Решение уравнений в целых числах

Решения уравнений в целых числах
Пособие содержит описание методов решения уравнений в целых числах. Решения
сопровождаются интерактивными файлами, выполненными в программах InMA и GInMA.
Методы применяют при решении задач С6 для ЕГЭ 2013.
Оглавление раздела
1. Разложение на множители.
2. Перебор возможных решений.
3. Оценка при исследовании существования решения.
4. Простейшие целочисленные уравнения
5. Типичные целочисленные уравнения
Вход в интерактивные файлы программы GInMA выполняется с помощью щелчка по
рисунку. Чтобы рисунки из комплекта ожили, необходимо установить на Вашем компьютере
программу GinMA (демо-версия бесплатна) c сайта http://www.deoma-cmd.ru/ (при первой
установке необходимо дать информацию Вашему браузеру о том, что файлы формата .ginma
открываются с помощью GinMA.exe). Для полноценного использования комплекта
рекомендуем купить его на том же сайте. Покупка даст возможность видеть все шаги
решения в интерактивном файле и сохранять созданные Вами варианты заданий.
Для того, чтобы войти в интерактивный файл программы InMA необходимо с сайта
http://www.deoma-cmd.ru/ скачать и установить соответствующий класс, открыть его и выбрать в
оглавлении указанный файл. Запись 11, 2.6.1(6) означает, что надо установить 11 класс. Войдя в
программу, в оглавлении найти Главу 2 (уравнения и неравенства), Раздел 2.6 (Решения в целых
числах), и войти в файл 2.6.1 Решение в целых числах. В файле открыть задачу 6. В демо-версии
доступны только условия задач.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
1. Разложение на множители
1. Задание Решите в целых числах уравнение a x 2 +(a b+d ) x y+b d y 2=c .
a. Решите в целых числах уравнение 3 x 2 +5 x y + 2 y 2 =7.
2. Анализ По определению, решить уравнение значит найти все числа, подстановка
которых в уравнение приведёт к верному равенству обеих его частей. Известно, что любое
натуральное число можно разложить на простые множители единственным образом с
точностью до порядка множителей. Значит, любое целое число можно разложить на множители
числом способов, определяемым методами комбинаторики. Если перебрать все возможные
способы разложения, то найдём все возможные решения исходного уравнения.
3. Решение в общем виде Уравнение a x 2 +(a b+ d ) x y+ b d y 2=c приводим к виду
(a x +d y)⋅( x+ b y)=c .
c
Если a b=d , то a ( x +b y )2=c . Если p=
− не целое число, то решений нет, иначе
a
решение – это совокупность решений уравнений x +b y= p и x +b y=− p.
x +by=c1 ,
Если a b≠d , то решениями являются решения систем уравнений
где c1 и
ax +dy =c 2 ,
√
{
c2 целые, причём c1c2 = c.
Количество таких систем вдвое больше, чем количество делителей числа |c|, так как в
качестве c1 может выступать любой делитель числа |c| и этот же делитель со знаком минус.
c 2 b−c 1 d
x=
,
ab−d
Каждая система имеет единственное решение
Из этих решений необходимо
c 2−c1 a
y=
.
ab−d
{
выбрать целочисленные.
4. Пример a. Решаем уравнение 3 x 2 +5 x y + 2 y 2 =7 в целых числах.
Размышления: Решение задач в целых числах вида выражение равно числу часто
сводится к разложению выражения и числа на множители. Техника разложения квадратного
трёхчлена такова. Рассмотрим уравнение 3 x 2 +5 x y + 2 y 2 =0 и найдём его нетривиальные
корни (отличные от х = 0, у = 0). Делим левую часть на х ≠ 0. Получаем:
2
y
y
y
y
3
2
+5 + 3=0 ⇔ =−1 ; =− ⇔ y + x=0 ; 2 y +3 x=0 .
x
x
x
x
2
2
2
Значит, (x + y )⋅( 3 x+ 2 y)=3 x +5 x y+ 2 y . Равенство очевидно при такой записи и
доказывать его не требуется. Соответствующие преобразования оставьте на черновике.
