Найти все а, при которых уравнение

Найти все а, при которых уравнение
( a − 1 ) cos 2 x + ( 1 − a − 2 ) sin 2 x + ( 1 − 2 − a ) cos x + ( 1 − a ) sin x = 0
имеет нечетное число решений на интервале (− π ; π ) .
Введем обозначения a − 1 = u ;
u
1 − a − 2 = v;
u +v
2
2
u cos 2 x + v sin 2 x + v cos x − u sin x = 0
sin α cos 2 x + cos α sin 2 x + cos α cos x − sin α sin x = 0
= sin α ;
v
u + v2
2
= cos α
sin( 2 x + α ) + cos( x + α ) = 0
⎛π
⎞
sin( 2 x + α ) + cos⎜ − x − α ⎟ = 0
⎝2
⎠
2x + α +
2 sin
π
2
2
− x −α
2x + α −
cos
⎛x π⎞
2 sin⎜ + ⎟ cos
⎝2 4 ⎠
3 x + 2α −
2
π
π
2
2
+ x +α
=0
2 =0
Решаем дальше…
3 x + 2α −
1) cos
2
3 x + 2α −
2
3 x + 2α −
π
⎛x π⎞
+ ⎟=0
⎝2 4⎠
2 =0
2) sin⎜
π
x π
+ = πk
2 4
π
x
= − + πk
2
4
2 = π + πn
2
π
= π + 2πn
2
3π
+ 2πn
3 x + 2α =
2
3π
+ 2πn
3 x = −2α +
2
2α π 2πn
+ +
x=−
3
2
3
x=−
π
2
+ 2πk
Теперь самое главное в этой задаче. Нам надо, чтобы было нечетное число корней. Вторая серия
решений дает одно решение x = −
π
2
. Первая серия будет давать 3 решения на периоде (это
становится понятным, если посмотреть на слагаемое
2πn
.
3
Таким образом, нечетное число корней (а точнее – 3 корня) будет если одно из решений первой
серии совпадает с −
π
2
Рассмотрим эти случаи.
или попадает в точку
π , т.е. не входит в рассматриваемый промежуток.
1)
−
2α π π
2α
π
π
+ = ; → −
=− ; → α = ;
3
3
2
3
2 6
Тогда v = 0 ;
1 − a − 2 = 0 ; a = 3;1
Но если a = 1 , то и u = 0 , а это невозможно.
Если a = 3; v = 0 ; u = 2
Таким образом, имеем 2 факта a ≠ 1 и решение a = 3
2)
2α π π
2α
π
π
+ = ; → −
=− ; → α = ;
3
2 3
3
6
4
tgα = 1; u = v; a − 1 = 1 − a − 2 ;
−
a + a − 2 = 2;
a ) a ≤ 0 ; − a − a + 2 = 2; → a = 0
б ) 0 < a ≤ 2; a − a + 2 = 2; → a ∈ (0 ;2]
в ) a > 2; a + a − 2 = 2; → a = 2
a ∈ [0;2]
[
]
Окончательно по двум случаям получаем: a ∈ 0 ;1) ∪ (1;2 ∪ {3}.