4.2. Метод замены переменной при решении алгебраических

4.2. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений.
В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения
многочлена на множители. Данный метод широко применяется для решения большого
количества различных алгебраических уравнений. В этом разделе рассматриваются несколько наиболее часто встречающихся случаев применения метода замены переменной,
хотя, конечно, они не охватывают всего разнообразия задач, которые могут быть решены
с использованием этого подхода.
4.2.1. Простая замена переменной
Пример 4.2.1. Решите уравнение
3x
x2 + x − 5
+ 2
+ 4 = 0.
x
x +x−5
Решение. Сначала отметим, что выражение
x2 + x − 5
определено при всех x 6= 0.
x
Сделаем замену
x2 + x − 5
y=
x
и сведем исходное уравнение четвертого порядка к уравнению
y+
3
+4=0
y
относительно новой переменной y 6= 0. Решая это уравнение, получаем y1 = −3, y2 = −1.
Возвращаясь к исходной переменной x, находим решения двух квадратных уравнений.
√
Ответ: x1,2 = −1 ± 6, x3 = 1, x4 = −5.
3x
4x
+ 2
= 1.
Пример 4.2.2. Решите уравнение 2
4x − 8x + 7 4x − 10x + 7
Решение. В этой задаче замена переменной не столь очевидна. Чтобы подобрать новую
переменную, необходимо найти то общее, что повторяется в обеих дробях. В данном случае
это коэффициенты при x2 и свободные члены в знаменателе, а также x в числителе.
Отличаются дроби коэффициентом при линейном члене в знаменателе. Это наводит на
мысль поделить числитель и знаменатель каждой дроби на x:
4
7
4x − 8 +
x
+
3
7
4x − 10 +
x
= 1,
7
а в качестве новой переменной взять y = 4x + − 8. Тогда уравнение относительно y будет
x
4
3
+
= 1.
y y−2
Решая его, получаем y1 = 1, y2 = 8, а затем находим и значения исходной переменной x.
1 7
Ответ: x = ; .
2 2
1
Пример 4.2.3. Решите уравнение
x2 + x +
1
1
+ 2 = 4.
x x
1
1
Здесь удобно сделать замену t = x + . В этом случае x2 + 2 =
x
x
2
1
x+
− 2 = t2 − 2. Тогда
x
x2 + x +
1
1
−2 =
x + 2 +2·x·
x
x
2
1
1
+ 2 = 4 ⇐⇒ t2 + t − 2 = 4 ⇐⇒ (t + 3)(t − 2) = 0.
x x
Таким образом, решение одного уравнения 4-ой степени сводится к решению двух квадрат1
1
ных уравнений: x + = −3 и x + = 2.
x
√x
−3 ± 5
Ответ: x1,2 =
, x3 = 1.
2
Отметим, что сумма двух взаимно обратных величин обладает следующим свойством,
1
1
которое часто используется при решении задач: x +
> 2 при x > 0 и x +
6 −2
x
x
при x < 0. Это утверждение будет доказано ниже, в разделе ”Методы решения числовых
неравенств”.
4.2.2. Метод замены переменной в симметричных уравнениях.
Методом замены переменных решаются также уравнения вида
ax3 + bx2 + bx + a = 0
и
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a 6= 0,
которые называются симметричными уравнениями третьей и четвертой степени.
Сначала рассмотрим симметричное уравнение третьей степени. Поскольку ax3 + bx2 +
bx + a = a(x3 + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x2 − x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax2 + (b − a)x + a),
то уравнение третьей степени равносильно совокупности уравнений

