PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www

Занятие 2
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разберем основные методы решения двух видов рациональных уравнений – дробнорациональных и уравнений высших степеней.
Решение дробно-рациональных уравнений нередко сводится к решению обычных квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей
дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.
1
6
x2 + x
= 0.
+ 2
− 3
x + 4 x − 16 x + 64
Зададим ОДЗ: x + 4 ≠ 0, x 2 − 16 ≠ 0, x 3 + 64 ≠ 0, откуда x ≠ ±4.
Найдем наименьший общий знаменатель трех дробей (важно привести их не просто к
общему знаменателю, а именно к наименьшему, иначе в результате может получиться
уравнение слишком высокой степени, решить которое мы не сумеем).
Разложим на множители второй и третий знаменатели:
x 2 − 16 = ( x − 4)( x + 4), x 3 + 64 = x 3 + 4 3 = ( x + 4)( x 2 − 4 x + 16). Тогда наименьший общий
знаменатель имеет вид: (х – 4)(х + 4)(х2 – 4х + 16).
Теперь можно умножить обе части уравнения на найденный общий знаменатель.
Равенство при этом не нарушится, так как при условии, что x ≠ ±4 , то есть в рамках ОДЗ,
общий знаменатель не равен 0.
После этого нужно решить уравнение
( x − 4)( x 2 − 4 x + 16) + 6( x 2 − 4 x + 16) − ( x 2 + x)( x − 4) = 0. После упрощения получаем:
х2 + 12х + 32 = 0. Корни этого уравнения: х1 = - 8 и х2 = - 4, но число – 4 не входит в ОДЗ.
С учетом этого оказывается, что уравнение имеет единственное решение: х = 8.
Ответ: х = 8.
5
4
1
Пример 2. 2
− 2
=
.
x − 14 x + 24 x − 16 x + 48 x − 4
Применим ту же последовательность действий.
Для определения ОДЗ найдем корни всех знаменателей:
х2 – 14х + 24 = 0; х1 = 2, х2 = 12.
х2 – 16х + 48 = 0; х1 = 4, х2 = 12.
х - 4 = 0; х = 4.
Следовательно, ОДЗ имеет вид: х ≠ 2, х ≠ 4, х ≠ 12.
х2 – 14х + 24 = (х – 2)(х – 12), х2 – 16х + 48 = (х – 4)(х – 12), наименьший общий знаменатель равен (х – 2)(х – 4)(х – 12). Умножим на него обе части равенства:
5(х – 4 ) – 4(х – 2) = х2 – 14х + 24; х2 – 15х + 36 = 0; х1 = 3, х2 = 12 – посторонний корень ( не
входит в ОДЗ).
Ответ: х = 3.
Пример 1.
Таким образом, можно составить для себя своего рода инструкцию по решению уравнений такого типа:
1) определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю);
2) Найти наименьший общий знаменатель всех дробей;
3) умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение;
4) включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Конечно, не все дробно-рациональные уравнения можно решить таким образом. Если
механическое приведение к общему знаменателю приводит к необходимости решения
уравнения степени выше второй, можно попробовать сделать в исходном уравнении
замену переменной так, чтобы для нового неизвестного получить уравнение меньшей
степени.
4 x + 20
x 2 + 5 x + 14
+
= 5.
x+5
x 2 + 5 x + 14
x+5
x 2 + 5 x + 14
+
= 5 , то легко видеть, что его
Если записать уравнение в виде 4 ⋅ 2
x+5
x + 5 x + 14
левая часть содержит две взаимно обратные дроби. Введем новое неизвестное:
x 2 + 5 x + 14
4
x+5
1
t=
, тогда 2
= , и уравнение для t выглядит так: + t = 5, или
x+5
t
x + 5 x + 14 t
2
t – 5t + 4 = 0. Отсюда t1 = 1, t2 = 4.
x 2 + 5 x + 14
= 1, x 2 + 4 x + 9 = 0, D < 0 - нет решений.
A)
x+5
x 2 + 5 x + 14
Б)
= 4, x 2 + x − 6 = 0, x1 = 2, x 2 = −3.
x+5
Ответ: x = 2, x = - 3.
Обратите внимание на то, что попытка решить это уравнение приведением к общему
знаменателю привела бы нас к уравнению четвертой степени, общая формула корней
которого вам не известна. С помощью замены уравнение превратилось в квадратное,
техника решения которого проста.
Пример 3.
Пример 4.
5
3
11
−
= .
2
12
x( x + 2) ( x + 1)
5
3
11
− 2
.
=
x + 2 x x + 2 x + 1 12
Видим, что х дважды входит в выражение х2 + 2х и больше в уравнении не присутствует.
5
3
11
Сделаем замену: t = x2 + 2x и решим уравнение −
=
. ОДЗ: t ≠ 0, t ≠ −1.
t t + 1 12
20
(оба значения входят в ОДЗ).
Упрощая, получим: 11t2 – 13t – 60 = 0, t1 = 3, t2 = –
11
А) х2 + 2х = 3, х2 + 2х – 3 = 0, х1 = 1, х2 = - 3.
20
Б) x 2 + 2 x = − , 11x 2 + 22 x + 20 = 0, D < 0 – решений нет.
11
Ответ: х = 1, х = - 3.
Раскроем скобки в знаменателях левой части уравнения:
2
x + 3  x − 3
 x + 3
Пример 5. 
+ 6
 −7⋅
 = 0.
x
 x −3
 x 
ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 3.
Обратим внимание на то, что дробь, стоящая во втором слагаемом, равна произведению
дробей, возводимых в квадрат в первом и третьем слагаемых, и введем две новые
x+3
x−3
и v=
. Они должны удовлетворять уравнению
неизвестные: u =
x−3
x
2
2
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
u2 – 7uv + 6v2 = 0. Это однородное уравнение второй степени. Поскольку v ≠0 (так как
2
u
u
u
х ≠ 3), можно разделить обе части равенства на v :   − 7 + 6 = 0 . Пусть t = , тогда
v
v
v
2
t – 7t + 6 = 0, t1 = 1, t2 = 6.
u
x +3 x −3
:
= 1, x 2 + 3 x = x 2 − 6 x + 9, 9 x = 9, x = 1.
А) = 1,
v
x−3
x
u
x +3 x −3
Б) = 6,
:
= 1, x 2 + 3 x = 6 x 2 − 36 x + 54, 5 x 2 − 39 x + 54 = 0, x1 = 6, x 2 = 1,8.
v
x−3
x
Ответ: х = 1, х = 1,8, х = 6.
2
Замена переменной – очень удобный способ решения уравнений ( и не только рациональных). Конечно, подходящую замену нужно «увидеть», а для этого необходимо накапливать опыт – только он поможет вам быстро найти наиболее удачный вид нового неизвестного.
Отдельный вид уравнений, которые можно с помощью замены свести к квадратному, - так
называемые возвратные уравнения, а именно уравнения вида
ax4 + bx3 + cx2 + dx + f = 0,
2
a b
=   . Способ решения
где числа a, b, d и f не равны нулю и выполняется равенство:
f d
таких уравнений рассмотрим на примере:
Пример 6. 6х4 – 13х3 – 57х2 – 39х + 54 = 0.
− 13 1 6 1  1 
= ,
= =  .
− 39 3 54 9  3 
Так как х = 0 не является решением уравнения, разделим обе его части на х2:
39 54
6 x 2 − 13 x − 57 −
+
= 0 и перегруппируем слагаемые так:
x x2
9 
3
3
3 9
9


