1 Уравнение теплопроводности и простейшие методы

Àâòîð-ñîñòàâèòåëü Ôàëüêîâ À. Ë., ÌÈÔÈ, ÔÝÒÔ, ê. 32.
1
Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè è ïðîñòåéøèå ìåòîäû åãî
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
1.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
- ñâîéñòâî ñðåäû èëè ñèñòåìû òåë ïåðåäàâàòü òåïëî, íå ó÷àñòâóÿ
ïðè ýòîì â âèäèìîì äâèæåíèè [1]. Äàííîå îïðåäåëåíèå â ïîëíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóåò ëèøü
òîëüêî çàäà÷å òåïëîïðîâîäíîñòè â òâ¼ðäûõ òåëàõ èëè â æèäêîñòÿõ ñ î÷åíü áîëüøîé âÿçêîñòüþ. Äëÿ ãàçîâîé è ïëàçìåííîé ôàç ïîíÿòèå òåïëîïðîâîäíîñòè èìååò íåñêîëüêî èíîé
ñìûñë: â ýòèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïåðåíîñ ýíåðãèè, îáóñëîâëåííûé ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ïåðåíîñîì âåùåñòâà èëè åãî êîìïîíåíòîâ.
Òåïëîïðîâîäíîñòü
 îáùåé êëàññèôèêàöèè óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (íàðÿäó ñ óðàâíåíèåì äèôôóçèè) îòíîñèòñÿ ê "ñåìåéñòâó"ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äàííûõ çàäà÷ õîðîøî ðàçðàáîòàíû, ðàçíîîáðàçíû è äîñòàòî÷íî ïîëíî îñâåùåíû â ó÷åáíîé è ñïåöèàëèçèðîâàííîé ëèòåðàòóðå, ÷òî, ñ ìåòîäè÷åñêîé òî÷êè
çðåíèÿ, ïîçâîëÿåò íàì ïîçíàêîìèòüñÿ ñ íåêîòîðûìè îñîáåííîñòÿìè ñîñòàâëåíèÿ ðàçíîñòíûõ
ñõåì, à òàêæå âîïðîñîì èõ óñòîé÷èâîñòè. Îòìåòèì, ÷òî ïîäõîäû ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ
çàäà÷ ðàçëè÷íîé ðàçìåðíîñòè ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðåâîî÷åðåäíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ çàïèñè óðàâíåíèé è
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ê íèì.
1.2
Ñòàöèîíàðíàÿ è íåñòàöèîíàðíàÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷
Åñëè òåìïåðàòóðíîå ïîëå òî÷åê ñèñòåìû T = T (r, t) íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî èìååò
ìåñòî ñ ò à ö è î í à ð í à ÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îïðåäåëÿþùåå çíà÷åíèå èìåþò ïðè ýòîì
óñëîâèÿ, çàäàííûå íà ãðàíèöàõ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ã ð à í è ÷ í û å ó ñ
ë î â è ÿ:
T (r ∈ ∂D, t) = TD , ãäå ∂D ãðàíèöà îáëàñòè D, çàíèìàåìîé ñèñòåìîé
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå òåìïåðàòóðíîå ïîëå çàâèñèò îò âðåìåíè, ïðîöåññ í å ñ ò à ö è î í à
ð å í, è, â ÷àñòíîñòè, çàâèñèò îò í à ÷ à ë ü í î ã î ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû â ñèñòåìå:
T (r, t ≡ 0) = T0
1.3
1.3.1
Îäíîìåðíàÿ òåïëîïðîâîäíîñòü â òâ¼ðäîì òåëå
Ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ
∂ 2T
k
F (x, t)
∂T
= a2 2 + t(x, t), a2 = , f (x, t) =
∂t
∂x
cρ
cρ
T (x, 0) = ϕ(x), T (0, t) = ψ0 (x), T (1, t) = ψ1 (x), x ∈ [0; 1], t ∈ [0; +∞)
Îáîçíà÷åíèÿ [2], [3]:
1
• a2 êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè;
• c òåïëî¼ìêîñòü ñðåäû, ρ ïëîòíîñòü âåùåñòâà;
• F (x, t) ïëîòíîñòü òåïëîâûõ èñòî÷íèêîâ.