2
2
Решение:
( x + y )⋅( 3 x+ 2 y)=3 x +5 x y+ 2 y =7 . Оба множителя в левой части – целые
числа. Число 7 простое, значит, первый множитель в разложении либо ±1 , либо ±7 . Все
возможные разложения числа 7 на целые множители таковы:
7 = 1 ⋅ 7 = 7 ⋅ 1 = (–1) ⋅ (–7) = (–7) ⋅ (–1)
Если
x + y = 1, то 3x+ 2y = 7. Тогда
x = 5;
y = –4.
Если
x + y = –1, то 3x+ 2y = –7. Тогда
x = –5;
y = 4.
Если
x + y = 7, то 3x+ 2y = 1. Тогда
x = –13;
y = 20.
Если
x + y = –7, то 3x+ 2y = –1. Тогда
x = 13;
y = –20.
()
Ответ: {5; –4}; {–5; 4}; {–13; 20}; {13; –20}.
Интерактивное решение задач этого типа доступно по адресу 11, 2.6.1(6). То есть надо
установить 11 класс. Войдя в программу, в оглавлении найти Главу 2 (уравнения и неравенства),
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
Раздел 2.6 (Решения в целых числах), и войти в файл 2.6.1 Решение в целых числах. В файле
открыть задачу 6. Изменяя числа, можно создать множество задач этого типа. В демо-версии
доступны только условия задач.
Рис.1. Решение в целых числах уравнений вида a x 2 +(a b+ d ) x y+ b d y 2=c .
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
2. Перебор возможных решений
1. Задание Решите в целых числах уравнение a x 2 +b y 2=c , a> 0,b >0, a, b, c – целые.
а. Решите в целых числах уравнение 5 x 2+ 3 z 2−2 y z + y 2 =30 .
2. Анализ укороченного уравнения Уравнение a x 2 +b y 2=c , a> 0,b >0, c< 0 не имеет
решения, так как в левой части уравнения стоит сумма неотрицательных чисел. Она не может
быть равна отрицательному числу.
Уравнение a x 2 +b y 2=0, a >0, b> 0 имеет решение {0;0}, так как в левой части уравнения
стоит сумма неотрицательных чисел. Она равна нулю только если равно нулю каждое слагаемое.
Уравнение a x 2 +b y 2=c , a> 0,b >0, c> 0 решают методом перебора. Выбираем больший из
коэффициентов и записываем ограничение на соответствующее слагаемое. Если a > b, то
c
. . В этом диапазоне выполняем перебор возможных значений икса.
a x 2≤c , 0≤x≤
a
c
Варианты для перебора это x=0 ,±1 ,±2, ... , то есть 1+
.
a
Если решением уравнения является пара {x, y}, то пары {−x, y}, {x, − y}, {−x, − y} тоже
являются решениями. Поэтому ненулевые решения группируются в четвёрки, а нулевые при x =
0 или y = 0, в пары.
√
[√ ]
Рис.2. Решение в целых числах уравнений вида a x 2 +b y 2=c , a> 0,b >0, с> 0.
3. Решение задания а. Решите в целых числах уравнение 5 x 2+ 3 z 2−2 y z + y 2 =30 .
Выделяем полные квадраты с таким расчётом, чтобы избавиться от слагаемого 2yz:
5 x 2+ 3 z 2−2 y z + y 2 =5 x 2+ 2 z 2 +( y−z )2=30 .
Выполняем перебор возможных значений икса:
Если х = 0, то 2 z 2+( y−z )2=30. Если z 2 =0,1, 4,9, то целых решений нет. При больших
значениях зет правая часть меньше левой.
