì â ðàìêàõ òåîðèè Áîëüøîãî âçðûâà. ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹32013» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2301» èëè «Ô2308».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì [email protected] è [email protected] ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷à M2302 ïðåäëàãàëàñü íà XI Óñòíîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè, çàäà÷à Ì2305 íà VII Þæíîì ìàòåìàòè÷åñêîì òóðíèðå, çàäà÷è Ì2306 è Ì2307 íà ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå Romanian Masters of Mathematics 2013. Çàäà÷è Ì2301Ì2308, Ô2308Ô2314 M2301. Äàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, (ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 2, 3, 4, ðàññòàíîâêîé çíàêîâ: îäíî ÷èñëî ñî çíàêîì «+», çàòåì äâà ÷èñëà ñî çíàêîì «», òðè ÷èñëà ñî çíàêîì «+», ÷åòûðå ÷èñëà ñî çíàêîì «», è ò.ä.). Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ n òàêèõ, ÷òî ñóììà ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà 0. Â.Ðàñòîðãóåâ M2302. Âíóòðè óãëà AOD ïðîâåäåíû ëó÷è OB è OC, ïðè÷åì –AOB = –COD .  óãëû AOB è COD âïèñàíû íåïåðåñåêàþùèåñÿ îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îáùèõ âíóòðåííèõ êàñàòåëüíûõ ê ýòèì îêðóæíîñòÿì ëåæèò íà áèññåêòðèñå óãëà AOD. Ô.Íèëîâ M2303. Íà áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè êëåòêè ðàñêðàøåíû â ÷åðíûé è áåëûé öâåòà â øàõìàòíîì ïîðÿäêå. Äàí ìíîãîóãîëüíèê ïåðèìåòðà P è ïëîùàäè S, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî èäóò ïî ëèíèÿì ñåòêè. ÄîêàS P æèòå, ÷òî ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ñîäåðæèò íå áîëåå + 2 2 ÷åðíûõ êëåòîê. À.Ìàãàçèíîâ M2304. ×åðåç s (n ) îáîçíà÷èì ñóììó öèôð â äâîè÷íîé çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n. Íàïðèìåð, s (2013) = 9 , ïîñêîëüêó 2013 èìååò äâîè÷íóþ çàïèñü 11111011101 (ò.å. 2013 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 22 + 20 ). Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íàçîâåì ñ÷àñòëèâûì, åñëè s (n ) = s (3n ) . à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïàð ïîäðÿä èäóùèõ ñ÷àñòëèâûõ ÷èñåë. á) Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òðåõ ïîäðÿä èäóùèõ ñ÷àñòëèâûõ ÷èñåë. À.Óñòèíîâ M2305. Ïî êðóãó ðàññòàâëåíû 99 ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a1, a2, …, a99 . Èçâåñòíî, ÷òî åñëè âûáðàòü èç íèõ íåñêîëüêî ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ íåò äâóõ ñîñåäíèõ, òî èõ ñóììà áóäåò ìåíüøå, ÷åì ñóììà îñòàâøèõñÿ ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé (ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ) îïèñàííûé 99-óãîëüíèê, ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû a1, a2, …, a99 . Ë.Åìåëüÿíîâ M2306*. Äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ÷èñåë x1, x2, … ñëåäóþùèì îáðàçîì: x1 = a , xn +1 = 2xn + 1 ïðè n ≥ 1 . Ïîëîæèì yn = 2xn - 1 . Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå k òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî a êàæäîå èç ÷èñåë y1, …, yk ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Â.Ñåíäåðîâ M2307*.  âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà ðàññòàâëåíû 2n ðàçëè÷íûõ ôèøåê òàê, ÷òî â êàæäîé âåðøèíå ñòîèò ðîâíî îäíà ôèøêà. Õîä ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: âûáèðàåòñÿ îäíà èç ñòîðîí 2n-óãîëüíèêà è äâå ôèøêè, íàõîäÿùèåñÿ â êîíöàõ ýòîé ñòîðîíû, ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè äðóã ñ äðóãîì. Ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà õîäîâ îêàçàëîñü, ÷òî êàæäàÿ ïàðà ôèøåê ìåíÿëàñü ìåñòàìè ðîâíî îäèí ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî íåêîòîðàÿ ñòîðîíà 2n-óãîëüíèêà íå âûáèðàëàñü íè ðàçó. À.Ãðèáàëêî M2308*. Äàí îïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Îêðóæíîñòè ω1 è ω2 âïèñàíû â òðåóãîëüíèêè ABC è ADC ñîîòâåòñòâåííî. à) Äèàãîíàëü BD ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü ω1 â òî÷êàõ E è P, à îêðóæíîñòü ω2 â òî÷êàõ F è Q òàê, ÷òî òî÷êè ÇÀÄÀ×ÍÈÊ P è Q ëåæàò íà îòðåçêå EF. Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ω1 , ïðîâåäåííàÿ â òî÷êå E, è êàñàòåëüíàÿ ê ω2 , ïðîâåäåííàÿ â F, ïåðåñåêàþòñÿ íà ïðÿìîé AC èëè ïàðàëëåëüíû. á) Îêðóæíîñòü Ω êàñàåòñÿ îêðóæíîñòåé ω1 è ω2 âíóòðåííèì îáðàçîì â òî÷êàõ K è L ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå BK è DL ïåðåñåêàþòñÿ íà ïðÿìîé AC. Ñ.Èëüÿñîâ, È.Áîãäàíîâ Ô2308. Íà ïîèñêè óïàâøåãî ñàìîëåòà çà ìåñÿö ïîèñêîâ áûëî èçðàñõîäîâàíî 30 ìèëëèîíîâ ðóáëåé, â ïîèñêàõ ó÷àñòâîâàëè ñîòíè ëþäåé, à óïàâøèé ñàìîëåò òàê è íå íàøëè. ×åðåç ãîä îí áûë îáíàðóæåí ñëó÷àéíî íà ðàññòîÿíèè L = 10 êì îò àýðîäðîìà, ñ êîòîðîãî âçëåòåë è íà êîòîðûé íàìåðåâàëñÿ âåðíóòüñÿ. Îäèí ÷àñ ïîëåòà áåñïèëîòíîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà ÁÏËÀ ñòîèò 1 òûñÿ÷ó ðóáëåé. Çà ñâåòëîå âðåìÿ ñóòîê òàêîé ñàìîëåò ìîæåò îòðàáîòàòü äî 8 ÷àñîâ. Ñàìîëåò ëåòèò ñî ñêîðîñòüþ v = 100 êì/÷ íà âûñîòå H = 1 êì è ïðîèçâîäèò ñúåìêó ìåñòíîñòè âèäåîêàìåðîé ñ óãëîì îáçîðà α = 60∞ (ïî 30∞ âïðàâî è âëåâî). Êàê ñêîðî ìîæíî áûëî áû îáíàðóæèòü ïðîïàâøèé ñàìîëåò ñ ïîìîùüþ ÁÏËÀ è â êàêóþ ñóììó îáîøëèñü áû ïîèñêè? Ñ.Áåñïèëîòíèê Ô2309. Øåñòåðåí÷àòûé íàñîñ (ðèñ.1) ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïåðåêà÷êè ìàñëà ïîä äàâëåíèåì è ïåðåäà÷è ìîùíîñòè ê ãèäðàâëè÷åñêèì ìåõàíèçìàì. ×èñëî çóáüåâ êàæäîé øåñòåðíè N = 10, âûñîòà çóáüåâ h = 1 ñì. Êàæäûé çóá èìååò ôîðìó, áëèçêóþ ê ïðàâèëüíîìó (ðàâíîñòîðîííåìó) òðåóãîëüíèêó. Øèðèíà øåñÐèñ. 1 òåðåí L = 3 ñì, ðàññòîÿíèå d îò âåðøèí çóáüåâ äî ñòåíîê êîðïóñà âåñüìà ìàëî: d = 10 -4 ì . Øåñòåðíè âðàùàþòñÿ ñ ÷àñòîòîé f = 25 Ãö. Ñ÷èòàÿ ìàñëî íåñæèìàåìûì, ìàëîâÿçêèì è èìåþùèì ïëîòíîñòü ρ = 103 êã ì 3 , íàéäèòå òåîðåòè÷åñêóþ ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü, êîòîðóþ ìîæåò ïåðåäàòü ýòîò íàñîñ ê ïîòðåáèòåëÿì (ãèäðàâëè÷åñêèì ìåõàíèçìàì), à òàêæå òåîðåòè÷åñêóþ ìàêñèìàëüíóþ ðàçíèöó äàâëåíèé íà âûõîäå è íà âõîäå íàñîñà. Ñ.Äìèòðèåâ Ô2310. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà ðàçëèòî ìàñëî, êîòîðîå îáðàçóåò òîíêèé ñëîé òîëùèíîé d = = 1 ìì. Ïîâåðõ ìàñëà ëåæèò òîíêèé ëèñò áóìàãè ðàçìåðîì a ¥ a = 1 ¥ 1 ì. Îäíà èç ñòîðîí êâàäðàòíîãî ëèñòà áóìàãè íåìíîãî âûñòóïàåò çà êðàé ñòîëà è ïàðàëëåëüíà åìó. Áóìàãà ñíà÷àëà íåïîäâèæíà. Âûñòóïàþùóþ ÷àñòü áóìàãè ïîòÿíóëè ñ ñèëîé F = 1 Í, íàïðàâëåííîé ãîðèçîíòàëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîìó êðàþ ñòîëà. ×åðåç êàêîå âðåìÿ çà êðàé ñòîëà áóäåò âûñòóïàòü ïîëîâèíà ëèñòà áóìàãè? Âÿçêîñòü ìàñëà η = 1 Ïà ◊ ñ . Â.Ñåðãååâ «ÊÂÀÍÒÀ» Ô2311. Âîçäóøíûé øàðèê ñ òîíêîé ðåçèíîâîé îáîëî÷êîé èìååò â âîçäóõå ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞C îáúåì V = = 1 ë. Ýòîò øàðèê îïóñêàþò â ãëóáîêèé ñîñóä ñ ãîðÿ÷åé âîäîé ïðè òåìïåðàòóðå 90 ∞C íà ãëóáèíó H = 2 ì. Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ è êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó ïðè òàêîì ïåðåìåùåíèè ìîæåò ñîâåðøèòü ïðè íàãðåâàíèè âîçäóõ, ñîäåðæàùèéñÿ â øàðèêå? Òåìïåðàòóðà ãàçà íå óáûâàåò, à ãëóáèíà ïîãðóæåíèÿ øàðèêà â âîäó íå óìåíüøàåòñÿ. Äàâëåíèåì, ñîçäàâàåìûì ðåçèíîâûìè ñòåíêàìè øàðèêà, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íîðìàëüíîå: p = 105 Ïà . Ñ.Êðþêîâ Ô2312.  ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìå (ðèñ.2) âñå ýëåìåíòû èäåàëüíûå, òîê ðàâåí íóëþ. Êëþ÷ ñíà÷àëà çàìûêàþò, à çàòåì ðàçìûêàþò â ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè, äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Íàéäèòå: à) êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå âûäåëèòñÿ â ñõåìå ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à; á) îòíîøåíèå òîêîâ â ðåçèñòîðàõ çà ìãíîâåíèå äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à. À.Øåðîíîâ Ðèñ. 2 Ô2313. Íàä ñòîÿùèì íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå òîíêîñòåííûì ñòàêàíîì öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû, çàïîëíåííûì äî ïîëîâèíû ìîëîêîì, ïîìåñòèëè ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Îñü ñèììåòðèè ñòàêàíà ñîâïàäàåò ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ ëèíçû. Äèàìåòð èçîáðàæåíèÿ äíà ñòàêàíà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì äíà ñàìîãî ñòàêàíà, à âûñîòà èçîáðàæåíèÿ áîëüøå âûñîòû ñàìîãî ñòàêàíà â äâà ðàçà. Êàêóþ ÷àñòü îáúåìà çàíèìàåò èçîáðàæåíèå ìîëîêà â èçîáðàæåíèè ñòàêàíà? Ñ.Âàðëàìîâ Ô2314. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû λ = = 0,5 ìêì ïàäàåò ïåðïåíäèêóëÿðíî íà íåïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíó, â êîòîðîé ïðîðåçàíà äëèííàÿ ùåëü ïîñòîÿííîé øèðèíû D = 0,1 ìì λ . Íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì íà ðàññòîÿíèè L = 10 ì D2 λ ïàðàëëåëüíî ïëàñòèíå, âèäíû äèôðàêöèîííûå ïîëîñû ðàçíûõ ïîðÿäêîâ. Êàêîâî îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòåé/ÿðêîñòåé ñâåòà â öåíòðàõ ïîëîñ äëÿ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ n è m? Ñ÷èòàéòå, ÷òî 1 n < m D λ . Ô.Ðåíåëü Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2286Ì2293, Ô2293Ô2299 M2286.  ÷èñëå íå ìåíüøå 10 ðàçðÿäîâ, â åãî çàïèñè èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâå ðàçíûå öèôðû, ïðè÷åì îäèíàêîâûå öèôðû íå ñòîÿò ðÿäîì. Íà êàêóþ íàèáîëüøóþ ñòåïåíü äâîéêè ìîæåò äåëèòüñÿ òàêîå ÷èñëî? Îòâåò: íà øåñòóþ. Îòùåïèì îò ÷èñëà èç óñëîâèÿ «õâîñò» èç ïîñëåäíèõ 8 öèôð. Ðàçíîñòü ÷èñëà è åãî «õâîñòà» îêàí÷èâàåòñÿ íà 8 íóëåé, ïîýòîìó äåëèòñÿ íà 28 . À «õâîñò» èìååò âèä abababab = ab ◊ 1010101 , ãäå a è b öèôðû. ßñíî, ÷òî ÊÂÀÍT 2013/¹3 äâîéêè â ðàçëîæåíèè «õâîñòà» íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî èç ÷èñëà ab . Íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü äâîéêè, íà êîòîðóþ îíî ìîæåò äåëèòüñÿ, íå áîëåå øåñòîé ( 27 = 128 óæå òðåõçíà÷íîå). Òîãäà è èñõîäíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 6-þ ñòåïåíü äâîéêè. Ïðèìåðîì òàêîãî ÷èñëà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 6464646464. Çàìå÷àíèå.  ïðèâåäåííîì ðàññóæäåíèè îòùåïëåíèå «õâîñòà» èç 6 öèôð ababab íåäîñòàòî÷íî, òàê êàê ñóììà ÷èñëà, îêàí÷èâàþùåãîñÿ íà 6 íóëåé, è òàêîãî «õâîñòà» ìîæåò äåëèòüñÿ íà 27 (âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî 1646464). Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ â ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì çàäà÷è. Ïðîâåäåì ÷åðåç M ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ BC, ïóñòü îíà ïåðåñåêàåò AA¢ â òî÷êå T. Òîãäà AT: A ¢T = = AM : A0M = 2. Ïî ïîñòðîåíèþ, T ëåæèò íà îòðåçêå 1 AP, è, çíà÷èò, SCA¢P < SCA¢T = SCAT (â òðåóãîëüíèêàõ 2 CA ¢T è CAT îñíîâàíèÿ A ¢T è AT îòíîñÿòñÿ êàê 1 ê 2, à âûñîòà ê ýòèì îñíîâàíèÿì îáùàÿ). Äàëåå, òàê êàê B0 ïðèíàäëåæèò îòðåçêó èìååì AB¢ , 1 1 SAB¢P > SAB0T = SCAT . Èòàê, SCA¢P < SCAT < SAB¢P , 2 2 ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Ïîìèìî ïðåäëîæåííîãî ñèíòåòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ èìåþòñÿ è âû÷èñëèòåëüíûå ïîäõîäû. Åùå îäèí êðàñèâûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è ñì. â ñòàòüå Â.Ðàñòîðãóåâà «Ðàâíûå ïëîùàäè è ïîâîðîòû». Ï.Êîæåâíèêîâ M2287.  êëàññå 20 øêîëüíèêîâ. Äëÿ íèõ îðãàíèçîâàíî íåñêîëüêî ýêñêóðñèé. à) Èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîé ýêñêóðñèè ó÷àñòâîâàë õîòÿ áû îäèí øêîëüíèê. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ýêñêóðñèÿ, êàæäûé èç ó÷àñòíèêîâ êîòîðîé ïîñåòèë íå ìåíåå 1/20 âñåõ ýêñêóðñèé. á) Èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîé ýêñêóðñèè ó÷àñòâîâàëè õîòÿ áû ÷åòâåðî. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ýêñêóðñèÿ, êàæäûé èç ó÷àñòíèêîâ êîòîðîé ïîñåòèë íå ìåíåå 1/17 âñåõ ýêñêóðñèé. Ïóñòü ÷èñëî ýêñêóðñèé ðàâíî n, è êàæäûé øêîëüíèê ñîõðàíèë áèëåòû ñî âñåõ ýêñêóðñèé, â êîòîðûõ ó÷àñòâîâàë. à) Íàçîâåì øêîëüíèêà áåäíÿãîé, åñëè îí ïîáûâàë ìåíüøå ÷åì íà n 20 ýêñêóðñèÿõ. Îòìåòèì áèëåòû âñåõ áåäíÿã. Âñåãî îòìå÷åíî ìåíüøå 20 ◊ n 20 = n áèëåòîâ, ïîýòîìó íàéäåòñÿ ýêñêóðñèÿ, íè îäèí áèëåò íà êîòîðóþ íå îòìå÷åí. Çíà÷èò, â íåé áåäíÿãè íå ó÷àñòâîâàëè, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. á) Òåïåðü íàçîâåì øêîëüíèêà áåäíÿãîé, åñëè îí ïðèíÿë ó÷àñòèå ìåíåå ÷åì â n 17 ýêñêóðñèÿõ. Ñíîâà îòìåòèì áèëåòû âñåõ áåäíÿã. Äîïóñòèì, ÷òî â êàæäîé ýêñêóðñèè õîòÿ áû îäèí èç áèëåòîâ îòìå÷åí. Òîãäà îòìå÷åíî íå ìåíåå n áèëåòîâ, âêëàä êàæäîãî áåäíÿãè ìåíüøå n 17 áèëåòîâ, çíà÷èò, áåäíÿã áîëüøå 17. Âûáåðåì èç íèõ ðîâíî 17. Ó âûáðàííûõ 17 áåäíÿã âñåãî ìåíüøå 17 ◊ n 17 = n áèëåòîâ, ó êàæäîãî èç îñòàëüíûõ òðåõ øêîëüíèêîâ íå áîëåå ÷åì ïî n áèëåòîâ, ïîýòîìó âñåãî áèëåòîâ ìåíüøå 4n. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ íà êàæäóþ èç n ýêñêóðñèé ïðîäàíî íå ìåíåå 4 áèëåòîâ. Ïðîòèâîðå÷èå. Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ M2289.  íåêîòîðûõ êëåòêàõ êâàäðàòà 11 × 11 ñòîÿò ïëþñû, ïðè÷åì âñåãî ïëþñîâ ÷åòíîå êîëè÷åñòâî.  êàæäîì êâàäðàòèêå 2 × 2 òîæå ÷åòíîå ÷èñëî ïëþñîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòíî è ÷èñëî ïëþñîâ â 11 êëåòêàõ ãëàâíîé äèàãîíàëè êâàäðàòà. Ñòóïåí÷àòàÿ ôèãóðà À â ëåâîì âåðõíåì óãëó (ðèñ.1) ñîñòîèò èç 15 êâàäðàòèêîâ 2 ¥ 2 , ïîýòîìó â íåé ÷åòíîå ÷èñëî ïëþñîâ. Òî æå âåðíî äëÿ ôèãóðû B, êîòîðàÿ ñèììåòðè÷íà ôèãóðå A îòíîñèòåëüíî öåíòðà êâàäðàòà. Êàæäàÿ èç êëåòîê êâàäðàòà âíå äèàãîíàëè ïîêðûòà ôèãóðàìè A è B îäèí ðàç, à êàæäàÿ êëåòêà äèàãîíàëè 0 èëè 2 ðàçà (ðèñ. 2). Ñóììà ÷èñëà ïëþñîâ â âåðõíåé è â íèæíåé ôèãóðå ÷åòíà, ïðè ýòîì ïëþñû â êëåòêàõ ñ öèôðîé 2 ó÷òåíû äâàæäû è äàþò, òåì ñàìûì, ÷åòíûé âêëàä. Çíà÷èò, è ÷èñëî ïëþñîâ âíå äèàãîíàëè ÷åòíî. À M2288. Íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòû òî÷êè A′ , B′ , C′ òàê, ÷òî îòðåçêè AA′ , BB′ , CC′ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå P. Èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ AB′P , BC′P , CA′P ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî P ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC. Ïðîâåäåì ìåäèàíû AA0 , BB0 , CC0 è îòìåòèì èõ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ M. (Êàê èçâåñòíî, ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ AMB0 , AMC0 , BMC0 , BMA0 , CMA0 , CMB0 ðàâíû.) Òîãäà òî÷êà P ëåæèò â îäíîì èç òðåóãîëüíèêîâ ABM, BCM, CAM. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ýòî òðåóãîëüíèê BCM (ñì. ðèñóíîê). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P π M , è äîêàæåì, ÷òî SCA¢P < SAB¢P Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ òàê êàê ÷åòíî îáùåå ÷èñëî ïëþñîâ, òî è íà äèàãîíàëè ÷èñëî ïëþñîâ ÷åòíî. Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ M2290. Ïóñòü C (n ) êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n. à) Êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ÷èñëî òàêèõ ïàð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (a, b ) , ÷òî a ≠ b è C (a + b ) = C (a ) + + C (b ) ? á) À åñëè ïðè ýòîì äîïîëíèòåëüíî òðåáóåòñÿ, ÷òîáû C (a + b ) > 1000? à) Îòâåò: áåñêîíå÷íî. Íàïðèìåð, ïîäõîäÿò âñå ïàðû âèäà 2n , 2n+1 . Çäåñü ( ) ( ) C (a ) = C (b ) = 1 , C (a + b ) = C 3 ◊ 2n = 2 . á) Îòâåò: áåñêîíå÷íî. Ðàññìîòðèì ÷èñëî P, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ p1p2 … pn ïåðâûõ n ïðîñòûõ ÷èñåë (n > 1000). P íàèìåíüøåå ÷èñëî, ó êîòîðîãî n ïðîñòûõ äåëèòåëåé, â ÷àñòíîñòè C ( P - 1) < n , è òîãäà C (1) + C ( P - 1) = C ( P - 1) < C ( P ) . Ïîëîæèì C ( P - 1) = n - k . Ðàññìîòðèì ÷èñëî Q, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ íåêîòîðûõ k ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå pn è âñåõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñëà P 1. Âîçüìåì a = Q, b = ( P - 1) Q . Èìååì C (a ) = k, C (b ) = n, C (a + b ) = C ( PQ ) = n + k . Âàðüèðóÿ ïðîñòûå ÷èñëà, âõîäÿùèå â ðàçëîæåíèå Q, ïîëó÷èì áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èñêîìûõ ïàð. Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ M2291. Ïî îêðóæíîñòè äëèíû 1 íà÷àëè äâèæåíèå n òî÷å÷íûõ øàðèêîâ. Êàæäûé øàðèê èìååò ñêîðîñòü 1, ïðè÷åì k øàðèêîâ äâèæóòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à îñòàëüíûå n k äâèæóòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Åñëè äâà øàðèêà ñòàëêèâàþòñÿ, òî îíè ðàçëåòàþòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû òàê, ÷òî èõ ñêîðîñòè îñòàþòñÿ ðàâíûìè 1. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ÷èñëî t (çàâèñÿùåå òîëüêî îò n è k, íî íå îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ) òàêîå, ÷òî ÷åðåç âðåìÿ t ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ êàæäûé øàðèê çàéìåò ñâîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå, è íàéäèòå íàèìåíüøåå òàêîå t. n Îòâåò: t = . ÍÎÄ ( n, 2k) Ñëó÷àè n £ 2 ðàçáèðàþòñÿ ëåãêî. Ïóñòü n > 2. Çàìåòèì, ÷òî çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ðàâíûé 1, øàðèê ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè áåç ñòîëêíîâåíèé ñäåëàåò îäèí ïîëíûé îáîðîò. Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî øàðèêè íåîòëè÷èìû, òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîëêíîâåíèé íå ïðîèñõîäèò (ò.å. â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ øàðèêè «ïðîëåòàþò» äðóã ñêâîçü äðóãà), è, çíà÷èò, ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ðàâíûé öåëîìó ÷èñëó, íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå øàðèêîâ áóäåò ïîâòîðåíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåòðóäíî çàäàòü íà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå (íåîòëè÷èìûõ) øàðèêîâ òàê, ÷òîáû ÷åðåç íåöåëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè íà÷àëüíàÿ ïîçèöèÿ íå ìîãëà ïîâòîðèòüñÿ ñêàæåì, âçÿòü â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ïàðó øàðèêîâ, äâèãàþùèõñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè íà ìàëîì (ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ðàññòîÿíèÿìè ìåæäó ïàðàìè øàðèêîâ) ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. «ÊÂÀÍÒÀ» ! Îòñþäà ÿñíî, ÷òî îòâåòîì â çàäà÷å ìîæåò ÿâëÿòüñÿ òîëüêî öåëîå ÷èñëî. Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî øàðèêè ðàçëè÷íû, çàíóìåðóåì èõ â ïîðÿäêå îáõîäà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è îáîçíà÷èì ÷åðåç T1, T2, …, Tn ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè îêðóæíîñòè, ÿâëÿþùèåñÿ íà÷àëüíûìè ïîëîæåíèÿìè øàðèêîâ. Ïóñòü ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè t ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ (ñ÷èòàåì t íàòóðàëüíûì) ïåðâûé øàðèê ïîïàë â òî÷êó Tm +1 (çäåñü è äàëåå èíäåêñû, îòëè÷àþùèåñÿ íà ÷èñëî, êðàòíîå n, ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè), ïðîéäÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äóãó TT 1 m +1 è l ïîëíûõ îáîðîòîâ (âîçìîæíî, l < 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îáîðîòàì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè).  ïðîöåññå ñîóäàðåíèé öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê øàðèêîâ íå èçìåíÿåòñÿ, çíà÷èò, ÷åðåç âðåìÿ t øàðèê íîìåð i ïîïàäåò â Ti + m , ïðîéäÿ äóãó TT i i + m è l ïîëíûõ îáîðîòîâ (i = = 1, 2, , n). Ïîäñ÷èòàåì äâóìÿ ñïîñîáàìè ñóììàðíîå ïåðåìåùåíèå S âñåõ øàðèêîâ â íàïðàâëåíèè ÷àñîâîé ñòðåëêè çà âðåìÿ t. Ñ îäíîé ñòîðîíû, k øàðèêîâ äâèãàþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 1 è (n - k) øàðèêîâ ñî ñêîðîñòüþ 1, îòêóäà S = t (k - (n - k)) = t (2k - n ) . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S ðàâíî ñóììå äóã TT i i + m (i = 1, 2, , n) è ln ïîëíûõ îáîðîòîâ. Äóãè TT ïîêðûâàþò îêðóæíîñòü â m ñëîåâ, ò.å. èõ i i +m ñóììàðíàÿ äëèíà ðàâíà m, îòêóäà S = m + nl. Èìååì S = t (2k - n ) = m + nl , îòêóäà m ∫ 2kt (mod n ) . Óñëîâèå âîçâðàùåíèÿ êàæäîãî øàðèêà íà ñâîå ìåñòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî m äåëèòñÿ íà n, èëè 2kt äåëèòñÿ íà n. Îòñþäà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ âîçâðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ n êàê t = . ÍÎÄ ( n, 2k) Ï.Êîæåâíèêîâ M2292. à) Âíóòðè îêðóæíîñòè íàõîäèòñÿ ïðàâèëüíûé 2n-óãîëüíèê ( n ≥ 2 ), åãî öåíòð A íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì îêðóæíîñòè. Ëó÷è, âûïóùåííûå èç A â âåðøèíû 2n-óãîëüíèêà, âûñåêàþò 2n òî÷åê íà îêðóæíîñòè. Çàòåì 2n-óãîëüíèê ïîâåðíóëè òàê, ÷òî åãî öåíòð îñòàëñÿ íà ìåñòå. Òåïåðü ëó÷è âûñåêàþò 2n íîâûõ òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî èõ öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ñòàðûõ 2n òî÷åê. á*) Âíóòðè ñôåðû íàõîäèòñÿ èêîñàýäð, åãî öåíòð A íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ñôåðû. Ëó÷è, âûïóùåííûå èç A â âåðøèíû èêîñàýäðà, âûñåêàþò 12 òî÷åê íà ñôåðå. Èêîñàýäð ïîâåðíóëè òàê, ÷òî åãî öåíòð îñòàëñÿ íà ìåñòå. Òåïåðü ëó÷è âûñåêàþò 12 íîâûõ òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî èõ öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ñòàðûõ 12 òî÷åê. à) Ïðîäîëæèâ ãëàâíûå äèàãîíàëè 2nóãîëüíèêà, ïîëó÷èì n õîðä, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó A, òàêèõ, ÷òî óãëû ìåæäó ñîñåäíèìè õîðäàìè ðàâíû ïî 180∞ n (ñì. ðèñóíîê). Öåíòð ìàññ êîíöîâ õîðä ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ñåðåäèí ýòèõ õîðä òî- " ÊÂÀÍT 2013/¹3 ÷åê M1, M2, …, Mn . Êàæäàÿ ñåðåäèíà Mi ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé öåíòðà O îêðóæíîñòè íà ñîîòâåòñòâóþùóþ õîðäó, çíà÷èò, òî÷êè M1, M2, …, Mn ëåæàò íà îêðóæíîñòè s ñ äèàìåòðîì OA. Èç ðàâåíñòâà âïèñàííûõ óãëîâ ñëåäóåò, ÷òî âñå òî÷êè M1, M2, …, Mn äåëÿò îêðóæíîñòü s íà ðàâíûå äóãè, ïîýòîìó èõ öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ â öåíòðå îêðóæíîñòè s, ò.å. â ñåðåäèíå îòðåçêà AO. á) Ðàññìîòðèì ñåðåäèíû M1, …, M6 øåñòè õîðä l1, …, l6 , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç A è ÿâëÿþùèõñÿ ïðîäîëæåíèÿìè äèàãîíàëåé èêîñàýäðà. Àíàëîãè÷íî ïóíêòó à), äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî öåíòð ìàññ Q òî÷åê M1, …, M6 íå çàâèñèò îò âûáîðà èêîñàýäðà. Ïîëîæèì AO = a (äàëåå âåêòîð a áóäåì ñ÷èòàòü ïåðåìåííûì) è 1 f (a ) = AQ = AM1 + … + AM6 . Ïîêàæåì, ÷òî 6 f (a ) = αa , ãäå α íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà; îòñþäà ñðàçó ïîñëåäóåò ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî AMi ïðîåêöèÿ âåêòîðà a íà ïðÿìóþ li , è, çíà÷èò, 6f (a ) ýòî ñóììà ïðîåêöèé âåêòîðà a íà ïðÿìûå l1, …, l6 . Ïóñòü ei åäèíè÷íûé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé li . Èç ñèììåòðèè èêîñàýäðà ïîëó÷èì f ( e1 ) = αe1 . (Äåéñòâèòåëüíî, èêîñàýäð ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå 2π âîêðóã îñè l1 íà óãîë , ïîýòîìó ñóììà ïðîåêöèé 5 âåêòîðà e1 íà îñòàëüíûå äèàãîíàëè l2, …, l5 ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì, êîòîðûé òàêæå ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ýòîì ïîâîðîòå.) Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ, ïîëó÷àåì f ( e2 ) = = α ¢e2 , ïðè÷åì èç ñèììåòðèè èêîñàýäðà α ¢ = α . (Äåéñòâèòåëüíî, ýòî ñëåäóåò èç íàëè÷èÿ äâèæåíèÿ, êîòîðîå ïåðåâîäèò èêîñàýäð â ñåáÿ: ïðè íåì l1 ïåðåõîäèò â l2 , ýòî äâèæåíèå ïåðåñòàâëÿåò íåêîòîðûì îáðàçîì ïðÿìûå l1, l2, …, l6 .) Òàêèì æå îáðàçîì, f (e3 ) = αe3 . Òàê êàê îïåðàöèÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíà, òî îòîáðà æåíèå f òàêæå ëèíåéíî, ò.å. äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x , y è ÷èñëà λ âûïîëíåíî f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , f (λx ) = λf ( x ) . Ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a ðàçëîæèì ïî íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì e1, e2, e3 : a = µ1e1 + µ2e2 + + µ3e3 . Òîãäà f (a ) = µ1f ( e1 ) + µ2 f ( e2 ) + µ3 f ( e3 ) = = µ1αe1 + µ2αe2 + µ3αe3 = αa , ( ) ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå çàäà÷å á), ìîæíî äîêàçàòü è äëÿ ïðàâèëüíîãî îêòàýäðà, êóáà, äîäåêàýäðà. Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ M2293. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â èãðó, ïðàâèëà êîòîðîé òàêîâû. Ïåòÿ çàãàäûâàåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî x ñ ñóììîé öèôð 2012. Çà îäèí õîä Âàñÿ âûáèðàåò ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî a è óçíàåò ó Ïåòè ñóììó öèôð ÷èñëà |x a|. Êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî õîäîâ íåîáõîäèìî ñäåëàòü Âàñå, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî îïðåäåëèòü x? Îòâåò: 2012 õîäîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S (n) ñóììó öèôð ÷èñëà n. Àëãîðèòì. Ïåðâûì õîäîì Âàñÿ íàçûâàåò 1. Åñëè ÷èñëî x îêàí÷èâàåòñÿ íà k íóëåé, òî S ( x - 1) = 2011 + 9k . Òàêèì îáðàçîì Âàñÿ óçíàåò ïîëîæåíèå ñàìîé ïðàâîé íåíóëåâîé öèôðû â x. Ïîëîæèì x1 = x - 10k . Âàñÿ çíàåò, ÷òî S ( x1 ) = 2011. Ïîäîáðàâ íà âòîðîì õîäó ÷èñëî a òàê, ÷òîáû x - a = x1 - 1 , Âàñÿ óçíàåò, ñêîëüêî íóëåé â êîíöå x1 . Ïóñòü èõ m. Ïîëîæèì x2 = x1 - 10m . Òîãäà S ( x2 ) = 2010. Ïîäîáðàâ íà òðåòüåì õîäó ÷èñëî a òàê, ÷òîáû x - a = x2 - 1 , Âàñÿ óçíàåò, ñêîëüêî íóëåé â êîíöå x2 , è ò.ä. Ïîñëå 2012 õîäà îí ïîëó÷èò S ( x2012 ) = 0 è òåì ñàìûì íàéäåò ÷èñëî x. Îöåíêà. Ïóñòü Ïåòÿ ïðèçíàëñÿ, ÷òî â çàïèñè ÷èñëà x åñòü òîëüêî íóëè è åäèíèöû, ò.å. x = 10k2012 + 10k2011 + … … + 10k1 , ãäå k2012 > k2011 > … > k1 . Òîãäà çàäà÷à Âàñè ñâîäèòñÿ ê âûÿñíåíèþ çíà÷åíèé ïîêàçàòåëåé ki . Ïóñòü Âàñå íå âåçåò, è íà i-ì õîäó îêàçûâàåòñÿ, ÷òî 10ki áîëüøå ïðåäúÿâëåííîãî Âàñåé ÷èñëà a. Òîãäà, íåçàâè- ( ) ñèìî îò çíà÷åíèé k2012, …, ki +1 , S ( x - a ) = S 10ki - a + + (2012 - i) . Òåì ñàìûì, î çíà÷åíèÿõ k2012, …, ki +1 íè÷åãî íå èçâåñòíî (êðîìå òîãî, ÷òî âñå îíè áîëüøå ki ).  ÷àñòíîñòè, ïîñëå 2011 õîäîâ ìîæåò îñòàòüñÿ íåèçâåñòíûì òî÷íîå çíà÷åíèå k2012. Ñ.Ñàôèí Ô2293. Âíóòðè ñôåðè÷åñêîé êîëáû ñ âíóòðåííèì äèàìåòðîì D = 8 ñì íàõîäèòñÿ ðàçðåæåííûé ãàç, ñîñòîÿùèé èç îäèíàêîâûõ ìîëåêóë. Êàêîâî ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà êîëáû äî ìîëåêóë ãàçà (ãðàâèòàöèåé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü)? Âûäåëèì ìàëåíüêèé òåëåñíûé óãîë Ω ñ âåðøèíîé â öåíòðå êîëáû.  îáúåìå êîëáû, îãðàíè÷åííîì ýòèì òåëåñíûì óãëîì, íàõîäèòñÿ ìíîãî ìîëåêóë ñ îäèíàêîâûìè ìàññàìè, êîòîðûå ðàñïðåäåëåíû ïî îáúåìó ðàâíîìåðíî. Íàéäåì ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ýòîãî âûäåëåííîãî îáúåìà: m Rk  Rk . = R= mk k Âñå âåêòîðû íà÷èíàþòñÿ â öåíòðå êîëáû è ïðè ìàëîì çíà÷åíèè òåëåñíîãî óãëà ïî÷òè ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, öåíòð ìàññ ýòîãî ó÷àñòêà îáúåìà íàõîäèòñÿ êàê ðàç íà ñðåäíåì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà êîëáû äî âñåõ ìîëåêóë. Ïðè óäàëåíèè îò öåíòðà êîëáû íà x è ñìåùåíèè íà ∆x ê îáúåìó äîáàâëÿåòñÿ ïîðöèÿ Rk Σ Ωx 2 ∆x . Âêëàä ýòîé ïîðöèè îáúåìà â ñóììó ðàâåí k 3 Ωx ∆x . Ïðîñóììèðîâàâ (ïðîèíòåãðèðîâàâ) âñå âêëàV D , ïîëó÷èì äû íà âñåõ èíòåðâàëàõ îò x = 0 äî x = 2 4 3 Ω ( D 2) Ω ( D 2) . Îáúåì âûäåëåííîé ÷àñòè ðàâåí , 4V 3 ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ðàññòîÿíèå îò öåíòðà äî ìîëåêóë â øàðå (êîëáå) ðàâíî 3 D 3D Rñð = = = 3 ñì . 4 2 8 Ñ.Âàðëàìîâ Ô2294. Ê 1 àïðåëÿ ÷àñîâùèê èç äåòàëåé ñòàðûõ ÷àñîâ ðàçíûõ êîíñòðóêöèé è èç øåñòåðåíîê ðàçíûõ ðàçìå- ÇÀÄÀ×ÍÈÊ ðîâ ñîáðàë ìåõàíèçì, â êîòîðîì òðè ñòðåëêè ÷àñîâàÿ, ìèíóòíàÿ è ñåêóíäíàÿ âðàùàëèñü «ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå» ñ ðàçíûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè ω÷ < ωì < ωñ . Ïðè óñòàíîâêå âñåõ ñòðåëîê íà 12:00 è çàïóñêå ìåõàíèçìà âûÿñíèëîñü ñëåäóþùåå: à) êàæäûé ðàç, êîãäà ÷àñîâàÿ ñòðåëêà ïðîõîäèëà îòìåòêó 12:00, åå îáÿçàòåëüíî îáãîíÿëè îáå äðóãèå (ìèíóòíàÿ è ñåêóíäíàÿ) ñòðåëêè; á) êàæäûé ðàç, êîãäà ÷àñîâóþ ñòðåëêó îáãîíÿëà òîëüêî ñåêóíäíàÿ, âñå ñòðåëêè âûòÿãèâàëèñü âäîëü îäíîé ïðÿìîé ëèíèè; â) ÷àñîâàÿ ñòðåëêà çà 1 ÷àñ ñäåëàëà 5 îáîðîòîâ. Êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî îáîðîòîâ çà ýòî âðåìÿ ìîãëà ñäåëàòü ìèíóòíàÿ ñòðåëêà è ñêîëüêî ðàç ïðè ýòîì ïîâåðíóëàñü ñåêóíäíàÿ ñòðåëêà? Ðàçíîñòè óãëîâûõ ñêîðîñòåé ωc - ω÷ è ωì - ω÷ îòëè÷àþòñÿ ðîâíî â äâà ðàçà. Êðîìå òîãî, ýòè ðàçíîñòè óãëîâûõ ñêîðîñòåé òàêîâû, ÷òî ( ωì - ω÷ ) ω÷ = N , ãäå N öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî N = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ωì = 2ω÷ è ωñ = 3ω÷ . Òàêèì îáðàçîì, ìèíóòíàÿ ñòðåëêà çà 1 ÷àñ ñäåëàåò 10 îáîðîòîâ, à ñåêóíäíàÿ 15 îáîðîòîâ. Ñ.×àñîâùèê Ô2295. Íà ãîðèçîíòàëüíîé øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ ìàëåíüêàÿ ïëîñêàÿ øàéáà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ øàéáû î ïîâåðõíîñòü µ = 0,5. Åñëè ïîäåéñòâîâàòü íà ïîêîèâøóþñÿ øàéáó ïîñòîÿííîé ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F = 10 Í, òî øàéáà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ïðÿìîëèíåéíî è ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíèåì a = µg = 5 ì ñ2 . Êàêîé ìèíèìàëüíîé ïî ìîäóëþ ñèëîé ìîæíî çàñòàâèòü ýòó æå øàéáó äâèãàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî ïî òîé æå ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a?  óñëîâèè çàäà÷è åñòü ïîäñêàçêà: «ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ », ò.å. äâèæåíèå íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå. Ïîýòîìó ïðèäåòñÿ ñðàâíèòü ìèíèìàëüíûå âåëè÷èíû ñèë äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî è êðèâîëèíåéíîãî äâèæåíèé. Ïîíÿòíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ïî ìîäóëþ ñèëà äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà íå ãîðèçîíòàëüíî. Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â äâóõ âàðèàíòàõ. 1) Ñíà÷àëà ïðèëîæèì ê øàéáå òàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñèëó, ïðè êîòîðîé øàéáà áóäåò ñêîëüçèòü ïî ïîâåðõíîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, à çàòåì èçìåíèì ãîðèçîíòàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ýòîé ñèëû òàê, ÷òîáû øàéáà äâèãàëàñü ïî ïîâåðõíîñòè ïî îêðóæíîñòè ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a. 2) Íàéäåì ìèíèìàëüíóþ ñèëó, êîòîðàÿ íóæíà, ÷òîáû âûïîëíèòü óñëîâèå çàäà÷è ïðè ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè øàéáû. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ma = F - µmg . Çíà÷èò, ìàññà øàéáû ðàâíà F m= = 1 êã . a + µg 1) Íàïðàâèì ñèëó f , ïðèëîæåííóþ ê øàéáå, ïîä íåêîòîðûì óãëîì β ê ãîðèçîíòó. Íàéäåì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ýòîé ñèëû, ïðè êîòîðîì øàéáà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.  ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîí- # «ÊÂÀÍÒÀ» òàëüíîå è âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèÿ óðàâíåíèå ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ øàéáû èìååò âèä f cos β = µN è mg = f sin β + N , ãäå N ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ïîâåðõíîñòè. Îòñþäà íàõîäèì µmg f = . cos β + µ sin β Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ ñèëû f, îáåñïå÷èâàþùåé ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå, äîñòèãàåòñÿ ïðè óãëå β = arctg µ è ðàâíî µmg fmin = ª 4,47 H . 