Моделирование и расчет контактного напряжения в стыке

Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Моделирование и расчет контактного напряжения в стыке
жесткого цилиндра и соосного цилиндрического оболочечного
элемента, нагруженного давлением герметизируемой среды
к.т.н. доцент Герасимов С.В., Пронькина С.А.
ГОУВПО "Братский государственный университет"
В современных конструкциях автомобилей, сельскохозяйственных, дорожностроительных и коммунальных машин управление рабочими органами осуществляется
посредством гидросистемы (гидравлического привода). Одним из важнейших
эксплуатационных показателей подвижных соединений гидросистемы является
герметичность. Поршни небольшого диаметра (золотники гидрораспределителей,
плунжеры гидравлических насосов и т.п.) уплотняют притиркой к поверхностям
цилиндров. Для увеличения срока службы предлагаем выполнить поршень в виде
тонкостенной цилиндрической оболочки со свободным торцом с возможностью
компенсации износа за счет эффекта самоуплотнения. Внешней поверхностью оболочка
при работе прижимается к стенкам цилиндра не только силами собственной упругости, но
и давлением рабочей жидкости (или газа) действующей на тыльную поверхность
оболочки.
С целью определения эпюры контактного напряжения, что является исходными
данными для расчета герметичности и износа зоны уплотнения, рассмотрим контактную
задачу статики для двух тел (упругой цилиндрической длиной L оболочки нагруженной
давлением p рабочей среды, и соосного ей жесткого цилиндра) с неизвестной шириной
области контакта δ (рис. 1).
Анализ существующих решений контактной задачи для оболочечных элементов
конструкций показал, что использование классической теории упругих оболочек
Кирхгофа-Лява приводит к несоответствию - в точках границы области соприкосновения
тонкой оболочки с твердым телом, имеющим гладкое основание (без угловых точек),
поперечные силы претерпевают разрыв. Решения по теории оболочек типа Тимошенко –
Рейснера, учитывающей эффект поперечного сдвига, позволят снять
указанное
противоречие и качественно изменить решение.
Теория деформации оболочек в рамках модели Тимошенко-Рейснера в настоящее
время достаточно полно разработана. Пять уравнений равновесия, восемь соотношений
упругости и восемь уравнений деформации (геометрических уравнений), образуют
систему из двадцати одного уравнения для нахождения двадцати одного неизвестного [2].
При решении ряда практических задач данная система уравнений может быть значительно
упрощена.
w0
q(x)
р
0
р
δ
x1
0
x2
L
Рисунок 1 - Деформация цилиндрического оболочечного элемента,
нагруженного давлением герметизируемой среды
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
37
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Предположим, что до деформации оболочки между оболочкой и цилиндром имеется
радиальный зазор w0=const. Принимаем допущение, что герметизируемая среда
воздействует только на оболочку, цилиндр жесткий, оболочка и цилиндр являются
неизношенными, деформация оболочки вызывает лишь нормальную реакцию цилиндра
(трение в контакте отсутствует). В этом случае
- уравнения равновесия:
d N1
⎧
= 0;
⎪
dx
⎪ dM
⎪
1
− Q1 = 0;
⎨
dx
⎪
⎪− d Q1 + 1 N = p ;
3
⎪⎩ d x R 2
- соотношения упругости:
Eh
⎧
(ε 1 + νε 2 );
=
N
1
⎪
2
1
−
ν
⎪
Eh
⎪N 2 =
(ε 2 + νε 1 );
⎪
1− ν 2
⎪
3
⎨M = E h
χ ;
⎪ 1 12 1 − ν 2 1
⎪
⎪Q1 = kE h ε 13 ;
2(1 + ν )
⎪
⎪⎩
- геометрические уравнения:
du
⎧
⎪ ε1 = d x ;
⎪
w
⎪
ε2 = ;
⎪
R
(1)
⎨
dw
⎪ε 13 = ψ u +
;
dx
⎪
d ψu
⎪
⎪⎩ χ 1 = d x ,
где N1, N2 – интенсивность внутренних нормальных сил в оболочке, Н/мм; M1 –
интенсивность внутреннего изгибающего момента, Н·мм/мм; Q1 – интенсивность
внутренней поперечной силы, Н/мм; R – радиус срединной поверхности оболочки; p3 внешняя нагрузка, Н/мм2; u, w – компоненты перемещения в осевом и радиальном
направлениях; ψ u – угол поворота с учетом сдвига нормали; E – модуль упругости; ν –
коэффициент Пуассона; h – толщина оболочки; k – коэффициент сдвига.
