О структуре и кинематике пространственного пятизвенного

Кинематика механизмов
УДК 621.01
Ш.Р. ГАЛИУЛЛИН, Р.Ш. МАРДАНОВ
О СТРУКТУРЕ И КИНЕМАТИКЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ПЯТИЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА С ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ ПАРАМИ
В начале XX века английский математик Беннетт теоретически обосновал возможность существования пространственного четырехзвенного механизма с вращательными парами [1]. Он рассматривал механизм лишь как математическое доказательство согласованного расположения тел в пространстве, поскольку модели механизма, изготовленные из бумаги, наглядности не дали.
Однако статья Беннетта дала сильный толчок к исследованиям других ученых [5], которые в разные годы различными способами рассматривали структуру и условия существования данного механизма. Рассуждения на эту тему до сих пор не стихают. Подтверждением
тому служит вышедшая в 2009 г. статья проф. Л.Т. Дворникова [2], который нетрадиционным методом исследует структуру данного механизма.
Во второй половине ХХ века российские ученые-механики Б.В. Шитиков и
П.Г. Мудров, наряду с многочисленными теоретическими исследованиями [4], не только
создали, но и изготовили на базе механизма Беннетта целую серию установок различного
назначения [5]. Проф. П.Г. Мудров тогда уже подчеркивал, что оси вращательных кинематических пар кривошипов механизма Беннетта направлены по образующим однополостного
гиперболоида, т.е. образующим поверхности отрицательной кривизны.
На базе двух одинаковых пространственных шарнирных четырехзвенников, когда оси
шарниров шатуна, следовательно, и станины скрещиваются под углом 90 , получен новый
пространственный двухкривошипный пятизвенный механизм с вращательными парами [3].
Этот механизм является единственным пятизвенником, который обеспечивает передачу
вращательного движения, когда валы привода и рабочего (исполнительного) органа устройства параллельны.
Рассмотрим структуру и кинематику пространственного шарнирного пятизвенника.
Возьмем два механизма Беннетта ABCF и FCDE (см. рис. 1, а), у которых угол α2 скрещивания осей шарниров звеньев ВС и CD, следовательно, АF и FE, равен 90 . Объединим их так,
чтобы одинаковые звенья СF и FС совпали (рис. 1, б). Затем, исключив из замкнутой кинематической цепи эти звенья и объединив шарниры С в один шарнир, а станины АF и FE в
одну станину АЕ, получим пространственный шарнирный пятизвенник ABCDE, который
имеет однократную подвижность. Из известной структурной формулы имеем:
S  W  6  n  1  5 p5  1  6  5  1  5  5  2,
(1)
где S – число согласованных размеров (пассивных связей); W – степень подвижности механизма; n – число звеньев; p5 – число кинематических пар пятого класса (вращательных пар).
Как видим, полученный механизм имеет две пассивные связи и является, с точки зрения силового исследования, два раза статически неопределимой системой. Механизм возможен при следующих структурных согласованиях:
 кривошипы 1 и 4, а также шатуны 2 и 3 одинаковы как по длине, так и углу скрещивания осей шарниров, т.е.:
l1  l4 ; 1  4 ; l2  l3 ; 2  3  90o
,
 длины кривошипов 1 и 4 и шатунов 2 и 3 связаны соотношением:
l1(4)  l2(3) sin 1(4) ,
30
http://tmm.spbstu.ru
О структуре и кинематике пространственного механизма с вращательными парами
 геометрические оси вращения кривошипов 1 и 4 отстоят друг от друга на расстояние:
l5  2 l2(3) ,
 концы кратчайших расстояний (длин) кривошипов 1 и 4, а также шатунов 2 и 3 совпадают.
Угол поворота  4 ведомого кривошипа 4 не непропорционален углу поворота 1 ведущего кривошипа 1 и вычисляется по одной из представленных ниже формул:


cos 2 1 sin 1
 4  arcsin 
,
2
 1  sin 1  2sin 1 cos 1 
(2)
а)
б)
Рис. 1. Схема к получению пространственного пятизвенного механизма с вращательными
парами
Теория Механизмов и Машин. 2011. №2. Том 9.
31
Кинематика механизмов


 1  sin 2  cos   2sin  

1
1
1
  arccos 
.
4
2
 1  sin 1  2sin 1 cos 1 


(3)
Изложенное наглядно представлено в графиках (рис. 2, а), построенных для нескольких механизмов.
Дифференцируя выражение (2) по времени, найдем угловую скорость ведомого кривошипа 4:
d
 
4
dt
4 
cos2 
1
,
1
2
1  sin   2sin  cos 
1
1
1
(4)
где 1  const – угловая скорость ведущего кривошипа 1.
Из графиков (рис. 2, б), построенных по этому уравнению при 1  1, видно, что
угловая скорость вращения ведомого кривошипа – величина переменная при постоянной
скорости вращения ведущего.
а)
б)
Рис. 2. Графики угла поворота (а) и угловой скорости (б) ведомого кривошипа механизма.
32
http://tmm.spbstu.ru
О структуре и кинематике пространственного механизма с вращательными парами
Экстремальные значения 4 можно определить из следующих зависимостей:
max 
4
cos 2 
1
1  sin 1 
 ; min 
4
2 1
cos 2 
1
1  sin 1 
.
2 1
(5)
Теперь можно определить выражение для вычисления степени (коэффициента) неравномерности вращения ведомого кривошипа. При ср
4  1 оно имеет вид:
max  min
tg
4
1 .
 4
4
ср
cos


1
4
(6)
Как показывает выражение (6), с увеличением значения угла 1 степень неравномерности вращения ведомого кривошипа механизма возрастает. Рекомендуемое значение угла
Следовательно,
диапазон
изменения
степени
неравномерности
1  10 ...60 .
  0,71...13,85.
На практике степень неравномерности назначается, исходя из оптимальной неравномерности проектируемого рабочего органа, т.е. она считается заданной. Тогда из выражения
(6) можно получить формулу для вычисления значения угла скрещивания осей шарниров
кривошипа, которая имеет вид:
  arcsin
1
2 
4  2
.

