Взаимодействие солитонов в дискретных PT симметричных

Письма о материалах т.1 (2011) 222-225
www.lettersonmaterials.com
УДК 535.36
Взаимодействие солитонов в дискретных PT симметричных
системах без потенциала Пайерлса-Набарро
Сучков С.В.1,†, Кхаре А.2
†
sergey.v.suchkov@gmail.com
Институт проблем сверхпластичности металлов РАН, ул. Халтурина 39, Уфа 450001
2
Indian Institute of Science Education and Research, Pune, Maharashtra 411021, Индия
1
Soliton collision in discrete PT-symmetric systems
without Peierls-Nabarro potential
S.V. Suchkov1, A. Khare2
Institute for Metals Superplasticity Problems RAS, Khalturin St. 39, 450001 Ufa
Indian Institute of Science Education and Research, Pune, Maharashtra 411021, India
1
2
Рассматривается дискретная модель, описывающая систему волноводов с притоком и оттоком энергии, допускающая точные решения в виде волн солитонного типа.
Показано существование солитонов двух типов – высокочастотного и низкочастотного и исследована динамика взаимодействия солитонов как одного типа, так и
разных типов. Установлено, что солитоны одного типа
взаимодействуют абсолютно упруго, в то время как результат взаимодействия солитонов разного типа существенно зависит от начальных условий.
Discrete model describing a waveguide array with energy
gain and loss that admits exact solitary wave solutions was
considered. Existence of two types of solitons, namely,
the high-frequency and the low-frequency ones was
demonstrated. Collisions between similar and dissimilar
solitons were investigated. It was found that solitons of the
same type interact elastically, while for dissimilar solitons
the collision outcome significantly depends on the initial
conditions.
Ключевые слова: PT – симметричные системы, солитон,
PT – симметричный каплер, нелинейное уравнение Шредингера, потенциал Паейрлса-Набарро.
Keywords: PT-symmetric systems, soliton, PT- symmetric coupler,
nonlinear Schrödinger equation, Peierls-Nabarro potential.
1. Введение
ные системы обладают потенциалом Пайерлса-Набарро
(пПН), что снижает подвижность сигналов в таких системах. В работах [6-10] было показано, что, в некоторых
случаях, можно модифицировать дискретную модель таким образом, что континуальный предел остается неизменным, но для нее становится возможным построить
точные решения. В таких моделях отсутствует пПН, и
такая модификация системы позволяет изучить динамику взаимодействия солитонов более точно, поскольку, располагая точным решением, легко задать начальные условия, описывающие движущиеся солитоны, и,
кроме того, солитоны в таких системах двигаются, не
излучая энергию.
Взаимодействию солитонов в неинтегрируемых системах посвящено большое количество работ (см. [1115] и список литературы в этих работах). Обычно в
данных исследованиях обсуждается степень неупругости солитонных столкновений, зависимость результата
Известно, что системы с неэрмитовым гамильтонианом
могут обладать полностью вещественным спектром,
если они удовлетворяют так называемому свойству PT
(parity-time) –симметрии [1-2]. Такие системы могут
быть построены в оптике, в частности, к ним относятся
оптоволокна с притоком и оттоком энергии. Данные системы открывают новые возможности в формировании
оптических сигналов и управлении ими, дают возможность усиливать сигналы, что необходимо для их передачи на большие расстояния.
В работах [3-5] рассматривались системы взаимосвязанных волноводах с притоком и оттоком энергии. Были
построены решения солитонного типа, исследована их
устойчивость и динамика. В данной работе ставиться задача изучение взаимодействия солитонов в аналогичной
модели. Известно, что в большинстве случаев дискрет-
222
Сучков С.В. и др. / Письма о материалах т.1 (2011) 222-225
столкновения от разности фаз солитонов, фрактальное
рассеяние солитонов. В данной работе мы показываем,
что степень упругости столкновений так же может зависеть и от типа сталкивающихся солитонов в случае когда
рассматриваемая система поддерживает солитонные решения разных типов.
2. Описание модели
стью типа Абловица-Ладика возможно построение точного движущегося решения солитонного типа. В этой
модели отсутствует потенциал Паейрлса-Набарро, что
делает её более удобной для изучения столкновения солитонов.
Искомое солитонное решение имеет вид
θ

