Глава 1. Уравнения

Тема 1. Уравнения
и методы их решения
Содержание
1.01. Общие сведения о уравнениях. Линейные уравнения.
Квадратные уравнения
1.02. Уравнения, сводящиеся к квадратным
1.03. Использование группировки при решении уравнений
1.04. Простые замены переменных
1.05. Сложные замены переменных
1.06. Очень сложные замены переменных
1
Математика достаточно простая наука. Несмотря на то, что средний балл по математике никогда
не был высокий, набрать и 50 и 70 и даже 90 баллов не сверхзадача. Для того, чтобы получить
достойный результат, Вы должны внимательно изучать теорию, запоминать основные методы
решения, учить наизусть основные свойства и постоянно делать домашние задания. Халявы в
математике не бывает. Только упорный труд поможет Вам получить достойный результат.
1.01. Общие сведения об уравнениях.
Квадратные уравнения
Любая задача по математике рано или поздно сводится к уравнению. Поэтому если Вы не знаете методы решения уравнений, то Вы не сможете решить ни одну задачу.

Учтите, про при решении большого количества уравнений Вам могут понадобиться формулы сокращенного умножения, которые Вы должны знать НАИЗУСТЬ! Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.
Формула разности квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b),
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
Квадрат разности
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Иногда формулы сокращенного умножения могут использоваться в не совсем стандартном виде.
Например, формулу a 2  2ab  b2   a  b  можно переписать в виде
2
a 2  b2   a  b   2ab
2
Аналогично для разности a 2  2ab  b2   a  b  переписываем под себя
2
a 2  b2   a  b   2ab
Можно не запоминать эти преобразования. Достаточно помнить формулы сокращенного умножения и
уметь переносить слагаемые через знак равно.
2
Для начала ознакомимся с основными терминами и определениями, связанными с уравнениями. Да, они
занудные, но их надо знать.
Уравнение – это равенство, которое справедливо (то есть становится тождеством) только при некоторых значениях входящих в него переменных. Эти переменные называются неизвестными, а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество – корнями уравнения. Процедура нахождения всех корней уравнения называется решением. Решить уравнение – значит найти все его корни.
Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же
корни.
ПРИМЕР. Уравнения 5x – 25 = 0 и 2x – 7 = 3 являются равносильными, так как они имеют один и тот
же корень: x = 5 .
При изучении математики Вы будете сталкиваться в основном с двумя видами уравнений – линейными и квадратными. Все остальные уравнения будут сводиться к ним.
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В УРАВНЕНИЯХ
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные
тождественные преобразования следующие.
1. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему.
Уравнение
(3x+ 2) 2 = 15x+10
можно заменить следующим равносильным (просто возведем в квадрат левую часть, используя формулу сокращенного умножения):
9x2 + 12x + 4 = 15x + 10.
2
2. Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.
Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую, при этом не
забывая поменять знак каждого перенесенного слагаемого на противоположный
9x2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0,
После приведения подобных слагаемых получим
9x2 – 3x – 6 = 0.
3. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное
от нуля.
Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем
или делим, может быть равно нулю.
ПРИМЕР. Посмотрите на картинку и объясните мне в чем подвох.
ПРИМЕР. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на (x – 3), мы получим уравнение
(x – 1)(x – 3) = 0,
у которого уже два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем начального уравнения
x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.
И наоборот, ДЕЛЕНИЕ МОЖЕТ ПРИВЕСТИ К ПОТЕРЕ КОРНЯ. Например, у нас есть уравнение
(x – 2)(x – 4) = (x – 4)
Если мы сократим в правой и левой части на (x – 4), то мы потеряем корень x = 4, ведь при значении
x = 4 правая и левая части уравнения обратятся в 0!!!
ТАК ЧТО СОКРАЩАТЬ В УРАВНЕНИИ МЫ МОЖЕТ ТОЛЬКО ЧИСЛА!!! Например, в последнем уравнении пункта 2 (см. выше) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно
получим:
3x2 – x – 2 = 0 .
Полученное уравнение будет равносильно исходному: (3x+ 2)2 = 15x + 10. Так же мы имеем право домножать на число не равное 0. Делается это обычно из соображений удобства. Например, в уравнении
0, 2t 2  0, 4t  7  0
коэффициенты не очень удобные для расчетов. Поэтому мы имеем право домножить каждое слагаемое
уравнения на 5 (число выбираем из соображений удобства). Получим
5  0, 2t 2  5  0, 4t  5  7  0  t 2  2t  35  0
При этом важно понимать, что корни уравнения от этого не поменяются.
4. Можно возвести обе части уравнения в НЕЧЕТНУЮ степень или извлечь из обеих частей
уравнения корень НЕЧЕТНОЙ степени.
Необходимо помнить, что:
а) возведение в ЧЕТНУЮ степень может привести к приобретению ПОСТОРОННИХ корней;
б) НЕПРАВИЛЬНОЕ извлечение корня четной степени может привести к ПОТЕРЕ корней.
ПРИМЕР. Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5 .
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение:
49x2 = 1225
имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем.
Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
16x2 = 64
дает в результате
4x = 8,
и мы теряем корень x = – 2.
Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению:
|4x| = 8  4x = ±8
а следовательно, к двум случаям:
4x = 8, тогда x = 2 и 4x = −8, тогда x = – 2
Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.
3
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:
ax + b = 0,
где a и b – известные числа, а x – неизвестная величина.
Решить уравнение – значит найти численное значение неизвестного x, при котором это уравнение обращается в тождество.
Если a не равно нулю (a ≠ 0), то решение (корень) уравнения имеет вид:
b
x .
a
Если a = 0, то возможны два случая:
1. b = 0, тогда 0 · x + 0 = 0. Здесь x может быть любым числом (проверьте !).
2. b ≠ 0, тогда 0 · x + b = 0. Здесь нет решений (проверьте и это!).
ПРИМЕР. Решите уравнение 3x  6 .
x
ПРИМЕР. Решите уравнение
2
3
x .
5
4
x
ПРИМЕР. Решите уравнение
6
2.
3
3 2 3 5 15
:    .
4 5 4 2 8
3
x  4.
2
x  4:
ПРИМЕР. Решите уравнение 2 x 
3
2 8
 4  .
2
3 3
4
.
5
x
4
4 1 2
:2   .
5
5 2 5
ПРИМЕР. Решите уравнение x – 1 = 0.
Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо x этого числа получается
верное числовое равенство.
ПРИМЕР. Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 0.
Имеем
0  x 1  0  1  0 .
Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно,
явно не входит в уравнение) равенство 1 = 0 не имеет место.
ПРИМЕР. Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 1.
Имеем
0  x 1  1  1  1 .
Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении
переменной равенство 1 = 1 является верным.
Чуть сложней (если при решении линейных уравнений в принципе уместно слово «сложно») линейные
уравнения вида ax  c  b . Для нахождения неизвестной величины х, сначала перенесем число с в правую часть, изменив знак перед числом с. Получаем ax  b  c . Теперь найдем неизвестную величину
bc
x
.
a
ПРИМЕР. Решите уравнение 3x  5  6 .
1
3x  6  5  3x  1  x  .
3
4
ПРИМЕР. Решите уравнение 1 
2
3
x .
5
4
2
3
2
1
5
 x  1   x  
 x
5
4
5
4
8
ПРИМЕР. Решите уравнение 3  x  2   7  4  2 x   5  5  3x   4  6 x .
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим

3x  6  28 14x  25 15x  4  6x
4x  3  4  6x
Переносим в левую часть все слагаемые с неизвестной величиной х, а в правую часть все числа. При переносе из одной части уравнения в другую не забываем менять знак перед слагаемым.
4x  6x  4  3  10 x  7  x  0,7 .
a c
 . Основное свойство
b d
пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов (другими
словами, надо перемножить крест накрест и приравнять произведения). Получаем
ad  bc .
А теперь перейдем к пропорциям. Пропорцией называется выражение вида
2 3
 .
x 4
Воспользуемся свойством пропорции и получим
2  4  3 x .
Значит
ПРИМЕР. Решите уравнение
8
3x  8  x  .
3
2  3x  5
3x

ПРИМЕР. Решите уравнение
.
2x 1
x2
Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим «крест накрест»
2  3x  5   x  2   3x   2 x  1
Раскроем скобки
6 x 2  12 x  10 x  20  6 x 2  3x

 6 x  10   x  2  6 x2  3x
6 x 2  22 x  20  6 x 2  3 x
Перенесем все слагаемые с неизвестным х в одну часть, а свободные от неизвестной х слагаемые, в другую часть. Получим
6 x 2  22 x  6 x 2  3x  20
x  0,8


25x  20
2  x  3  3  2 x  1
3  2 x  1   5 x  2 
.

