Лекция 1. Аналитическое введение

1
07.02.07
Аналитическое введение
Алгебра операторов max и min
Если функция f : X 
, то max f ( x) – просто число. Если же f : X  Y 
xX
F ( y )  max f ( x, y ) есть функция F : Y 
xX
, то
.
Лемма. max  f ( x)  C   max f ( x)  C .
xX
xX
Доказательство. Пусть в точке x0 реализуется максимум max  f ( x)  C  , то есть
xX
f ( x0 )  C  max  f ( x)  C  .
(*)
xX
По
определению
f ( x0 )  max f ( x) ,
максимума
откуда
xX
следует
f ( x0 )  C  max f ( x)  C . Сравнивая с равенством (*), получим
xX
max  f ( x)  C   max f ( x)  C .
xX
xX
Обратно, пусть в точке x1 выполняется равенство
f ( x1 )  max f ( x) . По
xX
определению максимума f ( x1 )  C  max  f ( x)  C  , или, в силу выбора точки x1,
xX
max f ( x)  C  max  f ( x)  C  .
xX
xX
Сравнивая два доказанных неравенства, получим нужное равенство.
Лемма. max Cf ( x)  C max f ( x) , если C0.
xX
xX
Лемма. max   f ( x)   min f ( x) .
xX
xX
Лемма. max  f ( x)  g ( x)  max f ( x)  max g ( x) .
xX
xX
Доказательство.
Пусть
xX
f ( x0 )  g ( x0 )  max  f ( x)  g ( x) .
f ( x0 )  max  f ( x) , g ( x0 )  max  g ( x) .
максимума
По
определению
Складывая,
получим
xX
xX
xX
f ( x0 )  g ( x0 )  max f ( x)  max g ( x) , откуда следует нужное неравенство.
xX
xX
Пример. Если f(x)=–x(x–2) а g(x)=–x(x+2), то
max  f ( x)  g ( x)  max f ( x)  max g ( x) .
xX
xX
Лемма. min  f ( x)  g ( x)  min f ( x)  min g ( x) .
xX
xX
xX
xX
Лемма. Если f(x)g(x) для любого xX, то max f ( x)  max g ( x) .
xX
xX
Доказательство. Выберем точку x0 так, что f ( x0 )  max f ( x) . Тогда
x X
max f ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )  max g ( x) , что и требуется доказать.
xX
xX
Лемма. Если f(x)g(x) для любого xX, то max f ( x)  max g ( x) .
xX
xX
Лемма. Если f(x)g(x) для любого xX, то min f ( x)  min g ( x) .
Лемма. max  f ( x)  max f ( x) , если XY .
xX
xY
Пример. Коллективизация.
Лемма. f ( x)  max  f ( x),  f ( x) .
147329388 19.01.2016
xX
xX
2
Следствие. Функция
f ( x)  max F ( x, y)
может быть негладкой даже для
yY
аналитической функции F(x,y).
Доказательство. Если F(x,y)=xy и Y=[–1,1], то f(x)=x.
Операторы max и min и кванторы
Лемма. x  X f ( x)  C  max f ( x)  C .
xX
Лемма. x  X f ( x)  C  min f ( x)  C .
xX
Лемма. sup  f ( x)  g ( x)   sup f ( x)  sup g ( x) .
xX
xX
xX
Доказательство. По определению верхней грани для любого x выполняются
неравенства
и
Складывая,
получим
f ( x)  sup f ( x)
g ( x)  sup g ( x ) .
xX
xX
f ( x)  g ( x)  sup f ( x)  sup g ( x) , то есть число sup f ( x)  sup g ( x) является одной из
xX
xX
xX
xX
верхних граней функции f(x)+g(x). Но тогда наименьшая верхняя грань этой функции не
превосходит данного числа, что и требуется доказать.
Топология операторов max и min
Лемма. Если функция F(x,y) непрерывна на произведении метрических компактов
X и Y, то функция f ( x)  max F ( x, y) непрерывна на X
yY
Доказательство. Функция непрерывна на компакте, значит, по теореме
Вейерштрасса она равномерно непрерывна. Следовательно, для любого >0 найдется
такое , что F(x1,y)–F(x2,y)<, если только x1–x2<.
Выберем точки y1 и y2 так, что F ( x1 , y1 )  max F ( x1 , y) и F ( x2 , y2 )  max F (x2 , y ) .
yY
yY
Тогда F(x1,y1)<F(x2,y1)+ и тем более F ( x1 , y1 )  max F ( x2 , y)   , или, что то же самое,
yY
max F ( x1 , y)  max F ( x2 , y)   .
yY
Аналогично,
yY
max F ( x2 , y)  F ( x2 , y2 )  F ( x1 , y2 )    max F ( x1, y)   .
yY
yY
Сравнивая доказанные неравенства, получим max F ( x1 , y )  max F ( x2 , y )   , если
yY
yY
x1–x2<, что в силу произвольности  означает равномерную непрерывность функции f.