2
z=0, то
Если х 2=1 , то
2 z 2+( y−z )2=25 . Если
y =25. Решения
(1,5,0) ,(−1,5,0) ,( 1,−5,0) ,(−1,−5,0) . Если z 2 =1, 4, 9, то целых решений нет. При больших
значениях зет правая часть меньше левой.
2
2
2
Если х 2=4 , то
2 z +( y−z ) =10 . Если
z =0,1, 4, то целых решений нет. При
больших значениях зет правая часть меньше левой.
Если х 2≥9 , то правая часть меньше левой.
Ответ: (1,5,0) ,(−1,5,0),( 1,−5,0) ,(−1,−5,0) .
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
3. Оценка при исследовании существования решения
1. Задание Уравнение √ n+ √ n+ ..+ √ n=m содержит k ≥2 последовательно извлекаемых
корней. Решить уравнение в целых числах, то есть найти все возможные значения k, m и n.
n≥0 . Если n=0, то m=0 , k произвольное. Итак
2. Анализ ОДЗ уравнения
n> 0 . Если k =2, то уравнение имеет вид √ n+ √ n=m , то есть √ n+ √ n - целое число. Если
k =3, то уравнение имеет вид √ n+ √ n+ √ n=m. Возведя в квадрат, получим √ n+ √ n=m2−n
и вновь √ n+ √ n - целое число. Аналогично получим, что для любого k ≥2
√ n+ √ n - это
целое число. Возможно ли это?
Докажем, что уравнение √ n+ √ n=l , n>0 не имеет целых решений. Ясно, что l> √ n .
1
1 2
1
( √ n+ ) = n + √ n+ > √ n+ √ n=l .
Кроме того, l< √ n+ , так как
2
2
4
√
√
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
1. Простейшие целочисленные уравнения
1. Решите в целых числах уравнение ax − by = c.
Решение: Пусть d − наибольший общий делитель чисел |a| и |b|. Уравнение ax − by = c
разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда d является делителем числа |c|.
Если пара (x0; y0) − это частное решение уравнения ax − by = c, то общее решение этого
b
x= x 0 + k ,
d
уравнения имеет вид:
a
y= y 0 + k , k ∈Z .
d
{
Решение задачи включает следующие шаги:
− выяснить, разрешимо ли уравнение;
− для разрешимого уравнения подобрать частное решение;
− записать общее решение.
2. Решите в целых числах уравнение ax − by = cz., |a| ≤ |c|, |b| ≤ |c|.
Решение: Пусть d − наибольший общий делитель чисел |a| и |b|. Уравнение ax − by = 0
b
x= k ,
d
имеет целочисленное решение
.
a
y= k , k ∈Z .
d
{
Уравнение ax − by = cz0 разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда d является
делителем числа |cz0|.
Если тройка (x0; y0; z0) − это частное решение уравнения ax − by = cz0, то общее решение
этого уравнения имеет вид
{
b
x=x 0 m+ k
d
a
y= y 0 m+ k ,
d
z =z 0 m , k ∈Z , m∈Z .
Задача сводится к поиску наименьшего z0,
подбору частного решения и записи общего решения.
Например, уравнение 5x − 7y = 3z запишем в виде 5x − 3z = 7y, тройка (2; 1; 1) −
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
частное решение уравнения, общее решение
{
x=2m+ 3k
y=m ,
z =m+5k , k ∈Z , m∈ Z .
3. Решите в целых числах уравнение xy + ax + by = c.
Решение: Уравнение xy + ax + by = c приведём к виду (x + b) ∙ (y + a) = h, h = с + ab. Его
x +b=h1 ,
решениями являются решения систем уравнений
где h1 и h2 целые, причём h1h2 =
y +a=h2 ,
{
h.
Количество таких систем вдвое больше, чем количество делителей числа |h|, так как в
качестве h1 может выступать любой делитель числа |h| и этот же делитель со знаком минус.
Каждая система имеет единственное целочисленное решение
{
x=−b+ h1 ,
h
y=−a + . .
h1
Особый случай h = с + ab = 0. В этом случае решение x = − b, y = − a.