2  6 x  1  4  3x  2  4  3x  2   3  4 x  2 
Перед тем, как воспользоваться свойством пропорции, обязательно упростим числитель и знаменатель
левой и правой частей
2x  6  6x  3
6x  3  5x  2
9  4x x 1



12 x  2  12 x  8 12 x  8  12 x  6
6
2
И только теперь воспользуемся основным свойством пропорции, и перемножим «крест накрест».
18  8x  6x  6
Перенесем все слагаемые с неизвестным х в одну часть, а свободные от неизвестной х слагаемые, в другую часть. Получаем
6
x


8x  6x  6 18
14x  12
7
ПРИМЕР. Решите уравнение
5
36
 4.
5x
4
Запишем число 4 в виде дроби . Уравнение примет вид
1
36 4
 .
5x 1
Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим «крест накрест»:

x  1,8
36 1  4  5x
ПРИМЕР. Решите уравнение
12ab 2 4b

.
5cx
a
Воспользуемся основным свойством пропорции, и перемножим «крест накрест».
12ab 2  a  4b  5cx
Теперь выразим величину х. Обратите внимание, что не надо сразу все перемножать. «Дождитесь» деления, которое может привести к сокращению дроби.
12ab 2 a 3a 2b
x

4b  5c
5c
ПРИМЕР. Выразить х из пропорции
x
x 1

.
x2 x2
Перемножим накрестлежащие выражения
x² + 2x = x² – 2x + x – 2.
Перенесем все члены в левую часть уравнения. После приведения подобных членов получим:
3x + 2 = 0,
откуда x = – 2/3.
Если в уравнение есть дробь, то мы обязательно должны записать ОДЗ – область допустимых
значений. В нашем случае x  2, −2. То есть если в результате решения мы получим такие корни, то они не могут быть решениями, так как при таких значениях x знаменатель будет равен
нулю, а на ноль делить нельзя! Составители ЦТ очень любят составлять уравнения, в которых
корни «случайно» оказываются такими, что не входят в ОДЗ. И Вас на этом обязательно захотят словить!!!! Это же касается и систем уравнений! ВОЗЬМИТЕ ЗА ПРАВИЛО – ЕСЛИ В УРАВНЕНИИ ЕСТЬ ДРОБЬ, КОРЕНЬ, ЛОГАРИФМ (ВЫ ЭТУ ТЕМУ ОЧЕНЬ СКОРО ПРОЙДЕТЕ), ТО
ПЕРЕД ТЕМ КАК НАЧАТЬ РЕШЕНИЕ ВСЕГДА ЗАПИШИТЕ ОДЗ!!!
ПРИМЕР. Решите уравнение

Решите уравнения
1. 6  x  4   3  2 x; 2. 5  x  2   2  x  3  3; 3. 2 x  5  2  x  7  ; 4. 3  x  3  x  9  4 x
5.
0, 75 8 x  12   x  5
0, 75 12 x  4   x  1
 0; 6.
 0;
4x  8
2x 1
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Неполные квадратные уравнения
Квадратными называют уравнения, в которых старшая степень у переменной х равна 2.
Квадратные уравнения имеют вид
ax 2  bx  c  0 .
Если в квадратном уравнении ax 2  bx  c  0 второе или третье слагаемое равно нулю, то уравнение называется неполным. Самые простые квадратные уравнения имеют вид
x2  c .
Возможны три случая: с > 0, с < 0, с = 0.
Если с > 0, то в уравнении два корня x1  c и x2   c .
ПРИМЕР. Решите уравнение x 2  9 .
x1  9  3 и x2   9  3
6
ПРИМЕР. Решите уравнение x 2  1  0 .
Перенесем –1 в правую часть и получим x 2  1 . Тогда x1  1  1 и x2   1  1 .
ПРИМЕР. Решите уравнение 4 x 2  9  0 .
Перенесем –9 в правую часть и получим 4 x 2  9 . Разделим левую и правую часть на 4
9
x2  .
4
Тогда
9 3
9
3
x1 
 и x2  
 .
4 2
4
2
1 2
x 3  0.
4
Перенесем –3 в правую часть и получим
ПРИМЕР. Решите уравнение
1 2
x 3.
4
Умножим левую и правую часть на 4
x 2  12 .
Тогда
x1  12 и x2   12 .
12 3 x

.
2x 8
Воспользуемся свойством пропорции и получим
12  8  3x  2x .
Тогда
x 2  16 .
Значит х1  4; х2  4
ПРИМЕР. Решите уравнение
Если с < 0 в уравнении x 2  c , то корней в уравнении не будет, так как любое число в квадрате не может
быть отрицательным.
ПРИМЕР 5. Решите уравнение x 2  9 .
Нет корней.
ПРИМЕР. Решите уравнение x 2  1  0 .
Перенесем 1 в правую часть и получим x 2  1 . Нет корней
ПРИМЕР. Решите уравнение 4 x 2  9  0 .
Перенесем 9 в правую часть и получим
4 x 2  9 .
Значит
9
x2   .
4
Нет корней
Если с = 0 в уравнении x 2  c , то корень в уравнении будет единственный х = 0.
1 2
x 0.
4
Умножим левую и правую часть на 4 и получим x 2  0 . Тогда х = 0.
ПРИМЕР. Решите уравнение
7
Решите уравнения
2
2
1) 2 x 2  8  0 2)  x 2  24  0 3)  x 2  9  0 4) 3 x 2  15  0 5)  x 2  0
3
3
3
x 5
6)  x 2  15  0 7) 4 x 2  16  0 8) 
5
5 4x
Ответы. 1) х1  2; х2  2 . 2) х1  6; х2  6 . 3) нет корней. 4) х1   5 ; х2  5
5) х  0 6) у1  5; у2  5 7) нет корней. 8) х1  2,5; х2  2,5 .
Неполные квадратные уравнения. Вынесение за скобки
Если уравнение имеет вид
ax 2  bx  0 ,
то оно решается с помощью вынесения переменной х за скобки. Получаем
x  ax  b   0 .
Приравниваем к нулю каждый из множителей. Получаем, что
x  0 или ax  b  0 .
Значит в уравнении два корня
b
x0 и x   .
a
2
ПРИМЕР. Решите уравнение 4 x  3x  0 .
x  4 x  3  0
 x  0 и 4x  3  0 .
Тогда x  0 или x 
3
.
4
ПРИМЕР. Решите уравнение 2 x 2  8 x
ЕСЛИ МЫ ИМЕЕМ ДЕЛО С НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ, ТО В ПРАВОЙ ЧАСТИ
ВСЕГДА ДОЛЖЕН БЫТЬ 0. ЗНАЧИТ, МЫ ПРОСТО ОБЯЗАНЫ ПЕРЕНЕСТИ ВСЕ
СЛАГАЕМЫЕ ИЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ В ЛЕВУЮ ЧАСТЬ. ПРИ ЭТОМ НЕ ЗАБЫВАЕМ
ПОМЕНЯТЬ ЗНАК ПЕРЕНЕСЕННЫХ СЛАГАЕМЫХ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ!!! Да, есть
исключение этому правилу (неполные квадратные которые мы рассматривали выше), но в
большинстве случаев Вы должны придерживаться этого шаблона.
Перенесем все слагаемые в левую часть
2 x2  8x  0  2x  x  4  0

 x  0 или x  4 .
2 x  0 или x  4  0

Решите уравнения
2
1) 2 x 2  x  0 2)  x 2  24 x  0 3) x 2  5 x 4) x  3 x 2  0
3
1
1
Ответы. 1) х1  0; х2   . 2) х1  0; х2  36 . 3) х1  0; х2  5 4) х1  0; х2  
2
3
Полные квадратные уравнения
Квадратными называют уравнения, в которых старшая степень у переменной х равна 2.
Квадратные уравнения имеют вид
ax 2  bx  c  0 .
Обратите внимание, что коэффициент а находится перед х2, коэффициент b находится перед х, коэффициент с является свободным от х.
ПРИМЕР. Определить коэффициенты а, b, с в квадратном уравнении 12 x 2  17 x  6  0 .
Перед х2 коэффициент а =12, перед х коэффициент b = –17, свободный коэффициент с = 6.
ПРИМЕР. Определить коэффициенты а, b, с в квадратном уравнении 3  x 2  2 x  0 .
Для удобства можем переписать (а можем и не переписывать) уравнение в стандартном виде. Получим
 x2  2  x  3  0
8
Перед х2 коэффициент а =–1, перед х коэффициент b = 2, свободный коэффициент с = 3.
x2
ПРИМЕР. Определить коэффициенты а, b, с в квадратном уравнении x  3   0 .
2
Перед х2 коэффициент а =–1/2, перед х коэффициент b = 1, свободный коэффициент с = –3.
ПРИМЕР. Определить коэффициенты а, b, с в квадратном уравнении 2 x 2  8  0 .
Перед х2 коэффициент а = 2, слагаемого с х нет, значит коэффициент b = 0, с = –8.
ПРИМЕР. Определить коэффициенты а, b, с в квадратном уравнении 3 x 2  2 x  0 .
Перед х2 коэффициент а =–3, перед х коэффициент b = –2, свободный коэффициент с = 0, так как он отсутствует.
После нахождения коэффициентов а, b, с в квадратном уравнении надо найти дискриминант квадратного уравнения по формуле
D  b2  4  a  c .
И тут возможны три варианта:
1. Если D < 0, то корней в уравнении нет.
b
2. Если D = 0, то в уравнении один корень, который находится по формуле х 
.
2a
При этом важно понимать, что по сути мы будем иметь дело с формулой сокращенного умножения.
3. Если D > 0, то в уравнении два корня, которые находятся по формуле
b  D
b  D
х1 
; х2 
,
2a
2a
где D  b 2  4  a  c  0 .
ПРИМЕР. Решите уравнение: 7 x 2  x  8  0 .
Перед х2 коэффициент а =7, перед х коэффициент b = –1, свободный коэффициент с = –8.
Найдем дискриминант
2
D  b2  4  a  c   1  4  7   8  225 .
Так как дискриминант больше нуля, то в уравнении два корня. Найдем корни
b  D   1  225 1  15
b  D   1  225 1  15 8
х1 