Операторы argmax и Argmax


Определение. Arg max f ( x)  x  X : f ( x)  max f ( y) . arg max f ( x) обозначает
xX
yX
x X
произвольную точку множества Arg max f ( x) .
xX
Лемма. Если функция f(x) непрерывна, то множество Arg max f ( x) замкнуто.
xX
Доказательство. В силу непрерывности функции f для любого xX множество
O(x)={yX:
f(y)f(x)}
замкнуто.
Непосредственно
проверяется,
что
Arg max f ( x)  O( x) . Теперь лемма следует из того, что пересечение замкнутых
xX
xX
множеств замкнуто.
147329388 19.01.2016
3
Определение. Если X и Y – множества, то функция F:X2Y называется точечномножественным отображением из X в Y.
Определение. Множество точек {(x,y): xX, yF(x)} называется графиком
точечно-множественного отображения F:X2Y.
Определение. Точечно-множественное отображение F называется замкнутым, если
его график замкнут.
Лемма. Если f:XYR – непрерывная функция, то точечно-множественное
отображение F ( x)  Arg max f ( x, y) замкнуто.
yY
Доказательство. Пусть (x0,y0) не принадлежит графику отображения
F ( x)  Arg max f ( x, y) . Тогда существует точка y1, для которой f(x0,y0)<f(x0,y1). Функция
yY
(x,y)=f(x,y)–f(x,y1)непрерывна, поэтому найдется такое , что неравенство f(x,y)<f(x,y1)
будет выполняться для всех x и y, удовлетворяющих условиям x–x0< и y–y0<, то есть
пары (x,y), удовлетворяющие этим условиям, принадлежат дополнению графика
отображения F. Следовательно, это дополнение открыто, а сам график замкнут.
Лемма о замкнутом графике. Пусть X и Y – компактные метрические
пространства, f:XY – функция. Если отображение F:X2X, определенное условием
F(x)={f(x)} замкнуто, то функция f непрерывна.
Доказательство. Пусть произвольная последовательность xnx, и y – предельная
точка последовательности f(xn). Тогда yF(x), то есть y=f(x), что и требуется доказать.
Следствие. Если функция F ( x)  arg max f ( x, y) определена однозначно, то она
yY
непрерывна.
Лемма. Если X и Y – компактные множества, а f:XYR – непрерывная функция,
то минимум min max f ( x, y) достигается.
xX
yY
Доказательство.
Множество


G  ( x, y ) : f ( x, y )  max f ( x, y)
yY
–
замкнутое
подмножество компактного множества XY, поэтому компактно. Следовательно,
существует точка (x0,y0), для которой f ( x0 , y0 )  min f ( x, y) . Пусть x1 – произвольный
( x , y )G
элемент
множества
а
X,
y1  arg max f ( x1 , y) .
yY
Тогда
max f ( x1 , y)  f ( x1 , y1 )  f ( x0 , y0 )  max f ( x0 , y) . В силу произвольности x1 отсюда следует,
yY
yY
что x0 – точка минимума функции  ( x)  max f ( x, y) , что и требовалось доказать.
yY
Теорема Брауэра
Брауэр Лёйгден Эгберт Ян (1881–1966).
Определение. Точка xX называется неподвижной точкой отображения f:XX,
если f(x)=x.
Определение. Множество X обладает свойством Брауэра, если всякое непрерывное
отображение f:XX имеет неподвижную точку.
Определение. Множество X гомеоморфно множеству Y, если существуют
отображение f:XY и обратное ему отображение f–1:YX, причем оба эти отображения
непрерывны.
Лемма. Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство. Гомеоморфизм X и X осуществляет тождественное отображение.
Если отображение f:XY осуществляет гомеоморфизм X и Y, то обратное отображение
f–1:YX осуществляет гомеоморфизм Y и X. Наконец, если отображение f:XY
147329388 19.01.2016
4
осуществляет гомеоморфизм X и Y, а отображение g:YZ осуществляет гомеоморфизм Y
и Z, то композиция g f : X  Z , осуществляет гомеоморфизм X и Z.
Лемма. Если множества X и Y гомеоморфны, и одно из них обладает свойством
Брауэра, то и другое обладает свойством Брауэра.
Доказательство. Пусть X обладает свойством Брауэра, отображение f:XY
осуществляет гомеоморфизм X и Y и g:YY – произвольное непрерывное отображение.
Отображение f 1 g f : X  X непрерывно, и потому имеет неподвижную точку x0, то
есть f 1 ( g ( f ( x0 )))  x0 . Но тогда g ( f ( x0 ))  f ( x0 ) , то есть f(x0) – неподвижная точка
отображения g, что и доказывает лемму.