4. Решите в целых числах уравнение a2x2 − b2y2 = c.
Решение: Уравнение a2x2 − b2y2 = c можно привести к виду (ax + by) ∙ (ax − by) = с. Его
решениями являются целочисленные решения систем уравнений
{
ax+ by=c 1 ,
ax−by=c 2 ,
{
c
c1
x=
,
2a
c
c 1−
c1
y=
,
2b
c1+
где с1 целый делитель числа с.
Количество таких систем вдвое больше, чем количество делителей числа |с|, так как в
качестве с1 может выступать любой делитель числа |с| и этот же делитель со знаком минус. Если
решением уравнения является пара {x; y}, то пары {−x; y}, {x; −y}, {−x; −y} тоже являются
решениями. Поэтому решения группируются в четвёрки (если x = y, x = 0 или y = 0, то в пары).
ax+ by=c 1 ,
Чтобы найти все решения достаточно решить только системы
где с1
ax−by=c 2 ,
{
положительный делитель числа |с|. Решение системы может быть не целочисленным.
Особый случай с = 0. В этом случае решение сводится к совокупности уравнений ax −
by = 0 и ax + by = 0, то есть к двукратному решению задачи 1.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
5. Решите в целых числах уравнение a2x2 = y2 + 2by + c.
Решение: Уравнение a2x2 = y2 + 2by + c можно привести к виду
(ax + y + b)∙(ax − y − b) = h = c − b2, где h1 и h2 целые, причём h1h2 = h.
Его решениями являются целочисленные решения систем уравнений
{
c−b 2
h1 +
h1
x=
,
2a
c−b 2
h1 −
h1
y=
−b ,
2
{
ax + y=h1 −b ,
ax− y=h2 + b ,
где h1 целый делитель числа h.
Количество таких систем вдвое больше, чем количество делителей числа |h|, так как в
качестве h1 может выступать любой делитель числа |h| и этот же делитель со знаком минус. Если
решением уравнения является пара {x; y}, то пары {−x; y}, {x; −2b − y}, {−x; ; −2b − y} тоже
являются решениями. Поэтому решения группируются в четвёрки (если x = y, x = 0 или y = 0, то
ax + y=h1 −b ,
в пары). Чтобы найти все решения достаточно решить только системы
где h1
ax− y=h2 + b ,
{
положительный делитель числа |h|. Решение системы может быть не целочисленным.
Особый случай с = b2. В этом случае решение сводится к совокупности уравнений
ax − y − b = 0 и ax + y + b = 0, то есть к двукратному решению задачи 1.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
1
1
1
6. Решите в натуральных числах уравнение x + y = p , где р − заданное простое число.
Решение: Уравнение можно привести к виду (x − р)∙(y − р) = р2.
x− p= p ,
Его решениями являются натуральные решения систем уравнений
y − p= p ,
{
{
x− p= p 2 ,
y− p=1,
{
x− p=1,
y− p= p2 .
Ответ: (2р; 2p); (р + 1; p(р + 1) ); (p(р + 1); р + 1).
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
2. Типичные целочисленные уравнения
1. Задание. Найдите все целочисленные решения системы уравнений
x− y ≤−25 ,
x 2 + y≤8, .
4x+ y≤1.
Решение:
Складывая левые и правые части первого и третьего неравенств, найдём:
5x ≤ – 24 ⇔ x ≤ – 5.
Складывая левые и правые части второго и третьего неравенств, найдём:
x2+4x ≤ 9 ⇔ x > – 6.
Следовательно, x = – 5.
Из первого неравенства найдём: у ≥ 20.
Из второго неравенства найдём: у ≤ 21. Оба возможных значения удовлетворяют системе.
Ответ: (–5; 20); (–5;21).
{
1. Задание. Найдите все целочисленные решения уравнения
9x2y2 + 9xy2 + 6x2y + x2 + 2y2 + 18xy + 5x + 7y + 6 = 0.