 1; х2 


 .
2a
27
27
2a
27
27 7
ПРИМЕР. Решить уравнение 6  12  x 2  17  x  0

Перед тем как начинать решение квадратного уравнения (это не относится к квадратным неравенствам, там все будет немного иначе) я настоятельно рекомендую привести его к виду, при
котором коэффициент а будет больше нуля. Так же я рекомендую перегруппировать члены
уравнения так, чтобы сначала было слагаемое ax2, потом bx и лишь потом c. ЭТО ИЗБАВИТ
ВАС ОТ ДЕТСКИХ ОШИБОК ПРИ РЕШЕНИИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Сначала перегруппируем
12 x 2  17 x  6  0 .
А теперь умножим левую и правую часть уравнения на –1, чтобы коэффициент а стал положительным
12 x 2  17 x  6  0 .
Важно понимать, что эти действия никак не повлияют на корни уравнения.
Перед х2 коэффициент а =12, перед х коэффициент b = –17, свободный коэффициент с = 6.
Найдем дискриминант
2
D  b2  4  a  c   17   4 12  6  1.
Так как дискриминант больше нуля, то в уравнении два корня. Найдем корни
b  D   17   1 17  1 2
b  D   17   1 17  1 3
х1 


 ; х2 


 .
2a
2 12
24
3
2a
2 12
2 12 4
9
ПРИМЕР. Решите уравнение 5 z  14  z 2 .
Перенесем z2 в левую часть и найдем корни квадратного уравнения
 z 2  5 z  14  0 .
Так как коэффициент а отрицательный, то удобно умножить левую и правую часть уравнения на –1,
чтобы коэффициент а стал положительным. Получаем
z 2  5 z  14  0
Находим дискриминант, затем корни 2 и –7.
ПРИМЕР. Решите уравнение у 2  3 у  5  0 .
Найдем дискриминант D = 29. Обратите внимание, что дискриминант может быть и «некрасивым», то
3  29
3  29
есть корень из него может не являться целым числом. Найдем корни у1 
; у2 
2
2
ПРИМЕР. Решите уравнение 4 x 2  4 x  1  0 .
Найдем дискриминант
D  16  4  4 1  0 .
Так как дискриминант равен нулю, то корень в уравнении единственный
4
1
x
 .
24 2
С другой стороны (как я говорил ранее), если Вы получили дискриминант равный нулю, то Вам надо
увидеть формулу сокращенного умножения
4 x 2  4 x  1   2 x   2  2 x 1  1   2 x  1  0
Корень такого уравнения найти очень просто. Если число во второй степени равно нулю, значит
и само число равно нулю
1
2
 2 x  1  0  2 x  1  0  x 
2
2
2
2
Решите уравнения
1) 2 x  5 x  3  0 2) 3t  3t  1  0 3) y  20 y  20 y  100
2
2
4)  3x  1 x  3  x 1  6 x 
2
x2  x 8x  7

5)
6) 7  0,2t 2  0,4t 7) 36 x 2  12 x  1  0
2
3
1
Ответы. 1) х1   ; х2  3 2) корней нет 3) у1  20  10  5 ; у2  20  10  5
2
7
1
7  13
7  13
4) x1 
5) х1  ; х2  2 6) х1  7; х2  5 7) х 
; x2 
3
6
6
6
Так же найдя корни квадратного уравнения можно разложить квадратный трехчлен на множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
где x1 и x2 корни уравнения. И НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ЗАБЫВАЕТЕ ПРО КОЭФФИЦИЕНТ а,
КОТОРЫЙ БУДЕТ СТОЯТЬ В САМОМ НАЧАЛЕ!!!
ПРИМЕР. Разложить на множители квадратный трехчлен x2 – 4x + 3.
Найдем корни данной квадратичной функции: x1 = 1 и x2 = 3. Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем:
x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3).
Теорема Виета.
Некоторые задания, связанные с корнями квадратного уравнения, проще выполнить при помощи теоремы Виета. Теорема. Если квадратный трехчлен ax2 + bx + c = 0 имеет корни, то справедливы следующие
соотношения:
b
c
x1  x2   , x1 x2  .
a
a
10
Верно и обратное утверждение: если числа x1 и x2 удовлетворяют равенствам
b
c
x1  x2   , x1 x2 
a
a
2
то эти числа являются корнями квадратного уравнения ax + bx + c = 0.
Знание Теоремы Виета может ускорить решение задачи, но может привести и к ошибке, если Вы не будете проверять наличие корней в уравнении, то есть находить дискриминант и сравнивать его с нулем.
ПРИМЕР. Найдите произведение всех корней уравнения  2 x 2  3x  4  2 x 2  5x  4   0 .
Казалось бы, ответ равен –4, так для первой скобки произведение корней –2, а для второй +2. Однако
нахождение дискриминанта каждого из множителей приводит к выводу, что при приравнивании первой
скобки к нулю корни есть, а при приравнивании второй скобки к нулю корней не будет (отрицательный
дискриминант). Значит, правильный ответ –2.
Решите примеры с помощью теоремы Виета
1. Если x1 и x2 – корни уравнения x 2  5 x  17  0 , то значение выражения x12  x22 равно… (59/289)
2. Если x1 и x2 – корни уравнения 2 x 2  3 x  4  0 , то значение выражения x14  x24 равно… (497/16)
11
1.02. Уравнения, сводящиеся к квадратным
3
1
3

 2
2
x  9 9  6x  x
2x  6x
ОДЗ запишем позже. Сначала приведем дроби к общему знаменателю.
Перед приведением к общему знаменателю постарайтесь разложить на множители каждый из знаменателей. Для этого необходимо поочередно проверить на возможность выполнения следующих действий:
1. вынесения за скобки;
2. использования формул сокращенного умножения;
3. разложение квадратичного трехчлена по формуле
aх2 + bх + с = а (х – х1)(x – х2)
2
где x1 и x2 – корни уравнения aх + bх + с = 0;
4. группировку.
В любом случае Вам надо научиться ВИДЕТЬ преобразования. Если не видите – проверяйте знаменатель по каждому из 4–х пунктов.
В первой дроби воспользуемся формулой разности квадратов, во второй дроби надо увидеть квадрат
разности, а в третей дроби просто вынесем за скобки 2x. Получим
3
1
3
3
1
3
 2
 2
0 


0
2
2
2
2
x  3 x  2  x  3  3 2x  6x
 x  3 x  3  x  3 2 x  x  3
ПРИМЕР. Решите уравнение
2

Один из признаков того, что вы делаете все правильно, – знаменатели начинают «играть» друг с другом.
Мы видим, что у знаменателей появляются общие множители. Теперь домножим на недостающие множители числитель и знаменатель каждой из дробей
2 x  x  3 / 2 x  x  3  /
 x  3 x  3 /
3

1
 x  3 x  3  x  3
2

3
0
2 x  x  3
Если перед дробью стоит знак «минус», то надо быть очень аккуратным и помнить, что минус перед
дробью поменяет все знаки слагаемых числителя на противоположные. Поэтому сначала запишем приведенную дробь без раскрытых скобок
3  2 x  x  3  1 2 x  x  3  3   x  3 x  3
0
2 x  x  3 x  3
И только теперь раскрываем скобки и приводим подобные.
ОЧЕВИДНО, ЧТО ДРОБЬ БУДЕТ РАВНА НУЛЮ, ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛИТЕЛЬ РАВЕН НУЛЮ. Поэтому при дальнейшем решении мы можем забыть про знаменатель.
Он нам нужен лишь для того, чтобы записать ОДЗ: x  0, +3 и –3.
Дальше можете дорешать самостоятельно.

