проблемы физики атомного ядра и ядерных реакций

ПРШШМЙІ
ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
И ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО
В. Ю. Денисов, В. А. Плюйко
ПРОБЛЕМЫ
ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
И ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
Монография
ШсьиийСіЕІІІУшвіРсш
УДК 539.14:539.17
ББК 22.383
ДЗЗ
Р ецензенти:
акад. Н А Н Украины , д -р ф из.-м ат. наук, проф. И . Н . В и ш н е в с к и й
(И н сти тут ядерны х исследований Н А Н Украины ),
д-р ф из.-м ат. наук, проф. Г. А . П р о к о п е ц
(Н ациональны й университет "Киево-М огилянская академия"),
д -р ф из.-м ат. наук, проф. Г. Ф . Ф и л и п п о в
(И н сти тут теоретической ф изики им. Н. Н. Боголюбова Н А Н Украины )
Рекомендовано к печати ученым советом физического факультета
(протокол N° 9 от 18 февраля 2013 года)
Одобрено научно-методическим советом
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко
от 2 апреля 2013 года
Д е н и с о в В. Ю .
ДЗЗ
Проблемы физики атомного ядра и ядерных реакций: монография
/ В. Ю . Денисов, В. А. Плюйко. - К . : Издательско-полиграфический центр "Киев­
ский университет", 2 0 1 3 .- 4 3 0 с.
IS B N 9 7 8 -9 6 6 -4 3 9 -6 7 3 -5
Посвящено избранным актуальным проблемам, которые связаны со строе­
нием атомных ядер и описанием ядерных превращений. Рассмотрено приме­
нение макромикроскопических методов для исследования свойств сложных
атомных ядер и механизмов протекания ядерных реакций. Ряд изложенных во­
просов был освещен лишь в оригинальных работах, а в монографиях и учебни­
ках до сих пор не излагался.
Для и научных работников, преподавателей, магистров, аспирантов и сту­
дентов физических и физико-технических специальностей.
Присвячено вибраним актуальним проблемам, пов'язаних з будовою атомних
ядер та описом ядерних перетворень. Розглянуто застосування різних макромікроскопічних методів для дослідження властивостей складних атомних ядер та ме­
ханізмів ядерних реакцій. Низку викладених питань висвітлено лише в оригіналь­
них роботах і не було детально викладено в монографіях та підручниках.
Для науковців, викладачів, магістрів, аспірантів та студентів фізичних і фізико-технічних спеціальностей.
УД К 539.14:539.17
ББ К 22.383
ISBN 978-966-439-673-5
©Денисов В. Ю., Плюйко В. А., 2013
© Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,
ВПЦ "Киевский университет", 2013
Оглавление
Предисловие
7
1. Приближение Томаса-Ферми и его
расширение
1.1. В в е д е н и е ..........................................................
1.2. Приближение Томаса-Ф ерми........................
1.3. Расширенное приближение Томаса-Ферми .
10
10
11
14
2. Самосогласованное среднее поле
2.1. Введение ..........................................................
2.2. Приближение Х а р т р и ....................................
2.3. Приближение Х а р т р и -Ф о к а ........................
29
29
30
33
3. Нуклон-нуклониые силы
3.1. Введение ............................................................
3.2. Силы Скирма и функционал плотности
э н е р г и и ...............................................................
3.3. Силы Гон ьи.......................................................
3.4. С и л ы М З У .......................................................
37
37
38
49
51
4. Проявления среднего поля
4.1. Введение ..........................................................
4.2. Потенциал В у д са -С а к со н а ...........................
4.3. Оболочечные поправки и ихприменения . .
53
53
54
59
3
5. Распределение плотности нуклонов в ядрах
5.1. В в е д е н и е ...........................................................
5.2. Данные о распределении плотности нуклонов
5.3. Модельное описание распределения плотности
5.3.1. Полубесконечная ядерная материя .
5.3.2. Распределения плотности в
квазиклассическом приближении . .
80
80
81
84
84
88
6.
Свойства зеркально-асимметричных ядер
101
6.1. В в е д е н и е ........................................................... 101
6.2. Спектры четно-четных я д е р ........................
104
6.3. Спектры нечетных я д е р .................................. 115
6.4. Электрические переходы в ’’жестких” ядрах 122
6.5. Электрические переходы в ’’мягких” ядрах . 132
7.
Гигантские мультипольные резонансы
142
7.1. Введение ........................................................... 142
7.2. Гигантский дипольный изовекторный
резонанс..............................................................
143
7.3. Гигантские изоскалярные резонансы . . . .
159
7.4. Двойные гигантские резонансы .................. 162
7.5. Гигантские резонансы в нагретых ядрах . . 163
8.
Альфа-распад
8.1. Введение ...........................................................
8.2. Объединенная модель альфа-распада и
а л ьф а-зах в а та ..................................................
8.3. Эмпирические формулы для периодов
полураспада ......................................................
166
166
Протонный и кластерный распады
9.1. Введение ...........................................................
9.2. Протонный распад я д е р ..................................
9.3. Двупротонный распад я д е р ...........................
9.4. Распад ядра с вылетом к л а стер ов ...............
189
189
190
197
199
9.
4
167
184
10. Свойства и распад компаунд-ядер
10.1. В в е д е н и е ............................................................
10.2. Плотность уровней атомных я д е р ................
10.3. Характеристики р а с п а д а ................................
10.4. Испарение н е й т р о н о в ......................................
10.5. Испарение заряженных ч а сти ц ......................
10.6. Эмиссия гамма-квантов...................................
10.7. Деление компаунд-ядра...................................
208
208
212
227
229
232
235
251
11. Оптическая модель ядерных реакций
11.1. В в е д е н и е ............................................................
11.2. Метод Фешбаха ...............................................
11.3. Метод связанных каналов ............................
11.4. Упругое рассеяние я д е р ...................................
254
254
255
259
264
12. Ядро-ядерный потенциал
12.1. В в е д е н и е ............................................................
12.2. Полуэмпирические п о те н ц и а л ы ...................
12.2.1. Потенциал В у д са -С а к сон а ................
12.2.2. Потенциал п р ок си м и ти ......................
12.2.3. Потенциал Б а с а ...................................
12.3. Потенциалы однократной и двойной свертки
12.4. Полумикроскопический потенциал .............
12.5. Аналитический полумикроскопический
потенциал............................................................
12.5.1. Взаимодействие сферических ядер .
12.5.2. Взаимодействие деформированных
я д е р .........................................................
268
268
269
270
271
274
275
277
13. Подбарьерное слияние ядер
13.1. В в е д е н и е ............................................................
13.2. Одномерная модель сл и ян и я.........................
13.3. Учет колебаний поверхности
......................
13.4. Влияние передачи н у к л о н о в .........................
13.5. Слияние деформированных ядер ................
13.6. Слияние ядер в зв е зд а х ...................................
298
298
299
302
306
315
322
5
281
282
290
14. Реакции с передачей нуклонов
331
14.1. Введение ........................................................... 331
14.2. Реакции прямых п е р е д а ч ............................... 333
14.3. Реакции с образованием диядерной системы 342
15. Сверхтяжелые ядра
15.1. Введение ...........................................................
15.2. Свойства сверхтяжелых я д е р .........................
15.3. Синтез сверхтяжелых я д е р ............................
15.4. Альфа-распад сверхтяжелых я д е р ...............
348
348
351
364
373
Список литературы
377
6
Предисловие
Монография охватывает широкий круг актуальных
проблем современной ядерной физики. Рассмотрено при­
менение макромикроскопических1 методов при исследова­
нии свойств и методов описания сложных атомных ядер и
ядерных реакций.
Существуют микроскопические подходы в теории атом­
ного ядра с математически корректным разделением кол­
лективных и одночастичных степеней свободы, с точным
учетом кинематических корреляций в движении нукло­
нов и сохранением полного числа степеней свободы. Од­
нако трудности, которые возникают при расчете с их по­
мощью характеристик атомных ядер и ядерных процес­
сов, делают такие подходы практически не реализуемыми
в сложных ядерных системах. Главными проблемами в ис­
пользовании микроскопических методов является матема­
тическое решение квантовой задачи многих тел и физиче­
ская интерпретация полученных результатов. Для тяже­
лых ядер математические трудности являются не только
техническими, но и принципиальными, поскольку они мо­
гут привести к неконтролируемым упрощениям в форму­
лировке задачи вследствие существования неконтролиру­
емых погрешностей при ее численном решении.
В монографии изложены достаточно простые, при их
количественной реализации, макромикроскопические под­
ходы. В таких подходах используются комбинации мик­
роскопических расчетов и феноменологических моделей.
Это позволяет получить аналитические выражения для
характеристик структуры сложных или достаточно тяже­
лых атомных ядер и процессов распада их возбужденных
состояний, и благодаря этому значительно упростить про­
блемы расчета и физической интерпретации результатов.
1Согласно авторской редакции.
Авторы большое внимание уделили тем актуальным
разделам ядерной физики, в которых проводили научноисследовательские работы в течение многих лет.
В первых главах обсуждаются базовые модели (метод
функционала плотности энергии, метод Хартри-Фока и
метод оболочечных поправок), которые широко использу­
ются в современной ядерной физике для описания различ­
ных характеристик сложных ядер и ядерных процессов.
Рассмотрены свойства ядер, связанные с распределени­
ем нуклонов в ядрах, а также соотношения между видом
распределения плотности и компонентами функционала
плотности энергии. Обсуждаются эффективные нуклоннуклонные силы в ядрах. Рассмотрены результаты расче­
тов оболочечных поправок, масс и деформаций атомных
ядер в макромикроскопической модели ядра.
Следующие главы посвящены описанию коллективных
возбужденных состояний в атомных ядрах. Спектры кол­
лективных низко лежащих возбуждений в зеркально-асим­
метричных ядер обсуждаются в модели аксиального зер­
кально-асимметричного ротатора. Свойства гигантских
мультипольных резонансов рассмотрены с использовани­
ем наглядного гидродинамического приближения.
В последующих главах обсуждаются современные под­
ходы для описания альфа-, протонного и кластерного рас­
падов ядер. Для понимания процессов распада высоковоз­
бужденных ядер, кратко рассмотрены основы статистиче­
ской теории распада компаунд-ядра. Наибольшее внима­
ние уделено описанию плотности уровней возбужденных
состояний ядер и различных мод их распада в области
сплошного спектра материнского и дочернего ядер.
Далее рассмотрены различные механизмы ядерных
реакций при взаимодействиях тяжелых ионов, в том
числе - реакции с передачей нуклонов. Кратко излагает­
ся оптическая модель, которая широко используется при
описании реакций между сталкивающимися ядрами. Как
для сферических, так и деформированных взаимодейству­
ющих ядер детально обсуждаются особенности ядро-ядерных взаимодействий, которые необходимо учитывать при
расчетах сечений ядерных реакций. Детально описаны раз­
личные свойства ядерных реакций возле барьера и при
более высоких энергиях. Обсуждаются подбарьерное слия­
ние ядер и слияние ядер в звездах. В заключительной гла­
ве рассмотрены различные свойства, сверхтяжелых ядер,
методы их получения и регистрации.
Основой монографии являются курсы лекций, прочи­
танные авторами на физическом факультете Киевского
национального университета имени Тараса Шевченка. Она
рассчитана на студентов магистратуры университетов и
технических вузов, которые специализируются в области
ядерной физики, ядерной энергетики и физики конденси­
рованных состояний, а также аспирантов, научных работ­
ников и преподавателей физических специальностей. Кни­
га требует знания основ квантовой механики и ядерной
физики. Наиболее полно общие вопросы ядерной физики,
необходимые для понимания содержания монографии, из­
ложены в учебниках [1,2].
Авторы благодарны Л.А. Булавину, И.Н. Вишневско­
му, В.М. Струтинскому, В.М. Коломийцу, А.В. Игнатюку,
Г.А. Прокопцу, Г.Ф. Филиппову, С.Н. Ежову. И.Н. Каденко, В.И. Абросимову, А.Я. Дзюблику, А.Г. Магнеру, В. Норенбергу, С. Хофману, О.И. Давидовской, А.Н. Горбаченко, а также всем сотрудникам отдела теории ядра, лабо­
ратории теории ядерных взаимодействий и процессов Ин­
ститута ядерных исследований НАН Украины за много­
численные критические обсуждения различных вопросов.
Авторы глубоко признательны рецензентам за полез­
ные советы по улучшению изложения рассмотренных во­
просов и заранее благодарны всем читателям, которые ука­
жут на неточности, погрешности и другие недостатки мо­
нографии.
9
Глава 1
Приближение
Томаса-Ферми
и его расширение
1.1.
Введение
Приближение для описания основного состояния фермионов было предложено в 1927 г. независимо Томасом [3] и
Ферми [4] вскоре после построения основ квантовой меха­
ники Шредингером в 1926 г. Этот подход был сформули­
рован с использованием статистического метода описания
электронов в атоме. Приближение Томаса-Ферми широко
применяется в различных областях физики. В этом при­
ближении легко понять и интерпретировать физические
явления без выполнения сложных и громоздких числен­
ных вычислений.
Со временем была подробно исследована точность при­
ближения Томаса-Ферми. Его применимость, как и лю­
бого квазиклассического приближения, ограничена обла­
стью, в которой изменение длины волны де Бройля ДХ
должно быть мало на расстояниях А х порядка ее длины,
т.е., |ДХ/Дж| < < 1 [5]. Для того, чтобы уточнить при10
ближение Томаса-Ферми в области неоднородности потен­
циала, необходимо учесть поправки. Эти поправки впер­
вые были найдены Киржницем [6, 7]. Такое приближение
с поправками, связанными с пространственной неоднород­
ностью потенциала, называется расширенным приближе­
нием Томаса-Ферми. Расширенное приближение ТомасаФерми широко используется в ядерной, атомной, и кванто­
вой физике для описания различных явлений, связанных с
неоднородностью потенциала и при исследовании гранич­
ных эффектов [7—12].
В этом разделе дано краткое изложение приближения
Томаса-Ферми и простейшего расширенного приближения
Томаса-Ферми, учитывающего пространственную неодно­
родность потенциала. Применение этих приближений для
описания различных свойств ядерной материи и ядро-ядер­
ного взаимодействия обсуждается в последующих главах.
1.2.
Приближение Томаса-Ферми
Приближение Томаса-Ферми для описания основного со­
стояния системы фермионов одного сорта со спином 1/2
основывается на таких положениях:
• в основном состоянии все состояния от нижайшего
уровня до уровня Ферми с энергией ер заняты ча­
стицами с учетом принципа Паули;
• функция п ( єі) = Q(cp — Єі) описывает вероятность
заполнения одночастичных уровней системы.
Здесь Єі - энергия г-го уровня системы,
Q(eF - єі) = |
1 ДЛЯ Є р > Є;,
О ДЛЯ Є р <
Є і.
( 1 . 1)
На рис. 1 показана схема такого заполнения уровней си­
стемы в потенциальной яме.
11
Рис. 1.1. Свободные А и заполненные В уровни в потен­
циальной яме V(x), ер - уровень Ферми, т.е., последний запол­
ненный частицами уровень системы.
Кинетическая энергия системы фермионов в случае та­
кого заполнения уровней и квазиклассического описания
кинетической энергии частиц равна
Е = 2 ] Р Єіп( єі) = 2 ] Г ei&{eF - Єі), d =
І
(1.2)
І
Здесь pi - модуль импульса частицы на уровне г, также
учтено, что на каждом уровне находятся две частицы с
противоположными значениями спина.
12
Каждое квантовое состояние системы заполняет ячей­
ку фазового пространства [5]:
ЬхЬр = 2ith,
(1.3)
поэтому, число состояний в ячейке фазового пространства
определяется как
(1.4)
Щ .
2пТь
Спин фермионов 1/2, следовательно, два фермиона мо­
гут занимать один и тот же уровень. В результате число
фермионов, заполняющее ячейку фазового пространства,
равно
>3
і-'»
Плотность р числа частиц в объеме V — ЪхЬуЬг опре­
деляется как число частиц в элементе объема. В объеме
находятся частицы с различными величинами импульсов,
поэтому
число частиц
элемент объема
. ^
( 1.6)
о SxSpx ЬуЬру bzbpz
сумма по всем возможным импульсам — -кй
ЪхЬуЪг
bpxbpybpz
2 • сумма по всем возможным импульсам
(2iih)
или в интегральной форме
n(p) = 0 ( p f —p ) ..функция заполнения в импульс­
ном пространстве, рр ~ импульс Ферми, связанный с энер­
гией Ферми соотношением ер = Рр/(2т), и т - масса фермиона. Проводя интегрирование (1.7) в сферических коор­
динатах и используя однородность и изотропность систе­
мы, получим
'■!W
dpш зв(ре ~ р)=2J daw k *
<1 8 )
=
Здесь учтено, что элемент объема в импульсном простран­
стве в сферических координатах равен d3p = p2d,p dil и
dQ, = sin(0) dQ с?ф.
Кинетическая энергия системы фермионов в объеме V
равна
d3P
„ и Р 2
(2тей)3
_ о т ,
2т
Г л о
J
P
f
10т(2пГг)3
(1.9)
1 0 ti2 ?137?7 ’
л/з
Из (1.8) следует, что рр = (Зк2Й3р) . Подставляя это
выражение в (1.9), находим соотношение между плотно­
стью кинетической энергии и плотностью частиц для си­
стемы невзаимодействующих фермионов одного типа со
спином 1/2
х —
1.3.
E/V — (3 ^
'
3£
Юте2/г3
/3 = ^
5
*lp V 3 .
2mv
(ІД О )
v
;
Расширенное приближение
Томаса-Ферми
Приближение Томаса-Ферми предполагает, что частицы
подчиняются статистике Ферми, а также однородность и
14
изотропность системы. Рассмотрим подход, который поз­
воляет улучшить это приближение, включив в него учет
пространственной неоднородности потенциала.
Запишем одночастичный гамильтониан системы фер­
мионов в виде
П2
Н = Н( Г,р) = - — Д + У(г),
(1.11)
где V (r) - одночастичный потенциал, который можно взять
в виде самосогласованного потенциала Хартри-Фока,
р = -ihSJ - оператор импульса и г - координата. Стаци­
онарное уравнение Шредингера для этого гамильтониана
имеет вид
Нф і = Єі Фі -
(1.12)
Здесь ф, = фДг) и Єі - волновая функция и энергия одно­
частичного состояния г, соответственно.
Квантово-механическая матрица плотности системы
фермионов определяется как
ОО
р(г, г', Єр) = 2
Фг(г)0 (е^ - Я )ф *(г').
(1.13)
г=1
Здесь учтено, что каждый уровень занят двумя фермионами с противоположными значениями спина. Поскольку
в { е р - Я )ф -(г') = Q(ep - Єі)ф;(г7),
(1.14)
то матрица плотности приобретает вид
ОС
p (r,r',e F) = 2 ^ ф і(г)фі*(г/) 0 ( е ^ - е і).
(1-15)
і=1
Рассмотрим вычисление квазиклассического выраже­
ния для матрицы плотности системы фермионов, связан2
ного с классическим гамильтонианом i f (г, р) =
+ V ( t)
и производными от него. Оператор Н в (1.13) содержит
некоммутирующие переменные, а именно, оператор им­
пульса р ? и координату г,;, связанные соотношением
[r,;,Pj] = ibijh. Исследуем матрицу плотности с учетом то­
го, что Н является оператором, который содержит неком­
мутирующие переменные.
При вычислении матрицы плотности удобно использо­
вать прямое и обратное преобразования Лапласа, которые,
соответственно, определяются как
F(s)
=
£ { / ( £ ) } = j ~ d E e - ’ Ef ( E ) ,
(1.16)
1 ГС+ІОО
„
£ - ‘ {F (s)} = — Г ; ds е F(s).
(1.17)
zкг Jс—іоо
В дальнейшем будут использоваться преобразования Ла­
пласа для дельта- и тета-функций, которые имеют вид
/( £ )
=
Q (ep — d )
(1.18)
e?eF е-ре,
(1.19)
Используя соотношение (1.18) запишем матрицу плот. ности (1.13) в виде
(1.20)
где
OO
( 1 ,21 )
1=1
16
Ниже будет удобно воспользоваться прямым и обрат­
ным преобразованиями Вигнера Ацг для одночастичного
оператора А, которые определяются, соответственно, как
(см., например, [8-13]):
A w = A(q, р) = J d3s е ^ А
'4(r'r<) “
J
(q +
q - | ) , (1.22)
л ( Ч г >р) - Р'23*
Преобразование Вигнера для гамильтониана имеет вид
классического гамильтониана
HW = H{ q ,p ) = ^
+ y (q ).
(1.24)
Квадрат оператора Гамильтона равен
я 2 =
(T + V ) ( T + V) =
~ л\ 2 + у ] ( ^
v 2+ v
) \ 2т
2т.
=
Т2 + TV + VT + V 2 =
=
f 2+ v f + V 2+ TV =
ft2
Т 2 + 2VT + V 2 - — (2S7VV+ V 2V),
2in
,
=
Л
(1.25)
Різ этого соотношения следует, что квадрат оператора Га­
мильтона не равен квадрату классического гамильтониа­
на.
Вигнер-преобразование квадрата оператора Гамильто­
на имеет вид
где Д# 2 = —
Отметим также, что вигнерпреобразование квадрата оператора Гамильтона не рав­
но квадрату преобразования Вигнера для гамильтониана.
Для доказательства соотношения (1.26) полезной является
формула
(1.27)
Последовательно применяя (1.26) и (1.27), находим
HZ
W
i?3(q, р) + C l R H2 + і?я3 ~(1.28)
t~ ^(^'4)>
—
где С* - биномиальный коэффициент и
R Hs
—
Am
(V l/(q ))2 + - ( p V ) 2l/(q )
Здесь и ниже удерживаются члены с Ь? и отбрасываются
члены с более высокими степенями по /г. При п > 4 имеем
(.H n)w = Я "(q , р) + ClRjp + C n
ARHз + 0{ПА).
(1.29)
Преобразование Вигнера для функции C^(r, г') (1.21),
которая связана с матрицей плотности (1.20). равно
\п =0
/ IV
-Е
ш (М Х - ^
п=о
18
Упростим это выражение, учитывая (1.24), (1.26) - (1.29):
с Р (ч,Р ) = Ё ^ ( - р я , . У)” +
п=0
+
2с г д л . +
п=2
00
Оз
+ Е ~77Т
( " Р ^ Г " 3 с п^яз + 0(Я 4
??—3 <.
о2
оо 1
Р
^
+
|
Дя1£
_ т ( _ р я ^ ) ’* +
= е
П=1
(З3 „
1
+7ГД»
’
£
;5
( - Р я ^ ) ” + 0 (ft‘ ) =
б
П=1
з^2
3d
-ря„,0 ( h 4).
1 + J RH* +
(1.31)
•Подставляя явный вид гамильтониана и функций і?я2 и
Дя з, получим
Ср( q ,p )
«
exp
■Р Ё + ^ )
/г2р'
8т
+
[1+
-ДУ + §(W)2+ -jL(pv)V
Зт
(1.32)
б>(Гг4) ] .
Преобразование Вигнера для матрицы плотности
/ ( q , р, eF) =
J
d3s e_i(ps)A p(q +
q -
eF)
(1.33)
легко связать, учитывая (1.20) и (1.22), с вигнер-преобра19
зованием функции С'3(г, г'):
/ ( q ,p ,e F)
=
2 J d3s e~i{ps)/n х
х
jr-i f Ср(д + s/2, q - s / 2 )
=
2 £ _! | C Pt q . p ) |
(1 34)
Подставляя в это выражение приближенное соотношение
(1.32) для C'Jj(q, р) и выполняя обратное преобразование
Лапласа, получим квазиклассическое выражение для вигнер-преобразоваиия матрицы плотности в виде
/ ( ч . р . е р ) 2© (ег - ^
‘v V
6 '(e F
“ їй
- v(q)) +
“ У{я))+
+
+0 (П 4).
(1.35)
При выводе этого соотношения использовались формулы
(1.18) и (1.19).
Пренебрегая членами пропорциональными h2, получим
квазиклассическое выражение Томаса-Ферми для вигнерпреобразования матрицы плотности
/ TF(q, Р, eF) = 2Є(ег - ^
- V(q)).
(1.36)
Теперь, выполняя обратное преобразование Вигнера (1.23),
найдем плотность частиц, т.е., диагональные элементы мат20
рицы плотности (1.20), в приближении Томаса.Ферми:
P tfM
=
р(г ’ г' = г>ер) =
-
2 ( 2^
3рЄ(Єр-
J
^
Р /тр (г, Р, ер) =
“ ПГ)) =
■>[2то(е/.’ —V'(r))]1/2
S p J„'
.............
ip p ‘
l--A2m{cF - V ( r) ) f ^ •
3/2
Pf
зя2 V & )
где
(1.37)
3 * 2 ft3 ’
= [2m(ep — У (г))]1/ 2 - импульс Ферми.
Соотношение между плотностью кинетической энергии
и матрицей плотности можно записать в виде (см., напри­
мер, [8-13]):
т
=
Е
^
Угф<(г )Уг,<М г/) 1г,=г =
П2
— V rV r'p frj^ e F )!,
2т
(1.38)
В приближении Томаса-Ферми плотность кинетической
21
энергии определяется выражением ( [8-13])
T T F (r)
р
3Р — М
2т
(2лЙ)
г >р, eF)
[2 m (e F - V ( r ) ) Y / 2
2mn2h3 Jo
1 (2 m \ 3/2
5ti2
№)
dp p4
[e" “ V' (r)1'V2
5/2
Vf
(1.39)
107t2/?,3
которое совпадает с (1.9).
Теперь детально рассмотрим квантовые поправки для
квазиклассического вигнер-преобразования матрицы плот­
ности (1.35). Эти поправки к / ( q , р) содержат три члена:
/2 (q ,P ,e F) = 2
- V 2V Ь'(еР -
8т
2т
+ ^ (V K )28"(eF - £
+ №
=
/2 1
(q, P, 6 f)
+
- V(q)) +
- V(9)) +
B. (e, _ Z . v ( , ) )
m
2m
/2 2
(q>P, е;г) +
/2 3
(q, P, eF).
(1.40)
Вычислим вклад в полную плотность каждого слагаемого.
Вклад, связанный с первым членом, равен
РиМ =
(2izhy
J>P
2^
1
7 ^ 3
(2ті/г)
Г
J
(_ i ) v7 .2 vт / e .(e, - Z
V 1 J d3p b'(eF - 7^
32mn3h
22
/ 2l(r , Р, eF)
- v
(r))
- V(r)).
(1.41)
Учитывая, что
•г.2
8Че . - -Н І - W r « =
2т
=
d(p2/(2m))
= =
д ^
- ё - y w ) , (Ы 2 )
Р
dp
получим
„
м
=
~ v2v
Рг1<^
Г а ,
~ т
32mit3» J 1
ДУ
-
г
32й
р
Н
м
. И
^
у <г »
ф
9 1 (й(е^ — ]р- — У (г))
^
AV- с ,
=
р
Г
-----g —
dS(eF
У2 =
V (r))
" - ---------- Тр------------
(L43)
Выполняя интегрирование по частям, находим
= - ^ / * 8( ( У5ГТТМ'" ж ) х
x ( v ^ V
ДУ
W
+ ^
)
)
-
л/2т
~ 8 л Ч 2 y f a - V { r ) ~~
=
---------7
-----------------------------------------------------------.
16л» U
2У
V e F - У (г)
(1 .4 4 )
1
;
Подобным образом вычислим вклад, связанный со вторым
23
слагаемым:
Р'22^
Р
(2 n h )'
= (2 ^ з ] ^
^22(г’ Р> еР)
2ш к * у>*<е' - & - ' г<г»
= (VVf
96тЛ
t c (W )2 г
J d3p Ь"(ер
V(v))
2m
2
І Ї Ї / Г Г "
P2
0(eF
(?™\ 1/2
_
z _
96it2 \ h2 J
- ^
~
V ^
(Vl/)2
(ер — l/(r ))3/ 2’
=
(1.45)
Вклад, связанный с третьим слагаемым, преобразуем к виДУ
2
р2з(г) = с^
,й2
(2 и /г )3 J
=
d‘
Р
/»
3 J d3p /23^г ’ Р; Єі?)
( p V ) 2^ , ,
8m
3m
5',(Є" - ї й - ПГ))
> * • - J ^ - V ( r ) ) . (1.46)
X rf3jP
При вычислении интеграла в (1.46) удобно использовать
разложение векторов по базису ковариантных и контравариантных ортов [14]:
4ті \ 1/2
Р =
т )
^
р
'
Х >
■
ы п
)=
г
А \ 1//2
y j
р
Е
Єі у^ (°)24
(1.47)
Выполняя интегрирование, получим
1
Р23
- J d Q , J dp p2 Y ,
72к2Нтп
x
2
xV ,V p4"(eF - j - -
1
-
J dp p‘ £
e1V iejУ ,6 ІЗV6"(eF -
1 ї J
/ ф1 p4
72к2hm2
=
■i
"v '
- 2
2m- £
V(r)) =
- V(r)) =
- v <r » =
%
о Г ф Р48 "(єґ - V (r)) =
72n2hm2 J FF
v
2m
v"
ДУ
3m2\/2m
72Ti2hm2 2{eF — V (r ))1/ 2
1 Z' 2m \ 1/2
ДУ
48тг2 \ h2 J
{eF - V { r ))i/2-
^ -48)
Суммируя слагаемые (1.37), (1.44), (1.45) и (1.48), найдем
квазиклассическую плотность частиц с учетом квадратич­
ных поправок по постоянной Планка в виде
P e tfW =
(2тг^)э
J
<*3Р Д г ’ Р> eF) -
pTF + р2 + ... =
'2 m \ ^ 2 [ 1 ( 2 m\
>2 ^
) ( 6F “
~W J
AV
( W )|22
\
.(1.49)
24712 \ (eF - V ( r ) ) 1/2 + 4 (eF - V( r) ) 3/2 ' +
Здесь индекс ETF обозначает расширенное приближение
Томаса-Ферми (Extended Thomas-Fermi approach). Отме­
тим, что квазиклассическая плотность частиц расходится
в точках поворота eF = V (г).
Теперь вычислим плотность кинетической энергии в
квазиклассическом приближении с учетом квадратичных
поправок по постоянной Планка. Определим матрицу плот­
ности кинетической энергии в виде
Ті?
т (г і,г 2)
=
2 ^ V riV rap(rx,r2,eF) =
к2
^ 2 ^ У г і Ф ^ Г і ^У ? '2 Ф ^ Г 2')
К2
2т
£
І у 2- V2
4
’•
*
Р ( Г ~ 9>Г + 2 , 6 f ) ’
где г = (гі + Г2)/2 и s = і'і — г2. Для преобразования
Вигнера этой матрицы имеем
2т
1Ї2
t w = т(г} р)
=
1jl
7У
J v 2p w { r , р) + J p P *r ? w { г, р) =
=
jV ? /(r ,p ) + ^ J ^ f( r ,p ) . (1.51)
Подставляя в это соотношение квазиклассическую плот­
ность частиц с учетом квадратичных поправок по посто­
янной Планка, получим такое выражение для плотности
кинетической энергии (1.38)
{2кНУ J d*P
7 V ? /(r ,p ) + ^ V , 2/( r ,p )
2m
Tt
f
+
t2 (p ) +
... =
1
* Ч ж )
5п2 V К
3/2
(eF - V(r))5/2
1/2
(i(A V W )(eF - n r ) ) ^
3
(V 7 (r ))2
+
4 (eF - V(r))1/2>
26
...
. (1.52)
Учитывая, что
35/37С4/3 /і2
X '
/
5/3
3/2
1 f 2ш\ '
V 2F(r)
, 4, 5/2
(VV(r))2
48m \(е^ - F (r ))2
VpETF =
,
\
4 (ejr — У (г))3/
( | ? ) 3/2 W ( r ) (eF - У (г))1/2 + ... ,
V V ETr = —2^2 ( l r ) 3/2 ( - W ( r ) (eF - V'fr))172 (W (r ))2
+
2( e F - V ( r ) f \
... ,
преобразуем выражение для функционала плотности ки­
нетической энергии к виду
T(r )
~
t Tf (Pe x f )
1:2(Pe t f )
=
35/Зк4/ 3 h 2
5
2m
5/3
+ T4(Petf)
&
TF
•
t4(P>e
e t
t f
f )
)
'
[ ( V P e t f ) 2'2 ■ A______
P e tf
2m [ 36pETF
3
j
+
(1.53)
Это выражение для плотности кинетической энергии ши­
роко применяется в физике [7,9-12,15]. Отметим, что вто­
рой член этого разложения совпадает по форме с поправ­
кой феноменологически введенной Вайцзекером в 1935 г.
[16], но имеющей в 9 раз больший коэффициент.
Подобным образом можно получить соотношения для
квазиклассической плотности частиц и плотности кинети­
ческой энергии т4(рЕТГ) с учетом Ті4 по постоянной План­
ка, однако эти выражения весьма громоздки [7,12,17,18].
Полезно отметить, что подобные выражения помогают су­
щественно улучшить точность описания различных харак­
теристик ядер в квазиклассическом приближении [8,18], а
27
также потенциала взаимодействия ядер. Применение квазиклассических методов к описанию различных характе­
ристик атомных ядер дано в следующих разделах.
Подчеркнем, что квазиклассические разложения (1.49)
и (1.53) формально справедливы только в классически раз­
решенной области, где е.р > У (г), поскольку исходные вы­
ражения для плотностей р и т, с помощью которых бы­
ли вычислены эти выражения, не определены за предела­
ми классической точки поворота, т.е., где ер < У (г) или
другими словами, где локальный импульс Ферми рр(г)
не является вещественной величиной. Вместе с тем, при
использовании метода Томаса-Ферми и его расширений
предполагается справедливость разложений (1.49) и (1.53)
во всем пространстве. Поэтому соответствующие плотно­
сти р(г), определенные из вариационного метода, долж­
ны тестироваться с помощью дополнительного рассмотре­
ния, например, из сопоставления асимптотического пове­
дения величины р(г) при г ч о о с получаемой в квантово­
механических вычислениях, например, в приближении
Хартри-Фока. Расчеты показывают, что полная кинетиче­
ская энергия для тяжелых ядер воспроизводится в преде­
лах точности менее 0,1 %, если учтены поправки /г4. Учет
только поправки Вайцзеккера порядка Н2 позволяет до­
стичь точности ~ 1%. Более детальное обсуждение этого
вопроса можно найти в [10,18].
28
Глава 2
Самосогласованное
среднее поле
2.1.
Введение
Рассмотрим систему N частиц, между' которыми действу­
ют двухчастичные силы. Гамильтониан этой многочастич­
ной системы имеет вид
і= і
В этих уравнениях первые слагаемые связаны с операто­
ром кинетической энергии, а вторые - со взаимодействием
частиц. Уравнения Шредингера для этой системы частиц
имеют вид системы N сильно связанных уравнений. От­
метим, что тяжелые и сверхтяжелые ядра содержат по­
рядка 200-300 нуклонов, поэтому решение такой системы
для реалистического нуклон-нуклонного взаимодействия
в ядрах весьма сложная задача. В целом, рассмотрение
29
системы многих нуклонов в средних и тяжелых ядрах на­
талкивается на следующие трудности:
• весьма затруднительно решать систему связанных
уравнений Шредингера для нуклонов в ядрах, так
как число нуклонов в ядрах велико;
• применение статистических методов для описания
движения нуклонов в ядрах проблематично, так как
для обоснованного применения таких подходов число
нуклонов мало;
• нуклон-нуклонное взаимодействие состоит из доста­
точно сложного короткодействующего ядерного вза­
имодействия и дальнодействующего кулоновского
взаимодействия протонов, что существенно усложня­
ет численные расчеты в ядрах.
Для того, чтобы исследовать многонуклонную ядер­
ную систему, необходимо использовать приближенные ме­
тоды системы многих; тел. Наиболее простыми и достаточ­
но точными подходами для описания системы многих тел
являются приближения Хартри [19] и Хартри-Фока [20],
которые будут рассмотрены ниже.
2.2.
Приближение Хартри
В 1927 г. Хартри предложил приближение самосогласо­
ванного поля [19], которое впоследствии стало носить его
имя. В этом приближении любое одночастичное состоя­
ние многочастичной системы определяется самосогласо­
ванным потенциалом, который образован взаимодействи­
ем этой частицы с другими частицами. Приближение са­
мосогласованного поля основывается на замене точной вол­
новой функции системы на приближенную, которая соот­
ветствует невзаимодействующим частицам, построена из
30
одночастичных функций и определяется из минимально­
сти энергии системы.
Предположим, что рассматриваемая система многих
частиц обладает следующими свойствами:
• полная волновая функция системы N частиц имеет
вид произведения одночастичных функций
Ф = ф1(г1)ф2(г2)ф3(г3)...ф^(глг);
(2.2)
• одночастичные волновые функции ортонормированы
ФгіФ; •>:= ^ij'i
(2-3)
• уравнение Шредингера для каждой частицы систе­
мы имеет стандартный общий вид
~
У
2ф Д г ;) + У і(Гі)ф .(Г і) = Єіф.(Гі),
( 2 .4 )
где ф?:, Vi и е,: - волновые функции, потенциал и энер­
гия для і-й частицы, соответственно.
Тогда полная энергия системы определяется как
Е = < Ф|Я|Ф > = £
<
> +
г—1
і
+2
N
Z J < Ф « Ф іМ Гі>Гі)ІФіФ,- >»
i,j=i,i¥=j
(2-5)
где Vij(Ti,Tj) - взаимодействие между частицами.
Полагаем, что волновые функции
обеспечивают ми­
нимальность полной энергии системы из N частиц. Тогда
31
волновые функций фДгі) могут быть найдены из вариаци­
онного принципа
N
(
В < Ф | Я | Ф > -£ > < < Щ >
=0.
(2.6)
Здесь множители Лагранжа X* связаны с дополнительным
условием нормировки волновых функций (2.3) и вариация
выполняется по волновым функциям ф..
Волновая функция |Ф > является комплексной функ­
цией, поэтому ее действительная и мнимая части варьиру­
ются независимо, что эквивалентно проведению вариаций
по |Ф > и < Ф| независимо:
8 < Ф|Я|Ф > = < 5Ф|Я|Ф > + < Ф|Я|8Ф > .
(2.7)
Проводя варьирование в уравнении (2.6), получим уравне­
ние Шредннгера для одночастичных волновых функций
<
> ф,; -
j= l,i^ j
- Щ
=
0.
(2 .8 )
Определяя самосогласованный потенциал для частицы і
как
N
(2.9)
3=1,іфї
уравнение Шредннгера (2.8) приводится к стандартному
общему виду (2.4) с X.;, которое можно интерпретировать
как одночастичные энергии е*.
32
2.3.
Приближение Хартри-Фока
В 1930 г. Фок [20] отметил, что волновая функция, опи­
сывающая систему фермионов в приближении Хартри, не
удовлетворяет принципу антисимметрии. Учет принципа
антисимметрии волновых функций привел к изменению
среднего поля для системы фермионов. Полная волновая
функция, которая учитывает условие антисимметрии вол­
новых функций фермионов, может быть представлена в
виде детерминанта Слейтера [21]:
Ф і(ії)
1
ф =
Ф хЫ
Ф іО з)
• • Фі ( г лО
ф2(г і)
Фз(г і)
Ф2(Г2)
Ф2(гз)
• • Ф2( Ы
Ф3(Г2)
Фз(г з)
•• Ф з М
ФаД г і )
Фіу (Г2)
Фіу ( гз )
• • фn M
V M
,(2.10)
где волновы е ф ункции одночастичн ы х СОСТОЯНИЙ фДГг) =
Фі ( г і ) ^ содерж ат пространственную ф*(г*) и спиновую ^
части.
В случае двух частиц детерминант Слейтера имеет вид
ф
1
Фі(гі)
Фі(гз)
ч /2
ф2(гі)
ф2(г2)
71
1
(2.11)
['К(гі)ф2(г2) - ф 2(гх)ф1(г2)]
и свойства антисимметрии выполняются автоматически
Ф(фі(гі),ф2(г2)) = -Ф (ф 2(г2),ф1(г1)).
Антикоммутатор волновых функций фермионов равен
Фі(гі)Ф*(гі ) + Ф Д ^ Ж Ы
Волновые функции
Ф
= 8ij 8 ( гі -
rj).
являются нормированными, Т.Є.,
< ф|ф > = 1.
В приближении Хартри-Фока система многих ферми­
онов обладает следующими свойствами:
• полная волновая функция системы N фермионов удо­
влетворяет условию антисимметризации, т. е., имеет
вид (2.10);
• одночастичные волновые функции ортонормированы;
• состояние каждой частицы описывается одночастич­
ными волновыми функциями, которые являются ре­
шениями связанной системы одночастичных уравне­
ний Шредннгера.
Уравнение Шредннгера для одночастичных волновых
функций в приближении Хартри-Фока может быть полу­
чено из вариационного принципа аналогично уравнению
Шредннгера для приближения Хартри (2.8). В общем слу­
чае оно имеет вид (см., напр., гл. 6 в [22] и [23]):
~h
2т2vm r>)+
1
N
+ - Y 1 [ ( / ^ ГІ №
5=1
-
> 6 ( ГЬ Г5 ) Ф ^ ) ) Фг;(гг; ) -
J dZTj 0 * ( г 7) г ^ ( г ь г ^ . ( г 4)ф .(г ,)
- ЄіФДгі) = 0, (2.12)
где &і - собственное значение энергии состояния г, а ин­
декс і также включает и квантовые числа, зависящие от
спина. Здесь также учтено, что прямое vf^ и обменное vfj
взаимодействия могут отличаться. Это уравнение факти­
чески является системой нелинейных интегродифференциальных уравнений, которые можно переписать в виде
2 ^ У і Фі (гі) + Кг(г*)фДгО +
+ j d3rj Vex(ru г,-)фДг,) - Єіф.(гі) = О,
34
(2.13)
где
N
Vd(ri) =
f<Рг, ф * (г > г^ ( г і, r ^ f o )
(2.14)
3= 1
- прямой самосогласованный потенциал Хартри-Фока и
N
У з :(Г г, I j )
Х)Ф5(Г>£КГ<>г^)Фі(г*)
(2Л5)
J=1
- обменный самосогласованный потенциал Хартри-Фока.
Сравнивая уравнения (2.8) и (2.12), отметим, что в при­
ближении Хартри отсутствует обменный потенциал, кото­
рый возник из-за учета условия антисимметризации вол­
новой функции для фермионов. Для взаимодействия меж­
ду фермионами конечного радиуса действия прямой по­
тенциал (2.14) зависит от волновых функций при одина­
ковых значениях координат и в этом смысле является ло­
кальным. Обменный потенциал (2.15) зависит от волно­
вых функций при разных значениях координат и является
нелокальным. В общем случае система уравнений являет­
ся интегродифференциальной, что существенно усложня­
ет ее решение. Однако, если взаимодействие между части­
цами имеет нулевой радиус действия с различными сила­
ми для прямого и обменного потенциалов двухчастичного
взаимодействия, т.е.,
v f ^ i T u T j ) = 'Уо(еЖ)(гг;)5(г< - г Д
( 2. 16)
то обменный потенциал является локальным
N
К *(гі) = - < ( Г і ) X
ф*(г,-)5(Гі - Г,)ф .(Гг)
3 =1
3-5
(2.17)
и вид системы уравнений (2.13) значительно упрощается и
сводится к нелинейной системе дифференциальных урав­
нений
-П 2
(
N
\
г(Гг) + ( ^ ф * ( гг;)^о(Гг)Ф^(Гг)
I Фг;(Г;) -
\
N
] Г ф * ( г > ^ ( г ^ ( г 7:)
ф Д г ,;) - Є іф .(Г і) =
/
=
^
ф
, ( г , )
+
N
+(
X I Ф і ( Г 0 ( ^ о ( Г і ) - г>о*(г < ))Ф ,-(г» )
ф Д г,;) -
.7=1
-Є іФДгі) = 0.
(2.18)
Именно поэтому взаимодействие между частицами нуле­
вого радиуса действия весьма популярны при рассмотре­
нии различных задач.
В заключение отметим, что приближение Хартри-Фока
является вариационным и самосогласованным описанием
системы фермионов, основанное на представлении полной
многочастичной волновой функции в виде антисимметризованного произведения одночастичных волновых функ­
ций и фермион-фермионном взаимодействии. Детально
различные применения метода Хартри-Фока в ядрах при­
ведены в следующих разделах.
36
Глявв З
Нуклон-нуклонные силы
3.1.
Введение
Різ данных по рассеянию протонов на протонах, прото­
нах на нейтронах и нейтронах на нейтронах при различ­
ных энергиях столкновения можно извлечь информацию о
свойствах и силе нуклон-нуклонного взаимодействия [24].
Однако эта информация относится к нуклон-нуклонному
взаимодействию между изолированными нуклонами.
В ядре взаимодействующие нуклоны окружены дру­
гими нуклонами, которые оказывают существенное вли­
яние на их взаимодействие. Это приводит к тому, что вза­
имодействие между двумя нуклонами внутри ядра суще­
ственно отличается от нуклон-нуклонного взаимодействия
между изолированными нуклонами. Точный вид нуклоннуклонного взаимодействия в ядре неизвестен, поэтому
для описании взаимодействия нуклонов в ядре использу­
ются различные параметризации этого взаимодействия.
Ниже детально рассмотрим самые популярные пара­
метризации нуклон-нуклонного взаимодействия в ядрах.
37
3.2.
Силы Скирма и функционал
плотности энергии
Силы Скирма [25] были введены для описания нуклоннуклонного взаимодействия в ядрах во второй половине
50-х годов. Силы Скирма являются силами нулевого ради­
уса действия, что существенно упрощает их применение,
однако, несмотря на это, активное использование этих сил
началось в 1972 г. после работы Вотрена и Бринка [26] и
продолжается в настоящее время.
Ядерное взаимодействие между нуклонами в ядре па­
раметризовано Скирмом в виде
^
+ -ti(l
USkyrme(ri, r2) = toil + ХоРсЩгі - Г2) +
^_2
_^2
+ Х і р а ) [ р 8 ( Г ! - г2) + 5(гі - г2) Р ] +
+ t2(l + Х2Р0 ) Р 8(г1 ~ 1*2 ) Р +
+ ^ P a( r i - t l2 ) d + жзРо)5(гі - г2) +
+ i W 0 Р х5(гі — г2) Р (сті + о 2),
(3.1)
где с К = 1
Ра — 2 ^
р
°1°2) — 2
=
S(S^l)-l = { \
=
5 IVl-V21,
~ sl ~ s2)] —
,
(3.2)
(33)
t0, ti, t2, Xq, Xi , х 2, а и Wo - параметры сил, стрелочки
сверху указывают направление действия операторов, стматрицы Паули. Член в первой строчке (3.1) описывает
центральное взаимодействие, члены во второй и третьей
строчках (3.1) связаны с нелокальным взаимодействием,
38
член в четвертой строчке (3.1) описывает зависимость сил
от плотности нуклонов в данной точке и член в послед­
ней строчке (3.1) описывает спин-орбитальное взаимодей­
ствие. Силы Скирма явно учитывают влияние окружаю­
щих нуклонов на нуклон-нуклонное взаимодействие. Пер­
воначально величина параметра а была равна 1. в этом
случае член, зависящий от плотности, был связан с трехча­
стичными силами нулевого радиуса действия. В современ­
ных параметризациях сил Скирма параметр а стал рас­
сматриваться как свободный, причем обычно величина a
выбиралась дробной, чаще всего 1/3 и 1/6.
В 1972 г. Вотрен и Бринк [26] описали в приближении
Хартри-Фока. с силами Скирма основные свойства сфери­
ческих ядер. Ими были предложены два набора парамет­
ров сил Скирма SI и SII. Параметры сил Скирма были
выбраны таким образом, чтобы описать основные свой­
ства ядерной материи (энергию связи на нуклон, равновес­
ную плотность, коэффициент энергии симметрии), экспе­
риментальное наблюдаемое расщепление уровня 1р в 16О,
обусловленное спин-орбитальными силами, а также свой­
ства основных состояний сферических магических ядер
16О, 40Са, 48Са, 90Zr и 208РЬ. Используя предложенные па­
раметризации, были успешно описаны среднеквадратич­
ные зарядовые радиусы, одночастичные уровни около по­
верхности Ферми, распределения зарядовой плотности в
этих ядрах.
Силы Скирма широко использовались в ядерной фи­
зике для описания различных явлений и характеристик
ядер. К настоящему времени предложено около 100 раз­
личных наборов параметров сил Скирма. Также были вве­
дены дополнительные параметры, которые расширили при­
менение сил Скирма от описания свойств атомных ядер,
ядерной материи до нейтронных звезд и повысили точ­
ность описания различных характеристик ядер. В табл.
3.1 приведены значения параметров сил Скирма для неко39
торых параметризаций.
Таблица 3.1. Параметры сил Скирма для различных параметризаций [26-30].
Силы
SI
SIII
SkM*
SkT6
to, МэВ фм3
-1057,3
-1128,75
-2645,0
-1794,2
ti, МэВ фм5
235,9
395,0
410,0
294,0
t'2 , МэВ фм5
-100,0
-95,0
-135,0
-294,0
i3, МэВ фм3+3а
14463,5
14000,0
15595,0
12817,0
х0
0,056
0,45
0,09
0,392
Xі
0,0
0,0
0,0
-0,5
0,0
0,0
0,0
-0,5
х3
0,0
1,0
0,0
0,5
а.
1
1
1/6
1/3
Wo МэВ фм5
120
120
130
107
Силы
SLy4
SLy6
SkP
MSk7
to, МэВ фм3
-2488,913
-2479,50
-2931,70
1828,23
*i, МэВ фм5
І2 , МэВ фм5
486,818
462,18
320,618
-546,395
-337,409
із, МэВ фм3+3а
13777,0
-448,61
13673,0
259,40
-292,84
18709,0
13421,7
Хо
XI
0,8340
0,825
0,29215
0,57676
-0,3438
-0,465
0,65318
-0,5
х2
-1,0
-1,0
-0,53732
-0,5
Х-І
а
1,3540
0,18103
0,78529
1/6
1,0
1/6
W q МэВ фм5
123
122
1/6
1/3
100
118,81
При расчете различных характеристик атомных ядер
широко используется метод функционала плотности энер­
гии. В этом методе предполагается существование такого
зависящего от плотностей протонов и нейтронов функцио­
40
нала £[рр(г), р„(г)] (см. Гл. 2), что энергию атомного ядра
можно представить в виде интеграла
Энергия, вычисленная с помощью этого выражения, сов­
падает с отрицательным значением энергии связи В атом­
ного ядра, так как не учитывает энергию покоя свободных
нуклонов.
Возможность построения функционала плотности энер­
гии следует из теоремы Гогенберга-Кона [31], справедли­
вой для произвольной многокомпонентной системы. В ос­
новном: состоянии атомного ядра с Z протонами и N ней­
тронами энергия принимает минимальное значение и по­
этому плотности нуклонов должны соответствовать мини­
муму энергии при заданном числе нуклонов, т.е., удовле­
творять вариационному принципу
8 [Е — XPZ — XniV] =
= o J c /V
£[pp(r),p n(r)]-X p p p - X npn = min
min,
(3.5)
где Хр и Хп -. множители Лагранжа, которые находятся
из дополнительных условий сохранения числа протонов и
нейтронов в атомном ядре,
(3.6)
Задача поиска плотностей нуклонов, реализующих ми­
нимум интегралов в (3.5), эквивалентна следующим вари­
ационным уравнениям:
41
решая которые можно вычислить плотности нуклонов в
основном состоянии атомного ядра, а затем и его энергию
связи.
В общем случае в функционал плотности энергии мо­
гут входить члены с градиентом V и оператором Лапласа
д = V 2 от плотностей нуклонов. Поэтому вариационные
(функциональные) производные в (3.7) и (3.8) необходимо
вычислять, используя такое правило:
5
—
8р,
<9
_
<9
<9
= ----------- \ 7 -------------------f- V " ----------------
dpq
d ( v Py
d ( ^ Pq)
,
.
(3 9 )
[ -J)
Функционал плотности энергии ядра состоит из двух
компонент связанных с кинетической энергией нуклонов
в ядре и потенциальной энергией нуклон-нуклонного вза­
имодействия
£[pp(r )> Pn(r )] = Tp(r ) + Tn(r ) + V(r),
(3.10)
где Тр и т„. - плотности кинетической энергии протонов и
нейтронов, соответственно, V(r) - плотность потенциаль­
ной энергии. Функционал плотности потенциальной энер­
гии получается в приближении Хартри-Фока с помощью
выражения для микроскопических сил Скирма (3.1) - (3.3)
[10, 23, 26]. Отметим, что вывод выражения функциона­
ла плотности потенциальной энергии достаточно сложен
и использует дополнительные предположения, см. детали
в [10,23,26].
Потенциальная энергия нуклон-нуклонного взаимодей­
ствия имеет вклады, связанные с ядерным взаимодействи­
ем между нуклонами и кулоновским взаимодействием меж­
ду протонами, т.е. представляется в виде суммы двух сла­
гаемых
V(r) = Vskyrme(r) + VC(r).
(3.11)
В случае сил Скирма функционал плотности потен­
циальной энергии, связанной с ядерным взаимодействием
42
между нуклонами, имеет вид
Vskynne(r) — "^0 + V3 + Veff + Vfin + Vso + Vsg,
(3.12)
Vo = -^[(1 +
(3.13)
где
2 X’o)p2
- (xo +
2
^Pp +
- член нулевого радиуса, действия,
V3 = ^ з р “ [(1 + ^ з ) р 2 - (хз + ~)(р2
р + р2)]
(3-14)
- компонент, зависящий от нуклонной плотности, т.е. учи­
тывающий влияние окружающих нуклонов на взаимодей­
ствие между двумя нуклонами,
1
ч
/,
+ 2+ 1'2( + 2
, /
1 м /2т
+ ^ ) ~ h(xi +
1
Г /,
1
eff =
+
1
4
Г, /
[*2 (^ 2
м 2т
+
2т
.
(3.15)
- слагаемое, связанное с эффективной массой, которое воз­
никает вследствие того, что нуклон-нуклонное взаимодей­
ствие (3.1) зависит от импульса нуклонов,
Vfin = Yg[3* i(l + 2 X l) ~
+ 2 Х2)](У р)2 ~
+ 2^ + І2^Х'2 +
+
(3-16)
- член, обусловленный конечностью ядра,
Vso = | w b (J V p + JpV pp + J n V p J
(3.17)
- компонент, описывающий спин-орбитальное взаимодей­
ствие нуклонов и
Vsg = —— (tlXl + toX?)J 2 +
43
~ ^)(Jp + J 2) (3.18)
- слагаемое, происходящее в результате тензорной связи
между спином и градиентами. Здесь pq = Y lini\^ig\2 ~
плотность протонов q = р или нейтронов q = п, <\>iq - од­
ночастичная волновая функция q-го нуклона, р = рр + рп
и
= Yli Фt ° х ^Фі, ~ плотность соответствующего тока.
Функционал плотности энергии для кулоновского взаи­
модействия протонов имеет прямое и обменное слагаемые
(3,19)
Обменное взаимодействие в (3.19) взято в приближении
Слейтера.
Зная распределение плотности протонов и нейтронов
и используя (3.10) - (3.19), вычислим плотность энергии
в данной точке пространства, подставив которую в (3.4)
найдем энергию связи В атомного ядра.
В случае симметричной, трансляционно-инвариантной
и изотропной ядерной материи, т.е. в бесконечной и изо­
тропной ядерной материи с равными протонными и ней­
тронными плотностями, и при пренебрежении кулоновским
взаимодействием между протонами функционал плотно­
сти энергии существенно упрощается. В этом случае все
производные по координатам равны нулю. В таком при­
ближении удобно анализировать различные свойства ядер­
ной материи. Например, используя (3.10) - (3.19) и плот­
ность кинетической энергии Томаса-Ферми
(1-Ю)
(или (1.53)) найдем, что энергия связи на нуклон в сим­
метричной ядерной материи имеет вид
-В
Е(р)
£ [р/2, р/2]
Q
/ o f 2\ 2/3
+ 80ІЗ*1 + (5 + 4х2)іг]
P°/3'
(3.20)
При отклонении плотности от равновесного значения
величина ^ меняется, см. рис. 3.1. Величина имеет мини­
мум при плотности, соответствующей равновесной плот­
ности ядерной материи р^, экспериментальное значение
которой р^р = 0,16 ± 0,005 фм-3 .
Рис. 3.1. Зависимость энергии на нуклон в симметричной
ядерной материи для различных значений плотности.
При больших отклонениях плотности от равновесно­
го значения различные параметризации сил Скирма да­
ют сильно различающиеся величины
При больших от­
клонениях плотности от равновесного значения удобно ха­
рактеризовать параметризации сил Скирма на те, кото­
рые приводят к сильной зависимости энергии на нуклон
(’’жесткому” уравнению состояния) и к слабой зависимо­
сти ^ от р (’’мягкому” уравнению состояния) (см. зави­
45
симости j от р, рассчитанные для параметризаций SIII
и SkM* или SLy6 на рис. 3.1). Тип уравнения состояния
и поведение энергии на нуклон при больших плотностях
ядерного вещества является весьма важным как для опи­
сания высокоэнергетических ядро-ядерньтх столкновений,
так и свойств нейтронных звезд.
Важной характеристикой ядерного вещества является
модуль сжатия ядерной материи К с0, который указывает,
какую энергию надо затратить для того, чтобы незначи­
тельно отклонить плотность ядерной материи от равно­
весного значения:
о
/ q_2 \ 2/3
+ g[3ti + (5 + 4ж2)^2]
J
Р'>/3-
(3.21)
Величина этого параметра важна для корректно­
го описания свойств ядерной материи, энергии возбуж­
дения гигантских изоскалярных мультипольних резонан­
сов, а также свойств нейтронных звезд. Эксперименталь­
ное значение величины модуля сжатия близко к значению
= 210 ± 20 МэВ.
Величина модуля сжатия ядерной материи связана с
кривизной величины J возле равновесного значения, т.е.,
вблизи минимума кривой уравнения состояния, который
расположен вблизи р « 0 ,1 6 фм“ 3 (рис. 3.1). Видно, что
модуль сжатия ядерной материи, рассчитанный для пара­
метризации SIII, больше, чем вычисленный для парамет­
ризаций SkM* или SLy6. Этот вывод также подтверждает­
ся и непосредственными расчетами равновесной плотности
ядерной материи и модуля сжатия, приведенными в табл.
3.2.
46
Таблица 3.2. Значения равновесной плотности симметрич­
ной ядерной материи р^, импульса Ферми кр, величины
a,v =
при равновесном значении плотности, модуля сжатия
ядерной материи К х ., отношения эффективной массы к массе
нуклона mjo/m и коэффициента симметрии J для различных
параметризаций сил Скирма.
SLy5
SLy6
SkM*
SIII
Рос ( Ф М _ 3 )
' SLy4
0,160
0,160
0,159
0,160
0,1453
кр (фм-1)
1,333
1,334
1,330
1,334
1,29
-15,969
-15,983
-15,920
-15,770
-15,86
Кос (МэВ)
229,9
229,9
229,8
216,6
355,4
гп^/т
0,70
0,70
0,69
0,79
0,76
J (МэВ)
32,00
32,03
31,96
30,03
28,16
Force
av (МэВ)
Поскольку силы Скирма зависят от импульса, то они
имеют эффективную массу, отличную от массы нуклона,
а разным типам движений соответствуют различные эф­
фективные массы. Изоскалярные и изовекторные эффек­
тивные массы, соответственно, равны
т*оо
т.
т*'
т
1 2т
/
=
\ _1
у- +
+ (5 + 4.г2)г2у
, (3.22)
+ у ) + ^ (1 + у ) ] ,
(3.23)
1
1+ к ~
isovect,
=
1+
2^2
где к - коэффициент усиления энергетически взвешенной
суммы для изовекторных дипольных электрических коле­
баний.
Симметричная ядерная материя имеет одинаковые
величины протонной и нейтронной плотности. Такое со­
отношение между величинами протонной и нейтронной
47
плотностей является равновесным для симметричной ядер­
ной материи. При относительном отклонении изовекторной плотности pLV = рп —р от равновесного значения воз­
никают силы, стремящиеся восстановить равновесное со­
отношение плотностей. Коэффициент, определяющий воз­
вращающую силу при отклонении изовекторной плотно­
сти от равновесного значения, связан с энергией симмет­
рии ядра и равен
1 d2E(pp,pn)/A
2
dP
_
i= o
і d2£[pp, p j
2p
dP
r
/= o
где I =
pp = p(l - I ) /2 и pn = p(l + I ) /2.
Величины основных параметров, характеризующих
свойства ядерной материи, которые полученные для раз­
личных параметризаций сил Скирма, даны в табл. 3.2. От­
метим, что для различных параметризаций сил Скирма
эти параметры незначительно меняются, за исключением
модуля сжатия ядерной материи [32,33]. Модуль сжатия
ядерной материи для набора параметров SIII имеет самое
высокое значение. Именно поэтому и уравнение состояния
для этих сил является самым жестким (рис. 3.1).
Сравнивая значения величии в табл. 3.2, можно сде­
лать вывод о том, что современные параметризации па­
раметров сил Скирма приводят к близкому значению ос­
новных параметров, характеризующих свойства ядерной
материи.
48
3.3.
Силы Гоньи
Силы Скирма являются силами нулевого радиуса действия.
Однако известно, что нуклон-нуклонное взаимодействие
существенно зависит от расстояния между нуклонами [24],
поэтому и реалистичное феноменологическое взаимодей­
ствие между нуклонами внутри ядра также должно за­
висеть от расстояния между взаимодействующими нукло­
нами. Гоньи [34] предложил параметризовать взаимодей­
ствие между нуклонами внутри ядра в виде двух гауссианов с коэффициентами, зависящих от пространственных,
спиновых, изоспиновых и спин-изоспиновых переменных,
а именно:
У ( п , г 2)
[И/i + B iPa - H iPx - M iPaPT} +
=
*=1
Ра =
+
i W q{ oi
+ о2)р х 5(гх — г2)р +
+
і3(1 + Р0)8(гі - г2)р1/3 Q ( n + г2)^ , (3.25)
+ о ю 2).,
(3.26)
Одной из первых успешных параметризаций этих сил
была так называемая параметризация D1 [35]. Позднее
широко использовалась параметризация D1S [36]. Недавно
для сил Гоньи была предложена параметризация DIM [37],
которая использовалась для описания масс ядер. С помо­
щью этой параметризации были описаны массы 2149 ядер
со среднеквадратичным отклонением 0,798 МэВ. Парамет­
ры сил Гоньи, которые хорошо описывали основные свой­
ства ядерной материи, приведены в табл. 3.3.
49
Таблица 3.3. Параметры сил Гоньи для параметризаций
D1 [35], D1S [36] и DIM [37]. Величины ^ приведены в фм, а
W{, Ві , Ні и Мі в МэВ.
т
Ві
1
Нг
0,7
-402,4
-100
-496,2
-23,56
2
1,2
-21,30
-11,77
37,27
-68,81
1
0,7
-1720,30
1300,00
-1815,53
1397,60
2
1,2
103,639
-163,483
162,812
-223,933
1
0,5
-12797,6
14048,9
-15144,4
11693,9
2
1,0
490,95
-752,27
675,12
-693,57
силы
і
D1
D1S
DIM
Мі
силы
W0, МэВ фм5
t0, МэВ фм4
D1
115
1350
D1S
130
1390,60
DIM
115,36
1562,22
Отметим, что расчеты различных свойств ядер с си­
лами Гоньи, вследствие конечного радиуса действия сил,
являются сложными, поэтому силы Гоньи реже использу­
ются для описания свойств ядер по сравнению с силами
Скирма. Однако эти силы приводят к более точному опи­
санию свойств ядер и, особенно, процесса деления ядер,
вращения гипердеформированных ядер и взаимодействия
ядер. В этих случаях форма распределения ядерной мате­
рии часто имеет вид гантели. Взаимодействие нуклонов,
расположенных на противоположных сторонах гантели,
учитывается силами Гоньи. Поэтому расчеты свойств ядер
для таких конфигураций, выполненные с силами Гоньи,
являются наиболее реалистичными.
50
3.4.
Силы M3Y
Еще одним примером феноменологических нуклон-нуклонных сил конечного радиуса, действия являются силы M3Y
[38]. Эти силы были введены из анализа нуклон-нуклонных
матричных элементов, которые получаются при использо­
вании реалистических нуклон-нуклонных потенциалов и
осцилляторного базиса. Эффективное нуклон-нуклонное
взаимодействие конечного радиуса действия было пара­
метризовано в виде суммы 3-х потенциалов Юкавы для
прямого и обменного компонентов
M r i , r 2)
=
ехр(—4s)
7999,0-
4s
.2134,25
!> & (г і , г 2)
=
(3.27)
4 6 3 1 , 3 8 Є Х р (- 4 5 )
-1787,13
4s
exp(—2, 5s)
275s
- 7'8474expr o 2s>'
<3-28>
где s = Ir ] — r 2 1- Это взаимодействие начали применять
для расчета потенциала между ядрами и свойств ядерной
материи. Однако оно приводило к неудовлетворительному
описанию ядерных реакций и свойств ядерной материи.
Для того, чтобы улучшить описание ядерных реакций
были введены дополнительные параметры, которые учи­
тывали перенормировку взаимодействия J\f и зависимость
потенциала как от плотности ^ (р ), так и от энергии стал­
кивающихся ядер G(E) :
Ущех ){г i , r 2) = М Т(р) Q(E) vD{Ex){г і , г 2).
(3.29)
Вид функций F{p) и G(E), и величины параметров этих
функций отличаются в разных подходах. Для описания
51
ядерных реакций часто требуется дополнительная подгон­
ка параметра перенормировки J\f силы потенциала. Тем
не менее, модифицированные силы M3Y успешно исполь­
зуются для описания различных ядерных реакций [39-43].
Эти силы являются удобными для расчетов различных ха­
рактеристик ядерных реакций, поскольку они не зависят
от сорта нуклонов в ядре.
52
Глава 4
Проявления среднего
поля
4.1.
Введение
Силы Скирма были введены в конце 50-х годов прошлого
века [25], а первый расчет в приближении Хартри-Фока
с силами Скирма был сделан в 1972 г. [26]. Это связано
с тем, что расчеты в приближении Хартри-Фока с сила­
ми Скирма сложны и они стали возможными только при
достижении определенного уровня развития вычислитель­
ной техники. Тем не менее, простые расчеты структуры
сферических и деформированных ядер, а также описание
основных свойств ядер были сделаны в 50-70-х годах про­
шлого века [44-48]. Методы, модели и приближения, ко­
торые были развиты в то время, принципиально важны
для ядерной физики. На них основываются современные,
более сложные и точные подходы для описания структу­
ры атомного ядра и ядерных процессов. Поэтому в этой
главе и некоторых последующих рассмотрим некоторые
модели, а также их развитие, которые являются актуаль­
ными и сегодня. Так весьма широко до сих пор использует­
ся параметризация среднего поля (см. (2.9), (2.14), (2.15))
53
потенциалом Вудса-Саксона [49] и метод оболочечных по­
правок [50-53], которые будут обсуждены в этой главе.
4.2.
Потенциал Вудса-Саксона
Потенциал Вудса-Саксона был введен в 1954 г. [49] для
описания рассеяния нуклонов на ядрах. Он предложен на
основе представления о диффузном распределении плот­
ности нуклонов в ядре [2]. До этого распределение плотно­
сти в ядрах, как правило, описывалось ступенчатой функ­
цией. Параметризация среднего поля ядра с использова­
нием потенциала Вудса-Саксона оказалась очень удачной
для описания оболочечной структуры ядер, описания про­
цессов взаимодействия нуклонов с различными ядрами.
Потенциал Вудса-Саксона аппроксимирует зависящий
от координаты нуклона компонент среднего поля ядра и в
аксиально-деформированном ядре имеет вид
V (т) = -------------------------------1 + ехр[(?' - R(Q))/d]
(4.1)
где Vo - глубина потенциала, d - его диффузностъ,
(4.2)
е
- радиус потенциала деформированного ядра, А = N + Z
- массовое число ядра с Z протонами и N нейтронами, Р>е
и Y(q(6) - параметры деформации среднего поля и сфе­
рические функции мультипольности £ [14]. При описании
структуры ядер и ядерных реакций параметры потенциа­
ла Вудса-Саксона для протонов и нейтронов отличаются и
обычно принимают значения в интервалах: 40 МэВ < V0 <
60 МэВ, 1,1 фм < ^ о ^ 1 ) 3 фм и 0,5 фм < d, < 0,7 фм.
Экспериментально наблюдаемую последовательность
протонных и нейтронных одночастичных уровней в окрест54
ности энергии Ферми можно описать, если учесть спинорбитальное взаимодействие, которое приводит к компо­
ненту среднего поля в виде градиента от потенциала ВудсаСаксона:
Vft(r) =
-^ ,e x p [ ( r -B ,,( 9 ) ) /j b ] _
2(sl)
(4 3)
it, {1 + exp [(г - Я ь (0 ))/с У }
Величины параметров спин-орбитального потенциала не­
значительно отличаются от величин параметров ’’центрального” потенциала (4.1).
В литературе известно несколько наборов параметров
для параметризации среднего поля в виде потенциала Вуд­
са-Саксона [47, 48, 54-56], с помощью которых успешно
описаны одночастичиые уровни возле поверхности Фер­
ми и рассеяние нуклонов на. ядрах. Зная энергии и вол­
новые функции одночастичных состояний, вычисленные в
потенциале Вудса-Саксона, были описаны различные кол­
лективные вибрационные и вращательные, а также одно­
частичные свойства ядер, периоды бета-распада ядер, уг­
ловые корреляции нейтронов и других реакций [47,48,57].
Энергии и волновые функции одночастичных состоя­
ний в ядре с Z протонами и N нейтронами определяются
из решения уравнения Шредннгера
V 2 + Vtot(r) Фі(г) = еіФі(г),
(4.4)
2т а
где
Vtot = V ( г ) + Vea(r)h2(s 1) + (1 - 5a,p)Vc(r)
(4.5)
- полный потенциал, который содержит вклады от цен­
трального и спин-орбитального потенциалов, описываемые
выражениями (4.1) и (4.3); а = р, п. Для протонов необхо­
димо учитывать кулоновский потенциал, который для яд5-5
ра сферической формы в приближении ступенчатого рас­
пределения протонной плотности имеет вид
г > Rc,
Vc (г) =
Rc
2
щ
2Ж
,
(4.6)
г < R e-
Для аксиально-деформированного ядра выражение для
кулоновской энергии более сложное (см., напр., в [56]). От­
метим, что приближение ступенчатого распределения про­
тонной плотности является достаточно точным для оцен­
ки кулоновского потенциала протонов. Величина радиуса
ступеньки Rc иногда считается дополнительным парамет­
ром и выбирается из подгонки расчетных значений наблю­
даемых характеристик к экспериментальным.
Решение уравнения Шредингера в ядре сферической
формы существенно упрощается. В этом случае сохраня­
ется полный угловой момент нуклона и возможно разделе­
ние переменных на радиальную, угловую и спиновую ча­
сти, а одночастичная волновая функция имеет вид
(4.7)
где Y ^ /2(fi) - спин-угловая (шаровая) функция [14],
J 0
j (£) - квантовое число, определяющее полный (орбиталь­
ный) угловой момент частицы, n i j - проекция полного уг­
лового момента. Подставляя волновую функцию (4.7) в
(4.4), получим [2]:
+ ( 1 - 5 а>р)Ус (г) + Ы г ) у х
х (j{j +
1) ~ l { t + 1) - s{s + 1)))]] фij£(r) = 0.
56
(4.8)
Здесь использовано выражение для оператора Лапласа в
сферической системе координат
_ 1 < 9 2 <9
1
(4.9)
г- д г 7 дг г2 П
и соотношения
A n Y ,mm
1
д
=
А Л (0 ,Ф )
д2
sin0 дв
sin20 <Эф2
Yem(Qi ф)
= £( £ + 1 )F,m(fi),
(4.10)
1,
і2 - s2] y , " f m
1
2 ^ 0 + 1) -
+ 1) ~ s(s + l)]Yjmj (^)-
(4.11)
Отметим, что спин нуклона
поэтому для определенного
значения £ > 0 возможны два значения j: j = £ — \ и
j = £л-\-
Численное решение уравнения (4.8) на современных ком
пыотерах является достаточно простой задачей. Для этого
обычно используют метод Нумерова [58,59], который при­
меним для численного решения уравнений
£ 24>(r) =
dr
Л(г)ф(г).
(4.12)
При решении (4.12) используется метод конечных разно­
стей с равноотстоящими точками с шагом h и вводится
вспомогательная функция Цг), которая связана с функ­
цией ф(г) соотношением
(4.13)
ф(г) = С(г)/ ^1 57
Функция £(г) связана рекуррентным соотношением в трех
последовательных точках, которые разделены шагом h,
т.е., ri+i = Vi + h = Tj_i + 2/i,
Ci+1
2+
h?Ai
(4.14)
где Cj = Цп).
Условие конечности волновой функции Ф(г) при г = О
приводит к граничному условию ф ^ (г) = const ■гш .
Асимптотика волновой функций Фщ{г) имеет особенно
простой вид на бесконечности для s-нейтронов (I — 0).
Например, для связанных уровней (еп < 0) при г —» оо
асимптотика равна фп(г) ~ ехр [—^ /—2теп/Т\?г].
Собственные значения и функции уравнения Шредингера (4.8) обычно находят, используя рекуррентные соот­
ношения (4.14) для вычисления логарифмической произ­
водной в некоторой точке сшивки. Такая производная, как
и решение уравнения Шредннгера, находится двумя спо­
собами: (1) используя граничное условие в окрестности
г = 0 начиная с малых расстояний к большим, (2) стар­
туя с асимптотических значений начиная с больших рас­
стояний к меньшим. Собственные значения соответству­
ют тем значениям энергий, при которых совпадают лога­
рифмические производные, вычисленные обеими способа­
ми. Заметим, что найденную таким способом собственную
функцию нейтронов необходимо нормировать с помощью
условия J <іг|ф(г)|2 = 1. Подобным образом можно найти
собственные функции и собственные значения и для про­
тонов. однако в этом случае асимптотика - кулоновская.
функция и имеет более сложный вид [60,61].
Отметим, что одночастичные энергии и волновые функ­
ции для состояний вблизи поверхности Ферми, найденные
в приближении среднего поля с потенциалом Вудса-Сак­
сона, близки к вычисленным в методе Хартри-Фока, Вол­
новые функции и собственные энергии состояний удален­
58
ных от поверхности Ферми, определенные в приближе­
нии Хартри-Фока для современных типов и наборов па­
раметров ядерных сил, являются более точными и реа­
листичными, что позволят достаточно надежно предска­
зывать характеристики ядерных возбуждений и различ­
ные свойства ядра. Заметим, что для расчета волновых
функций и энергий уровней приближении Хартри-Фока
сначала решают уравнения со средним поля в виде потен­
циала Вудса-Саксона. Затем с помощью найденных вол­
новых функций рассчитывают самосогласованное среднее
поле и снова рассчитывают волновые функции. Такой под­
ход позволяет сократить время расчетов.
4.3.
Оболочечные поправки
и их применения
Метод оболочечных поправок предложен Струтинским в
1966 г. [50-53]. Рассмотрим этот метод детальнее (см. так­
же [2]). Сумма энергий всех занятых одночастичных со­
стояний (от нижайшего до уровня Ферми включительно)
в приближении Хартри-Фока
(4.15)
равна полной энергии ядра.
Однако сумма энергий всех занятых одночастичных со­
стояний в приближении среднего поля в виде потенциа­
ла, Вудса-Саксона плохо совпадала с экспериментальны­
ми значениями энергии связи ядра, даже если энергии
одночастичных состояний возле поверхности Ферми были
очень хорошо описаны. Это обусловлено тем, что потенци­
ал Вудса-Саксона не полностью согласован с плотностью
и не позволяет описать энергии одночастичных состояний
удаленных от поверхности Ферми.
59
Для расчета энергии связи Струтинский [50-53] пред­
положил следующую макромикроскопическую процедуру:
разбить энергию связи на усредненную макроскопическую
величину, которую можно достаточно точно определить
в рамках капельной модели, и на обол очечную поправ­
ку, которую можно было бы рассчитать используя пара­
метризацию среднего поля потенциалом Вудса-Саксона.
В усредненную величину энергии связи дают вклад состо­
яния, лежащие около и далеко от уровня Ферми, а для
расчета оболочечной поправки важны уровни возле по­
верхности Ферми, которые удовлетворительно описывают­
ся средним полем ядра в виде потенциала Вудса-Саксона.
Таким образом, энергия связи в рамках подхода Струтинского (метод обо лочечных поправок) определяется за­
меной усредненной макроскопической величины энергии
связи на капельную, которая очень хорошо описывается
в рамках различных феноменологических формул, и обо­
лочечной поправки Ogheib которая определяется как разни­
ца между неусредненной Е Г ег и усредненной по энергии
< < Y1T еі
суммой энергий одночастичных уровней,
вычисленной с помощью феноменологического потенциа­
ла, т. е.:
Еи*=
~
«
Е
І ' Є і »
$ замена 4
Капельная модель
+
[E S F Є і - «
E i F Єі »
-JJ+
8 Sheii-
Поскольку для расчета оболочечной поправки важны
уровни возле поверхности Ферми [62,63], которые удовле­
творительно описываются средним поля ядра в виде по­
тенциала Вудса-Саксона, и феноменологические форму­
лы достаточно точны, то и предложенный метод оказался
весьма точным. Например, энергия связи ядра 208РЬ око­
ло -1636 МэВ, оболочечная поправка порядка -14 МэВ,
а ошибка в энергии связи, вычисленная в рамках мето­
да оболочечной поправки, была порядка 0,5 МэВ. Обыч­
60
но абсолютная величина оболочечных поправок порядка
нескольких МэВ, а на, линии бета-стабильности максималь­
ное значение оболочечной поправок встречается в ядре
208
рь
Рассмотрим метод Струтинского усреднения одноча­
стичных уровней. Плотность одночастичных уровней рав­
на
(4.16)
■9(e) = ] Г 5 ( Є - Є і ) ,
І
где Єі - энергия одночастичных уровней. Тогда полная
энергия системы имеет вид
(4.17)
Е ш = У 2 єн = Г Г de д(е)е,
* *
І
.7 —00
а число частиц равно
N =
C eF
(4-18)
de g{ e ) .
J —ОС
Здесь Єр - энергия уровня Ферми. Усредненная плотность
одночастичных уровней д( е) определяется сверткой
точной (неусредненной) плотности одночастичных уров­
ней д(е) с усредняющей функцией f ( x ) :
Т J-°°
V
Y
)
(4,19)
где у - параметр усреднения.
В спектре ядерных одночастичных уровней неоднород­
ности проявляются на интервале энергий порядка рассто­
яния между оболочками Ш = ерА~1,/3 ~ 6-Ї-10 МэВ. Сле­
довательно, для того, чтобы исключить неоднородности
спектра при вычислении усредненной суммы энергий од­
ночастичного спектра, параметр усреднения должен
61
превышать расстояние между оболочками, т.е., должен
быть близок к у ~ (1, 0 4-1, 5)НП. В результате обол очечная
поправка будет равна
eF
de д(е) е -
-O O
Гк
ІЕ
= Е ві ~ f
'
*
de д(е) е =
J — OO
deg(e)e
00
= Еш
- Ёш ,
(4.20)
где X - энергия уровня Ферми с учетом усреднения, кото­
рая определяется из условия сохранения числа частиц
J
N=
Ґ
J —00
de~g{e).
(4.21)
В качестве усредняющей функции f ( x ) Струтинский пред­
ложил взять произведение
f ( x ) = 0і(х)Рр(х),
(4.22)
Цж) = тГ 1/ 2ех р (-.т2)
(4.23)
где
- весовая функция и
<4-24>
- корректировочный полином р-го порядка. Типичное зна­
чение р, использующееся в расчетах, равно р = 6,8.
Подчеркнем, что усредненное значение суммы одночастичных уровней
£tot =
f
de д(е) е
(4.25)
J — ОО
62
не должно зависеть от порядка корректировочного поли­
нома р и величины параметра усреднения у, поэтому долж­
ны выполняться следующие условия
^ = О,
dy
(4.26)
^ = 0.
ар
(4.27)
Эти условия определяют плато, где Еш слабо зависит от
р и у.
В практических исследованиях условия плато опреде­
ляются приближенно с помощью численных расчетов. Дру­
гими словами, если численно рассчитать величину Еш для
различных значений параметров р и у, то можно найти об­
ласть значений этих параметров, где значения Etot практи­
чески не меняются. В этом случае условия плато соблюде­
ны для определенной области и можно метод оболочечных
поправок использовать. В противном случае метод приме­
нять нельзя. Точность метода оболочечных поправок опре­
деляется точностью выполнения условий плато.
Зависимость нейтронной оболочечной поправки для си­
стемы из 144 нейтронов в сферическом потенциале ВудсаСаксона от порядка, корректировочного полинома р и па­
раметра усреднения у 0 — у /(Ml), представленная в едини­
цах Ml = 6,64 МэВ и вычисленная в работе [64], приве­
дена на рис. 4.1. Изображенные линии не имеют идеаль­
ного плато, однако для значений у « (1,2 -f- 1 ,4 )Ш МэВ
для р = 4 и р — 6 наблюдается область, где оболочечна.я
поправка меняется слабо. Фактически нейтронная оболочечная поправка равна ~ 12 ± 0,3 МэВ, т.е. ошибка в вы­
полнении условия плато порядка 0,3 МэВ для этого ядра.
