История и методология математики

История и методология математики
Содержание дисциплины
Тема 1: Возникновение математики.
Первые математические понятия (числа) и эволюция их возникновения. Первые
математические понятия (геометрические фигуры) и эволюция их возникновения.
Предпосылки возникновения математики как науки. Математика Древнего Египта и Востока.
Три ветви математики: арифметика, алгебра и геометрия.
Тема 2: Становление математики как науки.
Математика Древней Греции. Три ветви математики: арифметика, алгебра и геометрия.
Логистика – начало арифметики и алгебры. Школа Пифагора (570-500 г. до н.э.). "Начала"
Гиппократа (5 век до н.э.). Открытие иррациональных чисел - первая революция в
математике. Аксиоматическое построение геометрии. "Начала" Евклида (3 век до н.э.).
Характерные особенности метода математического рассуждения и формы изложения у
Евклида. Связь с геометрией реального мира.
Тема 3: Изменение структуры и дифференциация математического знания в
средние века.
Возникновение и развитие классического математического анализа. Развитие
арифметики до 18 века. Развитие алгебры в средние века от Диофанта до Аль-Хорезми.
Развитие алгебры в средние века от Тарталья и Кардано до Виета. Великая теорема Ферма.
ПРазвитие геометрии в средние века.
Тема 4: Математикоцентричность в 17 и 18 веках.
Р. Декарт и его метод координат. Идеи Декарта. Возникновение и развитие
классического математического анализа. Г. Лейбниц исчисление дифференциалов, и И.
Ньютон - теория флюксий. Общие закономерности развития математической науки на
примере математического анализа. Научно-философская концепция единства мира и
взаимосвязанности явлений. "Универсальный" метод Лейбница. Дифференциация наук.
Тема 5: Дифференциация наук в 19 и 20 веках.
Трудности логического обоснования математического анализа. Метод пределов О.
Коши. Анализ аксиом Евклида. Геометрии Лобачевского и Римана. Начало современной
алгебры. Ф. Гаусс, Э. Галуа, Н. Абель, К. Жордан. "Эрлангенская" программа Ф.Клейна.
"Основания геометрии" Д. Гильберта. Теория множеств Г.Кантора. Больцано, К.Вейерштрасс
и критика работ О. Коши. Дифференциация наук (дифференциальные уравнения, ТФКП,
функциональный анализ). Идеи Фурье.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
Учебно-методическое обеспечение:
а) основная литература:
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: Изд-во иностр. Лит-ры, 1963.
История математики. В 3-х томах. /Под ред. Юшкевича А.П. – М.: Наука, 1970-1972.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1990.
Юшкевич А.П. История математики в средние века. – М.: Физматгиз, 1961.
Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. – М.: Наука, 1968.
б) дополнительная литература:
Александров А.Д Проблемы науки и позиция ученого. – Л, 1988.
Александров А.Д. Математика // Философская энциклопедия. – М., 1964. С.329-335.
Апокин И.А., Майстров Л.Е. Развитие вычислительных машин. – М.: наука, 1974.
Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и
теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. – М.: Наука, 1989.
Березкина Э.И. Математика древнего Китая. – М.: Наука, 1980
6. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. – Киев: Наукова
думка, 1983.
7. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики. Биографический
словарь-справочник. – Киев: Радянська школа, 1987.
8. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и
Греции. – М.: ГИФМЛ, 1959.
9. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. – М.:
Физматгиз, 1960.
10. Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики. – М.: Наука,
1977.
11. Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. – М.: Наука, 1981.
12. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М.-Л.: ОГИЗ, 1946.
13. Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней. М., Наука, 1971.
14. Гушель Р.З. Из истории математики и математического образования. Путеводитель по
литературе. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 1983.
15. ГутерР.С., Полунов Ю.Л. От абака до компьютера. – М.:Наука, 1979.
16. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
М., Мир, 1987.
17. Историко-математические исследования 1-я и 2-я серии - М.: Наука (с 1948 г. по
настоящее время)
18. История информатики в России. Ученые и их школы. – М.: Наука, 2003.