x
1
2

 2
 0.
x 1 x 1 x 1
Когда записывать ОДЗ решать Вам. Можем записать сразу. А можем отложить это до конца решения. В
нашем случае очевидно, что корень уравнения не может быть равен +1 и –1. Знаменатели первой и второй дроби мы никак не можем преобразовать. Знаменатель третей дроби можно разложить при помощи
формулы сокращенного умножения
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Получится уравнение
x
1
2


 0.
x  1 x  1  x  1 x  1
Очевидно, что первую дробь домножим на (x – 1), а вторую на (x + 1). Тут мы имеем дело со случаем,
когда тупое перемножение знаменателей первой и второй дроби дает нам знаменатель третей дроби.
Приведя дроби к общему знаменателю получим уравнение
x2  2 x  3
 0,
x2 1
равносильное исходному. Это же уравнение равносильно системе
ПРИМЕР. Решите уравнение
12
 x2  2 x  3  0
.

x2  1

Квадратное уравнение имеет корни 3 и –1. Очевидно, что последний корень посторонний.
Ответ 3.
ПРИМЕР. Решите уравнение
x
3x  1
x  34
 2
 3
0
2 x  12 x  10 4 x  16 x  20 x  5 x 2  x  5
Зразу же записать ОДЗ для такого уравнения будет проблематично. Для начала приведем в «человеческий» вид знаменатели дробей. Очевидно, что знаменатели первой и второй дроби надо приравнять к
нулю, найти корни и разложить при помощи корней на множители. Получим
Первый знаменатель
Второй знаменатель
2
4 x 2  16 x  20  0
2 x  12 x  10  0
2
D  162  4  4   20   576  242
D  122  4  2 10  144  80  64  82
x  1
12  8
x1,2 
 3  2  1
x2  5
22
x1,2 
2 x 2  12 x  10  2  x  x1  x  x2  
x 1
16  24
 2  3  1
x2  5
24
4 x 2  16 x  20  4  x  x1  x  x2  
 2  x   1   x   5    2  x  1 x  5 
4  x  1  x   5    4  x  1 x  5 
Если вы сомневаетесь в правильности своих действий, то просто раскройте скобки и сравните
получившееся выражение с оригиналом. И не забывайте про коэффициент a перед x2.
Теперь займемся знаменателем третей дроби. Нужно увидеть, что там нам будет необходима группировка. Группировать можно будет двумя способами, но на конечный результат это не повлияет
x3  5x 2  x  5  x2  x  5  1 x  5   x  5  x 2  1   x  5 x  1 x  1
А можно группировать и по–другому
x3  5x 2  x  5  x3  x  5x 2  5  x  x 2  1  5  x 2  1   x 2  1  x  5   x  5 x  1 x  1
Таким образом, наше уравнение мы можем переписать в следующем виде. И сразу обращаем внимание
на то, что у всех знаменателей есть общие множители с соседними знаменателями. Это верный признак
того, что мне не ошиблись
x
3x  1
x  34


0
2  x  1 x  5 4  x  1 x  5   x  5  x  1 x  1
Вот сейчас можно не напрягаясь записать ОДЗ: x  –1, 1, –5. Теперь приведем к общему знаменателю.
2   x  1 /
4/
 x  1 /
x
3x  1
x  34


0
2  x  1 x  5 4  x  1 x  5   x  5  x  1 x  1
Получим
2   x  1  x   x  1 3x  1  4   x  34 
0
4  x  1 x  5 x  1
Далее раскрываем скобки, приводим подобные и решаем простое квадратное уравнение (как и в примере выше). И не забываем про ОДЗ!!!
2
 x2  6   5x 
ПРИМЕР. Решите уравнение  2
 
2 
 x 4  4 x 
Для того, чтобы понять и запомнить как решаются уравнения такого вида, решим простое уравнение
x2 = 25.
Очевидно, что у такого уравнения два корня:
x1 =  25 = +5 и x1 =  25 = –5,
то есть
x =  25 = ±5.
2
13
Аналогичное решение будет иметь и данное уравнение. Получим
x2  6
5x
x2  6
5x


и
2
2
2
x 4
4  x2
x 4 4 x
То есть мы извлекаем квадратный корень из правой и левой части уравнения.
Есть еще один способ решения таких уравнений. Вспомним формулу сокращенного умножения
a2 – b2 = (a + b)(a – b),
Применим ее к нашему уравнению
2
 x2  6   5x 
0
 2
 
2 
 x 4  4 x 
 x2  6
5x   x2  6
5x 


0
 2
2  2
2 
 x  4 4  x  x  4 4  x 
И опять получаем два уравнения, которые надо решать независимо друг от друга.
2
ПРИМЕР. Решите уравнение  x 2  4 x  x 2  x  6    x3  9 x  x 2  2 x  8
Самое глупое, что можно сделать при решении такого примера, это попытаться раскрыть скобки и привести подобные. Поэтому преобразуем каждое слагаемое уравнения.
В первом множителе первого слагаемого просто вынесем за скобки общий множитель
 x2  4 x   x  x  4
Второй множитель первого слагаемого раскладываем при помощи формулы
aх2 + bх + с = а (х – х1)(x – х2)
2
где x1 и x2 – корни уравнения aх + bх + с = 0. Получим
 x2  x  6   x  3 x  2
Со вторым слагаемым тоже проблем не будет
 x3  9x   x  x2  9  x  x  3 x  3 ,
x
2
 2 x  8   x  4  x  2 
А теперь перепишем уравнение с учетом преобразований
x  x  4  x  3 x  2   x  x  3 x  3 x  4  x  2 
ЕСЛИ СЕЙЧАС МЫ НАЧНЕМ СОКРАЩАТЬ НА ОДИНАКОВЫЕ МНОЖИТЕЛИ, ТО МЫ
ПОТЕРЯЕМ КОРНИ!!!
Запомните простое правило: если мы производим сокращение «числитель–числитель» –
мы теряем корни; если мы производим сокращение «числитель–знаменатель» – мы теряем ОДЗ. То есть любое сокращение надо производить с осторожностью!!!
Поэтому перенесем все в одну сторону и вынесем за скобки общие множители. Получим
x  x  4  x  3 x  2   x  x  3 x  3 x  4  x  2   0

x  x  4  x  3 x  2   1   x  3   0
А теперь приравниваем к нулю каждый множитель
x  0 ,  x  4   0 ,  x  3  0,
Решить каждое из уравнений не составит труда.
 x  2   0, 1   x  3   0
ПРИМЕР. Решите уравнение х(х–1)(х–2)=(х+1)(2х–4)(х+3)
Перенесем все члены уравнения в левую сторону
х(х–1)(х–2) – (х+1)(2х–4)(х+3)=0
х(х–1)(х–2) – (х+1)2(х–2)(х+3)=0
Оба слагаемых имеют один одинаковый множитель (х–2). Вынесем его за скобку
(х–2)(х(х–1)–(х+1)2(х+3))=0

(х–2)(х2–х–2х2–8х–6)=0
(х–2)(–х2–9х–6)=0
 (х–2)(х2+9х+6)=0
Левая часть уравнения – есть произведение двух сомножителей, правая – ноль. Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению двух уравнений: линейного и квадратного:
х–2=0
х2+9х+6=0
14
x1, 2 
х=2
 9  81  4  6
 9  57
 x1 
;
2
2
x2 
 9  57
.
2

 9  57 
Ответ:  2;
.
2


6 x  1  x2  1
12
12
 6x 1
ПРИМЕР. Решите уравнение  2
 2


: 2
2
 x  6 x x  6 x  x  36 x  1 x  x
На первый взгляд уравнение очень сложное. Однако не будем паниковать и разобьем пример на части.
Для начала разберемся с выражением в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю
 6 x  1   x  6    6 x  1   x  6  
6x 1
6x 1
6x 1
6x 1
 2



2
x  6x x  6x x  x  6 x  x  6 x  x  6   x  6 x  x  6   x  6

 6 x  1 x  6    6 x  1 x  6   6 x 2  36 x  x  6  6 x 2  36 x  x  6 
x  x  6  x  6 
x  x  6  x  6 
12  x 2  1
12 x 2  12


x  x  6  x  6  x  x  6  x  6 
Теперь разделим наш результат на дробь, стоящую за скобками
12  x 2  1
12  x 2  1
 x  6  x  6   12
x2  1
: 2


x  x  6  x  6  x  36 x  x  6  x  6 
x2  1
x
Дальше совсем просто
12   x  1
12  x  1  12 x
12 12
12
12  x
12
12