Следовательно и точность метода оболочечных поправок
в этом случае порядка 0,3 МэВ.
63
14
Рис. 4.1. Зависимость нейтронной оболочечной поправки
для системы из 144 нейтронов в сферическом потенциале ВудсаСаксона от порядка корректировочного полинома р и парамет­
ра усреднения Yo, определенного в единицах Ш.
Условие плато необходимо проверять для различных
значений деформаций ядра [64]. Отметим, что в очень тя­
желых ядрах условие плато выполняется с точностью до
0,5 МэВ, а в легких и средних ядрах точность падает и
ошибка достигает порядка 1,5 МэВ. Указанные значения
определяют точность метода оболочечных поправок в со­
ответствующих ядрах. Вследствие отсутствия плато метод
оболочечных поправок неприменим в очень легких ядрах.
В два слагаемых для вычисления оболочечной поправ­
ки (4.20) входят одни и те же энергии одночастичных со­
стояний, при этом в первое слагаемое входит обычная плот­
ность уровней, а во второе - усредненная. В случае, когда
оболочечная поправка отрицательная, величина энергии
связи больше и состояние ядра является более связанным,
64
следовательно, и более устойчивым. При этом плотность
уровней возле границы Ферми оказывается меньшей, чем
усредненная плотность уровней (см. левую схему уровней
на рис. 4.2). Повышенную устойчивость такого ядра легко
объяснить. При возбуждении ядра нуклон или несколько
нуклонов из занятых состояний могут перейти в ближай­
шие энергетически-возможные свободные возбужденные
состояния. Однако, если плотность возбужденных состоя­
ний возле уровня Ферми мала по сравнению с усредненной
(см. левую схему уровней на рис. 4.2), то таких переходов
мало и требуется большая энергия для возбуждения ядра.
Єр
Рис. 4.2. Схемы уровней ядра, обладающего большей (слева)
и меньшей (справа) стабильностью, ер - энергия Ферми.
В случае, когда возле уровня Ферми находится много
состояний (см. правую схему уровней на рис. 4.2), количе­
65
ство путей возбуждения ядра увеличивается и оно явля­
ется менее стабильным. В этом случае плотность одноча­
стичных состояний превышает усредненную плотность и
оболочечная поправка положительна.
Метод оболочечных поправок позволил объяснить и
количественно описать многие свойства ядер. Так, с по­
мощью метода оболочечных поправок были описаны энер­
гии связи всех экспериментально известных ядер со сред­
неквадратичным отклонением порядка 0,5 МэВ, а также
предсказаны энергии связи для ядер, для которых нет
экспериментальной информации. В качестве иллюстрации
точности метода оболочечных поправок на рис. 4.3 при­
ведены отклонения рассчитанных в рамках расширенной
капельной модели с учетом вклада оболочечных попра­
вок [65] значений дефекта масс от экспериментальных [6 6 ].
Дефект масс A ( Z , N ) и энергия связи ядра B ( Z , N ) свя­
заны друг с другом простым соотношением [2,8,47,48]:
B(Z, N ) = Z A { 1,0) + N A { 0,1) - A{Z, N ).
Как видно на рис. 4.3, дефекты масс большинства ядер
описаны с высокой точностью. Отметим, что подобное ка­
чество описания дефектов масс достигнуто в приближе­
нии Хартри-Фока со специальными силами Скирма зна­
чительно позднее [30].
Используя метод оболочечных поправок также рассчи­
таны величины деформаций ядер в основном и высокосп и его во м состояниях, высоты барьеров деления и времена
жизни ядер по отношению к делению, объяснена приро­
да изомеров формы в делении [67], исследованы границы
стабильности ядер и свойства сверхтяжелых элементов, а
также многое другое.
66
О
10
20
ЗО
40
50
60
70
ВО
90
100
110
120
130
140
150
N
160
Рис. 4.3. Отклонения рассчитанных в рамках расширен­
ной капельной модели с учетом вклада оболочечных попра­
вок [65] значений дефекта масс от экспериментальных [6 6 ] в
зависимости от числа протонов (сверху) и нейтронов (снизу).
Вычисляя энергию связи ядра при различных значе­
ниях деформации формы поверхности, можно найти та­
кие значения параметров деформаций, для которых пол­
ная энергия связи (сумма капельной энергии и оболочеч­
ной поправки), вычисленная по методу оболочечных по­
правок, принимает минимальное значение. Эти значения
параметров деформаций характеризуют форму основного
состояния ядра.
Важно отметить, что при деформации ядра увеличи­
вается площадь его поверхности ядра, что приводит к рбсту поверхностной энергии. Кулоновская энергия ядра при
малых деформациях уменьшается незначительно. Поэто­
му при малых изменениях формы поверхности полная ка­
пельная энергия в средних и тяжелых ядрах растет. В ре­
67
зультате, основное состояние ядра в капельной модели яд­
ра является сферическим.
Однако обо лочечная поправка может как резко умень­
шаться, так и резко.увеличиваться в зависимости от числа
протонов и нейтронов в ядре и от амплитуд деформаций
поверхности. В случае, когда при деформации поверхно­
сти оболочечная поправка уменьшается быстрее капель­
ной энергии, минимум полной энергии ядра может реа­
лизовываться в деформированном ядре, т.е., зависимость
оболочечной поправки от деформации может привести к
тому, что основное состояние ядра является деформиро­
ванным. Поэтому деформация ядра может быть обуслов­
лена зависимостью оболочечных поправок от деформации.
Обычно форму поверхности аксиально-деформирован­
ного ядра параметризуют как
д (9 ) - а д + р2Ы 0 ) + № > (e )L
(4.28)
где Ro - радиус сферического ядра, а (32 и (34 - парамет­
ры квадрупольной и гексадекапольной деформации ядра,
соответственно:
(4.29)
(4.30)
- сферические функции [14]. В принципе, можно учесть и
другие мулътипольные деформации формы поверхности.
Характерные формы ядра, получающиеся при различных
значениях параметров квадрупольной и гексадекапольной
деформации ядра, приведены на рис. 4.4. Параметриза­
ция (4.28) описывает весьма различные формы ядра. Па­
раметр квадрупольной деформации ядра описывает меру
вытянутости |32 > 0 или сплюснутости (32 < 0 ядра, а пара­
метр гексадекапольной деформации ядра приводит к воз­
никновению шейки у ядра при [34 < 0.
68
Рис. 4.4. Формы ядра, соответствующие разным значени­
ям параметров квадрупольной и гексадекапольной деформа­
ций поверхности.
Величины параметров квадрупольной и гексадекаполь­
ной деформаций поверхности основных состояний ядер,
рассчитанные в рамках расширенной капельной модели
с учетом оболочечных поправок [65] вдоль линии' бетастабильности, описываемой формулой Грина [6 8 ], приве­
дены на рис. 4.5. Отметим, что рассчитанные значения
удовлетворительно согласуются с доступными эксперимен­
тальными данными. Рассматривая этот рисунок, можно
заметить, что большинство ядер деформировано, но име­
ют небольшую деформацию. Однако есть области, в кото­
рых располагаются ядра с большой деформацией поверх­
ности, например, ядра с 150 < А < 190 и 220 < N < 270.
69
300
Рис. 4.5. Параметры квадрупольной (сверху) и гексадека,польной (снизу) деформаций поверхности основных состояний
ядер, рассчитанные в [65] вдоль линии бета-стабильности.
70
Для полноты отметим, что некоторые ядра имеют су­
щественную неаксиальную деформацию формы поверхно­
сти, которая обычно описывается параметризацией
-й(б)Ф)
=
Д)[1 + р2^2о(®) +
+Р 22 (У22 ( 0 ,ф ) + У 2 _ 2 (0,ф ))],
(4.31)
где
* 2±г( 0 , Ф) = V
3 ^~
sill 20 е±2гф.
(4.32)
Также встречаются аксиальные [69, 70] и неаксиаль­
ные [71] ядра с зеркально-асимметричными формами по­
верхности в основном или возбужденном состоянии. Фор­
ма аксиальных ядер имеет грушевидную форму
Д (0 )
=
До[1 +
0 2 * 20( 0 )
+ Рз^зоСб)],
(4.33)
а неаксиальных ядер - бананоподобную форму
Д(0,Ф)
=
-^о[1 + Р2*2о(0) + Рз*3о(0) +
+Р 31 (У з і(0 ,Ф )-У гз -і(0 ,Ф ))]>
(4.34)
где
Гзо(0)
=
^ /g ^ ( 5 c o s 20 - 3) cos0,
(4.35)
*зі(0)
=
~ Y ^ 6 ^ (5 co s20 - 1)8іп0е*ф,
(4.36)
Уз_ і (0)
=
\1
V Ібтс
(5 cos 20 — 1) sin 0е гф.
(4.37)
Вид возможных грушевидных форм поверхности ядер при­
веден на рис. 4.6. Такие формы ядер также были успешно
описаны в рамках модели оболочечных поправок.
71
Рис. 4.6. Формы ядра, соответствующие разным значени­
ям параметров квадрупольной и октупольной деформации по­
верхности.
При делении ядра происходит изменение его деформа­
ции, которое приводит к увеличению деформации к силь­
но вытянутой форме, а затем к формированию осколков. В
простейшем приближении форма делящегося ядра описы­
вается соотношением (4.28). На рис. 4.7 показана зависи­
мость протонной и нейтронной оболочечных поправок от
параметров |32 и [34 для ядра 238 U. Протонная и нейтронная
оболочечные поправки имеют локальный минимум поряд­
ка -4 МэВ при (32
0,25 — 0,3 и [34 ~ 0,15. Для ядра
сферической формы (32 = р4 = 0 протонная и нейтрон­
ная оболочечные поправки положительны. Оболочечные
поправки резко меняются в зависимости от величины па­
раметров деформации.
72
Рис. 4.7. Зависимость протонной (сверху) и нейтронной (вни­
зу) оболочечных поправок от р2 и Р4 для ядра 238U.
73
На рис. 4.8 приведена зависимость макроскопической
и полной (сумма макроскопической энергии и оболочеч­
ных поправок) энергии ядра от р2 и р4 для ядра 238U.
Макроскопическая энергия, вычисленная в капельной мо­
дели [65] и приведенная на рис. 4.8, плавно зависит от па­
раметров деформации ядра. Основное состояние ядра 238U
сферическое, т.е., [32 = |34 = 0.
В случае учета только квадрупольной деформации, при
[34 = 0, барьер деления превышает 10 МэВ, учет гексадекапольной деформации приводит приблизительно к дву­
кратному уменьшению барьера. Поэтому для корректного
вычисления барьера деления важно учесть максимально
возможное число степеней свободы. В современных моде­
лях теории деления учитываются аксиально-симметрич­
ные деформации
і = 0 , 1 , 2 ,..., 8 и неаксиальные степе­
ни свободы, связанные с [322, (4.31), т.е., радиус ядер имеет
вид
1 + У ^ р ^ о (9 )+
£=0
+(322(У22 (0, ф) + У2_ 2 (0, ф))] .
(4.38)
Явный ВИД Уст (0) для (’, > 5 приведен в [14,61]. Величины
(30 и
связаны (3^,£ = 2,3,4,..., 8 условиями сохранения
объема и неподвижности положения центра масс, соответ­
ственно.
На рис. 4.8 также приведена зависимость полной энер­
гии ядра, вычисленной согласно методу оболочечных по­
правок, от величин параметров деформаций р2 и р4. Пол­
ная энергия ядра не имеет плавной зависимости от вели­
чин мультипольных деформаций вследствие вклада обо­
лочечных поправок. Полная энергия ядра имеет глубокий
минимум при [32
0,25 и (34 ^ 0,10, который связан с
основным состоянием ядра 238U. Отметим, что такая ве­
личина параметра квадрупольной деформаций близка к
74
экспериментальному значению 0,2863 ± 0, 0024 [72]. Следо­
вательно, используя метод оболочечных поправок, опреде­
лены параметры равновесной деформации ядра 238 U.
Рис. 4.8. Зависимость макроскопической (сверху) и полной
(сумма макроскопической энергии и оболочечных поправок)
(внизу) энергии ядра от [32 и р4 для ядра 23SU.
75
Полная энергия имеет менее глубокий минимум при
р2 ~ 0, 7 и |34 т 0,1 (рис. 4.8). Этот минимум связан с
изомерным состоянием ядра, которое называют изомером
формы. При делении ядра из основного состояния пре­
одолевается барьер при р2 « 0, 47 и |34 « 0,00 и величи­
ны деформации ядра близки к параметрам деформаций
в изомерном состоянии. Затем делящееся ядро преодоле­
вает барьер при (32 и 1, 0 и (34 « 0 ,3, и при дальнейшем
увеличении деформации ядра потенциальная энергия, как
правило, плавно уменьшается до точки разрыва ядра на
два фрагмента. Поэтому барьер деления имеет двугорбый
вид, который схематически изображен на рис. 4.9. (Отме­
тим, что некоторые ядра имеют трехгорбый барьер деле­
ния [73].) Высоты и толщины первого и второго барьеров
могут быть существенно различными, что связано с зави­
симостью оболочечных поправок от деформации и траек­
тории деления. Расчет траектории деления связан с по­
иском траектории минимального действия в многомерном
пространстве деформаций и достаточно сложен [53].
Деление ядра из основного состояния называется спон­
танным, его открыли Петржак и Флеров [74] в 1940 г. Де­
ление ядра из возбужденного состояния называется вы­
нужденным. Оно было открыто Ганом и Штрасманом [75]
в 1939 г. Вынужденное деление из различных возбужден­
ных состояний обозначено стрелками 1, 2 и 3 на рис. 4.9. В
случае двугорбого барьера возбужденные состояния могут
находится только в 1 потенциальной яме (см. 1 и 3 на рис.
4.9). В этом случае период полураспада плавно уменьша­
ется с ростом энергии. Однако возможны случаи, когда
возбужденное состояние ядра является общим для 1 и 2
ямы (см. 2 на рис. 4.9) или только состоянием 2 ямы, тогда
период полураспада резко уменьшается по сравнению с
соседними возбужденными состояниями. Такие состояния
называются изомерами формы при делении ядер и были
экспериментально открыты Поликановым [76] в 1962 г. и
76
объяснены в рамках метода оболочечных поправок Струтинским [67] в 1969 г.
Рис. 4.9. Схематическое изображение двугорбого барьера
деления.
Метод оболочечных поправок был также расширен на
случай высоковозбужденных нагретых ядер с температу­
рой Т [77,78]. В нагретых ядрах величины оболочечных
поправок уменьшаются и при температурах порядка Т ~
1,5 — 2 МэВ величины оболочечных поправок близки к
нулю. Величина оболочечной поправки уменьшается с ро­
стом энергии возбуждения ядра Е* = аТ2 [77,79]
8 sheii(£*) ОС
8sheu(0) exp
( - у Е *),
(4.39)
где а - параметр плотности уровней, у - параметр затуха­
ния оболочечной поправки. Зависимость оболочечной по­
правки от температуры приводит к уменьшению высоты
барьера деления в нагретых ядрах, причем вид барьера
деления существенно меняется [78] (рис. 4.10).
77
10
278
8
И
й
О)
— ■— 7=0
112
— о— 7=0.5
- о - 7 = 0 . 7 5 - * - 7=1.0
—* — 7=1.25 — *— 7=1.5
6
4
/" Ч
v У
о
-2
0
20
40
60
80
Q, бн
100
120
Рис. 4.10. Зависимость потенциальной энергии ядра 278112
от квадрупольного момента ядра Q ос р2 вдоль траектории де­
ления для различных температур возбуждения ядра. Энергии
основного состояния ядра принята равной нулю, а температура
Т приведена в МэВ.
В сверхтяжелых ядрах макроскопическая энергия при
деформации его формы, как правило, не имеет барьера
и их стабильность связана только с оболочечным эффек­
том. Как следует из рис. 4.10, уменьшение оболочечной
поправки приводит к исчезновению барьера деления в воз­
бужденных сверхтяжелых ядрах и их делению.
Отметим, что описание различных свойств и характе­
ристик ядер, полученные в рамках метода оболочечных
поправок, со временем были повторены в различных мик­
роскопических моделях. В микроскопических моделях ис­
пользуется сложная параметризация нуклои-нуклонного
взаимодействия и приближение Хартри-Фока или более
78
сложное приближение. Однако объяснение различных
свойств ядра осталось таким же, как и в модели оболо­
чечных поправок с потенциалом Вудса-Саксона. При этом
микроскопические расчеты существенно усложнились, точ­
ность. описания, как правило, улучшилась, но результаты
микроскопических моделей являются не такими нагляд­
ными.
79
Распределение плотности
нуклонов в ядрах
5.1.
Введение
Распределение плотности в ядрах является очень важной
характеристикой ядра, так как определяет его размеры,
величину плотности внутри ядра, которую во многих си­
туациях можно отождествить с плотностью ядерной ма­
терии, и толщину диффузного края ядра.. В деформиро­
ванных ядрах с распределением плотности связаны квадрупольный момент и момент инерции ядер, которые опре­
деляют свойства ядра при вращении. В литературе име­
ются достаточно подробные экспериментальные данные о
распределении протонов в ядрах. Описание распределения
плотности в основном состоянии ядра является первосте­
пенной задачей любой модели. Рассмотрим детальнее фе­
номенологические параметризации и различные модели,
предложенные для описания распределения плотности в
сферических ядрах.
80
5.2.
Данные о распределении
плотности нуклонов
Экспериментальные данные о распределении плотности
протонов, т.е. плотности заряда, достаточно полны и раз­
нообразны [80-83]. Они получены из различных реакций
и процессов. Однако наиболее полную и точную информа­
цию о распределении зарядовой плотности в ядрах извле­
кают из рассеяния высокоэнергетических электронов, так
как электромагнитное взаимодействие между электрона­
ми и протонами хорошо известно, а взаимодействие элек­
тронов с нейтронами дает незначительный вклад по срав­
нению с взаимодействием между электронами и протона­
ми.
Важной характеристикой распределения протонной
плотности является величина среднеквадратичного заря­
дового радиуса, которая определяется как
(5.1)
где р (г) - плотность протонов в ядре. Эксперименталь­
ные данные о величине среднеквадратичных зарядовых
радиусов извлекаются из анализа рассеяния электронов
на ядрах, спектроскопической информации о переходах в
мюонных атомах, изотопических и изомерных сдвигов в
оптических и рентгеновских спектрах [80,83].
Экспериментальные данные о распределении нейтро­
нов менее точные и более скудные [80,84-86]. Это связано
с тем, что нет такой частицы, которая достаточно сильно
взаимодействует только с нейтроном, и слабо с протоном.
Для описания экспериментально наблюдаемого распре­
деления плотности в ядрах широко используются различ­
ные феноменологические параметризации [80,81]. Так, для
описания распределения нуклонов в легких ядрах была
81
предложена параметризация, основанная на выражении
для волновых функций гармонического осциллятора. Она
имеет вид
р ( г ) = Ро I і + а ( г »
2] е х Р ( - ( г / а ) 2)>
( 5 -2)
где р0, а и а - параметры.
Очень широко применяется двухпараметрическое рас­
пределение Ферми
=
1
+ ехр { ( r - R ) / d y
(5'3)
В средних и тяжелых ядрах часто используется трехпара­
метрическое распределение Ферми
р(г) =
р{ 1
1
Ро t1 + &(Г/ Д ) 21
(5 4 )
+ехр ( ( r - R ) / d y
{
1
а также трехпараметрическое распределение с гауссианом
(г) =
Р( }
1
Ро [1 + bjr/R)2]
+ е х р ((г2 -.№)/<?)'
[
}
Здесь р0, R, b u d - параметры, которые различны для раз­
ных параметризаций. Величины этих параметров для раз­
личных ядер, например, затабулированы в работах [80,81].
Типичное распределение протонов в ядре имеет слабые
вариации величины плотности внутри ядра и резкое изме­
нение плотности в поверхностном слое ядра (см. рис. 5.1).
Для описания такого поведения экспериментальных заря­
довых плотностей в работе [82] предложено использовать
выражение
С
p (r ) =
\
віп(?гяг/Д)
^ n = 1 °П
(плг/Я)
\ 0
< n
ДЛЯ
Г ^
(5 .6 )
для r > R.
Таблицы значений коэффициентов a,n для описания заря­
довых распределений в виде (5.6) в различных ядрах при­
ведены в [82]. Величина параметра N, который указывает,
82
сколько членов учитывается в (5.6), как правило меняется
от 10 до 17. Эта параметризация описывает осцилляции
плотности в объеме ядра и является наиболее точной.
Рис. 5.1. Экспериментально наблюдаемое распределение
зарядовой плотности в 208 РЪ, нормированное на плотность бес­
конечной ядерной материи в центре ядра, и распределения плот­
ности полубесконечной ядерной материи, рассчитанные с уче­
том различных градиентных членов функционала плотности
энергии (дет. разд. 5.3.1.)
Отметим, что параметризации (5.2) - (5.6) описывают
распределение плотности в сферических ядрах. В дефор­
мированных ядрах вводится дополнительно зависимость
от угла. Так при замене радиуса поверхности сферическо­
го ядра В. на радиус поверхности деформированного ядра
Д(0), (4.2), параметризации (5.3) - (5.6) будут описывать
распределение плотности в деформированном ядре.
83
5.3.
Модельное описание
распределения плотности
Распределение плотности в ядрах описывалось в рамках
различных моделей и подходов. Наиболее точно распре­
деление плотности в ядрах описывается в приближении
Хартри-Фока с микроскопическими нуклон-нуклонными
силами Скирма или Гоньи, а также с учетом кулоновского взаимодействия протонов и сил спаривания. Однако в
таком подходе все результаты получены численно, поэто­
му достаточно сложно оценить и понять роль различных
членов нуклон-нуклонных сил в формировании распре­
деления плотности. Детально рассмотреть роль различ­
ных компонентов функционала плотности энергии можно
в упрощенной модели полубесконечной ядерной материи.
5.3.1.
Полубесконечная ядерная материя
Полубесконечная ядерная материя имеет одномерную гео­
метрию; ее плотность изменяется только вдоль одной оси
(далее ж) и не зависит от других координат. При х —У —оо
она имеет плотность обычной ядерной материи р0, а в
окрестности точки х = 0 ее плотность резко спадает и
при х —Уоо стремится к нулю.
Упрощенный функционал плотности энергии полубес­
конечной симметричной ядерной материи имеет вид [87]
К ,
а д
\2
v + 18pg(p Ро)
Р+
(V p )2 + XАр
к
=
р
л + щ
+
(р -р о )^
84
Здесь bv - энергия связи на. нуклон в бесконечной ядерной
материи, К - модуль сжатия ядерной материи, компонент
функционала,, содержащий константу (3, связан с вкладом
(3.10) взаимодействия Скирма, а члены, содержащие кон­
станты у и х, обусловлены с квазиклассическими поправ­
ками порядка, /г2 к функционалу Томас-Ферми кинетиче­
ской энергии (1.53).
Отметим, что в случае бесконечной ядерной материи
слагаемые с производными в (5.7) пропадают и энергия
связи на нуклон имеет вид
Этот упрощенный функционал бесконечной ядерной мате­
рии имеет минимум при значении плотности р = р0 и по­
добен реалистичному вблизи равновесной плотности бес­
конечной ядерной материи р0 (см. уравнение (3.20) и рис.
3.1).
Как отмечалось ранее в гл. 3 (разд. 3.2), равновесное
распределение плотности ядерной материи определяется
из вариационного уравнения
(5.8)
в котором X - множитель Лагранжа, связанный с сохра­
нением числа частиц. Проварьировав это уравнение по 8 р
получим уравнение
Член с х функционала плотности энергии (5.7) не ока­
зывает влияние на распределение плотности и отсутству­
ет в (5.9). Учитывая, что для полубесконечной материи
X ~ —bv, уравнение упрощается
Уравнение (5.10) сложное, однако оно имеет простые ана­
литические решения в следующих частных случаях:
где di = [9у/(2К ) ] 1/2, d2 = [72рр0/А ']1/ 2. Первое решение
впервые было получено Браком [8 ] и справедливо для лю­
бых х , а второе - Бергом и Вилицом [8 8 ] и существует
при х < 0. Первый случай связан с учетом квазиклассических поправок к функционалу Томас-Ферми кинетической
энергии, связанными с членами, пропорциональными ft2,
при пренебрежении градиентными членами у взаимодей­
ствия Скирма. Второй случай наоборот, связан с учетом
только градиентных членов у взаимодействия Скирма и
пренебрежением членами с квазиклассическими поправ­
ками порядка /г2 у функционала плотности энергии.
Как следует из частных решений, р(х)
р0 при
х —> —оо. На рис. 5.1 приведены эти распределения плот­
ности, вычисленные для набора параметров сил Скирма
SkM*. При этом, распределения сдвинуты по оси абсцисс
так, чтобы все распределения равнялись р0/ 2 при х = 0 ,
где р0 = 0,16 фм ~ 3 - значение плотности бесконечной
ядерной материи. На рисунке также приведена экспери­
ментальная зарядовая плотность для ядра 208РЬ, которая
для удобства сравнения перенормирована так, чтобы за­
рядовая плотность в центре ядра 208РЬ равнялась р0.
86
Сравнивая различные распределения на рис. 5.1, ви­
дим, что распределение, полученное для квазиклассического распределения плотности, является самым резким в
области края ядра (случай р = 0 и у ф 0). Этот результат
давно известен (см. [7,8,12]). Для того, чтобы удовлетво­
рительно описать край распределения плотности в квазиклассическом приближении, необходимо либо увеличить в
4 раза коэффициент у, либо использовать следующие чле­
ны разложения для квазиклассических поправок, т.е., по­
рядка НАк функционалу Томас-Ферми кинетической энер­
гии (1.50). Учет только градиентных членов у взаимодей­
ствия Скирма приводит к более пологому распределению
плотности (случай р ф 0 и у = 0). Численное решение
уравнения (5.10) с учетом всех членов (случай р Ф 0 и
у ф 0) приводит к распределению плотности [87], которое
незначительно отклоняется в области малых плотностей
от результата, полученного лишь с учетом градиентных
компонентов взаимодействия Скирма.
Константы di = [9у/(2К)}1^2 и d2 — [72рр0//£']1//2, опи­
сывающие поведение плотности в окрестности х = 0 , опре­
деляются константами функционала плотности энергии,
причем решающую роль играет модуль сжатия ядерной
материи К и константа р при градиентном члене, связан­
ная с нуклон-нуклонными силами. Влияние градиентных
членов в кинетической энергии, связанных с коэффициен­
том у незначительно при больших значениях плотности,
но существенно при малых значениях плотности. Однако
заметим, что члены с у зависят от /I2 поправок к функци­
оналу Томас-Ферми кинетической энергии. Поправки hA
оказывают заметное влияние на распределение плотности
и при малых плотностях ее значение, найденное в этом
приближении, ближе к экспериментальному.
Важно также отметить, что экспериментальное распре­
деление плотности имеет осцилляции, которые не описы­
ваются в простейших приближениях, а также феноменоло­
87
гическими формулами (5.1) - (5.4). Эти осцилляции имеют
квантово-механическую природу.
5.3.2.
Распределения плотности
в квазиклассическом приближении
Потенциал, описываемый уравнением (5.7), очень простой.
Реалистический функционал плотности энергии в квази­
классическом приближении является суммой двух членов
£ W r).P «(r)l = Ы г) + Ъ.(г)) + v (r),
(5.12)
связанных с кинетической энергией (см., напр., (1.53)) и
с нуклон-нуклонным взаимодействием (см., напр., (3.11) (3.19)).
Отметим, что силы Скирма зависят от скорости
(импульса), поэтому функционал плотности кинетической
энергии имеет зависимость от эффективной массы т*(г) и
для случая учета поправок порядка /г2 имеет вид [12,17,18]
+
(5.13)
где Wo - сила спин-орбитального взаимодействия, і = р
или г = п, р = рр + рп и
Заметим, что первые три члена функционала плотности
энергии совпадают с выражением (1.53). выведенном ра­
нее в гл. 1. При учете поправок порядка /г4 соответствую­
щий функционал имеет более сложный вид [12,17,18].
Функционал плотности энергии (5.12) имеет два вкла­
да, которые связаны с кинетической энергией нуклонов
и потенциальной энергией их взаимодействия. Как отме­
чалось ранее в гл. 1 , приближение, учитывающее гради­
ентные поправки к функционалу плотности кинетической
энергии, часто называют расширенным (иногда, модифи­
цированным) приближением Томаса-Ферми (РПТФ). В ка­
честве ядерных сил обычно используются силы Скирма
для соответствующих функционалов, (см. (3.11) - (3.19)) и
кулоновское взаимодействие протонов. Соответствующие
вариационные уравнения, записанные для случая учета
поправок порядка ti7 в функционале кинетической энер­
гии и сил Скирма, имеют вид [89]
j4nnV2pn + A npS72pp + £ U ( V p J - + B np(Vpp)2 +
+ A y ;( V p nVpp) + Fn + X„ = 0,
(5.15)
A ppV 2pp + ApnV 2pn + BppiVpp)2 + Bpn(V p j 2 +
+ £ W (V p pVpn) + FP + CP + \P = 0,
(5.16)
где А, В, С і D, F,C P - функции от г, явные выражения
для них являются весьма громоздкими. Уравнения (5.15)
и (5.16) похожи по структуре, отличие связано с коэффи­
циентом Ср в (5.16), который связан с учетом кулоновского взаимодействия между протонами. Система уравнений
(5.15) - (5.16) представляет собой нелинейную систему интегродифференциальных уравнений в частных производ­
ных. Однако эти уравнения могут быть численно решены
и найдены энергии связи ядер и радиальные распределе­
ния протонных и нейтронных плотностей.
На рис. 5.2 для сферических ядер 40Са, 48Са, 56Ni, 90Zr,
114Sn, 140Се, 208РЬ приведены величины относительных от­
клонений энергий связи, вычисленные в РПТФ с учетом
89
поправок порядка /і2 для различных параметризаций сил
Скирма [89], от экспериментальных значений [90]. Экс­
периментальные величины энергии связи хорошо описы­
ваются в рассматриваемом квазиклассическом приближе­
нии, особенно для параметризации сил Скирма SkP.
Рис. 5.2. Относительное отклонение величины энергий свя­
зи, вычисленной в квазиклассическом приближении для раз­
личных параметризаций сил Скирма [89], от эксперименталь­
ных значений для ядер 40Са, 48Са, 56Ni, 90Zr,u 4 Sn, 140Се, 208РЪ.
Зная распределения плотности, можно вычислить сред­
неквадратичные радиусы ядер (Гр)1/ 2, определенные урав­
нением (5.1) для случая протонов. Нейтронный и суммар­
ный (для полной плотности нуклонов) среднеквадратич­
ные радиусы вычисляются аналогично, используя: соот­
ветствующие распределения плотностей. Для ступенчато90
го распределения p(r) = р0©(і?о ~~ ?’) плотности
/
'
'
/ )‘ # г г 2 е ( Д о - г )
''
J # г
0 ( Л О— г)
./3^
\
Вычисленную
*■ г 2
в
(517)
V5
соответствии
с
(5.17)
величину
7?ю = ^J\{r2) 1/'2 называют среднеквадратичным радиусом
эквивалентного распределения.
Для ядер 40Са, 48Са, 56Ni, 90Zr,n 4 Sn, 140Се, 208РЬ в табл.
5.1 приведены энергии связи, среднеквадратичные про­
тонные и нейтронные радиусы, а также величины хими­
ческих потенциалов, т.е. отрицательные значения энергий
отделения нуклонов, рассчитанные в РПТФ для парамет­
ризации сил Скирма SkP. Экспериментальные величины
энергии связи и среднеквадратичных радиусов взяты из
работы [90]. Величины энергий связи и среднеквадратич­
ных радиусов, полученные в рамках квазиклассического
приближения, хорошо согласуются с имеющимися экспе­
риментальными данными (см. табл. 5.1).
Т а б л и ц а 5 .1 . Энергии связи, среднеквадратичные ради­
усы и химические потенциалы р-стабильных ядер. Величины
энергий и химических потенциалов приведены в МэВ, а сред­
неквадратичных радиусов в фм.___________________________________
Ядро
4иСа
48Са
58Ni
90Zr
114Sn
140Се
20Spb
-®ехр
342,1
416,1
•506,5
783,9
971.6
1173
1637
В
(г2)112
Vp/exp
(г2У /2
( r l ) l/2
Хп
\р
340.4
418,0
505,8
789,9
981,8
1182
1638
3,450
3,451
3,769
4,258
4,602
4,880
5,503
3,23
3,33
3,56
4,07
4,39
4,68
5,33
3.21
3,50
3,69
4,17
3,49
4,82
5,49
-12,1
-6,3
-11,3
-8,6
-8,4
-6,6
-5,3
-10,6
-18,9
-11.5
-14,5
-14,4
-16,6
-17.4
91
Отметим, что вычисленные нами энергии связи ядер,
среднеквадратичные радиусы и химические потенциалы
получены в т.н. нелокальном приближении для сил Скир­
ма (tx ф О,І2 ф 0,
^
ф 0. т.е., с т* ф т). В
локальном приближении т* = т и члены во второй и
третьей строчках уравнения (5.13) не дают вклада в функ­
ционал кинетической энергии. Отбрасываемые в локаль­
ном приближении градиентные члены приводят к допол­
нительному вкладу в энергию ядра. В результате этого
энергия связи в локальном приближении и в нелокальном
имеет отличия от нескольких десятых МэВ в легких ядрах
и до нескольких МэВ - в тяжелых.
На рис. 5.3 сравниваются рассчитанные и эксперимен­
тальные протонные плотности для 48Са и 208РЬ. Здесь
и дальше экспериментальные радиальные распределения
плотности заряда в ядрах взяты из анализа неупругого
рассеяния электронов на ядрах из [82]. Из рис. 5.3 следу­
ет, что в объеме ядра протонные плотности хорошо согла­
суются с экспериментальными, а в диффузионной обла­
сти, особенно в области хвоста распределения, наблюдают­
ся незначительные различия. Тот факт, что нелокальное
РПТФ, учитывающее Я2 члены в функционале кинетиче­
ской энергии, недостаточно точно передает профиль про­
тонной плотности, сказывается и на величине среднеквад­
ратичных радиусов, которые незначительно недооценены
(см. табл. 5.1).
Вычисленная в РПТФ плотность нуклонов в ядре 208РЬ,
также удовлетворительно согласуется с эксперименталь­
ными данными, (рис. 5.4).
Для сферических ядер в окрестности линии [3-стабиль­
ности РПТФ с силами Скирма дает хорошее описание
усредненных свойств. Перейдем к рассмотрению ядер,
удаленных от линии стабильности, таких как 32,56Са, 48,78Ni
и 100,132Sn. Современные экспериментальные возможности
позволяют интенсивно изучать такие ядра.
92
Рис. 5.3. Протонные р (г) и нейтронные рп(г) радиальные
распределения плотности, рассчитанные в РПТФ. и экспери­
ментальные протонные плотности для 48Са и 208РЬ. Экспери­
ментальные зарядовые плотности взяты из [82].
93
0,18
Рис. 5.4. Радиальное распределения плотности нуклонов,
рассчитанное в Р П Т Ф , и экспериментальная плотность нук­
лонов 208РЬ. Экспериментальная плотность нуклонов взята из
И -
Величины энергий связи, среднеквадратичных радиу­
сов и химических потенциалов, рассчитанные в РПТФ с
силами Скирма SkP [89], для ряда ядер, удаленных от
линии р—стабильности, представлены в табл. 5.2. Экспе­
риментальное значение энергии связи изотопа 100Sn, при­
веденное в табл., взята из [91]. Для остальных изотопов
энергии связи взяты из [90].
Отметим, что ядра 40,48Са, 48,78Ni, 100'132Sn и 208РЬ, раз­
личные характеристики которых представлены в табл. 5.1
и 5.2 и на рис. 5.3-5.7, являются дважды магическими.
Ядро 48№ недавно было синтезировано [92]. Рассчитанная
для этого ядра энергия связи хорошо согласуется с вели­
чиной 349,0 МэВ [91], которая определена на основе систе­
матики.
94
А
V
Таблица 5.2. Энергии связи, среднеквадратичные радиу­
сы и химические потенциалы нейтронно-избыточных и нейтрон­
нодефицитных ядер._______________________________________
Хр
В
Ядро
< rp >
Bexp
[МэВ] [МэВ]
[фм]
[фм]
[МэВ] [МэВ]
—
2,922
22,491 0,609
3,101
32Са
203,3
25,24
3,754
2,443
3,448
56 Са.
449,6
455,6
—
19,707 2,510
3,328
3,433
48№
346,3
s°Ni
4,41
4,664
4,790
17,643
385,5
385,3
e°Ni
1
0
,0
1
2
3,672
13,16
3,591
528,7
526,9
8,879
14,70
3,725
62Ni
545,3
549,1
3,620
7,845
16,19
3,648
3,776
64Ni
561,8
567,3
3,822
3,157
23,39
78Ni
641,4
4,125
655,6
-7,84
4,243
13,38
4,248
100Sn 825,8
818,8
4,654
4,490
5,699
18,46
124Sn 1049,4 1059,5
3,98
21,35
132Sn 1102,7 1103,8
4,568
4,798
—
4,964
2,216
142 Sn
4,658
24,58
1142,6
—
5,134
0,806
27,38
152Sn
1164,8
4,751
Энергии связи, вычисленные в РПТФ для ядер удален­
ных от линии р-стабильности. хорошо согласуются с экс­
периментальными значениями (табл. 5.2). Это свидетель­
ствует о высокой точности РПТФ с силами Скирма для
расчета свойств основных состояний сферических ядер.
На рис. 5.5 и 5.6 приведены расчеты распределения
плотности для изотопов никеля и олова. Сравнивая рас­
пределения плотностей на рис. 5.5 можно сделать вывод,
что в объеме нейтроннодефицитного ядра 50Ni и нейтронно­
избыточного ядра 78 Ni протонная и нейтронная плотности
заметно отличаются. Величины протонной и нейтронной
плотностей в объеме ядра значительно изменяются при
переходе от нейтроннодефицитных изотопов к нейтронно­
избыточным, при этом суммарная плотность в центре ядра
практически не меняется. В поверхностном слое ядра 50Ni
имеется избыток протонов (протонная ’’кожа”) .
95
Рис. 5.5. Протонные р (г) и нейтронные рп(г) радиальные рас­
пределения плотностей и величины (рп(ч')—р}j(,r))r2, рассчитан­
ные в РПТФ для изотопов никеля. Экспериментальные заря­
довые плотности взяты из [82].
96
Рис. 5.6. Протонные р (г) и нейтронные рп(г) радиальные рас­
пределения плотностей и величины (pn(r) —рр(г))г2, рассчитан­
ные в РПТФ для изотопов олова. Экспериментальные зарядо­
вые плотности взяты из [82].
97
У нейтронно-избыточного ядра 78 Ni, наоборот, имеется
нейтронная ’’кожа”. Наличие протонной или нейтронной
’’кожи” в соответствующих ядрах явно видно на верхней
панели рис. 5.5, где представлена разница нейтронных и
протонных плотностей, умноженная на квадрат радиуса.
Более детальную информацию о свойствах свойства ней­
тронной ’’кожи” в различных ядрах можно найти в рабо­
тах [86,93,94].
На рис. 5.6 представлены результаты подобных рас­
четов плотностей и для ядра олова. Вид плотностей для
нейтронно-избыточных и нейтроннодефицитных изотопов
олова такой же, как и для изотопов никеля. На рис. 5.5 и
5.6 также приведены экспериментальные радиальные за­
висимости протонной плотности для некоторых изотопов
Ni и Sn. Протонные плотности, рассчитанные в РПТФ, хо­
рошо согласуются с экспериментальными в объеме ядер и
незначительно отличаются в поверхностной области. Для
сравнения с результатами других подходов к описанию
распределений плотностей в ядрах, на рис. 5.5 приведены
распределения плотностей для некоторых изотопов, рас­
считанные в рамках релятивистского приближения Хартри-Боголюбова (РПХБ) [94]. Сравнивая соответствующие
кривые на рис. 5.5, видим, что плотности, рассчитанные
в РПТФ и РПХБ, удовлетворительно согласуются друг с
другом.
В рамках РПТФ можно оценить положение линии ней­
тронной стабильности элементов. Число нейтронов, при
котором нейтронный химический потенциал меняет знак
с минуса на плюс, отвечает границе нейтронной стабиль­
ности элемента. Химические потенциалы, рассчитанные в
РПТФ, для изотопов никеля и олова, плавно меняются
при изменении числа нейтронов, (рис. 5.7). РПТФ явля­
ется макроскопическим приближением, не учитывающим
обо лочечную структуру ядра и эффекты спаривания, по­
этому положение границы нейтронной стабильности эле­
98
ментов, найденное в РПТФ, носит оценочный характер.
Однако полученная расчетная величина А — 162 удовле­
творительно согласуется со значением А = 157, вычислен­
ным в модели [65]. Кроме того, результаты РПТФ хорошо
согласуются и с приведенными на рис. 5.7 результатами
расчетов в рамках РПХБ [94].
Рис. 5.7. Зависимость протонных и нейтронных химиче­
ских потенциалов от числа нейтронов для изотопов никеля и
олова. Для сравнения приведены результаты расчетов в рам­
ках релятивистского метода Хартри-Боголюбова [90].
Итак, РПТФ с силами Скирма удовлетворительно опи­
сывает энергии связи, среднеквадратичные радиусы, хи­
мические потенциалы и распределения плотности в ядрах.
Отметим, что в рамках более сложных моделей, например,
в приближении Хартри-Фока или релятивистской модели
среднего поля ядра, можно уточнить и аккуратнее описать
особенности распределения плотности в ядрах и свойства
99
ядер. Кроме того, в приближении Хартри-Фока можно ис­
пользовать всю информацию о структуре одночастичных
состояний, которая недоступна в РПТФ с силами Скирма.
100
Глава б
Свойства зеркально­
асимметричных
ядер
6.1.
Введение
Детальные теоретические и экспериментальные исследо­
вания свойств основных состояний ядер свидетельствуют
о том, что существуют ядра с зеркально-асимметричной
формой, (см., напр., [69,70]). Примером: таких ядер явля­
ются ядра с отличной от нуля квадрупольной и октупольной деформациями поверхности с радиусом
Д(0) = Ro [1 + рзУ2о(0) + № ( 0 ) ] •
Явный
ВИД
сферических функций > 20 (0)
(6 -І)
И
Узо(0) приве­
ден в (4.29) и (4.35), соответственно. Ядерные поверхно­
сти, описанные соотношением ( 6 . 1 ) для различных значе­
ний параметров деформаций |32 и |33 приведены на рис.
4.6. Так как У2о(я - 0) = Y2o(e) и Y:i0(n - 0) = ->зо(0),
то форма ядер с отличной от нуля октупольной дефор­
мацией является зеркально-асимметричной относительно
101
плоскости, перпендикулярной оси аксиальной симметрии
и проходящей через на,чало координат:
R( k -
0)
= В,о
[1
+ (32У2О(0) - (33 Узо(0)] •
(6 .2 )
Зеркальная симметрия означает одинаковость левого и
правого. В квантовой механике понятию зеркальной сим­
метрии соответствует понятие пространственной четности.
Левая и правая части для зеркально-асимметричных форм
не эквивалентны, что приводит к нарушению простран­
ственной четности. Отметим, что радиус R(% — 0), ( 6 .2 ),
с —Рз будет совпадать с Д(0), (6.1). Поэтому четность бу­
дет сохраняться в случае, когда состояние ядер описыва­
ется суперпозицией форм с положительным и отрицатель­
ным значениями октупольной деформации. Если волновая
функция ф(р ) описывает систему нуклонов с формой (6 .1 )
с положительным значением октупольной деформации |33,
а ф(—133) - описывает систему нуклонов (6 . 1 ) с отрицатель­
ным значением —рз, то основное и возбужденные состоя­
ния ядра описываются волновой функцией
1±> =
± Ф(-Рз)]-
(6-3)
При этом основное состояние четно-четного ядра и четные
возбужденные состояния с октупольной деформацией яв­
ляются четными и связанными с суммой волновых функ­
ций в (6.3), в то время как нечетные возбужденные состо­
яния - связаны с разностью волновых функций в (6.3).
Таким образом, представление формы ядра в виде супер­
позиции форм с положительным и отрицательным значе­
ниями октупольной деформации приводит к сохранению
зеркальной симметрии ядра и, следовательно, к сохране­
нию четности.
102
Отметим, что зеркально-асимметричные формы встре­
чаются не только в ядерной физике, но и в молекулярной
физике. Например, молекула аммиака NH3 также являет­
ся зеркально-асимметричной [95]. Основное состояние этой
молекулы, как и в случае ядерной физики, рассматривает­
ся в виде суперпозициями зеркально-симметричных форм.
Между четной и нечетной суперпозицией зеркально-сим­
метричных форм молекулы аммиака происходят туннель­
ные переходы, которые связаны с дипольными перехода­
ми, обнаруженными в 1934 г. [96]. Эти дипольные перехо­
ды были использованы при создании аммиачного мазера
(прообраза лазера) под руководством Таунса в 1954 г., а
принципы работы мазера предложены Басовым и Прохо­
ровым в 1952 г.
Ниже рассмотрим основные свойства ядер с отличны­
ми от нуля значениями квадрупольной (32 и октупольной
(З3 равновесными деформациями. Такие величины пара­
метров деформаций встречаются в нейтроннодефицитных
изотопах Ва, Се, Nd, Pm, Sm, Rn, Fr, R.a, Ac, Th, Pa и
др. [69,70,97]. Отметим, что до сих пор ядер с нулевой
квадрупольной (32 = 0 и ненулевой октупольной [З3 ф О
равновесными деформациями обнаружено не было и тео­
ретически не предсказано [69].
Сначала рассмотрим спектры ядер с отличными от ну­
ля значениями квадрупольной J32 и октупольной р3 дефор­
мациями, а затем электрические дипольные, квадрупольные и октупольные гамма-переходы в этих ядрах.
Давыдовым и сотрудниками [46, 98, 99] были развиты
простые модели для описания ротационных спектров в яд­
рах с квадрупольной или только с октупольной деформа­
циями. Ниже обобщим модель Давыд ова-Чабана [99] на
случай ядер с квадрупольной и октупольной деформация­
ми. Изложенное ниже рассмотрение ядер с одновременны­
ми квадрупольными и октупольными деформациями осно­
вывается на работах [97,100-105].
103
6.2.
Спектры четно-четных ядер
В лабораторной системе координат x , y , z расстояние от
центра деформированного ядра до его поверхности в на­
правлении полярных углов 0 , ф определяется выражением
(6.4)
где R q - радиус, а
- параметры деформации ядра.
Введем собственную систему координат, с началом в
центре масс ядра и осями £, г), С, направленными вдоль
главных осей инерции ядра, ориентация которой относи­
тельно осей х, у , z определяется углами Эйлера
0 = ( 0 Ъ 0 2 , 0 з).
Далее предполагаем, что ядра являются жесткими по
отношению к неаксиальным деформациям поверхности яд­
ра, т.е., мы рассматриваем только аксиально-симметрич­
ные деформации поверхности. В этом случае [2,46]
*(©),
(6.5)
где fi£ - параметры деформаций в собственной системе,
изменяющиеся в области —оо < (3/: < оо для нечетных £ и
О < $е < оо для четных £, Z)^ (0 ) - функция Вигнера [14].
Подчеркнем, что в рассматриваемых ядрах дипольная
деформация j3j, обеспечивает совпадение центров тяже­
сти ядер с противоположными значениями деформации
нечетных мультипольностей —рт и
и их неподвиж­
ность при вариациях деформаций более высокой мультипольности (Зг с I > 2 в возбужденных состояниях. В ядрах
с квадрупольной и октупольной деформациями величина
дипольной деформации должна быть равна
104
В случае аксиально-симметричного ядра в основном и
возбужденном состояниях его момент инерции при враще­
нии вокруг оси симметрии ядра £ равен нулю, следова­
тельно, уровни с проекцией К ф 0 полного углового мо­
мента на. внутреннюю ось С лежат бесконечно высоко [98].
Таким образом, необходимо рассматривать колебательно­
вращательные состояниями ядра только с К = 0.
Гамильтониан, определяющий колебательно-вращатель­
ные состояния ядра, с (32 ,(33, ...,[3N деформациями и К = 0,
имеет вид [97]
в единицах Н, 1/о(р2, Р3, - рЛг) - потенциальная энергия.
Этот гамильтониан является естественным обобщением га­
мильтонианов, исследуемых Давыдовым и Чабаном [46,
99], которые учитывают только одну степень свободы: ли­
бо р2, либо рз.
Для малых значений деформаций Р£ с I > 2 величина
дипольной деформации имеет значение на порядок мень­
ше, чем квадрупольная и октупольная. Величины дефор­
маций более высокой мультипольности (рг, і > 4), как пра­
вило малы. Поэтому в работах [102, 103] считается, что
характерные свойства ядра определяются только квадру­
польной и октупольной деформациями поверхности, а ди­
польная деформация, связанная с Р2 и р3, и деформации
высокой мультипольности (р,, і > 4) не влияют на свой­
ства. ядра. При динамических вариациях р^, с і > 2 вели­
чина рх, соответственно, динамически меняется согласно
(6 .6 ), обеспечивая неподвижность центра, тяжести ядра,
Здесь для простоты изложения мы ограничились рассмот­
рением ядра с квадрупольной и октупольной деформаци105
ями. Обобщение для случая ядра с деформациями поверх­
ности (32 ,рз, ••.,(Згг развито в работе [97].
Решение уравнения Шредингера
(6 .8 )
ЯФ,(Р(,в ) = В/ Ф,(Рг,в )
с гамильтонианом (6.7), учитывающим только квадрупольную и октупольную деформации, представляется в виде
Ф/((3,.в) = (Р А )-іф ? (Р 2,Рз)|ШО,±> = Ф(±рз), (6.9)
где Ф/(3Г 0 ) - полная волновая функция, а функция
\1М0, ± ) описывает вращение аксиально-симметричного
ядра с проекцией спина М на ось z и К = 0. При
К = 0 , 2 ,4 ,... эта функция имеет вид
± (-1
)'В Ікм(в)).
(6.10)
При К = 0 волновые функции, описывающие вращение,
пропорциональны \1М0, ± ) ос D(jM(Q)( 1 ± (—І)7), поэто­
му |/М 0,+ ) ф 0 при I = 0 ,2 ,4 ,... и |/М0, —) Ф 0 при
1 = 1,3, 5,... .
Подставляя (6.9) и (6.10) в ( 6 .8 ), получим уравнение
для Ф ?(р 2 ,рз)
Гг2 (Рh2 (Р
IB , dp:,
2В .
Гг21(1 + 1)
+ 6 ( в 2р2 + 2 В ф 1 )+
+1/(р2,р з) - В ± ] Ф /± (Р2,Рз) = 0,
(6.11)
где с учетом вида (6.9) сделано переобозначение Е, на E f ,
1
1
+ тг: і ) •
VQ32,p3) = Ш . Р з ) + - Г
8 \ В ф 2 Вф1
'з/
106
(6-12)
Для решения этого уравнения удобно перейти к полярным
координатам а и є и ввести обозначения
В = ^(В2 + В3).
(6.13)
Полярные координаты изменяются в областях 0 < о < оо
и —it/2 < є < ті/2. Уравнение (6.11) в полярных координа­
тах принимает вид
!ст
dz2)
6BJr(e)a 2
+ V ( o , e ) - E f ] Ф?(о,є) = 0,(6.14)
где J'(e) = 1 + (sine)2.
В ядрах с октупольной деформацией существуют два
минимума потенциальной энергии с координатами ((3°) р°)
и ((3°, —рз) или (а 0 ,Єо) и (ао, —£о) (см. (6.13)), соответству­
ющие двум зеркально-симметричным октупольным фор­
мам. В общем случае разложение потенциальной энергии
V (а, є) по степеням смещений из одного из этих равно­
весных положений может содержать члены (а — о 0)(е ±
Єо). Для простоты предполагается, что такие перекрест­
ные члены равны нулю, а V ( о , е) в окрестности минимума
(ао, ±£о) имеет вид
(6.15)
где
= є Т Єо- Малость смещений из равновесного состо­
яния также позволяет заменить ^ (є )
•Ffco) = Яз. Тогда
переменные в уравнении Шредингера (6.15) разделяются
107
Здесь xv(T) _ осцилляторная функция, удовлетворяющая
уравнению Шредннгера
К2 d?
Cz ,
s2
Xv(Tf ) = (^v T Sv)Xv(T? ) » ( 6 Л 7 )
■ 2 B d ? + T (e:FEo)
e v — Tude(v + |) и ыЕ = (Cz/B)1'12 - энергия и частота виб­
рационных состояний, связанная с осцилляциями по ко­
ординате є и v = 0 , 1 , 2 ,...; 2 ov - величина расщепления
двукратно вырожденного v - го уровня в результате тун­
нельного перехода между формами ядра с противополож­
ными значениями октупольной деформации, т.е., между є0
и —є0.
Подставляя (6.15) - (6.17) в (6.14) получим уравнение
для функции ф* (а)
к ‘2
р
/ 2 B d ^ + W‘ - { a ) - E<
Фь(а ) = °>
(6Л8)
где
т т г±<
Л21 ( 1 + 1 )
\
W- (o)
fv +
=
8В
Ті?1(1 + 1)
/koev=F§v
Ov
t\?
^ + В Д =
TJ7±, .
"
+
+
(619)
- эффективная потенциальная энергия. Далее считается,
что предпоследний член в потенциальной энергии (6.19)
можно представить в виде
Со [ о 2
2
\а
Такой выбор потенциальной энергии при малых отклоне­
ниях от равновесного значения дает обычный осцилляторный потенциал и является достаточно реалистичным при­
ближением для больших отклонений от равновесного зна­
чения. При таком выборе потенциальной энергии уравне­
ние Шредннгера (6.18) решается аналитически, что явля­
ется существенным преимуществом.
108
т..
.
Используя обозначения
о
Р=
h
С*00
<0 Я
і ) И'
а 00
(ВС0) 2
. Ef =
ООО
ао ’
(6 .20 )
- Ц 2),
уравнение (6.19) для ф* (р) приводятся к виду
d2
“ ¥
Af
2
+ 7 ” +р
2 /С/ V
(6 .21 )
ф ? (р ) = 0 .
где
(6 .22)
3-F0
Здесь введен параметр Д^:
+
2 (/koEv
(6.23)
Т 8 v)(ao 0 ricoa) \
который для уровней различном четности будет иметь раз­
личное значение. Как увидим дальше, различные значе­
ния Д ^ приведут к тому, что расстояние между уровня­
ми одинаковой четности будет изменяться по различно­
му закону в четной и нечетной полосах. Отметим, что
Д + +
Д 7 =
2 [i~ 4 +
4 / i 6 ) ev ( a ^ 0/?,a)CT) _ 1 >
0.
Функция ф ^р), являющаяся решением уравнения (6.21)
и удовлетворяющая условию нормировки
Г
' 0 0 [ф± (р)]2гір = 1,
Jo
а также граничными условиями ф± ( 0 ) =
имеет вид
(6.24)
0
и ф± (оо) =
0,
Здесь Г(ж) ~ гамма-функция, L*(z) - полином Лагерра
[61], п = 0 , 1 , 2 ,...,
(6.26)
Если положить энергию основного состояния ядра, рав­
ной нулю, то энергия возбужденных уровней определяется
выражением [102,103]
(6.27)
Параметры A f для данного v зависят как от параметра
мягкости ядра [і (6 .2 0 ), так и от величины расщепления
осцилляторных уровней 25v (6,17), (6.23), обусловленном
туннельными переходами между зеркально-симметричны­
ми формами ядра. Это выражение отличается от случая
жесткого ротатора, для которого зависимость энергии вра­
щательного уровня от спина имеет вид Ej ос 1(1 + 1 ).
Параметр [і, (6.20), входящий в Д+ и Д~, определяет
мягкость ядра по отношению к деформационным колеба­
ниям. Значение [1 = 0 соответствует жесткому ротатору.
Если [і > 0,3, то ядро мягкое и при вращении оно замет­
но растягивается под действием центробежных сил. При
растяжении ядра происходит увеличение момента инер­
ции ядра, что приводит к понижению энергий по сравне­
нию с энергиями жесткого ротатора. Подобные свойства и
зависимость от [і также существуют в модели ДавыдоваЧабана [46,99].
В четно-четных ядрах с октупольной деформацией име­
ются две основные полосы с п = v = 0 - четная и нечетная.
110
Четная полоса построена на основном состоянии, которое
описывается суммой волновых функций с противополож­
ными значениями октупольной деформации (6.3). В то же
время, как нечетная полоса построена на первом возбуж­
денном состоянии, которое описывается разностью волно­
вых функций с противоположными значениями октупольиой деформации (6.3). Для описания возбужденных уров­
ней основной ротационной полосы п = v = 0 выражение
(6.27) упрощается
Efi;0 = Гт (y/d* + 1(1 + 1) - V fF )
(6.28)
и энергии уровней четной и нечетной полос определяют­
ся тремя параметрами fm, d+ и d~, которые связаны с
Тгыа и Ац соотношениями 1ш
=
Ясоа/ \/ЗТ0 и
d± = 3 / 0 (1 + 4Aq )/4. Параметры fao, d+ и d~ приведе­
ны в табл. 6.1, в которой приведены значения параметров
модели [97] для всех известных к 1995 г. четно-четных ядер
с октупольной деформацией. В этой модели для них полу­
чено хорошее описание спектров уровней различных ядер.
Сравнивая параметры модели для различных изотопов
и ядер, следует отметить, что величина параметра Н£Ь из­
меняется незначительно, однако пределы изменения пара­
метров d+ и dr шире. Из (6.23) следует, что
Ао + А 0 = 2[і
,
поэтому значения жесткости ядер
(і = [(Д ++ д „-)/2 ]-‘ / ‘ = [(rf++ d - ) n m ) - 1 /4 ]-1/4
будут близки для всех ядер в табл. 6.1.
На рис. 6.1 и 6.2 приведено сравнение ротационных
уровней основной ротационной полосы, вычисленных в дан­
ной модели, с экспериментальными значениями 222Тії и
218Ra. Параметры /гсоа, A q и Ад для ядра 222Th приведены
в таблице 6.1. Сравнивая между собой экспериментальные
ill
и теоретические значения энергий уровней, можно сделать
вывод о том, что рассмотренная модель достаточно хоро­
шо описывает экспериментальные данные.
Таблица 6.1. Параметры /ш и dfc для четно-четных ядер
с квадрупольной и октупольной деформациями [97].
Ядро
ШЬ [кэВ]
d+
d~
144Ва
275,7
17,58
36,67
146 Ва
240,4
9,516
28,63
146 Се
259,3
4,955
17,33
146 Nd
322,2
1,339
6,640
148 Nd
263,1
3,165
13,87
150Nd
312,5
65,76
110,3
150 Sm
319,0
12,13
26,23
220 Rn
118,8
0,053
26,41
222 Rn
113,0
0,562
32,02
218Ra
203,9
0,889
5,561
220Ra
198,1
20,84
22,63
222 Ra
94,01
2,854
15,20
224Ra
182,8
46,70
56,08
226Ra
210,3
1 0 1 ,1
115,3
228Ra
133,4
29,71
78,25
220Th
207,5
0,879
0,879
222Th
241,0
42,50
50,05
224Th
236,3
77,69
86,27
226Th
249,6
129,3
141,4
228Th
201,5
98,83
125,8
112
Эксп
20
18
16
14
12
10
8
6
4072,7
3611,4
3154,3
2702,5
2258,2
1824,2
1404,9
1007,6
644,2
4
334.1
2
107.2
OUC7(
25
4882,8
4804,9
23
4349,5
4341,8
21
3835,5
3882,0
19
3340,7
17
2873,0
15
2431,9
13
2015,5
11
1622,6
1680,5
9
1255,3
1280,9
7
923,5
910,7
651.0
467.0
585,1
4577,9
4077,6
3596,0
3426,4
3133,5
2687,8
2976,1
2533,1
2259,7
1850,7
2099,9
1461,1
1093,5
750,0
439,8
183,3
Рис. 6 .1 . Экспериментальные
уровни ядра 222Th.
113
1
??
4537,2
Эксп
1
24
5004,2
T h
С
О Сл
26
2
1
167,7
вычисленные в модели [97]
218R a
МВБ
Эксп
Эксп
21
МВБ
4260,0
4216,3
3811,1
19 3797,0
3286.0
16 3175,7
14 2768,5
2833
1? 2361,5
2387
10
8
1954,7
1548,4
1955
1537
2826.0
17 3391,0
3379
. 3406,5
15 2968,0
2948
■ 3002,7
13 2528,0
2529
• 2600,0
11 2110,0
2125
■ 2199,0
9 1695,0
1734
• 1800,8
7 1342.0
1357
. 1407,5
Ь 1039,0
3 793,0
993
. 1023,6
2391,0
1963,0
1548,0
6
1143,0
1133
1123,0
4
739,6
741
742.0
2
342,9
364
389,1
662,2
1
. 368,4
о_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Рис. 6 .2 . Экспериментальные и рассчитанные в модели вза­
имодействующих бозонов (МВБ) и в модели [97] уровни ядра
218Ra.
На рис. 6.2 приведено сравнение уровней ядра 218Ra,
рассчитанных в рассмотренной модели [97] и в модели вза114
имодействующих бозонов (МВБ) [106], с эксперименталь­
ными данными. Отметим, что в МВБ используются 4 под­
гоночных параметра, в то время как в модели [97] исполь­
зуются 3 параметра, значения которых приведены в табл.
6.1. Однако качество описания экспериментальных дан­
ных в этих двух моделях подобное.
Учет мультипольных деформаций поверхности боль­
ших мультипольностей не приводит к существенному
усложнению модели и выражение для энергий уровней в
случае ядер с отличными от нуля деформациями {32, (З3,
р4, ... (Здг приводит к такому же выражению для энергий
возбуждения, что и (6.28).
При п ф 0 в ядрах с октупольной деформацией наблю­
даются полосы, построенные на каждом вибрационном со­
стоянии. Отметим, что вибрационные состояния связаны
как с координатой а, так и с осцилляциями координаты є
возле равновесных состояний.
6.3.
Спектры нечетных ядер
В отличие от четно-четного ядра, в случае аксиально-сим­
метричного нечетного ядра важную роль играет взаимо­
действие Кориолиса, которое определяется силами, дей­
ствующими между неспаренным нуклоном и деформиро­
ванным четно-четным остовом и зависит от их спинов
+ L'u)
4
=
»2 + 2 В „2
6(В2$
$ ) .’
(6-29)
где В( - массовые параметры, / и j - операторы спинов
ядра и неспаренного нуклона в единицах 1г соответственно,
Д і Д))
j±
і JV
115
(6 .30)
Рассмотрим колебательно-вращательные состояния не­
четного ядра, которые определяются гамильтонианом
V
— -в~ 3— в3— +
W
2В‘
^
Г)2^2 ^
^
+
+ 2В 3®
+ Н С+ Vo(p2, рз),
(6.31)
где Vo((32, Рз) - потенциальная энергия. Решение уравнения
Шредингера
(6.32)
Ф ,(Р(, 0 ) = (Р2Рз)-їф?(|3.2,Р з )і/М 0 ,± ).
(6.33)
где функция Ф*((32 ,(33) = ±Ф *(р 9, —Р3) описывает колеба­
ния поверхности остова, М и К - проекции спина ядра на
оси z и С соответственно,
1/2
IMK, ±) =
± (_ 1
)I+KD l KM(Q ) x „ K), (6.34)
ук - волновая функция неспаренного нуклона с проекцией
полного углового момента К на ось симметрии ядра СВид волновой функции обусловлен свойствами симмет­
рии ядра. Остов ядра можно рассматривать как четно­
четное ядро с квадрупольной и октупольной деформаци­
ей, четность состояний которого определяется симметрией
относительно замены (З3 —> —р3 , т.е., функция Ф+ опи­
сывает четное состояние остова, а Ф* - нечетное. Тогда
четность состояний всего ядра равна произведению чет­
ности остова Ф+ или Ф~ и четности состояния у к неспа­
ренного нуклона. Рїндекс ± полной функции Ф* означает
лишь симметрию функций относительно преобразования
116
Рз -+ —(З3, а не четность к. Обычно считается, что с ро­
стом углового момента квантовое состояние неспаренного
нуклона не изменяется.
Уравнение для Ф /(р 2 >Рз) имеет ВИД
П2 d2
h2 d2
2B2 dfc
2Bz d%
+
h2f ( i , к , ± )
6(Б 2Рз + 2S3p3)
+ П Р 2,Рз)- E, } Ф?(р2,р3) = 0,
(6.35)
где
V'OVPa) = v0(p2,p3)
f ( I , К , ± ) = 1(1 +
1)
з h2
B2f 2
+
B $l
- К 2 ± ькл/2а ( - 1 ) І+*
(6.36)
а = — < ХкИ+\х~к > ~ параметр развязывания, 5Л- ^ =
1
для К = \ и ЬК 1 = 0 для К Ф
Отметим, что уравнение, описывающее четно-нечетные
ядра, отличается от соответствующего уравнения, описы­
вающего четно-четные ядра, заменой 1(1 + 1) на функ­
цию f ( I , K , ± ) . Тогда, используя результаты для четно­
четных ядер, выражение для энергии возбужденных со­
стояний нечетного ядра сводится к виду
Б1±*
п1пКу
_
—
Т71±
_ трк°
п Тп° Км
1 Гл
—2 V
_
—
.Ло
4 / (/о, К ,к °) \
^
3
) ’
.
(
.
*
где т: 0 - четность основного состояния, которая определя­
ется четностью неспаренного нуклона.
117
Аналогично, как и в случае четно-четных ядер, упро­
стим уравнение (6.38) для основной полосы (п = v = 0) и
получим:
Е * = ПхЬ (y/d± + f ( I , K , ± ) - y/d+ + f ( I , K , + j ) . (6.38)
Из уравнений (6.37) и (6.38) следует, что для К ф | основ­
ные четная и нечетная полосы определяются тремя пара­
метрами /?.£>, d^, а для К = | - четырьмя параметрами, так
как для ядер со спином неспаренного нуклона | необходи­
мо знать параметр развязывания о. В табл. 6.2 приведены
параметры ГкЬ. d± и а для описания схем уровней основных
четной и нечетной полос нечетных ядер с октупольной де­
формацией, которые были экспериментально известны к
1995 г.
На рис. 6.3 и 6.4 приведено сравнение эксперименталь­
ных и рассчитанных в данной модели уровней основных
четной и нечетной полос ядер 219Ra. и 225 Ra. Также на ри­
сунке 7.5 приведены результаты расчета схемы уровней
225Ra, выполненные в рамках микроскопической модели
Линдера и Чена [107].
Сравнивая результаты расчетов с экспериментальны­
ми данными, можно сделать вывод о том, что рассмот­
ренная здесь модель [97] хорошо описывает спектр нечет­
ных зеркально-асимметричных ядер. Отметим, что в слу­
чае нечетных ядер спины уровней в четной и нечетной
полосах изменяются через 1 (рис. 6.3 и 6.4, и уравнение
(6.38)), а для случая четно-четных ядер спины уровней в
четной и нечетной полосе изменяются через 2 (рис. 6 .1 и
6 .2 , и уравнение (6.28)).
118
Таблица 6.2. Параметры /ю,
октупольной деформацией [97].
и а для нечетных ядер с
Ядро
Ш [кэВ]
d+
dr
a
ш рщ
268,2
99,82
103,0
-
217Fr
217,1
2 1 ,1 2
21,42
-
219 р г
194,4
912,0
975,6
9,24
221 р г
70,39
34,16
54,41
4,41
219 Ra
254,0
82,78
85,86
2,37
221Ra
89,60
25,66
39,01
-
223Ra
271,4
526,7
536,0
-
225 Ra
140,8
138,9
143,6
1 ,6
227Ra
30,71
3,349
22,92
-
219 Ac
198,4
5,913
6,891
0,5
223Ac
230,9
425,6
438,6
-
225Ac
57,07
14,06
19,76
-
227Ac
74,30
26,42
27,02
-
221T } }
255,8
78,12
78,13
-
223
315,1
364,1
368,7
-
225 T h
425,7
949,9
951,1
-
229Th
259,8
444,3
532,5
-
119
219Ra
Расчет
Эксп
Расчет
4991
rr
4763 М +
----------2
/53+')4540
53 +4437
М 4663
л
у2 )
49+4009
.4030. Щ~
472-37 08 ’
_35.56_ il~
2
25+1277
2 w
25 + 1 2 7 1
оокг
-4.3-3255
2 2987 37----------2
39-2776
39-2 7 5 0
2Ш_Щ~ 2 2 5 5 1
2
37+2568
37+2563
2 0Л9^31 + 2 2444 3 1 +
2
2
33 +2 122
33 + 2113
2
1981 2 7 + 2
27+
2022 2
29+1684 23+
47- 3776
„
43-3239
41+3024
41+3029
2 28 7635+ 2
r
)
51 ~ 4328
2
2
45+3489
.45+3505
2 3339 39+ 2
-------- 2
2j ^
4Q13
2
-іо-
М -4 1 8 3
49+3961
3808 М+
-------- 2
2
(f
_4оуб_м
2 4283 47+
----------2
2
Эксп
33 .
2
м^2323_
_2179_25
35-2272
2 2 136 292
31-1881
о, - і «і I2 -lZ 4 2 .f-f = ^ ? -
^
„ ^ 1722
27-1393
f 4 ^ 1 ft+
2 12 ___________
_1323_M
2Ж
і + 2
2
-------- 2
1229
21+890
21+876 „ +
2 JZZ2_^+2 -gg— 2
inco
1308 2
23-1052
23 -1035
2 -9-28 _Д ~ 2 Ж
Г
19- 733_
11+538
2 565
2
17+529
,
11 + 9 -------------- 1 1 +
ГТчл- '2"
13 + 4 d 4
_~458~ 2
13 +
із
2r _587 ±1
2
15-345
2
9 -
^
495
9+2 235
2 234
и -249 | n
2 ----------------------------------------- 2-----------------------------------Рис. 6.3. Экспериментальные и рассчитанные уровни 219Ra
120
225Ra
L -C
Расчет
Эксп
L -C
Расчет
Эксп
9 ^ 1 І_
и +256,8 4г +261
"2
“
2
( f + )227,0
із+216,2 13+218
э- 215,5
(| ) 220;7
151
7+
2
139
132,5 о -------г 7+
9+ 102,4
>+ 97
Z+ 111,6
o+ 100,5
120,3
5 -
110,8
2
2
87,2
7 2
94
75
з+ 46,0
з+ 52
2
3+48,2
5+24
5+
2
5+
2
28,6
2
25.4
1- 46,8
36,3
2
50
69,3
і - 55,1
,2
з - 31,6
2
2
Рис. 6.4. Экспериментальные и рассчитанные в модели [97] и
микроскопической модели (L-C) [107] уровни ядра 225Ra.
121
6.4.
Электрические переходы
в ’’жестких” ядрах
Как уже отмечалось, в ядрах с октупольной деформацией
или с любой другой деформацией, описывающейся нечет­
ным полиномом Лежандра, нарушена зеркальная симмет­
рия относительно плоскости перпендикулярной оси сим­
метрии ядра. Однако она восстанавливается в результа­
те квантово-механических туннельных переходов между
формами ядра S и S' с противоположными значениями
октупольной деформации [З3 и —[З3. Вследствие такого пе­
рехода между формами ядра S и S' волновая функция
ядра должна быть записана в виде суперпозиции (6.3) вол­
новых функций с ф((33) и ф(—р3).
Согласно рассмотрению в разд. 6.2 основное состояние
четно-четного зеркально-асимметричного ядра и четная
ротационная полоса построена на волновой функции |+),
а первое возбужденное нечетное состояние и нечетная по­
лоса построена на волновой функции |—). Между уровня­
ми четной (нечетной) полосы зеркально-асимметричного
ядра происходят электрические квадрупольные гамма-переходы, которые аналогичны квадрупольным переходам
между ротационными уровнями в ядрах только с квадру­
польной деформацией. Физическая природа таких гаммапереходов связана с квадрупольным моментом деформи­
рованного ядра.
При детальном экспериментальном исследовании
зеркально-асимметричных ядер были обнаружены ин­
тенсивные дипольные межполосные гамма-переходы [70].
Электрические дипольные гамма-переходы, наблюдаемые
на эксперименте, происходят между ротационными уров­
нями построенными на состояниях |+) и |—) с противо­
положными значениями четности. Эти дипольные межпо­
лосные гамма-переходы связаны с поляризационным элек­
трическим дипольным моментом (ПЭДМ) [70,100,108,109].
122
Общее выражение для компонента ПЭДМ (далее ПЭДМ)
вдоль оси симметрии ядра (z) имеет вид:
D
K + I^ U
-
О
т Ы е ,Ф )| -> |
=
I H 6^ 1 - т*) г Ую(0, Ф)|+)|,
(6.39)
где е - заряд протона. Физическая природа таких пере­
ходов аналогична природе связи между электрическими
квадрупольными переходами и квадрупольным моментом
деформированного ядра.
Подставляя в (6.39) явный вид состояний |±), приве­
денный в (6.3), найдем, что ПЭДМ можно рассчитать в
ядре с формой S либо с формой S':
D
^
К 'К М 'ф 1 - Tz) тFl°(0’ Ф)ІФ(Рз))
еу^и5'^ ^ гУіо(0’ф)•
^'40^
Здесь тг = 1 для протонов и тг = - 1 для нейтронов, р
- микроскопическая плотность протонов в ядре с соответ­
ствующей формой.
Представление ПЭДМ в форме интеграла по объему
ядра с формой S либо S' позволяет использовать макро­
скопическую модель, так как плотность протонов можно
заменить макроскопической величиной. Заменим микро­
скопическую плотность рр на макроскопическую величину
рр и для определенности выполним расчет ПЭДМ в ядре
123
с формой S, тогда
D m acro
ЄJ dV г cos (6) рр
е
J
р, гУ1О(0, ф ) .
(6.41)
Этот интеграл с точностью до коэффициента е определяет
положение центра тяжести протонов R p .cmВыражение для ПЭДМ можно представить в виде яв­
но зависящем от положения центра тяжести ядра Кл,ст . с
формой S
■^m
m acro
acro
Є Rptcm
Є [(Rp^cm,
RA,cm)
RA<cm\-
(6.42)
Это соотношение явно демонстрирует связь ПЭДМ с по­
ложением центра тяжести ядра с формой S, потому что
первый член не зависит от положения центра тяжести, а
второй член связан с положением центра масс в ПЭДМ.
В работах [100,108] используется дополнительное усло­
вие на совпадение положения центров масс зеркально-симметричных форм S (с рз) и S' (с - р з) с плоскостью зер­
кальной симметрии форм S и
Т.Є.,
(6.43)
Это условие имеет квантово-механическую природу. Оно
возникает из требования неподвижности центра тяжести
при туннельном переходе между зеркально-симметричными формами S и 5" . Напомним, что благодаря этому кван­
тово-механическому туннельному переходу в ядрах с окту­
польной деформацией восстанавливается зеркальная сим­
метрия, нарушение которой привело бы к нарушению чет­
ности в этих ядрах. Также из-за туннельного перехода
различаются Д+ и Д “ , а четная и нечетная ротационные
полосы имеют различное поведешіе, что, как отмечено в
предыдущих разделах этой главы, согласуется с экспери­
ментом.
124
Условие Дд.ст = 0 связывает величину дипольной де­
формации с деформациями более высокой мультипольно­
сти (см. (6.6)).
В работе [100] считалось, что радиус протонной поверх­
ности RP(Q) пропорционален радиусу нейтронной поверх­
ности RN(0) и радиусу ядра i?(0),
Нр(в) = Rn(6) ^ Д(9) _
Вор
Ron
Ro
= 1 + ^P »y«,(0)=/(0),
'
(в- 44)
Є
где радиусы соответствующей сферической поверхности
обозначены индексом 0. Подобные соотношения для про­
тонных и нейтронных радиусов также используются при
описании среднего поля в деформированных ядрах [48,56].
В результате деформации ядра в объеме ядра возника­
ет поляризация (перераспределение) плотности, которая
отклоняется от равновесного значения р0р. Вариации плот­
ности в объеме ядра 5рр вызывают соответствующие от­
клонения радиуса поверхности 5Rp{Q) от равновесного зна­
чения. Эта поляризация плотности приводит к появлению
объемного и поверхностного вклада в ПЭДМ зеркальноасимметричного ядра
D = D V+ Д „
(6.45)
где
Dv
w e j dVr cos (0) [ppp + Spp] = ej dVr cos (0)8pp =
= 2ке j dQ sin (0) cos (0)
Ds
J
?^ ^dr r 38pp,
(6.46)
« e j dS Rp(d) cos (0) p0p bRp(Q) =
x / 3(0)8i?y(0),
(6.47)
125
Z - число протонов в ядре, р0р = 3Z/(4hR qp) и функция
/( 0 ) определена в (6.44). Граничные условия на изменение
радиуса ядра имеют вид [100,101,105,109]
5Rp(0) =
N 3eRo
A 8QA1/ 3
N Зейо
A 8QA1/3 ф(йр(0))
где ср = ф — ф, ф =
$<шф(яр( в ) у
JAS
, (6.48)
, ф - кулоновский потенциал,
связанный с распределением протонов, Q - коэффициент
жесткости нейтронной кожи, N - число нейтронов в ядре.
Эти граничные условия уравновешивают давления, как и
в случае граничных условий на свободной поверхности яд­
ра для гигантских резонансов (7.13) - (7.15). В данном
случае эти давления связаны с кулоновскими силами и с
давлением, связанным со сдвигом протонной поверхности
относительно нейтронной.
Упрощенный функционал плотности энергии ядра, учи­
тывающий только изовекторные степени свободы, можно
записать как
С
£
_
,
> П - Р р ) 2
,
^
«
—а„р + J ----------
Ь ер ф =
=
P - ^ P J 2 - ер ф,
- a vp + J.(----------------1
Р
р
р
(6.49)
где а„ - величина энергии связи на нуклон в бесконеч­
ной ядерной материи, J - коэффициент объемной энергии
симметрии ядра (3.24), р = рр + рп. Вариации функциона­
ла по 5р с дополнительным условием сохранения числа
протонов
5£ = 5jdV [£-Хрр] =
=J
2рр)/
dV [ - 4 J (р -
р + еф - [av + X)] 5рр,
126
(6.50)
приводят к уравнению
8Jpp = -р (е ф - 4 J - av - X).
(6.51)
Откуда
/1
РоР
Р
=
(^2 +
av + X
еф\
8J
8J/ ~
(Pop + Ро») Q +
- £ j) •
<6-52)
-е р (ф - ф) _ ~ 6(Рор + Роп)(Ф ~ ф) _
8J
_
8J
-ЗеЛ(ф — ф)
ЬР.
32-ДЗр,7
32ixi?opJ ’
(6.53)
с Pon = 3iV/(4тхі?оп).
Необходимо также учесть, что распределение протонов
подчиняется электростатическому уравнению Пуассона:
У 2ф = 4тсерр.
(6.54)
Подстановка (6.53) в (6.46) приводит к такому выражению
для объемного вклада макроскопического ПЭДМ:
D.
v
nil
-3е2А гп
16 JRlOp
rnovT{V)
0
. ...
/ЛЧ rRopfW
dQ sin (0) cos (0)
dr r cp(r)
^ Jo dQ sin (0) cos (0)pf^ ^dr г3ф(г).
16JR qp
(6.55)
Используя (6.48) и — ~ j , поверхностный вклад макро­
скопического ПЭДМ можно представить в виде
я
s ( e ) cos ( е ) / ( в ) х
X
/ып(0)\
ф № ( 0 ) ) ---------- j ; de ', ( 0 ')
127
, (6.56)
где д(в ) = sin ( 0 ) / 2(0) [1 + ( / ,( 0 ) //( 0 ) ) 2] 1/2•
Решения для потенциала и плотности находятся мето­
дом последовательных приближений [105]:
ф(г) - ф°(г) + ф*(г) + ф2(г) + ... ,
5Рр(г
р \ )/ = 5Рр(г
- г р ) + 5Р»(Г ) + 8 р р (г) + -
,
(6.57)
(6.58)
и имеют вид
-epcpfc( r )
—Зе.Ац)к(г)
8J
32тсі?ор^
8Р р(г )
ф (г)
=
г
Spf; ! (г')
е I dV -г^------- , for к > 1
(6.60)
J
1г —г'1
eZ_
Pop
e dV-^— =
dV
J
r'
Rn„
r -—
r '|
Rop J
4кі?орІг _ r'
Г
ф °(г)
, for к > 0, (6.59)
Rot
x
f
£
(2 £ + l)
f
pr
J o'd0'sm (e')y;o(e')
X
ЛЄ+2
, (r')
dr'~■Є+1
Jo
r
гЯор/(Є')
+Jr
,
(г)
dr'
(6.61)
H £- W
2J
где cpfc( r ) = ф * ( г ) - ф * ( г ) .
Подстановка приведенных решений приводит к выра­
жению для макроскопического ПЭДМ [100,105]:
А
m acro
=
■\vol
I T~\surf _
Dv
ЯГ
^ m acro •
1 ^1П
m
aГ
c rЛ
o
AZe3 ( \
15
32tc
+ — ...: : .^
\
I X
8QA1/3J
1 2 (^ - 1 )(£ + l)(8^ + 9) , о
X >
5(2£ + l ) 3/ 2(2£ + З) 3/ 2 № £+1' ^6'62^
128
Слагаемое с J в ПЭДМ связано с протонно-нейтронным
перераспределением плотности в объеме ядра
сго, а сла­
гаемое с Q - с перераспределением плотности на поверх­
ности ядра, а также с изменением толщины нейтронной
кожи Дпасш- ПЭДМ обусловлен наличием зеркально-симметричных (pf, I = 2 ,4 ,6 ,...) и зеркально-асимметричных
(рг I = 3, 5, 7,...) деформаций у ядра.