19. История отечественной математики. В 4-х томах. – Киев: Наукова думка, 1966-1970.
20. Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1984.
21. Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: Мир, 1988.
22. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. – М.: Наука, 1989.
23. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. – М.: Наука, 1991.
24. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. – М.: Наука, 1967
25. Малиновский Б.Н. История вычислительной техники в лицах. – Киев.: 1984.
26. Маркушевич А.И. Очерки истории теории аналитических функций. – М.-Л.: ГИТТЛ,
1951.
27. Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии. – Ташкент: Фан, 1990.
28. Математика в Московском университете /Под ред. Рыбникова К.А. – М.: Изд-во МГУ,
1992.
29. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория
вероятностей. – М., 1978.
30. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. – М., 1981.
31. Математика XIX века. Чебышёвское направление в теории функций. Обыкновенные
дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. –
М.: Наука. 1987.
32. Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX в. – М.: Наука, 1965.
33. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. – М.: Наука, 1974.
34. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. – М.:
Наука, 1975.
35. Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX-XX вв. –
М.: Наука, 1976.
36. Никифоровский В.А. Путь к интегралу. – М.: Наука, 1985.
37. Никифоровский В.А. Из истории алгебры. – М.:Наука, 1979.
38. Очерки по истории математики /Под ред. Б.В.Гнеденко. – М.: Изд-во МГУ, 1997.
39. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.
40. Проблемы Гильберта. – М.: Наука, 1969.
41. Розенфельд Ю.А. История неевклидовой геометрии. – М.: Наука, 1975.
42. Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1994 (и ранние издания).
43. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М.: Наука,
1984.
44. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. – М.-Л.: ГТТИ, 1932.
45. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках. – М.-Л.: ГТТИ, 1933.
46. Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. – М.: Учпедгиз, 1960.
в) периодические издания
Историко-математические исследования
г) Интернет-ресурсы:
http://pyrkov.professorjournal.ru/mediateca/15
Требования к уровню усвоения программы, формы текущего и промежуточного
контроля.
Примерные темы для рефератов:
1. Формирование символики в дифференциальном и интегральном исчислениях.
2. Юбилейные даты 2013 года.
3. Юбилейные даты 2014 года.
4. Юбилейные даты 2015 года.
5. Университетское математическое образование в Европе
6. Университетское математическое образование в России.
7. Л.Эйлер и российская математическая школа.
8. Особенности развития петербургской математической школы.
9. Особенности развития московской математической школы.
10. Война, плен и математика (19 век).
Задания по по темам.
1. Тестирование по теме «Возникновение математики как науки».
1. Какие этапы в развитии математики выделяет Колмогоров?
2. Когда по Колмогорову определяется период зарождения математики?
3. Когда по Колмогорову определяется период элементарной математики?
4. Когда по Колмогорову определяется период математики переменных величин (период
«высшей математики»)?
5. Когда по Колмогорову определяется период современной математики?
6. Какие математические источники дошли до нас из Древнего Египта?
7. Какими годоми датируется Папирус Ринда (Ахмеса)? Где он хранится?
8. Какими годоми датируется Московский папирус? Где он хранится?
9. Какая система счисления была в Древнем Египте?
10. Какими математическими знаниями обладали ученые Древнего Египта?
11. Какими знаниями из арифметики обладали вавилоняне?
12. Какими геометрическими знаниями обладали вавилоняне?
13. Напишите основные источники математических знаний, написанные в Древней Индии.
14. Какими математическими знаниями обладали ученые Древней Индии?
15. Какие математические знания первыми открыли индийские математики?
16. Напишите основные источники математических знаний, написанные в Древнем Китае.
17. Какими математическими знаниями обладали ученые Древнего Китая?
2. Тестирование по теме «Становление математики как науки».
1. Где и когда сформировалась математика как наука, основанная на строгих
доказательствах?
2. Кто выдвинул тезис «Числа правят миром»?