Решение:
9x2y2 + 9xy2 + 6x2y + x2 + 2y2 + 18xy + 5x + 7y + 6 = (3xy + x + 2y + 3)(3xy + x + y + 2) = 0.
Пусть 3xy + x + 2y + 3 = 0 ⇔ (3x + 2)(3y + 1) = – 7. Целочисленные решения следуют из
3x+ 2=±7
3x+ 2=±1
систем уравнений:
и
3y+1=∓1
3y+ 1=∓7
Пусть 3xy + x + y + 2 = 0 ⇔ (3x + 1)(3y + 1) = – 5. Целочисленные решения следуют из
3x+ 1=±5
3x+ 1=±1
систем уравнений:
и
3y+1=∓1
3y+1=∓5
Комментарий: Чтобы разложить первое уравнение в произведение целесообразно
представить выражение, как квадратное по одной из переменных, найти его дискриминант и
решение.
9x2y2 + 9xy2 + 6x2y + x2 + 2y2 + 18xy + 5x + 7y + 6 =
=(9x2 + 9x + 2)y2 + (6x2 + 18x + 7)y + (x2 + 5x + 6) = 0;
2
2
2
2
D = (6x + 18x + 7) – 4(9x + 9x + 2) (x + 5x + 6) = 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2,
y 1=
−x−3
;
3x+ 2
{
{
{
{
y 2=
−x−2
3x+1 .
Чтобы преобразовать в произведение выражение 3xy + x + 2y + 3 = 0 выполняют
преобразование:
3xy + x + 2y + 3 = 0 ⇔ (3x + 2)(y + 1/3) = – 3 + 2/3 ⇔ (3x + 2)(3y + 1) = – 7.
Ответ: (–2;0); (0;–2); (–3;0); (–1;2).
2. Задание. Найдите все целочисленные решения уравнения
14x4 – 5y4 – 3x2y2 + 82y2 – 125x2 + 51 = 0.
Решение: 14x4 – 5y4 – 3x2y2 + 82y2 – 125x2 + 51 = (2x2 + y2 – 17)(7x2 – 5y2 – 3) = 0.
Пусть 2x2 + y2 = 17. Целочисленные решения удовлетворяют условию x2 < 8,5; |x| ≤ 2 и
находятся перебором: (±2;±3).
Пусть 7x2 = 5y2 + 3. Решение в целых числах x2 = 5t + 4; y2 = 7t + 5.
Остаток от деления y2 на 7 может быть равен 0 (y = 7m), 1 (y = 7m ± 1), 4 (y = 7m ± 2) и 2
(y = 7m ± 3), но не может быть равен 5. Противоречие, корней нет.
Комментарий: Чтобы разложить первое уравнение в произведение целесообразно
представить выражение, как квадратное по одной из переменных, найти его дискриминант и
решение.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
14x4 – 5y4 – 3x2y2 + 82y2 – 125x2 + 51 = – 5y4 – (3x2 – 82)y2 + (14x4 – 125x2 + 51) = 0.
2
2
2
2
y 1 =17−2x ; y 2 =1,4 x −0,6 .
Ответ: (–2;±3); (2; ±3).
3. Задание. Решите в натуральных числах уравнение nk+1 – n! = 5(30k + 11).
Решение: Если n чётное, то слева чёт, справа нечёт. Противоречие.
Если n = 1, то nk+1 – n! = 0. Противоречие.
Если n = 3, то 3k+1 – 6 = 5(30k + 11); 3k+1 – 150k = 61. Противоречие.
Если n = 5, то 5k+1 – 120 = 5(30k + 11); 5k–1 = 6k + 7.
k = 3 – решение.
Если k > 4, 5k–1 > 25k > 6k + 7. Противоречие.
Если n > 5, то n! делится на 5, nk+1 делится на 5, n = 5p, где p > 2.
При этом (5p)k+1 делится на 25, (5p)! делится на 25, 5(30k + 11) не делится на 25. Противоречие.
