Корреляции между множественностями и поперечными

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Коваленко Владимир Николаевич
Корреляции между множественностями и поперечными
импульсами в высокоэнергетических взаимодействиях
адронов и ядер в модели слияния струн
Специальность 01.04.02 —
«Теоретическая физика»
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физ.-мат. наук Вечернин В.В.
Санкт-Петербург — 2015
2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1 Модель слияния струн и физическая мотивация исследования дальних корреляций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1
Струнный подход в множественном рождении
. . . . . . . . . . .
13
1.2
Слияние кварк-глюонныx струн
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
Корреляционные функции и коэффициенты корреляции
. . . . .
2 Дипольная монте-карловская модель . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Цветовые диполи и струны
Партонная картина нуклон-нуклонных столкновений
2.1.2
Эксклюзивные партонные распределения
2.1.3
Цветные диполи
2.1.4
Учет конфайнмента
2.1.5
Энергия, импульс, масса и длина струны в пространстве
быстрот
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
17
22
. . .
22
. . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
32
2.1.6
Монте-карловский алгоритм протон-протонного рассеяния
34
2.1.7
Описание pA и AA взаимодействия
. . . . . . . . . . . . .
36
2.2
Процедура фиксации параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.3
Расширение модели для учета жесткости элементарных взаимо-
2.4
действий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3 Результаты вычисления дальних корреляций в pp, pA и AA
взаимодействиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Общие свойства корреляционных функций и коэффициентов корреляции
3.2
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сравнение результатов модели с экспериментальными данными
.
48
61
3
3.2.1
Коэффициенты
столкновениях
3.2.2
корреляции
множественности
в
pp-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Корреляции между множественностью и поперечным импульсом в pp, p-Pb и Pb-Pb столкновениях при энрегиях
БАК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
3.4
Зависимость коэффициентов корреляции от центральности ядроядерных и протон-ядерных столкновений . . . . . . . . . . . . . .
67
3.3.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.3.2
Результаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4 Использование модели при энергиях SPS и сравнение с другими подходами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
64
75
Применение модели для поиска критической точки фазовой диаграммы сильновзаимодействующей материи при энергиях SPS . .
75
4.1.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.1.2
Выбор наблюдаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.1.3
Результаты
79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сравнение с другими подходами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.2.1
Модифицированная модель мультипомеронного обмена . .
86
4.2.2
Корреляции поперечного импульса в альтернативных мо-
4.2.3
делях коллективности в ядро-ядерных столкновениях . . .
95
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A Заголовочый файл монте-карловской модели . . . . . . . . . 126
B Пример конфигурационного скрипта . . . . . . . . . . . . . . . 132
4
Введение
Актуальность
Исследование процессов множественного рождения частиц в релятивистких
столкновениях адронов и ядер является одной из наиболее актуальных проблем
физики высоких энергий. В настоящее время проводятся эксперименты по изучению столкновений адронов и тяжелых ионов при сверхвысоких энергиях на
Большом адронном коллайдере (ЦЕРН). Эксперименты по исследованию фазовой диаграммы сильновзаимодействующей материи проводятся на ускорителях
SPS (NA61), RHIC (STAR, PHENIX), в будущем для этих целей планируется
запустить также экспериментальные установки на коллайдере NICA (Дубна) и
ускорителе FAIR (GSI, Германия).
Подавляющее большинство частиц, рождающихся в таких столкновениях,
имеют достаточно малое значение поперечного импульса (𝑝𝑡
. 1.5
ГэВ/𝑐) то
есть принадлежат к мягкой составляющей спектра. Рождение частиц в данной
области не описывается в рамках теории возмущений квантовой хромодинамики (КХД), что приводит к необходимости использования альтернативных
подходов.
Широкое распространение получила так называемая двухстадийная картина множественного рождения, ведущая свое происхождение от реджевского
подхода [1–3]. Согласно данной модели, на первом этапе между партонами снаряда и мишени формируются протяженные объекты – кварк-глюонные струны; на втором этапе они распадаются с образованием наблюдаемых адронов.
Данный подход позволил описать широкий круг явлений в процессах высокоэнергетических
𝑒+ 𝑒−
и pp столкновений.
К наиболее важным предсказанием струнной модели можно отнести принципиальную возможность появления так называемых дальних корреляций
между выходами частиц в разнесенных быстротных интервалах, разделенных
значительным зазором по быстроте. Дальние корреляции были обнаружены
5
в экспериментах по протон-протонному и ядро-ядерному рассеянию [4–10]. В
дальнейшем было показано, что величина дальних корреляций зависит от дисперсии числа струн, образующихся в pp и AA столкновениях [11, 12].
С увеличением энергии, а также при переходе от столкновений протонов к
ядро-ядерным столкновениям число образующихся струн растет, что приводит
к необходимости учета взаимодействия между ними. Одним из подходов для
учета взаимодейсвия перекрывшихся в поперечной плоскости струн является
модель слияния струн [13–17]. Согласно данной модели на месте перекрывания
струн образуется объект, по свойствам эквивалентный кварк-глюонной струне
с большим натяжением, что приводит к модификации множественности и поперечного импульса частиц, рождающихся при фрагментации такой струны. В
ультрарелятивистских столкновениях тяжелых ионов такие кластеры слившихся струн описывают свойства горячей и плотной сильновзаимодействующей материи, рождающейся в начальные этапы высокоэнергетических ядро-ядерных
столкновений. В частности, в работах [18, 19, 19, 20] модель слияния струн
применялась для расчета таких параметров, как скорость звука, вязкость и
плотность энергии среды; также были произведены вычисления коэффициентов коллективного потока и угловые корреляции [21–23]. При этом получено
хорошее согласие с расчетами решеточной КХД и экспериментальными данными.
С другой стороны, поскольку кварк-глюонная струна является протяженным в пространстве быстрот объектом, дающим при фрагментации вклад в
широкий быстротный интервал, дальние корреляции, является чувствительным инструментом для изучения свойств цветных струн (в том числе возможности их слияния) не только в ядро-ядерных, но и протон-протонных и протонядерных столкновениях.
Актуальность темы исследования определяется необходимостью получения новых теоретических предсказаний по дальним корреляциям наблюдаемых величин в протон-протонных, протон-ядерных и ядро-ядерных столкновениях при высоких энергиях, для сравнения с новейшими экспериментальными
данными, получаемыми в современных ускорительных экспериментах, что позволят получать информацию о свойствах начального плотного стояния сильновзаимодействующей материи, возникающего сразу после взаимодействия ядер
высоких энергий, и роли процессов слияния цветных струн в его формировании.
6
Цели и задачи работы.
Основной целью данной диссертационной работы является теоретическое
исследование корреляций между множественностями и поперечными импульсами в разнесенных быстротных интервалах в процессах столкновения адронов
и ядер при высоких энергиях.
Основные
задачи диссертационной работы:
1. Разработать модель формирования и слияния кварк-глюонных струн, образуемых в процессах нуклон-нуклонного рассеяния, с учетом их конечной протяженности по быстроте.
2. Произвести обобщение модели на случай ядро-ядерных взаимодействий
без
использования
предположения
о
независимых
нуклон-нуклонных
столкновений
3. Исследовать закономерности поведения корреляционных функций и коэффициентов корреляции между множественностями и поперечными импульсами в разнесенных быстротных интервалах, получить предсказания
для эксперимента.
4. Изучить особенности коэффициентов корреляции в протон-ядерных и
ядро-ядерных столкновениях.
Научная новизна и практическая ценность.
1. Разработана новая модель pp, pA и AA столкновений, в которой элементарные взаимодействия описываются как взаимодействия цветных диполей, при этом учитывается распределение образующихся кварк-глюонных
струн по быстроте и их слияние.
2. Впервые теоретически исследована зависимость коэффициентов n-n, pt-n
и pt-pt корреляций в pp, pA и AA взаимодействиях от энергии столкновения, положения и ширины быстротных окон, области поперечных импульсов регистрируемых частиц, наличия или отсутствия учета процессов
слияния струн.
3. Получены новые теоретические предсказания, которые позволяют сделать вывод о наличии эффектов слияния струн в высокоэнергетических
7
взаимодействиях адронов и ядер, а также устанавливают жесткие ограничения на поперечный радиус струны, характеризующий их интенсивность.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут
быть использованы в работе международных коллабораций ALICE на БАК и
NA61 на SPS в Европейском центре ядерных исследований (ЦЕРН) при проведении текущих и планируемых в будущем экспериментов.
Достоверность
полученных результатов обеспечивается согласованием
численных монте-карловских и аналитических расчетов, совпадением предельных случаев с ранее опубликованными результатами, сопоставлением с альтернативными подходами, а также количественным и качественным согласием
результатов с экспериментальными данными в широком диапазоне энергий.
Апробация работы.
Результаты, представленные в диссертации, докла-
дывались и обсуждались на научных семинарах кафедр физики высоких энергий и элементарных частиц и ядерной физики, лаборатории физики сверхвысоких энергий физического факультета СПбГУ, на рабочих совещаниях коллабораций ALICE и NA61 (ЦЕРН) в 2011-2015 годах, на международных конференциях, семинарах и студенческих сессиях школ для молодых ученых:
–
International Student Conference “Science and progress”, SPbSU, 2010;
–
CERN Summer Student Programme, Geneva, Switzerland, 2011;
–
The
5th
International
Conference
“Distributed
Computing
and
Grid-
technologies in Science and Education”, Dubna, 2012; The 6th MCnet-LPCC
school on Event Generators for LHC, CERN, Geneva, Switzerland, 2012;
–
16th International Moscow School of Physics (41th ITEP Winter School of
Physics) “Particle Physics”, Otradnoe, 2013;
–
25th International Nuclear Physics Conference INPC 2013, Florence, Italy,
2013;
–
The XXI International Workshop High Energy Physics and Quantum Field
Theory QFTHEP 2013, Repino, Saint Petersburg Area, Russia, 2013;
–
II Russian-Spanish Congress “Particle and Nuclear Physics at all Scales
and Cosmology”, Saint-Petersburg, 2013; ECT* Doctoral Training Program
8
“Heavy Ion Collisions: exploring nuclear matter under extreme conditions”,
Trento, Italy, 2014;
–
XXIV
International
Conference
on
Ultrarelativistic
Nucleus-Nucleus
Collisions “Quark Matter 2014”, Darmstadt, Germany, 2014;
–
52nd International School of Subnuclear Physics, Erice, Italy, 2014;
–
20th Particles and Nuclei International Conference 2014, Hamburg, Germany,
2014;
–
Quark Confinement and the Hadron Spectrum XI, St. Petersburg, Russia,
2014;
–
The XXII International Baldin Seminar on High Energy Physics Problems
“Relativistic
Nuclear
Physics
and
Quantum
Chromodynamics”,
Dubna,
Russia, 2014;
–
FRRC Seminar “The Contribution of young Russian scientists in the project
FAIR”, ITEP, Moscow, 2014;
–
International Conference “In Search of Fundamental Symmetries” dedicated
to the 90-th birthday anniversary of Yuri Victorovich Novozhilov, SaintPetersburg, 2014.
Вклад автора.
Все основные результаты диссертации получены автором
лично. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В статьях
[A4, A6, A12] постановка задачи и обсуждение результатов осуществлялась совместно с В. В. Вечерниным. В работах [A5, A7, A11] автором были произведены расчеты распределений множественности, среднего поперечного импульса,
а также анализ результатов с точки зрения модели слияния струн. Вклад автора в статьи [A2, A11] составляют результаты и методика расчета в рамках
разработанной им монте-карловской модели.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех
глав, заключения и двух приложений. Полный объем диссертации составляет
132 страницы, включая 54 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит
163 наименования.
9
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы,
формулируются основные задачи, научная новизна и практическая ценность
работы, приводится краткое содержание отдельных глав.
В первой главе
вводятся основные понятия, обосновывается физическая
мотивация исследования дальних корреляций между наблюдаемыми в разнесенных быстротных интервалах, приводится обзор модели слияния струн и ее
основных теоретических результатов
Вторая глава
посвящена формулировке монте-карловской модели, ис-
пользуемой в дальнейших расчетах. Производится моделирование эксклюзивных распределений по долям продольного импульса и поперечным координатам
партонов с учетом ограничений, налагаемых сохранением энергии и углового момента. Происходит обобщение модели на случай протон-ядерных и ядроядерных столкновений. Описывается процедура фиксации параметров модели.
Приводятся результаты по множественности и неупругому сечению, а также
устанавливаются ограничения на параметры модели. Производится расширение модели для эффективного учета жесткости элементарных столкновений
с целью более корректного сопоставления результатов с экспериментальными
данными.
В третьей главе
приводятся
результаты
вычисления
корреляционных
функций и коэффициентов дальних корреляций в столкновениях протонов и
ядер. Исследуются общие закономерности поведения дальних корреляций в зависимости от энергии столкновения, положения и ширины быстротных окон,
области поперечных импульсов регистрируемых частиц, а также исследована
степень влияния эффектов от слияния струн на величину этих корреляций.
Изучается зависимость коэффициентов корреляций в p-Pb и PbPb столкновениях от центральности и способов ее фиксации, производятся предсказания для
эксперимента.
В четвертой главе
модель применяется для поиска критической точки
сильновзаимодействующей материи путем сканирования по энергии и сортам
сталкивающихся ядер. Приводятся результаты по дальним корреляциям в pp,
pA и AA столкновениях при энергиях SPS. Во второй части главы изучаются
альтернативные подходы для описания коллективности в протон-ядерных и
ядро-ядерных столкновениях. На основе параметризации большого количества
экспериментальных данных по pt-n корреляциям делается анализ результатов
10
с точки зрения модели слияния струн. Также изучаются корреляции между
средними поперечными импульсами в альтернативных подходах.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы модели.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Разработана новая модель множественного рождения частиц в высокоэнергетических pp, pA и AA столкновениях, основанная на взаимодействии цветных диполей, и учитывающая эффекты слияния образующихся
струн и их быстротные распределения.
2. В рамках модели вычислен широкий круг наблюдаемых величин (неупругое сечение, множественность в pp, pA и AA столкновениях, быстротные
распределения), и из сравнения с экспериментом установлены ограничения на параметры модели - среднюю множественность заряженных частиц от распада одной струны и ее поперечный радиус.
3. Получено теоретическое объяснение наблюдаемых и предсказание новых
закономерностей поведения корреляционных функций и коэффициентов
корреляции в зависимости от энергии столкновения, положения и ширины быстротных окон, области поперечных импульсов регистрируемых
частиц, а также исследована степень влияния эффектов от слияния струн
на величину этих корреляций.
4. Проведен анализ зависимости поведения корреляций различных типов в
pA и AA столкновениях от класса центральности и показано, что в отличие от средних значений коэффициенты корреляции зависят не только от
класса центральности, но и от его ширины и способа фиксации, что играет
решающую роль для сравнения теоретических предсказаний с данными
экспериментов.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в следующих работах:
A1. V. Kovalenko. Modelling of exclusive parton distributions and pp interaction
features in the approach with the colour strings formation. Proceedings of
International Student Conference “Science and progress”, Saint-Petersburg,
2010.
11
A2. I. G. Altsybeev, G. A. Feofilov, M. V. Kompaniets, V. N. Kovalenko, V.
V. Vechernin, I. S. Vorobyev, A. K. Zarochentsev. Grid technologies in
SPbSU long-range correlations analysis and MC simulations for ALICE. Proc.
“Distributed Computing and Grid-Technologies in Science and Education”,
Dubna, JINR, pp 18-22, 2012.
A3. В. Н. Коваленко, Моделирование эксклюзивных партонных распределений и дальних быстротных корреляций в pp-столкновениях при энергиях LHC. Ядерн. физика 76, No 10, 1251–1257 [V. N. Kovalenko, Modeling
of Exclusive Parton Distributions and Long-Range Rapidity Correlations
in Proton–Proton Collisions at the LHC Energies. Phys. Atom. Nucl. 76 ,
1189–1195 (2013)].
A4. V. Kovalenko, V. Vechernin. Model of pp and AA collisions for the description
of long-range correlations, PoS (Baldin ISHEPP XXI) 077, 2012.
A5. Е. О. Бодня, Д. А. Деркач, В. Н. Коваленко, А. М. Пучков, Г. А. Феофилов. Описание распределения множественности и
в
𝑝𝑝
и
𝑝¯
𝑝 столкновениях
𝑝𝑡𝑁𝑐ℎ − 𝑁𝑐ℎ
корреляций
в модели мультипомеронного обмена. Вестн. С.-
Петерб. ун-та. Сер. 4. Физ. Хим. Вып. 4. С. 60–73. 2013.
A6. V. Kovalenko, V. Vechernin. Long-range rapidity correlations in high energy
AA
collisions
in
Monte
Carlo
model
with
string
fusion.
EPJ
Web
of
Conferences 66, 04015 (2014).
A7. E. Bodnya, D. Derkach, G. Feofilov, V. Kovalenko, A. Puchkov. Multi-pomeron
exchange model for pp and
𝑝¯
𝑝 collisions
at ultra-high energy. PoS (QFTHEP
2013) 060, 2013.
A8. V. Kovalenko. Monte Carlo model for pp, pA and AA collisions at high energy:
parameters tuning and results. PoS (QFTHEP 2013) 052, 2013.
A9. T. Drozhzhova, G. Feofilov, V. Kovalenko, A. Seryakov. Geometric properties
and charged particles yields behind Glauber model in high energy pA and AA
collisions. PoS (QFTHEP 2013) 053, 2013.
A10. V. Kovalenko, Long-range correlations in proton-nucleus collisions in MC
model with string fusion, AIP Conf. Proc. 1606, 174 (2014).
12
A11. E.O.Bodnya, V.N.Kovalenko, A.M.Puchkov and G.A.Feofilov, Correlation
between mean transverse momentum and multiplicity of charged particles in
pp and
𝑝¯
𝑝 collisions:
from ISR to LHC, AIP Conf. Proc. 1606, 273 (2014).
A12. V. Kovalenko, V. Vechernin. Long-range correlation studies at the SPS
energies in MC model with string fusion, PoS (Baldin ISHEPP XXII) 069
(2015).
13
Глава 1
Модель слияния струн и
физическая мотивация
исследования дальних корреляций
1.1
Струнный подход в множественном рождении
Современные сведения о строении адронов и механизмах их взаимодействия
в теории квантовой хромодинамики (КХД) включают в себя представление об
одномерных протяженных объектах – релятивистских струнах. Модель релятивистской струны дает наглядную картину удержания кварков в адронах (конфайнмента), важного свойства квантовой хромодинамики. В частности, представление о струне как о пространственно-временной конфигурации цветового
поля подтверждается решеточными вычислениями КХД (см. рис. 1.1).
При разнесении кварков на расстояние, превышающее размер адрона, энергетически более выгодными являются такие конфигурации глюонных полей,
при которых поле не заполняет все пространство, а концентрируется вдоль линий, соединяющей кварки, трубки цветового поля (flux tubes). В момент неупругого высокоэнергетического столкновения адронов происходит перезамыкание
цветовых потоков, при этом между партонами снаряда и мишени натягиваются
цветовые трубки с кварками на концах, движущихся практически со скоростью
света. Такие конфигурации глюонных полей моделирует релятивистская струна с точечными массами на концах [25].
14
Рисунок 1.1: Кварк-антикварковая (слева) и кварк-дикварковая (справа)
струна в решеточной КХД [24]
При рассмотрении широкого круга явлений концы струны достаточно считать безмассовыми. В таком случае динамика релятивистской струны описывается действием Намбу [26]. Пример пространственно-временной эволюции релятивистской струны показан на рис. 1.2.
Рисунок 1.2: Пространственно-временная картина эволюции струны [2]
При условии, что энергии кварк-глюонной струны достаточно для образования нескольких адронов, из-за квантовых флуктуаций происходит рождение
кварк-антикварковой пары, струна таким образом делится (фрагментируется)
на несколько струн (см. рис. 1.3).
Модели, основанные рождении и дальнейшей адронизации кварк-глюонных
струн позволяют описать ряд наблюдаемых в спектрах частиц, рождающихся
в
𝑒+ 𝑒−
и pp столкновениях [1, 28–30].
15
Рисунок 1.3: Распад кварк-глюонной струны [24]
Рисунок 1.4: Пространственно-временная картина фрагментации и
адронизация кварк-глюонной струны в модели фрагментации струн
Artru-Mennessier (AMOR) [27].
В частности, двухструйные события в
𝑒+ 𝑒−
столкновениях можно считать
процессами, в которых рождается только одна кварк-глюонная струна, с последующей фрагментацией в наблюдаемые адроны. Важным свойством таких событий является достаточно плоское (равномерное) распределение по быстроте
рождающихся частиц, внутри быстротного интервала (𝑦𝑚𝑖𝑛 ,
𝑦𝑚𝑎𝑥 ),
определяе-
мому кинематическими характеристиками кварков на концах струны. При этом
в каждый интервал по быстроте фрагментация происходит независимо. Об этом
свидетельствует нулевая корреляция между множественностями в различных
интервалах [31].
Рождение кварк-глюонных струн в протон-протонных столкновениях можно получить в Реджевской теории множественного рождения [29, 30]. В частности, в модели мультипомеронного обмена диаграммы, соответствующие каж-
16
дому разрезанному померону, соответствуют рождению пары кварк-глюонных
струн.
1.2
Слияние кварк-глюонныx струн
С увеличением энергии, а также при переходе от протон-протоных взаимодействий к столкновениям тяжелых ионов число образующихся струн растет.
Поскольку кварк-глюонные струны характеризуются конечными размерами в
поперечной плоскости, при большой плотности струн начинается их перекрытие
и с какого-то момента появляется необходимость учитывать их взаимодействие.
Для решения этой проблемы в работах [15, 16] предложен подход, получивший
название модель слияния струн [32]. Одним из важнейших следствий данного
подхода является уменьшение множественности рождающихся частиц по сравнению с моделью независимых струн [14], что приобретает особую важность
в ядро-ядерных столкновениях. В тоже время модель предсказывает увеличение среднего поперечного импульса по сравнению с независимой фрагментации
струн, что также приводит к предсказаниям, которые могут быть проверены в
эксперименте.
В процессе развития данная модель была применена к описанию дальних
корреляций между наблюдаемыми величинами из различных быстротных окон,
где ее предсказания для области высоких энергий принципиально разнятся с
предсказаниями исходной модели с независимыми струнами.
Было предложено два варианта модели [13, 16, 32–34]: локальное и глобальное слияние струн. В первом варианте модели предполагается, что цветные
поля складываются только в областях перекрытия струн. При этом средняя
множественность в заданном быстротном интервале и средний поперечный импульс заряженных частиц, излученных из области перекрытия
𝑘
струн, описы-
ваются следующими выражениями:
√ 𝑆𝑘
⟨𝜇⟩𝑘 = 𝜇0 𝑘 ,
𝜎0
√
⟨︀ 2 ⟩︀
𝑝𝑡 𝑘 = 𝑝20 𝑘,
√
4
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑘 = 𝑝0 𝑘
(1.1)
𝑆𝑘 – поперечная площадь области, где произошло перекрытие 𝑘 цветных
струн, 𝜎0 – поперечная площадь струны, 𝜇0 и 𝑝0 – средняя множественность на
Здесь
единицу быстроты и средний поперечный импульс заряженных частиц, когда
они рождаются от распада одиночной струны.
17
Во втором варианте модели предполагается, что цветные поля складываются глобально с образованием кластера, занимающего всю область перекрытия
струн. В этом случае средняя множественность заряженных частиц, испускаемых в заданном быстротном интервале кластером с поперечной площадью
𝑆𝑐𝑙
и средний поперечный импульс удовлетворяют следующим соотношениям:
⟨𝜇⟩𝑐𝑙 = 𝜇0
Здесь –
𝑁𝑐𝑙
√︀ 𝑆𝑐𝑙
𝑘𝑐𝑙 ,
𝜎0
√︀
⟨︀ 2 ⟩︀
𝑝𝑡 𝑐𝑙 = 𝑝20 𝑘𝑐𝑙 ,
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑐𝑙 = 𝑝0
√︀
4
𝑘𝑐𝑙 ,
𝑘𝑐𝑙 = 𝑁𝑐𝑙
𝜎0
𝑆𝑐𝑙
(1.2)
– число струн, формирующих кластер.
Следует заметить, что в предельных случаях малой или большой плотности
струн оба эти варианта совпадают [35, 36].
Для упрощения вычислений была предложен дискретный аналог слияния
струн [37, 38], включающий в себя как локальный, так и глобальный вариант. В
дискретных моделях поперечная плоскость заменяется решеткой с площадью
ячейки, равной площади струны, и струны считаются слившимися, если их
центры попадают в одну и ту же ячейку. Кластером из слившихся струн (для
глобальной модели) считаются соседние по вертикали и горизонтали ячейки.
Более того, в работах было показано [35, 36, 39, 40] что предсказания всех
вариантов моделей, как локального, так и глобального слияния различаются
незначительно. Наиболее простой является реализация локального дискретного
варианта модели, поэтому именно этот вариант используется в дальнейшем.
1.3
Корреляционные функции и коэффициенты
корреляции
Поскольку кварк-глюонная струна, являясь протяженным объектом, дает
вклад в широкий интервал быстрот, исследование дальних корреляций можно
использовать для для изучения взаимодействия и слияния струн. Применение удаленных по быстроте друг от друга окон позволяет исключить вклад в
корреляции эффектов, в совокупности называемых ближними корреляциями,
включающими, в частности, распады резонансов и струйные события.
Экспериментально эти окна как правило выбирают в разных полусферах
вылета вторичных частиц - одно в передней, а другое – в задней. Поэтому
такие дальние корреляции называют корреляциями "вперед-назад"или FB-
18
корреляциями (forward- backward). Помимо этого, в ряде работ [41–45] изучаются так называемые азимутальных корреляции, в которых также учитываются
значение угла вылета частиц в поперечной плоскости, однако их исследование
выходит за рамки данной диссертации.
В работах [32, 35, 36, 46, 47] было предложено изучать три типа корреляций:
𝑛−𝑛
– корреляции между множественностью заряженных частиц в задан-
ных быстротных интервалах,
𝑝𝑡 − 𝑛
– корреляции между средним поперечным импульсом в одном быст-
ротном интервале и множественностью заряженных частиц в другом.
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
– корреляции между средними поперечными импульсами в этих ин-
тервалах.
Здесь под множественностью (𝑛) подразумевается количество заряженных
частиц, родившихся в событии и попадающих в данный быстротный диапазон.
Поперечный импульс
𝑝𝑡 – это среднее в событии значение поперечного импульса
заряженных частиц в данном быстротном интервале:
𝑛
1 ∑︁
𝑝𝑡 =
𝑝𝑡 .
𝑛 𝑖=1 𝑖
(1.3)
Чтобы численно характеризовать эти корреляции, изучается среднее значение
⟨𝐵⟩𝐹
одной динамической переменной B в быстротном окне как функция
величины другой динамической переменной F в переднем быстротном окне.
Здесь
𝐹
< ... >𝐹
означает усреднение по всем событиям, для которых величина
в переднем окне имеет определенное заданное значение.
Экспериментальное и теоретическое исследование корреляционных функ-
ций [8, 48] показало, что во многих случаях они хорошо аппроксимируются
линейной зависимостью:
< 𝐵 >𝐹 = 𝑓𝐵−𝐹 (𝑛𝐹 ) = 𝑎 + 𝑏𝐵−𝐹 𝐹.
Величина
𝑏𝐵−𝐹
(1.4)
является коэффициентом корреляции и может быть опреде-
лена как
𝑏𝐵−𝐹 =
𝑑𝑓 (𝐹 )
|𝐹 =<𝐹 > .
𝑑𝐹
Данное определение используется и в общем случае.
(1.5)
19
Часто бывает удобным перейти от абсолютных переменным к относительным:
𝐵 → 𝐵/⟨𝐵⟩, 𝐹 → 𝐹/⟨𝐹 ⟩.
Важно, что при этом коэффициент
𝑝𝑡 − 𝑛
корреляции становится безразмерным, и в теоретических расчетах происходит
сокращение некоторых модельных параметров. При этом, в случае симметричных быстротных окон, коэффициенты
𝑛−𝑛 и 𝑝𝑡 −𝑝𝑡 корреляций не изменяются.
Таким образом, в нормированных переменных коэффициенты корреляций
определены следующим образом:
< 𝑛𝐹 > 𝑑 < 𝑛𝐵 >
·
|𝑛𝐹 =<𝑛𝐹 > ,
< 𝑛𝐵 >
𝑑𝑛𝐹
< 𝑛𝐹 > 𝑑 < 𝑝𝑡 𝐵 >
𝑏𝑝𝑡 −𝑛 =
·
|𝑛𝐹 =<𝑛𝐹 > ,
< 𝑝𝑡 𝐵 >
𝑑𝑛𝐹
< 𝑝𝑡 𝐹 > 𝑑 < 𝑝𝑡 𝐵 >
𝑏𝑝𝑡 −𝑝𝑡 =
·
|𝑝𝑡 𝐹 =<𝑝𝑡 𝐹 > .