Впервые ПЭДМ был рассчитан для ядер с квадруполь­
ной и октупольной деформациями Струтинским [108]. В
этой работе учитывался объемный вклад в ПЭДМ, а по­
верхностный игнорировался. Заметим, что поверхностный
вклад в ПЭДМ весьма важен, так как он увеличивает ве­
личину ПЭДМ на 30-60 %, в зависимости от величин па­
раметров J и Q, используемых при расчете.
Подчеркнем, что выражение для ПЭДМ (6.63) найде­
но в нижайшем приближении. Оно применимо в случае
небольших величин параметров деформаций
Анали­
тическое выражение, найденное в следующем приближе­
нии, которое имеет более широкую область применения,
т.е. учитывающее члены пропорциональные
п0_
лучено в [105].
Дипольный момент имеет два вклада - макроскопиче­
ский и оболочечный (микроскопический) [101,105]:
Dtot = -Дпасго ~Ь Dmicro-
(6.63)
Оболочечный вклад вычисляется по методу оболочечных
поправок (см. гл. 4), а макроскопический с помощью (6.62))
На рис. 6.5 показаны значения ПЭДМ для изотопов то­
рия, рассчитанные в различных приближениях; результа­
ты сравниваются с экспериментальными данными. В рас­
чете [105] предполагалось, что протонная и нейтронная
поверхности пропорциональны друг другу, т.е., требова­
лось выполнение условия (6.44). Отметим, что микроско­
пический компонент ПЭДМ также рассчитывался в этом
приближении. Для корректного расчета поляризационно­
го момента важен учет как макроскопического Дпасго) так
129
и микроскопического Dmicro вкладов [101,105]. Сравнивая
результаты расчетов ПЭДМ на. рис. 6.5, можно сделать
вывод, что подход [105] хорошо согласуется с эксперимен­
тальными данными для 220 < А < 227.
Th
0,4
5S
-©и
4>
с\
J*
Q
0,2
0,0
------- D
Dm
■D
j
,I
218
220
-D„
, j
, j
, j
, і
, і
r—-
222
224
226
228
230
A 232
Р и с . 6 .5 . Экспериментальные и вычисленные в различных
приближениях значения ПЭДМ для изотопов тория [105].
На рис. 6.5 приведен расчет ПЭДМ, выполненный в
рамках расширенной капельной модели Дэм с учетом мик­
роскопического вклада [70,109]. В этой модели нейтронная
кожа имеет постоянную толщину и радиус нейтронной по­
верхности непропорционален радиусу протонной поверх­
ности [109]. Из сравнения результатов расчета ПЭДМ для
такого распределения нейтронов на поверхности ядра вид­
но, что в такой модели экспериментальные данные описы­
ваются неудовлетворительно для А > 223. Также на ри­
сунке приведен расчет ПЭДМ, выполненный в приближе­
нии Хартри-Фока с силами Скирма Dshp из работы [110].
До сих пор расчет ПЭДМ выполнялся для аксиально­
симметричных ядер. Приведем выражения для ПЭДМ в
неаксиальном ядре, радиус которого описывается соотно­
шением
(6.64)
Д (0 ,ф ) = До
т = —£
где pgm - параметры деформации ядра, которые удовле­
творяют следующему условию Ре_т =
Неаксиальность связана с зависимостью радиуса от угла ф и с
отличными от нуля параметрами деформации (Зг , т ф 0.
Выражение для ПЭДМ в неаксиальном ядре было получе­
но в [104]. Его компоненты в цикличной системе координат
с [л = 0, ±1 имеют вид
а
=
(6.65)
£>м + д (,в) =
Е* Е
£>2
< £т(£ + 1)(а — m|l[i
<+1ц—т,
т = —(.
3e3A Z / 1
15
40т1
\
1
+ 8 Q A ^ J ^/(1
х
х
^)!(1 - И)!
X
Є>2 т = —£
/ (Z + 1 - ц + m)\(l + 1 + у - т)\
V (2£ + 1)3(2£ + 3)3(/ + т)\(1 - ш )Г*"Р*+ііі-т>
где
е у/3e*AZ ( 1
’
40л
\J
15\
х
8QA1/3)
J8£ + 9 ) ( £ ~ 1 ) ( £ + 1 ) ^ 2
<
(2£+1)(2£ + 3)
131
( 6 .66 )
6.5.
Электрические переходы
в ’’мягких” ядрах
В разделах 6.2 и 6.3 было рассмотрено описание зависи­
мости от спина уровней в зеркально-асимметричных яд­
рах в модели с учетом динамической деформации ядра в
возбужденных состояниях. Теперь в рамках этой модели
рассмотрим вероятности электрических переходов. Приве­
денная вероятность гамма-перехода электрического типа
мультипольности £ из состояния СО СПИНОМ
в состояние
со спином If определяется выражением [8,47,48,97]:
X
х Е
(6.67)
M i M f \ JL
Здесь Му_(Е£) - [1-ый циклический компонент электриче­
ского мультипольного оператора, который в одночастич­
ных координатах имеет вид
(6 .68 )
fc=i
где е - электрический заряд протона, гк, 0 ь ф,. - сфери­
ческие координаты к-го протона в лабораторной системе
координат. После перехода к коллективным координатам
в собственной системе координат компоненты мультипольных операторов для квадрупольных и октупольных элек­
трических переходов в аксиально-симметричном ядре име­
ют вид, соответственно:
(6.69)
(6 .70)
132
где D jfc(6 ) - D -функция Вигнера [14]. Здесь и ниже мы
будем различать статические (дополнительный индекс 0)
и зависящие от спина динамические параметры деформа­
ций, тогда,
(6.71)
(5тс) а
<3з= - ^ - r Z e R l p l
(6.72)
(771)2
- квадрупольный и октупольный статический момент яд­
ра, соответственно.
Переходя в цилиндрические координаты, введенные в
(6.14), перепишем циклические компоненты операторов
квадрупольных и октупольных переходов в виде
( 6 -7 з )
/
М^
=
{ ш
\ V2
7
)
™ Е
—
№.74)
Используя функции (6.9), (6.10), (6.16) и (6.25) для
приведенных вероятностей Е 2- и £73-переходов между
уровнями \п1г() > и \nlf0 > одинаковой четности мож­
но получить такие выражения для приведенных вероят­
ностей гамма-переходов [97]:
B { E 2 , I ^ I + 2)
=
Ba{ E 2 , I - > I + 2)S]J+2{ E 2 ) x
х ехр(—fo/2(БСє)1/ 2),
B(ES, I
I + 3)
=
(6.75)
Ba( E 3 , I I + Z)Slw (E3) x
x exp(—Й/2(5С'е) 1/2).
(6.76)
Здесь S j j +t(E£) - фактор, обусловленный деформацион-
ными a-возбуждениями ядра (6.13),
(6.77)
(и! Г (s'7,v + |) Г (п + s% + і ) )
(6.78)
ShJ, { E 3) =
/
лФ 4-л"? \
f
а Ba(E£, I —> / + £ ) - приведенная вероятность ^ -п ер ехо­
дов в жестком аксиально-симметричном ядре (ротаторе):
2Р + і
Ва(ЕЄ, I - > ! + £) =
Q\ (WmilfO)2,
(6.79)
где < Іг0і0\І}0 > - коэффициент Клебша-Гордаиа [14],
Г(а;) - гамма-функция.
Циклический компонент оператора электрических дипольных переходов в коллективных координатах в ядрах с
квадрупольной и октупольной деформациями между уров­
нями противоположной четности связан с ПЭДМ соотно­
шением
(6.80)
где
(6.81)
- ПЭДМ в случае ядер с квадрупольной и октупольной
деформациями (первый член суммы (6.64)). Также, как
134
и в случае Е2— и ЕЪ— переходов, перепишем проекцию
оператора дипольного момента в полярных координатах
^
(B 1 )=
®
1 /2 ° ° ^ p2^
D ;(e )'
( 6 '8 2 )
Выразим приведенную вероятность Е1 —переходов через
приведенную вероятность переходов для жесткого аксиаль­
но-симметричного ротатора
В ( Е 1 , 1 - ^ 1 + 1)
=
Ba( E l , I I + l ) S I2J+l( E l ) x
х exp(—2h/(BCz)1//2),
(6.83)
где Сг - жесткость колебаний по координате є (6.15), В средний массовый параметр (6.13), а
Ва(Е£,1 -> 1 + 1) = A Dl (/,01017/0)2
(6.84)
471
и также введен множитель, который связан с усилением
силы перехода, вследствие динамической деформации яд­
ра при вращении
ShJf( E l ) =
,* г (§ + ^
( « ! Г (sJfV +
(6.85)
г
( п
+ ^
Г (п + s% + I ) ) '
Г
і
1
Учет высших деформаций не вносит дополнительных труд­
ностей при рассмотрении и не меняет существенно фак­
тор усиления, однако существенно увеличивает величину
ПЭДМ, что приводит к улучшению описания эксперимен­
тальных данных (см. ниже и [97]).
При вычислении приведенных вероятностей дипольных,
квадрупольных и октупольных переходов между уровня­
ми ядра с квадрупольной и октупольной деформациями
135
в [97] не учитывался вклад неспаренного нуклона. Это
приближение является достаточно точным, так как гаммапереходы типа Е£ между уровнями ядра связаны с коллек­
тивным электрическим £-польным моментом ядра. Вклад
от одного нуклона в Q2, Qs и D0 является малым, поэтому
можно использовать полученные ранее результаты.
В этом приближении выражения для приведенных ве­
роятностей дипольных и квадрупольных переходов в нечет­
ных ядрах останутся такими же, как и для четно-четных.
Однако параметр s*v, который явно входит в выражения
для приведенных вероятностей, в случае нечетных ядер
связан с функцией f ( I , K , ± ) , (см. (6.35)).
При экспериментальном исследовании ядер с квадру­
польной и октупольной деформациями часто измеряется
отношение приведенных вероятностей распада данного воз­
бужденного уровня по различным канапам
ЛЛ) Ґ Т\
& [ E l , Ii - »
W № )= т л ~
/j +
і , +
1)
2у
M 6)
которое связано С интенсивностью переходов ІІ —>• //, =
Іі + 1 И / j —> If2 = І і + 2. С помощью приведенных выше
формул для приведенных вероятностей переходов для ИХ
отношения при п — v = 0 имеем выражение
№.87)
где W 0( /) - отношение приведенных вероятностей для жест­
кого ротатора
8 (2 /-1 ) ( D 0
и
= [і ехр(—3/г/4(ВСє) г). Из выражения для электриче­
ского квадрупольного момента и ПЭДМ следует, что для
расчета W ( I ) необходимо знать также величину октуполь­
ной деформации ядра и значение параметра П.
В табл. 6.3 приведены для ряда ядер отношения W ( /) ,
рассчитанные в рамках модели [97] с учетом только квад­
рупольной и октупольной деформаций поверхности, а так­
же, с учетом деформаций р2, (З3, р4, ... , Р8. Результаты
сравниваются с доступными экспериментальными данны­
ми. Учет высших мультипольностей деформации поверх­
ности ядра приводит к увеличению величины ПЭДМ, что
существенным образом сказывается на улучшении описа­
ния экспериментальных данных.
Для анализа зависимости приведенных вероятностей
от величины спина полезно рассмотреть поведение отно­
шения приведенных вероятностей
Щ І 'Є)-
В ( Е Є , о Т ' І ) ...'
(6'89)
Заметим, что это отношение зависит только от параметров
/кост и Д±.
С точностью до коэффициента, зависящего от спина I,
величина 7Z(I,£) связана с фактором S i j +e(E£), обуслов­
ленным деформационными a-возбуждениями ядра. В слу­
чае жесткого ядра фактор S i j +e(E£) — 1.
В табл. 6.4 - 6.6 приведены величины отношения 71(1, L)
для L = 1,2,3, рассчитанные в случае мягкого и жестко­
го ротаторов и доступные экспериментальные данные для
226Ra [97]. Сравнение результатов указывает на удовлетво­
рительное описание отношения 71(1, L) для мультипольных переходов с L = 2, 3 и для нижайших мультипольных
переходов (с малыми значениями спина I) для 7Z(1,1). С
ростом величины спина I теоретические значения отно­
шения 71(1,1) меньше экспериментальных. Видно, что мо­
дель мягкого ротатора лучше описывает эксперименталь­
ные данные по сравнению с моделью жесткого ротатора,
см. табл. 6.4.
137
Таблица 6.3. Экспериментальные и теоретические значе­
ния отношения W(7) [97]. (Значения W(J) приведены в едини­
цах 10-6 фм~2.)
Ядро
I
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Ядро
I
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
эксп.
218Ra
теор.
теор.
3,7
2,8
3,5
2,2
1Д
3,6
1,8
2,9
1,3
2,9
Рг,з
0,746
0,432
0,736
0,468
0,743
0,502
0,758
0,535
0,776
0,566
Р2...8
2,783
1,840
2,771
1,969
2,814
2,093
2,880
2,213
2,957
2,329
эксп.
220T h
теор.
1,8
2,2
2,3
1,7
1,6
1,3
Рг.з
0,603
0,679
0,628
0,699
0,658
0,725
теор.
эксп.
Р'2,3
Р2... 8
1,2
0,555
1,434
1,8
1,6
1,2
1,9
0,8
1,3
0,577
0,502
0,599
0,528
0,621
0,553
1,487
1,342
1,542
1,406
1,597
1,468
2,1
0,577
1,529
эксп.
222Th
теор.
теор.
1,1
1Д
2,5
1,4
2.6
2,6
1,9
2,6
2,2
3,4
р2.3
0,890
0,425
0,900
0,458
0,915
0,492
0,931
0,526
0,948
0,558
р2,...,8
2,437
1,341
2,468
1,431
2,514
1,525
2.566
1,618
2,621
1,709
Р'2... 8
1,654
1,822
1,717
1,876
1,793
1,945
138
220Ra
теор. теор.
Таблица 6.4. Экспериментальные и теоретические значе­
ния отношений 71(1,1) в 226Ra.
L —1
Ядро
I
эксп.
м ягк .
ЖЄС.ТК.
0
1,000
+0,392
-0 ,3 9 2
1,000
1,000
1
0,617
+0,235
-0 ,2 3 5
0,676
0,667
2
0,298
+0,111
-0 ,1 1 1
0,623
0,600
3
0,186
+0,068
-0 ,0 6 8
0,608
0,571
4
0,384
+0,141
-0,14 1
0,621
0,556
6
0,758
+0.276
-0 ,2 7 6
0,663
0,538
7
1,176
+0,594
-0 ,5 9 4
0,672
0,533
8
1,355
+0,497
-0 ,4 9 7
0,726
0,529
9
1,535
+0,605
-0 ,6 0 5
0,731
0,526
10
2,074
+0,777
-0 ,7 7 7
0,801
0,524
11
2,130
+0,878
-0 ,8 7 8
0,800
0,522
12
6,350
+2,389
-2 ,3 8 9
0,883
0,520
13
6,259
+2,587
-2 ,2 9 0
0,875
0,519
15
3,903
+1,468
-1 ,6 5 8
0,968
0,517
139
Таблица 6.5. Экспериментальные и теоретические значе­
ния отношений T Z ( 1 , 2) в 226Ra.
Ядро
/
L= 2
эксп.
мягк.
жестк.
0
1,000
+0,009
-0 ,0 0 9
1,000
1,000
1
0,874
+0.008
-0 ,0 0 9
0,643
0,600
2
0,536
+0,005
-0 ,0 0 5
0,533
0,514
3
0,468
+0,004
-0 ,0 0 4
0,533
0,476
4
0,507
+0,005
-0 ,0 0 5
0,500
0,55
5
0,295
+0.003
-0 ,0 0 3
0,524
0,441
6
0,441
+0,004
-0 ,0 0 4
0,511
0,431
7
0,388
+0,003
-0 ,0 0 4
0,543
0,424
8
0,402
+0.004
-0 ,0 0 4
0,539
0,418
9
0,472
+0.005
-0 ,0 0 9
0,574
0,414
10
0,755
+0,007
-0 ,0 0 8
0,577
0,410
11
0,851
+0,018
-0 ,0 1 2
0,614
0,407
12
0,420
+0,006
-0 ,0 0 4
0,621
0,404
13
0,682
+0,071
-0 ,0 4 1
0,659
0,402
14
0,455
+0.028
-0 ,0 0 7
0,669
0,400
16
0,185
+0.005
-0 ,0 0 4
0,669
0,400
140
Таблица 6.6. Экспериментальные и теоретические значе­
ния отношений 7Z ( 1 , 3) в 226Ra.
L= 3
Ядро
I
эксп.
МЯГК.
жестк.
0
1,000
+0,056
-0 ,0 5 6
1,000
1,000
1
0,618
+0,042
-0,03(5
0,591
0,571
2
0,686
+0,039
-0 ,0 3 9
0,491
0,476
3
0,828
+0,077
-0 ,0 7 7
0,471
0,433
4
0,572
+0,032
-0 ,0 3 4
0,443
0,408
5
0,449
+0,025
-0 ,0 2 5
0,455
0,392
6
0,555
+0,031
-0 ,0 3 3
0,443
0,380
8
0,244
+0,032
-0 ,1 5 9
0,461
0,365
141
Глава 7
Гигантские
мультипольные
резонансы
7.1.
Введение
Гигантские резонансы - это квазистационарные возбуж­
денные состояния ядер, которые соответствуют коллек­
тивным когерентным колебаниям большого количества
(часто всех) нуклонов. Экспериментально гигантские ре­
зонансы проявляются как широкие максимумы в зависи­
мостях различных наблюдаемых характеристик ядерных
реакций (сечениях, спектров) от энергий. Обычно гигант­
ские резонансы различают по типу и мультипольности
у-излучения, которое приводит к их возбуждению. Напри­
мер, гигантские резонансы, возбуждаемые электрическим
излучением мультипольности £, называются электрически­
ми £-польиыми (Е£). В отсутствие спиновых возбужде­
ний £-польный угловой момент / и четность тс резонанса
электрического типа равны I = £, тс — ( ~ l ) f , а для маг­
нитного резонанса той же мультипольности имеем / = £,
тс = ( —l ) f+1. При этом изменение плотности нуклонов
142
5p(r, t) под действием у-излучения имеет ту же мультипо льность, что и электромагнитное поле, например, для
ЕІ резонанса 8p(r,t) ~ Yim(Q, ф). Гигантские резонансы
также различают по изменению изоспина при его возбуж­
дении [47,111-113]: изменение А Т = 0 соответствует изоскалярному резонансу, а А Т = 1 - изовекторному. Изоскалярные гигантские резонансы связаны с колебательным
движением протонов и нейтронов в фазе. В случае изовекторных гигантских мультипольных резонансов протоны и
нейтроны движутся в противофазе.
7.2.
Гигантский дипольный
изовекторный резонанс
Гигантский изовекторный дипольный резонанс - универ­
сальное возбуждение, которое существует во всех атомных
ядрах. В квазиклассических подходах такое возбуждение
интерпретируют как колебания в противофазе протонов
и нейтронов. В микроскопических моделях, учитывающих
движение нуклонов в среднем поле считается, что при вы­
числении энергии гигантского резонанса его можно рас­
сматривать как когерентное возбуждение одночастичноеоднодырочных состояний (lplh) [115,116].
Впервые возбуждение коллективных колебаний прото­
нов относительно нейтронов и его характеристики были
описаны Мигдалом в 1944 г. [117]. Мигдал показал, что в
ядре такие колебания возникают под действием электри­
ческого дипольного поля и приводят к высокоэнергетиче­
скому максимуму в сечениях фотопоглощения. Экспери­
ментально такой максимум был обнаружен Болдуином и
Клайбером в 1947 г. в реакциях фотоделения урана [114].
На возможность существования максимума в сечении ре­
акции (у, го) на меди указали в 1937 г. Боте и Гентнер после
измерения и анализа сечения этой реакции.
143
Гольдхабер и Теллер в 1948 г. предположили, что
коллективные смещения протонов относительно нейтро­
нов молено интерпретировать как высокоэнергетические
квазистационарные состояния, которые и приводят к мак­
симуму сечений поглощения Е 1 излучения [118]. Шири­
на таких состояний обусловлена связью этого состояния с
другими состояниями ядра. Энергия такого состояния сов­
падает с энергией в максимуме сечения фотопоглощения,
а ширина распада - с шириной кривой, описывающей се­
чение вблизи максимума. Такое возбужденное состояние
ядра получило название гигантского дипольного (изовекторного) резонанса (ГДР). Гольдхабер и Теллер вычисли­
ли энергии ГДР, используя два представления о коллек­
тивных движениях нуклонов, которые могут приводить к
значениям энергий, зависящим от массового числа. Бы­
ло также использовано квазиклассическое гармоническое
приближение и энергия оценивалась по формуле Ег = Ноуг,
где сог - резонансная частота осциллятора wr = л/к/М с
М для массы осциллятора и к для коэффициента жестко­
сти.
Обсуждались следующие модели коллективного дви­
жения нуклонов.
1.
Протоны и нейтроны рассматриваются как две ко­
леблющиеся жидкости в объеме ядра, а на поверхности
они занимают фиксированное положение. Колебание про­
тонов и нейтронов внутри ядра соответствует изменению
их плотностей. В этом случае жесткость колебаний на еди­
ницу массы пропорциональна градиентам изменений плот­
ностей нуклонов. Для такого смещения нуклонов внутри
ядра максимальное изменение плотности обратно пропор­
ционально радиусу ядра R q. В результате градиент от сме­
щения и жесткость на единицу массы будут пропорцио­
нальны 1/Rq. Поэтому частота и энергия колебаний будут
порядка I/R q, т.е., обратно пропорциональными кубиче­
скому корню из числа нуклонов ядра: Ет~ А ' 1^ .
144
2,
Во второй модели, которая позже получила назва­
ние модели Гольдхабера-Теллера, считается, что прото­
ны и нейтроны колеблются относительно друг друга по­
добно твердым сферам. Около поверхности протонная и
нейтронная сферы смещаются на некоторое расстояние и
жесткость колебаний определяется взаимодействием меж­
ду нуклонами в смещенных частях протонной и нейтрон­
ной сфер, т.е., пропорциональна площади ядра S ос Hq,
Масса ядра пропорциональна R q. В результате имеем
Ег ~ у/Щ Щ ~ Л -1/6.
Первоначально экспериментальных данных было мало
и
с
ними
лучше
согласовывалась
зависимость
Er = d •Л-1/ 6. Поэтому Гольдхабер и Теллер более де­
тально рассмотрели вторую модель и вычислили значение
d. Последующие экспериментальные исследования показа­
ли, что в средних и тяжелых ядрах зависимость энергии
Ег от массового числа скорее пропорциональна А -1/ 3, что
соответствует первой модели. В последующем такая гид­
родинамическая модель колебания плотностей нуклонов в
сферических ядрах была развита Штейнведелем и Иенсеном (1950 г.), получившая название модели ШтейнведеляИенсена [119]. Как и в подходе Мигдапа, в этой модели
колебания протонов относительно нейтронов обусловлены
изменением энергии симметрии ядра.
Детальные экспериментальные и теоретические иссле­
дования показали, что ГДР формируется как объемными,
так и поверхностными модами движения нуклонов [120—
130].
Простейший вариант систематики средних эксперимен­
тальных значений энергий ГДР имеет вид [120]
Ег = 17,8А~1/3 + 26,5А~1/6,
(7.1)
где значения параметров взяты из [121] (энергия в МэВ).
Энергии ГДР находятся в интервале от ~ 20 МэВ для
легких ядер до ~ 10 МэВ для тяжелых ядер, а ширины 145
в пределах от ~ 10 до ~ 4 МэВ, соответственно.
Сечения поглощения дипольного электрического излу­
чения в области энергий ГДР можно описать кривой в
форме лоренциана и его обобщений [112,113,120,131-142].
Существуют различные микроскопические и макроскопи­
ческие подходы к описанию гигантского дипольного ре­
зонанса (см., напр., [113,116,134] и ссылки в этих рабо­
тах). Ниже рассмотрим простую гидродинамическую мо­
дель изовекторных гигантских резонансов [126,127], кото­
рая удовлетворительно описывает их энергии и дает на­
глядное представление о динамике коллективного движе­
ния протонов и нейтронов как в объеме, та,к и на поверх­
ности ядра. В этой модели предполагается, что коллек­
тивное движение нуклонов внутри ядра можно описывать
с помощью линеаризованных гидродинамических уравне­
ний непрерывности и Эйлера [143,144], а движение на по­
верхности - с помощью граничного условия равновесия
изовекторных компонентов давления.
Гидродинамические уравнения непрерывности [126,127,
143,144] обеспечивают сохранение числа частиц в ядре для
протонной и нейтронной жидкостей имеют вид
dbPPQ t ' ^ + f Ро div(vK r>t)) = 0»
asp^ (r, t) +
(7-2)
d iy (V iv(rj ^ = 0}
где 5pp и Орд, - переходные плотности, т.е., отклонения
плотностей протонов и нейтронов от своих равновесных
значений p0 Z / A и р0N/A, соответственно; р0 = 3/(4лго),
a v P ( N ) (r , І) ) - вектор скорости протонной (нейтронной)
жидкости.
Рассматривая изовекторные колебания протонов отно­
сительно нейтронов будем полагать, что суммарная плот­
ность протонов и нейтронов в ядре остается постоянной,
т.е.:
5ря (г ,і) + bpN(r,t) = 0.
146
(7.4)
Гидродинамические уравнения Эйлера [126,127,143,144]
для двухкомпонентной жидкости имеют вид
+ 2С р р v 8рр(г’ () +
+2C pn V 8pJV(r, t) = 0,
(7.5)
aV' ^ r' t} + 2C ff V 5рдг(г, t) +
+2C pW V 8pp(r, і) = 0,
(7.6)
где М - масса нуклона,
- коэффициент жесткости,
учитывающий влияние на плотность нуклонов типа а из­
менения плотности нуклонов р.
Дифференцируя по времени уравнения (7.2) и (7.3) и
взяв дивергенцию от уравнений (7.5) и (7.6),можно ис­
ключить скорости и получить линеаризованное уравне­
ние для изовекторных отклонений плотности 6р~(г, £) =
bpN(r,t) - Ь р р (г, t):
=
(7.7)
Здесь J = Срр — Срм - коэффициент объемнойэнергии
симметрии ядра (3.24). Уравнение (7.7) описывает рас­
пространение волны плотности р“ (г, t) в объеме ядра и с
точностью до обозначений совпадает с соответствующим
уравнением модели Штейнведеля-Иенсена. Решение этого
уравнения имеет вид
5Р ~ (М )
=
25рлг(г, t) = —28рр(г, і) =
~
^n/!m(^)PojV(^:n^^’)^m(®j Ф)-
(7-8)
Здесь учтено условие (7.4), je(x) - сферическая функция
Бесселя [61], У^т (0,ф ) - сферическая гармоника мульти­
польности £ [14,61], сtr,,im.it) - амплитуда колебаний, удо­
влетворяющая уравнению
+ А л , ( « ) = о,
147
(7.9)
со - частота колебаний.
Из (7.7) - (7.9) и уравнения (см., например, [61])
A j e(kr)Y£m(d, ф) = k2j t {kr)Ytm{Q, Ф)
следует связь частоты со с волновым числом кпе :
(7.10)
Ые-
Подставляя решение (7.8) в продифференцированные
по времени уравнения (7.5), (7.6) и учитывая (7.9) и (7.10),
найдем скорость
v ~ (r ,t)
=
v N(r,t) - Vp(r,t) =
=
- ^ V p ( r , t ) - ^ v N(r,t) =
A 2 doLnbnit) V [je{kn£r)Ycm{Q, Ф)] {n 4
2Z N
dtk2uK}
В случае малых изовекторных колебаний плотности
возле равновесного значения, которые подчиняются усло­
вию (7.4), функционал плотности энергии ядра во внут­
ренних точках ядра, где равновесная плотность практиче­
ски постоянная, можно аппроксимировать как
£ (Рр + Рлг) Sp ) ** £о(рр + Pjv) + «^
р
у
(7-12)
Здесь £о(рр+рЛ,) - часть функционала плотности энергии,
зависящая от равновесной плотности рр + pN■ (См. также
уравнение (6.49), в котором надо пренебречь кулоновским
потенциалом. В случае гигантских изовекторных резонан­
сов вкладом кулоновского потенциала можно пренебречь,
так как доминирующий вклад связан с коэффициентом
симметрии.)
148
При отклонении плотности от равновесного значения
в жидкости возникает давление Р, пропорциональное ве­
личине отклонения плотности [144]. Давление связано с
функционалом плотности энергии [28] и для изовекторных
колебаний равно
=
2 J бр (г, t) =
=
2^/cKri£m(^)pQjf^(A:.refr)y^TO(0, ф).
(7.13)
Колебания плотности на поверхности ядра приводят к
сдвигу протонной и нейтронной поверхности от их равно­
весного положения, так как поверхностный слой ядра фор­
мируется нуклонами. Положение соответствующих поверх­
ностей определяется
RN(t)
=
R n + &sN(t)roYem(e, ф),
(7-14)
R p(t)
=
R p 4- а.3р(і)гоУет(в, ф),
(7.15)
где aSN(t) и asF(t) - амплитуды сдвигов соответствующих
поверхностей. Скорости движения протонов и нейтронов
на соответствующей поверхности должны совпадать со ско­
ростями соответствующей поверхности, так как частицы
не могут ни отставать, ни опережать поверхность, поэто­
му
l'v,v(/?,%• t ) - n ) ~
*,
Ы Я „ , * ) . „ ) - « М > .
(7 .1 6)
(7 .1 7)
Здесь (v p (jv)(R n >t) •n) - нормальный к поверхности ком­
понент соответствующей скорости и п - нормаль к поверх­
ности.
Сдвиг протонной поверхности относительно нейтрон­
ной приводит к возникновению давления на поверхности
149
ядра, которое стремится вернуть в равновесное положение
расстояние между протонной и нейтронной поверхностя­
ми, т.е.
p s (t) = ^ 4 [asN(t) - осsP(t)]r0Ybn(Q, ф).
(7.18)
Здесь Q - коэффициент жесткости нейтронной кожи, ко­
торый связан с силами, противодействующими смещению
протонной поверхности относительно нейтронной из рав­
новесного положения (см. также (6.48)).
Поверхность ядра является свободной, следовательно,
силы, действующие на единицу площади поверхности,
должны уравновешивать друг друга в каждом элементе
площади [144]. Это приводит к равенству давлений, свя­
занными с колебаниями P~ol(г, t ) \ц и P~(t) [124,126], опре­
деленных уравнениями (7.13) и (7.18), т.е.
/> ',(г,«)Ы = Р,-(«).
(7.19)
Отметим, что подобные (7.16), (7.17) и (7.19) выра­
жения используются в гидродинамике при описании волн
на поверхности жидкости [144] и являются по физическо­
му содержанию линеаризованными граничными условия­
ми на свободной поверхности жидкости.
Учитывая (7.11), условия (7.16) и (7.17) можно объеди­
нить и представить в виде
y _ ( r ( ) !n =
5[MtWM51.
( 7 .2 0 )
Частота колебаний поверхности должна совпадать с
частотой колебаний плотности, поэтому амплитуды коле­
баний плотности и поверхности имеют одинаковую вре­
менную зависимость, т.е. соответствующие амплитуды ко­
лебаний поверхности могут быть представлены как a(t) =
150
af(t), где функция f(t) , так же как и оWitmit), удовлетво­
ряет уравнению вида:
dt?
+, оr*f { t ) = 0.
Подставляя (7.11), (7.13) - (7.18) в граничные условия
(7.20) и (7.19) пренебрегая разницей между положением
протонной и нейтронной поверхности, перепишем гранич­
ные условия (7.20) и (7.19) в случае сферического ядра в
виде
А2
1
djeikntr)
2ZN к ^ аы'т
дг
=
[a*N
а д е .Ф )
r= R
— Otsp]?’oYfm(0i Ф)>
(7-21)
2Jdn£mpQj(ikncR)\r_^Y(.rn(^) Ф)
=
2nrg
- asp]roy £m(0, ф),
(7.22)
где R - радиус ядра. Нетривиальное решение этой систе­
мы однородных линейных уравнений для амплитуд anim
и [а,9дг — asp] возможно при обращении в ноль определи­
теля этой системы. Из этого условия получим секулярное
уравнение
,
2NZ .3Jx
.
Ф ) = A2 - QA l/p d X):
,
N
(7-23)
где х = kR.
Учитывая связь частоты со с волновым числом к (7.10),
найдем энергию колебаний гигантского резонанса мульти­
польности 1\
где xin(A ) - го-й корень секулярного уравнения (7.23). Урав­
нения (7.23) и (7.24), определяющие энергию возбуждения
гигантского резонанса, впервые получены в работе [126].
В рассматриваемой модели отклонение изовекторной
плотности от равновесного значения, т.е., изовекторная
переходная плотность, имеет два вклада - объемный
Ро je{kn£r) r €m(0, ф) х Q(R - г),
связанный с отклонением плотности (7.8) от равновесного
значения в объеме ядра, и поверхностный
v
Ро
(a A.\dB(R ~ r)
dr
обусловленный
сдвигом
протонной
поверхности
относительно нейтронной.
Для того, чтобы наглядно представить переходную
плотность, заменим Q(R — г) на какую-либо реалистиче­
скую параметризацию распределения плотности (см. (5.2)
- (5.6)). В этом случае переходная плотность имеет вид
5Р^п(Г) = айгРоЬИ ^п(г/Л))/(г) - (Je(xtn)/xen)Rf'(r)],(7.25)
где / ( г ) - функция, описывающая распределение плотно­
сти в основном состоянии, которая может быть выбрана в
виде (5.2) - (5.6).
Теперь рассмотрим важные предельные случаи обсуж­
даемой здесь модели.
В модели Штейнведеля-Йенсена [119] предполагается,
что внутри ядра возможны изменения протонной плотно­
сти относительно нейтронной, но протоны не сдвигаются
относительно нейтронов на поверхности ядра. В этом слу­
чае J имеет конечную величину, так как присутствуют
вариации плотности в объеме ядра, a Q -* оо, так как
запрещен сдвиг протонной поверхности относительно ней­
тронной. В этом пределе энергия возбуждения резонанса
152
определяется соотношением (7.24) и секулярное уравнение
(7.23) имеет вид
jf{x) = 0.
(7.26)
Выражение вида (7.24) для энергий ГДР с Xgn ( A ) , опре­
деленным корнем уравнения (7.26), впервые было полу­
чено Штейнведелем и Йенсеном [119]. Подставляя (7.26)
в (7.25) находим, что переходная плотность имеет только
объемный вклад, связанный с первым членом в (7.25).
Рассчитаем энергию возбуждения гигантского мульти­
польного резонанса в противоположном случае, когда внут­
ри ядра невозможны изменения протонной плотности от­
носительно нейтронной, однако протоны сдвигаются отно­
сительно нейтронов на поверхности ядра. Такие колебания
изовекторной плотности рассматривались Гольдхабером и
Теллером [118]. В этом случае J
ос и Q имеет конечную
величину, а из (7.24) следует, что
(7.27)
стремиться к нулю при J -у оо. Подставляя это выра­
жение для Х{п(А) в (7.23) и учитывая асимптотику сфе­
рических функций Бесселя jc(x) |х_*.0 ~ х е [61], при і > 1
получим простое соотношение для энергии гигантского ре­
зонанса в виде
(7.28)
Эта зависимость энергии возбуждения от числа нуклонов
в ядре А и коэффициента жесткости нейтронной кожи
Q такая же, как и в случае модели Гольдхабера-Теллера
[118]. Учитывая асимптотику сферических функций Бес­
селя и (7.27) в этом предельном случае переходная плот­
ность гигантского изовекторного резонанса имеет только
поверхностный вклад, связанный со вторым членом (7.25).
153
На рис. 7.1 приведены переходные плотности ГДР для
ядра 208РЬ, нормированные в максимуме на единицу для
удобства сравнения. Видно, что переходные плотности мо­
дели Гольдхабера-Теллера связаны с колебаниями прото­
нов относительно нейтронов на поверхности ядра, а в мо­
дели Штейнведеля-Йенсена - наоборот, только в объеме
ядра. В то же время, как в рассматриваемой модели [126]
колебания происходят как на поверхности ядра, так и в
объеме,
т.е.,
данная
модель объединяет модели
Штейнведеля-Йенсена [119] и Гольдхабера-Теллера [118].
Р и с . 7 .1 . Радиальные зависимости переходных плотностей
изовекторного ГДР в объединенной модели [126], моделях
Ш тейнведеля-Йенсена [119] и Гольдхабера-Теллера [118].
На рис. 7.2 представлены экспериментальные энергии
изовекторного ГДР [134] в зависимости от числа нуклонов
в ядре А, а также результаты расчетов их в объединен­
ной модели [126], моделях Штейнведеля-Йенсена [119] и
Гольдхабера-Теллера [118].
154
Р и с . 7 .2 . Экспериментальная (точки) и модельные зависи­
мости энергии изовекторного ГДР от числа нуклонов в ядре А.
Расчеты
выполнены
в
объединенная
модели
[126]
(объед.), а также в моделях Штейнведеля-Йенсена [119] (Ш -Й)
и Гольдхабера-Теллера [118] (Г -Т ).
155
Параметры моделей, для которых на рисунке представ­
лены энергии ГДР, выбраны так, чтобы каждая модель
наилучшим образом описывала экспериментальные дан­
ные. В этом случае J = 39,8 МэВ и Q = 65,2 МэВ для
объединенной модели, J — 23,0 МэВ для модели Штейнве­
деля-Йенсена и Q — 29, 7 МэВ для модели ГольдхабераТеллера, причем для всех моделей г0 = 1,2 фм. Видно, что
объединенная модель лучше описывает зависимость энер­
гии изовекторного гигантского резонанса от числа нукло­
нов в ядре А, чем модели Гольдхабера-Теллера и Штейнве­
деля-Йенсена.
Из A-зависимости правой части уравнения (7.23) сле­
дует, что с ростом числа нуклонов уменьшается влияние
поверхности, поэтому результаты объединенной модели и
модели Штейнведеля-Йенсена более близки к друг другу
в тяжелых ядрах при одинаковом значении J.
На рис. 7.2 отсутствуют данные для аксиальных сильнодеформированных ядер с числом нуклонов А > 220 и
150 < А < 190 . В таких ядрах гигантский резонанс рас­
щепляется на два пика: пик, имеющий меньшую энергию,
связан с изовекторными колебаниями плотности вдоль
длинной оси, а пик с большей энергией - соответствует
колебаниями вдоль короткой оси [127,145,146]. Расщепле­
ние гигантского резонанса наблюдается в различных экс­
периментах [112,113,134-136]. Анализируя характеристи­
ки изовекторного ГДР в деформированных ядрах, можно
извлечь информацию как о величине квадрупольной де­
формации ядра р2, так и знаке.
В рассмотренной гидродинамической модели не учи­
тывались силы трения (т.е., вязкость жидкости), а гигант­
ский резонанс описывался как стационарное состояние.
Вязкость приводит происходит к диссипации энергии и
затуханию амплитуды колебаний изовекторной плотности
нуклонов ап£т:
u-ncm(t) ос е х р (- Trt/2h),
156
(7.29)
т.е. к распаду ГДР с шириной Гг.
Простейшее выражение для систематики эксперимен­
тальных значений ширины распада ГДР в сферических
ядрах в отсутствие возбуждений их внутренних состояний
(т.н. холодные ядра) имеет вид [120,121,126,147,148]
Гг = а5 •Е ъ
г.
(7.30)
При использовании для энергий ГДР соотношения (7.1),
параметры в (7.30) равны [121]
а5 = 0,0251; 5 = 1,91,
(7.31)
для значений ширин в МэВ.
Выражение (7.30) для ширины ГДР соответствует пред­
положению о том, что основной механизм диссипации энер­
гии ГДР - парные столкновения нуклонов в объеме ядра,
которые приводят к передаче энергии некогерентным 2p2h.
состояниям [115,126,149-154].
Существуют различные методы вычисления вклада та­
кого процесса в ширины ГДР. В частности, в кинетических
подходах зависимость ширины Гг от энергии Ег обусловле­
на двухчастичными нуклон-нуклонными столкновениями
с эффектами запаздывания [155-171]. Значения парамет­
ров а,5 и 0 зависят от предположений о доступном фазо­
вом пространстве для столкновений и зависимости веро­
ятности рассеяния нуклонов в ядерном веществе от энер­
гии [169,170].
В целом ширины гигантских резонансов определяются
сложным механизмом ядерной диссипации, который все
еще остается предметом исследований. Помимо столкно­
вений важными источниками релаксации гигантских ре­
зонансов в холодных ядрах также являются [115,162,172,
173]: (а) дисперсия ’’силы” частично-дырочных конфигу­
раций, формирующих ГДР; (б) связь с низколежащими
вибрационными состояниями, соответствующими колеба­
ниям поверхности (2+ для ГДР); (в) распад в непрерывный
спектр.
157
Компонент (а), определяемый фрагментацией ГДР по
1р1 /г-состояниям, соответствует механизму однотельной
диссипации и не зависит от энергии ГДР [123,174-178].
Его можно считать обусловленным столкновениями нук­
лонов с подвижной ядерной поверхностью [178-180]. Ком­
понент (б), обусловленный связью ГДР с вибрационными
колебаниями поверхности, пропорционален энергии ГДР
и параметру динамической деформации поверхности яд­
ра [47,181-183].
Систематики ширин распада ГДР, учитывающие раз­
личные механизмы релаксации, можно найти в работах
[121,122,134,136,142,182-184]. Например, формула для си­
стематики ширин ГДР в сферических ядрах с учетом ре­
лаксации за счет столкновений и связи с низколежащими
квадрупольными колебаниями имеет вид [142]:
Гг = а,х ■Ег + аг •Pdyn •Er,
(7.32)
где pdyn = у 1224 •А~7/3/Е2+ - параметр динамической
квадрупольной деформации поверхности ядра [185] с Е2+
для энергии первого вибрационного 2+ состояния; значе­
ния параметров и их погрешности равны о.! = 0,255(20),
а2 = 0,370(53) для ширин в МэВ. В этом выражении
первый компонент соответствует столкновительному ме­
ханизму релаксации со средней вероятностью столкнове­
ний согласно экситонной модели внутриядерных перехо­
дов [169]. Столкновительный компонент пропорциональ­
ный энергии ГДР также получается, если предполагать,
что внутриядерные рассеяния нуклонов происходят в ре­
зультате квадрупольной деформации поверхности Ферми
[152,186].
Кроме гигантского изовекторного дипольного резонан­
са также возможны и изовекторные резонансы другой
мультипольности. Однако в настоящее время эксперимен­
тальные данные о гигантских изовекторных монопольных
158
и квадрупольных резонансах неоднозначны [113], а данные
о резонансах другой мультипольности отсутствуют.
7.3.
Гигантские изоскалярные
резонансы
Гигантские изоскалярные квадрупольные резонансы бы­
ли открыты в 1971 г. [187]. Энергии и ширины изоскалярного гигантского квадрупольного резонанса были экс­
периментально определены для многих ядер [113]. Суще­
ствуют также экспериментальные данные о изоскалярных
монопольных, дипольных и октупольных гигантских ре­
зонансах в ядрах [113,188]. Наиболее обширная экспери­
ментальная информация доступна для квадрупольных и
монопольных изоскалярных резонансов.
Гигантский изоскалярный монопольный резонанс свя­
зан с одновременными колебаниями плотности и радиу­
са ядра. Плотность нуклонов внутри ядра и радиус ядра
осциллируют около равновесного значения: при увеличе­
нии плотности внутри ядра его радиус уменьшается, а при
уменьшении плотности наоборот, радиус ядра увеличива­
ется, обеспечивая сохранение числа нуклонов в ядре. Ча­
стота этих колебаний связана с жесткостью ядерной мате­
рии и определяется модулем сжатия ядерной материи К
(см. (3.21), (5.7)).
Рассмотрим гигантский изоскалярный монопольный ре­
зонанс в рамках гидродинамической модели [127], подроб­
но изложенной в предыдущем разделе. В этом случае про­
тоны и нейтроны колеблются в фазе и гидродинамические
уравнения непрерывности (7.2), (7.3) и Эйлера (7.5), (7.6)
159
упрощаются и приводятся к виду [127]:
<95p(r, t)
M po
0, (7.33)
+ Ро div
dt
d_ z
к
,
ч n
, :
- V p ( r ^ ) + jV jv (r , t) + — V 5p(r,£) = 0,(7.34)
dt
где Op = 8pp + bpN - отклонения плотности нуклонов от
равновесного значения, f = 2C'p p + 2Cp n, К - модуль сжа­
тия ядерной материи (3.21). Линеаризованное уравнение
для изоскалярных колебаний плотности можно получить
аналогично уравнению (7.7) и оно имеет вид
<926p(r, t)
dt
К
■A6p(r,t) = 0.
9АГ
(7.35)
Решение этого уравнения равно
5p(r,i)
=
SpjV(r,i) + 8 p p (r.t) =
&nim{t)PqJ({kjigv'jYfarilQ, ф).
(7.36)
Граничные условия на свободной поверхности ядра для
скоростей нуклонов подобны используемым ранее (7.16) и
(7.17) для случая изовекторных резонансов и имеют вид
(■v n (Rn , t) •n) = dRg ^
~ £ До[1 + as{t)Y{m(e, ф)]. (7.37)
(’v p ( R p ,t ) •n) - dRQ ^ ~
+ as(t)Yem{Q, Ф)],(7.38)
где R0 - радиус ядра. Граничные условия на свободной по­
верхности ядра для сил требуют баланса сил обусловлен­
ных колебаниями нуклонов и поверхностного натяжения
на элемент площади, т.е.:
Pvol(r,t)\R =
(7.39)
P s(t),
160
где
Pvol(r,t)\R =
Pa(t)
=
g ^ 5p M ) ,
(7-40)
^ - 1 ) ( £ + 2 ) ~ а а( Щ т(Є,ф),
(7.41)
a - коэффициент поверхностного натяжения ядра. С по­
мощью этих граничных условий получим [47,127,189]:
К х А 1' 3
(7.42)
где х = kR и bs = 4к?оО - коэффициент, связанный с по­
верхностной энергией в массовой формуле [47,48]. Энер­
гия возбуждения гигантских изоскалярных мультипольных резонансов пропорциональна ?г-му корню этого уравнения х пе [47,127,189,190]:
(7.43)
Подставляя значения К — 200 МэВ, г о — 1,2 фм и
bs = 19 МэВ, которые удовлетворительно согласуются с
экспериментальными значениями, получим зависимость
энергии
возбуждения
гигантского
изоскалярного
монопольного резонанса от числа, нуклонов в ядре в виде
Еіо ~ 81у4-1/ 3 МэВ. Отметим, что такая зависимость энер­
гии возбуждения гигантского изоскалярного монопольно­
го резонанса хорошо описывает экспериментальные значе­
ния энергий для тяжелых ядер в окрестности 208РЬ. Одна­
ко в легких ядрах энергия возбуждения гигантского изоска­
лярного монопольного резонанса несколько меньше, чем
предсказывает данная гидродинамическая модель.
Используя гидродинамический подход в теории фермижидкости, который учитывает взаимодействие квазича­
стиц между собой, можно лучше описать характеристики
161
гигантских резонансов. В этом случае гигантские резонан­
сы рассматриваются как волны плотности (нулевой звук)
в ядерной ферми-жидкости [9.126,127,189]. Такой подход
позволил удовлетворительно описать не только энергии
изоскалярных гигантских резонансов, но и их прямой ра­
диационный распад [191,192].
Среднее поведение экспериментальных значений энер­
гий Еія и ширин Г/т: изоскалярных гигантских резонан­
сов с
= 0+,2 + ,3 ” в средних и тяжелых холодных яд­
рах (А ~ 50 -г- 250) можно аппроксимировать выражения­
ми [113,193-195] (в МэВ) :
Е0+ = 77 •Л " 1/ 3,
Г0+ = 16,3 •А ~1!\
Е2+ = 64,7 •/ Г 1/ 3, Г2+ = 17, 5 •А “ 1/3,
Е3- = 115 •Л” 1/ 3, Г3- = 38,3 •А~1/ъ.
7.4.
(7.44)
Двойные гигантские резонансы
Отметим, что уравнения (7.23) и (7.42) имеют много кор­
ней. Гигантские дипольные изовекторные и изоскалярные
резонансы, а также монопольные изоскалярные резонан­
сы, связаны с нижайшим нетривиальным корнем соответ­
ствующих уравнений. Следующие корни соответствуют
обертонам данных резонансов [196]. Часто гигантский ре­
зонанс рассматривают как фононное возбуждение. В этом
случае нижайший нетривиальный корень связан с однофононным возбуждением, а следующие корни, обертоны
соответствуют многофононным возбуждениям [197]. При
этом, например, двухфононное состояние может возбуж­
даться при последовательном поглощении возбужденным
ядром двух фононов.
Двухфононные гигантские изовекторные дипольные
резонансы были обнаружены в экспериментах по кулоновскому возбуждению ядер с участием: высокоэнергетичных
тяжелых ионов [198]. Энергии двухфононных гигантских
162
изовекторных дииольных резонансов оказались в два раза
выше соответствующих однофононных, а. ширины прибли­
зительно в полтора раза больше. Такое соотношение энер­
гий и ширин одно- и двухфононных резонансов приблизи­
тельно соответствует приближению гармонических коле­
баний [197]. Исследуя экспериментальные значения харак­
теристик этих резонансов, можно извлечь информацию о
степени нелинейности колебаний плотности при возбуж­
дении гигантских резонансов и об ангармоничности урав­
нения состояния [198 -200]. Экспериментальные исследова­
ния многофононных гигантских резонансов сопряжено с
большими трудностями, и доступная экспериментальная
информация неоднозначна [113,198,199].
7.5.
Гигантские резонансы
в нагретых ядрах
Теоретически в возбужденном ядре также возможны кол­
лективные колебания плотности, связанные с гигантскими
резонансами. В экспериментальных исследованиях эмис­
сии гамма-квантов из высоковозбужденных ядер были об­
наружены и гамма-кванты, связанные с распадом гигант­
ского изовекторного дипольного резонанса [113,201]. Со­
стояния высоковозбужденных компаунд-ядер характери­
зуются температурой Т, которая определяется энергией
возбуждения ядра, приходящейся на одну степень свобо­
ды. Поэтому, изучая свойства гигантского дипольного ре­
зонанса в таком ядре, можно исследовать температурную
зависимость параметров гигантского дипольного резонан­
са.
Теоретические и экспериментальные исследования по­
казывают, что энергии ГДР более стойки относительно
внутренних (тепловых) возбуждений ядер, чем поверхност­
ные вибрационные колебания низких энергий. Наиболее
стойкими оказываются изовекторные дипольные колеба­
ния. Зависимость энергии ГДР от температуры можно
представить в виде [202]:
ЕГ(Т) = ЕГ(Т = 0) •(1 - 3,86 х 10~3Т 2),
(7.45)
т.е. энергии ГДР практически не зависят от температуры
вплоть до энергий тепловых возбуждений « 2 МэВ на один
нуклон [202-204].
При небольших энергиях возбуждения ширина изовекторного гигантского дипольного резонанса растет с увели­
чением температуры ядра и энергии ГДР Ег, и при малых
энергиях возбуждения приближенно описывается выраже­
нием [126,127,154] (в МэВ)
Гг = а •[ЕІ + (2тіГ)2],
а = 0,02 М эВ "1.
(7.46)
Это соотношение соответствует столкновительному меха­
низму релаксации в предположении, что столкновения нук­
лонов происходят вблизи поверхности Ферми (см. ссылки
в разд. 7.2).
Систематика экспериментальных данных характерис­
тик гигантских резонансов в возбужденных ядрах приве­
дена в [205]. В частности, зависимость ширины от темпера­
туры не квадратична [206]. Возможны разные причины та­
кого поведения ширины. Так, с увеличением энергии воз­
буждения существенными становятся тепловые флуктуа­
ции поверхности ядра, что приводит к расщеплению энер­
гий гигантского резонанса и появлению нового источника
фрагментации гигантского дипольного резонанса, пропор­
ционального л/Т [202,204,207]. Одной из возможных при­
чин может также быть переход от режима редких столкно­
вений нуклонов при возбуждении гигантского дипольного
резонанса в холодных ядрах к режиму частых столкнове­
ний в высоковозбужденных ядрах, что приводит к более
сильному затуханию коллективного движения [154,161,162,
168].
164
Детальный обзор экспериментальных свойств гигант­
ских резонансов в возбужденных ядрах дан в [205].
165
Глава 8
Альфа-распад
8.1.
Введение
Альфа-распад - это процесс радиоактивного распада, в ко­
тором из ядра испускается альфа-частица, т.е. ядро 4Не.
Впервые альфа-частицы описал Резерфорд при исследо­
вании радиоактивности в 1899 г., а в 1907 г. был иденти­
фицирован ион 4Не2+. В 1911 г. Гейгером и Неттолом было
предложено эмпирическое соотношение, которое связыва­
ло период полураспада и длину пробега альфа-частицы.
Длина пробега альфа-частицы связана с энергией, выде­
ляемой при альфа-распаде, в настоящее время законом
Гейгера-Неттола. называют простое эмпирическое соотно­
шение между периодом полураспада и энергией, выделяе­
мой при альфа-распаде. Квазиклассическая теория альфараспада была предложена Гамовым [208], а также незави­
симо Герни и Кондоном [209] в 1928 г. С этого времени
теория альфа-распада существенно усложнилась и появи­
лись различные модели и приближения для его описания.
К настоящему моменту накоплена обширная эксперимен­
тальная информация, в частности, альфа-распад наблю­
дается в более чем 420 ядрах с А > 105 и Z > 52.
Согласно теории Гамова [208, 210], альфа-частица
166
занимает квазистационарный уровень в материнском
ядре. Этот уровень распадается, причем при распаде
альфа-частица, проходит под потенциальным барьером,
который образован кулоновским и ядерным взаимодействи­
ями между вылетающей альфа-частицей и дочерним
ядром. Проницаемость этого барьера, обусловленная эф­
фектом туннелирования, и частота столкновения альфачастицы о барьер в направлении вылета из ядра опреде­
ляют период альфа-распада,.
Как отмечалось ранее, первое эмпирическое соотноше­
ние, которое в литературе часто называют законом Гейгера-Неттола, было предложено более 100 лет назад. Совре­
менные эмпирические соотношения более сложные и яв­
ляются более точными. Ниже излагается квазиклассическая объединенная модель альфа-распада и альфа-захвата
[211-214], а также детально рассматриваются эмпириче­
ские соотношения, предложенные в работе [215], которые
в настоящее время являются одними из наиболее точных.
8.2.
Объединенная модель
альфа-распада и альфа-захвата
Период альфа-распада Т|/2 определяется как
Г1/2 = М п(2)/Г,
(8.1)
где [211]
(8 .2 )
- полная ширина распада квазистационарного состояния,
на котором находится альфа-частица в ядре, у(0, ф) - пар­
циальная ширина распада, связанная с вылетом а-частицы
в направлении 0 и ф, Q - телесный угол.
167
Для аксиально-симметричного ядра парциальную ши­
рину распада можно записать в виде:
y(0) = hlO\t(Q<x,QJ)
(8.3)
где 10v —частота столкновения альфа-частицы о барьер в
направлении вылета частицы из ядра с учетом вероятно­
сти представления материнского ядра в виде системы из
альфа-частицы и дочернего ядра, t(Qa. 0, £) - коэффици­
ент прохождения, который определяет вероятность тунне­
лирования через барьер, a Qa - энергия, выделяемая при
альфа-распаде.
Коэффициент прохождения, который иногда называет­
ся трансмиссионным коэффициентом или коэффициентом
проницаемости, может быть рассчитан в квазиклассическом приближении Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ)
и определяется выражением [216]
t(Qa,Q,£) =
где а(0) и b(Q) - внутренняя и внешняя точки поворота,
определяемые уравнениями
0 , £ , Q a ) |г=а(0),й(0)
Q ai
(8.5)
[і - приведенная масса для системы альфа-частица и до­
чернее ядро. Коэффициент прохождения зависит от по­
тенциала эффективного взаимодействия альфа-частицы и
дочернего ядра v(r,Q,£,Qa), который состоит из ядерной
v^(r, 0, Qa), центробежной V((r) и кулоновской г>с(г, 0) ча­
стей, т.е. имеет вид
v(r, 0, £, Qv) = '<;N(r, 0, Qa) + vt (r) + vc {r, 0),
(8.6)
где
(8.7)
168
(8 .8 )
для г > гс(0), т.е. для расстояний, больше или равных
радиусу кулоновского взаимодействия гс(0):
а для г < гс(0):
Г
Здесь V (Q a) и rm(0) - сила и радиус ядерной части аядерного потенциала; £ - угловой момент альфа-перехода,
е - заряд протона; Z, R, fh.2 и {34 - число протонов, радиус,
квадрупольная и гексадекапольная деформация дочерне­
го ядра, соответственно.
Соотношение (8.9) описывает кулоновское взаимодей­
ствие между сферическим и деформированным ядрами на
больших расстояниях, когда они разделены [217]. Оно по­
лучено в нижайшем порядке теории возмущений по вели­
чине мультипольных деформаций поверхности дочернего
ядра (3/;. Представление кулоновского поля в виде (8.10) на
расстояниях г < гс(0) обеспечивает непрерывность потен­
циала и его производной в точке г = гс(0). При j32 = (34 = 0
уравнения (8.6) - (8.10) описывают потенциал взаимодей­
ствия между двумя сферическими ядрами. Внутренняя
точка поворота а(0) близка к гт (0) и гс(0). Для сокра­
щения числа параметров обычно считается, что гс(0) =
169
Отметим, что в сферических ядрах показатель экспо­
ненты в (8.4) (интеграл действия) называется показателем
Гамова [2]. При его больших значениях выражение (8.4)
переходит в соотношение для коэффициента прохождения,
которое первоначально исп о льзо в алос ь в теориях туннели­
рования альфа-частицы сквозь барьер. Выражение (8.4)
является более точным при энергиях Qa, близких к высо­
те барьера. При энергии Qa, равной высоте барьера коэф­
фициент прохождения (8.4) равен 1/2, что соответствует
точному квантово-механическому расчету коэффициента
прохождения для потенциала, в виде перевернутого гармо­
нического осциллятора, которым часто аппроксимируют
потенциалы в окрестности барьера.
При вылете альфа-частицы из ядра должны выпол­
няться законы сохранения энергии, спина и четности. Рас­
смотрим особенности правила отбора по энергии. Радио­
активный альфа-распад - это ядерный процесс, в котором
участвуют нуклоны и не участвуют электроны, окружаю­
щие ядро. Однако в таблицах дефектов масс обычно при­
водятся данные о дефектах масс атома |66], а не ядра, по­
этому энергия связи электронной оболочки атома должна
быть исключена при расчете энергии перехода. В резуль­
тате энергия a-перехода между основными уровнями ма­
теринского и дочернего ядер равна
Qa = A(Z, N ) - A ( Z - 2, N - 2) - Д (2 ,2) +
+ k { Z l - Zi),
(8.11)
где A(Z, N), A ( Z —2, N —2) и Д (2 ,2) - дефект масс мате­
ринского и дочернего атомов, а также, альфа-частицы, со­
ответственно. Последнее слагаемое в (8.11) связано с вкла­
дом атомной оболочки в энергию альфа-распада, при этом,
энергией связи электронов в атоме гелия пренебрегается
ввиду ее малости. Величина kZ^ - аппроксимация пол­
ной энергии связи Z электронов в материнском (т = р)
и дочернем (т = d) атомах. Параметры к и є равны
170
к = 8, 7 эВ и е=2,517 для ядер с Z > 60 и к — 13,6 эВ и
е=2,408 для ядер Z < 60 [212,218]. Альфа-распад энерге­
тически возможен в том случае, если выделяемая энергия
положительна:
Qa > 0.
(8 .1 2 )
Правила отбора по спину и четности для альфа-распада
определяются законами сохранения спина и четности.
Пусть j p, Пр и jd, Kd - величины спина и четности для мате­
ринского и дочернего ядер, соответственно. Альфа-частица
имеет нулевой спин и положительную четность, поэтому
согласно законов сохранения |jp — jd| < ^ < j p + jd и
Tipjid = (—1)*. Поэтому минимальное значение углового мо­
мента £min при альфа,-переходе между состояниями j p,np
и ji'd- 7id равно
Aj
Aj +
Aj
Aj +
ДЛ Я Ч еТ Н Ы Х
1
ДЛЯ н е ч е т н ы х
ДЛЯ н е ч е т н ы х
1
ДЛЯ ч е т н ы х
Aj
Aj
Aj
Aj
И
7tp =
Ttd,
TCd,
И
ТСр =
и
ТСр
И
Tip
ф
Tld,
TCd,
где A j = \jp - j d\.
Хотя значение углового момента альфа-частицы і мо­
жет быть больше £rain, но с увеличением і увеличивает­
ся высота и толщина потенциального барьера, а следова­
тельно и интеграл действия в (8.4), что приводит к рез­
кому уменьшению коэффициента прохождения, и поэто­
му I считается равным £rain. Значение углового момента
альфа-частицы I связано с внутренней структурой одноча,стичных уровней протонов и нейтронов возле поверхности
Ферми в материнском и дочернем ядрах. Известно много
случаев, когда альфа-переход между основными состояни­
ями происходит с отличным от нуля значением £.
171
Теперь рассмотрим процесс, обратный к альфа-распаду',
а именно, альфа-захват. Сечение захвата альфа-частицы
аксиально-симметричным ядром в окрестности барьера, рав­
но [211]
о(Е ) = I ® Г /2 S
(2£ + W E ’ е ’ 1) ип(в)Л6.
(8.14)
Здесь Е - энергия столкновения в системе центра масс,
интегрирование по углу 0 связано с тем, что при столкно­
вении альфа-частицы и деформированного ядра возмож­
ны различные ориентации ядра, описываемые углом 0,
t(E,Q,£) - коэффициент прохождения, который может
быть рассчитан в квазиклассическом приближении ВКБ
(см. (8.4)) при энергиях Е ниже барьера. При альфа-захва­
те альфа,-ядерный потенциал, определяющий коэффици­
ент прохождения, также описывается соотношениями
(8.6) - (8.10) с Qa = Е, которые используются при альфараспаде. При энергиях столкновения Е, превышающих вы­
соту барьера -б’^аг для 1-й парциальной волны, коэффици­
ент прохождения аппроксимируется точным выражением
для перевернутого гармонического осциллятора
-і
t(E, £) = | l + exp
(8.15)
Кривизна 1ш перевернутого гармонического осциллятора
совпадает с кривизной альфа-ядерного потенциала (8.6) (8.10) на барьере
Пг2 д 2
(8.16)
..bar
t
Высота, положение и кривизна барьера реалистического
потенциала v(r, 0, £, Е ) и перевернутого гармонического ос­
циллятора одинаковы. При Е = г>]?аг коэффициенты про­
хождения, вычисленные с помощью (8.4) и (8.15), равны
172
1/2, а при энергиях Е незначительно меньше г$аг коэф­
фициенты прохождения, рассчитанные с помощью (8.4)
и (8.15), имеют близкие значения. Поэтому аппроксима­
ция реалистического потенциала перевернутым гармони­
ческим осциллятором является хорошей в окрестности ба­
рьера. Такое приближение использовано при описании околобарьерного слияния ядер в работах [211,219-221].
В работе [212] параметры глубины, радиуса и диффузности альфа-ядерного потенциала, а также частоты столк­
новения альфа-частицы о барьер в направлении вылета
частицы из ядра были параметризованы таким образом:
ТПҐЛ \
V { Q a)
-
U1 +
+
rm(0)
і
,
т і V4 Qat
^ і / з + « з / + -д іТ з +
и5У2о(0)Р2
А 1/6 ’
(о 1?Л
(8Л7>
= Г1 + д (1 + (3 2у 2о( 0 ) + р 4г 4о(0)),
(8.18)
R
= r2AV3(l + r3/ A + . r J ) ,
(8.19)
d
= <h + с?2А _1/3,
(8.20)
v
= 19 + 5 + v0Z 1/2A 1/e +
+Vi(( —1)Є— 1) + V2 /7T- + V3 / +
+ 1) / .
(8.21)
Здесь А и Z - числа нуклонов и протонов в ядре,
взаимодействующим с альфа-частицей, I = (А — 2Z)/A.
В уравнениях (8.17) - (8.21) содержатся 22 параметра.
Используя данные о достаточно хорошо известных 344
периодах альфа-переходов между основными состояниями
материнского и дочернего ядер и о сечении альфа-захвата
ядрами 40Са, 44Са, 59Со, 208РЬ и 209Bi, были определены па­
раметры потенциала, которые приведены в табл. 8.1 [212].
Параметр S для четно-четных, четно-нечетных, нечетночетных, нечетно-нечетных ядер принимает, соответствен­
173
но, следующие значения: 4,5125, 3,9419, 4,1970 и 4,0382.
Таблица 8.1. Параметры объединенной модели альфа-рас­
пада и альфа-захвата (см. (8.17) - (8.21)).
VI (МэВ)
1)2 (МэВ)
ьз (МэВ)
Щ
v5 (МэВ)
Гі (фм)
г2 (фм)
Гз
га
d\ (фм)
d'2 (фм)
v 0 (сек)
VI
V2
V3
V4
^5
V6
(МэВ-1/ 2)
-40,1498
-0,2608
-12,1068
0,3136
6,6134 х 10~2
1,4004
1,1944
1,4802
0,0057
0,8721
-1,0944
-0,1361
0,8840
-4,7681 х 10~2
0,6295
-1,3412
-1,3638
6,2081 х 10-2
Подход, в котором с использованием одного и того лее
потенциала одновременно изучаются периоды альфа-рас­
пада и сечения альфа-захвата,, был предложен в [211,212] и
называется объединенной моделью альфа-распада, и альфазахвата (Unified Model for Alpha-Decav and Alpha-Capture
- UMADAC). На рис. 8.1 и 8.2 приведено сравнение с экс­
периментальными данными периодов альфа-распада для
переходов между основными состояниями материнского
и дочернего ядер, рассчитанных в объединенной модели
альфа-распада и альфа-захвата [212].
174
зо
Ч -Ч
25-
о
X
я*
20
15
пи
10
н
п
5-
0і
й6
a
%
я » у
и 55й
av и и г
й
я нЗ*я и
и ни я Агн я
и
н
и„
И Я
и
д.. н>
Л '«гГо
x
% %
а
f
й ни
д«Н
^ -5
Wо зо
ьо
н-ч
JS 25-
20-I
X
о
Xv
Xй ;f о
? °
Ч? Й
X
15-
10ч
5-
X
о
и °
X
я
R
Я
/
0
яя
и
да
Я
X
о
-5 -1
-Ю ...... -....,...... .....;.....,.....,.... ,.... ,..... ,.....,........ ....... -.....г-........п.....-....
100 120
140 160
180 200 220 240 2 6 0 ^ 2 8 0
Р и с . 8 .1 . Сравнение log10(2\/2) рассчитанных; в объеди­
ненной модели альфа-распада и альфа-захвата ( х ) для четно­
четных (ч-ч) и не четно-четных (н-ч) ядер соответственно, с экс­
периментальными данными (о). Величины Т\/2 даны в секун­
дах.
175
20
Ч-Н
§
о
X
X
X
15
о
2х *
о
ПО
10
5
8
и
«я
О
X
Я
X
о
Я 8
с
я *
д
д
0
0 .-5
Ь о' 16
н-н
(50
О
-н
12
X
О
8
8
X
о
о
4
X
О
я
8
и
О
X
ххЯ
*
§
Оя§
%
° # х Xд
Я* о
Я
я
х
о «о
X
-4
-8
100
120
140
160
180
200
220
240
260 А 280
Рис. 8.2. Сравнение log10(T1/ 2) рассчитанных в объеди­
ненной модели альфа-распада и альфа-захвата. ( х ) для четно­
нечетных (ч-н) и нечетно-нечетных (н-н) ядер соответственно,
с экспериментальными данными (о). Величины Т]/2 даны в се­
кундах.
176
Величины периодов альфа-распада на рис. 8.1 и 8.2
изменяются в очень широких пределах от ~ К Г 7 с до
~ 1027 с и результаты расчета в целом хорошо описы­
вают экспериментальные данные. Отметим, что экспери­
ментальные данные для четно-четных ядер являются наи­
более полными и точными. Для альфа-переходов между
основными состояниями четно-четных ядер величина £min
всегда равна нулю. Для того, чтобы описать эксперимен­
тальные данные для нечетных и нечетно-нечетных ядер,
необходима дополнительная экспериментальная информа­
ция о спинах и четностях основных состояний ядер. К
сожалению, эта информация не всегда известна. В тех слу­
чаях, когда эта информация была неизвестна, в расчетах
объединенной модели альфа-распада и альфа-захвата, по­
лагалось, что переход происходит при нулевом значении
углового момента, что может приводить к дополнитель­
ным неточностям.
Особенно высоко качество описания периодов полурас­
пада для переходов между основными состояниями четночетных ядер, которые имеют нулевой спин и положитель­
ную четность (Рис. 8.1). Описания периодов полураспада
для переходов между основными состояниями нечетных и
нечетно-нечетных ядер менее точные, чем в случае четно­
четных ядер.
На рис. 8.3 приведено сравнение с экспериментальными
данными сечений альфа.-захвата ядрами 40Са, 44Са, 59Со,
2 0 8 р Ь и 209Bi, которые рассчитаны в объединенной моде­
ли альфа-распада и альфа-захвата [212]. Для сравнения
на рисунке приведены результаты расчета сечения захвата
альфа-частицы ядром 208РЬ в приближении связанных ка­
налов (CCFULL) [222]. Метод связанных каналов является
наиболее точным подходом для описания реакций между
тяжелыми ядрами. Поэтому хорошее согласие результа­
тов расчетов, полученных в объединенной модели альфа177
распада и альфа-захвата и приближении связанных ка­
налов, свидетельствует о высокой точности объединенной
модели при описании сечений альфа-захвата.
Рис. 8.3. Сравнение сечений альфа-захвата ядрами 40Са,
44Са, 59Со, 208РЬ и 209Bi, которые рассчитаны объединенной
модели альфа-распада и альфа-захвата (UMADAC), с экспери­
ментальными данными; CCFULL - результаты расчета сечения
захвата альфа-захвата ядром 208РЬ в приближении связанных
каналов.
В объединенной модели альфа-распада и альфа,-захвата
явно учитывалась деформация основного состояния до­
чернего ядра. На рис. 8.4 изображены ядерная и кулоновская части потенциала между альфа-частицей и до­
черним ядром 234Т1і при различных ориентациях между
альфа-частицей и осью аксиальной симметрии дочерне­
го ядра. Также на, рис. 8.4 приведена, сумма ядерного и
178
кулоновского потенциалов. Точки а(0 = 0°) и а(0 = 90°) внутренние точки поворота, соответствующие различным
взаимным ориентациям альфа-частицы и деформирован­
ного ядра 234Th (альфа-частица находится около носика
ядра на оси его симметрии (0 = 0°) и над экватором яд­
ра перпендикулярно к оси симметрии (0 = 90°)). Внешняя
точка поворота Ъпрактически не зависит от взаимной ори­
ентации ядер. Энергия, выделяющаяся при альфа-распаде
238U-> a + 234Th, равна Е = 4,27 МэВ. Экспериментальное
значение квадрупольной деформации р2 ядра 234Th взято
из [72].
40
30
20
И10
<Т)
S
t?°
-10
Е=4.27 М эВ
р2=0.241
0= 0°
-20
-------- ядерн. п о т . --------- кулон, пот.
..........ядерн.+кулон. пот.
-30
8=90°
-------- ядерн.+кулон. п о т . -------- кулон, пот.
......... ядерн.+кулон. пот.
-40
0
10
20
-|—і—1—I—г
Т
30
50
40
60 г, фм 70
Рис. 8.4. Ядерная, кулоновская и сумма кулоновской и
ядерной частей потенциала между альфа-частицей и дочер­
ним ядром 234Th при различных ориентациях между альфачастицей и осыо аксиальной симметрии дочернего ядра; пря­
мая линия Qa — 4,27 МэВ - энергия, выделяющаяся при альфараспаде 238U—>234Th+a.
179
Высота барьера и внутренняя точки поворота суще­
ственно зависят от угла вылета альфа-частицы (см. рис.
8.4). Видно, что вылет альфа-частицы из носика ядра (0 =
0°) связан с меньшем коэффициентом проницаемости, чем
вылет альфа-частицы из экваториальной области ядра (0 =
90°). Поэтому учет деформации дочернего ядра должен
быть существенен для корректного рассмотрения альфараспада.
Количественное влияние деформации ядра на период
полураспада приведено на рис. 8.5, на котором представ­
лена разница периодов альфа-распада, рассчитанных для
случаев учета и пренебрежения деформациями поверхно­
сти.
1.25
1,25
1,00 -
1,00
0,75-
^
■
“ £ 0 ,5 0 -
ссГ
bfо °-25
ь
о
о
0,00-
с*
0,25
ь
о
о
-г
0,00
.•v..
V .'
«£* -0,25
К?
0,75 -
^
,50-
fc-T
-
Vk •
аГ -0 ,2 5 •W'
С*
т ----- /'
.4 »
8-Г
'* ^ 0 ,5 0 J(50
O
-0,50-
-0,75-
-0,75
-1.00
-1,00
-1,25
100
- -у
■•
СО*
-1,25
120
140
160
180 200 220 240 2 6 0 .2 8 0
А
100
120
140 160
180 200 220 240 2 6 0 .2 8 0
А
Разница периодов альфа-распада при учете и пре­
небрежении квадрупольной деформацией (слева), а также при
учете и пренебрежении гексадекапольной деформации (спра­
ва). Величины Ті/ 2 даны в секундах.
Р и с . 8 .5 .
180
Сравнивая результаты, представленные на правой и ле­
вой панелях рис. 8.5, можно сделать вывод о сильном вли­
янии квадрупольной деформации ядер на период альфараспада. Однако, несмотря на малые значения гексадекапольной деформации поверхности ядер с А > 100 по
сравнению с квадрупольной (см., например, рис. 4.5 и [30,
65]), ее влияние на период альфа-распада также заметно
(рис. 8.5). Поэтому в объединенной модели альфа-распада
и альфа-захвата учитывались как квадрупольная, так и
гексадекапольная деформации ядер.
До сих пор рассматривались альфа,-переходы между
основными состояниями материнского и дочернего ядер.
Энергетически возможны и альфа-переходы между воз­
бужденными состояниями материнского и дочернего ядер.
Энергия, выделяющаяся при альфа-переходе из уровня
материнского ядра с энергией возбуждения EjP на уровень
дочернего ядра с энергией возбуждения Ei(i равна
Q j —ti — Q g .s .^ g .s .
E jp
Е щ .j
(8 .2 2 )
где Qg.s.^g.s. ~ энергия альфа-перехода между основными
уровнями материнского и дочернего ядер, определяемая
соотношением (8.11). Если Q3^ t > 0, то такие переходы
энергетически возможны. Схема уровней для подобных
переходов приведена на рис. 8.6.
Отметим, что альфа-переходы из основного в основное
и возбужденные состояния ядер достаточно хорошо изу­
чены. Энергия, выделяющаяся при альфа-переходе из ос­
новного в основное и возбужденное состояние г дочернего
ядра с энергией Ем равна
Qi — Qo—и — Q g.s.-tg.s.
E id-
181
(8.23)
к
Основное состояние
Ар=°
\ ^|-»2
к
Еъ
Еи
Основное состояние
Е=
О
Од
Р и с . 8 .6 . Схема альфа-перехода между первым возбужден­
ным состоянием материнского ядра и вторым возбужденным
состоянием дочернего ядра.
Для характеристики альфа-перехода в возбужденное
г-е состояние полезным является отношение ширины ветви
распада в состояние і к полной ширине альфа-распада,
которое определяется как
=
Е „ г №
=
Е
Ж
„ І ) х 1 0 0 %
Ь
Х1”
^
=
( 8 '2 4 )
где суммирование проводится по всем энергетически воз­
можным альфа-переходам. В объединенной модели альфараспада. и альфа-захвата отношение ширин распада зави­
сит только от коэффициентов проницаемости. Это связано
с тем, что в модели предполагается как одинаковая дефор­
мация дочернего ядра в основном и возбужденном состо182
яниях, так и независимость вероятностей формирования
системы альфа-частица - дочернее ядро от энергии воз­
буждения.
В табл. 8.2 приведены значения для периодов альфараспада для переходов в основное и в возбужденные со­
стояния, а также отношение ветвей распада аг. Сравни­
вая экспериментальные и теоретические величины пери­
одов полураспада и отношения ветвей распада для кон­
кретных переходов в табл. 8.2, видим, что объединенная
модель альфа-распада, и альфа-захвата удовлетворитель­
но описывает переходы в нижайшие возбужденные состо­
яния без введения дополнительных параметров.
Таблица 8.2. Величины периодов альфа-распада Тг/2 (в
секундах) для переходов в основное и возбужденное состояния
и отношения ветвей распада а,;, рассчитанные в объединенной
модели альфа-распада и альфа-захвата, их экспериментальные
значения. Также приведены энергии переходов Q, (в МэВ), спи­
ны, четности начальных и конечных состояний.
Переход
Qi
фЭКСП
цТеор
2^3KCn
грТеОр
1 /2
226Ra
a+226Rn
0+ -> 0+
4,91
94,45
95,80
5,3510го
1,90-Ю11
0+
2+
4,72
5,55
4,18
9Д0-1011
4,361012
0+ -)• 4+
4,46
6,5-Ю-3
0,03
7,77-1014
5,80-1014
0+ -> 1“
4,31
1,0-10~3
4,6-10“ 5
5,05-1015
3,95-1017
0+ -> 3“
4,27
2,7-10-4
1,8-Ю-5
1,87-1016
1,01-Ю18
230U -»■ oc+226Th
0+ -> 0+
6,03
67,40
68,80
2,67-106
2,48-106
0+ - і 2+
5,96
32,00
26,20
5,62-106
6,51 -106
0+
4+
5,80
0,38
3,09
4,73-108
5,53-107
-» 1“
5,80
0,26
0,06
6,91 -108
2,79-109
о+ -» з ~
5,72
1,2-Ю-2
1,9-10~2
1,56-Ю10
8,90-109
0 +
183
В данной модели предполагалось, что деформация до­
чернего ядра не меняется при его возбуждении, а веро­
ятность формирования из материнского ядра состояния
дочернего ядра и альфа-частицы в случае переходов из
основного в возбужденное ядра такие же, как при альфапереходах между основными состояниями ядер. Однако
эти величины для высоковозбужденных состояний могут
сильно отличаться от соответствующих значений для ос­
новного состояния ядер, что связано с микроскопической
природой высоковозбужденных состояний. Поэтому более
высоковозбужденные состояния описываются хуже в дан­
ной модели (см. табл. 8.2). Микроскопический подход к
описанию альфа-распада детально обсуждается в [223]. К
сожалению, микроскопический подход не является про­
стым и наглядным, так как связан с громоздкими вычис­
лениями.
8.3.
Эмпирические формулы
для периодов полураспада
Эмпирическое соотношение, предложенное в 1911 г. Гейге­
ром и Неттолом [224], для расчета периодов альфа-распада
(закон Гейгера-Неттола) в современной записи имеет вид
logio(Ti/2) = aQ~1/2 + b,
(8.25)
где Ti/2 - период полураспада (в секундах). Qa - энер­
гия альфа-распада (в МэВ), а и b - константы. Со време­
нем оказалось, что периоды альфа-распада отклоняются
от этого закона и появились более сложные эмпирические
соотношения, которые содержали большее количество па­
раметров и лучше описывали экспериментальные данные.
В полуфеноменологическом соотношении [65] учитывает­
184
ся зависимость от заряда материнского ядра Z\
1°§ю№./2) = (а% + b)Qa
+ cZ + d + h,
(8.26)
а в работах [225. 226] учитывалась и зависимость от мас­
сового числа материнского ядра
log10{Tin) = aZQ« 1/2 + b Z ^ A 1' 6 + с,
(8.27)
где о, b, с, d и h - константы. Эти эмпирические формулы
значительно точнее описывают экспериментальные пери­
оды полураспада, чем выражение Гейгера-Неттола.
В последние 10-15 лет появились феноменологические
соотношения, константы которых были получены из
подгонки данных для определенного интервала ядер, на­
пример, тяжелых ядер с числом нуклонов А > 208, и с
определенным нуклонным составом, например, для четно­
четных, четно-нечетных, нечетно-четных и нечетно-нечетных ядер. Подробно история вопроса и ссылки на раз­
личные систематики периодов полураспада приведены в
[65,215,225-230]. Такие выражения для расчета периода
альфа-распада весьма популярны, так как они просты и
достаточно точны.
Исследования переходов из основного состояния ядер в
основное и возбужденное продемонстрировали существен­
ную зависимость периодов полураспада от углового мо­
мента альфа-частицы. Эта зависимость обусловлена вкла­
дом вращательной энергии (8.10) в интеграл действия в
коэффициенте прохождения (8.4). В работе [215] было пред­
ложено выражение, которое явно учитывало зависимость
периода альфа-распада от углового момента I
A 1lbZ l/2
logioCfya)
=
а + b----- -------- Ь
Z
+
+ ^ +е((_1)'~1)' (а28)
4
3
185
Здесь а, Ъ. с, d и е - параметры, а ;а = (А/(А — 4))1//6.
