Лекции_по_дм(множества_и_булевы_функции)

Введение
Д/м – сравнительно новое направление в математике, объединяющее отдельные её
разделы, сформированные ранее как самостоятельные теории.
К ним относятся математическая логика и теории множеств, графов, кодирования и
автоматов.
Все эти различные на первый взгляд теории изучают свойства абстрактных дискретных
объектов, различных структур, имеющих конечный характер.
Литература
1. Р. Хаггарти «Дискретная математика для программ»
2. Ф. А. Новиков
3. О. П. Кузнецов, Г. М. Адельсон – Вельский «Дискретная математика для
инженеров»
4. С. В. Яблонский «Введение в дискретную математику»
5. О. Оре «Теория графов»
6. Ф. Хараре «Теория графов»
7. А. Гилл «Введение в теорию автоматов»
8. Р. В. Белова «Элементы теории конечных автоматов» ГГУ,1987(учебное пособие)
9. В. Е. Алексеев, Р. В. Белова «Ограниченно – детермин. ф-и» (ГГУ,1983)
Раздел 1 Теория множеств
Понятие множества
Основоположник – немецкий математик Георг Кантор, 1823.
Множество – одно из базовых, основных понятий математики.
Интуитивно, множество – это совокупность объектов, хорошо различаемых нашей
интуицией или мыслью.
Нельзя: множество капель в стакане.
Объекты должны различаться.
Объекты, составляющие множество, называются элементами.
а, b, c, x, z – элементы множества
A, B, C – множества
а  А (элемент а принадлежит множеству А )
b А
Определение: Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется
конечным.
Число элементов конечного множества называется мощностью множества  А .
Определение: Множество, не содержащее элементов, называется пустым  .
Способы задания множеств
1. Задание полного списка элементов
А  a1 ,...an 
N  1,2,....- некорректное задание
1) Все элементы различны
2) Порядок элементов не существенен
a, b, c  b, a, c
2. Указание некоторого характерного свойства
А  x свойство
Множество нечётных чисел А  x x  2n  1,n  N 
Известные числовые множества:
1) N - множество натуральных чисел
2) Z - множество целых чисел
Z  - целые положительные
3) Q - рациональные числа
4) R - действительные числа
5) C - комплексные
Отношения между множествами
1) Определение: Множества А и В равны тогда и только тогда, когда они состоят из
одних и тех же элементов.
Пример:
А - множество всех положительных четных
В - множество положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух
положительных нечетных чисел.
Доказательство:
1) Пусть x  A => x  2n  (2n  1)  x  B
2) Пусть x  B => x  2 p  1  2q  1  2( p  q  1) => x  A
2) Элементами множества могут быть сами множества
1, 2, 3  1,2, 3
3) Отношение включения
Определение: Если каждый элемент множества А является элементом множества В ,то
говорят, что множество А включено в множество В :
А В
Если А  В , но А  В , то А строго включено В :
А  В ( А - собственное истинное подмножество).
Пример: N  Z  Q  R  C
Свойства включения:
1. А  А
2. ( А  В  В  С ) => А  С
3. ( А  В  В  А) => А  В
Доказательство 2.
Пусть x  А => x  В (так как А  В ) => x  C ( B  C ) => А  C (по определению
включения)
4) Сравнимость множеств
Определение: Множества А и В сравнимы, если А  В  В  А .

Пример: А  x x  3, B  x x  1
C  x  5  x  2
А  B => А и B - сравнимы
А и C , B и C - несравнимы
Подмножества
Определение: Подмножеством множества А называется любое множество А1 ,
включающееся в множество А .
Каждое множество А   имеет по крайней мере два различных подмножества:  и А .
Кроме этого каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество А
а  А => а  А
Множество всех подмножеств
Р( А)
А
Теорема: Р ( А)  2
Доказательство (ММИ):
1
1) А   , А  0
Р(А)  
Р( А)  1
2) А  а1 , А  1
Р( А)   , а1 
Р( А)  21  2
3) А  а1 , а2 
2 Предположим, что формула верна для множества А  а1 ,....аn1 
A1  n  1, P( A)  2 n1
3 А  a1 ,....an 
А1  A => P( A1 )  P( A)
P( A1 )   , a1 , a2 ...an1 , a1 , a2 ...a1 , an1 ...a1 ...an1   ...a1 ,...a1 ...an1 , an , a1 , an ,...a1 ...an 
P( A)  2 * P( A1 )  2 * 2 n1  2 n ,что требовалось доказать.
Диаграмма Венна – Эйлера
Используется для графической иллюстрации.
Определение: Множество U называется универсальным для данной задачи, если все
рассматриваемые в этой задаче множества являются его подмножествами.
Диаграммы Эйлера 1-го типа:
U
U
А
В
А
Диаграммы Венна 2-го типа:
для 1-го множества:
А
А
для 2-х множеств:
А
А
В
В
для 3-х множеств:
А
А
В
В
с
с
с
с
Пример
А
А
В
В
x  B, x  A
А
А
В
В
с
с
с
с
 x  A,

x  C,

x  B
Операции над множествами
1.Пересечение
C  A  B  x x  A  x  B
2.Объединение
C  A  B  x x  A  x  B
3.Разность (относительное дополнение)
А \ В  x x  A  x  B
А\В  А В
4.Дополнение (абсолютное)
A U \ A
U
А
5.Симметр. разность
А  В  x x  A  x  B  x  A  B
A  B   A  B \ A  B
Законы алгебры множеств
Алгебра множеств – совокупность тождеств, справедливых независимо от того, каково
универсальное множество U и какие именно подмножества обозначаются входящими в
эти равенства буквами (отличных от U и  ).
a. Закон коммутативности
1) A  B  А  В
2) A  В  В  А
3) A В  В А
b. Закон ассоциативности
1)  А  В  С  А  В  С 
2)  А  В  С  А  В  С 
3)  А В  С  А В С 
c. Закон дистрибутивности
1) А  В  С    А  В   А  С 
А  В  С    А  В    А  С 
2) 
 


х
y
1 способ (с пом. диагр.)
А
А
А
В
В
В
В
с
с
с
с
с
А
с
с
с
2 способ (поэлементное)
х  у
х у
у  х
х  А х  А
или 
 х  А  В  А  С 
1) х  Х  х  А  В  С   х  А  х  В  С  
х  В
х  С
2) х У  х  А  В или х  А  С
х  А х  А
х А В  

