Теория солитонов - Радиофизический факультет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Радиофизический факультет
Кафедра общей физики
УТВЕРЖДАЮ
Декан радиофизического факультета
____________________Якимов А.В.
«18» мая 2011 г.
Учебная программа
Дисциплины М2.Р4 «Теория солитонов»
по направлению 011800 «Радиофизика»
магистерская программа «Акустика»
Нижний Новгород
2011 г.
1. Цели и задачи дисциплины
Цель курса состоит в формировании у студентов общего представления о роли нелинейных
уединенных волн в современной теории волн; ознакомлении с основами построения точных и
приближенных решений, описывающих волновые процессы с определяющей ролью солитонов.
Курс может быть использован в качестве основы для изучения солитонов в других специальных
дисциплинах.
2. Место дисциплины в структуре магистерской программы
Дисциплина «Теория солитонов» относится к дисциплинам вариативной части
профессионального цикла основной образовательной программы по направлению 011800
«Радиофизика».
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции:
 способностью использовать базовые знания и навыки управления информацией для решения
исследовательских профессиональных задач, соблюдать основные требования информационной
безопасности, защиты государственной тайны (ОК-l0);
 способность к свободному владению знаниями фундаментальных разделов физики и
радиофизики, необходимыми для решения научно-исследовательских задач (в соответствии со
своим профилем подготовки) (ПК-1);
 способность к свободному владению профессионально-профилированными знаниями в
области информационных технологий, использованию современных компьютерных сетей,
программных продуктов и ресурсов Интернет для решения задач профессиональной
деятельности, в том числе находящихся за пределами профильной подготовки (ПК-2);
 способность использовать в своей научно-исследовательской деятельности знание
современных проблем и новейших достижений физики и радиофизики (ПК-3);
 способность самостоятельно ставить научные задачи в области физики и радиофизики (в
соответствии с профилем подготовки) и решать их с использованием современного
оборудования и новейшего отечественного и зарубежного опыта (ПК-4).
В результате изучения дисциплины студенты должны иметь представление:
 об основных явлениях и процессах в нелинейных волновых системах, связанных с
солитонами
 о методах построения точных решений в интегрируемых моделях
 об основах приближенного описания эволюции нелинейных уединенных волн
знать:
 алгоритмы построения точных решений
 схемы теории возмущений
уметь:
 использовать методы и подходы теории солитонов при решении практических задач
иметь навыки:
 применения математического аппарата точных методов и приближенных подходов
4.Объем дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
Виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Всего часов
108
32
32
0
0
0
0
40
Семестры
10
32
32
0
0
0
0
40
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графическая работа
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
0
0
0
0
экзамен (36)
0
0
0
0
экзамен (36)
5. Содержание дисциплины
5.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
Раздел дисциплины
п/п
1 Введение
2 Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР)
3 Схема интегрирования нелинейных уравнений в частных
производных методом обратной задачи рассеяния на
примере уравнения КдВ. Зависимость данных рассеяния
от времени
4 Прямые методы построения солитонных решений. Метод
Хироты. Преобразование Бэклунда. Связь прямых
методов с МОЗР
5 Теории возмущений для солитонов
6 Квазистационарная теория возмущений в проблеме
взаимодействия солитонов
7 Моделирование волновых процессов ансамблями
взаимодействующих уединенных волн
Лекции
ПЗ (или С)
ЛР
4
4
4
4
6
6
4
5.2. Содержание разделов дисциплины
1. Введение
Краткий исторический обзор. Канонические интегрируемые модели нелинейной теории волн:
уравнение Кортевега-де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Синус-Гордона,
уравнение Кадомцева-Петвиашвили. Нелинейность и дисперсия среды как необходимое
условие существования солитонов.
2. Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР)
2.1. Интегрируемые уравнения как условия совместной пары линейный уравнений (систем
уравнений). Примеры.
2.2. Прямая и обратная задачи рассеяния. Общие сведения из теории рассеяния. Данные
рассеяния. Сплошной и дискретный спектр задачи на собственные значения.
2.3. Аналитические свойства собственных функций и данных рассеяния.