Сводим исходную систему уравнений (1) к разрешающему уравнению:
2
d 4ψu
1 dp 3
2 d ψu
4
g
−
+
2
−
λ
ψ
=
,
(2)
u
D dx
dx 4
dx 2
Eh3
1+ ν
Eh
4
D
=
g2 =
;
;
.
здесь
λ
=
12 1 − ν 2
DR 2
kR 2
Компоненты напряженно-деформированного состояния в оболочечном элементе
определены следующим образом:
d 2ψu
dM 1
dψ u
Eh
⎛ dQ
⎞
N2 =
w = R⎜ 1 + p 3 ⎟ .
Q1 =
=D
M1 = D
;
;
(3)
2
dx
R
dx
dx
⎝ dx
⎠
(
)
(
)
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
38
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Отсюда, учитывая, что внутри области контакта p 3 = p − q( x ) , а радиальное
перемещение w поверхности оболочки ограничено радиальным зазором w0 , получено
выражение для контактного давления q ( x ) :
dQ1
Eh
q(x ) =
+ p − 2 w0 .
dx
R
Для удобства решения уравнения (2) поверхность оболочечного элемента разделена
на две зоны по наличию и отсутствию контактного давления (см. рис.1):
⎧ p − q( x1 ), 0 ≤ x1 ≤ δ;
p3 = ⎨
0 < x2 ≤ (L − δ ).
⎩ p,
Для зоны 0 ≤ x1 ≤ δ , где согласно исходным данным w = w0 = const , уравнение (2)
принимает вид
d 2ψu
− γ 2 ψu = 0 ,
2
dx
6k (1 − ν )
.
h2
Решение принято в виде
где γ =
ψ u = C 1 e γ x1 + C 2 e − γ x1 .
Тогда из первого уравнения системы (3) имеем:
M 1 = Dγ C1 e γ x1 − C 2 e − γ x1 ,
где C1 , C 2 - постоянные интегрирования.
(
(4)
)
С учетом разбиения на зоны (см. рис.1) принято граничное условие: M 1
x1 = 0
= 0 . Тогда:
C1 = C 2 .
Обозначая постоянную интегрирования через C , уравнение (4) можно записать как
ψ u = C ch (γ x1 ) .
Компоненты напряженно-деформированного состояния в оболочечном элементе для зоны
занятой контактом
Eh
Q1 = D C ch(γ x1 ) γ 2 ;
w0 .
N2 =
M 1 = D C sh (γ x1 ) γ ;
R
В зоне 0 < x 2 ≤ (L − δ) поверхность оболочечного элемента нагружена только
давлением среды p3 = p = const, поэтому уравнение (2) принимает вид
2
d 4ψu
2 d ψu
(5)
− 2g
+ λ4 ψ u = 0 .