< 𝑝𝑡 𝐵 >
𝑑𝑝𝑡 𝐹
𝑏𝑛−𝑛 =
(1.6)
(1.7)
(1.8)
На практике как при экспериментальном определении коэффициента корреляции [42, 49] и при монте-карловском моделировании [50] для получения
производной производится фитирование
сти
⟨𝐹 ⟩, а именно от ⟨𝐹 ⟩ − 𝜎⟨𝐹 ⟩
до
𝑓 (𝐹 )
линейной функцией в окрестно-
⟨𝐹 ⟩ + 𝜎⟨𝐹 ⟩ , где 𝜎⟨𝐹 ⟩
√︁
= < 𝐹 2 > −⟨𝐹 ⟩2 . Этот
способ используется и в данной работе.
Существует альтернативное определение коэффициента корреляции [49, 51]:
< 𝐹 · 𝐵 > −𝐹 · 𝐵
,
< 𝐹 2 > −⟨𝐹 ⟩2
𝑏𝐹 𝐵 =
(1.9)
которое совпадает с (1.5) в случае линейной корреляционной функции. Определение (1.9) соответствует фитированию корреляционной функции во всей области (full range) по методу наименьших квадратов с весовым учетом частоты
появления событий, соответствующих данной величине
вклад дает окрестность точки
𝐹 = ⟨𝐹 ⟩,
𝐹.
Ясно, что основной
и численное отличие коэффициента
корреляции от (1.5) будет мало.
Стоит отметить, что оба определения используются в ряде теоретических и
экспериментальных работ [9, 28, 42, 48, 52, 53].
В настоящей работе второе определение используется при непосредственном
сопоставлении расчетов по
в pp-рассеянии.
𝑛 − 𝑛 корреляциям с экспериментальными данными
20
Аналитические выражения для коэффициентов корреляции
В рамках струнных моделей [51, 54] в предположении о независимости различных участков струны как источников рождающихся частиц коэффициент
𝑛−𝑛
корреляции выражается следующим образом:
𝑏𝑛−𝑛 =
где
𝜇
¯𝐹
𝜇
¯𝐹
,
𝜇
¯𝐹 +𝜅−1
(1.10)
– множественность, испускаемая одним источником в переднее окно,
𝑘
является отношением нормированных дисперсий:
𝜅=
Здесь
⟨𝑁 ⟩, 𝐷𝑁
𝑉𝑁
,
𝑉𝜇𝐹
𝑉𝑁 =
𝐷𝑁
,
⟨𝑁 ⟩
𝑉𝜇𝐹 =
𝐷𝜇 𝐹
.
𝜇
¯𝐹
– среднее число источников и их дисперсия,
(1.11)
𝜇0𝐹 , 𝐷𝜇0𝐹
– среднее
и дисперсия числа частиц испускаемых одним источником.
Формула (1.10) позволяет получить явный аналитический вид зависимости
коэффициента корреляции от ширины быстротных окон. С учетом естественного предположения, что множественность от одного источника в переднем окне
пропорциональна ширине быстротного окна
𝑏𝑛−𝑛 =
где
𝑎 = 𝑘𝜇0𝐹
𝜇
¯𝐹 = 𝜇0𝐹 Δ𝑦𝐹 ,
Δ𝑦𝐹
Δ𝑦𝐹 + 𝑎−1
получаем:
(1.12)
– единственный параметр, характеризующий зависимость коэф-
фициента корреляции от ширины окна.
В рамках модели слияния струн с использованием дискретного подхода в
работах [35, 36] были аналитически вычислены асимптотики
𝑛−𝑛, 𝑝𝑡 −𝑛,и 𝑝𝑡 −𝑝𝑡
коэффициентов корреляции при большой и малой плотности струн и изучены
их свойства. Исследованы два случая: с локальным и глобальным слиянием.
Как было показано в работах [35, 36], при большой средней плотности струн,
𝜂 = 𝜌str 𝜎0 - среднее чисstr
ло струн, приходящееся на площадь 𝜎0 одной струны, 𝜌
– плотность числа
струн), в предположении пуассоновских распределений (𝜅 = 𝑉𝑁 = 𝑉𝜇𝐹 = 1)
асимптотики коэффициентов 𝑏𝑝𝑡 −𝑛 и 𝑏𝑛−𝑛 корреляций для случаев локального
характеризуемой безразмерным параметром
𝜂 >>1
(
21
и глобального слияния совпадают и имеют вид:
𝑏𝑝𝑡 −𝑛 =
где
𝜇oF
1
𝜇0𝐹
√
2 𝜇0𝐹 + 4 𝜂
𝑏𝑛−𝑛 =
𝜇0𝐹
√ ,
𝜇0𝐹 +4 𝜂
(1.13)
- среднее число частиц, рождающихся в переднем быстротном окне от
распада одиночной струны.
Стоит отметить, что данные формулы получены для идеализированного
случая с однородным распределением струн в плоскости прицельного параметра. В работе [55] произведены расчеты для общего (неоднородного) распределения, и показано, что асимптотика
а асимптотика
𝑝𝑡 − 𝑛
𝑛−𝑛 коэффициента корреляции не изменится,
коэффициента сохранится с точностью до мультиплика-
тивной константы, не превосходящей единицы.
Для случая с глобальным слиянием струн, когда при их большой плотности
𝜂 >>1 ) в плоскости прицельного параметра образуется единый кластер, была
вычислена также асимптотика коэффициентов 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 корреляций:
(
𝑏𝑝𝑡 −𝑝𝑡 =
Здесь
𝛾
пульсом
𝜇0𝐹
𝜇0𝐹
√
+ 16𝛾 2 𝜂
(1.14)
– коэффициент пропорциональности между средним поперечным им-
𝑝¯
и квадратным корнем из дисперсии поперечного импульса p для
одиночной струны:
𝜎𝑝 = 𝛾 𝑝¯.
При отсутствии учета взаимодействия струн, что соответствует пределу
𝜂→0
, из всех рассматриваемых коэффициентов корреляций отличен от нуля
только коэффициент
𝑛−𝑛
корреляции, который в этом случае равен:
𝑏𝑛−𝑛 =
𝜇0𝐹
.
𝜇0𝐹 +1
(1.15)
Рассуждения, аналогичные тем, что проведены при выводе формулы (1.12),
дают общий вид зависимости коэффициентов корреляции от ширины быстротных окон.
22
Глава 2
Дипольная монте-карловская
модель
2.1
2.1.1
Цветовые диполи и струны
Партонная картина нуклон-нуклонных столкновений
Покоящийся адрон представляет собой достаточно сложный квантовомеханический объект. Однако, в системе отсчета, где адрон имеет большой импульс,
становится возможным его описание на партонном уровне, поскольку даже малые виртуальные флуктуации получают значительную порцию энергии и становятся квази-реальными [56, 57]. С ростом энергии, а также при переходе
от протон-протонного рассеяния к столкновениям тяжелых ионов становятся
важными такие явления, как многопартонные столкновения, насыщение, перецепление цвета, перколяция, коллективные эффекты [58–61].
Удобным способом описания данных явлений является использование поперечных пространственных координат [62]. При этом оказывается полезным
использовать дипольный подход. В частности, уравнение эволюции глюонной
плотности BFKL в дипольной формулировке приобретает достаточно простую
форму [63].
В пределе большого количества цветов (𝑁𝑐
→ ∞)
испускание глюона эк-
вивалентно разделению цветного диполя (см. рис. 2.1). При высоких энергиях в области малых
𝑥
доминирует испускание глюонов [64], поэтому для мно-
гих задач достаточно ограничиться описанием только глюонной плотности. В
23
частности, на этом основана модель конденсата цветового стекла (Color Glass
Condensate) [65, 66].
→
Рисунок 2.1: Диаграммы, показывающие испускание глюона (слева) и
разделение диполя (справа).
В данной работе предлагается модель неупругого нуклон-нуклонного рассеяния, основанная на взаимодействии цветных диполей в соответствии с предписаниями дипольно-каскадной модели Мюллера [67, 68]. Для того, чтобы иметь
возможность одновременного описания продольных импульсов всех партонов
производится моделирование эксклюзивных партонных распределений с учетом закона сохранения энергии и лоренцева момента в процессе эволюции партонной плотности. В следующих разделах мы подробнее остановимся на этих
аспектах и позднее приведем полную формулировку модели.
2.1.2
Эксклюзивные партонные распределения
При описании рождения частиц в рамках партонно-струнных моделей обычно используются [69, 70] инклюзивные партонные распределения по доле продольного импульса
𝑥.
Однако непосредственное применение данного подхода
встречается с трудностями при изучении корреляционных явлений и, в частности, построении монте-карловских моделей, поскольку в данном случае необходимо иметь информацию о том, как партоны распределены совместно, т.
е. использовать эксклюзивное распределение. Для построения эксклюзивного
партонного распределения по долям импульса мы исходим из того, что независимость партонов ограничена только выполнением закона сохранения энергииимпульса, следовательно, оно имеет факторизованный вид [71]:
𝑁
∑︁
𝜌(𝑥1 , 𝑥2 , ...,𝑥𝑁 ) = 𝜌1 (𝑥1 )𝜌2 (𝑥2 ) · ... · 𝜌𝑁 (𝑥𝑁 ) · 𝛿(
𝑥𝑗 − 1).
𝑗=1
(2.1)
24
Здесь
𝑥1 ,...𝑥𝑁
– доли продольного импульса партонов, при этом
𝑁 = 2𝑛,
где
𝑛
– число пар (морских кварк-антикварк либо валентная пара кварк-дикварк),
входящих в состав протона. Множители
𝜌𝑗 (𝑥𝑗 )
определяются из соответствия
инклюзивным структурным функциям, имеющим вид [70, 71]:
1
1
1
3
𝑓𝑢 (𝑥) = 𝑓𝑢¯ (𝑥) = 𝐶𝑢,𝑛 𝑥− 2 (1 − 𝑥) 2 +𝑛 ,
(2.2)
𝑓𝑑 (𝑥) = 𝑓𝑑¯(𝑥) = 𝐶𝑑,𝑛 𝑥− 2 (1 − 𝑥) 2 +𝑛 ,
3
3
5
3
(2.3)
𝑓𝑢𝑑 (𝑥) = 𝐶𝑢𝑑,𝑛 𝑥 2 (1 − 𝑥)− 2 +𝑛 ,
(2.4)
𝑓𝑢𝑢 (𝑥) = 𝐶𝑢𝑢,𝑛 𝑥 2 (1 − 𝑥)− 2 +𝑛 .
При этом предполагается, что при
𝑛≥2
(2.5)
морские кварки и антикварки имеют
2/3
такое же инклюзивное распределение, что и валентные кварки. В
дикварк имеет конфигурацию ud, в
1/3
событий
– uu.
Можно показать, что соответствующее эксклюзивное распределение для
произвольного числа кварк-антикварковых пар должно иметь вид [72, 73]
𝜌(𝑥1 ,...𝑥𝑁 ) = 𝑐 ·
𝑁
−1
∏︁
− 21
𝑥𝑗
·
𝑥𝛼𝑁𝑁
𝑁
∑︁
𝑥𝑖 − 1),
· 𝛿(
𝑗=1
(2.6)
𝑖=1
𝑁 − 1, дикварк – 𝑁 , а остальные номера приантикваркам. 𝛼𝑁 = 3/2 (ud -дикварк), 𝛼𝑁 = 5/2
где валентный кварк имеет номер
надлежат морским кваркам и
(uu -дикварк). Формулы (2.2) – (2.5) можно получить из (2.6) путем интегрирования по части переменных.
Для генерации случайных величин (2.6) с учетом дельта-функции необходимо применять особые методы. Одним из наиболее общеупотребимых и универсальных является метод Неймана [74], однако он неэффективен при большом
числе переменных. Явный вид распределения позволяет значительно повысить
эффективность генерации. Сделаем замену
𝑥𝑗 = 𝑦𝑗2 , 𝑗 = 1, ... 𝑁 − 1.
Тогда
выражение (2.6) для плотности распределения примет более простой вид:
𝜌(𝑦1 ,...,𝑦𝑁 −1 , 𝑥𝑁 ) = 𝑐 · 2
𝑁 −1
· 𝑥𝑁
𝛼𝑁
𝑁
−1
∑︁
· 𝛿(
𝑦𝑖2 − 1 + 𝑥𝑁 ).
𝑖=1
Произведем еще одну замену:
√
𝑦𝑖 = 𝑧𝑖 1 − 𝑥𝑁 , 𝑖 = 1, ... 𝑁 − 1.
Тогда
25
𝑁 −1
𝜌(𝑧1 ,...,𝑧𝑁 −1 , 𝑥𝑁 ) = 𝑐 · 2
· 𝑥𝑁
𝛼𝑁
(𝑁 −3)/2
(1 − 𝑥𝑁 )
𝑁
−1
∑︁
· 𝛿(
𝑧𝑖2 − 1).
(2.7)
𝑖=1
Данная формула означает, что
𝑥𝑁
подчиняется бета-распределению, а
распределены равномерно на единичной сфере. Пусть
𝜉1 ...𝜉𝑁 −1
𝜉𝑁 –
+ 1), 𝑥𝑖 =
нормально распределенные случайные величины, а
лена на отрезке
−1
(0,1). 𝑥𝑁 = 𝐼𝜉𝑁 (𝛼𝑁 + 1, 𝑁2−3
удовлетворять исходному распределению. Здесь
𝐼𝑥 (𝑎,𝑏)
– стандартные
равномерно распреде-
𝜉𝑖2
𝑁∑︀
−1
𝑗=1
−1
𝑧𝑗
· (1 − 𝑥𝑁 )
будут
𝜉𝑗2
– обратная регуляри-
зованная неполная бета-функция. Описанный метод позволяет осуществлять
генерацию долей импульсов кварков за время, линейно растущее при увеличении
𝑁.
Для партонной плотности в плоскости прицельного параметра мы используем гауссово распределение [39, 40]:
2
1 − ⃗𝑟𝑟2
𝜌(𝑥,𝑦) = 2 𝑒 0 ,
𝜋𝑟0
(2.8)
⃗𝑟 = (𝑥,𝑦) – двумерный вектор поперечных координат партона. Параметр
2
𝑟0 связан со среднеквадратичным радиусом протона: < 𝑟𝑁
>= 32 𝑟02 .
Здесь
При генерации положений партонов в плоскости прицельного параметра
нельзя считать положения всех партонов независимыми, поскольку необходимо
учесть, что в каждом событии центр масс протона должен совпадать с его
центром, определяемым формулой (2.8):
𝑁
∑︁
⃗𝑟𝑗 · 𝐸𝑗 = 0.
(2.9)
𝑗=1
Данное условие можно связать с требованием сохранения поперечной части
вектора лоренцева момента, то есть соблюдения релятивистского закона движения центра масс во время эволюции протона, предшествующей столкновению
с другим протоном. Действительно, с учетом того, что суммарный поперечный
импульс партонов равен нулю, поперечная часть вектора лоренцева момента
𝑁
∑︀
(𝑡⃗𝑝𝑗 − ⃗𝑟𝑗 𝐸𝑗 ) = −
𝑗=1
𝑁
∑︀
𝑗=1
⃗𝑟𝑗 · 𝐸𝑗 = 0.
26
При ультрарелятивистских энергиях
𝑁
∑︁
𝐸𝑗 ≃ |𝑝𝑗 | ≃ 𝑝z 𝑗
(2.9) эквивалентно
⃗𝑟𝑗 · 𝑥𝑗 = 0.
(2.10)
𝑗=1
Непосредственным следствием данного условия является то, что в среднем более тяжелый дикварк находится ближе к центру, а морские кваркантикварковые пары образуются на периферии. Стоит отметить, что к аналогичному выводу пришли авторы работы [75], анализируя экспериментальные
данные.
В итоге эксклюзивное распределение координат партонов в плоскости прицельного параметра должно удовлетворять следующим требованиям:
1. центр масс партонов покоится,
𝑁
∑︀
⃗𝑟𝑗 ·𝑥𝑗 = 0 выполнено в каждом событии;
𝑗=1
2. инклюзивное распределение каждого партона является гауссовым;
3. нормировка:
< 𝑟2 >=<
1
𝑁
𝑁
∑︀
𝑟𝑗 2 >= 𝑟0 2 .
𝑗=1
Генерация координат партонов в плоскости прицельного параметра происходит следующим образом:
2𝑁
𝜉1 , ... 𝜉𝑁 , 𝜂1 , ... 𝜂𝑁 ;
1. формируется
независимых
стандартных
2. вычисляются координаты центра масс: xц.м.
3. производится сдвиг:
=
𝑁
∑︀
гауссовых
𝑥𝑗 𝜉𝑗 ,
𝑗=1
=
= 𝜉˜𝑖 /𝑎,
y𝑖
𝑁
∑︀
𝑥𝑗 𝜂𝑗 ;
𝑗=1
𝜉˜𝑖 = 𝜉𝑖 − xц.м. , 𝜂˜𝑖 = 𝜂𝑖 − yц.м. ;
4. масштабирование с постоянным коэффициентом: x𝑖
Полученные величины
yц.м.
величин
(x𝑖 ,
= 𝜂˜𝑖 /𝑎.
y𝑖 ) являются координатами партонов.
Остановимся подробнее на вычислении величины
𝑎
(константы, зависящей
только от количества партонов и от типа дикварка) из условия нормировки.
Координаты для кварка и для дикварка до масштабирования задаются следу-
27
ющим образом:
𝑁
−1
∑︁
𝜉˜𝑗 = (1 − 𝑥𝑗 )𝜉𝑗 − 𝑥𝑁 𝜉𝑁 −
𝑥𝑖 𝜉𝑖 , 𝑗 = 1, 2, ... 𝑁 − 1,
(2.11)
𝑖=1,𝑖̸=𝑗
𝜉˜𝑁 = (1 − 𝑥𝑁 )𝜉𝑁 −
𝑁
−1
∑︁
𝑥𝑖 𝜉𝑖 .
(2.12)
𝑖=1
Подсчитаем дисперсии, учитывая независимость величин
𝜉𝑗
и
𝑥𝑖 :
𝐷𝜉˜𝑞 = < (1 − 𝑥𝑞 )2 > + < 𝑥2𝑞𝑞 > +(𝑁 − 2) < 𝑥2𝑞 > ,
𝐷𝜉˜𝑞𝑞 = < (1 − 𝑥𝑞𝑞 )2 > +(𝑁 − 1) < 𝑥2𝑞 > .
Для нахождения величины
𝑎
подставим x𝑖
= 𝜉˜𝑖 /𝑎,
y𝑖
нормировки, а также учтем, что в протоне один дикварк и
антикварков). Тогда уравнение для нахождения
𝑎
(2.13)
(2.14)
= 𝜂˜𝑖 /𝑎 в условие
𝑁 − 1 кварков (и
примет вид
𝑁 · 𝑎2 = 𝐷𝜉˜𝑞𝑞 + (𝑁 − 1)𝐷𝜉˜𝑞 .
(2.15)
Явные выражения для (2.13), (2.14) получаются путем усреднения c помощью инклюзивных распределений (2.2) – (2.5), а последующая подстановка в
(2.15) дает окончательное выражение для
𝑎2𝑢𝑑 =
Здесь
𝑎𝑢𝑑
(2𝑛 − 1)(𝑛2 + 6𝑛 + 12)
,
2𝑛(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
обозначена величина
конфигурации дикварка
2.1.3
𝑎
𝑎:
𝑎2𝑢𝑢 =
(2𝑛 − 1)(𝑛2 + 8𝑛 + 24)
.
2𝑛(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)
для конфигурации дикварка
𝑢𝑑, 𝑎𝑢𝑢
(2.16)
– для
𝑢𝑢.
Цветные диполи
Для формулировки модели неупругих протон-протонных столкновений мы
предполагаем, что элементарное столкновение партонов реализуется как взаимодействие двух цветовых диполей, состоящих из валентного кварка и дикварка, либо из кварк-антикварковой пары. Амплитуда вероятности взаимодействия двух диполей с координатами
(⃗𝑟1⃗𝑟2 ) и (⃗𝑟3⃗𝑟4 ) в плоскости прицельного
28
параметра имеет следующий вид [62, 76]:
𝛼𝑆2 2 (⃗𝑟1 − ⃗𝑟3 )2 (⃗𝑟2 − ⃗𝑟4 )2
ln
,
𝑓=
8
(⃗𝑟1 − ⃗𝑟4 )2 (⃗𝑟2 − ⃗𝑟3 )2
(2.17)
В связи с необходимостью рассматривать множественные партонные столкновения, мы используем эйкональное приближение для вероятности неупругого
взаимодействия двух диполей:
𝑝𝑖𝑗 = 1 − 𝑒−𝑓𝑖𝑗 .
(2.18)
Таким образом, полная вероятность неупругого взаимодействия двух протонов
будет равна:
𝑝=1−𝑒
−
∑︀
𝑓𝑖𝑗
𝑖,𝑗
,
где суммирование ведется по всем диполям.
В нашей модели величину
𝛼𝑆
мы считаем некой эффективной констан-
той взаимодействия, и ее значение используем в качестве подгоночного параметра для более правильного описания экспериментальных данных. При этом
мы предполагаем, что она не зависит ни от энергии, ни от количества кваркантикварковых пар в протоне.
Расчет асимптотики профильной функции pp-столкновений
Сосчитаем аналитически асимптотику
𝜎(𝑏) при больших 𝑏 для случая, когда
со стороны протонов мишени и снаряда имеется только по одному диполю.
Введем относительные координаты следующим образом:
⃗𝑟1 = ⃗𝑟𝐴 + ⃗𝛿1 ,
⃗𝑟2 = ⃗𝑟𝐴 + ⃗𝛿2 ,
⃗𝑟3 = ⃗𝑟𝐵 + ⃗𝛿3 ,
⃗𝑟4 = ⃗𝑟𝐵 + ⃗𝛿4 .
Здесь
⃗𝛿𝑗
- координаты партонов относительно центров кварков. Таким образом,
переменные
⃗𝛿𝑗
– независимые случайные величины, имеющие распределение
Гаусса с нулевым средним и дисперсией
< ⃗𝛿𝑗2 >= 𝑟02 .
29
В соответствии с вышеизложенным, профильная функция имеет вид:
𝜎(𝑏) = ⟨1 − 𝑒−𝑓 ⟩,
где усреднение ведется по всем
⃗𝛿𝑗 ,
а
𝑓
(2.19)
вычисляется по формуле (2.17).
Сначала сделаем тождественное преобразование:
(︃
(⃗𝑟1 − ⃗𝑟3 )2 = (⃗𝑟𝐴 − ⃗𝑟𝐵 + ⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 )2 = ⃗𝑏2
Разложим в ряд (2.17), считая, что
⃗𝑏(⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 ) (⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 )2
1+2
+
𝑏2
𝑏2
)︃
(2.20)
|⃗𝛿𝑗 | ≪ |⃗𝑏|
⃗𝑏(⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 ) (⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 )2
(⃗𝑏(⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 ))2
2
⃗
+
−2
ln((⃗𝑟1 − ⃗𝑟3 ) ) ≃ ln 𝑏 + 2
𝑏2
𝑏2
𝑏4
2
Используя это и аналогичные разложения для логарифма, получаем приближенное выражение для величины
𝑓:
)︁
𝛼𝑆2 [︁ 1 (︁ ⃗
2
2
2
2
(𝛿1 − ⃗𝛿3 ) + (⃗𝛿2 − ⃗𝛿4 ) − (⃗𝛿1 − ⃗𝛿4 ) − (⃗𝛿2 − ⃗𝛿3 ) −
𝑓≃
2
8
𝑏
)︁ ]︁2
2 (︁ ⃗
2
2
2
2
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
− 4 ((𝛿1 − 𝛿3 )𝑏) + ((𝛿2 − 𝛿4 )𝑏) − ((𝛿1 − 𝛿4 )𝑏) − ((𝛿2 − 𝛿3 )𝑏)
𝑏
(2.21)
Для выполнения усреднения в (2.19) сделаем еще одно приближение, оправдан-
𝑟
ное при ⃗0
|𝑏|
≪ 1:
⟨1 − 𝑒−𝑓 ⟩ = ⟨1 − (1 − 𝑓 + ...)⟩ ≃ ⟨𝑓 ⟩.
Для вычисления
⟨𝑓 ⟩ используется теорема Вика: среднее от произведения гаус-
совых величин выражается через произведения всех парных средних:
⟨𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 ⟩ = ⟨𝐴1 𝐴2 ⟩⟨𝐴3 𝐴4 ⟩ + ⟨𝐴1 𝐴3 ⟩⟨𝐴2 𝐴4 ⟩ + ⟨𝐴1 𝐴4 ⟩⟨𝐴2 𝐴3 ⟩
Примеры вычислений:
(2.22)
30
2
⟨(⃗𝛿1⃗𝛿3 )(⃗𝛿1⃗𝛿3 )⟩ = ⟨(𝛿1𝑥 𝛿3𝑥 + 𝛿1𝑦 𝛿3𝑦 )(𝛿1𝑥 𝛿3𝑥 + 𝛿1𝑦 𝛿3𝑦 )⟩ = 𝑟20 ;
4
⟨(⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 )4 ⟩ = ⟨(𝛿12 − 2⃗𝛿1⃗𝛿3 + 𝛿32 )2 ⟩ = 2 · 2𝑟04 + 𝑟04 + 4 𝑟20 + 𝑟04 = 8𝑟04 ;
⟨(⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 )2 (⃗𝛿2 − ⃗𝛿4 )2 ⟩ = 4𝑟4 ; ⟨(⃗𝛿1 − ⃗𝛿3 )2 (⃗𝛿1 − ⃗𝛿4 )2 ⟩ = 5𝑟4 .
0
0
Итог: после подсчета всех коэффициентов получаем
⟨𝑓 ⟩ =
𝛼𝑆2
(︁ 𝑟 )︁4
0
Таким образом, асимптотика при больших
𝜎(𝑏) ≃ 𝛼𝑆2
(︁ 𝑟 )︁4
0
𝑏
(2.23)
𝑏
𝑏
профильной функции имеет вид:
𝑟0
4
≃ 1 − 𝑒−𝛼𝑆 ( 𝑏 )
2
(2.24)
Это явное выражение можно использовать для грубой оценки полного
неупругого сечения
𝜎≃
∫︁∞ (︁
∫︀
𝜎=
𝑟0
𝑏
4
2
1 − 𝑒−𝛼𝑆 ( )
)︁
𝜎(𝑏)𝑑⃗𝑏,
чтобы посмотреть на структуру выражения:
2𝜋𝑏 𝑑𝑏 = 2𝜋𝛼𝑠 𝑟02
0
∫︁∞
1
𝑡(1 − 𝑒− 𝑡4 )𝑑𝑡 ≈ 5,57 · 𝛼𝑆 𝑟02
(2.25)
0
Интересно отметить, что несмотря на то, что вероятность взаимодействия пропорциональна
𝛼𝑆2 ,
в выражение для полного неупругого сечения входит
𝛼𝑆
в
первой степени. Как и должно следовать из соображений размерности, зависимость полного неупругого сечения от
𝑟0
сводится к тому, что
𝜎 ∼ 𝑟02 .
На рис. 2.2 показана профильная функция протон-протонных столкновений
𝜎(𝑏/𝑟0 ) – сравнение численного расчета методом Монте-Карло с аналитической
асимптотикой при 𝛼𝑠 = 2. Видно, что имеется неплохое согласие при 𝑏 > 2𝑟0 ,
что примерно соответствует 𝑏 > 1 фм.
Данное сравнение демонстрирует правильность работы монте-карловского
алгоритма, применяемого в настоящей работе.
2.1.4
Учет конфайнмента
Как было получено в предыдущем пункте, профильная функция убывает
при больших прицельных параметрах только степенным образом. Это противоречит большинству моделей, где обычно предполагается, что убывание экспоненциальное или гауссово [39, 77], и может привести к завышенному зна-
31
𝑝𝑝-столкновений 𝜎(𝑏/𝑟0 )
Рисунок 2.2: Профильная функция
при больших
прицельных параметрах: результат Монте-Карло симуляций (точки) и
теоретически рассчитанная асимптотика (линия).
чению сечения, а также увеличению доли периферических столкновений. Помимо этого, степенное убывание профильной функции pp-столкновения (2.24)
приводит к бесконечному (расходящемуся) значению наклона дифракционного
конуса [78]. По-видимому, это связано с отсутствием конфайнмента в исходном
варианте модели (2.17). Продемонстрируем, как его можно учесть в рамках подхода цветных диполей с использованием экранированного потенциала Юкавы
[76, 79].
Формулу (2.17) можно трактовать как
𝑔4
𝑓 (⃗𝑟1 , ⃗𝑟2 |⃗𝑟3 , ⃗𝑟4 ) = [Δ(⃗𝑟1 − ⃗𝑟3 ) − Δ(⃗𝑟1 − ⃗𝑟4 ) − Δ(⃗𝑟2 − ⃗𝑟3 ) + Δ(⃗𝑟2 − ⃗𝑟4 )]2 , (2.26)
8
Δ(⃗𝑟)
где
– функция Грина – может быть записана следующим образом:
∫︁
Δ(⃗𝑟) =
⃗
𝑑2⃗𝑘 𝑒𝑖𝑘·⃗𝑟
.