2.4. Вывод интегральных уравнений обратной задачи.
3. Схема интегрирования нелинейных уравнений в частных производных методом
обратной задачи рассеяния на примере уравнения КдВ. Зависимость данных рассеяния от
времени
3.1. Безотражательные потенциалы и N-солитонные решения. Получение N-солитонных с
помощью МОЗР. Анализ N-солитонных решений и их интерпретация. Вывод формул для
сдвигов фаз солитонов.
3.2. Обзор важнейших следствий интегрируемости нелинейных уравнений в частных
производных. Полиномиальные интегралы движения. Интегрируемые уравнения как
гамильтоновы системы. Переменные действие-угол.
4. Прямые методы построения солитонных решений. Метод Хироты. Преобразование
Бэклунда. Связь прямых методов с МОЗР.
5. Теории возмущений для солитонов
5.1. Теория возмущений для систем, близких к интегрируемым. Алгоритм построения
приближенного решения. Вывод уравнений, определяющих зависимость данных рассеяния от
времени при наличии возмущающих факторов. Восстановление потенциала рассеяния
(исходных полевых переменных).
5.2. Теория возмущений, использующая функцию Грина линеаризованных исходных уравнений
поля. Построение функции Грина. анализ решений линеаризованных уравнений при наличии
возмущений. Формулировка условий ограниченности получаемых решений. Уравнения для
параметров уединенных волн.
5.3. Квазистационарная теория возмущений для солитонов. Формулировка условий
применимости
квазистационарного
подхода.
Фундаментальная
система
решений
линеаризованных
уравнений
поля
в
квазистационарном
приближении.
Анализ
асимптотического поведения решений линеаризованных уравнений при наличии возмущений.
Вывод условий ограниченности поправок. Уравнения для параметров солитонов.
6. Квазистационарная теория возмущений в проблеме взаимодействия солитонов
6.1. постановка задачи. Ансамбли солитонов с близкими параметрами. Малый параметр задачи.
Решения во внешней и внутренних областях.
6.2. Вывод уравнений движения для центров уединенных волн из условий сращивания решений
из внешней и внутренней областей. Лагранжево описание. Динамика солитонов как
классических частиц.
6.3. Примеры приближенного описания взаимодействия уединенных волн в интегрируемых и
неинтегрируемых моделях. Сравнение с известными точными решениями и результатами
прямых численных экспериментов.
6.4. Модернизация приближенного описания взаимодействия солитонов; переход от координат
их центров к распределенным фазовым переменным.
7. Моделирование волновых процессов ансамблями взаимодействующих уединенных
волн
7.1. Возбужденные решетки солитонов как модулированные сильно нелинейные периодические
волны. Устойчивость; стационарные волны огибающей; иерархия волн огибающих.
7.2. Полубесконечные последовательности солитонов как фронты сильно нелинейных
волновых возмущений.
7.3. Солитоны под действием периодических возмущений. Генерация уединенных волн,
возникновение стохастизации движения солитонов.
6. Лабораторный практикум
Не предусмотрен.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
7.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература:
1. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи (Под
ред. С.П. Новикова). М.: Наука, 1980.
2. Солитоны в действии. Сб. под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта. М.: Мир. 1981.
3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.
4. Лэм Дж. мл. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983, 293 с.
5. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов. ЖЭТФ, 1977. Т.73, № 2. С.
537.
6. Kaup D.J., Newell A.C. Soliton as particles, oscillators, and in slowly varying media: a singular
perturbation theory. Proc. R. Soc. Lond. A. 1978. V.361. P.413-436.
7. Keener J.R., McLaughlin D.W. Soliton under perturbation. Phys. Rev. A. 1977. V.16. P.777.
8. Keener J.R., McLaughlin D.W. Green’s function for linear equation associated with solitons. J.
Math. Phys. 1977. V.18. P.2008.
9. Grimshaw R. Slowly varying solitary waves. Proc. Roy. Soc.A. 1979. V.368. P.359.
10. Gorshkov K.A., Ostrovsky L.A. Interaction of solitons in nonintegrable systems; direct
perturbation method and applications. Physica D. 1981. V.3. P.428-438.
