{largef ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД}

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
доцент Алексей Дмитриевич Беклемишев, 2011г.
Математический аппарат ФСС: Тензоры и их координаты. Элементарные операции с тензорами. Инвариантные тензоры. Операции с символьными и индексными представлениями дифференциальных операторов в
трёхмерном пространстве.
Электродинамика сплошных сред
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Уравнения Максвелла для высокочастотного поля в сплошной среде. Материальное уравнение линейной
электродинамики. Операторы проводимости и диэлектрической проницаемости, преобразование Фурье.
Связь между тензорами проводимости и диэлектрической проницаемости в Фурье-представлении.
Свободные электромагнитные волны в однородной среде. Дисперсионное уравнение и поляризация волн.
Частотная и пространственная дисперсия. Связь тензора диэлектрической проницаемости с параметрами
,  и  квазистатической электродинамики. Асимптотика диэлектрической проницаемости в пределе высоких частот. Диэлектрическая проницаемость движущегося диэлектрика.
Принцип причинности и аналитические свойства диэлектрической проницаемости как функции частоты.
Теорема Крамерса-Кронига, правило сумм. Диэлектрическая проницаемость и оптические свойства газа
осцилляторов. Поведение диэлектрической проницаемости вблизи спектральной линии поглощения.
Предвестник.
Свойства симметрии тензора диэлектрической проницаемости в изотропных и зеркально-изомерных средах. Естественная оптическая активность. Одноосные кристаллы, обыкновенные и необыкновенные волны. Эффект Керра. Магнитооптические эффекты (Фарадея, Коттона-Мутона).
Граничные условия. Поверхностные волны на границе раздела металл-диэлектрик.
Диссипация энергии волны, её связь со свойствами тензора диэлектрической проницаемости. Энергия и
поток энергии волны в среде.
Излучение сред в присутствии движущегося заряда. Переходное излучение. Черенковское излучение, его
спектральная мощность и угловое распределение.
Гидродинамика
9.
10.
11.
12.
13.
Уравнения идеальной гидродинамики, тензор плотности потока импульса, граничные условия.
Звук, приближение несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли, переход через скорость звука.
Изэнтропическое течение, теорема Томсона. Потенциальное течение, присоединенная масса. Вихревое
течение, эволюция завихренности и динамика тонких вихрей.
Гравитационные и капиллярные волны на поверхности жидкости. Гидродинамические неустойчивости
Релея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца.
Вязкая жидкость, вязкий тензор напряжений, уравнение Навье-Стокса. Закон подобия, число Рейнольдса.
Уравнение теплопереноса. Энергия и поток энергии звуковой волны в среде. Диссипация энергии в вязкой
жидкости.
Теория упругости
14.
15.
16.
17.
Координаты Лагранжа. Тензор деформаций, деформации сдвига и всестороннего сжатия. Тензор напряжений. Закон Гука для изотропных тел.
Уравнения движения и равновесия деформированного тела. Граничные условия. Простые деформации.
Внутренние напряжения.
Термодинамика деформирования. Упругие волны в изотропной среде.
Деформации скручивания и изгиба стержней. Колебания и волны в стержнях. Устойчивость опор по Эйлеру.
Литература
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.6, Гидродинамика. М: Наука, 2006.
[2] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.7, Теория упругости. М: Наука, 2007.
[3] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.8, Электродинамика сплошных сред. М: Наука, 2003.
[4] Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. М: Институт компьютерных исследований, 2002.
[5] Лотов К.В. Физика сплошных сред. Новосибирск: НГУ, 2001.
Программа семинаров
Электродинамика сплошных сред
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тензоры. Элементарные тензорные соотношения. Инвариантные тензоры. Усреднение тензоров по изотропному распределению. Задача 1 из [4].
Дифференциальные операторы и уравнения Максвелла в Фурье-представлении. Задача 2 из [4].
Анализ волновых свойств среды на примере холодной плазмы. Тензор диэлектрической проницаемости
холодной плазмы в магнитном поле. Ленгмюровская волна. Эффект Фарадея. Задачи 5,6 из [4].
Одноосные кристаллы. Задачи 7,10,11 из [4].
Граничные условия в электродинамике. Отражение и преломление волн. Поверхностные волны. Задачи
24,13 из [4].
Скин-эффект. Найти длину затухания волны в одноосном кристалле с комплексными ||, .
Энергия волн. Найти энергию ленгмюровской волны в холодной плазме. Задача 15 из [4].
Поле в движущемся диэлектрике. Задача 9 из [4].
Аналитические свойства функции (). Формула Крамерса-Кронига для проводников. Восстановление
() по мнимой части. Задача 26 из [4].
Черенковское излучение. Возбуждение ленгмюровской волны движущимся зарядом в холодной плазме.
Гидродинамика
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Уравнения идеальной гидродинамики, тензор плотности потока импульса, граничные условия. Задача 51
из [4].
Потенциальное обтекание шара идеальной жидкостью. Шарик в движущейся жидкости. Задачи 58, 61 из
[4]. Найти закон всплывания сферического пузырька с глубины h.
Звук. Найти закон дисперсии звуковых волн в движущейся среде. Найти среднюю силу при отражении
звука от границы двух сред. Задача 78 из [4].
Волны на границе раздела двух сред. Гравитационные и капиллярные волны на поверхности жидкости.
Неустойчивость Рэлея-Тэйлора. Неустойчивость тангенциального разрыва. Задачи 52, 53, 56 из [4].
Движение вязкой жидкости. Тепловыделение. Течение Пуазейля. Задача о течении вязкой жидкости по
наклонной плоскости. Задачи 65, 63 из [4].
Пузырек в жидкости. Радиационное и вязкостное затухание его радиальных колебаний. Задачи 67,80 из
[4].