Параметры а, b, с, <i и е, приведенные в табл. 8.3, бы­
ли найдены используя 1) весь известный набор периодов
альфа-распада, ядер (полный набор данных), 2) данные
для тяжелых ядер с А — Z > 126 и Z > 82 и данные
для легких ядер (т.е. ядра из полного набора за вычетом
тяжелых). Выражение (8.28) с параметрами для тяжелых
и легких ядер позволяют вычислить более точно периоды
полураспада для этих ядер. Энергия Qa, выделяемая при
альфа-распаде между основными состояниями ядер, рас­
считывалась с помощью соотношения (8.11).
Таблица 8.3. Параметры а, b, с, d и е выражения (8.28)
для четно-четных (ч-ч), четно-нечетных (ч-н), нечетно-четных
(н-ч) и нечетно-нечетных (н-н) ядер.
а
ч-ч
ч-н
н-ч
н-н
-26,1721
-30,2365
-30,0842
-30,8222
ч-ч
ч-н
н-ч
н-н
-29,2462
-29,3796
-28,4185
-32,0319
ч-ч
ч-н
н-ч
н-н
-28,0218
-35,0831
-33,8303
-40,9482
b
с
полный набор
-1,1549 1,6088
-1,0726 1,6910
-1,0853 1,6925
-0,9874 1,6577
легкие ядра
-1,0372 1,6317
-1,0807 1,6700
-1,1143 1,6614
-1,0415 1,7326
тяжелые ядра
-1,0490 1,5858
-0,8378 1,6721
-0,9461 1,7047
-0,3717 1,5229
d
е
0,7198
0.2453
0,5893
-0,6965
-0,6406
-0,2914
0,8009
0,2246
0,3596
-0,7403
-0,7244
0,0903
0,6687
0,4372
1,4082
-0,6695
-0,5095
-0,0127
Использование феноменологического соотношения
(8.28) позволило резко улучшить точность описания
186
периодов альфа-распада в нечетных и нечетно-нечетных
ядрах. В частности, период альфа-распада увеличивается
с ростом углового момента альфа-частицы из-за вклада
центробежной энергии (8.10) в интеграл действия (8.4). В
результате увеличивается потенциальный барьер и умень­
шается коэффициент прохождения. Альфа-переходов меж­
ду основными состояниями С і ф 0 достаточно много и их
описание существенно улучшилось с введением последних
двух членов в формулу (8.28), см. таблицу 8.4.
Детальное сравнение величин среднеквадратичных
ошибок
\
Е [>°SioCO -
(8.29)
рассчитанных для различных наборов ядер (полного, лег­
кого, тяжелого, четно-четного, четно-нечетного, нечетно­
четного и нечетно-нечетного) приведено в табл. 8.4.
Видно, что феноменологическое соотношение (8.28) с
параметрами, данными: в табл. 8.3 [215], а также
объединенная модель альфа-распада и альфа-захвата
(UMADAC), хорошо описывают экспериментальные
данные для альфа-переходов между основными состояни­
ями. Особенно существенное улучшение описания перио­
дов альфа-распада достигнуто для нечетных и нечетно­
четных ядер. В последней колонке табл. 8.4 дана инфор­
мация о моделях расчета величины среднеквадратичных
ошибок периодов альфа-распада. Обозначения (8.28)п.
(8.28)л и (8.28)т соответствуют расчетам сделанным с по­
мощью соотношения (8.28) для полного набора ядер, набо­
ра легких ядер или набора тяжелых ядер, соответственно.
187
Таблица 8.4. Величины среднеквадратичных ошибок, рас­
считанные для всех (все), четно-четных, четно-нечетных, не­
четно-четных и нечетно-нечетных наборов ядер из групп пол­
ного набора
ядер, а также легких и тяжелых ядер.
Все
ч-ч
0,5488
0,6248
1,0146
1,0245
1,1209
1,1344
1,3926
0,3308
0,3060
0,4225
0,5205
0,3922
0,3652
1,3067
0,4955
0,5338
0,5487
0,7750
0,7791
0,8114
0,8184
1,4955
0,2674
0,3739
0,3054
0,3731
0,4454
0,4843
0,6046
1,7221
0,5291
0,5710
0,7193
1,2408
1,2591
1,2607
1,3500
1,4484
1.5002
1,7017
0,1907
0,2675
0,3093
0,2970
0,3894
0,2686
0,3188
0,2250
0,3579
0,2271
ч-н
н-ч
н-н
полный набор
0,6177 0,6772 0,6916
(8.28)п
0,7830 0,7623 0,7552 UMADАС
1.3585 1,2624 1,0940
[228]
1,1661 1,3453 1,2617
[226]
1,4850 1,3783 1,3426
[225]
1,5510 1,3635 1,3390
229
1,4389 1,5728 1,2828 L
N
легкие ядра
0,5767 0,5834 0,6653
(8.28)л
0,5806 0,5941 0,7132
(8.28)п
0,6560 0,6146 0,7389 UMADAC
0,8440 1.0658 0,9606
[229]
0,8525 0,9543 1,0512
[228]
0,8408 1,1144 0,9635
[225]
0,6957 1,2076 0,8613
[226]
1,1570 1,6586 1,1735
[65]
тяжелые ядра
0,6610 0.7590 0,5388
(8.28)т
0,6804 0,7770 0,6743
(8.28)и
0,9579 0,9230 0,8033 UMADAC
1,8106 1,4845 1,4833
[65]
1,6645 1,5171 1,7708
[226]
1,9108 1,5780 1,1897
[228]
2.0332 1,6298 1,4300
[230]
2,1482 1,6657 1,8440
[225]
2,2642 1,6775 1,8392
[229]
2,5168 1,9323 2,2389
[227]
188
Глава 9
Протонный и кластерный
распады
9.1.
Введение
Энергия протонного уровня Ферми в ядрах с существен­
ным избытком протонов может быть положительной и уро­
вень будет квазистационарным. При распаде такого квазистационарного состояния возможен вылет протонов. Про­
тонный распад ядер был открыт группой Хофмана [231] в
1982 г.
В сильно протонно-избыточных ядрах два протона мо­
гут находится в квазистационарном состоянии и возмо­
жен двупротонный распад ядра, предсказанный Гольданским |232] в I960 г. Такой процесс был экспериментально
обнаружен в 2002 [233]. Различные свойства и подходы к
протонной и двупротонной радиоактивности обсуждались
в [234-239].
В тяжелых ядрах величина энергии связи на нуклон
уменьшается, поэтому некоторым ядрам энергетически вы­
годно разделиться на кластер и более легкое ядро. Такой
процесс можно интерпретировать как вылет кластера из
квазистационарного
состояния
ядра.
Кластерный
189
распад ядер был предсказан Сандулеску, Поенару и
Грайнером [240] в 1980 г. и экспериментально открыт в
1984 г. [241,242].
Протонный и кластерный распады ядер можно рас­
смотреть подобно альфа-распаду. Ниже рассмотрим про­
тонный, а затем - кластерный распад ядер.
9.2.
Протонный распад ядер
Спонтанный вылет протона из ядра (протонный распад
ядра) возможен, когда энергия этого канала распада Q,
которая совпадает по абсолютной величине с энергией от­
деления протона от ядра, положительна
Qp = B { Z - 1 , N ) ~ B { Z , N ) > 0 ,
(9.1)
где B(Z. N) - энергия связи ядра с Z протонами и N
нейтронами. В случае Q > 0 протон занимает квазистационарный уровень энергии и может испуститься ядром.
На рис. 9.1 приведены ядра, которые могут испытывать
протонный распад. Эти ядра сильно протонно-избыточны
и лежат на границе стабильности ядер, т.е. существен­
но удалены от линии бета-стабильности. Величины Q при
протонном распаде ядра в зависимости от числа нуклонов
и протонов изменяются в пределах от нескольких кэВ до
3,3 МэВ.
Для экспериментального обнаружения протонного рас­
пада время жизни ядра по другим канапам распада долж­
но быть сравнимо или больше, чем время протонного рас­
пада. Если время протонного распада ядра существенно
превышает время жизни ядра по другим каналам распада,
то его экспериментальное исследование затруднительно.
190
Р и с. 9 .1. Изотопы, в которых возможен протонный распад,
и долина бета-стабильности в зависимости от числа, нуклонов
А.
Для оценки времени жизни ядра при его распаде с вы­
летом протона часто используется, как и в случае альфараспада, квазиклассическая теория Гамова. Считается, что
взаимодействие протона с остальными нуклонами приво­
дит к формированию квазистационарного состояния, ко­
торое распадается с вылетом протона. Как обычно (см.
(4.1)-(4.6)), взаимодействие протона с остовом ядра опи­
сывается четырьмя слагаемыми, [49,54,55]:
Vtot(r,Ro,d,j,£) = Vn{r,Ro,d) + V es(r,R0, d , j ,£) +
+ V c (r) + Ve(r). (9.2)
Ядерная часть взаимодействия обычно параметризуется
потенциалом Вудса-Саксона:
спин-орбитальное взаимодействие протона и ядра пропор­
ционально градиенту потенциала Вудса-Саксона
V ts i ^ R cd J y i )
х d
х d
Vo
r dr 1 + exp ((r - Ro)/d)
Vq
^ j —$ +
(9.4)
2r dr 1 + exp ((r - Ro)/d) \ - ( ^ + 1 ), j = £ — \ > 0,
кулоновское взаимодеиствие протона с протонами ядра
представляется в виде кулоновского взаимодействия про­
тона с остовом ядра радиуса R c с равномерно распреде­
ленным зарядом
(Z-l)e2
Г
Vc(r) - ^ ( z - i)e2
Rc
для г > Rc,
2
, для г < Rc,
(9.5)
и центробежный потенциал равен
V,(r) =
h2£{£ + 1)
(9.6)
2Mjvr2
Здесь
- радиус потенциала Вудса-Саксона в (9.4), кото­
рый близок к радиусу распределения плотности нуклонов
в ядре и радиусу кулоновской части потенциала Rc, d диффузность потенциала, которая близка к диффузности
распределения плотности нуклонов, е - заряд протона, Мдг
- масса нуклона, £ и j - орбитальный и полный угловой
момент нуклона.
Для описания излучения протонов из ядра наиболее
подходящей является параметризация Немировского-Чепурнова [54], так как она приводит к хорошему описанию
положений уровней возле поверхности Ферми. В этом слу­
чае параметры взаимодействия (9.2) - (9.6) равны: Rq —
1 ,2 4 а 1/ 3 фм, d = 0,63 фм, У0 = —53,3(1 + 0 ,63(A —2Z)/A)
МэВ, х - 0,263(1 + 2(А - 2Z)/A) фм2.
192
На рис. 9.2 приведены различные вклады в потенциал
взаимодействия между протоном и ядром-остовом 184РЬ,
а также полный потенциал взаимодействия при I = О
и j — 1/2. t — 5 и j = 9/2, а также £ = 5 и j = 11/2.
Такое взаимодействие соответствует протонному распаду
ядра 185Bi - » 184РЬ +р. Как видно вклады всех частей по­
тенциала оказываются весьма важными. Сшш-орбитальная часть существенно влияет на потенциал на расстоя­
ниях, близких к радиусу ядра. В случае £ ф О полный
потенциал сильно увеличивается на малых расстояниях в
результате вклада центробежного члена.
жизни ядра при вылете из него протона равно
ft I112
Тщ = - у - ,
(9-7)
Г = - T (Q „),
Т
(9.8)
т
„ч
где
ширина распада,
г°
•о аг
dr
т
=
2к
щ
=
2М Г
=
,
t
—
,
(9.9)
- время между столкновениями протона с барьером, v(r)
- скорость протона, а
T{Qp) = 1/{1 + exp[^(Q p)]},
(9.10)
- коэффициент прохождения барьера, который рассчиты­
вается в приближении ВКБ и определяется действием
A ( Q P) = - Ja \j2M(Vtot{r, Rq, d,j,£) — Qp)dr.
193
(9.11)
Рис. 9.2. Ядерная Vn, спин-орбитальная V(s, кулоиовская Vq,
и центробежная Vt части потенциала и полный потенциал вза­
имодействия Vtot между протоном и ядром-остовом 184РЬ для
£ = 0 и ;у = 1/2 вверху, для £ = 5 и j = 9/2 в центре и для £ — 5
и j = 11/2 внизу.
194
Величина действия определяется полным потенциалом
взаимодействия Vtot(r,Ro,d,j,£) (9.2) и точками поворота
с, сі и 6 (рис. 9.3). В точках поворота величина полного
потенциала совпадает с энергией Q, выделяемой при про­
тонном распаде (9.1). Положение всех точек поворота за­
висит от £, однако положение внутренней точки поворота
с наиболее существенно зависит от I. Точки поворота а и
с определяют частоту столкновения протона с барьером,
а между точками поворота а и b происходит подбарьерное туннелирование, т.е. эти точки определяют проницае­
мость барьера. Экспериментальная величина энергии про­
тона 1,4 МэВ взята из работы [66].
Рис. 9.3. Протон-ядерные потенциалы для различных зна­
чений полного спина системы и углового момента.
Высота барьера зависит от £ и интеграл действия суще­
ственно увеличивается, а следовательно, и проницаемость
барьера существенно уменьшается с величиной углового
момента, при этом зависимость высоты барьера от величи­
ны j при данном і слабая. Таким образом, при одинаковой
энергии отделения протона, протоны, занимающие орби­
тали с большим значением і имеют значительно больший
период полураспада. Этот вывод подтверждается точны­
ми расчетами.
Используя соотношения (9.2) - (9.11), можно вычис­
лить времена жизни (периоды полураспада) сферических
ядер, связанные с вылетом протонов. Результаты расчетов
представлены в табл. 9.1 [243]. Отметим, что квантовые
числа состояния, на котором находится последний про­
тон в ядре |fB i, экспериментально неизвестны, поэтому
расчеты сделаны на основе теоретических моделей. Для
протонного уровня Ферми в этом ядре возможны две раз­
личных конфигурации орбитали 3si/2 и ІЛ-д/2 - При этом
конфигурация с большим £ имеет на 4 порядка большее
время жизни ядра |§°Ві по отношению к эмиссии протона.
Таблица 9.1. Периоды полураспада ядер с вылетом про­
тонов, вычисленные в квазиклассическом приближении: Qp энергия протона, (9.1), n£j - квантовые числа уровня,
и
Ті /2 - экспериментальное и теоретическое значение периодов
полураспада.
Ядра
109т
53 Х56
Qp кэВ
n£j
829І4
696ТИ178
696Т т 78
тф
2сі5/2
ТІП
(100 ± 5) мкс
12 мкс
1140±5
ІЛ.ц/2
(235 ± 27) мс
530 мкс
1210І5
1^11/2
(72 ± 23) мс
81 мкс
5в і 98
1611±9
Зб'і/2
(44 ± 16) мкс
2,5 мкс
83 Bigs
1611±9
■l/lg/2
(44 ± 16) мкс
32 мс
і
Теперь обсудим особенности вылета протонов из
аксиально-деформированных ядер, которые рассматрива­
лись в [234,235,237,239]. В этом случае одночастичная вол­
новая функция в связанном и квазистационарном: состоя­
ниях характеризуется значениями четности тс и проекцией
полного углового момента частицы на ось симметрии ядра
О. В аксиально-деформированных ядрах эти величины яв­
ляются интегралами движения [47,48]. Поэтому волновая
функция может быть разложена в ряд по парциальным
спин-угловым волновым функциям с фиксированной про­
екцией полного спина [235]:
фп- И = f ' ( r , е,ф ) = £ - а - Ц у , ( е , Ф)51/21да. (9.12)
tj
Радиальные волновые функции фп“ (г) удовлетворяют си­
стеме связанных уравнений
4 (4
dr2
+
іл
1) _
jj.
« ? ' м = £ < • £ “ S 'W - (9ЛЗ>
Отметим, что различные компоненты волновой функции
связаны с разными значениями £, поэтому, как и в случае
сферических ядер, компоненты с найменшими значениями
£ будут определять период вылета протона из деформиро­
ванного ядра. Численное решение связанных уравнений
достаточно сложное, однако принципиальных отличий от
случая вылета протонов из сферических ядер нет.
9.3.
Дву протонный распад ядер
Вылет двух протонов из ядра (двупротонный распад яд­
ра) возможен, когда энергия этого канала Q2p, т.е. энергия
отделения этих протонов от ядра, положительна
<Эзр = B ( Z - 2, N ) - B ( Z , N ) > 0.
(9.14)
На рис. 9.4 приведены ядра, нестабильные относительно
вылета двух протонов в зависимости от числа нуклонов
197
и протонов. Видно, что положительные значения Q2p воз­
можны в широкой области протонно-избыточных ядер, од­
нако количество двупротонных излучателей меньше ко­
личества ядер, нестабильных относительно вылета одно­
го протона (рис. 9.1 и 9.4). Как правило, ядра, являю­
щиеся двупротонными излучателями, также являются и
одно-протонными излучателями. Величины Q2p меняются
в пределах от десятков кэВ до 8,5 МэВ.
Рис. 9.4. Изотопы, испытывающие двупротонный распад,
и долина бета-стабильности в зависимости от числа нуклонов
А.
Два протона могут вылетать как последовательно один за
другим А —> (А —1) + р —> (А —2) + р + р, так и одновременно
А —> (А —2) + р + р. Последний случай - это так называемый
демократический распад, когда происходит распад ядра на три
части одновременно. Взаимосвязь между двумя этими процес­
сами весьма интересна и в настоящее время является предме­
том интенсивных исследований [238,239,244,245]. Одной из ин­
198
тереснейших проблем двупротонного распада является вопрос
о направлениях испускания протонов. На рис. 9.5 приведена
фотография из реакционной камеры, на которой зафиксиро­
ваны два трека от протонов, испущенных в противоположных
направлениях (вверх и вниз) из ядра 45Ре [245]. Это обуслов­
лено тем, что протонам выгодно вылетать в противоположные
стороны, так как в этом случае минимальна энергия их кулоновского взаимодействия.
Рис. 9.5. Фотография трека останавливающего ядра 45Fe,
из которого вылетают два протона в противоположные сторо­
ны.
9.4.
Распад ядра с вылетом
кластеров
Спонтанный вылет кластера с Zc протонами и Nc нейтронами
из ядра (кластерный распад ядра) возможен, когда положи199
тельна энергия этого распада
Q = Qze,Ne =
B{Z —Zc, N —Nc) +
+B(ZC, Nc) - B(Z, N) > 0.
(9.15)
На рис. 9.6 приведены значения Q для канала с вылетом
кластера 14С из ядра в зависимости от заряда и массового чис­
ла ядра. Как видно, положительные значения Q возможны в
широкой области ядер. Причем испускание кластеров возмож­
но как для ядер, лежащих в окрестности линии бета-стабиль­
ности, так и нейтронно- или протонно-избыточных. Величина
Q увеличивается с ростом числа нуклонов в ядре.
120
Рис. 9.6. Значения Q для излу чения 14С из ядра как функ­
ция числа нуклонов А и протонов Z.
Кластерный распад является глубоко подбарьерным про­
цессом. Для экспериментального наблюдения кластерного рас­
пада ядер важной характеристикой является разница между
высотой барьера потенциала взаимодействия V\xw кластера с
200
дочерним ядром и Q. Чем больше эта разница, тем более подбарьерным процессом является эмиссия кластера из ядра и, по­
этому, менее вероятным. На рис. 9.7 приведена разница Q —Vbax
при распаде ядра, с вылетом 14С для различных А и Z.
Из сравнений величин на рис. 9.6 и 9.7 видно, что наимень­
шая разница между величиной Q и высотой барьера потенциа­
ла взаимодействия Vbar наблюдается в области А ~ 220 —240. В
этой области ядер и относительно большие значения Q. Имен­
но в этой области ядер и наблюдался распад с вылетом 14С
(табл. 9.2). Также предпринимались безуспешные попытки об­
наружить кластерный распад в более легких ядрах.
Рис. 9.7. Разница между величиной Q и высотой барьера,
потенциала взаимодействия Vbar между 14С и дочерним ядром
при разном количестве нуклонов А и протонов Z в материн­
ском ядре.
К 2010 г. были известны 20 ядер, у которых обнаружен: кла­
стерный распад: 2'21Fr, 2 2 1 - 2 2 4 , 2 2 6 ^ 22 3,2 25 А ( , 2 2 8 ,2 3 0 т Ь ) 2 3 1 р а>
2 3 0 ,2 3 2 —2 3 6 ^ 2 3 б ,2 3 8 р 1Д и 2 4 2 Q m p j 3 различных ядра-излучателей
201
могут вылетать различные кластеры. В частности, при кла­
стерном распаде был идентифицирован вылет ядер 14С, 20О,
23F
j
2 2 . 2 4 - 2 6 ^ 28,30M g . 32,34Si>
Ядра, которые испускают кластеры, как правило испуска­
ют и альфа-частицу. В экспериментах измеряется относитель­
ная вероятность испускания кластера по отношению к альфараспаду. Из экспериментальных данных [246—248] (табл. 9.2)
следует, что процесс кластерного распада очень редкий по срав­
нению с альфа-распадом, а периоды полураспада ядер по отно­
шению к кластерному распаду очень велики, что существенно
затрудняет его исследование. В табл. 9.2 Q - величины энер­
гий в МэВ, высвобождающиеся при кластерном распаде; В вероятность испускания кластера по отношению к вероятности
альфа-распада, величины периодов кластерного распада, ядер
Ti/2 при расчете десятичных логарифмов взяты в с).
В настоящее время существуют два. различных подхода к
описанию вылета кластеров из ядер [237,240,248,249,251]. Один
из них подобен теории альфа-распада или протонного распа­
да ядер. В этом случае предполагается, что с некоторой веро­
ятностью кластер сформировался в ядре и находится на его
поверхности. Вылет кластера, обусловлен его туннелировани­
ем сквозь потенциальный барьер, образованный кулоновским
и ядерным взаимодействиями между кластером и дочерним
ядром [249,250].
В другом подходе предполагается постоянное зеркальноасимметричное изменение формы ядра. т.е. в ядре равновесной
формы возникает выпуклость, которая растет. Эта выпуклость
перерастает в диядерную систему с шейкой, эволюционирует,
шейка рвется и кластер испускается ядром [237,240,251-254].
Этот подход рассматривает испускание кластера, как процесс
сильно асимметричного деления.
202
Таблица 9.2. Ядра, испускающие кластеры. Детали см. в
тексте.
Ядро
114Ва
Кластер
221 F r
14C
14c
14c
14с
221Ra
222Ra
223Ra
224Ra
12C
14C
225 Д е
14C
226Ra
14c
20o
23F
22®Th
231Pa
23°Th
24Ne
232Th
24-26Ne
231Pa
24Ne
230у
232-ц
233
"34 U
235u
236-y
232-y
22Ne
24Ne
24,25Ne
24’26Ne
24’25Ne
24>26Ne
234u
28Mg
28Mg
28Mg
235и
28,29M g
236 у
28,30Mg
23 T N p
3°Mg
236pu
238pu
28Mg
28-3°Mg
240Pu
241Am
242Cm
34Si
34Si
34Si
233u
Q
18,3-20,5
31,28
32,39
33,05
31,85
30,54
30,48
28,21
44,72
51,84
В
10~4
(8,14 ± 1 ,14)10~13
(1,15 ± 0 ,91)10~12
(3,7 ± 0 ,6)10~10
(8,5 ± 2 ,5)10_1°
(4,3 ± 1 ,2)10-11
(6 ,0 ± 1 ,3 )1 0 ~ 12
(3,2 ± 1 ,6)10-11
(1 ,1 3 ± 0 ,2 2 )1 0 ~ 13
<
9,97+2g
57,78
55,62,55,97
60,42
61,40
62,31
60,50,60,75
58,84,59,47
57,36,57,83
55,96,56,75
74,32
74,24
74,13
72,20,72,61
71,69,72,51
75,02
79,67
75,93,77,03
90,95
93,84
96,53
203
(5,6 ± 1 ,0)10-13
< 2,82 •10-12
6 •io~12
(4,8 ± 2 ,0)10~14
(2,0 ± 0 ,5)10-12
(7, 5 ± 2 ,5)10~13
(9,06 ± 6 ,6 0 ) 10~14
(8,06 ± 4 , 32)10-12
< 9 , 2 - Ю - 12
< 1 ,18A10-13
< 1,30 •i o - 15
C\
°-0,6
< 1,8 •10~12
2,0 •10-13
< 8,0 ± 10-14
2,0 •10-14
(5,62 ± 3 ,97)10-17
< 6 •i o - 15
< 2,6 •10-13
Ю-16
lo g io ( r i/2)
3,63
14,52
13,39
11,01
15,06
15,86
17,16
21,19
20,72
>
26,02
24,61
>29,20
23,23
19,57
21,08
24,83
25,92
27,42
>25,90
>22,26
>27,59
27,54
>28,09
27,58
>26,93
21,67
25,70
>25,52
>22,71
23,15
Рассмотрим сначала первый подход. Взаимодействие меж­
ду кластером и дочерним ядром состоит из кулоновской и ядер­
ной частей
Vtot(r)
ZcZd є2
(9.16)
где г - расстояние между центрами масс кластера, и дочернего
ядра, Z(. и Z& - число протонов в кластере и дочернем ядре,
V£_d(r) - ядерное взаимодействие между кластером и дочер­
ним ядром. Компоненты этого взаимодействия и полное взаи­
модействие для системы 14С+208РЬ для параметризаций ядер­
ного взаимодействия потенциалом потенциала из работы [255]
и (BW) из работы [249] приведены на рис. 9.8. Детальное срав­
нение различных аппроксимаций потенциалов для описания
кластеров дано в [250]. Полные потенциалы взаимодействия
между кластером и ядром на. рис. 9.8 подобны полным потен­
циалам между протоном и ядром на рис. 9.2-9.3.
80-
60-
Ra=>14C+208Pb
222
40
е= 3 3 М эВ
„2 0
И
сг>
S.o
'v4
-20
-4 0 -
-60
14^ . 208п.
С+ РЬ потенциал
------ полньш потенциал
------ ядерная часть
------ кулоновская часть
....... полный потенциал (BW)
------ ядерная часть (BW)
і
Г, ф м
25
10
15
20
Рис. 9.8. Ядерная и кулоновская части полного потенциа­
ла взаимодействия между ядрами 14С и 208РЬ для двух пара­
метризаций ядерной части потенциала [249] BW и [255].
204
Время жизни ядра по отношению к эмиссии кластера, мож­
но определить с помощью соотношения
тт = ^ 5 ,
(9.17)
где ширина. Г определяется соотношением (9.8) с коэффициен­
том прохождения
-I
T (Q) = 1 1 + exp J Ґ V2M(Vtot(r) - Q)dR
Гі Jo.
, (9.18)
параметр S, который определяет вероятность представления
материнского ядра в виде кластера и дочернего ядра. Вре­
мя между столкновениями кластера с барьером можно также
оценить из соотношения (9.9), в котором необходимо произве­
сти замену протон-ядерного потенциала на кластер-ядерный
K,ot(f)- Используя подобный подход в работе [249], успешно
описаны периоды кластерного распада ядра.
В другом подходе предполагается, что вылет кластера обу­
словлен эволюцией формы ядра. В этом случае потенциальный
барьер определяется энергией деформации формы ядра,, в ко­
торую вносят вклад три слагаемых, связанных с поверхност­
ной £?surf (г), 5, £) и кулоновской i?c(r), Б, S) энергиями, а также
с оболочечной поправкой Ssheii(if), 8, £). Оболочечная поправка,
поверхностная и кулоновская энергии деформированного яд­
ра и зависят от параметров формы - г) и 5, которые, соответ­
ственно, описывают вытянутость и лево-правую асимметрию
формы. Отметим, что для описания формы ядер можно вво­
дить еще дополнительные параметры, совокупность которых
обозначим £. Общее выражение для энергии деформации ядра
имеет вид
■£*/(*):8’ 5) =
5,1) + Яс(т], 5,1) + OsheiiCty 5,1). (9.19)
Отметим, что первые два. члена связаны с макроскопической
частью энергии, в то время как последнее слагаемое - оболо­
чечная поправка - имеет микроскопическую природу (см. гл.
4). Конкретные выражения для поверхностной и кулоновской
205
энергий зависят от формы параметризации поверхности, одна­
ко описание процесса от этого не меняется. Д ля описания кла­
стерного распада было предложено несколько различных па­
раметризаций форм (см. напр., [240,251,252,254]). Параметри­
зации формы включают как однотельные, так и двух тельные
фигуры, которые плавно переходят друг в друга при изменении
параметров 7], 5,
Поверхностное взаимодействие учитывает и
ядерное взаимодействие между разделенными формами. В та­
ком подходе время жизни ядра по отношению к эмиссии кла­
стера определяется с помощью соотношений, подобных (9.17) и
(9.18). При этом частота столкновений с барьером может опре­
делятся иначе, а коэффициент прохождения барьера равен
T( Q)
—
<1+ехр
2
сЬ
2 рб
ds[2B(s)'.
ПJa
Н Ja
-1
x ( E de/(r](S) ,5 ( S) ,5 ( S) ) - Q ) ] 1/2] }
,
(9.20)
где s - параметр, определяющий траекторию туннелирования,
от которой зависят величины деформаций 7], б и с, а
Р(Л
а д
_
-
і,
, n
д Ф ) д Ф ) , р 58(s) dHs)
~ а г ~эГ + в*
-Q T +
дф)
дф)
, „
+Вй“8 Г “ эГ + ^
дф)
дф)
+в* “ а Г ~1Г + 5
дф )
дф)
,
1 )Г “ ё Г +
Щ з) д ф )
5
5
1 Г -
(9 21)
- эффективный массовый параметр, а Вф - массовый тензор.
Периоды кластерного распада ядер были описаны в рамках
модели сильно асимметричного деления в работах [240,251.252,
254,256].
Кластерный распад ряда ядер также исследовался в мо­
дели сильно асимметричного деления с использованием мик­
роскопических сил Гоньи в [253], которые являются нуклоннуклонными силами конечного радиуса действия, см. раздел
3.3. Такой подход является наиболее последовательным при
описании систем касающихся ядер.
206
Недавно периоды кластерного распада были рассмотрены
в рамках многомерной модели кластерного распада [257], кото­
рая предполагает существование кластера в материнском ядре
и учитывает деформацию форм кластера и дочернего ядра в
процессе эмиссии. Многомерная модель использует формализм
теории деления. Этот новый подход является весьма перспек­
тивным.
207
Глава 10
Свойства и распад
компаунд-ядер
10.1.
Введение
При прохождении ядерных реакций может сформироваться
промежуточная система энергия возбуждения которой равно­
мерно распределена, между всеми степенями свободы. Такая
возбужденная система называется компаунд-ядром. Полная
энергия высоковозбужденных состояний атомных ядер фик­
сирована законом сохранения энергии и поэтому в ситуации,
когда возможно статистическое описание ядра, его состояния
должны относится к микроканоническому ансамблю. В
компаунд-ядре энергия возбуждения равномерно распределена
между всеми степенями свободы, и характеристикой системы
является температуру системы Т, которая определяется сред­
ней энергией є, приходящейся на одну степень свободы. Поэто­
му состояния компаунд-ядра должны формировать большой
канонический ансамбль.
Вылет частиц с энергией є > Т из компаунд-ядра, возмо­
жен в результате статистических флуктуаций энергии. Вслед­
ствие таких флуктуаций энергия может сконцентрироваться на
определенном нуклоне (или совокупности нуклонов) и он мо­
жет вылететь. Время жизни компаунд-ядра может на несколь­
208
ко порядков превышать время пролета, нуклоном ядра (~ 10-21
с). В результате ядро ’’забывает” информацию о том, как оно
было возбуждено, и процесс возбуждения компаунд-ядра и его
распада становятся независимыми.
Компаунд-ядро может образовываться в различных ядер­
ных реакциях, например, захвата нейтронов, поглощения гамма-квантов, захвата разнообразных заряженных частиц (про­
тонов, дейтронов, тритонов, альфа-частиц и др.), реакциях сли­
яния ядер и т.д. Представления о компаунд-ядре и ядерных ре­
акциях, происходящих с его образованием, были введены Бо­
ром [258] в 1936-1937 гг.
Впервые общее выражение для вычисления сечения компаунд-ядерного процесса в области непрерывного спектра как
составного, так и остаточного ядер было получено Вайскопфом
и Евингом (1940) [259]. Они исходили из принципа детально­
го баланса, т.е. условия равновесия между процессами обра­
зования и распада ядра. Было показано, что энергетический
спектр /(є) частиц, которые вылетают при распаде компаундядра, близок к распределению Максвелла с постоянной темпе­
ратурой
/(є) ~ єе~е/ г .
(Ю.1)
Согласно кинетической теории газов, такой спектр имеют
испаряющиеся из жидкости молекулы. Поэтому его называют
спектром испарения, а сама теория Вайскопфа-Евинга полу­
чила. название модели испарения. Процесс испарение приводит
к вылету частиц преимущественно низких энергий со средней
энергией є ~ Т.
Выражения для вычисления сечения компаунд-ядерних
процессов с учетом законов сохранения полного углового мо­
мента, четности и (приближенно) унитарности матрицы рассе­
яния были предложены Вольфеиштейном (1951), а также
Хаузером и Фешбахом (1952) [260,261]. Такой подход был на­
зван теорией Хаузера-Фешбаха. Его особенностью является
точный учет спектра дискретных состояний остаточных ядер
и их квантовых характеристик. С разными модификациями
метод Хаузера-Фешбаха. широко используется в практических
209
расчетах. Он качественно согласовывается с большим количе­
ством экспериментальных данных, хотя существуют и некото­
рые расхождения. Впервые влияние корреляций между шири­
нами распада составного ядра был учтено Молдауером [262264]. Первый простой практический метод вычисления сечений
реакций, который базировался на численном моделировании
элементов матрицы рассеяния и согласовывался с ее унитар­
ностью, был разработан Хофманом, Рихертом, Тепелем и Валденмюллером [265]. Аналитические выражения для сечений в
случае большого числа каналов были получены в [266].
Точный метод вычисления сечений при интерференции пря­
мого и компаунд-ядерного механизмов реакций предложили
Енгельбрехт и Вайденмюллер [267]. Метод сводится к перехода
в пространство новых каналов, между которыми отсутствуют
корреляции (преобразование Енгельбрехта-Вайденмюллера).
Упрощенный метод расчета сечений компаунд-ядерных реак­
ций, который адекватно аппроксимирует результаты числен­
ных моделирований, и общий метод вычисления преобразова­
ния Енгельбрехта-Вайденмюллера были предложены в рабо­
тах [268-272].
Самым простым случаем, когда необходимо учитывать кор­
реляции между входным и исходным каналами, является упру­
гое рассеяние, где эти каналы эквивалентны. Теоретически и
экспериментально показано, что в области квазинепрерывного спектра учет корреляций приводит к увеличению сечения
упругого рассеяния в два раза в сравнении с теорией ХаузераФешбаха. Корреляции между входным и выходными каналами
также необходимо учитывать и в случае небольшого количе­
ства каналов распада. Обычно после открытия 4-5 неупругих
каналов влиянием корреляций можно пренебречь.
Перед образованием компаунд-ядра в ядерных реакций мо­
гут сформироваться составные системы с энергиями возбуж­
дения равномерно распределенными между конечным числом
частиц. Такие составные системы относят к предравновесным
стадиям образования компаунд-ядра, а вылет частиц из таких
систем называют предравновесным [273-275].
Впервые статистическую теорию вылета частиц на предравновесных стадиях образование компаунд-ядра предложил
210
Грифин (1966) [276]. Он использовал такие положения: 1) каж­
дую стадию образования компаунд-ядра необходимо дополни­
тельно характеризовать количеством (п) возбужденных квази­
частиц (частиц и дырок, или ’’экситонов” в терминологии Грифина); 2) в каждом экситонном состоянии энергия возбужде­
ния равномерно распределяется между возбужденными экситонами (условие парциального равновесия); 3) процессы обра­
зования экситонного состояния и вылета из него частиц мож­
но считать независимыми, а вероятность вылета частицы из
данного экситонного состояния можно вычислить из условия
равновесия между процессами его образования и распада.
Общий метод расчета времени жизни системы в состоя­
нии из п экситонов с помощью кинетического уравнения для
вероятности заселения экситонных состояний с учетом всех
возможных внутриядерных переходов и вылета частиц впер­
вые предложен в [277,278]. Эмиссия гамма-квантов в экситонной модели впервые была исследована в [279-281], а вылет
сложных частиц - в [282,283]. Закон сохранения момента ко­
личества движения был учтен в [284], что дало возможность
рассмотреть угловые распределения продуктов прекомпаундреакций [285]. Единый кинетический подход для описания вы­
лета частиц на предравновесной и равновесной стадиях был
предложен в [286,287], вылет нескольких частиц рассмотрен
в [288-291].
Одной из важнейших особенностей вылета частиц на предравновесных стадиях реакций является увеличение числа ча­
стиц высоких энергий по сравнению с их вылетом из компаундядра. Действительно, на предравновесных стадиях количество
возбужденных частиц меньше чем в равновесии, и поэтому
средняя энергия, которая приходится на одну возбужденную
частицу, будет больше чем при термодинамическом равнове­
сии. Следовательно будет большей и средняя энергия частицы,
которая вылетает. На начальных стадиях прекомпаунд реак­
ций угловое распределение вылетающих частиц существенноасимметрично .
Следует отметить, что в феноменологических экситонных
моделях статистическим образом учитываются как собствен­
но предравновесные процессы, когда перед вылетом частицы
211
энергия возбуждения равномерно распределяется между воз­
бужденными частицами, так и прямые процессы. Вопрос о кор­
ректном разделении прямых и предравновесных процессов
впервые был рассмотрен на примере неупругого рассеяния ней­
тронов [292, 293]. Оказалось, что при энергиях возбуждения
~ 20 МэВ эмиссия нейтронов из начального экситонного состо­
яния является на ~ 80 -f 90% прямым неупругим рассеянием.
Микроскопические статистические подходы для описания
многостадийных ядерных реакций, в том числе с разделением
вкладов прямых и предравновесных процессов, впервые были
предложены в работах [294-297].
Ниже обсуждаются некоторые аналитические выражения
для расчета плотности уровней и вероятностей распада высоко­
возбужденных компаунд-ядер. Более полно различные прибли­
жения и модели для описания плотностей уровней и статисти­
ческих свойств атомных ядер рассмотрены в [47,134,275,298302].
10.2.
Плотность уровней
атомных ядер
Одной из основных характеристик высоковозбужденных состо­
яний атомных ядер в области квазинепрерывного спектра яв­
ляется плотность уровней р, которая определяет количество
уровней A N расположенных в некотором интервале энергии
от Е\ до Е‘У.
J ^ 2 р (Е) <1Е = N(E2) - JV(JE7i) = A N = Y ^ •
(10.2)
Здесь N(E) - число уровней с энергией меньше Е, а суммиро­
вание выполняется по всем уровням в рассматриваемом интер­
вале энергий. В соответствии с этим определением плотность
уровней с энергией Е можно записать в виде суммы 6-функций
Дирака:
(10.3)
212
где Е і - полная энергия системы в г-ом состоянии и суммиро­
вание выполняется по всем состояниям системы.
Это выражение соответствует плотности уровней в многочастичной системе с фиксированной энергией. Со статистиче­
ской точки зрения состояния такой системы образуют микрокаионический ансамбль.
Согласно (10.2), среднее значение < р (Е) > плотности уров­
ней с энергией Е представляет собой отношение количества
уровней AN (Е), которые расположены в малом интервале энер­
гии АЕ вблизи Е
AN (Е)
~&Ш~'
< Р(£ )
где интервал АЕ должен быть значительно больше среднего
расстояния между уровнями и значительно меньше энергии
возбуждения.
В соответствии со статистической механикой (см., напр.,
[303-305]), при рассмотрении свойств системы статистически­
ми методами необходимо выполнять усреднения по всем кон­
стантам движения системы, что приводит с такому выражению
для плотности уровней атомного ядра, состоящего из Z прото­
нов и N нейтронов:
р(Е, N, Z) = J 2 ЧЕ - Ei) b{Z - Zi) 5( N - N t ).
І
(10.4)
Для простоты ограничимся системой с одним сортом ча­
стиц и вычислим плотность уровней р(Е, А):
р(Е, A) = £ 5 ( Я - Е^ А ~
(10-5)
І
в этой системе как функцию энергии Е и числа частиц А.
Выражение для плотности уровней можно получить, ис­
пользуя преобразования Лапласа. Применяя прямое преобра­
зование Лапласа к соотношению (10.5) получаем выражение
213
для статистической суммы Z(p, а) большого канонического ан­
самбля (при вещественных р, а) [305]:
=
X) е_рв':+аАі =
= Гг exp
^ (г | е -р£:і+аЛі|г) =
(-ря +
а і ) ] = Z(P,а),
(10.6)
где Н - гамильтониан системы, а А - оператор числа частиц;
|г) - волновая функция системы в г-м состоянии
Н\і) = Еі\г);
А\і ) = А і \і ).
(10.7)
Если известно выражение для Z(B, а) при комплексных зна­
чениях параметров р, а, то применяя обратное преобразование
Лапласа, находим плотность уровней:
<1М)
Здесь величина S:
S^p, ot) = flE —аА + \nZ (а, р ),
(10.9)
при вещественных значениях параметров р, а является энтро­
пией системы, состояния которой принадлежат большому ка­
ноническому ансамблю.
Отметим, что в методе Фаулера-Дарвина плотность состоя­
ний системы вводится как величина, которая определяет боль­
шую каноническую сумму в интегральном виде (10.6) при лю­
бых значениях параметров р, а [299,306]:
Z(р,ос) = j ™ d E J™dAp(E, A)e~VE+aA.
(10.10)
При нахождении аналитического выражения для плотно­
сти уровней обычно используют метод перевала. В таком под­
ходе предполагается, что функция 5, (10.9), имеет резкий мак­
симум вблизи некоторой (седловой) точки с вещественными
214
значениями «о, (3Q. Поэтому в этой точке должны равняться ну­
лю первые производные S по параметрам:
0S(a,p)
д{і
О,
as(a,p)
да
ao.Po
0.
( 10 .11 )
од.Ро
Далее используется разложение S вблизи седловой точки в ряд
с точностью до квадратичных членов
S(a,p) ^ S(ao,p0) +
1 <925(а, В)
(Р - Р о ) 2 +
ОД.Ро
+
32S(a,p)
дадр
(а — а0)(Р — Р0) +
ao.Po
l d 2S(a,p)
+
2 да.2
(а-осо)2-
(10.12)
ОД,Ро
После замены переменных р = ро + гх\, а — ао + гх2 и приме­
нения формулы
(■ОО
/--ОО
_ 1 у ' 2
dx-l
(ІХ2 є 2 *
J — ОО
J — ОО
2л
(0.ц0'22 —Я-із^гі)1/ 2
^
^
находим упрощенное выражение для плотности уровней (10.8):
р (Е, А)
ехр [5 (ао, Ро)]
2к D 1/2
(10.14)
где S (ао, ро) - энтропия системи (10.9), D - детерминант вто­
рых частных производных логарифма большой канонической
суммы Z(ao, р0):
Э21и Z
D=
да2
гЭ21п Z
<Щ
да
d 2l n Z
дадрі
Э21п Z
(10.15)
ОД.Ро
Уравнения (10.11) для седловых точек имеют вид
din Z
да
асьРо
А = 0,
(10.16)
дЫ Z
эр од,р0 + Е = 0.
215
Эти формулы представляет собой не что иное как уравнения
термодинамического состояния большого канонического ансам­
бля, которые определяют его термодинамические характери­
стики, а именно, его температуру Т = 1/(30 (в единицах посто­
янной Больцмана) и химический потенциал jji(T') = ао/|Зп.
С физической точки зрения метод седловой точки эквива­
лентен методу максимума энтропии и приводит, как и в случае
компаунд-ядра., к описанию плотности уровней ядра с помо­
щью характеристик большого канонического ансамбля.
Вычислим плотность уровней в модели независимых фер­
мионов. В такой ситуации энергия и количество частиц в мно­
гочастичном состоянии |г) равны
(10.17)
V
V
Здесь ev - энергии одночастичных уровней, а. щ{і) - их числа,
заполнения одночастичных уровней в многочастичном состо­
янии |г), которые для фермионов могут принимать два. зна­
чения: либо 0, либо 1. Учитывая эту формулу, выражение для
большой канонической статистической суммы (10.6) можно пе­
реписать таким образом:
і
і
где сумма берется по всем состояниям системы г. Каждое од­
ночастичное состояние с индексом v может быть либо свободно
nv = 0, либо занято пу = 1. Поэтому
и Z можно представить в виде произведений
(10.19)
V
216
где эта сумма по состояниям системы г заменена на сумму по
одночастичным состояниям системы. V.
Статистические величины определяются для состояний
квазинепрерывного спектра с большой плотностью одночастич­
ных уровней (д), поэтому во всех выражениях с суммами по
одночастичным состояниям можно перейти к интегралам
zL/v
ї Г д Ш є . Тогда логарифм большой канонической ста­
тистической суммы (10.19) принимает вид
In 2Г(р, а)
=
In Д [l + е-Р^+а1 = ^
In 1 + е
poo
-P e + a
J0 deg(e) In 1 + e
-(3ev + a
( 10.20)
Здесь предполагается, что значения, одночастичных энергий
положительны и начинаются от нуля.
Преобразуем интеграл в (10.20) в предположении эквиди­
стантного одночастичного спектра д(е) = const, имеем
ГОО
= 9 ЬJo
'ОО
д Jo
+ 9
rfe ln
-a /p
a /p
-Л
„ a /p
de In
1 + e
de In
1 + e~
de In [ ( e p e- a + l ) e 'OO
de In l + e“
+ 5 „ a /p
de In 1 -he1 a] + g
+q (
J o ./ p
+
de (a - pe) +
rfeln [l + еГре+а . (10.21)
L
Приближенно вычислим первый интеграл из последней стро­
ки этого выражения с помощью дилогарифмической функции
dilog(x-) = Jj* jzidt со следующими свойствами dilog(1) = 0,
dilog(O) = тг/6, dilog(l + х) = —х + х 2 / 4 + ... при х —*■0. Учи217
тывая, что Jo/Р de (а - № =
•а/Р
fc
Jo
de In 1 + epe- a
1 Г«
J dx In [1 + e* a] =
P
7Ґ2
+ dilog (l + e a)
12
« . " W
<10-22)
f°° de In [l + e-pe+al = l f ° ° d x In Гі + е -ж+а1
Ja/(3
і
Q Ja
, (10.23)
12(3
получим простое выражение для логарифма большой канони­
ческой статистической суммы
с2
ж2
(10.24)
В соответствии с (10.16), параметры седловой точки (oto, (30)
являются решениями системы уравнений
Я - 9 (| , + | г )= 0 ,
- А + д% = 0.
(10.25)
Теперь найдем связь между j30 и ао, и энергией Ферми ер.
Из определений числа частиц А и энергии основного состояния
E q имеем
А = £ v = i 1 = 9 ,foF de = д eF,
(10.26)
E q = YZ=\ ev = 9 Г
dee = 2 eF ’
Из (10.25) следует A = g ^ . Сравнивая это выражение с соот­
ветствующей формулой из (10.26), находим
С помощью (10.25) - (10.27) получаем
Е
=
4
=
Ео + Е*,
+
4
=
2
4
+
<
f
t
2
=
£
0
+
“
T
2
=
(10.28)
где Т = 1/ро — температура системы с энергией возбужде­
ния Е* и параметром а энергетической зависимости плотности
плотности уровней:
=
= аТ2, а = ^ д .
(10.29)
Подставляя полученные соотношения в выражение (10.9), най­
дем, что в седловой точке энтропия равна
5(ою, Ро) = 2аТ = 2\/аЁ*.
(10.30)
В результате плотность уровней однокомпонентной ферми-системы принимает вид
р(Е*,А) = р(Е,А) =
2к^д
е«(“о.Ро) =
exp (2 у/аЁ*)
л/48Е*
(10.31)
Такое же выражение для плотности уровней получается и при
плавной зависимости плотности одночастичных состояний [47,
298]. В такой ситуации под д в (10.28), (10.29) надо понимать
одночастичную плотность вблизи уровня Ферми д = 5 (ер).
Аналогично можно вычислить плотность уровней в двухкомпонеитном ферми-газе с энергией возбуждения Е* с пол­
ным числом частиц А и с Z частицами одного типа (напр., А
нуклонов, Z протонов и A —Z = N нейтронов) [47,275,298,299]:
_ \Л ( _9о_ \
219
ехр (2у/аЕ*)
Здесь до = др + дп с gi = д(егр ) для одночастичной плотности
частиц типа gi вблизи соответствующей энергии Ферми, а тем­
пература и параметр а определяются выражениями из (10.29)
с до вместо д.
Плотность уровней в двухкомпонентной системе имеет та­
кую же экспоненциальную зависимость от энергии возбужде­
ния, как и однокомпонентной (ф. (10.31)) после замены до на
д, но предэкспоненциональный множитель изменяется.
Плотность уровней двухкомпонентного ферми-газа с А нук­
лонами со спином J с энергией возбуждения Е* в прибли­
жении малых угловых моментов, когда вращательная энер­
гия мала по сравнению с энергией возбуждения ядра, имеет
вид [47,275,298,299]
1/217(2^)]
"
2\/2т,а3
(10.33)
xp(E*,A,Z),
где р ( Е * , А , Z) определяется соотношением (10.32), а о2 - па­
раметр спиновой зависимости плотности уровней:
о 2 — —~ m 2 V a E * = пг2 доТ.
(10.34)
Здесь гп2 - среднее значение квадратов проекций угловых мо­
ментов одночастичных уровней на поверхности Ферми
(Ю.35)
=
J r - момент инерции сферического твердого тела с тем же рас­
пределением плотности нуклонов р('г), что и в ядре:
J T = M N J dV Or2 + y2)p(r),
(10.36)
M \si - масса нуклона. При использовании радиального распре­
деления в виде ступеньки с радиусом R ~ г о А 1/ 3:
Jr
=
rR
=
3/1
г
M n J d V ( x 2 + y 2) ^ ¥ e ( R ~ r ) =
rV R 2—z'2
г2к
" - L 4 ’■*]» <1фг ш ?
34
r,
=
(ііш>
=
220
В модели ферми-газа не учитывается взаимодействие нук­
лонов. В результате взаимодействия существенно изменяется
спектр возбуждения ядра,, и поэтому его плотности уровней.
В общем случае взаимодействие между нуклонами приводит
к изменению самого вида выражения для плотности уровней
по сравнению с моделью ферми-газа. Однако на практике для
плотности уровней ядра часто используют общее выражение
модели ферми-газа, модифицируя его параметры. Рассмотрим
простейшие методы учета в плотности уровней эффектов, свя­
занных с взаимодействием нуклонов.
Известно, что в ядрах существуют силы спаривания. В ре­
зультате их действия сил. в спектре многочастичной системы
фермионов существует щель возле уровня Ферми. При высоких
энергиях возбуждения нуклонные пары разрушаются и каж­
дый нуклон может возбуждаться индивидуально, что предпо­
лагалось при выводе формулы плотности уровней ферми-газа
(10.32). В простейшем варианте учета сил спаривания в плот­
ности уровней используется выражение модели ферми-газа с
заменой энергии возбуждения на эффективную энергию воз­
буждения £*ff,
для
ДЛЯ
для
для
четно-четных ядер,
нечетно-четных ядер, , _
четно-нечетных ядер, '
нечетно-нечетных ядер,
в которой энергия возбуждения смещена на величину протон­
ной 5Р И нейтронной б,г щелей. Для более точного учета вли­
яния сил спаривания на спектр уровней были предложены и
более адекватные подходы 1134,299-302,307]. В модели фермигаза с обратным смещением [308], сдвиг энергии и параметр
плотности уровней рассматриваются как подгоночные пара­
метры, и для всех ядер с известными экспериментальными дан­
ными по плотностям уровней были подогнаны значения этих
параметров.
Взаимодействие нуклонов определяет и самосогласованное
среднее поле ядра. Спектр одночастичных состояний нуклонов
в самосогласованном поле ядра отличается от равномерного и
неоднороден, что связано с оболочечной структурой ядер (см.
221
разд. 4.3). Ядра с заполненными оболочками состоят из коли­
чества нуклонов, соответствующих магическим числам и ха­
рактеризуются низкой плотностью уровней возле поверхности
Ферми. В этом случае оболочечные поправки имеют отрица­
тельный знак, что увеличивает абсолютное значение энергии
связи ядра (см., напр., рис. 10.1 в окрестности ядра 208РЬ).
Ядра же, расположенные между магическими числами, имеют
более высокую плотность уровней, а оболочечные поправки в
этом: случае имеют положительный знак. Таким образом, ве­
личина плотности уровней в ядрах и оболочечная структуры
ядер взаимосвязаны.
Рис. 10.1. Феноменологические оболочечные поправки, ис­
пользующиеся при расчете плотности уровней [134].
Обычно оболочечная структура ядра учитывается с помо­
щью введения зависимости параметра а плотности уровней от
величины оболочечной поправки. При расчете оболочечной за­
висимости параметра а, как правило, используются феноме­
нологические оболочечные поправки (см. рис. 10.1), которые
222
определяются как разница между экспериментальной величи­
ной энергии связи ядра и энергией связи этого ядра, вычислен­
ной с помощью каких-либо эмпирических формул, подобных
формуле Вайцзеккера..
Выражение для параметра а плотности уровней в котором
оболочечные эффекты определены, используя оболочечные по­
правки к энергии 5W(A, Z), было предложено в [309]
а = а,(А, Z, Е*)
=
ainf(A, Z) х
В этом соотношении также учтено уменьшение влияния оболо­
чечной поправки с ростом энергии возбуждения ядра Е*.
Экспериментальная величина асимптотического массового
параметра довольно плавно зависит от числа нуклонов в ядре
(см. рис. 10.2) и параметризуется гладкой зависимостью
ainf(A Z) ~ 0,0722Л + 0 ,195Л2/3 МэВ-1 .
Числовые значения в этом соотношении соответствуют значе­
нию параметра у ~ 0,41 МэВ-1 , описывающего уменьшение
влияния оболочечных поправок на а с ростом энергии возбуж­
дения.
Из рис. 10.2 и в соответствие с формулой (10.39) следует,
что при высоких энергиях возбуждения оболочечные неодно­
родности спектра слабо проявляются, а параметр а близок к
своему асимптотическому значению а*п/. При малых значени­
ях энергии возбуждения неоднородности спектра оказывают
существенное влияние на величину а, которая значительно от­
клоняется от асимптотических значений в соответствии с ве­
личинами оболочечной поправки. Отметим, что детальные ис­
следования плотности уровней в ядрах показывают, что асимп­
тотические параметры плотности уровней, найденные из экс­
периментальных данных, все же несколько отличаются от со­
ответствующих значений, вычисленных с помощью плавных
функций.
228
Рис. 10.2. Зависимость параметра плотности уровней для
модели ферми-газа с обратным смещением от числа нуклонов
в ядре [134] при высоких (о) и низких (близких к порогу отде­
ления нейтрона) (х) энергиях возбуждения; сплошная линия щп/{А, Z) = 0,0722А + 0,195А2' г МэВ-1 .
Взаимодействие между нуклонами приводит к появлению
коллективных возбуждений в ядре. Простейшими коллектив­
ными возбуждениями в ядрах являются колебания поверхно­
сти, а также вращения, в особенности, деформированных ядер.
Эти состояния не учитывались при вычислении плотности уров­
ней в модели ферми-газа и должны быть учтены дополнитель­
но. Рассмотрим, следуя [47,301], влияние коллективных рота­
ционных и вибрационных состояний на плотность уровней в
аксиально-деформированном ядре в адиабатическом прибли­
жении модели Бора- Моттельсона с полным гамильтонианом и
волновыми функциями вида
Н
=
Нт + Hvlb + Нгои
(10.40)
ф
=
Фін ® Фл’іЬ ® Ф кл = l*t) lit») Кг) •
(10.41)
224
Здесь tfin - компонент гамильтониана, связанный с одноча­
стичным (внутренним) независимым движением нуклонов в
среднем поле (ранее рассмотренного в модели ферми-газа), i7vib
. часть гамильтониана, учитывающая колебания поверхности
ядра и ЯГО| - часть гамильтониана, описывающая вращатель­
ные состояния, а фіц = |і;), Фуіь — |*t>) и Фгої — Нг) - соответ­
ствующие волновые функции.
В этом случае каноническая статистическая сумма прини­
мает вид
Z (P)
=
2
(*іК*»»К*г|ех р (-(ЗЯ)|*г>|гщ>|*і> =
i-jЛі'Аг
— 'У ^ tl exp (—РД’ііОНг) ^
‘іі
‘f-V
=
х У^(-?:г|ехр ( - $ н гоі)\гг) =
Іг
Zin((3)Zvib(p)Zrot((3),
бхр (—рДГуіь) |?'г;) X
(10.42)
где
^п(Р) = ^ е - Р ^ ‘
(10.43)
І.
- статистическая сумма независимого движения нуклонов с
Еіп.і для энергий таких движений;
(10.44)
Zvib(P) =
X.v
- статистическая сумма вибрационного движения (после ис­
ключения энергий нулевых колебаний), сох - характеристиче­
ская частота вибрационных колебаний мультипольности X;
0 n2 J ( J + l )
^ ro t(P ) =
X
( 2 J + 1) e
^
J
- статистическая сумма вращательного движения аксиальнодеформированного ядра,; Jx_ - момент инерции относительно
оси, перпендикулярной оси симметрии ядра.
225
( 1 0 -4 5 )
Считается, что вращательное и колебательное движения
никак не влияют на множитель Лагранжа а, а большая стати­
стическая сумма соответствует выражению (10.42) после заме­
ны для внутреннего движения нуклонов статистической суммы
Zin(p) на большую статистическую сумму Zm(p, а) вида (10.18),
т.е.
г ф , а) = Zin(l3, a)^vib(P)Zrot(P),
(10.46)
Используя метод перевала в предположениислабой зави­
симости значений седловой точки от коллективного движения,
находим, что в адиабатическом приближении выражение для
плотности уровней ядра имеет вид
р(Е*,А) = Ку1ЪKrotpJ E * ,A ) ,
(10.47)
где pin(E*, А) - плотность уровней внутреннего движения нук­
лонов, которая обычно отождествляется с плотностью незави­
симых ферми-частиц, а
Kvib =
00
z vib(p = 1/Т) = JJ '*Г ехР (-^toxv/T) =
X
v=0
П (1 —exp(—Ґш>х/Т))2^+1 = П ^ ь
X
(10-48)
Л
и
Krot
=
_
Zwt(p = l/T) =
(
1
сферические ядра,
~ J\T деформированные ядра,
,
^'
,
'
- коэффициенты усиления плотности уровней, обусловленные
вибрационным и вращательным движениями; Т - температура
внутренних состояний ядра,
В адиабатическом приближении Kvot увеличивает плотность
уровней в 504-100 раз, а
и 24-20 { К ^ 2 ~ 44-6, К ^ л «
8-4-10 вблизи Е*, соответствующей энергии отделения нейтро­
на от ядра) [300].
226
Более детальное рассмотрение влияния вибрационных и вра­
щательных состояний на плотность уровней, в том числе, раз­
личные феноменологические методы расчета коэффициентов
коллективного усиления плотности уровней с учетом затуха­
ния коллективных движений и влияния на температуру внут­
ренних состояний, приведено в [134,300,302,307,310-316].
Среди большого количества других моделей для описания
плотности уровней в ядрах [134, 300, 301], наиболее простым
подходом является приближение постоянной температуры с
р(Е*,А) ос ехр(£* - Ео)/Т.
(10.50)
Это приближение часто используется при качественном рас­
смотрении различных процессов в нагретых ядрах, например,
используя соответствующий набор параметров Ео и Т, мож­
но достаточно удовлетворительно описать плотность уровней
в узком интервале энергий возбуждения компаунд-ядра.
В заключение отметим, что для описания плотности уров­
ней предложено большое количество моделей и подходов. Прак­
тические модели, которые обычно используются в современных
вычислительных кодах для расчета наблюдаемых характери­
стик ядерных реакций, обсуждаются в [134,317,318].
10.3.
Характеристики распада
Важными характеристиками компаунд-ядра являются его вре­
мя жизни x,j в состояниях со спином J и вероятности распада
этих состояний в некоторые выделенные каналы г). Время
жизни тj компаунд-ядра (A, Z) обратно пропорционально пол­
ной ширине ГШ(Е*. J, A, Z):
К
TJ~ Ttot(E*,J, A, Z)
(10.51)
Полная ширина распада является суммой ширин распада во
все возможные каналы, связанные с испарением одного, двух
и более нейтронов, испарением всех типов заряженных частиц,
227
эмиссией гамма-квантов, а также с делением:
r tot(£ * , J, A, Z ) = Гп( Е * ; J, A, Z ) + Г2п(£ *, J, A, Z) +
+ Г 3n(E*,J,A,Z) + ...+
£
+
Г z {E*,J,A,Z) +
по всем типам заряженных частиц
+ Г Т( £ * , J, A, Z) + Г fis(£ * ; J, Л, 2)(10.52)
Роль различных каналов распада можно оценить, анализируя
вероятность распада в определенный канал
j = ГУ-Б*, J, A. Z)
Г tot( E * , J ,A , Z y
'
и отношение вероятностей различных каналов распада г) и <;:
*
=
(10.М,
Часто эти величины можно извлечь из экспериментальных дан­
ных. Так тяжелые высоковозбужденные компаунд-ядра с А >
230 имеют две основные моды распада - деление и испарение
нейтронов. Д ля таких ядер важное значение имеет зависимость
от энергии Е * и спина ./ отношения нейтронной и делительной
ширин распада
j
Г n(E*,J,A,Z)
Рп^ ~ V U E \ J , A, ZY
(10-5J)
Д ля достаточно высоких энергий возбуждения Е* по срав­
нению как с высотой барьера, деления BfiS, так и с энергией
отделения нейтрона Sn, отношение P/lfis упрощается и имеет
вид
J
Tn(E*,J,A,Z)
„
n,fis
—•
01
' —■ ’
ос e x p
‘
у / 2an(E* - Sn) - ^ 2 af]s(E* - BfiS) . (10.56)
228
Здесь ап - параметр энергетической зависимости плотности
уровней дочернего ядра после испарения нейтрона и afis - па­
раметр энергетической зависимости плотности уровней над ба­
рьером деления делящегося компаунд-ядра.
Деление легких возбужденных компаунд-ядер, как прави­
ло, энергетически подавлено высоким барьером деления, что
приводит к небольшой вероятности деления по сравнению с
другими модами распада. Основные моды распада таких ядер
зависят от нуклонного состава. При высоких энергиях возбуж­
дения из ядра испаряются различные частицы, в то время как
при уменьшении энергии ниже порога эмиссии частиц пз ком­
паунд-ядра вылетают лишь гамма-кванты.
Выражения для ширин распада высоковозбужденных ком­
паунд-ядер можно получить с помощью принципа детального
баланса [319-321]. Ниже кратко обсуждаются ширины распа­
да состояний компаунд-ядер с энергиями возбуждения в об­
ласти квазинепрерывного спектра в квазинепрерывные состо­
яния, предполагая их независимость от четности состояний.
10.4.
Испарение нейтронов
Ширина испарения нейтронов Гп(Е*, J, A, Z) из компаунд-ядра
с А нуклонами, Z протонами, энергией возбуждения Е* и спи­
ном J равна
- E * —Sn
Tn(E*,J,A, Z) = J "
" dt уп(є) E*, J, A, Z),
(10.57)
где
уa(z,E* ,J ,A, Z)= ^ T n( e i , j J , Z ) x
Ws
p(E* —Sn —є, Jf, A — 1, Z)
X
2np(E*,J,A,Z)
(10.58)
- ширина испарения нейтронов с энергией є в единичный ин­
тервал энергии; £, j - орбитальный и полный угловые моменты
испускаемого нейтрона; Sn - энергия отделения нейтрона от
229
компаунд-ядра, р(Е*, J, A, Z) - плотность уровней материнско­
го компаунд-ядра; р(Е* - S n —z , J f , A —l , Z ) - плотность уров­
ней дочернего компаунд-ядра со спипом .Jf. \J—j\ < Jf < J+j]
Tn - коэффициент прохождения (передачи) нейтрона.
Коэффициент прохождения можно вычислить с помощью
оптической модели. При распаде высоковозбужденных ядер в
области квазинепрерывного спектра его можно достаточно точ­
но рассчитать в квазиклассическом ВКБ приближении [216]
Tn(z,£,j,A,Z) = 1/{1 + ехр [A(z,£,j,A,Z)}},
(10.59)
где для сферических ядер
А(е, £, j, A,Z) = 1 £ {2 MN[Vnnd(r) + Vu (r)+
+Ve(r) - z]}l/2 dr
(10.60)
- интеграл действия, Mn - масса нейтрона, а и Ь- точки пово­
рота (см. рис. 10.3). Взаимодействие между нейтроном и ядром
состоит из ядерной, спин-орбитальной и центробежной частей,
соответственно, Vn(j'), Ves(r) и Vz{r). Ядерная часть, как пра­
вило, параметризуется потенциалом Вудса-Саксона, (4.1) [49],
спин-орбитальная часть связана с градиентом потенциала Вуд­
са-Саксона (4.3). Суммарный нейтрон-ядерный потенциал Vtat
и его части приведены на рис. 10.3. Отметим, что для s-волно­
вых нейтронов (£ = 0) отсутствует барьер. Барьер появляется
только для нейтронов с £ > 0. Проницаемость барьера экспо­
ненциально зависит от действия, а следовательно, и вида по­
тенциала.
Спектр испарительных нейтронов, т.е. число вылетающих
нейтронов с энергией в интервале от є до є + dz пропорциональ­
но величине уп(є, Е*, J, A, Z). Так как для s-волновых нейтро­
нов барьер отсутствует, то согласно (8.15) коэффициент про­
хождения равен единице. Поэтому спектр будет определяться
только отношением плотностей уровней конечного и начально­
го компаунд-ядер, т.е. при J = 0 имеем
v f , F- г - п
ї (
’
’
4 ”1
1
’
)
9 {E '-S n -z,\/2,A-l,Z)
2кр(Е*, J - 0, А у Z)
230
'
Рис. 10.3. Радиальная зависимость полного нейтрон-ядерного потенциала: є - энергия нейтрона, а и b - точки поворота.
Подставляя в это выражение плотность уровней двухком­
понентного ферми-газа (10.32) и пренебрегая зависимостью от
спина в плотностях, находим
(Е*)5/ 4
г ( Е,
^ = 0 , ^ , г ) ос
х
х exp (2у/а(Е* - Sn - є) - 2V o !* ),
(10.62)
которое в случае высоковозбужденного компаунд-ядра с Е* —
Sn > > е и Е* » Sn имеет вид распределения Максвелла:
y(c,E‘ ,J = 0,A,Z)
«
J l exp ( - y j i e) =
=
^5вфН 0 '
где учтено, что Е* = аТ2.
231
(1063)
На рис. 10.4 приведены проинтегрированные по углам спек­
тры нейтронов из реакции 118Sn(p, n )118Sp при различных энер­
гиях налетающего протона. При больших энергиях испаряемо­
го нейтрона, спектры имеют экспоненциальное убывание с ро­
стом энергии нейтрона, что согласуется с (10.63). Наклон спек­
тра определяет температура компаунд-ядра,. Поэтому, зная на­
клон спектра из экспериментальных данных, можно вычислить
температуру.
10.5.
Испарение заряженных
частиц
Ширина T z , a ( E * , J, A, Z) испарения частицы с зарядом Z и
числом нуклонов А из компаунд-ядра с А нуклонами, Z про­
тонами, энергией возбуждения Е* и спином J равна
Г z tA( E \ J, A, Z) = ^ * ~ Sz dt у ZyA{ t , E \ J, A, Z), (10.64)
где
у z a (z, E * , J , A , Z ) = Y , Tz(E*,e,£,j,A,Z,A,Z)
p{E * - S z - t , J f . A - A , Z - Z )
X------------2v & J , A , Z ) ' ----------
(10.65)
- ширина, испарения заряженной частицы в единичный интер­
вал энергии. Выражения и обозначения в (10.64), (10.65) ана­
логичны в формулах (10.57), (10.58), соответственно. Отличия
связаны с зависимостью величин в (10.65) от чисел протонов и
нуклонов в испаряемой частице.
232
зо13
іо"
10 *
pra>
VO
* 107
йс
10s
io3
101
10'1
Энергия нейтрона, МэВ
Р и с . 1 0 .4 . Проинтегрированные по углам спектры нейтро­
нов из реакции 118Sn(p, n )U8Sp при различных энергиях нале­
тающего протона (цифры под кривыми) [322].
233
Отметим, что равновесная форма высоковозбужденного
(Е* > 50 МэВ) компаунд-ядра с нулевом спином сферическая.
Это связано с тем, что при больших энергиях возбуждения обо­
лочечные эффекты ослабляются и величина оболочечной по­
правки уменьшается, поэтому форма ядра определяется лишь
балансом кулоновских сил между протонами и силой поверх­
ностного натяжения. Баланс этих сил и приводит к равновес­
ной сферической форме ядер. С ростом спина компаунд-ядра
возникают центробежные силы, которые изменяют баланс ку­
лоновских и поверхностных сил, что приводит к деформиро­
ванной равновесной форме компаунд-ядра.
В случае деформированного компаунд-ядра заряженная ча­
стица может вылететь в различном направлении по отношению
к его внутренней оси ординат. Поэтому, как и в случае эмиссии
альфа-частиц (см. (8.2) - (8.4) и [211,212]), при расчете коэф­
фициента прохождения необходимо выполнить усреднение по
всем направлениям вылетающей частицы. В результате имеем
Tz (E*,z,£,j,A,Z,A,Z,[3) =
(10.66)
= J_ r dn __________________ 1__________________
4к J
1 + ехр[Д(є, £, j , A —A , Z —Z, A, Z, (3, ft)] ’
где действие A(e,£,j,A — A, Z — Z, A,
зависит от на­
правления вылета частицы, определяемого углом ft:
A ( z , e , j , A - A , Z - Z,A, Z,p ,fl) = ,
2
= -n; Jo(n) dr[2[x(yN(r,|3,ft) + % ,(r,p,ft)+
+Vc (r,p,n) + Vt(r)) - є)]1/2 .
(10.67)
Здесь [і = M n
_ приведенная масса, Мц - масса нук­
лона, (3 - деформация ядра, оставшегося после эмиссии за­
ряженной частицы из компаунд-ядра, Vj^r,[3, ft), Vfs(r.p. ft),
Vc(r, |3, ft) и V^(r)) - ядерная, спин-орбитальная, кулоновская и
центробежная части потенциала взаимодействия между заря­
женной частицей и дочерним компауид-ядром. Отметим, что
точки поворота a(ft) and 6(ft) также зависят от направления
вылета частицы.
234
Основное различие между испарением нейтрона и заряжен­
ной частицы связано с влиянием кулоновского взаимодействия,
а также со специфическим выбором ядерного и спин-орбитального взаимодействия между заряженной частицей и дочерним
компаунд-ядром. Соответствующие потенциалы приведены в
[134]. Кулоновское взаимодействие приводит к заметному уве­
личению высоты барьера заряженной частицы, поэтому при
одинаковой энергии отделения частиц существенно подавлено
испарение заряженных частиц.
10.6.
Эмиссия гамма-квантов
При распаде компаунд-ядра могут также испускаться гаммакванты различных мультипольностей и типов. Основной вклад
в гамма-распад ядра при переходах между состояниями квазинепрерывного спектра обусловлен эмиссией дипольных гаммаквантов электрического типа. Поэтому полную ширину выле­
та гамма-кванта Г Г ( Е * . J. A . Z ) из высоковозбужденного ком­
паунд-ядра с А нуклонами, Z протонами, энергией возбужде­
ния Е * и спином J можно представить в виде
Сечение фотопоглощения OE\{Zy,Ef) дочерним ядром с энер­
гией возбуждения E f = Е * — zY определяется радиационной
■f(фотонной) силовой функцией гамма-распада / e i с вылетом
электрических дипольных гамма-квантов [134,323]
ОЕ 1 (eY, E f ) = 3 ет ( n h c ) 2
/ E l (єт ).
(10.69)
Радиационная силовая функция / £і(єт) пропорциональна
мнимой части функции отклика нагретого ядра на электриче­
ское дипольное поле (см. ниже) и ее вид обусловлен возбуж­
дением гигантского изовекторного дипольного электрического
235
резонанса (см. гл. 7). В расчетах обычно используются раз­
личные полуфеноменологические выражения для / El [134].
Для гамма-квантов с энергиями вблизи энергий гигантского
дипольного резонанса для оценки / е \ в сферических ядрах
можно использовать функцию Лоренца вида (т.н. приближе­
ние стандартного лоренциана, SLO)
/ (ет)
— fsLO =
(10.70)
8,674 •10~8 агГ,
ЄтГг
( г * - Е ? У + (Г г е у ) 2
Здесь аг - значения сечения фотопоглощения в максимуме, а
Ег и Гг - энергия и ширина гигантского дипольного резонанса
(ГДР); радиационная функция приведена в единицах МэВ-3 ,
энергии и ширина - в МэВ, а о,- - в миллибарнах.
В более широком интервале энергий гамма-квантов
0 < £у < Ег наиболее адекватно описать радиационные си­
ловые функции можно с помощью приближений усиленного
обобщенного лоренциана (EGLO), обобщенной модели фермижидкости (GFL) и модифицированного лоренциана (MLO). В
модели EGLO выражение для радиационной функции в сфе­
рических ядрах имеет такой общий вид [134,324-326]:
У (ъ)
= 7 EGLo(zr) = 8,674 •10-8огГ.г х
err K(er,Tf )
( z * - E ? ) * + t*r*K(er,Tf )
(10.71)
0.,7Гк (гг = 0,Т)
Е?
где Т (Ту) - температура, начальных (конечных) состояний
ядер; Гд-(еу,Т /) - эмпирическая ширина, определяющая фор­
му радиационной силовой функции, которая находилась из под­
гонки экспериментальных данных.
В методе модифицированного лоренциана общее выраже­
ние для радиационной силовой функции получено в резуль­
тате усреднения микроскопического выражения для ширины
гамма-распада [323]. Рассмотрим вывод этого выражения. Для
простоты ограничимся излучением электрического типа. Ис­
пользуя формулу для вероятности гамма-перехода с энергией
236
єт из начального состояния і в конечное / (см., например, в [8]),
выражение для ширины ЕХ-излучения в единичный интервал
энергии можно записать в виде
^
- d\(zy)Bjjb(Ei - E f - eY),
(10.72)
где
dl(e ) = (£і)(2Х+1) 8л(Х+ 1)„„
U tJ { hc}
X[(2X + I)!!]2’
a
= 2 j ~ ^ i l< Jf Ef vf II ^ II JiEiyi >|2=
(10-73)
= ^ |< JfMfEfVf I Qxn I JiMiEiVi >|2
Mf,n
- приведенная вероятность гамма-перехода; </я, Ma - квантовые
число, определяющие соответственно спин и его проекцию на
ось Z в л.с., а Еа, \JaMaEqya > - энергия и волновые функции
в начальном (а = г ) и конечном (а = / ) состояниях; v a - набор
дополнительных квантовых чисел, которыми характеризуется
состояние с заданными Ja, Afa, Еа;
Q \(л = 'У ^^krkY\\i(j'k)
к
.оператор мультипольного момента, е/. - эффективный заряд
нуклона. Энергии E\,Ef в (10.73) можно считать независимы­
ми из-за присутствия о-функции в (10.72).
Преобразуем выражение для В^К В исходных формулах
(10.72), (10.73) для вероятности гамма-распада начальное и ко­
нечное состояния относятся к микроскопическому, т.е.
ротационно-инвариантному,
гамильтониану
ядра
[8].
Вследствие ротационной инвариантности эти состояния
вырождены по проекции спина, т.е. Еа = Е^. Введем вели­
чину c(vaMa —>
определяющую вероятность гаммапереходов на конечное состояние из всех состояний с заданной
237
проекцией спина НМа,
c(vaMa —> JfMfVf) = ^ c il(vaMa —»•JfMfVj) =
(і
= Y
(10.74)
К JfMf Ef vf I Q4 I JaMaEaya >|2 .
Суммирование выполняется по всем значениям Ja, т.е. по
Ja >| Мл |. Учитывая свойства коэффициентов Клебша Тордона.
[14] , имеем
B ff] = Е
Ы ч м * = Ji - > Jf Mf Vf ) -
M/.JI
~Cy.{viMa = Jj + 1 —> JfMfVf)} =
(10.75)
л
где 5m,n ~ символ Кронекера.
Волновые функции |JaMaJ5ava > образуют полную систему
при суммировании по всем квантовым числам включая Ja и
поэтому соотношение (10.75) с суммированием по Ja является
более удобным при выводе выражения для средней ширины,
чем формула (10.73).
Аналогично исследованиям свойств многочастичных систем
методами статистической механики (см., например, [303,304])
определяем среднюю гамма-ширину перехода в единичный ин­
тервал энергии как величину, усредненную по группе началь­
ных состояний J\f с различными энергиями, а также с различ­
ными числами протонов Z и нейтронов N. Рассмотрим сред­
нюю ширину, просуммированную по всем конечным состояни­
ям, при фиксированной энергии єу ,
В Д , є т) =
£
(10.76)
В интересующем нас случае высоких энергий возбуждения Еі
238
можно определить плотность состояний a(Ei,Ji,N, Z) с фик­
сированным спином J;. Тогда (здесь и ниже Е = Е і )
M{Ji) = w(£7, Ji,N, Z ) A E A Z A N ,
где AE, AZ, A N - малые интервалы разброса значений энер­
гии, чисел протонов и нейтронов вблизи средних значений
Е, Z, N.
После перехода в (10.76) от сумм к интегралам, используя
(10.75), имеем
[< Dm(Ji, єу) > — < Dm(Ji + 1, Єу) >] /
Г («Л, єт) =
т
/p(E,Ju N,Z). (10.77)
Здесь р(Е, J, N, Z) = оі(Е, J, N, Z)/(2J + 1) - плотность уров­
ней; символ < . . . > - означает усреднение по энергии, числам
протонов и нейтронов с единичными весовыми функциями в
интервалах AE, AZ, A N соответственно;
Dm(M, Єу) = dx(Ey)
Ь(Е _ Ev) 4N - N')b(Z - Z')x
m(y M '-> JfMf Vf)x
(10.78)
x 5 (Ev - Ef - 0y - Yl(N - N 1) - r 2(Z - Z') - r 3(M' - M)),
где сделана тождественная замена аргументов в последней
6-функции. Постоянные у- определены ниже в (10.81). Функ­
ции Ylm. ^m(-W’) ^у) с точностью до плотности уровней совпада­
ют с вероятностью гамма-распада состояний микроканонического ансамбля с заданными константами движения Е, Z, N, М,
т.е. являются средними величинами. По определению (10.76) на
интервалах AE, AZ, A N плотность уровней р(Е, J, N, Z) почти
постоянна, поэтому считаем, что величина Dm является самоусредняющейся величиной (см. [328]) и < Dm > — Drn.
Преобразуем выражение (10.78). Используя интегральные
представления 8-функций и символа Кронекера
8(я) = ТГ \
dtexp(itx), 5m,n = —
d<pexp{«p(m-n)},
2к J-oo
2к J-rc
239
а также полноту волновых функций начальных состояний, и
тот факт, что Ev, М', N, Z являются собственными значениями
для волновых функций |JM 'Evv >, имеем
1
D m(M .zy) ~ тг-гт
(ЛИ)
пік
р -M o o
.
J —ioо
dairia2rfa4
doc3 х
J —гк
х exp(a4E - otxN - a2Z - а3 М )2({а^})Гт ({о^},Єу). (10.79)
Здесь
z iWj}) = T r(exp (-fH ))
(10.80)
- статистическая сумма большого канонического ансамбля, ха­
рактеризуемого четырьмя постоянными р = 0 4 , {otfc}, к = 14-3,
U = Н - yjiV - у2І - y3Л,
Yj = aj/p,
(10.81)
H - гамильтониан ядра, N, Z. h,Jz - операторы чисел нейтро­
нов, протонов и проекции углового момента.
Величина Гт ({оу},єу) является средней шириной гаммараспада в единицу энергии состояний канонического ансамбля
с параметрами {а,-} при вылете фотона с проекцией углового
момента hm:
I\n({aj}, єу) =
где u>m =
(Єу
IQ+m.QXm({ai } >
)>
(10.82)
- my3)/h, а
-^,в({аЛ,<*>) =
1 /*+00
77-
dt «
B(0)A(t) »
exp{iu>t} (10.83)
^ —o o
- спектральная интенсивность. Символ << ... > > означает
операцию усреднения Тг[р(Н)...] по ансамблю Гиббса с мат­
рицей плотности
р[К] =
«
а
е х р [-р
4]/Z({ttj}),
B(Q)A(t) »
- двухвременная корреляционная функция,
<*>) - ее преобразование Фурье [304];
<2хц(*) = ехр [гґН/ЩQ}^ (0) ехр[—гШ//і]
240
- оператор мультипольного момента в представлении Гейзен­
берга. Используя свойства спектральных интенсивностей [304],
соотношение (10.82) можно записать в виде
Гт ({а,-}, єТ) = sm{{ctj}, zr) ехр{—f3/kom},
(10.84)
где
■sm({aj},zY) = -[с4(єу)/к](1 - ехр{-|3/шт })'_1 х
х {Imx(Q^rn, Q-km-Wm, {aj})9(cDm) —I mX{Q\m-. Qxm> I
(10.85)
I’ { aj})® (~ Wrra)}
- силовая функция; )((Л В ; й , {су}) ~ функция линейного от­
клика на взаимодействие
В8ехр[—г(о> + гг))£]
(г) —)■+0. S -С 1)
среднего значения А оператора, А для системы, которая в на­
чальный момент времени описывается распределением Гиббса
с гамильтонианом (10.81); 0(со) - единичная тета-функция.