1.3.2
ßâíàÿ ÷èñëåííàÿ ñõåìà íà ðàâíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêå
Ðàâíîìåðíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàñ÷¼òíàÿ ñåòêà:
xi = ih, i = 0, I;
⇒ {T = T (x, t) → T = T (xi , yj )}
tj = jτ, j = 0, J
Êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:
j
j
j
∂T
Tij+1 − Tij ∂ 2 T
2 Ti+1 − 2Ti + Ti−1
≈
;
≈a
∂t
τ
∂x2
h2
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëàñòü ÷èñëåííàÿ ñõåìà:
j
j
j
T − 2Ti + Ti−1
Tij+1 − Tij
= a2 i+1
τ
h2
Çàäàíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà îïðåäåë¼ííîé ðàíåå ñåòêå:
(∗)
T0j = ψ0 (tj ), TIj = ψ1 (tj )
Çàäàíèå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ:
Ti0 = ϕ(xi )
Çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû íà (j +1)-ì ñëîå Tij+1 , i = 1, I − 1 (ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
âðåìåíè tj+1 ) íàõîäÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç çíà÷åíèé Tij íà åäèíñòâåííîì íèæåëåæàùåì
j -ì ñëîå. Òàêàÿ ñõåìà íàèáîëåå ïðîñòà è íàçûâàåòñÿ ä â ó ñ ë î é í î é . Â ïàìÿòè
ÝÂÌ öåëåñîîáðàçíî ñîõðàíÿòü òîëüêî âåðõíèé ñëîé, íà êîòîðîì ïðîèçâîäèòñÿ ðàñ÷¼ò, è
ïðåäøåñòâóþùèé åìó íèæíèé. Ñõåìà óñëîâíî óñòîé÷èâà, ò.å. äëÿ ïîëó÷åíèÿ ¾õîðîøèõ¿
ðåçóëüòàòîâ øàã ïî âðåìåíè äîëæåí áûòü íàèìåíüøèì.
1.3.3
Íåÿâíàÿ ÷èñëåííàÿ ñõåìà íà ðàâíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêå
Âûøåíàçâàííàÿ ñõåìà îòëè÷àåòñÿ îò ÿâíîé òåì, ÷òî çíà÷åíèÿ íà êàæäîì ïîñëåäóþùåì ñëîå íå ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííîé íàéäåíû èç çíà÷åíèé íà ïðåäøåñòâóþùèõ ñëîÿõ.
Ñèòóàöèÿ ñòîëü ñèëüíî èçìåíÿåòñÿ èç-çà òîãî, ÷òî äëÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ìîæíî ïðèìåíèòü äðóãóþ ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ:
j+1
j+1
− 2Tij+1 + Ti−1
∂ 2T
2 Ti
≈a
∂x2
h2
Àïïðîêñèìàöèÿ íà÷àëüíîãî è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, à òàêæå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îñòà¼òñÿ òàêîé æå, êàê è â ÿâíîé ñõåìå. Òîãäà:
j+1
j+1
− 2Tij+1 + Ti−1
Tij+1 − Tij
2 Ti
=a
(∗∗)
τ
h2
Ñîâîêóïíîñòü êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ
ïðåäñòàâëÿåò
èç ñåáÿ ñèñòåìó ñ òð¼õäèàãî j+2 óðàâíåíèé
j+1
j+1
íàëüíîé ìàòðèöåé; íåèçâåñòíûå Ti−1 , Ti , Ti+1 çíà÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè.
Ñõåìà àáñîëþòíî óñòîé÷èâà.
2
Ðèñóíîê 1.
1.3.4
Òð¼õäàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ÑËÀÓ.