х  В х  В  С
 х  А  В  С 
х  А х  А
х АС  

х  С
х  В  С
d. Взаимодействие с самим множеством и его дополнением
1) А  А  А
2) А  А  А
3) А  А  
4) А  А  U
e. Свойства нуля и единицы
1) А    
2) А    А
3) А U  A
4) А  U  U
Равенства алгебры множеств, полученное из другого заменой   
6. Законы поглощения   ,U   ,   U называется двойственным
1) А   А  В  А
2) А   А  В  А
7. Дополнение к U и 
1) U  
2)   U
8. Закон двойного дополнения
A A
9. Признаки  и U
1) Если для А А  В  А, то В  
2) Если для А А  В  А, то В  U
10. Законы де Моргана
1) A  B  A  B
2) A  B  A  B
11. Признак дополнения
Если А  В  U , A  B   , то A  B (или В  A )
12. Свойства операций разности
A\B  A B
1) A \ A  
2) A \   A
3) A \ A  A
4) A \ U  
Все рассмотренные законы двойственны.
Примеры:
1) Докажите тождества, используя законы алгебры множеств
а) A  В  А  ( А  В) (для сокращения записи опус.  считаем что  – более
сильная операция )


А   А  В    А  АВ АВ  А АВ  А АВ  А А  В  А А  АВ  АВ
б) АВ  АВ  АВ
2) Упростите выражение с помощью заканов
а) АВ  С  В  АВС  В  В
б) AВВ D  C \ A)  C \ B   CD  ABC D  C A  C B  CD  C AB D  A  B  D 



 C B  B  A  D   C
в) A B   A  C 
 
 




 C  AB  D  D  D  A  B  C AB  D  A  B  C A  A B  A  D  B 
Обобщенные тождества алгебры множеств
1.Законы обобщенной дистрибутивности
n
n 
1)   Ai  B   Ai B
i 1
 i 1 
Доказательство (ММИ)
1 для n  2
A1  A2 B  A1 B  A2 B (по доказ. выше)
2 допустим формула верна для n  k
k
k


Ai  B   Ai B

i 1
 i 1 

Докажем, что она верна для n  k  1
 k 1 
k


A
B

Ai  Ak 1  B  по доказ. В ш.1=
 i 1 i 

i

1




k


=   Ai  B  Ak 1 B  по допущению
i

1


k 1
k
=  Ai B  Ak 1 B   Ai B
i 1
i 1
n


2)   Ai   B   Ai  B 
i 1
 i 1 
2.Обобщенные законы де Моргана
n
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
1)  Ai   Ai
2)  Ai   Ai
Уравнения и системы уравнений алгебры множеств
Для решения уравнений и систем уравнений используются законы и важные утверждения:
Лемма 1
A  B  AB  
Доказательство (от противного)
1)Пусть A  B , но A B   , тогда
  A,   B    A,   B, но A  B
противоречие
2)Пусть A B   , но A  B
  A,   B    A,   B    AB  AB   -противор.
Лемма 2
 A  B  A  B  
Лемма 3
n

Ai     Ai   , i  1, n

 i 1

Лемма 4
n

Ai  U   Ai  U , i  1, n

i

1


Решение уравнения
  A1 ,... Ak , x     A1 ,... Ak , x ,
где A1 ... Ak - некоторые подмножества универса,
x -неизвестное множество
Множество x 0 называется решением, если формулы   A1 ... Ak , x0  и   A1 ... Ak , x0  задают
одно и тоже множество.
По лемме 2 уравнение приводится к виду:
   
При помощи тождеств уравнение приводится к виду :
Ax  B x  C   , где A, B, C -некоторые множества
Это уравнение равносильно системе:
 Ax  
x  A


 B x     B  x  B  x  A, C  
C  
C  


B  A, C   или AB   , C   - необходимые и достаточные условия существ. решения
Различные решения получаются при добавлении к «наименьшему» решению x0  B
любых подмножеств разности A \ B
Всего таких подмножеств - 2
AB
- число различных решений
Общее решение м. записать в параметр форме
x  B  K AB , где K - произв. множество из U
Пример:
A\x  B
По л.2 A \ x  B  


Ax B  AxB  Ax B  A  x B  AB x  AB  xB  
 AB x  
 AB  x


 AB     x  B  AB  x  B, B  A
 xB  


 AB  
НИД: AB  B  выполняется A и B
B A
Общ. режим: x  AB  K B \ AB  AB  K AB

Число решений: 2
AB

Проверка:
A\
AB  K AB  A  AB  K AB  AAB K AB  AA  BK  A  B  AA  B  A  B  B,
т.к.B  A
 Ax  B
2) 
B x  C
(1) Ax  B  


Ax B  AxB  Ax B  B A  x  Ax B  AB  B x
(2) B x  C  


B xC  B x  BC x  B  x C  BC x  BC  xC

 

x AB  C  x B  BC  AB  BC  
 x  AB  C
B  x  AB  C


 B  A
B  x

C  B
 AB  BC  

НИД: AB  C B    CB  
CB  
C  B


B A    B  A  C   , B  A

C  B
 BC  





О.р. x  B  KAB  C \ B  B  K A  B C B  B  K ABC
ABC
Число решений: 2
Проверка:

 A B  K ABC  AB  B


B( B  K ABC )  B B K ABC    C
3) Система м. иметь един. решение
A  x  C

B  x  A


(1) B  x  A  
Bx  B xA  Bx  B xA  ABx  AB x  ABx  AB x  
xAC  AC  AB  AB   xAC  AC  AB  AB   
НИД: AC  AC  AB  AB AC  AC  AB  AB   
ABC  ABC  ABC  ABC  




BC A  A  BC A  A  
BC  BC  
C  B, C  B
BCBC
x0  AB  AB
Кол-во решений:1
Проверка:
A  AB  AB  A  AB  AB \ A AB  AB  A  B A  B  AB  AB  B  C

 
 
 

B  AB  AB  B  A  B  A    A
4) Решением системы является любое подмножество U
 Ax  B x