Теория упругости
17.
18.
19.
20.
Закон Гука. Однородные деформации. Граничные условия. Задача 89 из [4]. Найти форму упругого кубика, поставленного на гладкий стол (без трения) в поле тяжести. Задача 91 из [4] или задача о удлинении
кабеля, который волокут по земле с трением в поле тяжести.
Отражение и преломление звуковых волн на границе раздела двух сред. Задача 90 из [4].
Изгиб и кручение стержней. Задача о горизонтально заделанном стержне. Задачи 93, 94 из [4]. Колебания
и звук в стержне. Найти собственные частоты стержня круглого сечения со свободными концами.
Устойчивость стержней по Эйлеру. Задача 95 из [4].
ЗАДАНИЕ №1
1.
2.
Найти среднее по времени значение тензора E(t)B(t-) для электромагнитной волны с левой круговой
поляризацией в вакууме. Амплитуда волны, E, волновый вектор, k, и фаза запаздывания, kc, заданы.
Как изменится ответ для линейно поляризованной волны?
Найти диэлектрическую проницаемость однородного электролита с положительными (s=1) и отрицательными (s=2) ионами, если известно, что плотность потока частиц сорта s имеет вид fs=nsbsqsE-Dsns, где
qs- заряд, bs- подвижность, Ds - коэффициент диффузии, ns- концентрация ионов, причём отношение
Ds/bs=kT зависит только от температуры. Найти поле неподвижного точечного заряда в такой среде (указание: можно воспользоваться диэлектрической проницаемостью и решением задачи 8 из [4], или найти
стационарное распределение плотности ионов вблизи стороннего заряда и решить задачу электростатики).
3.
Плоская монохроматическая электромагнитная волна с круговой поляризацией падает по нормали на
плоскую поверхность одноосного кристалла с диэлектрической проницаемостью  =2.25+9.75h h .
Под каким углом к нормали направлена ось кристалла h, если известно, что отражённая волна имеет эллиптическую поляризацию с отношением осей 17:35?
4.
Пучок линейно поляризованного света с частотой  входит в водный раствор сахара, который вращает
плоскость поляризации с постоянной =30град/см . После прохождения в растворе расстояния L=100см
из-за разницы в поглощении свет стал эллиптически поляризованным с отношением осей равным 3. Какой будет поляризация, когда свет пройдет ещё такое же расстояние?
В некоторой среде плотность тока связана с напряженностью электрического поля соотношением
ЗАДАНИЕ №2
5.

j(r,t)=0 ()E(r,t-)d. Можно ли утверждать, (1) что эта среда изотропная, (2) обладает пространственной
6.
7.
и (3) частотной дисперсией? Найти функцию отклика () для газа осцилляторов, если известен его тензор диэлектрической проницаемости ()= [1-p2/(2+2i-02)] , где p, , 0 - константы, причем
<<0,  - единичная матрица. Чему равна магнитная проницаемость такой среды при низких частотах?
Восстановить вид тензора диэлектрической проницаемости истинно-изотропной среды без пространственной дисперсии, если известно, что показатель преломления для лево-поляризованной волны равен
n(ω), а на длине L её амплитуда уменьшается в eL раз. Поглощение считать малым, но конечным. Во
сколько раз отличаются плотности потока энергии электромагнитной волны в такой среде и в вакууме, если частота и амплитуда электрического поля совпадают?
Электрон летит в одноосном кристалле в направлении оптической оси. Найти спектральную мощность
черенковского излучения электрона (мощность излучения на единичный интервал частот). Найти угловой
размер конуса, в котором сосредоточено черенковское излучение. Скорость электрона - v; элементы тензора диэлектрической проницаемости ||(), () являются известными функциями частоты.
ЗАДАНИЕ №3
7.
8.
9.
Шарик радиуса a, находящийся в идеальной несжимаемой жидкости на расстоянии l >> a от твёрдой стенки, движется с постоянной скоростью вдоль неё. Найти распределение давления по поверхности стенки.
Плотность жидкости .
Вертикальная трубка радиуса R заполнена вязкой жидкостью с плотностью  и находится в поле тяжести.
На оси трубки помещён длинный невесомый цилиндр радиуса r<R, так что R-r << R, R << L, где L - длина
цилиндра. Найти коэффициент вязкости жидкости , если скорость всплывания цилиндра равна u.
Найти стационарное распределение температуры T(r) вязкой жидкости в задаче о стекании слоя по наклонной плоскости в поле тяжести. Верхняя граница жидкости – свободна. Температура наклонной плоскости
T0 поддерживается постоянной, угол её наклона к горизонту - α. Коэффициент кинематической вязкости
жидкости -, её теплоёмкость при постоянном давлении - cp, коэффициент температуропроводности - ,
плотность - , и толщина слоя жидкости - h.
ЗАДАНИЕ №4
10. Между двумя плоскими параллельными жесткими пластинами вставлен брусок с исходным сечением d1 
d2. Какую минимальную силу необходимо приложить, чтобы вытянуть брусок из канала, если коэффициент трения его боковой поверхности (d1) о поверхность канала равен k (k << 1), а длина бруска L >> d1, d2?
Зазор между пластинами равен a, причем a < d2. Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона  бруска заданы.
Указания. Считать, что до приложения вытягивающей силы в бруске не было продольных напряжений.
Найти, какие компоненты тензора деформации не изменяются при ``включении'' вытягивающей силы.
Воспользоваться уравнением равновесия тела. Значение комбинации параметров  kl/a произвольно.
11. Прямая вертикальная опора с длиной L и сечением a  a жестко закреплена в основании. Найти максимальный вес, который она может удерживать, если её модуль Юнга равен E.