Определение. Пусть x0,x1,…,xn –точки в евклидовом пространстве, причем векторы
x0x1,…,x0xn линейно независимы. Выпуклая оболочка этих точек называется n-мерным
симплексом.
Лемма. Выпуклое компактное множество в евклидовом пространстве, имеющее
непустую внутренность, гомеоморфно n-мерному симплексу.
Теорема (Брауэр, 1912 г). Выпуклое компактное подмножество конечномерного
евклидова пространства обладает свойством Брауэра.
Доказательство. [2] с.69.
Определение. Подмножество Y множества X называется его ретрактом, если
существует непрерывное отображение f:XY, такое что f(y)=y для любого yY.
Теорема о барабане. Граница шара в конечномерном евклидовом пространстве не
является его ретрактом
Следствие. Граница выпуклого компактного множества в евклидовом
пространстве, имеющего непустую внутренность, не является его ретрактом.
Доказательство. Допустим противное. Пусть отображение r осуществляет
ретракцию множества на его границу, а отображение f:, осуществляет гомеоморфизм
этого множества и шара в пространстве той же размерности. Тогда отображение
f r f 1 осуществляет ретракцию шара на его границу, что приводит к противоречию.
Определение. Пусть A и B – непересекающиеся подмножества множества X.
Говорят, что замкнутое подмножество C является перегородкой между A и B, если его
дополнение X\C является объединением таких непересекающихся множеств U и V, что
AU и BV.
Пусть K={(x1,…xn): –1xi1, i=1,…,n} – куб в n-мерном пространстве,
i
K  ( x1 ,..., xn )  K : xi  1 и Ki  ( x1 ,..., xn )  K : xi  1 – его грани.
Теорема о перегородках в кубе. Если C1,…,Cn – перегородки, отделяющие грани
1
K  ,..., K n от граней K 1 ,..., K n соответственно, то пересечение множеств C1,…,Cn не пусто.
Предложение. Утверждения теоремы Брауэра, теоремы о барабане и теоремы о
перегородках в кубе эквивалентны.
Доказательство. Докажем сначала, что теорема Брауэра следует из теоремы о
барабане. Допустим противное. Тогда существует непрерывное отображение g шара B в
себя, не имеющее неподвижных точек. Определим отображение f шара B на его границу S
следующим образом. Для любой точки xB, луч, выходящий из точки g(x) и проходящий
через точку x, пересекает границу шара S в единственной точке y. Положим f(x)=y.
Непосредственно проверяется, что так определенное отображение непрерывно и f(x)=x,
если xS. Но это противоречит теореме о барабане.
Докажем, что теорема о барабане следует из теоремы Брауэра. Вновь допустим
противное. Пусть r – отображение, осуществляющее ретракцию шара B на его границу S, а
a – отображение, ставящее в соответствие точке xS точку, симметричную ей
относительно центра шара. Тогда отображение a r шара в себя не имеет неподвижной
точки, вопреки теореме Брауэра.
147329388 19.01.2016
5
Докажем, что из теоремы о перегородках в кубе следует теорема о барабане.
Допустим противное. Тогда существует ретракция куба K на его границу Q. Рассмотрим
пересечение Pi множества Q с гиперплоскостью, задаваемой уравнением xi=0. Это
пересечение образует перегородку между гранями K i и K i . Пересечение множеств Pi
пусто, поэтому пусто и пересечение из прообразов Ri={xK: r(x)Pi} при отображении r.
Непосредственно проверяется, что Ri является перегородкой между множествами K i и K i
уже в самом кубе, а это дает противоречие.
Докажем, наконец, что из теоремы Брауэра следует теорема о перегородках в кубе.
Пусть i ( x)  min x  y . Эта функция непрерывна, как минимум непрерывной функции
yCi
по
компактному
множеству.
Пусть
K  Ui
Ci
Vi , K i  U i , K i  Vi ,U i
Vi   .
 i ( x), если x U i ,

Определим функцию i ( x)   0, если x  Ci , Непосредственно проверяется, что она
  ( x), если x V .
i
 i
непрерывна. Поэтому непрерывным будет и отображение F(x)=(x1–1(x),…,xn–n(x)). На
прямой, проходящей через точку x перпендикулярно гиперплоскости xi=0 найдется по
крайней мере одна точка ci принадлежащая перегородке Ci. В силу определений функций
i и i число xi–i(x) лежит между xi и i-ой координатой точки ci. Поэтому отображение F
переводит куб K в себя. Тогда по теореме Брауэра оно имеет непрерывную точку x0. В
этой точке i(x0)=0 и, в силу замкнутости Ci выполняется включение x0Ci для всех
i=1,…,n. Предложение доказано.
Теорема Какутани
Kfretani S.