2
2
x x 1 x  x
x   x  1  x  1  x x  x
x  x  1
x  x2
12 x  12  12 x
12
12
12
12
12
12
12

 2





2
2
2
2
2
x  x  1
xx
x x xx
xx
x  x2
x  x  x  x
Мы получили тождество. А это значит, что корней бесконечное множество. Так? Нет, не так! Корнями
могут любые числа, которые удовлетворяют ОДЗ. В нашем случае, корнями не могут быть числа 0 и ±6.
Так что всегда помним про ОДЗ!!!
Тест 1.02.
Решите уравнения
2x
1
4

 2
0
1.
x2 x2 x 4
1
1. 
2. 0,1 3. 2 4. –2
2
2
3
15

 2
2. 2
x  5x 2 x  10 x  25
4
1. 0,5 2. –5 3. 
4. 5
3
19  2 x
2x  9
4x
 2
 2
3. 2
x  5 x  4 x  3x  2 x  6 x  8
1. 0,5 2. –5 3. 5 4. 0,25
25 24
4. 1  2 
x
x
1. –1 2. 25 3. 1; 25 4. –1; 25
4
16x  1
 2,5  4 x
5.
16x 2  4
1. –4 2. –5 3. 2 4. –4,5
2
6. (3x  3x  5) 2  (2x 2  6x  3) 2
1. 1; 8 2. 1 3. 8 4. –1; –8
7. (2 x  8) 2 (13x  39)  26(4 x 2  64)( x  3)
1. –4; 12 2. 3; 12 3. –4; 3 4. –4; 3; 12
2
8. x  5 x x 2  3x  28  x 3  16x x 2  2 x  35
1. –5; –4; 0;5; 7 2. –5; –4; 0;5
3. –4; 0;5; 7 4. –5; –4; 7
9. Найти сумму корней (или корень, если он один)
2x
27
6
 2

 1.
уравнения
x  4 2x  7x  4 2x  1
1
4
1. 0 2.  3. 1 4. 
3
3
2
3x  1 x  27 x  10 x  1
 2

10. x  3 x  2 x  15 x  5
1. –1 2. –2 3. –3 4. –4
1
1
15
2
3
3
4
4
4
5
4
6
1
7
4
8
1
9
2
10 11
4 1
1.03. Использование группировки
при решении уравнений
Слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же
множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
ПРИМЕР. Разложить на множители многочлен x3 – 3x2y – 4xy + 12y2.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
x3 – 3x2y – 4xy + 12y2 = (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2).
В первой группе вынесем за скобку общий множитель x2, а во второй 4y. Получаем:
(x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2) = x2(x – 3y) – 4y(x – 3y).
Теперь общий множитель (x – 3y) также можно вынести за скобки:
x2(x – 3y) – 4y(x – 3y) = (x – 3y)(x2 – 4y).
Если вы не видите что с чем надо группировать – пробуйте просто перебирать слагаемые .
Ответ. (x – 3y)(x2 – 4y).
ПРИМЕР. Решите уравнение x3 +x2 – 4x – 4 = 0
Если вы не видите группировку, то просто группируйте первое слагаемое со вторым и два остальных.
Пытайтесь найти общие множители и вынести их за скобки. Не получилось? Группируйте первое слагаемое с третьим и опять начинайте поиск. Рано или поздно вы увидите группировку.
Сгруппируем
x2 (x +1) – 4(x +1) = 0
(x + 1)(x2 – 4) = 0
(x + 1)(x – 2)(x + 2) = 0
x +1 = 0; x – 2 = 0; x + 2 = 0
Ответ: x =–1; x = 2; x = −2
ПРИМЕР. Решите уравнение x3 +1991x +1992 = 0
Тут немного сложней. У нас всего 3 слагаемых, а для группировки количество слагаемых должно быть
четным. Внимательно смотрим на уравнение. Обращаем внимание на то, что коэффициент при первом
слагаемом 1, при втором 1991. При этом третье слагаемое равно сумме этих коэффициентов и мы имеем
полное право сделать из одного слагаемого два. Теперь надо увидеть группировку
x3 +1991x +1991 + 1 = 0
x3 +1 + 1991x +1991 = 0
Первых два слагаемых представляют собой сумму кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для кубов
(x + 1)(x2 – x + 1) + 1991(x +1) = 0
(x + 1)(x2 – x + 1 + 1991) = 0
(x +1)(x2 – x +1992) = 0
Кубы не входят в программы ЦТ, но на этом примере вы должны понять как из трех слагаемых, не пригодных для группировки, сделать четыре, которые будут красиво группироваться.
Ответ: –1.
ПРИМЕР. Решите уравнение 2x3 +3x – 5 = 0
Тут практически аналогичная ситуация. Надо увидеть, что 2 + 3 = 5 и получить группировку
2x3 +5x –2x –5 = 0
2x3 –2x + 5x –5 = 0
2x(x2 – 1) + 5(x – 1) = 0
2x(x + 1)(x – 1) + 5(x – 1) = 0
Теперь выносим за скобки (x – 1)
(x – 1)(2x2 + 2x + 5) = 0
В первом уравнении x = 1. Во втором 2x + 2x + 5 = 0 – корней нет
Ответ: 1.
16
ПРИМЕР. Решите уравнение x4 –x3 – 7x2 + x + 6 = 0
И опять мы имеем дело в нечетным количеством слагаемых. И опять надо увидеть, что 1 + 6 = 7. Получим группировку:
x4 – x3 –6x2 –x2 +x +6 = x2 (x2 − x − 6) − (x 2 − x − 6) = (x2 – x – 6) (x2 − 1) = 0
Ответ: –2;–1; 1; 3.
ПРИМЕР. Решите уравнение 3 
27
81
 x2  3  0
x
x
Надо увидеть группировку:
 81   27 2 
 27  2  27 
 27 
2
 3  3     x   0  3   1  3   x   3  1  0   3  1  3  x   0
x   x


 x 
x

x

ЕСЛИ ВЫ НЕ УВЕРЕНЫ В ПРАВИЛЬНОСТИ СВОЕЙ ГРУППИРОВКИ – РАСКРОЙТЕ
СКОБКИ И СРАВНИТЕ ПОЛУЧИВШЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ С ОРИГИНАЛОМ!
Очевидно, что  3  x 2  не может быть равно нулю. Следовательно

27
 1  0  x3  27  x  3
x3
А можно было просто умножить каждое слагаемое на x3. Получим
3 x 3  27 x 2  x 5  81  0
Перегруппируем
3 x 3  x 5  27 x 2  81  0
и начнем выносить за скобки
x3 3  x 2  27 x 2  3  0  3  x 2 x3  27  0







Ответ: –3.
ПРИМЕР. Решите уравнение x4 – 25x2 + 60x –36 = 0
Надо увидеть группировку
x 4 – (25x 2 – 60 x + 36)=0
Второе слагаемое представляет собой квадрат разности
x4 – (5x – 6)2=0
А теперь надо увидеть разность квадратов
(x2)2 – (5x – 6)2=0
2
(x – (5x – 6))(x2 + (5x−6))=0
Получаем два квадратных уравнения
x 2 – 5x + 6 = 0 и x2 + 5x−6=0
Ответ: 3; 2:–6; 1.
Тест 1.03.
1. Решить уравнение: 2 x  3x  16x  24  0
6. Решить уравнение: x 4  3 x 3  x  3  0
1. –2 2. –1,5 3. 2; 1,5 4. –2; –1,5
1. –1; 4 2. 3; 4 3. 4 4. –1; 3
3
2
7. Найти произведение корней уравнения:
2. Решить уравнение: x  3 x  16x  48  0
1. –3; 3 2. –4; –3; 4 3. –4; 4 4. –3
9 x 4  4x 2  4x  1  0
4
3
1. –1,3 2. –1/3 3. 1,3 4. 0
3. Решить уравнение: x  2 x  x  2  0
8.
Найти
сумму корней уравнения:
1. –4; –1; 4 2. 4; 6 3. –2; 1; 4. –4; 2
2
100x  49x 4  20x  1  0
8
4. Решить уравнение: 10 x 3  x 2  80   0
1. 0 2. 3/4 3. –1/10 4. 1/10
x
1. −0,1; 2 2. 2; 4 3. 0,5; 1,5 4. 0; 0,5
1 2 3 4 5 6 7 8
5. Решить уравнение: x3  3x 2  2  0
4 2 3 1 2 4 2 1
1. 1 2. 1; 1  3 3. нет решений 4. –1
4
3
17
1.04. Простые замены переменных
Что значит использовать замену переменных при решении уравнений? Если у нас имеется уравнение, то
мы имеем право заменить повторяющиеся множители в уравнении на мифическую переменную. Найдя
эту переменную мы потом легко решим уравнение.
При этом важно понимать, что:
1. Не должно остаться не замененных переменных.
2. Переменная и ее замена должны иметь разные степени. Например, не имеет смысла заменять 5x на t.
Сразу скажу, что важно научиться ВИДЕТЬ замену. Но лучше всего Вы поймете это на примерах.
ПРИМЕР. Решите уравнение  x 2  3x  1 x 2  3x  3  1  0 .
Если мы начнем раскрывать скобки, то получим уравнение 4–й степени, которое решать не умеем. Однако мы можем сразу увидеть одно повторяющееся выражение – x 2  3 x . Именно его мы и заменим.
При этом не замененных переменных не останется. Пусть x 2  3 x  t . Тогда уравнение примет вид
 t  1 t  3  1  0  t 2  4t  4  0  t  2
А теперь вспомним, что t  x 2  3 x . Откуда получаем
x2  3x  2  x2  3x  2  0  x1  1, x2  2 .
Есть и еще один вариант замены. Перепишем уравнение в немного ином виде
 x2  3x  1 x2  3x  1  2  1  0
Cразу обращаем внимание на то, что у нас есть повторяющееся слагаемое x 2  3 x  1 . Пусть это слагаемое и будет равно мифической величине t  x 2  3 x  1 . Тогда
x 2  3x  3  t  2
и наше уравнение становится таким
t  t  2   1  0  t 2  2t  1  0  t  1.
И мы опять приходим к уравнению
x 2  3 x  2  0.
Обращаю Ваше внимание на то, что обе замены равноценны и приводят к одинаковому
результату. Однако, чем проще замена, тем лучше. Поэтому не старайтесь впихнуть в
замену свободные коэффициенты. Это можно делать только тогда, когда Вы уже обладаете достаточно большим опытом решения уравнений с заменой.