x + 1 = 0,

ax2 + (b − a)x + a = 0.
Пример 4.2.4. Решите уравнение 2x3 − x2 − x + 2 = 0.
Решение. Как было показано выше, 2x3 − x2 − x + 2 = (x + 1)(2x2 − 3x + 2) = 0.
Единственный корень данного уравнения x = −1, так как дискриминант квадратного
уравнения меньше нуля. Можно было найти вид данного квадратного уравнения методом
деления уголком на x + 1. 2
Для решения симметричного уравнения четвертой степени поступим следующим образом: сначала убедимся подстановкой, что x = 0 не является корнем уравнения, а затем
разделим обе части уравнения на x2 :
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ⇐⇒ ax2 +
a
b
+ bx + + c = 0.
2
x
x
Далее приведем уравнение к виду
1
1
1
1
2
a x + 2 + 2x − 2x
+b x+
+ c = 0,
x
x
x
x
или
2
1
1
+b x+
+ c − 2a = 0.
a x+
x
x
1
Данное уравнение легко решается заменой переменной t = x + .
x
Пример 4.2.5. Решите уравнение x4 − 7x3 + 14x2 − 7x + 1 = 0.
Решение. Так как x = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно преобразовать
к виду
2
1
1
x+
−7 x+
+ 12 = 0.
x
x
Оно равносильно совокупности уравнений

