Эмиттанс, адмиттанс, огибающая пучка

ЭМИТТАНС, АДМИТТАНС, ОГИБАЮЩАЯ
В общем случае под эмиттансом понимают фазовый объем, который
занимает пучок в шестимерном фазовом пространстве, по осям которого
отложены обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Однако, как
правило, рассматривают только поперечное движение частиц пучка и
исторически сложилось так, что осями являются координаты частиц и углы
отклонения. Если движение в поперечных направлениях происходит
независимо, то для одномерного поперечного движения частиц эмиттанс
пучка есть
A   dydy ,
(3.42)
где интегрирование производится по любому поперечному сечению пучка,
y  dy ds - наклон орбиты к реперной кривой, y=x,z. В случае отсутствия
ускорения поперечный эмиттанс, как это следует из теоремы Лиувилля,
сохраняется.
Эмиттанс пучка приближенно равен произведению диаметра пучка на
величину его углового раствора:
A 2y 2 .
Произведение
(3.43)
2y 2 ,
в
оговоренных
выше
условиях,
является
инвариантом, однако отношение y  может быть изменено оптической
ионной системой, через которую проходит пучок, как угодно. Проблема
согласования пучка с установкой (ускорителем или транспортной линией)
состоит в задании для пучка перед его входом в установку такого отношения
y  , при котором сечение пучка, при прохождении через установку,
становится по возможности наименьшим. Тем самым становится возможным
уменьшить поперечные размеры канала без потери интенсивности пучка
внутри канала.
Рис.3.2. Пучок в прямолинейном промежутке свободном от электромагнитных полей.
Пусть, например, имеется канал длиной l (рис.3.2) в котором поле
отсутствует (как электрическое, так и магнитное). Максимальный эмиттанс,
который может быть в канале установки, называется адмитансом или
аксептансом установки. Пучок будет согласован с каналом при условии
y   l .
(3.44)
В частном случае, если внутри канала частицы движутся по синусоидальным
траекториям с длиной волны λ, пучок будет согласован с каналом, когда
амплитуда колебаний будет равна
  2 . Для вакуумной камеры
полуширины a в качестве максимальных значений угла и амплитуды
принимаются значения, удовлетворяющие условию

 max  a .
2
(3.45)
Следовательно, аксептанс такой камеры
A
2

4a 2 .
(3.46)
Из (3.46) видно, что аксептанс камеры тем больше, чем меньше длина волны
колебаний в этой камере, откуда следует, что для больших частот аксептанс
имеет большее значение.
Рассмотрим два решения уравнения Хилла y1  s  и y2  s  . Вронскиан,
образованный из этих решений принимает постоянное значение. Далее
предположим, что y1  s  - действительное решение, а y2  s  - одна из
собственных функций уравнения Хилла, например y2  s    exp  i  s   ,
удовлетворяющая уравнению y2  s  
i 

y2  s  . Вспоминая соотношения
(3.32а) и (3.32б) и подставляя их в вронскиан получаем
 i 

y2 
y1  y1   W  const .
 

(3.47)
Заметим, что y2 y2*   , тогда из (3.47) следует
WW 
*
y12   y1   y1 

2
 const .
(3.48)
Выражение (3.48) носит название инварианта Куранта-Снайдера.
Рассмотрим последовательные положения частицы, которые она
занимает, пересекая азимутальную плоскость, определяемую координатой s0,
после каждого оборота в ускорителе. Совокупность этих положений
представим на плоскости
 y , y  .
Обозначим   s0    0 и   s0   0 .
Совокупность положений, которые занимает рассматриваемая частица в
выбранной плоскости, удовлетворяет уравнению
y 2   0 y   0 y  
2
0
C.
(3.49)
Это уравнение эллипса с центром в начале координат, оси которого
наклонены под углом к координатным осям. Координата точки эллипса вдоль
оси y достигает максимального значения
ymax  0C
при условии
0 y  0 y  0 . Площадь эллипса S   ymax y0 , где y0 - значение координаты
y при y=0. В соответствии с уравнением (3.49) y0  C 0 , таким образом,
площадь эллипса
S  C .
(3.50)
Теперь рассмотрим не одну частицу, а весь пучок, который пересекает
выбранную нами азимутальную плоскость s0 и эмиттанс которого в фазовой
плоскости
 y , y 
точно покрывает внутренность эллипса (3.50). Эмиттанс
этого пучка должен равняться A   C . Так как каждая точка внутри эллипса
соответствует положению некоторой частицы на азимутальной плоскости;
совокупность этих точек, образующаяся по мере обращения частицы в
ускорителе, заполняет в фазовом пространстве некий эллипс, описываемый
уравнением
y 2   0 y   0 y 
2
 C  C .
0
(3.51)
Это означает, что эллипс (3.49), описывающий пучок, сохраняется а,
следовательно, пучок стационарен в плоскости s0. Получается, что
максимальное отклонение любой крайней траектории пучка в реальном
пространстве есть наименьшее из возможных для данного эмитанса. Таким
образом, пучок с эмитансом A будет согласован в плоскости s=s0, если он
представлен в фазовом пространстве эллипсом
y 2   0 y   0 y  
0
2

A

.
(3.52)
Огибающая согласованного пучка, заполняющего эллипс, является
геометрическим местом точек траекторий с максимальным отклонением от
реперной кривой, которое достигается для 0 y  0 y  0 . Огибающая пучка
yсогл  s  , согласованного с эмиттансом A, выражается как
yсогл  s  
 s A
.

(3.53)
Важно знать максимальное значение этой огибающей, которое и определяет
максимальные
поперечные
размеры
вакуумной
камеры.
Огибающая
достигает максимума, как это видно из (3.53), при   s    max . Введем так
называемый «форм-фактор» пучка следующим образом
F  max  ,
(3.54)
где  - усредненное по периметру ускорителя значение. Так как   R  ,
то для максимального значения огибающей получаем
 yñî ãë max 
ARF

.
(3.55)
Введем в обычную магнитную систему ускорителя прямолинейный
промежуток таким образом, чтобы он не влиял на огибающую пучка. Это
означает, что матрица рассматриваемого промежутка может быть записана в
виде
 sin 
 cos    sin 

L
,


sin

cos



sin



(3.56)
причем величины коэффициентов  ,  ,  в крайних точках те же, что и для
регулярного звена идеальной машины. Сдвиг фазы бетатронных колебаний в
прямолинейной секции L – величина произвольная. Можно записать, что

L  I cos  J sin  , где J  
 
 
. Матрица обычного звена идеальной
 
машины без длинных прямолинейных промежутков может быть записана как
M  I cos   J sin  .
Пусть
a
число
нормальных
периодов
между
прямолинейными промежутками, тогда матрица секции, содержащей a
нормальных периодов равна M a . Матрица суперпериода, в который входит
рассматриваемый прямолинейный промежуток
M s  L  M a  I cos   a   J sin   a  .
(3.57)