б) дополнительная литература:
1. Кивмарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных
кристаллов. Пер. с англ. под ред. Н.Н. Розинова. М.: Физматлит, 2005. 648 с.
2. Петвиашвили В.И. Неодномерные солитоны. В кн. Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. 360
с.
3. Островский Л.А. Ударные волны и солитоны. Изв. ВУЗов – Радиофизика, 1976. Т.19, № 5-6.
С.661-690.
4. Горшков К.А., Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Нормальное и аномальное рассеяние
двумерных солитонов в рамках уравнений Кадомцева-Петвиашвили. ЖЭТФ, 1993. Т.104,
вып. 8. С.2704-2720.
5. Aranson I.S., Gorshkov K.A., Lomov A.S., Rabinovich M.I. Stable particle-like solution of
multidimensional nonlinear fields. Physica D. 1990. V.43. P.435-453.
8. Вопросы для контроля
1. Общая идея интегрирования нелинейных уравнений в частных производных методом
обратной задачи теории рассеяния.
2. Необходимые условия применимости МОР.
3. Постановка прямой задачи рассеяния для оператора второго порядка. (Уравнение
Шредингера с локализованным потенциалом).
4. Собственные функции и собственные значения. Коэффициенты отражения и прохождения.
5. Аналитические свойства собственных функций и данных рассеяния как функций
спектрального параметра. Вывод интегрального уравнения для собственных функций
спектральной задачи.
6. Вывод интегрального уравнения обратной задачи.
7. Вывод уравнений, определяющих зависимость данных рассеяния от времени.
8. Безотражательные потенциалы и отвечающие им данные рассеяния. Вывод формулы для Nсолитонных решений уравнения Кортевега – де Вриза.
9. Билинейная форма интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Метод
Хироты. Характерный вид N-солитонных решений уравнений в билинейной форме записи.
10. Построение N-солитонных решений с помощью преобразования Бэклунда.
11. Общая схема прямых методов возмущений для солитонов. Особенности поведения поправок
к солитонным решениям при использовании теории возмущений, использующей функцию
Грина линеаризованных уравнений поля в частных производных.
12. Условия применимости квазистационарного приближения при построении решений в
рамках прямых методов возмущений для уединенных волн. Особенности поведения
поправок к солитонным решениям при использовании квазистационарной теории
возмущений.
13. Схемы построения приближенных решений с помощью теории возмущений для систем
близких к интегрируемым.
14. Общая постановка задачи о взаимодействии солитонов, решаемой в квазистационарном
приближении. Малый параметр задачи. Необходимость использования метода сращиваемых
асимптотических разложений.
15. Уравнения движения для центров солитонов как условие сращивания решений, находимых
вблизи соседних уединенных волн.
16. Динамика солитонов как классических частиц. Масса эквивалентной классической частицы,
парный потенциал взаимодействия, их определение и интерпретация.
17. Замена координат центров уединенных волн на распределенные фазовые переменные. Учет
волновых свойств солитонов. Конечная протяженность локализованных образований и
немгновенность распространения возмущений между ними.
9. Критерии оценок
Превосходно
Отлично
Превосходная подготовка с очень незначительными
погрешностями
Подготовка, уровень которой существенно выше среднего с
Очень хорошо
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Плохо
некоторыми ошибками
В целом хорошая подготовка с рядом заметных ошибок
Хорошая подготовка, но со значительными ошибками
Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям
Необходима дополнительная подготовка для успешного
прохождения испытания
Подготовка совершенно недостаточная
10. Примерная тематика курсовых работ и критерии их оценки
Курсовые работы не предусмотрены.
Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом по
направлению 011800 «Радиофизика».
Автор программы _________________ Горшков К.А.
Программа рассмотрена на заседании кафедры 29 марта 2011 года
протокол № 04-10/11
Заведующий кафедрой ___________________ Бакунов М.И.
Программа одобрена методической комиссией факультета 11 апреля 2011 года
протокол № 05/10
Председатель методической комиссии _________________ Мануилов В.Н.