6 x 2 + 2  − 13 x +  − 57 = 0 . Пусть t = x + . Тогда t 2 = x 2 + 2 x ⋅ + 2 = x 2 + 2 + 6 ,
x
x x
x
x 
x


9
следовательно, x 2 + 2 = t 2 − 6 , и для t получаем уравнение: 6(t2 – 6) – 13t – 57 = 0, или
x
31
2
6t – 13t – 93 = 0, откуда t1 = - 3, t2 =
.
6
3
А) x + = −3, x 2 − 3 x + 3 = 0, D < 0 - решений нет.
x
3 31
2
9
Б) x + = , 6 x 2 − 31x + 18 = 0, x1 = , x 2 = .
x 6
3
2
2
9
Ответ: x = , x = .
3
2
2
Убедимся, что перед нами возвратное уравнение:
Еще одна возможность решить уравнение высшей степени – попытка представить его в
виде произведения нескольких множителей, равного нулю (разложение на множители).
Один из способов такого разложения – группировка.
Пример 7. х3 + 4х2 – х – 4 = 0.
Преобразуем левую часть уравнения: х3 + 4х2 – х – 4 = х2(х + 4) – (х + 4) = (х2 – 1)(х + 4).
Тем самым уравнение приведено к виду (х2 – 1)(х + 4) = 0, откуда х1 = 1, х2 = - 1, х3 = - 4.
Ответ: х = 1, х = -1, х = -4.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Если группировка не получается, можно попытаться найти хотя бы один корень подбором, а затем разделить левую часть уравнения на разность х – х0, где х0 – найденный
корень. Напомним, что в уравнении с целыми коэффициентами все целочисленные корни
являются делителями свободного члена.
Пример 8. х3 + 8х2 + 19х + 12 = 0.
Выпишем все делители числа 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Очевидно, что уравнение не
может иметь положительных корней, так как при подстановке вместо х любого
положительного числа левая часть примет положительное значение. Поэтому начнем
поиск корней с числа – 1 и убедимся, что оно при подстановке в уравнение обращает его в
верное равенство. Итак, х1 = -1 – корень, найденный подбором. Разделим «уголком» левую
часть уравнения на х – 1: (х3 + 8х2 + 19х + 12 ):(х – 1) = (х2 + 7х + 12). Следовательно,
уравнение можно записать в виде: (х – 1)(х2 + 7х + 12) = 0, откуда х2 = - 3, х3 = - 4.
Ответ: х = - 1, х = - 3, х = - 4.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.
1
10
27
+ 3
− 3
=0
x − 3 x + 3x + 9 x − 27
2.
3
2
1
− 2
=
x + 14 x − 32 x + 20 x + 64 x + 4
3.
x 11 − 3 x 9 − 2 x 2 − 24 x + 5
=0
x11 − 3 x 9 − x 2 − 30 x + 10
4.
x 2 − 4 x + 15
2x
− 2
=1
2
x − 5 x + 15 x − 2 x + 15
2
5. x 2 − 3 x + 5 −
6.
3
=0
x − 3x + 3
2
x 2 + 2x − 7 x 2 + 2x − 2
23
+ 2
=−
2
6
x + 2x − 2 x + 2x + 3
7. х3 + 9х2 + 26х + 24 = 0
8. х3 + 7х2 + 14х + 8 = 0
9.
x
3
27
−
=
x −1 x3 −1 x2 + x + 1
10. 2х4 – 11х3 + 26х2 - 33х + 18 = 0
Ответы
1) – 16
7) – 4; - 3; - 2
2) 3
3) 5; 1
8) – 4; - 2; - 1
4) 5; 3
9) – 6; 4
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
5) 2; 1
10) 2; 1,5
6) – 3; 1