Лекция 24

24.
p-адические
числа
На этой лекции мы разберем важные примеры пространств, свойства
которых в некотором отношении противоположны свойствам
R
и про-
чих связных пространств.
Топологическое пространство называется
Определение 24.1.
несвязным,
вполне
если оно не имеет связных подмножеств, за исключением
состоящих из одной точки.
Разумеется, вполне несвязным будет всякое дискретное пространство, но существует много менее тривиальных примеров. Например,
волне несвязным, но недискретным, будет множество
чисел (с топологией, индуцированной с
R):
Q
рациональных
в самом деле, оно не содер-
жит ни одного интервала (см. предложение 22.7).
Сейчас мы приведем пример играющего важную роль во многих
вопросах недискретного вполне несвязного компактного хаусдорфова
пространства.
Зафиксируем раз и навсегда простое число
При записи натуральных чисел в
p-ичной
p.
системе счисления каждое
число представляется в виде конечной последовательности
цифр (целых чисел от нуля до
p
− 1).
p-ичных
Давайте разрешим этим после-
довательностям быть бесконечными.
Определение 24.2. Целым p-адическим числом
называется бесконеч-
{a0 ; a1 ; : : :}, в которой все ai | p-ичные цифры.
p-адических чисел обозначается Zp .
ная последовательность
Множество целых
Будем представлять себе последовательности цифр, о которых идет
речь в этом определении, записанными в виде «бесконечной влево» последовательности:
a0 ,
слева от него |
a1 ,
еще левее |
a2 ,
и т. д. То-
гда каждое натуральное число можно тоже рассматривать как целое
p-адическое,
если записать его в
p-ичной
системе счисления, а затем
дополнить слева бесконечным «хвостом» из нулей. Тем самым определяется вложение
так:
:::
N
в
Zp .
Например, число 39 как элемент
Z5
запишется
000124.
Над целыми
p-адическими
числами можно проделывать те же алге-
браические операции, что и над целыми числами.
Определение 24.3. Суммой
ем) целых
p-адических
(соответственно разностью, произведени-
чисел (a0 ; a1 ; : : :) и (b0 ; b1 ; : : :) называется целое
1
p-адическое
число, получаемое из них по правилам сложения (соответ-
ственно вычитания, умножения) «в столбик» в
p-ичной
системе счисле-
ния, если записать два числа одно под другим (b0 под
a0 , b1
под
a1 ,
и т. д.).
Отметим, что вычитание всегда выполнимо, поскольку ввиду «бесконечности влево» наших
p-ичных
записей всегда можно «занять еди-
ницу» в следующем разряде; умножение всегда выполнимо, так как для
нахождения каждой цифры необходимо только конечное число сложений.
Покажем, что сложение, вычитание и умножение целых
p-адических
чисел обладает теми же свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. . . ), что и у обычных целых чисел. В самом
деле, если
m
| натуральное число и
целое число, записываемое в
образованное
над
(a
m
∈ Zp , то обозначим через (a)m ∈ Z
системе в виде
числами сразу следует, что
и (ab)m такие же, как
m
младших разрядов у
младших разрядов у (a)m
m
(a)m (b)m соответственно. Поэтому, например, (a + b)c =
для всякого
m
(т. е.
am−1 : : : a1 a0
младшими разрядами). Тогда из определения действий
p-адическими
± b)m
a
p-ичной
у левой и правой частей совпадают
m
± (b)m
ac + bc,
и
так как
младших разрядов
(поскольку умножение обычных целых чисел дистрибутивно). Поскольку это же рассуждение показывает, что вычитание
обратно сложению, получаем, что целые
p-адических
p-адические
чисел
числа образуют
кольцо.
Поскольку натуральные числа вкладываются в
Zp ,
а целые
p-
адические числа можно вычитать, целые числа (т. е. разности натуральных) также вкладываются в
элемент
Z5
Zp
как подкольцо; например, число
записывается в виде
:::
Отметим еще, что умножение на
справа, так что целое
p-адическое
−1 как
4444.
p
сводится к приписыванию нуля
число делится на
p
тогда и только
тогда, когда его «последняя» (т. е. крайняя правая) цифра есть нуль.
Теперь введем на
Определение 24.4.
нормой
Zp
структуру метрического пространства.
Если
∈ Zp
a
называется число |a|p =
для которого
a
делится на
n
p
отлично от нуля, то его
−n , где
p
. Если
a
n
= 0, полагают
Определение 24.5. p-адическим расстоянием
называется число
Множество
p-адической
| наибольшее натуральное n,
|a|p
= 0.