i  ω z − kn + δ 2 + 
2
un = A sech [ β (n − vz + δ1 )]e 
,
В работе рассматривается модель линейно связанных
θ

i  ω z − kn + δ 2 −  (2)
пар волноводов с притоком и оттоком энергии, называ2

v
=
A
se
c
h
[
β
(
n
−
vz
+
δ
)
]
e
,
1
n
емых PT - симметричными каплерами. Схематическое
Suchkov, Khare
изображение модели дано на рис. 1. В волноводах, отмеченных черным цветом, происходит приток энергии, где A - амплитуда, v - скорость, β - ширина, k - волновым
число,
ω - частотаvи- δскорость,
аэтом
белым
цветом - связи
отток. внутри
Параметр
C отвечает
за жест, δ2 - произвольные
фаз.
жесткость
каждого
каплера,
не где
k - волA - амплитуда,
 - ширина,сдвиги
1
2
кость
связи
между
каплерами,
при
этом
жесткость
свяДанные
параметры
связаны
следующими
соотношениограничивая общности, принята за единицу, | un | и новым число,  - частота и 1 ,  2 - произвольные
зи внутри каждого каплера, не ограничивая общности,
ями
сдвиги фаз. Данные параметры связаны следующими
2
2
n-го света
кап| vn |2 - интенсивности
принята
за единицу, un света
и vnв волноводах
- интенсивности
соотношениями
влера.
волноводах n-го каплера.
A2 = 2C sinh β 2 , β v =
−2C sin k sinh β , sin θ =
−ρ,
(3)
2
A  2C =
sinωh  2cos
, θv −


2
C
sin
k
sinh

,
sin




, (3)
2C[1 − cos k cosh β ].

 cos   2C[1  cos k cosh  ].
Таким образом, для фиксированных значений параТаким
фиксированных
значений
пара-A и
метровобразом,
модели идля
выбранных
значениях
амплитуды
метров
модели
и выбранных
значениях
ширины
β можно
получить решения
соамплитуды
скоростью A
v из
иинтервала
ширины  можно получить решения со скоростью
v из интервала
(4)
| v |≤ 2C A\ | β |,
| v | 2частотой
C A\ |  |, ω. Отметим,(4)что
и с соответствующей
и с соответствующей частотой  . Отметим, что
Рис.1. Схема модели: поперечное сечение системы волно2
Рис.
1. Схема
модели: поперечное
сечение
системы| uволноводов.
2
2
Будем называть
называть солитон
солитон высоковысокочаcosθ
=
и
водов.
С – жесткость
связи между
каплерами,
|
|
v
|
n 2
n
cos
± 11−ρ2 .. Будем
2
v
С- интенсивность
– жесткость связи
между
каплерами,
и
интенun каплера.
n Черным
света в волноводах n-го
2
сивность
света в волноводах
n-гос каплера.
цветом
частотой
частотным
cos

стотным с сcos
θ =
− 1 −1
ρ 2 и ичастотой
цветом изображены
волноводы
притокомЧерным
энергии,
беизображены
волноводы с притоком энергии, белым – с оттолым – с оттоком.
ком.
2
(5)