3. Какая нумерация была у греков после V веке до н. э.?
4. Перечислите основные научные школы Древней Греции.
5. Привидите примеры теорем, которые первыми доказали ученые Ионийской (милетской)
школы.
6. Какие математические знания получили пифагорейцы?
7. Перечислите знаменитых математиков Древней Греции.
8. Кто и когда заложил основы логики?
9. Как называется способ определения произвольного количества последовательных
простых чисел?
10. Какой математической проблемой занимался Феодор Киренский?
11. Как называется первый труд, содержащий аксиоматически построенную математику?
12. Сформулируйте V постулат Евклида.
13. Чем заканчивается I книга <<Начал>> Евклида?
14. Чему посвящена X книга <<Начал>>?
15. Как называется метод для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры, когда в
эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось,
что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой
фигуры?
16. Предшественником какого современного метода является медод исчерпывания Евдокса?
17. Какие математические задачи решал Архимед?
18. Кто ввел термины <<эллипс>>, <<парабола>>, <<гипербола>>?
19. Каков девиз Академии Платона?
20. Когда начинается упадок греческой математики?
21. Напишите причины упадка греческой математики.
22. Напишите имена комментаторов, благодаря которым до нас дошли многие сведения об
античных учёных и их трудах.
23. Как называются основные труды Диофанта?
24. Чему посвящена Арифметика Диофанта?
25. Какие числа Диофант первым начал рассматривать наравне с натуральными?
26. Как называется и чему посвящен основной труд Менелая Александрийского?
27. Кто является автором первых механизмов, приводимых в движение сжатым воздухом
или паром?
28. Какими науками занимался Герон?
3. Тестирование по теме «Изменение структуры и дифференциация математического знания
в средние века».
1. Напишите причины остановки развития математики.
2. Перечислите индийских ученых 3-16 веков.
3. Перечислите основные вопросы математики, которыми занимались индийские ученые в
средние века.
4. Назовите основной труд Ариабхаты. Чему он посвящен?
5. Чему посвящены основные труды Брахмагупты?
6. Перечислите основные достижения в математике средниих веков, которые принадлежат
китайским ученым.
7. Как называется основной труд Ал-Хорезми и чему он посвящен?
8. Перечислите математиков исламского средневековья.
9. Перечислите основные достижения Омара Хайяма.
10. Кто занимается математикой в Европе 3-10 веках. Какую основную проблему решают?
11. Когда в Европе индийская нумерация получила общее признание?
12. Когда и в каких городах возникают первые университеты?
13. Перечислите основные достижения Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
14. Перечислите основные достижения Иордана Неморария.
15. Перечислите основные достижения Николая Орема.
16. Назовите причины подъема науки в Италии в 16 веке.
17. Какие задачи решили дель Ферро, Никколо Фонтана Тарталья, Джероламо Кардано?
18. Перечислите основные достижения Рафаэля Бомбелли.
19. Перечислите основные достижения Франсуа Виета.
20. Перечислите основные достижения Джона Непера.
21. Перечислите основные достижения Симона Стевина.
22. Перечислите основные проблемы при исследовании истории математики в Древней Руси.
23. Приведите примеры источников, которые говорят о том, что в Древней Руси были
знакомы со свойствами геометрических фигур и тел.
24. Когда и кем была сделана первая точно датированная известная запись числа в
славянской нумерации?
25. Кем, когда и зачем была сделана запись на Тмутараканском камне?
26. Чему посвящено «Учении о числах» Кирика Новгородского? Какие математические
вопросы рассмотрены в этом трактате?
27. Когда впервые в Древней Руси применили индийскую нумерацию?
28. Назовите основные черты математики 14-16 веков в Древней Руси.
4. Устный опрос по теме «Математикоцентричность в 17 и 18 веках».
