Тема: Симметричный режим трехфазных цепей
реклама
6 лекция Тема: Симметричный режим трехфазных цепей 1 Трехфазные цепи 2 Трехфазные цепи образуются тремя электрически связанными фазами (цепями) А, В, С, находящимися под переменными напряжениями одинакового периода Т, которые сдвинуты по фазе относительно друг друга на определенный угол (120 градусов) 3 К этим фазам подключаются статические и динамические нагрузки, соединенные как правило звездой или треугольником 4 Статические нагрузки - это обмотки трансформаторов, лампы, нагреватели, конденсаторы и др. Динамические нагрузки - это обмотки электрических двигателей 5 Трехфазные цепи являются наиболее экономичными и совершенными по сравнению с другими многофазными цепями и используются для электроснабжения большинства мощных потребителей электрической энергии 6 Генерирование и распределение электрической энергии осуществляется посредством трехфазных цепей, которые запитываются от обмоток генераторов и трансформаторов, характеризуемых фазными ЭДС eA(t), eB(t), eC(t) 7 eА u СА A eВ N а u AB b В eС u ВС С n2 с n1 8 Соединения обмоток генераторов и трансформаторов 9 а) звездой: eА N eВ eС линейный провод A u АВ линейный провод В u ВС линейный провод u СА С нейтральный провод N 10 б) треугольником: линейный провод eС eА A u АВ линейный провод eВ линейный провод В u СА u ВС С 11 Лучи звезды или ветви многоугольника приемника называют фазами приемника, а сопротивления фаз приемника — фазными сопротивлениями. 12 eА u СА A eВ N а u AB b В eС u ВС С n2 с n1 13 Симметричная система фазных ЭДС 14 В нормальном режиме фазные ЭДС генераторов и трансформаторов образуют симметричную систему, т.е. имеют одинаковую гармоническую форму, одинаковые частоту и амплитуду и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120 градусов 15 e А = 2E sin( ωt + α ) e В = 2E sin( ωt + α − 120°) eС = 2E sin( ωt + α + 120°) 16 Волновая диаграмма при α = 0 17 В е еА 2Е еВ еС t Т3 Т3 T − 2Е 18 j 0° ЕА = E ⋅ е − j120° ЕВ = E ⋅ е j120° ЕC = E ⋅ е 19 +j С ЕС U CA 120° N U ВC ЕВ ЕА 120° A +1 U AВ В 20 Линейные напряжения : u AB = e А − e B = 2 3E sin( ωt + α + 30°) u BC = e B − eC = 2 3E sin( ωt + α − 90°) u СА = eС − e А = 2 3E sin( ωt + α + 150°) 21 где U AB = U Л ⋅ e j( α + 30° ) U ВС = U Л ⋅ e j( α − 90° ) U СА = U Л ⋅ e j( α +150° ) - комплексы действующих значений 22 где U Л = 3Е - действующее значение 23 Фазовый оператор а = 1е j120° = −0,5 + j0,866 24 Тогда а = 1е 2 j240° = 1е − j120° = = −0,5 − j0,866 25 а = 1е 3 j360° =1 Таким образом 1+ а + а = 0 2 26 ЕА = E ⋅ е jα ЕВ = а Е А 2 ЕC = а E А - фазные напряжения генератора 27 U АB = U Л ⋅ е j( α + 30° ) U ВС = а U AB 2 U СА = а U AB 28 Фазные напряжения (приёмника) при соединении звездой 29 Фазные напряжения- это напряжения между фазами и нулевым проводом или нейтралью 30 а b с UA UВ UС N 31 где jβ U A = U Ф ⋅ e 2 U В = а ⋅ U A U = a ⋅ U A C 32 Линейные напряжения 33 Линейные напряжения- это напряжения между фазами, причем эти напряжения могут быть