(2𝜋)2 𝑘 2
(2.27)
Принимая во внимание конфайнмент, заменим кулоновский потенциал на
экранированный потенциал Юкавы. Это означает, что кулоновский пропагатор
1
1
𝑘 2 следует заменить на 𝑘 2 +𝑀 2 , где
𝑀 = 1/𝑟𝑚𝑎𝑥 ,
масштаб конфайнмента. В
32
результате, функция Грина
∫︁
где
𝐾0
Δ(𝑥)
заменится на
⃗
𝑑2⃗𝑘
𝑒𝑖𝑘·⃗𝑟
1
=
𝐾0 (𝑟/𝑟𝑚𝑎𝑥 ),
2
(2𝜋)2 𝑘 2 + 1/𝑟𝑚𝑎𝑥
2𝜋
(2.28)
– модифицированная функция Бесселя второго рода. Тогда формула
для вероятности взаимодействия будет иметь вид:
[︂ (︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂]︂2
𝛼𝑠2
|⃗𝑟1 − ⃗𝑟3 |
|⃗𝑟2 − ⃗𝑟4 |
|⃗𝑟1 − ⃗𝑟4 |
|⃗𝑟2 − ⃗𝑟3 |
𝑓=
𝐾0
+ 𝐾0
− 𝐾0
− 𝐾0
(2.29)
2
𝑟𝑚𝑎𝑥
𝑟𝑚𝑎𝑥
𝑟𝑚𝑎𝑥
𝑟𝑚𝑎𝑥
Поскольку при
𝑟 ≪ 𝑟𝑚𝑎𝑥 𝐾0 (𝑟/𝑟𝑚𝑎𝑥 ) ≃ − ln(𝑟/(2𝑟𝑚𝑎𝑥 )),
то в этом предель-
ном случае мы снова возвращаемся к исходной формуле (2.17).
При
𝑟 ≫ 𝑟𝑚𝑎𝑥
модифицированная функция Бесселя ведет себя следующим
образом:
(︂
𝐾0
𝑟
√︂
)︂
≃
𝑟𝑚𝑎𝑥
𝜋𝑟𝑚𝑎𝑥 − 𝑟 𝑟
𝑒 𝑚𝑎𝑥 ,
2𝑟
что обеспечивает экспоненциальное затухание функции
Величина
𝑟𝑚𝑎𝑥
(2.30)
𝜎(𝑏).
представляет собой радиус конституентного кварка. Соглас-
но [80], отношение квадратов радиусов кварка и адрона должно быть порядка
1
10 . Это приводит к значению
2.1.5
Энергия,
𝑟𝑚𝑎𝑥 ≃ 0.2 − 0.3фм.
импульс,
масса
и
длина
струны
в
про-
странстве быстрот
В нашей модели предполагается, что каждое неупругое диполь-дипольное
взаимодействие сопровождается рождением пары струн, натягивающихся между партонами диполей снаряда и мишени. При этом кинематические характеристики рождающихся при фрагментации струны частиц зависят от продольных
импульсов партонов, находящихся на концах струны. Цель данного раздела –
установить быстротные границы
𝑦𝑚𝑖𝑛 , 𝑦𝑚𝑎𝑥
рождающихся при фрагментации
струны частиц с учетом кинематического требования распада струны хотя бы
на две частицы.
33
Пусть
√
𝑠
– суммарная энергия нуклон-нуклонного соударения в системе
√
√︀
𝑠 = 2𝐸 = 2 𝑝2 + 𝑚2 . Продольный импульс каждого нуклона
√
√
равен 𝑝 =
𝑠 − 4𝑚2 /2 ≈ 𝑠/2.
Обозначим 𝑥𝐴𝑖 , 𝑥𝐵 𝑖 – доли продольного импульса сталкивающихся нуклоцентра масс:
нов;
0 < 𝑥𝐴𝑖 < 1,
0 < 𝑥𝐵 𝑖 < 1,
∑︁
𝑖
𝑥𝐴𝑖 = 1,
∑︁
𝑥𝐵 𝑘 = 1.
𝑘
Пренебрегая массами и поперечными импульсами партонов, найдем энергию, импульс и массу струны, образуемой i-тым партоном одного протона с
k-тым партоном другого:
𝐸𝑠 = 𝐸𝑖 + 𝐸𝑘 = |𝑥𝐴𝑖 𝑝| + |𝑥𝐵 𝑘 (−𝑝)| = (𝑥𝐴𝑖 + 𝑥𝐵 𝑘 );
𝑃𝑠 = 𝑥𝐴𝑖 𝑝 + 𝑥𝐵 𝑘 (−𝑝) = (𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐵 𝑘 )𝑝;
𝑀 2 = 𝐸𝑠2 − 𝑃𝑠2 = 𝑥𝐴𝑖 𝑥𝐵 𝑘 4𝑝2 = 𝑥𝐴𝑖 𝑥𝐵 𝑘 (𝑠 − 4𝑚2 ) ≈ 𝑥𝐴𝑖 𝑥𝐵 𝑘 𝑠.
(2.31)
Минимальную и максимальную быстротные границы струны мы определим
из условия ее распада хотя бы на две частицами с массами
𝑚1
и
𝑚2
(понятно,
что если струна распадается на большее число частиц, то они не смогут получить большие продольные импульсы; таким образом, данное условие задает
максимальную длину струны).
Дальнейшее рассуждение для простоты проведем в системе покоя струны.
Параметры, которые относятся к этим двум родившимся частицам в системе
покоя струны, мы обозначаем чертой. Для определенности, мы считаем, что
частица с массой
𝑚1
движется вдоль оси Oz с импульсом
против оси Oz с импульсом
𝑝,
а с массой
𝑚2
–
−𝑝.
Тогда кинематическое условие распада струны на две частицы выглядит
следующим образом:
√︁
√︁
2
2
𝐸 1 + 𝐸 2 = 𝑝 + 𝑚1⊥ + 𝑝2 + 𝑚22⊥ = 𝑀,
(2.32)
√︀
√︀
𝑝2⊥ + 𝑚21 , 𝑚2⊥ = 𝑝2⊥ + 𝑚22 – поперечные массы рождаемых частиц. В качестве 𝑚𝑖 выбиралась масса пиона 𝜇 = 0.15 ГэВ, если на конце струны кварк или антикварк, и масса нуклона 𝑚 = 0.94 ГэВ, если на конце струны
где
𝑚1⊥ =
34
находится дикварк. В качестве
импульса
0.3
𝑝⊥
выбиралось среднее значение поперечного
ГэВ/𝑐.
Отсюда можно получить следующие выражения для энергии и импульса
рождаемых частиц:
√︁
𝑀 𝑚21⊥ − 𝑚22⊥
2
2
𝐸 1 ≡ 𝑝 + 𝑚1⊥ =
+
2
2𝑀
√︁
𝑀 𝑚22⊥ − 𝑚21⊥
+
𝐸 2 ≡ 𝑝2 + 𝑚22⊥ =
2
2𝑀
√︂
𝑀 2 𝑚21⊥ + 𝑚22⊥ (𝑚21⊥ − 𝑚22⊥ )2
−
+
𝑝=
4
2
4𝑀 2
(2.33)
Быстроты концов струны в системе покоя струны выражаются следующим
образом:
𝑦 𝑚𝑎𝑥 = ln
𝐸1 + 𝑝
,
𝑚1⊥
𝑦 𝑚𝑖𝑛 = − ln
𝐸2 + 𝑝
,
𝑚2⊥
При пересчете из системы, где струна покоится и ее 4-импульс равен
(2.34)
(𝑀,0),
в систему центра инерции нуклон-нуклонного взаимодействия, где ее 4-импульс
равен
(𝐸𝑠 ,𝑃𝑠 )
(см.(2.31)), все быстроты получают следующий сдвиг:
𝑦0 = ln
1 𝑥𝑖
𝐸𝑠 + 𝑃𝑠
= ln .
𝑀
2 𝑧𝑘
(2.35)
Окончательно находим, что быстроты концов струны в системе центра инерции
нуклон-нуклонного взаимодействия равны:
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 𝑚𝑎𝑥 + 𝑦0 ,
2.1.6
Монте-карловский
𝑦𝑚𝑖𝑛 = 𝑦 𝑚𝑖𝑛 + 𝑦0 ,
алгоритм
(2.36)
протон-протонного
рассеяния
Моделирование процесса pp -столкновения начинается с генерации координат r𝐴 , r𝐵 центров протонов в плоскости прицельного параметра с равномерным
распределением в квадрате площадью
личина
𝑎
𝑎2 (minimum bias симуляции), причем ве-
выбирается много больше, чем характерный радиус взаимодействия
35
протонов, так, чтобы при ее дальнейшем увеличении результаты от нее не зависели.
Далее генерируются число диполей для каждого протона (𝑚𝐴 ,
но распределению Пуассона с параметром
𝜆;
случай
𝑚 = 0
𝑚𝐵 )
соглас-
отбрасывается,
поскольку диполь из валентных дикварка и кварка обязательно должен присутствовать. Количество партонов (𝑁 ) принимается равным удвоенному числу
диполей. Дикварку приписывается тип
ятностью
𝑢𝑢 с вероятностью 1/3 или 𝑢𝑑 – с веро-
2/3.
Затем генерируются доли продольного импульса партонов (2.6) и их поперечные координаты. Из пар кварк-антикварк и кварк-дикварк строится набор
диполей для каждого протона и генерируется матрица взаимодействия с помощью вероятностей (2.18, 2.29). Вычисляется полная вероятность взаимодействия
𝑝=1−𝑒
−
∑︀
𝑖𝑗
𝑓𝑖𝑗
, которая используется для подсчета сечения.
По матрице столкновений строится набор струн. Для каждой струны вычисляются значения быстротных концов
𝑦𝑚𝑖𝑛 , 𝑦𝑚𝑎𝑥 .
Слишком короткие струны
исключаются из рассмотрения требованием, чтобы сумма масс рожденных частиц была меньше, чем масса струны, равная
√
𝑠 · 𝑥𝐴 · 𝑥𝐵 ,
где
𝑥𝐴 , 𝑥𝐵
– доли
импульса партонов на концах струны. Поперечные координаты центра струны
полагаются равными среднему арифметическому соответствующих координат
партонов на ее концах.
Для последующего применения дискретной модели слияния струн в поперечной плоскости вводится сетка с площадью ячейки, равной поперечной пло-
2
𝑆str = 𝜋𝑟str
. Быстротное пространство разделяется на интервалы
𝐶𝛼 = [𝑦𝛼 , 𝑦𝛼+1 ] таким образом, чтобы в каждый интервал попадало целое коли-
щади струны
чество струн. Дальнейшее рассмотрение ведется отдельно для каждого такого
быстротного интервала.
Для каждой ячейки
𝑗
в поперечной плоскости подсчитывается количество
струн, попадающих в данную ячейку (числа заполнения
𝑘𝑗 . Далее вычисляется
средняя множественность и средний поперечный импульс частиц от каждой
ячейки, в соответствии с дискретной моделью слияния струн:
√
⟨𝜇⟩𝑘 = 𝜇0 𝑘,
√
4
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑘 = 𝑝0 𝑘,
(2.37)
36
где параметры
𝜇0 и 𝑝0 – средняя множественность на единицу быстроты и сред-
ний поперечный импульс заряженных частиц, когда они рождаются от распада
одиночной струны.
На следующем шаге генерируются параметры рождающихся частиц. Количество частиц генерируется согласно распределению Пуассона со средним
⟨𝜇⟩𝑘 .
Быстроты частиц генерируются в соответствии с равномерным распределением в пределах рассматриваемого быстротного интервала
[𝑦𝛼 , 𝑦𝛼+1 ]. Поперечные
импульсы генерируются в соответствии с распределеним
Гауссовой формы со
(︃
)︃
средним значением
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑘 : 𝑓 (𝑝𝑡 ) =
𝜋𝑝𝑡
2
2⟨𝑝𝑡 ⟩𝑘
𝜋𝑝𝑡 2
exp −
4 ⟨𝑝𝑡 ⟩2𝑘
.
Поскольку в механиз-
ма Швингера [81] как поперечный импульс, так и масса рождающихся частиц
пропорциональны натяжению струны, аналогичное дискретное распределение
применялось для массы частиц (в рассмотрении брались только пионы, каоны
и протоны). Поскольку для большинства наблюдаемых, обсуждаемых в данной работе, масса частиц не важна (фактически, она учитывается только для
вычисления псевдобыстроты), детальной проработки спектров частиц не производилось; для наших целей вполне достаточно, что такой подход обеспечивает
в спектре частиц преимущественно пионы с небольшой долей более тяжелых
адронов.
2.1.7
Описание pA и AA взаимодействия
Для описания картины ядро-ядерных столкновений при высоких энергиях широко используется модель Глаубера [82], которая основана на том, что
ядро-ядерные столкновения представляются как некогерентная суперпозиция
отдельных нуклон-нуклонных столкновений. Предполагается, что траектории
движения нуклонов в ядре аппроксимированы прямыми. Если на пути нуклона встречается несколько нуклонов из другого ядра, то все последовательные
столкновения считаются произошедшими с одинаковым сечением. Естественным предположением является, что каждое последовательное столкновение дают одну и ту же множественность заряженных частиц. К недостаткам модели
Глаубера можно отнести то, что она не учитывает сохранение энергии в элементарных нуклон-нуклонных взаимодействиях [83–85], что в рамках достаточно
естественных предположений приводит к значительному завышению множественности в ядро-ядерных столкновениях. Таким образом, модель Глаубера
37
оказывается неспособной согласованно описывать множественность в pp, pA и
AA столкновениях, что делает затруднительным ее применение в мягкой области.
Партонный подход, представленный в данной диссертации, позволяет достаточно просто обобщить модель на случай ядро-ядерных столкновений.
Изначально, генерируются центры двух ядер с заданным прицельным параметром
𝑏 (для событий без отбора по центральности 𝑏2
удовлетворяет равно-
мерному распределению [39, 40].
Положения нуклонов в ядре генерируются согласно ядерным распределениям
𝜌(𝑟),
которые зависят от размера ядра: для тяжелых ядер используется
𝜌0
, для более легких – модель
1 + exp[(𝑟 − 𝑅)/𝑑]
(︁
)︁
(︀
)︀
2
2
гармонического осциллятора 𝜌(𝑟) = 𝜌0 1 + 𝑎(𝑟/𝑟0 )
exp − (𝑟/𝑟0 ) . Парамет-
модель Вудса-Саксона
𝜌(𝑟) =
ры этих моделей [86] для ядер, используемых в данной диссертации, приведены
в таблице 2.1.
Тип
ядер
Модель
𝜌(𝑟)
Параметры
208
Pb
Вудс-Саксон
𝜌0
1 + exp[(𝑟 − 𝑅)/𝑑]
𝑅 = 6.63 фм,
𝑑 = 0.545 фм
197
Au
Вудс-Саксон
𝜌0
1 + exp[(𝑟 − 𝑅)/𝑑]
𝑅 = 6.38 фм,
𝑑 = 0.535 фм
Вудс-Саксон
𝜌0
1 + exp[(𝑟 − 𝑅)/𝑑]
𝑅 = 3.53 фм,
𝑑 = 0.542 фм
40
Ca,
40
7
9
Ar
Be
Be
Гармонический
осциллятор
Гармонический
осциллятор
(︀
2
𝜌0 1 + 𝑎(𝑟/𝑟0 )
(︀
2
𝜌0 1 + 𝑎(𝑟/𝑟0 )
)︀
)︀
(︁
)︁
2
exp − (𝑟/𝑟0 )
𝑟0 =1.77
(︁
)︁
2
exp − (𝑟/𝑟0 )
𝑟0 =1.791
фм,
a=0.327
фм,
a=0.611
Таблица 2.1: Распределения ядерной плотности и параметры, использованные
в данной работе [86].
Каждый нуклоны трактуются как совокупности диполей, элементарные
столкновения которых осуществляется с помощью формул (2.29), (2.18). Нук-
38
лон считается провзаимодействующим (то есть нуклоном-участником столкновения), если хотя бы один из его диполей перецепился с диполем другого ядра.
Данная модель строится без привлечения дополнительной информации: используется тот же набор параметров, что и для описания pp столкновений.
Поскольку каждый диполь может перецепиться с другим диполем только один
раз, что приводит к сохранению энергии в нуклон-нуклонных взаимодействиях
и к уменьшению множественности, по сравнению с моделью Глаубера.
Рождающиеся частицы в модели ядро-ядерных столкновений генерируются аналогично тому, как это делается для pp-взаимодействий. Дополнительно,
для каждого события определяется число нуклонов-участников и количество
парных столкновений нуклонов.
Вычисление наблюдаемых величин
Полное неупругое сечение в настоящей работе вычисляется двумя способами:
∑︀
𝜎 (1) =
𝜎 (2)
где
𝑎2
sim
𝑝
· 𝑎2 ,
(2.38)
𝑁sim
𝑁ev
=
· 𝑎2 ,
𝑁sim
(2.39)
– площадь области в плоскости прицельного параметра, в которой ге-
нерируются протоны,
𝑝
– полная вероятность неупругого столкновения двух
протонов в каждом событии,
𝑁sim
– общее число симуляций,
𝑁ev
– число си-
муляций, в которых было хотя бы одно столкновение с образованием струн;
суммирование ведется по всем симуляциям. Второй способ представляет собой
обычный метод в монте-карловских симуляциях, в то время как первый является следствием модели цветовых диполей. Поскольку обе формулы дают один
и тот же результат, первый способ является основным, второй используется для
контроля.
Поскольку модель реализована в виде монте-карловского генератора событий, методика вычисления поперечного импульса, множественности, корреляционных функций и коэффициентов корреляций практически полностью эквивалентна вычислению данных величин в экспериментальных данных и детально описана в [42, 49, 87].
39
Для генерация монте-карловских событий использовались вычислительные
мощности сегмента ALICE грид-сети WLCG. Особенности использования распределенных вычислений при монте-карловских вычислениях изложены в работе [88].
Объемы выборок, которые генерировались и использовались в данной диссертации, содержат не менее миллиона событий (в протон-протонных столкновениях) и не менее 100 тыс. в каждом классе по центральности (для ядроядерных столкновений).
Код заголовочного файла монте-карловской модели представлен в приложении A. Пример конфигурационного скрипта приведен в приложении B.
2.2
Процедура фиксации параметров
Основными параметрами модели являются:
– 𝑟0
– среднеквадратичный радиус нуклона в плоскости прицельного пара-
метра;
– 𝑟max
– 𝛼𝑠
– характерный масштаб конфайнмента;
– константа, характеризующая интенсивность взаимодействия дипо-
лей;
– 𝜇0 – множественность заряженных частиц на единицу быстроты от одной
струны.
– 𝜆 – среднее число пар кварк-антикварк (кварк-дикварк).
Предполагается, что первые четыре параметра не зависят ни от энергии
столкновения, ни от сталкивающихся систем (протоны или ядра). Рост полного
неупругого сечения, множественности, поперечного импульса обеспечивается
только за счет увеличения количества кварк-антикварковых пар (параметр
𝜆).
Стратегия параметров фиксации состоит из двух этапов [72]. Во-первых, с
помощью экспериментальных данных по полному сечению неупругого рр сечения, мы установим соответствие между средним числом диполей и энергии
столкновения
√
𝜆 = 𝜆( 𝑠; 𝑟0 ,𝑟max ).
Этот шаг не включает в себя вычисление
множественности и, следовательно, не требует знания
𝑟str
и
𝜇0 .
Второй этап
40
процедуры фиксации параметров предназначен для установления ограничений
на значения остальных параметров модели с использованием данных по множественности в различных сталкивающихся системах и в широком диапазоне
энергии.
Рост множественности и сечения в данной модели обеспечивается за счет
увеличения количества кварк-антикварковых пар (параметра
𝜆).
Величина
𝜆
фиксируется из экспериментальных данных
В качестве экспериментальных данных мы использовали следующие аппроксимации для неупругого сечения и множественности pp-столкновений [89–
92]:
𝑖𝑛
𝜎𝑝𝑝
(𝑠) = 32.08 − 1.574 · ln(𝑠) + 0.6622 · ln2 (𝑠).
𝑑𝑁
|𝜂=0 = 0.815 · 𝑠0.10671 .
𝑑𝜂
(2.40)
(2.41)
Начальный диапазон вариации параметров имеет вид (см. рис. 2.3, слева):
𝑟0 : 0.4 – 0.7 фм;
𝑟max /𝑟0 : 0.3 – 0.6;
𝛼𝑠 : 0.2 – 2.8;
𝑟str : 0 (нет слияния),
0.2-0.6 фм;
Диапазон энергий: 53 – 7000 ГэВ.
Параметр
𝜇0
(множественность от одной струны) фиксируется при проме-
жуточном значении энергии БАК (2.36 TeV).
После каждого шага из всех комбинаций параметров мы оставляем только сочетания, которые дают результаты по множественности, согласующиеся с
экспериментальными данными в пределах погрешностей измерения; в противном случае комбинации параметров отбрасываются.
На рис. 2.3 (в центре) показана гистограмма сохранившихся значений для
каждого параметра после учета экспериментальных данных по множественности в pp-рассеянии. Результаты отбора параметров показывают, что наилучшее
согласие с экспериментом дает значение поперечного радиуса протона 0,5-0,6
фм.
Тем не менее, о значении других параметров
𝛼𝑠
и
𝑟max
сделать какой-либо
вывод на данном этапе нельзя. Важным является результат по множественно-
41
Рисунок 2.3: Параметры монте-карловской модели: слева - начальные
значения, в центре - после учета данных по протон-протонным, справа - после
учета данных по рр и р-Pb столкновениям.
сти от одной струны
𝜇0 : 𝜇0 = 1.15 ± 0.20.
Данное значение хорошо согласуется
с имеющимися оценками [36, 93].
На следующем этапе были учтены результаты модели по
𝑑𝑁/𝑑𝜂|𝜂=0
в р-Pb
столкновениях при 5,02 ТэВ (без отбора по центральности) в сравнении с экспериментальным значением [94]
16.81 ± 0.71.
Результаты, представленные на
рис. 2.3 показывают, что протон-свинцовые данные дают более строгие ограничения на параметры модели. Во-первых, исключается чрезмерно большое
значение радиуса струны.
Во-вторых, наиболее вероятное значение поперечного радиуса протона ле-
0.6 − 0.7фм. Данный результат хорошо согласуется с известным из экспериментов по 𝑒𝑝-рассеянию значением среднеквадратичного радиуса протона: 𝑟𝑝 = 0.8 фм [95], если учесть что они связаны соотношением:
√︀
𝑟0 = 2/3𝑟𝑝 . [39, 40, 95].
жит в диапазоне
Также, по результатам данного этапа установлено, что эффективная константа связи
𝛼𝑠
должна быть меньше чем 1,3.
На следующем этапе полученный набор комбинаций параметров, которые
корректно описывают множественность в протон-протонных столкновениях в
широком диапазоне энергий и множественность в p-Pb столкновениях при энергии 5,02 ТэВ, был использован для Pb-Pb столкновений при энергии 2,76 ТэВ.
42
Результаты вычислений месте с экспериментальными данными показаны на
рис. 2.4.
Рисунок 2.4: Псевдобыстротная плоность множественности заряженных
частиц в PbPb столкновениях при 2,76 ТэВ. Расчет в рамках
монте-карловской модели (линии; цветом показаны различные значения
поперечного радиуса струны) в сравнении с экспериментальными данными
(точки) [96–98].
Рис. 2.4 показывает, что форма зависимости псевдобыстротной плотности
множественности, нормированной на число пар нуклонов-участников, от
𝑁part
хорошо воспроизводитсчя в модели.
Все комбинации параметры дают одинаковые результаты в периферических
столкновениях, а в центральных наблюдается значительное расхождение. При
этом кривые 2.4 выстроены в соответствии с поперечным радиусом струны.
Согласие с экспериментальными данными получено только при значении
радиуса струны между 0,2 и 0,3 фм.
Вариант модели без слияния струн дает значение множественности почти в
два раза выше, чем экспериментальные данные.
На рис. 2.5 показано распределение множественности заряженных частиц
по быстроте в наиболее центральных Pb-Pb столкновениях (0-5%).
43
Рисунок 2.5: Распределение множественности по быстроте, рассчитанное в
монте-карловской модели, и сравнение с экспериментальными данными [98].
Цветовые обозначения такие же, как и на рис. 2.4.
Сравнение результатов модели с экспериментальными данными демонстрирует, что с учетом экспериментальных погрешностей имеется неплохое согласие распределения заряженных частиц по быстроте. Сравнение результатов модели при разных значениях параметров демонстрирует, что ширина и форма
быстротного распределения практически не зависит от параметров модели: при
варьировании параметров изменяется только общий масштаб быстротного распределения.
Подводя итог, в табл. 2.2 перечислены параметры, дающие наилучшее описание множественности в PbPb столкновениях при каждом значении радиуса
струны
𝑟str . Данные наборы параметров использовались в последующих расче-
тах. При изложении в дальнейшем будет указываться только величина поперечного радиуса струны, значение остальных параметров будет опускаться.
2.3
Расширение
модели
для
учета
жесткости
элементарных взаимодействий
Поскольку в исходном варианте монте-карловской модели предполагается,
что кварк-глюонные струны натягиваются строго вдоль оси z и поперечный импульс партонов на ее концах равен нулю,данная модель применима только для
достаточно мягких нуклон-нуклонных взаимодействий, в которых квадрат по-
44
𝑟str
𝑟0
𝑟max /𝑟0
𝛼𝑠
𝜇0
0
0.6
0.4
0.9
1.010
0.2
0.6
0.5
0.4
1.152
0.3
0.6
0.6
0.2
1.308
0.4
0.7
0.3
0.2
1.626
Таблица 2.2: Результаты фиксации параметров в монте-карловской модели
перечного импульса, приобретаемого партоном во время взаимодействия, меньше или сопоставим с натяжением струны. Это приводит к тому, что описываемый диапазон поперечных импульсов ограничена областью
0 < 𝑝𝑡 < 1.5ГэВ/𝑐
(см. рис. 2.6, пунктирная линия). С другой стороны, поскольку более жесткие
партонные столкновения происходят с меньшей вероятностью, этот эффект может сказаться на корреляции между поперечным импульсом и множественностью. Большинство экспериментальных данных по дальним корреляциям приводятся в условиях ограничения по поперечным импульсам. С целью более корректного учета этих проблем нами была разработана модификация модели, которая позволяет одновременно учитывать (эффективным образом) жесткость
партон-партонных столкновений, а также слияние струн.
Для обобщения модели мы используем механизм, аналогичный тому, что используется в монте-карловском генераторе событий DIPSY. [62, 76, 99]. В данном подходе предполагается [100], что жесткость элементарных столкновений
обратно пропорциональна поперечному размеру взаимодействующих диполей:
𝑑𝑖 = |⃗𝑟1 − ⃗𝑟2 |, 𝑑′𝑗 = |⃗
𝑟1 ′ − 𝑟⃗2 ′ |.
Здесь
𝑑𝑖
и
𝑑′𝑗
– поперечные размеры взаимодей-
ствующих диполей снаряда и мишени.
В соответствии с этим, средний поперечный импульс рождающихся частиц
от одной струны включает в себя три вклада: вклад от партонов на концах струны плюс дополнительный постоянный член
𝑝0 , соответствующий собственному
поперечному импульсу струны, который характеризует процесс её распада:
45
Рисунок 2.6: Распределение частиц по поперечному импульсу в pp
столкновениях при энергии 7 ТэВ. Результаты вычисления в модели без учета
(пунктирная линия) и с учетом (сплошная линия) жесткости партонных
столкновений.
𝑝𝑇 1 2 =
1
1
2
+
2 + 𝑝0
2
′
𝑑𝑖
𝑑𝑖
.
Формула для поперечного импульса в дискретной модели слияния струн
2.37 модифицируются следующим образом. Пусть в некоторую ячейку в данном быстротном диапазоне попало
𝑘 струн. Тогда средний поперечный импульс
рождающихся от такого кластера слившихся струн будет иметь вид:
𝑝4𝑇
=
𝑘
∑︁
𝑝𝑇 1𝑖 4 ,
𝑖=1
где
𝑝 𝑇 1𝑖 2 =
1
1
2
+
2 + 𝑝0 .
2
′
𝑑𝑖
𝑑𝑖
В качестве собственного поперечного импульса струны мы использовали
𝑝0 = 0.2ГэВ/𝑐, что обеспечивает разумное описание распределения поперечного
импульса при энергиях БАК. В варианте модели без учета жесткости партонпартонных столкновений, параметр
𝑝0
выбирался равным 0.3 ГэВ/c.