x2  x  5
3x
 2
4  0.
x
x  x 5
Перепишем уравнение в немного ином виде
x2  x  5
x
 3 2
40
x
x  x 5
x2  x  5
 t . Тогда
Теперь точно видно, что в уравнении мы можем заменить. Пусть
x
x
1
 .
2
x  x5 t
Отсюда получаем уравнение
3
t   4  0  t 2  4t  3  0  t1  3, t2  1.
t
Следовательно, исходное уравнение равносильно системе
 x2  x  5
 3

 x 2  4 x  5  0
x
 2
.
 2
 x  x  5  1  x  2 x  5  0

x
Дорешайте пример самостоятельно.
Ответ: 1; −5; 1  6 .
ПРИМЕР. Решите уравнение
18
ПРИМЕР. Решите уравнение  x2  6 x   2  x  3  81.
2
2
Если замена не очевидна, то надо провести минимальный анализ уравнения. Первую скобку в любом
случае не трогаем, так как если попытаемся ее раскрыть, то получим сразу 4–ю степень. Значит надо
раскрыть вторую скобку. Других вариантов нет. После возведения в квадрат получаем
x
2
 6 x   2  x2  6 x  9   81.
2
Пусть x 2  6 x  t. Получаем  t   2  t  9   81. Дорешайте пример самостоятельно. Ответ: 3; 3  20 .
2
ПРИМЕР. Решите уравнение  2 x2  3x  1  10 x2  15x  9  0.
2
И опять первую скобку не трогаем. Однако замечаем, что у второго и третьего слагаемых есть общий
множитель, который мы и вынесем за скобки
 2x
2
 3x 1  5  2 x2  5  3x  9  0 
2
2x
2
 3x 1  5  2 x2  3x   9  0.
2
Очевидно, что 2 x 2  3x  t. Получаем
 t 1
 5  t   9  0.
Дорешайте пример самостоятельно. Ответ: −2; 1/2; −5/2; 1.
2
ПРИМЕР. Решите уравнение x 4  x 2  2  0
Тут тоже особых проблем не будем. Вспоминаем одно из свойств степени: a xy   a x  . Согласно этому
y
свойству x4  x22   x 2  . Уравнение примет вид
2
x 
2 2
 x2  2  0
Пусть x 2  t . Дальше все просто.

Важный вывод. При помощи замены мы разбиваем решение СЛОЖНОГО уравнения на несколько ПРОСТЫХ этапов.
Тест 1.04.
1. 1; –5; –3 2. 1
x  2x  1 x  2x  2 7
 2

1. Решите уравнение: 2
3. 0; 1; 2; 3; 4 4. 1;5;1  6
x  2x  2 x  2x  3 6
8.Произведение корней уравнения
1. 0; –2 2. –2; 4 3. 0; 4 4. 0; –2; 4
24
15
(x 2  6x) 2  2(x  3) 2  81 равно:
 2
2
2. Решите уравнение: 2
x  2x  8 x  2x  3
1. 22 2. –33 3. 11 4. 44
1. 0; –2; –3 2. –2; –3
9. Решите уравнение:
 2  66
8x 2  3x  12  32x 2  12x  1
3. 0; 2 4. 0;2;
2
3 3  73
1. 0; ;
2. 3,8 3. 0 4. 0; 3,8
3. Решите уравнение: x 6  9 x 3  8  0
8
16
1. –2; 0 2. –1; –2 3. –1; –2; –2,3 4. –2
10. Решите уравнение:
х4
2х 2
x  42 x  10x  2  243  0
4. Решите уравнение:

1  0
2
2х  3 2х  3
1. –7; –1 2.  7;1;4  3 3
1. –1; 3 2. –1; 3; 4 3. –1; 4 4. 4; 5
3. –7; –3; –1,25 4. –1,25
3
2
 3 x  x
5. Решите уравнение:
11. Решите уравнение:
1 x  x2
16
20

1
1. –1; –2; 6 2. –3; –2; –1 3. –1; –2; 0; 1 4. –1

x  6x  1 x  2x  3
2
x  x 3
3
 2
1
6. Решите уравнение:
1. –7; –6; –5; –4 2. –7; –6; 0 3. 2; 3; 4 4. –7; 2
2
2x  2x  6
1. –3; 1; 2; –2 2. –2; –3 3. 0; 1; 2; 3 4. 1; 23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x2  x  5
3x
1 4 2 1 3 1 4 2 1 2 4
 2
40
7. Решите уравнение:
x
x  x5
19
2
2
1.05. Сложные замены переменных
ПРИМЕР. Решите уравнение  x  1 x  x  1 x  2   24
При решении уравнений подобного вида не спешите раскрывать скобки. Бездумное раскрытие скобок
приведет нас к уравнению четвертой степени, которое мы не сможем решить. Поэтому надо найти выгодный способ группировки множителей. Правило раскрытия очень простое: перемножьте те скобки, в которых СУММЫ свободных коэффициентов будет одинаковы. В первой скобке свободный
коэффициент –1, второй 0, третей +1, четвертой +2.
У первой и второй скобки сумма свободных коэффициентов –1, у третей и четвертой +2. Не подходит.
Если взять вторую и третью скобки сумма будет +1, первую и четвертую – сумма тоже будет +1. Подходит. В нашем случае группировка будет такой
 x  2 x 1   x  x  1  24 .
Раскроем внутренние скобки
 x2  x  2 x2  x   24 .
Сделаем замену
x2  x  t .
Получим
 t  2  t   24
Дорешайте пример самостоятельно. Ответ: −3; 2.
ТАКОЙ СПОСОБ РАСКРЫТИЯ СКОБОК МЫ БУДЕМ ПРИМЕНЯТЬ, ЕСЛИ У НАС В
ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧЕТЫРХ СКОБОК, А В ПРАВОЙ
ЧАСТИ ПРОСТО ЧИСЛО (без переменной х).
В некоторых сборниках задач для решения таких уравнений рекомендуют перемножать скобки с максимальным и минимальным значением свободных коэффициентов и две остальные. В принципе этот
способ тоже работает. Если Вы забыли правило группировки скобок, просто вспомните, что их надо открывать парами. Не получилась первая пара – пробуйте еще одну.

ПРИМЕР. Решите уравнение  x  2  x  3 x  8 x  12   4 x 2
В этом случае надо догадаться сгруппировать и раскрыть скобки так, чтобы ПРОИЗВЕДЕНИЯ
свободных коэффициентов были одинаковыми. Если мы сгруппируем первую скобку со второй и
третью с четвертой, то произведения свободных коэффициентов будут равны 6 и 96 соответственно.
Это нам не подходит. Надо увидеть, что нам необходимо перемножить первую скобку с четвертой и
вторую с третей. Тогда мы получим
 x  3 x  8 x  2 x  12  4 x2   x2  11x  24 x2  14 x  24   4 x2
Так как x = 0 не является корнем уравнения, то мы можем спокойно вынести x из каждой скобки. Получим
24  
24 
24 
24 


x  x  11   x  x  14    4 x 2   x  11   x  14    4
x  
x 
x 
x 


В этом примере дабы избежать больших чисел при расчетах мы можем включить свободный коэффици24
24
24
24


ент в замену. Пусть x   11  t  x   14  x   11  3   x   11  3  t  3 . Уравнение
x
x
x
x


примет вид
t  t  3  4
Дорешайте пример самостоятельно.
ТАКОЙ СПОСОБ РАСКРЫТИЯ СКОБОК МЫ БУДЕМ ПРИМЕНЯТЬ, ЕСЛИ У НАС В
ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧЕТЫРХ СКОБОК, А В ПРАВОЙ
ЧАСТИ x2.