найдены по известным фазным напряжениям 34 U AВ U ВС U СА А В С N 35 где jλ U AВ = U A − U B = U Л ⋅ e 2 U ВС = U B − U C = а ⋅ U AВ U = U − U = a ⋅ U CА C A AВ U Л = 3U Ф 36 Симметричный режим трехфазной цепи 37 Симметричный режим характеризуется симметричной системой фазных ЭДС и напряжений, а также одинаковой комплексной нагрузкой фаз Трехфазная цепь с одинаковой комплексной нагрузкой фаз называется симметричной 38 Симметричный режим является нормальным режимом трехфазных цепей и рассчитывается известными методами в комплексной форме 39 1. Соединение звездазвезда с нулевым проводом 40 при E A = Ee Z = Z⋅e jα jϕ ZN = ZN ⋅ e jϕ N 41 ЕА N ЕВ A IА В IВ ЕС С I С ZN UN Z Z UА n UB Z UC IN 42 Линейные напряжения : U AВ = U Л ⋅ e jλ = 3Е Аe j30 2 U ВС = а ⋅ U AВ U = a ⋅ U AВ CА 43 I A , IB , IC - линейные токи, равные фазным токам; U A , U B , UC - фазные напряжения равные фазным ЭДС генератора (ЕА; ЕВ; ЕС); I N и U N - ток и напряжение нулевого провода 44 UN IN = =0 ZN 45 токи E A IА = Z = I Ле j( α − ϕ ) IВ = а I А 2 I С = аI А 46 Фазные напряжения U А = EA UВ = а ЕА 2 U С = аE А 47 А К л/р №9 U U СА АВ N С U В В С 48 Цепь без нулевого Провода. В фазе А – катушка Индуктивности В фазах В и С - резистор IA UA А ϕ UA N UС Un n UВ UС IС С UВ В IВ 49 Цепь с нулевым проводом. В фазе А – катушка Индуктивности А В фазах В и С - резистор IA ϕ UA N n UС IС С IN UВ В IВ 50 Комплекс полной вырабатываемой мощности ∗ ∗ ∗ S В = Е А I А + Е В I В + ЕС I С = = 3 ⋅ Е ⋅ I Ле jϕ = = PB + jQ B , ( BA ) 51 а) активная мощность PВ = Р П = 3 ⋅ Е ⋅ I Л cos ϕ = = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л cos ϕ = = 3 ⋅ I Л ⋅ [ Re(Z)] , (Вт) 2 52 б) реактивная мощность Q В = Q П = 3 ⋅ Е ⋅ I Л sin ϕ = = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л sin ϕ = = 3 ⋅ I Л ⋅ [ Im(Z)] , (вар) 2 53 Векторная диаграмма ϕ>0 54 С +j IС U CA ЕС ϕ UС ϕ N n U ВC ϕ IB ЕА UА 120° ЕВ U В В 120° A α +1 IА U AВ 55 В симметричном режиме ток нулевого провода IN и напряжение смещения нейтралей UN равны нулю, поэтому цепь без нулевого провода рассчитывается аналогично, причем такой расчет можно вести на одну фазу (А) 56 2. Соединение нагрузки треугольником при 57 EA IA Z EB U AB U CA EC U ВС IB I CA I AB Z IС Z I BC 58 где I A , I B , I C - линейные токи; I AB , I BC , I CA - фазные токи; U АВ , U ВС , U СА - линейные напряжения, равные фазным напряжениям 59 Фазные токи: I AB U = АB Z = I Фе j( λ − ϕ ) I ВС = а I АВ = U ВС I СА = а ⋅ I АВ = UСА 2 Z Z 60 Линейные токи I A = I AB − I CA = I Л е j( λ − ϕ − 30° ) I В = а I А = I ВС − I АВ 2 I С = а ⋅ I А = I СА − I ВС 61 где UЛ IФ = Z I Л = 3I Ф 62 Комплекс полной вырабатываемой мощности ∗ ∗ ∗ S в = E A I A + E B I B + EC I C = = 3 ⋅ Е ⋅ I Ле jϕ = = PB + jQ B , ( BA ) 63 а) активная потребляемая мощность Р П = 3 ⋅ U Л ⋅ I Ф cos ϕ = = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л cos ϕ = = 3 ⋅ I Ф ⋅ [ Re(Z)] , (Вт) 2 64 б) реактивная потребляемая мощность Q П = 3 ⋅ U Л ⋅ I Ф sin ϕ = = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л sin ϕ = = 3 ⋅ I ⋅ [Im( Z ) ], ( вар ) 2 Ф 65 Векторная диаграмма при λ > 0 и ϕ > 0 66 +j С U СА U ВC IС IА I СА В I АВ ϕ A U AВ λ +1 I ВС IВ 67 В симметричном режиме расчет можно было бы вести на одну фазу (например, А) 68 3. симметричный режим, комбинированная нагрузка 69 В симметричном режиме расчет сложной трехфазной цепи после преобразования треугольника в звезду ведется на одну фазу (А) любым известным методом в комплексной форме, затем при помощи фазового оператора а находятся токи и напряжения других фаз 70 Пример: E A = Ee jα R = ...Ом; XC = ...Ом; 71 EA C IA I ca R EB C U AB U CA EC U ВС IB I ab R IС R I bc C 72 C C U AB U CA U ВС IA R/3 IB R/3 IС R/3 C 73 Расчет на одну фазу (А): R ЕА − jXC A N а 3 n IА R Z = − jXC + 3 74 токи E A IА = Z = I Ле j( α − ϕ ) IВ = а I А 2 I С = аI А 75 Пример: 76 ЕА N ЕВ ЕС А В С Z1 Z1 Z1 I А1 а Uса I А3 U А1 I А 2 Uаb b I В3 I В1 U В1 I В2 Ubc I С3 I С1 с U С1 I С2 Z2 ZN Z3 U А3 Z3 n2 UВ3 Z3 U С3 Z2 Z2 UN = 0 IN = 0 77 Расчет на одну фазу (А): ЕА A N Z1 Z3 а n2 U А3 U А1 Z2 3 I А1 I А3 I А2 n1 78 Сложную трехфазную цепь в симметричном режиме можно преобразовать до эквивалентной звезды: Z Z 3 ⋅ 2 3 Z = Z1 + Z Z3 + 2 3 79 ЕА N ЕВ A I А1 Z В I В1 Z ЕС С I С 1 Z ZN UN UА n UB UC IN 80 Векторная диаграмма 81 U С1 С ЕС +j с U са U С3 I А1 U bc ЕА U А1 I С1 I В1 UВ3 b A U А3 а +1 U ab ЕB U В1 В 82 Пример: 83 EA EB L I A1 U AB L I ab I B1 I ca R I A3 I B3 EC U BC L I C1 R EA EB EC I C3 R I bc L C I A1 I A3 R 3 I A2 U AB L U BC L I B1 C I B2 R 3 I B2 I C1 C I C3 R 3 I C2 84 Измерение мощности в трехфазных цепях 85 Показание ваттметра (активная мощность участка цепи ): ∗ PW = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = Re UI , Вт jβ β где I = I ⋅ e , A jα α U = U⋅e , B ϕ = α − β, град U и I комплексы действующих значений напряжения и тока участка цепи. 86 I P = Uab * * ∧ I cos Uab I = Re(Uab,I) I, 87 I P = Uba ∧ * I cos Uba ( − I ) = Re(Uab, − I) В уравнениях I берется с плюсом, если на схеме стрелка тока входит в одноименный зажим (*) (а) и с минусом, если ток выходит из зажима (*) (б). 88 Например: PW=? R L R L L R PW = U AС ⋅ I B ⋅ cos ϕ, Вт 89 EA IA = = Z R jX L / 3 R jX L / 3 R jX L / 3 EA jXL R+ 3 IB = a I A 2 90 P = U AC I B * ∧ cos U AC I B = Re(U AC ,I B ) U AC = − UCA = −a U AB = = U ABe j( 120−180 ) = E A 3e = U ABe j( −60+ 30 ) − j60 = E A 3e = − j30 91 1. Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи с нулевым проводом 92 ∗U UА А IА ∗I UВ В IВ W1 ∗U ∗I W2 ∗U С IС ∗I W3 UС n 93 P = PА + PВ + PС = PW1 + PW2 + PW3 = = ∧ ∧ U A I A cos( U A I A ) + U В I В cos( U В I В ) + ∧ + UСI С cos( UС I С ), Вт 94 2. Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи без нулевого провода 95 Измерение мощности осуществляется двумя ваттметрами, причем одна из трех возможных схем следующая 96 ∗U А IА ∗I U АВ В ∗U IВ ∗I U ВС U СА W1 W2 IС С 97 ∗ ∗ Р = PW1 + PW2 = Re(U AС I A + U BС I B ) ∗ ∗ = Re(( U A − UC ) I A + ( U B − UС ) I B ) = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = Re(U A I A − UC I A + U B I B − UС I B ) = ∗ ∗ = Re(U A I A + U B I B + UC − I A − I B ) = ∗ ∗ ∗ = Re(U A I A + U B I B + UC I C ) 98 Схемы соединения нагрузки: звезда EA IA треугольник E ZA A IА Z AB EB EC IВ IC ZB ZC EB EC IВ I АВ I СА Z BC I ВС Z CA IC I А , IB , IС − I АB , I BC , I СA − линейные токи, равные фазным фазные токи I А , IB , IС − линейные токи 99 EA ZA IA EB EC ZB IВ EA IА Z AB EB IВ I АВ I СА Z BC I ВС ZC IC EC Z CA IC Симметричная нагрузка (ZA=ZB=ZC) (ZAB=ZBC=ZCA) U АB = , Z АB EA IА = ZA I АB IB = a I А I BC = a I АB IС = a I А I СA = a I АB 2 I N = I А + IB + IС 2 I А = 3I АBe − j30 100 EA ϕN = 0 EB EC EA ZA IA ZB IВ ZC IC IА Z AB ϕn EB EC ZN IВ I АВ I СА Z BC I ВС Z CA IC Несимметричная нагрузка (ZA=ZB=ZC) 1 1 1 1 ϕn + + = + Z A Z В ZС Z N Е Е Е = А+ В+ С Z A Z В ZС −ϕ n + E A −ϕn + EВ IА = ; IB = ; ZA ZВ IС = −ϕ n + EC ZC I N = I А + IB + IС I АB (ZAB=ZBC=ZCA) U U = АB ; I BC = BС ; Z АB Z BС U СА I СA = ZСА I А = I АB − I СА I В = I BС − I АВ I С = I СА − I BС 101 EA IA EB EC IВ IC ZA ZA ZA ZN=0 EA EВ IА = ; IB = ; ZA ZВ EC IС = ZC I N = I А + IB + IС 102 EA ϕN = 0 EB EC EA ZA IA ZB IВ ZC IC IА Z AB ϕn EB EC ZN IВ I АВ I СА Z BC I ВС Z CA IC Несимметричная нагрузка (ZA=ZB=ZC) 1 1 1 1 ϕn + + = + Z A Z В ZС Z N Е Е Е = А+ В+ С Z A Z В ZС −ϕ n + E A −ϕn + EВ IА = ; IB = ; ZA ZВ IС = −ϕ n + EC ZC I N = I А + IB + IС I АB (ZAB=ZBC=ZCA) U U = АB ; I BC = BС ; Z АB Z BС U СА I СA = ZСА I А = I АB − I СА I В = I BС − I АВ I С = I СА − I BС 103 Преобразование треугольника в звезду и наоборот а а Z ab Za Z сa Zс Zb b с Z bc bв Z аb Z Z = Zа + Zb + а b Zc Z bс Zb Zc = Z b + Zc + Za Zb = Z са Zс Zа = Zс + Zа + Zb Zс = Zа = с Z аb Z аb Z cа + Z bc + Z cа Z аb Z аb Z bc + Z bc + Z cа Z аb Z са Z bc + Z bc + Z cа 104 Пример 1: 105 EA a IФ R EB IФ R R I Ф A2 EC A1 c В симметричной трёхфазной цепи фазное напряжение генератора 127 В, сопротивление фаз нагрузки R=11 Ом. Определить показания амперметров. 106 E = 127 B U Л = 3E = 3 ⋅ 127 B = UФ UФ Iф = = R 3 ⋅ 127 = 20 A 11 I A2 = 20 A I Л = IФ 3 = 34,64 A I A1 = I C = 34,64 A 107 Пример 2: 108 R V I AB I CA jX L R I BC A 2 A1 IC В несимметричной трёхфазной цепи напряжение вольтметра 220 В, сопротивление фаз нагрузки R=XL= 11 Ом. Определить показания амперметров. 109 U Л = UФ = 220 R V I AB I CA jX L R I BC A 2 I C = I CA − I ВC A1 IC U ВС а 2 U АВ 220e− j120 − j120 I ВС = = = = 20e A R R 11 UСA а U АВ 220e j120 = = = 20e j30 A I СA = jXL jXL j11 I C = I CA − I ВC = 20e I A1 = I C = 38,62 A j30 − 20e − j120 = 38,62e j45 I A2 = I CA = 20 A A 110 Пример 3: 111 V R I AB I CA jX L R I BC A IC В несимметричной трёхфазной цепи, сопротивление фаз нагрузки R=XL= 11 Ом, Показания амперметра 38,62 А. Определить показания вольтметра 112 I C = I CA − I ВC 2 а U АВ а U АВ = = − jXL R 2 а UV а UV а а IА = − = UV − jXL R jXL R 2 UV = IА а а − jXL R 2 = R V I AB I CA jX L R I BC A 2 A1 IC 113 38,62 ⋅ j11 = j120 = = − j120 j120 − j30 e j11 e j11 e −e − 11 j11 38,62 j11 j90 j484,8 484,8e = = = ( −0,5 + j0.867 ) − (0,86 − j0,5) -1,366+1,366i = 424,8e j90 1,932e j135 = 220e − j45 U V = 220 B 114 Пример 4: 115 Определить показания ваттметров и активную мощность, потребляемую цепью. U AB = 173e j60 R = 25 Ом; XL = 24 Ом; XC = 72 Ом; 116 1. Преобразуем “треугольник” сопротивлений abc в эквивалентную звезду с сопротивлениями ' XC = XC 3 = 24 Ом 117 2. По заданному линейному напряжению найдем фазную ЭДС: EA = U AB 3 ⋅e j30 = 173e j60 3 ⋅e j30 = 100e j30 В 118 3. Найдем линейные токи: j30 EA 100e j30 = 4e IA = А = ' R + jXL − jXC 25 + j24 − j24 IB = a I A = e 2 − j120 ⋅ 4e j30 = 4e − j90 119 4. Определим фазные токи “треугольника” abc : I ab = IA 3 ⋅e j30 = 4e I ca = aI ab = 2, 31e ⋅e 3 I bc = a I ab = 2, 31e 2 j30 j30 = 2, 31e j60 − j60 j180 = −2, 31 120 5. Найдем приложенные к ваттметрам напряжения: а) к первому ваттметру U AC = − U CA = − aU AB = − e = −173e j180 j120 ⋅ 173e j60 = = 173 б) ко второму ваттметру U BC = a U AB = 2 =e − j120 ⋅ 173e j60 = 173e − j60 121 6. Определим показания ваттметров: ∧ P1 = U AC ⋅ I A ⋅ cos(U AC I A ) = = U AC ⋅ I A ⋅ cos(ψ AC − ψ A ) = = 173 ⋅ 4 ⋅ cos(0 − 30 ) = 600 Вт 122 ∧ P2 = U BC ⋅ I B ⋅ cos(U BC I B ) = = U BC ⋅ I B ⋅ cos(ψ BC − ψ B ) = = 173 ⋅ 4 ⋅ cos( −60 + 90 ) = 600Вт тогда сумма показаний ваттметров равна P = P1 + P2 = 600 + 600 = 1200 Вт 123 7. Найдем активную потребляемую цепью мощность: Р П = 3(I A )2 R = 3 ⋅ 4 2 ⋅ 25 = 1200 Вт 124 т.е. расчет проведен верно, т.к. Р=Р1+Р2=РП . 125 Действительно, для измерения активной мощности симметричной трехфазной цепи, достаточно включить один ваттметр и удвоить его показание. 126 Пример 5: 127 A A U AB B C a A IФ IФ b A IФ IФ IФ IФ c IФ = 4 A Определить показания амперметров 128 IA A U AB A I3 I1 I2 A I A = I1 + I 2 − I 3 = 4e jx1 UCA U AB UA = = + − R − jXC R + 4e jx2 − 4e jx3 = 129 U AB = U A 3e j30 U AB − j30 e j120 U AB U AB ⋅ e 3 = + − = R − jXC R = 4 U AB = 4 =4 − j30 U AB U AB j120 e 3 = + − e = R XC e − j90 R = 4 + 4e + j60 − 4e j120 = = 4 + (2 + j3,464) - (-2 + j3,464) = 8 A 130 Решение с помощью векторной диаграммы 131 С IСА= I3 I1+I2 I2 U СА U N В С IА ϕ = − 90 IВС В IАВ =I1 EА U АВ -I3 А IA A U AB A I3 I1 I2 132 A Пример 6: 133 Z I ca I ab Z Z I bc Найти показание ваттметра, если j100 E A = 500 e B Z ф = 120+j30 Ом. 134 Z I ca I ab Z Z I bc PW = U ВС ⋅ I C ⋅ cos ϕ, Вт UВС = a UAB = a 2 2 = 500 3 e 3EAe j30 − j120 =e j( −120+10+ 30)0 j10 j30 3500e e = 866,025e − j800 135 = j10 j130 EA 500e j120 500e I C = aI A = a =e = = 120 + j30 40 + j10 Z/3 3 500e j130 j116 = = 12,127e j14 41,2e PW = U ВС ⋅ I C ⋅ cos ϕ = = 866,025 ⋅ 12,127cos( −80 − 116) = = -10097,096 Вт 136 Пример 7: 137 Например: PW=? R L R L L R PW = U AС ⋅ I B ⋅ cos ϕ, Вт 138 EA IA = = Z R jX L / 3 R jX L / 3 R jX L / 3 EA jXL R+ 3 IB = a I A 2 139 P = U AC I B * ∧ cos U AC I B = Re(U AC ,I B ) U AC = − UCA = −a U AB = = U ABe j( 120−180 ) = E A 3e = U ABe j( −60+ 30 ) − j60 = E A 3e = − j30 140