Ответ: n = 5, k = 3.
4. Задание. Найдите число целых решений неравенства log3(85 – x2) ≤ 65 ⋅ 4x.
Решение: Допустимые целочисленные значения левой части х∈[ –9; 9].
Если х > –1, то log3(85 – x2) < log3(84) < 5< 65/4 <65 ⋅ 4x - неравенство выполнено.
Если х = –2, то log3(85 – x2) = 4< 65/16 = 65 ⋅ 4x- неравенство выполнено.
Если –9 ≤ х ≤ –3, то log3(85 – x2) > log34 > 1,25 > 65/64 > 65 ⋅ 4x - неравенство не
выполнено.Учтено, что 44 = 256 > 243 = 35 ⇔ 4log34 > 5.
Корни –2, –1,…,8,9 – всего двенадцать.
Ответ: 12.
5. Задание. Найдите все тройки натуральных m, n и k таких, что mnk = m + n + k.
Решение: Если m = n = k, то m3 = 3m - нет целочисленных решений.
n+ k
Упорядочим m ≥ n > k (или m > n ≥ k). Тогда nk =1+ 3 <3 , то есть n k = 2,
значит, n = 2, k = 1. Наконец, m = 3.
Ответ: 1,2 и 3.
6. Задание. Найдите все целые х и у такие, что y2 – 1 = 3 ⋅ 2x.
Решение: Если y = 2n чётное, то y2 – 1 нечётное целое, x = 0, значит, y = ±2.
Если y = 2n + 1 нечётное, то y2 – 1 = 4n (n + 1) , уравнение имеет вид n (n + 1) = 3 ⋅ 2x– 2 Из
двух последовательных чисел одно нечётное. Если n = 3, y = 7, x = 4. Если n = 2, y = 5, x = 3.
Если n = –3, y = –5, x = 3. Если n = –4, y = –7, x = 4.
Ответ: (0; ±2); (3; ±5); (4; ±7).
7. Задание. Найдите все целые х и у такие, что x(x + 1) = y2.
Решение: x(x + 1) = y2 ⇔ 4x2 + 4x + 1 = (2y)2 + 1 ⇔ (2x + 1)2 – (2y)2 = 1 .
⇔ (2x + 1 – 2y) (2x + 1 + 2y) = 1.
Если оба множителя равны единице, то x = y = 0.
Если оба множителя равны – 1, то x = – 1, y = 0.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
Ответ: (0; 0); (– 1; 0).
8. Задание. Найдите значения параметра при которых следующая система имеет ровно 5
различных натуральных решений:
{
12 x 2 −4x−2 xy+ 3y−9=0 ;
ayz + axy+ axz > xyz .
12 x 2 −4x−9
12
.
=6x +7+
2x−3
2x−3
Знаменатель нечётный и является делителем 12. Решения первого уравнения (x = 1; y = 1);
(x = 2; y = 31); (x = 3; y = 29).
a
a a
a
Второе уравнение >1− − . Если (x = 1; y = 1), то >1−2a . При неположительных а
z
x y
z
1 1
1
1
6
≤ −2 . Если a>
решений нет. Корни 1,2,…n, если > −2 ;
число решений больше
n a
n+1 a
13
пяти.
a
33
Если (x = 2; y = 31), то >1− a . При неположительных а решений нет. Корни 1,2,…n,
z
62
1 1
1
1
≤ −2 .
если > −2 ;
n a
n+1 a
5 6
Ответ: ( ; ] .
11 13
Решение: Первое уравнение решаем относительно у: y=
9. Задание. Сравните числа 22009 и 5860.
Решение: 2009 = 7 ⋅ 287; 861 = 3 ⋅ 287.
128 = 27 > 53 = 125 ⇔ 22009 = 27 ⋅ 287 > 53 ⋅ 287 = 5861 > 5860.
Ответ: 22009 > 5860.