 A x  Bx
(1) Ax  B x  
Ax  B x  \ AxBx  Ax  B x  
x  A B
A B  x
A  BA  B    A  B    A  , B  
x  A  B  K A  B \ A  B  A  B  K A  B
x  K, K  U
Число решений: 2 U

С/Р. Упростить систему условий:
 A  BC  B

1)  ABC  D

 AD  BC
 Ax  B x
2) 
C  x  Ax
Классификация множеств
Опред.: Говорят, что множество бесконечно, если из него можно взять некоторый
элемент, после этого множество будет не пусто. И этот процесс можно повторять любое
количество раз.
Простейшим примером является множество N
1) Опред.: Множество называется счетным, если Счетным множеством называется всякое
множество, элементом которого можно поставить во взаимнооднозначное соответствие
множество натуральных чисел.
Отсюда, счетное множество – это бесконечное множество, элементы которого можно
пронумеровать натуральными числами.
Примеры счетных множеств:
−множество Z
0,1,1,2,2,3,3,...
если n  0  2n  1
если n  0  2 n
−множество всех четных положительных(отрицательных) чисел
−множество натуральных степеней 2
2n  n
21 ,2 2 ,2 3
−множество Q
Составим таблицу положительных рациональных чисел:
12345
...
11 1 1 1
12345
...
22222
12345
...
33333
1
...
4
В эту таблицу попадут все положительные рациональные числа, причем каждое из них
встретится не один раз.
Будем выписывать дроби, проходя по диагонали, если встречаются равные дроби, их
опускаем.
1 1 3 2 1
1,2, ,3, ,4, , , ,...
2 3 2 3 4

1 23
Присоединяя к множеству положительных рациональных чисел противоположные им
отрицательные и «нуль», мы получим множество всех рациональных чисел Q .
Свойства счетных множеств:
0
1 Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
2 0 Объединение любого конечного или счетного числа счетных множеств, есть счетное
множество.
30 Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
2) Опред.: Бесконечное множество, не явл. счетным, называется несчетным.
Опред.: Два множества называются эквивалентными, если м/у их элементами можно
установить взаимно-однозначное соответствие.
Основное свойство бесконечных множеств:
Любое бесконечное множество эквивалентно своему истинному подмножеству.
Доказательство:
] A  M , A  счетное подмножество бесконечного множества M .
Разобьем A на два счетных подмножества A ' (с четными) и A" (с нечетными)
Соотношение
M  A  M \ A
AM A  M
Теорема Кантора о существовании несчетных множеств:
Множество чисел, заключенных м\у нулем и единицей, несчетно.
Доказательство (от противного):
Пусть множество чисел счетно, представим каждое число в виде дроби:
0, a11a12 a13 ...
0, a 21a 22 a 23 ...
.
0, a n1 a n 2 a n 3 ...
.
Покажем, что существует такое число   0,1, которого нет среди перенумерованных
чисел:
  0, 1 2 ... n ..., где
1  a11, 2  a22 ,... и т. д.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Опред.: Множество, эквивалентное множество действительных чисел, заключенных м\у
нулем и единицей, называется множеством мощности континуум.
0,1 ~ R
0,1 ~ R 2
Теорема Кантора о существование множеств мощности более:
Пусть M  некоторое множество и PM   буман, континуум тогда PM   M
Кардинальные операции над множествами. Прямое произведение множеств.
Кардинальными операциями называются такие операции, при применении которых в
результирующем множестве появляются новые элементы.
Опред.: Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество
всех упорядоченных пар, у которых первый элемент  A , второй  B .
A  B   a, b  a  A, b  B
Элементы пары a и b называется координатами.
Примеры:
A  2,3,
1)
B  5,6
2) C  0,1, D  2,3
Опред.: Множество A1  ... An   a1 ...an  ai  Ai  называется прямым произведением n
множеств.
 a1 ...an   упорядоченный набор длины n называется вектором или кортежем.
Опред.: A 2  декартов квадрат
A n  A  ...  A  декартова n  я степень.
Свойства прямого произведения
1. A  B  B  A
A  B C  A  B  C 
2. A  B  C    A  B   A  C  или  A  B  C  A  C  B  C
A  BC   A  B   A  C  или  A  B  C   A  C   B  C 
Лемма о мощности прямого произведения двух множеств:
A B  A  B
Доказательство:
A  a1 ...an , B  b1 ...bk 

A  B   ai , b j  ai  A i  1, n; b j  B, j  1, k
Все элементы можно представить в виде матрицы:
 a1b1  ...  a1bk 
.
 a n b1  ...  a n bk 
A  B  nk  A  B
Теорема о мощности прямого произведения n множеств:
A1  A2  ...  An  A1  ...  An
Доказательство (ММИ):
n
Следствие A n  A
Если A  0,1, то A n  2 n  количество двоичных векторов длины n .
Упражнения:
1) A  2,3, B  5,6
а) Составьте множества 2 A  B 2
б) A  B 3  A 2  ?, выписать 4 элемента
2) Изобразить R  1,2; 
1  R; R  1,2
Покрытие и разбиение множества
Опред.: Покрытием множества A называется совокупность подмножеств Pi  A таких,
что каждый элемент A  хотя бы одному из этих подмножеств.
Опред.: Разбиением множества A на n подмножеств называется совокупность попарно
непересекающихся подмножеств Bi  A таких, что каждый элемент A  одному и только
одному из этих подмножеств.
n
 Bi  A, Bi  B j   , Bi  
i 1
i j
Bi - блоки разбиения
A  1,2,3,4,5
1,2, 3, 4,5 разбиение (и покрытие).
1,2, 2,3, 4,5 покрытие (но не разбиение).
Бинарные отношения
Опред.: Бинарным отношением  (двуместным) из множества X в множество
Y называется подмножество прямого произведения X  Y .
  X  Y , если X  Y , то   X 2 называется отношением на X .
Если  x, y   , то говорят, что элементы x и y находятся в отношении  .
Примеры: 1 : «быть равным» на R
 2 : «быть» на множестве прямых
Представление бинарных отношений
1) В виде ориент. графа G  (V , A), A  V 2 , где V – множество вершин, А –
множество дуг.
Пример:
X  1,2,3,4
  1,2, 1,1, 1,3, 3,3, 2,3, 2,1
2) В виде матриц
1, если ai a j
aij  
0, если  ai , a j  
1 1110 