46
Стоит подчеркнуть, что предложенный вариант описания жесткости партонных взаимодействий имеет эффективный характер, поскольку более полное
моделирование явлений КХД в жесткой области неизбежно должно включать в
себя рождение струй и другие процессы, появляющиеся в теории возмущений.
Однако для описания некоторых закономерностей такой подход оказывается
полезным.
На рис. 2.7 представлены результаты монте-карловской модели, учитывающей
жесткость столкновений, по фактору ядерной модификации. Экспериментальные данные неплохо описываются вариантом модели со слиянием струн, у модели без учета слияния согласие несколько хуже. Важно отметить, что в пределе
больших
𝑝𝑇
фактор ядерной модификации несколько больше единицы, тогда
как без слияния –
𝑅pPb
стремится к единице. С учетом последних эксперимен-
тальных данных коллабораций ATLAS и CMS [101, 102] по фактору ядерной
модификации вопрос о выходе
𝑅pPb
на единицу на настоящий момент экспери-
ментально не решен.
Рисунок 2.7: Фактор ядерной модификации для протон-ядерных столкновений
при энергии 5.02 ТэВ. Результаты монте-карловской модели со слиянием и без
слияния струн сравниваются с экспериментальными данными [103].
47
2.4
Заключение
В данной главе сформулирована новая струнно-партонная модель pp рассеяния, в которой элементарное столкновение представляет собой взаимодействие цветных диполей. Детальное моделирование партонных распределений с
учетом ограничений, налагаемых законами сохранения импульса и момента импульса позволило применить алгоритм слияния струн в поперечной плоскости
с учетом их конечной протяженности по быстроте.
Произведено обобщение модели на случай ядерных столкновений, что позволило описать в рамках единого подхода pp, pA и AA взаимодействия на партонном уровне без привлечения приближения Глаубера о независимых нуклоннуклонных столкновениях.
На основе сравнения предсказаний модели по неупругому сечению и множественности в pp, pA и AA столкновениях показано, что поперечный радиус
струны должен лежать в пределах 0.2 – 0.3 фм, а множественность на единицу
быстроты от одной струны должна быть 1.1 – 1.3.
Результаты настройки параметров в модели подтверждают [104], что одновременный учет как сохранения энергии в начальном состоянии, так и слияния струн важен при описании множественности в высокоэнергетических ядроядерных столкновениях.
Предложен простой эффективный способ учета жесткости элементарных
партон-партонных столкновений, который дает разумное описание распределения заряженных частиц по поперечному импульсу в pp-столкновениях, а также
фактора ядерной модификации
𝑅pPb .
48
Глава 3
Результаты вычисления дальних
корреляций в pp, pA и AA
взаимодействиях
Данная глава посвящена исследованию основных закономерностей поведения корреляционных функций и коэффициентов корреляции. Производится
сравнение результатов расчета с экспериментальными данными.
3.1
Общие свойства корреляционных функций и
коэффициентов корреляции
В данном разделе рассматриваются общие свойства корреляционных функций и коэффициентов корреляции в pp столкновениях. Если не сказано иное,
все результаты данного раздела получены при значении поперечного радиуса
струны
𝑟str =0.3
фм.
Корреляционные функции
На
рис.
3.1,3.2
показан
общий
вид
корреляционных
функций
столкновениях при энергии 7 ТэВ. Линией обозначена область по
⟨𝑛𝐹 ⟩ − 𝜎𝑛𝐹
до
⟨𝑛𝐹 ⟩ + 𝜎𝑛𝐹
в
𝑛𝐹
ppот
в рамках которой производится аппроксимация кор-
реляционной функции линейной функцией с целью определения наклона, т.е.
коэффициента корреляции.
На рис. 3.3 представлены корреляционные функции при энергии 900 ГэВ.
49
<nB>n
F
<nB>
n-n correlation function
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Рисунок 3.1:
𝑛−𝑛
0
1
2
3
4
5
nF 6
<nF>
корреляционная функция в относительных переменных
для pp взаимодействия при энергии 7 ТэВ.
Окна по быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет монте-карловской модели.
pt -n correlation function (-0.8, 0), (0, 0.8)
hbase_0_proj_4_5_pfx
Entries
Mean
1.1
1
0.7809
0.3543
B
B
173121
<pt >
<pt >n
F
Mean y
RMS
RMS y
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0
1
2
Рисунок 3.2:
𝑝𝑡 − 𝑛
3
и
4
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
nF5
<nF>
корреляционные функции в относительных
переменных для pp взаимодействия при энергии 7 ТэВ. Окна по быстроте
(-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет монте-карловской модели.
Следует отметить нелинейность корреляционных функций всех трех типов,
причем заметное отклонение от линейности проявляется только вне области,
используемой для определения коэффициента корреляции. Это означает, что
нелинейные эффекты в корреляционных функциях не находят своего отражения для коэффициентов корреляции, и их слеудет исследовать дополнительно
для получения большей информации об особенностях формирования и слияния
струн.
50
<nB>n
F
<nB>
n-n correlation function (-0.8, 0) (0, 0.8)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
nF
<nF>
p -n correlation function
t
hbase_0_proj_4_5_pfx
Entries
Mean
1
0.8063
0.3948
B
B
118107
1.156
RMS
RMS y
<pt >
<pt >n
F
Mean y
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0
1
2
3
4
5
nF
<nF>
p -p correlation function
t
hbase_0_proj_6_5_pfx
B
Entries
Mean
105178
1.012
Mean y
RMS
RMS y
1
0.3665
0.3677
B
<pt >
<pt >pt
F
t
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5 pt
F
<pt F>
Рисунок 3.3:
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
корреляционные функции для pp
взаимодействия
при энергии 900 GeV. Окна по быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет
монте-карловской модели.
51
На рис. 3.4 показаны корреляционные функции для двух случаев: со слиянием и без слияния струн. Результаты расчетов демонстрируют, что без слияния
струн корреляционная функция форму более близкую к линейной. Наибольшее
расхождение двух случае наблюдается в области большой множественности,
где слияние струн играет значительную роль, так как это соответствует большей степени перекрытия струн. С другой стороны, в области малой и средней
множественности в переднем окне корреляционные функции практически совпадают.
Рисунок 3.4:
𝑛−𝑛
корреляционная функция pp взаимодействия при энергии
900 ГэВ. Окна по быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет монте-карловской модели
со слиянием (сплошная линия) и без слияния струн (точки).
На рис. 3.5 показано сравнение расчетов данной работы с результатами,
полученными в модели pp-столкновений со слиянием струн [40], основанной на
основанной на квази-эйкональном Редже подходе, при энергии 900 ГэВ. Результаты данной модели демонстрируют хорошее согласие, как между различными
сценариями слияния струн (локальное слияние, глобальное слияние, а также
дискретные варианты обоих моделей), так и с результатами настоящей работы.
На рис. 3.6 расчеты данной работы сравниваются с экспериментальными
данными ALICE [42] при энергии 7 ТэВ. К сожалению, в настоящее время доступны только нескорректированные на эффективность установки (raw) экспериментальные данные в ограниченном диапазоне по поперечным импульсам,
поэтому данное сравнение иммет смысл рассматривать лишь на качественном
уровне. Тем не менее, модели со слиянием струн описывает форму
реляционной функции, в том числе ее нелинейный участок.
𝑛−𝑛
кор-
52
This work
Model [40]:
Рисунок 3.5: Сравнение корреляционной функции n-n корреляций,
рассчитанной в данной работе, с результатами модели [40], основанной на
квази-эйкональном Редже подходе, учитывающей слияние струн.
<nB>n
F
<nB>
n-n correlation function
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
Рисунок 3.6: Слева:
4
𝑛−𝑛
5
nF 6
<nF>
корреляционная функция pp взаимодействия в
относительных переменных при энергии 7 ТэВ, рассчитанная в данной работе.
Справа – нескорректированные экспериментальные данные по
𝑛−𝑛
корреляционной функции в pp столкновениях при энергии 7 ТэВ [42].
53
Общий вид корреляционных функций в p-Pb столкновениях
На рис. 3.7 приведены
𝑛–𝑛, 𝑝𝑡 –𝑛 и 𝑝𝑡 –𝑝𝑡 корреляционные функции для быст-
ротных интервалов (-0.8, 0), (0, 0.8) в столкновениях протон-свинец при энергии 5.02 ТэВ. Корреляционная функция между множественностями построена
в абсолютных величинах, в то время как
𝑝 𝑡 –𝑛
и
𝑝 𝑡 –𝑝 𝑡
– в относительных.
no fusion
rstr=0.3 fm
p-Pb, 5.02 TeV,
MC model
rapidity windows
(-0.8, 0), (0, 0.8)
p-Pb, 5.02 TeV,
MC model, rstr=0.3 fm
rapidity windows
(-0.8, 0), (0, 0.8)
𝑛–𝑛 (сверху), 𝑝𝑡 –𝑛 (слева) и 𝑝𝑡 –𝑝𝑡 (справа) корреляционные
𝑝–𝑃 𝑏 столкновениях
√ без отбора по центральности при энергии
𝑠 =5.02 ГэВ.
Рисунок 3.7:
функции в
Результаты показывают, что корреляционная функция множественностьмножественность является нелинейной как при наличии, так в отсутствие слияния струн. Отклонение от линейности и насыщение
𝑛–𝑛 корреляции при высо-
кой множественности является более выраженным в модели со слиянием струн.
Корреляционная функция между поперечным импульсом и множественностью и между средними поперечными импульсами также оказываются нелиней-
𝑝𝑡 –𝑛 корреляция имеет признаки насыщения при большой мно𝑝𝑡 –𝑝𝑡 корреляционная функция имеет участок немонотонности
ными. При этом
жественности.
54
при больших
𝑝𝑡 .
В настоящее время отсутствуют опубликованные эксперимен-
тальные данные по этим наблюдаемым. Таким образом, исследование формы
корреляционных функций может быть хорошей экспериментальной проверкой
для модели слияния струн. Стоит обратить внимание, что в данном подходе
𝑝 𝑡 –𝑛
и
𝑝 𝑡 –𝑝 𝑡
корреляционные функции являются константами в случае отсут-
ствия слияния струн. Корреляционные функции между множественностью и
поперечным импульсом в одном окне обсуждаются далее в разделах 3.2.2 и 4.2.
Коэффициенты корреляции в pp и AA столкновениях
Данный раздел посвящен исследованию коэффициентов корреляции в pp и
AA столкновениях в зависимости от ширины быстротных окон.
Сначала рассмотрим зависимость коэффициентов корреляции в pp столкновениях от ширины заднего окна при фиксированном переднем быстротном
окне окне (0.6, 0.8) (см. рис. 3.8)
0.6
0.8
bn-n
Рисунок 3.8: Схема расположения быстротных окон
0.37
0.36
0.35
0.34
0.33
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
∆y
B
Рисунок 3.9: Коэффициент
𝑛−𝑛
корреляции в зависимости от ширины
заднего окна, pp, 7 TeV.
bpt-pt
bpt-n
55
0.035
0.035
0.03
0.03
0.025
0.025
0.02
0.02
0.015
0.015
0.01
0.01
0.005
0.005
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Рисунок 3.10: Коэффициенты
3
∆y
0
0.5
1
1.5
2
B
𝑝𝑡 − 𝑛
2.5
3
∆y
B
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
корреляции в зависимости от
ширины заднего окна, pp, 7 TeV.
На рис. 3.12 продемонстрирована зависимость коэффициента корреляции
от ширины переднего окна:
-0.8
-0.6
Рисунок 3.11: Схема расположения быстротных окон
Рассчитанные в монте-карловской программе значения фитированы зависимостями вида
𝑏=𝛽
Δ𝑦𝐹
.
Δ𝑦𝐹 + 𝑘
(3.1)
Результаты фитирования представлены в таблице 3.1.
Обсуждение результатов
Отсутствие зависимости коэффициента
𝑛−𝑛 корреляции от ширины заднего
окна соответствует предсказаниям модели независимых источников и асимптотическим выражениям (1.13), (1.15) в модели слияния струн.
Небольшая зависимость коэффициента
𝑝𝑡 − 𝑛
корреляции от ширины пе-
реднего окна в области малой множественности может быть вызвана тем, что
при расчете
𝑝𝑡 − 𝑛 корреляций учитываются события, в которых в заднем окне
bn-n
56
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
∆y
bpt-n
F
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
∆y
bpt-pt
F
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
∆y
F
Рисунок 3.12: Коэффициенты
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
корреляции в зависимости
от ширины переднего окна, pp, 7 TeV.
57
Таблица 3.1: Параметры фитирования коэффициентов корреляции
𝛽
Тип корреляции
𝑘
𝑛−𝑛
1.000
±
0.002
0.34
±
0.01
𝑝𝑡 − 𝑛
0.088
±
0.002
0.41
±
0.02
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
0.53
±
0.05
4.6
±
0.6
есть хотя бы одна частица, то есть проиходит более строгий отбор событий.
Коэффициент
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
корреляции в пределах погрешностей вычисления тоже
практически не зависит от ширины заднего окна.
Зависимость коэффициента корреляции от ширины переднего окна полностью описывается формулой (3.1), причем, как предсказывает модель незави-
𝑛 − 𝑛 корреляции 𝛽 = 1. Тот факт, что величина 𝑘
для типов корреляции 𝑛 − 𝑛 и 𝑝𝑡 − 𝑛 не совпадает, означает, что не достигнута
необходимая плотность струн, при которой реализуются асимптотики (1.13).
Необходимо заметить, что 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 корреляции достаточно сильно зависят
от ширины окна, и при достаточной величине Δ𝑦𝐹 доминируют над 𝑝𝑡 − 𝑛
симых источников, для
корреляциями.
С физической точки зрения тот факт, что коэффициенты корреляции зависят только от ширины переднего окна означает то [38], что именно значение
динамической переменной в переднем окне классифицирует события, и чем
шире окно, тем больше эта классификация совпадает с с классификацией по
струнным конфигурациям, а значит тем больше это значение скоррелировано
со значением переменной в другом быстротном окне.
Зависимость коэффициентов корреляции от зазора между окнами
В рамках нашей модели также была исследована зависимость коэффициентов корреляции от положения быстроных окон. Были выбраны симметричные
окна шириной 0.8 по быстроте.
bn-n
58
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
bpt-n
0
2
4
6
8
10
12
14
y gap
2
4
6
8
10
12
14
y gap
2
4
6
8
10
12
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
bpt-pt
00
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
00
14
y gap
Рисунок 3.13: Коэффициенты
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
корреляции в зависимости
от зазора между быстротыми окнами, pp, 7 TeV.
59
В целом, все три типа корреляций демонстрируют сходное поведение и убывают в далеко разнесенных окнах, повторяя распределение множественности
по быстроте.
0.8
0.06
0.08
0.7
0.07
0.05
0.6
0.06
0.04
0.5
0.05
0.4
0.03
0.04
0.3
0.03
0.02
0.2
0.02
0.01
0.1
0.01
0
0
Relative Correlation Coefficient
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
0
1.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2
0.04
0.06
pp events at s = 7 TeV
δη = 0.8
δ η = 0.8
0.6
δη = 0.6
δ η = 0.8
δ η = 0.6
0.03
Preliminary
δ η = 0.4
0.04
δ η = 0.6
δη = 0.4
0.4
0.02
δ η = 0.4
δ η = 0.2
δη = 0.2
0.02
0.2
0.01
δ η = 0.2
Correlation N-N
Correlation pT-N
0
Correlation pT-pT
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0
0.2
η gap between windows
0.4
0.6
0.8
1
1.2
η gap between windows
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
η gap between windows
Рисунок 3.14: Зависимость коэффициентов корреляции от зазора между
окнами: сверху – монте-карловские расчеты
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
коэффициенты корреляции, снизу – предварительные данные эксперимента
ALICE [105] для псевдобыстротных окон.
Интересно, что
𝑝𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
коэффициенты корреляции обращаются в
ноль в достаточно разнесенных быстротных окнах. Это может быть объяснено
следующим образом: вклад в далекие окна идет только от длинных валентных
60
струн, следовательно в этой области нет слияния, и поэтому отсутствуют
𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
корреляции. При этом
𝑛−𝑛
𝑝𝑡 −
корреляции остаются не нулевыми
за счет общей флуктуации числа струн (что соответствует выводам модели
независимых источников [11, 12]).
На рис. 3.14 показаны коэффициенты корреляции для pp столкновений при
энергии 7 TeV в средней области быстрот как функции от зазора между окнами
и произведено сравнение с экспериментальными данными.
Сравнение в некоторой степени можно считать условным, поскольку
1. в модели окна выбираются по быстроте, на эксперименте по псевдобыстроте;
2. в экспериментальных данных имеется обрезание по поперечному импульсу (0.3𝐺𝑒𝑉
всей
< 𝑝𝑡 < 1.5𝐺𝑒𝑉 ) в то время как модель рассчитана на описание
мягкой области вплоть до нуля по 𝑝𝑡 ;
3. при обработке экспериментальных данных не в полной мере были произведены коррекции на эффективность установки.
В дополнение, в случае малого зазора существенны корреляции, связанные
с распадами резонансов, и это приводит к наличию сильной зависимости коэффициентов корреляции от ширины зазора на эксперименте. В пользу этого
говорит тот факт, что в случае азимутального разбиения окон на сектора в
развернутых окнах зависимость от зазора практически отсутствует [105].
С учетом этих оговорок можно утверждать, что расчеты модели не противоречат экспериментальным данным. Перечисленные недостатки устраняются
в следующем разделе, и производится непосредственное количественное сравнение расчетов с экспериментальными данными.
Зависимость коэффициентов корреляции от ширины и положения
бытротных окон в AA столкновениях
Коэффициенты корреляции в Pb-Pb столкновениях при 2,76 ТэВ в двух
быстроты окна шириной 0,8 в зависимости от зазора между ними показаны на
рис. 3.15 (слева).
Мы можем наблюдать почти плоское поведение в середине быстротой и снижения корреляции с дальнейшим увеличением зазора. Как pt-n, так и pt-pt
61
Рисунок 3.15: Зависимость коэффициентов корреляции от зазора по быстроте
между окнами (слева) и от ширины переднего окна
𝑏𝑛-𝑛
(в центре) и
𝑏𝑝𝑡-𝑝𝑡
(справа).
корреляции исчезают при зазоре около 10 единиц быстроты, в то время как n-n
корреляции по-прежнему присутствуют, и это поведение похоже на случай pp.
Зависимость коэффициентов корреляции от ширины переднего быстротного
окна показаны на средней и правой части рис.3.15.
Результаты показывают заметную зависимость
быстротного окна
Δ𝑦𝐹 .
𝑏𝑛-𝑛
от размера переднего
Точки фитированы зависимостью
𝑏=
Δ𝑦𝐹
.
Δ𝑦𝐹 + 𝑘
Важ-
но обратить внимание, что в отличие от случая pp-взаимодействия, в Pb-Pb
столкновениях зависимость pt-pt корреляций от ширины быстротных окон согласуется с такой аппроксимацией (без общего множителя), что указывает на
то, что в ядро-ядерных столкновениях при энергии БАК достигается достаточно высокая плотность струн, при которой выполняются асимптотические
формулы, полученные в работе [36].
3.2
Сравнение результатов модели с экспериментальными данными
В данном разделе, для учета отбора частиц по поперечным импульсам, который неизбежно присутствует в экспериментальных данных, использовался
расширенный вариант модели 2.3, учитывающий эффективным образом жесткость элементарных партонных столкновений. При этом использовалось значение поперечного радиуса струны
𝑟str = 0.2фм.
62
3.2.1
Коэффициенты корреляции множественности в ppстолкновениях
Зависимость от ширины псевдобыстротного окна и области поперечных импульсов при энергиях БАК
Рисунок 3.16: Коэффициент корреляции множественности в зависимости от
ширины псевдобыстротного окна (𝛿𝜂 ) в центральной области быстрот
(𝜂
gap = 0).
Линии – результаты расчета в модели с учетом и без учета
слияния струн, точки – экспериментальные данные [42, 106].
На рис. 3.16 показана зависимость коэффициента корреляции от ширины
псевдобыстных окон при трех значений энергий. Ограничение на поперечный
импульс (0.3
< 𝑝𝑇 < 1.5 GeV/𝑐)
применяется как в данных, так и в модель-
ных расчетах, что дает возможность прямого сравнения с экспериментальными
данными ALICE [42, 106]. Результаты демонстрируют, что общие закономерности, такие как рост
𝑏corr
с энергией столкновения и шириной псевдобыстрот
окон) хорошо описываются моделью. Роль слияния струн растет с
√
𝑠,
одна-
ко с использованием экспериментальных данных только по n-n коэффициенту
корреляции в центральной области быстрот при энергиях, доступных на настоящий момент, трудно отличить случаи без и со слиянием струн. Кроме того,
следует отметить, что в случае небольшого промежутка между быстротными
окнами имеется вклад эффектов ближних корреляций в данных (например,
вследствие распадов резонансов), которые в не учитываются в модели.
На рис. 3.17 показана зависимость
𝑏corr
от области поперечных импульсов
рождающихся заряженных частиц. Коэффициент корреляции исследуется как
функция нижняя граница интервала
данными ATLAS [52].
𝑝𝑇 , и сравнивается с экспериментальными
63
Рисунок 3.17: Коэффициент корреляции как функция нижней границы
области поперечного импульса. Линия - результат расчета в монте-карловской
модели со слиянием струн, точки - экспериментальные данные [52].
Получено уменьшение коэффициента корреляции при введении ограничения на нижний порог отбора частиц по поперечным импульсам. Результаты демонстрируют качественное согласие
личение
𝑝𝑇 min
𝑏corr
с экспериментальными данными. Уве-
сопровождается уменьшением множественности в данном диа-
пазоне поперечных импульсов, что ограничивает приводит к уменьшению эффективного количества «активных» струн и их дисперсии. Поскольку в модели
независимых источников, коэффициент n-n корреляций зависит от дисперсии
числа струн, при введении ограничения по поперечному импульсу коэффициент корреляции снижается.
Наши расчеты переоценивают значение коэффициента корреляции в жестком диапазоне поперечных импульсов. Это свидетельствует о том, что напрямую
подход
с
образованием
«мягких»
𝑝𝑇 ≤ 1GeV/𝑐, а при более высоких 𝑝𝑇
цветных
струн
применим
при
различные жесткие процессы (такие как
образование и фрагментация струй) начинают играть существенную роль.
Зависимость коэффициента n-n корреляции от энергии и быстротного зазора
На рис. 3.18 показана зависимость
𝑏corr
от зазора по псевдобыстроте (𝜂
gap)
при четырех значениях энергии, рассчитанные в монте-карловской модели данной работы, в сравнении с экспериментальными данными [48, 52]. В модельных
расчетах не делается разделения между pp и
pp̄
взаимодействиями. Модель
воспроизводит рост коэффициента корреляции с энергией столкновений и ка-
64
Рисунок 3.18: Коэффициент корреляции как функция зазора между
псевдобысротными окнами. Линии – расчет в Монте-Карло модели с и без
слияния струн, точки – экспериментальные данные [48, 52].
чественно описывает уменьшение коэффициента корреляции с увеличением интервала между псевдобыстротныим окнами. Результаты показывают, что, учет
слияния струн улучшает согласие модельных расчетов с экспериментальными
данными.
3.2.2
Корреляции между множественностью и поперечным импульсом в pp, p-Pb и Pb-Pb столкновениях
при энрегиях БАК
В данном разделе представлены результаты по корреляциям между множественностью и поперечным импульсом в одном псевдобыстротном интервале, и
производится сравнение с данными эксперимента ALICE [107].
На
рис.
3.19
показана
⟨𝑝𝑇 ⟩𝑁ch –𝑁ch
корреляционная
функция
в
pp-
столкновениях для заряженных частиц, попадающих в псевдобытротный интервал
|𝜂| < 0.3
и имеющих поперечный импульс от 0.15 до 10 ГэВ/c.
Сравнение расчетов с экспериментальными данными показывает, что не достаточно учитывать слияние струн и жесткости элементарных столкновений
по-отдельности, чтобы описать экспериментальные корреляции между поперечным импульсом и множественностью.
65
Рисунок 3.19: Корреляция между поперечным импульсом и
множественностью в pp столкновениях при энергии 7 ТэВ. Представлены
результаты монте-карловской модели с учетом слияния струн, жесткости
элементарных соударений, а также с одновременным учетом этих процессов.
Расчеты сравниваются с экспериментальными данными и моделью PYTHIA 8
без учета пересоединения цвета (color reconnection, CR) [107].
В отсутствии слияния струн (когда
⟨𝑝𝑇 ⟩𝑁ch –𝑁ch
корреляция вызвана только
учетом жесткости элементарных столкновений) поперечный импульс слабо зависит от множественности (наклон корреляционной функции близок к нулю).
Включение слияния струн мультипликативным образом усиливает эту pt-n корреляцию, что приводит к правильному описанию эксперимента.
Стоит отметить, что результаты варианта модели без слияния струн, учитывающего только жесткость столкновений, практически совпадают с монтекарловским генератором PYTHIA 8 [108], в котором выключен эффект пересоединения цвета (color reconnection, CR [109]). Таким образом, можно сделать
предположить, что модель слияния струн и эффект пересоединения цвета, color
reconnection, в модели PYTHIA 8, являются аналогами и описывают с разных
сторон одно и то же физическое явление, являющееся проявлением коллективности в протон-протонных столкновениях. Свойства данного явления в протонядерных и ядро-ядерных столкновениях могут быть описаны только на языке
слияния струн ввиду того, что модель PYTHIA не применима к взаимодействиям с ядрами.
На рис. 3.20 показана корреляционная функция между поперечным импульсом и множественностью в протон-ядерных столкновениях при энергии
66
Рисунок 3.20: Корреляция между поперечным импульсом и
множественностью в p-Pb столкновениях при энергии 5.02 ТэВ. Линиями
показаны результаты модели с учетом и без учета слияния струн, точки экспериментальные данные [107]
5.02 ТэВ. Кинематические критерии отбора частиц такие, же как и для
pp-столкновений. В целом, полученные результаты аналогичны случаю ppрассеяния. Учета только жесткости элементарных процессов в столкновениях
протон-свинец не достаточно, чтобы описать достаточно сильную корреляцию
между поперечным импульсом и множественностью. Вариант модели, одновременно учитывающий как слияние струн, так и жесткость диполь-дипольных
взаимодействий хорошо описывает экспериментальные данные. При этом оба
этих эффекта дают сопоставимый вклад в общую корреляционную функцию.
Рис. 3.21 демонстрирует корреляционную функцию между множественностью и поперечным импульсом в Pb-Pb столкновениях при энергии 2.76 ТэВ. В
модельных расчетах наблюдается рост поперечного импульса, более сильный,
чем в экспериментальных данных. Таким образом описание
⟨𝑝𝑇 ⟩𝑁ch –𝑁ch
дости-
гается только на качественном уровне. По нашему мнению, в причина расхождения кроется в том, что в высокоэнергетических ядро-ядерных столкновениях
начинает играть значительную роль эффект потери партонами части энергии
при прохождении сквозь сильновзаимодействующую среду (parton energy loss)
[110]. При этом, ввиду того, что даже в периферических Pb-Pb соударениях
площадь перекрытия ядер значительно больше чем область pp и p-Pb взаимодействия, среднее расстояние, которое необходимо преодолеть партону для
67
того, чтобы покинуть среду, является достаточно большим для потери значительной поперечного доли импульса. Как показано в работах [21–23], явный
учет этого механизма совместно со слиянием струн позволяет успешно описать
коэффициенты коллективного потока и азимутальные корреляции.
Рисунок 3.21: Корреляция между поперечным импульсом и
множественностью в Pb-Pb столкновениях при энергии 2.76 ТэВ. Сравнение
результатов модели (линия) с экспериментальными данными [107] (точки).
3.3
Зависимость
коэффициентов
корреляции
от центральности ядро-ядерных и протонядерных столкновений
3.3.1
Введение
Данный раздел посвящен изучению коэффициентов корреляции в Pb-Pb и
p-Pb столкновениях при энергиях БАК рамках монте-карловской модели со
слиянием струн. При этом особое внимание уделяется моделированию способа
определения центральности, приближенному к реальным условиям эксперимента ALICE и получению предсказаний для в условиях, близких к экспериментальным.
В качестве наблюдаемых, помимо коэффициентов n-n, pt-n и pt-pt корреляций, мы рассматриваем нормированную дисперсию множественности
𝑤,
кото-
68
рая определяется как отношение дисперсии множественности в данном быстротном окне к среднему ее значению:
⟨𝑁ch 2 ⟩ − ⟨𝑁ch ⟩2
.
𝑤=
⟨𝑁ch ⟩
(3.2)
Данная наблюдаемая включена в рассмотрение в связи с планами по ее
экспериментальному исследованию в коллаборации ALICE [111].
Значение коэффициентов корреляции в ядро-ядерных столкновениях может
сильно зависеть от способа фиксации центральности столкновения [35, 36, 112–
114]. Поскольку число нуклонов-участников не возможно напрямую наблюдать
на эксперименте, его приближенное значение в каждом событии можно оценивать с помощью детекторов ZDC – калориметров нулевого угла, которые в каждом событии фиксируют нуклоны-спектаторы, не участвующие в столкновении.