1 + µ2 Äëÿ òîãî ÷òîáû øàéáà äâèãàëàñü ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a, íóæíî, ÷òîáû ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ñóììû âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà øàéáó, áûëà ðàâíà ma. Íî òàêîå äâèæåíèå âîâñå íå îáÿçàíî áûòü ïðÿìîëèíåéíûì. Íàïðèìåð, ìîæíî çàñòàâèòü øàéáó äâèãàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ v è ïðè ýòîì îáåñïå÷èòü ðàâåíñòâî v2 R = a .  ýòîì ñëó÷àå ìèíèìàëüíàÿ ñèëà, ñ êîòîðîé íóæíî äåéñòâîâàòü íà øàéáó, ðàâíà ïî âåëè÷èíå 2 (ma)2 + fmin fmin ¢ = ª 6,71 H . 2) Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå øàéáû ñ íóæíûì ïî âåëè÷èíå óñêîðåíèåì.  ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîíòàëüíîå è âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ øàéáû ïðèìåò âèä f1 cos β - µN = ma è mg = f1 sin β + N . Îòñþäà ïîëó÷àåì m (µg + a ) . cos β + µ sin β Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ñèëû äîñòèãàåòñÿ ïðè òàêîì óãëå β , ÷òî tg β = µ , è ðàâíî f1 = m (µg + a ) ª 8,94 H . 1 + µ2 Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ãîâîðÿò ñàìè çà ñåáÿ. À.Çèëüáåðìàí fmin 1 = Ô2296. Æåñòêèé ñòåðæåíü ïîñòîÿííîãî êðóãëîãî ñå÷åíèÿ S è äëèíû L S ðàñêðóòèëè îòíîñèòåëüíî åãî ñðåäíåé òî÷êè âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ñèììåòðèè ñòåðæíÿ. Ïðè êàêîé ëèíåéíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíÿ ïðè âðàùåíèè îí ïîðâåòñÿ? Ïðåäåëüíîå íàïðÿæåíèå ðàñòÿæåíèÿ, êîòîðîå âûäåðæèâàåò ìàòåðèàë ñòåðæíÿ, σmax = 109 Ïà , ïëîòíîñòü ýòîãî ìàòåðèàëà ρ = 8000 êã ì3 . Ðàçîáüåì (ìûñëåííî) öèëèíäðè÷åñêèé ñòåðæåíü íà ìíîæåñòâî ïëîñêèõ «áëèíîâ» òîëùèíîé dx, ïëîñêîñòè êîòîðûõ ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè ñòåðæíÿ. Äëÿ êàæäîãî áëèíà ìîæíî íàïèñàòü çàêîí äâèæåíèÿ (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà) â âèäå 2 Ê vx ˆ ÁË L 2 ˜¯ ρ ( Sdx ) = - Sdσ . x $ ÊÂÀÍT 2013/¹3 Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî íàïðÿæåíèå ðàñòÿæåíèÿ âáëèçè êîíöîâ öèëèíäðà ðàâíî íóëþ, à â ñàìîì åãî öåíòðå (íà ρv2 îñè âðàùåíèÿ) ìàêñèìàëüíî è ðàâíî . Ïðèðàâíè2 âàÿ ýòî ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå åãî ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ, íàõîäèì ìàêñèìàëüíóþ ëèíåéíóþ ñêîðîñòü ÷àñòèö íà êîíöàõ öèëèíäðà: vmax = 2σmax = 500 ì ñ . ρ Ä.Ñîïðîìàòîâ Ô2297. Þíûé ôèçèê Ãëåá ðåøèë èññëåäîâàòü ïðîöåññ òàÿíèÿ ëüäà. Ê äíó öèëèíäðè÷åñêîãî ñòàêàíà îí ïðèìîðîçèë öèëèíäðè÷åñêóþ ñîñóëüêó è íàëèë â ñòàêàí ëåäÿíîé âîäû (ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞Ñ ) òàê, ÷òî ñîñóëüêà îêàçàëàñü ïîëíîñòüþ ïîä âîäîé (ðèñ.1). Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âîäû â ñòàêàíå S = 10 ñì2 . Ãëåá ïîñòàâèë ñòàêàí íà ñòîë â êîìíàòå è ñòàë èçìåðÿòü çàâèñèìîñòü âûñîòû H óðîâíÿ âîäû â ñòàêàíå îò âðåìåíè t. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé îí àêêóðàòíî çàíîñèë â òàáëèöó. Íî âñêîðå ýêñïåðèìåíòàòîðà ïîçâàëè îáåäàòü, à êîãäà îí âåðíóëñÿ, ñîñóëüêà ñîâñåì ðàñÐèñ. 1 òàÿëà. Ãëåá òî÷íî çíàë, ÷òî â íà÷àëå ýêñïåðèìåíòà ñîäåðæèìîå ñòàêàíà íàõîäèëîñü â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè è èìåëî òåìïåðàòóðó 0 ∞Ñ , à òåìïåðàòóðà â êîìíàòå íå èçìåíÿëàñü. Ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì 3 , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 330 êÄæ êã , ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì 3 . Ñîñóëüêà çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ íå âñïëûâàëà. Ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííîé òàáëèöåé: t, ìèí H, ìì 0 2 15 30 39 45 55 80 105 150 153 153 152 151 151 150 150 148 147 ... 145 ñîñóëüêà åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü ... íåò 1) ïîìîãèòå Ãëåáó óñòàíîâèòü, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà ïðîèçîøëî ïîëíîå òàÿíèå ëüäà; 2) íàéäèòå ìîùíîñòü ïðèòîêà òåïëà èç êîìíàòû ê ñîäåðæèìîìó ñòàêàíà (ò.å. îïðåäåëèòå, êàêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàåò çà îäíó ñåêóíäó ê ñîäåðæèìîìó ñòàêàíà ÷åðåç åãî ñòåíêè). Òàê êàê ñòàêàí âñå âðåìÿ èìååò òåìïåðàòóðó 0 ∞C è êîìíàòíàÿ òåìïåðàòóðà òàêæå íå ìåíÿåòñÿ, òî ïîñòîÿííîé áóäåò è ìîùíîñòü ïîäâîäèìîãî òåïëà. Äîêàæåì, ÷òî ãðàôèê çàâèñèìîñòè H (t ) äîëæåí áûòü ëèíåéíûì. Ïóñòü çà ìàëîå âðåìÿ ∆t ñèñòåìå ïåðåäàíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû N ∆t , ãäå N èñêîìàÿ ìîùíîñòü ïîäâîäèìîãî òåïëà. Îíî öåëèêîì ðàñõîäóåòñÿ òîëüêî íà ïëàâëåíèå ëüäà, ñëåäîâàòåëüíî, çà ýòî âðåìÿ ðàñòàåò ëåä ìàññîé ∆m = N ∆t . λ Èçìåíåíèå îáúåìà ñîäåðæèìîãî ñòàêàíà ìîæíî íàéòè êàê ðàçíîñòü îáúåìîâ ðàñòàÿâøåãî ëüäà è âîäû, ïîëó- ÷åííîé èç ýòîãî ëüäà: ∆m ∆m . ρë ρâ Ïðè ýòîì ïîíèæåíèå óðîâíÿ âîäû â ñòàêàíå áóäåò ðàâíî 1ˆ ∆V N ∆t Ê 1 ∆H = = - ˜. Á λ S Ë ρë ρâ ¯ S Âèäíî, ÷òî âûñîòà Í ëèíåéíî óìåíüøàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè t. 1) Äëÿ îòâåòà íà ïåðâûé âîïðîñ çàäà÷è ñëåäóåò, ïîëüçóÿñü òàáëèöåé, íàíåñòè òî÷êè íà ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûñîòû îò âðåìåíè (ðèñ.2), ïðîâåñòè ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ ëèíèþ è ýêñòðàïîëèðîâàòü ïîëó÷åííóþ çàâèñèìîñòü äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ óðîâíåì 145 ìì ýòî óðîâåíü ∆V = Ðèñ. 2 âîäû â ñòàêàíå ïîñëå ïîëíîãî òàÿíèÿ ëüäà. Îòñþäà ïîëó÷èì îòâåò: ∆tò = 135 ìèí (ñ òî÷íîñòüþ äî 5 ìèí). 2) Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìîùíîñòè ïðèòîêà òåïëà âîñïîëüçóåìñÿ âûâåäåííûì ñîîòíîøåíèåì äëÿ ∆H , èç êîòîðîãî ïîëó÷èì ∆Hò λSρë ρâ N= ª 2,93 Âò . ∆tò (ρâ - ρë ) Çäåñü ïðè ïîäñòàíîâêå âçÿòî ∆Hò = 0,008 ì (ïîëíîå óìåíüøåíèå óðîâíÿ âîäû â ñòàêàíå çà âðåìÿ òàÿíèÿ ëüäà), ∆tò = 135 ìèí . Çàìå÷àíèå. Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðè òàêîì ðàçáðîñå òî÷åê íà ãðàôèêå ñëåäóåò ïûòàòüñÿ ïðîâåñòè ÷åðåç íèõ äâå ïðÿìûå ëèíèè äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî îöåíèòü ïîãðåøíîñòü íàéäåííîãî âðåìåíè òàÿíèÿ ëüäà îíî ìîæåò ëåæàòü â èíòåðâàëå 130140 ìèí. Ì.Çàìÿòíèí Ô2298. Äàíû âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ÂÀÕ äâóõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ïðè U > 0 (ñì. ðèñóíîê). Ó ïåðâîãî ýëåìåíòà íà ÂÀÕ ëåæàò òî÷êè 1 (I = 1À, U = 0), 2 (I = 1A, U = 1Â), 3 (I = 0, U = 2Â). Ó âòîðîãî ýëåìåíòà íà ÂÀÕ ëåæàò òî÷êè 1 (I = 0, ÇÀÄÀ×ÍÈÊ U = 0), 2 (I = 0, U = 1Â), 3 (I = 2À, U = 2Â), à äàëåå ãðàôèê èäåò âäîëü ïî ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé îòðåçîê 23. Êàêèìè áóäóò âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýòèõ ýëåìåíòîâ? Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè òîêè ýëåìåíòîâ ïðè îäíîì è òîì æå íàïðÿæåíèè ñêëàäûâàþòñÿ, ïîýòîìó ÂÀÕ ïðè U > 0 ñîñòîèò èç òðåõ ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêîâ äâóõ îòðåçêîâ è ïðÿìîé ëèíèè. Èõ íà÷àëà è êîíöû 1-2, 2-3, 3-4 è äàëåå ïî ïðÿìîé ðàñïîëîæåíû â òî÷êàõ 1 (I = 1 À, U = 0), 2 (I = 1 A, U = 1 Â), 3 (I = 2 À, U = 2 Â), 4 (I = 4 À, U = 3 Â). Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ íàïðÿæåíèå íà äâóõ ýëåìåíòàõ íå ìîæåò áûòü ìåíüøå 1,5 Â, ò.å. íà ÂÀÕ îòñóòñòâóþò çíà÷åíèÿ òîêîâ ïðè U < 1,5 Â. Ïîýòîìó ïåðâàÿ (áëèæàéøàÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò) òî÷êà ÂÀÕ 1 èìååò êîîðäèíàòû I = 1 À, U = 1,5 Â. Âòîðàÿ õàðàêòåðíàÿ òî÷êà 2 èìååò êîîðäèíàòû I = 1 A, U = 2,5 Â. Ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 ïðÿìîé îòðåçîê ÂÀÕ. Òðåòüÿ õàðàêòåðíàÿ òî÷êà 3 èìååò êîîðäèíàòû I = 0, U = 3 Â. Ìåæäó òî÷êàìè 2 è 3 ïðÿìîé îòðåçîê ÂÀÕ. Ïðè íàïðÿæåíèÿõ U > 3  òîê ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûå ýëåìåíòû íå òå÷åò. Â.Àõîâ Ô2299. Ìàëüâèíà ðàññìàòðèâàåò ñâîå èçîáðàæåíèå â çåðêàëå, ïëîñêîñòü êîòîðîãî âåðòèêàëüíà è íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè L îò íîñà Ìàëüâèíû. Çåðêàëî èìååò äâå îòðàæàþùèå ïîâåðõíîñòè è óêðåïëåíî íà âåðòèêàëüíîé îñè, âîêðóã êîòîðîé ìîæåò âðàùàòüñÿ. Îñü âðàùåíèÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè çåðêàëà è òàêæå íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè L îò íîñà Ìàëüâèíû. Áóðàòèíî çàêðóòèë çåðêàëî òàê, ÷òî îíî ïðèîáðåëî íà÷àëüíóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü ω0 . Âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ òðåíèÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ çåðêàëà ðàâíîìåðíî óìåíüøèëàñü äî íóëÿ çà âðåìÿ τ . Ðàâíûå ïëîùàäè è ïîâîðîòû  ýòîé íåáîëüøîé çàìåòêå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ îäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé.  ÷àñòíîñòè, ìû îáîáùèì çàäà÷è Ì827 (ðåøåíèå â «Êâàíòå» ¹1 çà 1984 ã.) è Ì2288 (ðåøåíèå â ýòîì íîìåðå æóðíàëà). Íà÷íåì ñ òàêîé çàäà÷è. Çàäà÷à 1. Íà ñòîðîíàõ BC, CA, AB ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàëè òî÷êè A′ , B′ , C′ ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ AA′ , BB′ , CC′ îáîçíà÷èì P, Q, R (ðèñ. 1, à, á) 1 . Ïîëîæèì x = AB′ , y = BC′ , z = CA′ . Äîêàæèòå, ÷òî x = y = z òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ APB′ , BQC′ è CRA′ ðàâíû. Ðåøåíèå.  îäíó ñòîðîíó óòâåðæäåíèå äîêàçàòü íåñëîæíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè AB′ = BC′ = CA′ , òî òî÷êè A′ , B′ , C′ ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà (ïî öèêëó) ïðè ïîâîðîòå íà 120 1) Ïî êàêîé òðàåêòîðèè äâèæåòñÿ èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû â çåðêàëå? 2) Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ äâèæåòñÿ èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû â çåðêàëå ÷åðåç âðåìÿ τ 2 ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ çåðêàëà? 3) ×åìó ðàâåí ìîäóëü óñêîðåíèÿ, ñ êîòîðûì äâèæåòñÿ èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû â ìîìåíò âðåìåíè τ 2 ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ çåðêàëà? 1) Ïóñòü çåðêàëî ïîâåðíóëîñü âîêðóã îñè íà íåêîòîðûé óãîë α . Åñëè ïîñòðîèòü èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû â ïëîñêîì çåðêàëå â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè è â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, òî èç ÷åðòåæà ñòàíåò ïîíÿòíî, ÷òî èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì L. 2) Åñëè ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü çåðêàëà ðàâíà ω , òî ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ íîñà â çåðêàëå ðàâíà 2ω . Êîýôôèöèåíò «2» çäåñü âîçíèêàåò ïîòîìó, ÷òî çà ïîë-îáîðîòà çåðêàëà èçîáðàæåíèå ñîâåðøàåò ïîëíûé îáîðîò. Çà âðåìÿ τ 2 óãëîâàÿ ñêîðîñòü çåðêàëà óìåíüøèëàñü äî âåëè÷èíû ω0 2 . Ïîýòîìó óãëîâàÿ ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ íîñà â ýòîò ìîìåíò ðàâíà ω0 . 3) Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ íîñà ðàâíà v = 2ωL . Ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ïî ëèíèè ìãíîâåííîé ñêîðîñòè íàâñòðå÷ó ýòîé ñêîðîñòè, ðàâíà 2ωL τ , ïîñêîëüêó ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü ðàâíîìåðíî óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ çà âðåìÿ τ . Ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê ìãíîâåííîé ñêîðîñòè ñîñòàâëÿþùàÿ ìãíîâåííîãî óñêîðåíèÿ ðàâíà v2 L . Òàêèì îáðàçîì, â èíòåðåñóþùèé íàñ ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ω = ω0 2 , ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ ðàâíà ω20 L . Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé ìîäóëü óñêîðåíèÿ íîñà Ìàëüâèíû ðàâåí a= Ïîêàçàíû äâå âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè.  ïåðâîì ñëó÷àå òðåóãîëüíèêè APB¢ , BQC¢ è CRA¢ íå ïåðåñåêàþòñÿ, à âî âòîðîì ïåðåñåêàþòñÿ ïî òðåóãîëüíèêó PQR. Âî âòîðîì ñëó÷àå ÿñíî, ÷òî ðàâåíñòâî ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB¢ , BQC¢ è CRA¢ ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó ïëîùàäåé ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ AB¢QR , BC ¢RP è CA′PQ . (2ω0 L τ)2 + (ω20 L) 2 ( ) = ω0 L 4 τ2 + ω20 . Ê.Áàðàáàñ âîêðóã öåíòðà òðåóãîëüíèêà ABC, çíà÷èò, òðåóãîëüíèêè APB′ , BQC′ è CRA′ ðàâíû (îíè ñîâìåùàþòñÿ ïîâîðîòîì). Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå äîêàçàòü ñëîæíåå.2 Îäíàêî è çäåñü ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ïîâîðîò íà 120 . Èòàê, ðàññìîòðèì ïîâîðîò, ïåðåâîäÿùèé A â B, B â C, C â A (äëÿ ðèñóíêà 1 ýòî ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Ïðè ýòîì ïîâîðîòå òî÷êè A′ , B′ è C′ ïåðåéäóò â òî÷êè A′′ , B′′ è C′′ , ëåæàùèå íà ñòîðîíàõ CA, AB, BC ñîîòâåòñòâåííî è òàêèå, ÷òî AA′′ = z , BB′′ = x , CC′′ = y .  íàøåé êîíñòðóêöèè îòðåçêè AB′ , BC′ , CA′ ðàâíîïðàâíû, è ìîæíî äàëåå ñ÷èòàòü, ÷òî AB′ = x íàèìåíüøèé èç íèõ ïî äëèíå. Èìååòñÿ äâà ñëó÷àÿ óïîðÿäî÷åíèÿ äëèí: x ≤ y ≤ z è x ≤ z ≤ y. 1. Ïóñòü x ≤ y ≤ z (ðèñ.1,â), òîãäà B′′ ëåæèò íà îòðåçêå BC′ , à C′′ íà îòðåçêå CA′ . Òðåóãîëüíèê BB′′C ëåæèò öåëèêîì â òðåóãîëüíèêå BC′C , à òðåóãîëüíèê CC′′A 2 1 % «ÊÂÀÍÒÀ» Àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé çàäà÷å (ïîëàãàåì, ÷òî ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 1): äîêàçàòü, ÷òî äëÿ xy2 yz2 zx2 = = ÷èñåë x, y, z Œ (0;1) ðàâåíñòâî 1 - x + xy 1 - y + yz 1 - z + zx âåðíî òîëüêî ïðè x = y = z. Àëãåáðàè÷åñêè ðåøèòü ýòó çàäà÷ó äîâîëüíî òðóäíî. Íàîáîðîò, çà ñ÷åò ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ó ýòîé àëãåáðàè÷åñêîé çàäà÷è âîçíèêàåò èçÿùíîå ðåøåíèå. & ÊÂÀÍT 2013/¹3 ñåðåäèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ.2). Íî òîãäà, î÷åâèäíî, AA′ , BB′ è CC′ íå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèòñÿ ê ïðîòèâîðå÷èþ è ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî λ > 1 2. 4 Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì åùå íåñêîëüêî çàäà÷, â ðåøåíèè Ðèñ. 2 êîòîðûõ ìîãóò ïîìî÷ü çàäà÷è 1 è 2, à òàêæå èäåè, êîòîðûå âñòðåòèëèñü íàì âûøå. Ðèñ. 1 öåëèêîì â òðåóãîëüíèêå CA′A . Ïîýòîìó ïðè íàøåì ïîâîðîòå ∆BQC′ = ∆BC′C ∩ ∆AB′B ïåðåéäåò â òðåóãîëüíèê T = = ∆CC′′A ∩ ∆BB′′C (çåëåíûé íà ðèñóíêå 1,â), êîòîðîé öåëèêîì ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà ∆CRA′ = ∆BC′C ∩ ∆CA′A . Ïî óñëîâèþ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà T ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà CRA′ , ïîýòîìó ýòè òðåóãîëüíèêè äîëæíû ñîâïàäàòü. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî B′′ = C′ , C′′ = A′ , è çíà÷èò, x = = y = z. 2. Ïóñòü x ≤ z ≤ y (ðèñ.1,ã), òîãäà B′ ëåæèò íà îòðåçêå AA′′ , à A′ íà îòðåçêå CC′′ . Ïðè íàøåì ïîâîðîòå òðåóãîëüíèê CRA′ ïåðåéäåò â òðåóãîëüíèê T′ (çåëåíûé íà ðèñóíêå 1,ã), êîòîðîé öåëèêîì ïîêðûâàåò òðåóãîëüíèê APB′ . Èç ðàâåíñòâà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ T′ è APB′ ñëåäóåò ñîâïàäåíèå ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ, îòêóäà x = y = z. Çàäà÷ó 1 ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàäà÷à 2.  (ïðîèçâîëüíîì) òðåóãîëüíèêå ABC ïîëîæèì a = BC, b = CA, c = AB. Îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ òàêèå æå, x y z = = òîãäà è òîëüêî êàê â çàäà÷å 1. Äîêàæèòå, ÷òî b c a òîãäà, êîãäà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ APB′ , BQC′ è CRA′ ðàâíû. Ðåøåíèå. Ìîæíî ñäåëàòü àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå äàííûé òðåóãîëüíèê ABC â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê. 3 Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîõðàíèò îòíîøåíèå ïëîùàäåé è îòíîøåíèå äëèí îòðåçêîâ, ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó çàäà÷à 2 ñëåäóåò èç çàäà÷è 1. Îòìåòèì, ÷òî èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 2 ëåãêî ñëåäóåò Ðåøåíèå çàäà÷è Ì2288.  óñëîâèè ýòîé çàäà÷è äàíî ðàâåíñòâî ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB′ , BQC′ è CRA′ â òîì ñëó÷àå, êîãäà AA′ , BB′ è CC′ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå (ò.å. â ñëó÷àå P = Q = R). Èç çàäà÷è 2 ïîëó÷àåì x y z = = . Ïóñòü êàæäîå èç ýòèõ îòíîøåíèé ðàâåíñòâî b c a ðàâíî λ . Îñòàåòñÿ ïîíÿòü, ÷òî λ ìîæåò áûòü ðàâíî ëèøü 1 2 (ïðè λ = 1 2 îòðåçêè AA′ , BB′ è CC′ ÿâëÿþòñÿ ìåäèàíàìè). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ < 1 2 . Òîãäà òî÷êè A′ , B′ , C′ ëåæàò âíóòðè îòðåçêîâ CA0 , AB0 , BC0 , ãäå A0 , B0 , C0 3 Ñì. íàïðèìåð, ñòàòüþ À. Çàñëàâñêîãî â «Êâàíòå» ¹1 çà 2009 ã. Çàäà÷è 3. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäè êðàñíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ íà ðèñóíêå 3 ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîùàäè æåëòûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû (â çàäà÷å Ì827,à òðåáîâàëîñü äîêàçàòü, ÷òî èç ðàâåíñòâà ïëîùàäåé æåëòûõ òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò ðàâåíñòâî ïëîùàäåé êðàñíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ). Óêàçàíèå: îáà óòâåðæäåíèÿ, ðàâíîñèëüíîñòü êîòîðûõ íóæíî äîêàçàòü, ýêâèâàëåíòíû, ñîãëàñíî çàäà÷å 2, îäíîìó è òîìó æå óñëîâèþ íà îòíîøåíèÿ, â êîòîðûõ òî÷êè ðàçäåëÿþò ñòîðîíû òðåóãîëü- Ðèñ. 3 íèêà. 4. à) Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà âûáðàëè òî÷êè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4,à. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäè æåëòûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y = = z = t. Ðèñ. 4 á) Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäè êðàñíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ (ðèñ. 4,á) ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y = z = t. â*) Ñôîðìóëèðóéòå è ðåøèòå àíàëîã çàäà÷è 1 äëÿ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Óêàçàíèÿ. à), á) Âíà÷àëå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî x = z è y = t, ðàññìîòðåâ öåíòðàëüíóþ ñèììåòðèþ (çàìåòèì, ÷òî ïîïûòêà èñïîëüçîâàòü ïîâîðîò íà 90∞ è íàïðÿìóþ ïåðåíåñ4 Äîêàçàòü, ÷òî λ = 1 2 , ìîæíî è èíà÷å, ïðèìåíèâ òåîðåìó ×åâû. ÏÐÎÃÓËÊÈ òè ðàññóæäåíèÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 íå ïðîéäåò: âîçìîæíî, êàæäûé èç îòðåçêîâ x, z áîëüøå êàæäîãî èç îòðåçêîâ y, t). â) Ïðè íå÷åòíîì n ïðîõîäèò èäåÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 (ïîâîðîò íà 360∞ n âîêðóã öåíòðà), íóæíî ëèøü íàéòè ïîäõîäÿùóþ òðîéêó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà. Ïðè ÷åòíîì n (n = 2m), êàê è â ïóíêòå à), ñíà÷àëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîâîðîò íà 360∞ m ãðàäóñîâ. 5. Âûÿñíèòå, âåðíû ëè àíàëîãè ïðåäûäóùèõ çàäà÷, åñëè òî÷êè A′ , B′ , C′ è ò.ä. âûáèðàþòñÿ íå íà ñòîðîíàõ, à íà èõ ïðîäîëæåíèÿõ (íàïðèìåð, êàê íà ðèñóíêå 5). Ñ ' ÔÈÇÈÊÎÉ 6. à) Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 1 (ðèñ.6,à). Äîêàæèòå, ÷òî S1 + S2 + S3 = S òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x + y + z = 1. á) (çàäà÷à Ì1332, «Êâàíò» ¹9 çà 1992 ã.) Äàí êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1 (ðèñ.6,á). Äîêàæèòå, ÷òî S1 + S2 + S3 + S4 = S òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x + y + z + t = 2. Ðèñ. 6 Óêàçàíèå ê ïóíêòó à). Óñëîâèå S1 + S2 + S3 = S îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ABB′ , BCC′ , CAA′ ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC. Â. Ðàñòîðãóåâ Ðèñ. 5 ÏÐÎÃÓËÊÈ Ñ ÔÈÇÈÊÎÉ Êàê ðàñòÿíóòü ìãíîâåíèå (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè) ...×òîáû çàïå÷àòëåòü ìãíîâåíèå, ìû èñïîëüçóåì ôîòîêàìåðó. Äåéñòâèòåëüíî, êîãäà âûäåðæêà ñîñòàâëÿåò ìåíåå 1/100 ñ, îáúåêòû äëÿ êàìåðû ñòàíîâÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåïîäâèæíûìè, à èõ ãðàíèöû íà êàäðå ïîëó÷àþòñÿ ðåçêèìè. Ýòî õîðîøî âèäíî íà ôîòîãðàôèè, ñäåëàííîé ñ âûäåðæêîé 1/400 ñ (ðèñ.1). À òåïåðü óâåëè÷èì âûäåðæêó â ñîòíè ðàç è óâèäèì, ÷òî íåïîäâèæíûå îáúåêòû äîðîãà è äåðåâüÿ îñòàëèñü ðåçêèìè, à äâèæóùàÿñÿ ìàøèíà èç êàäðà èñ÷åçëà, îñòàâèâ òîëüêî áåëóþ è êðàñíóþ ïîëîñû ãàáàðèòíûõ îãíåé Ðèñ.2 (ðèñ.2). Ýòà ôîòîãðàôèÿ áûëà ñäåëàíà ïîçäíî âå÷åðîì áåç âñïûøêè ñ âûäåðæêîé 1/2 ñ. Çíàÿ âûäåðæêó, ïî äëèíå ïîëîñû ãàáàðèòíûõ îãíåé íà íî÷íîì ôîòî ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü ñðåäíþþ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ. Øèðèíà «çåáðû» ïåðåä ìîèì äîìîì ñîñòàâëÿåò 4 ì. Íà ôîòîãðàôèè âèäíî, ÷òî äëèíà ïîëîñû ãàáàðèòíûõ îãíåé ïðèáëèçèòåëüíî â 2 ðàçà áîëüøå øèðèíû «çåáðû». Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü íî÷íîãî àâòîìîáèëÿ áûëà 8 ì/(0,5 ñ) = 16 ì/ñ = 57,6 êì/÷. Èñïîëüçóÿ òîò æå ñàìûé ìåòîä, ìîæíî ñ ïîìîùüþ ôîòîêàìåðû îïðåäåëèòü ñêîðîñòü âåòðà ïðè ñíåãîïàäå. Äëÿ ýòîãî Ðèñ.1 (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 37) «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠ1. Çàäà÷è Ó Êîñòè åñòü ÷åòûðå áîëüøèõ òðåóãîëüíèêà è ÷åòûðå ìàëåíüêèõ òàêèõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïîìîãèòå Êîñòå ñëîæèòü êâàäðàò áåç äûð è íàëîæåíèé, èñïîëüçîâàâ âñå ýòè òðåóãîëüíèêè. Ê.Êíîï 4. Ðåøèòå ðåáóñ: ÀÁ2 ÑÑ = 2014. (Îäèíàêîâûìè áóêâàìè îáîçíà÷åíû îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûìè ðàçíûå.) Ò.Âîëîñíèêîâà 3. Òðè áîðîäàòûõ ìóäðåöà ñïîðèëè, ó êîãî ñàìàÿ äëèííàÿ áîðîäà. Ïåðâûé ñêàçàë : «Ó ìåíÿ ñàìàÿ äëèííàÿ áîðîäà ñðåäè âàñ!» Âòîðîé : «Íåò, ó ìåíÿ äëèííåå, ÷åì ó òåáÿ!» Òðåòèé : «Õîòÿ áû îäèí èç âàñ îøèáàåòñÿ». Ó êîãî èç ìóäðåöîâ ñàìàÿ êîðîòêàÿ áîðîäà, åñëè äëèíû âñåõ áîðîä ðàçíûå è ïðàâäó ñêàçàë òîëüêî ìóäðåö ñ ñàìîé äëèííîé áîðîäîé? È.Ñèäîðîâ Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 68 êëàññîâ. Çàäà÷è 1, 3 è 4 ïðåäëàãàëèñü íà Îëèìïèàäå ïÿòèêëàññíèêîâ Òâîð÷åñêîé ëàáîðàòîðèè «2 ¥ 2» â 2013 ãîäó. 5. Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü íà ëèñòå áóìàãè ÷åòûðå îäèíàêîâûõ êâàäðàòà è äâå ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå òàê, ÷òîáû êâàäðàòû íå ïåðåêðûâàëèñü (äàæå íå êàñàëèñü) è êàæäàÿ ïðÿìàÿ ïåðåñåêàëà êàæäûé êâàäðàò ïî îòðåçêó? Ôîëüêëîð Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé 2. Òåòÿ Ãðóøà ïðîäàåò êàáà÷êè. Òðè êàáà÷êà îíà ïðîäàåò çà 5 äîëëàðîâ, ÷åòûðå êàáà÷êà çà 6 äîëëàðîâ, à ïÿòü êàáà÷êîâ çà 7 äîëëàðîâ. Íè â êàêîì äðóãîì êîëè÷åñòâå òåòÿ Ãðóøà êàáà÷êè íå ïðîäàåò. Â÷åðà îíà ïðîäàëà 100 êàáà÷êîâ è âûðó÷èëà çà íèõ 160 äîëëàðîâ. Ñêîëüêî ïðîäàæ ñîâåðøèëà â÷åðà òåòÿ Ãðóøà? Å.Áàêàåâ «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠÓäèâèòåëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ, èëè Ðàññêàç î ãîôðå ! Ñ.ÄÂÎÐßÍÈÍÎÂ Ò ÎËß ÂÒÓËÊÈÍ ÓÒÂÅÐÆÄÀÅÒ, ×ÒÎ ÈÇ ÎÁÛ×ÍÎÃÎ ÒÅÒÐÀÄÍÎ- ãî ëèñòà áóìàãè ðàçìåðîì ïðèìåðíî 16 ¥ 20 ñì, èñïîëüçóÿ òîëüêî íîæíèöû, îí ìîæåò ñîçäàòü êîíñòðóêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ òàêèì óñëîâèÿì: i êîíñòðóêöèþ ìîæíî ðàçìåñòèòü íà ñòîëå; i åå âûñîòà ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî ïîëòîðà ñàíòèìåòðà; i íà íåå ñâåðõó ìîæíî ïîìåñòèòü ãðóç ìàññîé áîëåå 3 êã (íàïðèìåð, ïîñòàâèòü òðåõëèòðîâóþ áàíêó ñ âîäîé), è êîíñòðóêöèÿ ïðè ýòîì íå ðàçðóøèòñÿ. Ìîæíî ëè ýòîìó âåðèòü? Äàâàéòå ïðîâåðèì. Âûðåæåì èç ëèñòà áóìàãè íåñêîëüêî ïîëîñîê äëèíîé 20 ñì è øèðèíîé ÷óòü áîëåå 1,5 ñì. Êàæäóþ ïîëîñêó íàìîòàåì íà êàðàíäàø è ïîòîì, ñíÿâ ñ êàðàíäàøà, îòïóñòèì. Åñëè ïîëîñêà ðàñêðóòèòñÿ ñëèøêîì ñèëüíî, òî íàìîòàåì åå åùå ðàç.  ðåçóëüòàòå ïîëîñêà ïðèìåò ôîðìó ñïèðàëè. Ðàçìåñòèì âñå òàêèå ïîëîñêè íà ñòîëå â êðóãå ðàäèóñîì 1012 ñì (íà ðèñóíêå 1 òàêèõ ïîëîñîê øåñòü, Ðèñ. 1 äëÿ ñðàâíåíèÿ ðÿäîì ïîìåùåíà äâóõðóáëåâàÿ ìîíåòà). Íà ýòè ïîëîñêè ñâåðõó ïîëîæèì êóõîííóþ ïîäñòàâêó ïîä ãîðÿ÷åå òàê, ÷òîáû îíà îïèðàëàñü íà âñå íàøè îïîðû (ðèñ.2). À çàòåì íà ýòó ïîäñòàâêó îñòîðîæíî, òî÷íåå Ðèñ. 2 ãîâîðÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿÿ íàãðóçêó, ïîñòàâèì è ãðóç íàïðèìåð, ÷óãóííûé óòþã ìàññîé 4,5 êã. Çàìåòüòå íè îäíà áóìàæíàÿ ïîëîñêà íå ñìÿëàñü! Óòþã îêàçàëñÿ íà òðåáóåìîé âûñîòå íàä ñòîëîì. Òåïåðü, êîãäà èäåÿ ðåøåíèÿ ýòîé òåõíè÷åñêîé çàäà÷è âàì ÿñíà, âû ìîæåòå ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü. Åñëè êîí÷èêè íàìîòàííûõ íà êàðàíäàø ïîëîñîê àêêóðàòíî ïðèêëåèòü ê ñîîòâåòñòâóþùèì âèòêàì ñïèðàëåé, òî ó íàñ ïîëó÷àòñÿ ïðî÷íûå áóìàæíûå öèëèíäðû âûñîòîé 1,5 ñì. Èç òåòðàäíîãî ëèñòà ìîæíî ñäåëàòü 10 òàêèõ öèëèíäðîâ. Ðàñïîëîæèòå ýòè îïîðû â êðóãå âïëîòíóþ îäíà ê äðóãîé è íà÷èíàéòå ñòîïêîé âûêëàäûâàòü íà íèõ ñâåðõó êíèãè. Ìîæåòå äàæå óñòðîèòü ñîðåâíîâàíèå ó êîãî âûñîòà ñòîïêè è êîëè÷åñòâî êíèã îêàæóòñÿ áîëüøå. À ìîæíî â êà÷åñòâå îïîð èñïîëüçîâàòü òå æå ïîëîñêè, ñæàòûå ãàðìîøêîé (ðèñ.3). Ïðàâäà, íà òàêèõ îïîðàõ íàì íå óäàëîñü Ðèñ. 3 ðàçìåñòèòü ñëèøêîì áîëüøîé ãðóç. Ìîæíî åùå ïîïðîáîâàòü êàæäóþ òàêóþ ïîëîñêó ñêëåèòü â êîëüöî. Íàâåðíîå, ìíîãèå íàøè ÷èòàòåëè, à îñîáåííî äåâî÷êè, ñðàçó âñïîìíèëè ïëèññå è ãîôðå òàê íàçûâàþò ìåëêèå çàóòþæåííûå ïàðàëëåëüíûå ñêëàäêè íà ìàòåðèè. Èìåííî òàêàÿ ãîôðèðîâàííàÿ, ò.å. ñæàòàÿ, áóìàãà èñïîëüçóåòñÿ â ïðîìûøëåííîñòè äëÿ ïðîèçâîäñòâà ãîôðîêàðòîíà ìàòåðèàëà äëÿ óïàêîâî÷íîé òàðû. Ïîñìîòðèòå íà êàðòîííûå êîðîáêè â ìàãàçèíå âñå îíè ñäåëàíû èç ãîôðîêàðòîíà. Ýòîò ìàòåðèàë î÷åíü äåøåâûé, íî ïðè ýòîì îòëè÷àåòñÿ âûñîêèìè ôèçè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè: îí ëåãêèé è äîñòàòî÷íî ïðî÷íûé.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå òàêîé êàðòîí ñîñòîèò èç òðåõ ñëîåâ: âíóòðåííèé ñëîé ýòî ãîôðîáóìàãà, äâà íàðóæíûõ ïëîñêèå ñëîè êàðòîíà. È òî è äðóãîå èçãîòàâëèâàþò èç ìàêóëàòóðû èëè äðóãîãî âòîðè÷íîãî ñûðüÿ, ÷òî çàìå÷àòåëüíî ñ ïîçèöèé ýêîíîìèè ðåñóðñîâ è çàùèòû îêðóæàþùåé ñðåäû. Èíòåðåñíî, ÷òî ïî îòäåëüíîñòè è áóìàãà è êàðòîí äîâîëüíî ìÿãêèå ìàòåðèàëû, à âîò ïîëó÷àåìàÿ â ñî÷åòàíèè êîìïîçèöèÿ îêàçûâàåòñÿ æåñòêîé. Äëÿ åùå áîëüøåãî óïðî÷åíèÿ ãîôðîêàðòîí èçãîòàâëèâàþò ìíîãîñëîéíûì ïÿòè- è äàæå ñåìèñëîéíûì.  íåì ñëîè êàðòîíà è ãîôðèðîâàííîé áóìàãè ÷åðåäóþòñÿ îäèí çà äðóãèì.  èíòåðíåòå ìîæíî ïðî÷èòàòü, ÷òî ãîôðèðîâàííàÿ áóìàãà áûëà çàïàòåíòîâàíà â Âåëèêîáðèòàíèè â 1856 ãîäó è èñïîëüçîâàëàñü êàê ïîäêëàäêà ïîä øëÿïû.  1871 ãîäó â Àìåðèêå áûë çàïàòåíòîâàí ãîôðàêàðòîí, âñêîðå íà÷àëîñü åãî ìàññîâîå ïðîèçâîäñòâî, ïîñòåïåííî ðàñïðîñòðàíèâøååñÿ íà âåñü ìèð. Ïðèíöèï ãîôðà èñïîëüçóåòñÿ íàìíîãî øèðå, ÷åì ýòî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ. Íåäàâíî âî âðåìÿ ðåìîíòà íàì ïðèøëîñü çàìåíèòü äâåðü, êîòîðóþ âñå ìíîãèå ãîäû íàçûâàëè äåðåâÿííîé. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòà äâåðü ïóñòîòåëàÿ è èçãîòîâëåíà èç äâóõ ñëîåâ òîëñòîãî êàðòîíà, ê êîòîðûì èçíóòðè ïðèêëååí òîíêèé ãîôðèðîâàííûé êàðòîí. Ïî ñóòè äåëà, äâåðü ýòà áóìàæíî-êàðòîííàÿ. Ïàïüå-ìàøå äà è òîëüêî! Òåðìîìåòð, áåç ñîìíåíèÿ, åñòü îäíî èç ÷óäåñíûõ èçîáðåòåíèé ñîâðåìåííîé ôèçèêè, êîòîðîå â ñâîþ î÷åðåäü ìíîãî ñîäåéñòâîâàëî åå óñïåõàì. Ðåíå Àíòóàí Ðåîìþð Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû â îêñèäàõ è ñóëüôèäàõ ÷èñëî ïðîâîäÿùèõ èëè ñâîáîäíûõ êâàíòîâ ýëåêòðè÷åñòâà ýëåêòðîíîâ óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîêà íå ñòàíåò ïðåäåëüíûì, ïîñëå ÷åãî èõ ïîâåäåíèå óïîäîáëÿåòñÿ ìåòàëëàì Èîãàíí Êåíèãñáåðãåð Êîíêðåòíûì âèäîì òåðìîìåòðà, â íàèìåíüøåé ñòåïåíè ïîäâåðæåííîãî íåîïðåäåëåííûì îòêëîíåíèÿì ëþáîãî òèïà, ÿâëÿåòñÿ òåðìîìåòð, êîòîðûé îñíîâàí íà ðàñøèðåíèè âîçäóõà Óèëüÿì Òîìñîí (ëîðä Êåëüâèí) Îäíàæäû ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë ïðîïîðöèîíàëüíà òåìïåðàòóðå. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïðèâåëî ê òåìïåðàòóðíîé øêàëå, êîòîðóþ ìû íàçâàëè øêàëîé èäåàëüíîãî ãàçà. Ðè÷àðä Ôåéíìàí ? À òàê ëè õîðîøî çíàêîìà âàì òåðìîìåòðèÿ Ñàìî ñëîâî «òåðìîìåòðèÿ» ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ðå÷ü ñåãîäíÿ ïîéäåò îá èçìåðåíèÿõ. Òîëüêî èçìåðåíèÿõ ÷åãî? Ñîçäàòü ïðèáîð ïîä íàçâàíèåì «òåìïåðàòóðîìåòð», íåïîñðåäñòâåííî óêàçûâàþùèé íà èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó, íåëüçÿ. À âîò ñëåäèòü çà ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè îêðóæàþùèõ íàñ òåë, çàâèñÿùèìè îò òåìïåðàòóðû, âïîëíå âîçìîæíî. Ñîáñòâåííî, ýòó çàäà÷ó íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ äåñÿòèëåòèé è ñòàðàëèñü ðåøèòü òàêèå êîðèôåè íàóêè, êàê Ãàëèëåé, Ãåðèêå, Íüþòîí, Ëîìîíîñîâ, Òîìñîí. Íî íåìàëî è ìåíåå èçâåñòíûõ ó÷åíûõ îñòàâèëè ñâîè èìåíà íà òåìïåðàòóðíûõ øêàëàõ. Ýòèìè çàâèñèìûìè îò òåìïåðàòóðû âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ îáúåì è äàâëåíèå ãàçà, äëèíà òâåðäûõ ñòåðæíåé è îáúåì æèäêîñòåé, ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïîëóïðîâîäíèêîâ è ïðîâîäíèêîâ, öâåò îñîáîãî ðîäà êðèñòàëëîâ, ÿðêîñòü ðàñêàëåííûõ ìåòàëëîâ è ñâåòèìîñòü çâåçä Ñêîëüæåíèå ëûæ ïî ñíåãó, âÿçêîñòü ñèðîïà, ïëàâëåíèå âîñêà ìû ñîáüåìñÿ ñî ñ÷åòà, ïðèâîäÿ ïðèìåðû ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ, òàê èëè èíà÷å ïîçâîëÿþùèõ ñóäèòü î âëèÿíèè íà íèõ ïåðåìåííû òåìïåðàòóðû. Íàøè èçîáðåòàòåëüíûå ïðåäøåñòâåííèêè òàê óñîâåðøåíñòâîâàëè ïðîöåäóðó èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû, ÷òî òåïåðü ìû ìîæåì îáíàðóæèòü äàæå «ýõî» Áîëüøîãî âçðûâà ìèëëèàðäíîëåòíåé äàâíîñòè, çàïå÷àòëåííîå â ðåëèêòîâîì èçëó÷åíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì òåìïåðàòóðå îêîëî 3 Ê. Ïîïðîáóåì-êà è ìû ñ áóëüøèì óâàæåíèåì îòíåñòèñü êî âðîäå áû ïðîñòåíüêîìó ïðèáîðó, èìåíóåìîìó â îáèõîäå «ãðàäóñíèêîì», è ñ åãî ïîìîùüþ âçÿòü íåñêîëüêî óðîêîâ ïî èñòîðèè íàóêè, ïî òåîðåòè÷åñêîé è ïðèêëàäíîé ôèçèêå. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Êîãäà ãèòàðó âûíîñÿò èç òåïëîãî ïîìåùåíèÿ íà ìîðîç, åå ñòàëüíûå ñòðóíû ñòàíîâÿòñÿ áîëåå íàòÿíóòûìè. Ïî÷åìó? 2. Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ìàòåðèàë ýëåêòðîäîâ, âïàèâàåìûõ â ñòåêëÿííûé áàëëîí ëàìïû íàêàëèâàíèÿ? 3. Íàðóøèòñÿ ëè ðàâíîâåñèå ÷óâñòâèòåëüíûõ âåñîâ, åñëè îäíî ïëå÷î êîðîìûñëà íàãðåòü? 4. Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû áèìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà äîëæíà ðàçîìêíóòü ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå. Óêàæèòå, êàêàÿ ÷àñòü ïëàñòèíêè ìåäíàÿ, à êàêàÿ ÷àñòü ñòàëüíàÿ. 5. Äîïóñòèì, ÷òî íàéäåíà æèäêîñòü, êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ êîòîðîé ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå ðàâåí íóëþ. Êàê âåëà áû ñåáÿ ýòà æèäêîñòü, åñëè áû åå íàëèëè â ìåòàëëè÷åñêóþ êàñòðþëþ è ïîñòàâèëè íà ðàñêàëåííóþ ïëèòó? 6. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ñîîáùàþùèåñÿ ñîñóäû. Êóäà ïîòå÷åò âîäà ïî ñîåäèíèòåëüíîé òðóáêå, åñëè íàãðåòü âîäó â ïðàâîì ñîñóäå? À åñëè â ëåâîì? 7. Êàê îòðàçèëîñü áû íà ïîêàçàíèÿõ òåðìîìåòðà ðàâåíñòâî êîýôôèöèåíòîâ îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ðàáî÷åé æèäêîñòè è ñòåêëà? 8. Ìîæíî ëè ïðèìåíÿòü ðòóòíûå òåðìîìåòðû äëÿ èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóð äî +600 °C , åñëè ðòóòü êèïèò ïðè +357 °C ? 