между числами
a; b
∈ Zp
|a − b|p .
Zp ,
снабженное
p-адическим
расстоянием, является ме-
трическим пространством. В самом деле, условия (1) и (2) из определе2
|x − z |p
ния 19.14 выполняются с очевидностью; поскольку
(y
− z )|p ,
= |(x − y ) +
для проверки неравенства треугольника достаточно убедить-
ся в выполнимости неравенства
|a + b|p 6 |a|p + |b|p .
Верно даже более
сильное утверждение:
Предложение 24.6. Для любых a; b
∈ Zp
выполнено неравенство
|a + b|p 6 max(|a|p ; |b|p ):
Доказательство.
на
t
Если число
нулей, то число
a
a
(24.1)
оканчивается на
нулей, а число
s
b
|
+ b оканчивается не менее чем на min(s; t) нулей,
|a + b|p 6 p− min(s;t) .
так что
Неравенство (24.1) называется
Неформально говоря, в
ультраметрическим неравенством.
p-адической
метрике число тем «меньше»
(ближе к нулю), чем на большую степень
p
оно делится. В частности,
limn→∞ pn = 0.
Заметим, что, поскольку расстояния между точками в
−n , где
принимать только значения
p
Zp
могут
| целое неотрицательное чи-
n
сло, все открытые шары в этом метрическом пространстве суть шары
−n . Отсюда следует, что всякий открытый шар является и
замкнутым шаром: в самом деле, открытый шар радиуса p−n совпада-
радиуса
p
ет с замкнутым шаром с тем же центром и радиусом
−n−1 . Наконец,
p
поскольку всякий открытый шар замкнут, замыкание открытого ша−n совпадает с замкнутым шаром радиуса p−n−1 , и это не
−n ; пример такого рода был
совпадает с замкнутым шаром радиуса p
ра радиуса
p
обещан на предыдущей лекции.
Далее, открытый шар с центром
как множество чисел, у которых
числа
a,
которых
n
и радиусом
a
младших разрядов такие же, как у
т. е «класс вычетов по модулю
b
−a
делится на
n
p
−n есть не что иное,
p
n
p
»: множество чисел
b
∈ Zp , для
. В частности, всякий открытый шар име-
ет мощность континуум, откуда следует, что в
Zp
нет изолированных
точек.
Предложение 24.7. Пространство
Доказательство.
Так как
Zp
Zp
компактно.
| метрическое пространство, достаточ-
но показать, что из всякой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть
ментов
Zp .
более
значений, какая-то из
p
{xn }
| последовательность эле-
Поскольку младший разряд чисел
p-ичных
3
xn
может принимать не
цифр (обозначим ее
a0 )
является
младшим разрядом бесконечного количества членов последовательности; обозначим через
первый из членов последовательности, обла-
y0
дающий этим свойством, и удалим из последовательности все члены,
младший разряд которых отличен от
a0 .
Далее, среди оставшихся чле-
нов последовательности есть бесконечно много таких, у которых вторая
справа цифра одна и та же (обозначим ее
a1 );
обозначим через
y1
какой-
нибудь член последовательности, обладающий этим свойством и идущий
позднее, чем
y0 ,
и удалим из последовательности все те члены, у кото-
рых вторая справа цифра отлична от
a1 .
чим подпоследовательность
и p-адическое число
Поскольку по построению
y0 ; y1 ; : : :
|yn − a|p 6
Продолжая по индукции, полуa
=
: : : a 2 a1 a0 .
−n−1 , имеем lim
p
n→∞ yn =
Поскольку метрическое пространство
полным (следствие 23.2). На самом деле в
a.
Zp компактно, оно является
Zp верен более сильный кри-
терий сходимости, чем критерий Коши.
Предложение 24.8. Последовательность
и только тогда, когда
Доказательство.
и lim
→∞
n
xn+1
=
x,
lim (xn+1
→∞
n
{xn }
в
Zp
сходится тогда
− xn ) = 0.
Часть «только тогда» очевидна: если lim
→∞
n
откуда lim (xn+1
→∞
n
xn
=
x,
то
− xn ) = 0.