Другой способ фиксации центральности основан на множественности заряженных частиц, попадающих в некоторый быстротный диапазон. В эксперименте
ALICE предусмотрены оба подхода, однако предпочтению отдается способу,
основанному на множественности в передней области быстрот, поскольку ZDC
калориметры неэффективны в полу-центральных и периферических столкновениях.
3.3.2
Результаты
Корреляции вперед-назад и флуктуации множественности в Pb-Pb
√
столкновениях при 𝑠 = 2.76 ТэВ
В соответствии с вышеизложенным, для определения центральности в наших вычислениях было использовано два подхода:
1. Количество нуклонов-участников (𝑁part ), которое определяется непосредственно в модели.
2. Множественность в быстротных окнах: (3,0; 5,0) и (-3,6; -1,6) (так называемый детектор-эстиматор «vzero»). Данные быстротные окна были выбраны в
связи с тем, что эта область соответствует быстротному аксептансу детектора ALICE – V0 [115], используемому для определения центральности в данном
эксперименте [116, 117].
Результаты для флуктуаций множественности
𝑤
и коэффициентов корре-
ляции трех типов как функции центральности показаны на рис. 3.22.
69
Рисунок 3.22: Нормированная дисперсия множественности
интервале (0, 0.8), а также
𝑛-𝑛, 𝑝𝑡-𝑛, 𝑝𝑡-𝑝𝑡
𝑤
в быстротном
коэффициенты корреляции в
быстротных окнах (-0.8,0), (0,0.8) как функция центральности, ширины и
способа фиксации класса.
Представленные на графиках семейства точек соответствуют различной ширине класса по центральности: от 4% вплоть до 0.25%. На легенде указана ширина класса в процентах, а также способ фиксации центральности (детектор
множественности «vzero» и число участников Npart ).
Результаты показывают, что как флуктуации множественности, так и
𝑛-𝑛
корреляции уменьшается при сужении ширины класса по центральности, достигая насыщения при ширине класса 0.25%–0.5%. При этом наблюдается качественное различие между поведением в широких и узких окнах по центральности: для достаточно узкого класса по центральности коэффициент
ляций, а также флуктуации множественности
𝑤
𝑛-𝑛
корре-
уменьшаются от перифериче-
ских столкновений к центральным, в то время как в узких окнах наблюдается
рост. Также, уменьшение коэффициента n-n корреляций с центральностью более ярко выражено при фиксации центральности по числу участников, чем по
множественности.
70
Результаты по pt-n корреляциям также демонстрируют различное поведение коэффициентов корреляции в зависимости от способа фиксации центральности. При использовании числа участников коэффициент корреляции положительный, в то время как при отборе по множественности он отрицателен и
достаточно мал по абсолютной величине.
Такое поведение pt-n корреляций в модели слияния струн может быть связано с тем, что число участников лучше фиксирует геометрическую конфигурацию, тогда как множественность характеризует число струн. Если, при
фиксированной геометрии перекрытия в данном событии сформируется больше струн, то и множественность, и степень перекрытия струн будет больше,
что означает положительную pt-n корреляцию. С другой стороны, если зафиксировать число струн, то в тех конфигурациях, где струны сливаются больше,
множественность будет меньше, а поперечный импульс выше, и наоборот, что
приводит к отрицательным pt-n корреляциям.
Стоит обратить внимание, что при фиксации центральности по числу участников коэффициент
𝑝𝑡−𝑛 корреляции слабо зависит от ширины класса, что де-
лает его измерение перспективным в тех экспериментах, где возможно надежно
зафиксировать число нуклонов-спектаторов. Однако зависимость от ширины
класса остается сильной в случае фиксации центральности по множественности, но в пределе, когда эта ширина стремится к нулю, коэффициент корреляции стремится к конечному значению, исследованию которого можно посвятить
эксперимент.
Корреляции вперед-назад между средними поперечными импульсами показывают практически полное отсутствие зависимости как от ширины класса по
центральности, так и от способа его определения. Данное обстоятельство связано с тем, что средний поперечный импульс относится к интенсивным переменным, которые не зависят от объема [35]. Таким образом, объемные флуктуации,
которые проявляются значительно в n-n и pt-n корреляций, для pt-pt корреляций играют малую роль. Данное свойство делает pt-pt корреляции наиболее
перспективными для анализа в высокоэнергетических столкновениях тяжелых
ионов.
71
Коэффициенты n-n и pt-pt корреляций в p-Pb и Pb-Pb столкновениях при энергиях БАК
Как было показано в предыдущем разделе, коэффициенты корреляции не
будут затенены объемными флуктуациями и могут нести полезную информацию о ядро-ядерных столкновениях, только при условии выбора достаточно
узких классов по центральности. Целью данного раздела является исследование зависимости коэффициентов корреляции от таких параметров модели слияния струн, как поперечный радиус струны, а также наличие или отсутствие
слияния струн как такового.
Рисунок 3.23: Зависимость коэффициента
столкновениях при
√
𝑠 =2.76
𝑛–𝑛
корреляции в
𝑃 𝑏 –𝑃 𝑏
ТэВ в модели со слиянием и без слияния струн.
Быстротные окна (-0.8, 0), (0, 0.8).
Рисунок 3.24: Зависимость коэффициента
столкновениях при
√
𝑠 =5.02
𝑛–𝑛
корреляции в
𝑝 –𝑃 𝑏
ТэВ в модели со слиянием и без слияния струн.
Быстротные окна (-0.8, 0), (0, 0.8).
72
На рис. 3.23 и 3.24 показана зависимость коэффициента корреляции множественности от центральности в Pb-Pb и p-Pb столкновениях при условии выбора
достаточно узких классов по центральности. Результаты вычислений показывают, что в отсутствие слияния струн коэффициент n-n корреляции практически
не зависит от центральности, в то время как при включении слияния струн
наблюдается уменьшение коэффициента корреляции с центральностью (при
переходе от периферических к центральным столкновениям).
Стоит отметить, что данный результат приходит в противоречие с выводами
модели конденсата цветового стекла (CGC) [118], в которой утверждается, что
коэффициент корреляции множественности должен расти с центральностью. С
другой стороны, последний вывод сделан на качественном уровне и не включает в себя полноценного пособытийного моделирования столкновений тяжелых
ионов, и, таким образом, в подходе [118] не учтены особенности отбора событий
по центральности.
На рис. 3.25, 3.26 показана зависимость коэффициента корреляции между
средними поперечными импульсами от центральности в Pb-Pb и p-Pb столкновениях при различных значениях поперечного радиуса струны. Результаты
показывают, что абсолютное значение коэффициента корреляции сильно зависит от поперечного радиуса струны. В отсутствие слияния струн коэффициент
pt-pt корреляции равен нулю.
Следует отметить немонотонное поведение pt-pt корреляций с центральностью в Pb-Pb столкновениях: функциональная зависимость
𝑏pt-pt
от централь-
ности имеет максимум в полуцентральных столкновениях, в районе 20-40%.
При этом положение максимума также зависит от поперечного радиуса струны. Убывание коэффициента корреляции с центральностью в самых центральных Pb-Pb столкновениях можно интерпретировать как переход в режим насыщения, когда вся поперечная плоскость занята многократно перекрывшимися
струнами, и из-за этого несколько снижаются динамические флуктуации, что
приводит к уменьшению коэффициента корреляции.
В протон-ядерных столкновениях наблюдается монотонная зависимость коэффициента pt-pt корреляции от центральности.
Результаты проведенных расчетов представляют значительный интерес с
точки зрения сравнения с экспериментом. Полученные предсказания будут являться хорошей проверкой модели слияния струн. Построенные зависимости
позволят установить ограничения на её параметры.
73
Рисунок 3.25: Корреляция между средними поперечными импульсами
заряженных частиц в быстротных окнах (-0.8, 0) и (0, 0.8) в Pb-Pb
столкновениях при энергии 2.76 ТэВ для нескольких значений радиуса
струны от 0,2 до 0,4 фм, а также для случая без слияния струн.
Рисунок 3.26: Корреляция между средними поперечными импульсами
заряженных частиц в быстротных окнах (-0.8, 0) и (0, 0.8) в p-Pb
столкновениях при энергии 5.02 ТэВ для нескольких значений радиуса
струны от 0,2 до 0,4 фм, а также для случая без слияния струн.
3.4
Заключение
В данной главе были проанализированы корреляционные функции и коэффициенты корреляции, в протон-протонных, протон-ядерных и ядро-ядерных
столкновениях, их зависимость от энергии, ширины и положения быстротных
окон и центральности, выполнено сравнение результатов с экспериментальными данными.
Монте-карловская модель со слиянием струн неплохо описывает основные особенности поведения коэффициента корреляции множественности в ppстолкновениях в широком диапазоне энергий, такие как общий рост коэффициента корреляции с энергией столкновений и с увеличением размера псевдо-
74
быстротных окнон. Уменьшение коэффициента n-n корреляции с расширением
зазора между окнами и с увеличением нижнего порога
𝑝T
также качественно
описаывается моделью. Результаты также демонстрируют, что версия модели с
учетом эффектов слияния струн дает лучшее согласие с экспериментальными
данными по сравнению со случаем без слияния струн.
Результаты рассчетов корреляционных функций между множественностью
и поперечным импульсов в pp и p-Pb взаимодействиях в одном окне демонстрирует хорошее согласие с экспериментальными данными при одновременном учете слияния струн и жесткости элементарных партонных столкновений.
Оба эффекта дают сопоставимый вклад в pt-n корреляцию в протон-протонных
и протон-ядерных столкновениях. Сопоставление результатов по pt-n корреляции в ядро-ядерных столкновениях с экспериментом указывает на значительное влияние эффекта потери импульса партонов при их прохождении сквозь
сильновзаимодействующую среду.
Исследование зависимости коэффициентов корреляции в ядро-ядерных и
протон-ядерных столкновений показало, что они существенным образом зависят не только от класса центральности, но и от его ширины и способа фиксации. При выборе достаточно узких классов по центральности показателем
наличия слияния струн можно считать уменьшение коэффициента n-n корреляций с центральностью pA и AA столкновений. Установлено также, что pt-pt
корреляции являются наименее чувствительными особенностям отбора событий по центральности, что делает их наиболее перспективными для анализа в
высокоэнергетических столкновениях тяжелых ядер. Сопоставление расчетов с
экспериментальными данными будет неплохой проверкой для модели слияния
струн и позволит установить ограничения на ее параметры.
75
Глава 4
Использование модели при
энергиях SPS и сравнение с
другими подходами
4.1
Применение
модели
для
поиска
критиче-
ской точки фазовой диаграммы сильновзаимодействующей материи при энергиях SPS
4.1.1
Введение
Исследование фазовой диаграммы сильно взаимодействующей материи и
поиск наступления деконфайнмента и критической точки является одним из
главных предметов физики тяжелых ионов. Существует общее мнение, что при
нулевом бариохимическом потенциале фазовый переход деконфайнмента является гладким кроссовером [119]. Данный вывод во многом основывается на
расчетах КХД на решетке. Тем не менее, в связи с проблемой знака, численное исследование поведения КХД материи при ненулевой барионной плотности
является достаточно нетривиальным [120–122]. Согласно существующим расчетам [123–125] ожидается, что при высокой остаточной барионной плотности,
этот переход является переходом первого порядка, что предполагает существование критической точки на фазовой диаграмме при промежуточном значении
барионной плотности. Тем не менее, в ряде работ кроссовер был получен при
любом значении бариохимического потенциала [126, 127].
76
Crossover
Temperature T
Quark-Gluon Plasma
Critical
point
First Order Phase
Transition
Hadronic Gas
Baryon Chemical Potential μB
Рисунок 4.1: Схематическое представление фазовой диаграммы КХД
Экспериментальное исследование фазовой диаграммы КХД связано с изучением столкновений ионов при высоких энергиях [128, 129]. Изучение фазовой диаграммы КХД является частью физической программы эксперимента
NA61 на SPS, экспериментов на ускорителе RHIC, а также будущих детекторов
CBM на FAIR и MPD на NICA [130–133]. В данных исследованиях используется наиболее чувствительные наблюдаемые величины, такие как коэффициенты
коллективного потока, корреляции, флуктуации, что требует проведение пособытийного анализа [134, 135]. В частности, исследования дальних корреляций
между переменными, взятые из двух раздельных быстротных окон включены
в научно-исследовательскую программу эксперимента NA61 в качестве инструмента, чувствительного к наблюдению фазового перехода и критической точки
[135].
Для правильной интерпретации экспериментальных данных и оценки чувствительности экспериментальных методов, требуется теоретическое моделирование процессов эволюции тяжелых ионов столкновения с явным расчетом
наблюдаемых в условиях, близких к экспериментальным. Из-за сложности процесса эволюции столкновения тяжелых ионов и неприменимости теории возмущений КХД в области низких поперечных импульсов, в этой области широко
применяются полуфеноменологические модели .
Одна из моделей, используемых для описания свойств начального состояния
плотной сильновзаимодействующей материи, которое возникает в момент ядер-
77
ного взаимодействия высокой энергии, является модель формирования и слияния кварк-глюонной струн [13–17]. Согласно этой модели, рождение адронов
в мягкой области может быть описано как результат распада цветных силовых
трубок - струн, которые образуются между взаимодействующими партонами.
С увеличением энергии и массового числа сталкивающихся ядер, плотность
струн растет, и они начинают перекрываться, формируя область в поперечной плоскости с более сильным цветовым полем («кластеры»). В пределе высокой плотности, ожидается, что все сечение плоскостью будет представлять
собой один кластер, который, как предполагается, по своим физическим свойствам, эквивалентен кварк-глюонной плазме. Убедительным доказательством в
пользу слияния струн является обнаруженный экспериментально рост среднего
поперечного импульса с множественностью в адрон-ядерных столкновениях и
значительное снижение множественности в столкновениях тяжелых ионов по
сравнению с моделями с независимыми струнами. Предполагается, что слияние и перколяция струн ответственно за появление хребта в двухчастичных
корреляциях [22, 136]. В недавних работах [18–20] было показано, что уравнение
состояния КГП при нулевом бариохимическом потенциале, полученные в модели перколяции цветных струн, находятся в отличном согласии с результатами
КХД на решетке. Кроме того, подход был успешно применен для определения
сдвиговой вязкости [19] КХД материи, с хорошим согласием с экспериментальными данными в широком диапазоне температур.
В рамках подхода слияния струн, критическое поведение ожидается, когда
процессы слияния и струнной перколяции вступают в игру, что можно рассматривать как возможный способ формирования кварк-глюонной плазмы. Вокруг
порога перколяции, сильные развиваются сильные флуктуации цветового поля,
что приводит к большим флуктуациям в некоторых наблюдаемых, что можно
обнаружить на эксперименте с помощью пособытийного анализа [135]. В данной
главе, модель слияния струн применяется для столкновений тяжелых и легких
ионов в диапазоне энергий в системе центра масс от нескольких до нескольких
сотен ГэВ на нуклон. Были исследованы корреляционные функции и коэффициенты корреляции, их зависимость от энергии и диапазона быстрот.
Важно отметить, что реализация слияния струн в монте-карловской модели, позволяет разделять явления, происходящие в различных областях быстрот. При энергиях SPS, вклад морских кварков и соответствующих струн мал.
Таким образом, валентные струны доминируют. В связи с тем, что дикварк
78
несет большую долю продольного импульса [72], валентные струны, образованные парой кварк-дикварк, является асимметричными. Большинство частиц в
передней области быстроте происходят из валентных струн со стороны их дикварковых частей.
Содержание рождающихся частиц от валентной струны схематично показано на рис. 4.2. Дикварковый конец струны, который, как правило, находится
в передней области быстрот, характеризуется большим выходом барионов. Наоборот, противоположный конец испускает в основном пионы, что происходит
вокруг центральной области быстрот. Таким образом, обеспечивается наблюдаемое распределение остаточной барионной плотности (рис. 4.3). Отметим,
модель валентных струн [137] успешно описывает выход остаточного числа барионов в широком диапазоне энергий.
Рисунок 4.2: Схематичное представление состава частиц, рождающихся при
фрагментации одной струны. Цветами показаны доли протонов, антипротонов
и мезонов в зависимости от быстроты.
4.1.2
Выбор наблюдаемых
Выбор сталкивающихся систем и конфигураций быстротных окон 4.4 был
осуществлен с учетом экспериментальных особенностей программ сканирования по энергии пучка и размеру сталкивающихся систем эксперимента NA61
на SPS [131], программы BESII ускорителя RHIC [130] и будущих планов эксперимента CBM на FAIR [132] и MPD на NICA [133].
Таким образом, для расчетов были выбраны p+p,
Au+Au и Pb+Pb столкновения при энергии
√
𝑠
7
9
Be+ Be, p+Pb, Ar+Ca,
от 5 GeV до 62.4 GeV.
79
Рисунок 4.3: Распределение остаточного барионного числа по быстроте в
Au+Au столкновениях. Точки - экспериментальные данные RHIC, линии результаты расчетов в валентной струнной модели [137].
Для р+р, Ве+Be и P + Pb столкновений рассматривались события без отбора по центральности; для более тяжелых ядер (Ar+Ca, Au+Au, Pb+Pb) было
выбрано два класса центральности: центральные события (central), соответ-
𝑁part > (𝐴 + 𝐵)/2, и перифери≤ (𝐴 + 𝐵)/2. Здесь, 𝐴 и 𝐵 – массовые числа
ствующие количеству нуклонов-участников
ческие (peripheral), где
𝑁part
сталкивающихся ядер.
Были выбраны три конфигурации быстротных окон:
(-1 ; 0) – (0 ; 1);
( 0 ; 1) – (1 ; 2);
( 0 ; 1) – (2 ; 3).
Эти окна соответствуют центральной области быстрот (первые две) и комбинация центрального и переднего окна (третья конфигурация). В переднем
окне третьей конфигурации ожидается значительная величина плотности остаточного барионного числа (см рис. 4.3).
4.1.3
Результаты
Корреляционные функции
Рис. 4.5 показывает все три типа корреляционных функций для Ar+Ca
столкновений при энергии 17 ГэВ без отбора по центральности. Корреляци-
80
-4 -3
-2 -1
0
1
2
3
4
y
Рисунок 4.4: Конфигурации быстротных окнон, используемые в расчетах.
Верхний график иллюстрирует распределение множественности заряженных
частиц по быстроте при энергиях SPS.
онная функция множественности имеет близкую к линейной форму при малых
𝑛𝐹 , что соответствует периферическим соударениям. Наклон корреляционной функции уменьшается с 𝑛𝐹 и стремится к насыщению при высоких значениях 𝑛𝐹 . Результаты по pt-n корреляциям демонстрируют небольшой
значениях
положительный наклон pt-n корреляционной функции. Pt-pt корреляционная
функция является сильно нелинейной в столкновениях без отбора по центральности. Данные характерные особенности корреляционных функций воспроизводят закономерности, полученные для Pb+Pb столкновений при энергиях SPS
в подходе слияния струн [35, 36] а также экспериментальные данные NA49 [53].
Коэффициенты корреляции
На рис. показан 4.6 коэффициент корреляции множественности в протонпротонных, Be+Be и p+Pb столкновениях как функция от энергии столкнове-
√
𝑠𝑁 𝑁 .
√
𝑠.
ния в системе центра масс
тонное возрастание
𝑏n−n
с
Полученные результаты показывают моно-
81
√ Рисунок 4.5: Корреляционные функции в столкновениях Ar+Ca при
𝑠𝑁 𝑁 =17 ГэВ: n-n корреляции (слева), pt-n корреляция (справа) и pt-pt
корреляции (внизу). Конфигурация быстротных окон (-1;0), (0;1).
bn−n
Рисунок 4.6: Зависимость n-n коэффициента корреляции от энергии
столкновения в p+p, Be+Be и p+Pb столкновениях. Три конфигурации
быстроных окнон представлены разными цветами.
82
bn−n
Рисунок 4.7: Зависимость n-n коэффициента корреляции от энергии
столкновения в Ar+Ca и Au+Au столкновениях. Обозначение цветами такие
же, как на рис. 4.6.
В итоге, коэффициент корреляции n-n выше в центральной области быстрот и уменьшается при переходе от центральной к передней конфигурации. Такое поведение согласуется с результатами при более высоких энергиях
[100, 138, 139], где было показано, что
𝑏n−n
уменьшается с увеличением зазора
по быстроте и быстроты.
Результаты по n-n корреляциям в столкновениях протон-свинец и свинецсвинец также показаны на рис. 4.6. Коэффициент корреляции значительно выше, чем в p+p соударениях, но насыщение с ростом энергии не достигается.
Коэффициенты корреляции множественности для более тяжелых сортов
ядер приведены на рис. 4.7. Результаты разделены на два разных классов
центральности, как описано выше. Установлено, что
𝑏n−n
меньше в централь-
ной класса, чем в периферийной. Такое поведение находится в соответствии
с предсказаниями модели слияния струн при более высоких энергиях [139].
Этот факт также согласуется с тенденцией насыщения корреляционной функции (рис. 4.5). Также, следует отметить, что это наблюдаемая подлежит зависимости от ширины класса центральности [139], и центральный класс в наших
расчетах в процентном соотношении более узкий.
83
bpt −n
Рисунок 4.8: Зависимость коэффициента pt-n корреляций для трех
конфигураций быстротных окон от энергии столкновения в различных
сталкивающихся системах. Обозначение цветами такие же, как на рис. 4.6.
Результаты по коэффициентам pt-n корреляций показаны на рис. 4.13. Получено гладкое монотонное поведение
𝑏pt−n
с энергией столкновения, так же,
как и у корреляций множественности.
Мы должны отметить, что при минимальной энергии, pt-n корреляция практически равна нулю, что не относится к n-n корреляций. Это может быть связано с тем, что n-n корреляции присутствуют также в отсутствии каких-либо
коллективных эффектов, из-за флуктуаций в количестве излучающих источников [140]. Наоборот, pt-n корреляции появляются только в присутствии слияния струн, и их знак зависит от дисперсии числа изначальных источников
[141]. Следует отметить, что величина pt-n корреляций значительно возрастает с увеличением размера ядра. Тем не менее, для этой наблюдаемой также
существует зависимость от выбора центральности (см. раздел 3.3.2).
Рис. 4.9 показывает энергетическую зависимость коэффициента корреляции
поперечных импульсов. В отличие от ранее рассмотренных наблюдаемых,
𝑏pt−pt
84
bpt −pt
Рисунок 4.9: Зависимость коэффициента pt-pt корреляций для трех
конфигураций быстротных окон от энергии столкновения в различных
сталкивающихся системах. Обозначение цветами такие же, как на рис. 4.6.
это корреляция между двумя интенсивными переменными [35], что приводит
к тому, что их корреляция является более устойчивой величиной, так как она
меньше зависит от объемных флуктуаций вследствие вариации числа нуклоновучастников и прицельного параметра.
В результатах расчета
𝑏pt−pt
наблюдается общий монотонный рост с энер-
гией столкновений. Тем не менее, в Ar+Ca есть немонотонная зависимость с
минимумом около
√
𝑠
8–13 ГэВ. Следует подчеркнуть, что коэффициент pt-pt
корреляций ведет себя немонотонно только в случае конфигураций быстротных центр-вперед, в то время как в двух других случаях (центральные окна)
зависимость является гладкой. Эти результаты позволяют судить о существование фазового перехода в районе передней области быстрот (большая быстрота
соответствует более высокому бариохимическому потенциалу) с гладким кроссоверов в центральной области быстрот (где плотность барионов минимальна).
Отметим, что аналогичные немонотонной поведение было получено экспери-
85
ментально в интервале энергий 8-20 ГэВ для различных флуктуационных наблюдаемых (например, отклонения от Пуассона колебаний чистая-протонных
на RHIC [142]), что авторы связывали с с существованием фазового перехода
и критической точки на фазовой диаграмме КХД. На рис. 4.10 показано Более детальное изучение pt-pt корреляций в Аг+Ca столкновениях в диапазоне
энергий от 5 до 20 ГэВ.
bpt−pt
Рисунок 4.10: Зависимость коэффициента pt-pt корреляций для трех
конфигураций быстротных окон от энергии в Ar+Ca столкновениях.
Данные результаты подтвердили предыдущие расчеты. Положение провала
в периферических столкновениях находится при более высокой энергии, чем в
центральных, что может свидетельствовать о том, что фазовый переход происходит раньше в более центральных столкновениях. В целом, получается картина свидетельствует о том, что данная модель, основанная на подходе слияния
струн, воспроизводит фазовый переход, который ожидается в уравнении состояния КХД.
Данные расчеты имеют особую важность для программы сканирования
энергии пучка и размера системы в коллаборации NA61 на SPS, поскольку
В 2015 году был проведен сеанс сбора данных на пучке аргона [143].
Таким образом, экспериментальное исследование дальних pt-pt корреляций,
наряду с изучением сильно интенсивных (strongly intensive) наблюдаемых величин [144, 145], имеет важное значение для исследования фазовой диаграммы
сильновзаимодействующей материи.
86
4.2
Сравнение с другими подходами
В данном разделе рассматриваются альтернативные подходы к описанию
коллективных явлений в pp и AA столкновениях и производится сопоставление
с моделью слияния струн.
4.2.1
Модифицированная модель мультипомеронного обмена
Введение
В работе [93] был предложен подход, позволяющий описывать характеристики pp и pp̄ столкновений и эффективным образом учитывать возможные
взаимодействия между струнами в нуклон-нуклонном рассеянии.
Основная идея работы состояла в сочетании реджевской картины нуклоннуклонных столкновений с механизмом рождения частиц Швингера [81]. Таким образом, в рамках этой модели объединялось описание множественности и
поперечного импульса рожденных частиц. Поскольку наличие ненулевой корреляции между средним поперечным импульсом и множественностью является проявлением коллективности, предсказываемым в модели слияния струн
[14, 17, 146], данный подход эффективного учета взаимодействия между струнами представляет интерес. Далее будет описан несколько модифицированный
вариант исходной модели (далее – EPEM-модель), которая, в отличии от первоначального варианта [93], полностью соответствует мультиреджевской картине многопартонных столкновений, и приводим результаты по распределениям множественности, среднему поперечному импульсу и корреляцими между
множественностью и pt. Более подробно отличие модифицированной модели от
исходного варианта [93] обсуждается в работе [147].
Формулировка модели
В рамках EPEM-модели [147–149] совместное распределение числа заряженных частиц
𝑁ch и поперечного импульса 𝑝𝑡 в событиях при данном 𝑁ch в мягких
в pp- и pp̄-столкновениях, описывается функцией
87
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 ) =
∞
∑︁
𝑤𝑛 𝑃 (𝑛, 𝑁𝑐ℎ )𝑔(𝑛, 𝑝𝑡 ),
(4.1)
𝑛=1
которая удовлетворяет следующему условию нормировки:
2𝜋
∞ ∫︁∞
∑︁
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 ; 𝑧; 𝑘, 𝛽, 𝑡)𝑝𝑡 𝑑𝑝𝑡 = 1 .
𝑁𝑐ℎ =0 0
При этом каждый из сомножителей под знаком суммы нормирован независимо друг от друга:
∞
∑︁
∞
∑︁
𝑤𝑛 = 1 ,
𝑛=1
∫︁∞
𝑃 (𝑛, 𝑁𝑐ℎ ) = 1 , 2𝜋
𝑁𝑐ℎ =0
Первый множитель
𝑔˜(𝑛, 𝑝𝑡 )𝑝𝑡 𝑑𝑝𝑡 = 1 .
(4.2)
0
(︂
)︂
𝑛−1
∑︀
𝑙
𝑧
1
1 − exp (−𝑧)
𝑤𝑛 = 𝐶𝑤 𝑛𝑧
𝑙!
– вероятность рожде-
𝑙=0
ния
𝑛
померонов в одном событии [40].
В данной формуле
2𝐶𝛾𝑠Δ
𝑧= 2
,
𝑅0 + 𝛼′ ln (𝑠)
(4.3)
а параметры реджистики выбирались следующим образом [40]:
′
Δ = 0,139 , 𝛼 = 0,21
−2
GeV
, 𝛾 = 1,77
−2
GeV
, 𝑅02 = 3,18
С учетом требования условий нормировки (4.2),
𝐶𝑤
−2
GeV
, 𝐶 = 1,5 .
- нормировочная кон-
станта, зависящая от энергии, имеет вид
[︃ ∞
(︃
)︃]︃−1 [︃ ∞
(︂
)︂]︃−1
𝑛−1 𝑙
∑︁ 1
∑︁
∑︁
Γ(𝑛, 𝑧)
𝑧
1
𝐶𝑤 =
1 − exp (−𝑧)
=
1−
.
𝑛𝑧
𝑙!