9. Äâà îäèíàêîâûõ ñîñóäà ñîåäèíåíû ñ ìàíîìåòðîì, ñäåëàííûì èç óçêîé ñòåêëÿííîé òðóáêè. Óðîâíè ðòóòè â êîëåíàõ ìàíîìåòðà îäèíàêîâû. Ñîñóäû îïóñêàþò â òåïëóþ âîäó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. ×òî ïðîèçîéäåò ñ ïîëîæåíèåì ðòóòè â ìàíîìåòðå? Êàê èçìåíèòñÿ îòâåò, åñëè ñîñóäû áóäóò ðàçíûõ ðàçìåðîâ? À åñëè îäèí èç ñîñóäîâ áóäåò íàïîëíåí àçîòîì, à äðóãîé âîäîðîäîì? 10. ×åì îòëè÷àåòñÿ òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ãàçîâ îò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé? 11. Ïî÷åìó ãàçîâûé òåðìîìåòð äàåò ïðàâèëüíûå ïîêàçàíèÿ òîëüêî ïðè ñîâåðøåííî ñóõîì ãàçå? 12. Âîëüôðàì èìååò ïîëîæèòåëüíûé, à óãîëü îòðèöàòåëüíûé òåðìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ. Äëÿ êàæäîé èç ëàìï, èìåþùèõ âîëüôðàìîâûé è óãîëüíûé âîëîñêè, ñðàâíèòå ñèëû òîêà ïðè âêëþ÷åíèè è â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå. 13. Öåïü, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñóíêå, ñîñòîèò èç ëàìïû 1 ìîùíîñòüþ 40 Âò, êëþ÷à è ëàìïî÷êè 2 îò êàðìàííîãî ôîíàðèêà. Öåïü âêëþ÷èëè â ãîðîäñêóþ ñåòü ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å, à çàòåì êëþ÷ ðàçîìêíóëè.  ýòîì ñëó÷àå ëàìïû ãîðåëè íîðìàëüíî. Êîãäà æå â äðóãîé ðàç ýòó öåïü âêëþ÷èëè â ñåòü ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å, ëàìïî÷êà 2 ñðàçó ïåðåãîðåëà. Ïî÷åìó? 14.  öåïü âêëþ÷åíû ýëåêòðîïëèòêà è àìïåðìåòð. Èçìåíÿòñÿ ëè ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà, åñëè ïîäóòü íà ðàñêàëåííóþ ïëèòêó õîëîäíûì âîçäóõîì? 15. Ïî÷åìó ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ïîëóïðîâîäíèêîâ èõ ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ? 16. Ïðè íàãðåâàíèè ñîïðîòèâëåíèå ïîëóïðîâîäíèêà óìåíüøèëîñü íà 20%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïðè ýòîì óâåëè÷èëñÿ òîê â íåì? 17. Êàêîâû ïðåèìóùåñòâà ïîëóïðîâîäíèêîâûõ òåðìîýëåìåíòîâ ïåðåä ìåòàëëè÷åñêèìè? 18. Ïî÷åìó õîëîäíûå çâåçäû èìåþò êðàñíîâàòûé öâåò, à ãîðÿ÷èå çâåçäû êàæóòñÿ áåëûìè? Ìèêðîîïûò Îïóñòèòå íà ñåêóíäó ìåäèöèíñêèé òåðìîìåòð â ãîðÿ÷óþ ( 40 − 50 °C ) âîäó (íå ïåðåãðåéòå åãî, èíà÷å îí ëîïíåò!). Ïî÷åìó ïðè ýòîì ïîêàçàíèå òåðìîìåòðà íà ìãíîâåíèå óìåíüøèòñÿ? Ëþáîïûòíî, ÷òî ñëîâî «òåìïåðàòóðà», ïîÿâèâøååñÿ â ëèòåðàòóðå â 1624 ãîäó, îçíà÷àëî «ñìåñü» ñìåñü âåùåñòâà òåëà è îñîáîãî âåùåñòâà, òåïëîðîäà, îòâå÷àþùåãî çà íàãðåâàíèå è îõëàæäåíèå òåë.  òå÷åíèå ïî÷òè ïîëóòîðà âåêîâ ñ÷èòàëîñü, ÷òî, èçìåðÿÿ òåìïåðàòóðó, ìû èçìåðÿåì êîíöåíòðàöèþ òåïëîðîäà â òåëå. çàñëóãà èçîáðåòåíèÿ ñïèðòîâîãî òåðìîìåòðà, ðàáîòàþùåãî ïðè çíà÷èòåëüíî áîëåå íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, ÷åì ïðèáîðû, çàïîëíåííûå ðòóòüþ, ïðèíàäëåæèò ó÷åíèêó Ãàëèëåî Ãàëèëåÿ ãåðöîãó Ôåðäèíàíäó II, ïðàâèâøåìó âî Ôëîðåíöèè â ñåðåäèíå XVII âåêà. åùå â 1702 ãîäó ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ãèéîí (Ãèëüîì) Àìîíòîí, êîíñòðóèðîâàâøèé ãèãðîìåòðû, áàðîìåòðû è òåðìîìåòðû, ïðèøåë ê èäåå î ñóùåñòâîâàíèè ñàìîé íèçêîé âîçìîæíîé òåìïåðàòóðû òàêîé, ïðè êîòîðîé äàâëåíèå ãàçà ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Ýòè âûâîäû ïîëó÷èëè ðàçâèòèå ìíîãî ïîçæå â 1848 ãîäó Óèëüÿì Òîìñîí ââåë ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû è àáñîëþòíîãî íóëÿ è ïîñòðîèë ñîîòâåòñòâóþùóþ èì òåìïåðàòóðíóþ øêàëó. âî âðåìåíà Äàíèýëÿ Ôàðåíãåéòà, ïðåäëîæèâøåãî â 1709 ãîäó ñîáñòâåííóþ, èñïîëüçóåìóþ äî ñèõ ïîð òåìïåðàòóðíóþ øêàëó, áûëî ðàñïðîñòðàíåíî óáåæäåíèå, áóäòî òåìïåðàòóðà âîçäóõà íèêîãäà íå ïîäíèìàåòñÿ âûøå òåìïåðàòóðû êðîâè ÷åëîâåêà, è òàêîå íàãðåâàíèå âîçäóõà ñ÷èòàëîñü óæå ñìåðòåëüíûì. ïðåäøåñòâåííèöåé ñòîãðàäóñíîé øêàëû Öåëüñèÿ áûëà èçîáðåòåííàÿ â 1730 ãîäó óäîáíàÿ äëÿ øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ âîñüìèäåñÿòèãðàäóñíàÿ øêàëà ñïèðòîâîãî òåðìîìåòðà. Ñîçäàòåëåì åå áûë ôðàíöóç Ðåíå Ðåîìþð, ñ÷èòàâøèé, îäíàêî, ãëàâíûì äåëîì ñâîåé æèçíè çîîëîãèþ è áîëåå âñåãî èíòåðåñîâàâøèéñÿ îáùåñòâåííûìè íàñåêîìûìè. îïûòû, ïîñòàâëåííûå â 1760 ãîäó øîòëàíäñêèì ó÷åíûì, îñíîâîïîëîæíèêîì ôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé â îáëàñòè êàëîðèìåòðèè Äæîçåôîì Áëýêîì äëÿ ïðîâåðêè ëèíåéíîñòè øêàë òåðìîìåòðîâ, ïðèâåëè åãî ê ìûñëè î ðàçëè÷èè äâóõ õàðàêòåðèñòèê òåïëîâûõ ÿâëåíèé òåïëîòû è òåìïåðàòóðû, êîòîðûå äîëãîå âðåìÿ ïóòàëè äðóã ñ äðóãîì. äëÿ èçìåðåíèÿ î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóð ãàçîâûå òåðìîìåòðû äåëàþò èç ñòåêëà èëè êâàðöà è íàïîëíÿþò âîäîðîäîì èëè ãåëèåì. Äëÿ î÷åíü æå âûñîêèõ òåìïåðàòóð äî 1500 °C ïðèáîðû èçãîòîâëÿþò èç òóãîïëàâêîãî ñïëàâà ïëàòèíû ñ ðîäèåì è íàïîëíÿþò èõ àçîòîì. «ñòàðåéøèé» ïîëóïðîâîäíèê, óâåëè÷åíèå ïðîâîäèìîñòè êîòîðîãî ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû âïåðâûå áûëî îáíàðóæåíî Ìàéêëîì Ôàðàäååì â 1833 ãîäó, ýòî ñåðíèñòîå ñåðåáðî. Ïåðâûå òåðìèñòîðû ïðîáîðû íà îñíîâå ïîëóïðîâîäíèêîâ, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû, áûëè èçãîòîâëåíû â 1890 ãîäó íåìåöêèì ôèçèêîì, Íîáåëåâñêèì ëàóðåàòîì Âàëüòåðîì Íåðíñòîì. Ñåãîäíÿ îíè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ òåìïåðàòóðû â äèàïàçîíå îò 1 Ê äî 1800 Ê. óìåíüøåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ìåòàëëîâ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, îêàçûâàåòñÿ, ìîæåò ñìåíèòüñÿ åãî ðîñòîì. Ïðîèñõîäèò ýòî, êàê íåäàâíî áûëî íàéäåíî, â î÷åíü òîíêèõ ïðîâîëî÷êàõ íåêîòîðûõ ñïëàâîâ äèàìåòðîì ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîò àíãñòðåì. ïîëóïðîâîäíèêîâûå áîëîìåòðû, èëè òåðìîñîïðîòèâëåíèÿ, èçîáðåòåííûå åùå â 1880 ãîäó àìåðèêàíñêèì àñòðîôèçèêîì Ñýìþýëåì Ëåíãëè, íûíå ñïîñîáíû ðåãèñòðèðîâàòü òåïëîâûå ïîòîêè ìîùíîñòüþ â äåñÿòèìèëëèîííûå äîëè âàòòà. íåîáû÷íàÿ ñïîñîáíîñòü æèäêèõ êðèñòàëëîâ ïðèîáðåòàòü èíîé öâåò ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû âñåãî ëèøü íà òûñÿ÷íûå äîëè ãðàäóñà ïîñëóæèëà èõ ïðèìåíåíèþ â êà÷åñòâå ÷óâñòâèòåëüíåéøèõ òåðìîèíäèêàòîðîâ. ñîâðåìåííûå òåðìîäàò÷èêè äîñòèãëè òàêèõ êðîõîòíûõ ðàçìåðîâ, ÷òî ïîçâîëÿþò áåçáîëåçíåííî äëÿ æèâîòíûõ ðàñïîëàãàòü ñåáÿ íà èõ òåëå, ÷òîáû çàòåì âåñòè äèñòàíöèîííîå íàáëþäåíèå çà èõ ñîñòîÿíèåì, îñîáåííî çà ñïîñîáàìè òåðìîðåãóëÿöèè. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î òåðìîìåòðèè (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» 2007, ¹1, ñ.32; 2008, ¹1, ñ.32; 2011, ¹5/6, ñ.32; 2. «Òåìïåðàòóðà» 2007, Ïðèëîæåíèå ¹5; 3. «Ìåòåîðîëîãè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ » 2010, ¹3, ñ.2; 4. «Ôèçè÷åñêèé êàëåéäîñêîï» 2012, Ïðèëîæåíèå ¹3, ñ.31, 50, 107. Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷ ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Ìíîæåñòâà è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè Ë.ÀËÜÒØÓËÅÐ Â ØÊÎËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ ÌÛ ÂÑÒÐÅ×ÀÅÌÑß Ñ ÌÍÎ- æåñòâàìè íà êàæäîì øàãó: ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ, ìíîæåñòâî ïàðàëëåëîãðàììîâ, ìíîæåñòâî öåíòðîâ âñåõ îêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè, ìíîæåñòâî òî÷åê îòðåçêà è ò.ï. Îáúåêòû (èëè ïðåäìåòû), ñîñòàâëÿþùèå ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè.  ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå ñëîâà «ìíîæåñòâî» è «ýëåìåíò» èñïîëüçóþòñÿ ÷àñòî, è òåîðèÿ ìíîæåñòâ ýòî ÿçûê, íà êîòîðîì ðàçãîâàðèâàþò ìàòåìàòèêè. Îáû÷íî ìíîæåñòâà îáîçíà÷àþò ïðîïèñíûìè (áîëüøèìè) áóêâàìè, à ýëåìåíòû ìíîæåñòâà ñòðî÷íûìè (ìàëûìè) áóêâàìè. Çàïèñü x ∈ A îáîçíà÷àåò, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, à çàïèñü x ∉ A îáîçíà÷àåò, ÷òî x ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A íå ÿâëÿåòñÿ. Ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (ïèøóò A = B), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, òî ãîâîðÿò, ÷òî B åñòü ïîäìíîæåñòâî A (èëè A ñîäåðæèò ìíîæåñòâî B). Îáîçíà÷àþò ýòî òàê: B à A (èëè A … B ). Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâà B â ìíîæåñòâî A. ßñíî, ÷òî A = B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A à B è B à A .  ìàòåìàòèêå ðàññìàòðèâàþò è ìíîæåñòâî ñîâñåì áåç ýëåìåíòîâ. Îíî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∆ . Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x2 + 1 = 0 , ìíîæåñòâî ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ, âñå ñòîðîíû êîòîðûõ ðàâíû, à äèàãîíàëè íå ïåðïåíäèêóëÿðíû, íå ñîäåðæàò ýëåìåíòîâ. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìíîæåñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî çàäàííîãî (óíèâåðñàëüíîãî) ìíîæåñòâà U. Ïîäìíîæåñòâî A ⊂ U îáû÷íî çàäàåòñÿ êàêèì-ëèáî õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì P, òàê, ÷òî ýëåìåíòû ïîäìíîæåñòâà ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà U ñâîéñòâîì P íå îáëàäàþò. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó, ìîæíî îïèñàòü òàê: ýòî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ äàííîãî îòðåçêà. Ìíîæåñòâî, îïðåäåëÿåìîå ñâîéñòâîì P, îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ òàê: {x ∈ U P ( x )} . Êîíå÷íûå ìíîæåñòâà èíîãäà çàäàþò ïðîñòî ñïèñêîì èõ ýëåìåíòîâ, çàêëþ÷åííûì â ôèãóðíûå ñêîáêè. Íàïðèìåð, {a, 2, b, 123} ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç áóêâ a, b è ÷èñåë 2 è 123. Îñíîâíûå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìîæíî ïîñòðîèòü àëãåáðó, íàïîìèíàþùóþ àëãåáðó öåëûõ ÷èñåë èëè ìíîãî÷ëåíîâ: ïîäìíîæåñòâà ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü è óìíîæàòü. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B (åãî èíîãäà íàçûâàþò ñëîæåíèåì) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç ýëåìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A è B. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B îáîçíà÷àåòñÿ A ∪ B . Òàêèì îáðàçîì, A ∪ B = {x x ∈ A èëè x ∈ B} . Çàìåòèì, ÷òî â ìàòåìàòèêå ñîþç «èëè» âñåãäà ïîíèìàåòñÿ â íåèñêëþ÷àþùåì ñìûñëå: « x ∈ A èëè x ∈ B » îçíà÷àåò, ÷òî x ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A è B, à áûòü ìîæåò, è îáîèì (ðèñ.1). Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B (åãî èíîãäà íàçûâàþò óìíîæåíèåì) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç èõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ò.å. ýëåìåíòîâ, Ðèñ. 1 ïðèíàäëåæàùèõ è A, è B. Îíî îáîçíà÷àåòñÿ A ∩ B (ðèñ. 2). Òåì ñàìûì, A ∩ B = {x x ∈ A è x ∈ B}. Ðàçíîñòüþ A\B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ìíîæå- Ðèñ. 2 ñòâó B. Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A ⊃ B (ðèñ.3). Äîïîëíåíèåì ïîäìíîæåñòâà A âî ìíîæåñòâå U íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A = U\ A , ò.å. ñîâîêóïíîñòü òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà U, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A. Ðèñ. 3 Àëãåáðà ìíîæåñòâ Âñÿ àëãåáðà öåëûõ ÷èñåë (è àëãåáðà ìíîãî÷ëåíîâ òîæå) ñòðîèòñÿ íà ñëåäóþùèõ çàêîíàõ. 1∞ . a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ). 2° . ( a + b ) + c = a + (b + c) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ). 3° . a + 0 = a (ñâîéñòâî íóëÿ). 4° . a + ( −a ) = 0 (ñâîéñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà). 5° . ab = ba (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ). 6° . ( ab ) c = a (bc) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ). 7° . a (b + ñ ) = ab + bc (äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ). 8° . a ⋅ 1 = a (ñâîéñòâî åäèíèöû). Ïî÷òè âñå ýòè çàêîíû ñîõðàíÿþòñÿ è äëÿ äåéñòâèé íàä ìíîæåñòâàìè. Ïðè ýòîì íàäî çàìåíèòü «+», « ◊ », «» ñîîòâåòñòâåííî íà « ∪ », « ∩ », «\». Ïðîòèâîïîëîæíûì ýëåìåíòîì äëÿ ìíîæåñòâà A ⊂ B â àëãåáðå ìíîæåñòâ íàäî ñ÷èòàòü äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó A, ò.å. ìíîæåñòâî U\ A = A . Ðîëü íóëÿ èãðàåò ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ , à ðîëü åäèíèöû óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U. Ñôîðìóëèðóåì àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà òåîðèè ìíîæåñòâ. I° . A ∪ B = B ∪ A (êîììóòàòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ). II° . ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (àññîöèàòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ). III° . A ∪ ∅ = A (ñâîéñòâî ïóñòîãî ìíîæåñòâà). IV° . A ∪ A = U (ñâîéñòâî äîïîëíåíèÿ). V° . A ∩ B = B ∩ A (êîììóòàòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ). VI° . A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C (àññîöèàòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ). ØÊÎËÀ VII°. A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) (äèñòðèáóòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ). VIII°. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) (äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ). IX°. A ∩ U = A (ñâîéñòâî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà). Çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ íîâîå ñâîéñòâî VIII∞ , è ñâîéñòâî IV° òîæå îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ñâîéñòâà 4° îáû÷íîé àëãåáðû. Âñå ýòè ñâîéñòâà íåòðóäíî äîêàçàòü. Íàïðèìåð, ÿñíî, ÷òî A ∪ B = B ∪ A , òàê êàê A ∪ B è B ∪ A îçíà÷àþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî, â êîòîðîå âõîäÿò âñå ýëåìåíòû èç A è èç B è íå âõîäÿò íèêàêèå äðóãèå ýëåìåíòû. Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà II° , V° è VI° . Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ðèñóíêå. Íàïðèìåð, ñâîéñòâî VII° äèñòðèáóòèâíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ìîæíî èçîáðàçèòü òàê, êàê íà ðèñóíêå 4. Òàêèå êàðòèíêè íàçûâàþòñÿ äèàãðàììàìè Âåííà èëè êðóãàìè Ýéëåðà. Ðèñ. 4 Çàìåòèì, ÷òî êàðòèíêè òàêîãî ðîäà íå ÿâëÿþòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì, à òîëüêî èëëþñòðèðóþò ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî. Ëîãè÷åñêè ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò âûãëÿäåòü, íàïðèìåð, òàê. Ïóñòü x Œ A ∩ ( B ∪ C ) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî x ∈ A è x Œ B ∪ C , ò.å. x Œ B èëè x Œ C . Èìååì äâà ñëó÷àÿ: 1) x ∈ A è x ∈ B è òîãäà x ∈ A ∩ B , è, ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ; 2) x ∈ A è x ∈ C , ò.å. x ∈ A ∩ C , è ñíîâà x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ∪ ( A ∩ C) . Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ è îáðàòíîå âêëþ÷åíèå (âñïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ⊂ B è B ⊂ A ). Îáðàòèòå âíèìàíèå íà âàæíîå îòëè÷èå çàêîíîâ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ îáû÷íîé àëãåáðû îò àíàëîãè÷íûõ çàêîíîâ äëÿ ìíîæåñòâ: ðàâåíñòâî a + (b ⋅ c ) = (a + b ) ⋅ (a + c ) â îáû÷íîé àëãåáðå íåâåðíî. Äëÿ ìíîæåñòâ äèñòðèáóòèâíûé çàêîí îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ ( VIII∞ ) ñïðàâåäëèâ. Êðóãè Ýéëåðà äëÿ ðàâåíñòâà VIII° âûãëÿäÿò òàê, êàê íà ðèñóíêå 5. Äëÿ ÷èñåë (èëè ìíîãî÷ëåíîâ) âåðíî ñëåäóþùåå òîæäåñòâî: Ðèñ. 5  !# «ÊÂÀÍÒÅ» (b − c ) − (b − a ) = a − c . Äëÿ ìíîæåñòâ âåðíî âñåãî ëèøü âêëþ÷åíèå: ( B \ C ) \ ( B \ A ) ⊂ A \ C (íàðèñóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå êðóãè Ýéëåðà). Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî ( B \ C ) \ ( A \ C ) = ( B \ A ) \ C . 2. Äîêàæèòå âêëþ÷åíèå A \ C à ( A \ B) ∪ ( B \ C ) . 3. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü B à A ¤ A ∩ B = B ¤ ¤ A ∪ B = A. 4. Äîêàæèòå çàêîíû äå Ìîðãàíà A∪ B = A∩ B è A∩ B = A∪ B.  îáùåì ñëó÷àå: A1 ∪ … ∪ An = A1 ∩ … ∩ An è A1 ∩ … ∩ An = = A1 ∪ … ∪ An . Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A∆B = ( A \ B) ∪ ( B \ A) . Êðóãè Ýéëåðà äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 6. Èç ýòîãî ðèñóíêà ìîæíî óâèäåòü ðàâåíñòâî A∆B = = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) . Ðèñ. 6 Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîæäåñòâà è âêëþ÷åíèÿ îáû÷íî äîêàçûâàþòñÿ íåñëîæíî, õîòÿ äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ èç íèõ òåõíè÷åñêè äîâîëüíî òðóäíû. Ïîïðîáóéòå, íàïðèìåð, ñòðîãî äîêàçàòü çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè: ( A∆B ) ∆C = = A∆ ( B∆C ) (êðóãè Ýéëåðà èçîáðàæåíû íà ðèñóí- Ðèñ. 7 êå 7). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìíîãèå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîæäåñòâà è âêëþ÷åíèÿ ìîæíî äîêàçûâàòü êàê îáû÷íûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà: ðàñêðûòèåì ñêîáîê, ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ è ò.ï. Ìû ñåé÷àñ ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ïîäìíîæåñòâà A ⊂ U íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ϕ A , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå U, êîòîðàÿ ðàâíà 1 íà ýëåìåíòàõ ïîäìíîæåñòâà A è ðàâíà 0 íà îñòàëüíûõ ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà U. ßñíî, ÷òî ïðè âñåõ x ∈ U âûïîëíåíî ϕ∅ ( x ) = 0 , ϕU ( x ) = 1 . Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ýòî ìíîæåñòâî: ìíîæåñòâà A è B ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ñîâïàäàþò, ò.å. ïðè âñåõ x ∈ U âûïîëíÿåòñÿ ϕ A ( x ) = ϕB ( x ) . Ïðèìåð. Ïóñòü óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâûå äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: {1, 2, , 10}, A = {2, 3, 7}, B = {2, 3, 4, 8}. !$ ÊÂÀÍT 2013/¹3 Õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ áóäåì ïðåäñòàâëÿòü óïîðÿäî÷åííûì íàáîðîì åå çíà÷åíèé íà ìíîæåñòâå U, ò.å. íàáîðîì èç 10 öèôð: íóëåé è åäèíèö. Íàïðèìåð, ϕ A = = (0,1,1,0,0,0,1,0,0,0 ) , ϕB = (0,1,1,1,0,0,0,1,0,0 ) . Âûÿñíèì, êàêèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì A , A ∩ B , A ∪ B . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ϕ A = (1,0,0,1,1,1,0,1,1,1) , ϕ A ∪ B = (0,1,1,1,0,0,1,1,0,0 ) , ϕ A ∩ B = = (0,1,1,0,0,0,0,0,0,0 ) . Ìû ïîëó÷èëè ëþáîïûòíûå ñîîòíîøåíèÿ: ϕ A = 1 − ϕ A , ϕ A ∩ B = ϕ A ⋅ ϕB , ϕ A ∪ B = ϕ A + ϕ B − ϕ A ⋅ ϕB . Ñëîæåíèå, óìíîæåíèå è ðàçíîñòü ôóíêöèé ïîíèìàþòñÿ «ïîòî÷å÷íî». Íàïðèìåð, çíà÷åíèå ñóììû ôóíêöèé íà êàêîìíèáóäü ýëåìåíòå åñòü ïðîñòî ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ôóíêöèé ñëàãàåìûõ íà ýòîì ýëåìåíòå. Ôîðìóëû, êîòîðûå ìû ïîëó÷èëè, èìåþò îáùèé õàðàêòåð. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäìíîæåñòâ A ⊂ U è B ⊂ U èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ: 1) ϕ2A = ϕ A ; 2) ϕ A = 1 − ϕ A ; 3) ϕ A ∩ B = ϕ A ⋅ ϕB ; 4) ϕ A1 ∩…∩ An = ϕ A1 ⋅ … ⋅ ϕ An ; 5) ϕ A ∪ B = ϕ A + ϕ B − ϕ A ⋅ ϕB ; 6) B ⊂ A ⇔ ϕ A ⋅ ϕB = ϕB (ñì. óïðàæíåíèå 3); 7) ϕ A\B = ϕ A − ϕB , åñëè B ⊂ A ; 8) ϕ A\B = ϕ A − ϕ A ⋅ ϕB . Ñîîòíîøåíèÿ 1) è 2) î÷åâèäíû; 3) è 5) ìîæíî äîêàçàòü, ðàçáèðàÿ ÷åòûðå ñëó÷àÿ: x ∈ A \ B , x ∈ B \ A , x ∈ A ∩ B , x ∉ A ∪ B ); 4) äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé. Ñîîòíîøåíèÿ 6) è 7) ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî; 8) ñëåäóåò èç 6) è 7). Äëÿ ñâîéñòâà 5) ïîëåçíî äàòü äîêàçàòåëüñòâî, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà äå Ìîðãàíà (ñì. óïðàæíåíèå 4) è ñîîòíîøåíèå 2).  ñàìîì äåëå, ϕ A∪ B = 1 − ϕ A∪ B = 1 − ϕ A∩ B = 1 − ϕ A ⋅ ϕB = = 1 − (1 − ϕ A )(1 − ϕB ) = ϕ A + ϕB − ϕ A ⋅ ϕB . Èç äîêàçàòåëüñòâà ñîîòíîøåíèÿ 5) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäñòâèå 9) ϕ A ∪ B = (1 − ϕ A )(1 − ϕB ) .  îáùåì ñëó÷àå ϕ A1 ∪ A2…∪ An = = 1 − ϕ A1 ⋅ … ⋅ 1 − ϕ An (äîêàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñ- ( ) ( ) êîé èíäóêöèè). Ïîêàæåì, êàê ìîæíî ïðèìåíèòü ïîëó÷åííûå ôîðìóëû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ ñîîòíîøåíèé. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) . Çàìåòèì, ÷òî ϕ A ∪( B∩C ) = ϕ A + ϕB∩C − ϕ A ⋅ ϕB ∩C = ϕ A + ϕB ⋅ ϕC − ϕ A ⋅ ϕB ⋅ ϕC . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ϕ( A ∪ B )∩( A ∪C ) = ϕ A ∪ B ⋅ ϕ A ∪C = = (ϕ A + ϕB − ϕ A ⋅ ϕB )(ϕ A + ϕC − ϕ A ⋅ ϕC ) . Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå è ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ϕ2A = ϕ A , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. Îáðàòèìñÿ âíîâü ê ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè A∆B . Ìû óæå ãîâîðèëè, íî íå äîêàçûâàëè, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü îáëàäàåò ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè. Òåïåðü ìû åãî äîêàæåì. Ñíà÷àëà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ϕ A∆B . Íåñëîæíûå âû÷èñëåíèÿ (ïðîäåëàéòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî) ïîêàçûâàþò, ÷òî ϕ A∆B = ϕ A + ϕB - 2ϕ A ◊ ϕB . (1) Îòñþäà ïîëó÷àåì ϕ( A∆B) ∆C = ϕ A + ϕB + ϕC - 2ϕ A ◊ ϕB - 2ϕ A ◊ ϕC - 2ϕB ◊ ϕC + 4ϕ A ◊ ϕ B ◊ ϕC . Âûêëàäêè íåñëîæíûå, íî ïðîäåëûâàòü èõ õëîïîòíî. Ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü èçÿùíî. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ: 0 è 1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {0; 1}, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç äâóõ ýëåìåíòîâ 0 è 1. Íà ýòîì ìíîæåñòâå ìîæíî îïðåäåëèòü ñóììó è ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ. Ñóììà äâóõ ýëåìåíòîâ ðàâíà íóëþ, åñëè îáà ñëàãàåìûõ ðàâíû 0 èëè îáà ðàâíû 1. Ñóììà ðàâíà 1, åñëè îäíî ñëàãàåìîå ðàâíî 1, à äðóãîå ðàâíî 0. Ïîëîæèì òàêæå: 0 = 0, 1 = 1. Ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 1 â åäèíñòâåííîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäûé èç ñîìíîæèòåëåé ðàâåí 1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî ðàâíî íóëþ (ýòî îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå öåëûõ ÷èñåë). Ñëîæåíèå áóäåì îáîçíà÷àòü òàê: a ⊕ b .  òàêîì ìíîæåñòâå âûïîëíÿþòñÿ âñå ñâîéñòâà ÷èñåë 1° − 8° , ïåðå÷èñëåííûå â íà÷àëå ñòàòüè. Êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ î÷åâèäíà. Àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ýòî îáû÷íûé àññîöèàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ öåëûõ ÷èñåë. Àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ ïåðåáîðîì íåñêîëüêèõ ñëó÷àåâ. Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî èçâåñòíî â òåîðèè ÷èñåë. Îíî îáîçíà÷àåòñÿ Z2 è íàçûâàåòñÿ êîëüöîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 (â òåîðèè ÷èñåë îñòàòêè íàçûâàþòñÿ âû÷åòàìè). Åñëè ðàññìàòðèâàòü çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé êàê ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Z2 , òî ôîðìóëà (1) ïðèíèìàåò âèä ϕ A∆B = ϕ A ⊕ ϕ B . Òåïåðü ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî ϕ( A∆B)∆C = (ϕ A ⊕ ϕB ) ⊕ ϕC = ϕ A ⊕ (ϕB ⊕ ϕC ) = ϕ A∆ ( B∆C ) . Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ôîðìóëó (1) ìîæíî îáîáùèòü íà n ìíîæåñòâ: ϕ A1∆…∆An = ϕ A1 ⊕ … ⊕ ϕ An . (2) Ôîðìóëà (2) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä: ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A1∆ … ∆An ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò íå÷åòíîìó êîëè÷åñòâó ìíîæåñòâ èç íàáîðà A1, … , An . Ôîðìóëà âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé  ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âî ìíîæåñòâå A ìû áóäåì îáîçíà÷àòü n ( A ) . Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â îáúåäèíåíèè A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An èç n ìíîæåñòâ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ èìååò ìåñòî ôîðìóëà n ( A ∪ B) = n ( A) + n (B) − n ( A ∩ B) . À ÷òî ïîëó÷èòñÿ â ñëó÷àå òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C? Äàâàéòå è çäåñü ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè. Ïóñòü U = {x1, x2, … , xN } , A à U . Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî n ( A) = ϕ A ( x1 ) + … + ϕ A ( xN ) . (3) Òàêèå ñóììû îáû÷íî îáîçíà÷àþò òàê: n ( A) = N  ϕ A ( xi ) , èëè ïðîñòî n ( A) =  ϕ A ( x ) . x ŒU i =1 Ñíà÷àëà íàéäåì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â äîïîëíåíèè, âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C (çàêîí äå Ìîðãàíà): ( ) Âϕ n A∪ B∪C = = x ŒU A ∪ B ∪C ( x) = ∑ ϕ A∩ B∩C ( x ) = ∑ (1 − ϕ A ( x )) (1 − ϕB ( x )) (1 − ϕC ( x )) . x∈U x∈U ØÊÎËÀ Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷àåì ( )  1 -  (ϕ A ( x) + ϕB ( x) + ϕC ( x)) + n A∪ B∪C = x ŒU + x ŒU  (ϕ A∩ B ( x ) + ϕ A∩C ( x ) + ϕB∩C ( x )) -  ϕ A∩ B∩C ( x ) . x ŒU x ŒU Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (3), ïîëó÷èì ( ) n A ∪ B ∪ C = n (U ) − n ( A ) − n ( B ) − n (C ) + + n ( A ∩ B ) + n ( A ∩ C ) + n ( B ∩ C ) − n ( A ∩ B ∩ C ) . (4) È, íàêîíåö, n ( A ∪ B ∪ C ) = n ( A ) + n ( B ) + n (C ) − n ( A ∩ B ) − n ( A ∩ C ) − n ( B ∩ C ) + n ( A ∩ B ∩ C ) . (5) Íå áóäåì âûïèñûâàòü ýòó ôîðìóëó â îáùåì âèäå äëÿ n ( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An ) , à ïðîñòî îáúÿñíèì, êàê îíà ñîñòàâëÿåòñÿ. Ñíà÷àëà âêëþ÷àþòñÿ âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ A1, A2, … , An , çàòåì èñêëþ÷àþòñÿ âñå ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ïî êðàéíåé ìåðå äâóì ìíîæåñòâàì, ïîòîì âêëþ÷àþòñÿ ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ïî êðàéíåé ìåðå òðåì ìíîæåñòâàì, è òàê äàëåå. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé. Ñëåäóþùèå äâå çàäà÷è ìû âçÿëè èç êíèãè Í.ß.Âèëåíêèíà «Êîìáèíàòîðèêà». 1) Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà. Ýðàòîñôåí äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé, êîòîðûé æèë â III âåêå äî íîâîé ýðû â Àëåêñàíäðèè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë îò 1 äî N îí ïðèäóìàë ñëåäóþùèé ñïîñîá. Èç ðÿäà ÷èñåë 1, 2, , N âû÷åðêèâàþò âñå ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà äâà, êðîìå ñàìîé äâîéêè, ïîòîì âñå ÷èñëà, êðàòíûå òðåì, êðîìå ñàìîé òðîéêè, çàòåì êðàòíûå ïÿòè, êðîìå ñàìîé ïÿòåðêè, è ò.ä.  êîíöå êîíöîâ îñòàíóòñÿ âñå ïðîñòûå ÷èñëà îò 1 äî N. Òàê êàê âî âðåìåíà Ýðàòîñôåíà ïèñàëè íà âîñêîâûõ òàáëè÷êàõ è íå âû÷åðêèâàëè, à âûêàëûâàëè öèôðû, òî òàáëè÷êà ïîñëå òàêîãî ïðîöåññà íàïîìèíàëà ðåøåòî. Ïîýòîìó òàêîé ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå «ðåøåòî Ýðàòîñôåíà». Ïîäñ÷èòàåì, ñêîëüêî îñòàíåòñÿ ÷èñåë â ïåðâîé òûñÿ÷å, åñëè ìû ïî ìåòîäó Ýðàòîñôåíà âû÷åðêíåì ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 2, íà 3 è íà 5. Ïóñòü A ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 1000, äåëÿùèõñÿ íà 2, B ìíîæåñòâî ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 3, C ìíîæåñòâî ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 5. Íàäî íàéòè êîëè÷åñòâî ÷èñåë âî ìíîæåñòâå A ∪ B ∪ C . Èìååì ïîñëåäîâàòåëüíî: n ( A ) = 500 , n ( B ) = 333 , n (C ) = 200 , n ( A ∩ B ) = 166 , n ( A ∩ C ) = 100 , n ( B ∩ C ) = 66, n ( A ∩ B ∩ ∩ C ) = 33 . Ïî ôîðìóëå (4) íàõîäèì 1000 500 333 200 + + 166 + 100 + 66 33 = 266. Èòàê, îñòàíåòñÿ 266 ÷èñåë.  2) Äåâî÷êà Ìàíÿ îòïðàâëÿëà ïèñüìà ïÿòåðûì çíàêîìûì ìàëü÷èêàì. Íàïèñàâ ïèñüìà è ïîäïèñàâ êîíâåðòû, îíà òàê óòîìèëàñü, ÷òî âëîæèëà ïèñüìà â êîíâåðòû íàóäà÷ó. Ïîäñ÷èòàéòå, âî ñêîëüêèõ ñëó÷àÿõ îíà ñäåëàëà ïîëíóþ ïóòàíèöó, ò.å. òàê, ÷òî íèêòî íå ïîëó÷èë áû ïèñüìà, àäðåñîâàííîãî èìåííî åìó. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Áåðóòñÿ âñå ïåðåñòàíîâêè èç 5 ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5. Âî ñêîëüêèõ èç íèõ íè îäíî ÷èñëî íå ñòîèò íà ñâîåì ìåñòå? Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, â êîòîðûõ ÷èñëî i ñòîèò íà ñâîåì ìåñòå. Òîãäà Ai ∩ Aj ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, â êîòîðûõ i è j ñòîÿò íà ñâîèõ ìåñòàõ, à Ai ∩ Aj ∩ Ak ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, â êîòîðûõ i, j è k ñòîÿò íà ñâîèõ ìåñòàõ, è òàê äàëåå.  äàííîì ñëó÷àå çàäà÷à îáëåã÷àåòñÿ òåì, ÷òî ìíîæåñòâà A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ñîâåðøåííî ðàâíîïðàâíû. Ïîýòîìó ( ) n ( Ai ) = 4! = 24 , n Ai ∩ Aj = 3! = 6 , ( ) ( Ai ∪ Aj ∩ Ak ∩ Al ) = 1! = 1 = n ( Ai ∪ Aj ∩ Ak ∩ Al ∩ Am ) , n Ai ∪ Aj ∩ Ak = 2! = 2 , ãäå i, j, k, l, m ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 5. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (4) ïîëó÷àåì îòâåò: n A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 = 44 , ò.å. â 44 ñëó÷àÿõ èç 120 íè îäèí èç àäðåñàòîâ íå ïîëó÷èë áû ïèñüìà, àäðåñîâàííîãî åìó. ( ) Îòâåò: 5!− C51 ⋅ 4! + C52 ⋅ 3! − C53 ⋅ 2! + C54 ⋅ 1! − C55 = 44 . (Çíà÷îê C5n îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü n öèôð èç 1, 2, 3, 4, 5. Íàïðèìåð, C51 = 5, C52 = 10.) Óïðàæíåíèÿ 5. Äîêàæèòå: A\( B \ C ) = ( A \ B) ∪ ( A ∩ C ) . 6. Äîêàæèòå: ( A \ B) \ C )= ( A \ C )\( B \ C ) . 7. Äîêàæèòå: ( A \ B) ∩ C = ( A ∩ C )\( B ∩ C ) = ( A ∩ C )\B . 8. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: A ∪ ( B \ C ) = ( A ∪ B) \ C? (Îòâåò: íåò.) 9. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå äâà âêëþ÷åíèÿ ðàâíîñèëüíû: A\B à C ¤ A à B ∪ C . 10. Äîêàæèòå: A ∩ ( B∆C ) = ( A ∩ B) ∆ ( A ∩ C ) . 11. Äîêàæèòå: A∆B à ( A∆C ) ∪ ( B∆C ) . 12 (Í.ß.Âèëåíêèí). Ïî ïóñòûíå èäåò êàðàâàí èç 9 âåðáëþäîâ. Ïóòåøåñòâèå äëèòñÿ ìíîãî äíåé, è íàêîíåö âñåì íàäîåäàåò âèäåòü âïåðåäè ñåáÿ îäíîãî è òîãî æå âåðáëþäà. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü âåðáëþäîâ òàê, ÷òîáû âïåðåäè êàæäîãî âåðáëþäà øåë äðóãîé, ÷åì ðàíüøå? (Îòâåò: 148329.) Êàê ðàñòÿíóòü ìãíîâåíèå (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè) äîñòàòî÷íî èìåòü ñíèìîê ïàäàþùåãî ñíåãà íà òåìíîì ôîíå áåç âñïûøêè. Íà ðèñóíêå 3 ïðèâåäåíà ôîòîãðàôèÿ, ñäåëàííàÿ ñ âûäåðæêîé 1/80 ñ. Íà ôîíå òåìíîé êóðòêè ìîåãî âíóêà âèäíû ìíîãî÷èñëåííûå ñëåäû ïàäàþùèõ ñíåæèíîê, íàêëîíåííûå ïîä óãëîì 20 − 25° . Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñíåæèíêè äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ âåòðà, à øèðèíà îðàíæåâîé ëÿìêè ðþêçàêà íà ïëå÷å ðàâíà 6 ñì, òî ñðåäíÿÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ñëåäîâ ñíåæèíîê îêàæåòñÿ áëèçêîé ê 8 ñì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü âåòðà â äàííîì íàïðàâëåíèè ñîñòàâëÿåò 0,08 ì ⋅ 80 1 ñ = 6,4 ì ñ . Ê.Áîãäàíîâ !% «ÊÂÀÍÒÅ» Ðèñ. 3 !& ÊÂÀÍT 2013/¹3 Îðàëî è êðûëî Â.ÂÛØÈÍÑÊÈÉ, À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Äîëãî, â òå÷åíèå ìíîãèõ êðóãîâ îáðàùåíèÿ ñîëíöà, Æèçíü ïðîâîäèë ÷åëîâåê, ñêèòàÿñü, êàê äèêèå çâåðè, Òâåðäîé ðóêîé íèêòî íå ðàáîòàë èçîãíóòûì ïëóãîì Òèò Ëóêðåöèé Êàð. Î ïðèðîäå âåùåé ãäå à è b íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû. Îòñþäà âèäíî, ÷òî íà ïåðâûõ ïîðàõ íóæíà ñèëà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñäâèíóòü ïëóã èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ (êîãäà v = 0); çàòåì, ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ (êîãäà êâàäðàò ñêîðîñòè åùå ïðåíåáðåæèìî ìàë), «âêëþ÷àåòñÿ» âÿçêîå ñîïðîòèâëåíèå; íàêîíåö, êîãäà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíîé, ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå (àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà) îêàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíà êà÷åñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü êàæäîé èç ýòèõ ñèë îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, ïðè æåëàíèè âû ìîæåòå íàðèñîâàòü è èõ ñóììó. Î ÄÍÀÊÎ, ÍÀÑÒÓÏÈËÎ-ÒÀÊÈ ÂÐÅÌß, ÊÎÃÄÀ «ÈÇÎÃÍÓ- òûé ïëóã» ïðèøåë íà ïîëÿ. Åãî äàâíåéøèå ôîðìû èçâåñòíû ïî åãèïåòñêèì è âàâèëîíñêèì èçîáðàæåíèÿì, ïî ðèñóíêàì íà ñêàëàõ â ñåâåðíîé Èòàëèè è þæíîé Øâåöèè, îòíîñÿùèìñÿ êî âòîðîìó òûñÿ÷åëåòèþ äî í.