Для доказательства части «тогда» заметим, что
Zp
полно ввиду
следствия 23.2, так что достаточно показать, что всякая последовательность
{xn },
удовлетворяющая условиям предложения, является
фундаментальной. И действительно, из ультраметрического неравенства (24.1), которое очевидным образом распространяется на любое
количество слагаемых, вытекает, что
|xm − xn |p
= |(xm
− xm−1 ) + (xm−1 − xm−2 ) + : : : + (xn+1 − xn )|p 6
6 max(|xm − xm−1 |p ; : : : ; |xn+1 − xn |p );
причем из условия вытекает, что правая часть стремится к нулю при
m; n
→ ∞.
У доказанного предложения имеется забавная переформулировка.
Следствие 24.9. Ряд из p-адических чисел сходится тогда и только
тогда, когда его общий член стремится к нулю.
Предложение 24.10. Замыкание подмножества
всем
Zp .
4
Z ⊂ Zp
совпадает со
Доказательство.
Пусть
∈ Zp ; обозначим через xn
x
ичная запись совпадает с
n
считая справа) цифрами записи числа
есть
|x − xn |p 6
x.
Тогда
−n , откуда lim
p
n→∞ xn =
относительно
Z
p-адической
Покажем, наконец, что
x
− xn
p-
первыми,
n
n
делится на
p
, то
x.
Из доказанного предложения следует, что
ем
целое число, чья
«последними» (или, если угодно,
является пополнени-
Zp
метрики.
вполне несвязно. Для этого, очевидно, до-
Zp
6= b | два элемента Zp , то существуют
такие непересекающиеся открытые подмножества U; V ⊂ Zp , что U 3 a,
V 3 b и U ∪ V = Zp . И действительно, если младшие n разрядов у pстаточно установить, что если
адического числа
a
не такие же, как у b, то в качестве
класс вычетов числа
n
по модулю
a
n
классов вычетов по модулю
в
a
p
, а в качестве
всех
p
p-адических
V
U
можно взять
| объединение
чисел, не входящих
U.
Легко видеть, что в кольце
Zp
нет делителей нуля (рассмотрите пер-
вую справа ненулевую цифру в двух сомножителях; это первое место,
где используется простота числа
p-адическое
p).
число, не делящееся на
нуль), обратимо в кольце
Покажем еще, что всякое целое
(то есть не оканчивающееся на
p
Zp .
∈ Zp
Предложение 24.11. Пусть элемент u
существует такое v
Доказательство.
∈ Zp ,
Докажем индукцией по
{xn }n>0
вательность целых чисел
(mod
n+1
p
цифра в
p,
),
так как
a0 x0
≡
xn+1
p
(mod
p),
откуда и
+ pn+1 x, где
xn
(mod
n+2
p
x
n+2
p
поэтому существует такое
ux0
≡
1 (mod
≡
1 (mod
y
xn
yxn
n+2
p
p)
∈ N,
x0
n+1
+p
x)
| целое число, для которого
можно взять целое число в
= 1+
n+1
p
z,
где
z
∈ Zp ,
) равносильно сравнению
− 1 ≡ pn+1 z − pn+1 xy ≡ 0
или, что равносильно,
z
1
− xy ≡ 0
5
(mod
что
(в этом месте использует-
u).
p):
≡y
p-ичной
а искомое срав-
y (xn
(mod
xn+1
u
По предпо-
+
n+1
p
). Мы хотим, чтобы выполнялось сравнение
y (xn
≡
| последняя
построено; будем искать
+ 1 последними цифрами числа
ложению индукции имеем
uxn+1
a0
uxn
Эта последняя цифра не делится на
∈ Z. Пусть y
n
что существует последо-
). В самом деле, пусть
u.
) (например, в качестве
системе, образованное
(mod
p;
n,
со следующими свойствами:
простое). Далее, пусть число
в виде
нение
p
записи числа
не делится на
u
1 (mod
ся, что
≡ xn
p-ичной
n+1
не делится на p. Тогда
= 1.
что uv
n+2
p
);
x)
≡
1
Поскольку
y
≡
u
(mod
n+2
p
) и
u
не делится на
p,
решение; стало быть, искомая последовательность
это сравнение имеет
{xn }
построена. Так
1=pn+1 В, имеем limn→∞ uxn = 1; с другой стороны,
виду предложения 24.8 существует предел limn→∞ xn = v ∈ Zp , так что
как
kuxn − 1kp 6
uv
=
u
·
lim
→∞
n
xn
= lim
→∞
n
uxn
= 1;
и все доказано. (На последнем шаге мы пользовались тем, что для
p-
адических чисел имеет место «арифметика пределов»; предоставляем
читателю проверить это самостоятельно.)
6