[1
2C
 kcos
k cosh
 ],
h −
ωh=
1 −1ρ2 
− 2C
−[1
cos
cosh
β ], (5)
Для описания представленной модели используется и низкочастотным с cos  1   2 и частотой
система
нелинейных
уравнений Шрѐдингера
с кубиДля описания
представленной
модели используется
и низкочастотным с 2cos θ= 1 − ρ 2 и частотой
l  1    2C[1  cos k cosh  ].
(6)
ческой нелинейностью
типа Абловица-Ладика:
система
нелинейных уравнений
Шрёдингера с кубичеКак
будет
показано
далее,
взаимодействие
солитоской нелинейностью типа Абловица-Ладика:
un
u u
ω = 1 − ρ 2 − 2C[1 − cos k cosh β ]. от взаи-(6)
нов
разныхl типов существенно отличается
  un  ivn  i | un |2 n 1 n 1  iC (un 1  un 1  2un ),
модействия солитонов одного типа.
(1)
2
z
Как будет показано далее, взаимодействие солитонов
v
v v
∂unn    vn  iun  i | vn 2|2 unn−11 + unn+11  iC (vn 1  vn 1  2vn ).
разных
типов
существенноэксперимент
отличается от взаимодейст+ iC (un −1 + un +1 − 2un ),
3. Численный
2
z = ρ un + ivn + i | un |
2
∂z
вия
солитонов
одного
типа.
(1)
∂vn достаточно большом
v + vn +1 солитонное решение При взаимодействии солитоны могу обмениваться
При
= − ρ vn + iun + i | vn |2 n −1 C
+ iC (vn −1 + vn +1 − 2vn ).
∂z
поскольку рассматриваемая
уравнения
(1) может быть2 получено приближенно, энергией, либо,
3. Численный
эксперимент система
обладает притоком и оттоком энергии, может происхоиспользуя континуальный аналог уравнения (1)
При взаимодействии солитоны могу обмениваться
При достаточно большом C солитонное решение дить изменение суммарной энергии системы. Поэтому
энергией, либо, поскольку рассматриваемая система
уравнения
(1) может
быть 2получено
приближенно, ис- главной характеристикой при изучении столкновения
u
u
2
обладает притоком
и оттоком
энергии,
может происхо
|
|
,

u



iv
i
u
u
i
солитонов
будет величина
энергии
солитонов
после
пользуя континуальный аналог
уравнения (1)
z
z 2
дить
изменение
суммарной
энергии
системы.
Поэтому
(2)
взаимодействия в сравнении с их энергиями до взаимоглавной характеристикой
изучении
столкновения
2
v
 2v
действия.
Как было показанопри
в работах
[4,11,12],
взаи| viv|2 +v i| iu |2 2u. + i ∂ u ,
  ∂vu=iuρui +
солитонов
будет
величина
энергии
солитонов
после
модействие
солитонов
зависит
от
их
разности
фаз,
поz
z
∂z
∂z 2
взаимодействия
в сравнении
с их суммарной
энергиями до
взаимоэтому
мы исследуем
зависимость
энергии
(2)
действия.
Как было
в работахкак
[4,11,12],
взаисолитонов
послепоказано
взаимодействия
функцию
∂ 2 v [4], где иссле- двух
v
2 в работе
использовался
Данный ∂метод
= − ρ v + iu + i | v | v + i 2 .
разности
фаз.
В
результате
эксперимента
было
устамодействие
солитонов
зависит
от
их
разности
фаз,
поэдовалась∂zаналогичная дискретная ∂модель
с
керровz
солитонызависимость
одного типа суммарной
взаимодействуют
тому мычто
исследуем
энергии
ской нелинейностью. Модель с керровской нелиней- новлено,
упруго, после
т.е. после
взаимодействия
восдвух солитонов
взаимодействия
какони
функцию
Данный
метод
использовался
в работе
[4], где иссленостью
более
реалистична,
однако
для модели
(1) с абсолютно
станавливают
свою
первоначальную
форму
и
энергию
разности фаз. В результате эксперимента было установдовалась
аналогичная
модель с керровской
нелинейностью
типа дискретная
Абловица-Ладика
возможно
продолжают
движение
с типа
начальной
скоростью. На
построение точного
движущегося
решения
солитон- илено,
что солитоны
одного
взаимодействуют
абсонелинейностью.
Модель
с керровской
нелинейностью
Рис.
2
приведен
пример
взаимодействия
высоконого
типа.
В
этой
модели
отсутствует
потенциал
Паони восстанавболее реалистична, однако для модели (1) с нелинейно- лютно упруго, т.е. после взаимодействиядвух
ейрлса-Набарро, что делает еѐ более удобной для частотных солитонов со следующими значениями параметров: для солитона, движущегося слева направо,
изучения столкновения солитонов.
A  0.5 , v  1 ( k  0.51) , а для солитона, движущего223
Искомое солитонное решение имеет вид
ся справа на лево, A  0.8 , v  2 ( k  1.878) . Параметры модели   0.5 , C  1 . Более ярким цветом цвет
рах, т.е., вообще говоря, | un |2 | vn |2 , наблюдаются эффекты усиления или ослабления общей интенсивности,
так же могут
порождаться
Сучков С.В. и др. / Письма о материалах
т.1 (2011)
222-225новые световые импульсы.
На рис. 3 приведен пример такого взаимодействия.
ливают свою первоначальную форму и энергию и
Suchkov,
продолжают движение с начальной скоростью.
На Khare
рис. 2 приведен пример взаимодействия двух высокочастотных солитонов со следующими значениями параэнергия солитонов является также периодической во
метров: для солитона, движущегося слева направо,
времени величиной. Поэтому будем оценивать средA=0,5, ν=1 (k=-0,51), а для солитона, движущегося спранюю по времени величину интенсивности солитонов.
ва на лево, A=0,8, ν=-2 (k=1,878). Параметры модели
Отметим, что при фиксированных значениях амплитуρ=0,5, C=1. Более ярким цветом цвет изображены обла- ды и скорости солитона, при заданных параметрах мости с более высокой интенсивностью. На (a) показано дели, существует два высокочастотных и два низкочас| un |2 , а на (b) | vn |2 .
  v  солитона с A=0,5,
Рис.
3. Взаимодействие
тотных
солитона с k высокочастотного
 arcsin 
 и
ν=1,5
(k=-0,83)
c
низкочастотным
с A=0,7, ν=1,7
A солитоном
2C 