(7)
Например, для получения степени неравномерности вращения рабочего органа проектируемого устройства, равной 1,5, угол скрещивания осей шарниров кривошипа должен
быть равным 19 28. Здесь отметим, что углы скрещивания осей шарниров звеньев механизма, как правило, отсчитывают против часовой стрелки, принимая за начало отсчета ось
шарнира, обращенную к наблюдателю.
Определяем угловое ускорение ведомого кривошипа 4. Итак, с учетом, что
1  const, имеем:
d
4 
 
4
dt
2sin  cos 2  sin 
1
1
2 .
1
2
1  sin 2   2sin  cos 
1
1
1


(8)
Из графиков (рис. 3), построенных для нескольких механизмов, видно, что угловое ускорение  4 достигает своего экстремального значения два раза за один оборот. Для вычисления  max
и  min
сначала нужно определить соответственные значения угла 1max и 1min .
4
4
Взяв первую производную правой части выражения (8) и приравняв еѐ нулю, получим:
Теория Механизмов и Машин. 2011. №2. Том 9.
33
Кинематика механизмов
max
min
1

sin
  arccos
2
  1  1  30sin 2 1  sin 4 1
4sin 1
(9)
.
Шатуны 2 и 3 в пространстве совершают сложное возвратно-вращательное движение.
Положение шатунов относительно друг друга определяется углом (рис. 4):
 2  180o  1   4 .
(10)
3
Рис. 3. Графики углового ускорения ведомого кривошипа механизма.
Центры теоретических шарниров кривошипов 1 и 4, т.е. точки B и D движутся в координатной системе XOY по окружности, радиус которой равен l1( 4) . Точки шатунов пере-
мещаются в пространстве по сложной траектории. Что касается шарнира, связы34
http://tmm.spbstu.ru
О структуре и кинематике пространственного механизма с вращательными парами
вающего два шатуна, т.е. точки С, то она также перемещается по окружности с радиусом
l1( 4) , но в координатной системе ZOY. Траектория точки С описывается следующим
уравнением:
Y  l1 cos  1  l 2 ,

Z  l1 sin  1 , 
где
sin 1  
(11)
cos 1 sin 1
cos  1  sin 1
; cos 1 
.
1  sin 1 cos 1
1  sin 1 cos 1
Рис. 4. Графики относительного положения шатунов механизма.
Построенные по формуле (11) графики перемещения точки С с исходными параметo
рами механизма: 1  4  15 ; l1  l4  0,1087 м; l2  l3  0, 42 м подтверждают правильность теоретических положений (рис. 5).
Экспериментальные исследования опытного образца, в основу которого положены
указанные выше конструктивные параметры, показали, что новый пространственный шарнирный пятизвенник надежен в работе, сможет передавать большие усилия, имеет благоприятную динамику, а также высокий коэффициент полезного действия, равный 0,95…0,96.
Теория Механизмов и Машин. 2011. №2. Том 9.
35
Кинематика механизмов
Оригинальность конструкции нового пятизвенного механизма и вращение его ведомого кривошипа с переменной (неравномерной за оборот) угловой скоростью открыло перспективное направление усовершенствования и создания высокоэффективных технических
средств обеспечения различных технологических процессов. В частности, он применен нами
на практике в качестве приводного механизма прутковых элеваторов корнеклубнеуборочных машин, а также в качестве привода инкрустирующей установки семян сельскохозяйственных культур [3].
Арсенал применения созданного шарнирного пятизвенника должен быть расширен.
а)
б)
Рис. 5. Графики (а) и траектория (б) перемещения точки С механизма
36
http://tmm.spbstu.ru
О структуре и кинематике пространственного механизма с вращательными парами
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ
1. Bennett G.T. A new mechanism. Engineering, London, vol.76, 1903, p.777-778.
2. Дворников, Л.Т. Нетрадиционные рассуждения о существовании механизма
Беннетта / Л.Т. Дворников // Теория механизмов и машин. 2009. №1 (13). – С.510.
3. Галиуллин, Ш.Р. Технологии и технические средства для промышленной
подработки семян сахарной свеклы и подготовки их к севу / Ш.Р. Галиуллин,
Р.Ш. Марданов. – Казань: ФЭН, 2005. – 240 с.
4. Мудров, П.Г. Пространственные механизмы с вращательными парами / П.Г.
Мудров. – Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1976. –
264 с.
5. Мудров, А.Г. Пространственные механизмы с особой структурой / А.Г. Мудров.
– Казань: Школа, 2003. – 300 с.
Поступила в редакцию 22.03.2011
После доработки 01.07.2011
Теория Механизмов и Машин. 2011. №2. Том 9.
37