ý., ïî èçîáðàæåíèÿì íà ãðå÷åñêèõ âàçàõ ñåðåäèíû ïåðâîãî òûñÿ÷åëåòèÿ äî í.ý.  ðóññêèõ áûëèíàõ îí íàçûâàåòñÿ ðà´ëî, èëè îðà́ ëî, òàê ÷òî ïîíÿòåí ñìûñë ñëîâ «î́ ðåò â ïîëå ïàõàðü» (íå ïóòàòü îðàòàÿ ñ îðàòîðîì, à ïàøíþ ñ îðàòîðèåé!). À êðûëî ïîëó÷èëî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ñîâñåì íåäàâíî êàê ñêàçàë áû ôèçèê, ïîðÿäêà ñîòíè ëåò íàçàä. Ïëóãè è êðûëüÿ áûâàþò ðàçíûå. Èçâåñòíû, íàïðèìåð, ñîâðåìåííûå ïëóãè îáùåãî íàçíà÷åíèÿ è ñïåöèàëüíîãî (êóñòàðíèêîâî-áîëîòíûå, ñàäîâûå, âèíîãðàäíèêîâûå); ëóùèëüíèêè è ïëàíòàæíûå: ëåìåøíûå è äèñêîâûå, ñ ïðàâîîáîðà÷èâàþùèìè è ëåâîîáîðà÷èâàþùèìè êîðïóñàìè. À êðûëüÿ âñòðå÷àþòñÿ ïðÿìûå, ýëëèïòè÷åñêèå, ñòðåëîâèäíûå, òðåóãîëüíûå è äàæå ñ ïðîäîëüíîé êðóòêîé (âñïîìíèì «èçîãíóòûé ïëóã» ó Ëóêðåöèÿ). Íî ÷òî îáùåãî ó ïëóãà è êðûëà? Ïðåæäå âñåãî âçàèìîäåéñòâèå ñî ñðåäîé. À ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, âîçíèêàåò ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýòó ñèëó ðàçóìíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ âåêòîðîâ: ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, íàïðàâëåííîé ïðîòèâ âåêòîðà ñêîðîñòè, è ïîäúåìíîé ñèëû (ðàäè êîòîðîé è èçîáðåëè êðûëî), íàïðàâëåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè. Âî ìíîãèõ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷àõ ïðåäëàãàåòñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû äâèæóùåìóñÿ â íåé òåëó ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, Ýòî òàê íàçûâàåìîå âÿçêîå ñîïðîòèâëåíèå. Äëÿ ìèêðîáîâ, äâèæóùèõñÿ â âîäå, ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ âåñüìà ñóùåñòâåííà: åñëè ìèêðîá ïåðåñòàíåò äâèãàòüñÿ, îí çàòîðìîçèòñÿ íà õàðàêòåðíîì ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà ðàçìåðîâ ñàìîãî ìèêðîáà, ò.å. ïî÷òè ìãíîâåííî. Âÿçêîå òðåíèå îïðåäåëÿåò è ïîâåðõíîñòíîå òðåíèå êîðïóñà ñàìîëåòà, ñâÿçàííîå ñ ïîãðàíè÷íûì âîçäóøíûì ñëîåì, òîëùèíà êîòîðîãî ìíîãî ìåíüøå ðàçìåðîâ ñàìîëåòà. Íî äëÿ ñàìîëåòà åùå áîëüøóþ ðîëü èãðàåò àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Fa , ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ïëîòíîñòè âîçäóõà ρ , êâàäðàòó ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âîçäóõà v è ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S: Fa ∼ ρv2 S . Ðèñ.1. Çàâèñèìîñòü ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè ïëóãà (À íå âñïîìíèòü ëè åùå è òîêàðíûé ðåçåö, âñïàðûâàþùåé ìåòàëë â âèäå ñïèðàëüíîé ñòðóæêè? Íî, íå âñå ñðàçó.) Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå çäåñü çàâèñèìîñòè íå ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè çàêîíàìè ôèçèêè, à ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, îñíîâàííûå íà îïûòå è ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèå ñîïðîòèâëåíèå â íåêîòîðûõ äèàïàçîíàõ ñêîðîñòåé. Íî, ðàçóìååòñÿ, è ïëóã è êðûëî ñëóæàò âîâñå íå äëÿ òîãî, ÷òîáû èñïûòûâàòü ñîïðîòèâëåíèå. Êëàññè÷åñêèé ïëóã äîëæåí ïåðåâåðíóòü ïëàñò çåìëè, íî äëÿ ýòîãî åãî íóæíî ïðèïîäíÿòü íà íåêîòîðóþ âûñîòó êàê òóò íå âñïîìíèòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ mgh. Êîãäà ïåðåâåðíóòûé ïëàñò ÷åðíîçåìà øëåïàåòñÿ çà ïëóãîì, âñÿ åãî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ è ýíåðãèÿ òðåíèÿ âðàùåíèÿ ïåðåõîäÿò â òåïëî (ðàññåèâàþòñÿ). À êðûëî èìååò çàäà÷ó ñîçäàòü ïîäúåìíóþ ñèëó, ò.å. ïîòîê èìïóëüñà âîçäóõà, íàïðàâëåííûé âíèç è ðàâíûé âåñó ñàìîëåòà. Îäíàêî íà ìåñòî îòáðîøåííîãî âíèç âîçäóõà ïîñòóïàåò ñâåðõó íîâàÿ ïîðöèÿ âîò è âîçíèêàþò äâà èíäóöèðóåìûõ, «ïðèñîåäèíåííûõ», âèõðÿ, êîòîðûå òÿíóòñÿ çà ñàìîëåòîì îò ñàìîãî ìîìåíòà âçëåòà.  ðåçóëüòàòå ïðè ïîëåòå â àòìîñôåðå «ïëàòîé» çà ñîçäàíèå ïîäúåìíîé ñèëû ÿâëÿåòñÿ âîçíèêíîâåíèå åùå òàê íàçûâàåìîãî èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Fè . Äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëåòà (êîãäà ïîäúåìíàÿ ñèëà ðàâíà âåñó) ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî d Fïîëí = Fa + Fè = cv2 + 2 , v ãäå c è d íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû (ðèñ.2). ×åì ìåäëåííåå Ïðîâåðèì, ïî êðàéíåé ìåðå, åå ðàçìåðíîñòü: 2 êã ì êã ⋅ ì 2 ⋅ = Í. ⋅ì = ì3 ñ ñ2 À âîò äëÿ áðóñêà, ëåæàùåãî íà øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè, âàæíà ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ.  ïðèíöèïå, îíà òîæå çàâèñèò îò ñêîðîñòè: â íà÷àëå äâèæåíèÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ îíà ìàêñèìàëüíà, îáîçíà÷èì åå F0 , à â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå íåìíîãî óìåíüøàåòñÿ, íî ÷àùå âñåãî åå ñ÷èòàþò ïîñòîÿííîé. Îêàçûâàåòñÿ, â òåîðèè ïëóãà âàæíû âñå ïåðå÷èñëåííûå ñèëû: F = F0 + av + bv2 , Ðèñ.2. Çàâèñèìîñòü ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè ñàìîëåòà ØÊÎËÀ Ðèñ.3. Âèõðåâûå ñëåäû çà ñàìîëåòîì ëåòèò ñàìîëåò, òåì ìåíüøå åãî ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå è âÿçêîå òðåíèå (âåäü îíè ïðîïîðöèîíàëüíû v2 è v ñîîòâåòñòâåííî), íî òåì ìîùíåå äîëæåí áûòü ïðèñîåäèíåííûé âèõðü. Âîò è ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïëàòà çà ñîçäàíèå ïîäúåìíîé ñèëû íåïîäâèæíûì êðûëîì ( v → 0 ) ñòàíîâèòñÿ íåïîìåðíîé: Fïîëí → ∞ . Êóäà æå óõîäèò çàòðà÷åííàÿ ýíåðãèÿ? Îíà ôîðìèðóåò âèõðåâîé ñëåä è ðàíî èëè ïîçäíî âîçâðàùàåòñÿ â àòìîñôåðó. «Ïàõàðè íåáà» òàê èíîãäà íàçûâàþò ñàìîëåòû. Îíè «ïàøóò íåáî», ÷òîáû âçðîñëè âñõîäû ðàäîñòè îò âñòðå÷ ìåæäó ëþäüìè íà çåìëå. Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíà âèçóàëèçàöèÿ âèõðåâîãî ñëåäà ñàìîëåòà ëèáî çà ñ÷åò êîíäåíñàöèè Ýòà ìàíÿùàÿ ãëóáèíà À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Ê ÀÊ ÒÎËÜÊÎ ÎÒËÈ×ÍÈÊ ÓÇÍÀË, ×ÒÎ ÃÀÇÛ ÑÆÈÌÀÅÌÛ, à äàâëåíèå âîäû ðàñòåò ñ ãëóáèíîé, îí ïîäóìàë: âåäü ýòàê ìîæíî íå áåññìûñëåííî íûðÿòü, à èçìåðÿòü ãëóáèíó ïîãðóæåíèÿ! Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âçÿòü ìåíçóðêó (äëèííûé öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ äåëåíèÿìè) è ïåðåâåðíóòü åå ââåðõ äíîì, òî âåäü âîçäóõ èç íåå íå «âûëüåòñÿ». Êîñíóâøèñü îòêðûòûì êðàåì ïîâåðõíîñòè âîäû (ðèñ.1, âåðõíÿÿ ÷àñòü), ìû «çàïðåì» ýòîò âîçäóõ â îáúåìå ìåíçóðêè V0 = Sx0 . Çäåñü S ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, S = πr 2 , ãäå r âíóòðåííèé ðàäèóñ ìåíçóðêè, à x0 äëèíà ìåíçóðêè. Ïðè ýòîì äàâëåíèå âîçäóõà âíóòðè ìåíçóðêè îñòàíåòñÿ ðàâíûì àòìîñôåðíîìó äàâëåíèþ p0 = 105 Ïà . Òåïåðü, åñëè ìåäëåííî ïîãðóæàòü ìåíçóðêó â âîäó (ðèñ.1, íèæíÿÿ ÷àñòü), ïîâåðõíîñòü âîäû áóäåò èãðàòü ðîëü ïîðøíÿ, ñæèìàþùåãî ãàç. Íî ïî÷åìó ìåäëåííî? À ÷òîáû òåìïåðàòóðà âîçäóõà âíóòðè óñïåâàëà äîñòèãàòü çíà÷åíèÿ ñíàðóæè òîãäà ïðîöåññ ñæàòèÿ îêàæåòñÿ èçîòåðìè÷åñêèì è áóäåò ïðîñòî îïèñûâàòüñÿ çàêîíîì  !' «ÊÂÀÍÒÅ» ïàðîâ âîäû, ëèáî ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíûõ «äûìàðåé». Êàê ýòî ïîõîæå íà áîðîçäó çà ïëóãîì â ÷èñòîì ïîëå! Âåäü åñëè ïëóã ïåðåâîðà÷èâàåò (ò.å. âðàùàåò) ïëàñò çåìëè, òî ïðè ýòîì òîæå âîçíèêàåò öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè ïëàñòà. Òîëüêî â ñëó÷àå ïëóãà ýòà öèðêóëÿöèÿ ïîñëå ïåðåâîðîòà èñ÷åçàåò, à çà ñàìîëåòîì çàêðó÷åííûå ìàññû âîçäóõà âðàùàþòñÿ íåñêîëüêî ìèíóò, ïîñòîÿííî çàòóõàÿ è «ðàñòâîðÿÿñü» â òóðáóëåíòíûõ ïóëüñàöèÿõ àòìîñôåðû. À åùå ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ êðûëà è ñðåäû çàâèñèò îò óãëà àòàêè α óãëà ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè íàáåãàþùåãî ïîòîêà è ïëîñêîñòüþ êðûëà (ðèñ.4). Ýòîò óãîë êàê ðàç è âõîäèò â êîýôôèöèåíòû, íàïèñàííûå âûøå. Äëÿ ñàìîëåòà ýòîò óãîë èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê, äëÿ ïëóãà î÷åâèäíî, îòðèöàòåëüíûé, ÷òîáû ïëóã íå âñïëûâàë, à çàðûâàëñÿ â çåìëþ. Âïðî÷åì ëèøü äî íóæíîé ãëóáèíû, à èíà÷å îðàòàþ ïðèäåòñÿ íàëåãàòü íà ïëóã âñåì ñâîèì Ðèñ.4. Ïîëîæèòåëüíûé óãîë àòàêè, âåñîì. ïðè êîòîðîì ñîçäàåòñÿ ïîäúåìíàÿ Íàêîíåö, âñïîìíèì ñèëà êðûëà Fïîä äðåâíþþ ìóäðîñòü, èäóùóþ èç Åâàíãåëèÿ: «âîçëîæèâøè äëàíü (ðóêó) íà ðàëî, íå îãëÿäûâàþòñÿ âñïÿòü (íàçàä)». Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðèçûâó íå èçìåíÿòü ïðèíÿòîãî ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó, íå êîëåáëÿñü, ïîñòóïàéòå íà ôàêóëüòåò àýðîäèíàìèêè è ëåòàòåëüíîé òåõíèêè Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà (ÌÔÒÈ), ãäå âû óçíàåòå, ïî êðàéíåé ìåðå, âñå î êðûëå. Ïðàâäà, íå ñêðîåì: ó÷èòüñÿ çäåñü íåëåãêî. Êàê ãîâîðÿò ñòóäåíòû, «ïàõàòü íàäî!» ÁîéëÿÌàðèîòòà p0V0 = pV , èëè p0 Sx0 = ( p0 + ρgh ) Sx . Çäåñü x äëèíà âíóòðåííåãî öèëèíäðè÷åñêîãî îáúåìà V = Sx ñæàòîãî âîçäóõà, äàâëåíèå êîòîðîãî óâåëè÷èëîñü íà ρgh ïðè ïîãðóæåíèè íà ãëóáèíó h. Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ íàéäåì 1 x = . x0 1 + (ρgh p0 ) Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè âîäû ρ = 103 êã ì 3 , óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 , ïîëó÷èì, ÷òî íà ãëóáèíå h = 10 ì äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü íà ρgh = 105 Ïà , ò.å. âîçðîñëî âäâîå. Çíà÷èò, îáúåì âîçäóõà â ïðîáèðêå óìåíüøèòñÿ â äâà ðàçà. À íà ãëóáèíå h = 20 ì äàâëåíèå óæå óòðîèòñÿ è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå ìåíçóðêó ìîæíî «ïðîãðàäóèðîâàòü» ïî ãëóáèíå ñîãëàñíî ðèñóíêó 2. È Ðèñ. 1 ïîëüçóéòåñü íà çäîðîâüå íîâûì ãëóáèíîìåðîì! Ïðàâäà, åñëè òåìïåðàòóðà áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñ ãëóáèíîé, òî ïðîèçâåäåíèå pV óæå íå áóäåò ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è íóæíî áóäåò èñïîëüçîâàòü çàêîí ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà " ÊÂÀÍT 2013/¹3 Ðèñ. 3 Ðèñ. 2 pV = νRT (h ) . «Íó ÷òî æå, âçäîõíóë Îòëè÷íèê, ïðèêðåïèì ê ìåíçóðêå òåðìîìåòð è ââåäåì ïîïðàâêó íà òåìïåðàòóðó » Íî òóò ñòàðøèé áðàò Îòëè÷íèêà ñòàë ñåÿòü íîâûå çåðíà ñîìíåíèÿ: à âåäü âîçäóõ ñîäåðæèò ïàðû âîäû, îñîáåííî íàä ìîðåì. È åñëè äàæå èõ äàâëåíèå pï (0 ) ó ïîâåðõíîñòè ( h0 = 0) íå äîñòèãàëî íàñûùåíèÿ, òî ïðè ñæàòèè â ïðîáèðêå îíî âîçðàñòåò, è íà ãëóáèíå ïàð ìîæåò-òàêè ñòàòü íàñûùåííûì, ò.å. pï (h ) = píï (T0 ) (ðèñ.3). À ïðè äàëüíåéøåì ïîãðóæåíèè ïàð íà÷íåò «âûïàäàòü» â îñàäîê, ò.å. êîíäåíñèðîâàòüñÿ, ïðåâðàùàÿñü â âîäó. Çíà÷èò, ñóììàðíàÿ ìàññà ãàçîâîé ñìåñè â ïðîáèðêå áóäåò óáûâàòü, è íàø ïðèáîð áóäåò ïîêàçûâàòü áîëüøóþ ãëóáèíó, ÷åì åñòü íà ñàìîì äåëå (ñì. ñèíþþ êðèâóþ íà ðèñóíêå 2). «È ýòî åùå íå âñå, ïðîäîëæàë ñåÿòü ñîìíåíèÿ Áðàò. Âåäü è ñàì âîçäóõ ðàñòâîðèì â âîäå». Ïðè÷åì, êàê èçâåñòíî, ðàñòâîðèìîñòü ãàçîâ â æèäêîñòè ðàñòåò ñ äàâëåíèåì. Äîêàçàòåëüñòâ ñêîëüêî óãîäíî. Îòêðîéòå áóòûëêó ãàçèðîâàííîé âîäû è óâèäèòå ïóçûðüêè, âíåçàïíî âîçíèêøèå ïðè ðåçêîì ñáðîñå äàâëåíèÿ. Ñïðîñèòå ó âîäîëàçîâ ïî÷åìó îíè äîëæíû âñïëûâàòü î÷åíü ìåäëåííî? À ïîòîìó, ÷òîáû àçîò ÷àñòü âîçäóõà, êîòîðûì îíè äûøàò, ðàñòâîðèâøèñü â êðîâè, íå âñêèïàë ïóçûðüêàìè (â ñëó÷àå ðåçêîãî ïîäúåìà). Çíà÷èò, íå òîëüêî âîäÿíîé ïàð, íî è âîçäóõ â ìåíçóðêå ïðè ïîãðóæåíèè ìîæåò âñå áîëåå ðàñòâîðÿòüñÿ â âîäå, è íàø ïðèáîð ñòàíåò «âðàòü» åùå áåññîâåñòíåå (ñì. çåëåíóþ êðèâóþ íà ðèñóíêå 2). Äà, íî âåäü ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû è ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ðîñòîì äàâëåíèÿ ñàìà ìåíçóðêà äîëæíà äåôîðìèðîâàòüñÿ, êàê âñÿêîå óïðóãîå òåëî. Êðîìå òîãî, â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ ïðèíèìàëîñü, ÷òî ïëîòíîñòü è äàâëåíèå âîçäóõà âíóòðè ìåíçóðêè îäèíàêîâû ïî âûñîòå. À ìåæäó òåì èçâåñòíî, ÷òî ýòè âåëè÷èíû óìåíüøàþòñÿ ñ âûñîòîé, â ïðèíöèïå íà ëþáîì êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè. Âåäü ïðåäëàãàë æå çíàìåíèòûé Ôàðåíãåéò áðàòü â ãîðû ÷àéíèê è ïî òåìïåðàòóðå åãî âñêèïàíèÿ îïðåäåëÿòü äàâëåíèå àòìîñôåðû è, ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòó ïîäúåìà. «À ó÷ëè ëè âû åùå è ñîëåíîñòü âîäû, êîòîðàÿ òîæå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñ ãëóáèíîé, âïðî÷åì, êàê è åå ïëîòíîñòü?» ñïðîñèë ñèäåâøèé íåäàëåêî ðûáàê. Íî Îòëè÷íèê óæå íàäåë ëàñòû. Îí ïîíÿë, ÷òî ëþáûå èçìåðåíèÿ ýòî ñëîæíûé ïðîöåññ, âêëþ÷àþùèé ìíîãî ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. È ÷òî íàäî ìíîãî ó÷èòüñÿ. ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Á.ÌÀÊÓØÅ ΠÑÍÎÂÍÎÉ ÇÀÄÀ×ÅÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ßÂËßÅÒÑß ÍÀÕÎÆ- äåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, åñëè èçâåñòíû åå ìàññà è äåéñòâóþùèå íà íåå ñèëû. Åñëè ðàâíî äåéñòâóþùàÿ âñåõ ïðèëîæåííûõ ê òåëó ñèë ∑ Fi îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òåëî ìàññîé m ïðèîáðåòàåò óñêîðåíèå a . Ïðè ýòîì âåêòîðíàÿ ñóììà âñåõ ïðèëîæåííûõ ê òåëó ñèë ðàâíà ïðîèç- âåäåíèþ ìàññû íà óñêîðåíèå òåëà: ∑ Fi = ma . Ýòî è åñòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì ýòîãî çàêîíà ÿâëÿåòñÿ åãî âåêòîðíûé õàðàêòåð. Ïîñêîëüêó ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà óñêîðåíèþ, èõ íàïðàâëåíèÿ âñåãäà ñîâïàäàþò.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðè èçó÷åíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðèìåðû, êîãäà ñèëû äåéñòâóþò íà òî÷êó (èëè òåëî) âäîëü ïðÿìîé îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî èëè â ïëîñêîñòè äâóõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Îäíàêî î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò çàêîí âûïîëíèì è äëÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ íà ïðèìåíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, êîãäà íà òåëî äåéñòâóþò ñèëû, îðèåíòèðîâàííûå â ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåð 1. Íåáîëüøîé êóáèê ìàññîé m = 100 ã ïîêîèòñÿ íà ïëîñêîñòè, íàêëîíåííîé ê ãîðèçîíòó ïîä óãëîì α = 30° (ðèñ.1). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êóáèêà î ïëîñ- Ðèñ. 1 ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ êîñòü µ = 0,8. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó F, ñ êîòîðîé íóæíî òîëêàòü êóáèê, ÷òîáû îí íà÷àë äâèãàòüñÿ. Ñèëà äåéñòâóåò â ïëîñêîñòè ñêëîíà. Íà êóáèê áóäóò äåéñòâîâàòü ÷åòûðå ñèëû (ðèñ.2). Ïåðâàÿ ñèëà ýòî ñèëà F , íàïðàâëåííàÿ ïàðàëëåëüíî îáðàçóþùåé íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ). Âòîðàÿ ñèëà ýòî ñèëà òÿæåñòè mg , îíà íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç ê öåíòðó Çåìëè. Òðåòüÿ ñèëà ýòî ñèëà ðåàêöèè íàêëîííîé ïëîñêîñòè N , êîòîðàÿ íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè. À ÷åòâåð òàÿ ñèëà ýòî ñèëà òðåíèÿ Fòð , îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè ñêëîíà, íî ïîêà íåèçâåñòíî åå òî÷íîå íàïðàâëåíèå. ßñíî, ÷òî âñå ýòè ÷åòûðå ñèëû îðèåíòèðîâàíû â ïðîñòðàíñòâå. Çàïèøåì óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà â âèäå F + mg + N + Fòð = 0 , òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è a = 0 . Òåïåðü íóæíî âûáðàòü òàêóþ ïëîñêîñòü, íà êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû ïðîåêòèðîâàòü âñå ýòè ñèëû. Íàì íå óäîáíû ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ ëåæàò ñèëû òÿæåñòè èëè ðåàêöèè ïëîñêîñòè, ïîòîìó ÷òî íàì íå èçâåñòíî èñòèííîå íàïðàâëåíèå ñèëû òðåíèÿ è ìû íå ìîæåì ïðîåêòèðîâàòü åå íà ýòè ïëîñêîñòè. Î÷åâèäíî, ÷òî ñàìîé óäîáíîé äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèë ÿâëÿåòñÿ íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü,ãäåðàñïîëîæåí êóáèê.  ýòîé ïëîñêîñòè ìîãóò ëåæàòü ñèëû F , Fòð è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè, ðàâíàÿ mg sin α (ñì. ðèñ.2). Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü ýòó ïðîåêöèþ íåêîåé ñàìîñòîÿòåëüíîé ñèëîé, äåéñòâóþùåé íà áðóñîê â íàïðàâëåíèè îñè y. Ñèëû F , Fòð è âûáðàííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñèëû òÿæåñòè íàçîâåì àêòèâíûìè ñèëàìè, òàê êàê èìåííî îíè ïðèâîäÿò êóáèê â äâèæåíèå. Ïîñêîëüêó ìû èùåì ïðåäåëüíîå óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ, ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ: Fòð = µN = µmg cos α . Ýòà ñèëà óðàâíîâåøèâàåò ðàâíîäåéñòâóþùóþ äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñèë ñèëû, ñ êîòîðîé íóæíî òîëêàòü êóáèê, è ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè êóáèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì çàïèñàòü 2 = F 2 + (mg sin α ) , Fòð 2 âåðòèêàëüíî âíèç ê öåíòðó Çåìëè; N1 ñèëà ðåàêöèè íàêëîííîé ïëîñêîñòè, íàïðàâëåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè; Fòð ñèëà òðåíèÿ, êîòîðàÿ íàïðàâëåíà âäîëü ëèíåéêè ïðîòèâ äâèæåíèÿ êèðïè÷à è ëåæèò â ïëîñêîñòè; ñèëà ðåàêöèè ëèíåéêè N2 , ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ëèíåéêå è ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ äâèæåíèÿ êèðïè÷à: mg + N1 + Fòð + N 2 = ma . Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, âûáåðåì îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû ïëîñêîñòü xy ñîâïàëà ñ íàøåé íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ. Íà ýòîé ïëîñêîñòè íàðèñóåì «àêòèâíûå ñèëû», äåéñòâóþùèå íà êèðïè÷ (ðèñ.4). Ê íèì îòíîñÿòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè, mg sin α , ñèëà ðàâíàÿ òðåíèÿ Fòð è ñèëà ðå àêöèè ëèíåéêè N2 . à) Åñëè êèðïè÷ ñêîëüçèò âíèç ïî ãëàäêîé ëèíåéêå ÀÂ, òî ñèëà òðåíèÿ ñî ñòîðîíû ïëîñêîñòè íàïðàâëåíà ââåðõ ïî ëèíåéêå (ñì. ðèñ.4) è ðàâíà Fòð = µ1mg cos α , Ðèñ. 4 à ïðîåêöèÿ íàøåé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè êèðïè÷à íà ëèíåéêó À ðàâíà mg sin α sin ϕ . Ïðè ýòîì ñèëà ðåàêöèè ëèíåéêè óðàâíîâåøåíà ïðîåêöèåé íàøåé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè êèðïè÷à íà íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ëèíåéêå: N2 = mg sin α cos ϕ . îòêóäà íàõîäèì F= íàÿ ïëîñêîñòü ãëàäêàÿ, à ëèíåéêà øåðîõîâàòàÿ è êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó êèðïè÷îì è ëèíåéêîé ðàâåí µ2 . Ñíà÷àëà íàðèñóåì âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êèðïè÷, â òðåõìåðíîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìå (ðèñ.3). Íà êèðïè÷ äåé ñòâóþò ñëåäóþùèå ñèëû: mg ñèëà òÿæåñòè, íàïðàâëåííàÿ Ðèñ. 3 Ðèñ. 2 2 Fòð " ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ 2 − (mg sin α ) = mg (µ cos α ) 2 2 − sin α = 0,48 H . Ïðèìåð 2. Êèðïè÷ ìàññîé m ñêîëüçèò ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè âäîëü ëèíåéêè, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà ïîä óãëîì ϕ ê ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè ïëîñêîñòè. Ïëîñêîñòü îáðàçóåò ñ ãîðèçîíòîì óãîë α . Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êèðïè÷à ðàâíà íóëþ. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì áóäåò äâèãàòüñÿ êèðïè÷ âíèç âäîëü ëèíåéêè, åñëè: à) ëèíåéêà ãëàäêàÿ, à êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ïëîñêîñòüþ è êèðïè÷îì ðàâåí µ1 ; á) íàêëîí- Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå êèðïè÷à, íàïðàâëåííîå âíèç âäîëü ëèíåéêè, ðàâíî a = g (sin α sin ϕ − µ1 cos α ) , ïðè÷åì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå µ1 < tg α sin ϕ . á) Åñëè ïëîñêîñòü ãëàäêàÿ, à ëèíåéêà øåðîõîâàòàÿ, òî ñèëà òðåíèÿ äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ëèíåéêè è ðàâíà Fòð = µ2mg sin α cos ϕ . " ÊÂÀÍT 2013/¹3 Òîãäà óñêîðåíèå êèðïè÷à áóäåò ðàâíî Íî a = g sin α (sin ϕ − µ2 cos ϕ ) .  ýòîì ñëó÷àå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå µ2 < tg ϕ . Ïðèìåð 3. Ïî òîíêîé è òâåðäîé ïðîâîëî÷íîé ñïèðàëè, îáðàçóþùåé âèíòîâóþ ëèíèþ è ñòîÿùåé âåðòèêàëüíî, ñêîëüçèò íàíèçàííàÿ íà ïðîâîëîêó áóñèíêà. Ðàäèóñ ïåòëè ñïèðàëè R, øàã ñïèðàëè (ðàññòîÿíèå ïî âåðòèêàëè ìåæäó ñîñåäíèìè âèòêàìè) h. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü áóñèíêè v, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ åå î ïðîâîëîêó ðàâåí µ . Íàðèñóåì âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà áóñèíêó (ðèñ.5). Ïîñêîëüêó ýòè ñèëû îðèåíòèðîâàíû â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîñòðîèì êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó õóz, îñè êîòîðîé âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.  íà÷àëå êîîðäèíàò ïîìåñòèì áóñèíêó. Ñ÷èòàåì, ÷òî ñå÷åíèå ïðîâîëîêè êðóã- 2 mv2 cos2 α 2 . N 2 = N12 + N22 = (mg cos α ) + R Îòñþäà íàõîäèì 14 2 Rg sin α − cos2 α ïðè tg α > µ . v= cos α µ Ïðèìåð 4. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàññèâíûé ìàëåíüêèé êóáèê ìàññîé m, ïðèêðåïëåííûé ê íèòè äëèíîé l. Ìàÿòíèê íàõîäèòñÿ íà àáñîëþòíî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, íàêëîíåííûé ïîä óãëîì θ ê âåðòèêàëè (ðèñ.8). Íóæíî íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íà ýòîé ïîâåðõíîñòè.  ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ íà êóáèê äåéñòâóåò òðè ñèëû: ñèëà òÿæåñòè mg, íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî âíèç; ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T ; ñèëà ðåàêöèè ïëîñêîñòè N , ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ýòîé ïëîñêîñòè (ñì. ðèñ.8). Î÷åâèäíî, ÷òî ñàìîé óäîáíîé äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèë ÿâëÿåòñÿ íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü, ãäå ðàñïîëîæåí êóáèê (ðèñ.9).  ýòîé ïëîñêîñòè Ðèñ. 6 Ðèñ. 5 ëîå. Òîãäà áóñèíêà ïðè äâèæåíèè êàñàåòñÿ ïðîâîëîêè òîëüêî â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ ñèëû ðåàêöèè N (ðèñ.6). Ýòó ñèëó óäîáíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñèë, ò.å. N 2 = N12 + N22 . Çäåñü N1 ýòî ñèëà ðåàêöèè, âîçíèêøàÿ âñëåäñòâèå äåéñòâèÿ âåñà áóñèíêè íà ïðîâîëîêó, ïîýòîìó N1 = mg cos α . Ñèëà N2 íàïðàâëåíà â öåíòð ïåòëè ñïèðàëè îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R, îíà ñîîáùàåò áóñèíêå öåíòðîñòðåìèòåëüíîå Ðèñ. 7 óñêîðåíèå (ðèñ.7): N2 = 2 m (v cos α ) . R h (2πR ) 2 +h 2 è cos α = íàõîäèì ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè: 2πR (2πR )2 + h2 . Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü áóñèíêè óñòàíîâèëàñü, ñèëà òðåíèÿ è ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè áóñèíêè íà îñü õ ðàâíû: µN = mg sin α . ëåæàò ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè êóáèêà, ðàâíàÿ mg cos θ . Ýòè ñèëû ÿâëÿþòñÿ «àêòèâíûìè ñèëàìè», áëàãîäàðÿ èì ãðóçèê ìîæåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ íà ãëàäêîé ïëîñêîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè îòêëîíåíèè íèòè îò ðàâíîâåñèÿ íà íåáîëüøîé óãîë ϕ íà êóáèê äåéñòâóåò ïðîåêöèÿ ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè, ðàâíàÿ F = mg cos θ sin ϕ è ïðèçâàííàÿ âîçâðàùàòü êóáèê â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ñ÷èòàÿ êîëåáàíèÿ ìàëûìè, ìîæåì íàïèñàòü x sin ϕ = , l ãäå õ äëèíà äóãè îêðóæíîñòè, âäîëü êîòîðîé äâèæåòñÿ êóáèê. Òîãäà mg cos θ F=− x l âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ x êóáèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ ýòîìó ñìåùåíèþ. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñâîéñòâà êâàçèóïðóãîé ñèëû, à èìåííî F = −kx , Èç ðèñóíêà 7 íàéäåì sin α = Ðèñ. 9 Ðèñ. 8 ω0 = k = m mg cos θ l = m g cos θ . l Ïîäóìàéòå, ÷òî èçìåíèòñÿ, åñëè ïëîñêîñòü áóäåò øåðîõîâàòîé. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ñêîëüêî ìîæíî æäàòü? (Êàê ïðàêòè÷åñêè îöåíèòü âðåìÿ âûíóæäåííîãî áåçäåéñòâèÿ) È.ÀÊÓËÈ× Â 1863 ÃÎÄÓ ÁÛËÀ ÇÀÏÓÙÅÍÀ  ÝÊÑÏËÓÀÒÀÖÈÞ ÏÅÐÂÀß ëèíèÿ Ëîíäîíñêîãî ìåòðî, è ïîòîìó ñîâñåì íåäàâíî âñå ïðîãðåññèâíîå ïîäçåìíîå ÷åëîâå÷åñòâî (ò.å. òå, êòî ïîëüçóåòñÿ óêàçàííûì âèäîì òðàíñïîðòà) îòìå÷àëî åãî 150-ëåòíèé þáèëåé. Ïî ýòîìó ïîâîäó èìåëî ìåñòî íåìàëî ñòàòåé â ðàçëè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ èçäàíèÿõ.  ÷àñòíîñòè, ïðîâîäèëîñü ñðàâíåíèå Ëîíäîíñêîãî ìåòðî ñ Ìîñêîâñêèì. ×òî-òî áûëî îäèíàêîâî, ÷òî-òî çàìåòíî ðàçëè÷àëîñü. Îêàçàëîñü, è òóò, è òàì íà ñòàíöèÿõ èìååòñÿ òàáëî, îòñ÷èòûâàþùåå ìèíóòû è ñåêóíäû, íî ñ ñóùåñòâåííîé ðàçíèöåé: åñëè â Ìîñêâå ýòî òàáëî ïîêàçûâàåò âðåìÿ, ïðîøåäøåå ïîñëå óõîäà î÷åðåäíîãî ïîåçäà, òî â Ëîíäîíå îíî, íàîáîðîò, ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî îñòàëîñü äî ïðèõîäà ñëåäóþùåãî ïîåçäà. Ïîíÿòíî, ÷òî ïîñëåäíåå íàìíîãî óäîáíåé êàêîå íàì äåëî äî ïîåçäà, íà êîòîðûé ìû âñå ðàâíî íå ïîïàëè? Ýòî ÷òî-òî âðîäå ïðîøëîãîäíåãî ñíåãà. À âîò ñêîëüêî íàì åùå æäàòü è âûíóæäåííî ñëîíÿòüñÿ ïî ïåððîíó çíàòü áû íå ìåøàëî. 1 Òåì íå ìåíåå, ìîæíî ïîïðîáîâàòü îöåíèòü ýòó âåëè÷èíó, èñïîëüçóÿ ëèøü òó èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ èìååòñÿ. Êîíå÷íî, åñëè ëèíèÿ, êîòîðîé ìû ïîëüçóåìñÿ, íàì õîðîøî çíàêîìà, òî ìû çíàåì è ñðåäíèé èíòåðâàë äâèæåíèÿ, òàê ÷òî, âû÷èòàÿ èç íåãî ïîêàçàíèÿ òàáëî, ëåãêî îïðåäåëèì ïðèìåðíîå âðåìÿ îæèäàíèÿ. Èíäèêàòîðîì åãî ìîæåò ñëóæèòü è êîëè÷åñòâî ñêîïèâøèõñÿ ïàññàæèðîâ íà ïëàòôîðìå: ÷åì îíî áîëåå óãðîæàþùåå, òåì ìåíüøå âðåìåíè, ñêîðåå âñåãî, îñòàëîñü äî ïðèáûòèÿ ïîåçäà. Íó, à åñëè âñåãî ýòîãî íåò? Ñïóñòèëèñü ìû, äîïóñòèì, ïåðâûé ðàç ïîä çåìëþ â íåçíàêîìîì ãîðîäå, äà åùå ïîçäíî âå÷åðîì, êîãäà ïàññàæèðîâ-òî ðàç, äâà è îá÷åëñÿ. Íà òàáëî âèäèì, äîïóñòèì, âðåìÿ: 03:15, ò.å. 3 ìèíóòû 15 ñåêóíä. Ñêîëüêî åùå æäàòü? È çäåñü íà ïîìîùü ïðèõîäÿò âåðîÿòíî1 Âïðî÷åì, íåñêîëüêî îïðàâäàòåëüíûõ ïàòðèîòè÷åñêèõ ñëîâ ñêàçàòü ìîæíî.  Ìîñêâå íà ìíîãèõ ëèíèÿõ (îñîáåííî â ÷àñû ïèê) åùå âèäåí õâîñò óõîäÿùåãî ïîåçäà, à ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû òîííåëÿ óæå ñâåòÿòñÿ ôàðû íîâîãî. Òàê ÷òî ëþáîâàòüñÿ òàáëî ïîðîé ïðîñòî íåêîãäà íàäî áåæàòü íà ïîñàäêó! À â Ëîíäîíå, ñîãëàñíî òåì æå ïóáëèêàöèÿì, íà íåêîòîðûõ ëèíèÿõ èíòåðâàë äâèæåíèÿ äîñòèãàåò ïîëó÷àñà. ñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ. Ïóñòü ñðåäíèé èíòåðâàë äâèæåíèÿ ïîåçäîâ ðàâåí Ò. Ìû ïîïàäàåì íà ñòàíöèþ, íåñîìíåííî, â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè, è ïîñëå óõîäà ïðåäûäóùåãî ïîåçäà ìîãëî ïðîéòè âðåìÿ îò 0 äî Ò. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòîãî âðåìåíè, î÷åâèäíî, ðàâíî Ò/2. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Ò/2 = 3 ìèíóòû 15 ñåêóíä. À æäàòü îñòàëîñü (îïÿòü æå â ñðåäíåì) ñòîëüêî æå, ò.å. òå æå Ò/2. Èòàê, îöåíî÷íîå çíà÷åíèå âðåìåíè îæèäàíèÿ ñîñòàâëÿåò òó æå âåëè÷èíó, êîòîðóþ ìû âèäèì íà òàáëî! Êîíå÷íî, îöåíêà äîâîëüíî ãðóáàÿ, íî âñå æå ëó÷øå, ÷åì íè÷åãî. Êàê íè ñòðàííî, åå ìîæíî óëó÷øèòü (êîíå÷íî, òîëüêî â ñòàòèñòè÷åñêîì ñìûñëå). 2 Ïîåçäà ìåòðî õîäÿò â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ, è ñðåäíèé èíòåðâàë äâèæåíèÿ â îáå ñòîðîíû, åñòåñòâåííî, îäèíàêîâ (èíà÷å ïðîèçîéäåò ñêîïëåíèå òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ â îäíîì êîíöå òîííåëÿ). 3 Èòàê, ìû âûøëè íà ïëàòôîðìó è óâèäåëè, ÷òî ñ ìîìåíòà óõîäà íóæíîãî íàì ïîåçäà ïðîøëî t1 ìèíóò. Òîãäà, ñîãëàñíî îöåíêå (ñì. âûøå), èíòåðâàë äâèæåíèÿ ðàâåí T = 2t1 . Íå ïîëåíèìñÿ, ïåðåéäåì íà äðóãóþ ñòîðîíó ïëàòôîðìû è ïîñìîòðèì, ñêîëüêî ïðîøëî âðåìåíè òàì. Åñòåñòâåííî, ìû óâèäèì êàêîå-òî äðóãîå âðåìÿ t2 . Òàê êàê èíòåðâàë â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâ, òî îöåíî÷íî T = 2t2 . ßñíî, ÷òî íàèáîëåå ðàçóìíîé «èòîãîâîé» îöåíêîé äëÿ äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíû Ò ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå óêàçàííûõ âåëè÷èí, ò.å. T = t1 + t2 . Ñêîëüêî æå íàì â òàêîì ñëó÷àå îñòàëîñü ñêó÷àòü íà ïëàòôîðìå? Î÷åâèäíî, ýòî âðåìÿ ðàâíî ðàçíîñòè ìåæäó èíòåðâàëîì äâèæåíèÿ è òåì âðåìåíåì, êîòîðîå óæå ïðîøëî, ò.å. T − t1 = (t1 + t2 ) − t1 = t2 . Âîò òåáå è ðàç! Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîáû îöåíèòü âðåìÿ âûíóæäåííîãî áåçäåéñòâèÿ, ñëåäóåò ïîñìîòðåòü íà òàáëî ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ, à «ñâîå» òàáëî íàì âîîáùå íå íóæíî! Íåñêîëüêî èíîé ïîäõîä ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü, åñëè ìû âûáðàëèñü èç-ïîä ãðåøíîé çåìëè íà åå ïîâåðõíîñòü è ñòîèì íà îñòàíîâêå îáùåñòâåííîãî òðàíñïîðòà, íàïðèìåð àâòîáóñà. Êàê ïðàâèëî, íà òàáëè÷êå óêàçàí òîëüêî ñðåäíèé èíòåðâàë äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî ìàðøðóòà (â ìèíóòàõ). 4 Åñëè íàì ïîäõîäèò òîëüêî îäèí ìàðøðóò èç èìåþùèõñÿ, òî âñå î÷åíü ïðîñòî. Ïóñòü, ê ïðèìåðó, óêàçàíî, ÷òî èíòåðâàë äâèæåíèÿ íóæíîãî àâòîáóñà 10 ìèíóò. Êàê è â 2 Ïðè ýòîì íå áóäåì çàáûâàòü êðûëàòûå ñëîâà, ÷àùå âñåãî ïðèïèñûâàåìûå 40-ìó ïðåìüåð-ìèíèñòðó Âåëèêîáðèòàíèè Á.Äèçðàýëè: «Ñóùåñòâóåò òðè âèäà ëæè: ëîæü, íàãëàÿ ëîæü è ñòàòèñòèêà». Ïîýòîìó äàâàéòå çäåñü è äàëåå îòíåñåìñÿ ê íàøèì îöåíêàì ïî âîçìîæíîñòè ìÿãêî è ñíèñõîäèòåëüíî. 3 Î÷åâèäíûì èñêëþ÷åíèåì èç ýòîãî ïðàâèëà ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, êîëüöåâàÿ ëèíèÿ, ãäå ïîåçäà â êàæäîì èç íàïðàâëåíèé âïîëíå ìîãóò õîäèòü ñ ðàçíûìè èíòåðâàëàìè. 4 Õîòÿ â ïîñëåäíåå âðåìÿ è íà íàçåìíûõ îñòàíîâêàõ ïîÿâèëèñü ñâåòîâûå òàáëî ñ óêàçàíèåì, ñêîëüêî âðåìåíè îñòàëîñü äî ïðèõîäà ñëåäóþùåãî àâòîáóñà, à êîå-ãäå âñòðå÷àåòñÿ è ïðîñòî ðàñïèñàíèå äâèæåíèÿ. Íî íàì òàêèå âàðèàíòû íåèíòåðåñíû ãàäàòü çäåñü íå î ÷åì! "" ÊÂÀÍT 2013/¹3 ìåòðî, ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ðàâíî åãî ïîëîâèíå, ò.å. 5 ìèíóòàì. Ïðîùå íåêóäà! Íó, à åñëè íàñ óñòðàèâàþò äâà íîìåðà àâòîáóñà, ñ èíòåðâàëàìè, äîïóñòèì, 10 è 15 ìèíóò? Êàêîâ áóäåò «ñóììàðíûé» èíòåðâàë? Áîëüøèíñòâî ëþäåé èìïóëüñèâíî îòâå÷àþò: ñðåäíèé àðèôìåòè÷åñêèé, ò.å. â äàííîì ñëó÷àå 12,5 ìèíóò, òàê ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ÷óòü áîëüøå 6 ìèíóò. Ðàçóìååòñÿ, òàêîé îòâåò íåâåðåí. Ïîñóäèòå ñàìè: åñëè õîäèò òîëüêî îäèí àâòîáóñ, òî âðåìÿ îæèäàíèÿ 5 ìèíóò, à åñëè ê íåìó äîáàâèòü âòîðîé òî íà ìèíóòó ñ ëèøêîì áîëüøå. ßâíàÿ áåññìûñëèöà! Äëÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ çäåñü óäîáíåé âñåãî îïðåäåëèòü ñðåäíåå êîëè÷åñòâî àâòîáóñîâ êàæäîãî ìàðøðóòà çà êàêîéíèáóäü îäèíàêîâûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, íàïðèìåð ÷àñ. Ïîñêîëüêó â êàæäîì ÷àñå 60 ìèíóò, òî «10-ìèíóòíûõ» àâòîáóñîâ çà ÷àñ ïðîéäåò 60 : 10 = 6 øòóê, à «15-ìèíóòíûõ» 60 : 15 = 4. Èòîãî ïîëó÷àåì 6 + 4 = 10 àâòîáóñîâ â ÷àñ. Ïîýòîìó ñðåäíèé èíòåðâàë ñîñòàâèò âñåãî 60 : 10 = 6 ìèíóò, è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ñîêðàùàåòñÿ äî 6/2 = 3 ìèíóò. Ðàññóæäàÿ òàê æå, íåòðóäíî íàéòè è îáùóþ ôîðìóëó, åñëè èíòåðâàëû äâèæåíèÿ àâòîáóñîâ ðàâíû Ò1 è Ò2 . «Ñóììàðíûé» èíòåðâàë ðàâåí ÒÒ 1 = 1 2 T= 1 1 Ò 1 + Ò2 + Ò1 Ò2 (ïðè âû÷èñëåíèÿõ äëèíà âûáðàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè íàïðèìåð, 60 ìèíóò ñîêðàùàåòñÿ). Åñëè æå ïîäõîäÿùèõ ìàðøðóòîâ áîëüøå è èíòåðâàëû èõ äâèæåíèÿ ðàâíû Ò1 , Ò2 , , Òn , òî ôîðìóëà åñòåñòâåííûì îáðàçîì óñëîæíÿåòñÿ (íî, â ïðèíöèïå, îñòàåòñÿ íåñëîæíîé): 1 T= . 1 1 1 + + ... + Ò1 Ò2 Òn Ñêàæèòå, ýòè ôîðìóëû âàì íè÷åãî íå íàïîìèíàþò? Êîíå÷íî, íàïîìèíàþò! Èìåííî òàêèì ñïîñîáîì ïîäñ÷èòûâàþòñÿ ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êîòîðîé ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷åíû ïðîâîäíèêè ñîïðîòèâëåíèÿìè Ò1 , Ò2 , , Òn . Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ìàðøðóò àíàëîã ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷åííîãî ïðîâîäíèêà, èíòåðâàë àíàëîã ñîïðîòèâëåíèÿ, à êîëè÷åñòâî àâòîáóñîâ çà âûáðàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè àíàëîã ïðîòåêàþùåãî òîêà. Òàêîé ïîäõîä äåëàåò êàðòèíó àáñîëþòíî íàãëÿäíîé. Íàãëÿäíîé-òî íàãëÿäíîé, íî íåâåðíîé! Èëè, ìÿã÷å ãîâîðÿ, íåòî÷íîé. È ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ðàññìîòðèì òàêîé ïðèìåð. Ïóñòü íàñ óñòðàèâàþò àâòîáóñû ëèøü äâóõ ìàðøðóòîâ ñ îäèíàêîâûì èíòåðâàëîì äâèæåíèÿ 10 ìèíóò. Òîãäà, ñîãëàñíî «ýëåêòðè÷åñêîé» ôîðìóëå, âåëè÷èíà ñðåäíåãî èí10 ⋅ 10 = 5 ìèíóò, à ñðåäíåå âðåìÿ òåðâàëà ñîñòàâëÿåò 10 + 10 îæèäàíèÿ âäâîå ìåíüøå, ò.å. 2 ìèíóòû 30 ñåêóíä. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò îòâåò âåðåí, åñëè àâòîáóñû îäíîãî ìàðøðóòà ïîäõîäÿò ê îñòàíîâêå ðîâíî â ñåðåäèíàõ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó àâòîáóñàìè âòîðîãî ìàðøðóòà (ò.å. ñêàæåì, àâòîáóñû ïåðâîãî ìàðøðóòà ïðèõîäÿò â 10:00, 10:10, 10:20, , à âòîðîãî â 10:05, 10:15, 10:25, ). Åñëè æå àâòîáóñû îáîèõ ìàðøðóòîâ êóðñèðóþò àáñîëþòíî ñèíõðîííî (ò.å. ïîäúåçæàþò ê îñòàíîâêå «ïàðàìè» â îäíè è òå æå ìîìåíòû âðåìåíè), òî äëÿ íàñ òàêîé ãðàôèê äâèæåíèÿ ðàâíîñèëåí ïðîñòî íàëè÷èþ åäèíñòâåííîãî ìàðøðóòà ñ èíòåðâàëîì 10 ìèíóò, òàê ÷òî âðåìÿ îæèäàíèÿ «ïîäñêàêèâàåò» àæ äî 5 ìèíóò! Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ïðîìåæóòî÷íûõ ñäâèãàõ ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ àâòîáóñîâ ðàçíûõ ìàðøðóòîâ ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ òîæå áóäåò ïðîìåæóòî÷íûì, íî îíî â ëþáîì ñëó÷àå çàâåäîìî áîëüøå, ÷åì äàåò ïðèâåäåííàÿ âûøå ôîðìóëà. Òàêîé êàçóñ çàñòàâëÿåò íàñ âíèêíóòü â çàäà÷ó íåñêîëüêî ãëóáæå. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì âàðèàíò, êîãäà íóæíûõ íàì ìàðøðóòîâ òîëüêî äâà è èíòåðâàë äâèæåíèÿ ó ïåðâîãî ìàðøðóòà áîëüøå, ÷åì ó âòîðîãî, â öåëîå ÷èñëî ðàç: Ò1 = kÒ2 , ãäå k íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðè ýòîì ïóñòü ïîñëå ïðèáûòèÿ íà îñòàíîâêó àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà ïðîõîäèò õ ìèíóò äî ïîÿâëåíèÿ íà íåé î÷åðåäíîãî àâòîáóñà âòîðîãî ìàðøðóòà (à äàëåå îíè ïîÿâëÿþòñÿ êàæäûå Ò2 ìèíóò). ßñíî, ÷òî 0 ≤ x < Ò2 (èáî åñëè x ≥ Ò2 , òî ïîÿâèòñÿ áîëåå ðàííèé àâòîáóñ âòîðîãî ìàðøðóòà, ïîäîøåäøèé ê îñòàíîâêå ïîñëå àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà). Âçÿâ çà «áàçó» áîëüøèé èíòåðâàë Ò1 , ìû ìîæåì èçîáðàçèòü íà ãðàôèêå âðåìÿ îæèäàíèÿ tîæ áëèæàéøåãî ïîäõîäÿùåãî àâòîáóñà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè t, ïðîøåäøåãî ïîñëå î÷åðåäíîãî ïðèáûòèÿ àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà. Ãðàôèê èìååò õàðàêòåðíûé «ïèëîîáðàçíûé» âèä ñ óêëîíîì «çóáüåâ» ïîä óãëîì 45° . Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåí ïðèìåð äëÿ k = 4. Ñïðàøèâàåòñÿ: ÷åìó ðàâíî â òàêîì ñëó÷àå ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ? Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ äàâíî äàëà ñïîñîá îòâåòà Ðèñ. 1 íà ýòîò âîïðîñ. Íàäî âñåãî ëèøü íàéòè ñóììàðíóþ ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì íà âûáðàííîì èíòåðâàëå Ò1 , à çàòåì ïîäåëèòü åå íà øèðèíó èíòåðâàëà (ò.å. íà òî æå Ò1 ). Ïëîùàäü S ïîä ãðàôèêîì îïðåäåëÿåòñÿ áåç òðóäà, ïîòîìó ÷òî ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, äëèíû êàòåòîâ êîòîðûõ ïîäïèñàíû ïîä ãðàôèêîì. Ýòè òðåóãîëüíèêè ñëåäóþùèå: îäèí òðåóãîëüíèê ñ êàòåòîì õ; (k 1) òðåóãîëüíèêîâ ñ êàòåòîì Ò2 ; îäèí òðåóãîëüíèê ñ êàòåòîì (Ò2 − x ) . Èòîãî: S= 2 x2 T 2 (T − x ) kT 2 + (k − 1) 2 + 2 = 2 − T2 x + x 2 . 2 2 2 2 Ïîýòîìó ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ðàâíî tîæ = S S Ò x x2 = = 2 − + . Ò1 kÒ2 2 k kÒ2 Êàê âèäíî, âåëè÷èíà tîæ çàâèñèò îò õ (â ÷åì ìû è íå ñîìíåâàëèñü). Çíà÷åíèå õ íàì íåèçâåñòíî; ìû çíàåì òîëüêî, ÷òî îíî ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó [0; Ò2 ] . Ñëåäîâàòåëüíî, íè÷åãî íå îñòàåòñÿ, êðîìå êàê óñðåäíèòü tîæ åùå è ïî õ. Äëÿ ýòîãî íàäî ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè tîæ îò õ, âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïîä íèì è ïîäåëèòü íà ýòîò ðàç íà Ò2 . Îäíàêî âîçíèêàåò ñóùåñòâåííîå çàòðóäíåíèå: çàâèñèìîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, ïîýòîìó îïðåäåëèòü ïëîùàäü áóäåò íåïðîñòî. Êîíå÷íî, èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ïîçâîëÿåò ðåøèòü òàêóþ çàäà÷ó î÷åíü ëåãêî. 5 Ìû, îäíàêî, íå ñòàíåì çäåñü óãëóáëÿòüñÿ â âûñøóþ ìàòåìàòèêó, à íàïðÿìóþ èñïîëüçóåì ðåçóëüòà5 Õîòÿ åùå Àðõèìåä ñóìåë êâàäðèðîâàòü ïàðàáîëó (ò.å. íàéòè ïëîùàäü ïîä íåé), íå èñïîëüçóÿ âûñøóþ ìàòåìàòèêó (íà ýòó òåìó ñì. ñòàòüþ À.Áåíäóêèäçå «Àðõèìåä è êâàäðàòóðà ïàðàáîëû» â «Êâàíòå» ¹ 7 çà 1971 ã.). Íî âåäü íå êàæäûé èç íàñ Àðõèìåä! ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ òû, ïîëó÷åííûå â ýòîé îáëàñòè íàøèìè ñëàâíûìè ïðåäøåñòâåííèêàìè (íà÷èíàÿ ñ È.Íüþòîíà è Ã.Ëåéáíèöà). À ýòè ðåçóëüòàòû ãîâîðÿò, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ñðåäíåå ñóììû íåñêîëüêèõ âåëè÷èí åñòü ñóììà èõ ñðåäíèõ, à âî-âòîðûõ, äëÿ ëþáîãî à > 0 ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = x a íà îòðåçêå [0; x0 ] x0a ðàâíî .  äàííîì ñëó÷àå ìû, âû÷èñëÿÿ tîæ , èìååì a +1 ìåñòî ñ äâóìÿ ôóíêöèÿìè îò õ: ýòî ïðîñòî õ, ñðåäíåå Ò çíà÷åíèå êîòîðîãî íà îòðåçêå [0; Ò2 ] ðàâíî 2 (÷òî è òàê 2 âïîëíå î÷åâèäíî), à òàêæå x2 , ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîãî Ò2 ñîñòàâëÿåò 2 (à ýòî äàëåêî íå î÷åâèäíî!). Èòàê, ñðåäíåå 3 âðåìÿ îæèäàíèÿ, óñðåäíåííîå åùå è ïî õ (äëÿ óáåäèòåëüíîñòè äîáàâèì ñâåðõó âòîðóþ ÷åðòó), ñîñòàâëÿåò tîæ = Ò T 2 T (3T1 − T2 ) Ò2 T2 T2 Ò T − + 2 = 2 − 2 = 2 − 2 = 2 . 2 6T1 6T1 2 2k 3kÒ2 2 6k Ôîðìóëà âûøëà äîâîëüíî êîìïàêòíàÿ è íåñëîæíàÿ äëÿ çàïîìèíàíèÿ. Ïðèìåíèâ åå äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ñëó÷àÿ ñ äâóìÿ ìàðøðóòàìè, èíòåðâàëû äëÿ êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò ïî 10 ìèíóò, ïîëó÷àåì, ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ðàâíî 10 ⋅ (3 ⋅ 10 − 10 ) 1 = 3 ìèíóòû = 3 ìèíóòû 20 ñåêóíä, ÷òî ñó6 ⋅ 10 3 ùåñòâåííî ïðåâûøàåò íàéäåííûå íàìè ðàíåå 2 ìèíóòû 30 ñåêóíä.  ïðèíöèïå, íåíàìíîãî ñëîæíåå çàäà÷à ñ îïðåäåëåíèåì ñðåäíåãî âðåìåíè îæèäàíèÿ äëÿ äâóõ ìàðøðóòîâ, åñëè èíòåðâàë äâèæåíèÿ îäíîãî èç íèõ íå äåëèòñÿ íàöåëî íà èíòåðâàë äâèæåíèÿ âòîðîãî (ðàçâå ÷òî ãðîìîçäêîñòü ïðîìåæóòî÷íûõ ôîðìóë èçðÿäíî âîçðàñòàåò). À ðåçóëüòàò îêàçûâàåòñÿ òåì æå! Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïðèìåíèòü íàéäåííóþ íàìè ôîðìóëó äëÿ äðóãîãî ðàíåå ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ ñ äâóìÿ ìàðøðóòàìè, èíòåðâàëû äâèæåíèÿ êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò 10 è 15 ìèíóò, è çäåñü ïîëó÷àåòñÿ tîæ = 10 ⋅ (3 ⋅ 15 − 10 ) 8 = 3 ìèíóòû ≈ 3 ìèíóòû 53 ñåêóíäû. 6 ⋅ 15 9 Ðàñõîæäåíèå ñ ïåðâîíà÷àëüíûì îòâåòîì (3 ìèíóòû) âåñüìà âåëèêî! Íó, à åñëè ïîäõîäÿùèõ ìàðøðóòîâ áîëüøå äâóõ, òî âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè êàòàñòðîôè÷åñêè âîçðàñòàþò. Âèäèìî, íóæåí êàêîé-òî ïðèíöèïèàëüíî èíîé ïîäõîä. Ëèáî ìîæíîòàêè èñïîëüçîâàòü òå ñàìûå «ýëåêòðè÷åñêèå» ôîðìóëû, íî èìåòü â âèäó, ÷òî îíè äàþò îöåíêó ñíèçó. Îöåíêîé æå ñâåðõó ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëîâèíó íàèìåíüøåãî èç èíòåðâàëîâ. À ïîòîì âçÿòü, äîïóñòèì, èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Êàêàÿíèêàêàÿ, à îöåíêà! Ëþáîïûòåí òàêæå âàðèàíò, êîòîðûé ïóñòü íå ñëèøêîì ÷àñòî, íî âñå-òàêè âñòðå÷àåòñÿ: åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ìàðøðóòîâ óêàçàí, êàê è ïðåæäå, èíòåðâàë äâèæåíèÿ, à äëÿ äðóãèõ «ïðÿìîå» ðàñïèñàíèå (ò.å. ïåðå÷èñëåíî âðåìÿ ïðèáûòèÿ âñåõ àâòîáóñîâ äàííîãî ìàðøðóòà). Îêàçûâàåòñÿ, íàëè÷èå ðàñïèñàíèÿ äàëåêî íå âñåãäà óïðîùàåò çàäà÷ó. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà èíòåðâàë äâèæåíèÿ óêàçàí òîëüêî äëÿ îäíîãî ïîäõîäÿùåãî íàì ìàðøðóòà, äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïåðâîãî, è ïóñòü îí ðàâåí Ò1 , äëÿ îñòàëüíûõ æå óäîâëåòâîðÿþùèõ íàñ ìàðøðóòîâ èìååòñÿ «æåñòêîå» ðàñïèñàíèå. Ïîñìîòðèì íà íåãî è îïðåäåëèì, ñêîëüêî âðåìåíè íàì ïðåäñòîèò îæèäàòü áëèæàéøåãî èç ýòèõ «ðàñïèñàííûõ» ìàðøðóòîâ, ïóñòü åãî íîìåð âòîðîé, è ýòî âðåìÿ ðàâíî Ò2 . Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî åñëè Ò1 < T2 , òî â ëþáîì ñëó÷àå ìû óåäåì íà àâòîáóñå ïåðâîãî ìàðøðóòà, íå äîæäàâøèñü âòîðîãî! Ïîýòîìó çäåñü ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà åäèíñòâåííîìó èìåþùåìóñÿ ìàðøðóòó ñ èíòåðâàëîì Ò1 , è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ, êàê ìû îïðåäåëèëè âûøå, ðàâíî ÊÐÓÆÎÊ "# Ò1 . Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè Ò1 = T2 ðåçóëüòàò àíàëîãè÷åí 2 (õîòÿ è ïîÿâëÿåòñÿ èñ÷åçàþùå ìàëûé øàíñ óåõàòü íà àâòîáóñå âòîðîãî ìàðøðóòà, åñëè îí ïîäúåäåò ê îñòàíîâêå âìåñòå ñ ïåðâûì). Èíîå äåëî åñëè Ò1 > T2 . Çäåñü âñå çàâèñèò îò òîãî, êîãäà íà îñòàíîâêó ïðèáóäåò àâòîáóñ ïåðâîãî ìàðøðóòà. Ïóñòü ýòî ïðîèçîéäåò ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè t, ãäå t âðåìÿ, êîòîðîå ìîæåò ðàâíîâåðîÿòíî ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå îò 0 äî Ò1 . Çàìåòèì, ÷òî åñëè t < Ò2 , òî íàì ïðèäåòñÿ æäàòü ðîâíî t ìèíóò, è ìû óåäåì íà àâòîáóñå ïåðâîãî ìàðøðóòà, åñëè æå t > Ò2 , òî ìû îòïðàâèìñÿ â ïóòü ÷åðåç Ò2 ìèíóò íà àâòîáóñå âòîðîãî ìàðøðóòà (ïðè t = Ò2 â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè ïðèêàòÿò ñðàçó äâà àâòîáóñà). Ãðàôè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü âðåìåíè îæèäàíèÿ tîæ îò t ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 2. 6 tîæ = Ðèñ. 2 È çäåñü íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàéòè ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì, T (2T1 − T2 ) , è ïîòîìó ñðåäíåå âðåìÿ êîòîðàÿ ðàâíà S = 2 2 S T2 (2T1 − T2 ) . Íàïðèìåð, åñëè îæèäàíèÿ ñîñòàâèò tîæ = = T1 2T1 èíòåðâàë äâèæåíèÿ îäíîãî àâòîáóñà ðàâåí 20 ìèíóòàì, à âòîðîé, ñîãëàñíî ðàñïèñàíèþ, ïðèáóäåò ðîâíî ÷åðåç 10 ìèíóò, òî Ò1 = 20, Ò2 = 10, è ïîòîìó tîæ = 10 ⋅ (2 ⋅ 20 − 10 ) 1 = 7 ìèíóòû = 7 ìèíóò 30 ñåêóíä. 2 ⋅ 20 2 Åñëè æå àâòîáóñîâ ñ óêàçàííûì èíòåðâàëîì äâèæåíèÿ íå ìåíüøå äâóõ, òî ðàñ÷åòíûå òðóäíîñòè ñòðåìèòåëüíî âîçðàñòàþò, è êàê èõ îäîëåòü àâòîðó íåèçâåñòíî. Âïðî÷åì, íèêòî íå çàïðåùàåò ÷èòàòåëþ ïîïðîáîâàòü â ýòîì ðàçîáðàòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî. ×òî æ, òåïåðü ìû çíàåì, ÷åì ñëåäóåò çàíÿòüñÿ âî âðåìÿ âûíóæäåííîãî áåçäåëüÿ íà îñòàíîâêå îáùåñòâåííîãî òðàíñïîðòà îöåíêîé âðåìåíè îæèäàíèÿ. È âåñüìà âåðîÿòíî, ÷òî ïîêà ìû áóäåì ýòî äåëàòü, èç-çà ïîâîðîòà ïîÿâèòñÿ íóæíîå íàì òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî. Òàê ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå âðåìÿ íå áóäåò ïîòåðÿíî çðÿ. À çàîäíî è ïîïðàêòèêóåìñÿ â óñòíîì ñ÷åòå, ÷òî, ñîãëàñèòåñü, óæ òî÷íî íå ïîâðåäèò. 6 Êîå-êòî ìîæåò áûòü óäèâëåí: ïî÷åìó ýòî íà ðèñóíêå 2 êîñîé îòðåçîê íàêëîíåí íå òàê, êàê îòðåçêè íà ðèñóíêå 1, à â äðóãóþ ñòîðîíó? Äåëî â òîì, ÷òî ñàìà ïåðåìåííàÿ t, çíà÷åíèå êîòîðîé îòêëàäûâàåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, èìååò â îáîèõ ñëó÷àÿõ íåñêîëüêî ðàçëè÷íûé ñìûñë. Äëÿ ðèñóíêà 1 ýòî âðåìÿ, ïðîøåäøåå ñ ìîìåíòà îòúåçäà îò îñòàíîâêè î÷åðåäíîãî àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà äî íàøåãî ïðèáûòèÿ íà îñòàíîâêó. À äëÿ ðèñóíêà 2 ýòî âðåìÿ, ïðîøåäøåå îò íàøåãî ïðèáûòèÿ íà îñòàíîâêó äî ïîÿâëåíèÿ íà íåé î÷åðåäíîãî àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà ò.å. ïîíÿòèå êàê áû «ñ îáðàòíûì çíàêîì»; îòñþäà è «îáðàòíûé» óêëîí. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Âîò ÷òî-òî ñ ãîðî÷êè ñïóñòèëîñü À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ Â ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÑÎÁÐÀÍÛ ÇÀÄÀ×È, ÎÁÚÅÄÈÍÅÍÍÛÅ ÏÐÈ- ñóòñòâèåì â èõ óñëîâèè íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Çàäà÷è ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ âñòðå÷àþòñÿ íå òîëüêî âî âñåõ ðàçäåëàõ ìåõàíèêè, íî è âî ìíîãèõ äðóãèõ îáëàñòÿõ ôèçèêè. Ñïóñêàÿñü âíèç ïî ñêëîíó è çàáèðàÿñü îáðàòíî, ìû âñòðåòèì ìíîãî ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ñþæåòîâ êàê ïðîñòûõ, áàçîâûõ, òàê è äîñòàòî÷íî íåòðèâèàëüíûõ. Èòàê âïåðåä è ââåðõ! Êèíåìàòèêà Åñëè ñâîáîäíî ëåòÿùåå òåëî «ïðèçåìëÿåòñÿ» íå íà ãîðèçîíòàëüíóþ, à íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, òî íåîáõîäèìî óìåòü ïðàâèëüíî çàïèñûâàòü «óñëîâèå ïàäåíèÿ». Çàäà÷à 1. Íà ãîðå ñ óãëîì íàêëîíà ê ãîðèçîíòó α = 30° ãîðèçîíòàëüíî áðîñàþò ìÿ÷ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = = 15 ì/ñ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè áðîñàíèÿ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè óïàäåò ìÿ÷? Ðåøåíèå. Âûáåðåì îñè x è y ñòàíäàðòíûì äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî áðîñêà îáðàçîì ãîðèçîíòàëüíî è âåðòèêàëüíî âíèç (ðèñ.1). Òîãäà çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò ìÿ÷à îò âðåìåíè èìååò âèä gt2 x = v0 t, y= . 2 Îäíàêî óñëîâèå ïàäåíèÿ, ò.å. óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ìÿ÷à ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ, âûãëÿäèò òàê: y Ðèñ. 1 = tg α . x Îòñþäà íàõîäèì âðåìÿ ïîëåòà è èñêîìîå ðàññòîÿíèå: t= 2v0 tg α , g s= x vt 2v2 tg α = 0 = 0 = 30 ì . cos α cos α g cos α  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì èñïîëüçîâàòü íåñòàíäàðòíûå äëÿ êèíåìàòèêè íàêëîííûå îñè âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé. Çàäà÷à 2 (ÅÃÝ). Ìàëåíüêèé øàðèê ïàäàåò ñâåðõó íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü è óïðóãî îòðàæàåòñÿ îò íåå. Óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó α = 30° . Íà êàêîå ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè ïåðåìåùàåòñÿ øàðèê ìåæäó ïåðâûì è âòîðûì óäàðàìè î ïëîñêîñòü? Ñêîðîñòü øàðèêà â ìîìåíò ïåðâîãî óäàðà íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç è ðàâíà v0 = 1 ì/ñ. Ðåøåíèå. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü, êàê ïðåäûäóùóþ. Ïîñëå óäàðà øàðèê îòñêàêèâàåò ïîä óãëîì β = π 2 − 2α (ðèñ.2), Ðèñ. 2 åãî êîîðäèíàòû ìåíÿ- þòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó gt 2 . 2 Ïðè çàïèñè óñëîâèÿ ïàäåíèÿ íàäî ó÷åñòü, ÷òî îíî ïðîèñõîäèò íèæå íà÷àëüíîé òî÷êè, à îñü y íàïðàâëåíà ââåðõ: y = − tg α . x Ïîñëå òùàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ñ ó÷åòîì ñâÿçè ìåæäó óãëàìè β è α è âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé äëÿ ñèíóñà ñóììû óãëîâ) ïîëó÷èì 2v t= 0. g Ñîãëàñèòåñü, íåîæèäàííî ïðîñòî âûãëÿäèò âûðàæåíèå äëÿ âðåìåíè ìåæäó ïåðâûì è âòîðûì óäàðàìè! Îòâåò, ñîîòâåòñòâåííî, òîæå ïðîñòîé: 2v2 cos β x= 0 = 17,3 ñì. g Ïîíÿòü îòâåò äëÿ âðåìåíè, à òàêæå óâèäåòü äðóãèå îñîáåííîñòè äâèæåíèÿ øàðèêà ïîçâîëÿåò âûáîð íàêëîííûõ îñåé êîîðäèíàò, íåïðèâû÷íûé äëÿ êèíåìàòèêè, íî ñîâåðøåííî ñòàíäàðòíûé äëÿ äèíàìèêè (ðèñ.3). Íà ïåðâûé âçãëÿä, îïèñàíèå äâèæåíèÿ óñëîæíÿåòñÿ: òåïåðü äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ñ óñêîðåíèåì ay = − g cos α ïî îñè Ðèñ. 3 y è ñ óñêîðåíèåì ax = g sin α ïî îñè x. Çàòî, âî-ïåðâûõ, ðåçêî óïðîùàåòñÿ óñëîâèå ïàäåíèÿ: y = 0 è, âî-âòîðûõ, ñêîðîñòü vx ïðè ëþáîì îòñêîêå íå ìåíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îñè y ïðîèñõîäÿò îäèíàêîâûå öèêëû ïîäúåìà è ïàäåíèÿ, ïðè êîòîðûõ øàðèê óäàëÿåòñÿ îò ïëîñêîñòè íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ è êîòîðûå çàíèìàþò îäèíàêîâîå âðåìÿ 2v0 y 2v0 cos α 2v0 , = = t= g cos α g ay x = (v0 cos β ) t, y = (v0 sin β ) t − à êîîðäèíàòà x ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ïî çàêîíó ( g sin α ) t2 , x = (v0 sin α ) t + 2 íå ÷óâñòâóÿ óäàðîâ. Èñêîìîå ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè òåïåðü ðàâíî x cos α . Äèíàìèêà Íà÷íåì ñ ïåðåõîäíîé ñèòóàöèè, êîòîðóþ ìîæíî íàçâàòü «ïî÷òè êèíåìàòèêà». Çàäà÷à 3 (ÅÃÝ). Íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåòñÿ ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ ïî ïðÿìîé AB. Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè α = 30 ° . Ìàëåíüêàÿ øàéáà íà÷èíàåò äâèæåíèå ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè èç òî÷êè A ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 2 ì/ñ ïîä óãëîì β = 60 ° ê ïðÿìîé AB Ðèñ. 4 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ (ðèñ.4).  õîäå äâèæåíèÿ øàéáà ñúåçæàåò íà ïðÿìóþ AB â òî÷êå B. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì ìåæäó øàéáîé è íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ, íàéäèòå ðàññòîÿíèå AB. Ðåøåíèå. Íà øàéáó â ïðîöåññå äâèæåíèÿ äåéñòâóþò äâå ñèëû òÿæåñòè è íîðìàëüíîé ðåàêöèè. Ïðîåöèðóÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà íà îñè x è y, âûáðàííûå â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ (ïî ëèíèè À ââåðõ è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé), ïîëó÷èì ax = 0 , ay = − g sin α . Âèäíî, ÷òî äâèæåíèå øàéáû â ýòîé ïëîñêîñòè ýêâèâàëåíòíî äâèæåíèþ òåëà, áðîøåííîãî ïîä óãëîì β ê ãîðèçîíòó â ïîëå òÿæåñòè ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g′ = g sin α . Âîñïîëüçóåìñÿ áåç âûâîäà èçâåñòíîé ôîðìóëîé äëÿ äàëüíîñòè ïîëåòà âäîëü îñè x è íàéäåì À = l = v02 sin 2β v02 sin 2β = = 69 ñì. g′ g sin α Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ïðîñòîé áàçîâîé çàäà÷è: òåëî ïîëîæèëè íà øåðîõîâàòóþ íàêëîííóþ ïëîñêîñòü. ×òî ñ íèì áóäåò? Çàäà÷à 4. Ñ âåðøèíû íàêëîííîé ïëîñêîñòè âûñîòîé h = = 5 ì è óãëîì íàêëîíà ê ãîðèçîíòó α = 45 ° íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü òåëî. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òåëà î ïëîñêîñòü µ = = 0,19. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü òåëà â êîíöå ñïóñêà. Ðåøåíèå. ÏðåäïîëîÐèñ. 5 æèì, ÷òî òåëî äåéñòâèòåëüíî ñîñêàëüçûâàåò âíèç (ðèñ.5).  ýòîì ñëó÷àå íà òåëî äåéñòâóåò åùå ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà N + mg + Fòð = ma â ïðîåêöèÿõ íà îñè x è y âìåñòå ñ ôîðìóëîé äëÿ ñèëû òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ îáðàçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé mg sin α − Fòð = max , N − mg cos α = 0, Fòð = µN, ðåøåíèå êîòîðîé èìååò âèä "% ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ êîíå÷íóþ ñêîðîñòü. Òàê êàê â ñèñòåìå åñòü òðåíèå, òî ÷àñòü ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïåðåéäåò âî âíóòðåííþþ, ïðè÷åì óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ðàâíî ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ: mv2 h mgh = + Fòð , 2 sin α ãäå Fòð = µN = µmg cos α . Åñëè µ > tg α , òî îòâåò äëÿ v2 ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Çàäà÷è íà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå. Çàìå÷àíèå 2. Îòðèöàòåëüíûé îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áåññìûñëåííûì òîëüêî ïðè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, ðàâíîé íóëþ. Åñëè òåëó, ëåæàùåìó íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ( µ > tg α ), ðåçêèì óäàðîì ñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ âíèç, òî îíî áóäåò òîðìîçèòüñÿ, î ÷åì è ñâèäåòåëüñòâóåò îòðèöàòåëüíûé çíàê óñêîðåíèÿ. Çàìå÷àíèå 3. Åñëè òåëó ñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ ââåðõ âäîëü ïëîñêîñòè, òî ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ è ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè áóäóò íàïðàâëåíû ïðîòèâ ñêîðîñòè, è îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ ïðè ëþáîì µ ïðèìåò âèä ax = g (sin α + µ cos α ) . Õîòÿ óñêîðåíèÿ ïðè äâèæåíèè òåëà ââåðõ è âíèç âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè ðàçëè÷íû, íî ñèëà òðåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå: Fòð = µmg cos α . Òàêîé æå îíà îñòàåòñÿ, åñëè íà òåëî äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Êàê ìû óâèäèì, ýòî óäîáíî ïðè èñïîëüçîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Îäíàêî ñëèøêîì ïðèâûêàòü ê ýòîìó íå ñëåäóåò, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñèëà òðåíèÿ èìååò èíîå çíà÷åíèå. Çàäà÷à 5. Òåëî ïîäíèìàþò ââåðõ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïðèêëàäûâàÿ ê íåìó ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó, âåëè÷èíà êîòîðîé âäâîå áîëüøå äåéñòâóþùåé íà òåëî ñèëû òÿæåñòè. Âûñîòà íàêëîííîé ïëîñê î ñ ò è h = 3 ì, åå äëèíà l = 5 ì. Íàéäèòå óñêîðåíèå òåëà, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ = 0,2. Ðèñ. 6 Ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå âíåøíÿÿ ñèëà, ðàâíàÿ F = 2mg, òîæå èìååò ïðîåêöèè íà îáå îñè (ðèñ.6): F cos α − mg sin α − Fòð = max , N = mg cos α, Fòð = µmg cos α, ax = g (sin α − µ cos α ) . N − mg cos α − F sin α = 0, Ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè v0 = 0 (òåëî îòïóñêàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè) îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë òîëüêî â ñëó÷àå ax ≥ 0 . Åñëè æå îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì (ò.å. áåññìûñëåííûì), òî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî òåëî äâèæåòñÿ, îêàçûâàåòñÿ íåâåðíûì. Ïðè µ > tg α òåëî îñòàíåòñÿ â ïîêîå è íà íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ, êîòîðóþ íàõîäèì èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: Fòð = mg sin α , ïðè ýòîì Fòð < µN . Ïðè ÷èñëåííûõ äàííûõ èç óñëîâèÿ óñêîðåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, è íàì îñòàåòñÿ íàéòè êîíå÷íóþ ñêîðîñòü òåëà èç êèíåìàòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ h v2 = 2ax . sin α Ïîëó÷àåì Fòð = µN. v = 2gh (1 − µ ctg α ) = 9 ì/ñ. Çàìå÷àíèå 1. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íå íàõîäÿ óñêîðåíèÿ, à ñðàçó îïðåäåëèâ Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì ax = g (2 cos α − sin α − µ cos α − 2µ sin α ) = 6 ì ñ2 . Åñëè áû âåëè÷èíà ax ïîëó÷èëàñü îòðèöàòåëüíîé, òî ýòî íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àëî áû, ÷òî òåëî ïîêîèòñÿ. Åùå îäíà âîçìîæíîñòü òåëî ñúåçæàåò âíèç, íåñìîòðÿ íà äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû. Ëó÷øå âñåãî ðåøèòü çàäà÷ó åùå ðàç, íàïðàâèâ îñü x âíèç, à ñèëó òðåíèÿ ââåðõ, è åñëè îòâåò îïÿòü ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì, òî ìîæíî áóäåò îäíîçíà÷íî óòâåðæäàòü, ÷òî òåëî ïîêîèòñÿ! Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè çàäà÷è, ãäå äâèæåíèå òåëà ïî øåðîõîâàòîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ïðîèñõîäèò ïî ëèíèè åå ñêàòà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèòóàöèþ, êîãäà ñèëû è ñêîðîñòè íå ëåæàò â ïëîñêîñòè ñêàòà. Çàäà÷à 6. Òåëó òîë÷êîì ñîîáùèëè ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ.7). "& ÊÂÀÍT 2013/¹3 Íàéäèòå âåëè÷èíó óñêîðåíèÿ òåëà â íà÷àëüíûé ìîìåíò, åñëè sin α = 0,2, à µ= 3 3. Ðåøåíèå. Äâèæåíèå òåëà ïðîèñõîäèò âäîëü ïëîñêîñòè, ãäå íà íåãî äåéñòâóþò ñèëà òðåíèÿ, íàïðàâÐèñ. 7 ëåííàÿ âäîëü îñè x, è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè, íàïðàâëåííàÿ âäîëü îñè y. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèÿõ íà òðè îñè è ôîðìóëó äëÿ ñèëû òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ: Fòð = max , mg sin α = may , N − mg cos α = 0, F Fòð = µN. Âûðàçèâ îòñþäà ax è ay , íàéäåì âåëè÷èíó óñêîðåíèÿ: a = ax2 + ay2 = g µ2 cos2 α + sin2 α = 6 ì c2 . Ñëåäóþùóþ çàäà÷ó, âíåøíå ñâÿçàííóþ ñ ïðåäûäóùåé, ìîæíî îòíåñòè ê îëèìïèàäíûì. Çàäà÷à 7. Íà áåñêîíå÷íîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, îáðàçóþùåé ñ ãîðèçîíòîì óãîë α , ïîêîèòñÿ øàéáà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ øàéáû î ïëîñêîñòü µ = tg α . Øàéáå ñîîáùàþò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî âäîëü ïëîñêîñòè. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü ñîñêàëüçûâàíèÿ øàéáû. Ðåøåíèå.  ñëó÷àå µ = tg α ñèëà òðåíèÿ Fòð = µN = = µmg cos α = tg α ⋅ mg cos α = mg sin α ðàâíà ïðîåêöèè ñèëû òÿæåñòè íà îñü õ, íàïðàâëåííóþ âíèç âäîëü ëèíèè ñêàòà. Èç ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ÷åðåç äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ øàéáà áóäåò äâèãàòüñÿ âíèç âäîëü ëèíèè ñêàòà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ vóñò , î êîòîðîé êàê ðàç è ãîâîðèòñÿ â óñëîâèè çàäà÷è. Ñèëà òðåíèÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíà ïðîòèâ ñêîðîñòè øàéáû, à Ðèñ. 8 ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè âíèç âäîëü ëèíèè ñêàòà. Åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò ñêîðîñòü íàïðàâëåíà ïîä óãëîì β ê ëèíèè ñêàòà, òî ïðîåêöèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà íà íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè èìååò âèä (ðèñ.8) ∆v m = − F + F cos β , ∆t ãäå îáîçíà÷åíî F = mg sin α = Fòð è ó÷òåíî, ÷òî ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ íà íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè ðàâíà áûñòðîòå èçìåíåíèÿ ìîäóëÿ ñêîðîñòè. Àíàëîãè÷íî, ïðîåêöèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà íà îñü õ âûãëÿäèò òàê: ∆v m x = F − F cos β . ∆t Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ ïî÷ëåííî, íàõîäèì ∆v ∆vx + = 0 , ò.å. v + vx = const . ∆t ∆t  íà÷àëüíûé ìîìåíò v = v0 , vx = 0, ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèè v = vx = vóñò . Ïîëó÷àåì v0 . 2  ñëåäóþùåé çàäà÷å ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè äâèæåòñÿ íå îäíî, à äâà âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåëà. Çàäà÷à 8. Äâà áðóñêà ìàññàìè m1 = 4 êã è m2 = 6 êã, ñâÿçàííûå íèòüþ, ñîñêàëüçûâàþò ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé ñ ãîðèçîíòîì óãîë α = 60 ° (ðèñ.9). Ðèñ. 9 Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó íèæíèì áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ µ1 = = 0,15, à ìåæäó âåðõíèì áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ µ2 = = 0,4. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè. Ðåøåíèå. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî òåëà â ïðîåêöèè íà îñü õ (ïðîåêòèðîâàíèå íà îñü ó äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàåì): v0 + 0 = 2vóñò , îòêóäà vóñò = m1g sin α − T − Fòð1 = m1a, m2 g sin α + T − Fòð2 = m2a. Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèÿ Fòð1 = µ1N1 = µ1m1g cos α , Fòð2 = = µ2 N2 = µ2m2 g cos α è èñêëþ÷àÿ èç ýòîé ñèñòåìû óñêîðåíèå à, ïîëó÷èì T= m1m2 g (µ2 − µ1 )cos α = 3 H. m1 + m2 Îáðàòèòå âíèìàíèå èñêëþ÷èâ óñêîðåíèå, ìû ìîæåì íå óâèäåòü, ÷òî ñèñòåìà òåë îñòàåòñÿ èç-çà òðåíèÿ íåïîäâèæíîé! ×òîáû âûÿñíèòü, ïðè êàêîì óñëîâèè òåëà äâèæóòñÿ, íàäî íàéòè óñêîðåíèå è çàïèñàòü óñëîâèå åãî ïîëîæèòåëüíîñòè. Ïîëó÷èì µ m + µ2m2 tg α > 1 1 . m1 + m2 Ïðè÷åì íå îáÿçàòåëüíî òðåáîâàòü, ÷òîáû îáà êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ áûëè ìåíüøå tg α . Íàïðèìåð, åñëè m2 m1 , òî µ2 ìîæåò áûòü áîëüøå tg α (ïåðâîå òåëî ïîòÿíåò çà ñîáîé âòîðîå). Åñëè òåëî íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, òî óñêîðåíèå íàïðàâëåíî íå âäîëü ïëîñêîñòè, à ê öåíòðó îêðóæíîñòè. Çàäà÷à 9. Ïîëûé êîíóñ ñ óãëîì ïðè âåðøèíå 2α âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ñîâïàäàþùåé ñ åãî îñüþ ñèììåòðèè. Âåðøèíà êîíóñà îáðàùåíà âíèç. Íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè êîíóñà íà ðàññòîÿíèè L îò âåðøèíû íàõîäèòñÿ íåáîëüøàÿ øàéáà, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êîòîðîé î ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâåí µ . Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ êîíóñà øàéáà áóäåò íåïîäâèæíà îòíîñèòåëüíî êîíóñà? Ðèñ. 10 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Ðåøåíèå. Íà óãëîâóþ ñêîðîñòü åñòü äâà îãðàíè÷åíèÿ. Ïðè ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè ω1 øàéáà íà÷èíàåò ïðîñêàëüçûâàòü è äâèãàòüñÿ íàðóæó, ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ ïðè ýòîì íàïðàâëåíà âíèç âäîëü ïëîñêîñòè (ðèñ.10). Ïðè ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè ω2 øàéáà íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü âíèç, à ñèëà òðåíèÿ íàïðàâëåíà ââåðõ âäîëü ïëîñêîñòè. Ïîñêîëüêó óñêîðåíèå øàéáû ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè âðàùåíèÿ, íàïðàâèì îñü õ ïî óñêîðåíèþ, à îñü ó âåðòèêàëüíî ââåðõ.  ïåðâîì ñëó÷àå (ñì. ðèñ.10) âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà ýòè îñè èìååò âèä "' ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ øàéáà âåðíóëàñü â èñõîäíóþ òî÷êó? Ðåøåíèå. Ïðè çàïèñè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íàäî ó÷åñòü, ÷òî ïðè óäàðå ýíåðãèÿ íå òåðÿåòñÿ, à ÷àñòü ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ïåðåøåäøàÿ ïðè äâèæåíèè ñ òðåíèåì âî âíóòðåííþþ, ðàâíà ìîäóëþ ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ: mv02 h = mgh + µmg cos α 2 mgh + . 2 sin α Mû ó÷ëè, ÷òî ñèëà òðåíèÿ íà âñåì ïóòè âíèç è ââåðõ ðàâíà µmg cos α . Ïîëó÷àåì N cos α + Fòð sin α = mω12 L sin α, N sin α − Fòð cos α − mg = 0. Ïîäñòàâëÿÿ óñëîâèå íà÷àëà ïðîñêàëüçûâàíèÿ Fòð = µN è èñêëþ÷àÿ N, ïîëó÷àåì ω1 = g cos α + µ sin α . L sin α sin α − µ cos α Òàêàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü äîñòèæèìà òîëüêî ïðè óñëîâèè µ < tg α . Àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû äëÿ ω2 äàþò ω2 = g cos α − µ sin α . L sin α sin α + µ cos α Ìèíèìàëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñóùåñòâóåò ïðè óñëîâèè µ < ctg α . Èìåííî ïðè ýòîì óñëîâèè øàéáà ñîñêàëüçûâàåò âíèç ñ ïîêîÿùåéñÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ïðèâåäåì òàêæå çíà÷åíèå ïðîìåæóòî÷íîé óãëîâîé ñêîðîñòè, ïðè êîòîðîé ñèëà òðåíèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü: g cos α ω0 = . L sin α sin α Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè Íà÷íåì îïÿòü ñ ïåðåõîäíîé «ïî÷òè äèíàìè÷åñêîé» çàäà÷è. Çàäà÷à 10. Óêëîí ó÷àñòêà øîññå ðàâåí h = 1 ì íà êàæäûå s = 20 ì ïóòè. Ñïóñêàÿñü ïîä óêëîí ïðè âûêëþ÷åííîì äâèãàòåëå, àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ v = 60 êì/÷. Êàêóþ ïîëåçíóþ ìîùíîñòü äîëæåí ðàçâèâàòü äâèãàòåëü ýòîãî àâòîìîáèëÿ, ÷òîáû îí ïîäíèìàëñÿ ïî òîìó æå óêëîíó ñ òîé æå ñêîðîñòüþ? Ìàññà àâòîìîáèëÿ m = 1500 êã. Ðåøåíèå. Ïåðâàÿ ôðàçà â óñëîâèè ïîçâîëÿåò íàì îïðåäåëèòü óãîë íàêëîíà: sin α = h/s = 1/20. Ïðè ñïóñêå ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè êîìïåíñèðóåòñÿ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ ñî ñòîðîíû äîðîãè è âîçäóõà: mg sin α − Fc = 0 . Ïîñêîëüêó ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà äàííûé àâòîìîáèëü, çàâèñèò îò åãî ñêîðîñòè è ïîêðûòèÿ äîðîãè, òî ïðè ïîäúåìå îíà áóäåò òàêîé æå. Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà â ïðîåêöèè âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè: Fò − Fc − mg sin α = 0 íàéäåì ñèëó òÿãè Fò è ïîëåçíóþ ìîùíîñòü P: P = Fòv = (2mg sin α ) v = 25 êÂò. Ñëåäóþùèå äâå çàäà÷è ìîæíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé êèíåìàòèêè è äèíàìèêè, íî ýíåðãåòè÷åñêèé ïîäõîä ñóùåñòâåííî ñîêðàùàåò ðåøåíèå. Çàäà÷à 11. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñèíóñ óãëà íàêëîíà êîòîðîé ê ãîðèçîíòó ðàâåí 0,28, íà âûñîòå h = 2,1 ì ëåæèò íåáîëüøàÿ øàéáà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ øàéáû î ïëîñêîñòü µ = 0,5. Êàêóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü øàéáå âíèç âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ÷òîáû ïîñëå àáñîëþòíî óïðóãîãî óäàðà îá óïîð, íàõîäÿùèéñÿ ó îñíîâàíèÿ ïëîñêîñòè, Ðèñ. 11 v0 = 4µgh ctg α = 12 ì/ñ. Çàäà÷à 12 (ÅÃÝ). Íåáîëüøàÿ øàéáà ïîñëå óäàðà ñêîëüçèò ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè èç òî÷êè À (ðèñ.11).  òî÷êå  íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü áåç èçëîìà ïåðåõîäèò â íàðóæíóþ ïîâåðõíîñòü ãîðèçîíòàëüíîé òðóáû ðàäèóñîì r. Åñëè â òî÷êå À ñêîðîñòü øàéáû ïðåâîñõîäèò v0 = 4 ì/ñ, òî â òî÷êå  øàéáà îòðûâàåòñÿ îò îïîðû. Äëèíà íàêëîííîé ïëîñêîñòè À = L = 1 ì, óãîë α = 30 ° . Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ è øàéáîé µ = 0,2. Íàéäèòå âíåøíèé ðàäèóñ òðóáû. Ðåøåíèå. Ïðè ïåðåõîäå íà ïîâåðõíîñòü òðóáû ñèëà ðåàê öèè N äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü, íî ïðè ýòîì ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè äîëæåí áûòü ðàâåí ðàäèóñó òðóáû r (ïðè ìåíüøåé ñêîðîñòè øàéáà ñêîëüçèò ïî òðóáå). Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà îñü õ, íàïðàâëåííóþ ê öåíòðó îêðóæíîñòè: mv2 mg cos α = . r Ñêîðîñòü v ñâÿæåì ñ v0 ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: mv02 mv2 = + mgL sin α + (µmg cos α ) L , 2 2 ãäå ïîñëåäíèé ÷ëåí ðàâåí ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ïåðåøåäøåé âî âíóòðåííþþ (â òåïëî) çà ñ÷åò ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ. Ïîëó÷àåì v02 r = − 2L tg α − 2µL = 0,3 ì. g cos α Ìàãíåòèçì Óìåíèå ïðàâèëüíî ðàáîòàòü ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ ïîìîãàåò ñïðàâëÿòüñÿ ñ ðàçíîîáðàçíûìè çàäà÷àìè íà ñîñêàëüçûâàíèå ïåðåìû÷åê ïî íàêëîííûì ðåëüñàì. Çàäà÷à 13. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ê ãîðèçîíòó ïîä óãëîì, ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0,8, è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ñîñêàëüçûâàåò ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 20 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè l = 10 ñì, åå ñîïðîòèâëåíèå R = 1,2 ìÎì, èíäóêöèÿ ïîëÿ  = 0,1 Òë, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ïåðåìû÷êîé è ðàìêîé µ = 0,5. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè. Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Ïðè äâèæåíèè ïåðåìû÷êè ñî ñêîðîñòüþ v (ðèñ.12) â íåé âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè, ðàâíàÿ # ÊÂÀÍT 2013/¹3 - = Bvl sin (90° + α ) = Bvl . cos ÷àÿ. Åñëè A < l, ò.å. v0 < ωl , òî äâèæåíèå öåïî÷êè äî α îñòàíîâêè ïðîèñõîäèò ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó è ñîâïàäàÂñëåäñòâèå ýòîãî â êîíåò ñ äâèæåíèåì ìàÿòíèêà îò öåíòðà êîëåáàíèé äî êðàéíåé òóðå ïðîòåêàåò òîê òî÷êè. Èìåííî òàêîé ñëó÷àé ðåàëèçóåòñÿ â äàííîé çàäà÷å. Bvl cos α Âðåìÿ äî îñòàíîâêè ðàâíî ÷åòâåðòè ïåðèîäà êîëåáàíèé: I= , R T 2π ω π l t= = = = 0,47 c . è íà ïåðåìû÷êó äåéñòâó4 4 2 g sin α åò ñèëà Àìïåðà ñî ñòîÅñëè æå A > l, ò.å. v0 > ωl , òî öåïî÷êà öåëèêîì çàåäåò íà ðîíû âåðòèêàëüíîãî íàêëîííóþ ïëîñêîñòü ðàíüøå, ÷åì îñòàíîâèòñÿ. Âðåìÿ t1 ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ðàâäâèæåíèÿ äî ýòîãî ìîìåíòà íàäî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ íàÿ Ðèñ. 12 l = A sin ωt1 , íàéòè ñêîðîñòü öåïî÷êè â ýòîò ìîìåíò è çàòåì 2 2 B l v cos α âû÷èñëèòü âðåìÿ t2 äâèæåíèÿ äî îñòàíîâêè. FÀ = IBl = R Óïðàæíåíèÿ è íàïðàâëåííàÿ ãîðèçîíòàëüíî ïðîòèâ äâèæåíèÿ (â ñîîòâåò1. Èç íåêîòîðîé òî÷êè íà ñêëîíå ãîðû áðîñàþò ââåðõ ïî ñòâèè ñ ïðàâèëîì Ëåíöà). Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ óñòàñêëîíó òåëî ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 21 ì/ñ ïîä óãëîì íîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè â ïðîåêöèÿõ íà îñè õ è ó α = 60° ê ãîðèçîíòó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè áðîñêà èìååò âèä mg sin α − FÀ cos α − Fòð = 0, N − mg cos α − FÀ sin α = 0, Fòð = µN. Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó, íàéäåì v= mgR sin α − µ cos α =2ì ñ. B2l2 cos α cos α + µ sin α Êîëåáàíèÿ Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à, õîòÿ â íåé íåò ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ïðîöåññîâ, ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè òåîðèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Çàäà÷à 14. Öåïî÷êà äëèíîé l = 45 ñì, ñêîëüçèâøàÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ v0 = 1 ì/ñ, íà÷èíàåò âúåçæàòü íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî åå íèæíåé ãðàíèöå. ×åðåç êàêîå âðåìÿ öåïî÷êà îñòàíîâèòñÿ? Óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè α = 30 ° . Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ìîìåíò, êîãäà ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé x è ìàññîé Ðèñ. 13 m ( x ) = mx l çàåõàëà íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü (ðèñ.13). Åñëè çàïèñàòü äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà öåïî÷êè âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå åãî äâèæåíèÿ, à çàòåì ïðîñóììèðîâàòü ýòè óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåïî÷êè (âíóòðåííèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè öåïî÷êè ñîêðàùàþòñÿ) mx′′ = −m(x)g sin α , êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé g sin α x =0. l Äâèæåíèå öåïî÷êè ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x = 0, x′′ + x = A sin ωt , ãäå ω = ( g sin α ) l . Ñêîðîñòü öåïî÷êè ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó v v = ωA cos ωt = v0 cos ωt , îòêóäà A = 0 . ω  çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé âîçìîæíû äâà ñëó- óïàäåò òåëî, åñëè óãîë íàêëîíà ãîðû β = 30° ? 2. Ìàëåíüêèé áðóñîê íàõîäèòñÿ íà âåðøèíå íàêëîííîé ïëîñêîñòè äëèíîé l = 26 ì è âûñîòîé h = 10 ì. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ µ = 0,45 . Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü áðóñêó, ÷òîáû îí äîñòèã îñíîâàíèÿ ïëîñêîñòè? 3. Êëèí ìàññîé m1 ñ óãëîì íàêëîíà α íàõîäèòñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ñ âåðøèíû êëèíà ñ âûñîòû h íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü ìàëåíüêèé áðóñîê ìàññîé m2 . Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå óñêîðåíèå êëèíà è âðåìÿ äâèæåíèÿ áðóñêà äî íèæíåé òî÷êè êëèíà. 4. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè âûñîòîé h = 3 ì è äëèíîé l = 9 ì ëåæèò òåëî ìàññîé m = 6 êã. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó, íàïðàâëåííóþ âäîëü ïëîñêîñòè, íàäî ïðèëîæèòü ê òåëó, ÷òîáû ñäâèíóòü åãî ñ ìåñòà? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ = 0,5 . 5. Äâà áðóñêà, ñâÿçàííûå íèòüþ, ïîäíèìàþò ââåðõ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïðèêëàäûâàÿ ê âåðõíåìó áðóñêó ìàññîé m1 = 2 êã ñèëó F = 30 Í, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è ïëîñêîñòüþ îäèíàêîâû. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè, åñëè ìàññà íèæíåãî áðóñêà m2 = 4 êã. 6. Ìîòîöèêëèñò ïðîèçâîäèò ïîâîðîò íà íàêëîííîì òðåêå. Âî ñêîëüêî ðàç ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áîëüøå ìèíèìàëüíîé, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ = 0,75, à óãîë íàêëîíà òðåêà ê ãîðèçîíòó α = 45° ? Ïîâîðîò íàäî ïðîéòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ êîëåñ ïî òðåêó. 7. Ñòåðæåíü ìàññîé m = 20 ã è äëèíîé l = 5 ñì ïîëîæèëè ãîðèçîíòàëüíî íà ãëàäêóþ íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, ñîñòàâëÿþùóþ ñ ãîðèçîíòîì óãîë, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí 0,3. Âñÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â âåðòèêàëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B = = 150 ìÒë. Ïðè êàêîé ñèëå òîêà â ñòåðæíå îí áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè? 8. Ãîðèçîíòàëüíûé ïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ ïîñòóïàòåëüíî äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì ââåðõ ïî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè â âåðòèêàëüíîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïî ñòåðæíþ ïðîòåêàåò òîê I. Óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè α = 30° . Îòíîøåíèå ìàññû ñòåðæíÿ ê åãî äëèíå m L = = 0,1 êã/ì. Ìîäóëü èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B = 0,2 Òë. Óñêîðåíèå ñòåðæíÿ a = 1,9 ì ñ2 . ×åìó ðàâíà ñèëà òîêà â ñòåðæíå? 9. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ïîä óãëîì α = 30° ê ãîðèçîíòó è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ïëîñêîñòè ðàìêè, íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü áåç òðåíèÿ ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 30 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè l = 10 ñì, åå ñîïðîòèâëåíèå R = 2 ìÎì, èíäóêöèÿ ïîëÿ  = 0,1 Òë. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè. Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü. 10. Òîíêóþ öåïî÷êó äëèíîé l = 45 ñì óäåðæèâàþò çà âåðõíèé êîíåö íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α = 30 ° ñ ãîðèçîíòîì. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ öåïî÷êè îíà íàïîëîâèíó ïîêèíåò íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, åñëè âíà÷àëå åå íèæíèé êîíåö íàõîäèëñÿ ó êðàÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XXI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Èíñòèòóòà ïåäàãîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îäàðåííîñòè ÐÀÎ (ã. Íîâîñèáèðñê) è ïðè ïîääåðæêå Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì «Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «ÊÌÎáðàçîâàíèå», «Ôèçèêîí», «1Ñ», Èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëîâ «Êâàíò», «Ïîòåíöèàë», «Ôèçèêà â øêîëå» è «Ôèçèêà äëÿ øêîëüíèêîâ» ïðîâåë XXI Ìåæäóíàðîäíóþ òåñò-ðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 7 ïî 14 îêòÿáðÿ 2012 ãîäà íà ïîëóîñòðîâå Õàëêèäèêè (Ãðåöèÿ). Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè ó÷àñòíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ Ðîññèè è Êàçàõñòàíà, à òàêæå äâå êîìàíäû èç Íîðâåãèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  äåñÿòûé ðàç ó÷àñòâîâàëè â îëèìïèàäå øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé, ñîðåâíóÿñü â êîìàíäíîì òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è â èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî áèîëîãèè è ýêîëîãèè. Ïåäàãîãè è ïñèõîëîãè ñîáðàëèñü íà ñâîþ íàó÷íóþ ñåññèþ â ÷åòâåðòûé ðàç.  ðàìêàõ îëèìïèàäû ñîñòîÿëñÿ I Ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé òóðíèð èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà äëÿ ó÷àùèõñÿ 58 êëàññîâ (îëèìïèéñêèé ðåçåðâ). Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2012» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà êîìàíäà ëèöåÿ 2 èç ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà (Ðîññèÿ). Åé áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé Ñóïåðêóáîê. Êîìàíäà âûñòóïèëà î÷åíü ðîâíî, îíà áûëà ïðèçåðîì â òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è ôèçèêå. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà ëèöåÿ 4 èç ãîðîäà Òàãàíðîãà (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà ïåðâûå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Êîìàíäå áûë âðó÷åí áîëüøîé êóáîê çà âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå è ñîîòâåòñòâóþùèå äèïëîìû çà óñïåõè â êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà êîìàíäà ëèöåÿ «Êëàññè÷åñêèé» èç ãîðîäà Ðîñòîâ-íà-Äîíó (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà ïåðâîå ìåñòî ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Åé áûë âðó÷åí êóáîê è äèïëîì.  èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàëà Àííà Øàëîâà, ó÷åíèöà ëèöåÿ 4 èç Òàãàíðîãà. Åé áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü, ìàëàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü çà ïåðâîå ìåñòî ïî ôèçèêå è ìàëàÿ áðîíçîâàÿ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàëà Àíàñòàñèÿ Êîðíèåâñêàÿ (ëèöåé «Êëàññè÷åñêèé», Ðîñòîâ-íà-Äîíó), çàâîåâàâøàÿ òàêæå ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå çàâîåâàë Äìèòðèé Êèçåëü (ëèöåé 4, Òàãàíðîã). Àëåêñàíäð Ñòàôååâñêèé (ëèöåé 4, Òàãàíðîã) ïîëó÷èë ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå, Áóëàò Èáðàãèìîâ (ëèöåé 2, Àëüìåòüåâñê) áûë íàãðàæäåí çà òðåòüå ìåñòî ïî ôèçèêå ìàëîé áðîíçîâîé ìåäàëüþ. Âñå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû ïîëó÷èëè ðàçíûå ïîäàðêè è ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû. Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XXII Ìåæäóíàðîä- íîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2013 ãîäà â Èñïàíèè. Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ðîññèÿ, Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí» Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227 Å-mail: [email protected] Ñàéò: www.gluon.ru ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð Ìàòåìàòèêà 1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 29, èìåþùåå ñóììó öèôð, ðàâíóþ 29, è îêàí÷èâàþùååñÿ íà 29. 2. Íà ñòîðîíå ÀÑ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òî÷êà D òàêàÿ, ÷òî BD = BC, ïðè÷åì DC = 2AD. Ïóñòü Å òî÷êà êàñàíèÿ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê BDC, ñ îòðåçêîì BD. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà AED, åñëè ∠C = 40° . 3.  ëåâûé íèæíèé óãîë øàõìàòíîé äîñêè 8 × 8 ïîñòàâëåíû â ôîðìå êâàäðàòà 9 ôèøåê. Ëþáàÿ ôèøêà ìîæåò ïðûãàòü íà ñâîáîäíîå ïîëå ÷åðåç ðÿäîì ñòîÿùóþ ôèøêó (ïî äèàãîíàëè, ïî âåðòèêàëè è/èëè ïî ãîðèçîíòàëè). Ìîæíî ëè çà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî òàêèõ õîäîâ (ïðûæêîâ) ïîñòàâèòü âñå ôèøêè âíîâü â ôîðìå êâàäðàòà, íî â äðóãîì óãëó? 4. Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ (x > 0; y > 0) óðàâíåíèÿ 1 3 y x + + = . x + y x +1 y +1 2 5.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí γ . Íà áèññåêòðèñû óãëîâ À è  ýòîãî òðåóãîëüíèêà îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû BK è AL (òî÷êè K è L ëåæàò íà ñîîòâåòñòâóþùèõ áèññåêòðèñàõ). Íàéäèòå KL, åñëè À = ñ. 6. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå (x 2 − y2 ) 2 = 16 y + 1 . 7. Ñóùåñòâóåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a1, a2, … , an òàêàÿ, ÷òî ñóììà a12 + a22 + … + ak2 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì êâàäðàòîì ïðè âñåõ: à) k ≤ 2 ; á) k ≤ 3 ; â) k ≤ 4 ; ã) k ≤ n , ãäå n ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ôèçèêà 1. Êîðäîâàÿ ìîäåëü ñàìîëåòà ìàññîé m ïðèêðåïëåíà ê øíóðó äëèíîé L è ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû (ðèñ.1). Ñàìîëåò äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v è îïèñûâàåò ãîðèçîíòàëüíóþ îêðóæíîñòü íà òàêîé âûñîòå, ÷òî øíóð îáðàçóåò óãîë θ ñ ïîâåðõíîñòüþ çåìëè âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Íàéäèòå íàòÿæåíèå øíóðà ïðè çàäàííîì óãëå θ . Íàéäèòå òàêæå ïðåäåëüíûé óãîë θïðåä , ïðè êîòîðîì ñàìî- Ðèñ. 1 # ÊÂÀÍT 2013/¹3 ëåò åùå ñïîñîáåí ëåòàòü. 2. Îñü êîëåñà ìàññîé m è ðàäèóñîì r ïðèêðåïëåíà ñ ïîìîùüþ ïðóæèíû ê âåðòèêàëüíîé îïîðå (ðèñ.2). Êîëåñî ñìåùàþò Ðèñ. 2 âëåâî íà ðàññòîÿíèå L è îòïóñêàþò. Îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ êîëåñî âåðíåòñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïðè äâèæåíèè êîëåñî íå ïðîñêàëüçûâàåò. Æåñòêîñòü ïðóæèíû ðàâíà k, ìàññà êîëåñà ñîñðåäîòî÷åíà â åãî îáîäå, ò.å. ìàññîé îñè è ñïèö ïðåíåáðåãàåì. 3 Äâà îäèíàêîâûõ öèëèíäðà ñîäåðæàò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ïðè îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðå.  ïåðâîì öèëèíäðå ãàç íàõîäèòñÿ ïîä òÿæåëûì ïîðøíåì ìàññîé m = 20 êã, âî âòîðîì öèëèíäðå ïîðøåíü íåâåñîìûé, íî îí ïîääåðæèâàåòñÿ ïðóæèíîé òàê, ÷òî âûñîòà ïîðøíåé íàä äíîì îáîèõ öèëèíäðîâ îäèíàêîâà è ðàâíà Í = 40 ñì (ðèñ.3). Ïðè ïîäâåäåíèè ê öèëèíäðàì îäíîãî è òîãî æå êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q = 200 Äæ âûñîòà ïîëîæåíèÿ ïîðÐèñ. 3 øíåé èçìåíèëàñü. Îïðåäåëèòå, íà êàêèõ âûñîòàõ îñòàíîâÿòñÿ ïîðøíè. Äàâëåíèå ñðåäû íàä ïîðøíÿìè ðàâíî íóëþ. Íåäåôîðìèðîâàííàÿ ïðóæèíà êàñàåòñÿ äíà öèëèíäðà. 4.  ãîðèçîíòàëüíîì öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå äëèíîé l = = 2 ì íàõîäÿòñÿ n = 9 ïîäâèæíûõ òåïëîíåïðîíèöàåìûõ ïîðøíåé, äåëÿùèõ ñîñóä íà n + 1 îòñåê. Ïåðâîíà÷àëüíî òåìïåðàòóðà ãàçà âî âñåõ îòñåêàõ ðàâíà T0 = 300 Ê , îáúåìû âñåõ îòñåêîâ îäèíàêîâû. Çàòåì ãàç â ñàìîì ëåâîì îòñåêå íàãðåâàþò äî òåìïåðàòóðû T1 = 500 Ê, à òåìïåðàòóðó ãàçà â äðóãèõ îòñåêàõ ïîääåðæèâàþò ðàâíîé T0 . Íà ñêîëüêî ñìåñòÿòñÿ ïðè ýòîì ñàìûå êðàéíèå ïðàâûé è ëåâûé ïîðøíè? 5. Ãðóçèê, ïðèâÿçàííûé ê íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè, âðàùàåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè âîêðóã òî÷êè Î ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 5 ñì. Åñëè íèòü ïåðåðåçàòü â ìîìåíò, êîãäà ãðóçèê íàõîäèòñÿ â âåðõíåé òî÷êå, îí óïàäåò íà çåìëþ â òî÷êå À; åñëè íèòü ïåðåðåçàòü â ìîìåíò, êîãäà ãðóçèê íàõîäèòñÿ â íèæíåé òî÷êå îêðóæíîñòè, îí óïàäåò íà çåìëþ â òî÷êå Â. Èçâåñòíî, ÷òî òî÷êè À è  ðàâíîóäàëåíû îò òî÷êè O, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà âûñîòå h íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè. Íàéäèòå âûñîòó h, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ öåíòð îêðóæíîñòè (òî÷êà Î), åñëè À = L = 48 ñì. 6. Íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü òîíêîé ëèíçû, íàõîäÿùåéñÿ â âîçäóõå, ïàäàåò óçêèé ïó÷îê ñâåòà, ïàðàëëåëüíûé åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì çà ëèíçîé, íàáëþäàåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî, äèàìåòð êîòîðîãî â k ðàç ìåíüøå äèàìåòðà ïàäàþùåãî ïó÷êà, ïðè÷åì k = 3. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ñòåêëà ëèíçû, åñëè ïîñëå ïîãðóæåíèÿ ëèíçû ñ ýêðàíîì (ïðè íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè ìåæäó íèìè) â âîäó äèàìåòð ñâåòëîãî ïÿòíà íà ýêðàíå íå èçìåíÿåòñÿ. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû nâ = 4 3 . 7. Äâå ÷àñòèöû ðàâíîé ìàññû ñ îäèíàêîâûìè ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè L = 45 ñì äðóã îò äðóãà è èìåþò ñêîðîñòè, ðàâíûå ïî âåëè÷èíå è îðèÐèñ. 4 åíòèðîâàííûå â îäíîé ïëîñêîñòè ïîä óãëàìè α = 45° ê ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàðÿäû ïðÿìîé (ðèñ.4). Ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö â ýòîò ìîìåíò ðàâíà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èõ ýëåêòðè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Äî êàêîãî ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ñáëèçÿòñÿ ÷àñòèöû? Óñòíûé êîìàíäíûé òóð Ìàòåìàòèêà 1. Íà ïðÿìîé ïîñëåäîâàòåëüíî îòëîæåíû îòðåçêè À = 2, ÂÑ = ÑD = 1, DE = 2. Òî÷êà Ì ëåæèò âíå ýòîé ïðÿìîé, ïðè÷åì èç íåå âñå óêàçàííûå îòðåçêè âèäíû ïîä ðàâíûìè óãëàìè. ×òî ýòî çà óãëû? 2. Ïóñòü f ( x ) = ax 2 + bx + c . Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå f ( x ) = x íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Ìîæåò ëè èìåòü êîðíè óðàâíåíèå f ( f ( x )) = x ? 3. ×èñëà 1, 2, 3, , 200 ðàçáèëè íà 50 íåïåðåñåêàþùèõñÿ ãðóïï. Âñåãäà ëè ñðåäè ýòèõ ãðóïï íàéäåòñÿ òàêàÿ, ÷òî â íåé ñîäåðæàòñÿ òðè ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ ñòîðîíàìè íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà? 4. Íà ãèïîòåíóçå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âçÿëè òî÷êó Ì è îïóñòèëè èç íåå ïåðïåíäèêóëÿðû íà êàòåòû. Êàê âûáðàòü òî÷êó Ì, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïðîâåäåííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå? 5. Áàáà ßãà ïîëó÷èëà îò Çìåÿ Ãîðûíû÷à äâîå ïåñî÷íûõ ÷àñîâ, îäíè íà 3 ìèíóòû, äðóãèå íà 5 ìèíóò. Ïîìîãèòå Áàáå ßãå ñâàðèòü çåëüå, åñëè îíî âàðèòñÿ ðîâíî 4 ìèíóòû. 6. Ìîæåò ëè äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà îêàí÷èâàòüñÿ öèôðàìè: à) 75; á) 421? 7. Íà óãëó äîìà, ðàçìåðû êîòîðîãî 6 ìåòðîâ íà 4 ìåòðà, ïðèâÿçàíà ñîáàêà. Äëèíà ïðèâÿçè 10 ìåòðîâ. Íàéäèòå ïëîùàäü ó÷àñòêà, äîñòóïíîãî ñîáàêå. Âíóòðåííîñòü äîìà ñîáàêå íåäîñòóïíà (÷èñëî π îêðóãëèòå äî 3). 8. Äåëèòñÿ ëè ÷èñëî 262 + 1 íà 231 + 216 + 1 ? 9. Òî÷êè A1 , B1 è C1 ñèììåòðè÷íû öåíòðó I âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC îêðóæíîñòè îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí ÂÑ, ÀÑ è À ñîîòâåòñòâåííî. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà A1B1C1, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó À. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, åñëè ÂÑ = à. 10. Ïî êðóãó ëåæàò 10 ìîíåò îðëàìè ââåðõ. Ðàçðåøàåòñÿ îäíîâðåìåííî ïåðåâåðíóòü ëèáî 4 ïîäðÿä ëåæàùèå ìîíåòû, ëèáî ïî äâå ìîíåòû ñïðàâà è ñëåâà îò êàêîé-òî ìîíåòû. Ìîæíî ëè â ðåçóëüòàòå òàêèõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü âñå ìîíåòû îðëàìè âíèç? Ôèçèêà 1. Ìîñò. (5 ìèí) Ïàðàáîëè÷åñêèé ìîñò ñâÿçûâàåò äâà áåðåãà ðåêè øèðèíîé d. Êàêîâ ðàäèóñ êðèâèçíû ìîñòà â åãî âåðõíåé òî÷êå, åñëè ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ â ýòîé òî÷êå ñîñòàâëÿåò 60 êì/÷? 2. Ðûáàê. (5 ìèí) Ðûáàê ïëûë íà ìîòîðíîé ëîäêå ïî ðåêå, çàöåïèë øëÿïîé çà ìîñò, è îíà ñâàëèëàñü â âîäó. Ðûáàê ïîïëûë äàëüøå, íî ÷åðåç ïîë÷àñà, îáíàðóæèâ ïðîïàæó, ðåøèë âåðíóòüñÿ çà øëÿïîé. Ëîäêà äîãíàëà øëÿïó íà 4 êì íèæå ìîñòà. ×åìó ðàâíà ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè? 3. ×åðåïàõè (5 ìèí) ×åòûðå ÷åðåïàõè íàõîäÿòñÿ â óãëàõ êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé a è íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ îäíîâðåìåííî ñ îäèíàêîâîé è ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ v. Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ÷åðåïàõà âñå âðåìÿ äåðæèò êóðñ íà âòîðóþ, âòîðàÿ íà òðåòüþ, òðåòüÿ íà ÷åòâåðòóþ, ÷åòâåðòàÿ íà ïåðâóþ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ è ãäå ÷åðåïàõè âñòðåòÿòñÿ? 4. Ñïóòíèê. (7 ìèí) Èçâåñòíî, ÷òî èç-çà òîðìîæåíèÿ ñïóòíèêà â àòìîñôåðå âûñîòà åãî îðáèòû óìåíüøàåòñÿ. Êàê èçìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì ñêîðîñòü ñïóòíèêà? Êàê ñîãëàñóåòñÿ ýòî èçìåíåíèå ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè? #! ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 5. Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå. (7 ìèí) Èçâåñòíî, ÷òî ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ âûñîòîé ñòîëáà æèäêîñòè. Êàê èçìåíèòñÿ äàâëåíèå íà äíî êàæäîãî èç ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñóíêå 5 ñîñóäîâ ïðè íàãðåâàíèè âîäû? 6. Äðîáü. (5 ìèí) Íà âåñàõ óðàâíîâåøåí ÿùèê, íàïîëíåííûé äðîÐèñ. 5 áüþ. Îñòàíóòñÿ ëè âåñû â ðàâíîâåñèè, åñëè çàìåíèòü ýòó äðîáü áîëåå êðóïíîé, íî ñäåëàííîé èç òîãî æå ìàòåðèàëà? 7. Ïàññàæèð. (7 ìèí) Ïàññàæèð ïåðâîãî âàãîíà ïðîãóëèâàëñÿ ïî ïåððîíó. Êîãäà îí áûë ó ïîñëåäíåãî âàãîíà, ïîåçä òðîíóëñÿ è íà÷àë äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì a. Ïàññàæèð ñðàçó æå ïîáåæàë ê ñâîåìó âàãîíó. Ñ êàêîé íàèìåíüøåé ñêîðîñòüþ îí äîëæåí áåæàòü, ÷òîáû óñïåòü ñåñòü â ïåðâûé âàãîí? Äëèíà ïîåçäà L. 8. Ðåøåòî. (7 ìèí)  ñêàçêàõ ãåðîè óìåëè íîñèòü âîäó â ðåøåòå. Ñêîëüêî âîäû ìîæíî óíåñòè â êðóãëîì ðåøåòå ðàäèóñîì 10 ñì, åñëè ðàçìåð åãî ÿ÷åéêè 1 × 1 ìì? 9. Ðåéñ ñàìîëåòà. (10 ìèí) Îöåíèòå ðàçíîñòü ïîêàçàíèé ïðóæèííûõ âåñîâ, íàõîäÿùèõñÿ â ñàìîëåòå, ëåòÿùåì èç Ìîñêâû âî Âëàäèâîñòîê è èç Âëàäèâîñòîêà â Ìîñêâó. 10. Ìîêðîå ìåñòî. (7 ìèí) Îöåíèòå ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé äîëæíà ëåòåòü ìóõà, ÷òîáû ïîñëå óäàðà î ñòåíó îò íåå íå îñòàëîñü «è ìîêðîãî ìåñòà». Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé Ìàòåìàòèêà 1. Êòî èç âåëèêèõ ìàòåìàòèêîâ ââåë â óïîòðåáëåíèå çíàêè äåëåíèÿ (:) â 1684 ãîäó è óìíîæåíèÿ ( ⋅ ) â 1698 ãîäó? 2. Àïîëëîíèé Ïåðãñêèé (îê. 250170 ãã. äî í.ý.) îäèí èç âåëè÷àéøèõ ãåîìåòðîâ Äðåâíåé Ãðåöèè â îäíîì èç ñâîèõ òðóäîâ ñôîðìóëèðîâàë è ðåøèë òàêóþ çàäà÷ó: Äàí îòðåçîê ÀÂ. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Ì òàêèõ, ÷òî äëÿ èõ ïðîåêöèé M′ íà îòðåçîê À âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AM′ ⋅ M′B = MM′2 . Ðåøèòå ýòó çàäà÷ó. 3.  1844 ãîäó áåëüãèéñêèé ìàòåìàòèê Ý.Êàòàëàí âûñêàçàë ãèïîòåçó, ÷òî ïàðà ÷èñåë 23 = 8 è 32 = 9 åäèíñòâåííàÿ ïàðà ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ öåëîé áîëüøåé ñòåïåíüþ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Ãèïîòåçà Êàòàëàíà ïðîäåðæàëàñü ïî÷òè 160 ëåò, íåñìîòðÿ íà óñèëèÿ ìíîãèõ ìàòåìàòèêîâ. Ëèøü â 2003 ãîäó ðóìûíñêèé ìàòåìàòèê Ï.Ìèõàéëåñêó äîêàçàë åå èñòèííîñòü. Ïðåäëàãàåì âàì çàäà÷ó ñâÿçàííóþ ñ ãèïîòåçîé Êàòàëàíà: Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x y 3 2 = 1. 4. Âûäàþùèéñÿ íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ã.Ìèíêîâñêèé (1864 1909) â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî «ãåîìåòðèè ÷èñåë» èñïîëüçîâàë íåêîòîðûå íîâûå ìåòðèêè (ðàññòîÿíèÿ) íà ïëîñêîñòè. Îí çàìåíÿë îáû÷íûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè íà íîâûå â ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì îïðåäåëåíèåì: Ïóñòü F ïðîèçâîëüíàÿ âûïóêëàÿ öåíòðàëüíî ñèììåòðè ÷åñêàÿ ôèãóðà íà ïëîñêîñòè. Íîðìîé OA âåêòîðà OA OA íàçîâåì îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé , ãäå A′ òî÷êà ïåðåñåOA′ ÷åíèÿ ëó÷à ÎÀ ñ ãðàíèöåé ôèãóðû F. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî íîðìà âåêòîðà îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ìîäóëÿ â îáû÷íîé ãåîìåòðèè, ò.å. λa = λ a , a + b ≤ a + b . Ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è  íàçîâåì OA − OB .  ðîëè îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè âûñòóïàåò ãðàíèöà ôèãóðû F. Çàïèøèòå ôîðìóëó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè A ( x, y ) è B ( x1, y1 ) , åñëè ôèãóðà F ýòî êâàäðàò íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, çàäàâàåìûé íåðàâåíñòâîì x + y ≤ 1 . 5.  2006 ãîäó ìîëîäîé àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê Òåðåíñ Òàî áûë óäîñòîåí âûñøåé íàãðàäû Ìåæäóíàðîäíîãî ñîþçà ìàòåìàòèêîâ Ôèëäñîâñêîé ïðåìèè çà äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé óäèâèòåëüíîé òåîðåìû: äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N ñóùåñòâóåò àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ äëèíû N, ñîñòîÿùàÿ èç ïðîñòûõ ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî ðàçíîñòü àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ñîñòîÿùåé èç 15 ïðîñòûõ ÷èñåë, áîëüøå 30000. Ôèçèêà 1.  1922 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà âðó÷åíà «Çà çàñëóãè â èññëåäîâàíèè ñòðîåíèÿ àòîìîâ è èñïóñêàåìîãî èìè èçëó÷åíèÿ». Ó÷åíûé, êîòîðîìó îíà áûëà ïðèñóæäåíà, ïðîæèë äîëãóþ æèçíü, áûë ïðèçíàí âî âñåì ìèðå, èìåë âûäàþùèåñÿ íàó÷íûå äîñòèæåíèÿ â îáëàñòè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Åùå áóäó÷è ìàãèñòðîì, îí ïîíÿë, ÷òî êëàññè÷åñêèå ôèçè÷åñêèå òåîðèè íå ìîãóò ïîëíîñòüþ îáúÿñíèòü ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ. Îí ðàáîòàë ñ Ý.Ðåçåðôîðäîì è äèñêóòèðîâàë ñ À.Ýíøòåéíîì. Åãî èìåíåì íàçâàíà òåîðèÿ ñòðîåíèÿ àòîìà. Îí áûë îäíèì èç ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Îí ñôîðìóëèðîâàë ïðèíöèï, ñâÿçûâàþùèé êëàññè÷åñêóþ è êâàíòîâóþ ôèçèêó, òàêæå íîñÿùèé åãî èìÿ. Îí áûë ãëàâîé íàó÷íîé øêîëû è ñîçäàë èíñòèòóò, êîòîðûé ñåé÷àñ íîñèò åãî èìÿ. ×åëîâåê ñ øèðîêèìè èíòåðåñàìè è áîãàòûì ÷óâñòâîì þìîðà, îí ëþáèë ìóçûêó, çàíèìàëñÿ ñïîðòîì (îòëè÷íî èãðàë â ôóòáîë), à â ãîäû âòîðîé ìèðîâîé âîéíû åìó ïðèøëîñü áåæàòü èç ðîäíîé ñòðàíû â áîìáîâîì ëþêå ñàìîëåòà.  1975 ãîäó Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ ïî ôèçèêå «Çà îòêðûòèå âçàèìîñâÿçè ìåæäó êîëëåêòèâíûì äâèæåíèåì è äâèæåíèåì îòäåëüíîé ÷àñòèöû â àòîìíîì ÿäðå è ðàçâèòèå òåîðèè ñòðîåíèÿ àòîìíîãî ÿäðà, áàçèðóþùåéñÿ íà ýòîé âçàèìîñâÿçè» ïîëó÷èë åãî ñûí. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? á)  êàêîé ñòðàíå îí æèë? â) Íàçîâèòå ôèçè÷åñêèé è ôèëîñîôñêèé ïðèíöèï, î êîòîðîì èäåò ðå÷ü â òåêñòå. 2.  1932 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà âðó÷åíà «Çà ñîçäàíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïðèìåíåíèå êîòîðîé ïðèâåëî, ïîìèìî ïðî÷åãî, ê îòêðûòèþ àëëîòðîïè÷åñêèõ ôîðì âîäîðîäà». Íî ýòà ôîðìóëèðîâêà áûëà ñëèøêîì øèðîêîé, ðå÷ü øëà î ñîçäàíèè îäíîé èç òðàêòîâîê êâàíòîâîé ìåõàíèêè åå óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Ñðåäè íàó÷íûõ äîñòèæåíèé ýòîãî ó÷åíîãî ïðèíöèï, êîòîðûé îïðåäåëèë ñòåïåíü íåîïðåäåëåííîñòè â Ïðèðîäå. Îí ðàáîòàë â îáëàñòè ãèäðîäèíàìèêè, ÿäåðíîé ôèçèêè, êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Ó íåãî áûëà áîëüøàÿ ñåìüÿ, âñå åãî äåòè ñòàëè êðóïíûìè ó÷åíûìè â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ íàóêè. Îí âñþ æèçíü ïðîæèë â ðîäíîé ñòðàíå, õîòÿ äëÿ ýòîãî åìó ïðèøëîñü ñäåëàòü íåïðîñòîé âûáîð. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? á)  êàêîé ñòðàíå îí æèë? â) Íàçîâèòå è ïîïûòàéòåñü êðàòêî ñôîðìóëèðîâàòü ôèçè÷åñêèé è ôèëîñîôñêèé ïðèíöèï, î êîòîðîì èäåò ðå÷ü â òåêñòå. 3. Äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé: ìàòåìàòèê, ôèçèê, èíæåíåð (íàâåðíîå, ïåðâûé â èñòîðèè ó÷åíûé-èíæåíåð). Îí æèë â îäíîé èç ñðåäèçåìíîìîðñêèõ ãðå÷åñêèõ êîëîíèé.  ìîëîäîñòè îí ìíîãî ïóòåøåñòâîâàë, ó÷èëñÿ â Àëåêñàíäðèè Åãèïåòñêîé, ðàáîòàë â Àëåêñàíäðèéñêîé áèáëèîòåêå. Áûë çíàêîì è âåë ïåðåïèñêó ñ ó÷åíûì, âïåðâûå â èñòîðèè èçìåðèâøèì #" ÊÂÀÍT 2013/¹3 äèàìåòð Çåìëè è ïðèäóìàâøèì «ðåøåòî» äëÿ ïðîñòûõ ÷èñåë. Âû÷èñëåíèå îáúåìà òåë è ïëîùàäåé ôèãóð, îöåíêà çíà÷åíèÿ ÷èñëà π , ðàñ÷åò öåíòðîâ òÿæåñòè ïëîñêèõ ôèãóð è ïðàâèëî ðû÷àãà, ãèäðîñòàòè÷åñêèå çàêîíû è ãèäðàâëè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, îïòè÷åñêèå òåîðåìû è óñòðîéñòâà, âîåííàÿ òåõíèêà è ñòðîèòåëüñòâî âîò äàëåêî íå ïîëíûé ïåðå÷åíü åãî ðàáîò. Î íåì ñëîæåíû ëåãåíäû, î âîçìîæíîñòè ðåàëèçàöèè íåêîòîðûõ åãî ëåãåíäàðíûõ êîíñòðóêöèé äî ñèõ ïîð èäóò ñïîðû. Îí ïðîæèë 75 ëåò è ïîãèá â 212 ãîäó äî í.ý. ïðè âçÿòèè åãî ðîäíîãî ãîðîäà ÷óæåñòðàííîé àðìèåé. Åãî èìåíåì íàçâàíû ìàòåìàòè÷åñêèå àêñèîìû, ôèçè÷åñêèå çàêîíû è òåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà, àñòåðîèä, ãîðíàÿ öåïü è êðàòåð íà Ëóíå, ïëîùàäü â åãî ðîäíîì ãîðîäå, óëèöû â äâóõ ãîðîäàõ Óêðàèíû, îäíîì ãîðîäå Ðîññèè è îäíîì ãîðîäå Íèäåðëàíäîâ. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? á) Ãäå íàõîäèòñÿ åãî ðîäíîé ãîðîä è êàê îí íàçûâàåòñÿ? â) Íàçîâèòå èìÿ ãðå÷åñêîãî ó÷åíîãî èç Àëåêñàíäðèè, î êîòîðîì óïîìèíàåòñÿ â òåêñòå. 4.  2012 ãîäó ìåæäóíàðîäíûì êîëëåêòèâîì ó÷åíûõ, ðàáîòàþùåì â êðóïíåéøåì íàó÷íîì öåíòðå ìèðà, áûëî îáúÿâëåíî, ÷òî îáíàðóæåíà ÷àñòèöà, êîòîðàÿ ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò áûòü ðàñïîçíàíà êàê ïîñëåäíÿÿ òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàííàÿ Ñòàíäàðòíîé òåîðèåé ÷àñòèöà. Âàæíîñòü ýòîãî îòêðûòèÿ â òîì, ÷òî, ïî ìíåíèþ ôèçèêîâòåîðåòèêîâ, ýòà ÷àñòèöà ó÷àñòâóåò â ôîðìèðîâàíèè òàêîãî âàæíîãî ñâîéñòâà ìàòåðèè, êàê ìàññà. à) Î êàêîé ÷àñòèöå èäåò ðå÷ü? á) Ãäå áûëè ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòû ïî ïîèñêó ýòîé ÷àñòèöû? 5. 14 îêòÿáðÿ 1967 ãîäà áûë çàïóùåí ñàìûé êðóïíûé â ÑÑÑÐ (à íà òîò ìîìåíò è â ìèðå) óñêîðèòåëü ïðîòîíîâ.  èññëåäîâàíèÿõ íà ýòîì óñêîðèòåëå îòêðûòû óíèêàëüíûå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ âûõîäîì íà íîâûé óðîâåíü ñòðîåíèÿ ìàòåðèè. Ýòîò óñêîðèòåëü, êðóïíåéøèé â Ðîññèè, ðàáîòàåò è â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Ãäå íàõîäèòñÿ ýòîò óñêðèòåëü? I ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 58 ÊËÀÑÑΠÏèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 56 êëàññû 1.  ñîðåâíîâàíèè ó÷àñòâîâàëè 40 ñòðåëêîâ. Ïåðâûé âûáèë 50 î÷êîâ, âòîðîé 70, òðåòèé ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå î÷êîâ ïåðâûõ äâóõ, ÷åòâåðòûé ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå î÷êîâ ïåðâûõ òðåõ. Êàæäûé ñëåäóþùèé âûáèë ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå î÷êîâ âñåõ ïðåäûäóùèõ. Ñêîëüêî î÷êîâ âûáèë 32-é ñòðåëîê? 2.  äåíü ðîæäåíèÿ Øðåêà åãî äåòè õîòÿò âûÿñíèòü, ñêîëüêî ëåò îòöó. Ôèîíà ãîâîðèò, ÷òî Øðåêó áîëüøå 31 ãîäà, à ìàã-íåóäà÷íèê Ðóìïåëüøòèëüöõåí óòâåðæäàåò, ÷òî áîëüøå 30 ëåò. Ñêîëüêî ëåò Øðåêó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îäèí èç íèõ îøèáñÿ (ëèáî Ôèîíà, ëèáî ìàã-íåóäà÷íèê Ðóìïåëüøòèëüöõåí)? 3. Èç ñâîèõ íîðîê îäíîâðåìåííî íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó âûñêî÷èëè 2 çàé÷îíêà. ×åðåç 3 ìèí îíè ñòîëêíóëèñü íîñ ê íîñó è, ïåðåïóãàâøèñü, áðîñèëèñü â îáðàòíûå ñòîðîíû ñ òàêèìè æå ñêîðîñòÿìè. ×åðåç 30 ñ ïîñëå âñòðå÷è çàé÷àòà îñòàíîâèëèñü, è ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áûëî 21 ì. Ñêîðîñòü îäíîãî çàé÷îíêà íà 6 ì/ìèí áîëüøå ñêîðîñòè äðóãîãî. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ñâîåé íîðêè îêàçàëñÿ áîëåå áûñòðûé çàé÷îíîê? 4. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, ñóììà öèôð êîòîðûõ ðàâíà 9? 5.  êîìíàòå ñòîÿò òðåõíîãèå òàáóðåòêè è ÷åòûðåõíîãèå ñòóëüÿ. Êîãäà íà âñå ýòè ñèäÿ÷èå ìåñòà óñåëèñü ëþäè, â êîìíàòå îêàçàëîñü 39 íîã. Ñêîëüêî â êîìíàòå òàáóðåòîê? 6. Íàéäèòå òàêèå äâà ÷èñëà, ÷òîáû èõ ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ îäíîãî íà äðóãîå áûëè ðàâíû ìåæäó ñîáîé. 78 êëàññû 1. Ïóñòü a + b = 8, a ⋅ b = 15 . Íàéäèòå, ÷åìó ðàâíà âåëè÷èíà a2 + a 3 + b2 + b3 . 2. Âîäèòåëü àâòîìàøèíû ãðóáî íàðóøèë ïðàâèëà äîðîæíîãî äâèæåíèÿ, ÷åìó ñâèäåòåëÿìè ñòàëè òðè ñòóäåíòà-ìàòåìàòèêà. Íîìåð ìàøèíû îíè íå çàïîìíèëè, íî ñîîáùèëè ñëåäóþùåå: 1) íîìåð áûë ÷åòûðåõçíà÷íûé; 2) äâå ïåðâûå öèôðû áûëè îäèíàêîâû; 3) äâå ïîñëåäíèå öèôðû òàêæå áûëè îäèíàêîâû; 4) ýòî ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî ÿâëÿëîñü òî÷íûì êâàäðàòîì. Ïîìîãèòå ñîòðóäíèêàì àâòîèíñïåêöèè ïîíÿòü ìàòåìàòèêîâ è îïðåäåëèòü íîìåð ìàøèíû. 3. Ñîáðàííûé ìåä çàïîëíÿåò íåñêîëüêî 50-ëèòðîâûõ áèäîíîâ. Åñëè åãî ðàçëèòü â 40-ëèòðîâûå áèäîíû, òî ïîíàäîáèòñÿ íà 5 áèäîíîâ áîëüøå è îäèí èç íèõ îñòàíåòñÿ íåïîëíûì. Åñëè ñîáðàííûé ìåä ðàçëèòü â 70-ëèòðîâûå áèäîíû, òî ïîíàäîáèòñÿ íà 4 áèäîíà ìåíüøå è îäèí èç íèõ òîæå îñòàíåòñÿ íåïîëíûì. Ñêîëüêî 50-ëèòðîâûõ áèäîíîâ çàïîëíÿåò ñîáðàííûé ìåä? 4. Íà äîñêå â ñòðî÷êó âûïèñàíû ïÿòü íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë a, b, c, d è e, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 2010. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ñóììû a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ d + d ⋅ e ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ñîñåäíèõ ÷èñåë. 5. Äâà âåëîñèïåäèñòà îäíîâðåìåííî ñòàðòîâàëè íà äâóõ ðàçíûõ, íî ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìîëèíåéíûõ äîðîãàõ. Îáà åäóò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 10 êì/÷ â ñòîðîíó ïåðåêðåñòêà, ãäå èõ äîðîãè ïåðåñåêàþòñÿ.  ìîìåíò ñòàðòà îäèí èç âåëîñèïåäèñòîâ íàõîäèëñÿ íà ðàññòîÿíèè 50 êì îò ïåðåêðåñòêà, à äðóãîé íà ðàññòîÿíèè 30 êì îò ïåðåêðåñòêà. ×åðåç ñêîëüêî ÷àñîâ ïîñëå ñòàðòà îáà âåëîñèïåäèñòà îêàæóòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò ïåðåêðåñòêà? 6. Èç ðàçáèâøåéñÿ àâòîðó÷êè íà êâàäðàòíûé êîâåð ðàçìåðîì 4 × 4 ì ïîïàëè 15 ÷åðíèëüíûõ áðûçã. Äîêàæèòå, ÷òî èç ýòîãî êîâðà ìîæíî âûðåçàòü ÷èñòûé êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 0,999 ì. (Áðûçãè ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷êàìè.) 7. Ãåíåðàë ïîñòðîèë ñîëäàò â êîëîííó ïî 4, íî ïðè ýòîì òîëüêî ñîëäàò Èâàíîâ îñòàëñÿ ëèøíèì. Òîãäà ãåíåðàë ïîñòðîèë ñîëäàò â êîëîííó ïî 5. È ñíîâà îäèí Èâàíîâ îñòàëñÿ ëèøíèì. Êîãäà æå è â êîëîííå ïî 6 îïÿòü òîëüêî îäèí Èâàíîâ îñòàëñÿ ëèøíèì, ãåíåðàë ïîñóëèë åìó íàðÿä âíå î÷åðåäè, ïîñëå ÷åãî â êîëîííå ïî 7 Èâàíîâ íàøåë ñåáå ìåñòî è íèêîãî ëèøíåãî íå îñòàëîñü. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ñîëäàò ìîãëî áûòü ó ãåíåðàëà? Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 56 êëàññû 1. Êàêîå ÷èñëî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 2, 6, 12, 20, 30, ñòîèò íà 12-ì ìåñòå? 2. Äàí ïðÿìîóãîëüíèê ñ ïëîùàäüþ, ðàâíîé 2400 ñì2 . Îäíà èç åãî ñòîðîí ðàâíà ñòîðîíå ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñ ïåðèìåòðîì 9 äì. Íà ñòîðîíå ïðÿìîóãîëüíèêà ïîñòðîåí äðóãîé ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ïåðèìåòðó êâàäðàòà ñ ïëîùàäüþ 36 äì2 . Íàéäèòå ïëîùàäü ïîëó÷èâøåãîñÿ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèòå ðàçíûå ñëó÷àè. 3. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, ñóììà öèôð êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà 5? ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 4. Èç Àñòðàõàíè âåçëè â Ìîñêâó 1000 òîíí àðáóçîâ, ïåðâîíà÷àëüíàÿ âëàæíîñòü êîòîðûõ ñîñòàâëÿëà 99%. Êîãäà èõ ïðèâåçëè â Ìîñêâó, îêàçàëîñü, ÷òî âëàæíîñòü óìåíüøèëàñü íà 1%, ò.å. ñòàëà 98%. Êàêîâ âåñ àðáóçîâ, ïðèáûâøèõ â Ìîñêâó? 5. Èìåþòñÿ ÷àøêà êîôå è áèäîí ìîëîêà. Ïåðåëèâàåì èç áèäîíà ÷àéíóþ ëîæêó ìîëîêà â ÷àøêó ñ êîôå, ïåðåìåøèâàåì è ïåðåëèâàåì èç ÷àøêè ÷àéíóþ ëîæêó ñîäåðæèìîãî îáðàòíî â áèäîí. ×åãî îêàçàëîñü áîëüøå: ìîëîêà â ÷àøêå èëè êîôå â áèäîíå? 6. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî n3 + 2n äåëèòñÿ íà 3 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n. 7. Äàíî øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî abcdef , ïðè÷åì abc − def äåëèòñÿ íà 7. Âåðíî ëè, ÷òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 7? 78 êëàññû 1. Îáîçíà÷èì äâå êàêèå-íèáóäü öèôðû áóêâàìè x è a. Äåëèòñÿ ëè øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî xaxaxa íà 7 áåç îñòàòêà? 2. Ìàëûø èç Öâåòî÷íîãî ãîðîäà óìååò îòêëàäûâàòü óãîë âåëè÷èíîé 19° . Ñìîæåò ëè îí îòëîæèòü óãîë â 1° ? 3. Ñóììà äâóõ ÷èñåë ðàâíà 480. Åñëè ó ïåðâîãî ÷èñëà çà÷åðêíóòü ïîñëåäíþþ öèôðó, òî ïîëó÷èòñÿ âòîðîå ÷èñëî, äåëåííîå íà 7. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. 4. Ïàññàæèð ìåòðî áåæèò âíèç ïî ýñêàëàòîðó, èäóùåìó âíèç, è ñ÷èòàåò ñòóïåíüêè. Ïðîáåæàâ âåñü ýñêàëàòîð, îí íàñ÷èòàë 30 ñòóïåíåê. Ïðîäåëàâ òî æå ñàìîå íà ýñêàëàòîðå, èäóùåì ââåðõ, îí íàñ÷èòàë 90 ñòóïåíåê. Ñêîëüêî ñòóïåíåê íà íåïîäâèæíîì ýñêàëàòîðå? ## 5. Íà øêîëüíîì âå÷åðå äåâî÷êè è ìàëü÷èêè íåñêîëüêî ðàç òàíöåâàëè ïàðàìè. Êàæäàÿ äåâî÷êà òàíöåâàëà 4 ðàçà, à êàæäûé ìàëü÷èê 3 ðàçà. Âñåãî íà âå÷åðå áûëî 112 øêîëüíèêîâ. ( êàæäîì òàíöå ó÷àñòâîâàëè âñå.) Ñêîëüêî áûëî äåâî÷åê? 6. Äâà ëûæíèêà øëè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 6 êì/÷ íà ðàññòîÿíèè 200 ìåòðîâ äðóã îò äðóãà. Ïîòîì îíè ñòàëè ïîäíèìàòüñÿ â ãîðêó, ãäå èõ ñêîðîñòü óïàëà äî 4 êì/÷. Çàòåì îáà ëûæíèêà ñúåõàëè ñ ãîðêè ñî ñêîðîñòüþ 7 êì/÷ è ïîïàëè â ãëóáîêèé ñíåã, ãäå èõ ñêîðîñòü áûëà âñåãî 3 êì/÷. Êàêèì ñòàëî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè? 7. Äàí ïðÿìîóãîëüíèê ABCD. Êàê ðàçðåçàòü åãî íà íàèìåíüøåå ÷èñëî ÷àñòåé òàê, ÷òîáû èç íèõ ìîæíî áûëî ñëîæèòü íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê? 8.  âåðøèíàõ íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ ïî ðàçìåðó ïðàâèëüíûõ êàðòîííûõ òðåóãîëüíèêîâ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3 (â êàæäîì òðåóãîëüíèêå âñòðå÷àþòñÿ âñå òðè ÷èñëà). Òðåóãîëüíèêè ñëîæèëè â ñòîïêó òàê, ÷òî èõ âåðøèíû ñîâïàëè. Ìîãóò ëè ñóììû ÷èñåë, íàïèñàííûõ â êàæäîé âåðøèíå ñòîïêè, áûòü ðàâíû: à) 2013; á) 2012? 9. Ñêàçàë Êàùåé Áåññìåðòíûé Èâàíó Öàðåâè÷ó: «Óòðîì ÿâèøüñÿ ïðåäî ìíîé. ß çàäóìàþ òðè öèôðû, a, b è ñ, à òû íàçîâåøü ìíå òðè ÷èñëà, õ, ó è z. ß âûñëóøàþ òåáÿ è ñêàæó òåáå, ÷åìó ðàâíî âûðàæåíèå ax + by + cz. Ïîñëå ýòîãî òû äîëæåí óãàäàòü, êàêèå öèôðû à, b è ñ ÿ çàäóìàë. Íå óãàäàåøü ãîëîâà ñ ïëå÷. Ñòóïàé». Ìîæíî ëè ïîìî÷ü Èâàíó Öàðåâè÷ó ñîõðàíèòü ãîëîâó? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ, À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, Æ.Ðàááîò, Ë.Øëÿïî÷íèê Ðåãèîíàëüíàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå  àïðåëå 2013 ãîäà Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé Èðêóòñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò ïðîâåë î÷åðåäíóþ Ðåãèîíàëüíóþ îëèìïèàäó äëÿ ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ Ñèáèðè è Äàëüíåãî âîñòîêà.  îëèìïèàäå ó÷àñòâîâàëè êîìàíäû ñåìè ðåãèîíàëüíûõ âóçîâ è (âíå êîíêóðñà) ìîñêîâñêàÿ êîìàíäà Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èìåíè È.Ì.Ãóáêèíà. Çàäà÷è ïðîøåäøåé îëèìïèàäû îòëè÷àþòñÿ íåñòàíäàðòíûìè ôîðìóëèðîâêàìè. Âíèìàíèþ ÷èòàòåëåé ïðåäëàãàþòñÿ íåêîòîðûå èç ýòèõ çàäà÷. Çàäà÷è îëèìïèàäû 1. Ñòîëêíîâåíèÿ ãàëàêòèê âî Âñåëåííîé ïðîèñõîäÿò î÷åíü ÷àñòî. Àñòðîíîìû ñõîäÿòñÿ íà òîì, ÷òî ðàíî èëè ïîçäíî Ìëå÷íûé Ïóòü ( m1 = 6 ⋅ 1042 êã) ñòîëêíåòñÿ ñî ñâîåé ñîñåäêîé Òóìàííîñòüþ Àíäðîìåäû ( m2 = 9 ⋅ 1042 êã). Ñêîðîñòü ñáëèæåíèÿ ãàëàêòèê è ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíû v0 = 100 êì ñ è l = 2,5 ìëí ñâ.ëåò ≈ 2,4 ⋅ 1019 êì ñîîòâåòñòâåííî. Îöåíèòå âðåìÿ äî èõ ñòîëêíîâåíèÿ, íå ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ãàëàêòèê è ñ÷èòàÿ, ïðèáëèæåííî, ÷òî ìàññû ãàëàêòèê îäèíàêîâû è ðàâíû M = 7 ⋅ 1042 êã . Ïîñòîÿííàÿ âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ G = 6,67 ⋅ 10−11 Í ⋅ ì2 êã2 . (7 áàëëîâ) Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñïðàâêà: ∫ l − 2x dx = x x (l − 2x ) − l l − 2x arctg + const . 2x 2 2. Âåñíîé ïåíñèîíåð Èâàíîâ êàê îáû÷íî, ñ âûñîòû ïòè÷üåãî ïîëåòà h = 12 ì íàáëþäàë çà æèçíüþ ñòðàíû. Âäðóã ñ êðûøè äîìà îòîðâàëàñü ñîñóëüêà è ïðîëåòåëà ìèìî íåãî çà âðåìÿ ∆t = 0,2 ñ. Âûñîòà îêíà L = 1,5 ì. Ñ êàêîé âûñîòû ñîñóëüêè óãðîæàþùå íàâèñàþò íàä ïðîõîæèìè? (4 áàëëà) 3. Íèíäçþöó ÿïîíñêîå áîåâîå èñêóññòâî. Øèðîêî èñïîëüçîâàëîñü â ñèñòåìå ñòðàòåãè÷åñêîãî øïèîíàæà è âîéñêîâîé ðàçâåäêè ÕV âåêà.  àòàêå íèíäçÿ (ëàçóò÷èêè) èíîãäà ïðèìåíÿëè òÿæåëûå ïëîñêèå ìåòàëëè÷åñêèå çâåçäî÷êè ìàññîé M, èìåþùèå ôîðìó êâàäðàòíîé ïëàñòèíû ñî ñòîðîíîé d ñ ðàâíîñòîðîííèì òðåóãîëüíûì øèïîì íà êàæäîé ñòîðîíå (ðèñ.1). Ïîëó÷èòå, íå èñïîëüçóÿ èíòåãðèðîâàíèå, âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè Iz çâåçäî÷êè íèíäçÿ îòíîñèòåëüíî îñè z, ïðîõîäÿùåé ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëàñòèíå ÷åðåç åå Ðèñ. 1 öåíòð. Óêàçàíèå: ïðè ïîìîùè òåîðåìû Øòåéíåðà ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êâàäðàòíîé è ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïëàñòèí îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé ïîïåðå÷íîé îñè. (7 áàëëîâ) 4. Ïî÷åìó ïðè âàðêå ñîñèñêè ëîïàþòñÿ âäîëü, à íå ïîïåðåê? (4 áàëëà) #$ ÊÂÀÍT 2013/¹3 5. ßôôî îäèí èç ãëàâíûõ äðåâíèõ ïîðòîâ Èçðàèëÿ (÷åðåç íåãî ïðîõîäèë çíàìåíèòûé Ìîðñêîé ïóòü Åãèïåò, Ñèðèÿ, Àíàòîëèÿ è Ìåñîïîòàìèÿ). Äîñòîïðèìå÷àòåëüíîñòü ßôôî âèñÿùåå àïåëüñèíîâîå äåðåâî (ðèñ.2). Äåðåâî ðàñòåò ñ 1993 ãîäà â ãîðøêå-ÿéöå, êîòîðîå (èç-çà íåõâàòêè çåìëè) ïîäâåøåíî òðîñàìè ê äîìàì. Äåðåâî æèÐèñ. 2 âåò è ïëîäîíîñèò. Äëèíà êàæäîãî òðîñà l = 7 ì, ïëîùàäü ñå÷åíèÿ S = 0,6 ñì2 . Ïîä âåñîì äåðåâà òðîñû ðàñòÿíóòû íà ∆l = 3 ìì , à óãëû èõ íàêëîíà ïî÷òè îäèíàêîâû è ðàâíû α = 45° . Êîýôôèöèåíò óïðóãîñòè ñòàëè (ìîäóëü Þíãà) E = 216 Ãïà. Îïðåäåëèòå, ñêîëüêî àïåëüñèíîâ ñîçðåëî íà äåðåâå, åñëè ÷àñòîòà åãî ïîêà÷èâàíèé ïî âåðòèêàëè óìåíüøèëàñü íà 0,1%. Ìàññà àïåëüñèíà m ≈ 150 ã . (4 áàëëà) 6. Âèííè-Ïóõ ïîäóìàë: «Ýòî æ-æ-æ íåñïðîñòà!» è ðåøèë, êàê îí ñàì ãîâîðèò, «ìîäåðíåçèðîâàòü» äóïëî ñ ï÷åëàìè, ïîäêëþ÷èâ ê íåìó ëàìïî÷êó. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ïèòàíèå äëÿ ëàìïî÷êè, îí ñíîâà ïîäóìàë: «Ðàç ï÷åëà æóææèò, çíà÷èò, îíà çàðÿæ-æåíà èç-çà òðåíèÿ î âîçäóõ». Ïîñëå òàêîé óìíîé ìûñëè îí ñìåëî ïîìåñòèë äâà êîíòàêòà îò èäóùèõ îò ëàìïû ïðîâîäêîâ â ðîé ï÷åë, æóææàùèõ âîêðóã ìåäà. Îäèí êîíòàêò îí ïîìåñòèë â öåíòð, à âòîðîé íà êðàé ðîÿ ðàäèóñîì R. Ñîâå ïîðó÷èëè íàðèñîâàòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëà ϕ (r ) âíóòðè ðîÿ ï÷åë îò ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó ïðîèçâîëüíîé òî÷êîé âíóòðè ðîÿ è åãî öåíòðîì. Óìíûé Êðîëèê, ïî ïðîñüáå Ïóõà, ðàññ÷èòàë ∆ϕ íàïðÿæåíèå íà ëàìïî÷êå. Èçâåñòíî, ÷òî Ïóõ óáåäèë Êðîëèêà â òîì, ÷òî ï÷åë î÷åíü ìíîãî, èõ êîíöåíòðàöèÿ n = a/r, ãäå à ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, à çàðÿä îäíîé ï÷åëû q. Ïðîâåðüòå ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû. È åùå Ïóõ ïðîñèë ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî òàì âñåãî ï÷åë. (7 áàëëîâ) 7.  òðèäåâÿòîì öàðñòâå, òðèäåñÿòîì ãîñóäàðñòâå æèë-áûë öàðü. Ðåøèë öàðü æåíèòüñÿ ïîçâàë öàðü Áàáó-ßãó ïîìî÷ü åìó ñòàòü ìîëîæå è ÷òîáû ëûñèíà èñ÷åçëà. Îäíàêî òðàâêè äà ïîãàíêè íå ïîìîãàëè. Ïðèêàçàë òîãäà öàðü Èâàíó-äóðàêó ïðèäóìàòü, êàê áûòü. À Èâàí áûë íå ñîâñåì-òî óæ äóðàê ïðåäëîæèë ïðîâåñòè ïî âåðõíåìó êðàþ ñåðåáðÿíîé êîðîíû öàðÿ (ðèñ.3) ìåäíûé ïðîâîä ñ èçîëÿöèåé, à ïî íåìó ïóñòèòü òîê, äëÿ «ðîñòà âîëîñ ïîä äåéñòâèåì ìàãíèò- Ðèñ. 3 íîãî ïîëÿ». À åùå, äëÿ óáåäèòåëüíîñòè, Èâàí ðàññ÷èòàë çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàéîíå ìàêóøêè öàðÿ (ò.å. â òî÷êå, ëåæàùåé â îäíîé ïëîñêîñòè ñ øåñòüþ âåðøèíàìè «çóáîâ» êîðîíû è ðàâíîóäàëåííîé îò íèõ). Ïîâòîðèòå ðàñ÷åò è ñêàæèòå, âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèëîñü áû ìàãíèòíîå ïîëå, åñëè áû êîíòóð ñ òàêèì æå òîêîì èìåë âèä êðóãîâîãî âèòêà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òå æå âåðøèíû. (7 áàëëîâ) 8. Àòîì ìþîíèÿ (ðèñ.4) ñîñòîèò èç íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà è îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîãî ìþîíà ìàññîé Ðèñ. 4 mµ = 206me , ãäå me ìàññà ýëåêòðîíà, è çàðÿäîì, ðàâíûì çàðÿäó ýëåêòðîíà e. Îïðåäåëèòå, âî ñêîëüêî ðàç àòîì ìþîíèÿ ìåíüøå àòîìà âîäîðîäà. (6 áàëëîâ) Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Å.Ëèïîâ÷åíêî ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ Â íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå â ñîñòàâå Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÓÍÖ ÍÃÓ) ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî è õèìèêî-áèîëîãè÷åñêîãî ïðîôèëÿ óæå áîëåå 45 ëåò ðàáîòàåò Çàî÷íàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà (ÇØ) äëÿ ó÷àùèõñÿ 511 êëàññîâ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë. Ó÷àùèåñÿ ÇØ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå âûïóñêíèêîâ Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ. Ïðåïîäàâàòåëè îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé ìîãóò ðàáîòàòü ïî ïðîãðàììàì Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ â ôîðìå ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé ñ ãðóïïîé ó÷àùèõñÿ. Åæåãîäíî ëó÷øèå ó÷åíèêè 9 è 10 êëàññîâ ÇØ ïðèãëàøàþòñÿ â Ëåòíþþ øêîëó, êîòîðàÿ ïðîâîäèòñÿ â íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå ñ 1 ïî 23 àâãóñòà, äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå â ÑÓÍÖ ÍÃÓ.  ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðèíèìàþòñÿ âñå æåëàþùèå, íåçàâèñèìî îò âîçðàñòà. Ïðèåì â øêîëó âåäåòñÿ êðóãëîãîäè÷íî. ×òîáû ñòàòü ó÷åíèêîì ÇØ, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü çàÿâëåíèå, óêàçàâ êëàññ è îòäåëåíèÿ, íà êîòîðûõ âû õîòèòå ó÷èòüñÿ, ñâîè ôàìèëèþ, èìÿ è îò÷åñòâî (ïå÷àòíûìè áóêâàìè), ñâîé ïîä- ðîáíûé àäðåñ ñ èíäåêñîì è âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå. Çàäàíèå âûïîëíÿåòñÿ â îáû÷íîé ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè è âûñûëàåòñÿ ïðîñòîé èëè çàêàçíîé áàíäåðîëüþ. Ìîæíî ïðèñûëàòü ðàáîòû è ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå. Òðåáîâàíèÿ ê îôîðìëåíèþ ðàáîò â ýëåêòðîííîì âèäå è ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî íàéòè íà ñàéòå Çàî÷íîé øêîëû: http://zfmsh.nsu.ru Íàø àäðåñ: 630090 Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 11, Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ Òåëåôîí/ôàêñ: (383) 363-4066 E-mail: [email protected] èëè [email protected] ÏÅÐÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÍÀ 2013/14 Ó×ÅÁÍÛÉ ÃÎÄ Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 5 êëàññ 1.  ïðÿìîóãîëüíèêå ñóììà äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà 9,5 ñì, à ñóììà òðåõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà 7,5 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. 2. Àâòîìîáèëü îò ïóíêòà À äî ïóíêòà Á, äâèãàÿñü ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, åäåò 25 ìèíóò. Åñëè áû #% ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß îí åõàë ñî ñêîðîñòüþ íà 3 êì/÷ áîëüøå, òî âåñü ïóòü ïðîåõàë áû çà 24 ìèíóòû. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò ïóíêòà À äî ïóíêòà Á. 3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ íîìåðîâ, çàïèñûâàåìûõ öèôðàìè îò 0 äî 9 âêëþ÷èòåëüíî, ó êîòîðûõ ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ öèôðû íå ñîâïàäàþò. 4. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 60 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 − 2 − (3 − ... − (100 − x )... ) = 100 x . 6. Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî âûïèñàëè ïîäðÿä è íàøëè ñóììó âñåõ öèôð. Íàéäèòå, êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà 9. ( ) 6 êëàññ ( ) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 − 2 − (3 − ... − (1000 − x )... ) = = 1000x. 2. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 5 êëàññà. 3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ íîìåðîâ, çàïèñûâàåìûõ öèôðàìè îò 0 äî 9 âêëþ÷èòåëüíî, ó êîòîðûõ ñðåäíÿÿ öèôðà íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíîé èç êðàéíèõ. 4. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 90 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 5. Íàéäèòå, êàê íóæíî ðàçðåçàòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 8 ñì è 4,5 ñì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñîñòàâèòü êâàäðàò. 6. Äîêàæèòå, ÷òî íà êëåò÷àòîé áóìàãå òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â óçëàõ ñåòêè íå ìîæåò èìåòü ïëîùàäü, êîòîðàÿ â åäèíèöàõ èçìåðåíèÿ ïëîùàäè, ðàâíûõ ïëîùàäè îäíîé êëåòêè, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 4. 7 êëàññ ( ) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + 1 : 1 + 1 : (1 + 1 : ( x + 2013 )) = 2 = (1,2 ) . 2.  ñòîÿ÷åé âîäå ñêîðîñòü òåïëîõîäà 35 êì/÷, à ñêîðîñòü êàòåðà 55 êì/÷. Ïî ðåêå èç ïóíêòà À â ïóíêò Á âíèç ïî òå÷åíèþ òåïëîõîä èäåò 40 ìèíóò, à êàòåð 30 ìèíóò. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò ïóíêòà À äî ïóíêòà Á. 3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 7. 4.  êâàäðàòå ABCD òî÷êà M íà ñòîðîíå AB è òî÷êà N íà äèàãîíàëè AC ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî AM : MB = 3 : 4, AN : NC = 5 : 2. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë DNM ïðÿìîé. 5. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 100 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 6. Ñì. çàäà÷ó 6 äëÿ 6 êëàññà. 8 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 7 êëàññà. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x − 1 + x − 3 + x − 7 = 6 . 3.  ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD òî÷êè M è N ñåðåäèíû ñòîðîí AB è CD ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç òî÷êó M ïðîâîäèòñÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ äèàãîíàëü ÀÑ â òî÷êå Ð è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû ÂÑ â òî÷êå Q, ïðè÷åì òî÷êà  ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè Ñ è Q. Äîêàæèòå, ÷òî ∠MNP = ∠MNQ . 4. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ( ) 2 −1 100 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå m + 1 − m , ãäå m íàòóðàëüíîå ÷èñëî. 5. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáûõ 23 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü ðîâíî 12, ñóììà êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 12. 6. Íàéäèòå, êàê íóæíî ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 20 ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ÷òîáû èç ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé ìîæíî áûëî ñîñòàâèòü 5 ðàâíûõ êâàäðàòîâ. 9 êëàññ 1. Íàéäèòå, ïðè êàêîì íàèìåíüøåì çíà÷åíèè a óðàâíåíèå x − 1 + x − 2 + x − 3 + ... + x − 9 = a èìååò ðåøåíèÿ. 2. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ( ) 3 +1 10 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå m + 1024 + m , ãäå m íàòóðàëüíîå ÷èñëî. 3. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 20154 + 4 íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. 4. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B. ×åðåç òî÷êó B ïðîâîäèòñÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îêðóæíîñòè â òî÷êàõ M è N òàê, ÷òî AB ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé â òðåóãîëüíèêå AMN. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå îòðåçêîâ BM è BN ðàâíî îòíîøåíèþ ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé. 5. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ íîìåðîâ, çàïèñûâàåìûõ öèôðàìè îò 0 äî 9 âêëþ÷èòåëüíî, ó êîòîðûõ ñóììà öèôð äåëèòñÿ íà 3. 6. Ñì. çàäà÷ó 6 äëÿ 8 êëàññà. 10 êëàññ 1. Ïî äîðîæêå ñòàäèîíà äëèíîé 400 ì èç îäíîé òî÷êè îäíîâðåìåííî â îäíîì íàïðàâëåíèè âûáåãàþò òðè ñïîðòñìåíà ñî ñêîðîñòÿìè 12 êì/÷, 15 êì/÷ è 17 êì/÷. Íàéäèòå, ÷åðåç êàêîå íàèìåíüøåå âðåìÿ ñïîðòñìåíû ïîðàâíÿþòñÿ. 2. Ñì. çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà. 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4 x + 4 386 − x = 6 . 4. Áèññåêòðèñû äâóõ óãëîâ ïåðïåíäèêóëÿðíû, à èõ ñòîðîíû ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòûðåõ òî÷êàõ. Äîêàæèòå, ÷òî ýòè òî÷êè ðàñïîëîæåíû íà îäíîé îêðóæíîñòè. 5. Íàéäèòå, íà êàêóþ íàèáîëüøóþ ñòåïåíü ÷èñëà 3 äåëèòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî. 6. Íàéäèòå, êàê íóæíî ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 60 ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ÷òîáû èç ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé ìîæíî áûëî ñîñòàâèòü 10 ðàâíûõ êâàäðàòîâ. 11 êëàññ 1.  êâàäðàòå ABCD ñî ñòîðîíîé 1 òî÷êè M, N, K è L ñåðåäèíû ñòîðîí AB, BC, CD è DA ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå ïëîùàäü êâàäðàòà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ AN, BK, CL è DM. 2. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 10000 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 3. Ñôåðà êàñàåòñÿ ðåáåð AB, BC, CD è DA ïèðàìèäû â òî÷êàõ M, N, K è L. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè M, N, K è L ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñêîñòè. 2 2 2 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + x + 5 log 2 x = (2x + 1) log 2 x . 5. Ñì. çàäà÷ó 6 äëÿ 10 êëàññà. 6. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êàæäîé ïðÿìîé íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìîæíî íàéòè ïàðàëëåëüíóþ åé ïðÿìóþ, êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè ñ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè. Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå ÔÈÇÈÊÀ 7 êëàññ 1. Ïàññàæèð ïîåçäà ñìîòðèò íà âàãîíû âñòðå÷íîãî ïîåçäà.  ìîìåíò, êîãäà ïîñëåäíèé âàãîí âñòðå÷íîãî ïîåçäà ïðîøåë ìèìî åãî âàãîíà, ïàññàæèð îùóòèë (ïî âèäó èç åãî îêíà), ÷òî äâèæåíèå åãî âàãîíà ðåçêî çàìåäëèëîñü. Ïî÷åìó? Îáúÿñíèòå ïîäðîáíåé. 2. Îïðåäåëèòå âûñîòó äîìà, åñëè äëèíà åãî òåíè ðàâíà L, à äëèíà òåíè îò âåðòèêàëüíîãî ñòîëáà âûñîòîé h ðàâíà l. #& ÊÂÀÍT 2013/¹3 3. Ïî÷åìó ïàäàþùèå âåðòèêàëüíî äîæäåâûå êàïëè â áåçâåòðåííóþ ïîãîäó îñòàâëÿþò íàêëîííûå ïðÿìûå ïîëîñû íà ñòåêëàõ ðàâíîìåðíî äâèæóùåãîñÿ âàãîíà? 4. Ìóõà ëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ u ìåæäó äâóìÿ áàðàíàìè, êîòîðûå õîòÿò ñòîëêíóòüñÿ ëáàìè. Îïðåäåëèòå ïóòü ìóõè äî ñòîëêíîâåíèÿ áàðàíîâ, åñëè ñêîðîñòè áàðàíîâ v, à íà÷àëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè L. 5. Èçìåðüòå ëèíåéêîé äëèíó, øèðèíó è âûñîòó òâåðäîé êîðîáêè, íàïðèìåð èç-ïîä îáóâè. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü êàæäîé ïîâåðõíîñòè è îáúåì êîðîáêè. Îöåíèòå îøèáêó êàæäîãî èç ïðîâåäåííûõ âûøå èçìåðåíèé. 6. Èçìåðüòå äèàìåòð öâåòíîãî êàðàíäàøà èç íàáîðà êàðàíäàøåé ñ ïîìîùüþ îáû÷íîé ëèíåéêè ñ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé îøèáêîé. 4. Èìååòñÿ áóõòà ïðîâîëîêè è äèýëåêòðè÷åñêèé ùèò, íà êîòîðîì ñìîíòèðîâàíû òðè êëåììû, ðàñïîëîæåííûå â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ.3). Ñîïðîòèâëåíèå ïðÿìîãî îòðåçêà ïðîâîëîêè ìåæ- Ðèñ. 3 äó äâóìÿ êëåììàìè ðàâíî R. Ìîæíî ëè, ïîäêëþ÷àÿ ê êëåììàì ðàçíîå êîëè÷åñòâî ïðÿìûõ îòðåçêîâ ïðîâîëîêè, ïîëó÷èòü ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó êëåììàìè ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì (1 5 ) R, (2 5 ) R, (3 5 ) R è (4 5 ) R ? Êàê ýòî ñäåëàòü? 8 êëàññ 10 êëàññ 1. Îöåíèòå ñèëó äàâëåíèÿ âîäû íà ïëîòèíó ÃÝÑ, åñëè åå äëèíà L = 1 êì, à âûñîòà Í = 100 ì. 2. Òåëî â âîäå âåñèò â òðè ðàçà ìåíüøå, ÷åì â âîçäóõå. ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü òåëà? 3. Êàòåð, äâèãàÿñü ïî òå÷åíèþ ðåêè èç ïóíêòà À â ïóíêò Á, ïðîøåë âåñü ïóòü çà âðåìÿ t1 , à äâèãàÿñü ïðîòèâ òå÷åíèÿ, çà âðåìÿ t2 . Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè s. Íàéäèòå ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè. 4. Äâà ïîåçäà äëèíîé L1 = 150 ì è L2 = 100 ì äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè v1 = 10 ì/ñ è v2 = = 15 ì/ñ.  òå÷åíèå êàêîãî âðåìåíè ïðîõîäèò ïåðâûé ïîåçä ïåðåä îêíîì âòîðîãî? 5. Òåëî ìàññîé m, óïàâøåå ñ íåêîòîðîé âûñîòû, ïðèîáðåëî ñêîðîñòü v. Ñ êàêîé âûñîòû óïàëî òåëî? Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïîäíÿòü òåëî íà ýòó âûñîòó? 6. Øòàíãèñò ïîäíèìàåò øòàíãó ìàññîé m = 140 êã íà âûñîòó Í = 0,8 ì çà âðåìÿ t = 0,4 ñ. Êàêóþ ìîùíîñòü îí ðàçâèâàåò? 1. Íà ðèñóíêå 4 èçîáðàæåíà êàðòà. Êðàñíàÿ ëèíèÿ íà êàðòå äîðîãà. Ïî äîðîãå äâèæåòñÿ àâòîáóñ.  ìîìåíò âðåìåíè t1 = 12 ÷ 30 ìèí îí íàõîäèëñÿ â òî÷êå A, à ÷åðåç äâàäöàòü ìèíóò â òî÷êå B. Òóðèñò øåë ïî ïðÿìîé òðîïèíêå, èçîáðàæåííîé ñèíåé ëèíèåé. Îí íàõîäèëñÿ â òî÷êå A1 , êîãäà ÷àñû ïîêàçûâàëè âðåìÿ t3 = = 8 ÷, è â òî÷êå B1 â 10 ÷. Ñêîëüêî âðåìåíè òóðèñò áóäåò íà îáî÷èíå äîðîãè äîæèäàòüñÿ Ðèñ. 4 àâòîáóñà? 2. Äâà âñòðå÷íûõ ïîåçäà îäèíàêîâîé äëèíû L äâèãàëèñü, ðàçãîíÿÿñü ñ îäíèì è òåì æå ïî ìîäóëþ óñêîðåíèåì.  ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà âñòðåòèëèñü ãîëîâû ïîåçäîâ, èõ ñêîðîñòè áûëè v1 è v2 . Îïðåäåëèòå ñêîðîñòè ïîåçäîâ, êîãäà ðàçîøëèñü èõ ïîñëåäíèå âàãîíû, åñëè ýòî ïðîèçîøëî íà ðàññòîÿíèè L1 îò ìåñòà âñòðå÷è â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïåðâîãî ïîåçäà. 3. Íà âåñàõ ñòîèò ÷àøêà (ðèñ.5).  ÷àøêå ïëàâàåò, ïîãðóçèâøèñü íà 3/4 â âîäó, äåðåâÿííûé áðóñîê êóáè÷åñêîé ôîðìû. Âåñû ïîêàçûâàþò P1 . Ïîñëå òîãî êàê áðóñîê, ïðèëîæèâ íåêîòîðóþ ñèëó, óòîïèëè, ïîêàçàíèÿ âåñîâ ñòàëè P2 . Êîãäà áðóñîê àêêóðàòíî âûíóëè, âåñû ñòàëè ïîêàçûâàòü P3 . Êàêàÿ ìàññà âîäû âûëèëàñü èç ÷àøêè? 4. Ðåøèòå çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà. 9 êëàññ 1. Èç äåðåâíè Ïðîñòîêâàøèíî ïî îäíîé äîðîãå îäíîâðåìåííî â îäíîì íàïðàâëåíèè îòïðàâëÿþòñÿ Êîò Ìàòðîñêèí è Äÿäÿ Ôåäîð. Äÿäÿ Ôåäîð èäåò ïåøêîì, à Ìàòðîñêèí êàòèò íà âåëîñèïåäå. ×åðåç âðåìÿ t Ìàòðîñêèí äîãîíÿåò Ôåäîðà. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ äâèãàëñÿ Ìàòðîñêèí, åñëè îí åõàë â ÷åòûðå ðàçà áûñòðåå Ôåäîðà, à äîðîãà áûëà êðóãîâîé è èìåëà ðàäèóñ R? 2. Øàðèê ïðèêðåïëåí ê íèòêå. Åñëè çà íèòêó òÿíóòü ââåðõ ñ ñèëîé F1 , îí ïëàâàåò, íàïîëîâèíó ïîãðóçèâøèñü â âîäó (ðèñ.1). Äëÿ òîãî ÷òîáû øàðèê óòîíóë, íèòêó íóæíî òÿíóòü âíèç ñ ñèëîé F2 . Îïðåäåëèòå ìàññó øàðèêà. 3. Îñòàíîâèâøèñü íà íî÷ëåã, òóðèñò ðàçâåë êîñòåð è ïîäâåñèë íàä êîñòðîì êîòåëîê ñî ñíåãîì. Ïîñëå òîãî êàê ñíåã ðàñòàÿë, êîòåëîê Ðèñ. 1 îêàçàëñÿ íåïîëíûì, è òóðèñò áðîñèë â íåãî íîâóþ ïîðöèþ ñíåãà. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû â êîòåëêå. Âî ñêîëüêî ðàç íîâàÿ ïîðöèÿ ñíåãà óâåëè÷èëà êîëè÷åñòâî âîäû â êîòåëêå, åñëè îíà áûëà äîáàâëåíà â ìîìåíò âðåìåíè t2 ? Îöåíèòå òåìïåðàòóðó ñíåãà, ñ÷èòàÿ òåïëîåìêîñòè ñíåãà è âîäû îäèíàÐèñ. 2 êîâûìè. Ðèñ. 5 Ðèñ. 6 5. Êîâðèê ìàññîé m1 è íåâåñîìûé áëîê íàõîäÿòñÿ íà ãëàäêîì ñòîëå (ðèñ.6). Íà êîâðèêå ëåæàò äâà áðóñêà ìàññàìè m2 è m3 , ñâÿçàííûå ïåðåáðîøåííîé ÷åðåç áëîê íåâåñîìîé íèòüþ. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé ïðèëîæåííîé ê áëîêó ñèëå F îáà áðóñêà áóäóò ñêîëüçèòü ïî êîâðèêó? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è êîâðèêîì µ . Òðåíèå ìåæäó îñòàëüíûìè ïðåäìåòàìè îòñóòñòâóåò. ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, 11 êëàññ 1. Ðåøèòå çàäà÷ó 1 äëÿ 10 êëàññà. 2. Äâå îäèíàêîâûå çàðÿæåííûå áóñèíêè ìàññîé m êàæäàÿ íàíèçàíû íà êîëüöî èç ëåãêîé íèòè. Íèòü ïîäâåøåíà, è áóñèíêè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ îáðàçóþò ñ òî÷êîé ïîäâåñà ïðàâèëüíûé òðåÐèñ. 7 óãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a (ðèñ.7). Îïðåäåëèòå çàðÿä áóñèíîê. 3.  ïðîâîëî÷íîì êâàäðàòå äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ñîåäèíèëè îòðåçêîì òîé æå ñàìîé ïðîâîëîêè, èç êîòîðîé ñäåëàí êâàäðàò. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ñîïðîòèâëåíèé ìåæäó òî÷êàìè A è B ïðè äâóõ ðàçíûõ ñïîñîáàõ ñîåäèíåíèÿ (ðèñ.8). 