Отметим, что в случае взаимодействия солитонов
Рис.3. Взаимодействие
высокочастотного
солитона
с A  0.5 ,
2
2
(k=0,96).
Параметры
модели:
ρ=0,5,
C=1.
На
(a)
представлена
одного типа un = ν n , и разность фаз солитонов не
  v | u |2
2
|
v
|
k  0.83
A
 0.7
c
низкочастотным
солитоном
с
интенсивность
света
,
на
(b)
.
,
где
определяется
из
(3).
На,
 , arcsin
kv 1.5

n

n
влияет на степень упругости взаимодействия.
2C 
 A. Параметры
v  1.7 , k  0.96
модели:   0.5 , C  1 . На (a)
Рис.2.
Динамика взаимодействия
двух высокочастотных
соРис.
(4) представлены
Взаимодействие
низкочастотных
солитонов качестβ v| vn|2 интенвремени
, на
(b)
.
представлена
интенсивность
света | un |2по
 β v усредненные
литонов. Параметры солитонов: A  0.5 , v  1 ( k  0.51) ,
= −π + arcsin 
k = − arcs
in 
,
солитонов
после
для левого,
венно не отличается от взаимодействия высокочастот- сивности
 и kвзаимодействия
2
A
C


2
A
C


n N / 2
движущегося
левой стороны;
h  солитонов,
1.02 для солитона,
ных
они также
являютсясупругими
для всех
солитонов разного типа
IДинамика
β определяется
| unвзаимодействия
|2  | vn из
|2 ,(3).
и правого,

l
где
,
,
для
солитона,
двиA

0.8
v


2
(
k

1.878)



3.56
значений разности фаз.
h
оченьn сложна
для анализа и будет рассмотрена в другой
1
Наnрис.
4 представлены усредненные по времени инДалее сизучалась
динамика
взаимодействия
солито  0.5
жущегося
правой стороны.
, C  1 .Более яркий
цвет
 NЗдесь же мы остановимся несколько более подработе.
тенсивности
после
взаимодействия
для
Iробно
| unсолитонов
|2  | частного
vn |2 , солитонов,
как функция
ихлеворазноврисунки
двух разных
типовболее
– высокочастотного
с солитона.
низкочана
соответствует
высокой амплитуде