Íåÿâíûå èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûå ìåòîäû
Òàê íàçûâàåìûå ìåòîäû áàëàíñà. Ïðè ïîñòðîåíèè ïðèáëèæ¼ííûõ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ
ôîðìóë èñïîëüçóþòñÿ ôèçè÷åñêèå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ïðîèëëþñòðèðóåì èõ ðàáîòó íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè â ñòåðæíå ñ ðàçðûâíûì êîýôôèöèåíòîì òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè:
Tt = (a2 Tx )x
Äëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ âûáèðàþò ïðÿìîóãîëüíóþ ñåòêó. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èíòåãðèðóþò ïî ÿ÷åéêå, à çàòåì ïðèâîäÿò ê èíòåãðàëüíîé ôîðìå ïî ïðàâèëàì âåêòîðíîãî àíàëèçà:
0=
2
Z
dx Tt − (a2 Tx )x =
dt
tm
xn+ 1
xn+ 1
tZ
m+1
xn− 1
dx T m+1 − T
xn− 1
2
tZ
m+1
2
Z
m
−
dt
a2 Tx
n+ 12
− a2 Tx
n− 12
tm
2
Âñïîìíèì, ÷òî òàêîå èíòåãðèðîâàíèå ïî ôîðìóëå ñðåäíèõ. Ïî ñâîåé ñóòè, ýòî àïïðîêñèìàöèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ìíîãî÷ëåíîì íóëåâîé ñòåïåíè, âû÷èñëåííîì â åäèíñòâåííîì êâàäðàòóðíîì óçëå, ðàñïîëîæåííîì ïîñåðåäèíå îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ.  ñèëó çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè èìååì:
xi + xf
x≡
⇒
2
Zxf
dxf (x) ≈ (xf − xi )f (x) = {y ≡ f (x)} = (xf − xi)y
xi
Òåïåðü ïðåîáðàçóåì ¾ÿ÷åå÷íîå âûðàæåíèå¿. Äëÿ èíòåãðàë â ïåðâîì ñëàãàåìîì çàïèøåì
ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû ñðåäíèõ, à âî âòîðîì ïî ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ:
xn+ 1
2
Z
dx T m+1 − T m ≈ ynm+1 − ynm xn+ 1 − xn− 1
y ≡ T (x) ⇒
2
xn− 1
2
3
2
tZ
m+1
τ ≡ tm+1 − tm ⇒
dt
a2 Tx
n+ 12
− a2 Tx
n− 12
≈τ
a2 y x
m+1
n+ 12
− a2 y x
m+1 n− 12
tm
Äàëåå, èñïîëüçóåì ðàâíîìåðíîñòü ñåòêè, à ïåðâûå ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå çàìåíèì êîíå÷íî-ðàçíîñòíûìè âûðàæåíèÿìè:
xn+ 1 − xn− 1 ≡ h;
2
2
m+1
yn+1
− ynm+1
⇒
2
h
2 m+1
m+1
m+1
m+1
m+1
− a n− 1 yn+1 − yn
yn+1 − yn
(yx )m+1
≈
n+ 1
τ 2 m+1
h=
−
⇒
a n+ 1
2
h
Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
ynm+1
ynm
2
ynm+1 − ynm
1 2 m+1 m+1
m+1
2 m+1
m+1
m+1
− a n− 1 yn − yn−1
= 2 a n+ 1 yn+1 − yn
2
2
τ
h
(∗ ∗ ∗)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ (***) óïðîùàåòñÿ, åñëè êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè ïîñòîÿííûé, ïðè ýòîì ïîëó÷àåì óæå çíàêîìóþ íàì íåÿâíóþ ñõåìó (**):
m+1
y m+1 − 2ynm+1 + yn−1
ynm+1 − ynm
= a2 n+1
τ
h2
Ïðîäåëàííûå âûêëàäêè íå íàïðàñíû, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿþò íàì ïðè ïîìîùè (***) ðåøàòü ÷èñëåííî óðàâíåíèÿ ñ ¾íåãëàäêèìè¿, à èíîãäà è ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ðàññìîòðèì ñòðåæåíü, ñîñòàâëåííûé èç íåñêîëüêèõ (äâóõ èëè òð¼õ) êóñî÷êîâ, èçãîòîâëåííûõ èç ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ (êîýôôèöèåíòû íå ðàâíû äðóã äðóãó):

k1 = 0, 1; x ∈ [0, 3l ];





2
a (x) ≡ k(x) = k2 = 10; x ∈ ( 3l , 2l3 ];
l=3





k3 = 1; x ∈ ( 2l3 ; l]
Íà ïðîòÿæåíèè ñîñòàâíîãî ñòåðæíÿ ïðåäâàðèòåëüíî áûòî ñîçäàíî ñèíóñîèäàëüíîå ðàñïðåäåëíèå òåìïåðàòóðû:
πx
y(x) = sin( )
l
Èñïîëüçóåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî èçìåí¼ííàÿ ÌÀÒËÀÁ-ïðîãðàììà èç [4], îòðàáîòàííàÿ â ñðåäå
¾ÎÊÒÀÂ-3.2.3¿.