2 1010 
A 
3 0010 


4  0000 
3) С помощью верхнего и нижнего сечений
Верхним сечением R  x   y  y, x   A, y  x элементы, стрелки которых направлены
в x.
Нижним сечением R  x   y x, y   A, y  x из x .
R  1  ?
Виды бинарных отношений
] на множестве A задано отношение 
1) Бинарное отношение  1 называется обратным, если a 1b  ba
2) Бинарное отношение называется рефлексивным, если x  A xx
3) Бинарное отношение называется антирефлексивным, если для всех x  A,  x, x  
4) Бинарное отношение называется симметричным, если для x, y  A из xy  yx
5) Бинарное отношение называется антисимметричным, если x, y  A из xy и
yx  x  y
6) Бинарное отношение называется транзитивным, если из того что xy и yz  xz
7) Бинарное отношение называется связным, если для всех x, y  A xy или yx
Пример:1)  :" " A  R
1. a  a  рефлексивно
2. a  b  b  a  антисимметрично
ab
 a  c  транзитивно
3.
bc
4. Связным
2)  : a b  a делит b на Z
1.
2.
3.
3)
1.
2.
3.
a
 1  Z  рефлексивно
a
a
b

a.b  антисимметрично
b
a
a
 R1  Z
a
b
  R1 R2  Z  транзитивно
b
c
 R2  Z
c
 : НОД a, b  1 на Z
НОД a, a  a  1  антирефлексивно
НОД a, b  НОД b, a
НОД 3,5  1, НОД 5,9  1, НОД (3,9)  1  антитранзитивно
8) Дополнением к бинарному отношению  называется    x, y   x, y   
9) Композицией отношений 1  x  z и  2  z  y называется отношение
1   2  x  y, которое определяется следующим образом:
1   2   x, y  z  z : x1 z и z 2 y
10) Тождественное отношение:
I   x, x  x  A
11) Универсальное отношение:
U   x, y  x  A  y  A
Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные
операции xy или yx .
Свойства бинарных отношений
 
1)  1
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1

 2  1 1  11   21
 - рефлексивно  I  
 - симметрично     1
 - транзитивно      
 - антисимметрично     1  I
 - антирефлексивно    I  
 - связное    I   1  U
Специальные бинарные отношения
1) Опред.: Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве x
называется отношением эквивалентности
Пример: 1)  : на R
2)  : x  y  Z
Опред.: Пусть на множестве A задано отношение эквивалентности.
Возьмём некоторый элемент a и образуем множество X a  состоящий из элемента
a
и всех эквивалентных ему элементов из A .
Множество A \ X a , если оно не пусто, то выберем из него любой элемент b и
образуем множество X b и т. д.
До тех пор, пока в оставшейся части X не останется ни одного элемента.
Полученная система подмножеств является разбиением и называется системой классов
эквивалентности.
x  y y  X и xy
Свойства отношения эквивалентности
1. Класс эквивалентности порождается любым своим элементом
2. Всякое разбиение множества X определяет отношение эквивалентности  , если
xy  x и y  одному блоку разбиения
3. Всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества на классы
эквивалентности
Примеры:
1)  : «иметь один и тот же остаток от деления на 3 (на N )».
0,3,6,9,...
Три класса: 1,4,7,10,...
2)
2,5,8,11,...
 : x1 , y1  x2 , y 2   x12  y12  x22  y 22 на N
3) книги библиотеки
 : переплет одного цвета
2) Опред.: Бинарное отношение называется отношением строго порядка, если оно
антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
 :
Обозначение отношения порядка: 
Если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно является отношением
не строгого порядка
 :
Отображения
Отношения эффективно применяются для описания связей м/у пароли элементов,
выбранных из двух множеств.
Опред.: Отображением (функцией) из X в Y называется бинарное отношение
f : X  Y такое, что:
1) x  X y  Y xfy
2) если xfy, и xfy2 , то y1  y2
Отображение называется инъективным, если x1 , x2  X x1  x2
f x1   f x2 
Отображение называется сюръективным, если y  Y x  X
что y  f x 
Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюръективно
Примеры:
1) f : R  R f x  sin x – неинъективно и несюръективно
2) f : R   1;1  неинъективно, сюръективно
 П П
3) f :  ;   R  инъективно, несюръективно
 2 2
4) f : R  R f x  3x  2  биективно
Упражнения
1) Упростите выражения
A  B  A \ A \ B
(с помощью диаграмм, с помощью законов)
2) Изобразить на диаграмме В-Э
A  C   B  C  \ A




3) A  x, y  y  x 2 , B  x, y  x 2  y 2  25 , C   x, y  x  0
Изобразить:
A  B  C
A \ B  C 
4) Составьте множество всех подмножеств
а) A  a, b, c б) A  a, b, a, b, a, b, c
5) Запишите бинарное отношение A  1,2,3, B  4,5,6
  A B
   b, a , a  A, b  B b  2a
Запишите матрицу 
6) 1 и  2 заданы матрицами
1
0
1 
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
2
1
0

0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
Построить матрицу композиции 1   2
7) Является ли  отношением эквивалента или порядка (какого) на множестве X
а) X  3,6,9,12,18    a, b  b a, a, b  X
б) X  1,3,5,6,7    a, b , a, b  x a  b  четное число
Раздел 1 Булевы функции
Элементарные булевы функции от двух переменных
f3
f1
f2
f4
x y
x y
x y
xy
x y
00
01
10
11
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
x  y -конъюнкция (логическое умножение) " x и y"
x  y -дизъюнкция (логическое сложение) " x или y"
x  y -сумма по модулю 2 " x плюс y"
f5
x~ y
1
0
0
1
f6
f7
xy
1
1
1
0
x y
1
0
0
0
0  0 2  0
, т.е. 0  0 mod 2  1  1 mod 2
1  1 2  0
x  y -импликация " из x следует y"
x ~ y -эквивалентность " x эквивалентно y"
x ~ y  x y
x y -штрих Шеффера (антиконъюнкция) " не x и не y"
x y  x y
x  y -стрелка Пирса (антидизъюнкция) " не x или не y"
x y  x y
Таблицы, в которых представлены значения булевых функций, называются таблицами
истинности.
Опред.: Суперпозицией булевых функций f1  f n называется функция f , полученная
с помощью подстановок функций друг в друга и переименованием переменных.
Выражение, описывающее эту суперпозицию, называется формулой алгебры логики.
Опред.: Формулы A и B называются эквивалентными, если соответствующие им
функции равны.
Если функция f соответствует формуле A , то говорят, что формула A реализует
функцию f .
Пример: f1 x   x; f 2 x, y   x  y; f 3 x, y   x  y; f 4 x, y   x  y
f x, y, z   f 3  f 2 x, z , f1  f 4  y, z  -суперпозиция