r 
на анализе
случая
взаимодействия
со
n
N

/
2
1
2
2
го,
n= N / 2
стотным.
После взаимодействия
солитонов
разного
(b) | vn типа
На
(a) представлена
интенсивность света
| un | , на
| .
литонов одинаковой амплитуды
и
скорости.
Поскольку
линией
интенсив . Сплошной
Il = ∑
| un |2 +изображена
|приобретают
vn |2 ,
происходит изменение их формы, энергия периодически ности
после фаз
взаимодействия
солитоны
структуn
1
=
ность
солитона
движущегося
справа
налево
(низкочасперераспределяется
между
волноводамисолитонов
в каплерах,
т.е.,
ру,
в
которой
в
каждом
каплере
происходит
периодичеОтметим,
что в случае
взаимодействия
одно2
2
тотный
солитон),
пунктиром
– волноводами,
слева направосуммарная
(высокоправого,
n =между
N
вообще
эффекты
уси- и
ν n , наблюдаются
ский
обмен
энергиями
го
типа говоря,
фаз солитонов
не влия| un |2 | vnu|n2 , и≠разность
2
2
частотный
солитон).
Отметим,
что
начальная
разность
I
=
|
u
|
+
|
v
|
,
∑ n
ления или ослабления общей интенсивности, так же
n
r
ет на степень упругости взаимодействия.
n N / 2 +1
=
фаз
величина
относительная,
поскольку
взаимодейстмогут порождаться
новые световые
импульсы.
На рис. 3
Взаимодействие
низкочастотных
солитонов
качественвующие солитоны обладают разной частотой  , и их
приведен
пример
такого
взаимодействия.
солитонов,
их разности
δ. Сплошной
но не отличается от взаимодействия высокочастотных
разность фазкак
прифункция
столкновении
зависитфаз
от расстояния,
Динамика
взаимодействия
солитонов
разного
типа
линией
изображена
интенсивность
солитона
движусолитонов, они также являются упругими для всех знакоторое проходят солитоны до момента столкновения.
очень
сложна
для
анализа
и
будет
рассмотрена
в
другой
щегося
справа
налево
(низкочастотный
солитон),
чений разности фаз.
Однако, варьируя начальную разность фаз от 0 до пунработе.изучалась
Здесь же динамика
мы остановимся
несколько
более под- ктиром – слева направо (высокочастотный солитон).
Далее
взаимодействия
солитонов
2можно перебрать все возможные варианты. Параробноразных
на анализе
случая взаимодействия
двух
типов частного
– высокочастотного
с низкочастот-со- Отметим,
что C
начальная
разность
фаз -солитонов
величина от, параметры
метры модели
 1 ,   0.5
литонов
одинаковой
амплитуды
и скорости.
Поскольку
ным.
После
взаимодействия
солитонов
разного
типа
носительная, поскольку взаимодействующие солитоA  0.5 , | v | 1.5 . Пусть k1 волновое число высокочаспосле взаимодействия
структу- ны
происходит
изменение солитоны
их формы,приобретают
энергия периодичеобладают разной частотой ω, и их разность фаз при
На (a) проходят
изобратотного солитона,
k2 – низкочастотного.
ру, вперераспределяется
которой в каждом каплере
происходит периодически
между волноводами
в каплестолкновении
зависит
от расстояния, которое
,
жен случайдоk1момента
k2  0.83 , на (b)
k1  2.3
 0.83 ,столкновения.
скийт.е.,
обмен
энергиями
суммарная
эфрах,
вообще
говоря,между
| un |2 волноводами,
| vn |2 , наблюдаются
солитоны
Однако,
варьируя
энергия
солитонов
является
также
периодической
во
начальную
разность
фаз
от
0
до
2π
можно
перебрать
,
на
(c)
,
,
на
(d)
, все
k