4. Ãåðìåòè÷íûé áàê ðàçäåëåí ãîðèçîíòàëüÐèñ. 8 íîé ïåðåãîðîäêîé íà #' ÐÅØÅÍÈß äâå ÷àñòè: íèæíÿÿ èìååò âûñîòó h, à âåðõíÿÿ 2h (ðèñ.9). Âåðõíÿÿ ñåêöèÿ áàêà íàïîëîâèíó çàïîëíåíà æèäêîñòüþ. Ñâîáîäíûå îáúåìû áàêà çàïîëíåíû âîçäóõîì ñ äàâëåíèåì p.  ïåðåãî- Ðèñ. 9 ðîäêå îòêðûëàñü òå÷ü ïîëîâèíà æèäêîñòè ïðîñî÷èëàñü â íèæíèé îòñåê, ïîñëå ÷åãî ïðîöåññ óòå÷êè îñòàíîâèëñÿ. Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü æèäêîñòè. 5. Äâà îäèíàêîâûõ áðóñêà ëåæàò äðóã çà äðóãîì íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå (ðèñ.10). Ñ ëåâîãî êðàÿ ëåâîãî áðóñêà ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v ïóñêàþò øàéáó. Îíà ñêîëüçèò ïî ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî áðóñêà, ïåðåõîäèò íà âòî- Ðèñ. 10 ðîé è ïðåêðàùàåò ñêîëüæåíèå ïîñðåäèíå âòîðîãî áðóñêà. Òðåíèå áðóñêîâ î ñòîë îòñóòñòâóåò. Îïðåäåëèòå êîíå÷íûå ñêîðîñòè òåë. Øàéáà è áðóñêè èìåþò îäèíàêîâûå ìàññû. ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠÇÀÄÀ×È (ñì. «Êâàíò» ¹2) 1. Ïî 50 ðóáëåé. Ïóñòü ìàãàçèí ïîêóïàë ôëîìàñòåðû ó ïðîèçâîäèòåëÿ ïî öåíå x ðóáëåé çà îäèí íàáîð. Òîãäà âûãîäà ìàãàçèíà îò ïðîäàæè îäíîãî íàáîðà ðàâíà 100 x ðóáëåé. Ïðè ïîêóïêå äâóõ íàáîðîâ ïîêóïàòåëü ïîëó÷àåò òðåòèé â ïîäàðîê, ïîýòîìó âûãîäà ìàãàçèíà â ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâëÿåò 2(100 - x) - x = 200 - 3x ðóáëåé. Ïðèðàâíèâàÿ ýòè äâå âåëè÷èíû, íàõîäèì, ÷òî x = 50. 2. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíî, êàê êîìåíäàíò âûïîëíÿë ïðèêàçû ñâîèõ íà÷àëüíèêîâ. Ïîëêîâíèê: Ãåíåðàë: Ìàðøàë: ìîæíî, òðåõ, îáÿçàòåëüíî äâóõðóáëåâûå. Ïîýòîìó èç ïÿòè âûòàùåííûõ ìîíåò òðè áóäóò ðóáëåâûìè, à äâå äâóõðóáëåâûìè. 4. 7 ñì èëè 11 ñì. Äîêàæåì, ÷òî ñóììû äëèí êóñî÷êîâ, îòïèëåííûõ îò ïðîòèâîïîëîæíûõ íîæåê òàáóðåòêè, ðàâíû. Òàê êàê íîæêè ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó, òî ïëîñêîñòü, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç ëþáûå äâå ñîñåäíèå íîæêè, áóäåò ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, ïðîâåäåííîé ÷åðåç äâå äðóãèå íîæêè. Çíà÷èò, ýòè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþò ëþáóþ òðåòüþ ïëîñêîñòü (êîòîðàÿ èì íå ïàðàëëåëüíà) ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì. Ïîñêîëüêó ïîñëå Âàñèíîé äèâåðñèè òàáóðåòêà ñòîèò íà ïîëó, êàñàÿñü åãî âñåìè ÷åòûðüìÿ íîæêàìè, òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé êîíöàìè íîæåê, ëåæèò â ïëîñêîñòè ïîëà. Èç ñêàçàííîãî â ïðåäûäóùåì àáçàöå ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê ïàðàëëåëîãðàìì. Çíà÷èò, åãî äèàãîíàëè äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ Î ïîïîëàì. Ïóñòü Q öåíòð êâàäðàòíîãî ñèäåíèÿ òàáóðåòêè. Ðàññìîòðèì òðàïåöèþ, îñíîâàíèÿìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ îñòàòêè ïðîòèâîïîëîæíûõ íîæåê òàáóðåòêè. Îòðåçîê OQ åå ñðåäíÿÿ ëèíèÿ, ïîýòîìó ñóììà îñíîâàíèé ðàâíà 2OQ. Àíàëîãè÷íî, òî÷íî òàêîé æå áóäåò ñóììà îñíîâàíèé òðàïåöèè, ïîñòðîåííîé íà äðóãîé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ íîæåê. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñóììû äëèí îñòàâøèõñÿ «ïðîòèâîïîëîæíûõ» íîæåê ðàâíû. Òàê êàê èçíà÷àëüíî íîæêè ó òàáóðåòêè áûëè îäèíàêîâûìè, òî è ñóììû äëèí «ïðîòèâîïîëîæíûõ» îòïèëåííûõ êóñî÷êîâ ðàâíû. Ïóñòü òåïåðü x äëèíà ïîòåðÿííîãî êóñî÷êà. Åñòü òðè âàðèàíòà, êàêîé èç îñòàâøèõñÿ êóñî÷êîâ áûë ïî äèàãîíàëè îò ïîòåðÿííîãî. Ðàññìîòðåâ êàæäûé èç âàðèàíòîâ, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ 8 + x = 9 + 10 , 9 + x = 8 + 10 , Ðèñ. 1 3. Ìîæíî. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî â êàðìàíå ó Ïåòè âñå ìîíåòû, êðîìå, áûòü ìîæåò, äâóõ, òî÷íî ðóáëåâûå, à âñå, êðîìå, âîç- 10 + x = 8 + 9 . Ðåøàÿ èõ, íàõîäèì, ÷òî ïîòåðÿííûé êóñî÷åê ìîã èìåòü äëèíó 7, 9 èëè 11 ñì. Íî òàê êàê äëèíû âñåõ êóñî÷êîâ ðàçëè÷íû, òî 9 ñì íå ïîäõîäèò. $ ÊÂÀÍT 2013/¹3 Ïðîâåðüòå, ÷òî îáà îñòàâøèõñÿ âàðèàíòà âîçìîæíû. 5. Íå ìîãóò. Îáîçíà÷èì ýòè øàéáû áóêâàìè À, Á, Â, îáõîäÿ îáðàçîâàííûé èìè òðåóãîëüíèê ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.  ýòîò ìîìåíò íàì íå âàæíî, ñ êàêîé èìåííî øàéáû íà÷èíàòü, íî äàëåå áóäåì îáõîäèòü èõ, íà÷èíàÿ ñ À (è òàêæå ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå). Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå êàæäîãî áðîñêà õîêêåèñòà ìåíÿåòñÿ öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê øàéá: åñëè îíè ðàñïîëàãàëèñü â ïîðÿäêå ÀÁ äî áðîñêà, òî ïîòîì èõ ïîðÿäîê ñòàíåò ÀÂÁ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëå ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà áðîñêîâ öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê øàéá áóäåò íå òàêèì, êàê ñíà÷àëà. Ïîýòîìó ÷åðåç 13 áðîñêîâ øàéáû òî÷íî íå ñìîãóò çàíÿòü ñâîè íà÷àëüíûå ìåñòà. ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6-8» (ñì. «Êâàíò» ¹1) 11. Çàìåòèì, ÷òî 12-å ïðîñòîå ÷èñëî ýòî 37, è îíî áîëüøå 36 ñâîåãî óòðîåííîãî íîìåðà. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p áîëüøå ñâîåãî óòðîåííîãî íîìåðà, òî è ñëåäóþùåå çà íèì ïðîñòîå ÷èñëî îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì. Ïóñòü ó p íîìåð n, òîãäà p > 3n, ò.å. p ≥ 3n + 1 . Ñëåäóþùåå çà íèì ïðîñòîå íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 3n + 2, òàê êàê äâà ïðîñòûõ ÷èñëà íèêîãäà íå èäóò ïîäðÿä (êðîìå ÷èñåë 2 è 3). Òàêæå îíî íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ ñîñòàâíîìó ÷èñëó 3n + 3 = 3 (n + 1) . Ïîýòîìó îíî çàâåäîìî áîëüøå ÷åì 3 (n + 1) ò.å. áîëüøå ñâîåãî óòðîåííîãî íîìåðà. 12. Ìàëûø. ×òîáû îáåñïå÷èòü ñåáå âûèãðûø, Ìàëûøó äîñòàòî÷íî ïðèäåðæèâàòüñÿ òàêîé ñòðàòåãèè. Åñëè åìó ïåðåä î÷åðåäíûì õîäîì äîñòàíåòñÿ «êó÷êà» èç îäíîé êîíôåòû, òî îí åå ïðîñòî ñúåñò è âûèãðàåò. Åñëè â êó÷å áóäåò N > 1 êîíôåò, òî åìó íàäî ðàçäåëèòü åå íà äâå: èç îäíîé êîíôåòû è èç N - 1 êîíôåò. (Ïåðåä ïåðâûì õîäîì ó íåãî êàê ðàç òàêàÿ ñèòóàöèÿ.) Äåéñòâóÿ òàêèì îáðàçîì, Ìàëûø áóäåò âûíóæäàòü Êàðëñîíà êàæäûé ðàç áðàòü òîëüêî îäíó êîíôåòó: åñëè Êàðëñîí ïîæàäíè÷àåò è ñúåñò áîëüøóþ êó÷ó, òî Ìàëûø ñïîêîéíî ñúåñò îñòàâøóþñÿ êîíôåòó è âûèãðàåò. Íî è ïðè òàêîì (ìó÷èòåëüíîì äëÿ Êàðëñîíà) ðàçâèòèè ñîáûòèé â êîíöå êîíöîâ Ìàëûø âûèãðàåò: êîãäà åìó äîñòàíåòñÿ êó÷êà èç äâóõ êîíôåò, îí ïîäåëèò åå ïîïîëàì, Êàðëñîí ñúåñò îäíó èç äâóõ êîíôåò, à Ìàëûø âîçüìåò ïîñëåäíþþ. 13. Íàéäóòñÿ. Ïðèìåðîâ òóò ìîæíî ïðèäóìàòü ñêîëüêî óãîäíî. Âîò êàê ìîæíî ïîëó÷èòü íåêîòîðûå èç íèõ. Ïóñòü ε ìàëåíüêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî è A = B = 1000000 + ε , C = 2000000. Òîãäà A + B C = 2ε è B + C A = C + A B = 2000000. Çíà÷èò, ( A + B - C ) ( B + C - A) (C + A - B) = 12 = 2ε ◊ 2000000 ◊ 2000000 = 8ε ◊ 10 . ×òîáû ýòî ÷èñëî áûëî ìåíüøå îäíîé ìèëëèîííîé, ò.å. 10 -6 , 1 äîñòàòî÷íî âçÿòü ε ìåíüøå ÷åì ◊ 10 -18 . Íàïðèìåð, ïîäîé8 äåò ε = 10 -19 . 14. 90 . Ïî îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ, îí êîðî÷å ëþáîé íàêëîííîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ýòó òî÷êó ê ýòîé æå ïðÿìîé. Ïîýòîìó äëèíà ëþáîé äèàãîíàëè íå ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì ñóììà äëèí ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç åå êîíöîâ íà âòîðóþ äèàãîíàëü. Çíà÷èò, ñóììà äèàãîíàëåé íå ìåíüøå ñóììû äëèí âñåõ ÷åòûðåõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ. Èç óñëîâèÿ æå ñëåäóåò, ÷òî ñóììà äèàãîíàëåé íå áîëüøå ñóììû äëèí ïåðïåíäèêóëÿðîâ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî îïèñàííûå âûøå íåðàâåíñòâà äîëæíû îáðàùàòüñÿ â ðàâåíñòâà. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåð- ïåíäèêóëÿðíû. Áîëåå òîãî, èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî äèàãîíàëè ðàâíû: äëèíà êàæäîé èç íèõ ðàâíà ñóììå äëèí îïóùåííûõ íà âòîðóþ äèàãîíàëü ïåðïåíäèêóëÿðîâ, ò.å. äëèíà êàæäîé äèàãîíàëè íå áîëüøå äëèíû äðóãîé äèàãîíàëè.  èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé ñåðåäèíàìè ñòîðîí èñõîäíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ýòî êâàäðàò, è èñêîìûé óãîë ðàâåí 90 . 15. à) Íå ìîæåò. Ïóñòü íà äîñêå êàê-òî ðàññòàâëåíû ôèøêè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôèãóðó Ô, êîòîðóþ îáðàçóþò âñå ïîëÿ, çàíÿòûå ôèøêàìè (îíà âïîëíå ìîæåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé). Ïåðâîíà÷àëüíî Ô ñîñòîèò èç 10 ïîëåé, ïîýòîìó åå ïåðèìåòð íå áîëüøå 6 ¥ 10 = 60 (ìû ïðèíÿëè ñòîðîíó îäíîãî ïîëÿ äîñêè çà åäèíèöó). Áîðÿ ìîæåò ñòàâèòü íîâûå ôèøêè òîëüêî íà òå ïîëÿ, ó êîòîðûõ çàíÿòû íå ìåíüøå òðåõ ñîñåäåé, ò.å. íå ìåíåå òðåõ èç øåñòè ñòîðîí ýòîãî ïîëÿ óæå âõîäÿò â ãðàíèöó Ô. Çíà÷èò, êàæäîå íîâîå ïîëå «äîáàâèò» ê ïåðèìåòðó Ô íå áîëüøå, ÷åì «îòíèìåò» îò íåãî. Òåì ñàìûì, ïîñëå êàæäîãî Áîðèíîãî õîäà ïåðèìåòð Ô íå óâåëè÷èâàåòñÿ. Íî ïåðèìåòð âñåé äîñêè ðàâåí 66, ïîýòîìó Áîðÿ íå ñìîæåò çàñòàâèòü âñå ñâîáîäíûå ïîëÿ ñâîèìè ôèøêàìè. Ðèñ. 2 á) Ìîæåò. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàí îäèí èç ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü íà äîñêå 11 ôèøåê, ÷òîáû Áîðÿ ñìîã çàïîëíèòü îñòàâøèåñÿ ïîëÿ ñâîèìè ôèøêàìè. ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ñòàëü ðàñøèðÿåòñÿ ïðè íàãðåâàíèè è ñæèìàåòñÿ ïðè îõëàæäåíèè â áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì äåðåâî. 2. Ýòîò ìàòåðèàë äîëæåí èìåòü òàêîé æå êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, êàê è ñòåêëî. 3. Äà, íàðóøèòñÿ. Íàãðåòîå ïëå÷î êîðîìûñëà ïåðåòÿíåò. 4. Ìåäíàÿ ÷àñòü âíèçó. 5. Êîíâåêöèîííûå òå÷åíèÿ â æèäêîñòè îòñóòñòâîâàëè áû, è íèæíèå ñëîè æèäêîñòè èìåëè áû çíà÷èòåëüíî áîëåå âûñîêóþ òåìïåðàòóðó, ÷åì âåðõíèå. 6. Ïðè íàãðåâå âîäû â ïðàâîì ñîñóäå îíà ðàñøèðÿåòñÿ è çàíèìàåò áîëüøèé îáúåì (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà âûøå òî÷êè ìàêñèìàëüíîé ïëîòíîñòè). Îäíàêî èç-çà ôîðìû ñîñóäà óìåíüøåíèå ïëîòíîñòè íå êîìïåíñèðóåòñÿ óâåëè÷åíèåì âûñîòû åå ñòîëáà. Ïîýòîìó äàâëåíèå íà äíî ïðàâîãî ñîñóäà óìåíüøèòñÿ, è âîäà ïî òðóáêå áóäåò ïåðåòåêàòü èç ëåâîãî ñîñóäà â ïðàâûé. Ïðè íàãðåâå âîäû â ëåâîì ñîñóäå ðåçóëüòàò áóäåò òåì æå âîäà ïîòå÷åò ïî òðóáêå âïðàâî. 7. Âûñîòà ñòîëáèêà æèäêîñòè íå çàâèñåëà áû îò òåìïåðàòóðû. 8. Ìîæíî. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðòóòü â êàïèëëÿðå òåðìîìåòðà íàõîäèëàñü ïîä âûñîêèì äàâëåíèåì (äî 70 àòì), ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÷òî ïðèâåäåò ê ïîâûøåíèþ òî÷êè åå êèïåíèÿ äî íóæíîãî çíà÷åíèÿ. Äëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîãî äàâëåíèÿ êàïèëëÿð çàïîëíÿþò ãàçîì, à åãî òîëñòûå ñòåíêè èçãîòàâëèâàþò èç òóãîïëàâêîãî êâàðöà. 9. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ óðîâíè ðòóòè îñòàíóòñÿ ïðåæíèìè. 10. Êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé çàìåòíî çàâèñèò îò ðîäà âåùåñòâà, òîãäà êàê âñå ãàçû èìåþò îäèí è òîò æå êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ. 11. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà âîäû ïðè íàãðåâàíèè ìåíÿåòñÿ èíà÷å, ÷åì äàâëåíèå ãàçà. 12.  âîëüôðàìîâîì âîëîñêå òîê ïðè âêëþ÷åíèè çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå, à â óãîëüíîì íàîáîðîò. 13.  ïåðâîì ñëó÷àå òîê ÷åðåç ëàìïî÷êó 2 íà÷èíàåò èäòè ïîñëå òîãî, êàê íèòü ëàìïû 1 íàêàëèëàñü è åå ñîïðîòèâëåíèå ñòàëî çíà÷èòåëüíûì. Âî âòîðîì æå ñëó÷àå òîê ÷åðåç ëàìïî÷êó 2 íà÷èíàåò èäòè ñðàçó ïîñëå âêëþ÷åíèÿ â ñåòü, ò.å. êîãäà íèòü ëàìïû 1 åùå íå íàãðåëàñü è åå ñîïðîòèâëåíèå ìàëî, ïîýòîìó ëàìïî÷êà 2 ïåðåãîðàåò. 14. Àìïåðìåòð ïîêàæåò óâåëè÷åíèå òîêà. 15. Óâåëè÷èâàåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå. 16. Íà 25%. 17. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå òåðìîýëåìåíòû èìåþò áóëüøóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü, áîëüøèé ÊÏÄ è ìåíüøèå ðàçìåðû. 18. Õîëîäíûå çâåçäû â îñíîâíîì èçëó÷àþò â êðàñíîé è èíôðàêðàñíîé ÷àñòÿõ ñïåêòðà, ÷òî è îïðåäåëÿåò èõ öâåò. Ãîðÿ÷èå çâåçäû äàþò çàìåòíîå èçëó÷åíèå âî âñåì îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå, êîòîðîå ñîçäàåò îùóùåíèå áåëîãî öâåòà. Ìèêðîîïûò Ïðè êðàòêîâðåìåííîì îïóñêàíèè òåðìîìåòðà â ãîðÿ÷óþ âîäó åãî ñòåêëÿííûé êîí÷èê ðàñøèðèòñÿ áûñòðåå, ÷åì çàêëþ÷åííàÿ â íåì ðòóòü. ÂÎÒ ×ÒÎ-ÒÎ Ñ ÃÎÐÎ×ÊÈ ÑÏÓÑÒÈËÎÑÜ 1. s = 2v02 sin ( α - β) cos α g cos2 β (m + m ) sin α , âðåìÿ ñïóñm2 sin α cos α , aáð îòí = g 1 2 2 m2 sin2 α + m1 m2 sin α + m1 êà áðóñêà íàéäåì èç óðàâíåíèÿ aáð îòít 2 h = . sin α 2 4. F = mg µ2 cos2 α - sin2 α = 20 Í. 5. Fí = m2 F = 20 Í. m1 + m2 6. k = (tgα + µ) (1 + µtgα ) (tgα - µ) (1 - µtgα ) = 7. mg tg α 7. I = = 8 À. Bl m a + g sin α = 4 À. 8. I = L B cos α 9. v = 10. t = mgR sin α = 3 ì ñ. B2l2 π 3 l = 314 ìñ. g sin α $ XXI ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ «ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ» ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 1. 78329. Ïóñòü èñêîìîå ÷èñëî ðàâíî 100õ + 29 (õ öåëîå), S ( x ) ñóììà öèôð ÷èñëà õ. Èç óñëîâèÿ èìååì, ÷òî S ( x ) + 2 + 9 = = 29, îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî S ( x ) = 18, çíà÷èò, õ äåëèòñÿ íà 9. Ïî óñëîâèþ, 100õ + 29 = 29k, ò.å. 100õ = 29(k 1). Ýòî çíà÷èò, ÷òî õ äåëèòñÿ íà 29. Èòàê, õ äåëèòñÿ íà 9 ⋅ 29 = 261 . Ïåðåáèðàÿ ÷èñëà, êðàòíûå 261, íàéäåì, ÷òî íàèìåíüøåå óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ÷èñëî õ ðàâíî 261 ⋅ 3 = 783 . 2. 20° . Öåíòð âïèñàííîé â ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê BCD îêðóæíîñòè ëåæèò íà åãî âûñîòå ÂÌ, îïóùåííîé èç âåðøèíû Â. Òðåóãîëüíèê AED ðàâíîáåäðåííûé, òàê êàê åãî ñòîðîíà ED ðàâíà îòðåçêó DM (ýòî êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå èç òî÷êè D), êîòîðûé, ïî óñëîâèþ, ðàâåí îòðåçêó AD. Ïðè ýòîì ∠BDC = 40° âíåøíèé óãîë ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ADE, îí ðàâåí ñóììå äâóõ åãî ðàâíûõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñðåäè êîòîðûõ è èñêîìûé óãîë. 3. Íåëüçÿ. Ðàñêðàñèì äîñêó â äâà öâåòà ïîëîñàìè ïî ãîðèçîíòàëè, íà÷èíàÿ ñ ÷åðíîé âåðõíåé, ÷åðåäóÿ öâåòà. Òîãäà ñòàíåò ÿñíî, ÷òî «ïåðåãíàòü» êâàäðàò â äâà âåðõíèõ óãëà íå óäàñòñÿ: â èñõîäíîì êâàäðàòå îäíà ÷åðíàÿ ïîëîñà è äâå áåëûõ, à â îáîèõ íèæíèõ êâàäðàòàõ íàîáîðîò, â òî âðåìÿ êàê ïðè ëþáîì ïðûæêå öâåò ïîëîñû, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ ôèøêà, íå ìåíÿåòñÿ. ×òîáû ïîíÿòü, ÷òî è â ïðàâûé íèæíèé êâàäðàò «ïåðåãíàòü» òîæå íå óäàñòñÿ, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ìîæíî ïåðåêðàñèòü äîñêó, ÷åðåäóÿ öâåòà ïî âåðòèêàëè. 4. (1; 1). Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: ïóñòü x + y = u, x + 1 = v, y + 1 = w. = 30 ì . 2. v = 2gl (µ cos α - sin α ) = 4 ì/ñ. 3. aêë = g ÐÅØÅÍÈß Ñëîæèâ ïî÷ëåííî ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì x + y + 1 = u+v+w = , îòêóäà íàõîäèì, ÷òî 2 −u + v + w , 1 = 2 u+v−w , x = 2 u−v+w . y = 2 Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â äàííîå óðàâíåíèå, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó -u + v + w u - v + w u + v - w 3 + + = , 2u 2v 2w 2 êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó u v u w v w + + + + + = 6. v u w u w v  êàæäîé ñêîáêå ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñòîèò ñóììà äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ âçàèìíî îáðàòíûõ âåëè÷èí. Íî ïðè 1 a > 0, êàê èçâåñòíî, a + ≥ 2 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî íàñòóïàåò, a ëèøü êîãäà à = 1. Ïîýòîìó ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà íå ìåíüøå ïðàâîé, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî â êàæäîé ñêîáêå ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî âòîðîìó.  èòîãå èìååì, ÷òî u = v = w, îòêóäà x = = y = 1. $ ÊÂÀÍT 2013/¹3 γ . 2 Ïîñêîëüêó ∠BKA = ∠ALB = 90° , òî÷êè À, Â, K è L ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì À = ñ è öåíòðîì Î â ñåðå∠A äèíå ñòîðîíû ÀÂ. Çàìåòèì, ÷òî ∠ABK = 90° − (èç ïðÿìî2 óãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABK, ó÷èòûâàÿ ÷òî AK áèññåêòðèñà óãëà À èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà). Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì, ÷òî ∠B ∠BAL = 90° − . Ïîýòîìó (òðåóãîëüíèêè BOK è AOK 2 ðàâíîáåäðåííûå, òàê êàê îòðåçêè ÎÀ, ÎÂ, OK è OL ðàäèóñû îêðóæíîñòè) ∠BOK = 180° − 2∠ABK = ∠A , ∠AOL = ∠B , çíà÷èò, ∠KOL = 180° − ∠A − ∠B = γ . Òåïåðü èç ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà KOL ïîëó÷àåì γ KL = c sin . 2 5. c sin 6. ( −1; 0 ) ; (1; 0 ) ; ( −4; 3 ) ; (4; 3 ) ; ( −4; 5 ) ; (4; 5 ) . 2 Çàìåòèì, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè ÷èñëîâîé îñè ( y − 1) , y2 è 2 ( y + 1) íåò êâàäðàòîâ äðóãèõ öåëûõ ÷èñåë ýòî êâàäðàòû òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó ÷èñëî x2 íå ìîæåò 2 íàõîäèòüñÿ âíóòðè îòðåçêà ÷èñëîâîé îñè îò ( y − 1) äî ( y + 1)2 , ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ã) Ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1 , a2 , , an , èñõîäÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1 , a2 , , an −1 óæå ïîñòðîåíà, ò.å. ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé k îò 1 äî (n − 1) âêëþ÷èòåëüíî ñóììà a12 + a22 + … + ak2 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì êâàäðàòîì.1 2 2 2 2 Àíàëîãè÷íî ïï. á) è â), èìååì, ÷òî a1 + … + an −1 + an = y , 2 2 2 2 ò.å. z + an = y , ãäå ÷åðåç z îáîçíà÷åíà ñóììà êâàäðàòîâ ïåðâûõ (n − 1) ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ïî óñëîâèþ, îíà åñòü ïîëíûé êâàäðàò). Ïîëó÷àåì, êàê è â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ ðåøåíèÿ, z2 = ( y − an )( y + an ) . Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ïóíêòàì, ðåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé z2 − 1 an = , y a − = 1, n 2 ⇔ 2 2 y + an = z y = z + 1 . 2 Çàìåòèì, ÷òî ïî íàøåìó ïîñòðîåíèþ ïåðâûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå÷åòíîå ÷èñëî, à âñå îñòàëüíûå ÷åòíûå: êàæäûé ðàç ìû ïîëó÷àåì íå÷åòíóþ ñóììó êâàäðàòîâ, çíà÷èò, äîáàâëÿåì ÷åòíîå ÷èñëî; ïîýòîìó ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû öåëûå ÷èñëà. 2 x 2 − y2 ≥ y2 − ( y − 1) = 2y − 1 . Çíà÷èò, âìåñòî äàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî ó: (2y − 1)2 ≤ 16 y + 1 ⇔ y ( y − 5 ) ≤ 0 . Öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ÷èñëà 0, 1, 2, 3, 4 è 5. Ïîäñòàâëÿåì èõ ïî î÷åðåäè â èñõîäíîå óðàâíåíèå è èùåì ñîîòâåòñòâóþùèå öåëûå çíà÷åíèÿ õ. Åñëè ó = 0, èç óðàâíåíèÿ íàõîäèì, ÷òî x = ±1 . Ïðè ó = 1 ïîëó÷àåì, ÷òî êâàäðàò öåëîãî ÷èñëà ðàâåí 17, ÷òî íåâîçìîæíî. Àíàëîãè÷íî íå äàþò ðåøåíèé ó = 2 è ó = 4. Ïðè ó = 3 èìååì (x 2 −9 ) 2 = 49 , îòêóäà 2 x = 16, x 2 − 9 = ±7 ⇔ 2 x = 2. Öåëûå ðåøåíèÿ ïîëó÷èì òîëüêî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäíåé ñèñòåìû. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé ó = 5. 7. à) 3, 4; á) 3, 4, 12; â) 3, 4, 12, 84; ã) 3, 4, 12, 84, ..., an = a12 + a22 + … + an2−1 − 1 . 2 à) Ïðèìåð: 3, 4. á) Ïîëó÷èì ïðèìåð ñ ïîìîùüþ ï. à). Ïîïûòàåìñÿ ïðîäîëæèòü âûïèñàííûé òàì ðÿä èç äâóõ ÷èñåë: 3, 4, õ, ïðè÷åì íàäî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî 32 + 42 + x 2 = = y2 , ò.å. 25 = y2 − x2 . Ïîäáåðåì ÷èñëà õ è ó. Äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî 25 = ( y − x )( y + x ) . Ïîëîæèì ïåðâûé ìíîæèòåëü ðàâíûì 1, òîãäà âòîðîé äîëæåí ðàâíÿòüñÿ 25. Èòàê, Ï y - x = 1, Ï x = 12, ¤Ì Ì Ó y + x = 25 Ó y = 13. Èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 3, 4, 12. â) Íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ïîìîùüþ ïðèìåðà ê ï. á), ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 3, 4, 12, õ òàêóþ, ÷òî 32 + 42 + 122 + + x 2 = y2 , ò.å. 169 = ( y − x )( y + x ) . Èìååì (àíàëîãè÷íî ï. á)) 1 = y − x, x = 84, ⇔ 169 = y + x y = 85. Èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 3, 4, 12, 84. 1. F = ( 2 m v - gL sin θ m . 2. t = π 2k L ); ÔÈÇÈÊÀ θïðåä = arcsin v2 . gL Ê ˆ Q 2Q - 1˜ = 0,2 ì . = 0,4 ì , h2 = H Á 1 + 2mgH Ë ¯ 5mg n (T1 - T0 ) xë = 0,112 ì , xï = = 0,012 ì . 4. xë = l n (n + 1) (T1 + nT0 ) 3. h1 = 5. h = 6. n = 7. lmin R2 + L2 = 13 ñì . 16 2nâ = 2. k + 1 - (k - 1) nâ 2 = L = 30 ñì . 3 Óñòíûé êîìàíäíûé òóð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 1. 30° . Òðåóãîëüíèê AMD ðàâíîáåäðåííûé, òàê êàê ÌÑ åãî áèññåêòðèñà è ìåäèàíà; Ì áèññåêòðèñà óãëà ÀÌÑ, ïîýòîìó MC 1 MC AC = ; íî ýòî çíà÷èò, ÷òî = , ò.å. AC 2 BC AB ∠AMB = ∠BMC = ∠CMD = ∠DME = 30°. 2. Íåò. Ïóñòü (äëÿ îïðåäåëåííîñòè) a > 0. Ïî óñëîâèþ, êâàäðàòíîå óðàâíåíèå f ( x ) = x íå èìååò êîðíåé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî f ( x ) > x ïðè ëþáîì õ. Íî òîãäà f ( f ( x )) > f ( x ) > x . Åñëè a < 0, ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû. 3. Âñåãäà. Óêàçàíèå. Êàê áû ìû íè ðàçáèâàëè ìíîæåñòâî ÷èñåë 1, 2, ..., 200 íà 50 ãðóïï, íàéäåòñÿ ãðóïïà, â êîòîðóþ ïîïàäóò ïî êðàéíåé ìåðå òðè ÷èñëà èç {100, 101, , 201}, ñîñòîÿùåãî èç 101 ÷èñëà. Íî ëþáûå òðè ÷èñëà èç ýòîãî ìíîæåñòâà äëèíû ñòîðîí íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà. 1 Ôàêòè÷åñêè ìû äîêàçûâàåì ñóùåñòâîâàíèå èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èíäóêöèè, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå áàçû èíäóêöèè ïï. à)â). ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, 4. Òî÷êà Ì îñíîâàíèå âûñîòû òðåóãîëüíèêà, îïóùåííîé íà ãèïîòåíóçó. 5. Îäíîâðåìåííî çàïóñêàåì òðåõ- è ïÿòèìèíóòíûå ÷àñû. ×åðåç òðè ìèíóòû ïåðåâîðà÷èâàåì òðåõìèíóòíûå ÷àñû, à â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ ðàáîòû ïÿòèìèíóòíûõ ÷àñîâ íà÷èíàåì âàðèòü çåëüå, çàòåì ÷åðåç 1 ìèíóòó ïåðåâîðà÷èâàåì òðåõìèíóòíûå ÷àñû. ×åðåç 3 ìèíóòû çåëüå ãîòîâî. 6. à) Íåò; á) íåò. Åñëè ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ öèôðàìè 75, òî îíî äàåò îñòàòîê 3 ïðè äåëåíèè íà 4, à åñëè öèôðàìè 421, òî îñòàòîê ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 8 ðàâåí 5.  îáîèõ ñëó÷àÿõ òàêîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì. 7. 88π ≈ 264 . Óêàçàíèå. Ñäåëàéòå ÷åðòåæ. 8. Äåëèòñÿ. Ïóñòü x = 215 . Òîãäà 62 2 4 4 2 2 + 1 = 4x + 1 = 4x + 4x + 1 − 4x = ( ) 2 ( )( ) = 2 x 2 + 1 − 4 x 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 2x 2 − 2x + 1 , 2 31 16 íî 2x + 2x + 1 = 2 + 2 + 1 . a . 9. 3 Óêàçàíèå. Ïóñòü r ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Òî÷êè A′ , B′ , C′ è À ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì I è ðàäèóñîì 2r. Ïîñêîëüêó AI = 2r, à ðàññòîÿíèå îò ∠A 1 òî÷êè I äî ñòîðîíû À ðàâíî r, òî sin = , ò.å. ∠A = 60° . 2 2 10. Íåëüçÿ. Óêàçàíèå. Çàíóìåðóåì ìîíåòû ïîñëåäîâàòåëüíî ÷èñëàìè 1, 2, 3, , 10 è ðàññìîòðèì ìîíåòû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè èõ ðîâíî 5. Ïðè êàæäîé îïèñàííîé â óñëîâèè îïåðàöèè ïåðåâîðà÷èâàþòñÿ ðîâíî 2 «íå÷åòíûå» ìîíåòû, è ïîýòîìó ñðåäè íèõ ÷åòíîñòü ÷èñëà ìîíåò ñ îðëàìè ââåðõ íå ìåíÿåòñÿ, ò.å. êîëè÷åñòâî îðëîâ ñðåäè òàêèõ ìîíåò íå÷åòíî è ïîòîìó íå ðàâíî 0. ÔÈÇÈÊÀ Òàêèì îáðàçîì, âñå óêàçàííûå òî÷êè ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ çàäà÷è. Ïóñòü òåïåðü òî÷êà Ì íå ëåæèò íà ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè. ×òîáû ïðîåêöèÿ ýòîé òî÷êè íà ïðÿìóþ À ïîïàëà íà îòðåçîê ÀÂ, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû òî÷êà ëåæàëà âíóòðè ïîëîñû, îáðàçîâàííîé ïðÿìûìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îòðåçêó ÀÂ, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êè À è Â. Ïóñòü òàê è åñòü è ïóñòü, êðîìå òîãî, ïðÿìàÿ MM′ ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå Ð. Òîãäà äëÿ îòðåçêà PM′ âûïîëíåíî ïðèâåäåííîå ðàâåíñòâî, ïîýòîìó îíî íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ íè â ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà Ì âíå îêðóæíîñòè (òîãäà PM′ < MM′ ), íè êîãäà îíà âíóòðè îêðóæíîñòè (òîãäà PM′ > MM′ ). Çíà÷èò, âíå ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè òî÷åê ñ óêàçàííûì â óñëîâèè ñâîéñòâîì íåò. 3. (1; 1) , (2; 3 ) . Ïåðåïèøåì äàííîå óðàâíåíèå â âèäå 3x − 1 = 2y . (∗ ) Åñëè õ íå÷åòíî, òî ïðè x ≥ 1 ÷èñëî 3x ïðè äåëåíèè íà 4 èìååò îñòàòîê 3. Ïîýòîìó 3x − 1 äåëèòñÿ íà 2 è íå äåëèòñÿ íà 4. Ðàâåíñòâî ( ∗ ) ïðè x > 1 íåâîçìîæíî, òàê êàê òîãäà åãî ëåâàÿ ÷àñòü áîëüøå 8, ò.å. y > 3, 2y äåëèòñÿ íà 4, íî ëåâàÿ ÷àñòü íà 4 íå äåëèòñÿ. Åñëè æå õ = 1, òî è ó = 1. Ïðè ÷åòíîì õ = 2k èç ðàâåíñòâà ( ∗ ) ñëåäóåò, ÷òî (3 k Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 1. Ãîòôðèä Âèëüãåëüì Ëåéáíèö (16461716), îäèí èç ñîçäàòåëåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âåëèêèé ìûñëèòåëü è ôèëîñîô. 2. Îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì ÀÂ. Ïîñòðîèì îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì ÀÂ. Ïóñòü Ì ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýòîé îêðóæíîñòè, êðîìå òî÷åê À è Â. Òîãäà óãîë ÀÌ ïðÿìîé, MM′ âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÌ, îïóùåííàÿ íà ãèïîòåíóçó, AM′ è M′B ïðîåêöèè êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó. Ïî èçâåñòíîé òåîðåìå, AM ¢ ◊ M ¢B = MM ¢2 . )( ) − 1 3k + 1 = 2y , à ñîìíîæèòåëè â ëåâîé ÷àñòè ñòåïåíè äâîéêè. Íî ðàçíîñòü äâóõ ñòåïåíåé äâîéêè ðàâíà äâóì ëèøü äëÿ ÷èñåë 2 è 4. Ïîýòîìó 3k + 1 = 4 , ò.å. k = 1. Îòñþäà õ = 2, à ó = 3. 4. Ýòî ðàññòîÿíèå ðàâíî xa - xb + ya - yb . Ïî îïðåäåëåíèþ, íîâîå ðàññòîÿíèå ðàâíî OA - OB . Îòëîæèì âåêòîð OM = m = OA - OB = ( xb - xa ; yb - ya ) îò íà÷àëà êîîðäèíàò è íàéäåì íîðìó âåêòîðà OM . Ïóñòü ( xm ; ym ) êîîðäèíàòû òî÷êè Ì, à ïðÿìàÿ ÎÌ ïåðåñåêàåò ãðàíèöó êâàäðàòà â òî÷êå M ¢ ( x; y ) . Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû è ïîäîáèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî x y OM OM = = m = m , OM ¢ x y 2 v ª 27,8 ì . g l = 4 êì ÷ . 2. v = 2∆t a 3.  öåíòðå êâàäðàòà ÷åðåç âðåìÿ t = . v 4. Ñêîðîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ; ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òÿãîòåíèÿ óìåíüøàåòñÿ. 5.  ïåðâîì ñîñóäå äàâëåíèå íå èçìåíèòñÿ, âî âòîðîì ñîñóäå óìåíüøèòñÿ, â òðåòüåì óâåëè÷èòñÿ. 6. Âåñû îñòàíóòñÿ â ðàâíîâåñèè. 7. vmin = 2aL . 8. Îêîëî îäíîãî ëèòðà. 9. Ïðèìåðíî 2%. 10. v ª 1200 ì ñ . 1. R = $! ÐÅØÅÍÈß ò.å. xm = OM ◊ x , ym = OM ◊ y . Ñëîæèâ ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà, èìååì xm + ym = OM ( x + y ) = OM . Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå À â íîâîé ìåòðèêå ðàâíî xa - xb + ya - yb . 5. Ïóñòü äàíà àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì ð è ðàçíîñòüþ d, ñîñòîÿùàÿ èç 15 ïðîñòûõ ÷èñåë: p, p + d, p + 2d, p + 3d, p + 4d, , p + 13d, p + 14d. ( ∗ ) Ïåðâûé ÷ëåí ïðîãðåññèè, ïðîñòîå ÷èñëî ð, íå äîëæåí äåëèòüñÿ íè íà îäíî èç ïðîñòûõ ÷èñåë 2, 3, 5, 7, 11, 13, (∗∗) èíà÷å èëè òðåòèé, èëè ÷åòâåðòûé, èëè øåñòîé, èëè âîñüìîé, èëè äâåíàäöàòûé, èëè ÷åòûðíàäöàòûé ÷ëåí ïðîãðåññèè áóäåò äåëèòüñÿ íà îäíî èç ýòèõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî è íå áóäåò ïðîñòûì ÷èñëîì. Èòàê, ð ïðîñòîå ÷èñëî, íå ìåíüøåå 17. Ïîêàæåì, ÷òî ÷èñëî d, íàîáîðîò, äîëæíî äåëèòüñÿ íà êàæäîå èç âûïèñàííûõ â ( ∗ ∗ ) ïðîñòûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 17. Ïóñòü q ëþáîå èç ÷èñåë ( ∗ ∗ ). Òîãäà ñðåäè ÷èñåë ( ∗ ) ð, ð + d, , p + (q − 1) d ëèáî åñòü ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà q, ÷òî íåâîçìîæíî (ýòî ïðîñòûå ÷èñëà, áîëüøèå q), ëèáî ñðåäè íèõ $" ÊÂÀÍT 2013/¹3 åñòü 2 ÷èñëà ñ îäèíàêîâûìè îñòàòêàìè ïðè äåëåíèè íà q, íî òîãäà ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë ÷èñëî, êðàòíîå d è ìåíüøåå ÷åì qd ïðè ïðîñòîì q, äåëèòñÿ íà q. Èòàê, ðàçíîñòü ïðîãðåññèè d äåëèòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå âñåõ ÷èñåë èç ( ∗ ∗ ). Ëåãêî îöåíèòü ýòî ïðîèçâåäåíèå: «âñå çíàþò», ÷òî 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 1001 , à ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïåðâûõ ñîìíîæèòåëåé ðàâíî 30. Ïîýòîìó d ≥ 30030 > 30000 . ÔÈÇÈÊÀ 1. à) Íèëüñ Áîð. á)  Äàíèè. â) Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ. 2. à) Âåðíåð Ãåéçåíáåðã. á)  Ãåðìàíèè. â) Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñóùåñòâóþò ïàðû ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îäíîâðåìåííîå òî÷íîå çàäàíèå çíà÷åíèé êîòîðûõ ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî. 3. à) Àðõèìåä. á) Ñèðàêóçû â Ñèöèëèè. â) Ýðàòîñôåí. 4. à) Áîçîí Õèããñà. á) ÖÅÐÍ, Øâåéöàðèÿ, Áîëüøîé àäðîííûé êîëëàéäåð. 5. Ïðîòâèíî (Ìîñêîâñêîé îáë.), Èíñòèòóò ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé. I ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 58 ÊËÀÑÑΠÏèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 56 êëàññû 1. 60. 2. 31 ãîä. 1 5. 3. 6. è 1. 2 3. 60 ì. 4. 45. ÐÅÃÈÎÍÀËÜÍÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ πl l ª 1,35 ◊ 1017 c ª 4,3 ìëðä ëåò (ó÷åò íà÷àëüíîé 4 GM ñêîðîñòè óìåíüøàåò èñêîìîå âðåìÿ äî 3 ìëðä ëåò). 1. τ = 2 Ê L g∆t ˆ ÁË ˜ 2 ¯ ∆t ª 15,7 ì . 2. H = h + L + 2g 7+3 3 Md2 . Md2 ª 24 2 4. Ñèëû óïðóãîñòè, ðàñòÿãèâàþùèå îáîëî÷êó ñîñèñêè âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ âäîëü è ïîïåðåê, îòëè÷àþòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî â 2 ðàçà. 5. 16. aqR , ãäå ε0 ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, à ε äèý6. ∆ϕ = 2ε0 ε ëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ï÷åëèíîãî ðîÿ; N = 2πR2a . 3. I = 6 µ0 I , ãäå µ0 ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, I ñèëà 5 π a òîêà, à ñòîðîíà «çóáà» êîðîíû; ìàãíèòíîå ïîëå âîçðîñëî 7. B = π 5 ª 1,17 ðàçà. 6 8. Ïðèáëèçèòåëüíî â 200 ðàç. áû â 78 êëàññû 1. 118. 2. 7744. 3. 17. 5. 4 ÷. 4. 10052 = 1010025 . 6. Ðàçîáüåì êîâåð íà 16 îäèíàêîâûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ì. Ïîñêîëüêó áðûçã âñåãî 15, âíóòðè õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ êâàäðàòîâ áðûçã íå áóäåò. Èç íåãî è ìîæíî âûðåçàòü íóæíûé ÷èñòûé êâàäðàò. 7. 301. 1. 156. 3. 5. Óñòíûé êîìàíäíûé òóð ÊÂÀÍÒ 56 êëàññû ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ èëè 56 äì2 . C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí 2. 51 äì 4. 500 òîíí. 2 5. Îäèíàêîâî. 6. Óêàçàíèå: n3 + 2n = n3 - n + 3n = n (n - 1) (n + 1) + 3n . 7. Âåðíî. 78 êëàññû 1. Äåëèòñÿ. 2. Ñìîæåò. 4. 45. 5. 48. 6. 100 ì. 3. 284 è 196. ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Â.Ñóìíèíà, Â.Ì.Õëåáíèêîâà ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Ë.Â.Êàëèíè÷åâà, Å.À.Ìèò÷åíêî Ðèñ. 3 7. Íàèìåíüøåå ÷èñëî ÷àñòåé ýòî äâà; äîñòàòî÷åí âñåãî îäèí ðàçðåç (ðèñ.3). 8. à) Íå ìîãóò; á) ìîãóò. 9. Ìîæíî. Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Òèðàæ: 1-é çàâîä 900 ýêç. Çàêàç ¹ Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: (495) 930-56-48 Å-mail: [email protected], [email protected] Îòïå÷àòàíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäîñòàâëåííûìè ìàòåðèàëàìè â ÎÎÎ «ÈÏÊ Ïàðåòî-Ïðèíò», ã.Òâåðü www.Pareto-print.ru