f x, y, z   x  z   y  z -формула
Несмотря на то, что каждой формуле соответствует какая-либо булева функция,
понятия функции и формулы различны.
Формул бесконечно много, а функций – конечное число.
Свойства элементарных булевых функций
1. Коммутативность
x y  yx
x~ yy~x
x y  y x
xy yx
xy yx
x y  yx
x y yx
2. Ассоциативность
x   y  z   x  y   z
x   y  z   x  y   z
x   y  z   x  y   z
x ~  y ~ z   x ~ y  ~ z
x   y  z   x  y   z
3. Дистрибутивность
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
4.
Взаимодействие с 0,1, x, x
x x  x
x 1  x
x0 x
xx x
x 1  x
x00
x x 1
xx0
xx 0
x ~ x 1
x 1 1
x0  x
x~0x
1 x  x
x  x 1
x 1  x
x ~1 x
x0 x
xxx
x x 1
x~ x0
5. Двойное отрицание
x  x 1
0  x 1
xx
6. Законы де Моргана
x y  y x
x y  x y
xxx
7. Законы поглощения
x  x  y   x
x  x  y   x
8. Выражение эквивалентности через другие операции
x ~ y  x  y  x  y 1
x ~ y  x y  xy
9. Выражение  через другие операции
x  y  x y  xy
10. Выражение импликации через другие операции
x  y  x y
x y yx
x  y  xy  x  1
В справедливости можно убедиться, построив таблицы истинности этих формул.
Пример: x у  z   xy  xz
xyz
yz
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
1
0
0
1
1
0
x y  z 
0
0
0
0
0
1
1
0
xy
0
0
0
0
0
0
1
1
xz
0
0
0
0
0
1
0
1
xy  xz
0
0
0
0
0
1
1
0
С помощью законов алгебры логики можно упрощать исходные формулы и получать
новые.
Если в выражении нет скобок, то очередность логических операций следующая:
1) отрицание
2) 
3) 
4)  и ~
5) 
Упражнения
1) Определить какие переменные являются фиктивными
xyz
f1 0,0,1  f1 0,0,1  z  сущ.
f1 f 2
000
0
1
f1 0,0,0  f1 0,1,0; f1 1,0,1  f1 1,1,1
001
1
1
f1 0,0,1  f1 0,1,1; f1 1,0,0  f1 1,1,0
010
0
0

011
1
0
100
1
1
y  фиктивная переменная
101
0
1
f1 0,0,0  f1 1,0,0  x  сущ.перем.
110
1
1
111
0
1
2) По заданным суперпозициям написать формулы, реализующие f , q, h ; составить
табл. истин.
f 8 x   x
f  f 2  f 8  z , f 4  y, f 3 x, z 
q  f 7  f1 x, z , f 5  y, f 8  z 
h  f 3  f 8  f 4 z , x , f 6  f 8  y , z 
3) Опираясь на законы проверить справедливость соотношений


а) x y z  x y  x  y
  


б) x  y   x y  x ~ y  x  y  x  y

Опред.: Функция, равносильная своей двойственной, называется самодвойственной.
f  xy  yz  xz  показать, что является самодвойственной
f   x y  y z  x z  x  y  y  z x  z   xy  yz  xz
В таблице истинности на всех парах противоположных наборов самодвойственная
функция принимает противоположное значение.
Теорема двойственности
Если  x1  x n  реализована формулой f  f1 x1  xn  f n x1  xn  , то формула


f * f1*  f n* реализует функцию  *  x1  x n  .
Доказательство:

  
 f , f 







 * x1  xn    x1  xn  f f1 x1  xn  f n x1  xn  f f1 x1  xn  f n x1  xn 

*
 f f1 , f n
*
 f
*
*
1
*
n
Принцип двойственности
Пусть функция f задана формулой через ,, .
Для того, чтобы получить формулу, реализующую f * , достаточно заменить  на  ,
 на  , все константы на противоположные константы, функции x и x сохранить.
Опред.: Пусть

Двойственность функции
f x1  xn   P2 n   булева функция, тогда

f *  x1  x n  такая, что
f * x1  xn   f x1  xn называется двойственной к функции f .
Примеры:
f 0
f * 1
f x
f* x
f 1
f* 0
f  x y
f*  x y
f x
f* x
f  x y
f *  x y
Таблица истинности для
f * при упорядоченном наборе значений переменной
получается из таблицы для f построением f и переворачиванием столбца значений
от f .
f x, y, z   xy  z
x, y , z
f
f
000
001
010
011
100
101
110
111
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
f*
0
1
0
0
0
0
0
0
Доказательство:
Рассмотрим значение формулы в правой части на наборе значений a1  a n
V
 

a1 1 am
m
f  1  m , am1 an 
1 m
Все конъюнкции, в которых ai   i равны 0 , их можно опустить, поэтому в
дизъюнкции останется одно слагаемое
a1a1  a mam f a1  a n   f a1  a n 
Так как набор значений переменной выбран произвольно, то формула верна всегда.
Следствие 1:
m 1
f x1  xn   x1 f 1, x2  xn   x1 f 0, x2  xn 
Следствие 2:
mn
f  x1  x n   V x11  x n n  СДНФ
f 1 n 1
Теорема: Всякая булева функция имеет единственное СДНФ.
Доказательство:
f  x1  x n   V x11    x n n f  1  n   V x11    x n n f  1  n  
1 n
f 1 n 1
f
V
  
1 n
1
x11    x n n
Пример:


1) f x, y   xy  x   y  x y  1  y  x y  y  x y  y  x  y y  x y
f  x y
*

2) f  x  1  y   y  z  x y  z

Разложение булевых функций по переменным
 x,   1
Введем обозначение: x   
 x,   0
x  x
00 1
01 0
10 0
11 1
x  1  x  
xx 1
S
V xi  x1    x S
i 1
Теорема: Каждую функцию алгебры логики f x1  xn  можно представить в виде:
f x1  x n   V x11  xm m f  1  m , xm1 , xn  ,
1 m
всевозможным наборам  1  m .
где
дизъюнкция
берется
по
5)Если в конъюнкцию не входит переменная у , то нужно рассмотреть равносильное


выражение x11  xn n y  y и вновь перейти к шагу 2.
6) Если появились одинаковые конъюнкции вновь перейти к шагу 3.
Пример:
1) x  z  x  y   x  z  x  y  x z  x yz  x y  y z  x y z  x y z  x y z  СДНФf
 
 
2) x  yz  xy  y z  z   x  x yz  xyz  x yz  xy z  x y z  x yz  СДНФf
Опред. Выражение вида
f x1  xn  

f 1 n 0
1
x1  x2
2
   xn
n
Называется СКНФ
1)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
xyz
f
f  x, y , z   x 1  y 2  z x 1  y  z x  y  z x  y  z 
000
0
001
1  x  y  z  x  y  z x  y  z x  y  z  СКНФf
010
1
011
0
100
0
101
1
110
1
111
0









Каждое из выражений x y  z называется элементарной конъюнкцией.
СДНФ называется совершенной, так как каждое слагаемое содержит все переменные;
дизъюнктивной, так как главная операция-дизъюнкция;
нормальной, так как совершенный вид такой формы является однозначным способом
записи формулы, реализующей заданную функцию.
1. Табличный способ построения СДНФ
xyz
f
СДНФf  x 0 y 0 z 1  x 0 y 1 z 0  x1 y 0 z 1  x yz  x y z  x yz
000
0
001
1
010
1
011
0
100
0
101
1
110
0
111
0
2. Аналитический способ построения СДНФ
1) Преобразуем формулу так, что бы в ней были только ,, , причем  могут
стоять только над переменными
2) Используя законы дистрибутивности, преобразуем формулу так, чтобы 
выполнялись раньше, чем  .
3) Если в ДНФ имеется несколько одинаковых конъюнкций, то оставляем лишь одну.
4) Делаем все конъюнкции правильными
Упражнения: построить СДНФ и СКНФ
1) f  x y  z  xz  y 




2) f  x  y   x y   x ~ yz

Полином Жегалкина
Теорема:
Всякую булеву функцию можно представить в виде:
f x1  xn    x11    xn n , где сумма по mod 2 берется по всем наборам, где f  1
1 n
f  1  n   1
x0  x  x 1
 x  x  
x1  x  x  1
Подставим вместо x i i выражение xi   i , раскрыв скобки по закону
дистрибутивности и приведя подобные члены по правилу A  A  0 , придем к
представлению в виде:
f x1  xn  
 ai1i3 x1   x3 ,
i1i3 1n
где коэффициенты ai1i3  0 или 1 .
Это представление носит название полинома Жегалкина.
2.
f x, y, z   x ~ x  y   z   xx  y   z  xx  y   z  x  x  y  z  xz  xyz  x y  xz  xz 




      
   

 x  y y  z x x  y  z   x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z   x  y  z 
 x  y  z x  y  z 
 x y  xz  x x y  xz  z  x y  z  x x y  z  x  y  z x  z y  z  x  y  z 
3. Чтобы построить СКНФ для некоторой функции, надо построить отрицание f в
СДНФ, то есть взять дизъюнкцию элем. конъюнкций, дающих значение 0 и взять
отрицание от f .
Пример:
xyz
f
СДНФ f  x y z  x yz  x y z  xyz 
000
0
 x  y  z  x  y  z x  y  z x  y  z
001
1
010
1
011
0
100
0
101
1
110
1
111
0




2) Метод неопределенных коэффициентов
f x y
xy
f
00 1
01 1
10 0
11 1
f x, y   a12 xy  a1 x  a2 y  a0
f 0,0  a0  1
f 0,1  a2  a0  1  a2  0
f 1,0  a1  a0  0  a1  1
f 1,1  a12  a1  a2  a0  1  a12  1
ПЖf  xy  x  1
~
 f  01101011
f x, y, z   a123 xyz  a12 xy  a13 xz  a23 yz  a1 x  a2 y  a3 z  a0
f 0,0,0  a0  0
f 0,0,1  a3  a0  1  a3  1
f 0,1,0  a2  a0  1  a2  1
f 1,0,0  a1  a0  0  a1  0
f 0,1,1  a2  a3 a 23 a0  1  a23  1
f 1,0,1  a13  a1  a3  a3  0  a13  1
f 1,1,0  a12  a1  a3  a0  1  a12  0
f 1,1,1  a123  0  1  a123  1
f x, y, z   xyz  xz  xy  y  z
Опред.:
Если
ПЖ
не
содержит
конъюнкций,
то
есть
имеет
вид
a0  a1 x1  a2 x2    an xn , то соответствующая ему функция называется линейной.
Упражнения
Построить ПЖ
1) f  x ~ z   x  y
2) f  x ~ x  y   z 
 
3) f  z  x  y z
Теорема: Всякая булева функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина
единственным образом.
Если у функции есть фиктивные переменные, то они н6е должны входить в ПЖ.
Способы нахождения ПЖ:
1) С помощью законов алгебры логики
а) из исходной формулы
x  y  z  x  y  z  x  y  z  x  1 y  1z  1  1  xyz  xy  yz  xz  x  y  z
б) из СДНФ
СДНФf  x y z  x y z  x yz  xyz  x  1 yz  1  x y  1z  1  xz y  1  xyz 
 xyz  yz  x  y
Следствие:
Полными являются системы:
,, ,, | , , , 0,1,,
Доказательство:
а) 1  ,, 2  ,
x y  x y
2  ,
б) 1  ,
x y  x y
2  |
x  x| x
x  y  x | y  | x | y 
Доказать самостоятельно: , ,  полные системы
Замыкание
Опред.: Пусть K  некоторый класс (подмножество) булевых функций K  P2  .
Замыканием K K  называется множество всех булевых функций, представимых в виде
суперпозиции функций из K .
K  P2
1)
K   P2
K  1, x  y
2)
K   a0  a1 x1    an xn 
множество всех линейных функций
Полнота и замкнутость
Опред.: Система функций 1  , называется функционально полной, если любая
булева функция может быть представлена в виде суперпозиции функций этой системы.
Пример: 1) P2 n  полная
2) ,, полная
Доказательство:
Если f x1  xn   0 , то f  x1  x1
Если f x1  xn   0 , то её можно представить в виде СДНФ
3) 0,1  неполная
Теорема о полноте второй системы булевых функций
Пусть даны 2 системы R   f1  f n 1 и S   f1  f s 2 , причем 1 – полная и каждая
функция системы (1) выражается в виде суперпозиции функций системы (2).
В этом случае система (2) является полной (без доказательства).
2) Класс T1  класс функций, сохраняющих константу «1», то есть f 1,1  1
1, x  y, x  y  T1
Примеры:
0, x  T1
T1 
P2
2
Теорема T1  замкнутый класс (доказать самостоятельно)
3) Класс S  класс самодвойственных функций, то есть f  f *
Примеры:
x, x  S
x yS
Так как самодвойственная функция на противоположных наборах принимает
противоположные значения, то самодвойственные функции определяются своими
значениями полностью на первой половине строк
S 2
2n
2
 