1. Логарифмические таблицы (сравните подходы Непера и Бюрги)
2. Рождение аналитической геометрии (сравните подходы П.Ферма и Р.Декарта)
3. Организация научной работы в XVII в. и кружок Мерсенна
4. Р.Декарт и его «Рассуждение о методе»
5. Основные результаты Б.Паскаля и П.Ферма в теории вероятностей.
6. Вклад в математику представителей семейства Бернулли
7. Х.Гюйгенс и его работы по теории вероятностей и механике.
8. Наследие Диофанта и возрождение теории чисел в работах П.Ферма
9. И.Кеплер и инфинитезимальные методы, «Стереометрия винных бочек».
10. Б.Кавальери и суть метода неделимых.
11. Метод экстремумов и касательных П.Ферма.
12. И.Ньютон и основные положения метода флюксий
13. Г.В.Лейбниц и его вклад в создание дифференциального и интегрального исчисления
14. Математическое образование и Академии Наук в XVIII в.
15. Л.Эйлер и Петербургская Академия Наук
16. Ж.Лагранж и его «Аналитическая механика»
17. Основные работы П.Лапласа
18. Полемика вокруг учения о бесконечно малых в XVIII веке.
5. Устный опрос по теме «Дифференциация наук в 19 и 20 веках».
1. Метод пределов Даламбера и теория компенсации ошибок Л.Карно
2. Основные достижения К.Гаусса
3. Неевклидовы геометрии (работы Н.Лобачевского и Б.Римана)
4. Основные результаты О.Коши
5. Основные достижения К.Вейерштрасса. Теория непрерывных функций.
6. Э.Галуа, Н.Абель и рождение теории групп.
7. Синтез геометрий в Эрлангенской программе Ф.Клейна
8. Л.В.Магницкий и математическое образование в России в эпоху Петра I.
9. Основные достижения Л.Эйлера.
10. Деятельность первых русских ученых-математиков (С.К.Котельников, С.Я.Румовский,
Н.И.Фусс, С.Е.Гурьев и другие).
11. Система математического образования в России в XIX веке.
12. II Международный математический конгресс и доклад Д.Гильберта.
Вопросы к экзамену:
1. Первые математические понятия (числа) и эволюция их возникновения.
2. Первые математические понятия (геометрические фигуры) и эволюция их
возникновения.
3. Три ветви математики: арифметика, алгебра и геометрия.
4. Математика Древнего Египта.
5. Математика Древнего Востока.
6. Математика Древней Греции. Три ветви математики: арифметика, алгебра и
геометрия.
7. Логистика – начало арифметики и алгебры.
8. Школа Пифагора (570-500 г. до н.э.).
9. Открытие иррациональных чисел - первая революция в математике.
10. Аксиоматическое построение геометрии. "Начала" Евклида (3 век до н.э.).
Характерные особенности метода математического рассуждения и формы изложения
у Евклида. Связь с геометрией реального мира.
11. Возникновение и развитие классического математического анализа.
12. Развитие арифметики до 18 века.
13. Развитие алгебры в средние века от Диофанта до Аль-Хорезми.
14. Развитие алгебры в средние века от Тарталья и Кардано до Виета. Великая теорема
Ферма.
15. Развитие геометрии в средние века.
16. Р. Декарт и его метод координат. Идеи Декарта.
17. Возникновение и развитие классического математического анализа. Г. Лейбниц
исчисление дифференциалов, и И. Ньютон - теория флюксий.
18. Общие закономерности развития математической науки на примере математического
анализа.
19. Дифференциация наук.
20. Л.Эйлер.
21. Трудности логического обоснования математического анализа. Метод пределов О.
Коши.
22. Геометрии Лобачевского и Римана.
23. Начало современной алгебры. Ф. Гаусс, Э. Галуа, Н. Абель, К. Жордан.
24. "Эрлангенская" программа Ф.Клейна.
25. "Основания геометрии" Д. Гильберта.
26. Теория множеств Г.Кантора.
27. Больцано, К.Вейерштрасс и критика работ О. Коши.
28. Дифференциация наук (дифференциальные уравнения, ТФКП, функциональный
анализ).