2.3
k

2.3
k


0.83
k

2.3
фекты усиления или ослабления общей интенсивности,
1
2
1
2
времени
величиной.
Поэтому
будем
оценивать
среднюю
возможные
варианты.
Параметры
модели
C=1,
ρ=0,5,
так же могут порождаться новые световые импульсы.
k2  0.83 .
по времени
величину
интенсивности
солитонов. Отме- параметры
На
рис. 3 приведен
пример
такого взаимодействия.
солитонов A=0,5, ν = 1,5. Пусть k1 волновое
тим, что при фиксированных значениях амплитуды и
3
скорости солитона, при заданных параметрах модели,
3.6
существует два высокочастотных и два низкочастотных
Suchkov, Khare
солитона с
I
I 2.9
3.2
Рис.3. Взаимодействие высокочастотного солитона с A  0.5 ,
v  1.5 , k  0.83 c низкочастотным солитоном с A  0.7 ,
v  1.7 , k  0.96 . Параметры модели:   0.5 , C  1 . На (a)
2
Рис.2. Динамика
взаимодействия
со, на (b) | vn |2 .
представлена
интенсивность
светадвух
| un |высокочастотных
Рис.
2. Динамика
взаимодействия
высокочастотных
соли, v  1 ( k  0.51)
,
литонов.
Параметры
солитонов: двух
A  0.5
тонов. Параметры солитонов: A=0,5, ν=1 (k=-0,51), ωh=-1,02 для
для солитона,
движущегося
левойν=-2
стороны;
h  1.02движущегося
Динамика
взаимодействия
солитонов
разного
типа
солитона,
с левой
стороны;сA=0,8,
(k=1,878),
очень
в другой
ωAh=-3,56
движущегося
срассмотрена
правой
стороны.
ρ=0,5,
, для
,и
для солитона,
дви 0.8сложна
v  солитона,
2для
( k анализа
1.878)
hбудет
 3.56
C=1. Более
яркий
цвет
на рисунки соответствует
более подвысоработе.
Здесь
же
мы
остановимся
несколько
более
жущегося с правой стороны.   0.5 , C  1 .Более яркий цвет
кой амплитуде
солитона.
На (a)
представлена
интенсивность
робно
на 2анализе
частного
случая
взаимодействия
со2
на рисунки
амплитуде солитона.
| un |одинаковой
света
, соответствует
на (b) | vn | амплитуды
. более высокой
литонов
и скорости. Поскольку
На (a) представлена интенсивность света | un |2 , на (b) | vn |2 .
a
c
энергия
2.8 солитонов является также
2.8 периодической во
0 величиной.
2  4Поэтому
6 будем
0 оценивать
2  4 сред-6
времени
3
нюю по времени величину интенсивности
солитонов.
3.6 что при фиксированных значениях амплитуОтметим,
дыи скорости солитона, при заданных
параметрах моI 2.9
дели,3.2
существует два высокочастотных и два низкочасb
  v d
тотных
2.8 солитона с k   arcsin  2.8  и
0
2
 4
6  A 02C  2
 4
6
Рис. 4. Результатвзаимодействия
высокочастотного солитона с
v 
(3). На
k    arcsin  представленный
 , где  определяется
низкочастотным,
зависимостьюиз
осредненной
 A 2C 
по
времени
интенсивностью
солитонов
как функции ихсолиразноРис.4.
Результат
взаимодействия
высокочастотного
Рис. с(4)
представлены
усредненные
по зависимостью
временисолитонов
интенсти
Параметры
модели
C=1, ρ=0,5. Параметры
тонафаз.
низкочастотным,
представленный
сивности
солитонов
после
взаимодействия
левого,
осредненной
по
интенсивностью
солитонов
какk1=A=0,5,
|ν|=1.5,
(a)времени
k1=-0,83,
k2=0,83,
(b) k1=-2,3,
kдля
=2,3,
(c)
1
n N / 2
0,83,
k2=2,3,
(d)
=0,83.
Сплошной
линией
(пунктиром)
2k1=-2,3,2k
C

1
,
функции
их
разности
фаз.
Параметры
модели
Il 
| unинтенсивность
|  | vn | ,2 и правого,
изображена
низкочастотного
(высокочастотA  0.5 , | v | 1.5
  0.5n .1 Параметры
солитонов
, (a)
ного) солитона
после
столкновения
как
функция
начальной
n

N
, k2 δ.
, (b)2сплошная
, (c) k1  0.83
,
k1  0.83фаз
 20.83
k1  2.3 ,линия
k2  2.3
разности
Тонкая
показывает
уровень

I 

| u |  | v | , солитонов, как функция их раз-
n
начальной
энергии
каждого
из солитонов.
, (d)
, k2  0.83
. Сплошной линией (пунктиk2r 
2.3
k1n  2.3
n N / 2 1
ром)
изображена
интенсивность
низкочастотного
изображена (высокочасинтенсивности фаз  . Сплошной линией
тотного)
солитона
после
столкновения
как
функция
начальность солитона движущегося справа
налево
(низкочас-
после взаимодействия солитоны приобретают структуру, в которой в каждом каплере происходит периодичеОтметим,
в случае между
взаимодействия
солитонов
одноский
обменчто
энергиями
волноводами,
суммарная
224тотный солитон), пунктиром – слева направо (высокого типа | un |2 | vn |2 , и разность фаз солитонов не влиячастотный солитон). Отметим, что начальная разность
ет на степень упругости взаимодействия.
фаз - величина относительная, поскольку взаимодейст-
жен сл
k2  2
k2  0
3
I3
2