 22
n
1
2

P2
Теорема: S  замкнутый класс
Ф  f  f1  f n , где f , f1 , f n  S


Ф*  f * f1  f n  f  f1  f n   Ф
*
*
1)
2)
3)
4)
K  K 
K   K 
K1  K 2  K1   K 2 
K1   K 2   K1  K 2 
Свойства замыкания
Опред.: Класс называется функционально замкнутым, если K  K 
1) K  P2
K   K  замкнут
2) K  1, x  y  не замкнут
3) K  L
K   K  L  замкнут
Важнейшие замкнутые классы
1) Класс T0  класс функций, сохраняющих константу 0, то есть f 0,00  0
Пример:
x  y  T0
x  y  T0
x  y  T0
n
P2
22
T0  2


2
2
Теорема: T0  замкнутый класс
2 n 1
Функцию Ф  f  f1  f n  , где f , f1 , f n  T0
Ф0,0  f  f1 0,0, f n 0,0  f 0,0  0
2) f  xy  zx  y 
f S
xyz
f
f 0,0,0  f 1,1,1
000 0 x  x
001 0
xy
010 0
011 1 x  z
100 0 0  xx  xx  x 
101 1
110 1
111 0


3) f  x  y  z  x  y   xyz
4) Класс M  класс монотонных функций
Введем обозначение:
~
~  1  n ,   1  n   наборы значений переменной
~
f ~ , f   значение функции на этих наборах
~
~
Опред.: Наборы ~ и  находятся в отношении предшествования ~   ,
 


если  i   i , i  1, n
0,1,0,1  0,1,1,1
0,1,0,1 1,0,1,1  несравнимы
~
~
Опред.: Булева функция называется монотонной, если ~ и  таких, что ~  
~
выполняется неравенство f ~   f 
0,1, x  y, xy  M
 
x, x  y  M
Лемма о несамодвойственной функции
Если f x1  xn   S , то из неё путем подстановки x и x вместо переменных можно
получить константу.
Доказательство:
Так как f  S , то  такой набор 1 , n  , что f 1 , n   f 1 , n

Функцию  x   f x , x
1
 x,   1
Так как x   
 x,   0
0   , 1  

n
 (делаем замену x

i

 xi )

 0  f 0 ,0   f  1 , n  f 1 , n   f 1 ,1    1   0   1  const
1
n
Пример: Можно ли получить константу из функции
1) f x, y, z   z  xy
xyz
f
f  S , f 0,0,0  f 1,1,1  1
000 1 Замена:
001 0 x 0  x, x 0  y, x 0  z
010 1
x  x x 1
011 0
или
100 1 x  x, x  y, x  z
101 0 x  x  x  1
110 1
111 1
1
n
Лемма о немонотонной функции
Если функция f не является монотонной, то из неё с помощью подстановки 0,1 и x
вместо переменных можно получить x .
Доказательство:
~
Пусть f  M , тогда  ~ и 
~
~
~   , f ~   f 
наборы ~  1  i 1 ,0,  i 1 , n 
~
  1  i 1 ,1,  i 1 , n 
функцию  x   f 1  i 1 , x,  i 1 , n 
~
 0   f ~   f    1
 
 0    1
 


1  0
 x   x
Пример: Определить, можно ли получить функцию x из функции:
1) f  x  yz f  M , так как
f 100  1 f 111  0
Делаем замену:
 i  xi , если  i   i
x  xi , если  i   i
так как 1  1
1 x
xy
xz
f  1 x  x  x
Проверять монотонность можно с помощью диаграммы:
1) Хассе
Пример: x  y
(1,1)
(0,1)
(1,0)
(0,0)
Если при движении по каждому ребру значение функции не уменьшается, то функция
является монотонной.
Следовательно, x  y  не монотонна.
2) Разделим вектор ~ f не две равные части, если ~ f1  ~ f 2 , то функция не является
монотонной.
Если ~ f1  ~ f 2 , то каждый из векторов вновь разделим на 2 равные части и так далее.
Если  выполняется для всех пар, то f  M .
Пример:
~ f  10011111
~  1001  ~  1111
f1
f2
10, 01
не сравнимы
функция не является монотонной.
Теорема: Класс M  замкнутый класс
Доказательство:
Пусть f  L , функция не является линейной относительно x1 и x 2 , тогда
f  x1 x2 f1 x3  xn   x1 f 2 x3  xn   x2 f 3 x3  xn   f 4 x3  xn , где f1  0
Выберем такой набор  3  n  , что f1  3  n   1
Подставим  i  xi
f x1 , x 2 ,  3  n   x3 x 2  x1  x 2  
  f 2  3  n ,   f 3  3  n ,   f 4  3  n 
Обозначим f x1 , x2 ,  3  n    x1 , x2 
Можно заметить, что  x1   , x2         x1  x2
То есть f x1   , x2   ,  3  n   x1  x2
Пример: Выяснить является ли функция линейной, если нет, то построить xy
1) f  x  y
f  x  y  x  y  x y  1  1  xy  x  1
  1,   0,   1
 
