Решение рационального уравнения

Уравнения
Решение рационального уравнения
P( x)
Рациональным называется уравнение вида
Q( x)
где Р(х) и Q(x) – многочлены.
0,
Решение данного уравнения сводится к решению
уравнения Р(х) = 0 и проверке того, что его корни
удовлетворяют условию Q(x) ≠ 0, т.е. уравнение
равносильно системе
Р(х) = 0
Q(x) ≠ 0
x2 2x 1
0
Например, уравнение
x 1
x 2 2x 1 0
x
1
0
равносильно системе
Рассмотрим пример
Решить уравнение
1
2
x 1
Приведем уравнение к виду
P( x)
Q( x)
0
1
x
2
1 0
x 1 x 2
( x 2) 2( x 1) ( x 1)( x 2)
( x 1)( x 2)
x2 4x
( x 1)( x
Полученное уравнение заменим
равносильной системой
Область допустимых значений
Решаем квадратное уравнение
В ответ записываем только те корни,
которые входят в ОДЗ.
2
1
x2
2
2)
4x 2
( x 1)(x 2)
0
0
0
0
ОДЗ: х +1 ≠ 0 и х – 2 ≠ 0,
т.е. х ≠ -1 и х ≠ 2.
x 2 4x 2 0
x1 2
6 , x2 2
6
Ответ:
x1
2
6 , x2
2
6
Еще пример
Решить уравнение
2
2 x
1
2
4
.
x( 2 x)
1) Найдем общий знаменатель всех имеющихся дробей.
Общим знаменателем является выражение 2x(2 x) .
Приведем
дроби к общему знаменателю и получим уравнение,
2
x
6x 8
0 , равносильное исходному
2 x(2
x)
2) Обе части уравнения умножим на общий знаменатель и получим
целое уравнение x2 6x 8 0
3) Решим полученное целое уравнение x1 2, x2 4
4) Исключим из найденных корней те, которые обращают в нуль
общий знаменатель.
Т.е. проверим, удовлетворяют ли корни условию 2x(2 x) 0
Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет.
Значит, x 4 - единственный корень исходного уравнения.
Ответ: 4.