4
2
dx
dx
Решение уравнения (5) имеет вид
ψ u = A0 B0 ( x 2 ) + A1 B1 ( x 2 ) + A2 B2 ( x 2 ) + A3 B3 ( x 2 ) ,
причем согласно системе уравнений (3):
M 1 = D ( A0 B0′ ( x2 ) + A1 B1′ ( x2 ) + A2 B2′ ( x2 ) + A3 B3′ ( x2 ) ) ;
Q1 = D ( A0 B0′′( x2 ) + A1 B1′′( x 2 ) + A2 B2′′( x2 ) + A3 B3′′( x2 ) ) ;
R2
(D ( A0 B0′′′( x2 ) + A1 B1′′′( x2 ) + A2 B2′′′( x2 ) + A3 B3′′′( x2 )) + p ) ,
Eh
где А0, А1, А2, А3 – постоянные интегрирования; B0 (x 2 ), B1 ( x 2 ), B2 ( x 2 ), B3 (x 2 ) – функции,
предложенные И.А. Биргером [1]:
1
B0 ( x ) =
2 ξ η cosh( ξ x ) cos (η x ) − ξ 2 − η 2 sinh ( ξ x )sin (η x ) ;
2ξ η
w=
[
(
)
]
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
39
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
(
)
⎡ξ 3η 2 − ξ 2 cosh ( ξ x ) sin (η x ) + ⎤
⎥;
⎢
2 ξ η ξ 2 + η 2 ⎢⎣+ η 3ξ 2 − η 2 sinh ( ξ x ) cos (η x ) ⎥⎦
sinh ( ξ x )sin (η x )
B2 ( x ) =
;
2ξ η
1
B3 ( x ) =
[ξ cosh ( ξ x )sin (η x ) − η sinh ( ξ x )cos (η x )] ,
2ξ η ξ 2 + η 2
B1 (x ) =
(
(
3 − 3ν 2
1
)
(
)
)
3 − 3ν 2
1 +ν
.
hR
hR
2k R2
С учетом разбиение оболочечного элемента на зоны назначены следующие
граничные условия:
здесь
ξ=
+
1 +ν
;
2k R2
η=
ψ u x2 = ( L −δ ) = 0 ;
−
w x2 = ( L −δ ) = 0 .
При переходе через границу двух зон должны быть выполнены условия
совместности:
ψ u x1 =δ = ψ u x2 = 0 ;
Q1 x1 =δ = Q1 x2 =0 ;
M1 x1 =δ = M1 x2 = 0 ;
w x1 =δ = w x2 = 0 .
Окончательно задача сведена к шести трансцендентным
определения шести неизвестных δ , C , A0 , A1 , A2 , A3 :
уравнениям
для
C ch(γ δ ) = A0 B0 (0) + A1B1(0) + A2 B2 (0) + A3 B3 (0) ;
D C sh (γ δ )γ = D ( A0 B0′ (0) + A1 B1′ (0) + A2 B2′ (0) + A3 B3′ (0) ) ;
D C ch (γ δ ) γ 2 = D ( A0 B0′′(0) + A1 B1′′(0) + A2 B 2′′ (0) + A3 B3′′(0) ) ;
R2
(D ( A0 B0′′′(0) + A1 B1′′′(0) + A2 B2′′′(0) + A3 B3′′′(0)) + p ) ;
w0 =
Eh
A0 B0 (L − δ ) + A1B1 (L − δ ) + A2 B2 (L − δ ) + A3 B3 (L − δ ) = 0 ;
R2
( D ( A0 B0′′′( L − δ) + A1 B1′′′( L − δ) + A2 B2′′′(L − δ) + A3 B3′′′(L − δ)) + p ) = 0.
Eh
Для численных расчетов было принято: длина оболочки L=10 мм; радиус R=50 мм;
толщина h=0.5 мм; зазор w0 = 0.05 мм; давление герметизируемой среды p=25 МПа;
E=200000 МПа; ν=0.3; k=5/6. Эпюра контактного давления, упругие радиальные
смещения оболочки и углы поворота показаны на рис.2.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
40
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
( )
3
( )
3
( )
3
( )
q ( x 1)
3
w1 x 1 ⋅10
100
w2 x 2 ⋅10
φ 1 x 1 ⋅10
50
φ 2 x 2 ⋅10
0
0
5
10
x 1 , x 2+ δ , x 1 , x 2+ δ , x 1
Рисунок 2 - Эпюра контактного давления, упругие радиальные смещения оболочки и
углы поворота
Анализ полученных результатов показал, что с изменением начального зазора w0 в
сопряжении меняются одновременно с длиной области контакта δ экстремальные
значения контактного давления и сама форма эпюры контактного давления, что позволяет
уточнить понятие “раскрытие стыка”.
Дальнейшее уточнение модели можно получить учитывая обжатие, а также
распределение давления герметизируемой среды в области контакта.
Литература
1. Биргер, И.А. Стержни, пластины, оболочки. – М.: Физматлит, 1992. – 392 с.
2. Пелех, Б.Л. Обобщенная теория оболочек. – Вища школа, 1978. – 159 с.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
41