9. Задание. При каких значениях а уравнение
a 2 + 4π 2 +4
log 0 . 25
−√ ( x−5a +10 π −34)(∣π− x∣−a+π+ 2)=0
4x− x 2−2(a−2π )∣x −2∣+ 4aπ
имеет хотя бы одно целочисленное решение.
(
)
Шаг 1. Проверяем ОДЗ, исследуем области монотонности.
Выражение под вторым корнем неотрицательное.
Если x ≥ π, то ∣π −x∣−a+π+2 =x−a+ 2 , выражение неотрицательное при
a ∈(−∞ ; 2π−6,8+0,2 x ]∪[ x+ 2 ;+∞ ) .
Если x < π, то ∣π −x∣−a+π+2=2π+ 2− x−a , выражение неотрицательное при
a ∈(−∞ ; 2π−6,8+0,2 x ]∪[ 2π−x+ 2 ;+ ∞) .
Логарифм, основание которого меньше, чем единица, неотрицателен. Выражение под знаком
логарифма должно быть положительным, причём меньшим, чем единица.
a 2 +4π 2 + 4
0<
≤1
4x−x 2 −2( a−2π )∣x−2∣+ 4aπ
a 2 + 4π 2 + 4≤4x−x 2 −2 ( a−2π )∣x−2∣+4aπ ⇒( a−2π )2 + 2( a−2π )∣ x−2∣+∣x −2∣2 ≤0
( a−2π+∣x−2∣) 2≤0⇒ a= 2π−∣x−2∣ .
Шаг 2. Размышляем, выбираем способ решения:
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
Решения уравнения могут размещаться на зелёной линии a = 2π – |x – 2|, причём либо не выше
синей прямой a = 2π – 6,8 + 0,2x, либо не ниже красной ломаной a = max(2π – x + 2, x + 2).
Целочисленные точки на зелёной ломаной - это x = 2 (a = 2π) и x = 3 (a = 2π – 1), а также x = –6
(a = 2π – 8).
Ответ: 2π, 2π – 1, 2π – 8.
10. Задание. Функция y = f(x) задана равенством
f ( x )=
{
x−9
−8, x≤−6
x+5
47+8x
−
,x>−6.
x+6
log 2
}
Найдите все целые числа, которые являются корнями уравнения f(f(x)) = x.
Размышления на графике: Строим график по точкам от x = –6:
Если x = –6, то f(x) = log215 – 8 ≈ – 4,1 < – 4.
Если x = –7, то f(x) = –5.
Если x = –8, то f(x) = –5,5 и монотонно убывает с уменьшением икса, причём f(x) > –8.
8x+ 47
1
=−8+
, f(x) = –7.
x+ 6
x+ 6
Если x = –4, то f(x) = –7,5 и монотонно убывает с ростом икса, причём f(x) > –8.
Значит, при x > –4 целочисленных значений функция не принимает, причём E(f) = (–8; +∞).
Метод решения: Находим E(f) = (–8; +∞) и делаем вывод, что решение уравнения f(f(x)) = x
принадлежит промежутку x ∈ (–8; +∞), то есть множеству
{–7; –6; …}.
Доказываем, что при x > –4 f(f(x)) < –4 и решений нет.
Проверяем остальные числа {–7; –6; –5}.
x−9
1
−8=log 2 1+
−8>−8
Решение: Логарифмическая функция g ( x )=log 2
x+ 5
−x−5
при x < –6 строго монотонно возрастающая, непрерывная, при больших по модулю
отрицательных иксах сколь угодно близка к – 8, g(– 6) = log215 – 8 ≈ – 4,1 < – 4, значит, на
промежутке x ∈ (–∞; – 6] E(g) = (–8; log215 – 8 ].