𝑛𝑧
Γ(𝑛)
𝑛=1
𝑛=1
(4.4)
𝑙=0
Следующий сомножитель в (4.1),
заряженных частиц из
𝑛
𝑃 (𝑛, 𝑁𝑐ℎ ),
𝑁𝑐ℎ
𝑃 (𝑛, 𝑁𝑐ℎ )
– вероятность рождения
померонов в результате адронизации. Для
88
используется распределение Пуассона:
𝑃 (𝑛, 𝑁𝑐ℎ ) = exp(−2𝑛𝑘𝛿)
(2𝑛𝑘𝛿)𝑁𝑐ℎ
𝑁𝑐ℎ !
𝑘−среднее количество частиц, рожденных одной
быстроты, 𝛿 – ширина (псевдо-)быстротного интервала.
При этом
ницу
струной на еди-
Последний
сомножитель
в
каждом
члене
ряда
(4.1)
–
(︂
)︂
2
1
𝜋𝑝
𝑔(𝑛, 𝑝𝑡 ) = 𝛽 exp − 𝛽 𝑡
происходит от формулы Швингера [81], но от𝑛 𝑡
𝑛 𝑡
личается от нее наличием дополнительного параметра - 𝛽. Этот параметр был
впервые введен в работе [93], именно для описания коллективных эффектов
слияния струн. При
𝛽 = 0
слияния струн нет. Параметр
𝑡
характеризует
натяжение единичной струны.
Обратим внимание на то, что поскольку для простоты в EPEM-модели предполагается, что все рождающиеся частицы имеют одинаковую массу (пионы),
в распределении
𝑔(𝑛, 𝑝𝑡 )−
зависимость от массы отсутствует .
В итоге, совместное распределение имеет вид:
∞
𝐶𝑤 ∑︁ 1
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 ) =
𝑧 𝑛=1 𝑛𝛽+1 𝑡
(︃
𝑛−1 𝑙
∑︁
𝑧
1 − 𝑒−𝑧
𝑙=0
𝑙!
)︃
(︂
)︂
𝑁𝑐ℎ
2
(2𝑛𝑘𝛿)
𝜋𝑝
𝑡
𝑒−2𝑛𝑘𝛿)
exp − 𝛽 .
𝑁𝑐ℎ !
𝑛 𝑡
В принципе, значения перечисленных параметров модели,
зависеть от энергии pp-столкновения
√
𝑠.
𝑘, 𝛽
и
𝑡,
могут
Эти зависимости можно установить
с помощью фитирования экспериментальных данных по множественности и
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑁𝑐ℎ − 𝑁𝑐ℎ
корреляциям широком интервале быстрот.
Согласно реджевскому подходу, среднее число померонов, рожденных в одном событии, равно
(︃
)︃
∞
𝑛−1 𝑙
∑︁
𝐶𝑤 ∑︁
𝑧
𝑛 = 𝑀 [𝑛] =
1 − exp (−𝑧)
𝑧 𝑛=1
𝑙!
(4.5)
𝑙=0
Из формулы (4.1) можно получить распределение множественности, то есть
вероятность обнаружить
𝑁𝑐ℎ
частиц в событии в данном окне:
P(𝑁𝑐ℎ ) = 2𝜋
∫︁∞
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝𝑡 𝑑𝑝𝑡 .
0
(4.6)
89
С помощью функции
P(𝑁𝑐ℎ )
можно найти среднюю множественность:
⟨𝑁𝑐ℎ ⟩(𝑠) =
∞
∑︁
𝑁𝑐ℎ P(𝑁𝑐ℎ ) .
(4.7)
𝑁𝑐ℎ =0
С учетом соотношения
∞
∑︁
𝑁𝑐ℎ exp(−2𝑛𝑘𝛿)
𝑁𝑐ℎ =0
(2𝑛𝑘𝛿)𝑁𝑐ℎ
= 2𝑛𝑘𝛿 ,
𝑁𝑐ℎ !
формула (4.7) принимает вид:
)︂
∞ (︂
2𝑘𝛿𝐶𝑤 ∑︁
Γ(𝑛, 𝑧)
⟨𝑁𝑐ℎ ⟩(𝑠) =
1−
.
𝑧 𝑛=1
Γ(𝑛)
(4.8)
Обратим внимание на то, что средняя множественность, вычисленная по
формуле (4.8), зависит только от энергии, параметров реджистики и параметра
𝑘
нашей модели и не зависит от параметров
вание экспериментальных данных по
⟨𝑁𝑐ℎ ⟩(𝑠)
𝛽
и
𝑡.
Таким образом, фитиро-
𝑘
дает зависимость
от энергии.
Другими словами, в новой модели число независимых параметров сокращается
с трех до двух.
Корреляционная функция, с учетом введенных обозначений, представляется в следующем виде:
∫︀∞
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑁𝑐ℎ (𝑠) = ∫︀0∞
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝2𝑡 𝑑𝑝𝑡
2𝜋
=
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝𝑡 𝑑𝑝𝑡
∫︀∞
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝2𝑡 𝑑𝑝𝑡
0
P(𝑁𝑐ℎ )
.
(4.9)
0
Помимо этого, мы можем получить распределение множественности заряженных частиц по поперечному импульсу
∞
∑︁
𝑑𝑁𝑐ℎ
=
𝑁𝑐ℎ 𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 ) .
𝑑2 𝑝𝑡
𝑁𝑐ℎ =0
90
Отсюда получается выражение для среднего поперечного импульса заряженных частиц
∞
∑︀
⟨𝑝𝑡 ⟩(𝑠) =
𝑁𝑐ℎ =0
∞
∑︀
𝑁𝑐ℎ =0
𝑁𝑐ℎ
𝑁𝑐ℎ
∫︀∞
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝2𝑡 𝑑𝑝𝑡
0
∫︀∞
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝𝑡 𝑑𝑝𝑡
∞
∫︁
∞
∑︁
𝑁𝑐ℎ
= 2𝜋
𝜌(𝑁𝑐ℎ , 𝑝𝑡 )𝑝2𝑡 𝑑𝑝𝑡 .
⟨𝑁𝑐ℎ ⟩
𝑁𝑐ℎ =0
(4.10)
0
0
Поскольку в каждом событии рождается большое число частиц, и в общем случае существует ненулевая корреляция между множественностью и поперечным импульсом, для более корректного описания среднего поперечного
импульса частиц в данной формуле происходт весовым образом (
количества частиц с различными поперечными импульсами.
𝑁𝑐ℎ
)
⟨𝑁𝑐ℎ ⟩
учет
Определение параметров
Для того, чтобы описывать физические величины в рамках данной EPEMмодели, необходимо установить зависимости параметров модели от энергии.
Сначала воспользуемся формулой (4.8) и с помощью фитирования экспериментальных данных по средней множественности, взятых из работ [150–159],
выясним зависимость
√
𝑘 = 𝑘( 𝑠).
Результаты фиксации параметра
лены на рис. 4.12 (слева). На рисунке видно, что функция
√
𝑘( 𝑠)
𝑘
представ-
имеет четко
выраженный плавный логарифмический рост с энергией. Явный вид этой зависимости выглядит следующим образом:
√
𝑘 = 𝑘0 + 𝑘1 ln 𝑠
(4.11)
𝑘0 = 0,25 ± 0,02 , 𝑘1 = 0,065 ± 0,002 .
Следует особо подчеркнуть, что после фиксации параметра
𝑘 , в рамках дан-
ной модели, удается описать распределение множественности. На рис.
4.11
показано сравнение вычисления данной модели (по формуле (4.6)) распределений множественности частиц, с экспериментальными данными, включая новые
данные при энергии БАК.
𝛽 и 𝑡 была получена с помощью фити⟨𝑝𝑡 ⟩𝑁𝑐ℎ от 𝑁𝑐ℎ , взятых из работ [150–159].
Зависимость от энергии параметров
рования экспериментальных данных
Заметим, что прежде чем выполнять фитирование, следует выполнить инте-
91
Рисунок 4.11: Распределение множественности заряженных частиц в
рр̄-столкновениях при
√
𝑠 = 2360 ГэВ,
√
𝑠
= 200 ГэВ, 900 ГэВ и в рр-столкновениях при
7 ТэВ в псевдобыстротном интервале
|𝜂| < 0.5.
Результаты
EPEM-модели (линии) и экспериментальные данные (точки) [91, 160]
.
t, GeV2
β
k
0.4
0.8
0.7
0.2
0.7
0.6
0
0.6
0.5
-0.2
0.5
0.4
-0.4
0.4
102
3
10
102
s, GeV
0.3
3
10
s, GeV
102
3
10
Рисунок 4.12: Зависимость параметров EPEM-модели от энергии.
грирование в числителе (4.9) и (4.10) с помощью соотношения:
∫︁∞
2𝜋
0
𝑔˜(𝑛, 𝑝𝑡 )𝑝2𝑡 𝑑𝑝𝑡
√
= 2 𝑛𝛽 𝑡 .
s, GeV
92
Этот прием заметно упрощает все вычисления.
⟨p ⟩N , GeV/c
t
ch
0.7
s = 2360 GeV, pp collisions
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0
20
40
⟨p ⟩N , GeV/c
t
ch
60
80
100
120
N ch
s = 7000 GeV, pp collisions
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
N ch
Рисунок 4.13: Корреляция между множественностью и поперечным
импульсом при энергиях БАК.
На рис. 4.13 представлены примеры фитирования корреляционной функции
при энергиях БАК. Аналогичная аппроксимация была произведена во все диапазоне энергий (от 17 до 7000 ГэВ). В итоге, результаты настройки параметров
модели представлены на рис. 4.11. На левом графике изображена зависимость
√
𝑘 = 𝑘( 𝑠).
Очевидно, что все точки, которые были получены фитированием,
хорошо описываются кривой (4.11). На среднем графике представлена зависи-
93
мость
√
𝛽 = 𝛽( 𝑠).
Апроксимирующая кривая выглядит следующим образом:
[︁
(︀ √
)︀−𝛽1 ]︁
𝛽 = 𝛽0 1 − ln 𝑠 − 𝛽2
𝛽0 = 1,16 ± 0,39 ,
(4.12)
𝛽1 = 0,19 ± 0,08 ,
𝛽2 = 2,52 ± 0,03 .
На правом графике расположена зависимость
√
𝑡 = 𝑡( 𝑠).
Видно, что совокуп-
ность точек распадается на два семейства, которые мы будем описывать с помощью средних значений:
𝑡 = (0,566 ± 0,003)
2
,
GeV
𝑡* = (0,428 ± 0,005)
2
GeV
(4.13)
.
Поскольку большая часть точек, включая новые значения для энергий 2,36
и 7 TeV, принадлежит верхнему семейству:
𝑡 = 0,566GeV2 ,
то для упрощения
дальнейших вычислений имеет смысл использовать точки только из этого семейства. Два семейства экспериментальных данных обсуждались в работе [93];
по-видимому они связаны с различными методами экспериментальной обработки данных и экстраполяции в область минимальных
𝑝𝑡 .
Таким образом, в результате настройки параметров модели получена плавная зависимость
𝛽 от энергии, и отсутствие зависимости от энергии у параметра
𝑡.
Используя (4.11), (4.12) и верхнее значение из (4.13), попробуем с помощью
(4.10) описать зависимость среднего поперечного импульса от энергии. Результаты предсказания нашей модели и экспериментальные данные [150–159] показаны на рис. 4.14. Наблюдается плавный рост среднего поперечного импульса,
который хорошо описывается моделью.
Обсуждение
В результате настройки параметров модели получен рост множественности
от одной струны
𝑘
с увеличением энергии, сопровождающийся также ростом
среднего поперечного импульса. Такой результат находится в согласии с основными представлениями модели слияния струн [13, 14], согласно которой при
больших энергиях за счет перекрытия в поперечной плоскости образуются стру-
94
⟨p t ⟩, GeV/c
0.55
0.5
0.45
ALICE
CMS
CDF
E735
UA1
ISR (INEL)
Model
0.4
0.35
0.3
0.25
103
102
s, GeV
Рисунок 4.14: Зависимость среднего поперечного импульса от энергии в pp и
pp̄ столкновениях от энергии.
ны с большим натяжением. Постараемся оценить, находится ли наш результат
в количественном согласии с моделью слияния струн. Согласно данной модели,
средняя множественность на единицу быстроты и средний квадрат поперечного импульса от кластера из слившихся струн пропорциональны квадратному
корню из кратности перекрытия:
√
𝜇 = 𝜇0 𝜂,
√
𝑝2𝑡 = 𝑝20 𝜂.
Таким образом отношение данных величин не должно зависеть от энергии:
𝑝2𝑡
𝑝2
= 0.
𝜇
𝜇0
Поскольку произведение
⟨𝑛⟩𝛽 𝑡
(4.14)
представляет собой характерный квадрат по-
перечного импульса частиц от одного источника, то для того, чтобы проверить условие (4.14) в нашей модели, достаточно построить график отношения
𝑘/(⟨𝑛⟩𝛽 𝑡),
как функцию от энергии. Результаты, представленные на рис. 4.15
95
демонстрируют отсутствие зависимости этого отношения от энергии.
𝑘
⟨𝑛⟩𝛽 𝑡
= 0,87 ± 0,08 .
(4.15)
Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что использованные нами экспериментальные данные поддерживают предположение о слиянии струн
как источнике коллективности в
𝑝𝑝
и
𝑝¯
𝑝 столкновениях
в широком диапазоне
энергий.
k , GeV-2
β
⟨n⟩ t
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
103
102
s, GeV
Рисунок 4.15: Отношение средней множественности к квадрату характерного
поперечного импульса от одного источника в EPEM-модели.
4.2.2
Корреляции
тивных
поперечного
моделях
импульса
коллективности
в
в
альтерна-
ядро-ядерных
столкновениях
Одним из основных выводов главы 2 является заключение о том, что корреляции между средними поперечными импульсами в разнесенных быстротных интервалах являются наиболее устойчивыми к выбору метода определения
центральности. В связи с этим, представляет интерес сопоставить результаты
монте-карловской модели со слиянием струн с другими моделями, описываю-
96
щими коллективные эффекты в ультрарелятивистских столкновениях тяжелых
ионов.
Модель THERMINATOR 2
Модель THERMINATOR 2 (THERMal heavy IoN generATOR 2) [161] представляет собой генератор событий Монте-Карло, реализующий гидродинамическую картину столкновений тяжелых ионов при высоких энергиях. В качестве
входных параметров в модели используются гиперповерхности вымораживания (freeze-out), на которых предполагается рождение наблюдаемых частиц,
т.е. переход от сплошной нагретой среды к набору адронов. Данные поверхности генерируются специальным кодом, решающим уравнения релятивистской
гидродинамики. В модели также предусмотрен статистический подход к адронизации (формализм Купера-Фрая [162]), учитывается распад распад резонансов. Таким образом, THERMINATOR 2 успешно описывает такие характеристики столкновений тяжелых ионов, как коэффициенты коллективного потока,
распределение заряженных частиц по поперечному импульсу и быстроте, фемптоскопические корреляции. Модель реализована в виде пакета на языке программирования C++ и имеет в качестве возможного формата вывода данных
файлы ROOT. Поскольку в библиотеку стандартных наборов гиперповерхностей и профилей скорости включены параметры, описывающих данные RHIC
Au + Au при
√
𝑠𝑁 𝑁
= 200 ГэВ для различных центральностей, мы произвели
вычисления при этих энергиях.
На рис. 4.16 показаны результаты вычислений коэффициента pt-pt корреляции для двух конфигураций быстротных окон (-0.8, 0), (0, 0.8) и (-0.2, 0), (0,
0.2) в зависимости от центральности. При вычислениях использовались стандартные настройки модели. Результаты демонстрируют практически полное
отсутствие (с учетом статистических погрешностей) pt-pt корреляций в релятивистских ядро-ядерных столкновениях.
Данный результат свидетельствует о том, что наличие pt-pt корреляций не
является автоматическим следствием гидродинамической картины столкновений тяжелых ионов, таким как наличие азимутальной анизотропии и наблюдаемых в эксперименте коллективных потоках. По-видимому, реализация данного подхода в монте-карловском генераторе THERMINATOR 2 не включает
полноценного моделирования пособытийных конфигураций нуклон-нуклонных
97
столкновений. Это приводит к нулевому значению коэффициента корреляции.
В следующей части мы рассмотрим другую модель коллективности в ядроядерных столкновениях, которая лишена данного недостатка, и сравним ее
предсказания с моделью слияния струн.
Рисунок 4.16: Коэффициент pt-pt корреляции в модели THERMINATOR 2.
Модель расталкивающихся струн
В модели расталкивающихся струн [146] коллективные эффекты в ядроядерных столкновениях осуществляются через взаимодействие струн путем
взаимного отталкивания пар струн, находящихся достаточно близко друг от
друга в поперечной плоскости.
В монте-карловской реализации данной модели [163] стурны формируются
в результате партон-партонных взаимодействий внутри сталкивающихся нуклонов. Большая часть образовавшихся при этом струн считается «мягкими»
струнами, которые могут взаимодействовать друг с другом путем отталкивания, если находятся достаточно близко друг от друга в поперечной плоскости.
Сила отталкивания зависит от степени перекрытия струн. Адронизация струн
учитывает образование на промежуточной стадии
распадом согласно кинематическим условиям.
𝜌 мезонов с последующим их
98
На рис 4.17 показано сравнение предсказаний монте-карловской модели со
0.5
string radius
0.25 fm
1 fm
2 fm
3 fm
b
corr
слиянием струн и модели расталкивающихся струн для Pb-Pb столкновений.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
centrality percentile
Рисунок 4.17: Зависимость коэффициента pt-pt корреляций от центральности
в модели слияния струн (слева) и модели расталкивающихся струн (справа) в
Pb-Pb столкновениях.
Сравнивая два подхода, можно сделать вывод, что в модели расталкивающихся струн, при реалистичном значении радиуса струны (0.25 фм) значение коэффициента pt-pt корреляции значительно меньше, чем в модели слияния струн. Стоит отметить, что в модели расталкивающихся струн поведение коэффициента pt-pt корреляций с центральностью описывается монотонной функцией, в то время как модель слияния струн предсказывает максимум
коэффициента корреляции в районе 20-30%. Данное сравнение показывает, что
форма зависимости коэффициента pt-pt корреляций от центральности не является тривиальной и несет важную информацию о механизмах коллективных
эффектов в столкновениях тяжелых ионов. Сопоставление данных расчетов с
экспериментальными данными после их появления позволит сделать выбор в
пользу одной из моделей.
4.2.3
Заключение
Основные выводы данной главы можно свести к следующему:
Монте-карловская модель со слиянием струн была применена в для поиска критической точки сильновзаимодействующей материи в области энергий
от нескольких до сотни ГэВ. Учет струн конечной протяженности по быстроте позволил в рамках модели описывать свойства сильновзаимодействующей
99
материи при ненулевой остаточной барионной плотности. Исследованы корреляционные функции и коэффициенты корреляций между множественностью и
средним поперечным импульсом для широкого диапазона энергии столкновения и размера сталкивающихся систем. Найдено гладкое монотонное поведение
n-n и pt-n корреляций с энергией. Для pt-pt корреляций получена немонотонная
зависимость от энергии для ядер промежуточного размера в передней области
быстрот, что отвечает повышенной барионной плотности, при монотонной зависимости для других быстротных конфигураций и сортов ядер.
Корреляции между поперечным импульсом и множественностью исследованы в рамках EPEM-модели, основанной на картине многопомеронного обмена
с эффективным учетом взаимодействия между струнами. С помощью параметризации большого количества экспериментальных данных и исследования
зависимостей параметров данной модели от энергии сделан вывод о том, что ее
предсказания согласованы с моделью слияния струн.
В рамках модели THERMINATOR 2 было показано, что возникновение корреляций между поперечными импульсами не является непосредственным следствием гидродинамической картины ядро-ядерных столкновений. Для корректного описания данного явления необходимо тщательное пособытийное моделирование ядро-ядерных столкновений. Сравнение результатов модели слияния
струн с монте-карловской реализацией модели расталкивающихся струн показало, что эти две модели дают разные предсказания для зваисимости pt-pt
корреляций от центральности.
Таким образом экспериментальное исследование pt-pt корреляций сможет
привнести новую ценную информацию о свойствах горячей плотной сильновзаимодействующей материи и, в частности, роли слияния струн в ее формировании.
100
Заключение
Основные результаты диссертационной работы:
1. Предложена новая струнно-партонная модель pp рассеяния, в которой
элементарное столкновение представляет собой взаимодействие цветных
диполей; модель учитывает слияние струн и их распределение по быстроте.
2. Произведено обобщение модели на случай ядерных столкновений, что позволило описать в рамках единого подхода pp, pA и AA взаимодействия на
партонном уровне без привлечения приближения Глаубера о независимых
нуклон-нуклонных столкновениях.
3. На основе разработанной модели проведено описание широкого круга наблюдаемых (неупругое сечение, множественность в pp, pA и AA столкновениях) показано, что поперечный радиус струны должен лежать в пределах 0.2 – 0.3 фм, а множественность на единицу быстроты от одной
струны должна быть 1 – 1.3.
4. Разработанная модель позволила описать, помимо средних значений наблюдаемых величин (множественность (n), поперечный импульс (pt)),
различные типы корреляций между ними; исследованы основные закономерности поведения корреляционных функций и коэффициентов n-n,
pt-n и pt-pt корреляций при энергиях БАК (зависимость от положения
и ширины быстротных окон, от области поперечных импульсов, влияние
слияния струн); произведено сравнение с экспериментальными данными.
5. На основе расчета коэффициентов корреляции в протон-ядерных и ядроядерных столкновениях показано, что (в отличие от средних значений
наблюдаемых величин) коэффициенты корреляций зависят не только от
101
класса центральности, но и от его ширины и способа фиксации; проведенный анализ показал, что n-n и pt-n корреляции являются наиболее чувствительными к данным особенностям отбора событий, в то время как
pt-pt корреляции практически от них не зависит, что делает pt-pt корреляции наиболее перспективными для анализа в высокоэнергетических
столкновениях тяжелых ядер.
6. Разработанная модель была применена при энергиях SPS для поиска критической точки сильновзаимодействующей материи; при сканировании по
энергии и по сортам ядер получено немонотонное поведение pt-pt корреляций в зависимости от энергии для ядер промежуточного размера в передней области быстрот, что отвечает повышенной барионной плотности,
при монотонной зависимости для всех остальных быстротных конфигураций и сортов ядер.
7. Параметры процесса слияния струн были также проверены в рамках альтернативного подхода, основанного на эффективном учете взаимодействия струн. В результате параметризации большого количества экспериментальных данных было получено согласование с моделью слияния
струн.
102
Список литературы
1. A. Capella, U. Sukhatme, C.-I. Tan,
model”, Phys. Rept.
and J. Tran Thanh Van, “ Dual parton
236, 225–329 (1994).
2. K. Werner, “ Strings, pomerons, and the venus model of hadronic interactions
at ultrarelativistic energies”, Phys.Rept.
3. A. Capella, U. Sukhatme, C.-I. Tan,
232, 87–299 (1993).
and J. Tran Thanh Van, “ Jets in Small
p(T) Hadronic Collisions, Universality of Quark Fragmentation, and Rising
Rapidity Plateaus”, Phys. Lett. B
4. W.
Braunschweig
et
al.
81, 68 (1979).
(TASSO
Collaboration),
“ Charged
Multiplicity
Distributions and Correlations in e+ e- Annihilation at PETRA Energies”,
Z. Phys. C
45, 193 (1989).
5. R. Akers et al. (OPAL Collaboration), “ Multiplicity and transverse momentum
correlations in multi - hadronic final states in e+ e- interactions at S**(1/2)
= 91.2-GeV”, Phys. Lett. B
320, 417–430 (1994).
6. C. Bromberg, D. Chaney, D. H. Cohen, T. Ferbel, P. Slattery, et al., “ Pion
Production in p p Collisions at 102-GeV/c.” , Phys. Rev. D
9,
1864–1871
(1974).
7. S. Uhlig, I. Derado, R. Meinke,
and H. Preissner, “ Observation of Charged
Particle Correlations Between the Forward and Backward Hemispheres in
Collisions at ISR Energies”, Nucl. Phys. B
132, 15 (1978).
8. R. Ansorge et al. (UA5 Collaboration), “ Charged Particle Correlations in
Collisions at c.m. Energies of 200-GeV, 546-GeV and 900-GeV”, Z. Phys. C
191–213 (1988).
𝑝𝑝
𝑃¯ 𝑃
37,
103
9. T. Alexopoulos et al. (E735 Collaboration), “ Charged particle multiplicity
correlations in
𝑝¯
𝑝 collisions
at
√
𝑠
= 0.3-TeV to 1.8-TeV”, Phys. Lett. B
353,
155–160 (1995).
10. B. K. Srivastava (STAR Collaboration), “ STAR’s measurement of Long-range
forward-backward multiplicity correlations as the signature of ’dense partonic
matter’ in the Heavy Ion collisions at s(NN)**(1/2) = 200-GeV,” , J. Phys. G
35, 104140 (2008), arXiv:0804.4661 [nucl-ex].
11. V. Vechernin, “ On description of the correlation between multiplicities in
windows separated in azimuth and rapidity”, PoS
QFTHEP2013, 055 (2013),
arXiv:1305.0857 [hep-ph].
12. V.
Vechernin,
“ Forward-backward
correlations
between
windows separated in azimuth and rapidity”, Nucl. Phys. A
multiplicities
in
939, 21–45 (2015).
13. M. Braun, C. Pajares, and J. Ranft, “ Fusion of strings versus percolation and
the transition to the quark gluon plasma”, Int. J. Mod. Phys. A
14, 2689–2704
(1999), arXiv:hep-ph/9707363 [hep-ph] .
14. N. Amelin, M. Braun,
and C. Pajares, “ Multiple production in the Monte
Carlo string fusion model”, Phys. Lett. B
306, 312–318 (1993).
15. M. Braun and C. Pajares, “ Particle production in nuclear collisions and string
interactions”, Phys. Lett. B
287, 154–158 (1992).
16. M. Braun and C. Pajares, “ A Probabilistic model of interacting strings”, Nucl.
Phys. B
390, 542–558 (1993).
17. N. Amelin, N. Armesto, M. Braun, E. Ferreiro,
and C. Pajares, “ Long and
short range correlations and the search of the quark gluon plasma”, Phys. Rev.
Lett.
73, 2813–2816 (1994).
18. R. Scharenberg, B. Srivastava,
and A. Hirsch, “ Percolation of Color Sources
and the determination of the Equation of State of the Quark-Gluon Plasma
(QGP) produced in central Au-Au collisions at
J. C
√
71, 1510 (2011), arXiv:1006.3260 [nucl-ex].
𝑠𝑁 𝑁 = 200𝐺𝑒𝑉
”, Eur. Phys.
104
19. J. Dias de Deus, A. Hirsch, C. Pajares, R. Scharenberg,
and B. Srivastava,
“ Clustering of color sources and the shear viscosity of the QGP in heavy ion
collisions at RHIC and LHC energies”, Eur. Phys. J. C
72, 2123 (2012).
20. J. Dias de Deus, A. Hirsch, C. Pajares, R. Scharenberg,
and B. Srivastava,
“ Clustering of Color Sources and the Shear Viscosity of the QGP in Central
A-A Collisions at RHIC and LHC Energies”, (2011), arXiv:1106.4271 [nucl-ex].
21. M. Braun, C. Pajares, and V. Vechernin, “ Ridge from Strings”, Eur. Phys. J.
A
51, 44 (2015), arXiv:1407.4590 [hep-ph].
22. M. Braun, C. Pajares,
strings:
Monte-Carlo
and V. Vechernin, “ Anisotropic flows from colour
simulations”,
Nucl.
Phys.
A
906,
14–27
(2013),
arXiv:1204.5829 [hep-ph].
23. M. Braun and C. Pajares, “ Elliptic flow from color strings”, Eur. Phys. J. C
71, 1558 (2011), arXiv:1008.0245 [hep-ph].
24. F. Bissey, A. Signal,
and D. Leinweber, “ Comparison of gluon flux-tube
distributions for quark-diquark and quark-antiquark hadrons”, Phys. Rev. D
80, 114506 (2009), arXiv:0910.0958 [hep-lat].
25. Б. М. Барбашов, В. В. Нестеренко, “ Релятивистская струна с массами
на концах”, ТМФ
31, 291–299 (1977).
26. Y. Nambu, “ Strings, Monopoles and Gauge Fields”, Phys. Rev. D
10,
4262
(1974).
27. X. Artru and G. Mennessier, “ String model and multiproduction”, Nucl. Phys.
B
70, 93–115 (1974).
28. A. Capella and J. Tran Thanh Van, “ Long Range Rapidity Correlations in
Hadron - Nucleus Interactions”, Phys. Rev. D
29, 2512 (1984).
29. A. Kaidalov and K. Ter-Martirosian, “ Pomeron as Quark-Gluon Strings and
Multiple Hadron Production at SPS Collider Energies”, Phys. Lett. B
117,
247–251 (1982).
30. A. Kaidalov, “ The Quark-Gluon Structure of the Pomeron and the Rise of
Inclusive Spectra at High-Energies”, Phys. Lett. B
116, 459 (1982).