Интеграл в формуле (10.79) вычисляем с помощью метода
перевала., т.е. параметры седловой точки {оу} находим из усло­
вия экстремума логарифма подынтегральной функции, и они
являются решениями следующей системы уравнений:
дву({«;■}) _ о (^. = 1 ^ 4 )
<)<Хк
(10.86)
с
^ ( { a j} ) = In Z({aj}) - a\N - a2Z - азM + оцЕ +
+ ln rm({a j},e Y). (10.87)
Значения параметров зависят не только от Е, N, Z, но также
от энергии ey и проекций НМ, hm\ aj = ajtAt<m(eY). В результате
имеем
Dm(M, єг) = r m({otj}, er)p({5 j}),
где
241
(Ю.88)
№ Л ) = ехр[5({а,})]/(2л)2 I det[[ofc/] |1/2,
(10.89)
5 ({« j}) = ^ ( { « j } ) - l n r ?n.({otj},EY),
detfafc/] - определитель матрицы с элементами
гйЧ
Из соотношений (10.77), (10.88) следуют выражения для сред­
ней ширины гамма-распада в единицу энергии начальных со­
стояний со спином h.Jt:
f(J j,e Y) =
р(£, Ji,N,Z)
х£ М
т
-P(W: /,Л//т})Гт({<Х?,М,т}) Єу) Uf=J,;+l])
(10.90)
т.е.
f(Jj,EY)
p(E,JUN,Z)
d
[ p(
}
)
Г т (
)
]
IM = J j + l / 2
■ (10.91)
соотношения определяют среднюю скорость гаммапереходов между высоковозбужденными состояниями исходя
из микроканонического распределения и учитывают динамиче­
ские ограничения, накладываемые законом сохранения
углового момента. Величина Г ( J j . є г ) пропорциональна
ширинам Гто({а^л^то}, zy) распада компаунд ядра в двух
группах ’’промежуточных” состояний, определяемых (10.86),
(10.87), температура Т =
у) и химпотенциалы
Ї^',м,ш(єї) = Toij'M,m.(£y)(j = 1 -т- 3), которых зависят как от
характеристик начальных состояний, так и от свойств моды
излучения. В дальнейшем будем использовать формулу (10.91),
которая получается после разложения рГт вблизи М = ,7;+1/2
и зависит от термодинамических характеристик одной группы
равновесных ’’промежуточных" состояний.
Э ти
242
Теперь рассмотрим случай слабой зависимости Гт от тер­
модинамических параметров по сравнению с Z, и именно когда
дПІПГт
дпак
<
dn\xiZ
, п = 1,2.
дпак
Тогда, величины
Ы
= {« ? ’ }
являются решениями уравнений состояния, возникающего при
вычислении плотности начальных компаунд-состояний с фик­
сированными Е, Лг, Z, М. Функция р совпадает с их плотностью
P( E,N,Z,M), т.е.
р({оt f } ) = P(E,N,Z,M),
а Ylm
- с шириной гамма-распада. Учитывая соотношение
между Р(Е, N, Z, М) и плотностью уровней р(Е, J, N, Z) [298]:
р(Е, J, N, Z) = Р(Е, N, Z, M = J ) ~ Р { Е , N ,Z ,M = J + 1)
^
дР(Е, N, Z, М)
дМ
(10.92)
из (10.90) следует, что
(10.93)
т
В такой ситуации средние гамма-ширины полностью определя­
ются флуктуациями электромагнитных моментов в начальном
компаунд-ядре и поэтому зависят от температуры исходного
нагретого ядра.
В средних и тяжелых ядер и при реалистических ширинах
затухания возбужденных состояний, мнимые части функций
линейного отклика ImyXQtm.' Qbmi { “ ?})> т-е- согласно (10.85)
и s m ( { oLj } , sY), слабо зависят от параметров {о^-}.
Из (10.84) следует, что ширины Гто имеют экспоненциаль­
ное поведение по a,j. Так же ведет себя и статистическая сум­
ма Z. Поэтому приближение плавного поведения Гт является
243
грубым, а реалистично приближение медленно меняющихся с
{оij} силовых функций sm. В рамках последнего приближения,
а именно считая, что выполняется условие
д п In sr
dn\nZ
dnctk
д пи к
(n = 1,2),
и учитывая формулы (10.84) - (10.87), (10.89), (10.92), соотно­
шение (10.91) принимает вид
г й , Єу) £
£
т .= —X
р(Ef, Jm, N, Z)
p(E, Ji, N, Z)
Sm({*jj) }:Zy) =
= r F(Ju zr).
(10.94)
Здесь { a ^ } - термодинамические параметры, определяющие
плотность уровней остаточного ядра со спином hJm = h(Jj -rn)
и энергией E f = Е — еу . Они являются решением уравнений
(10.86) после замены Sy на энтропию состояний конечного ядра
S f d a j ) } = l n i J ( { a j } ) — a i N — a 2Z — a^Mf -(- 0.4E f , (10.95)
с M f = Jm + 1 /2 .
Согласно (10.94) средняя скорость гамма-переходов между
высоковозбужденными состояниями определяется флуктуаци­
ями мультипольных моментов в остаточном компаунд-ядре и
отношением плотностей уровней в начальном и конечном яд­
рах.
Выражение (10.94) аналогично вытекающему из принципа
детального баланса (см., например, [201,320,321]):
Г (Ji,ET) =
< - v - >
X
p(Ef, Jm, N, Z)
p(E,JUN,Z) ’
х
m=—X
(10.96)
где т - т о е слагаемое соответствует гамма-переходам в конеч­
ные состояния со спином hJm — h(Ji — т) (ось квантования
244
углового момента фотона совпадает с направлением начально­
го спина Jj); g(Jm) = (2Jm + l)/(2Jj + 1). Величина
ar(JmZf —У -JiZ) является сечением фотопоглощения гаммаквантов возбужденным остаточным ядром с энергией
Ef = Е — ег я спином hJm с переходом в состояния с харак­
теристиками E.Ji. Сечение фотопоглощения определяет пол­
ную радиационную силовую функцию sy(JmZf —> Jiz) согласно
формулы:
Oy(JrnEf —>■JiE) — ( т і / і с /є у ) 2 [sy(JmEf —)• JiE)/g(Jm)\. (10.97)
Из сравнения (10.94) и (10.96) следует, что такая силовая функ­
ция совпадает с функцией ,sm({aj}: £y)> т'®‘
.
^х(Єу) 1 - e x p {г —/?ХОїг,
— }
1f
-1
X
x{/rnx(Qx'm,<5x!(l;wm,{ a y )})0(com) - (10.98)
-imx(Qxm,Qxm; I Wm I, {аУ)})0(-ы т )},Г/ = l/ 4 f) .
Теперь рассмотрим усредненную по спинам дипольную ра­
диационную силовую функцию. Сначала получим выражение
для ширины Г(єг) усредненной (дополнительно по сравнению с
шириной r(Jj, eY)) по всем значениям спинов начальных состо­
яний. Исходная формула для такой ширины имеет вид (10.76),
если число начальных состояний Af(Ji) с заданным спином за­
менить на полное число состояний
M{Ji) и выполнить сум­
мирование в правой части (10.76) по всевозможным значениям
начальных спинов
и их проекциям М{. Так как в этом слу­
чае суммирование выполняется по всем квантовым числам, то
не возникает затруднений с использованием условия полноты
для волновых функций |JiMiEjyi > и в формуле (10.76) (мо­
дифицированной способом указанным выше) теперь можно ис­
пользовать соотношение (10.73) без дополнительных преобра,зований (10.74), (10.75). Учитывая суммирование по Мі и Mf ,
сумму по т в (10.73) внесем внутрь матричного элемента. По­
сле вычислений, аналогичных выполненным выше, выражение
245
для Г(єг) принимает вид
Г ы
й
Е’ ) s f f , W -
(1 М 9 )
Здесь рt(E, N, Z ) = ^2j(2J+ 1)р(Е, J, N, Z) - полная плотность
состояний,
„
1 —exp(—Є у /І»
’ <10Л01))
єт = /ко, x(Q\,
; со, {a/^j }) - функция линейного отклика сред­
него значения оператора
для ансамбля состояний, описываемого в начальный момент
времени распределением Гиббса с гамильтонианом (10.81) и
ї ї = ї і д , Y2 = Yt§ >Y 3 = 0 (yIj =
a4 = a $ = 1/Tf .
( f)
Величины {a.tJ } являются решениями уравнений состояния ко­
нечного ядра с фиксированными E,N ,Z :
dSt({at,f})
дщ,к
£ = 1^3
(10.101)
где
St({at,j}) = ln Z ({a tj}) - at,iN - att2Z + a*,3£ /,
Z({<xtj}) - статистическая сумма канонического ансамбля с па­
раметрами { a
— 1 -г- 3.
Соотношение (10.99) получается при условии слабой зави­
симости полной радиационной силовой функции .sj^ от термо­
динамических параметров по сравнению с Z ({a t j }).
Формула (10.99) позволяет вычислить радиационную ши­
рину (усредненную по группе состояний со всеми возможными
246
спинами и с фиксированной энергией) при использовании инте­
гральных термодинамических характеристик (10.101). Если де­
тализировать термодинамическое описание возбужденных со­
стояний, задавая и их спин, то согласно (10.76) имеем следующее соотношение для Г(єу):
и
где f(Jj,£Y) определяется (10.90), (10.91). Нетрудно показать,
что выражения (10.99) и (10.102) совпадают при слабой зави­
симости от спинов термодинамических параметров и полных
радиационных силовых функций, а именно когда выполняют­
ся условия
„
.(‘)/гя(Л
в™
({<%>} , Ч )
2Х + 1
(10.103)
Отметим, что основное отличие формул (10.97), (10.98), (10.99)
для полных радиационных силовых функций, полученных при
вычислении ширин гамма-излучения с использованием усред­
нения по микроканоническому, а не каноническому ансамблю
состоит в том, что эти функции зависят от температуры конеч­
ных, а не начальных состояний ядер. Таким образом, выраже­
ния (10.99) для радиационной ширины полностью аналогично
вытекающему из принципа детального баланса со средним се­
чением фотопоглощения гамма-квантов нагретым ядром вида
ax{zy.Ef ) = (nhc/zy)2s^\zr) = - dx^
A(ty, Tf) x
x(rJicjzy)2Imx(Q\,Qx ;U) {a(/)}t j})- (10.104)
Здесь
Л(Єу> Tf)
=
1 /(1 -е х р (-Е т/Г /)).
247
(10.105)
Эту величину можно интерпретировать как среднее число
lplh состояний возбуждаемых под действием электромагнит­
ного поля с частотой со = гг/Н в ядре с температурой Tf, кото­
рая определяется энергией Ef возбуждения состояний дочерне­
го ядра. Множитель Л приводит к значительному увеличению
полной радиационной силовой функции при низких энергиях
гамма-квантов: Л ~ l/e Y. Видно, что сечение фотопоглощения
(10.104) нагретым ядром зависит от температуры вследствие
присутствия множителя А и зависимости от Г/ мнимой части
функции линейного отклика.
В холодном ядре функция Л = 1 и выражение (10.104) для
сечения фотопоглощения принимает вид
о\(ег ,Е = 0) =
— (кЬс/еу)2
к
Q f ; со), (10.106)
где
(Q\, Q\ ; to) — функция линейного отклика среднего зна­
чения оператора мультипольного момента в невозбужденном
ядре.
Сравнивая соотношение (10.104) с (10.69), получаем общее
соотношение для радиационной силовой функцией гаммараспада / е \ с вылетом электрических дипольных гаммаквантов:
V
г
т Єу
*( 2
\3hc)
Imx ( Q u Q t - , ^ , { ^ j } )
1 —exp( s r/Tf)
(10.107)
Именно такое соотношение используется в методе модифици­
рованного лоренциана (MLO) в качестве базового выражения.
Для нахождения замкнутого выражения для / єі в подходе
MLO используются следующие приближения:
1) полагается, что вид мнимой части линейного отклика как
функции энергии гамма-квантов и характеристик внутренней
структуры ядра не зависит от температуры;
2) в качестве выражения для мнимой части функции линей­
ного отклика холодного ядра используется функция Лоренца
с зависящей от энергии электромагнитного поля шириной.
248
В результате выражение (10.107) для радиационной сило­
вой функции гамма-распада в сферических ядрах принимает
вид [133,134,137-142J
¥ м ь о ( с у)
=
8,674 •10_8Л(єу, Tf ) х
(10.108)
ха г ______ £уГ.(.-1’_________
ХОг1г( е ? - £ 9 ) 2 + (Г(еу>Г/ )ет)2-
Здесь Г(єт, Ту) - ширина функции MLO, зависящая от энергии
гамма-квантов и температуры конечных состояний; эта ширина
при Еу = Ег нормирована на ширину ГДР Гг(Т) в нагретом яд­
ре с температурой Т. Множитель Л(єу.Ту) в (10.105) приводит
к усилению радиационной силовой функции в нагретых ядрах
по сравнению с холодными. Существуют несколько вариантов
приближения модифицированного лоренциана. Они отличают­
ся выражениями для ширины Г(єт,Т), которые зависят от со­
отношения различных вкладов механизмов релаксации колек­
тивного движения в нагретых ядрах.
На рис. 10.5 представлено сравнение экспериментальных и
теоретических электрических дипольных радиационных функ­
ций гамма-распада ядра 90Zr. Экспериментальные данные взя­
ты из работы [329], где каждой энергии гамма-кванта соот­
ветствовала. своя энергия возбуждения. Видно, что расчеты по
MLO и SLО моделям лучше согласуются с экспериментальны­
ми данными, чем в подходах EGLO и GFL [134,182]. Результа­
ты метода MLO лучше описывают экспериментальные данные,
чем в подходе SLO.
На. рис. 10.6 приведено сравнение экспериментальных и тео­
ретических Е1 радиационных силовых функций гамма распада
ядра. 144Nd с энергией возбуждения Ei = Sn — 7.8 МэВ; экспе­
риментальные данные взяты из работы [330].
Видно, что в отличие от выражения (10.70) радиационные
силовые функции методов EGLO, GFL и MLO отличны от нуля
при энергиях гамма-квантов, стремящихся к нулю.
249
Рис. 10.5. Сравнение теоретических и экспериментальных
дипольных радиационных функций гамма-распада ядра 90Zr;
экспериментальные данные взяты из работы [329].
Рис. 10.6. Сравнение теоретических и экспериментальных
дипольных. радиационных функций гамма-распада ядра 144Nd
с энергией возбуждения Ei — Sn; экспериментальные данные
взяты из работы [330].
250
Расчеты, выполненные в рамках этих моделей, не сильно от­
личаются и описывают экспериментальные данные лучше, чем
SLO модель, которая предсказывает нулевое значение радиа­
ционной силовой функции при нулевой энергии гамма-квантов.
Не нулевое поведение радиационных силовых функций не со­
гласуется и с общей тенденцией поведения экспериментальных
данных по электрическим дипольным радиационным функци­
ям [134]. Необходимо отметить, что общее выражение (10.107)
метода MLO согласуется с принципом детального баланса в от­
личие от остальных подходов.
Также заметим, что при энергиях возбуждения ниже поро­
га отделения частиц гамма-распад является основным типом
распада компаунд-ядра. Полуклассическое описание гаммаэмиссии, например, рассмотрено в [327] (см. также ссылки в
этой работе).
10.7.
Деление компаунд-ядра
Тяжелое возбужденное ядро может поделиться на два более
легких возбужденных ядра-осколка при выполнении условия
энергетической возможности этого процесса:
Q(E*,E*B,E*C)
=
Е*- Е* в -Е*с - ( В - В в - В с ) > 0.
(10.109)
Здесь Е*, Е*в , Е*с и В, Вв, Вс ~ энергии возбуждения и энергии
связи в материнском компаунд-ядре и возбужденных осколках
деления В и С, соответственно.
Для оценки ширины деления часто используется модель
переходного состояния. В таком подходе вероятность деления
связана с плотностью уровней над барьером деления и высотой
барьера деления возбужденного материнского компаунд-ядра
В^. Плотность уровней над барьером р(є, J, A, Z, {Bsadi) указы­
вает количество состояний, в которые может попасть система
после
прохождения
барьера,
а
плотность
уровней
р(Е*, J, А , Z, р ), построенная на основном состоянии ядра, по­
казывает исходное количество состояний, которые могут как
поделиться, так и не поделиться. В этом приближении полная
251
ширина деления компаунд-ядра, с А нуклонами, Z протонами,
энергией возбуждения Е* и спином J равна [79]
rW SVM ,g)-jT*d рШЙи
X
xTU E *,t ,B ^, J,A ,Z ).
(10.110)
Здесь [3gs и Pgadl - деформации ядра в основном состоянии и
на барьере. Величина барьера деления определяется энергией
деформации в седловой точкой. Отметим, что плотности уров­
ней р(є, J ,A Z ,p sadl) и р(Е*, J, A, Z,pgs) могут иметь различ­
ные значения параметра энергетической зависимости плотно­
сти уровней а (10.29), (10.39) (см. также дискуссию после фор­
мулы (10.56)).
Аппроксимируя барьер деления обратным гармоническим
осциллятором, коэффициент прох'ождения через барьер Tfis име­
ет вид (см. также (8.15) и (8.16)),
T UB \z,B b,(E ‘ ) , J , A Z ) = — ------- г„ /
д
(10.111)
1 + ехр [ f ^ ( e - BU E*))\
Кривизна барьера /ко связана с временем жизни ядра по отно­
шению к спонтанном}' делению Tsf
Гш = 2 п В / In (Tsf/To - 1),
(10.112)
где Го = 2л(1п2)/г/ДгР, Ezp = 0,7 МэВ - энергия нулевых коле­
баний.
Барьер деления B£s зависит от энергии возбуждения и спи­
на, и с учетом оболочечных поправок его можно вычислить с
помощью выражения
BL =
г а г + sfiCE*)] - [£S“ ro + «S.n(£ - )1, (Ю-113)
где
и £ “ асг0 - макроскопические энергии в точке барье­
ра и в основном состоянии, рассчитанные в рамках капельной
модели и учитывающие вращательную энергию, а 8 Й (# * ) и
5|*ец(Е*) - оболочечные поправки в соответствующих состоя­
ниях. Так как 8gell(£*) >
~ 0, то [79]
«
К
Г
- £% Г°] ~ С и т 252
(10.114)
В основном состоянии тяжелых деформированных ядер зна­
чения оболочечных поправок, как правило, отрицательны, что
приводит к увеличению барьера. Однако модуль оболочечной
поправки экспоненциально уменьшается с ростом энергии воз­
буждения ядра Е* (см. (4.39)), поэтому в этих ядрах одновре­
менно уменьшается и барьер деления.
253
Глава 11
Оптическая модель
ядерных реакций
11.1.
Введение
Первоначально оптическая модель была предложена для опи­
сания рассеяния нуклонов на ядрах [331]. Затем она была обоб­
щена на случай разнообразных ядерных реакций. Особенно
важную роль оптическая модель играет для описания упру­
гих и квазиупругих реакций между ядрами, а также прямых
ядерных реакций, связанных с передачей нуклонов и возбуж­
дением низколежащих коллективных, а также одночастичных
ядерных состояний.
В оптической модели предполагалось, что ядро-ядерное
рассеяние описывается уравнением Шредингера с потенциа­
лом, имеющим действительную и мнимую части. Действитель­
ная часть потенциала учитывает ядерное и кулоновское взаи­
модействие сталкивающихся ядер в выделенных канапах,
которые исследуются. Мнимый потенциал оптической
модели описывает переходы системы из выделенных каналов
во все другие каналы реакции, при этом отсутствует
детализация типов переходов между этими каналами.
Мнимый потенциал модели связанных каналов описывает по­
глощение потока частиц, обусловленное переходом из учиты­
254
ваемых в неучитываемые каналы.
Обычно, когда явно учитываются лишь каналы упругого
рассеяния, оптическую модель называют оптической моделью
упругого рассеяния, в противном случае - оптической моделью
метода связанных каналов или реакций. Отметим, что полная
микроскопическая модель связанных каналов должна учиты­
вать все каналы реакции, однако ввиду большого количества
каналов и сложности решения большого количества связан­
ных уравнений Шредингера реализация такого подхода невоз­
можна. На практике рассмотрение ограничивается учетом свя­
зи только с наиболее важными каналами реакции, учитывая
остальные каналы с помощью мнимой части.
В стандартных подходах [134] используются оптические по­
тенциалы, которые слабо зависят от энергии. Поэтому вычис­
ленные с их помощью элементы матрицы рассеяния тоже слабо
зависят от энергии налетающих частиц и соответствуют быст­
рым переходам между каналами (прямым процессам).
Далее рассмотрим формальное обоснование оптической мо­
дели, которое было дано Фешбахом [332,333], а затем обсудим
ее реализацию для описания реакции упругого рассеяния.
11.2.
Метод Фешбаха
Уравнение Шредингера. для описания реакции между двумя
ядрами имеет вид
( 11. 1)
( Е - Н ) Ф = 0,
где Я - гамильтониан, а. Ф - полная волновая функция си­
стемы. Возможные каналы ядерных реакций разделяются на
сильно связанные, которые обычно называют открытыми, и
слабосвязанные, такие каналы, для простоты, называют за­
крытыми.
Следуя Фешбаху, вводим проекционные операторы Р, Q и
выделяем открытые РФ и закрытые QФ компоненты полной
волновой функции
ф
=
рф
(11.2)
+ дФ.
255
Открытые и закрытые каналы можно считать несвязанными,
и поэтому волновые функции открытых и закрытых каналов
ортогональны друг другу
(РФ|<ЗФ) = 0.
(11.3)
Проекционные операторы Р и Q имеют такие свойства:
Р + Q = 1,
(11.4)
P' = P,Q' = Q,
P 2 = P Q 2 = Q,
PQ = QP = 0,
(11.5)
(11.6)
(11.7)
где здесь и ниже At обозначает эрмитово сопряжение операто­
ра А.
Перепишем исходное уравнение Шредннгера. (11.1), исполь­
зуя проекционные операторы Р и Q, и виде
( Я - Я ) Ф = ( £ - Я ) ( Р Ф + дФ) = 0.
(11.8)
Действуя на левую часть этого уравнения операторами Р или
Q и используя свойства. (11.4) - (11.7), получим
(Е - РЯ)РФ = (Е - РЯР)РФ = РЯ(?Ф =
= (Ряд)<эФ,
(Е - QH)Q * = (Е —QHQ)Q4> = £Я РФ =
=
(д я р )р ф .
(И.9)
(1 1 .Ю )
В операторной форме формальное решение последнего урав­
нения имеет вид
- ( £ - ^
+ .е )(0Д Р )Р Ф ’
(11Л1)
где є —>0+ - инфинитезимальная величина, необходимая для
учета асимптотического поведения фФ в слабовозбужденных
каналах. Подставив это решение в (11.9), найдем замкнутое
уравнение для открытых каналов
(Е - ЯеіГ)РФ = (Е - Я ^ Ф р = 0,
256
(11.12)
где
Heff = (Р HP) + (PHQ)
1
(E - QHQ + iz)
— Hpp +
(QHP) =
HQP (11.13)
.эффективный гамильтониан. Первый член эффективного га­
мильтониана описывает открытые каналы реакции, а второй
член.связь открытых и закрытых каналов.
Пусть закрытые каналы состоят из дискретных і и непре­
рывных а состояний, тогда волновая функция закрытых кана­
лов будет иметь вид
дф = ] Г a,^Qi +
J d£ а(a,Щ д а(£),
(П ..1-1)
a
где о,; и а (ос, £) - амплитуды, состояний. Волновые функции за­
крытых дискретных
и непрерывных 4*Qa(£) состояний удо­
влетворяют соответствующим уравнениям Шредингера
(11.15)
H QQ Ф Qi = E Qi
H QQ Ф д а ( ^ )
=
£
(11.16)
Ф <э«(£)
и условиям ортогональности и нормировки:
(ф<3'£ ІФ Q i ' )
( 'Ы
Э Д д Ж
) )
(ФдіІФда^))
(11.17)
~
=
§ а а '8 ( ^
=
°-
-S'),
(11.18)
(11.19)
Подставляя разложение (11.14) в (1.1.13), -получим следу­
ющее выражение для эффективного гамильтониана открытых
каналов
257
Учитывая, что
—*я [ d£ ЦЕ - £) f{£) =
= Pv J м - щ г щ ~
(11.21)
разделим эффективный гамильтониан на реальную и мнимую
части
гт
__
ттR e
і
-ft eff — -tteff +
*т т /m
( 11.22)
5
которые соответственно равны
(11.23)
Н Ц = - n Y , H PQ\ ^ ( E ) ) ( ^ ( E ) \ HQP.
(11.24)
а
Здесь pv - обозначает главное значение интеграла.
Следовательно, уравнение Шредннгера для открытых ка­
налов (11.12) можно переписать в виде
(Е ~ Н % - ІН&)РЧ! = ( Е - Н% - *Я^Г)Фр = 0. (11.25)
Из выражений (11.23) - (11.25) вытекают три свойства оптиче­
ской модели.
1.
Эффективный гамильтониан зависит от выбора набора
открытых и закрытых каналов. Различный выбор модельно­
го пространства для операторов открытых Р и закрытых Q
каналов приводит к различным эффективным потенциалам.
258
2.
Вследствие связи с закрытыми каналами эффективный
гамильтониан открытых каналов является комплексным, нело­
кальным и зависящим от энергии Е:
firff I * p M > = Я р р \ 9 р ( г ) ) +
у - Ярд1Фа.Н)(ф0Д'-')|ЯоН*р(>-'))
.(11.26)
Отметим, что оператор Н р р локален.
3. Эффективный гамильтониан (11.26) имеет резонансы при
Е — Есц.
Стандартные оптические потенциалы с плавной зависимо­
стью от энергии Е соответствуют эффективному потенциалу
{(Я ей)), который определяет компонент ((РФ)) волновой функ­
ции в открытых каналах, усредненной по интервалу /^содер­
жащему большое число состояний дискретного спектра. Такой
эффективный гамильтониан ((Heg)) имеет вид (11.20) после
замены є на 1/2 [333].
Далее на примере ядро-ядерных взаимодействий кратко рас­
смотрим применение оптической модели в методе связанных
каналов (МСК).
11.3.
Метод связанных каналов
Пусть Н = H(R,{r}) - полный гамильтониан системы слож­
ных сталкивающихся ядер с оптическим потенциалом взаи­
модействия, а Ф(і?., {?’}) - полная волновая функция, которая
определена в виде суммы компонентов собственных состояний
каждого из ядер, относящихся к открытым каналам
(11.27)
Здесь фДі?) - волновая функция относительного движения ядер
в канале і на. расстоянии R между их центрами тяжести, ф.;({г})
Ф і г ( { ?’ і } ) Ф 2 г ( { г 2 } ) ~ ВОЛНОВаЯ ф уН К Ц И Я В н у т р е н н и х СОСТОЯНИЙ
ядер, которая является произведением волновых функций пер­
вого Ф іі({п }) и второго ФгД!^}) ядер в открытом канале і,
{?’і} и {г 2 } - наборы координат, соответствующие различным
внутренним степеням свободы этих ядер. Далее считаем, что
разбиение координат на, { п } и {г2} всегда одинаково.
Очевидно, что при R —> оо ядра не взаимодействуют и
H(R ->• 0 0 , {г}) ф,;({г}) = єі Фі({г}),
(11.28)
где єі - внутренняя энергия ядер в канале і и опущена волновая
функция относительного движения ядер в виде плоской волны.
Уравнение Шредннгера для полного гамильтониана систе­
мы сталкивающихся ядер с полной энергией Е имеет вид
(Я(Д, {г })-Д )Ф (Д , {г}) = 0.
(11.29)
Умножая его слева на ф*({г}) и интегрируя по внутренним
координатам, получим
J d{r} ф *(М )(Я (Я , {г}) - Е)ЩЛ,г) =
=
J d M
ф ?({г})(Я (Д ,
И ) -
Я) Х > * (Д )Ф * (М )
=
к
= (hii(R) - E)^(R) + £
hik{R)<\>k(R) = 0, (11.30)
/с, кфі
где
hik(R) = J гі{г}ф?({г})Я(Д ,
{г})ф ,({г})
=
+iW''nn(^)8ifc + SifcEj.
(11.31)
Здесь V f (R) (Vg(R)) - ядерная (кулоновская) часть матрич­
ных элементов нуклон-нуклонного (кулоновского) взаимодей­
ствия, ^ - приведенная масса в канале i, Wa(.R) - мнимая часть
потенциала, связанная с закрытыми каналами Q.
В предположении, что основные и возбужденные состояния
ядер имеют нулевой спин, система уравнений (11.30) упроща­
ется. В этом случае волновую функцию относительного движе­
ния ядер можно разложить в ряд по сферическим гармоникам,
зависящим от углов относительного движения
(11.32)
Ьп
Подставим (11.32) в (11.30), затем умножим систему (11.30)
справа на Ygm(Q). Интегрируя получившуюся систему по уг­
лам: с учетом условия ортогональности и нормировки сфериче­
ских гармоник, находим систему уравнений метода связанных
каналов:
-її2
д2
о nO
2^ OR2
“ I”
.
П2£ {£ + 1)
+ V?(R) + V£(K)+
лО
2ji-Д2
+iWu(R) + * - E } t it{R) =
л
[ № ) + V ^ l(R)] l u {R).
(11.33)
к.кфі
В этих уравнениях волновая функция г-го канала связана с
волновыми функциями других открытых каналов к, к ф і.
В оптической модели ядерную часть ядро-ядерного взаи­
модействия часто параметризуют потенциалом Вудса-Саксона
(4.1), (12.1), либо каким-либо другим потенциалом (см. гл. 12).
Кулоиовский ядро-ядерный потенциал на больших расстояни­
ях рассматривают как потенциал взаимодействия заряженных
частиц, а на малых расстояниях - как потенциал равномерно
заряженного шара (12.2).
Недиагональные матричные элементы V$(R) и V£(R) за­
висят от выбора модели структуры ядер и типа ядерных ре­
акций [39,40, 333, 334].' Мнимая часть гамильтониана обычно
выбирается в виде объемной и поверхностной частей
Wii{ R ) ^ W ^ \ R ) + W tr\R ),
261
(11.34)
где
^
Л> = 1 + еХр[(Д о , У) А Н '
(11Л5)
3
Row = row (а\і + ^ 2 і 3) >
(1L36)
Rows = m vs [ a \^3 + a ) ^ .
Потенциал И^о1(Л) ведет себя подобно распределению плотно­
сти нуклонов в ядрах. Его абсолютная величина экспоненци­
ально убывает на больших расстояниях. Потенциал Wgurf(i?)
связан с производной от соответствующей функции Ферми, и
поэтому отличен от нуля в окрестности Rows• Таким обра­
зом, потенциал Wj®urf(i?) действует в окрестности точки каса­
ния поверхностей, в отличие от потенциала, И^о1(Я), который
в окрестности поверхности имеет меньшую абсолютную вели­
чину, чем на меньших расстояниях.
Элементы матрицы рассеяния, определяющие вероятности
переходов между каналами, определяется из условия ’’сшивки”
численного решения уравнения (11.33) с его асимптотикой [39,
40,333]
£ # (-R )U -»o o
=
^ [Sii0 R e ( r\i0 ^ ' i o R ) ~
V
\ 1 /2
10
Vi J
SbH+i^ktR)
(11.37)
Здесь io - индекс входного канала, a Sfoi - элементы среднего
компонента матрицы рассеяния из канапа *о в і при фиксированном полном угловом моменте £, кі = у/2р{(Е —єі)/ІЇ2,
Єі0 = 0 при столкновении ядер в основном СОСТОЯНИИ, Г) =
^ г ы г 2пе2/(П%) = ZlnZ2ne2/(rw) = aZlnZ2nc/v - кулоновский параметр, а = е2/ (he) - постоянная тонкой структуры и
с - скорость света. Кулоновские волновые функции Я^(т), ж) —
262
Ge(i),x) ±iF^(r].x) характеризуются свойствами
^ (r),£ )U -> o = 0, (11.38)
G*( t), z )|*_»o =
(ї) ,ж)I*-»,) = + о о ; (11-39)
г]1п(2х-)
Я^(г). ж) (х-+оо = ехр а
rJ.
2 + °‘
п£
+ оі
2
к£
Г] 1п(2ж) - — + о£
т) In(2.x)
^(г), ж)|я;->00 = sin
G((т), х) [ж—ю о —cos
(11.40)
(11.41)
(11.42)
с кулоновской фазой 0 £,
ехр (гое) =
Г(1 + і + ir\)
1/2
[r(l+ £ -z T ))J
(11.43)
'
ае = a rg T (l + £ + й)).
Граничные условия (11.37) учитывают вклад в полный по­
тенциал как кулоновского, так и короткодействующего ядерно­
го потенциала (напр., [335]). На больших расстояниях между
ядрами во входном канале присутствует искажение кулоновским полем плоской падающей и расходящейся сферической
волн, а в остальных каналах - только расходящиеся искажен­
ные сферические волны.
Численное решение системы (11.33) находят, начиная с ма­
лых расстояний и используя граничное условие
I u (R)\r=o =
0.
(11.44)
Сшивка с асимптотикой выполняется на расстояниях, превы­
шающих радиус действия ядерного потенциала. При числен­
ном решении обычно используется метод Нумерова (см. разд.
4.2).
После расчета элементов матрицы рассеяния можно вы­
числить сечения упругого и неупругого рассеяний ядер. Так,
дифференциальное сечение упругого рассеяния ядер на угол 0
имеет вид
^■ого(9)
d,Q
(11.45)
ІЯоіо(Є) І'
263
с амплитудой упругого рассеяния
Я о іо (Є ) =
/с(0)
+
Е ^ +
t
- 1 )^ (cos(0)). (11.46)
Здесь
/е ( в ) =
2fcsm"(0/2)
+
(П .4 7 )
- точное выражение для кулоновской амплитуды рассеяния,
P<(cos(0)) =
У«,(0) - полиномы Лежандра [61]. Диффе­
ренциальное сечение неупругого рассеяния в канал г:
doi0i,(Q)
л
(^ )і^ .(в )І2
(П.48)
( v,
связано с амплитудой неупругого рассеяния в этот канал
# o i( 0) = 2 ^ ( 7 ? )
х' \ г /
t
+ Х) ехР (2*°<0 х
x Si0iPe (cos(0)),
(11.49)
где Vi = у/2(Е —Ej)/Vj ~ относительная скорость в канале і.
Численное решение системы связанных уравнений (11.33)
для ядро-ядерных столкновений с учетом возбуждений низколежащих коллективных и одночастичных состояний в сталки­
вающихся ядрах и малонуклонных передач даже в случае про­
стых параметризаций оптического потенциала является доста­
точно сложной вычислительной задачей [336-338].
11.4.
Упругое рассеяние ядер
Рассмотрим упругое ядро-ядерное рассеяние. В этом случае си­
стема уравнений связанных канатов (11.33) упрощается и сво­
дится к одном}' уравнению. Так как у нас только один канал
264
реакции - упругий, то опустим индекс і в системе уравнений
(11.33). Тогда система уравнений (11.33) и асимптотика. (11.37),
(11.44) принимают вид
* + ^ун-Ц + уИ(щ + у с (л )+
_ 2ц дК2
2\xR2
+iW (R) - Е\ l t{R) = 0,
^;(і?,)|я=0 = 0,
q
(11.50)
(11.51)
(-R)U-4oо = ^ [H^(rl, k R ) - S fH+(-rllkR)} =
= Fe(rh kR) + Cc[GeXг], kR) + iFe(t\, kR)],
(11.52)
где St = 5foi и Сі = ^ (S f - 1).
Согласно (11.46) полная амплитуда упругого рассеяния F(Q)
определяется суммой кулоновской амплитуды рассеяния (11.47)
и амплитуды рассеяния, связанной с короткодействующим
ядерным взаимодействием. Дифференциальное сечение
упругого рассеяния (11.45) пропорционально квадрату модуля
амплитуды рассеяния.
Пренебрегая ядерным взаимодействием и поглощающим
мнимым потенциалом, т.е. полагая Se = 1, получим из (11.45),
(11.47) формулу Резерфорда для дифференциального сечения
кулоновского рассеяния
гіок(Є)
d8
( ZxZ2e2\ 2
1
V
/ sin4 0 /2 '
{
’
В соответствии с формулой Резерфорда:
• значение дифференциального сечения при 0 = 0° расхо­
дится: lime=o° <1оп% ^ = оо, так как sm0/2|e=o° = 0;
• сечение реакции не зависит от знака зарядов (в ядрах
всегда Z > 0);
• относительная форма углового распределения рассеяния
частиц с различными зарядами не зависит от энергии;
265
• зависимость абсолютного значения дифференциального
сечения от энергии ос Е~2.
Результаты расчетов и измерений упругого рассеяния за­
ряженных частиц обычно представляют в виде отношения к
дифференциальному сечению кулоновского рассеяния Резер­
форда:
rfg(8)
|F(0)|2
2
(11.54)
На рис. 12.1 приведено это отношение для реакции упруго­
го рассеяния 12С +208РЬ [339] при различных энергиях столк­
новений ядер. Видно, что при малых энергиях < 60 МэВ и
углах столкновения отношение Ре близко к 1. Это указыва­
ет на малое влияние или его отсутствие как короткодейству­
ющего ядерного взаимодействия, так и поглощения при этих
условиях. Это связано с тем, что при рассеянии на малые углы
и при энергиях столкновения меньше или близких к барьеру
(И>аггіег ~ 60 МэВ) ядра не подходят на малые расстояния друг
к другу, поэтому ядерные силы и поглощение малы и не ока­
зывают заметного влияния. При рассеянии ядер на большие
углы и при большей энергии столкновения ядра ближе подхо­
дят друг к другу, поэтому в результате поглощения и действия
ядерной части потенциала наблюдается существенное отклоне­
ние -Ре(9) от 1.
Отметим, что решение системы уравнений связанных ка­
налов для описания ядро-ядерных столкновений подобно ре­
шению задачи упругого рассеяния, но сложнее с технической
стороны. Учет спинов ядер дополнительно усложняет задачу.
266
Рис. i l l . Отношение РЕ(Э) для реакции упругого рассе­
яния 12С+208РЬ [339] при различных энергиях столкновения в
системе центра масс. Величины энергий столкновения приведе­
ны в МэВ, а углы - в градусах в системе центра масс. Расчеты
и экспериментальные данные взяты из [339].
267
Глава 12
Ядро-ядерный потенциал
12.1.
Введение
Для расчета различных характеристик ядерных реакций необ­
ходимо знать потенциал взаимодействия между сталкивающи­
мися ядрами. Этот потенциал является суммой потенциалов
кулоновского взаимодействия протонов и ядерного взаимодей­
ствия нуклонов сталкивающихся ядер. На больших расстояни­
ях между ядрами существует только кулоновское взаимодей­
ствие, которое приводит к отталкиванию ядер, а на малых существенную роль играют ядерные силы притяжения между
ядрами, приводящие к значительному отклонению суммарного
потенциала от кулоновского. В силу различной зависимости по­
тенциалов кулоновского отталкивания и ядерного притяжения
от расстояния, между ядрами формируется потенциальный ба­
рьер. Высота этого барьера связана с взаимным соотношением
величин потенциалов кулоновского отталкивания и ядерного
притяжения, действующих на малых расстояниях между по­
верхностями взаимодействующих ядер.
В настоящее время предложено достаточно много различ­
ных аппроксимаций ядро-ядерного взаимодействия, которые
приводят к различным высотам потенциального барьера меж­
ду ядрами.
Соотношение между энергией столкновения и высотой ба268
рьера определяет тип и механизм протекания ядерной реакции.
В частности, с ростом энергии столкновения увеличивается,
число возможных каналов реакции и могут изменяться доми­
нирующие каналы. В теории ядерных реакций принято класси­
фицировать реакции, используя взаимное соотношение энергии
столкновения и высоты барьера. Вычисленные в различных
моделях ядро-ядерные части взаимодействия часто оказыва­
ются различными. Это приводит к разным высотам барьера и
к тому, что одни и те же около барьерные реакции имеют раз­
личные механизмы протекания. Следовательно, точное знание
потенциала взаимодействия между ядрами и высоты барьера
является весьма важной и актуальной задачей в настоящее вре­
мя, особенно для описания синтеза сверхтяжелых ядер.
Для определения величины ядерного взаимодействия
нуклонов, принадлежащих различным ядрам, желательно
использовать наиболее точные методы, которые разработаны
для описания характеристик основного и возбужденных состо­
яний ядер. Используя эти методы, можно с высокой точностью
вычислить и энергию взаимодействия ядер. Рассмотрим при­
ближения для ядро-ядерного взаимодействия, которые наибо­
лее часто используются при описании ядерных реакций.
12.2.
Полу эмпирические
потенциалы
В феноменологических подходах ядро-ядерный потенциал V(R)
записывается, в виде суммы кулоновской Vq.(R) и ядерной V n ( . H )
частей
( 12. 1)
V(R) = VC(і?) + M R ) .
Кулоновский потенциал взаимодействия сферических ядер с
числом протонов Z\ и 7,2 часто выбирается в виде (4.6)
:2
R > Rc і
R < Rc,
269
(12.2)
1/"З
1
где Rc. = го с (-^i + ^ 2 )> ^1 и ^ 2 _ числа нуклонов в сталки­
вающихся ядрах и ?'о с _ параметр радиуса кулоновского вза­
имодействия, который обычно выбирается от 1,15 фм до 1,25
фм.
Отметим, что на больших расстояниях, когда пересечением
плотностей нуклонов в сталкивающихся ядрах можно прене­
бречь, выражение в верхней строчке (12.2) является точным,
в то время как нижнее выражение является приближенным
и описывает потенциальную энергию равномерно заряженно­
го шара с зарядом \/Z\Z2 и радиусом Rq. Д л я ядерной части
взаимодействия Vn(R) часто выбираются рассмотренные ниже
параметризации.
12.2.1.
Потенциал Вудса-Саксона
Потенциал Вудса-Саксона был введен для описания рассеяния
нуклонов на ядрах в 1954 г. [49]. Как отмечалось в гл. 4, пара­
метризация ядерной части взаимодействия таким потенциалом
оказалась полезной и широко используемой для описания раз­
личных ядерных реакций и структуры ядер.
Ядерная часть потенциальной энергии взаимодействия двух
ядер записывается в виде
(12.3)
где Vo - параметр силы взаимодействия между ядрами, R\2 радиус взаимодействия, a d - его диффузность.
В 1979 г. Акюзом и Винтером [340,341] для описания взаи­
модействия двух ядер с числами протонов и нуклонов Zi, Z2, А\
и А2 с помощью потенциала Вудса-Саксона была предложена
следующая параметризация параметров:
(12.4)
Vo d
RlZ
0,8547
1 + 0,53 (ЛГ1/3 + ^ 1/:,) ФМ’
Ri + R2,
270
( 1 . 2 .5 )
(12.6)
где R i = 1,20А^3 —0,09 - радиус г-го ядра в фм,
о = 0,95 1 - 1 , 8
2
2
А\ — Z\ А% — Z<i
А\
Aq
МэВфм 2
.коэффициент поверхностного натяжения ядра. Вид парамет­
ров потенциала свидетельствует о том, что потенциал описы­
вает взаимодействие двух поверхностей ядер и связан с силой
поверхностного натяжения. Параметризация Акюза-Винтера
широко применяется для описания различных реакций.
Однако, для более точного описания сечения ядерных ре­
акций часто требуется дополнительная вариация параметров
потенциала. Как правило, его глубина и диффузность выби­
раются не только зависящими от количества протонов и ней­
тронов, но и от энергии относительного движения ядер. Кро­
ме того, для описания упругого рассеяния в потенциал ядро­
ядерного взаимодействия необходимо добавить мнимую часть,
которая учитывает отток частиц в другие каналы и неучтен­
ные механизмы взаимодействия ядер. Такой подход позволил
описать упругое и неупругое рассеяние тяжелых ионов с А< 20,
а. также дал возможность исследовать изотопические эффек­
ты и вклады различных механизмов протекания таких процес­
сов [342-344].
Иногда для описания реакций упругого рассеяния тяжелых
ядер для параметризации ядерной части ядро-ядерного взаи­
модействия используется параметризация с помощью так на­
зываемого квадратичного потенциала Вудса-Саксона
Vn (P) =
-Vo
[1 + exp ((R —Rn)/d)]2 ’
(12.7)
где его параметры Vo, В 12 и d выбираются зависящими от энер­
гии столкновения ядер и чисел протонов и нуклонов в ядрах.
12.2.2.
Потенциал проксимити
Потенциал проксимити (от англ. proximity - близость) был вве­
ден в 1977 г. [345]. В названии потенциала отражена связь по­
тенциала и расстояния между поверхностями ядер. При выводе
271
потенциала проксимити предполагалось, что взаимодействие
между ядрами связано с взаимодействием нуклонов, которые
находятся на поверхности ядер, так как внутренние нуклоны,
вследствие короткодействующего характера нуклон-нуклонно­
го взаимодействия, слабее влияют на ядерное взаимодействие
между ядрами, поэтому ядерная часть взаимодействия может
быть связана со взаимодействием поверхностей ядер.
На больших расстояниях между ядрами энергия взаимо­
действия поверхностей уменьшается экспоненциально, что
обусловлено нуклон-пук лонными силами. При уменьшении
расстояния между поверхностями ядер взаимодействие
увеличивается по абсолютной величине и достигает максималь­
ной величины при касании поверхностей. Абсолютная величи­
на энергии притяжения поверхностей начинает уменьшаться
при уменьшении расстояния между ядрами меньше расстоя­
ния их касания, так как происходит перекрытие плотностей
ядер и в некоторой области плотность может превышать зна­
чение равновесной плотности ядерной материи. Это приводит
к уменьшению сили притяжения и к появлению отталкивания
между ядрами на малых расстояниях. Отметим, что при вы­
воде этого взаимодействия использовались идеи, заложенные
Дерягиным в 1934 г. для описания взаимодействия частиц аэро­
золей [346].
Ядерное взаимодействие между ядрами для потенциала
проксимити оценивалось как сумма, взаимодействий точек по­
верхностей ядер, находящихся на расстоянии D(x,y), т.е. как
( 12.8 )
Здесь ср(D(x,y)) - ядерное взаимодействие между точками на
поверхностях взаимодействующих ядер, а х и у - координаты,
перпендикулярные к оси, соединяющей две ближайшие точки
поверхностей ядер.
Расстояние D(x,y) можно разложить в ряд
D ( x , J/)
~
Smin
D Xx% Н" DyylJ
—
— «тій + 2 (^1 + ^ 2) а;2 + 2
272
где smin - расстояние между ближайшими точками взаимодей­
ствующих ядер. Dxx и Dyy - вторые производные по соответ­
ствующим координатам, которые указывают, как увеличива­
ется расстояние между точками поверхностей ядер, удаленных
от линии, соединяющей ближайшие точки, и имеющей коорди­
наты (х.у), Сц 2) ~ кривизны поверхностей ядер в ближайших
точках. Отсутствие первых производных в (12.9) связано с ми­
нимумом расстояния между поверхностями сферических ядер
при х = у = 0.
После замены переменных £
Г] =
=
у | (С\ + С'2 )
х
и
у ^ (Сі+ С2 ) у, а также перехода вцилиндрические ко­
ординаты Р И Ф,с учетом ТОГО, ЧТО D(x, у) ~ Smin + £2 + Г)2 =
р2, получим
S m in +
Vn(-R) ~ J dx I' dy ф(D(x,y)) —
=
( \ Ц (C! + C2A
frf? frf4<p(0(5,4)) =
= с г ^ / £ірр<р(£>(р),=
=
“
с г т к ф(5,” ) '
(12'10)
Здесь ,smax - максимальное расстояние между поверхностями,
а = 0,9-517 [l —1, 7826‘4~2Z] - коэффициент поверхностного
натяжения ядерной поверхности, я А н Z относятся к составной
системе. При определении функции ф(з) использовалось при­
ближение Томаса-Ферми с упрощенным феноменологическим
нуклонным взаимодействием. В работе [345] функция ф(«) затабулирована, а функция Ф(в) аппроксимирована следующим
•разом:
Ф(з) =
-3.437ехр(—£/0,75),
s > 1,2511,
■Ш - 2,54)2 - 0 ,0852(? - 2,54)3, s < 1,2511,
-*(
273
где ї, = s /0 ,99 - безразмерная величина, а расстояние s приве­
дено в фм.
Для случая сферических ядер Сг = 1/Л;, smin = R —Rx
.21
( 0,99 V
R‘2j Ri
R q%
V R0i ) ,В<к = 1,2 8 - 0,76 + 0, SAT
smax = smin + Rm'm + -Rmax — у Щпях ~ -^тіп5 Г'П'Є -^min и -Rnmx
- радиус меньшего и большего ядер. В этом случае потенциал
проксимити имеет вид
Vn (R) «
.Ф(Д - Д] - Д2).
(12.11)
R\ + Rq
Сила потенциала пропорциональна ^
•Впервые такая за­
висимость силы потенциала, была введена Вильчинским [347].
Потенциал проксимити оказал важное влияние на природу
и понимание ядерных сил между ядрами. Однако с практиче­
ской точки зрения этот потенциал оказался не очень удачным,
так как высоты барьеров, рассчитанные с его помощью, ока­
зываются ниже эмпирических значений для различных ядро­
ядерных систем. В 2000 г. параметры и вид функции Ф(в) по­
тенциала. проксимити были пересмотрены в [348]. Это привело
к незначительному улучшению описания эмпирических барье­
ров для различных ядро-ядерных систем.
12.2.3.
Потенциал Баса
Существует три различные параметризации потенциала, пред­
ложенные Басом в 1973-1977 г. [349], в 1977 г. [334,350] и в 1980
г. [351] годах, которые, соответственно, имеют вид
т , ( г>\
Vn (K)
= —17—-------^ -е х р
Ri + R 2
vN(R)
RlR2
0,030 exp
R,\ + i?2
+ 0 ,0 0 6 1 exp
274
(
--
Д - Д 1 - Л 2
(12 .12)
1,35
R - Ri - Rg
3,30
R —R\ —R2
065
+
(12.13)
+0,007ехр(Д- 0Д^ Дг)] <1214)
В первой формуле радиусы ядер определяются соотношени1/ 3
'
1/3
ем Rj. — 1,07Д; , а во второй и третьей
Ri = 1 ,16Аг —
1 , 3 9 Величины потенциалов в этих формулах приведе­
ны в МэВ, а расстояния между ядрами R - в Ферми.
Потенциалы Баса 1977 г. и 1980 г. годов хорошо описывают
высоты эмпирических барьеров для различных ядро-ядерных
систем, поэтому они часто используются для качественного
анализа различных околобарьерных ядерных реакций. Однако
эта. параметризация потенциала не описывает энергию ядерно­
го взаимодействия на. расстояниях, которые существенно мень­
ше радиуса барьера.
12.3.
Потенциалы однократной
и двойной свертки
Потенциалы, описывающие ядерное взаимодействие между яд­
ром и нуклоном, известны достаточно хорошо. Поэтому по­
тенциал между тяжелым и малонуклонным ядрами можно по­
пытаться построить как сумму нуклон-ядерных потенциалов,
где суммирование нуклон-ядерных потенциалов выполняется
по всем нуклонам легкого ядра. От суммирования по нуклонам
можно перейти к интегрированию по распределению плотно­
сти нуклонов в легком ядре. В этом случае потенциал взаимо­
действия между тяжелым ядром 1 и легким ядром 2 можно
представить в виде свертки
Vn(R) = f d 3r p2(r)v12(r, R).
(12.15)
Здесь p2(^) “ распределение плотности нуклонов в ядре 2,
vi2(r, R) - потенциал, связанный с взаимодействием нуклонов
легкого ядра со средним полем тяжелого ядра 1, и R - рассто­
яние между центрами тяжести взаимодействующих ядер.
Такой потенциал взаимодействия называется потенциалом
однократной свертки, потому что он зависит от распределения
плотности одного ядра. Отметим, что для описания ядерных
реакций взаимодействие г’іг(г, R) выбирается так, чтобы опи­
сать экспериментальные данные, и может отличаться от реа­
листического нуклон-ядерного взаимодействия.
Метод однократной свертки легко обобщить, полагая, что
каждый нуклон одного ядра взаимодействует с каждым нукло­
ном другого ядра. При вычислении этого потенциала учитыва­
ется взаимодействие нуклонов, которые принадлежат разным
ядрам и находятся в точках г и г'. Ядро-ядерный потенци­
ал является суммой всех нуклон-нуклонных взаимодействий,
что приводит к интегрированию по распределению плотности
в каждом из сталкивающихся ядер, т.е. к потенциалу вида
Vn(Я) = J d3r J cfV р:|( r K _ n(r, rOp^r', R).
(12.16)
Здесь un_n(r,r') - эффективное нуклон-нуклонное взаимодей­
ствие, px(r) и р2(г) - распределение плотности в ядрах 1 и 2
соответственно. Потенциал, получаемый при этом, называется
потенциалом двойной свертки (англ. double-folding potential) и
применим для различных ядерных систем, как легких, так и
тяжелых.
Отметим, что нуклоны во взаимодействующих ядрах окру­
жены другими нуклонами, поэтому взаимодействие г»п_п(г, г')
является зависящим от плотности и отличается от взаимодей­
ствия нуклонов в вакууме. Как отмечалось ранее в разделах
3.3, 3.4 в литературе известны различные параметризации эф­
фективного нуклои-нуклонного взаимодействия, применяемые
для описания различных ядерных реакций, среди которых яв­
ляются наиболее популярными силы M3Y [38-42] и Гоиьи [34].
Для того, чтобы улучшить описание ядерных реакций с по­
мощью сил M3Y были введены дополнительные множители,
которые учитывали перенормировку взаимодействия jV и за­
висимость потенциала как от плотности Т(р), так и от энергии
сталкивающихся ядер Q(E). В этом случае потенциал имеет
вид
Vn (R)
=
NQ(E) J d3r j d3r' p] (г)г’п-гг(гі, r')p2(r', R)
хЛ р і(г) + р2(г\R)).
(12.17)
Явный вид функций J'(p) и G(E), а также величины парамет­
ров этих функций, отличаются в разных подходах [39-43]. Вид
этих функций, как правило, фиксирован в рамках одного под­
хода. Однако для описания экспериментальных данных для од­
ной и той же реакции часто требуется подгонка параметра нор­
мировки N для каждой энергии столкновения [41-43].
12.4.
Полумикроскопический
потенциал
В разд. 3.2 показано, что функционал плотности энергии ядра
имеет вклады, связанные с кинетической энергией нуклонов в
ядре и потенциальной энергией нуклон-нуклонного взаимодей­
ствия:
£{рр{г),рп(г)} = [тр(г) + Тп(г)] + Vskyrme(r) +
+Vc (r).
(12.18)
Здесь Т р (г) - функционал кинетической энергии нуклонов,
Vskyrme(r) “ функционал сил Скирма, связанный с ядерным
взаимодействием нуклонов, и Vc(r) - функционал кулоновско­
го взаимодействия протонов (детальнее (3.10) - (3.19)). Зная
распределение протонов и нейтронов в ядре, а также функци­
онал плотности энергии, можно рассчитать энергию ядерной
системы
Е = j A £ [ p p(r),pn(r)].
(12.19)
Тогда потенциальную энергию взаимодействия двух ядер мож­
но определить как разницу энергии системы двух ядер на ко­
нечном R и бесконечном расстояниях друг от друга (см., на­
пример, [255,352]):
V(R )
=
E y 2( R ) - Е г - Е 2.
277
(12.20)
Здесь
E i 2(R)
= J d3r £[pp(Ryr), pn(R, r)],
(12.21)
Ei
=
Jc?3r £[plp(r),pln(r)],
( 12.22)
E‘i
= J d 3r £ [ p2p(r),p2n(r)],
(12.23)
plp(r), pln(r), p2p(r) и p2n(r) " соответственно протонные и ней­
тронные плотности в первом и втором ядре на бесконечном
расстоянии друг от друга (т.е. когда отсутствует какое-либо
взаимное влияние между ядрами), a pp(R, г) и pr|(R. г) - про­
тонная и нейтронная плотности ядерной системы на расстоя­
нии R между ядрами.
До того, как сталкивающие ядра приблизятся к друг другу
на такие малые расстояния, при которых нуклоны, принадле­
жащие различным ядрам, начнут сильно взаимодействовать,
можно пренебречь изменениями плотности в ядрах. Поэтому
плотности протонов и нейтронов в ядрах, находящихся на до­
статочно больших расстояниях R между центрами масс ядер,
равны
Pp( R , г ) =
P lp (r ) + Р2р ( Г -
R )>
(12.24)
P n ( R >r ) =
P m ( r ) + P2rc(r -
R )-
(12.25)
После того, как ядра приблизятся друг к другу достаточ­
но близко и нуклоны различных ядер будут сильно взаимо­
действовать, потенциальная энергия системы сталкивающихся
ядер зависит от предположения о виде распределения прото­
нов и нейтронов в системе. При столкновении ядер плотности
могут претерпевать существенные изменения на расстояниях
меньших расстояния касания ядер.
Однако можно предположить, что форма распределения
плотностей не меняется, т.е. использовать предположение ’’за­
мороженных” плотностей. В этом случае распределения рp(R, г)
и рn(R, г) описываются соотношениями (12.24), (12.25) и в неко­
торой области происходит возможно удвоение плотности.
Приближение ’’замороженных” плотностей является доста­
точно точным при очень высоких скоростях сталкивающихся
278
ядер, когда плотности ядер не успевают существенно изменить­
ся за время столкновения. Тем не менее, такое приближение
’’замороженных” плотностей часто используется при расчете
потенциалов и барьеров при произвольных скоростях. Оно так­
же используется при вычислении потенциалов однократной и
двойной свертки. Отметим, что барьер ядро-ядерного потенци­
ала находится на расстояниях, превышающих сумму радиусов
ядер приблизительно на. 1 ч- 2 фм, т.е. плотности взаимодей­
ствующих ядер незначительно перекрываются.
В .литературе также используется адиабатическое прибли­
жение для расчета потенциала между ядрами. В этом слу­
чае столкновение происходит достаточно медленно и для лю­
бого расстояния между ядрами (или центрами масс левой и
правой частями системы) нуклоны успевают распределиться
в пространстве таким образом, что энергия системы (12.21),
вычисленная с помощью функционала плотности энергии при
фиксированном R имеет минимальное значение. Соответству­
ющие плотности распределения протонов Pp(R, г) и нейтронов
р“ (Д, г) в сталкивающихся ядрах называются адиабатически­
ми. Потенциал, рассчитанный с использованием адиабатиче­
ских распределений плотностей протонов и нейтронов с помо­
щью (12.18) - (12.23), называют адиабатическим.
Для расчета потенциала можно также использовать зави­
сящие от времени плотности протонов и нейтронов, которые
получаются при решении зависящего от времени уравнения
Шредингера в приближении Хартри-Фока [353]. В этом случае
потенциал и высота барьера зависят от энергии столкновения.
Однако эти расчеты с реалистическими силами сложны, а с
упрощенными - схематичны. Отметим, что для определенного
расстояния между ядрами R адиабатический потенциал всегда
ниже потенциала, связанного с замороженными плотностями,
а потенциал с зависящими от времени плотностями занимает
промежуточное значение между ними.
Таким образом, ядро-ядерное взаимодействие существенно
зависит от предположения о распределении плотности в про­
цессе ядерной реакции. При этом подход, связанный с заморо­
женными плотностями, является наиболее простым.
Функционал плотности энергии имеет вклад, связанный с
279
внутренней кинетической энергией нуклонов в сталкивающих­
ся ядрах (см. первый член в (12.18)). поэтому ядро-ядерное
взаимодействие непосредственно зависит от внутренней кине­
тической энергии нуклонов в сталкивающихся ядрах. Потен­
циальная энергия взаимодействия двух ядер (12/21) имеет три
вклада
V(R) = Vkin(R) + VN(R) + VC(R),
(12.26)
связанные с изменениями внутренней кинетической энергией
нуклонов в сталкивающихся ядрах
Иіп(Д) = J d i 'r [тр(р„(Д.г)) +Тп(р„(Д,г)) - j d 3r Tp(Plp(r)) + т„(р1п(г)) - J d3r
Tp(p2p(r)) + Tn(p2n(r))] ,
(12.27)
потенциальной энергии ядерного взаимодействия нуклонов
Vn (R)
=
J d 3r Vskyrme(pp(fi, г), рп(Д, г)) — j d?r Vskyrme(pip(r)) Рігг(r)) ~
— J* d r ^Skynne(p-2p(r ) ’ p9n.(r ))
(12.28)
и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия прото­
нов
Vc(R) = j d ? r
vc(p
p(R, г)) - f r f V
-
J
Vc(plp(r))
d3r V c(p 2p(r )).
(12.29)
Вклад внутренней кинетической энергии нуклонов в стал­
кивающихся ядрах в ядро-ядерный потенциал является важ­
ным и приводит к появлению отталкивания (кора) у потен­
циала на малых расстояниях в приближении "замороженных”
плотностей [354,355]. При описании столкновений атомов и мо­
лекул вклад кинетической энергии электронов в потенциал их
взаимодействия также учитывается [356,357].
280
Вклад, связанный с внутренней кинетической энергией нук­
лонов Vkin(-R), отсутствует у потенциала двойной свертки
(12.16), (12.17), который также рассчитывается в приближении
’’замороженных” плотностей. Однако этот вклад можно допол­
нительно учесть при вычислении потенциала двойной сверт­
ки [355]. С его учетом потенциал двойной свертки имеет вид
f d3
- £ Pl(r) + ^ p 2(r) +
+ tn
П х *!
( Г
-
+
[ d ?r
, ,
+ ~tn
Z%
l(r ).
I
V
, N
+ "Cn
>
Р 2 < ).
і
l
Z\
Г'................
1
гЛ
н
- J A
Г "2
. s
і
-К іп (Д )
т>
k
1
V ’d
і її
+
p 2 (r )
A T ^ ) J d 3r J d V p j O O J X p ^ r ) + p 2 ( r ' , Д )) x
xvn-n(r, r')p2(r', R).
(12.30)
Здесь использовано предположение о том, что протонные и
нейтронные плотности пропорциональны полной плотности со­
ответствующих ядер, и преобразован вклад (12.27), Ni = A%—Zi
- число нейтронов в ?.-м ядре.
12.5.
Аналитический
полумикроскопический
потенциал
Для анализа потенциалов взаимодействия ядер и барьеров
успешно использовался полумикроскопический потенциал, свя­
занный с функционалом плотности энергии в расширенном при­
ближении Томаса-Ферми [352]. Для расчета полумикроскопического потенциала использовались ’’замороженные” распреде­
ления плотностей нейтронов и протонов во взаимодействую­
щих ядрах, вычисленные в приближении Хартри-Фока-Бого281
любова с силами Скирма. Полученные распределения плот­
ностей подставлялись в (12.20) - (12.23). Плотность энергии
была выбрана как сумма кинетического члена в виде расши­
ренного приближения Томаса-Ферми с поправками порядка К?
(5.13), (5.14), плотности потенциальной энергии для сил Скир­
ма (3.11) - (3.18) и плотности кулоновской энергии с учетом
обменного члена (3.19).
Расчет полумикроскопического потенциала с использова­
нием расширенного функционала плотности энергии связан с
численными расчетами. Однако простые аналитические при­
ближенные соотношения оказываются весьма полезными для
быстрой оценки потенциала. Поэтому для расчета полумикроскопического потенциала были найдены простые аппроксимационные формулы [255].
12.5.1.
Взаимодействие сферических ядер
Для получения простых формул в [255] были рассчитаны рас­
пределения плотностей нейтронов и протонов в приближении
Хартри-Фока-Боголюбова с силами Скирма SkM* в 119 ядрах
сферических или слабодеформированных ядрах в области от
160 до 212Ро. Затем в квазиклассическом приближении, ис­
пользующим расширенное приближение Томаса-Ферми поряд­
ка. К2 для расчета кинетической энергии нуклонов и плотности
энергии для сил Скирма SkM*, был вычислен ядро-ядерный по­
тенциал без учета вклада кулоновского взаимодействия (3.19)
в 15 точках в окрестности точки касания для всех возможных
комбинаций из 119 сталкивающихся ядер. Число возможных
различных комбинаций взаимодействующих пар ядер, которые
можно составить из 119 ядер, равно 7140. Полученные величи­
ны для 7140 потенциалов, каждый из которых был рассчитан
в 15 точках в окрестности точки касания, были аппроксимиро­
ваны следующим выражением:
Vn(R) =
VN(d) = -1,989843
f(d- 2,65) х
Rl2
х[1 +0,003525139(A1/A 2 + A2/A i)3/2 —0,4113263(Ji + I2)],
282
(12.31)
где R - расстояние между центрами масс сталкивающихся ядер,
d = R —1?і2 - минимальное расстояние между поверхностями
сталкивающихся ядер,
/ ( .,, = { і - ф 5 4 Ш
1 0 6 С е х р (-^ )~
- 0 , 5395420 (/] + / 2) ехр
2,424408,
х “ Р V0 ,7881663) ' ДЛЯ 8 ~
(12'32)
/( і ) = 1 - 0 -,8g1663 + 1,2292Ш2 - 0 ,2234277s3 -
- 0 , 1038769s4 - С (0,1844935s2 + 0 ,07570101s3) +
+(/]. + h ) (0,04470645s2 +
+ 0 ,03346870s3), для - 5,65 < s < О, (12.33)
А г. Zi И Ni - число нуклонов, протонов и нейтронов в ядре І,
(*= 1 ,2 ),/< = ( ^ - ^ ) / Л ,
R,
=
i?jP(l —3,413817/-R?p) +
+1,284589(7* - 0, ААіКА і + 200))
(12.34)
- эффективные радиусы ядер, R \2 = R\ + Ra'Rip = 1,24Aj/3(l + 1,646/A - 0,1911;)
(12.35)
- протонные радиусы ядер. Подставляя (12.31)—(12.35) в (12.1)
и учитывая (12.2), получаем полную потенциальную энергию
взаимодействия сферических ядер.
На рис. 12.1 и 12.2 приведены потенциалы взаимодействия
ядер 58Fe
и 64Ni, которые при слиянии приводятк образова­
нию ядра
122Хе, а также более тяжелых ядер70Znи 208РЬ,
которые при слиянии приводят к образованию ядра 2,8Сп. Яд­
ра 58Fe, 64Ni, 70Zn и 208РЬ рассматриваются как сферические.
Потенциалы, рассчитаны в полумикроскопическом приближе­
нии для различных наборов параметров сил Скирма [352], а
также с использованием различных феноменологических фор­
мул [255,334,345,349,350,358].
283
12г, ф
м13
Рис. 12.1. Потенциалы взаимодействия между ядрами 58Fe
и 64Ni. (а) Полумикроскопические потенциалы для рассчитаны
в полумикроскопическом приближении для наборов парамет­
ров сил Скирма SLy4, SHI, SkP и SkM*. Для сравнения приве­
ден потенциал кулоновского взаимодействия ядер (Coul); (б),
потенциалы проксимити (Ргох1977) [345], Баса 1974 г. (Bass
1974) [349], Баса 1977-1980 г. (Bassl980) [334,350], Краппе Ник­
са Сирка (KNS) [358], аналитического приближения для полумикроскопического потенциала (Analyt) [255].
284
Рис. 12.2. Потенциалы взаимодействия между ядрами 70Zn
и 208РЬ. Обозначения такие же. как и на рис. 12.1.
На больших расстояниях между ядрами ядерное взаимо­
действие резко уменьшается и полный потенциал стремится
к кулоновскому. На небольших расстояниях между ядрами
ядерное взаимодействие между нуклонами взаимодействующих
ядер приводит к отклонению полного потенциала от кулонов­
ского и к появлению барьера, см. рис. 12.1 и 12.2. На расстояни­
ях, меньших радиуса барьера, потенциал уменьшается и имеет
потенциальный карман (яму захвата).
Сравнивая потенциалы, вычисленные для различных набо­
ров параметров сил Скирма SLy4, SIII, SkP, SkM*, видно, что
потенциальная энергия в районе барьера и на больших рассто­
яниях между ядрами слабо зависит от выбора параметризации
сил Скирма. Однако на малых расстояниях полумикроскопи­
ческий потенциал, рассчитанный с помощью параметризации
SIII заметно отличается от потенциалов, вычисленных для дру­
гих параметризаций. Это связано с тем, что на малых рассто­
яниях плотности перекрываются и возникает область, где нуклонная плотность превышает равновесную плотность ядерной
материи. Так как модуль сжатия ядерной материи для набо­
ра параметров SIII имеет самое большое значение (табл. 3.2),
то это приводит к наиболее сильному отталкиванию, которое
проявляется на малых расстояниях между ядрами (рис. 12.1 и
12.2).
Сравнивая потенциалы на рис. 12.1 и 12.2, рассчитанные
для легкой 58Fe+64Ni и более тяжелой системы сталкивающих­
ся ядер 70Zn + 208РЬ, отметим, что с увеличением заряда и мас­
сы сталкивающихся ядер глубина ямы захвата уменьшается.
Более того, с ростом Z\Z-ie2 яма захвата становится мельче и
пропадает, так как сили ядерного притяжения не могут ском­
пенсировать рост кулоновского отталкивания (см. дет. разд.
15.3). Это связано с тем, что роль кулоновского взаимодей­
ствия ядер сильно возрастает с ростом произведения зарядов
в сталкивающихся ядрах Z\Z^e2.
На малых расстояниях между ядрами ядерное притяжение
ослабевает и при еще меньших расстояниях появляется оттал­
кивание, так как нуклонная плотность превышает равновесную
плотность ядерной материи. Потенциалы, рассчитанные в этом
приближении, имеют отталкивающий кор на малых расстоя­
ниях, где нуклонная плотность превышает равновесную плот­
ность ядерной материи.
28(5
Потенциалы, рассчитанные в полумикроскопическом при­
ближении для набора параметров сил Скирма SkM*, на рис.
12.1 и 12.2 сравниваются с различными феноменологическими
потенциалами, связанными с простыми аналитическими соот­
ношениями [255,334,345,349,350,358]. Видно, что феномено­
логические потенциалы значительно отличаются в области ба­
рьера. от полумикроскопического потенциала. Особенно велики
эти отличия для более тяжелой системы. Аналитическое при­
ближение для полумикроскопического приближения [255] хо­
рошо согласуется с полумикроскопическим приближением для
набора параметров сил Скирма SkM*.
Важным критерием для оценки качества потенциала яв­
ляется описание эмпирических высот £>e m p ir и радиусов jR e m p ir
барьеров. На рис. 12.3 и 12.4 приведены величины абсолютных
(слева) и относительных (справа) отклонений теоретических
высот B t h e o r и радиусов i ? t h e o r барьеров, рассчитанных в раз­
личных приближениях и моделях, от соответствующих эмпи­
рических значений [359]. На этих рисунках приведены резуль­
таты для аналитического выражения для полумикроскопиче­
ского потенциала (12.29) - (12.34) (SMP), потенциалов прокси­
мити (Ргох77 - параметризация 1977 г.) [345] и (Ргох2000 - па­
раметризация 2000 г.) [348], потенциалов Баса 1974 г. (Bass74)
[349], Баса 1977-1980 г. (Bass80) [334,350], Краппе-Никса-Сирка (KNS) [358], Акюза-Винтера (Winther) [340,341].
Из результатов, приведенных на рис. 12.3 и 12.4, следу­
ет, что эмпирические данные удовлетворительно описывают­
ся аналитическим полумикроскопическим потенциалом, потен­
циалами Баса 1977-1980 г., Краппе-Никса-Сирка и АкюзаВинтера. Отметим, что аналитическое выражение для полу­
микроскопического потенциала (12.31) — (12.35) получено на
основе микроскопических расчетов распределения плотности в
ядрах и иолуклассических расчетов потенциала, без использо­
вания экспериментальных данных. Потенциалы Баса и прокси­
мити 2000 получены с помощью подгонки экспериментальных
значений сечения рассеяния или эмпирических высот и радиу­
сов барьеров.
287
0,3
0,2
Analyt
Analyt
0,1
*»•
І**
0
1 • •
00
>-K-
-0,1
0,3
Bass 1974
Bass 1974
0,2
**,
г 1
/•
0,1
00
-0,1
0,3
Bassl980
0,2
Ȥ
4•
,
e„ 00
vЄ"-0,1
•
m
03
Оо
CJ 0,2
•s
0,1
KNS
to•54
' 1,
ЬО
f
/* .
»4
8
,
6 0,0
Ргох1977
1•
•
1
..
•и" .V*
••
0,2
0,1
-0,1
0,3
Ргох2000
0,2
4
0
’v*
І'
,
-0,1
......
.
•-
10
100
1000
Winther
0,2
•t, %
1
• і'-'
-4
."ГА:
0,3
•
•
—
00
•
Winther
4
0
Prox2000
0,1
•- - ічіі :
-4
8
Proxl977
ї:|::
0,0
-4
8
KNS
-0 1
0,3
4
0
Bassl980
0,1
0,1
0,0
-0,1
10
100
z,z2 1000
Рис. 12.3. Величины абсолютных (слева) и относительных
(справа) отклонений теоретических и эмпирических значений
высот барьеров, рассчитанных для различных потенциалов.
288
0,2
1
0
-1-2
0,0
;«•—Г*
•r
< •
<
Analyt
0,2
-
Analyt
0,2
1
0-1-2
Bassl974
. і-
0,0
j*
_i:! 1•
-
•^
Bassl974
0,2
0,2
1О
-1
-2
&•
0,0
-
Bassl980
1,
s
•frVj t
0,2
*•••
.i
.
.
Bassl980
*5 .
I 0,2
J. 1
^
Л 0-
V
Г2'
* г
0
-1
-2
*
ГГ— 1“
5з
•gs 0,0
.
I*» .
•i
f 1
Б.-0.2
KNS
KNS
a- 0,2
Proxl977
0,0
.f'v'
-* № 'Г
-
0,2
.. -v b i " 1
: •.
’ A,
j
. Г г \
Proxl977
0,2
1
0
-1
-2
0,0
-
Prox2000
> !;!;; ■»!* 4 .
*
0,2
Prox2000
0,2
1
0
-1
-2
10
•r
0,0
V
-
«4
0,2
Winther
Winther
100
z. z
10
1000
100
1000
z .z
Рис. 12.4. Величины абсолютных (слева) и относительных
(справа.) отклонений теоретических и эмпирических значений
радиусов барьеров, рассчитанных для разных потенциалов.
289
12.5.2.
Взаимодействие деформированных
ядер
При взаимодействии деформированных ядер важную роль иг­
рает их взаимная ориентация. Взаимная ориентация двух акси­
ально-деформированных ядер определяется тремя углами 0 Ь
02 и Ф (рис. 12.5). Углы ©і и 02 определяют наклон оси сим­
метрии ядер по отношению к оси, проходящей через центры
масс обеих ядер. Угол Ф определяет поворот правого ядра во­
круг оси, соединяющей центры масс обеих ядер. Зависимость
потенциала от ориентации связана с тем, что при одном и том
же расстоянии между центрами масс ядер расстояние между
ближайшими точками поверхностей взаимодействующих ядер
различно для различных ориентаций, поэтому для различных
ориентаций отличается и сила ядерного взаимодействия меж­
ду ними. Кроме того, кулоновская энергия взаимодействия де­
формированных аксиально-симметричных ядер тоже зависит
от углов © 1 , © 2 и Ф.
Рис. 11.5. Углы ©!, 02 и Ф, определяющие взаимную ори­
ентацию двух аксиально-деформированных ядер.
Рассмотрим зависимость кулоновского Vc{R-. © і, 02, Ф),
290
ядерного Vn(R, 0 і, © 2 , Ф) и суммарного
V(R, ©х, ©2, Ф) = VC(R, ©і, ©2, Ф) + VN(R, ©і, ©2, Ф) (12.36)
потенциалов между взаимодействующими аксиально-деформи­
рованными ядрами от их взаимной ориентации.
Кулоновское взаимодействие двух ядер определяется соот­
ношением
Vc(R) = е2 Гd3n ГdAr2 % У Р2(Г2).,
J
J
|К + г2 — гі|
(12.37)
где е - заряд протона и рг(гг) - распределение протонной плот­
ности в ядре г, г = 1,2. Векторы rj заданы в системе центров
масс соответствующих ядер, a R - расстояние между центрами
масс ядер. Это выражение достаточно сложное для практиче­
ского использования, так как требует шестикратного интегри­
рования. Поэтому полезно иметь приближенное аналитическое
выражение для кулоновской энергии взаимодействия, завися­
щее явно от деформации ядер и от углов ©і, ©2 и Ф, которые
определяют их взаимную ориентацию. Для решения этой зада­
чи предположим, что распределение плотности протонов имеет
ступенчатый вид во внутренней системе координат, связанной
с осью симметрии ядра:
(12.38)
Р і ( г ) = Р ,:о0 № ( 0 ' ) - г ) ,
где 0(ж) - тета-функция,
i?i(0') = Rio і + Е №
02
( 0;)
(12.39)
- радиус поверхности ядра и (3^ - параметры мультипольної!
деформации г-го ядра. В такой ситуации кулоновское взаимо­
действие двух деформированных ядер на расстоянии R между
291
их центрами масс и взаимной ориентацией, определяемой уг­
лами 01, @ 2 и Ф, имеет вид [217]
Ус(Я.,еие2,Ф) =
Щ ^ {1 +
R
+
+
02
+ / 2(Д , 0 1 , Л ю ) р ? 2 + / 2(Д , 0 2 , В Д Р І 2 +
+ / з ( Д , 0 1 ) 0 2 ) ДіО , Д 2о ) р 12 р 22 +
+ / 4 (Л, © 1, ©2, Ф, Дю, Д-2о)Р12р22} ' (12.40)
где Z] и Z‘2 - числа протонов в соответствующих ядрах,
fu(R, ©ь Rio)
ЗДю у
(2£ + 1)Д*
6\/5Л|0 v
ч
^,
(12.41)
З
- чДоІ
Л(Л’е<'ад = 3 ^ Г2”(0-)+ 7 ^ ? У4о(0«).
/ з ( Д ) © г , © 2 , Д ю , Д 20 )
Я ?10
ПД 20
2
(12.42)
__ 3_
JR4
20л +
= (12.43)
^ ^ ~ ^ [ 17cOS2( © l ) COS2 (© 2 ) —5
/ 4 (Д , © 1, © 2 ,
■ т 4 =
5v5jt
Ф, Д ю ,
cos 2( © i
) —5
cos 2( ©
{ С08 2(Ф)
Д 20 ) =
2) + 1],
З
Юл
( ^ 2 0 ( © l) + І 2 0 ( © 2)) + J r F 2 0 ( © l ) ^ 2 0 ( © 2)
*0
27
сов(Ф) sin(20i) sin(2©2) > = (12.44)
20л
27Rj0R2
20
[сов2(Ф) sin2(©i) sin2(© 2) —
40лД4
- 2 соз(Ф) sin(2©i) sin(2©2)].
292
Здесь учтена поправка на сохранение числа частиц в деформи­
рованном ядре с точностью до квадратичных членов по квадрупольной деформации ядер, а также использовалось предпо­
ложение о малости параметров деформации (3^ с I > 2 по срав­
нению с квадрупольной деформацией ядра Pie ~ Pi2- При вы­
воде этого выражения были учтены все члены порядка )322 и
пренебрегалось членами более высокого порядка малости.
Для описания ядерной части взаимодействия деформиро­
ванных ядер можно использовать теорему проксимити [345],
связанную с разложением (12.9) и соотношением (12.10), а так­
же аналитическое приближение для полумикроскопического
потенциала (12.31) - (12.35). Используя такие же приближе­
ния, как и при вычислении кулоновского потенциала, получим
Vn (Д, 0 1 , 0 2 , Ф) ~ (Сю + С*2о)/Cclef х
x V N(d (fl, 0 1 , 0 2 , ф, Д ю , ifc o .P i.P a )).
(1 2 .4 5 )
где
Cdef = [(с| + с\ ) [С і + СІ-)]1/2
(12.46)
- обобщенная кривизна в ближайших точках поверхностей
ядер; d(R, ©і, 0 2, Ф, Дю, Д2О) Pi> Р2) _ минимальное расстояние
между поверхностями взаимодействующих ядер до касания
ядер (после касания ядер d(R, © 1, ©2, Ф, Дю, Д2О) Pi, (32) ~~мак­
симальное расстояние между поверхностями, на которое одно
ядро проникло в другое); Vn(gQ - ядерная часть потенциала
взаимодействия между сферическими ядрами, определяемая
(12.31) - (12.35); Сіо = 1/Дю - кривизны соответствующего
сферического ядра; с| и
- главные кривизны деформи­
рованного ядра і в точке, ближайшей к поверхности другого
ядра.
Отношение (Сю + C,2o)/C'def в (12.46) определяет измене­
ние силы ядерного взаимодействия между ядрами, связанное с
вариацией кривизны в ближайших точках поверхностей, при­
надлежащих взаимодействующим ядрам. В случае взаимодей­
ствия двух сферических ядер этот фактор становится равным
c f = С(- = Сіо, а (Сю + С'го)/ Cdef = 1- При уменьшении
293
кривизны поверхностей или увеличении радиусов кривизны по­
верхности в ближайших точках величина (Сю + C,2o)/C,def рас­
тет и становится больше 1, что приводит к более сильному
притяжению ядер. Полезные формулы для cf и С-1 в случая
деформированных и произвольным образом ориентированных
ядер приведены в [217].