Если x = –5, то f ( x )=−
(
)
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
8x+ 47
1
=−8+
на промежутке x ∈ (–6; +∞) строго
x+ 6
x+6
монотонно убывающая, непрерывная, при больших положительных иксах сколь угодно близка к
– 8, неограниченно возрастает при x →(– 6) сверху (x > (– 6)), значит на промежутке x ∈ (–6; +∞)
E(h) = (–8; +∞).
h(– 5) = – 7, значит на промежутке x ∈ (–5; +∞) E(h) = (–8; – 7).
Следовательно, E(f) = (–8; +∞). E(f(f))⊂ E(f) = (–8; +∞). Целые корни уравнения f(f(x)) = x
принадлежат множеству
{–7; –6; …}.
Заметим, что f(–7) = – 5; f(–5) = –7. Отсюда числа (–7) и (–5) являются корнями уравнения
Дробно-линейная функция h( x )=−
f(f(x)) = x.
Пусть x > –5. Тогда f(x) = h(x), E(f) = E(h) = (–8; – 7),
f(f(x)) < f(– 7) <–5,
f(f(x)) < – 5 < x.
Пусть x = –6. Тогда f(x) = log215 – 8 ≈ – 4,1 < – 4, f(f(x)) = h(log215 – 8 ) – это иррациональное
(нецелое) число.
Ответ: {–7; –5}.
11. Задание С6 – 2011. На доске написано более 52, но менее 60 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно
8, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –4. а) Сколько чисел написано на
доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое
наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Решение: Пусть число положительных чисел равно x > 0, отрицательных чисел у > 0,
число нулей равно z ≥ 0. Тогда пользуясь определением среднего арифметического, получим,
что сумма всех положительных равна 8x, сумма всех отрицательных равна (–4у), сумма всех
чисел 8x – 4у = 3(х + у + z), то есть
5x – 7у = 3z.
Решение этого уравнения имеет вид
x = 2у + 3t; z = у + 5t.
Общее количество чисел
х + у + z = 2у + 3t + у + у + 5t = 4(y + 2t)∈(52; 60).
В заданном интервале только 56 делится на 4, значит, всего чисел 56 и y + 2t = 14.
Следовательно, x = 21 + у/2; z = 35 – 1,5у.
Из условия z = 35 – 1,5у ≥ 1, находим, что у ≤ 22, то есть наибольшее количество
отрицательных чисел может быть 22.
Поскольку х – у = 21 – 0,5у ≥ 10, то больше: положительных чисел.
Если 32 числа равны 8, 22 числа равны (–4) и 2 числа равны нулю, условия выполнены.
Ответ: 56 чисел на доске, больше положительных, отрицательных не более, чем 22.
12. Задание С6 – 2011. Все члены конечной последовательности являются натуральными
числами, каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо
в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231. Может ли
последовательность состоять из двух членов? Может ли последовательность состоять из трех
членов? Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение: Пусть в последовательности два члена, причём наименьший член
последовательности равен x ≥ 1. Тогда второй член равен 11x. Сумма всех членов 12x не может
быть равна 2231. Противоречие.
Пусть в последовательности три члена, причём наименьший член последовательности
равен x ≥ 1. Тогда возможен случай 11x + x + 11x = 23x = 2231, x = 97.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.
Сумма чисел в последовательности 11 + 1 + 11 + 1 + 11 + 1 +…+11 = 11 + 12×185 = 2231,
число членов 1 + 2×185 = 371. Сумма чисел в последовательности 1 + 11 + 1 + 11 + 1 + 11 + 1 +…
+11 + 1 = 1 + 12×x не может быть равна 2231.
В любой последовательности рассматриваемого типа с числом членов не менее, чем 372
сумма соседних чисел не меньше, чем 12, сумма всех членов не меньше, чем
12×186 = 2232 > 2231. Противоречие.
Ответ: Последовательность не может состоять из двух членов, может состоять из трёх
членов и не может содержать более чем 371 член.
© В.В. Шеломовский, С.Н. Носуля. «Тематические комплекты», 2012 http://www.deoma-cmd.ru/
© Д.В. Шеломовский. Компьютерные программы InMA, GInMA, 2012.