f x  0,1  y   f x, y  x  y  x  y  x  y
с/р 2) f  xy  zx  y 
5) Класс L  класс линейных функций
Примеры: 0,1, x, x  L
xy, x  y  L
Теорема: Класс L  замкнутый класса
Лемма о нелинейной функции
Если функция нелинейная, то из неё с помощью подстановки 0,1, а также x1 , x1 , x 2 , x 2 и
быть может навешивания отрицания над всей функцией можно получить конъюнкцию
x1 x2 .
Система булевых функций f является полной  когда она целиком не содержится ни в
одном из замкнутых классов: T0 , T1 , S , M , L .
2 Достаточность
Пусть F не содержится ни в одном из классов, тогда  функции  f1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5  такие,
что f1  T0 , f 2  T1 , f 3  S , f 4  M , f 5  L
Достаточно показать, что эта система является полной.
Для доказательства получим отрицание, константы,  :
Возьмем f1 x1  xn   T0 , то есть f1 00  1
Функцию 1 x  f1 x x
0, 1  x   xa 
1 1  
1, 1  x   1б 
Случай (а): получили x , берем f 3  S и по лемме 10 несом. функции получаем вторую


константу. Таким образом, имеем систему 0,1, x, x, f 4 , f 5 по лемме 30 нелинейные
функции, получаем x1 x2 .
Случай (б): 1 x   1 , так как f 2 x1  xn   T1 , то f 2 11  0 , то есть получены обе
константы.
Берем функцию f 4  M и получаем по лемме 0 немон. функции x
x1 x2 получаем аналогично.
Таким образом мы выразили , через функции F ' , так как ,  полная, то
F '  полная.
2) f  xy  y z  x z
f  xy  y z  x z   xy  1 y  z  1  1 xz  1  1  1   xy  1 yz  y  1 xz  x  1  1 
 xyz  xy  xy  yz  y  1 xz  x  1  1  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  yz  xyz  xy  y 
 xz  x  1  1  yz  xy  xz  x  y  xy  x z  1  y  z  1
z0
f  x, y,0   xy  x  y
  1,   1,   0


f x, y,0  x y  y  x  x  y  xy
с/р 3) f  x   y  z 
Все рассмотренные 5 классов не полные и попарно различны, то есть  булевы функции,
не принадлежащие ни одному из классов, и есть функции  одному из любых 2-ух
классов.
Теорема о функциональной полноте – критерий полноты, системы булевых функций.
(Теорема Поста)



Примеры базисов: x y, x  y, x , x  y, x
Следствие 1 из теоремы Поста:
Каждый базис в алгебре логики состоит не более чем из 4-х функций.
Доказательство:
1) Пусть F   f1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f1  T0 , f 2  T1 , f 3  S , f 4  M , f 5  L , по теореме Поста
F  полная.
Покажем, что можно удалить одну из функций и система останется полной.
Функцию f1  T0  f1 00  1 .
1) f1 11  0  f1  M , удаляем f 4
 f1 , f 2 , f 3 , f 5  полная
2) f1 11  1  f1  S , удаляем f 3
 f1 , f 2 , f 4 , f 5 полная
2) Покажем, что  базис алгебры логики из 4-х функций
0,1, x  y, x  y  z Система полная, любая подсистема не является полной(нельзя
исключить ни одну функцию).
Пример
F  x  y, x ~ y
T0 T1
S
M
L
xy
-
+
-
-
-
x~ y
-
+
-
-
+
x
-
-
+
-
+
F содержится целиком в классе Т1  система не является полной


Если добавить x то система F '  x  y, x ~ y, x будет полной, если исключить из


F ' x ~ y то система F "  x  y, x также будет полной
Опред.: Полная система функций, которая при удаление из неё любой функции
становится неполной, называется базисом.
Систему 0,1, xy, x  y
S
M
L
T0 T1
0
+
-
-
+
+
1
-
+
-
+
+
xy
+
+
-
+
-
x y
+
-
-
-
+
Базис: 1, xy, x  y
3)Получение конъюнкции (по лемме о нелинейной функции)
f1  x, y, z   xyz  xy  1  xy z  1  1
z0
f1  x, y,0   xy  1  xy
xy  f1  x, y, x  x   xy   x  x    x  x  x    x  y   x  x 
Пример 2:
x  yz, xz ~ xy, xy  yz
x  y, x  y, x  y,0
Выяснить, полна ли система функций. Если полна, то провести поэтапное
доказательство теоремы Поста.
Одной из целей булевой алгебры является описание поведения и структуры
логических схем.
Логическая схема имеет вид «черного ящика», в котором вход – набор булевых
переменных, а выход булева функция.
Исследователя интересуют лишь входные и выходные сигналы, а не процессы
протекания.
Примерами логических схем служат микросхемы.
В электротехнике принята маркировка по той функции, которую схема реализует:
и –не , 2и –не и так далее.
x1
F x1 ,, x n 


xn


Достаточно выразить F в виде функции от переменных
x1  xn 

Опред.: Класс А называется предполным, если А  неполный, но при добавлении
любой функции f  A он становится полным.
Следствие 2: Существует только 5 предполных классов: T0 , T1 , S , M , L .
Пример 1: Доказать полноту системы функций xy  z, x  y.
Выразить константы,  и  через функции этой системы.
Т0
Т1
S
M
L
f1 
xy  z
-
+
-
-
-
f2 
x y
+
-
-
-
+
f1  xy  z  x  y  z
f1*  x  y  z
f 2*  x ~ y
f1  x  y  z  xy z  1  1  xyz  xy  1
Система является полной.
1) Получение констант (по лемме о несамодвойственной функции)
f1 0,0,0  f1 1,1,1  1
f 2 0,0  f 1,1  0
x x  x 1
xx 0
2) Получение отрицания (по лемме о не монотонной функции)
f 2 1, x   1  x  x
x  x  x   x  x
Сравнивая операцию двоичного сложения и суммы по модулю 2 можно увидеть
аналогично.
Операция двоичного сложения в пределах последнего двоичного разряда имеет ту же
последовательность символов, что и сумма по модулю 2.
000  0
0  0 1  1
0 1 0  1
0  1  1  10
1 0  0  1
1  0  1  10
1  1  0  10
1  1  1  11
Поэтому операция сложения по модулю 2 имеет особое значение для организации
работы компьютера: в схемах контроля и исправления ошибок.