На рис. 12.6 приведены потенциалы между сферическим
48Са и деформированным 248Cm ядрами при различных ориен­
тациях деформированного ядра, рассчитанные с помощью ана­
литических соотношений (12.36), (12.40) - (12.46) и с исполь­
зованием микроскопических распределений плотностей нукло­
нов, вычисленных с использованием функционала плотности
энергии [89,217]. Потенциалы, вычисленные в этих приближе­
ниях, хорошо согласуются друг с другом.
Высота барьера и радиус барьера существенно зависят от
ориентации деформированного ядра. Высоты минимального
при угле ориентации деформированного ядра © = 0° и мак­
симального при угле ориентации деформированного ядра 0 =
90° барьеров отличаются почти на 20 МэВ. Поэтому пренебре­
жение деформацией ядер при расчете потенциала взаимодей­
ствия между тяжелыми ядрами приводит к неверной оценке
барьера, и, как следствие, некорректному описанию реакции
слияния или захвата ядер для околобарьерных энергий.
Известно, что ядра в основном состоянии имеют как вытя­
нутую (величина параметра квадрупольной деформации
|32 > 0), так и сплюснутую (|32 < 0) форму. Поэтому пред­
ставляет интерес зависимость потенциала от типа деформации
при различных: ориентациях ядер. На рис. 12.7 приведены по­
тенциалы взаимодействия двух ядер 86Кг [217], вычисленные
для различных ориентаций ядер и типах деформации.
Основное состояние ядра 8бКг является сферическим, одна­
ко для анализа эффектов деформации и ориентации на
рис. 12.7 взаимодействующие ядра 86Кг рассматриваются или
как оба вытянутые (верхний ряд рис. 12.7), или - оба сплюсну­
тые (нижний ряд), а также как одно - сплюснутое, а другое вытянутое (средний ряд). Для сравнения, на каждом рисунке
приведен потенциал между двумя сферическими ядрами 86Кг.
Так как число нуклонов и протонов в ядрах одинаково, то раз­
294
личные потенциалы на рис. 12.7 различаются только деформа­
циями и ориентациями взаимодействующих ядра.
Рис. 12.6. Потенциалы взаимодействия 48Са. и 248Сш, вы­
численные для различных ориентаций деформированного ядра
248Сш и найденные с использованием приближенного аналити­
ческого и точного численного методов.
295
296
Рис. 12.7. Потенциалы взаимодействия ядер 86Кг, вычисленные для различных ориентаций
и типов деформаций взаимодействующих ядер.
Сравнивая эти потенциалы на рис. 12.6 и 12.7 можно сде­
лать такие выводы:
• тип (вытянутая или сплюснутая) деформации и ориен­
тация ядер существенно влияет на потенциал в области
барьера;
• наименьшая высота барьера, наибольший радиус барьера
и наиболее мелкая яма захвата соответствует вытянутым
ядрам и ориентациям ©і = © 2 = 0°;
• наибольшая высота барьера, наименьший радиус барьера,
и наиболее глубокая яма захвата соответствуют сплюсну­
тыми ядрам и ориентациям ©і = © 2 = 90°.
Относительное увеличение (уменьшение) глубины ямы при
взаимодействии сплюснутых (вытянутых) ядер с ориентация­
ми ©і = © 2 = 90° (©і = © 2 = 0°) связано с тем, что (Сю +
C2o)/Cdef заметно превышает (меньше) 1, что дает усиление
(ослабление) ядерного притяжения.
Уменьшение высоты барьера, для вытянутых ядер с ориен­
тациями ©і = ©2 = 0° связано с тем, что кулоновская энергия
обратно пропорционально зависит от расстояния между ядра­
ми, поэтому больший радиус барьера приводит к меньшей вы­
соте барьера, которая связана с меньшим вкладом кулоновско­
го потенциала. Только на малых расстояниях между ядерными
поверхностями начинают действовать ядерные силы, которые
существенно меняют вид потенциала и проводят к появлению
барьера, и ямы захвата.
Отметим, что большему сечению захвата, следовательно, и
образованию компаунд-ядра благоприятствует глубокая и ши­
рокая яма. захвата, так как захватывает большее число парци­
альных волн. Мелкая и узкая яма. захвата приводит к увеличе­
нию относительного выхода реакций распада двойной ядерной
системы, образовавшейся при столкновении.
297
Глава 13
Подбарьерное слияние
ядер
13.1.
Введение
Подбарьерное слияние ядер является ядро-ядерным процес­
сом, обусловленным туннелированием ядер под барьером, ко­
торый образован действующими между ядрами притягиваю­
щим ядерным и отталкивающим кулоновским взаимодействи­
ями нуклонов. Для описания подбарьерного слияния необхо­
димо хорошо знать потенциал взаимодействия между ядрами,
так как подбарьерные процессы весьма чувствительны к по­
тенциалу. Важную роль при описании подбарьерного слияния
ядер играют коллективные свойства ядер и структура взаимо­
действующих ядер, которые оказывают влияние на проницае­
мость барьера. Ниже рассмотрим различные подходы к описа­
нию подбарьерного слияния ядер.
В этой главе при рассмотрении слияния ядер предполага­
ется, если при столкновении с околобарьериыми энергиями яд­
ра преодолели барьер, то они сливаются. Это предположение
справедливо при столкновении легких и средних ядер, так как
в этом случае ядерная система после преодоления барьера об­
разует составное ядро. Однако для тяжелых ядерных систем
ядерная система после преодоления барьера не всегда образует
298
составное ядро, так как есть конкурирующие процессы по отно­
шению к образованию такого ядра, которые будут рассмотрены
в следующих главах.
13.2.
Одномерная модель слияния
Сечение слияния легких и средних ядер 0 {ns(E) связано с се­
чением поглощения [39,40,219-221,334,360,361]
оо
Ofus(Е)
=
^Tafus(£,£) =
(.=о
ОО
=
=
Л Е ( 2 < + 1 ) ( 1 - № | 2) =
е=о
_fc2 00
+
2^Ь (.=0
(13.1)
Здесь ядра, считаются бесспиновыми; і - квантовое число, опре­
деляющее собственное значение квадрата углового момента, от­
носительного движения ядер !)?£(£+1); afus(£J, £) - парциальное
поперечное слияние ядер для 1-й парциальной волны;
Е = h2k2/(2\i) - энергия столкновения в системе центра масс;
[л = Mn
~ приведенная масса сталкивающихся ядер,
Mn - масса нуклона, Л* - число нуклонов в ядре і, а
Т({Е) = (1 —|Sy2) - коэффициент прохождения, который опре­
деляет вероятность преодоления барьера; Se - диагональный
элемент матрицы рассеяния, величина (1 — ISfl2) определяет
поглощение волны потенциалом с мнимой частью [2,5] (см. гл.
11).
Коэффициент прохождения может быть рассчитан в моде­
ли связанных каналов или каком-либо другом подходе. Наибо­
лее просто можно оценить его величину в квазиклассическом
приближении Веитцеля-Крамерса-Брюллиэна (ВКБ) [216]. В
этом приближении для энергий столкновения Е ниже высоты
барьера Vbar, он равен
ЩЕ) = [1 + exp (2А е(Е)/П)Г\
299
(13.2)
где
Лг(Е) = Ґ dR M U £(R) - E)]1/2,
Ja
(13.3)
действие, а и b - точки поворота,
u m
=
+ >к( д) +
ц
<13-4)
- эффективный потенциал, состоящий из вкладов кулоновской,
ядерной и центробежной частей соответственно, Z%- число
протонов в ядре і. При энергиях столкновения Е. превыша­
ющих высоту барьера Vbar, коэффициент прохождения аппрок­
симируется выражением (8.15) для барьера параболической
формы (’’перевернутого гармонического потенциала”). В этом
случае учитывается надбарьерное отражение части падающего
потока.
С помощью (13.1) - (13.4) и (8.15), (8.16) можно легко рас­
считать сечение слияния ядер. На рис. 13.1 приведено сечение
слияния ядер 27А1 и 197Аи для такого подхода в пренебреже­
нии спинами и деформациями обеих ядер, рассчитанное для
энергий в окрестности барьера с использованием потенциала
Краппе-Никса-Сирка [358], сила которого подогнана так, что­
бы описать сечение при высоких энергиях. Экспериментальные
данные взяты из работы [362].
Сравнивая рассчитанные величины сечения слияния с экс­
периментальными данными, отметим хорошее согласие этих се­
чений при высоких энергиях столкновения. Это указывает на
то, что барьер, определяемый ядерным и кулоновским взаимо­
действием, описан достаточно точно. Однако при низких энер­
гиях столкновения величины сечений, найденные в одномерной
модели слияния, существенно недооценивают эксперименталь­
ные данные.
300
Е, М э В
Рис. 13.1. Сравнение сечение слияния ядер 27А1 и 197Аи,
рассчитанного в различных приближениях, с эксперименталь­
ными данными из [362]. Пояснения к рисунку приведены в тек­
сте.
Подобное удовлетворительное описание величин сечения
слияния в одномерной модели при высоких энергиях столк­
новения и значительная недооценка сечения при низких энер­
гиях наблюдались для большой совокупности различных пар
ядер [219 -221,360]. Потенциалы, которые были специально по­
добраны для хорошего описания упругого рассеяния ядер в
окрестности барьера, приводили к такой же картине описа­
ния сечения слияния тех же ядер. Поэтому стало понятно, что
проблема для корректного описания околобарьерного слияния
ядер не связана с видом потенциала, а обусловлена неадекват­
ным представлением механизма реакции слияния ядер в одно­
мерной модели при низких энергиях.
Для того, чтобы описать одновременно сечение слияния
ядер в области низких и высоких энергий было предложено
301
большое количество моделей [219-221,360,361]. Сталкивающи­
еся ядра не являются застывшими (замороженными), они со­
стоят из нуклонов. Между ядрами возможен обмен нуклонами
и в сталкивающихся ядрах возможно возбуждение низколежащих коллективных возбуждений поверхности, а также других
типов возбуждений.
Ниже будет показано, что возбуждение низколежащих кол­
лективных возбуждений поверхности и передача нуклонов мо­
жет привести к существенному усилению сечения подбарьерно­
го слияния ядер при низких энергиях, практически не влияя
на сечение при высоких энергиях.
13.3.
Учет колебаний поверхности
Как отмечалось в гл. 12 (напр., рис. 12.6 и 12.7), деформация
и ориентация взаимодействующих ядер существенно влияет на
высоту и положение барьера. Предположим, что сферические
ядра могут незначительно деформироваться при фиксирован­
ном расстоянии между центрами тяжести этих ядер, и квадрупольная деформация ядра увеличивается вдоль линии, со­
единяющей центры масс ядер. С увеличением деформации яд­
ра увеличивается кулоновская энергия взаимодействия ядер и
внутренняя энергия каждого ядра, а ядерная часть взаимо­
действия ядер экспоненциально растет по величине с умень­
шением расстояния между поверхностями взаимодействующих
ядер. Увеличение внутренней энергии ядра с ростом квадру­
польной деформации связано с существенным ростом поверх­
ностной энергии ядра и слабым уменьшением собственной ку­
лоновской энергии, [47]. Таким образом, с ростом деформа­
ции, вследствие роста кулоновского взаимодействия ядер, ядра
начинают сильнее отталкиваться, а в результате увеличения
величины ядерного взаимодействия, ядра начинают сильнее
притягиваться.
Рассмотрим качественно, как ведет себя ядро-ядерное взаи­
модействие при небольших деформациях поверхностей в стал­
кивающихся ядрах. На больших расстояниях между ядрами
изменение кулоновской и внутренней энергий превышает изме302
нение ядерной энергии, поэтому отталкивание растет с увели­
чением квадрупольной деформации ядер. На больших рассто­
яниях между ядрами, когда можно пренебречь ядерным взаи­
модействием между ядрами, наиболее выгодной формой ядер
является слегка сплюснутая вдоль оси, соединяющей центры
масс ядер, так как при такой форме кулоновская энергия вза­
имодействующих. ядер минимальна [363].
На малых расстояниях между ядрами, когда расстояния
между поверхностями ядер сравнимо с радиусом действия нуклон-нуклонных сил, рост кулоновской и внутренней энергий
становится меньше изменения ядерной энергии взаимодействия
ядер, в результате притяжение между ядрами растет с ростом
деформации и суммарная (кулоновская, ядерная и внутрен­
няя) потенциальная энергия системы ядер уменьшается. Умень­
шение потенциальной энергии, вызванное деформацией ядер,
приводит к уменьшению высоты барьера. Это, в свою очередь,
приводит к усилению сечения слияния при подбарьерных энер­
гиях.
Исследуем количественно этот эффект в рамках упрощен­
ной модели связанных каналов [221]. Считаем, что во входном
канале ядра сферические и находятся в основном состоянии.
В ядрах могут возбуждаться, например, низколежащие квадрупольные р2- и октупольные р3г- колебания поверхности, при
этом радиус поверхности ядер зависит от величины ее дефор­
маций:
Ri = Д«,( 1 + р2іУ2о(Є) + Рзіузо(Є)),
(13-5)
где Rio - радиус соответствующего сферического ядра, і = 1,2.
Возбуждение вибрационных состояний, обусловленных колеба­
ниями поверхности ядра, приводит к присутствию выходных
каналов неупругого рассеяния. Рассмотрим их влияние на сли­
яние ядер. Уравнения связанных каналов для такого процесса
имеют вид
+ w ) -Q k -E
ы т
= - Е v u R m m ^ )
где фk(R)/R = фд.(Д) - радиальная часть полной волновой
функции относительного движения сталкивающихся ядер в ка303
нале к, к = 0 - соответствует налетающему каналу, к = 1
(к = 3) или к ~ 2 (к = А) ~ связаны с возбуждением вибрацион­
ного квадрупольного или октупольного колебания поверхности
в ядре 1(2); R - расстояние между центрами масс ядер, Qk - ве­
личина Q-реакі ии в к-м канале. В случае возбуждения в одном
ядре колебательного состояния с энергией возбуждения ек ве­
личина (5-реакции равна Qk = —ек. Потенциалы Vofc, которые
связывают осноь ной канал с каналами низколежащих квадру­
польных и октупольных колебаний поверхности, находятся по
теории возмуще; ,ий. Они учитывают изменение ядерного и ку­
лоновского потенциалов взаимодействия ядер, вызванные де­
формацией поверхности (13.5) одного из них, и равны
d\^(R)
dR
3 Z\Zoe2Rl~
2Є+ 1
Re+1
(13.7)
где I - мультипольность колебаний поверхности. В случае од­
новременного возбуждения различных типов колебаний в од­
ном или обеих ядрах величины (^-реакции и потенциалы Vq^
соответственно модернизируются.
Вместо точного решения системы уравнений связанных ка­
налов (13.6) можно считать, что связь каналов наиболее важна
в области барьера сталкивающихся ядер (т. н. диагонализация
на барьере) и искать волновую функции в к-м канале в ви­
де [221,360,364] ,
Ф*(Д) = ] £ И ^ П(Д).
(13.8)
Здесь Wkn - матрица, диагонализирующая матрицу связи ка­
налов Л4пт — Qn^nm Vnrri(Д-Ьат) •
ij
Wfcrt-M-nmWmp = ^ ' Wfcw[ Qn&nm "ЬVr),m( i ? b a r ) ] =
ij
= екЪкр, (13.9)
где іїьаг _ расстояние, при котором потенциальная энергия вза­
имодействия сферических ядер имеет барьер. Диагонализируя
304
матрицу связанных каналов, найдем ек. В результате уравне­
ния для волновых функций <Ік(г) имеют вид [221,360,364]:
£ і ^
+ В Д ) + €, - я ] ї , ( Л ) = 0.
(13.10)
Коэффициент прохождения Т({Е) = JJtb(E), учитывающий
связь с вибрационными каналами, равен
(13.11)
к
где Тс(Е} Vik) - коэффициент прохождения вида (13.2) - (13.4)
после замены U((R) на V^iR),
Vek(R) = [Ue(R) + ek] |д=Яьаг.
(13.12)
Подставляя Трь(Е) в (13.1), можно рассчитать сечение слия­
ния с учетом связи каналов с низколежащими вибрационными
состояниями поверхности в сталкивающихся ядрах.
Как правило, при диагонализации матрицы (13.9) величи­
на Єк для одного канала оказывается отрицательной, а для
остальных - положительной. Из (13.12) следует, что отрица­
тельное значение €[с приводит к уменьшению высоты барьера
на величину є д.. Уменьшение высоты барьера дает экспоненци­
альный рост величины коэффициента прохождения при подбарьерных энергиях столкновения и, как следствие, приводит к
увеличению сечения подбарьерного слияния ядер в результа­
те учета связи с низкоэнергетическими колебаниями поверхно­
стей в сталкивающихся ядрах.
На рис. 13.1 приведены результаты расчета сечения слия­
ния ядер 27А1 и 197Аи в том числе в моделях, учитывающих
связь с низколежащими квадрупольными 2+ состояниями в
каждом из налетающих ядер, а также с 2+ и 3 вибрацион­
ными состояниями поверхности. Сравнивая результаты этих
расчетов с результатом, который получен без учета возбужден­
ных вибрационных состояний (модель І-dim), можно сделать
вывод, что учет возбуждения низколежащих 2+ и 3“ вибраци­
онных состояний поверхности существенно усиливает сечение
305
подбарьерного слияния особенно для низких энергий столк­
новения ядер. Для высоких энергий столкновения учет связи
с низкоэнергетическими колебаниями поверхности приводит к
незначительным изменениям сечения слияния.
Для расчета усиления сечения слияния в результате свя­
зи с низколежащими поверхностными колебаниями необходи­
мо знать величины энергий Єі и амплитуд колебаний [32 и (З3
поверхностей для 2+ и 3” состояний. Компиляция эксперимен­
тальных значений этих величин приведена в [72,134]. Если экс­
периментальные величины не известны для какого-то ядра, то
их можно найти из теоретических моделей [8,47,48].
Чем больше амплитуда колебаний и меньше энергия воз­
буждения вибрационных уровней, тем к более заметному уси­
лению подбарьерного слияния приводит их учет, т.е. мягкие
ядра имеют большее усиление подбарьерного слияния, чем бо­
лее жесткие.
Наше рассмотрение ограничено учетом связи с низколежа­
щими 2+ и 3“ вибрационными состояниями поверхности. Вли­
яние колебаний других мультиполы-гостей, а также многофононных возбуждений можно рассмотреть, расширив модель.
Более точный подход к описанию сечения слияния с учетом
возбуждения низколежащих вибрационных состояний поверх­
ности, в котором уравнения связанных каналов решаются чис­
ленно, приведен в [222].
13.4.
Влияние передачи нуклонов
Величина энергии отделения нуклона(-ов) S в различных яд­
рах различна. Поэтому передача нуклона от одного ядра к дру­
гому сопровождается или выделением или поглощением энер­
гии. Эта энергия обычно называется Q-реакци и передачи и мо­
жет быть найдена, используя таблицы масс ядер [66]. Если при
передаче нуклона(-ов) от одного ядра к другому энергия выде­
ляется Q > О (поглощается Q < 0) , то кинетическая энергия
относительного движения сталкивающихся ядер увеличивает­
ся (уменьшается) на величину Q. Если при подбарьерном тун­
нелировании Q > 0, то эта дополнительная энергия, поступив­
306
шая в канал относительного движения ядер, может существен­
но уменьшить величину действия А, что приведет к значитель­
ному увеличению проницаемости барьера Т и, как следствие,
сечения слияния ядер. Следовательно связь с каналами пере­
дач с положительным значением Q-реакции должна привести
к существенному усилению сечения реакции слияния.
Рассмотрим ниже простую модель [221], которая позволя­
ет учесть влияние малонуклонных передач на сечение слияния
ядер. В случае столкновения двух ядер при энергии
ниже барьера с учетом передачи гп нуклонов на расстоянии rtr
между центрами масс ядер коэффициент прохождения имеет
вид [221]:
ТС(Е) = Т(Е, Vl, v/k) = 1/{1 + ехр[2Д(£, Ve%, v/k, З Д Ь (13-13)
где
Л(Е, v;k, v/k, Rb) = Л\Е, V}k, i?tr) + A X(E, Rtr) +
+ A f (E,v/k,Rtr). (13.14)
- полное действие системы в единицах h. Здесь
Л{Е, Ve\, /?,,) = ~
^ 2 [xl{Vlk{ R ) - E ) d R
(13.15)
- действие системы, связанное с туннелированием через на­
чальный ядро-ядерный потенциал V^k(R) от внешней точки
поворота R\k до расстояния между ядрами jRtr, при котором
происходит передача m нуклонов от одного ядра, к другому,
М ( Е , V/k, Rtr) = 1 Q
^
f (v/k(R) - E)dR
(13.16)
- действие системы, связанное с туннелированием через конеч­
ный эффективный ядро-ядерный потенциал v/k(г) от точки Rtr
до внутренней точки поворота Rj,k;
m
AtT(E, Rtr) =
(Rtv - Ri - R2 - 8) = (13.17)
' ?.=i
= 2a(i?tr — Ri —R2 —b)
307
- действие, связанное с туннелированием т нуклонов меж­
ду сталкивающимися ядрами на расстоянии между поверхно­
стями ядер RtT — Ri — R2 —5. Здесь используется аналитиче­
ское выражение для действия, описывающее туннелирование
частицы с массой М под прямоугольным барьером толщины
Яп- —Ri —R 2 —б; Ri и R‘2 - расстояния между центром тяжести
соответствующего ядра и точкой его поверхности, ближайшей
к поверхности другого ядра; параметр 8 учитывает влияние
диффузного распределения плотности, (і; и ^ - эффективные
массы сталкивающихся ядер до и после передачи нуклонов.
Эффективные потенциалы между ядрами до и после передачи
нуклонов от одного ядра к другому равны
Ve\(R)
=
Uj(R),
(13.18)
V/k(R)
=
u((R) + zk - Q f .
(13.19)
Потенциалы Щ(Я) и U[ (R) имеют, также как и (13.4) ядер­
ную, кулоновскую и центробежную части, связанные с соот­
ветствующим нуклонным составом ядер до и после передачи.
Эффективный потенциал взаимодействия ядер после передачи
учитывает величину Qf реакции передачи и энергию возбуж­
дения ядра гк после передачи, так как нуклоны могут быть
переданы как в основное гк = 0, так и в возбужденное гк ф О
состояния.
Соотношения (13.13), (13.14) были получены в работе [221]
с помощью квантово-механического интеграла по траектори­
ям [365]. Амплитуда перехода сквозь барьер в случае двух пе­
ременных описывается интегралом по траекториям [365]
< Rf,rf\Ri,ri > = J VR(t) T>r(t) exp (і A [R, г]/h), (13.20)
где A[R, r\ - величина действия. Переменные R и г описывают
положение центров масс ядер и передаваемых нуклонов соот­
ветственно, а индексы і и / описывают начальную и конечную
точку поворота.
Используя свойства интеграла по траекториям [365], пере­
пишем амплитуду в виде
< R,f,rf\Ri,ri > =
= J VRi(t) Vri{t) VR2{t) Vr2(t) < Rf ,rf \R2,r2 > x
x < R2,r2\Ri,ri > < Ri,ri\Ri,ri > . (13.21)
Нуклоны, передаваемые от одного ядра к другому, находятся
на уровне Ферми или уровнях, близких к уровню Ферми. Энер­
гия этого уровня, рассчитанная от дна потенциала среднего
поля нуклонов, порядка 40 МэВ. Поэтому скорости передава­
емых нуклонов высоки по сравнению с относительной скоро­
стью ядер возле барьера в классически разрешенной области.
Можно предположить, что такое же соотношение между ско­
ростями передаваемых нуклонов и сталкивающихся ядер со­
храняется и в классически запрещенной области, так как мас­
сы передаваемых нуклонов существенно меньше приведенных
масс ядер до ііДі?) и после \if(R) передачи. Поэтому скорость
передачи нуклонов между ядрами существенно выше скорости
относительного движения ядер.
Полагая, что процесс передачи нуклонов происходит меж­
ду точками (Дь п ) и (R‘2 -r2), в пределе мгновенной передачи
Ri —>■R2 = Rtx амплитуду перехода (13.21) перепишем в виде
< Rf ,rf\Ri,ri > = J VRtT(t) < R f ,r f \RU:,rf > х
х < Rti,'i'f\Rtr,Ti > < i?tr; ГгIRi; гi > (13.22)
Поскольку в интеграле все траектории суммируются с экспо­
ненциальным весом, то основной вклад дает траектория с ми­
нимальным значением действия. Поэтому при расчете ампли­
туды перехода расстояние Ru выбирается из принципа мини­
мального действия, обеспечивая тем самым максимальное зна­
чение амплитуды перехода, т.е.
< Rf ,rf \Ri,ri >«• [< Rf ,rf \Rtv,rf > х
х <
> < Ri„ri\Ri,ri >]|m a x *
(13.23)
Если в этом выражении пренебречь амплитудой передачи нук­
лонов < Rf,rtT\Ri,rtr >, то оно переходит в известное квази­
классическое выражение для матричных элементов (§51 в [5]).
309
Интеграл по траекториям и шредингеровское представле­
ние для квантово-механических амплитуд перехода эквивалент­
ны [365], поэтому квадрат амплитуды перехода (13.23) связан
с коэффициентом прохождения и равен
|< Rf,rf\Ri,rj. > |2 ^ |< R.f , r f \Ru ,r f > |2 х
х |< Rtv. г f IRfa-, г, > I x I < RtT, гj IRi, Vi > | =
= exp
X exp - | A u ( E , R , r)
- - А \ Е М М
2
x exp
exp
~ M ( E , V t{ , I t lr)
-T A ( E , \ % v L R t r )
(13.24)
где координата Rtr определена из принципа минимального дей­
ствия. Здесь учтено, что действие под барьером в классически
запрещенной области является мнимой функцией. При боль­
ших значениях действий это выражение точно совпадает с со­
отношениями (13.13), (13.14).
Передача нуклонов также зависит от кинематического фак­
тора [341], который учитывает вероятности передачи нуклонов
с различными значениями Q:
F { Q ) = exp [—[(Qtr _ Qopt,)/r]2],
(13.25)
где Qopt ~ оптимальное значение Q-реакции и
Г = 2П
-а[2 £ - У ( Д Ьаг) р 1/2
(13.26)
- ширина <3-окна„ Здесь а - параметр, введенный в (13.17), R,\yAV
- радиус барьера. Д ля реакций передачи нейтронов Qopt ~ О
[334].
В результате сечение слияния ядер с учетом как связи с
каналами низколежащих колебаний поверхности, так и с кана­
лами передачи нуклонов в основное и возбужденные состояния
310
равно [221]
°'"’{Е) = Ц
Ві 2' +1)Ек і№“ ігх
^
х
f Q“ dQtr Т ( Е , УД, 7 f{ ) F ( Q tr) g (Q tv) , (13.27)
J —ОС
где g(Qtt) ~ плотность уровней возле поверхности Ферми [47,
301] и Qgg - величина Q -реакции при передачи частицы между
основными состояниями ядер. Вследствие резкой экспоненци­
альной зависимости коэффициента прохождения, интеграл в
(13.27) может быть приближенно ограничен областью от —10-т— 15 МэВ до Qgg, а также можно пренебречь зависимостью
g(Qtv) от Qtv
Расчет сечения слияния ядер 27А1 и 197Аи с учетом пере­
дачи двух нейтронов от ядра золота к ядру алюминия приве­
ден на рис. 13.1. Канал двухнейтронной передачи между ос­
новными состояниями ядер имеет положительную величину
(^-реакции (2,45 М эВ) и незначительно усиливает сечение сли­
яния ядер. Сечение слияния, рассчитанное только с учетом
канала передачи нуклонов, недооценивает экспериментальные
данные при подбарьерных энергиях. Только одновременный
учет связи с каналами низколежащих вибрационных колебаний
и нейтронных передач приводит к хорошему описанию экспе­
риментальных данных.
На рис. 13.2 приведен расчет сечения слияния ядра 40Са с
изотопами циркония 90,96Zr. Для реакции 40C a + 90Zr учет связи
с каналами неупругого рассеяния с возбуждением низколежащих коллективных колебаний поверхности привел как к суще­
ственному увеличению сечения слияния по сравнению с одно­
мерной моделью, так и к удовлетворительному описанию экс­
периментальных данных. Однако для реакции 40C a + 96Zr по­
добный учет не привел к удовлетворительному описанию дан­
ных.
311
Рис. 13.2. Сечения слияния ядра 40Са с изотопами цирко­
ния 90,96Zr, рассчитанные в одномерной модели (І-dim ), с уче­
том связи с низколежащими коллективными колебаниями по­
верхности в ядрах (vib), с учетом каналов нейтронных передач
(tr), а также с одновременным учетом каналов нейтронных пе­
редач и низколежащих коллективных колебаний поверхности
(tr+vib). Экспериментальные данные взяты из [366].
312
Для реакции 40C a + 96Z г канал передачи двух нуклонов от
основного состояния ядра циркония к основному состоянию
кальция имеет большое положительное значение Q-реакции
(5,525 М эВ). У чет только каналов передачи нуклонов привел к
существенному усилению сечения слияния для реакции
40С а + 96Zr в подбарьерной области, а одновременный учет ка­
налов нейтронных передач и низколежащих коллективных ко­
лебаний поверхности в ядрах привел к удовлетворительному
описанию экспериментальных данных.
Заметим, что в реакции 40Ca-(-90Zr отсутствуют каналы пе­
редачи нуклонов со значительным положительным значением
Q-реакции, поэтому передача нуклонов не оказывает влияния
на сечение слияния этих ядер.
Сечения слияния для реакций 40C a + 9QZr и 40C a + 96Zr при
одной и той же энергии столкновения существенно различа­
ются (см. рис. 13.2). Кулоновская энергия взаимодействия для
этих ядерных систем одинакова. Ядерная энергия и свойства
вибрационных состояний близки. Следовательно, различие
сечений слияние вызвано только передачей нуклонов от цир­
кония кальцию.
Отметим, что ядра 27Al, 40Са, 90’96Zr и 197Аи распростране­
ны в природе. В последнее время при проведении эксперимен­
тов появилась возможность использовать ядра, удаленные от
линии бета-стабильности, например ядро 132Sn [367]. Удален­
ные от линии бета-стабильности нейтронно-избыточные ядра
имеют малую величину энергии отделения нейтрона и боль­
шую величину Q -реакции передачи нейтронов от нейтронно­
избыточного ядра к ядру, близкому к линии бета-стабильности.
Следовательно, сечения реакций подбарьерного слияния нейтронно-избыточного ядра и ядра, близкого к линии бета-стабильности, должны иметь достаточно большие значения за счет
передач нуклонов между ядрами. Расчеты сечения слияния яд­
ра 28Si с изотопами олова 124Д26,128Д30,132дп в рамках предло­
женной модели, выполненные с одновременным учетом кана­
лов нейтронных передач и низколежащих коллективных коле­
баний поверхности в ядрах, указывают на такое увеличение
сечения слияния (рис. 13.3). Сечение слияния растет с ростом
числа нейтронов в олове. Отметим, что в реакции 64Ni с различ­
313
ными изотопами олова была экспериментально подтвержде­
на важная роль передачи нуклонов при слиянии нейтронно­
избыточных изотопов олова [367].
Рис. 13.3. Сечения слияния ядра 28Si с изотопами олова
12 4 ,1 2 6 ,1 2 8 ,1 3 0 ,1 3 2 рассчитанные с одновременным учет кана­
лов нейтронных передач и низколежащих коллективных коле­
баний поверхности в ядрах.
В разд. 13.4 предполагалось, что ядра 27А1, 28Si, 40Са,
90,96Zr, 124Д26,128,130,132g n и 197д и являются сферическими. Уве­
личение сечения слияния, рассмотренное до сих пор, было свя­
зано как с передачей нуклонов, так и с вибрационными коле­
баниями поверхности вокруг равновесной сферической формы.
Д ля большинства сферических систем ядер такой подход при­
водит к хорошему описанию экспериментальных ядер.
Д ля некоторых систем ядер сечения слияния были хорошо
описаны в окрестности и ниже барьера в рамках обсуждае­
мого подхода, однако при глубокоподбарьерных энергиях рас­
считанные сечения превышают экспериментальные [368]. Для
объяснения эффекта подавления сечения слияния при глубоко314
подбарьерных энергиях предложено несколько различных ме­
ханизмов (дет. в [369-371]).
13.5.
Слияние деформированных
ядер
До сих пор рассматривались механизмы слияния сферических
ядер. В природе встречается много деформированных ядер, по­
этому далее рассмотрим подбарьерное слияние сталкивающих­
ся ядер со статической деформацией поверхности. Как было
отмечено в подразд. 12.5.2, потенциалы взаимодействия ядер и
высоты барьеров существенно зависят от взаимной ориентации
деформированных ядер. При их столкновении возможны раз­
личные взаимные ориентации, следовательно, зависимость по­
тенциала от ориентации деформированных ядер должна про­
явиться при расчете сечения слияния таких ядер в окрестности
барьера [372,373].
Если условиями проведения эксперимента ориентации стал­
кивающихся ядер специально не фиксированы, то при столк­
новении ядер возможны различные их взаимные ориентации.
Поэтому необходимо усреднить сечение слияния по всем воз­
можным взаимным ориентациям деформированных ядер [373]
< Е)
=
7 ^ ' £ ( 2 Є + 1 ) < Т е( Е , Є 1, Є 2, Ф ) > =
71
2л
х J s in (e 2) d e 2 J (1Ф Щ Е , © і , @ 2, Ф).
о
о
(13.28)
Здесь Т({Е, © і ,0 о , Ф) - коэффициент прохождения сквозь ба­
рьер, вычисленный при энергии столкновения Е и взаимной
ориентации ядер, определяемой углами © і, 0 2 и Ф; £ - от­
носительный угловой момент сталкивающихся ядер; угловые
скобки обозначают усреднение по углам © і , ©2 и Ф.
315
Отметим, что вследствие действия кулоновских и ядерных
сил ядра могут слегка повернуться при подлете к друг дру­
гу. Так как дальнодействующий кулоновский потенциал для
данного расстояния между вытянутыми ядрами имеет мини­
мальное значение при © і = ©2 = 90° [363], то кулоновское
взаимодействие приводит к увеличению углов © і и ©2 на ста­
дии подлета и приближает их к © і = ©2 — 90°. Короткодей­
ствующее ядерное взаимодействие, наоборот, приближает ори­
ентацию вытянутых ядер к © і = ©2 = 0°. Однако расчеты
показывают, что вариациями углов при подлете ядер друг к
другу можно пренебречь, так как они, как правило, порядка
нескольких градусов.
При энергиях столкновения ниже барьера величину коэф­
фициента прохождения определим в квазиклассическом при­
ближении В К Б [5,216]. В этом случае он равен [373]
2 К Я , © ь © 2,Ф) = [1 +
-1
0 Ьц(Е,
+ ехр
Ti
J
^ [ В Д © !,© * ^ ) -^
dR
. (13.29)
ag(E,®і,02-Ф)
Здесь ае(Е, © і , © 2, Ф) и bg(E, © і, © 2, Ф) - внутренняя и внеш­
няя точки поворота, [л - приведенная масса ядер,
Vt (R, ©X, © 2) Ф) = VC (R, © ь © 2; Ф) +
+ r lVN (R, ©X, © 2, ф) +
~ 2 ^ Д 2 --
(13'30)
- полный ядро-ядерный потенциал взаимодействия ядер, вы­
численный на расстоянии R между центрами масс ядер для
взаимной ориентации ядер под углами © i ,@ 2 и Ф. В (13.30)
V c( R, © і , © 2, Ф) - кулоновский потенциал взаимодействия ядер,
Г) - подгоночный коэффициент, определяющий величину вкла­
да ядерной части V ^ ( R , © і, © 2, Ф) в полный потенциал, а по­
следний член - вращательная энергия системы. Внутренняя и
внешняя точки поворота определяются соответственно из усло­
вий
© 1, © 2>Ф ) ,© 1, © 21Ф) = Е,
Vg(bi(E, © і, © 2, Ф), © і, © 2, Ф) = Е.
316
При энергиях столкновения выше барьера величина коэф­
фициента прохождения определяется вероятностью прохожде­
ния волны над перевернутым потенциалом гармонического ос­
циллятора и учитывает надбарьерное отражение от барьера
(см. также (8.15), (8.16), (10.63)):
Щ Е , Є и &2, Ф) = 1 / { 1 +
УКДЬаг(0 1 , 0 2, Ф), 0 Ь 0 2, Ф) - Е'
+ ехр 2 л Ш
. (13.31)
Так как высота барьера V^(i?{.jar( 0 i , 0 2 , Ф), 0 1 , 0 2 , Ф), его кри­
визна
Ш
Ь? d2V((R, © і, © 2, Ф)
(13.32)
dR 2
Я = 4 ’ а г( 0 Ь 0 2 ,Ф )
и положение ії^аі'(© і, © 2, Ф) существенно зависят от ориента­
ции ядер и от величины их относительного углового момен­
та £, то коэффициент прохождения, вычисленный с помощью
(13.29) или (13.31), также зависит от углов © і , © 2, Ф, и I.
На рис. 13.4 приведены потенциалы взаимодействия вытя­
нутого ядра 154Sm (р2 = 0 ,3 4 ) и сплюснутого ядра 28Si (р2 =
—0 ,4 0 7 ), рассчитанные при различных ориентациях [373]. Так­
же на этом рисунке сравниваются сечения слияния для ре­
акции 154Sm + 28Si, рассчитанные в различных приближени­
ях [373], с экспериментальными данными из [374]. Хорошее
описание экспериментальных значений сечения слияния при
энергиях выше барьера на рис. 13.4 достигнуто варьированием
параметра г) (см. (13.30)). Сечение при подбарьерных энергиях
существенно зависит от учета различных механизмов тунне­
лирования сквозь барьер и точности вычисления потенциала.
Для реакции 154Sm + 28Si было найдено г) — 0 ,96 .
317
5
6
7
8
9 10 11 12 13 5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
Рис. 13.4 Потенциалы взаимодействия вытянутого ядра 154Sm
и сплюснутого ядра 28Si, рассчитанные при различных ориен­
тациях ядер (сверху). Нижний график - сечения слияния ядер
28Si + :154Sm, рассчитанные с учетом деформации ядер и всех
возможных ориентаций, а также для случая сферических ядер.
Точки: • - экспериментальные данные из работы [374].
Из рис. 13.4 видно, что приближение сферических ядер поз­
воляет описать сечение слияния при высоких энергиях (выше
барьера), но при подбарьерных энергиях сильно недооцени ва­
зі 8
ет экспериментальные данные. У чет деформации сталкиваю­
щихся ядер приводит к значительном}' росту величины подбаг
рьерного слияния, что приводит к существенному улучшению
описания экспериментальных данных во всем диапазоне
энергий.
Для системы 154Sm + 28Si наиболее низкий барьер свя­
зан с ориентацией ядер 0 ] = 0° и 02 = 90°. Отметим, что
высота барьера для этой ориентации деформированных ядер
приблизительно на 9 МэВ ниже высоты барьера для этих лее
ядер в случае сферической формы, что и является причиной
значительного увеличения сечения слияния в области низких
энергий.
Для реакции 154Sm + 28Si учет членов второго порядка, по
квадрупольной деформации в потенциале взаимодействия (см.
(12.35) - (12.42)) незначительно влияет на сечение слияния.
Для описания слияния ядер 154Sm + 28Si в случае очень низких
энергий также необходимо вводить дополнительный механизм
усиления вероятности слияния, так как рассчитанное сечение
меньше экспериментальных значений.
Теперь рассмотрим процесс захвата тяжелых ядер, кото­
рый связан с преодолением барьера между ядрами и образо­
ванием диядерной системы. При захвате легких или средних
ядер с энергией столкновения, близкой к энергии барьера, и
небольших угловых моментах практически всегда происходит
слияние ядер и образование составного ядра, поэтому сечения
захвата и слияния совпадают. В случае столкновения тяжелых
ядер образование составного ядра из диядерной системы подав­
лено, так как вероятность квазиделения для тяжелых ядерных
систем высока. Следовательно, для тяжелых систем сечение
захвата, больше сечения образования компаунд-ядра. Сечение
захвата тяжелых ядер определяется коэффициентом прохож­
дения и теми же соотношениями, что и сечение слияния легких
или средних ядер.
Сечение захвата, для тяжелых ядро-ядерных систем
представляет особый интерес, так как в этих реакциях
происходит синтез сверхтяжелых элементов [375-378], а захват
ядер,
связанный
с
образованием
системы
слипшихся
касающихся ядер, является начальной стадией процесса
319
образования сверхтяжелого элемента [79]. Отметим, что с
ростом массы и заряда сталкивающихся ядер деформацион­
ные и ориентационные эффекты во взаимодействии ядер про­
являются сильнее, что является важным для описания сечений
ядерных реакций.
На рис. 13.5 приведено сравнение с экспериментальными
данными [379-383] сечения захвата ядер 48Са + 244Ри.
Сечения, вычисленные с учетом членов второго порядка по
величине квадрупольной (j32 =
0,293) деформации и с
учетом линейных членов с гексадекапольной (р4 = 0.062)
деформации ядра 244Ри, хорошо согласуются с эксперименталь­
ными величинами. Такой учет членов, зависящих от деформа­
ции, связан с тем, что, как правило, выполняется соотношение
р2 » р4.
Д ля реакции 48Са + 244Ри из подгонки сечения слияния
при больших энергиях была определена величина Г) в (13.30)
г] = 0 ,8 9 4 [373]. В приближении сферической формы сталкива­
ющихся ядер величины сечения захвата существенно меньше
экспериментальных значений. Эта недооценка сечения связа­
на с тем, что высота барьера потенциала, рассчитанная для
ядер сферической формы, существенно превышает барьер, рас­
считанный с учетом деформации тяжелого ядра для ориента­
ции © і — 0° (рис. 13.5). Кроме того, яма потенциала, вычис­
ленная в приближении сферической формы ядер, мельче ямы
потенциала, определенной с учетом деформации ядер, поэтому
меньшее число парциальных волн может быть захвачено ямой,
что и приводит к уменьшению сечения даже при высоких
энергиях.
Несмотря на малую величину гексадекапольной деформа.ции тяжелого ядра, ее учет оказывает существенное влияние на
величины сечения, особенно при низких энергиях (рис. 13.5).
Это связано с влиянием гексадекапольной деформации на
высоту барьера и на глубину ямы захвата для некоторых ори­
ентаций ядер.
320
Р и с . 1 3 .5 . Полный потенциал взаимодействия ядер 48Са +
244Ри, рассчитанный для различных ориентаций 244Ри сверху,
а внизу - зависимость сечения: захвата от энергии для реакции
48Са + 244Ри. Точки - экспериментальные данные. Сплошная,
штриховая и штрихпунктирная кривая - сечения слияния, най­
денные в полном приближении, в приближении сферической
формы 244Рп, а также без учета гексадекаполыюй деформа­
ции 244Ри, соответственно.
321
13.6.
Слияние ядер в звездах
Звездная материя состоит из нуклонов, дейтронов, тритонов, ачастиц, ядер, гамма-квантов, электронов, нейтрино, мезонов и
античастиц, которые взаимодействуют между собой. Разнооб­
разные ядерные реакции, такие как захват, слияние, расщепле­
ние, возбуждение, упругие и неупругие столкновения, гаммаизлучение и гамма-поглощение и тому подобные происходят
в звездной материи при горении звезд, взрывах сверхновых
и других стадиях эволюции звезд. Поперечные сечения этих
ядерных реакций определяют разнообразные свойства звезд,
их эволюцию и нуклеосинтез элементов в звездном веществе.
Распределение частиц по скоростям в звездах, с темпера­
турой Т описывается распределением Максвелла-Больцмана,,
поэтому и энергии столкновения Е частиц также подчиняются
этому распределению:
(13.33)
Еехр(-Е /кТ ),
где Т задается в кельвинах, а к - константа Больцмана. Из
(13.33) видно, что число высокоэнергетических ядер в звездной
материи экспоненциально уменьшается.
При низких глубокоподбарьерных энергиях столкновения
ядер, сечение захвата (слияния) сталкивающихся заряженных
ядер а ( Е) экспоненциально уменьшается с уменьшением энер­
гии столкновения (см. рис. 8 .2 , 13.1-13.3). При фиксированной
энергии столкновения сечение слияния резко падает с ростом
зарядов сталкивающихся ядер, так как растет высота потенци­
ального барьера между ядрами. В результате интенсивность и
количество различных ядерных реакций в звездах определяет­
ся температурой звездного вещества, которая задает распреде­
ление энергий столкновения в ядерных реакциях, и сечением
реакции, т.е. пропорциональна произведению
Е е х р ( - Е / к гГ ) а( Е) .
(13.34)
Это произведение имеет максимум при определенной энергии,
столкновения, который часто называют гамовским пиком в
честь Г.А. Гамова.
322
В более горячих звездах энергия больше и происходит боль­
шее число реакций и, в том числе, становятся возможными ре­
акции слияния с более тяжелыми ядрами. Таким образом су­
ществует связь между температурой звездного вещества и ти­
пом и количеством протекающих реакций, т.е. стадией горения.
Стадии горения и соответствующие температуры в кельвинах
и МэВ ах можно представить в таком, виде:
Стадия горения
Типичные температуры Т
К
М эВ
Н (центр Солнце)
Не
«й 1 ,5 7 - 10 7
« 1 ч- 2 • 10s
« 0,0015
яз 0 ,0 0 9 + 0 ,0 1 7
С
О
w 0 ,8 -г Ы О 9
«2- Ю9
« 0 ,0 9
» 0 ,1 7
Si
и 3 ,5 • 109
« 0 ,3
Величина сечения при малых энергиях столкновения важ­
на для расчета различных характеристик звезд. Увеличение
сечения захвата приводит к увеличению интенсивности реак­
ции, следовательно, к изменению выделения (или поглощения)
энергии в ядерных реакциях в звездной материи, что влияет
на процесс горения звезды и состав звездного вещества. Ниже
рассмотрим различные механизмы увеличения сечения реак­
ций в звездной материи.
В звездах при высоких температурах постоянно происходят
столкновения нуклонов, дейтронов, тритонов, а-частиц, ядер,
гамма-квантов, электронов, нейтрино, античастиц и других раз­
нообразных частиц, которые приводят к разнообразным ядерным реакциям. В результате этих реакций могут возбуждать­
ся низкоэнергетические уровни ядер. Существует достаточно
много ядер, у которых энергия низколежащих возбужденных
состояний мала, є* ~ 0 ,1 - 0,3 МэВ. Следовательно, ядра в
горячих звездах могут находиться как в основном, так и в воз­
бужденном состояниях.
В статистическом приближении вероятность нахождения
частицы В СОСТОЯНИИ С энергией возбуждения Єі и СПИНОМ ji
в звездном веществе при температуре Т может быть оценена.
823
как
P (ti,ji,k T ) =
(2jj + 1) Є Х р (-£?;А Т )
(13.35)
Е £ о ( 2Л + ! ) ехр (-Є і
Здесь суммирование выполняется по всем состояниям системы
і, причем состояние с г = 0 является основным с энергий воз­
буждения єо = 0 , состояние с і = 1 соответствует нижайшему
2 + колебательному возбуждению поверхности с энергией воз­
буждения El = Evib и состояния с і > 2 связаны с другими
возбужденными состояниями ядра, энергия возбуждения ко­
торых, как правило, превышает єі.
Температурная зависимость вероятности (13.35) заселения
основного, нижайшего 2 + колебательного возбуждения поверх­
ности и других возбужденных состояний в ядрах 52Fe и 80Sr
приведена на рис. 13.6 [384]. В ядрах 52Fe и 80Sr энергии воз­
буждения нижайших 2+ состояний соответственно равны Evjb =
0 , 849 М эВ и 0,386 МэВ. Амплитуды квадрупольных колебаний
поверхности у этих, возбужденных состояний ядер достаточно
велики [3vib = 0, 308 и 0,404, поэтому говорят, что ядра. a2Fe и
80Sr достаточно мягкие. Из рис. 13.6 видно, что при темпера­
турах звездной материи к Т ~ 0 ,1 — 0, 3 МэВ заметное число
ядер находится в возбужденных состояниях.
Рассмотрим ядерные реакции слияния в звездах с учетом
того, что в звездах ядра могут находится в основном и возбуж­
денных состояниях. Высоты барьеров между возбужденными
ядрами с квадрупольными деформациями поверхности отли­
чаются от высоты барьера между сферическими ядрами в ос­
новном состоянии. Изменение высоты барьера может сказаться
на сечении реакции слияния, поэтому величины сечений слия­
ния между ядрами, находящимися в основных и возбужденных
состояниях, могут отличаться.
324
Р и с . 1 3 .6 . Температурная зависимость вероятности засе­
ления основного (g.s.), нижайшего 2 + колебательного возбуж­
дения поверхности (vib. 2 + ) и других возбужденных состояний
(high-energy) в ядрах 52Fe и 80Sr.
В качестве примера рассмотрим реакции захвата альфачастиц. При горении звезд температуры значительно меньше
энергии 20,21 МэВ первого возбужденного состояния альфачастицы , поэтому при рассмотрении реакций в звездах альфачастицу можно рассматривать как жесткое ядро сферической
формы. Поэтому необходимо учитывать только влияние воз­
бужденных состояний ядра при расчете сечения реакции меж­
ду альфа-частицей и мягким ядром в горячей звездной мате­
рии.
Сечение захвата альфа-частицы ядрами в звездах имеет
вид [384]
ОО
о{Е,кТ) = Y ,P (zi,3 i,kT )oi(E ),
(13.36)
i= 0
где а і (Е) - сечение захвата альфа-частицы ядром в г-м состоя­
325
нии с энергией возбуждения є* и спином ji, Е - энергия столк­
новения ядер.
Сечение захвата частицы со спином 0 ядром со спином j
равно
(13.37)
где [і - приведенная масса, £ - орбитальный моменты, системы
в начальном канале, J - полный угловой момент системы и
t j e( E) - коэффициент прохождения.
К ак обсуждалось ранее, потенциал и сечение слияния (за­
хвата) существенно зависит от формы сталкивающихся ядер.
Следовательно, колебания формы ядра, связанные с нижай­
шим 2 + колебательным возбуждением поверхности, могут ока­
зать влияние на сечение. Форма, ядра в высоковозбужденных
состояниях і > 2 может быть сферическая или деформирован­
ная с мультипольиостыо колебаний поверхности X > 3. Дефор­
мации поверхности мультипольиости X > 3 оказывают меньшее
влияние на сечение слияния, чем квадрупольные деформации,
поэтому для простоты положим, что состояния с і > 2 имеют
сферическую форму. Тогда оі{Е)\і > 2 « oq(E) и сечение альфазахвата (13.36) будет иметь вид
ОО
а (Д , кТ) и [Р (0 ,0, кТ) + Y ,
ОО
:к~. кТ)}а0{Е) +
ОО
Y , P ( z i , j u k T ) = [ Р ( 0 ,0 І Т ) + 5 ] Р ( е1, і і і {;Г)] +
г =2
+ P (e vib, 2 , кТ) = 1 (13.39)
получаем простое соотношение для сечение альфа-захвата
а{Е, к Т ) « а0(Е) + P ( 6vib, 2, кТ)[аг (Е) - о 0(Я)] =
= о 0(Е) { 1 + P(eVib, 2, к Т ) [s(E) - 1]},
326
(13.40)
где
8(E) - al (E)/oo(E).
(1.3.41)
Отношение s ( E) непосредственно демонстрирует отличие сече­
ний захвата ядром в нижайшем 2+ возбужденном (o i) и основ­
ном (ао) состояниях.
При вычислении коэффициента прохождения t je( E) в
(13.37) необходимо провести усреднение по всем углам подлета
альфа-частицы (см. также (8.2) - (8.4)) и учесть что ядерная
поверхность осциллирует возле основного состояния ядра, т.е.
необходимо усреднить по всем возможным величинам дефор­
мации ядра. Используя приближение несжимаемой жидкости,
поверхность которой осциллирует возле равновесной сфериче­
ской формы, необходимые усреднения легко сделать числен­
но [384].
Ядерные реакции в звездах происходят при различных энер­
гиях столкновения. Так как распределение энергий столкно­
вения описывается распределением Максвелла-Больцмана, то
для оценки сечения протекания реакции в звездах необходи­
мо провести усреднение сечения по скоростям сталкивающихся
ядер. Усредненное по энергиям (часто говорят - по скоростям)
сечение захвата в звездной материи с температурой кТ равно
, , , . TV
{ °
{ к Т ) )
1 Г ^Е ,кТ )Е е М -Е /кТ )Л Е
~
-------- J “ B e x p ( - B / № ) d E -------- '
(1 3 '4 2 )
На рис. 13.7 приведено отношение усредненных по энергиям
полных сечений альфа-захвата, ядрами 52Fe и 80Sr, рассчитан­
ных с и без (s = 1) учета колебаний ядерной поверхности в ни­
жайшем 2+ возбужденном состоянии. Также показано отноше­
ние усредненных по скоростям сечений альфа-захвата. (ox(feT))
и (оо(кТ)) ядрами 52Fe и 80Sr, пребывающих в возбужденном и
основном состояниях соответственно. Из рис.13.7 следует, что
учет того, что в звездах находятся возбужденные ядра, с низколежащими 2+ колебательным возбуждениями поверхности,
приводит к увеличению усредненных сечений альфа-захвата и
важен для точного описания ядерных процессов в звездах.
327
Р и с . 1 3 .7 . Температурная зависимость отношений усред­
ненных сечений альфа-захвата, ядрами :;,2Fe и 80Sr.
В звездной материи много легких деформированных ядер
в основном состоянии и с их участием могут происходить ре­
акции. На рис. 13.8 приведено отношение усредненных пол­
ных сечений альфа-захвата деформированными ядрами 22Ne
и 24M g, рассчитанных с ( ( a statical)) и без ((osph)) учета статиче­
ской деформации ядерной поверхности. На этом рисунке при­
ведено и отношение неусредненным по скоростям полных се­
чений альфа-захвата для этих ядер, рассчитанных с (ostatical)
и без ( о ^ ) учета деформации ядерной поверхности. Видно,
что учет статической деформации поверхности ядер приводит
к существенному увеличению сечения слияния в звездах.
При рассмотрении ядерных реакций в звездах важную роль
играет 5-ф актор, который связан с сечением реакции соотно­
шением
S ( E , кТ) = Е ехр(2лт](Е))о(Е, к Т ),
(13.43)
где у\(Е) = z Z e 2/ (hv) - кулоновский параметр Зоммерфельда,
a v = (2£’/ jjl)1/2 - скорость столкновения.
328
Р и с. 1 3 .8 . Отношение усредненных и неусредненным пол­
ных сечений альфа-захвата деформированными ядрами 22Ne и
24Mg.
На. рис. 13.9 приведено сравнение зависимости 5-ф актора
от энергии столкновений для реакции 12С + 12С с различны­
ми экспериментальными данными; указан только первый ав­
тор экспериментальной работы и ее год выполнения (детали
см. в [385]). Отметим, что, экспериментальные данные, полу­
ченные различными авторами, существенно отличаются между
собой.
Ядро 12С является жестким по отношению к вибрацион­
ным колебаниям и силънодеформированным (3, = —0 ,4 0 ± 0 , 0 2
и р4 = 0 , 1 6 ± 0 ,03 [386], поэтому влиянием вибрационных состо­
яний на. 5-ф актор пренебрегалось. Видно, что одновременный
учет квадрупольной и гексадекапольной деформаций сталки­
вающихся ядер ведет к улучшению описания 5-ф актора. Пре­
небрежение какой-либо деформацией или обеими деформация­
ми приводит к заметному изменению величины 5-ф актора при
низких энергиях. Наиболее важную роль играет квадрупольная деформация поверхности ядер.
329
9ът W s
330
Глава 14
Реакции с передачей
нуклонов
14.1.
Введение
При столкновении ядер возможны передачи нуклонов. Такие
реакции схематически могут быть представлены как
А + В = ( С + с) + В -> С + (с + В ) = С + D.
(14.1)
Здесь ядро А считается состоящим из ядра-кора С и передавае­
мой частицы с. В результате реакции передачи образуется ядро
D, которое формируется из ядра В и передаваемой частицы с.
Частица с может состоять из одного или нескольких нукло­
нов. Величина энергии и число нуклонов, которые передаются
в реакции передачи, сильно зависят от энергии столкновения
ядер.
При энергиях столкновения, близких к высоте барьера,, об­
разованного кулоновским и ядерным взаимодействием ядер, в
основном происходят реакции малонуклонных передач, кото­
рые связаны с передачей одного или нескольких нуклонов на
малых расстояниях между сталкивающимися ядрами. Время,
которое сталкивающие ядра находятся на малых расстояниях,
близко к времени пролета одного ядра другим, поэтому такие
331
реакции, как правило, являются прямыми и быстропротекающими. Процесс передачи является одноступенчатым и проис­
ходит на периферии ядер, так как плотности ядер слабо пере­
крываются (только хвостами распределений нуклонов). В этом
случае велика роль нуклонов в области поверхности Ферми
ядер, так как от волновых функций именно этих нуклонов су­
щественно зависит матричный элемент передачи. При энергии
столкновения вблизи кулоновского барьера кинетические энер­
гии сталкивающихся и разлетающихся также близки, поэтому
эти реакции являются квазиупругими.
При больших энергиях столкновения ядра могут сильнее
взаимодействовать и плотности ядер, могут существенно
перекрываться в процессе столкновения. Причем сильно
взаимодействовать могут не только нуклоны, находящиеся на
поверхности взаимодействующих ядер, но и более глубоко
расположенные нуклоны. В этом случае возможны реакции
как малонуклонных, так и многонуклонных передач. При
высоких энергиях возможны как квазиупругие, так и глубоко­
неупругие ядерные реакции. В случае глубоконеупругих ядер­
ных реакций кинетические энергии и нуклонный состав сталки­
вающихся и рассеянных ядер сильно отличаются. Между стал­
кивающимися ядрами возможен взаимный обмен нуклонами и
представление (14.1) для таких реакций является упрощенным.
При высоких энергиях столкновения может также образо­
вываться относительно долгоживущее состояние двух ядер так называемая диядерная система. Диядерная система обра­
зуется при сильном перекрытии плотностей ядер, когда силы
ядерного притяжения и кулоновского отталкивания ядер при­
мерно одинаковы. Важную роль в эволюции диядерной систе­
мы играет ее вращение, которое существенно влияет на баланс
сил ядерного притяжения и кулоновского отталкивания. Вре­
мя жизни диядерной системы превышает время пролета ядер,
поэтому в реакциях с образованием диядерной системы ядра,
могут обмениваться большим количеством нуклонов. Образо­
вавшаяся в столкновении диядерная система вращается и за
время жизни поворачивается на угол, при котором происходит
ее распад. Э тот угол фиксируется в экспериментах.
Рассмотрим детальнее процессы прямых малонуклонных
332
передач и многонуклонные процессы, происходящие при обра­
зовании диядерной системы.
14.2.
Реакции прямых передач
Пусть система сталкивающихся ядер описывается гамильтони­
аном Я = Н ( В ., {?■}). Полная волновая функция открытых ка­
налов Ф(Д. {//’ } ), связанных с проекционным оператором Р (см.
уравнения (12.2) - (12.7)) этой системы, может быть представ­
лена в виде
Ф (Д ,г) = £ ф п(Д )ф п( { г } ) ,
П
(14.2)
где ф„(Я) - волновые функции относительного движения ядер
в канале n; R - расстояние между центрами масс ядер;
С Ы Н ) = Ф]п( { ^’1 })Ф2п( { г2}) _ произведения ВОЛНОВЫХ фуНКций первого (Ф іп({г і } ) ) и второго (Ф2п( { 7'2})) ядер в канале п;
{ п } и { г 2} - наборы внутренних координат сталкивающихся
ядер.
Уравнение Шредингера для рассматриваемой системы
имеет вид
(Я - Я )Ф (Я , г) = ( Я - Е ) Х > п(Я )ф „ ({ г }) = 0.
п
(14.3)
Функции фп({?’}) являются собственными функциями гамиль­
тониана Я (Я , г) при R —> ос:
Я (Д -*> о о ,г)ф п( { г } ) = єпфп( { г } ) ,
(14.4)
где гп - собственная энергия состояний ядер в канале п.
В соответствии со схемой (14.1), волновые функции
Ф і„ ( {г і}) и ф 2п( {г 2}); во входном (п = г) и выходном (п = / )
каналах можно записать в виде
Фн({п}) = Фс'({?’і}) ® ФС(Я, {п }), ф2і({гі}) = Фв({п})
И
Фі/({Г1»
= Ф с ( { Г1 » ,
Ф2/( {п })
= Ф в ( { п } ) ® Фc ( R
:
{п }).
Здесь ф і Д І п } ) = Ф 4 - волновая функция ядра А, взятая в
виде прямого произведения волновой функции передаваемой
частицы с фC(R, {гх }) и волновой функции фс оставшегося
ядра-кора С, фв - волновая функция ядра В, Ф2f ( { r'i}) = Фі>
- волновая функция ядра D. образованного ядром В и переда­
ваемой частицей с. Символ прямого произведения ® означает,
что произведения волновых функций суммируются с весовы­
ми множителями, обеспечивающими заданное значение полно­
го углового момента соответствующего ядра.
Умножая уравнение Шредингера (14.3) слева на ф *,({?"}) и
интегрируя по внутренним координатам, получим аналогично
(11.30)
и
ф * ({г})(Я (Д ,{г})-Я )Ф (Д ,г) =
= (hnn( R ) - E ) < ] j n( R ) +
£
hnm( R ¥ u ( R ) = 0,
(14.5)
т, тфп
где
_ь2 д
hnm(R)
5nm— — ^ + К ,1 (Д ) + К ^ ( Д ) +
rn
+гИ 'пп(Д )8 пт “Ь §тп Єп,
=
(14.6)
V?rn(R) и VCm(R) - ядерная и кулоновская части матричных
элементов, fin - приведенная масса ядер в канале п и W nn(R) мнимая часть потенциала, связанная с закрытыми и неучтен­
ными каналами.
В случае столкновения бесспиновых частиц волновую функ­
цию относительного движения
можно представить в виде
фп(Д) =
Y l m ffi) •Умножая систему уравнений (14.5)
на
и интегрируя по углу О, получим систему уравнений
связанных каналов вида, (11.33)
'h2 d92
. 2[in
R2 +
П22і3
ш7 ] +
\±nR
v nn(R) + * & ( Д ) +
+ № n n ( R ) + zn — Щ Z,nL{R) =
= -
E
К ( Й ) + ^ ( Д ) ] ^ ;Х (Д ).
т,тфп
334
(14.7)
Решение этого уравнения - сложная вычислительная задача
[39,40,336-338], поэтому используются различные приближен­
ные методы ее решения.
Одним из популярных и достаточно точных приближений
для описания реакций передач является борновское прибли­
жение искаженных волн (Distorted-Wave Born Approximation,
D W B A ) [39]. В таком подходе учитываются только два кана­
ла и пренебрегается влиянием конечного ( / ) канала на входной
(г). В этом случае система уравнений связанных каналов (14.7)
принимает вид
a2
-Г?
2^
№
N
t f L ( L + l)
+
"2^ R —
с
+ V« {R) + V* { R) +
+ i W u ( R ) - E ] l iL(R) = 0,
*
(14.8)
д2 +' # 2|
*xfLR+2 1h v № + V?f(R)+
dR2
4f
+ i W f f (R) + zf - E } l f L (R) +
= - [ V $ ( f l ) + V $ (fl)] l ih{R).
(14.9)
Используя метод функций Грина и условие отсутствия па­
дающей волны в конечном канале, получаем такое решение
уравнения (14.9):
&(*) =
+
J
гДе Vo l (r )
+
dR! G+ l (R, R') [V^(R' ) + VfUR')] ! ; + ( # ) ,
(14.10)
решение уравнения
—ti2
92
2 {i f
dR?
+
h?L(L + l)
2 \i} R 2
+ Vff {R) + Vff { R ) +
+ i W f f (R) + t f - E ] l l L(R) = 0
(14.11)
с асимптотикой при і? —> оо в виде расходящейся сферической
волны, a G~j L(R, R') - функция Грина с асимптотикой расхода-
щихся сферических волн, определяемая уравнением
+ i W f f (R) + zf - E ] G+l (R, R') = 5 (R - R!).
(14.12)
Подставляя функцию Грина в (14.10) в нижайшем прибли­
жении находим амплитуду перехода из входного канала, і в вы­
ходной канал / (борцовское приближение искаженных волн,
DWBA)
(14.13)
где Zf 0^(R) ~ решение уравнения (14.11) с асимптотикой в виде
сходящейся сферической волны, < ^ ( 2?) - решение уравнения
(14.8) с асимптотикой в виде расходящейся сферической волны
и
Ftr(R)
=
Vjt(R) + V ^ ( R ) =
=
| ( і { г } ф } ( { г } ) Я ( і ? ,,{ г } ) ф г( { г } )
(14.14)
- т. н. форм-фактор реакции передачи.
Определяющие амплитуду перехода (14.14) волновые функ­
ции во входном £гх (Д ) и выходном Zjr (R) каналах являются
решениями уравнений (14.8) и (14.11), соответственно, и удо­
влетворяют граничным условиям (11.37), (11.38). Эти волно­
вые функции учитывают влияние ядерного и кулоновского вза,имодействий, а также учитывают искажение плоских волн взаимодействием.
Амплитуда перехода T j n связана с амплитудой рассеяния
Ffib соотношением Tjn, = —(2nti2 / \ij )Ffn. Согласно (11.48),
дифференциальное сечение реакции передачи определяется
квадратом, амплитуды перехода и в приближении D W B A мо­
жет быть записано в виде
du(Q)
dCl
где k f
=
^ 2 \ i f E f / K 2 , ki
=
y / l ^ E i j K 1, a
= E,
E f = E — zj - приведенные массы и энергии в налетающем
и конечном канале. Таким образом, сечение реакции передачи
зависит от матричного элемента форм-фактора реакции пере­
дачи Ftr(R) и искаженных волновых функций в начальном и
конечном каналах.
Отметим, что амплитуда, реакции передачи (14.1) зависит
от вероятности представления ядра А как (С + с), а ядра D
как ( с + В ). Эти вероятности, соответственно, S a ,c + c и S d ,B + c >
т.е. спектроскопические факторы (амплитуды) и до сих пор
полагались равными 1. Эти величины связаны с интегралом
перекрытия точной волновой функции ядра, с волновой функ­
цией представления этого ядра в виде передаваемой частицы
и оставшейся части этого ядра (кора.) и имеют вид
5.4,с+с = |\ £*{п } Ф Т С
Ч { П } ) Ф с ({г 1» ® Фс( { п } )
, (14.16)
SD,B+c = IJ d{r2} Ф5гас‘ ({?’2}) Ф в ((г 2» ® ФС({Г 2})
• (14.17)
Здесь Ф ТЛС/;({г ,.}) И Ф ^ “С‘ ({Г 2} ~ точные волновые функции
ядер А и D соответственно; как правило, Sa.c+c < 1 и
Sd.b+c < 1 . В настоящее время разработаны различные мето­
ды расчета спектроскопических факторов. Один из эффектив­
ных таких методов развит в [387,388] на основе трансляционноинвариантной модели оболочек [389].
С учетом спектроскопических факторов дифференциаль­
ное поперечное сечение реакции передачи принимает вид
da(Q)
~ ж
kf
-
Ьа ’€ + с S d -b + c h
,2
И-#/
4 - | T /d
±J
•
(14Л8)
При S a .c + с = S d .b + c — 1 выражения (14.16) и (14.19) совпада­
ют.
Дифференциальное поперечное сечение реакции передачи
нейтронов при подбарьерных энергиях существенно упрощает­
ся. В работах [334,390-395], используя квазиклассическое при­
ближение для амплитуд рассеяния, пренебрегая массой переда­
ваемой частицы по сравнению с массой сталкивающихся ядер,
изменением энергии во входном и конечном каналах и в ни­
жайшем приближении теории возмущений было показано, что
дифференциальное сечение реакции передачи между ядрами
можно представить в виде
do(Q)
_
. . . doj{(Q)
яг к
,.
~~Jn '
(,4Л«
Здесь P tr(0) - вероятность передачи частицы от одного ядра
cksr(0)
другому, а —
- сечение упругого рассеяния сталкивающих­
ся ядер, определяемое формулой Резерфорда (12.55).
Простейшей оценкой для вероятности передачи частицы яв­
ляется квазиклассическое выражение для вероятности тунне­
лирования частицы через прямоугольный барьер высотой Vj3ar
и шириной Dbar- В этом приближении вероятность передачи
s-волновых нейтронов U = 0 ) с абсолютной величиной энергии
отделения S равна
Ptr( 0 ) /s i n (0 /2 ) ~ ехр \—2 s/ 2 M ^ s J W d (Q)\ .
(14.20)
Здесь Dbar = D( 9) = Д (0) — (R\ + Rq) - ширина барьера для
передаваемого нейтрона при минимальном расстоянии между
центрами ядер j? ( 0 ), которые рассеиваются па, угол 0 , а Ri и
R.2 - радиусы ядер. Д ля s-волновых нейтронов 14>аг = є. При
подбарьерных энергиях столкновения Е ядерной частью вза­
имодействия ядер можно пренебречь и считать, что движение
ядер с зарядами Z\ и Z-j происходит по классической кулонов­
ской траектории; тогда
В
( в
) . ^
( 1+ ^
)
.
(14.2Ц
В этом случае дифференциальное сечение реакции передачи
принимает вид
da(Q)
- * г каф
si„ , г ,
( м .и )
Н арис. 14.1 приведено число зарегистрированных детекто­
рами различных изотопов никеля 58+TONi рассеянных на угол
20° в реакции передачи те нейтронов от олова к никелю при
столкновении o8N i+ 124Sn с энергией 153 М эВ [396]. Наиболь­
шее количество ядер зарегистрировано в упругом канале, т.е.
ядер 58Ni. С ростом числа переданных нейтронов от ядра олова
к ядру никеля, вероятность передачи, а следовательно, и коли­
чество регистраций изотопов никеля экспоненциально падает.
Такое поведение следует из (14.22) и связано с различием масс,
энергий отделения и спектроскопических факторов передавае­
мых частиц.
На рис. 14.1 (справа) приведено отношение угловое распре­
деления упругого рассеяния к дифференциальному сечению
Резерфорда (Р е (0 )) (11.54) при различных значений энергии
столкновений [396]. Видно, что при рассеянии вперед сечение
хорошо описывается формулой Резерфорда, т.к. в этом случае
Р е {0) ~ 1 (см-! также, рис. 12. 1). Влияние ядерного взаимодей­
ствия и других каналов реакции существенно только на задних
углах. С ростом энергии столкновения отклонение сечения от
сечения Резерфорда на задних углах становиться заметнее.
На рис. 14.2 представлена зависимость вероятности пере­
дачи от 1 до 6 нейтронов через барьер между ядрами от наи­
меньшего расстояния между ядрами олова и никеля. На этом
также рисунке представлена подобная зависимость для пере­
дачи одного и двух протонов от ядра никеля к ядру олова. В
случае передачи т нейтронов регистрируется изотоп 58+mNi,
а при передаче одного протона - ядро 57Со и двух протонов ядро a6Fe. Видно, что экспериментальные данные [396] хорошо
описываются с помощью соотношения (14.21).
С ростом энергии столкновения барьер, сквозь который тун­
нелируют передающиеся нуклоны, становиться уже, а при вы­
соких энергиях столкновения исчезает. При энергиях столкно­
вения возле барьера важны эффекты связи каналов, так как
нуклон может несколько раз передаться от одного ядра к дру­
гому и в различные состояния [338], что приводит к существен­
ной связи каналов передачи с каналами одночастичных воз­
буждений.
339
Р и с . 1 4 .1 . Число зарегистрированных различных изотопов
никеля ( 58+mNi) рассеянных на угол 20° в лабораторной систе­
ме в реакции передачи т = 0 ,1 .2 ,.... 7 нейтронов от олова к ни­
келю при столкновении 58N i + 124Sn с энергией 153 МэВ (спра­
ва). Угловая зависимость отношения сечения упругого рассе­
яния к сеченшо Резерфорда (Р е (9)) Для системы 58Ni-|-124Sn
при различных значений энергии столкновений (слева).
При достаточно высоких энергиях столкновения по срав­
нению с барьером ядра взаимодействуют относительно корот­
кое время, поэтому важна однократная передача нуклонов. В
этом случае передача нуклонов определяется интегралом пе­
рекрытия волновых функций передаваемый нуклонов и вол­
новых функций сталкивающихся ядер до и после передали и,
как правило, удовлетворительно описывается в приближении
искаженных волн.
340
D(Q), фм
D(Q), фм
Р и с . 1 4 .2 . Зависимость вероятности передачи т нейтронов
(конечное ядро o8+mNi), протона (конечное ядро 57Со) и двух
протонов (конечное ядро 56Fe) через барьер от наименьшего
расстояния D(&) между сталкивающимися ядрами 58Ni и 124Sn.
341
14.3.
Реакции с образованием
диядерной системы
При достаточно высоких энергиях столкновения ядер начинает
существенно взаимодействовать большое количество нуклонов.
Это приводит к возникновению новых явлений и механизмов
протекания ядро-ядерных реакций.
В конце 60-х годов прошлого столетия были открыты глу­
боконеупругие реакции многонуклонных передач [40,397-399].
В этих реакциях на, начальной стадии столкновения ядер про­
исходило существенное перераспределение кинетической энер­
гии столкновения ядер во внутреннюю энергию. Затем стал­
кивающиеся ядра образовывают относительно долгоживущую
диядерную систему вращающихся слипшихся ядер. Такая диядерная система существует благодаря медленному относитель­
ном}'- движению ядер вследствие приблизительной взаимной
компенсации сил кулоновского отталкивания, ядерного притя­
жения и центробежных сил, а также, высокой вязкости ядер­
ной материи, которая препятствует ее быстрому распаду.
Диядерная система существует относительно долгое время
по сравнению со временем пролета ядер и временем протекания
прямых ядерных реакций. Большое время жизни диядерной
системы приводит к возможности существенного обмена нук­
лонами между ядрами через зону соприкосновения ядер. При
этом диядерная система вращается как целое и после поворота
на определенный угол распадается на два ядра. В результате
перехода кинетической энергии относительного движения ядер
в их внутреннюю энергию возбуждения и обмена нуклонами,
разлетающиеся ядра существенно отличались от налетающих
как по величине кинетической энергии относительного движе­
ния, так и по нуклонному составу [40,397-399]. Угол, при ко­
тором диядерная система распадается, связан с угловой скоро­
стью вращения системы и временем ее жизни. Поэтому, сече­
ние реакций глубоконеупругих многонуклонных передач имеет
максимум при угле, при котором происходит распад диядерной
системы (рис. 14.3 и 14.4).
342
•
1200
800-I
20°
/
j
■
400
•
'
•
•
!
••
У
1
•
0
800-I
25 °
/1
[
(X
°4 0 0
’
CQ
•
\
О
О
S„100
со
^ 0
vg 150
A
•
Jp 50
**e
« і
1 !
to
0
20
15
35 °
...... .
1
•
10
.• • • • « »
5
•
• *
,
••
*«*
•
.
•
••
0
10
40°
і . / '" " - . . .
5
* •••••••••*
0
6
50 °
s -" '... *
•
0
2
0
в
•4
3
4
*•«
60 °•**i1/ . - . t •
:
40
....
60
80
100
120
140
Энергия лёгкого продукта в лаб. сист. в МэВ
Р и с. 1 4 .3 . Угловая зависимость реакций передач при столк­
новении ядер 160 + 93Nb с образованием ядер фтора [397-399]).
Стрелкой и пунктиром отмечены энергии невозбужденных раз­
летающихся ядер и энергии их кулоновского барьера, соответ­
ственно.
343
300
200
20°
100
0
25°
Л 50
о
И
ю
и
S
30°
а
Й
5S
D
;
і!».•••( '*•••*»•
л • • •• ••**!| *
і
•
, . *«і1•••
35°
.
•••••
\ •• • •
* • • ••
• ••••
*(. •••
о
. О
'
••
50°
•• • •
••
• * ^
».
60°.. j . . - . , .
I
40
60
80
100
120
Энергия лёгкого продукта в лаб. сист. в МэВ
140
Р и с . 1 4 .4 . Угловая зависимость реакций передач при столк­
новении ядер 160 + 93Nb с образованием ядер неона |397—399).
Обозначения такие же, как и на рис. 14.3.
344
На рис. 14.3 и 14.4 приведены энергетические спектры ко­
нечных продуктов реакции 160 + 93Nb. На малых углах рассея­
ния (0 яз 20° — 30°) виден пик при энергиях близких к 120 М эВ
(см. рис. 14.3), который соответствует реакциям квазиупругих
передач. При этом потери кинетической энергии и энергии воз­
буждения ядер в системе малые. При больших углах рассеяния
(0 « 35° — 60°) видны пики при энергиях 60 — 70 М эВ (рис.
14.3, 14.4). Энергия этих пиков близка по величине к высоте
кулоновского барьера для разлетающихся ядер, что свидетель­
ствует об их сильном возбуждении.
Было измерено большое количество ядерных глубоконе­
упругих реакций многонуклонных передач, основные экспери­
ментальные свойства этих реакций были обобщены в обзорах
[40,398,399].
Для теоретического описания свойств этих реакций было
предложено много различных моделей [40,399]. Часть моделей
базировалась на траекториых расчетах, так как длина волны
де Бройля сталкивающихся ядер мала, по сравнению с обла­
стью взаимодействия ядер.
В наиболее простой модели [400] движение ядер описыва­
ется радиальным и тангенциальным уравнениями движения
^ 'е>10-^е>4!)2+
+ ^ [ V c (i?) + VN(i?)] +
l2 dR
+ K r [V(Vn (R))}2— = 0,
j t (y.(R, 0 ) * 2f )
+ Л е [У (Ы Д ))Г 2Д 2 f
= 0.
(14.23)
(14.24)
Здесь координаты R и 0 зависят от времени и определяют рас­
стояние между центрами масс ядер и угол поворота системы
в системе центра масс, ц(Д, 0 ) - приведенная масса системы,
которая в общем случае тоже может зависеть от координат R
и 0 , Vc(R) и V n (# ) - потенциалы кулоновского и ядерного вза­
имодействия ядер, K r и K q - коэффициенты радиального и
тангенциального трения.
При сближении ядер на больших расстояниях между ни­
ми приведенная масса системы не зависит от координат R и 0
и совпадает с исходной. Однако на малых расстояниях между
ядрами в результате передачи нуклонов между ядрами при­
веденная масса может отличаться от исходной. Зависимость
приведенной массы системы от координат R и 0 можно пара­
метризовать, предполагая определенный, механизм протекания
реакции.
Силы трения выбираются пропорциональными квадрату
градиента сил ядерного взаимодействия. Силы, радиального и
тангенциального трения введены для того, чтобы описать су­
щественное возбуждение ядер, которое наблюдается на экспе­
рименте и связано с переходом кинетической энергии во внут­
реннюю.
Модель, связанная с уравнениями (14.23) и (14.24), каче­
ственно описывает основные закономерности реакций глубоко­
неупругих передач и динамику двойной ядерной. системы, а
также объясняет существенную роль вращения диядерной си­
стемы.
Если в процессе столкновения легкие или средние ядра с
числом нуклонов А\ и А 2‘ сближаются на расстояния мень1/3
1/3
шие либо порядка Rqn ~ 1 ■ (-4Х + А 2 ) фм, то плотно­
сти ядер существенно перекрываются и силы притяжения при­
водят, как правило, к образованию компаунд-ядра. [401]. Ес­
ли ядра сблизились на расстояния большие і?ск и меньшие
1/3
R q j i ~ 1 ,2 - ( А г
1/3
+ А 2 ) фм, то происходит касание их ядерных
поверхностей, однако силы ядерного притяжения ядер не могут
преодолеть центробежную силу, связанную с большим угловым
моментом системы, и образуется диядерная система. Отметим,
что центробежная энергия обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ядрами, и поэтому препятствуют образова­
нию компаунд-ядра. Расстояние R g r является максимальным,
при котором возможно образование диядерной системы и многонуклонные передачи. Таким образом, диядерная система, об­
разуется при определенных значениях углового момента t\ при
I < ^cn при столкновении легких или средних ядер образуется
компаунд-ядро, при fcN ^ t ^ ^gr. образуется диядерная си346
стема и происходят реакции многонуклонных передач, а при
£ ^ ^GR происходят квазиупругие реакции. Значения угловых
моментов £cn и ^GR могут быть найдены из условий:
Е - Vc(R) ~ VnCR) -
Е - Vc(R) - Vn(A) -
^ c n ( ^ c n + 1)
2[iR2
0, (14.25)
R=Rc n
h2£g r ( I g r + 1)
2]xR?
0, (14.26)
R = .R G R
где E - энергия столкновения ядер.
Для описания передачи нуклонов между частями двойной
ядерной системы используются различные статистические мо­
дели, базирующие на уравнении диффузии или Фоккера-Планка. Использование статистических методов описания передачи
нуклонов предполагает, что после перехода кинетической энер­
гии во внутреннюю устанавливается локальное статистическое
равновесие. Методы описания реакций глубоконеупругих пере­
дач рассмотрены, например, в [40,402].
347
Глава 15
Сверхтяжелые ядра
15.1.
Введение
Ядра с количеством протонов от 1 до 92, т.е. от гН до 238U,
расположенные вдоль линии бета-стабильности, были найдены
на Земле, а ядра, с числом протонов выше 93 были обнаруже­
ны искусственным путем в начале 40-х годов прошлого века, и
позднее. Ядра с количеством протонов больше 110 синтезиро­
ваны в последние 20 лет. Ядра нептуния (Z = 93) и плутония
(Z = 93) после открытия в лабораторных условиях были об­
наружены и в естественной природе. Краткий обзор истории
открытия 163 ядер с Z > 100, которые известны к настоящему
времени, дан в работе [403].