ПРИМЕР. Решите уравнение 2 x2  3x  1 2 x 2  5x  1  9 x 2 .
В этом примере нам не надо гадать как сгруппировать скобки перед их раскрытием. Сразу проверкой
устанавливаем, что 0 не является корнем уравнения. Поэтому выносим из каждой скобки x. Получаем
20
1 
1
1 
1


x  2 x  3   x  2 x  5    9 x 2   2 x  3   2 x  5    9.
x 
x
x 
x


Очевидная замена
2x 
1
t .
x
Дорешайте пример самостоятельно.
2  2 3  7
Ответ:
.
;
2
2



2

ПРИМЕР. Решите уравнение x2  2 x  2  3x x 2  2 x  2  10 x 2
Тут немного сложней. Надо заметить, что каждое слагаемое представлено как в первой степени, так и в
квадрате. У нас есть как x, так и x2. Так же у нас есть (x2 – 2x + 2) и (x2 – 2x + 2)2. В таких уравнениях мы
будем делить каждое слагаемое на один из таких множителей в квадрате. В нашем случае, поскольку 0
не является корнем данного уравнения, разделим каждое слагаемое на x2. Получим
x
2
 2x  2
x
3
2
x2
После сокращений получим
x
2
 2x  2
x2
Заменим
x
2
2
2
 2x  2 x
x2
x
3
2
 2x  2
x
 2 x  2
x
Тогда получим
10 x 2
 2 .
x
 10
t.
t 2  3t  10  0.
Дорешайте пример самостоятельно.
Ответ: −1; −2; 2  2 .
Не получается ловко обращаться со степенями? Есть еще один способ.
Пусть x  a и  x 2  2 x  2   b . Тогда уравнение примет вид
b 2  3ab  10a 2
Перенесем все слагаемые в правую часть и разделим каждое из них на a2. Получим
2
b2  3ab  10a 2  0 
b2 3ab 10a 2
b
b
 2  2  0     3  10  0
2
a
a
a
a
a
b
 t . Получим
a
t 2  3t  10  0
Решим уравнение и найдем t. Потом вспомним чему равно t. Потом вспомним чему равно b и a.
Используйте этот метод замены, если Вы не очень уверенно работаете со степенями.
И теперь опять сделаем замену. Пусть



2

ПРИМЕР. Решите уравнение x2  x  1  x 2 3x 2  x  1
Немного помучаемся с преобразованием данного уравнения. Сначала поколдуем внутри правой скобки,
а потом откроем скобки в правой части уравнения не полностью, а частично. Получим
x
2
 x  1  x 2  2 x 2  x 2  x  1
2
 x  x  1  x   2 x    x  x  1  .
 x  x  1  2 x  x  x  x  1
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
Так как 0 не является корнем уравнения, то разделим на x4 и получим
21
x
x
Замена следующая
2
 x  1
x2
2
 x  1
x
x
 2
2
4
2
 x  1
x2
.
 t . Уравнение примет вид
t2  t  2  0 .
Дорешайте пример самостоятельно.
1  5
Ответ: 1; −5;
.
2
ЧТО В ПОСЛЕДНИХ ДВУХ ПРИМЕРАХ БЫЛО ОБЩИМ? Обратите внимание на то, что оба примера в общем виде можно было записать как
Eb2  x   Fb  x  a  x   Ga 2  x   0 ,
где E, F и G – коэффициенты. В наших решениях мы делали не что иное, как делили все слагаемые
уравнения на a 2  x  и получали новое уравнение
b2  x 
b  x a  x
a2  x 
E 2
F

G
0 
a  x
a2  x 
a2  x 
 b  x 
b  x
E 
G  0
  F
a
x
a
x






2
b  x
на t. Уравнения такого вида называются ОДНОРОДНЫМИ.
a  x
ОЧЕНЬ ВАЖНО ПОНЯТЬ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТАКИХ УРАВНЕНИЙ, ТАК КАК
УРАВНЕНИЯ ТАКОГО ТИПА ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮТСЯ НА ЦТ.
и потом заменяли

Решим еще одно однородное уравнение.
ПРИМЕР. Решите уравнение  x2  x  1  6 x2  x2  x  1  5x4  0
4
2
И опять вспоминаем свойство степени: a xy   a x  . При его помощи преобразуем уравнение
y
x
2
 x  1  6 x 2  x 2  x  1  5 x 4  0
4
2

 x  x  1   6x  x  x  1  5  x   0
2
2 2
2
2
2
2 2
Вот конкретно в этом уравнении я бы настоятельно рекомендовал переходить к замене на a и b. Пусть


2
x 2  a и x2  x  1  b . Получим
b 2  6ab  5a 2  0
Ну а дальше действуем как в примере выше.
2x
3x
5
 2

x  4x  2 x  x  2
4
Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, разделим числитель и знаменатель каждой дроби
на x. Получим
2x
3x
5
2
3
5
x
 2 x

 2
 2

2
x  4x  2 x  x  2
x 4x 2 x
x 2
4
4
 
 
x
x
x
x x x x x
2
3
5

 .
2
2
4
x4
x 1
x
x
Замена очевидна
2
x t.
x
Получаем уравнение
ПРИМЕР. Решите уравнение
2
22
2
3
5

 0
t  4 t 1 4
Дорешайте пример самостоятельно.
Ответ: 1; 2; 2  2 .
Тест 1.05.
1. Решите уравнение
x  4x  2x  8x  14  1204
5  21
 5  21
5  21
 5  21
2.
3.
4.
2
2
2
2
2
2
x  6x  9 x  4x  9
8. Решите уравнение
 2
x
x  6x  9
5  61
1. –1; 9 2.
;1;9. 3. –9; –1 4. –9
2
9. Решите уравнение
x 2  5 x  4 x 2  x  4 13

 0
x2  7x  4 x2  x  4 3
1. 1 2. –1; 4 3. –1; 3 4. 1; 4
10. Решите уравнение
1.
1.  5  95 2. –5; 5 3. 95 4. 5
2.Произведение корней уравнения
33
x( x  2) 
равно:
( x  4)( x  6)
1. 11 2. –33 3. –3 4. 10
3. Решите уравнение
x  3x  1x  5x  7  16
1. –4 2. –4; 4 3. –4; 0; 4 4. 4  5
4. Решите уравнение
12x  16x  14x  13x  1  5
1 1
1. 0,5 2. ;
3. –0,5 4. 1; 0,5
2 12
5. Решите уравнение
4x  5x  6x  10x  12  3x 2  0
x
2
 3x  1  3x  1x 2  3 x  1  4 x  1
2
2
 1  13
2. –2; 2 3. –2; 0; 2 4. 0
2
11. Решите уравнение
1. 2  2 ;
x
 x   5x 2  x  x 2  6 x 4  0
1. 0; 1 2. –1; 0; 1
3. 0; 2  1; 3  1 4. –2; –1; 0
12. Решите уравнение
15  35  265
15  35  265
2.  ;
;
2
2
2
2
15 35  265
15  35  265
3.  8; ;
4.  8; ;
2
2
2
4
6. Решите уравнение
x  4x  5x  10x  2  18x 2
1.  8;
4
2
3x
2
2
 7 x  2  5 x 2 3x 2  7 x  2  24x 4  0
2
2  7  137
;
7
22
9 10 11 12
4 1 3 4
1. 0,5 2. –0,5; 0; 0,5 3. 7; 8 4.
1.  4;5;5  3 5 2. –4; –5 3. –4; 5 4. 5
3x
2x
8
 2

7. Решите уравнение 2
x  1  4x x  1  x 3
1
1
23
2
3
3
4
4
2
5
4
6
1
7
3
8
2
1.06. Очень сложные замены переменных
Для того, чтобы успешно решать уравнения из этой темы Вам надо будет понять (не запомнить, а именно понять) следующие преобразования.
Вспомним формулу сокращенного умножения a 2  2ab  b2   a  b  . Ее можно переписать в виде
2
a 2  b2   a  b   2ab
2
Аналогично для разности a 2  2ab  b2   a  b  . Переписываем под себя
2
a 2  b2   a  b   2ab
Можно не запоминать эти преобразования. Достаточно помнить формулы сокращенного умножения и
уметь переносить слагаемые через знак равно. Смысл всех вышеприведенных преобразований сводится
(грубо говоря) к замене чисел в степенях на эти же числа, только без степеней.
2
1 1