function MTL_0004_1
% MTL_0004 23_03_2013
% Equations of Mathematical Physics - 2
format long;
% 0004/1
% ×èñëåííîå êîíå÷íî-ðàçíîñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
% ================================================================y
% (ëèíåéíàÿ òåïëîïðîâîäíîñòü â ñëîèñòîé ñðåäå (k1.NE.k2.NE.k3)>=0)
% (èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé (ÿ÷åå÷íûé) ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû)
clc;
4
global l k1 k2 k3;
l=3;
k1=0.1;
k2=10;
k3=1;
% ñåòêà ïî ïðîñòðàíñòâó è âðåìåíè
tay=0.01; h=0.1;
x=0:h:l;
N=length(x);
% íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû
T_max=2;
for i=1:N
y(i)=sin(pi*x(i)/l);
end;
plot(x,y,'Color','red','LineWidth',2);
hold on
for t=1:4
% ---------------------------------------------% ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ëåâîì êîíöå îòðåçêà (x=0)
alpha(2)=0;
beta(2)=0;
% ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ïðàâîì êîíöå îòðåçêà (x=a)
y(N)=0;
% ---------------------------------------------for n=2:(N-1)
% êîýôôèöèåíòû ðàçíîñòíîé ñõåìû:
% A(n),B(n),C(n),D(n): y(n)=A(n)*y2(n+1)+B(n)*y2(n)+C(n)*y2(n-1)
A(n)=-(tay/h^2)*k(x(n)+0.5*h);
B(n)=1+(tay/h^2)*(k(x(n)+0.5*h)+k(x(n)-0.5*h));
C(n)=-(tay/h^2)*k(x(n)-0.5*h);
end;
%
for n=2:(N-1)
% ðàñ÷¼ò âñïîìîãàòåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
alpha(n+1)=-A(n)/(B(n)+C(n)*alpha(n));
beta(n+1)=(y(n)-C(n)*beta(n))/(B(n)+C(n)*beta(n));
end;
% ïîñëîéíîå ðåøåíèå çàäà÷è (ÑÏÐÀÂÀ ÍÀËÅÂÎ)
for n=(N-1):-1:1
y(n)=alpha(n+1)*y(n+1)+beta(n+1);
end;
%
% Êàðòèíêà ñ ïðîôèëåì òåìïåðàòóðû:
plot(x,y);
hold on
end;
end
5
%
% êîýôôèöèåíòû òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè
function z=k(x)
global l k1 k2 k3
if (x>=0)&(x<=l/3)
z=k1;
end;
if (x>l/3)&(x<=l)
z=k2;
end;
if (x>(2*l)/3)&(x<=l)
z=k3;
end;
end
Ðèñóíîê 2.
Ðåøåíèå îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ðàçðûâíûì
êîýôôèöèåíòîì òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè
Èç ãðàôèêà (ðèñóíîê 2) ñëåäóåò, ÷òî íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü ðåëàêñàöèè íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íàáëþäàåòñÿ íà ó÷àñòêå (1;2] ñ íàèáîëüøèì
êîýôôèöèåíòîì òåïìåðàòóðîïðîâîäíîñòè, à íà ó÷àñòêå [0;1] ñ íàèìåíüøèì êîýôôèöèåíòîì
òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè äàæå íàáëþäàåòñÿ ðîñò òåìïåðàòóðû: ìû ìîæåì íàáëþäàòü òàê
íàçûâàåìûé ðåæèì ¾îáîñòðåíèÿ¿.
6
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
Ñòàòüÿ ¾Òåïëîïðîâîäíîñòü¿, êîëîíêè 9 17. // Òåõíè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ.
Ò. XXIII. Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå ñëîâàðíî-ýíöèêëîïåäè÷åñêîå èçäàòåëüñòâî ¾Ñîâåòñêàÿ
ýíöèêëîïåäèÿ¿ ÎÃÈÇ ÐÑÔÑÐ, 1934. 525 ñ.
[1]
Òèìðîò Ä.
[2]
Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À.
[3]
Òóð÷àê Ë. È., Ïëîòíèêîâ Ï. Â.
[4]
Ïëîõîòíèêîâ Ê.Ý.
Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:Íàóêà,
Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò-ðû, 1977. 742 ñ.
2005. 304 ñ.
Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ì.:ÔÈÇÌÀÒËÈÒ,
Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà â ñðåäå MATLAB.
Òåîðèÿ è ïðàêòèêà â ñðåäå MATLAB. - Ì.: Ãîðÿ÷àÿ ëèíèÿ - Òåëåêîì, 2009.
Ñîäåðæàíèå
1
Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè è ïðîñòåéøèå ìåòîäû åãî ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
1.1
1.2
1.3
1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñòàöèîíàðíàÿ è íåñòàöèîíàðíàÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷ . . . . . . . . . . . .
Îäíîìåðíàÿ òåïëîïðîâîäíîñòü â òâ¼ðäîì òåëå . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ . . . . . . .
1.3.2 ßâíàÿ ÷èñëåííàÿ ñõåìà íà ðàâíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêå . .
1.3.3 Íåÿâíàÿ ÷èñëåííàÿ ñõåìà íà ðàâíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêå
1.3.4 Íåÿâíûå èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûå ìåòîäû . . . . . . . . . . . .
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
2
2
3