Согласно современным представлениям трансурановые эле­
менты ( Z > 92), как и все остальные ядра, за исключением са­
мых легких, формировались во Вселенной в ядерных реакциях
при горении звезд и их взрывах. При этом достаточно короткоживущие трансурановые ядра распадались непосредственно
в звездах, а относительно долгоживущие трансурановые ядра
должны были бы присутствовать в материи, из которой обра­
зовалась Земля. Однако ядра, тяжелее урана, имеют короткое
время жизни по сравнению со временем жизни Земли, и поэто­
му они практически распались к настоящему времени. Из-за
исключительно малой концентрации их очень трудно обнару­
348
жить в естественной среде.
Трансурановые элементы - америций (Z = 95) и кюрий
(Z = 96) были открыты в 1944 г.. берклий (Z = 97) в 1949 г.. ка­
лифорний [Z = 98), эйнштейний ( Z = 99) и фермий ( Z = 100)
в 1952 г., а менделеивий ( Z = 101) в 1955 г. Все эти элементы
были получены в результате интенсивного облучения ядер либо
нейтронами на ядерном реакторе, либо легкими заряженными
частицами (протонами, дейтронами или альфа-частицами) на
ускорителе.
Тяжелое ядро 257Fm было также обнаружено при анали­
зе остатков взрыва ядерной бомбы [404]. В этом случае ядро
238U урана, присутствующее в материале бомбы, захватыва­
ет 19 нейтронов в процессе взрыва- Образовавшееся после за­
хвата нейтронов сильно нейтронно-избыточное ядро 2o7U по­
сле цепочки последовательных бета-распадов превращается в
257Fm. Фактически образование 2o7Fm при взрыве ядерной бом­
бы является экспериментальным подтверждением существова­
ния rn-процесса в процессе эволюции и взрывов звезд. Такой
гп-процесс - это явление захвата, ядром большого количества,
нейтронов в сильных нейтронных полях с образованием сильно
нейтронно-избыточных ядер, при этом скорость захвата ядром
нейтронов высока по сравнению со скоростью бета-процессов.
Кроме 7’п-процесса в звездах существует и медленный про­
цесс захвата (s-процесс), который связан с меньшими значе­
ниями нейтронного потока. В этом случае нейтроны захва­
тываются ядрами реже, поэтому при медленном захвате яд­
ром нейтронов (sn-процессе) процессы нейтронного захвата и
бета-распад нейтронно-избыточных ядер происходят паралель­
но и приводят к образованию ядер вдоль линии стабильности
ядер. При захвате одинакового количества нейтронов в sn- и
Г'Д-процессах могут формироваться различные ядра, а отно­
сительные выходы различных ядер и их изотопов также раз­
личаются. Процесс гп связан с очень высокими плотностями
потока нейтронов. Например, в ядерных реакторах поток ней­
тронов существенно ниже, чем при взрыве ядерной бомбы, и
возможен только sn-процесс.
Тяжелые трансурановые ядра с зарядом до Z та 106 так­
же были синтезированы при столкновениях легких ядер В, С,
N, 0 , F или Ne с экспериментально доступными трансурано­
выми ядрами U, Pu, А т , Си, Bk, Cf. Отметим, что получить
пучок или мишень из ядра тяжелее Cf практически невозмож­
но, так как доступность трансуранов с ростом заряда резко
падает. Уран производится в мире в количестве нескольких
десятков тонн в год, а калифорний нарабатывается в ядер­
ных реакторах при облучении нейтронами Pu, Am или Cm
для научно-исследовательских и медицинских целей в количе­
ствах порядка нескольких граммов в год. Сверхтяжелый эле­
мент хассий с Z = 108 производится на ускорителе в реакции
58F e + 208P b = 265H s+ n в количестве порядка десятка атомов в
сутки, а сверхтяжелые элементы с Z > 112 - один атом в одну
или более недель. Заметим, что время жизни эксперименталь­
но синтезированных сверхтяжелых элементов с Z > 108 очень
небольшое, так что синтезированные на ускорителе элементы
распадаются в течении короткого времени (от нескольких мик­
росекунд до нескольких минут).
Изотопы с 104 < Z < 1 13 были синтезированы в реакциях
слияния ядер 48Са, 50Ti, 54Cr, 58Fe, 64Ni, 70Zu с ядрами 208РЬ и
209Bi с начала 80-х годов прошлого столетия по 2004. год [375,
405]. Изотопы с 112< Z < 1 1 8 были синтезированы в реакциях
слияния ядер 48Са с ядрами 238U, 242’244Pu, 243Am, 245'248Cm,
248Bk и 249C f с начала 1998 г. но настоящее время [376-378].
Х отя обычно сверхтяжелые ядра живут очень короткое время,
как правило, от нескольких минут до нескольких микросекунд,
но встречаются и относительно долгоживущие ядра, например,
268Db с временем жизни около 30 часов. Подчеркнем, что время
жизни сверхтяжелого ядра порядка доли микросекунды - это
огромное время по ядерным масштабам. Так прямые ядерные
реакции происходят за время порядка пролета ядер, т.е. время,
близкое к 10~22 с.
В настоящее время в мире официально признаны и получи­
ли название все элементы до элемента с Z = 112 (коперникий
Сп) включительно, а также с Z = 114 (флеровий F1) и Z = 116
(ливерморий Lv). Существуют экспериментальные данные о
синтезе элементов с Z = 113,115,117 и 118 [376-378,405], одна­
ко они пока еще официально не признаны.
15.2.
Свойства сверхтяжелых ядер
Сверхтяжелые ядра находятся на границе стабильности ядер.
Область сверхтяжелых ядер является экстремалыгой, поэто­
му незначительные отличия между различными теоретически­
ми приближениями при описании каких-либо свойств легких,
средних или тяжелых стабильных ядер становятся существен­
ными при описании свойств сверхтяжелых ядер. Это позволяет,
изучая сверхтяжелые ядра, существенно уточнить представле­
ния о структуре ядра и ядерных силах между нуклонами, а
также отобрать наиболее адекватные теоретические подходы
их описания.
Магические числа протонов Z = 2 ,8 ,2 0 ,2 8 ,5 0 ,8 2 и нейтро­
нов А1 = 2 ,8 ,2 0 ,2 8 , 5 0 ,8 2 ,1 2 6 , связанные с заполнением про­
тонной и нейтронной оболочек, играют важную роль при опи­
сании структуры ядер [2 ,8 ,47 ,4 8 ]. Ядра с магическим числом
нуклонов обладают повышенной стабильностью по сравнению
с соседними ядрами.
Одним из важных вопросов в области сверхтяжелых ядер
является определение магических чисел [2 ,8 ,4 7 ,4 8 ]. Дважды
магическое сверхтяжелое ядро может иметь большое время
жизни и вокруг него может сформироваться "остров стабильно­
сти”. Однако доступные в настоящее время экспериментальные
данные не могут дать однозначную информацию о значениях
магических чисел в сверхтяжелой области ядер.
Разные модели ядер предсказывают различные значения
магических чисел в сверхтяжелой области. Так, параметриза­
ции среднего поля нуклонов в виде потенциала Вудса-Саксона
приводят к значениям Z = 114,120 и N = 184 [53], а также
Z = 114 и N = 184 [65,406-408]. Микроскопические самосогла­
сованные расчеты в приближении Хартри-Ф ока-Боголю бова
с использованием сил Гоньи дают следующие магические чис­
ла Z = 1 14,120,126, N = 184, N = 164, N = 228 [409]. Зна­
чения магических чисел для протонов, которые определяют­
ся в микроскопических самосогласованных расчетах в прибли­
жении Хартри-Ф ока-Боголюбова с использованием сил Скир­
ма [8], зависят от параметризации сил Скирма и, соответствен­
но, равны Z = 120,124 для сил SkM*; Z — 120 для сил S k ll,
SkI3, SkI4; Z = 124,126 для сил SLy4, SkP и Z = 126 для сил
SkO [410-413]. В случае нейтронов все эти параметризации при­
водят к значению N = 184 [410-413]. Релятивистские модели
среднего поля, детально рассмотренные в [410-413], приводят к
значениям магических чисел Z = 120 и N — 172.184, а реляти­
вистская модель, предложенная в работе [414], дает значения
магических чисел Z = 114,120 и N = 172,184,258. Значения
Z = 1 0 6 ,1 1 4 ,1 2 0 ,1 2 6 ,1 3 2 ,1 3 8 и N = 1 3 8 .1 6 4 ,1 7 2 ,1 8 4 ,1 9 8 ,2 1 6 ,
228, 238, 252, 258, 274 были получены как возможные маги­
ческие числа при детальном анализе релятивистской теории
Хартри-Боголюбова с учетом состояний непрерывного спек­
тра [415] и использованием восьми различных параметриза­
ций сил. Полуэмпирическая оболочечная модель для масс ядер
[416] приводит в сверхтяжелой области к магическим числам
Z = 126, N = 184.
Отметим, что дважды магическое ядро 298F1 с. магически­
ми числами Z — 114 и N — 184 является наиболее стабильным
в теоретических подходах, использующих потенциал ВудсаСаксона. Вокруг этого ядра формируется так называемый ’’ост­
ров стабильности”, который пытаются обнаружить эксперимен­
таторы. Отметим, что синтезированные к настоящему времени
ядра с Z и 114 не могут однозначно ответить на вопрос о гра­
ницах острова стабильности, так как число нейтронов в этих
ядрах существенно меньше магического числа. 184. Например,
наиболее тяжелый изотоп фдеровия, который синтезирован к
настоящему времени, содержит 175 нейтронов.
Различия в теоретических предсказаниях величин магиче­
ских чисел для протонов и нейтронов в сверхтяжелой области
значительны. Поэтому экспериментальное определение маги­
ческих чисел сверхтяжелых ядер могло бы резко сузить коли­
чество возможных моделей, параметризаций среднего поля и
нуклон-нуклонных сил, и тем самым улучшить наши знания в
области ядерной физики.
С теоретической точки зрения важно выяснить, с каки­
ми параметрами центрального или спин-орбитальпого средне­
го поля связаны вариации магических чисел, наблюдающиеся
в различных моделях, и тем самым понять причины различия
в предсказаниях этих чисел.
352
Магические числа нейтронов и протонов в ядрах соответ­
ствуют локальным минимумам нейтронных и протонных обо­
лочечных поправок [50-5 3,4 0 8,41 1]. Поэтому, исследуя зави­
симость оболочечных поправок от вариации параметров цен­
трального и спин-орбитального компонент среднего поля, мож­
но найти и зависимость магических чисел от характеристик
среднего поля.
На. рис. 15.1 приведены радиальные зависимости протон­
ного и нейтронного потенциалов для сферического ядра 298F1,
которые вычислены в различных моделях. Как отмечалось ра­
нее, числа протонов Z — 114 и нейтронов N = 184 у этого ядра
являются магическими во многих моделях. Видно, что средние
поля нуклонов в различных, моделях существенно отличаются
друг от друга (см. также [417]). Величины эффективных потен­
циалов среднего поля в виде Вудса-Саксона, с ’’универсальны­
ми” значениями параметров [56], свертки потенциала Ю кавы
со ступенчатым распределением плотности [65] и в самосогла­
сованном приближении Хартри-Ф ока с параметризацией сил
Скирма SkP, близки друг к другу внутри ядра, однако на по­
верхности они существенно различаются. Средние потенциалы,
полученные в приближении Хартри-Фока. с параметризациями
сил Скирма SkM* и SLy4, значительно глубже остальных по­
тенциалов.
Потенциал Вудса-Саксона, с ’’универсальными” значения­
ми параметров обладает наибольшим радиусом потенциальной
ямы среди всех потенциалов, представленных на рис. 15.1, при­
чем толщина диффузного слоя для этого потенциала также яв­
ляется максимальной. Потенциал среднего поля, полученный в
результате свертки потенциала Ю кавы со ступенчатым распре­
делением плотности наоборот, имеет наименьший радиус ямы и
минимальную толщину диффузного слоя среди остальных рас­
сматриваемых потенциалов. Величины радиусов и диффузностей потенциалов, вычисленных в приближении Хартри-Фока.
с силами Скирма, являются промежуточными между этими
характеристиками потенциала Вудса-Саксона с ’’универсаль­
ными” параметрами и потенциала из работы [65].
Подчеркнем, что величины потенциалов, полученные в при­
ближении Хартри-Ф ока, осциллируют во внутренней области
353
ядра в отличие от значений для эмпирических параметриза­
ций Вудса-Саксона или свертки потенциала Юкавы со ступен­
чатым распределением плотности. Глубина и диффузность по­
тенциалов, полу чаемых для 208РЬ в релятивистском приближе­
нии среднего поля [418], близки к соответствующим величинам,
вычисленным в приближении Хартри-Ф ока с силами Скирма
SkM* или SLy4. Однако потенциальная яма, определяемая в
релятивистском приближении среднего поля, более широкая,
чем потенциальные ямы. в приближении Хартри-Фока. с стигами Скирма.
Рис. 15.1. Потенциалы среднего поля нейтронов и прото­
нов для ядра 2 9 8 Р 1 в различных моделях: universal - потенциал
Вудса-Саксона с универсальными параметрами |5б], SLy4, SkP
и SkM* - эффективные потенциалы нуклонов в приближении
Х артр и-Ф ока для соответствующих сил Скирма, M NM S - по­
тенциал среднего поля из работы [05].
Спин-орбитальные части потенциалов, найденные в различ­
ных моделях и приближениях с различными вариантами
эффективных нуклон-нуклонных сил, также отличаются друг
от друга.
Потенциалы, используемые в разных моделях, приводят к
различающимся величинам оболочечных поправок и различ­
ным значениям магических чисел в сверхтяжелой области. Со­
временные массовые формулы [65. 406. 407, 416] имеют сред­
неквадратичную ошибку, значительно меньшую, чем величи­
на оболочечных поправок. Поэтому, хотя оболочечные поправ­
ки и малы по сравнению с полной энергией связи ядра, они
оказывают существенное влияние на. точность описания масс
ядер [65,406,407]. Зависимость оболочечных поправок от вари­
ации параметров глубины, радиуса и диффузности централь­
ной и спин-орбитальной частей потенциала Вудса-Саксона бы­
ла детально исследована в работе [417]. Ниже кратко приведем
ее основные результаты.
Центральный 17 (г) и спин-орбитальный V^s {r) компоненты
потенциала Вудса-Саксона брались в виде
=
VQ[ l ^ { N - Z ) / { N + Z)\
1 + exp [(г - г 0р{п} А 1/ 3)/а] ’
У (. л _ (
U '
h ^ 2 h ( n ) v o « ф [ ( г ~ r ts p (n ]A l /:i) / a es}{ 1 •s)
\' 2 т с )
2 raes{ l + exp [(г - ris p(n) A 1 / 3 )/сц я] } 2 '
Здесь знак плюс выбирается для протонов и минус - для
нейтронов. Для параметров потенциала среднего поля
Vo =
4 9 ,6 МэВ, гор =
1,275 фм, ?'о,г =
1,347 фм,
а = 0 ,7 фм, Xр = 36 МэВ, Х„, = 35 МэВ, r^sp = 1,20 фм,
rf,s п =
31 фм, acs = 0 ,7 фм, х = 0 ,86 [56] используется ’Уни­
версальный” набор параметров [56], который хорошо описыва­
ет одночастичиые уровни в нечетных ядрах с А > 40 и успешно
применялся для определения различных свойств ядер в сверх­
тяжелой области.
Одночастичные уровни энергий, необходимые для вычис­
ления оболочечных поправок (см. разд. 4.3), рассчитывались
с помощью программы W S B E T A [56], модернизированной на
случай большого числа, нуклонов в ядрах [408]. Протонные и
нейтронные оболочечные поправки вычислялись для четно-чет­
ных ядер с 76 < Z < 140 в окрестности линии бета-стабильности, описываемой формулой Грина [65,68,408,417]. Эта формула
определяет число нейтронов N = N ( Z ) в наиболее стабильном
изотопе с Z протонами
N = N g i ( Z ) = \[ 2 Z + 5(10000 + 4 0 Z + Z 2 ) 2 - 500]. (15.3)
О
На рис. 15.2 приведена зависимость протонных 53ьеп р и ней­
тронных 5s]iei] п оболочечных поправок в сферических ядрах
от изменения глубины потенциала: Уо [417]. Расчеты выполне­
ны для Vo, рекомендованного ’’универсальной” параметризаци­
ей и значений Vq ± 5 МэВ. Из рисунка видно, что нейтронные
оболочечные поправки незначительно меняются в окрестности
магического числа N = 126. Заметные вариации нейтронных
оболочечных поправок появляются в окрестности магических
чисел N = 184,228. Вариация глубины нейтронного потенци­
ала приводит к дополнительному локальному минимуму при
N = 164. При увеличении глубины потенциала, появляется ми­
нимум при N = 178. Изменения в поведении нейтронных обо­
лочечных поправок в районе N = 228 более значительны, чем
в окрестности магического числа N = 184.
При вариации Vo величины протонных оболочечных попра­
вок изменяются слабее, а положения глубоких минимумов при
Z = 82,1 1 4, которые соответствуют магическим числам, сохра­
няется. Протонная оболочечная поправка имеет неглубокие ло­
кальные минимумы при Z = 120 и Z = 138. Магическое число
протонов Z = 120 ранее было получено в [53] при использова­
нии другого набора параметров среднего поля.
Таким образом, вариации глубины центральной части по­
тенциала среднего поля не сильно влияют на величины оболо­
чечных поправок и магические числа протонов в сверхтяжелой
области; а в случае нейтронов - вариации оболочечных попра­
вок и магических чисел для сверхтяжелых сферических ядер
больше, но тоже малы.
356
6
ІіІ!
-
4-
3
2
Іі
24
З 0-2 -
I*І
-454.6 МэВ
49.6 МэВ
44.6 МэВ
-6 -)
-8 -
1 і 1 '.'"т''і
80
90
100
110
120
130
Z
140
Р и с . 1 5 .2 . Зависимость оболочечных поправок от количе­
ства нейтронов и протонов в сферических ядрах для тяжелой и
сверхтяжелой областей при разных глубинах центральной ча­
сти потенциала среднего поля Vq.
На рис. 15.3 и 15.4 приведены зависимости протонных и
нейтронных оболочечных поправок при изменении параметра
диффузности а и параметра радиуса го, который определяет
357
радиус центральной части потенциала, R =
t q A 1^ . Расчеты
оболочечных поправок выполнены со значениями ’универсаль­
ной” параметризации (а и го), а также для значений, отклоняю­
щихся от рекомендованных значений а ± 0 , 1 фм и г о ± 0 , 0 5 фм.
Р и с . 1 5 .3 . Зависимость оболочечных поправок от количе­
ства нейтронов и протонов в сферических ядрах для тяжелой
и сверхтяжелой областей при разных диффузиостях среднего
поля а.
358
130
z
140
Р и с. 1 5 .4 . Зависимость оболочечных поправок от количе­
ства. нейтронов и протонов в сферических ядрах для тяжелой
и сверхтяжелой областей при разных значениях параметра ра­
ди,уса среднего 1.І0ЛЯ Г'пИз рис. 15.3 и 15.4 видно, что при вариации го и а вели­
чины оболочечных поправок для: актинидной и сверхтяжелой
областей сферических атомных ядер значительно изменяются.
359
В частности, при увеличении г о и а существенно сдвигаются
положения глубоких минимумов, появляются новые локальные
минимумы и соответствующие магическим числам Z = 120,138
и 7V = 164,178. Однако такие вариации параметров не оказы­
вают влияния на магические числа, соответствующие дважды
магическому ядру свинца Z = 82 и N = 126.
Основные выводы исследования зависимости оболочечных
поправок в сферических ядрах от параметров потенциала сред­
него поля [417] можно кратко сформулировать следующим об­
разом:
• влияние вариаций среднего поля на величины оболочеч­
ных поправок и магических чисел возрастает с ростом Z
и N• оболочечные поправки наиболее чувствительны к вариа­
циям параметров го, а., X и г&, поскольку эти вариации
сильнее влияют на потенциал среднего поля в окрестно­
сти уровня Ферми;
• для тяжелых и сверхтяжелых атомных ядер протонные
оболочечные поправки являются, как правило, более чув­
ствительными к вариациям параметров потенциала сред­
него поля, чем нейтронные;
• магические числа для сверхтяжелой области ядер, полу­
ченные в рамках различных самосогласованных микро­
скопических моделей, можно воспроизвести, используя
потенциал Вудса-Саксона с соответствующим выбором
параметров;
• в области значений Z = 82 и N — 126 вариации парамет­
ров потенциала среднего поля слабо влияют на величины
оболочечных поправок. Положение глубокого локального
минимума оболочечных поправок при Z = 82 и N = 126
является устойчивым к вариациям параметров потенци­
ала среднего поля.
360
В настоящее время магические числа Z = 82 и N = 126
являются наибольшими экспериментально подтвержденными
магическими числами для протонов и нейтронов, соответствен­
но. В нейтронных звездах при плотностях вещества, приближа­
ющихся к ядерным, происходит переход от ядер, нейтронных
капель, нейтронов и протонов к сливающимся и распадающим­
ся тяжелым ядрам [419,420], которые при увеличении плотно­
сти трансформируются в более сложное состояние ядерной ма­
терии [419-421]. В частности, центральная часть нейтронной
звезды состоит из сверхплотной нейтронной материи, поэто­
му велика, вероятность образования очень тяжелых нейтронноизбыточных ядер с числом нейтронов порядка 103 — 105 и с
сверхзаряженных ядер с 2 ~ 1600 [420].
На рис. 15.5 приведены результаты расчетов [408] протон­
ной Sshellp, нейтронной Ogheiin и суммарной Oshellp + Bshelln
оболочечных поправок для четно-четных сферических ядер с
числом протонов 76 < Z < 400 и с 300 < А < 1200 вдоль
линии бета-стабильности, аппроксимируемой формулой Гри­
на (15.3). Потенциал среднего поля параметризуются потен­
циалом Вудса-Саксона с ’универсальным” набором парамет­
ров. Приведенные результаты расчетов соответствуют оболочечным поправкам для ядер с четным числом протонов Z в
диапазоне от 76 до 400 и с четным числом нейтронов N в ин­
тервале
N ot - 10 < N < NGi + 10,
где N qv - ближайшее четное число к Ncr { Z) (15.3). При этом
числа нейтронов и нуклонов в ядрах варьировались в пределах
102 < N < 820 и 178 < А < 1218.
Из представленных на рис. 15.5 результатов видно, что в
сверх- и ультратяжелой областях сферических ядер существу­
ют такие магические числа: для протонов Z = 114, 164, 210,
274, 354 и нейтронов N = 184, 228, 308, 406, 524, 644, 772. О т­
метим, что значения Z — 114,164 и нейтронов N = 184,228
были магическими и в других моделях [422,423].
361
Р и с . 1 5 .5 . Протонные 5shcll р-. н ей тр отш е 58|,<?и«. и суммар­
ные 6shellp + Sshelln оболочечные поправки для четно-четных
сферических ядер.
362
Распределение плотности протонов и нейтронов в сверхтя­
желых ядрах имеет интересные особенности, связанные с кулоновским расталкиванием протонов, а именно, плотность в
центре ядра минимальна и растет с увеличением радиуса до
поверхностного слоя ядра (рис. 15.6.) То есть взаимное кулоновское отталкивание приводит к заметному вытеснению про­
тонов на периферию ядра- Этот эффект сильнее проявляется
в более тяжелых ядрах, что проиллюстрировано на рис. 15.6,
где приведены протонные и нейтронные распределения плот­
ностей нуклонов, рассчитанные в расширенном приближении
Томаса-Ферми |89].
Р и с. 1 5 .6 . Протонные и нейтронная плотности нуклонов
в сверхтяжелых ядрах 292120 , 300120 и 482168, вычисленные в
расширенном приближении Томаса.Ферми [89].
Расчеты в рамках микроскопического приближения Х а р тр и Фока. с силами Скирма [410] приводят к подобному распреде­
лению протонов в ядре, как и на рис. 15.6. Однако в некоторых
сверхтяжелых ядрах, вследствие влияния оболочечной струк-
туры ядра, плотность протонов, вычисленная в микроскопиче­
ском приближении Хартри-Ф ока с силами Скирма или Гоньи,
имеет более глубокий минимум в центре ядра [410,424], чем
дают расчеты в рамках расширенного приближения ТомасаФерми. Более того, для ядра 9002 74 протонная и нейтронная
плотности нуклонов в методе Хартри-Ф ока с силами Гоньи
[424] близки нулю в центре ядра. Плотности начинают отли­
чаться от нулевых значений на расстояниях порядка «5 -г 6 фм
от центра ядра и близки к значению плотности ядерной мате­
рии на расстояниях 7-j-12 фм, а. затем опять резко уменьшаются
до нуля, что позволяет говорить о пузырьках в центре ядра.
Отметим, что последнее время интенсивно изучается как
структура одночастичных, так и коллективных состояний
сверхтяжелых ядер. В частности, были экспериментально
изучены вращательные полосы сверхтяжелых элементов и
было показано, что сверхтяжелые ядра, такие как 252>2a4No,
могут иметь вращательные состояния с достаточно высоким
значением спина J яз 2 0 —24/i [425-427]. Были также обнаруже­
ны изомерные состояния и определены спины основных и изо­
мерных состояний сверхтяжелых атомных ядер [426]. Такие де­
тальные экспериментальные данные дали толчок для развития
и уточнения теоретических моделей структуры ядер [427] и вы­
ражений для ядерного функционала плотности энергии [428].
15.3.
Синтез сверхтяжелых ядер
Реакция синтеза сверхтяжелого элемента состоит их. трех по­
следовательных этапов [79,429—433|. Первый этап - захват ядер.
Он связан с приближением сталкивающихся ядер к друг дру­
гу и образованием системы слипшихся ядер. Во время второго
этапа происходит образование возбужденного составного яд­
ра. Форма ядерной системы эволюционирует от системы двух
слипшихся ядер к сферическому или слегка деформированно­
му вращающемуся составному ядру. Последний этап - осты­
вание составного ядра и образование сверхтяжелого ядра связан с уменьшением энергии возбужденного составного яд­
ра (остыванием) в результате испарения нейтронов и вылета
гамма-квантов. На этом этапе формируется сверхтяжелое яд­
ро в основном состоянии.
Синтез сверхтяжелого ядра в реакции столкновения двух
ядер конкурирует с различными процессами на каждом эта­
пе. что существенно уменьшает вероятность его образования.
В частности, при низких энергиях столкновения только часть
ядер преодолевает барьер слияния на первом этапе, а квазиде­
ление и деление являются основными конкурирующими про­
цессами на втором и третьем этапах.
Следует отметить, что механизм образования сверхтяжелых ядер окончательно не выяснен и до сих пор обсуждается в
литературе. Так, в работе [434] предполагается, что на втором
этапе формирования сверхтяжелого ядра происходит не эволю­
ция формы, как считалось в [79,429—433], а передача нуклонов
от легкого ядра к тяжелому, которая конкурирует с квазиде­
лением.
Для синтеза сверхтяжелых ядер с 104< Z < 1 1 3 исполь­
зовались так называемые реакции холодного слияния. В таких
реакциях ядра-снаряды 48Са, a0Ti, 54Cr, o8Fe, MNi, '°Z n сталки­
вались с ядрами-мишенями 2 0 8 р Ь и 209Bi. С помощью сложных
электромагнитных сепараторов из продуктов реакции выделя­
лись сверхтяжелые ядра., распад которых детально исследо­
вался. Название реакции холодного слияния связано с неболь­
шой энергией возбуждения образующегося компаунд-ядра: эта
энергия примерно равна. 10-20 МэВ, что приводит к испарению
только одного или двух нейтронов. Вылет нейтронов прекра­
щается, когда энергия возбуждения ядра становится меньше
энергии отделения нейтрона. После этого энергия возбужде­
ния уменьшается в результате излучения гамма-квантов. За­
тем из холодного ядра либо вылетает альфа-частица, либо оно
делится. Образовавшееся после альфа-распада дочернее ядро
тоже либо излучает альфа-частицу, либо делится. Так фикси­
руя цепочку альфа-распадов и/или характеристики осколков
деления, восстанавливается информация об исходном сверхтяжелом ядре, образовавшемся в реакции слияния. При изучении
распада таких ядер используются альфа-спектроскопические
характеристики уже известных ядер.
На рис. 15.7 приведены экспериментально наблюдаемые це-
почки различных распадов 277Сп с указанием энергии альфачастиц, времени, через которое они излучены и положения в
детекторе; для ядра Rf в короткой цепочке распада указана ки­
нетическая энергия осколков деления [435]. В реакции холодно­
го синтеза '°Z n + 208РЬ образуется компаунд-ядро 278Си (CN)
из которого испаряется нейтрон; стрелками на рисунке обозна­
чены альфа-переходы между ядрами. (Отметим, что альфачастица. может также не быть зарегистрированной детектором,
например, в случае если ее траектория проходит мимо детекто­
ра. ) Время вылета альфа-частицы существенно растет с ростом
порядкового номера испускаемой частицы.
277Г л
277С п | C N
1
CN
7°Zn+2Q8Pb - » CN—> 277Сп+и
273Ds
11.08 МэВ
110 мкс
17.77 мм
‘
269Hs
265S g
261R f
257N o
253F m
8.52 МэВ
4.7 с
17.96 мм
8.34 МэВ
15.0 с
17.91 мм
9.23 МэВ
19.7 с
17.81 мм
4.60 МэВ (не per.)
7.4 с
17.57 мм
11.45 МэВ
280 мкс
17.85 мм
261 R
265S g
f
/
273Ds
2WHs
11.17 М эВ
1406 мкс
26.03 мм
11.20 МэВ
310 мкс
26.01 мм
9.18 МэВ
22.0 с
26.16 мм
0.2 МэВ (не per)
18.8с
27.33 мм
153 МэВ
14.5 с
26.70 мм
Дата; 05 мая 2000
Время: 18:12
Дата: 09 февраля 1996
Время: 22:37
Р и с . 1 5 .7 . Цепочки альфа-распадов 2' 7Сп, образованного в
реакции '° Z n + 208Pb—>CN—)-27'Сп+п. (обозначения см:, тексте).
Н а рис. 15.8 приведено сравнение различных ядро-ядерных
потенциалов для разных реакций холодного слияния. На. этом
рисунке приведены потенциал проксимити 1977 г. (Ргох77) [345],
366
Басса 1974 г. (Bass74) [349] и 1980 г. (BassSO) [334] годов, по­
тенциал. Кралпе-Никса-Сирка (KNS) [358] и полумикроскопи­
ческий потенциал (SMP) [89]. Видно, что феноменологические
потенциалы заметно отличаются друг от друга. Вертикальны­
ми штрихами на. рис. 15.8 отмечен диапазон эксперименталь­
ных энергий столкновения, при которых были синтезированы
сверхтяжелые ядра. Нижайшим треугольником слева отмече­
но Q -реакции слияния. Треугольники, расположенные выше,
соответствуют порогам отделения 1, 2. 3, 4, 5 и б нейтронов от
составного ядра. Нейтроны вылетают с ненулевой кинетиче­
ской энергией, поэтому в реакциях с Са, Т і, Сг и Fe возможно
испарение одного или двух нейтронов при экспериментальных
значениях энергии столкновения, а в остальных реакциях воз­
можно только испарение одного нейтрона.
Реакции, столкновения легких ядер с трансурановыми яд­
рами называются реакциями горячего синтеза, так как прохо­
д ят с образованием составных ядер с высокой энергией. В этих
реакциях потенциальный барьер взаимодействия ядер суще­
ственно превышает величину Q -реакции слияния и для эффек­
тивного образования составной системы ядра, должны стал­
киваться с близкой к барьеру кинетической энергией, что и
приводит к составной системе с высокой энергией возбужде­
ния [89,217]. Ядро-ядерные потенциалы для реакций горячего
слияния приведены на рис. 15.9-15.11 [89, 217]. Обозначения
для треугольников и вертикальных штрихов на этих рисунках
такие же. как и на. рис. 15.8. Видно что в реакциях горячего
слияния при экспериментально используемых энергиях столк­
новения возможна эмиссия 2-6 нейтронов.
Реакции слияния с 48Са отличаются от реакций горячего
слияния с другими ядрами тем, что в них высоты барьеров сли­
яния ближе к величине соответствующих значений Q -реакции.
Поэтому при экспериментально используемых энергиях столк­
новения, которые близки: к барьерам слияния, энергия возбуж­
дения компаунд-ядра не очень большая и возможна эмиссия 24 нейтронов (рис. 15.9). Конкуренция между процессами эмис­
сии нейтрона и делением присутствует при каждом испарении
нейтрона. Таким образом, использование 48Са в реакциях го­
рячего слияния приводит к уменьшению конкуренции между
367
процессом деления и охлаждением ядра за счет эмиссии мень­
шего количества нейтронов и, как следствие этого, большему
сечению реакции образования сверхтяжелого элемента. Реак­
ции слияния 48Са с 238U, 237Np, 244Pu, 243Am , 248Cm, 249Bk и
249C f успешно использовались для синтеза элементов с Z = 1 1 2 —
118 [376-378].
Р и с . 1 5 .8 . Ядро-ядерные потенциалы для реакций холод­
ного слияния. Обозначения приведены в тексте.
368
Р и с . 1 5 .9 . Ядро-ядерные потенциалы в реакциях горячего
синтеза, с 48Са для различных ориентаций деформированных
ядер. Различные кривые соответствуют различным значениям
угла 0 между линией, соединяющей центры масс взаимодей­
ствующих ядер, и осью симметрии деформированного ядра.
Треугольники и вертикальные штрихи имеют такой же смысл,
как и на рис. 15.8.
Отметим, что из экспериментов по слиянию достаточно тя­
желых ядер и образованию сверхтяжелых элементов следует,
что составное ядро плохо образуется в реакциях при энергиях,
близких величине барьера, при полюсной ориентации дефор­
мированного ядра © = 0°. Благоприятными для синтеза яв­
ляются энергии чуть ниже высоты барьера для экваториаль­
ной ориентации деформированного ядра © = 90°. Это связано
с тем, что вытянутые некомпактные формы, образовавшиеся
при 0 ~ 0 °. имеют маленький градиент потенциала, направля­
ющий систему к формированию сферического составного яд­
ра., в то время как компактные формы, связанные с © « 90°,
имеют более заметный градиент потенциала, направленный на.
369
р м фование сферического составного ядра.
240
220
200
180
280
260
240
58Ni+238U“ 29612G
220
3 00
64N i+238U=302120
280
260
240
3 20
300
280
2 60
3 60
V ^ - Д 82Se+238U=32°126
3 40
3 20
3 00
9
10
11
12
13
14
15
8
г, фм
9
10
11
12
13
14
15
16
г, фм
Р] [ С. 1 5 .1 0 . Ядро-ядерные потенциалы для реакций горя'О с лияния между ядром 238U с ядрами-снарядами тяжелее
"а. Эбозначения такие же, как и на рис. 15.9.
370
В приведенных на. рис. 15.9 -15.10 расчетах предполагалось,
что ядра-снаряды являются сферическими, и поэтому потен­
циалы зависят только от расстояния и ориентации деформиро­
ванных ядер-мишеней 2'J8U.
Сравнивая потенциалы на. рис. 15.9-15.10 можно сделать
следующие выводы:
• с увеличением заряда и массы ядра-снаряда уменьшает­
ся количество нейтронов, которое может быть испущено
в реакции при энергиях, близких к экваториальной ори­
ентации ( 0 = 90°) деформированного ядра;
• для очень тяжелых ядер-снарядов яма захвата пропада­
ет, что приводит к уменьшению вероятности образования
сверхтяжелого ядра;
• с ростом заряда и массы ядра-снаряда резко уменьшает­
ся локальный минимум потенциала взаимодействия меж­
ду ядрами (т. н. ямы захвата).
При столкновении двух деформированных ядер потенциал
зависит от взаимной относительной ориентации ядер, опреде­
ляемой углами 0 ] , 0 9 и Ф подразд. 11.5.2. На рис. 15.11 при­
ведены потенциалы для различных взаимных ориентаций ядер
19р и 248С т . Реакция слияния этих ядер успешно использова­
лась для синтеза, изотопа дубиия. Высоты барьера при ориен­
тациях обеих ядер близких к экваториальным ( 0 j = 02 ~ 90°),
являются близкими к экспериментально используемой энергии
столкновения. Энергия ядра, образовавшегося при такой энер­
гии столкновения, высока, поэтому в этой реакции испаряется
порядка 5 - 6 нейтронов.
Потенциал взаимодействия между ядрами имеет глубокие
локальные минимумы, которые зависят от ориентаций ядер.
Экваториальная ориентация обеих ядер приводит к наиболь­
шей высоте барьера и наиболее глубокой ямы захвата. Ориен­
тации, связанные с различными значениями угла Ф и одина­
ковыми значениями углов 01 и 0 2 , практически не влияют на
величину барьера и параметры ямы захвата. Наиболее сильное
влияние на потенциал оказывает ориентация тяжелого ядра.
371
О «
+ В
Л
аз
£
a>
К
05
S
£H
ч О
о
>B
G
и 0)
s
ws §
Ohь
в
О ад vo
О '*>•>
В C£
£Н g
!зЗ 1—
■
і
н р
в н
S
сО
о £
a
=С CO
З £ aH;
в
£
з
о
в
в
CD >>
5 X
a> C
O <3^
2
В
С
0)н
яі
о
a
t=C
« С
3 к
б <g
Ю С
^
s*
rH *
2-1
q3 c
а о
cj &
s й^
Ph °
►
*< л
2 oj
л tt
в я
110
I3
_/
w;
aew
W
І'4
Ш
‘(ф <1@‘ 1о ‘-*)л
aejAi Чф‘ 0 ‘
372
®‘-1)л
15.4.
Альфа-распад
сверхтяжелых ядер
Проанализируем экспериментальные данные по альфа-распаду
сверхтяжелых ядер с помощью объединенной модели альфараспада и альфа-захвата и простых эмпирических соотноше­
ний для описания периодов альфа-распада, (см. гл. 8). В табл.
15.1 приведено сравнение экспериментальных и теоретических
значений периодов альфа-распада сверхтяжелых ядер. Теоре­
тические значения периодов альфа-распада сверхтяжелых ядер
в табл. 15.1 вычислялись, используя эмпирические соотноше­
ния для тяжелых ядер из разд. 8.3. Видно, что вычисленные
периоды альфа-распада сверхтяжелых ядер в целом удовлетво­
рительно согласуются с экспериментальными данными. Как
отмечалось в [214], расчеты в рамках UMADAC или различных
эмпирических соотношений приводят к небольшим различиям
периода альфа- рас пада.
Энергии альфа,-переходов между основными состояниями
ядер определяются энергиями связи или дефектами масс ядер,
см. (8.11). Если рассматривать более тяжелые ядра, то экспери­
ментальные величины энергий альфа-переходов неизвестны. В
области сверхтяжелых атомных ядер различные теоретические
модели [65, 436-442] предсказывают разные значения энергии
связи, что приводит к значительному отличию теоретических
значений энергий альфа-переходов [214] (см. рис. 15.12). Осо­
бенно сильно различаются теоретические величины энергий
альфа-переходов для ядер с Z
=
120 - 1 2 6
и
N ~ 184 (см. рис. 15.12). Такие различия в оценках энергий
альфа-переходов приводят к отличиям на несколько поряд­
ков для периодов альфа-распада для ядер с Z — 120 - 126 и
N ~ 184 [214] (рис. 15.13). Периоды альфа-распада сверхтяже­
лых ядер на рис. 15.13 рассчитаны с помощью эмпирических
соотношений [215] при различных энергиях альфа-переходов,
найденных с использованием масс ядер из работ [65,438-441] и
представленных на рис. 15.12.
Таблица 15.1. Сравнение экспериментальных и теорети­
ческих периодов альфа-распада сверхтяжелых ядер [215].
А
Z
Q f p(MaB)
грехр
Х1/2
Ті/з [215]
256
104
8,996
0,304 с
1,16 с
258
104
9,296
0,14 с
260
104
8,947
9 2 - - I мс
, +0,035
1-0,035 с
264
108
10,848
0,081 мс
0,27 мс
266
108
10,388
2,3 мс
3,37 мс
270
108
9,068
22 с
15,6 мс
270
110
11,284
0,10_о'о4 мс
0,10 мс
284
112
9,286
9,8 с
71,2 с
286
114
10,382
0,25 с
288
114
10,132
290
116
11,054
0<26+0,04
—0,02 сс
n on+0.27
0’80-ОЛ6 С
і -Ь3,2
7,1_1 7 мс
19,7 мс
292
116
10,854
ППІ о"Юї^1
6с
0,01Ь_0
006
0,06 с
294
118
11,865
0,89І(*’з[ мс
0,94 мс
1,4 с
1,10 с
Таким образом, исследование альфа-распада сверхтяжелых
ядер дает возможность исключить модели, которые приводят к
ошибочным значениям энергий связи в сверхтяжелой области
атомных ядер.
X
т-1
W о
е о
0) см
5
«<Г5
Нй
сс
М
и ь-З
375
^
X
o5
»
с
£Г
о
X
tf a
£■ о
*^ и
T
* і
Л
e
'О
(N
Os
s
f4 \ \
II
£Q 03
о X
tt; Ds
00
oo
A A AAA
К x vx XX
V 4 4:4 •
\\Vi*
М
УЬРS > -^ / / / u
f- n * /!
h\
■4A+
f
00
A *
А < ; \С Л С Ш
Н О О
i/Xfc*'
Ш
d4 >
A «
;
A 4
If4
•1>
,A < iS >
о
......
• oo
«
v v M W 40
\
£
<N
h
40
On
On
„
CO
О
0
<N
'И 'Ш І
I
t>
С
.2
+-*
д
К
H
X
£
Ю
й
t-
oo
I-
а о f
d, S2 л
73
V f% / A
Л <N v
<0 «
ЯA
''^'*№»... Wо'k4% *4*« T
ч Ж ?= $аХ
ч
'і ’ n
A оІ «ч*<5
Ж 4)О
Щ
Д.)р*
\
,— , в
X ^ к
§ t t-^Ч
♦ >*?
* a] ♦1 ''^кч
\/\\
w
A
li
1
^
a* і »
*;<
* л//я
фT
\ \ V4
\
\
\
\
N
ч
\
\
n
\<\\\
\к. \al\<Vv'
*л *
♦«» x< x*:« * * !
.
г; Ю
M
ад cc .
A <->
a
s 5
O) ^ ^
3 С ЯЗ
U 40
і >
■
> Si]
сб a ro
Л
£
VD
В О
1 «N
2
^
jA b-O
о
1 U 40
а о
V
40
in
Os
<N
f l2 ) 0,§ o i
CO
rH
у
ю £ U
5
Й£
Й
EC
s
u
Ph
o3
a
376
Литература
[1] Булавін Л. А. Ядерна фізика / JT. А. Булавін, В. К.
Тартаковський. - К. : Київ, унів., 2002.
[2] Плюйко В. А. Основи теорії ядра та. ядерних процесів.
Фізика атомного ядра / В. А. Плюйко. - К. : Київ. унів..
2002: Основи теорії ядра та ядерних процесів. Ядерні
процеси / В. А. Плюйко. - К.: - К.: Київ, унів., 2003;
Каденко І. М. Фізика атомного ядра та частинок / І. М.
Каденко, В. А. Плюйко. - К. : Київ, унів., 2008.
[3] Thomas L. Н. The calculation of atomic fields / L. H.
Thomas /7 Proc. Cambridge Phil. Soc., 1927. - Vol. 23.
P. 542.
[4] Fermi E. Un Metodo Statistico per la Determinazione cli
alcune Prioprieta* dell’Atomo / E. Fermi / / Rend. Accad.
Naz. Lincei, 1927. - Vol. 6. - P. 602.
[5] Ландау Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука,
1989.
[6] Киржниц Д. А. Квантовые поправки к уравнению
Томаса-Ферми / Д. А. Киржниц / / ЖЭТФ, 1957. - Т.
32. - С. 115.
[7] Киржниц Д. А. Полевые методы теории многих частиц
/ Д. А. Киржниц. - М. : Госатомиздат, 1963.
377
[8] Ring P. The Nuclear Many-Bodv Problem / P. Ring, P.
Schuck. - Berlin : Springer-Verlag, 1980.
[9] Коломиец В. М. Приближение локальной плотности в
атомной и ядерной физике / В. М. Коломиец. - К. :
Наукова Думка. 1990.
[10] Коломиец В. М. Ядерная ферми-жидкость / В. М. Ко­
ломиец. - К. : Наукова Думка, 2009. - 415 с.
[11] Dreizler R. М. Density funtional theory / R. M. Dreizler,
E. К. U. Gross. - Berlin : Springer-Verlag, 1990.
[12] Brack M. Semiclassical physics / M. Brack, R. K. Bhaduri
j j Frontiers in Physics. - Reading, USA : Addison-Wesley,
1997. - Vol. 96. - 444 p.
[13] де Гроот С.P. Электродинамика / С. Р. де Гроот, Л. Г.
Сатторн. - М. : Наука, 1982. - 560 с.
[14] Варшалович Д. А. Квантовая теория углового момента
/ Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский.
- Л. : Наука, 1975.
[15] Шпатаковская Г. В. Квазиклассическая модель строе­
ния вещества / Г. В. Шпатаковская / / УФН, 2012. - Т.
182. - С. 457.
[16] von Weizsacker С. F. Zur Theorie der Kernrnassen / С. F.
von Weizsacker / / Z. Phys., 1935. - Vol. 96. - P. 431.
[17] Grammaticos B. Semi-classical approximations of nuclear
hamiltonians. I. Spin independent potentials / B.
Grammaticos, A. Voros / / Ann. Phys., 1979. - Vol. 123.
- P. 359.
[18] Brack M. Selfconsist.ent semiclassical description of average
nuclear properties—a link between microscopic and
macroscopic models / M. Brack, C. Guet, H. -B. Hakanson
/ / Phys. Rep., 1985. -Vol. 123. - P. 275.
378
[19] Hartree D. R. The wave mechanics of an atom with a
non-Coulomb central field. L Theory and methods / D. R.
Hartree .// Proc. Cambridge Philos. Soc., 1928. - Vol. 24.
- P. 89.
[20] Fock V. A. Naherungsmethode zur Losung des
quantenmechanischen Mehrkorperproblems / V. A.
Fock / / Z. Phvs., 1930. - Vol. 61. - P. 126.
[21] Slater J. C. The theory of complex spectra / J. C. Slater
/ / Phys. Rev., 1929. - Vol. 34. - P. 1293.
[22] Бете Г. Квантовая механика / Г. Бете. - М. : Мир, 1965.
[23] Барц Б. И. Метод Хартри-Фока в теории ядра / Б. И.
Барц, Ю. Л. Гончар, Е. В. Инопин, В. Ю. Гончар. - К.
: Наукова думка, 1982.
[24] Браун Дж. Е. Нуклон-нуклонные взаимодействия /
Дж. Е. Браун, А. Д. Джексон. - М. : Атомиздат, 1979.
[25] Skyrrne Т. Н. R. The effective nuclear potential /' Т. H. R.
Skyrme / / Philos. Mag., 1956. - Vol. 1. - P. 1043; Skyrme
Т. II. R. The effective nuclear potential /Т. H. R. Skyrme
j j Nucl. Phys., 1959. - Vol. 9. - P. 615; Skyrm,e Т. H. R.
The spin-orbit interaction in nuclei /Т. H. R. Skyrme / /
Nucl. Phys., 1959. - Vol. 9. -P. 635.
[26] Vautherin D. Hartree-Fock calculations with Skyrme’s
interaction. 1. Spherical nuclei / D. Vautherin, D. M. Brink
/ / Phys. Rev. C, 1972. - Vol. 5. - P. 626.
[27] Beiner M. Nuclear ground state properties and
selfconsistent calculations with the Skyrme interactions :
1. Spherical description / M. Beiner, H. Flocard, N. Van
Giai, P. Quentin / / Nucl. Phys. A, 1975. - Vol. 238, - P.
29.
[28] A Skyrrne parametrization from subnuclear to neutron star
densities / E. Chabanat, P. Bonche, P. Haensel, J. Meyer,
R. Schaeffer .// Nucl. Phys. A, 1997. - Vol. 627. - P. 710;
379
A Skyrrne parametrization from subnuclear to neutron star
densities. Part II. Nuclei far from stabilities. / P. Bonche.
P. Haensel, J. Meyer. R. Schaeffer / / Nucl. Phvs. A, 1998.
-Vol. 635. - P. 231.
[29] Shape coexistence and the effective nticleon-nucleon
interaction / P. G. Reinhard, D. J. Dean. W. Nazarewicz,
J. Dobaczewski, J. A. Maruhn, M. R. Strayer / / Phys. Rev.
C, 1999. - Vol. 60. - P. 014316.
[30] Goriely S. A Hartree-Fock nuclear mass table / S. Goriely,
F. Tondeur. J. M. Pearson / / At. Data Nucl Data TabL,
2001. - Vol. 77. - P. 311-381.
[31] Hohenberg P. Inhomogeneous Electron Gas / P. Hohenberg,
W. Kohn / / Phys. Rev. B, 1964. - Vol. 136. - P. 864.
[32] Kolo'inietz V. M. New derivation of the symmetry energy
for nuclei beyond the j3-stability line / V. M. Kolomietz, A.
I. Sanzhur / / Phys. R,ev. C, 2010. - Vol. 81. - P. 024324.
[33] Kolomietz V. M Equation of state and symmetry energy
within the stability valley / V. M. Kolomietz, A. I. Sanzhur
/ / Eur. Phys. J. A, 2008. :.Vol. 38. P. 345.
[34] Gogny D. Hartree-Fock Bogolyubov method with densitydependent interaction / D. Gogny /'/ in Proceedings of
the International Conference on Nuclear Physics, Munich;
edited by J. de Boer and H. J. Mang. - Amsterdam : NorthHolland, 1973. - Vol. 1. - P. 48 Gogny D. Self-consistent
pairing calculations ,/ D. Gogny / / in Proceedings of the
International Conference on Nuclear Self-Consistent Fields,
ICTP, Trieste; edited by G. Ripka and M. Porneuf. Amsterdam : North-Holland. 1975. - P. 333-352.
[35] Decharge J, Hartree-Fock-Bogolyubov calculations with the
D1 effective interaction on spherical nuclei / J. Decharge,
D. Gogny ,// Phys. Rev. C, 1980. - Vol. 21. P. 1568.
[36] Berger J. F. Time-dependent quantum collective dynamics
applied to nuclear fission / J. F. Berger. M. Girod, D. Gogny
380
/ / Comp. Phys. Comm., 1991. - Vol. 63. - P. 365; /7 Nucl.
Phys. A., 1984. - Vol. 428. - P. 23.
[37] First Gogny-Hartree-Fock-Bogoliubov Nuclear Mass Model
/ S. Goriely, S. Hilaire, M. Girod, S. Peru / / Phys. Rev.
Lett., 2009.' - Vol. 102. - P. 242501.
[38] Interactions for inelastic scattering derived from realistic
potentials / G. F. Bertsch, J. Borysowicz, H. McManus,
W. G. Love / / Nucl. Phys. A, 1977. - Vol. 284. P. 399.
[39] Satchler G. R. Direct Nuclear Reactions / G. R. Satchler.
- Oxford : Oxford University Press, 1983.
[40] Frobrich P. Theory of Nuclear Reactions / P. Probrich, R.
Lipperheide. - Oxford : Oxford University Press, 1996.
[41] Satchler G. R. Folding model potentials from realistic
interactions for heavy-ion scattering / G. R. Satchler, W.
G. Love / / Phys. Rep., 1979. - Vol. 55. - P. 183;
Brandan М. E. The interaction between light heavy-ions
and what it tells us / М. E. Brandan , G. R. Satchler / /
Phys. Rep., 1997..Vol. 285. - P. 143.
[42] New measurement of the refractive, elastic 1G0 + 12C
scattering at 132, 170, 200, 230, and 260 MeV incident
energies / A. A. Ogloblin, Yu. A. Glukhov, W. H. Trzaska,
A. S. Dem’yanova, S. A. Goncharov, R. Julin, S. V.
Klebnikov, M. Mutterer, М. V. Rozhkov, V. P. Rudakov,
G. P. Tiorin, Dao T. Khoa, and G. R. Satchler / / Phys.
Rev. C, 2000. - Vol. 62. - R 044601.
[43] Foldi'tig model analysis of a.-particle elastic scattering with
a semirealistic density-dependent effective interaction / A.
M. Kobos, B. A. Brown, P /E . Hodgson, G. R. Satchler,
A. Budzanowski / / Nucl. Phys. A, 1982. - Vol. 384. - P.
65.; A nuclear matter study using the density dependent
M3Y interaction / Dao T. Khoa, W. von Oertzen j j Phys.
Lett. B, 1993. - Vol. 304. - P. 8; Phys. Lett. B, 1995. - Vol.
342. - P. 6; Nuclear incompressibility and density dependent
NN interactions in the folding model for nucleus-nucleus
potentials /Dao T. Khoa, G. R. Satchler, W. von Oertzen
/ / Phys. Rev. C, 1997. - Vol. 56. - P. 954.
[44] Давыдов А. С. Теория атомного ядра / А. С. Давыдов.
- М. : ГИФМЛ, 1958.
[45] Немировский П . Э . Современные модели атомного ядра.
/ П. Э. Немировский..М. : Атомиздат, 1960.
[46] Давыдов А. С. Возбужденные состояния атомных ядер
/ А. С. Давыдов. - М. : Атомиздат, 1967.
[47] Бор О. Структура атомного ядра. Том I / O . Бор, Б.
Моттельсон - М. : Мир, 1971; Бор О. Структура атом­
ного ядра. Том 2 / О. Бор, Б. Моттельсон- М. : Мир,
1977.
[48] Соловьев В. Г. Теория атомного ядра : ядерные модели
/ В. Г. Соловьев. - М. : Атомиздат, 1981.
[49] Woods R. D. Diffuse Surface Optical Model for NucleonNuclei Scattering / R. D. Woods, D. S. Saxon j j Phys.
Rev., 1954. - Vol. 95. - P. 577.
[50] Струтинский В. М. Об энергии деформации ядер / В.
М. Струтинский / / ЯФ, 1966. - Т. 3. - С. 604.
[51] Strutinsky V. М. Shell effects in nuclear masses and
deformation energies / V. M. Strutinsky / / Nucl. Phys.
A, 1967. - Vol. 95. - P. 420.
[52] Strutinsky V. M. “Shells” in deformed nuclei / V. M.
Strutinsky / / Nucl. Phys. A. 1968. - Vol. 122. - P. 1.
[53] Funny Hills : The Shell-Correction Approach to Nuclear
Shell Effects and Its Applications to the Fission Process /
M. Brack, J. Damgaard, A. S. Jensen, H. C. Pauli, V. M.
Strutinsky, C. Y. Wong / / Rev. Mod. Phys., 1972. - Vol.
44. - P. 320.
382
[54] Немировский П. Э. Нейтронные состояния в деформи­
рованном оптическом потенциале / П. Э. Немировский,
В. А. Чепурнов / ЯФ, 1966. - Т. 3. - С. 998.
[55] Becchetti
F.
D.
Nucleon-Nucleus
Optical-Model
Parameters, A>40, E<50 MeV / F. D. Becclietti, G.
W. Greenlees / / Phys. Rev., 1969. - Vol. 182. - P. 1190.
[56] Single-particle energies, wave functions, quadrupole
moments and g-factors in an axially deformed woods-saxon
potential with applications to the two-centre-type nuclear
problems / S. Cwiok, J. Dudek, W. Nazarewicz, J. Skalski,
T. Werner j I Comp. Phys. Comm., 1987. - Vol. 46. - P.
379.
[57] Ежов С. H. К изучению вклада прямых процессов в
реакциис тремя частицами в конечном канале / С. Н.
Ежов, В. А. Плюйко / / ЯФ, 1978. - Т. 28, В. 1(7). - С.
83-89.
[58] Numerov В. V. A method of extrapolation of perturbations
/ В. V. Numerov / / Monthly Notices of the Royal
Astronomical Society, 1924. - Vol. 84, -P. 592.; Note on
the numerical integration of drx/dt2 = f ( x, t) j В. V.
Numerov /7 Astronomische Nachrichten, 1927. - Vol. 230.
- P. 359-364.
[59] Melkanoff M. A. Methods in computational physics. Vol.
6 / M. A. Melkanoff, T. Sawada, J. Raynal. - New York :
Academic Press, 1966. - P. 1.
[60] Ситенко А. Г. Теория рассеяния / А. Г. Ситенко. - К. :
Вища, школа, 1975.
[61] Абрамович М. Справочник по специальным функциям
/ М. Абрамович, И. Стиган. - М. : Наука, 1979).
[62] К теории ядерной оболочечной структуры /' В. М. Коломиец, Б. Д. Константинов, В. М. Струтинский, В. И. .
Хворостьяиов / / ЭЧАЯ, 1972. - Т. 3, №2. - С. 392-406.
[63] Bunatyan G. G. A foundation to the shell correction
method / G. G. Bunatyan, V. M. Kolomietz, V. M.
Strutinsky / / Nucl. Phys. A, 1972. - Vol. 188. - P. 225.
[64] Brack M. New method for calculating shell correction / M.
Brack, H. C. Pauli /'/ Nucl. Phys. A, 1973. - Vol. 207. - P.
401-424.
[65] Nuclear Ground-State Masses and Deformations / P.
Moller. J. R. Nix, W. D. Myers, W. J. Swiatecki / / At.
Data Nucl. Data Tabl., 1995. - Vol. 59. - P. 185.
[66] The Nubase evaluation of nuclear and decay properties /
G. Audi, O. Bersillon, J. Blachot, A. H. Wapstra j / Nuci.
Phys. A, 2003. - Vol. 729. - P. 3.
[67] Bjomholm S. Intermediate states in fission / S. Bjornholm,
V. M. Strutinsky / / Nucl. Phys. A, 1969. - Vol. 136. - P.
1.
[68] Green A. E. S. Nuclear physics / A. E. S. Green. - New
York : McGraw-Hill, 1955.
[69] Axial and reflection asymmetry of the nuclear ground state
/ P. Moller, R. Bengtsson, B. G. Carlsson, P. Olivius. T.
Ichikawa, H. Sa.ga.wa, A. Iwamoto / / At. Data Nucl Data
Tabl., 2008. - Vol. 94. - P. 758.
[70] Butler P. A. Intrinsic reflection asymmetry in atomic nuclei
/ P. A. Butler, W. Nazarewicz / / Rev. Mod. Phys., 1996.
- Vol. 68. - P. 349.
[71] Chasm,an R. R. Superdeformed and hyperdeformed banana
shaped nuclides near A = 190 / R. R. Chasman j j Physics
Letters B, 1991. - Vol. 266. - P. 243.
[72] Raman S. Transition probability from the ground to the
first-excited 2+ state of even-even nuclides / S. Raman, C.
W. Nestor, P. Tikkanen / / Atom. Data Nucl. Data Tabl.,
2001.-V ol. 78.- P . 1.
384
[73] Heavy-element fission barriers / P. Moller, A. J. Sierk,
T. Ichikawa, A. Iwamoto, R.. Bengtsson, H. Uhrenholt,
S. Aberg, //Phys. Rev. C, 2009. - Vol. 79. - P. 064304;
Transmission resonance spectroscopy in the third minimum
of 232Pa /L. Csige, M. Csatlvs, T. Faestermann, J. Gulyas,
D. Habs. R. Hertenberger, M. Hunyadi, A. Krasznahorkay,
H. J. Maier, P. G. Thirolf, H. -F . W irth / / Phys. Rev. C,
2012. - Vol. 85. - P. 054306.
[74] Петржак К. А. Спонтанное деление урана. Доклад на
Совещании по атомному ядру 1940 г. / А. К. Петржак,
Г. Н. Флеров / / ЖЭТ'Ф! 194о" - Т. 10. - С. 1013; / / УФН'
1941. - Т. 25, В. 2. - С. 171-178.
[75] Hahn О. Concerning the Existence of Alkaline Earth Metals
Resulting from Neutron Irradiation of Uranium / O. Hahn,
F. Strassmann / / Naturwissenschaften, 1939. - Vol. 27. P. 11.
[76] Спонтанное деление с аномально коротким периодом.
I. / С. М. Поликанов, В. А. Друин, В. А. Карнаухов, В.
Л. Михеев, А. Л. Плеве, Н. К. Скобелев, В. Г. Субботин,
Г. М. Тер-Акопьян, В. А. Фомичев / / ЖЭТФ, 1962. - Т.
42, В. 6. - С. 1464-1471.
[77] Cwiok S. Excitation effects on the nuclear-fission process in
the heaviest elements / Z. Lojewski, V. V. Pashkevich, S.
Cwiok / / Nucl. Phys. A, 1985. - Vol. 436. - P. 499; Diebel
M. Microscopic calculations of fission barriers and critical
angular momenta for excited heavy nuclear systems / M.
Diebel, K. Albrecht, R. W. Hasse / / Nucl. Phys. A, 1981.
- Vol. 355. - P. 66.
[78] Sheikh J. A. Systematic study of fission barriers of excited
superheavy nuclei / J. A. Sheikh, W. Nazarewicz, J. C.
Pei j j Phys. Rev C, 2009. - Vol. 80. - P. 011302; Fission
barriers and neutron gas in compound superheavy nuclei /
J. C. Pei, W. Nazarewicz, J. A. Sheikh, A. K. Kerman / /
Nucl. Phys. A, 2010. - Vol. 834. - P. 381.
385
[79] Denisov V. Yu. Formation of superheavy elements in cold
fusion reactions / V. Yu. Denisov, S. Hofmann / / Pliys.
Rev. C, 2000. - Vol. 61. - P. 034606.
[80] Барретт P. Размеры и структура ядра / Р. Барретт, Д.
Джексон. - К. : Наукова думка, 1981.
[81] De Jager С. W. Nuclear charge- and magnetizationdensity-distribution parameters from elastic electron
scattering / C. W. De Jager, H. De Vries, C. De Vries /'/"
At. Data Nucl. Data Tabl, 1974. - Vol. 14. - P. 479.
[82] De Vries H. Nuclear charge-density-distribution parameters
from elastic electron scattering / H. De Vries. C. W. De
Jager, C. De Vries / / At. Data Nucl. Data Tabl., 1987. Vol. 36. - P. 495.
[83] Angeli I. A consistent set of nuclear mis charge radii :
properties of the radius surface R(N,Z) / I. Angeli / / At.
Data Nucl. Data Tabl., 2004. - Vol. 87. - P. 185.
[84] Алхазов Г. Д. Распределение нейтронов в ядрах / Г. Д.
Алхазов / / Изв. АН СССР. Сер. Физ., 1978. - Т. 42. - С.
2218.
[85] Elastic scattering of 1 GeV protons from medium and
heavy nuclei and nuclear densities / G. D. Alkhazov, S.
L. Belostotsky. O. A. Domchenkov, Yu. V. Dotsenko. N. P.
Kuropatkin, V. N. Nikulin, M. A. Shuvaev, A. A. Vorobyov
/ / Nucl. Plivs. A, 1982. - Vol. 381. - P. 430.
[86] Trzcinska. A. Antiprotonic atoms as a tool to study the
nuclear periphery / A. Trzcinska / / Acta Phys. Polonica B,
2010.-V ol. 41.- P . 311.
[87] Strutinsky V. M. Density distribution in nuclei / V. M.
Strutinsky, A. G. Magner, V. Yu. Denisov / / Z. Phys. A,
1985. - Vol. 322. - P. 149-156;
[88] Berg R. A. Nuclear surface effects / R. A. Berg, L. Wilets
/ / Phys. Rev., 1956. - Vol. 101. - P. 201.
386
[89] Denisov V. Yu. Binding energy and density distributions in
nonlocal extended Thomas-Fermi approximation / V. Yu.
Denisov. V. A. Nesterov / / Phys. At. Nucl., 2002. - Vol.
65. -P. 814-823.
[90] The NUBASE evaluation of nuclear and decay properties
/ G. Audi. O. Bersillon, J. Blachot, and A. H. Wapstra / /
Nucl. Phys. A, 1997. - Vol. 624. - P. 1; Audi G. The 1995
update to the atomic mass evaluation j G. Audi and A. H.
Wapstra I і Nucl. Phys. A, 1995. - Vol. 595. - P. 409.
[91] Brown B. .4. New Skyrme interaction for normal and exotic
nuclei / B. A. Brown //' Phys. Rev. C, 1998. - Vol. 58. - P.
220 .
[92] Discovery of Doubly Ma.gic 48Ni / B. Blank, M. Chartier, S.
Czajkowski, J. Giovinazzo, M. S. Pravikoff, J. -C. Thomas,
G. de France, F. de Oliveira Santos, M. Lewitowicz, C.
Borcea. R. Grzvwacz, Z. Janas, M. Pfutzner / / Phys. Rev.
Lett., 2000. - Vol. 84. - P. 1116.
[93] Kolomietz V. M. Nucleon distribution in nuclei beyond the
p-stability line / V. M. Kolomietz, S. V. Lukyanov, A. I.
Sanzhur / / Phys. Rev. C, 2012. - Vol. 85. - P. 034309.
[94] Lalazissis
G.
A.
Relativistic
Hartree-Bogoliubov
description of ground-state properties of Ni and Sn
isotopes / G. A. Lalazissis, D. Vretenar, P. Ring / / Phys.
Rev. C, 1998. - Vol. 57. - P. 2294.
[95] Минкин, В. И. Теория строения молекул / В. И. Минкин,
Б. Я. Симкин, Р. М. Миняев. - Ростов-на-Дону : Феникс,
1997.
[96] Cleeton С. Е. Electromagnetic Waves of 1.1 cm WaveLength and the Absorption Spectrum of Ammonia / С. E.
Cleeton, N. H. Williams / / Phys. Rev., 1934. - Vol. 45. P. 234.
[97] Denisov V'. Yu. Collective states of even-even and odd
nuclei with p2, p3, ... ,f3w deformations / V. Yu. Denisov,
A. Ya. Dzyublik
17.
I j
Nucl. Phvs. A, 1995. - Vol. 589. - P.
[98] Davydov A. S. Rotational states in even atomic nuclei / A.
S. Davydov, G. F. Filippov / / Nucl. Phvs., 1958. - Vol. 8.
- P. 237.
[99] Davydov A. S. Rotation-vibration interaction in non-axial
even nuclei / A. S. Davydov, A. A. Chaban /./ Nucl. Phvs.,
I960. - Vol. 20. - P. 499.
[100] Денисов В. Ю. Октупольная деформация и электриче­
ские дипольные переходы в ядрах / В. Ю. Денисов j j
ЯФ, 1989. - Т. 49. - С. 644-654.
[101] Денисов В. Ю. Согласованный расчет поляризованного
электрического дипольного момента по методу оболочечной поправки / В. Ю. Денисов /'/ ЯФ, 1992. - Т. 55.
- С. 2647-2656.
[102] Дзюблик А. Я. Энергии и возбужденные состояния
четно-четных ядер с квадрупольной и октупольной де­
формациями / А. Я. Дзюблик, В. К). Денисов .// УФЖ,
1992. - Т. 37. - С. 1770-1777; Коллективные состояния
четно-четных ядер с квадрупольной и октупольной де­
формациями / А. Я. Дзюблик. В. Ю. Денисов //ЯФ .
1993. - Т. 56, № 3. - С. 30-39.
[103] Денисов В. Ю. Коллективные состояния нечетных ядер
с квадрупольной и октупольной деформациями / В. Ю.
Денисов, А. Я. Дзюблик / / ЯФ, 1993. - Т. 56, № 4. - С.
96-104.
[104] Денисов В. Ю. Поляризационный электрический дипольный момент неаксиальных ядер / В. Ю. Денисов,
О. И. Давидовская / / ЯФ. 1996. - Т. 59. - С. 981-988.
[105] Denisov V. Yu. Polarized electric dipole moment of welldeformed reflection asymmetric nuclei / V. Yu. Denisov / /
Eur. Phys. J. A, 2011. - Vol. 47. - P. 80-88.
388
[106] Fernandez-Niello J. High-spin states in 218R.a / J.
Fernandez-Niello, H. Puchta, F. Riess, W. Trautmann / /
Nucl. Phys. A. 1982. - Vol. 391. - P. 221.
[107] Leander G. A. Reflection-asymmetric rotor model of odd
A=219-229 nuclei / G. A. Leander, Y. S. Chen / / Phys.
Rev. C, 1988. - Vol. 37. - P. 2744-2778.
[108] Струтинский В. М. Замечания о зеркальноасимметричных ядрах / В. М. Струтинский /’/ Атомная
Энергия, 1956. - Т. 1, № 4. - С. 150-154.
[109] Dorso С. О. Droplet-model electric dipole moments / С.
О. Dorso, W. Myers, W. Swiatecki / / Nucl. Phys. A, 1986.
- Vol. 451. - P . 189-201.
[110] Tsvetkov A. Droplet-model electric dipole moments / A.
Tsvetkov, J. Kvasil, R. G. Nazmitdinov //' J. Phys. G, 2002.
- Vol. 28. - P. 2187-2206.
[111] Ахієзер О. І. Теорія ядра / О. І. Ахієзер, Ю. А. Береж­
ной. - К. : Вища школа, 1995.
[112] Варлам,ов В. В. Фотоядерные реакции. Современный
статус экспериментальных данных / В. В. Варламов, Б.
С. Ишханов, И. М. Капитонов. - М. : Университетская
книга, 2008.
[113] Harakeh М. N. Giant resonances: fundamental highfrequency modes of nuclear excitation / M. N. Harakeh,
A. van der Woude. - New York : Oxford University Press,
2001 .
[114] Baldwin G. C. Photo-Fission in Heavy Elements / G. C.
Baldwin, G. S. Klaiber / / Phys. Rev., 1947. - Vol. 71. - P.
3.
[115] Wambuch J. Damping of small-amplitude nuclear collective
motion / J. Wambach / / Rep. Prog. Phys., 1988. - Vol. 51.
- P. 989.
389
[116] Ишханов В. С. Гигантские резонансы в атомных ядрах
/ Б. С. Ишханов, Н. П. Юдин, Р. А. Эрамжян / / ЭЧАЯ,
2000. - Т. 31. - С. 313.
[117] Migdal А. В. Quadrupole and dipole у -radiation of nuclei
/ A. B. Migdal //J . Phys. Acad. Sci. USSR, 1944. - Vol. 8.
- P. 331-336.
[118] Goldhaber M. On Nuclear Dipole Vibrations / M.
Goldhaber, E. Teller / / Phys. Rev., 1948. - Vol. 74. - P.
1046.
[119] Steinwedel H. Hydrodinamik von Kerndipol Schwingangen
/ H. Steinwedel, J. H. D. Jensen j j Z. Naturforsch., 1950.
- Vol. A5. - P. 413-420.
[120] Berman B. L. Measurements of the giant dipole resonance
with monoenergetic photons / B. L. Berman, S. C. Fultz / /
Rev. Mod. Phys., 1975. - Vol. 47. - P. 713.
[121] Renewed Database of GDR, Parameters for Atomic Nuclei /
V. A. Plujko, О. M. Gorbachenko. V. M. Bondar, R. Capote
/ / Journ. Korean Phys. Soc., 2011. - Vol. 59. - P. 1514-1517.
[122] Statistical description of dipole gamma-transitions in
atomic nuclei / V. A. Plujko, О. Лі. Gorbachenko,
R. Capote, V. M. Bondar / / Proceedings of the 3rd International conference Current Problems in Nuclear
Physics and Atomic Energy (NPAE-Kyiv20.10), -June 7-12,
2010, Kyiv, Ukraine. - 2011. - Part I. - P. 342-346.
[123] Droplet model of the giant dipole resonance / W. D. Myers,
W. J. Swiatecki, T. Kodama, L. J. El-Jaick, E. R. Hilf / /
Phys. Rev. C, 1977. - Vol. 15. - P. 2032.
[124] Stringari S. Fluid-dynamical description of nuclear
collective excitation / S. Stringari / / Ann. Phys.. 1983. Vol. 151, Iss. 1. - P. 35-70.
[125] Lipparini E. Sum rules and giant resonances in nuclei / E.
Lipparini, S. Stringari j j Phys. R.ep., 1989. - Vol. 175. - P.
103.
390
[126] Денисов В. Ю. Дипольные резонансы в газово­
капельной модели ядра / В. Ю. Денисов / / ЯФ, 1986. Т. 43. - С. 46-57.
[127] Денисов В. Ю. Изоскалярные и изовекторные резонан­
сы в газово-капельной модели ядра в деформированных
ядрах /' В. Ю. Денисов / / ЯФ, 1986. - Т. 44. - С. 31-43.
[128] Danieleuricz P., Surface Symmetry Energy / P. Danielewicz
/ / Nucl. Phys. A, 2003. - Vol. 727. - P. 233.
[129] Абросимов В. И. Дипольные колебания в нагретых
асимметричных ферми-системах / В. И. Абросимов, О.
И. Давндовская / / Известия РАН. Серия физ., 2004. Т. 68., № 2. - С. 200-204.
[130| Nuclear asymmetry energy a,nd isovector stiffness within
the effective surface approximation / J. P. Blocki, A. G.
Magner, P. Ring, A. A. Vlasenko / / Phys. Rev. C. 2013. Vol. 87. - P. 044304.
[131] Урин М. Г. Фотон ейтронные реакции вблизи порога и
оптическая модель / М. Г. Урин /'/' ЭЧАЯ, 1977. - Т. 8.
- С. 817.
[132] Dietrich, S. S. Atlas of photoneutron cross sections obtained
with monoenergetic photons / S. S. Dietrich. B. L. Berman
/ / At, Data Nucl. Data Tabl., 1988. - Vol. 38. - P. 199-338.
[133] Plujko V. A. An investigation of interplay between
dissipation mechanisms in heated Fermi systems by means
of radiative strength functions ,/ V. A. Plujko / / Nucl. Phys.
A, 1999. - Vol. 649, Iss. 1-4. - P. 209-213.
[134] RIPL - Reference Input Parameter Library for Calculation
of Nuclear Reactions and Nuclear Data Evaluations / R.
Capote, M. Herman, P. Oblozinsky, P. G. Young, S. Goriely,
T. Belgya, A. V. Ignatyuk, A. J. Koning, S. Hilaire, V. A.
Plujko, M. Avrigeanu, O. Bersillon, М. B. Chadwick, T.
Fukahori, Zhigang Ge, Yinlu Han, S. Kailas, J. Kopecky,
391
V. M. Maslov, G. Reffo, M. Sin, E. Sli. Soukhovitskii, P.
Talou / / Nuclear Data Sheets, 2009. - Vol. 110. - P. 3107;
http://www-n.ds. iaea. org/RlPL-3/.
[135] Plujko V. A. Giant dipole resonance parameters with
uncertainties from photonuclear cross sections / V. A.
Plujko, R. Capote. О. M. Gorbachenko / / At. Data Nucl.
Data Tabl., 2011. - Vol. 97. - P. 567.
[136] Мазур В. М. Гигантский дипольный резонанс в погло­
щении и эмиссии у - квантов средними и тяжелыми яд­
рами / В. М. Мазур, Л. М. Мельникова /7 ЭЧАЯ, 2006.
- Т . 36, В. 6 .- Р . 1744-1780.
[137] Plujko V. A. A new closed-form thermodynamic approach
for radiative strength functions / V. A. Plujko / / Acta
Phys. Pol. B, 2000. - Vol. 31. P. 435.
[138] Testing and improvements of gamma-ray strength functions
for nuclear model calculations / V. A. Plujko, S. N. Ezhov,
M. O. Kavatsyuk, A. A. Grebenuyk, R. V. Yermolenko / /
Journal Nucl. Sci. Teclmol., Suppl., 2002. - Vol. 2. - P. 811.
[139] Comparison and testing of methods for El strength
calculations / V. A. Plujko, I. M. Kadenko, O. A.
Bezshvyko, L. O. Golinka-Bezshyyko,0. I. Davidovskava ././
Intern. Journ. Mod. Phys. E, 2006. - Vol. 15. -- P. 387.
[140] The simplified description of dipole radiative strengt,h
function / V. A. Plujko, О. M. Gorbachenko, E. V. Kulich,
I. M. Kadenko / / Intern. Journ. Mod. Phys. E, 2008. - Vol.
17. - P. 240.
[141] Plujko V. A. Lorentzian-like models of El radiative
strength functions / V. A. Plujko, О. M. Gorbachenko, E.
V. Kulich / / Intern. Journ. Mod. Phys. E, 2009. - Vol. 18.
- P. 996.
[142] El gamma-transitions in hot atomic nuclei / V. A.
Plujko , О. M. Gorbachenko, E. P. R.ovenskykh, V. A.
392
Zheltonozhskii j j Nucl. Phys. Atomic Energy, 2012. - Vol.
13. - P. 335.
[143] Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, E. М.
Лифшиц. - М. : Наука, 1986.
[144] Бреховсшх Л. М. Введение в механику сплошных сред
/ Л. М. Бреховских, В. В. Гончаров. - М. : Наука, 1982.
[145] Danos М. On the long-range correlation model of the
photonuclear effect / M. Danos / / Nucl. Phys., 1958. - Vol.
5. - P. 23.
[146] Ok.am.oto K. Intrinsic Quadrupole Moment and the
Resonance Width of Photonuclear Reactions / K. Okamoto
,// Phys. Rev., 1958. - Vol. 110. - P. 143.
[147] A semi-phenomenological description of the giant, dipole
resonance width / P. Carlos, R. Bergere, H. Beil, A.
Lepretre, A. Veyssiere / / Nucl.Phys. A, 1974. - Vol. 219. P. 61.
[148] Giant resonance in the total photoabsorption cross section
of Z < 90 nuclei / G. M. Gurevich, L.E. Lazreva, V. M.
Mazur, G.V. Solodukhov, B.A. Tulupov .// Nucl. Phys. A,
1976. - Vol. 273. - P. 326.
[149] Gardner D. G. Methods for calculating neutron capture
cross sections and gamma-ray energy spectra. / D. G.
Gardner / / In: Neutron radiative capture. Neutron physics
and nuclear data in science and technology; OECD series;
Edit. R..E. Chrien. - Oxford : Pergamon Press., 1984. - Vol.
3. - P. 62-118.
[150] Danos M. Damping of the Giant Resonance in Heavy Nuclei
/ M. Danos, W. Greiner / / Phys. Rev. B, 1965. - Vol. 138.
- P. 876.
[151] Румянцев Б. А. Микроскопическая модель затухания
гигантских резонансов / Б. А. Румянцев /,/ ЯФ, 1976.
- Т. 24. - С. 1098.
393
[152] Bertsch G. F. The Collision Integral in Nuclear Matter at
Zero Temperature / G. F. Bertsch /7 Zeit, Phys. A. 1978.
- Vol. 289. - P. 103.
[153] Ando K. Spreading width of giant resonances and the
attenuation of zero sound Zeitschrift fur Physik A Atoms
and Nuclei / K. Ando, A. Ikeda, G. Holzwarth / / Zeit.
Phys. A, 1983. - Vol. 310, Iss. 3. - P. 223-227.
[154] Денисов В. Ю. Гигантские резонансы-нулевой звук в хо­
лодных и первый звук в горячих ядрах / В. Ю. Денисов
//' ЯФ, 1989. - Т. 49. - С. 59-62.
[155] Kolomietz V. М. The retardation effects in collision integral
/ V. M. Kolomietz, A.G. Magner, V.A. Plujko /,/ Nucl.
Phys. A, 1992. - Vol. 545. - P. 99.
[156] Коломиец В. М. Эффекты запаздывания в кинетиче­
ском уравнении / В. М. Коломиец, А. Г. Магнер, В. А.
Плюйко / / ЯФ, 1992. - Т. 55. - С. 2061-2069.
[157] Ayik S. Damping of collective vibrations in a memorydependent transport model / S. Ayik. D. Boiley / / Phys.
Lett, B, 1992, - Vol. 276. - P. 263 Ayik S. Damping
of collective vibrations in a memory-dependent transport
model / S. Ayik / / Phys. Lett. B, 1992. - Vol. 284. - P.
482(E).
[158] Коломиец В. М. Затухание ядерных коллективных воз­
буждений с учетом эффектов запаздывания / В. М. Ко­
ломиец, А.Г. Магнер, В. А. Плюйко / / ЯФ, 1993. - Т.
56. - С. 110-124.
[159] Kolomietz V. М. Retardation effects in damping of nuclear
collective excitations. I. Relaxation time / V. M. Kolomietz,
A.G. Magner, V. A. Plujko / / Zeit.Phys. A, 1993. - Vol.
345. - P. 131-136.
1160] Коломиец В. М. Интеграл столкновений с запаздыва­
нием для пространственно неоднородной системы / В.
394
М. Коломиец, В. А. Плюйко / / ЯФ, 1994. - Т. 57. - С.
992-1000.
[161] Kolomietz V. М. Collisional damping in heated nuclei
within the Landau-Vlasov kinetic theory / V. M. Kolomietz,
V. A. Plujko, S. Shlomo / / Phys. Rev. C, 1995, - Vol. 52,
- P. 2480.
[162] Kolomietz V. M. Interplay between one-body and
collisional damping of collective motion in nuclei / V. M.
Kolomietz, V. A. Plujko, S. Shlomo / / Phys. Rev. C, 1996.
- Vol. 54. - P. 3014. '
[163] Collisional damping of nuclear collective vibrations in a
non-Markovian transport approach / S.Ayik, O. Yilmaz,
A. Gokalp, P. Schuck //' Phys. Rev. C, 1998. - Vol. 58. - P.
1594.