105
31. M. Derrick, “ Multiplicity Distributions in e+ e- Annihilations at 29 GeV”,
Conf. Proc.
C860408, 85 (1986).
32. M. Braun and C. Pajares, “ Implications of percolation of color strings on
multiplicities, correlations and the transverse momentum”, Eur. Phys. J. C
16, 349–359 (2000), arXiv:hep-ph/9907332 [hep-ph].
33. M. Braun, F. Del Moral,
the
relativistic
energy
and C. Pajares, “ Percolation of strings and
data
distributions”, Phys. Rev. C
on
65,
multiplicity
and
transverse
momentum
024907 (2002), arXiv:hep-ph/0105263 [hep-
ph] .
34. M. Braun, F. del Moral,
and C. Pajares, “ Chaotic sources and percolation of
strings in heavy ion collisions”, Eur. Phys. J. C
21, 557–562 (2001).
35. V. Vechernin and R. Kolevatov, “ Long-range correlations between transverse
momenta
of
charged
particles
collisions”, Phys. Atom. Nucl.
produced
in
relativistic
nucleus-nucleus
70, 1809–1818 (2007).
36. V. Vechernin and R. Kolevatov, “ On multiplicity and transverse-momentum
correlations in collisions of ultrarelativistic ions”, Phys. Atom. Nucl.
70, 1797–
1808 (2007).
37. В. В. Вечернин, Р. С. Колеватов, “ Дискретный подход к описанию дальних
корреляций множественности и pt в модели слияния струн”, Вестн. СПбГУ. Сер. 4. Физика. Химия, Вып. 4, 11-27
(2004), arXiv:hep-ph/0305136
[hep-ph].
38. В. В. Вечернин, Р. С. Колеватов, “ Простая дискретная модель дальних корреляций множественности и pt при столкновениях ядер высоких
энергий”, Вестн. СПбГУ. Сер. 4. Физика. Химия, Вып. 2, 12-23
(2004),
arXiv:hep-ph/0304295 [hep-ph].
39. В. В. Вечернин, И. А. Лакомов, А. М. Пучков, “ Cредний поперечный импульс, множественность и их корреляция в pp-столкновениях в модели
слияния струн”, Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер 4: Физика, химия, вып. 3.
C. 3–16 (2010).
106
40. V. Vechernin and I. Lakomov, “ The dependence of the number of pomerons on
the impact parameter and the long-range rapidity correlations in pp collisions”,
PoS
Baldin-ISHEPP-XXI, 072 (2012).
41. V. Khachatryan et al. (CMS Collaboration), “ Observation of Long-Range NearSide Angular Correlations in Proton-Proton Collisions at the LHC”, JHEP
1009, 091 (2010), arXiv:1009.4122 [hep-ex].
42. J.
Adam
et
al.
(ALICE
Collaboration),
correlations in pp collisions at
√
𝑠=0.9,
“ Forward-backward
multiplicity
1505,
2.76 and 7 TeV”, JHEP
097
(2015), arXiv:1502.00230 [nucl-ex].
43. G.
Aad
et
al.
(ATLAS
Collaboration),
“ Measurement
pseudorapidity correlations and azimuthal harmonics in
√
of
long-range
𝑠𝑁 𝑁 = 5.02
proton-lead collisions with the ATLAS detector”, Phys. Rev. C
90,
TeV
044906
(2014), arXiv:1409.1792 [hep-ex].
44. E. Braidot, “ Two-particle azimuthal correlations at forward rapidity in STAR”,
(2011), arXiv:1102.0931 [nucl-ex].
45. F. Wang (STAR Collaboration), “ Dihadron azimuthal correlations at large
pseudo-rapidity difference in multiplicity-selected d+Au collisions by STAR”,
Nucl. Phys. A (2014), 10.1016/j.nuclphysa.2014.09.063, arXiv:1404.2674 [nuclex].
46. M. Braun, R. Kolevatov, C. Pajares, and V. Vechernin, “ Correlations between
multiplicities and average transverse momentum in the percolating color strings
approach”, Eur. Phys. J. C
32, 535–546 (2004), arXiv:hep-ph/0307056 [hep-ph]
.
47. B. Alessandro et al. (ALICE Collaboration), “ ALICE: Physics performance
report, volume II”, J.Phys.G
48. K.
Alpgard
et
al.
(UA5
32, 1295–2040 (2006).
Collaboration),
“ Forward-Backward
123, 361 (1983).
Correlations in p anti-p Collisions at 540 GeV”, Phys. Lett. B
49. I.
Altsybeev,
Vechernin,
S.
De,
G.
Feofilov,
“ Forward-backward
V.
Kovalenko,
Multiplicity
B.
K.
Correlations
Multiplicity
in
Srivastava,
pp
V.
collisions
(extended study)”, ALICE Analysis Note, ALICE-ANA-696, June 13 (2014).
107
50. Д. А. Семенов, “ Монте-Карловская модель слияния струн в столкновениях релятивистских ионов”, Диссертация на соискание степени магистра
физики (2008).
51. V.
Vechernin,
“ Long-Range
Independent Emitters”,
Rapidity
Correlations
in
the
Model
with
(2010), arXiv:1012.0214 [hep-ph].
52. G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), “ Forward-backward correlations and
charged-particle azimuthal distributions in pp interactions using the ATLAS
detector”, JHEP
1207, 019 (2012), arXiv:1203.3100 [hep-ex].
53. C. Alt et al. (NA49 Collaboration) and G. A. Feofilov et al. (SPbSU
group), “ Long-range correlations in PbPb collisions at 158 A*GeV”, in Proc.
Relativistic Nuclear Physics and Quantum Chromodynamics, Ed. by A. N.
Sissakian, V. V. Burov, and A. I. Malakhov (JINR, Dubna), Vol. 1, p. 222
(2005).
54. M. Braun, C. Pajares,
and V. Vechernin, “ On the forward - backward
correlations in a two stage scenario”,
Phys. Lett. B
493,
54–64 (2000),
arXiv:hep-ph/0007241 [hep-ph] .
55. В. В. Вечернин, “ Кумулятивные явления и дальние корреляции во взаимодействиях с ядрами при высоких энергиях”, Диссертация на соискание
ученой степени доктора физико-математических наук (2005).
56. L. D. McLerran and R. Venugopalan, “ Green’s functions in the color field of
a large nucleus”, Phys. Rev. D
50,
2225–2233 (1994), arXiv:hep-ph/9402335
[hep-ph] .
57. L. D. McLerran and R. Venugopalan, “ Computing quark and gluon distribution
functions for very large nuclei”, Phys. Rev. D
49, 2233–2241 (1994), arXiv:hep-
ph/9309289 [hep-ph] .
58. T. Sjostrand and P. Z. Skands, “ Multiple interactions and beam remnants”,
(2004), arXiv:hep-ph/0401060 [hep-ph].
59. M. Diehl, D. Ostermeier, and A. Schafer, “ Elements of a theory for multiparton
interactions in QCD”, JHEP
1203, 089 (2012), arXiv:1111.0910 [hep-ph].
108
60. A. Krasnitz and R. Venugopalan, “ Small x physics and the initial conditions
in heavy ion collisions”,
698,
Nucl. Phys. A
209–216 (2002), arXiv:hep-
ph/0104168 [hep-ph] .
61. A.
I.
Ortiz
Velasquez,
Maldonado
P.
Cervantes,
𝑝𝑝
Flowlike Patterns in
Christiansen,
and
Collisions”,
G.
Paic,
E.
Cuautle
“ Color
Flores,
Reconnection
111,
Phys. Rev. Lett.
and
042001 (2013),
arXiv:1303.6326 [hep-ph].
62. G.
pp
Gustafson,
Collisions
“ Multiple
and
DIS”,
Interactions,
Saturation,
Acta
Polon.
Phys.
B
and
40,
Final
States
1981–1996
in
(2009),
arXiv:0905.2492 [hep-ph].
63. K. Anderson, D. Ross, and M. Sotiropoulos, “ How to run the coupling in the
dipole approach to the BFKL equation”, Phys. Lett. B
380,
127–133 (1996),
arXiv:hep-ph/9602275 [hep-ph] .
64. G.
Altarelli
Nucl.Phys.
and
G.
Parisi,
“ Asymptotic
Freedom
in
Parton
Language”,
B126, 298 (1977).
65. F. Gelis, E. Iancu, J. Jalilian-Marian, and R. Venugopalan, “ The Color Glass
Condensate”, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci.
60, 463–489 (2010), arXiv:1002.0333
[hep-ph].
66. H.
Weigert,
“ Evolution
Prog.Part.Nucl.Phys.
at
small
x(bj):
The
Color
glass
condensate”,
55, 461–565 (2005), arXiv:hep-ph/0501087 [hep-ph] .
67. A. H. Mueller, “ Soft gluons in the infinite momentum wave function and the
BFKL pomeron”, Nucl. Phys. B
415, 373–385 (1994).
68. A. H. Mueller and G. Salam, “ Large multiplicity fluctuations and saturation
effects in onium collisions”, Nucl. Phys. B
475,
293–320 (1996), arXiv:hep-
ph/9605302 [hep-ph] .
69. A. Kaidalov and O. Piskunova, “ Inclusive spectra of baryons in the quark-gluon
strings model”, Z. Phys. C
30, 145 (1986).
70. G. Arakelian, A. Capella, A. Kaidalov,
and Y. Shabelski, “ Baryon number
transfer in hadronic interactions”, Eur. Phys. J. C
26, 81–90 (2002).
109
71. P. Aurenche, F. W. Bopp, and J. Ranft, “ Particle production in hadron-hadron
collisions at collider energies in an exclusive multi-string fragmentation model”,
Z. Phys. C
23, 67–76 (1984).
72. V. Kovalenko, “ Modelling of exclusive parton distributions and long-range
rapidity correlations for pp collisions at the LHC energy”, Phys. Atom. Nucl.
76, 1189–1195 (2013), arXiv:1211.6209 [hep-ph].
73. В. Н. Коваленко, “ Моделирование эксклюзивных партонных распределений и характеристик протон-протонного взаимодействия в подходе с образованием цветных струн”, Бакалаврская работа (2010).
74. F. W. Bopp and P. Aurenche, “ High Density Events in a Soft Parton Model”,
Z. Phys. C
13, 205 (1982).
75. W. D. Walker, “ Multiparton interactions and hadron structure”, Phys. Rev. D
69, 034007 (2004).
76. C. Flensburg, G. Gustafson,
and
*
𝛾 𝑝
and L. Lonnblad, “ Elastic and quasi-elastic
scattering in the Dipole Model”, Eur. Phys. J. C
𝑝𝑝
60, 233–247 (2009),
arXiv:0807.0325 [hep-ph].
77. M. Rybczynski and Z. Wlodarczyk, “ The nucleon–nucleon collision profile and
cross section fluctuations”, J. Phys. G
41,
015106 (2013), arXiv:1307.0636
[nucl-th].
78. В. Н. Коваленко, “ Дипольное описание pp-взаимодействия”,
рий DSpace СПбГУ,
Репозито-
https://dspace.spbu.ru/handle/123456789/1408
(2008).
79. E. Avsar, G. Gustafson,
𝑝𝑝
collisions”, JHEP
80. M.
Braun
and
V.
and L. Lonnblad, “ Diifractive excitation in DIS and
0712, 012 (2007), arXiv:0709.1368 [hep-ph].
Vechernin,
threshold”, Theor.Math.Phys.
“ Quark
coalescence
mechanism
near
the
139, 766–786 (2004).
81. J. S. Schwinger, “ On gauge invariance and vacuum polarization”, Phys. Rev.
C
82, 664–679 (1951).
110
82. M. L. Miller, K. Reygers, S. J. Sanders, and P. Steinberg, “ Glauber modeling
in high energy nuclear collisions”, Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.
57, 205–243 (2007),
arXiv:nucl-ex/0701025 [nucl-ex].
83. G. Feofilov and A. Ivanov, “ Number of nucleon-nucleon collisions vs. energy in
modified Glauber calculations,” , J. Phys. Conf. Ser.
84. T. Drozhzhova, G. Feofilov, V. Kovalenko,
5, 230–237 (2005).
and A. Seryakov, “ Geometric
properties and charged particles yields behind Glauber model in high energy
pA and AA collisions”, PoS
QFTHEP2013, 053 (2013).
85. V. Kovalenko, “ Proton-nucleus collisions at LHC energy in the Monte Carlo
model”,
(2013), arXiv:1308.1932 [hep-ph].
86. H. De Vries, C. De Jager, and C. De Vries, “ Nuclear charge and magnetization
density distribution parameters from elastic electron scattering”, Atom. Data
Nucl. Data Tabl.
36, 495–536 (1987).
87. И. А. Алцыбеев, “ Быстротная и азимутальная топология корреляций выходов заряженных частиц в рр и Pb-Pb столкновениях в эксперименте
ALICE на LHC”,
Диссертация на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук
(2013).
88. I. G. Altsybeev, G. A. Feofilov, M.V. Kompaniets, V. N. Kovalenko, V. V.
Vechernin, I.S.Vorobyev, A.K.Zarochentsev, “ Grid technologies in SPbSU longrange correlations analysis and MC simulations for ALICE”, Proc. “Distributed
Computing and Grid-Technologies in Science and Education”, Dubna, JINR,
pp 18-22 (2012).
89. P.A. Bolokhov, M.A. Braun, G.A. Feofilov, V.P. Kondratiev, V.V. Vechernin,
“ Long-range forward-backward p t and multiplicity correlations studies in
alice,” , ALICE Internal Note/PHY , 20 (2002).
90. K. Aamodt et al. (ALICE Collaboration), “ Charged-particle multiplicity
measurement in proton-proton collisions at
Eur. Phys. J. C
√
𝑠 = 7 TeV with ALICE at LHC”,
68, 345–354 (2010), arXiv:1004.3514 [hep-ex].
91. V. Khachatryan et al. (CMS Collaboration), “ Transverse-momentum and
pseudorapidity distributions of charged hadrons in
TeV”, Phys. Rev. Lett.
𝑝𝑝
collisions at
√
105, 022002 (2010), arXiv:1005.3299 [hep-ex].
𝑠 = 7
111
92. C. Albajar et al. (UA1 Collaboration), “ A Study of the General Characteristics
𝑝¯
𝑝 Collisions
of
at
√
𝑠
= 0.2-TeV to 0.9-TeV”, Nucl. Phys. B
93. N. Armesto, D. Derkach,
335, 261 (1990).
and G. Feofilov, “ p(t)-multiplicity correlations in
a multi-Pomeron-exchange model with string collective effects”, Phys. Atom.
Nucl.
71, 2087–2095 (2008).
94. B. Abelev et al. (ALICE Collaboration), “ Pseudorapidity density of charged
particles in
𝑝
+ Pb collisions at
√
𝑠𝑁 𝑁 = 5.02
TeV”, Phys. Rev. Lett.
110,
032301 (2013), arXiv:1210.3615 [nucl-ex].
95. S. Haddad and S. Suleiman, “ Neutron Charge Distribution and Charge Density
Distributions in Lead Isotopes”, Acta Phys. Polon. B
30, 119–126 (1999).
96. K. Aamodt et al. (ALICE Collaboration), “ Centrality dependence of the
charged-particle multiplicity density at mid-rapidity in Pb-Pb collisions at
√
𝑠𝑁 𝑁 = 2.76
TeV”, Phys. Rev. Lett.
106,
032301 (2011), arXiv:1012.1657
[nucl-ex].
97. S. Chatrchyan et al. (CMS Collaboration), “ Dependence on pseudorapidity and
centrality of charged hadron production in PbPb collisions at a nucleon-nucleon
centre-of-mass energy of 2.76 TeV”, JHEP
1108, 141 (2011), arXiv:1107.4800
[nucl-ex].
98. G.
Aad
et
al.
(ATLAS
Collaboration),
“ Measurement
of
the
centrality
dependence of the charged particle pseudorapidity distribution in lead-lead
collisions at
√
𝑠𝑁 𝑁 = 2.76
TeV with the ATLAS detector,” , Phys. Lett. B
710, 363–382 (2012), arXiv:1108.6027 [hep-ex].
99. C. Flensburg, G. Gustafson,
and L. Lonnblad, “ Inclusive and Exclusive
Observables from Dipoles in High Energy Collisions”, JHEP
1108, 103 (2011),
arXiv:1103.4321 [hep-ph].
100. V. Kovalenko and V. Vechernin, “ Forward-backward multiplicity correlations in
pp collisions at high energy in Monte Carlo model with string fusion”,
(2014),
arXiv:1410.3884 [hep-ph].
101. T. A. collaboration, “ Transverse Momentum Dependance of Charged Particle
Production in
𝑝+Pb
√
experiment at the LHC”,
𝑠NN = 5.02
(2013).
TeV collisions measured by ATLAS
112
102. K. Krajczar (CMS Collaboration), “ Transverse momentum and pseudorapidity
dependence of charged particle production and nuclear modification factor in
proton–lead collisions at
√
𝑠𝑁 𝑁 =
5.02 TeV with CMS”, Nucl.Phys.
A932,
174–478 (2014).
103. B. Abelev et al. (ALICE Collaboration), “ Transverse momentum distribution
and nuclear modification factor of charged particles in
√
𝑠𝑁 𝑁 = 5.02
TeV”, Phys. Rev. Lett.
110,
𝑝-Pb
collisions at
082302 (2013), arXiv:1210.4520
[nucl-ex].
104. I. Bautista, C. Pajares, J. G. Milhano,
and J. Dias de Deus, “ Rapidity
dependence of particle densities in pp and AA collisions”, Phys. Rev. C
86,
034909 (2012), arXiv:1206.6737 [nucl-th].
105. G.
Feofilov,
“ Long-Range
Correlations
report,
in
pp
(Forward-Backward)
Collisions
at
0.9
and
7
TeV”,
Pt
and
Quark
Multiplicity
Matter
2011
https://indico.cern.ch/event/30248/session/55/contribution/596
(2011).
106. G. Feofilov et al. (ALICE Collaboration), “ Forward-backward multiplicity
correlations in pp collisions in ALICE at 0.9, 2.76 and 7 TeV”, PoS
Baldin-
ISHEPP-XXI, 075 (2012).
107. B. B. Abelev et al. (ALICE Collaboration), “ Multiplicity dependence of the
average transverse momentum in pp, p-Pb, and Pb-Pb collisions at the LHC”,
Phys. Lett. B
727, 371–380 (2013), arXiv:1307.1094 [nucl-ex].
108. T. Sjostrand, S. Mrenna, and P. Z. Skands, “ A Brief Introduction to PYTHIA
8.1”, Comput. Phys. Commun.
178, 852–867 (2008), arXiv:0710.3820 [hep-ph]
.
109. T. Sjostrand, S. Mrenna, and P. Z. Skands, “ PYTHIA 6.4 Physics and Manual”,
JHEP
0605, 026 (2006), arXiv:hep-ph/0603175 [hep-ph] .
110. S. S. Gubser, D. R. Gulotta, S. S. Pufu, and F. D. Rocha, “ Gluon energy loss in
the gauge-string duality”, JHEP
0810, 052 (2008), arXiv:0803.1470 [hep-th].
111. P. Christakoglou, “ Event by event physics in ALICE”, The Fourth Workshop
on Particle Correlations and Femtoscopy report,
conf/wpcf/talks/208_Kisiel.pdf
(2008).
http://www.ifj.edu.pl/
113
112. V. Vechernin and H. Nguyen, “ Fluctuations of the number of participants
and binary collisions in AA interactions at fixed centrality in the Glauber
approach”, Phys. Rev. C
84, 054909 (2011), arXiv:1102.2582 [hep-ph].
113. R. Kolevatov and V. Vechernin, “ Positive and negative long-range correlations
in the string fusion model”,
19,
Surveys in High Energy Physics
223–227
(2004).
114. V. Konchakovski, M. Hauer, G. Torrieri, M. Gorenstein, and E. Bratkovskaya,
“ Forward-backward
correlations
in
nucleus-nucleus
collisions:
contributions from geometrical fluctuations”, Phys. Rev. C
baseline
79, 034910 (2009),
arXiv:0812.3967 [nucl-th].
115. E. Abbas et al. (ALICE Collaboration), “ Performance of the ALICE VZERO
system”, JINST
8, P10016 (2013), arXiv:1306.3130 [nucl-ex].
116. B. Abelev et al. (ALICE Collaboration), “ Centrality determination of Pb-Pb
collisions at
√
𝑠𝑁 𝑁
= 2.76 TeV with ALICE”, Phys. Rev. C
88, 044909 (2013),
arXiv:1301.4361 [nucl-ex].
117. J. Adam et al. (ALICE Collaboration), “ Centrality dependence of particle
production in p-Pb collisions at
√
𝑠NN =
5.02 TeV,” , (2014), arXiv:1412.6828
[nucl-ex].
118. N. Armesto, L. McLerran,
and C. Pajares, “ Long Range Forward-Backward
Correlations and the Color Glass Condensate”, Nucl. Phys. A
781,
201–208
(2007), arXiv:hep-ph/0607345 [hep-ph] .
119. Y. Aoki, G. Endrodi, Z. Fodor, S. Katz,
and K. Szabo, “ The Order of
the quantum chromodynamics transition predicted by the standard model of
particle physics”, Nature
443,
675–678 (2006), arXiv:hep-lat/0611014 [hep-
lat].
120. C. Blume, “ Studies on the QCD phase diagram at SPS and FAIR”, J. Phys.
Conf. Ser.
422, 012022 (2013).
121. C. Schmidt, “ Lattice QCD at finite density”,
arXiv:hep-lat/0610116 [hep-lat] .
PoS
LAT2006,
021 (2006),
114
122. O. Philipsen, “ Lattice calculations at non-zero chemical potential: The QCD
phase diagram”, PoS
CONFINEMENT8, 011 (2008).
123. F. R. Brown, F. P. Butler, H. Chen, N. H. Christ, Z.-h. Dong, et al., “ On the
existence of a phase transition for QCD with three light quarks”, Phys. Rev.
Lett.
65, 2491–2494 (1990).
124. A. Ali Khan et al. (CP-PACS Collaboration), “ Phase structure and critical
temperature of two flavor QCD with renormalization group improved gauge
action and clover improved Wilson quark action”, Phys. Rev. D
63,
034502
(2001), arXiv:hep-lat/0008011 [hep-lat] .
125. Z. Fodor and S. Katz, “ Critical point of QCD at finite T and mu, lattice results
for physical quark masses”, JHEP
0404,
050 (2004), arXiv:hep-lat/0402006
[hep-lat] .
126. P. de Forcrand and O. Philipsen, “ The Chiral critical line of N(f ) = 2+1 QCD
at zero and non-zero baryon density”, JHEP
0701,
077 (2007), arXiv:hep-
lat/0607017 [hep-lat] .
127. O. Philipsen, “ Status of the QCD Phase Diagram from Lattice Calculations”,
Acta Phys. Polon. Supp.
128. M.
Gazdzicki,
“ Onset
5, 825–835 (2012), arXiv:1111.5370 [hep-ph].
of
Deconfinement
and
Critical
NA61/SHINE at the CERN SPS”, Eur. Phys. J. CST
Point:
155,
NA49
and
37–44 (2008),
arXiv:0801.4919 [nucl-ex].
129. C. Hhne (CBM Collaboration), “ Physics of compressed baryonic matter”, J.
Phys. Conf. Ser.
420, 012016 (2013).
130. G. Odyniec, “ The RHIC Beam Energy Scan program in STAR and what’s
next ...”, J. Phys. Conf. Ser.
455, 012037 (2013).
131. M. Gazdzicki (NA49, NA61/SHINE Collaboration), “ NA49/NA61: results and
plans on beam energy and system size scan at the CERN SPS”, J.Phys.G
38,
124024 (2011), arXiv:1107.2345 [nucl-ex].
132. P. Staszel (CBM Collaboration), “ CBM experiment at FAIR”,
Polon. B
41, 341–350 (2010).
Acta Phys.
115
133. V. Toneev, “ The NICA/MPD project at JINR (Dubna)”, PoS
CPOD07, 057
(2007), arXiv:0709.1459 [nucl-ex].
134. M. Borysova, “ Quark-gluon plasma signals in CBM experiment”, J. Phys. Stud.
14, 3203–3210 (2010).
135. N. Antoniou et al. (NA49-future Collaboration), “ Study of hadron production
in hadron nucleus and nucleus nucleus collisions at the CERN SPS”,
(2006).
136. O. Kochebina and G. Feofilov, “ Onset of ’ridge phenomenon’ in AA and pp
collisions and percolation string model,” ,
137. J.
Alvarez-Muniz,
R.
Conceicao,
J.
(2010), arXiv:1012.0173 [hep-ph].
Dias
de
Deus,
M.
Espirito
Santo,
J. Milhano, et al., “ A Model for net-baryon rapidity distribution”, Eur. Phys.
J. C
61, 391–399 (2009), arXiv:0903.0957 [hep-ph].
138. V. Kovalenko and V. Vechernin, “ Model of pp and AA collisions for the
description of long-range correlations”,
PoS
Baldin-ISHEPP-XXI,
077
(2012).
139. V. Kovalenko and V. Vechernin, “ Long-range rapidity correlations in high
energy AA collisions in Monte Carlo model with string fusion”, EPJ Web
Conf.
66, 04015 (2014), arXiv:1308.6618 [nucl-th].
140. V. Vechernin, “ Correlations between multiplicities in rapidity and azimuthally
separated windows”,
141. E.
Andronov
and
(2012), arXiv:1210.7588v2 [hep-ph].
V.
Vechernin,
“ The
correlation
between
transverse
momentum and multiplicity of charged particles in a two-component model”,
PoS
QFTHEP2013, 054 (2013).
142. L. Adamczyk et al. (STAR Collaboration), “ Beam energy dependence of
moments of the net-charge multiplicity distributions in Au+Au collisions at
RHIC”, Phys. Rev. Lett.
113, 092301 (2014), arXiv:1402.1558 [nucl-ex] .
143. D. Kchler, M. O’Neil, R. Scrivens, and R. Thomae, “ Preparation of a primary
argon beam for the CERN fixed target physics”, Rev.Sci.Instrum.
(2014).
85, 02A954
116
144. M. Gazdzicki, M. Gorenstein, and M. Mackowiak-Pawlowska, “ Normalization
of
strongly
intensive
quantities”,
Phys.
Rev.
88,
C
024907
(2013),
arXiv:1303.0871 [nucl-th].
145. M. I. Gorenstein and K. Grebieszkow, “ Strongly Intensive Measures for
Transverse Momentum and Particle Number Fluctuations”, Phys. Rev. C
89,
034903 (2014), arXiv:1309.7878 [nucl-th].
146. V. Abramovsky, E. Gedalin, E. Gurvich,
and O. Kancheli, “ Long Range
Azimuthal Correlations in Multiple Production Processes at High-energies”,
JETP Lett.
47, 337–339 (1988).
147. Е. О. Бодня, Д. А. Деркач, В. Н. Коваленко, А. М. Пучков, Г. А. Феофилов,
“ Описание распределений множественности и
⟨𝑝𝑡 ⟩𝑁𝑐ℎ − −𝑁𝑐ℎ
корреляций
в pp- и pp̄-столкновениях в модели мультипомеронного обмена,” , Вестн.
СПбГУ. Сер. 4. Физика. Химия, Вып. 4, 60-73
(2013).
148. E. Bodnia, D. Derkach, G. Feofilov, V. Kovalenko,
pomeron exchange model for
𝑝𝑝
and
𝑝¯
𝑝 collisions
and A. Puchkov, “ Multi-
at ultra-high energy”, PoS
QFTHEP2013, 060 (2013), arXiv:1310.1627 [hep-ph].
149. E. Bodnya, V. Kovalenko, A. Puchkov, and G. Feofilov, “ Correlation between
mean transverse momentum and multiplicity of charged particles in
𝑝¯
𝑝
collisions: from ISR to LHC”,
AIP Conf. Proc.
1606,
𝑝𝑝
and
273–282 (2014),
arXiv:1401.7534 [hep-ph].
150. K. Aamodt et al. (ALICE Collaboration), “ Transverse momentum spectra of
charged particles in proton-proton collisions at
the LHC”, Phys. Lett. B
√
𝑠 = 900 GeV with ALICE at
693, 53–68 (2010), arXiv:1007.0719 [hep-ex].
151. F. Abe et al. (CDF Collaboration), “ Transverse Momentum Distributions of
Charged Particles Produced in
GeV”, Phys. Rev. Lett.
𝑝¯𝑝
Interactions at
√
𝑠 = 630
GeV and 1800
61, 1819 (1988).
152. B. B. Abelev et al. (ALICE Collaboration), “ Energy Dependence of the
Transverse Momentum Distributions of Charged Particles in pp Collisions
Measured by ALICE”, Eur. Phys. J. C
ex].
73, 2662 (2013), arXiv:1307.1093 [nucl-
117
153. B.
B.
Abelev
et
al.