4
x x2
Для начала перегруппируем слагаемые уравнения
1  2 1 

x x  2   4
x 
x 

1
1
1

Очевидно, что x   t . А что делать с x 2  2 ? Не сделайте типичную ошибку –  x 2  2   t 2 !!!
x
x
x 

1

Для начала рассмотрим очень простой сделать замену. Пусть  x    t . Возведем во вторую степень
x

правую и левую часть равенства. Получим
ПРИМЕР. Решите уравнение x 2  x 
2
1
1 1
1

2
2
2
2
2
 x    t  x  2 x   2  t  x  2  t  2
x
x x
x

Наше уравнение примет вид
t   t 2  2  4
Дальше все просто. А теперь второй способ. Воспользуемся формулой a 2  b2   a  b   2ab . Получим
2
2
2
1
1 
1
 2 1  
2
 x  2    x    2 x   x    2  t  2
x
x
x
x

 



Результат такой же, как и в первом случае. Какой способ выбрать решать Вам.
x 2 48
 x 4
 2  10    .
ПРИМЕР. Решите уравнение
3 x
3 x
Данное уравнение лучше записать так
 x 2 16 
 x 4
3   2   10    .
3 x
 9 x 
Что сделать, если сомневаетесь правильно ли вынесли за скобки? Правильно! Раскрыть скобки!!! Пусть
x 4
2
  t , тогда согласно формулы a 2  b2   a  b   2ab получим
3 x
2
2
8
 x 4
2
     t 
3
3  x
и наше уравнение примет вид
8

3  t 2    10t.
3

x 4
А теперь опять попробуем простым способом. Пусть   t . Возведем правую и левую часть замены
3 x
во вторую степень. Получим
24
2
x2
x 4 16 2
x 2 8 16 2
x 2 16 2 8
2
 x 4


t


2




t




t

 t 

  
9
3 x x2
9 3 x2
9 x2
3
3 x
Мы получили тот же результат, что и при первом способе. Так что выбор в способе решения за Вами.
Дорешайте пример самостоятельно.
Ответ: −2; 6; 3  21 .
ПРИМЕР. Решите уравнение x 4  3x3  8 x 2  12 x  16  0
Проверкой устанавливаем, что 0 не является корнем уравнения. Поэтому разделим обе части уравнения
на x2 и сгруппируем. Получаем
2
12 16
16
12
4
4

 2  0  x 2  2  3x   8  0  x 2     3  x    8  0 .
x x
x
x
x
x

4
2
Очевидная замена x   t . Тогда согласно формулы a 2  b2   a  b   2ab получим
x
x 2  3x  8 
2
4
4
x2     t 2  2  x   t 2  8 .
x
 x
2
Уравнение с учетом замены примет вид t  8  3  t   8  0 . Проверим по второму способу
2
4
4 16 2
16 2
16 2

2
2
2
2
 x    t  x  2 x  2  t  x 8 2  t  x  2  t  8
x
x x
x
x

И опять все получилось. Дорешайте пример самостоятельно.
Ответ: −1; 4;  2 .
ПРИМЕР. Решите уравнение x 
2
81x 2
 x  9
2
 40
2
 9x 
Заметим, что 81x = (9x) и перепишем уравнение в немного другом виде x  
  40 . А теперь
 x9
2
2
2
два варианта. Пользуемся формулой a 2  b2   a  b   2ab либо формулой a 2  b2   a  b   2ab . Одна
из них должна «сыграть» и внутри скобок получится тоже самое, что и снаружи. Попробуем первый вариант
2
2
2
9x 
9x  x2  9x  9x 
x2
 9x  
x 

x


2

x



18
 40


 

x9
x9 
x9
x9
 x9 

Хм… Не получилось. Значит, пробуем второй вариант
2
2
2
2
2
9x 
9x  x2  9x  9x 
9x  x2 
x2
 9x  
x 


 40
  2x
  18
 x
  2 x
x9
x9 
x9
x9  x9
x9
 x9 

2
2
2
А вот теперь все отлично. Пусть
x2
 t . Дорешайте пример самостоятельно.
x9
Ответ: 1  19 .
Иногда в примерах такого типа «играет» не квадрат разности, а квадрат суммы. Все зависит от
конкретного примера.
Тест 1.06.
Решите уравнения
1 
1 

1. 7 x    2 x 2  2   9
x 
x 

1
1. –0,5; 2 2. ;2 3. 0,5; 2; 0 4. 0
2
5 3
2. 3 x 2  5 x   2  16
x x
 11 85
;1 2. –1; 0; 1 3. –1; 1 4. 0
6
3. 6 x 4  35x 3  62x 2  35x  6  0
1 1
1. 0,5; 2; 3 2. –0,5; 2; 3; 4 3. ;2; ;3 4. 0,5;
2 3
0
1.
25
4. x 2 
4
2
 8( x  )  4
2
x
x
1.  2;4  3 2 2.  2;4  3 2
3.  2;4  3 2 4.
6. x 2 
9x 2
7
x  32
1 13
2
1 13
3.
2
1 2 3
2 1 3
1.
2;4  3 2
2
 x 
5. x 2  
 3
 x  1
1 5
1 5
1 5
1 5
1.
2.
3.
4.
2
2
2
2
 1  13
2
1 13
4.
;0
2
4 5 6
3 2 1
2.
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ 1.
1
1
8
1. 2  2;3  7 2. 2  2;3  7
 2
 3
1. Решить уравнение
x  2 x  2x x  4x
2 2
3 7
3.  2  2;3  7 4.
;
1. 3 2. 3, 2 3. 2, 4 4. 1
2
2
3x  1 x 2  27 x  10 x  1
12.
Решить
уравнение
 2

2. Решить уравнение
x3
x  2 x  15 x  5
x
x
1
 2

1. –1 2. –2 3. –3 4. –4
2
x  3 x  2 x  5 x  2 24
3. Найти произведение корней уравнения
 11 113
; 1; 2. 2. 1; 2 3. –1; –2 4. –2; –3
1.
9 x 2  16 x 4  6 x  1  0
2
1
13. Решить уравнение
1. 1 2. 0,75 3.  4. 2
2
4
x2  2 x  2  3x x2  2 x  2  10 x 2
4. Сумма корней или корень (если он единствен6
2
x4
1. −1; 2  2 2. 1; 2; 3. −1; −2; 4. −1; −2; 2  2

 2
ный) уравнения 2
принад2
2
x 1
x 1 x 1
40
 x 1  x 1 
14. Решить уравнение 
 
 
лежит промежутку:
9
 x   x 2
1. (–8; –5) 2. (–3; –1) 3. (–10; –8) 4. (30; 34)
 11  55
16x 4  1
1. –1; 3 2.
;1;3

2
,
5

4
x
5. Решить уравнение
11
16x 2  4
11  55
11 55
1. –4 2. –5 3. 2 4. –4,5
3.
;1;3 4.
6. Произведение корней уравнения
11
11
x 3  4 x 2  3 x  12  0 равно
25x 2
74
2
15.
Решить
уравнение
x


1. –12 2. 16 3. 18 4. 22
2
5  2 x  49
7. Найти сумму корней (или корень, если он один)
5
уравнения
1. 1; 2. 1; 2 3. 1; 2,25 4. 2,25
7
2x  6
x 1
20x


16. Решить уравнение x 4  2 x 3  13x 2  2 x  1  0
6 x 2  x  2 12x 2  17x  6 8x 2  2 x  3
1. 21/25 2. 14/25 3. 17/25 4. 1
 5  21 3  5
5  21  3  5
1.
2.
;
;
2
x 1
x
2
2
4
2
 2
 2,9
8. Решить уравнение
x
x 1
5  21  3  5
5  22  3  5
;
3.
4.
;
1
2
2
2
2
1. 2; –0,5 2. –2; 0,5 3. 2; 4. 2
2
16  
4

17. Решить уравнение  x 2  2    x    12  0
1
1
1
x
x  

9. Решить уравнение


xx  2 x  12 12
1. 1; –4 2. 1; 4; –2; 0 3. 1; 4; 2. 4. 1; –4; –2
1. –3 2.  3;1 3. 3; –1 4. 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10. Найти сумму четырех последовательных от1 4 3 2 4 1 3 3 2 3
рицательных целых чисел, произведение которых
11 12 13 14 15 16 17
равно 120.
4 1 4 3 1 4 3
1. –8. 2. –10. 3. –14. 4. –18.
11. Решить уравнение
2 x 2  3x  1 2 x 2  5 x  1  9 x 2




26