1
x + = 3,

x



1
x + = 4,
x
имеющих корни
√
√
3± 5
x1,2 =
, x3,4 = 2 ± 3.
2
4.2.3. Однородные алгебраические уравнения
Уравнения вида aun +bun−1 v+...+duv n−1 +cv n = 0, где u и v – выражения, зависящие от
x, называются однородными уравнениями n-ной степени относительно u и v . Суммарная
степень каждого слагаемого равна n. Для решения таких уравнений надо сначала разделить обе части уравнения на старшую степень n одной из величин u или v, а потом ввести
u
v
новую переменную или . Например, уравнение
v
u
2(x + 4)2 − (x + 4)(x − 1) − (x − 1)2 = 0
однородное, сумма степеней u = x + 4 и v = x − 1 в каждом слагаемом постоянна и равна
2. Разделим обе части уравнения на (x − 1)2 . Отметим сразу, что x = 1 не является корнем
3
уравнения, так как при этом второе и третье слагаемые равны нулю, а, следовательно, и
первое слагаемое должно быть равно нулю, что невозможно.
Итак, после деления уравнение имеет вид:
2 x+4
x+4
−
− 1 = 0.
2
x−1
x−1
Обозначим t =
x+4
и получим квадратное уравнение относительно t:
x−1
2t2 − t − 1 = 0,
1
x+4
корни которого суть 1 и − . Для первого корня решение уравнения t =
не существует,
2
x−1
7
а для второго корня решение такого уравнения есть − .
3
Пример 4.2.6. Решите уравнение (x − 3)3 + (2x + 1)2 (x − 3) − 2(2x + 1)3 = 0.
Решение. Легко убедиться, что это уравнение однородное степени 3. Разделив обе части
1
уравнения на (2x + 1)3 (x = − не корень уравнения!) и введя новую переменную t =
2
x−3
, получим
2x + 1
t3 + t − 2 = 0.
При решении кубических уравнений следует руководствоваться обобщенной теоремой Виета, с помощью которой подбирается корень уравнения. Обычно начинают с проверки
подстановкой возможных корней 1; −1; 2; −2. Чаще всего, этого хватает. В данном случае
легко видеть, что t = 1 удовлетворяет уравнению. Методом деления уголком получаем,
что t3 + t − 2 = (t − 1)(t2 + t + 2). Поэтому других действительных корней, кроме t = 1,
x−3
нет, а из уравнения
= 1 получаем ответ.
2x + 1
Ответ: x = −4.
4.2.4. Уравнения вида (x + a)4 + (x − a)4 = b2
При решении таких задач нам понадобится возводить двучлен в четвертую степень.
Можно либо дважды возвести в квадрат, либо воспользоваться биномом Ньютона, тем
более, что эта формула дает возможность возвести двучлен в любую степень. (Кстати
говоря, слова дву-член и би-ном — синонимы.)
Биномом Ньютона называют формулу, представляющую выражение (a + b)n при целом
положительном n в виде многочлена. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:
(a + b)n =
n
X
Cni ai bn−i ,
i=0
где знак
n
X
f (i) означает сумму из n + 1 слагаемого f (i) при i, принимающем последовательно
i=0
значения 0, 1, 2...n. Далее,
Cni =
n!
,
i!(n − i)!
4
где n! есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n (n! = 1 · 2 · 3 · ... · n). Исключение
составляет 0!, который по определению равен 1 (0! = 1).
Попробуем разобраться в большом количестве новых понятий. Произведение натуральных чисел
не вызывает никаких проблем, просто надо запомнить новое слово. Происходит оно от латинского слова ”factor”, то есть множитель. Понятно, что 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 и
так далее. А ноль-факториал (читается это так) ввели для удобства записи формул (такого
произведения чисел на самом деле не существует!)
Cni читается как ”число сочетаний из n по i”. Это число определяет, сколькими способами
можно выбрать i чисел из набора в n чисел. Умея считать n-факториал, нетрудно вычислить
и число сочетаний. Так, например,
C20 =
2!
2!
2!
= 1; C21 =
= 2; C22 =
= 1.
0! · 2!
1! · 1!
2! · 0!
С помощью этих значений можно получить хорошо знакомую формулу для квадрата суммы:
(a + b)2 = C20 a2 + C21 ab + C22 b2 = a2 + 2ab + b2 .
В качестве тренировки попробуйте получить не менее (надеемся!) известную формулу для
куба суммы (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . Однако есть замечательный способ избежать
вычислений факториалов. Для этого нужно один раз построить так назывемый треугольник
Паскаля, который дает значения биномиальных коэффициентов Cni . Его построение опирается
на свойства биномиальных коэффициентов. А само правило построения очень простое: сначала
пишем единицы по краям, а все промежуточные значения определяются как сумма стоящих
рядом числовых значений в предыдущей строке (эта сумма записывается под слагаемыми посередине).
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Первая строка треугольника соответствует (a + b)0 , вторая — (a + b)1 , третья — (a + b)2 и
так далее. Коэффициенты разложения в сумму для четвертой степени (вы помните еще, с
чего мы начали?) стоят в пятой строке:
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
Применим формулу бинома Ньютона к решению уравнения (x + a)4 + (x − a)4 = b2 .
(x+a)4 +(x−a)4 = b2 ⇐⇒ (x4 +4x3 a+6x2 a2 +4xa3 +a4 )+(x4 −4x3 a+6x2 a2 −4xa3 +a4 ) = b2 ⇐⇒
5
2x4 + 12x2 a2 + 2a4 = b2
Получено биквадратное уравнение относительно x, которое можно решить стандартным
образом.
Пример 4.2.7. Решите уравнение (x + 4)4 + (x + 6)4 = 34.
Решение. Сначала преобразуем уравнение к виду (x + a)4 + (x − a)4 = b2 . Для этого
введем новую переменную, равную среднему арифметическому из выражений, стоящих в
скобках. В данном случае это t = x + 5. Уравнение примет вид
(t − 1)4 + (t + 1)4 = 34.
После возведения тем или иным способом в четвертую степень (но быстрее всего воспользоваться треугольником Паскаля), мы получим ненулевые коэффициенты только при
четных степенях t, и, таким образом, сведем наше уравнение к биквадратному
t4 + 6t2 − 16 = 0.
Этому уравнению удовлетворяют t2 = −8, t2 = 2. Очевидно, что первое соотношение не
√
дает действительных корней. Отсюда t = ± 2. Тогда корни исходного уравнения x =
√
−5 ± 2. 4.2.5. Уравнения вида (x − a) · (x − (a + 1)) · (x − (a + 2)) · (x − (a + 3)) = b.
Рассмотрим еще один тип уравнений, который решается методом замены переменной.
Решим его в общем виде.
Пример 4.2.8. Решите уравнение (x − a) · (x − (a + 1)) · (x − (a + 2)) · (x − (a + 3)) = b,
где a — любое неотрицательное целое число.
Решение. Перемножим попарно первый и четвертый, а также второй и третий двучлены
в произведении слева от знака равенства. Тогда получаем
x2 − ax − (a + 3)x + a(a + 3) · x2 − (a + 1)x − (a + 2)x + (a + 1)(a + 2) = b ⇐⇒
x2 − (2a + 3)x + a2 + 3a · x2 − (2a + 3)x + a2 + 3a + 2 = b
Теперь становится очевидной замена t = x2 − (2a + 3)x + a2 + 3a и уравнение сводится
к квадратному: t2 + 2t = b, решение которого, если оно существует, легко найти. Таким
образом задача сводится к решению двух квадратных уравнений.
6