3
3
2
Рис.4.
тона с
осредн
функци
  0.5
k1  0
k2  2.3
ром) из
тотного
Сучков С.В. и др. / Письма о материалах т.1 (2011) 222-225
число высокочастотного солитона, k2 – низкочастотного.
На (a) изображен случай k1=-0,83, k2=0,83, на (b) k1=-2,3,
k2=2,3, на (c) k1=-0,83, k2=2,3, на (d) k1=-2,3, k2=0,83.
Из рис. 4 можно заключить, что начальная разность
фаз слабо влияет на перераспределение энергии между
солитонами, а так же на суммарную энергию всей системы, что можно было бы ожидать по аналогии с работами
[4,11,12]. Интересным фактом является то, что перераспределение энергии между солитонами отсутствует в
случае k2-k1=π. Отметим, что в случаях (a), (b) происходит усиление обоих солитонов, в случае (d) наблюдается
незначительное усиление или ослабление в зависимости
от разности фаз, а в случае (с) энергия солитонов не изменяется.
4. Заключение
В данной работе рассмотрена модель системы волноводов, обладающая PT – симметричным потенциалом,
допускающая точные решения. Потенциал ПайерлсаНабарро для неподвижных солитонов в данной системе
оказывается в точности равным нулю. Получено точное
решение, описывающее движущийся солитон. Показано, что два солитона одного типа взаимодействуют
абсолютно упруго, не зависимо от параметров модели
и параметров самих солитонов. Динамика взаимодействия солитонов разного типа существенно сложнее,
и для солитонов одинаковой амплитуды и скорости,
для определенного набора параметров модели и параметров солитонов, численно изучена зависимость перераспределения энергии между солитонами после их
взаимодействия в зависимости от разности начальных
фаз. В последующих работах предполагается построение приближенного решения, описывающего солитоны
с периодическим изменением их полной энергии.
Полученные результаты показывают, что системы
волноводов с PT-симметричными элементами с притоком и оттоком энергии демонстрируют ряд новых эффектов по сравнению с консервативными системами.
Методика данного исследования может быть использована при решении различных материаловедческих проблем.
Литература
1. C.M. Bender and S. Boettcher. Phys. Rev. Lett. 80, 5243
(1998).
2. C. M. Bender. Rep. Prog. Phys. 70, 947 (2007).
3. S.V. Dmitriev, S.V. Suchkov, A.A. Sukhorukov, Yu.S.
Kivshar. Phys. Rev. A84, 013833 (2011).
4. S.V. Suchkov, B.A. Malomed, S.V. Dmitriev, Yu.S.
Kivshar. Phys. Rev. E84, 046609 (2011).
5. S.V. Dmitriev, A.A. Sukhorukov, and Yu.S. Kivshar.
Opt. Lett. 35, 2976–2978 (2010).
6. S.V. Dmitriev, P.G. Kevrekidis, A. Khare, A.J. Saxena.
Physics A: Math. Theor. 40, 6267 (2007).
7. S.V. Dmitriev, N. Yoshikawa, P.G. Kevrekidis. J. Phys.
A: Math. Gen. 39, 7217 (2006).
8. I. Roy, P.G. Kevrekidis, A. Saxena, S.V. Dmitriev. Phys.
Rev. E76, 026601 (2007).
9. S.V. Dmitriev, P.G. Kevrekidis, A.A. Sukhorukov, N.
Yoshikawa, S. Takeno. Phys. Lett. A356, 324 (2006).
10.P.G. Kevrekidis, S.V. Dmitriev, A.A. Sukhorukov.
Mathematics and Computers in Simulation 74, 343
(2007).
11.S.V. Dmitriev, D.A. Semagin, T. Shigenari, A.A.
Sukhorukov. Phys. Rev. E66, 046609 (2002).
12.S.V. Dmitriev, T. Shigenari. Chaos. 12, 324 (2002).
13.S.V. Dmitriev, Y.S. Kivshar, T. Shigenari. Phys. Rev. E
64, 056613 (2001).
14.S.V. Dmitriev, P.G. Kevrekidis, B.A. Malomed, D.J.
Frantzeskakis. Phys. Rev. E68, 566031 (2003).
15.S.V. Dmitriev, P.G. Kevrekidis, Yu.S. Kivshar. Phys.
Rev. E78, 046604 (2008).
225