Лемма 1. Пусть aRn – фиксированная точка, xRn – переменная. Тогда функция
x–a выпукла.
Доказательство. Пусть x,y – две любые точки. Тогда в силу неравенства
x y
 a , что и требовалось доказать.
треугольника x  a  y  a  x  y  2a  2
2
Лемма 2. Пусть X,Y – компактные множества в Rn, F:XY R – непрерывная
функция. Если множество X выпукло и при любом фиксированном yY функция
F(,y):X R выпукла, то функция g ( x)  min F ( x, y) тоже выпукла.
yY
Доказательство. Пусть x1 и x2 – две произвольные точки, y1 реализует минимум
F(x1,y), а y2 – точка максимума функции F(x2,y). Тогда
g ( x1 )  g ( x2 )  F ( x1 , y1 )  F ( x2 , y2 )  F ( x1 , y1 )  F ( x2 , y1 ) 
 2F (
x1  x2
x x
x x
, y1 )  2 min F ( 1 2 , y)  2 g ( 1 2 ),
yY
2
2
2
что и доказывает лемму.
Определение. Пусть xRn – точка XRn – компактное множество. Расстояние
d(x,X) от точки x до множества X определяется условием d ( x, X )  min x  y .
yX
Лемма 3. Для любого компактного множества XR функция d(,X): Rn R
выпукла.
Доказательство следует из лемм 1 и 2.
Определение. Точка x называется неподвижной точкой многозначного
отображения F:X2X, если xF(X).
n
147329388 19.01.2016
6
Теорема (Какутани, 1941 г). Пусть XRn – непустое компактное выпуклое
множество, а F:X2X – многозначное отображение, удовлетворяющее условиям:
А) для любой точки xX множество F(x) не пусто, выпукло и компактно;
Б) отображение F замкнуто.
Тогда Отображение F имеет неподвижную точку.
Доказательство. Рассмотрим функцию g:XXR, определенную условием
g(x1,x2)=d((x1,x2),{(x,y)XX : yF(x)}). Функция g выпукла и равенство
g ( x, y)  min g ( x, z )  0 имеет место тогда и только тогда, когда y F(x).
zX
Пусть t – произвольное положительное число. Рассмотрим функцию
gt(x,y)= g(x,y)+ty2. При любом фиксированном x функция gt(x,):XR строго выпукла,
поэтому условие gt ( x, mt ( x))  min gt ( x, z ) корректно определяет функцию mt XX. В силу
zX
леммы о замкнутом графике эта функция непрерывна. В силу теоремы Брауэра
существует точка xt, для которой xt=mt(xt) или, что то же самое gt ( xt , xt )  min gt ( xt , z ) .
zX
В силу компактности множества X можно так выбрать последовательность
положительных чисел tn0, что соответствующая последовательность xtn будет
сходиться к некоторой точке x*. Для любой точки y имеем gtn ( xtn , xtn )  gtn ( xtn , y ).
Переходя к пределу, получим g(x*,x*)g(x*,y), что в силу произвольности y означает, что x*
– точка максимума функции g(x*,), а это равносильно тому, что x*F(x*).
Задачи
1. Если N  Arg max f ( x) , то max  f ( x)  g ( x)  max f ( x)  max g ( x) .
xX
xX
xX
xN
2. Приведите пример, когда неравенство в предыдущей задаче строгое.
3. Если M  Arg min f ( x) , то min  f ( x)  g ( x)  min f ( x)  min g ( x) .
x X
xX
xX
4.
max f ( x)  max g ( x)  max f ( x)  g ( x) .
5.
min f ( x)  min g ( x)  max f ( x)  g ( x) .
6.
inf max fi ( x)  inf max gi ( x)  sup max fi ( x)  gi ( x) .
xX
xX
xX
xX
xX
xX 1i  m
xX
xX 1i  m
xX 1i  m
f(x,y)–g(x,y)<L
7. Если
xM
для
любого
xX
и
любого
yY,
то
max min f ( x, y)  max min g ( x, y)  L .
xX
yY
xX
yY
8. Можно ли круг с двумя дырками непрерывно и взаимно однозначно отобразить на
себя без неподвижных точек.
9. Функция f отображает отрезок [a,b] в себя и не убывает. Докажите, что она имеет
неподвижную точку.
  x, если x  1,

10. Функция f задана условием f ( x)  1, если 1  x  1, Задайте ее одной формулой,
 x, если x  1.

используя арифметические операции и операцию взятия абсолютной величины
числа.
147329388 19.01.2016
7
Литература
1. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и
упражнениях. М.: Высшая школа, 1986.
2. Л.С. Понтрягин Основы Комбинаторной топологии. М.: Наука, 1986.
3. М.М. Постников. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987. Лекция 9
147329388 19.01.2016