[164] Кололшец В. М. Влияние диффузности статической
функции распределения Вигнера на релаксацию коллек­
тивных возбуждений в холодных ядрах / В. М. Коло­
миец, С. В. Лукьянов, В. А. Плюйко / / Известия РАН.
Серия Физ., 1997. - Т. 61. - С. 113-121.
[165] Коломиец В. М. Диссипативные свойства коллективных
возбуждений в конечной ферми - жидкости в квазиклас­
сическом приближении / В. М. Коломиец, С. В. Лукья­
нов, В. А. Плюйко / / Известия РАН. Серия Физ., 1998.
- Т. 62. - С. 941-948.
[166] Collisional relaxation of collective motion in a finite Fermi
liquid / V. M. Kolomietz. S. V. Lukyanov, V. A. Plujko, S.
Shlomo /7 Phys. Rev. C, 1998. - Vol. 58. - P. 198.
1167] Двухтелъный вклад в релаксацию коллективных воз­
буждений в конечных ферми системах / В. М. Коломи­
ец, С. В. Лукьянов, В. А. Плюйко, Ш. Шломо / / Ядер­
ная физика, 1999. - Т. 62. - С. 91-99.
395
[168] Plujko V. A. Relaxation of fast collective motion in heated
nuclei / V. A. Plujko / / Acta Phys. Pol., 1999. - Vol. B30.
- P. 1383.
[169] Plujko V. A. Two-body relaxation in heated nuclei / V.
A. Plujko, О. M. Gorbachenko, M. 0. Kavatsyuk / / Acta
Phys. Slov., 2001. - Vol. 51. - P. 231-245.
[170] Non-Markovian collision integral in Fermi systems / V. A.
Plujko, S. N. Ezhov, О. M. Gorbachenko, M. O. Kavatsyuk
/ / J. Phys.: Condens. Matter., 2002. - Vol. 14. - P. 9473.
[171] Kolornietz V. M. Nuclear Fermi liquid drop model / V. M.
Kolomietz, S. Shlomo / / Phys. Rep., 2004..Vol. 390. - P.
133-233.
[172] Урин М. Г. Релаксация гигантских резонансов / М. Г.
Урин / / ЭЧАЯ, 1984. - Т. 15. - С. 245.
[173] Урин М.Г. Релаксация ядерных возбуждений / М.Г.
Урин. - М. : Энергоатомиздат, 1991. - 208 с.
[174] Yannouleas С. The wall formula, for nuclear dissipation as
a special limit of RPA damping / C. Yannouleas / / Nucl.
Phys. A, 1985. - Vol. .439. - P. 336.
[175] Griffin J. J. Quanta! one-body dissipation: limitations of
the classical wall formula. / J. J. Griffin, M. Dworzecka /'/
Phys. Lett. B, 1985. - Vol. 156. - P. 139.
[176] Yannouleas C. Landau damping and wall dissipation in
large metal clasters / C. Yannouleas, R.. A. Broglia / / Ann.
of Phys., 1992. - Vol. 217. - P. 105.
[177] Bush B. On the width of the giant dipole resonance in
deformed nuclei / B. Bush, Y. Alhassid / / Nucl. Phys. A,
1991.-V ol. 531.- P . 27.
[178] One-body dissipation and the super-viscosity of nuclei / J.
Blocki, Y. Boneh, J. R. Nix, J. Randrup, M. Robel, A. J.
Sierk, W. J. Swiatecki / / Ann. of Phys., 1978. - Vol. 113.
- P. 330.
396
[179] Koonin S. Е. Classical theory for one-body nuclear
dynamics / S. E. Koonin, J. Randrup j j Nucl. Phys., 1977.
- Vol. 289. - P. 475.
[180] Abrosimov V. I. Macroscopic response of the nuclear surface
/ V. I. Abrosimov and J. Randrup / / Nucl. Phys. A, 1986.
- Vol. 449. -P. 446.
[181] Le Tourneux J. Effect of the dipole-quadrupole interaction
on the width and the structure of the giant dipole line in
spherical nuclei / J. Le Tourneux / / Mat. Fys. Medcl. Dan.
Vid. Selsk., 1965. - Vol. 34. - P. 1-27.
[182] Mughabghab S. F. A dipole-quadrupole interaction term in
El photon transitions / S. F. Mughabghab, C. L. Dunford
/ / Phys. Lett. B, 2000. - Vol. 487. - P. 155.
[183] Mughabghab S. F. Damping width of giant dipole
resonances of cold and hot nuclei: A macroscopic model /
S. F. Mughabghab, A. A. Sonzogni /7 Phys. Rev. C, 2002.
- Vol. 65. - P. 044620.
[184] Гуревич Г. М. Полуфеноменоллогическое описание ши­
рины гигантсткого Е1 - резонанса в тяжелых ядрах. /
Г. М. Гуревич, В. М. Мазур /./ УФЖ, 1984. - Т. 29. - С.
668-674.
[185] Correlations of the deformation variables |3 and у in eveneven Hf, W, Os, Pt, and Hg nuclei / L. Esser, U. Neuneyer,
R. F. Casten, P. von Brentano / / Phys. Rev. C, 1997. Vol. 55. - P. 206.
[186] Smerzi. A. Damping of giant resonances in hot nuclei / A.
Smerzi, A. Bonasera, M. Di Toro j j Phys. Rev. C, 1991. Vol. 44. - P. R1713.
[187] Pitthan R. Inelastic electron scattering in the giant
resonance region of La, Ce and Pr / R,. Pitthan, Th. Walcher
/ / Phys. Lett., 1971 - Vol. 36B. - P. 563.
397
[188] Isoscalar giant resonances in the Sn nuclei and
implications for the asymmetry term in the nuclearmatter incompressibility / T. Li, U. Garg, Y. Liu, R.
Marks, В. K. Nayak,' P. V. Madhusudhana Rao, M.
Fujiwara, H. Hashimoto, K. Nakanishi, S. Okumura, M.
Yosoi, M. Ichikawa, M. Itoli, R. Matsuo, T. Terazono,
M. Uchida, Y. Iwao, T. Kawabata, T. Murakami, H.
Sakaguchi, S. Terashima, Y. Yasuda, .J. Zenihiro, H.
Akimune, K. Kawase, M. N. Harakeh j j Phys. Rev. C,
2010. - Vol. 81. - P. 034309.
[189] Strutinsky V. M. Landau zero-sound and nuclear giant
resonances / V. M. Strutinsky, A. G. Magner, V. Yu.
Denisov /7 Z. Phys. A, 1984. - Vol. 315. - P. 301.
[190] Денисов В. Ю. Изоскалярные коллективные возбужде­
ния в тяжелых ядрах с нейтронным гало / В. Ю. Дени­
сов / / ЯФ, 1993. - Т. 56. - С. 44-61.
[191] Денисов В. Ю. Формфакторы и радиационные ширины
гигантских мультилольных резонансов / В. Ю. Денисов
/7 ЯФ, 1990. - Т. 51. - С. 345-352.
[192] Магнер А. Г. Прямой гамма-распад гигантских резо­
нансов в газово-капельноймодели / А. Г. Магнер, В. А.
Плюйко / / Изв. АН СССР Сер. Физ., 1990. - Т. 54. - С.
877-882. '
[193] Bertrand F. Е. Giant multipole resonances — perspectives
after ten years / F. E. Bertrand / / Nucl. Phys. A, 1981. Vol. 354. - P. 129.
[194] Buenerd M. The compression models in nuclei - an
experimental review / M. Buenerd /7 J. Phys, 1984. - Vol.
45. - P. C4-C115.
[195] Van der Woude A. Electric and magnetic giant resonances
in nuclei / A. Van der Woude / / Word scientific., 1991. Ch.IL - P. 99-232.
398
1196] Горелик М. Л. Обертон гигантского Е1 -резонанса /' М.
Л. Горелик, М. Г. Урин / / ЯФ, 2006. - Т. 69. - С. 1300.
[197] Bertulani С. A. Microscopic studies on two-phonon giant
resonance j C. A. Bertulani, V. Yu. Ponomarev j j Physics
Reports, 1999. - Vol. 321. - P. 139.
[198] Aumann T. Multiphonon giant resonances in nuclei / T.
Aumann, P. F. Bortignon, H. Emling / / Annu. Rev. Nucl.
Part. Sci., 1998. - Vol. 48. - P. 351-399.
[199] Scarpaci J. A. Multiphonon states built with giant
resonances / J. A. Scarpaci / / Nucl. Phys. A, 2004. - Vol.
731. - P. 175: Two-phonon giant resonances in liJ6Xe, 208Pb,
and 238U / K. Boretzky, A. Gruenschloss, S. Ilievski, P.
Adrich, T. Aumann, C. A. Bertulani, J. Cub, W. Dostal,
B. Eberlein, Th. W. Elze, H. Emling, M. Fallot, J. Holeczek,
R. Holzmann, C. Kozhuharov, J. V. Kratz, R. Kulessa, Y.
Leifels, A. Leistensclmeider, E. Lubkiewicz, S. Mordechai,
T. Ohtsuki, P. Reiter, H. Simon, K. Stelzer, J. Stroth, K.
Suemmerer. A. Surowiec, E. Wajda, W. Walus, / / Phys.
Rev. C, 2003. - Vol. 68. - P. 024317; Evidence for a ThreePhonon Giant Resonance State in 40Ca Nuclei / M. Fallot,
J. A. Scarpaci, N. Frascaria, Y. Blumenfeld, A. Chbihi, Ph.
Chomaz, P. De.iJsesquelles, J. Frankland, E. Khan, J. L.
Laville, E. Plagnol, E. C. Pollacco, P. Roussel-Chomaz, J.
C. Rovnette, A. Shrivastava., T. Zerguerras, / / Phys. Rev.
Lett, 2006. - Vol. 97. - P. 242502.
[200] Denisov V. Yu. Single- and double-phonon giant monopole
resonances in the nonlinear approach / V. Yu. Denisov / /
Phys. Rev. C, 1998. - Vol. 57. - P. 666; Denisov V. Yu.
Single- and double-phonon giant monopole resonances in a
nonlinear approach / V. Yu. Denisov, S. Yamaji / / Phys.
Rev. C, 2000. - Vol. 61. - P. 044318.
[201] Snover K. A. Giant Resonances in Excited Nuclei / K. A.
Snover / / Ann. R,ev. Nucl. Part. Sci., 1986. - Vol. 36. - P.
545.
399
[202] The Giant Dipole Resonance in hot Sn nuclei / D.
Pierroutssakou, F. Auger, N. Alamanas, P. R. S. Gomes,
J. L. Sida, A. Gillebert, N. Frascaria, I. Lnenry, J. C.
Roynette, T. Suomjaervi / / Nucl. Phys. A. 1996. - Vol.
600.- P . 131.
[203] Lipparini E. Surface and temperature effects in isovector
giant resonances / E. Lipparini, S. Stringari / / Nucl. Phys.
A, 1988. - Vol. 482. - P. C205.
[204] Bortignon P. F. Giant resonances. Nuclear Structure at.
Finite Temperature / P. F. Bortignon, A. Bracco, R. A.
Broglia / / Contemporary concepts in physics. - Amsterdam
Overseas : Publishers Assosia.cions. 1998. - Vol. 10. - 275
P-
[205] Schiller A. Compilation of giant electric dipole resonances
built on excited states / A. Schiller. M. Thoennessen / / At.
Data Nucl. Data Tabl., 2007. - Vol. 93. - P. 549.
[206] Saturation of the width of the giant dipole resonance at high
temperature / A. Bracco, J. J. Gaardhoje, A. M. Bruce,
J. D. Garrett, B. Herskind, M. Pignanelli, D. Barneoud,
H. Nefinecker, J. A. Pinston, C. Ristori, F. Schussler, J.
Bacelar, H. Hofmann / / Phys. Rev. Lett., 1989. - Vol. 62.
- P. 2080.
[207] Broglia R. A. The giant dipole resonance in hot nuclei / R.
A. Broglia, P. F. Bortignon, A. Bracco / / Prog. Part. Nucl.
Phys., 1992. - Vol. 28. - P. 517-527.
[208] Gamoui G. Zur Quantentheorie des Atomkernes / G.
Gamow / / Z. Phys., 1928. - Vol. 51. - P. 204.
[209] Condon E. U. Wave Mechanics and Radioactive
Disintegratio / E. U. Condon, R. W. Gurney / / Naturem
1928. - Vol. 122. - P. 439.
[210] Gamow G. Theory of Atomic Nucleus and Nuclear EnergySources / G. Gamow, C. L. Critchfueld. - Oxford :
Clarendon, 1949.
[211] Denisov V. Yu. ex-nucleus potential for oc-decay and subbarrier fusion / V. Yu. Denisov, H. Ikezoe / / Phys. Rev. C,
2005. - Vol. 72. - P. 064613.
[212] Denisov V. Yu. a-Decay half-lives, а-capture, and a-nucleus
potential / V. Yu. Denisov, A. A. Khudenko /'/ At. Data
Nucl. Data Tabl., 2009. - Vol. 95. - P. 815; V. Yu. Denisov,
A. A. Khudenko j j At. Data Nucl. Data Tabl., 2011. - Vol.
97. - P. 187.
[213] Denisov V. Yu. а-decays to ground and excited states of
heavy deformed nuclei / V. Yu. Denisov, A. A. Khudenko / /
Phys. Rev. C, 2009..Vol. 80. - P. 034603; Denisov V. Yu.
а-decays to ground and excited states of heavy deformed
nuclei / V. Yu. Denisov, A. A. Khudenko / / Phys. Rev. C,
2011. - Vol. 82. - P. 059902(E).
[214] Denisov V. Yu. а-decay of even-even superheavy elements
/ V. Yu. Denisov, A. A. Khudenko / / Phys. Rev. C, 2010.
- Vol. 81. - P. 034613; Denisov V. Yu. а-decay of even-even
superheavy elements / V. Yu. Denisov, A. A. Khudenko / /
Phys. Rev. C, 2010. - Vol. 82. - P. 059903(E).
[215] Denisov V. Yu. а-decay half-lives: Empirical relations / V.
Yu. Denisov, A. A. Khudenko / / Phys. Rev. C, 2009. Vol. 79. - P. 054614; Denisov V. Yu. a--decay half-lives :
Empirical relations / V. Yu. Denisov, A. A. Khudenko / /
Phys. Rev. C, 2010. - Vol. 82. - P. 059901(E).
[216| Фреман H. ВКБ-приближение / H. Фреман, П. У. Фреман. - М. : Мир, 1967.
[217] Denisov V. Yu. Interaction of two deformed, arbitrarily
oriented nuclei / V. Yu. Denisov, N. A. Pilipenko / / Phys.
Rev. C, 2007. - Vol. 76. - P. 014602.
[218] Neutral atom electron binding energies from relaxed-orbital
relativistic Hartree-Fock-Slater calculations Z<106 / K. -N.
Huang, M. Aoyagi, М. H. Chen, B. Crasemann and H. Mark
/ / At. Data Nucl. Data Tables, 1976. - Vol. 18. - P. 243-291.
401
[219] Balantekin A. В. Quantum tunneling in nuclear fusion / A.
B. Balantekin, N. Takigawa /7 Rev. Mod. Phvs.. 1998. Vol. 70. - P. 77.
[220] Dasgupta M. Measuring barriers to fusion / M. Dasgupta,
D. J. Hinde, N. Rowley, A. M. Stefanini / / Annu. Rev.
Nucl. Part. Sci., 1998. - Vol. 48. - P. 401.
[221] Denisov V. Yu. Subbarrier fusion of heavy ions arid
subbarrier few.nucleons transfers. Fusion of nuclei far
from the [З-stability line / V. Yu.Denisov / / Phys. At.
Nucl., 1999. - Vol. 62. - P. 1349-1362; Denisov V. Yu.
Subbarrier heavy ion fusion enhanced by nucleon transfer
/ V. Yu.Denisov / / Eur. Phys. J. A, 2000. - Vol. 7. - P.
87-99.
[222] Hagino K. A program for coupled-charmel calculations with
all order couplings for heavy-ion fusion reactions /' K.
Hagino, N. Rowley, A. T. Kruppa / / Comp. Phys. Comm.,
1999. - Vol. 123. - P. 143.
[223] Кадменский С. Г. Альфа,-распад и родственные ядерные
реакции / С. Г. Кадменский, В. И. Фурман. - М. : Энергоатомиздат, 1985.
[224] Geiger Н. The ranges of the particles from various
radioactive substances and a relation between range and
period of transformation / H. Geiger, J. M. Nutt.al / / Phil.
Mag., 1911. - Vol. 22., № 130. - P. 613-621.
[225] Royer G. Alpha emission and spontaneous fission through
quasi-molecular shapes / G. Rover / / J. Phys., 2000. - Vol.
G26. - P. 1149 - 1170; Moustabchir R. Analytic expressions
for the proximity energy, the fusion process and the alpha
emission / R. Moustabchir, G. Royer / / Nucl. Phys. A,
2001. - Vol. 683. - P. 266-278; Royer G. Recent alpha decay
half-lives and analytic: expression predictions including the
heaviest nuclei / G. Royer, H. F. Zhang / / Phys. Rev. C,
2008. - Vol. 77. - P. 037602(4).
402
[226] Dasgupta-Schubert N. The generalized liquid drop
model alpha-decay formula : Predictability analysis and
superheavy element alpha half-lives / N. DasguptaSchubert, M. A. Reyes / / At. Data and Nucl. Data Tabl.,
2007. - Vol. 93. - P. 907.
[227] Measurements of cross sections and decay properties of
the isotopes of elements 112, 114, and 116 produced in
the fusion reactions 233>238U, 242Pu, and 248Cm+48Ca /
Yu. Ts. Oganessian, V. K. Utyonkov, Yu. V. Lobanov, F.
Sh. Abdullin, A. N. Polyakov, I. V. Shirokovsky, Yu. S.
Tsyganov, G. G. Gulbekian, S. L. Bogomolov, B. N. Gikal,
A. N. Mezentsev, S. Iliev, V. G. Subbotin, A. M. Sukhov,
A. A. Voinov, G. V. Buklanov, K. Subotic, V. I. Zagrebaev,
M. G. Itkis, J. B. Patin, K. J. Moody, J. F. Wild, M. A.
Stoyer, N. J. Stoyer, D. A. Shaughnessy, J. M. Kenneally,
P. A. Wilk, R. W. Lougheed, R. I. Il’kaev, S. P. Vesnovskii
/ / Phys. Rev. C, 2004. - Vol. 70. - P. 064609; Gupta M.
Nuclear Data Sheets for A = 266-294 / M. Gupta, T. W.
Burrows / / Nucl. Data Sheets, 2005. - Vol. 106. - P. 251.
[228] Poenaru D. N. а-decay half-lives of superheavy nuclei / D.
N. Poenaru, I. -H. Plonski, W. Greiner / / Phvs. Rev., 2006.
- Vol. 74. - P. 014312.
[229] Systemati.cs of alpha-decay half-life : new evaluations
for alpha-emitter nuclides / E. L. Medeiros, М. M. N.
Rodrigues, S. B. Duarte, O. A. P. Tavares / / J. Phys. G,
2006. - Vol. 32. - P. B23.
[230] Sobiczewski A . Description of a - decay half-lives of heaviest
nuclei / A. Sobiczewski, A. Parkhomenko / / Phys. At.
Nucl., 2006. - Vol. 69, Iss. 7. - P. 1155-1157.
[231] Direct and beta-delayed proton decay of very neutrondeficient rare-earth isotopes with mass number / O.
Klepper, T. Batsch, S. Hofmann, R. Kirchner, W.
Kurcewicz, W. Reisdorf, E. Roeckl, D. Schardt, G. Nyman
,// Z. Phys. A, 1982. - Vol. 305. - P. 125-130. Proton
Radioactivity of 151Lu / S. Hofmann, W. Reisdorf,
403
G. Mu"nzenberg, F.P. Hessberger, J.R.H. Schneider, P.
Armbruster / / Z. Phys. A, 1982. - Vol. 305. - P. 111-123.
[232] Goldansky V. I. On neutron-deficient isotopes of light nuclei
and the phenomena of proton and two-proton radioactivity
,/ V. I. Goldansky /'/ Nucl. Phys., 1960. - Vol. 19. - P. 482.
[233] Giovinazzo J. Two-Proton Radioactivity of 40Fe / J.
Giovinazzo, B. Blank, M. Ghartier, S. Czajkowski, A.
Fleury, M. J. Lopez Jimenez, M. S. Pravikoff, J. C. Thomas,
F. De Oliveira Santos, M. Lewitowicz, V. Maslov, M.
Stanoiu, R. Grzywacz, M. Pfutzner, С. Borcea, B. A. Brown
/ / Phys. Rev. Lett., 2002. -- Vol. 89. - P. 102501;
Pfutzner M. First evidence for the two-proton decay of
^ F e / M. Pfutzner, E. Badura, C. Bingham, B. Blank,
M. Cliartier, H. Geissel, J. Giovinazzo, L. V. Grigorenko,
R. Grzywacz, M. Hellstroem, Z. Janas, J. Kurcewicz, A.S.
Lalleman, C. Mazzocchi, I. Mukha, G. Muenzenberg, C.
Plettner, E. Roeckl, K. P. Rykaczewski, K. Schmidt, R.S.
Simon, M. Stanoiu, J. -C. Thomas / / Eur. Phys. J. A, 2002.
- Vol. 14. - P. 279.
[234] Бугров В. П. Протонный распад деформированных ядер
/ В. П. Бугров, С. Г. Кадменский / / ЯФ, 1989. - Т. 49.
- С. 1562-1571.
[235] Proton emitters 140Но and 141Но : Probing the structure
of unbound Nilsson orbitals / K. Rykaczewski, J. C.
Batchelder, C. R. Bingham, T. Davinson, T. N. Ginter,
C. J. Gross, R. Grzywacz, M. Karny, B. D. MacDonald,
J. F. Mas, J. W. McConnell, A. Piedmczek, R. C. Slinger,
K. S. Toth, W. B. Walters, P. J. Woods, E. F. Zganjar,
B. Barmore, L. Gr. Ixaru, A. T. Kruppa, W. Nazarewicz,
M. Rizea, T. Vertse / / Phys. Rev C, 1999. - Vol. 60. - P.
011301.
[236] Delion D. S. Theories of proton emission / D. S. Delion,
R. J. Liotta, R. Wyss / / Phys. Rep.. 2006. - Vol. 424. - P.
113.
404
[237] Delion D. S. Theory of Particle and Cluster Emission / D.
S. Delion..Berlin : Springer-Verlag, 2010.
[238] Григоренко Л. В. Теоретическое изучение двухпротон­
ной радиоактивности / Л. В. Григоренко / / ЭЧАЯ, 2003.
- Т. 40. - С. 1273.
1239] B.adioactive decays at limits of nuclear stability / M.
Pfutzner, M. Karny, L. V. Grigorenko, K. Riisager / / Rev.
Mod. Phys., 2012. - Vol. 84. - P. 567.
[240] Сандулеску А. Навый тип распада тяжелых ядер, про­
межуточный между делением ядра и а-распадом / А.
Сандулеску. Д. Н. Поенару, В. Грайнер / / ЭЧАЯ, 1980.
- Т. 11. - С. 1334.
[241] Rose Н. J. A new kind of natural radioactivity / H.J.R,ose,
G. A. Jones / / Nature,. 1984.. - Vol. 307. - P. 245-247.
[242] Наблюдение спонтанного вылета ядер 14С из 223Ra / Д.
В. Александров, А. Ф. Беляцкий, Ю. А. Глухов, Е. Ю.
Никольский. Б. Г. Новацкий, А. А. Оглоблин, Д. Н. Сте­
панов / / Письма в ЖЭТФ, 1984. - Т. 40, В. 4. - С.152154.
[243] Aberg S. Spherical proton emitters / S. Aberg, P. B.
Semmes, W. Nazarewicz / / Phys. Rev. C, 1997. - Vol. 56.
- P. 1762.
[244] Observation of Two-Proton Radioactivity of 19Mg by
Tracking the Decay Products / L Mukha, K. Summerer,
L. Acosta, M. A. G. Alvarez, E. Casarejos, A. Chatillon,
D. Cortina-Gil, J. Espino, A. Fomichev, J. E. GarciaRamos, H. Geissel, J. Gomez-Camacho, L. Grigorenko, J.
Hoffmann, O. Kiselev, A. Korsheninnikov, N. Kurz, Yu.
Litvinov, I. Martel, C. Nociforo, W. Ot.t, M. Pfutzner, C.
Rodriguez-Tajes, E. Roeckl, M. Stanoiu, H. Weick, P. J.
Woods, / / Pliys. Rev. Lett, 2007. - Vol. 99. - P. 182501.
[245] Two-Proton Correlations in the Decay of 4oFe / K. Miernik,
W. Dominik, Z. Janas, M. Pfutzner, L. Grigorenko, C.
405
R. Bingham, H. Czyrkowski, M. Cwiok, I. G. Darby, R.
Dabrowski, T. Ginter, R. Grzywacz, M. Karny, A. Korgul,
W. Kusmierz, S. N. Liddick, M. Rajabali, K. Rykaczewski,
A. Stolz / / Phys. Rev. Lett., 2007. - Vol. 99. - P. 192501.
[246] Кластерная радиоактивность - достижения и перспек­
тивы. Эксперимент и теория / Ю. С. Замятнин, В. Л.
Михеев, С. П. Третьякова, В. И. Фурман, С. Г. Кадменский, Ю. М. Чувильский //' ЭЧАЯ, 1990. - Т. 21. - С.
537.
[247] Bonetti В.. Cluster redioactivity / R. Bonetti, A.
Guglielmetti / / Romanian Reports in Physics, 2007. - Vol.
59, № 2. - P. 301-310.
[248] Tavares O. A. P. Radioactive decay by the emission of
heavy nuclear fragments / O. A. P. Tavares, L. A. M.
Roberto, E. L. Medeiros / / Phys. Scr., 2007. - Vol. 76,
№ 2. - P. 375-384.
[249] Blendowske R. Systematics of Cluster-Radioactivitv-Decay
Constants as Suggested by Microscopic Calculations / R.
Blendowske, H. Walliser / / Phys. Rev. Lett., 1988. - Vol.
61. - P. 1930.
[250] Kumar R. Cluster radioactivity using various versions of
nuclear proximity potentials / R. Kumar / / Phys. Rev. C,
2012. - Vol. 86. - P. 044612.
[251] Royer G. Cluster radioactivity and very asymmetric fission
through compact and creviced shapes / G. Royer, R. K.
Gupta, V. Yu. Denisov / / Nucl. Phys. A, 1998. - Vol. 632.
- P. 275.
[252] Poenaru D. N. Clusters in Nuclei / D. N. Poenaru, W.
Greiner / / Cluster Radioactivity. Lecture Notes in Physics;
ed. C. Beck. - Berlin : Springer, 2010. - Vol. 818. - P. 1-56.
[253] Warda M. Microscopic description of cluster radioactivity
in actinide nuclei / M. Warda, L. M. Robledo / / Phys. Rev.
C, 2011. - Vol. 84. - P. 044608.
406
[254] Mirea M. Predictions for 232U cluster-decays within the
macroscopic-microscopic approximation / M. Mirea, A.
Sandulescu, D. S. Delion / / Nucl. Phys. A, 2012. Vol. 870-871. - P. 23; Mire,a M. 238Pu cluster decay in
the macroscopic-microscopic approach / M. Mirea, A.
Sandulescu, D. S. Delion / / Eur. Phys. J. A, 2012. - Vol.
48. - P. 86.
[255] Denisov V. Yu. Interaction potential between heavy ions /
V. Yu. Denisov / / Phys. Lett B, 2002. - Vol. 526. - P. 315.
[256] Nuclear lifetimes for cluster radioactivities / D. N. Poenaru,
D. Schnabel, W. Greiner, D. Mazilu, R. Gherghescu / /
Atom. Data . Nucl. Data Tabl., 1991. - Vol. 48. - P. 231.
[257] Denisov V. Yu. Multidimensional model of cluster
radioactivity / V. Yu. Denisov / / Phys. Rev. C, 2013. Vol. 88. - P. 044608.
[258] Bohr N. Neutron Capture and Nuclear Constitution / N.
Bohr / / Nature, 1936. - Vol. 137. - P. 344. Бор H. Захват
нейтрона и строение ядра / Н. Бор / / УФН, 1936. - №
4. - Т. 16. - С. 425. Bohr N. On the Transmutation of
Atomic Nuclei by Impact of Material Particles / N. Bohr,
F. Kalckar / / Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1937. Vol. 14, № 10. - P. 1-40. Бор H. О превращениях атом­
ных ядер, вызванных столкновениями с материальными
частицами / Н. Бор, Ф. Калькар / / УФН, 1938. - Т. 20.
- № 3. - С. 317.
[259] Weisskopf V. F. On the yield of nuclear reactions with
heavy elements / V. F. Weisskopf and D. H. Ewing / / Phys.
Rev.' 1940. - Vol. 57. - P. 472.
[260] Wolfenstem L. Conservation of Angular Momentum in the
Statistical Theory of Nuclear Reactions /' L. Wolfenstein / /
Phys. Rev., 1951. - Vol. 82. - P. 690.
[261] Hauser W. The inelastic scattering of neutrons / W.
Hauser, H. Feshbach / / Phys. Rev., 1952. - Vol. 87. - P.
366.
407
[262] Moldauer P. A. Statistical theory of nuclear collision cross
sections / P. A. Moldauer j I Phys. Rev. B, 1964. - Vol.
135. - P. 642.
[263] Moldauer P. A. Why the Hauser-Feshbach formula works /
P. A. Moldauer //' Phys. Rev. C, 1975. - Vol. 11. - P. 426436; / / Erratum-ibid. C. 1976. - Vol. 13. -P. 2093-2093.
[264] Moldauer P. A. Statistics and the average cross-section /
P. A. Moldauer / / Nucl. Phys., A, 1980. - Vol. 344. - P.
185.
[265] Direct reactions and Hauser-Feshbach theory / H. M.
Hofmann, J. Richert, J. W. Tepel, H. Weidenmueller /./
Ann. Phys. (NY), 1975. - Vol. 90. - P. 403.
[266] Verbaarshot, J. J. Grassmann Integration in Stochastic
Quantum Physics : The Case of Compound Nucleus
Scattering / J. J. M. Verbaarschot. H. A. Weidenmuller,
M. R. Zirnbauer. / / Phys. Rept., 1985. - Vol. 129. - P.
367-438.
[267] Engelbrecht, C. A. Hauser-Feshbach Theory and Ericson
Fluctuations in the Presence of Direct Reactions / C. A.
Engelbrecht, H. A. Weidenmueller j j Phys. Rev. C, 1973.
- Vol. 8. - P. 859-862.
[268] Ежов С. H. О применимости метода Сатчлера для вы­
числения флуктуационного сеченияв присутствии пря­
мых процессов / С. Н. Ежов. В. А. Плюйко / / ЯФ, 1984.
- Т. 39. - С. 394-401.
[269] Ежов С. Н. Возбуждение уровней основной ротацион­
ной полосы нейтронами низкой энергии / С. Н. Ежов,
Н. Е. Кабакова, В. А. Плюйко / / Ядерная физика, 1985.
- Т. 42, В. 1(7). - С. 154-164.
[270] Ежов С. Н. Учет высоковозбужденных состояний оста­
точного ядра, при рассеянии н у к л о н о в в присутствии /
С. Н. Ежов, В. А. Плюйко / / Изв. АН СССР. Серия
Физ., 1989. - Т. 53. - С. 1008-1111.
408
[271] Ежов С. Н. Оптимальный метод рассчета. сечений ком­
паунд процессов / С. Н. Ежов, В. А. Плюйко / / Изв.
РАН. Серия Физ., 1993. - Т. 57. - С. 184-198.
[272] Ezhov S. N. The fast, computation of the compound cross
sections / S. N. Ezhov, V. A. Plujko Ij Zeit.Phys. A, 1993.
- Vol 346, № 4. - P. 275-280.
[273| Вайскопф В. Физика в двадцатом столетии. / Вайскопф
В. Пер. с анг. (США - Англия, 1972). - М. : Атомиздат,
1977. 272 с.
[274] Предравновесный распад в ядерных реакциях / К. Зай­
дель, Д. Зелигер, Р. Райф, В. Д. Тонеев .// ЭЧАЯ, 1976.
- Т. 7. - С. 499-552.
[275] Gadioli Е. Pre- Equilibrium Nuclear Reactions / Е. Gadioli,
P. T. Hodgson. - Oxford : Clarendon Press, 1992. 519 p.
[276] Griffin J. J. Statistical Model of Intermediate Structure /
•J. J. Griffin / / Phys. Rev. Lett., 1966. - Vol.17. - P. 478.
[277] Cline С. K. The pre-equilibrium statistical model :
Description of the nuclear equilibration process and
parameterization of the model / С. K. Cline, M. Blann / /
Nucl. Phys. A, 1971. - Vol. 172. - P. 225-259.
[278] Ribansky I. Pre-equilibrium decay and the exciton model
/ I. Ribansky, P. Oblozinsky, E. Betak j j Nucl. Phys. A,
1973. - Vol. 205. - P. 545.
[279] Plyuyko (Plujko) V. A. Emission of gamma-rays in the
exciton model / V. A. Plyuyko (Plujko), G. A. Prokopets
/ / Phys. Lett. B, 1978. - Vol. 76, № 3. - P. 253-255.
1280] Плюйко В. А. Об одной возможности описания у излучения в рамках экситонной модели / В. А. Плюйко.
Г. А. Прокопец / / Ядерная физика, 1978. - Т. 27, В. 6.
- С. 1487-1492.
409
[281] Betak E. Gamma emission in the pre-equilibrium exciton
model / E. Betak, J. Dobes / / Phys. Lett, B, 1973. - Vol.
84. - P. 368.
[282] Cline С. K. The Pauli exclusion principle in pre-equilibrium
decay / С. K. Cline / / Nucl. Phys. A, 1972. - Vol. 195. P. 353-360.
[283] Ribansky I. Emission of complex particles in the exciton
model / I. Ribansky, P. Oblozinsky /,/ Phys. Lett. B, 1973.
- Vol. 45. - P. 318.“ '
[284] Плюйко В. А. Угловые и энергетические распределения
продуктов ядерных реакций в рамках экситонной моде­
ли / В. А. Плюйко / / Ядерная физика, 1978. - Т. 27. С. 1175-1182.
[285] Угловые распределения нейтронов из реакций (п,хп) на
ядрах 56Fe, 59Со, 93Nb, 115In, 209Bi, 238U при начальной
энергии 14.6 МэВ / А. П. Дегтярев, Б. Е. Лещенко , В.
A. Плюйко , Г. А. Прокопец / / ЯФ. 1981. - Т. 34, В. 2.
- С. 299.
[286] Ежов С. Н. Исследование спектров неупругого рассея­
ния в рамках экситонной модели / С. Н. Ежов, В. А.
Плюйко / / Ядерная физика, 1978. - Т. 27. - С. 117-122.
[287] Ежов С. Н. Об одной возможности оценки времени
предравновесного распада составной системы / С. Н.
Ежов, М. В. Николаев, В. А. Плюйко / / УФЖ, 1977.
- Т. 5. - С. 735-741.
[288] Ольховский В. С. К исследованию реакций с испуска­
нием двух частиц в рамках экситонной модели. Энергетическиеспектры / В. С. Ольховский, В. А. Плюйко / /
УФЖ, 1976. - Т. 21. - С. 1710-1713.
[289] Ольховский В. С. К исследованию реакций с испускани­
ем двух нейтронов в рамках модели полупрямых процес­
сов (предравновесного испускания) / В. С. Ольховский,
B. А. Плюйко / / ЯФ, 1977. - Т. 25. - С. 520-526.
410
[290] Плюйко В. А. К исследованию реакций с испусканием
двух частиц в рамках экситонной модели. Функции воз­
буждения / В. А. Плюйко / / УФЖ, 1977. - Т. 5 - С.
731-737.
[291] Ежов С. Н. К изучению двухчастичных ядерных реак­
ций в рамках экситонной модели / С. Н. Ежов, В. А.
Плюйко / / УФЖ, 1.977. - Т. 12. - С. 2021-2023.
[292] Игнатюк А. В. Вклад прямых и предравновесных про­
цессов в сечения неупругого рассеяния / А. В. Игнатюк,
В. П. Лунев, В. Г. Проняев / / Известия АН СССР, серия
физ., 1975. - Т. 39. - С. 2144.
[293] Вклад прямого и статистического механизмов реакции
при рассеянии быстрых нейтронов на низколежащих
уровнях легких и средних ядер / В. М. Бычков, А. В.
Игнатюк, В. П. Лунев, Д. Зелигер, 3. Унхольцер, Д.
Шмидт, Т. Штрайль, Д. Хермсдорф / / ЭЧАЯ, 1983. Т. 14. - С. 373.
[294] Agassi D. The statistical theory of nuclear reactions
for strongly overlapping resonances as a theory of
transport phenomena / D. Agassi, H. A. Weidenmiiller, G.
Mantzourenis / / Phys. Rep. C, 1975. - Vol. 22. - P. 147.
[295] Feshbach H. The statistical theory of multi-step compound
and direct reactions / H. Feshbach, A. Kerman, S. Koonin
/ / Ann. Phys. (NY), 1980. - Vol. 125. - P. 429-476.
[296] Tamura T. Multistep direct reaction analysis of continuum
spectra in reactions induced by light ions / T. Tamura, T.
Udagawa, Ii. Lenske //' Phys. Rev. C, 1982. - Vol. 26. - P.
379-404.
[297] Statistical theory of precompound reactions : The multistep
compound process / H. Nishioka, J. J. M. Verbaarschot,
S. Yoshida, H. A. Weidenmueller //Ann. Phys. (N.Y.),
1986. - Vol. 172. - P. 67; Nishioka H. Statistical theory
of precompound reactions : The multistep direct process /
411
H. Nishioka, Н.А. Weidenmiiller, S. Yoshida і j Ann. Phys.,
1988. - Vol. 183. - P. 166-187.
[298] А. В. Малышев, Плотность уровней и структура атом­
ных ядер / - М. : Атомиздат, 1967.
[299] Сталинский В. С. Плотность уровней атомных ядер /
В. С. Ставинский / / ЭЧАЯ, 1972. - Т. 3. - С. 832.
[300] Игнатюк А . В. Статистические свойства возбужденных
атомных ядер / А. В. Игнатюк. - М. : Энергоатомиздат,
1983.
[301] Соколов Ю. В. Плотность уровней атомных ядер / Ю.
В. Соколов. - М. : Энергоатомиздат, 1990.
[302] Свирин М. И. Тестирование основных феноменологиче­
ских моделей плотности уровней ядер / М. И. Свирин
/ / ЭЧАЯ, 2006. - Т. 37. - С. 901.
[303] Мартин П. Теория систем многих частиц. Пер. с англ.
/ П. Мартин, Ю. Швингер. - М. : И11.1. 1962. 167 с.
[304] Боголюбов Н. Н. Введение в квантовую статистическую
механику / Н. Н. Боголюбов, П. Н. Боголюбов (мл.). М. : Наука, 1984. 384 с.
[305] Ландау Л. Д. Статистическая механика, часть 1 / Л. Д.
Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука., 1989.
[306] Э. Шредингер, Статистическая термодинамика. Пер. с
англ. М. : ИИЛ, 1948. 167 с.
[307] Density of discrete levels in U6Sn / V. Ignatyuk, J. L. Weil,
S. Raman, S. Kahane / / Phys. Rev. C, 1993. - Vol. 47. P. 1504-1513.
[308] Level density parameters for the back-shifted fermi gas
model in the mass range 40 < A < 250 / W. Dilg, W.
Schantl, H. Vonach, M. Uhl / / Nucl. Phys. A, 1973. - Vol.
217. - P. 269-298.
412
[309] Игнатюк А. В. Феноменологическое описание энергети­
ческой зависимости параметра плотности уровней / А.
В. Игнатюк, Г. Н. Смиренкин, А. С. Тишин / / ЯФ, 1975.
- Т. 21. - С. 485.
[310] Ежов С. Н. Оптимальный метод рассчета сечений ком­
паунд процессов / С. Н. Ежов, В. А. Плюйко j j Изв.
РАН. Серия Физ., 1993. - Т. 57. - С. 78-82,
[311] Плюйко В. А. Влияние вибрационных состояний на тем­
пературу и плотность уровней ядра / В. А. Плюйко, А.
Н. Горбаченко / / Изв. РАН. Серия Физ., 2002. - Т. 66.
- С. 1499-1503.
[312] Плюйко В, А. Влияние затухания вибрационных состоя­
ний на плотность уровней атомных ядер / В. А. Плюйко,
А. Н. Горбаченко / / Изв. РАН. Серия Физ., 2003. - Т.
67. - С. 1553-1555.'
[313] Плюйко В. А. Расчет методом функций отклика влия­
ния вибрационных состояний на плотность уровней ядра
/ В. А. Плюйко, А. Н. Горбаченко //У Ф Ж , 2003. - Т. 48.
- С. 790-794,
[314] Плюйко В. А. Вибрационное усиление плотности уров­
ней ядер / В. А. Плюйко, А. Н. Горбаченко / / Ядерная
физика и энергетика, 2006. - № 2(18). - С. 48-54.
[315] Plujko V. A. Vibrational state contribution to nuclear level
density / V. A. Plujko, О. M. Gorbachenko, I. V. Kadenko
/ / Intern. Jour. Mod. Phys. E, 2007. - Vol. 16. - P. 570-579.
[316] Plujko V. A. Effect of vibrational states on nuclear level
density / V. A. Plujko, О. M. Gorbachenko / / Ядерная
физика. 2007. - Т. 70. - P. 1688-1693.
[317] Empire : Nuclear reaction model code system for data
evaluation / M. Herman, R. Capote, В. V. Carlson. P.
Oblozinsky, M. Sin, A. Trkov, H. Wienke, V. Zerkin / /
Nuclear Data Sheets, 2007. - Vol. 108. - P. 2655.
413
[318] Koning A. J. Global and local level density models / A. J.
Koning, S. Hilaire, S. Goriely / / Nucl. Phys. A, 2008. - Vol.
810. - P. 13-76.
[319] Ericson T. The statistical model and nuclear level densities
/ T. Ericson j j Advan. Phys., 1960. - Vol. 9. - P. 426.
[320] Thomas T. D. The analyses of nuclear evaporation spectra
/ T. D. Thomas / / Nucl. Phys., 1964. - Vol. 53. - P. 558576.
[321] Kanda Y. Excitation functions and isomer ratios for
neutron-induced reactions on 92Mo and 90Zr / Y. Kanda
/ / Nucl. Phys. A, 1972. - Vol. 185. - P. 177-195.
[322] Журавлев Б. В. Плотности ядерных уровней вблизи Z
- 50 из нейтронных испарительных спектров в (р, п)реакции / Б. В. Журавлев, А. А. Лычагин, Н. Н. Титаренко / / ЯФ, 2006. - Т. 69. - С. 387.
[323] Плюйко В. А. Статистическое описание ширин гаммараспада состояний с фиксированным угловым моментом
/ В. А. Плюйко / / Ядерна,я физика, 1990. - Т. 52. - С.
1004-1014.
[324] Кадменский С. Г. Радиационные ширины нейтронных
резонансов и гигантские дипольные резонансы / С. Г.
Кадменский, В. П. Маркушев, В. И. Фурман / / ЯФ,
1983. - Т. 37, №2. - С. 277-283.
[325] Kopecky J. Test of gamma-ray strength functions in nuclear
reaction model calculations / J. Kopecky, M. Uhl j j Phys.
Rev. C, 1990. - Vol. 41. - P. 1941-1955.
[326] Kopecky J. Radiative strength in the compound nucleus Gd157 / J. Kopecky, M. Uhl, R. E. Chrien / / Phys. Rev. C,
1993. - Vol. 47. - P. 312-322.
[327] Плюйко В. А. Полуклассическое описание у-распада, на,гретых ядер / В. А. Плюйко / / Ядерная физика, 1989.
- Т. 50. - С. 1284-1291.
414
[328] Бонч-Бруевич В.Л. Электронная теория неупорядочен­
ных полупроводников / В. Л. Бонч-Бруевич, И. П. Звя­
гин, Р. Кайпер, А. Г. Миронов, Р. Эндерлайн, Б.-М. Эссер. - М.: Наука, 1981.
[329] Szeflinski Z. Z. Experimental test of the Brink hypothesis /
Z. Z. Szeflinski, G. Szeflinska, Z. Wilhelmi, T. Rzaca-Urban,
H.V. Klapdor, E. Anderson, K. Grotz and J. Metzinger / /
Phys. Lett., 1983. - Vol. B126. - P. 159-163.
[330] Popov Yu. P. Decay of highly excited states by a-particle
emission /' Yu.P. Popov / / Neutron induced reactions, Proc.
Europhys. Topical Conf., June 21-25, 1982, Smolenice,
Physics and Applications 10, Ed. P. Oblozinsky. - Institute
of Physics, EPRC, 1982. - P. 121-134.
[331] Feshbach H. Model for Nuclear Reactions with Neutrons /
H. Feshbach, С. E. Porter, V. F. Weisskopf / / Phys. Rev!,
1954. - Vol. 96. - P. 448-464.
[332] Feshbach H. Unified theory of nuclear reactions / H.
Feshbach / / Ann. Phys., 1958. - Vol. 5. - P. 357-390;
Feshbach H. A unified theory of nuclear reactions. II. /
H. Feshbach j j Ann. Phys., 1960. - Vol. 19. - P. 287313; Feshbach H. Unified theory of nuclear reaction III:
Overlapping resonances / H. Feshbach / / Ann. Phys., 1967.
- Vol. 43. - P. 410.
[333] Feshbach H. Theoretical nuclear physics : nuclear reactions
/ H. Feshbach. - New York : Wiley, 1992.
[334] Bass R. Nuclear Reactions with Heavy Ions / R. Bass. Berlin : Springer, 1980.
[335] Meccua А. Квантовая механика. Том. 1 / А. Мессиа. М. : Наука, 1978.
[336] Thompson I. J. Coupled Channels Methods for Nuclear
Physics / I. J. Thompson / / Comput. Phys. Rep., 1988.
- Vol. 7. - P. 167; http://www. fresco, org. uk
415
[337] Thompson I. J. Nuclear Reactions for Astrophysics. / I. .J.
Thompson, F. Nune. - New York : Cambridge Univ. Press,
2009.
[338] Imanishi B. Molecular orbitals of nucleons in nucleusnucleus collisions / B. Imanishi, W. von Oertzen / / Phys.
Rep., 1987. - Vol. 155. - P. 29-136. Imanishi B. Charge
symmetric systems C-12 + N-13 and C-12 + C-13 with
the orthogonalized coupled-reaction-channel method / B.
Imanishi, V. Denisov, T. Motobayash / / Phys. Rev. C,
1997. - Vol. 55. - P. 1946.
[339] Coupled reaction channel analysis of elastic, inelastic,
transfer, and fusion cross sections for 12C +208Pb / S.
Santra, P. Singh, S. Kailas, A. Chatterjee, A. Shrivastava,
K. Maliata / / Phys. R.ev. C, 2001. - Vol. 64. - P. 024602.
[340] Akyuz O. Nuclear Surface-Surface Interaction in the Folding
Model / O. Akyuz, A. Winther / / in Nuclear Structure
and Heavy-Ion Collisions; ed. R. Broglia. and C. Dasso. Bologna : Soc. Ital. Fisica, 1981. - P. 492-508.
[341] Winther A. Dissipation, polarization and fluctuation in
grazing heavy-ion collisions and the boundary to the chaotic
regime / A. Winther / / Nucl. Phys. A, 1995. - Vol. 594. P. 203-245.
[342] 8Li optical potential from 'Li(180, J'0 ) sLi reaction analysis
/ A. T. Rudchik, Yu. M. Stepanenko, K. W. Kemper, A. A.
Rudchik, O. A. Ponkratenko, E. I. Koshchy, S. Kliczewsld,
K. Rusek, A. Budzanowski, S. Yu. Mezhevych, Val. M.
Pirnak, I. Skwirczynska, R. Siudak, B. Czech, A. Szczurek,
V. V. Uleshchenko, J. Choinski, L. Glowacka / / Nucl. Phys.
A, 2009. - Vol. 831. - P. 139.
[343] sBe scattering potentials from reaction analyses / V.
O. Romanyshyn, A. T. Rudchik, K. W. Kemper, S.
Kliczewski, E. I. Koshchy, O. A. Ponkratenko, K. Rusek,
A. Budzanowski, J. Choinski, B. Czech, L. Glowacka, S.
Yu. Mezhevych, Val. Pimak, V. A. Plujko, A. D. Rudchik,
416
I. Skwirczynska, R. Siudak, A. Szczurek / / Phys. Rev. C,
2009. - Vol. 79. - P. 054609.
[344] The 7Li(180 ,lbN f Be reaction and optical potential of
16N+9Be versus 160 + 9Be / A. T. Rudchik, Yu. M.
Stepanenko, K. W. Kemper, A. A. Rudchik, O. A.
Ponkratenko, E. I. Koshchy, S. Kliczewski, K. Rusek, A.
Budzanowski, S. Yu. Mezhevych, Val. M. Pirnak, B. Czech,
R. Siudak, I. Skwirczynska, A. Szczurek, J. Choinski, L.
Glowacka / / Nucl. Phys. A, 2011. - Vol. 860. - P. 8-21.
[345] Proximity forces / J. Blocki, J. Randrup, W. J. Swiatecki,
C. F. Tsang / / Arm. Phys., 1977. - Vol. 105. - P. 427.
[346] Derjaguin В. V. Untersuchungen ueber die Reibung und
Adhasion IV: Theorie des Anhaftens kleiner Teilchen / B.
V. Derjaguin / / Kolloid. Z., 1934. - Vol. 69. - P. 155-164.
[347] Wilczynski J. Calculations of the critical angular
momentum in the entrance reaction channel / J. Wilczynski
/ / Nucl. Phys. A, 1973. - Vol. 216. - P. 386-394.
[348] Myers W. D. Nucleus-nucleus proximity potential and
superheavy nuclei / W. D. Myers, W. J. Swiatecki / / Phys.
Rev., 2000. - Vol. 62. - P. 044610.
[349| Bass R. Threshold and angular momentum limit in the
complete fusion of heavy ions / R. Bass / / Phys. Lett. B,
1973. - Vol. 47. - P. 139-142; Bass R. Fusion of heavy nuclei
in a classical model / R. Bass //Nucl. Phys. A, 1974. - Vol.
231. - P. 45-63.
[350] Bass R. Nucleus-Nucleus Potential Deduced from
Experimental Fusion Cross Sections / R. Bass /'/ Phys.
Rev. Lett., 1977. - Vol. 39. - P. 265-268.
[351] Bass R. Fusion reactions : Successes and limitations of a
one-dimensional description / R. Bass / / in Proceedings
of the Symposium on Deep Inelastic and Fusion Reactions
with Heavy Ions; edited by W. von Oertzen. Lecture Notes
417
in Physics. - Berlin : Springer-Verlag, 1980. - Vol. 117. - P.
281.
[352] Denisov V. Yu. Entrance-channel potentials in the
synthesis of the heaviest nuclei / V. Yu. Denisov, W.
Norenberg //Eur. Phys. J. A, 2002. - Vol. 15. - P. 375388.
[353] Umar A. S. Heavy-ion interaction potential deduced from
density-constrained time-dependent / A. S. Umar, V. E.
Oberacker / / Phys. Rev. C, 2006. - Vol. 74. - P. 021601 (R);
Umar A. S. Entrance channel dynamics of hot and cold
fusion reactions leading to superheavy elements / A. S.
Umar, V. E. Oberacker, J. A. Marulm, P. -G. Reinhard
/ / Phys. Rev. C, 2010. - Vol. 81. - P. 064607.
[354] Denisov V. Yu. Repulsive core potential and elastic heavyion collisions / V. Yu. Denisov, О. I. Davidovskaya / /
Ukrainian Journal of Physics, 2009. - Vol. 54. P. 669-677;
Denisov V. Yu. Elastic scattering 160 + 160 and nucleusnucleus potential with repulsive core / V. Yu. Denisov, O.
I. Davidovskaya / / Ukrainian Journal of Physics, 2010. Vol. 55. - P. 861-868.
[355] Davidovskaya О. I. Nucleus-nueleus potential with
repulsive core and elastic scattering. Part 1, Nucleusnucleus interaction potential / О. I. Davidovskaya, V. Yu.
Denisov, V. O. Nesterov / / J. Nucl. Phys. Energ., 2010. Vol. 11. - P. 25-32; Davidovskaya О. I. Nucleus-nucleus
potential with repulsive core and elastic scattering. Part 2.
The elastic scattering cross sections with and without core
/ О. I. Davidovskaya, V. Yu. Denisov, V. O. Nesterov j j
J. Nucl. Phys. Energ., 2010. - Vol. 11. - P. 33-40.
[356] Фирсов О. Б. Рассеяние ионов на атомах / О. Б. Фирсов
/ / ЖЭТФ, 1958. - Vol. 32. - Р. 447 - 451,
[357] Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных вза­
имодействий / И. Г. Каплан. - М.: Наука, 1982.
418
[358] Krappe H. J. Unified nuclear potential for heavy-ion elastic
scattering, fusion, fission, and ground states masses and
deformations / H. J. Krappe, J. R. Nix, A. J. Sierk / / Phys.
Rev. C, 1979. - Vol. '20. - P. 992 - 1013.
[359] Vaz L. C. Fusion barriers, empirical and theoretical :
Evidence for dynamic deformation in subbarrier fusion /
L. C. Vaz, J. M. Alexander, G. R. Sachler / / Phys. Rep.,
1981. - Vol. 69. - P. 373-399.
[360] Beckerman M. Subbarrier fusion of atomic nuclei. Review
Article / M. Beckerman j j Phys. Rep., 1985. - Vol. 129. P. 145-223; Beckerman M. Sub-barrier fusion of two nuclei
/ M. Beckerman / / Rep. Prog. Phys, 1988. - Vol. 51. - P.
1047.
[361] Hagino K. Subbarrier fusion reactions and many-particle
quantum tunneling / K. Hagino, N. Takigawa I j Progr.
Theor. Phys., 2012. - Vol. 128. - P. 1061-1106.
[362] Measurement of fusion excitation functions of A1-27,A129,Al-314-Au-197 / Y. X. Watanabe, A. Yoshida, T.
Fukuda, T. Sekine, Y. Watanabe, H. Ikezoe, Y. Nagame,
T. Ikuta, 1. Nishinaka, Y. Mizoi, J. Nakano, Ad. Hirai, H.
Sakurai, H. Kobinata, Y. Pu, K. Kimura, M. Ishihara / /
Eur. Phys. J. A, 2001. - Vol. 10. - P. 373-379.
[363] Денисов В. Ю. Потенциал взаимодействия тяжелых
ионов на больших расстояниях / В. Ю. Денисов / / ЯФ,
1990. - Т. 51. - С. 1263-1272.
[364] Dasso С. Н. A study of Q-value effects on barrier
penetration / С. H. Dasso, S. Landowne, A. Winther / /
Nucl. Phys. A, 1983. - Vol. 407. - P. 221-232.
[365] Фейнман P. Квантовая механика и интегралы по траек­
ториям / Р. Фейнман, А. Хиггс. - М. : Мир, 1968.
[366] A Case Study of Collectivity,Transfer and Fusion
Enhancement / H. Timmers, D. Ackermann, S. Beghini,
419
L. Corradi, J. H. He, G. Montagnoli, F. Scaxlassara, A. M.
Stefanini, N. Rowlej^ /7 Nucl. Phys. A, 1998. - Vol. 63-3. P. 421.
[367] Enhanced Fusion-Evaporation Cross Sections in NeutronRich 132Sn on 64Ni / J. F. Liang, D. Shapira, C. J. Gross,
J. R. Beene, J. D. Bierman, A. Galindo-Uribarri, J. Gomez
del Campo, P. A. Hausladen, Y. Larochelle, W. Loveland, P.
E. Mueller, D. Peterson, D. C. Radford, D. W. Stracener,
R. L. Varner / / Phys. Rev. Lett., 2003. - Vol. 91. - P.
152701; Fusion of radioactive 132Sn with 64Ni / J. F. Liang,
D. Shapira, J. R. Beene, C. J. Gross, R. L. Varner, A.
Galindo-Uribarri, J. Gomez del Campo, P. A. Hausladen,
P. E. Mueller, D. W. Stracener, H. Amro J. J. Kolata, J.
D. Bierman, A. L. Caraley, K. L. Jones, Y. Larochelle, W.
Loveland, D. Peterson / / Phys. Rev. C, 2007. - Vol. 75. P. 054607.
[368] Unexpected Behavior of Heavy-Ion Fusion Cross Sections at
Extreme Sub-Barrier Energies / C. L. Jiang, H. Esbensen,
К. E. Rehm, В. B. Back, R. V. F. Janssens, J. A. Caggiano,
P. Collon, J. Greene, A. M. Heinz, D. J. Henderson, I.
Nishinaka, T. O. Pennington, D. Seweryniak / / Phys. Rev.
Lett., 2002. - Vol. 89.— P. 052701; Systematic:s of HeavyIon Fusion Hindrance at Extreme Sub-Barrier Energies /
C. L. Jiang, В. B. Back, H. Esbensen, R. V. F. Janssens,
К. E. Rehm / / Phys. Rev. C, 2006. - Vol. 73. - P. 014613;
Survey of heavy-ion fusion hindrance for lighter systems /
C. L. Jiang, К. E. Rehm, В. B. Back, R. V. F. Janssens / /
Phys. Rev. C, 2009. - Vol. 79. - P. 044601.
[369] Misicu S. Signature of shallow potentials in deep sub­
barrier fusion reactions / S. Misicu, H. Esbensen j j
Phys.Rev. C, 2007. - Vol. 75. - P. 034606.
[370] Ichikawa T. Signature of smooth transition from diabatic
to adiabatic states in heavy-ion fusion reactions at deep
subbarrier energies / T. Ichikawa, K. Hagino, A. Iwamoto
/ / Phys. Rev. Lett., 2009. - Vol. 103. - P. 202701.
420
[371] Шилов В. М. Подбарьерное слияние сферических ядер
среднего атомного номера / В. М. Шилов / / Ядерная
физика, 2012. - Т. 75, № 4. - С. 485-490.
[372] Fernandez-Niello J. CCDEF - A simplified coupled-channel
code for fusion cross sections including static nuclear
deformations / J. Fernandez-Niello, С. H. Dasso, S.
Landowne / / Comp. Phys. Commun., 1989. - Vol. 54. P. 409-412.
[373] Denisov V. Yu. Interaction and fusion of deformed nuclei /
V. Yu. Denisov, N. A. Pilipenko /'/' Phys. At. Nucl., 2010.
- Vol. 73. - P. 1152.1163.
[374| Observation of Mean-Spin Bump in Sub-Barrier Fusion of
28Si with 154Sm / S. Gil, D. Abriola, D. E. Di Gregorio, M.
di Tada, M. Elgue, A. Etchegoyen, М. C. Etchegoyen, J.
Fern6ndez Niello, A. M. J. Ferrero, A. O. Macchiavelli, A.
J. Pacheco, J. E. Testoni, P. Silveira Gomes, V. R. Vanin,
A. Charlop, A. Garca, S. Kailas, S. J. Luke, E. Renshaw,
R. Vandenbosch / / Phys. Rev. Lett., 1990. - Vol. 65. - P.
3100.
[375] Hofmann S. The discovery of the heaviest elements / S.
Hofmann, G. Muiizenberg. / / Rev. Mod. Phys., 2000. Vol. 72. - P. 733-767. Хофманн 3. Синтез сверхтяжелых
элементов методом холодного слияния / 3. Хофманн / /
Успехи химии, 2009. - Т. 78, № 12. - С. 1211-1227.
[376] Oganessian Y. Heaviest nuclei from Ca-48 induced
reactions / Y. Oganessian / / J. Phys. G, 2007. - Vol. 34. P. R165-R242.
[377] Eleven new heaviest isotopes of elements Z=105 to Z=117
identified among the products of 249Bk+48Ca reactions /
Yu. Ts. Oganessian, F. Sh. Abdullin, P. D. Bailey, D. E.
Benker, М. E. Bennett, S. N. Dmitriev, J. G. Ezold, J. H.
Hamilton, R, A. Henderson, M. G. Itkis, Yu. V. Lobanov, A.
N. Mezentsev, K. J. Moody, S. L. Nelson, A. N. Polyakov,
С. E. Porter, A. V. Ramayya, F. D. Riley, J. B. Roberto,
421
M. A. Ryabinin, К. P. Rykaczewski, R. N. Sagaidak, D.
A. Shaughnessy. I. V. Shirokovsky, M. A. St,oyer. V. G.
Subbotin, R. Sudowe, A. M. Sukhov. R. Taylor, Yu. S.
Tsyganov, V. K. Utyonkov, A. A. Voinov, G. K. Vostokin,
P. A. Wilk / / Phys. Rev. C, 2011. - Vol. 83. - P. 054315.
[378] Oganessian Y. Synthesis of the heaviest elements in 48Cainduced reactions / Y. Oganessian / / Radiochim. Acta,
2011. - Vol. 99. - P. 429.
[379] Fusion-fission of Superheavy Nuclei at Low Excitation
Energies / M. G. Itkis, Yu. Ts. Oganessian, A. A.
Bogatchev, I. M. Itkis, M. Jandel, J. Kliman, G. N.
Kniajeva, N. A. Kondratiev, I. V. Korzyukov, E. M.
Kozulin, L. Krupa, I. V. Pokrovski, V. A. Ponomarenko,
E. V. Prokhorova, A. Ya. Rusanov, V. M. Voskresenski, F.
Hanappe, B. Benoit, T. Materna, N. Rowley, L. Stuttge, G.
Giardina, K. J. Moody, / / i n Proc. of the Intern. Workshop
on Fusion Dynamics at the Extremes, Dubna, Russia, 25-27
May 2000; Ed. by Yu. Ts. Oganessian and V. I. Zagrebaev.
- Singapore : World Sci., 2001. - P. 93-109.
[380] Oganessian Yu. Ts. Synthesis and Properties of Even-even
Isotopes with Z = 110-116 in 48Ca Induced Reactions / Yu.
Ts. Oganessian / / J. Nucl. Radiochem. Sci., 2002. - Vol. 3.
- P. 57.
[381] She.ll effects in fission and quasi-fission of heavy and
superheavy nuclei / M.G. Itkis, J. Aysto, S. Beghini,
A.A. Bogachev, L. Corracli, O. Dorvaux, A. Gadea., G.
Giardina, F. Hanappe, LM. Itkis, M. Jandel, J. Kliman,
S.V. Khlebnikov, G.N. Kniajeva, N.A. Kondratiev, E.M.
Kozulin, L. Krupa, A. Latina, T. Materna, G. Montagnoli,
et al. / / Nucl. Phys. A, 2004. - Vol. 734. - P. 136-147.
[382] The Peculiarities of the Production and Decay of
Superheavy Nuclei / M. G. Itkis, S. Beghini, B. R. Behera,
A. A. Bogachev, V. Boucliat, L. Conadi, O. Dorvaux, E.
Fioretto, F. Hanappe, I. M. Itkis, M. Jandel, J. Kliman,
G. N. Knyazheva, N. A. Kondratiev, E. M. Kozulin, L.
422
Krupa, A. Latina, T. Materna, G. Montagnoli, Yu. Ts.
Oganessian, I. V. Pokrovsky, E. V. Prokhorova, N. Rowley,
A. Ya. Rusanov, R. N. Sagaidak, F. Scarlassara, C. Schmitt,
A. M. Stefanini. L. Stuttge, S. Szilner, M. Trotta /./ AIP
Conf. Proc., 2006. - Vol. 853. - P. 231.
[383] The processes of fusion-fission and quasi-fission of
superheavy nuclei / M. G. Itkis, A. A. Bogachev, I. M.
Itkis, J. Kliman, G. N. Knyazlieva, N. A. Kondratiev, E. M.
Kozulin, L. Krupa. Yu. Ts. Oganessian, I. V. Pokrovsky, E.
V. Prokhorova, A. Ya. Rusanov, / / Nucl. Phys. A, 2007. Vol. 787. - P. 150-159.
1384] Denisov V. Yu. Nuclear reactions in hot stellar matter and
nuclear surface deformations / V. Yu. Denisov / / Phys.
Rev. C, 2006. - Vol. 74. - P. 055804.
[385] Denisov V. Yu. Fusion of deformed nuclei: 12C + 12C / V.
Yu. Denisov. N. A. Pilipenko / / Phys. R,ev. C, 2010. - Vol.
81. - P. 025805.
[386] Deformation parameter of 12C via 12C(a, a') and 12C(a, a'a)
reactions. / Yasue М., Tanabe Т., Soga F., Kokame J.,
Shimokoshi F., Kasagi J., Toba Y„ Kadota Y., Ohsawa Т.,
Furuno К / / Nucl. Phys.’ A, 1983. - Vol. 394. - P. 29-38.
[387] Smirnov Yu. F. Cluster spectroscopic factors for the p-shell
nuclei / Yu. F. Smirnov, Yu. M. Tchuvil’sky / / Phys. Rev.
C, 1977. - Vol. 15. - P. 84-93.
[388] Нуклонные ассоциации в атомных ядрах и ядерные ре­
акции многонуклонных передач / О. Ф. Немец, В. Г.
Неудачин, А. Т. Рудчик, Ю. Ф. Смирнов, Ю. М. Чувильскнй. - К. : Наукова думка, 1988.
[389] Неудачин В. Г. Нуклонные ассоциации в легких ядрах
/ В. Г. Неудачин, К). Ф. Смирнов. - М. : Наука. 1969.
[390] Broglia R. A. Semiclassical theory of heavy ion rection / R.
A. Broglia, A. Winther / / Physics Reports, 1972. - Vol. 4,
№ 4. - P. 153-198.
423
[391] Form/actors for one- and two-nucleon transfer reactions
induced by light and heavy ions / R. A. Broglia, R. Liotta,
B. S. Nilsson, A. Winther / / Physics Reports, 1977. - Vol.
29, Iss. 5. - P. 291-362.
[392] Semiquantal approximations to heavy ion reactions /' R.
A. Broglia, S. Landowne, R. A. Malftiet, V. Rostokin, Aa.
Winther / / Physics Reports, 1974. - Vol. 11, Iss. 1. - P.
1-28.
[393] Form,factors for inelastic scattering between heavy ions /
R. A. Broglia, С. H. Dasso, G. Pollarolo, A. Winther / /
Physics Reports, 1978. - Vol. 48, Iss. 5. - P. 351-382.
[394] Broglia R. A. Semiclassical theory of heavy ion reactions /
R. A. Broglia, A. Winther / / Physics Reports, 1972. - Vol.
4, Iss. 4. - P. 153-198.
[395] Reaction mechanism of two-nucleon transfer between heavy
ions / U. Goetz, M. Ichimura, R.A. Broglia, A. Winther /'/'
Physics Reports, 1975. - Vol. 16, Iss. 3. - P. 115-167.
[396] Multineutron transfer in 58N i + 124Sn collisions at sub­
barrier energies / C. L. Jiang, К, E. Rehm, H. Esbensen,
D. J. Blumenthal, B. Crowell, J. Gehring, B. Glagola, J. P.
Schiffer, A. H. Wuosmaa / / Phys. Rev. C, 1998. - Vol. 57.
- P. 2393-2400.
[397] Я. Вильчипски Некоторые особенности механизма реак­
ций многонуклонных передач / Я. Вильчипски, В. В.
Волков, П. Децовски / / ЯФ, 1967. - Т. 5. - С. 942;
Gmdnev G. F. Evidence for an intermediate mechanism in
interactions between complex nuclei / G. F. Gridnev, V.
V. Volkov, J. Wilczynski / / Nucl. Phys. A, 1970. - Vol.
142. - P. 385; Mechanism of Single-Nucleon and MultiNucleon Transfer Reactions in Grazing Collisions of Heavy
Ions on Silver /' J. Galin, D. Guerreau, M. Lefort, J. Peter,
X. Tarrago, R. Basile / / Nucl. Phys. A, 1970. - Vol. 159. P. 461.
424
[398] Волков В. В. Реакции передачи с тяжелыми ионами /
В. В. Волков / / ЭЧАЯ, 1975. - Т. 6. - С. 1040-1104;
Schroeder W. U. Damped Heavy-Ion Collisions / W. U.
Schroeder, J. R. Huizenga / / Ann. Rev. Nucl. Sci., 1977. Vol. 27. - P. 465-547.
[399] Волков В. В. Ядерные реакции глубоконеупругих пере­
дач / В. В. Волков. - М. : Энергоиздат, 1982.
[400] Gross D. Н. Е. Friction model of heavy-ion collisions / D.
H. E. Gross, H. Kalinowski /7 Phys. Rep., 1978. - Vol. 45.
- P. 175-210.
[401] Танеев В. Д. Слияние, квазиделение и глубоконеупру­
гие столкновения в реакциях с тяжелыми ионами : огра­
ничения на сечения / Тонеев В.Д., Шмидт Р. / / ЯФ,
1978. - Т. 27, №5. - С. 1191-1200.
[402] Frobrich P. Langevin description of fusion, deep-inelastic
collisions and heavy-ion-induced fission / P. Froebrich, 1.1.
Gontchar / / Physics Reports, 1998. - Vol. 292, № 3,4. - P.
131-237.
[403] Thoennessen M. Discovery of isotopes of elements with
Z>100 / M. Thoennessen / / At. Data Nucl. Data Tabl.,
2013. - Vol. 99. - P. 31.2-344.
[404] John W. Symmetric Fission Observed in Thermal-NeutronInduced arid Spontaneous Fission of 20'Pm / W. John, E.
K. Lougheed, J. J. Wesolowski / / Phys. Rev. Lett., 1971. Vol. 27. - P. 45-48.
[405] Experiment on the Synthesis of Element 113 in the Reaction
209Bi(70Zn,n)2j 3 / K. Morita, K. Morimoto, D. Kaji, T.
Akiyama, S. I. Goto, H. Haba, E. Ideguchi, R. Kanungo, K.
Katori, H. Koura, H. Kudo, T. Ohnishi, A. Ozawa, T. Suda,
K. Sueki, H. Xu, T. Yamaguchi, A. Yoneda, A. Yoshida, Y.
Zhao / / J. Phys. Soc. Japan, 2004. - Vol. 73. - P. 2593-2596.
425
[406] Sobiczewski A. Progress in theorethical understanding of
properties of heaviest nuclei / A. Sobiczewski / / ЭЧАЯ,
1994. - Vol. 25. - P. 295.
[407] Moiler P. Nuclear properties for astrophysical and
radioactive-ion-beam applications / P. Moller, J. R. Nix,
and K. L. Kratz ,// At, Data Nucl. Data Tables, 1997. Vol. 66. - P. 131-343.
[408] Denisov V. Yu. Magic number of ultraheavy nuclei / V. Yu.
Denisov / / Phys. At. Nucl., 2005. - Vol. 68. - P. 1133-1137.
[409] Superheavy, hyperheavy and bible nuclei / J. F. Berger. L.
Bitaud, J. Decharge, M. Girod, K. Dietrich / / Nucl. Phys.
A, 2001. - Vol. 685. - P. lc - 16c;
Structure of superheavy with the Cogny force / J. F. Berger,
D. Hirata, M. Girod, J. Decharge, / / Int. J. Mod. Phys E,
2004. - Vol. 13. - P. 79-86.
[410] Shell structure of superheavy nuclei in self-consistent meanfield models / M. Bender, K. Rutz, P.-G. Reinhard, J. A.
Maruhn, and W. Greiner / / Phys. Rev. C, 1999. - Vol. 60.
- P. 034304.
[411] Bender M. Shell Stabilization of Super- and Hyper-Heavy
Nuclei Without Magic Gaps / M. Bender, W. Nazarewicz,
and P. G. Reinhard, / / Phys. Lett, B, 2001. - Vol. 515. P. 42.
[412] Superheavy nuclei in deformed mean-field calculations /
T. Burvenich, K. Rutz, M. Bender, P.-G. Reinhard, J. A,
Maruhn, and W. Greiner / / Eur. Phys. J. A, 1998. - Vol.
3. - P. 139.
[413] Shell corrections of superheavy nuclei in self-consistent
calculations / A. T. Kruppa, M. Bender, W. Nazarewicz,
P.-G. Reinhard, T. Vertse, S. Cwiok, /./ Phys. Rev. C, 2000.
- Vol. 61. - P. 034313.
426
[414] Superheavy nuclei in a relativistic effective Lagrangian
model / T. Sil, S. K. Patra, В. K. Sharma., M. Centelles, X.
Vinas,'/ / Phys. Rev. C, 2004. - Vol. 69. - P. 044315.
[415] Magic numbers for superheavy nuclei in relativistic
continuum Hartree-Bogoliubov theory Original Research
Article / W. Zhang, J. Meng, S.Q. Zhang, L.S. Geng, H.
Toki / / Nuclear Physics A, 2005. - Vol. 753, Iss. 1-2. - P.
106-135.
[416] Limn S. Semiempirical shell model masses with magic
number Z=126 for superheavy elements / S. Liran, A.
Marinov, and N. Zeldes j j Phys. Rev. C, 2000. - Vol. 62.
- P. 047301; Liran S. Applications of semiempirical shell
model masses based on a proton magic number Z=126 to
heavy and superheavy nuclei /S. Liran, A. Marinov, and N.
Zeldes / / Phys. Rev. C, 2002. - Vol. 66. - P. 024303.
[417] Denisov V. Yu. Shell correction, magic numbers and mean
field / V. Yu. Denisov Phys. At. Nucl., 2007. - Vol. 70. -P.
244-257.
[418] Koepf W. Scalar coupling in relativistic mean field theory
and properties of nuclei and nuclear matter / W. Koepf, M.
M. Sharma, P. Ring / / Nucl. Phys. A, 1991. - Vol. 533. P. 95-112.
[419] Шапиро С. Черные дыры, белые карлики и нейтронные
звезды / С. Шапиро, С. Тьюколски. - М. : Мир, 1985.
[420] Мигдал А. Б. Фермионы и бозоны в сильных полях / А.
Б. Мигдал. - М. : Наука, 1978; Migdal А. В. Pion fields in
nuclear-matter / A. В. Migdal / / Rev. Mod. Phvs., 1978.
- Vol. 50. - P. 107.
[421] Pion degrees of freedom in nuclear matter / A. B. Migdal,
E. E. Saperstein, M. A. Troitsky, D. N. Voskresensky / /
Phys. Rep., 1990. - Vol. 192. - P. 179-437.
427
[422] Nilsson S. G. Shapes and Shells in Nuclear Structure / S.
G. Nilsson, I. Ragnarsson. - Cambridge : Cambridge Univ.
Press, 1995.
[423] Kolb D. Shell Structure in the Mass Region 250<A<500 /
D. Kolb / / Z. Phys. A, 1977. - Vol. 280. - P. 143.
[424] Bubbles and semi-bubbles as a new kind of superheavy
nuclei Original Research Article / J. Decharge, J. -F.
Berger, M. Girod, K. Dietrich j j Nucl. Phys. A, 2003. Vol. 716. - P. 55-86
[425] The nuclear structure of heavy-actinide and transactinide
nuclei / M. Leino, F. P. Hessberger, //' Annu. Rev. Nucl.
Part. Sci., 2004. - Vol. 5. - P. 175-215.
[426] Herzberg R. -D. Spectroscopy of superheavy elements.
Journal of Physics G-Nuclear and Particle / R. -D. Herzberg
/ / J. Phvs. G, 2004. - Vol. 30, Iss. 4. - P. R123R141; Herzberg R. -D. In-beam and decay spectroscopy of
transfermium nuclei / R,. -D. Herzberg, P. T. Greenlees j j
Prog. Part. Nucl. Phys., 2008. - Vol. 61. - P. 674-720
[427] Sobiczewski A. Description of structure, and properties of
superheavy nuclei / A. Sobiczewski, K. Pomorski / / Prog.
Part. Nuci. Phys., 2007. - Vol. 58. - P. 292.
[428] Stoitsov M. Ladge-scale mass table calculations / M.
Stoitsov, W. Nazarewicz, N. Schunck / / Int. J. Mod. Phys.
E, 2009. - Vol. 18. - P. 816: Surface symmetry energy of
nuclear energy density functionals / N. Nikolov, N. Schunck,
W. Nazarewicz, M. Bender, J. Pei / / Phys. Rev. C, 2011.
- Vol. 83. - P. 034305.
[429] Theory of fusion hindrance and synthesis of the superheavy
elements / Y. Abe, G. I. Kosenko, B. Bouriquet, C. Shen
/ / Nucl. Phys. A, 2003. - Vol. 722. - P. C241-C247.
[430] Mechanism, of Fusion Hindrance and Predictions of SHE
Production / Y. Abe, C. Shen, D. Boilley, B. G. Giraud. G.
Kosenko / / Nucl. Phys. A, 2010. - Vol. 834. - P. C349-C352.
428
[431] Production mechanism of superheavy nuclei in massive
fusion reactions / Zhao-Qing Feng, Gen-Ming Jin, Jun-Qing
Li. Werner Scheicl / / Nucl. Phys. A, 2010. - Vol. 834. P.
C384-C387.
[432] Aritomo Y. Possibility of synthesizing a doubly magic
superheavy nucleus / Y. Aritomo / / Phys. Rev. C, 2007. Vol. 75. - P. 024602'.
[433] Zagrebaev V. I. Synthesis of superheavy nuclei : Nucleon
collectivization as a mechanism for compound nucleus
formation / V. L Zagrebaev / / Phys. Rev. C, 2001. - Vol.
64. - P. 034606; Грайнер В. Расширение Периодической
системы элементов : сверхтяжелые — супернейтронные
/ В. Грайнер, В. И. Загребаев / / Успехи химии, 2009. Т. 78, № 12. - С. 1177-1199.
[434] Adamian G. G. Isotopic dependence of fusion cross sections
in reactions with heavy nuclei / G. G. Adamian, N. V.
Antonenko, W. Scheid / / Nucl. Phys. A, 2000. - Vol. 678. P. 24-38. Зубов А. С. Использование статистических ме­
тодов при анализе реакций с тяжелыми ионами в рам­
ках модели двойной ядерной системы / А. С. Зубов, Г.
Г. Адамян, Н. В. Антоненко / / ЭЧАЯ, 2009. - Т. 40. С. 1603.
[435] New results on elements 111 and 112 / S. Hofmann, F. P.
Hessberger, D. Ackermann, G. Miinzenberg, S. Antalic, P.
Cagarda, B. Kindler, J. Kojouharova, M. Leino, B. Lommel,
R. Mann, A. G. Popeko, S. Reshitko, S. Saro, J. Uusitalo,
A. V. Yeremin /7 Eur. Phys. J. A, 2002. - Vol. 14. - P.
147-157.
[436] Sobiczewski A. Description of a - decay half-lives of heaviest
nuclei / A. Sobiczewski, A. Parkhomenko / / Phys. At.
Nucl., 2006. - Vol. 69, Iss. 7. - P. 1155-1157.
[437] Royer G. Recent a decay half-lives and analytic expression
predictions including superheavy nuclei / G. Royer, H. F.
Zhang / / Phys. Rev. C, 2008. - Vol. 77. - P. 037602.
429
[438] Duflo J. Microscopic mass formulas / J. Duflo, A. P. Zuker
/ / Phys. Rev. C, 1995. - Vol. 52. - P. R23-R27.
[439] Myers W. D. Nuclear properties according to the TliomasFermi model / W. D. Myers. W. J. Swiatecki / / Nucl. Phys.
A, 1996. - Vol. 601. - P. 141-167.
[440] Liran S. Applications of semiempirical shell model masses
based on a proton magic number Z=126 to heavy and
superheavv nuclei / S. Liran. A. Marinov, N. Zeldes / /
Phys. Rev. C, 2002. - Vol. 66. - P. 024303; arXiv:nudth/0102055 23 Feb 2001.
[441] Muntian I. Collective Properties of “Deformed” Superheavy
Nuclei / I. Muntian, Z. Patyk, A. Sobiczewski /./ Acta Phys.
Pol. B, 2001. - Vol. 32. - P. 691; Properties of Heaviest
Nuclei /' I. Muntian, S. Hofmann, Z. Patyk, A. Sobiczewski
/ / Acta Phys. Pol. B, 2003. - Vol. 34. - P. 2073.
[442] Bender M. Alpha-decay chains of ff9 and
in the
relativistic mean-field model / M. Bender / / Phys. Rev.
C, 2000. - Vol. 61. - P. 031302(R).
430
Наукове видання
ДЕНИСОВ Віталій Юрійович
ПЛЮЙКО Володимир Андрійович
ПРОБЛЕМИ
ФІЗІКИ АТОМНОГО ЯДРА
ТА ЯДЕРНИХ РЕАКЦІЙ
Монографія
(російською мовою)
О ригінал-м акет виготовлено автором
за допомогою видавничого пакета LA TEX2E
Формат 60x84і''6. Ум. друк. арк. 25,1. Наклад 150. Зам. № 213-6725.
Вид. № Фз9. Гарнітура Times New Roman. Папір офсетний. Друк офсетний.
Підписано до друку 16.12.13
Видавець і виготовлювач
Видавничо-поліграфічний центр “Київський університет"
01601, Київ, б-р Т. Шевченка, 14, кімн. 43
8 (044) 239 32 22; (044) 239 31 72; тел./факс (044) 239 31 28
e-mail: [email protected]
http: vpc.univ.kiev.ua
С в ід о ц т в о с у б ’ є кт а в и д а в н и ч о ї с п р а в и Д К № 1 10 3 в ід 3 1 .1 0 .0 2