(ALICE
Collaboration),
“ Transverse
momentum
dependence of inclusive primary charged-particle production in p-Pb collisions
at
√
𝑠NN = 5.02 TeV”,
Eur. Phys. J. C
74, 3054 (2014), arXiv:1405.2737 [nucl-
ex].
154. V. Aivazian et al. (EHS/NA22 Collaboration), “ Multiplicity Dependence of the
Average Transverse Momentum in
Phys. Lett. B
𝜋 + 𝑝, 𝐾 + 𝑝 and 𝑝𝑝 Collisions at 250-GeV/𝑐”,
209, 103 (1988).
155. T. Alexopoulos et al. (E735 Collaboration), “ Multiplicity dependence of
transverse momentum spectra of centrally produced hadrons in anti-p p
collisions at 0.3-TeV, 0.54-TeV, 0.9-TeV, and 1.8-TeV center-of-mass energy”,
Phys. Lett. B
336, 599–604 (1994).
156. G. Arnison et al. (UA1 Collaboration), “ Transverse Momentum Spectra for
Charged Particles at the CERN Proton anti-Proton Collider”, Phys. Lett. B
118, 167 (1982).
157. A.
Breakstone
et
al.
(Ames-Bologna-CERN-Dortmund-Heidelberg-Warsaw
Collaboration), “ Multiplicity Dependence of Transverse Momentum Spectra
at ISR Energies”, Phys. Lett. B
132, 463 (1983).
158. T. Burnett, S. Dake, M. Fuki, J. Gregory, T. Hayashi, et al., “ Average
Transverse Momentum and Energy Density in High-energy Nucleus Nucleus
Collisions”, Phys. Rev. Lett.
57, 3249–3252 (1986).
159. C. De Marzo, M. De Palma, A. Distante, C. Favuzzi, P. Lavopa, et al.,
“ Measurement of the average transverse momentum and of the pion-emission
volume in proton-nucleus and antiproton-nucleus reactions at 200 GeV”, Phys.
Rev. D
160. R.
29, 363–367 (1984).
Ansorge
et
(UA5
al.
Collaboration),
“ Charged
Particle
Multiplicity
Distributions at 200-GeV and 900-GeV Center-Of-Mass Energy,” , Z. Phys.
C
43, 357 (1989).
161. M.
Chojnacki,
A.
“ THERMINATOR
Phys. Commun.
2:
Kisiel,
W.
THERMal
Florkowski,
heavy
IoN
and
W.
generATOR
Broniowski,
2”,
183, 746–773 (2012), arXiv:1102.0273 [nucl-th] .
Comput.
118
162. F. Cooper and G. Frye, “ Comment on the Single Particle Distribution in
the Hydrodynamic and Statistical Thermodynamic Models of Multiparticle
Production”, Phys. Rev. D
163. I.
Altsybeev,
“ Mean
10, 186 (1974).
transverse
momenta
correlations
collisions in MC toy model with repulsing strings”,
[hep-ph] .
in
hadron-hadron
(2015), arXiv:1502.03608
119
Список рисунков
1.1
Кварк-антикварковая (слева) и кварк-дикварковая (справа) струна в решеточной КХД [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2
Пространственно-временная картина эволюции струны [2]
. . . .
14
1.3
Распад кварк-глюонной струны [24]
. . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4
Пространственно-временная картина фрагментации и адронизация кварк-глюонной струны в модели фрагментации струн ArtruMennessier (AMOR) [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Диаграммы, показывающие испускание глюона (слева) и разделение диполя (справа). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
15
Профильная функция
23
𝑝𝑝-столкновений 𝜎(𝑏/𝑟0 ) при больших при-
цельных параметрах: результат Монте-Карло симуляций (точки)
и теоретически рассчитанная асимптотика (линия).
2.3
. . . . . . . .
31
Параметры монте-карловской модели: слева - начальные значения, в центре - после учета данных по протон-протонным, справа
- после учета данных по рр и р-Pb столкновениям.
2.4
. . . . . . . .
41
Псевдобыстротная плоность множественности заряженных частиц в PbPb столкновениях при 2,76 ТэВ. Расчет в рамках монтекарловской модели (линии; цветом показаны различные значения
поперечного радиуса струны) в сравнении с экспериментальными
данными (точки) [96–98].
2.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Распределение множественности по быстроте, рассчитанное в
монте-карловской модели, и сравнение с экспериментальными
данными [98]. Цветовые обозначения такие же, как и на рис. 2.4.
2.6
43
Распределение частиц по поперечному импульсу в pp столкновениях при энергии 7 ТэВ. Результаты вычисления в модели без
учета (пунктирная линия) и с учетом (сплошная линия) жесткости партонных столкновений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
120
2.7
Фактор ядерной модификации для протон-ядерных столкновений
при энергии 5.02 ТэВ. Результаты монте-карловской модели со
слиянием и без слияния струн сравниваются с экспериментальными данными [103]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
46
𝑛 − 𝑛 корреляционная функция в относительных переменных для
pp взаимодействия при энергии 7 ТэВ.
Окна по быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет монте-карловской модели.
3.2
𝑝𝑡 − 𝑛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
49
корреляционные функции в относительных пе-
ременных для pp взаимодействия при энергии 7 ТэВ. Окна по
быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет монте-карловской модели.
3.3
𝑛 − 𝑛, 𝑝 𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
. . .
49
корреляционные функции для pp взаимо-
действия
при энергии 900 GeV. Окна по быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет
монте-карловской модели.
3.4
𝑛−𝑛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
корреляционная функция pp взаимодействия при энер-
гии 900 ГэВ. Окна по быстроте (-0.8, 0) (0, 0.8). Расчет монтекарловской модели со слиянием (сплошная линия) и без слияния
струн (точки).
3.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Сравнение корреляционной функции n-n корреляций, рассчитанной в данной работе, с результатами модели [40], основанной на
квази-эйкональном Редже подходе, учитывающей слияние струн.
3.6
Слева:
52
𝑛−𝑛 корреляционная функция pp взаимодействия в отно-
сительных переменных при энергии 7 ТэВ, рассчитанная в данной
работе. Справа – нескорректированные экспериментальные данные по
𝑛−𝑛
корреляционной функции в pp столкновениях при
энергии 7 ТэВ [42].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
𝑛–𝑛 (сверху), 𝑝𝑡 –𝑛 (слева) и 𝑝𝑡 –𝑝𝑡 (справа) корреляционные функции в 𝑝–𝑃 𝑏 столкновениях без отбора по центральности при энер√
гии
𝑠 =5.02 ГэВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.8
Схема расположения быстротных окон
54
3.9
Коэффициент
3.7
. . . . . . . . . . . . . . .
𝑛−𝑛 корреляции в зависимости от ширины заднего
окна, pp, 7 TeV.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
121
3.10 Коэффициенты
𝑝𝑡 − 𝑛 и 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
рины заднего окна, pp, 7 TeV.
корреляции в зависимости от ши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Схема расположения быстротных окон
3.12 Коэффициенты
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛
и
𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
55
корреляции в зависимости
от ширины переднего окна, pp, 7 TeV.
3.13 Коэффициенты
. . . . . . . . . . . . . . .
55
. . . . . . . . . . . . . . .
56
корреляции в зависимости
от зазора между быстротыми окнами, pp, 7 TeV.
. . . . . . . . .
58
3.14 Зависимость коэффициентов корреляции от зазора между окнами: сверху – монте-карловские расчеты
𝑛 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑛, 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡
ко-
эффициенты корреляции, снизу – предварительные данные эксперимента ALICE [105] для псевдобыстротных окон.
. . . . . . .
59
3.15 Зависимость коэффициентов корреляции от зазора по быстроте
между окнами (слева) и от ширины переднего окна
и
𝑏𝑝𝑡-𝑝𝑡
(справа).
𝑏𝑛-𝑛 (в центре)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.16 Коэффициент корреляции множественности в зависимости от
ширины псевдобыстротного окна (𝛿𝜂 ) в центральной области
быстрот (𝜂
gap = 0).
Линии – результаты расчета в модели с
учетом и без учета слияния струн, точки – экспериментальные
данные [42, 106].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.17 Коэффициент корреляции как функция нижней границы области поперечного импульса. Линия - результат расчета в монтекарловской модели со слиянием струн, точки - экспериментальные данные [52].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.18 Коэффициент корреляции как функция зазора между псевдобысротными окнами. Линии – расчет в Монте-Карло модели с
и без слияния струн, точки – экспериментальные данные [48, 52].
64
3.19 Корреляция между поперечным импульсом и множественностью
в pp столкновениях при энергии 7 ТэВ. Представлены результаты монте-карловской модели с учетом слияния струн, жесткости
элементарных соударений, а также с одновременным учетом этих
процессов. Расчеты сравниваются с экспериментальными данными и моделью PYTHIA 8 без учета пересоединения цвета (color
reconnection, CR) [107]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
122
3.20 Корреляция между поперечным импульсом и множественностью
в p-Pb столкновениях при энергии 5.02 ТэВ. Линиями показаны
результаты модели с учетом и без учета слияния струн, точки экспериментальные данные [107]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.21 Корреляция между поперечным импульсом и множественностью
в Pb-Pb столкновениях при энергии 2.76 ТэВ. Сравнение результатов модели (линия) с экспериментальными данными [107] (точки). 67
3.22 Нормированная дисперсия множественности
тервале (0, 0.8), а также
𝑛-𝑛, 𝑝𝑡-𝑛, 𝑝𝑡-𝑝𝑡
𝑤
в быстротном ин-
коэффициенты корреля-
ции в быстротных окнах (-0.8,0), (0,0.8) как функция центральности, ширины и способа фиксации класса. . . . . . . . . . . . . .
3.23 Зависимость коэффициента
вениях при
√
𝑠 =2.76
𝑛–𝑛
корреляции в
𝑃 𝑏 –𝑃 𝑏
столкно-
ТэВ в модели со слиянием и без слияния
струн. Быстротные окна (-0.8, 0), (0, 0.8). . . . . . . . . . . . . . .
3.24 Зависимость коэффициента
ях при
√
𝑠 =5.02
69
71
𝑛–𝑛 корреляции в 𝑝–𝑃 𝑏 столкновени-
ТэВ в модели со слиянием и без слияния струн.
Быстротные окна (-0.8, 0), (0, 0.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.25 Корреляция между средними поперечными импульсами заряженных частиц в быстротных окнах (-0.8, 0) и (0, 0.8) в Pb-Pb столкновениях при энергии 2.76 ТэВ для нескольких значений радиуса
струны от 0,2 до 0,4 фм, а также для случая без слияния струн. .
73
3.26 Корреляция между средними поперечными импульсами заряженных частиц в быстротных окнах (-0.8, 0) и (0, 0.8) в p-Pb столкновениях при энергии 5.02 ТэВ для нескольких значений радиуса
струны от 0,2 до 0,4 фм, а также для случая без слияния струн. .
73
4.1
Схематическое представление фазовой диаграммы КХД
76
4.2
Схематичное представление состава частиц, рождающихся при
. . . . .
фрагментации одной струны. Цветами показаны доли протонов,
антипротонов и мезонов в зависимости от быстроты.
4.3
Распределение
Au+Au
остаточного
столкновениях.
барионного
Точки
-
числа
по
. . . . . . .
быстроте
экспериментальные
78
в
данные
RHIC, линии - результаты расчетов в валентной струнной модели
[137]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
123
4.4
Конфигурации
быстротных
окнон,
используемые
в
расчетах.
Верхний график иллюстрирует распределение множественности
заряженных частиц по быстроте при энергиях SPS.
4.5
. . . . . . . .
Корреляционные функции в столкновениях Ar+Ca при
√
80
𝑠𝑁 𝑁 =17
ГэВ: n-n корреляции (слева), pt-n корреляция (справа) и pt-pt
корреляции (внизу). Конфигурация быстротных окон (-1;0), (0;1).
4.6
81
Зависимость n-n коэффициента корреляции от энергии столкновения в p+p, Be+Be и p+Pb столкновениях. Три конфигурации
быстроных окнон представлены разными цветами. . . . . . . . . .
4.7
81
Зависимость n-n коэффициента корреляции от энергии столкновения в Ar+Ca и Au+Au столкновениях. Обозначение цветами
такие же, как на рис. 4.6.
4.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Зависимость коэффициента pt-n корреляций для трех конфигураций быстротных окон от энергии столкновения в различных
сталкивающихся системах. Обозначение цветами такие же, как
на рис. 4.6.
4.9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Зависимость коэффициента pt-pt корреляций для трех конфигураций быстротных окон от энергии столкновения в различных
сталкивающихся системах. Обозначение цветами такие же, как
на рис. 4.6.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.10 Зависимость коэффициента pt-pt корреляций для трех конфигураций быстротных окон от энергии в Ar+Ca столкновениях.
4.11 Распределение
столкновениях
множественности
при
столкновениях при
тервале
|𝜂| < 0.5.
√
√
𝑠
=
200
заряженных
ГэВ,
900
частиц
ГэВ
и
. . .
в
рр̄-
в
рр-
85
𝑠 = 2360 ГэВ, 7 ТэВ в псевдобыстротном ин-
Результаты EPEM-модели (линии) и экспери-
ментальные данные (точки) [91, 160] . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Зависимость параметров EPEM-модели от энергии.
. . . . . . . .
91
91
4.13 Корреляция между множественностью и поперечным импульсом
при энергиях БАК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.14 Зависимость среднего поперечного импульса от энергии в pp и pp̄
столкновениях от энергии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.15 Отношение средней множественности к квадрату характерного
поперечного импульса от одного источника в EPEM-модели.
4.16 Коэффициент pt-pt корреляции в модели THERMINATOR 2.
. . .
95
. .
97
124
4.17 Зависимость коэффициента pt-pt корреляций от центральности в
модели слияния струн (слева) и модели расталкивающихся струн
(справа) в Pb-Pb столкновениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
125
Список таблиц
2.1
Распределения ядерной плотности и параметры, использованные
в данной работе [86]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2
Результаты фиксации параметров в монте-карловской модели
. .
44
3.1
Параметры фитирования коэффициентов корреляции . . . . . . .
57
126
Приложение A
Заголовочый файл
монте-карловской модели
DsfmGen.h
#include <v e c t o r >
2 #include <i o s t r e a m >
1
3
#include " T P a r t i c l e . h"
5 #include " TParticlePDG . h"
6 #include "TTree . h"
7 #include "TH1F . h"
8 #include "TF1 . h"
9 #include <math . h>
10 #include "TMath . h"
11 #include "Math/ I F u n c t i o n . h"
12 #include "TDatabasePDG . h"
4
// F i n a l
13
14
*
/ #i n c l u d e
< f l o a t . h>
15 #i n c l u d e
<math . h>
16 #i n c l u d e
<memory . h>
17 #i n c l u d e
< a s s e r t . h>
18 #i n c l u d e
< s t d l i b . h>
19 * /
20
21
22
using namespace
//
quark
type
std ;
defenition
#define QUARK_VALENCE 0
24 #define QUARK_DIQUARK 1
23
Particles
format
127
#define QUARK_SEA 2
26 #define QUARK_ANTISEA 3
25
27
28
29
30
struct
Quark {
Double_t
x, y;
//
quark
31
Double_t
z;
//
momentum
32
Int_t type ;
//
quark
33
Int_t used ;
//
flag
position
fraction
type
is
true
if
quark
is
already
included
in
the
string
formation
34 } ;
35
36
37
typedef struct
Nucleon {
Double_t x , y ;
38
UInt_t baseNumber ;
39
UInt_t count ;
40
Bool_t wounded ;
41
Int_t type ;
42
//
Parton
//
//
coordinates
number
number
of
//
of
the
beginning
in
quark
array
quarks
is
// 0
it
participant ?
for
// ! ! !
proton ,
// I t
1
for
neutron
DOES NOT w o r k !
43 } Nucleon ;
44
45
46
47
typedef struct
Dipole {
Quark * q1 , * q2 ;
// QUARK_SEA QUARK_ANTISEA o r QUARK_VALENCE QUARK_DIQUARK
Bool_t used ;
//
−
use
48
UInt_t n p a r e n t ;
49
Double_t GetLength2 ( ) {
if
50
51
52
53
}
55
56
57
58
is
if
used
this
for
is
a
tip
collision
of
string
matrix
constructing
cout<<"ERROR: D i p o l e Length i s not d e f i n e d "<<e n d l ;
return
0;
( ( q1−>x−q2−>x ) * ( q1−>x−q2−>x ) + ( q1−>y−q2−>y ) * ( q1−>y−q2−>y ) ) ;
}
}
59
Double_t GetP02 ( ) {
60
61
// i t
flag
( q1==0 | | q2==0) {
else {
return
54
the
−
}
return
3 . 9 0 0 6 2 5 e −02/GetLength2 ( ) ;
62
D i p o l e ( ) { q1 =0; q2 = 0 ; } ;
63
~ D i p o l e ( ) { q1 =0; q2 = 0 ; } ;
64 } D i p o l e ;
65
66
67
68
typedef struct
Int_t s i d e ;
Edge {
//
1
//
Rapidity
or
−1
edge
for
string
fusion
algorithm
128
69
Double_t y ;
70
UInt_t g r i d c e l l ;
71
Double_t p2 ;
// r a p i d i t y
// f r o m
// w h a t
which
pt2
grid
a
string
tips
cell
this
edge
is
formed
carries
72 } Edge ;
73
74
75
typedef struct
String {
Quark * q1 , * q2 ;
//
two
76
Double_t x , y ;
//
string
77
Double_t p02 ;
78
Double_t ymin , ymax ;
79
S t r i n g * next ;
80
Char_t noform ;
//
//
//
next
//
of
coordinates
transverse
rapidity
string
it
string
is
of
(a
single )
string
borders
in
equal
momentum
the
1
cluster
if
the
string
can
not
be
formed
81 } S t r i n g ;
82
83
class Nucleus {
85
public :
84
86
87
88
Nucleus ( ) ;
void
// c o n s t r u c t o r
SetA ( UInt_t xA) ;
Nucleus ( UInt_t xA) ;
// s e t
// c o n s t r u c t o r
89
v e c t o r <Nucleon> Nucleons ;
90
UInt_t A, Z ,N;
91
Double_t x ;
//
92
Double_t y ;
//
93
TF1 * NucDist ;
94
UInt_t maxcount ;
95
Double_t lambda ;
96
97
void
void
//
//
//
//
A
only
GenerateNucleons ( ) ;
number
of
into
nucleons
coordinates
of
of
sea
// g e n e r a t e
MoveNucleons ( ) ; // t a k i n g
of
works ! !
Distribution
number
A
array
Transverse
maximum
// mean
A
with
nucleons
pairs
in
over
a
r
−S a x o n )
( Woods
nucleon
pairs ;
nucleon
account
positions
A, x , y
actualize
v e c t o r <N u c l e o n >
Nucleons
98
UInt_t m;
// t o t a l
number
of
dipoles \ pairs
99 } ;
100
101
class Glauber {
103
public :
102
104
Glauber ( ) ;
105
Glauber ( Double_t cmsigma ) ;
106
Double_t msigma ;
107
UInt_t NpartA ;
// Number
of
participant
in
nucleus
A
108
UInt_t NpartB ;
// Number
of
participant
in
nucleus
B
109
UInt_t NpartAB ; // Number
of
participant
in
both
110
UInt_t N c o l l ;
of
binary
111
UInt_t AA,AB;
112
void
// c o n s t r u c t o r
// s i g m a
// Number
// c o n s t r u c t o r
with
sigma
multiplier
multiplier
nuclei
collisions
Proceed ( v e c t o r <Nucleon> & A, v e c t o r <Nucleon> & B) ;
129
113
v e c t o r <UInt_t> nSumA ;
114
v e c t o r <UInt_t> nSumB ;
115
v e c t o r <UInt_t> I ;
116
Double_t sigmaGlauber ;
117 } ;
118
119
120
121
struct
PrimaryParticle {
Double_t
y;
122
Double_t
phi ;
// p h i
123
Double_t
pt ;
// p t
124
Double_t
kstring ;
125
Char_t
charge ;
127
UInt_t
gridcell ;
128
Int_t
pdg ;
129
Double_t m;
// mass
// r a p i d i t y
// t e n s i o n
// c h a r g e
of
the
string ,
produced
the
particle
sign
126
// f r o m
what
grid
cell
the
particle
is
coming
//PDG c o d e
130 } ;
131
132
class DsfmGen{
134
public :
133
135
TDatabasePDG *
136
Int_t * EnabledParticlesPDG ;
137
Int_t E n a b l e d P a r t i c l e s N u m b e r ;
138
TH1F** E n a b l e d P a r t i c l e s H ;
139
Glauber PrevGlaub ;
140
Glauber Glaub ;
141
Double_t lambda ;
142
Double_t a ;
143
Double_t b_min , b_max , b ;
144
Double_t r_0 ;
145
Double_t rmax ;
146
Double_t a_s ;
147
Double_t r _ s t r ;
148
Double_t En ;
149
Double_t r2mean ;
150
151
152
153
bool
bool
void
bool
gDatabasePDG ;
// mean
// s q u a r e
a
number
*a
to
// i m p a c t
−s q u a r e d
// c o n f i n e m e n t
// e f f e c t i v e
EnabledHard ;
nuclei
transverse
radius
positions ,
of
and
fm
ranges ,
radius
of
proton ,
fm
fm
proton ,
fm
constant
string
collision ,
// e n a b l e
pairs
parameter
coupling
// t r a n s v e r s e
of
sea
generate
// mean
// e n e r g y
of
momentum
radius
GeV
( s q r t { s })
transfer
in
the
dipoles .
EnabledPrevGlauber ;
GenerateEvent ( ) ;
Event ;
154
DsfmGen ( ) ;
// c o n s t r u c t o r
155
~DsfmGen ( ) ;
// d e s t r u c t o r
156
Nucleus A, B ;
containing
// C o l l i d i n g
the
only
Nuclei .
nucleon
That
coluld
be
also
a
proton ,
a
nucleus
130
157
void
G e n e r a t e N u c l e o n s P r o p e r t i e s ( Nucleus & A, UInt_t AA) ;
// g e n e r a t e
nucleons
m,
type
158
v e c t o r <Quark> qA , qB ;
159
v e c t o r <Dipole > dipA , dipB ;
160
v e c t o r <Double_t> v ;
161
void
// a r r a y
of
all
quarks
f r o m A and B
// D i p o l e s ,
formed
of
// t e m p o r a r y
vector
for
// Nuc=A
quarks .
quark
Also
or
B;
q=qA
generate
or
qB .
Generate
// 2D
array
163
Double_t prob ;
have
collision
166
bool>
168
169
170
171
172
bool
bool
bool
bool
void
of
a
to
// g e n e r a t e
dipCollMatrix ;
AngularConserv ;
state
167
// p r o b a b i l i t y
GenerateProbMatrix ( ) ;
vector<
bool
f i l l
// 2D
// w h e t h e r
matrix
of
UseGlauber ;
the
angular
all
momentum
// w h e t e r
the
glauber
UseNonGlauber ;
// w h e t e r
// w h e t e r
GenerateCollMatrix () ;
momenum
is
the
fractions
calculation
Prev .
glauber
−g l a u b e r
the
Non
// g e n e r a t e
to
staff
boolean
collision
in
nucleus
A
173
UInt_t NpartB ;
// Number
of
participant
in
nucleus
B
174
UInt_t NpartAB ; // Number
of
participant
in
both
175
UInt_t N c o l l ;
of
binary
176
UInt_t GlauberNpartA ;
178
179
a
a
scenario
of
UInt_t G l a u b e r N c o l l ;
a
given
v e c t o r <UInt_t> nSumB ;
182
UInt_t d i p N c o l l ;
v e c t o r <S t r i n g > S t r i n g s ;
186
UInt_t N s t r i n g s ;
188
189
190
191
192
193
void
void
void
void
void
performed
should
be
be
performed
performed
matrix
nuclei
collisions
participant
in
nucleus
A
according
to
Glauber
of
participant
in
nucleus
B
according
to
Glauber
of
participant
in
both
given
nuclei
according
to
collision
of
binary
collisions
according
to
Glauber
scenario
//
Calculate
−
NpartA
GlaiberNcoll
nucCollMatrix ;
185
187
a
CalcGeometryStats ( ) ;
bool>
be
collision
181
vector<
initial
collision
// Number
v e c t o r <UInt_t> nSumA ;
void
the
collision
// Number
given
180
184
of
UInt_t GlauberNpartAB ; // Number
of
183
// Number
given
UInt_t GlauberNpartB ;
Glauber
in
value
should
participant
// Number
equal
calculation
of
of
of
probabilities
conserved
should
// Number
scenario
properties
array
// P u t
UsePrevGlauber ;
of
the
nucleon
EqualFraction ;
scenario
ALL
interaction
UInt_t NpartA ;
177
calculation
dipoles .
v e c t o r <Double_t> dipProbMatrix ;
165
momentum
and
162
void
quarks
GenerateQuarks ( Nucleus & A, UInt_t AA, v e c t o r <Quark>& q , v e c t o r <Dipole>&
dip ) ;
164
nuclei
//
//
number
Array
of
of
available
strings
FillStringParams ( String & string ) ;
GenerateStrings () ;
//
strings
Generate
// f i l l
strings
ymin ,
according
ymax ,
to
x,
y
of
string
collision
matrix
FuseStrings () ;
DontFuseStrings ( ) ;
GenerateGridAndEdges ( ) ;
v e c t o r <S t r i n g *> g r i d ;
// 2D
//
Generate
array
UInt_t grid_w , grid_h , g r i d _ s i z e ;
of
strings
pointers
// S i z e
of
to
grid
according
first
to
string
collision
in
each
matrix
cell
131
194
Double_t d g r i d ;
195
v e c t o r <Edge> e d g e s ;
196
v e c t o r <UChar_t> G r i d L o c a l ;
interval .
Used
// s t r i n g
in
edges
// 2D
Primaries
( 1D
array
array )
of
string
number
in
given
rapidity
Modification
197
v e c t o r <P r i m a r y P a r t i c l e > perv ;
198
P r i m a r y P a r t i c l e G e n e r a t e P r i m a r y P a r t i c l e ( Double_t ymin , Double_t ymax , Double_t
// p r i m a r y
particles
eta , Double_t pt4 , UInt_t g r i d c e l l ) ;
, ymax
199
void
with
eta
−
number
with
one
Double_t p0 , mu0 ;
201
ULong_t N p a r t i c l e s ;
202
TF1 ** T r a n s v e r s e D i s t ;
204
GeneratePrimaries () ;
ModifyPrimaries ( ) ;
accord .
// g e n e r a t e
// p r o c e e d
// v e c t o r <T P a r t i c l e >
206
TClonesArray * I n t e r m e d i a t e ;
208
209
210
211
212 } ;
void
void
Final ;
// f i n a l
within
ymin
strings ;
primary
with
//
particles
anisotrophic
// g e n e r a t e
GenerateFinalParticles () ;
TTree * t r e e ;
// f i n a l
// O u t p u t
FillTree () ;
// F i l l
of
modification
particles
event .
array ,
after
particles
( quenching )
decay
array ,
and
after
Resonances
array ,
Intermediate
// R e s o n a n c e
particles
the
particles
// I n t e r m e d i a t e
GenerateIntermediates () ;
TClonesArray * F i n a l ;
void
particle
t o M. A . Braun
205
207
primary
particle
200
void
void
overlapping
generate
M o d i f y P r i m a r y P a r t i c l e ( P r i m a r y P a r t i c l e& p , v e c t o r <UChar_t>& Grid ) ;
proceed
203
of
//
have
to
decay
be
decayed
particles
final
particles
Resonances
decay
generation
132
Приложение B
Пример конфигурационного
скрипта
DsfmConfigDef.C1
1
2
void
DsfmConfigDef ( DsfmManager * m) {
3
m−>Gen−>A. SetA ( 2 0 8 ) ;
4
m−>Gen−>B . SetA ( 2 0 8 ) ;
5
// S i z e
of
nuclei
// p a r a m e t e r s
6
m−>Gen−>r_0 = 0 . 6 ;
7
m−>Gen−>p0 = 0 . 3 ; // * 2 . 5 ;
8
m−>Gen−>rmax = 0 . 5 * 0 . 6 ;
9
m−>Gen−>r _ s t r = 0 . 2 ;
10
m−>Gen−>a_s = 0 . 6 4 ;
11
m−>Gen−>mu0= 1 . 1 6 6 * 1 . 1 5 2 ;
12
m−>Gen−>En=2760 ;
13
m−>Gen−>lambda=(( − 1.0+ c a l c l a m b d a (m−>Gen−>r_0 , m−>Gen−>rmax/m−>Gen−>r_0 ,m−>Gen−>
// c o l l i s i o n
a_s ,m−>Gen−>En) ) ) ; //
14
m−>Gen−>EnabledHard=
15
m−>Gen−>b_min=0;
16
m−>Gen−>b_max= 1 7 . 0 ;
17
m−>Gen−>UseGlauber=
18
energy
automatically
false ;
// i m p a c t
parameter
extracted
range
false ;
19
20 }
1 Используется
для генерации событий в Pb-Pb столкновениях при энергии БАК