Одна задача на формулу полной вероятности и формулу Байеса

ОДНА ЗАДАЧА НА ПОЛНУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ И ТЕОРЕМУ БАЙЕСА
Задачи на полную вероятность в ЕГЭ встречаются, на теорему Байеса – нет.
Задача. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у
больного туберкулезом равна 0.9, вероятность принять здорового человека за больного равна 0.01.
Доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 0.001. Найти вероятность того,
что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
Решение
Если рентгеновское обследование показало наличие туберкулеза, будем обозначать это событие 𝑂+.
Из условия мы извлекаем следующие вероятности:




вероятность поставить правильный диагноз «болен» больному человеку равна 𝑃(𝑂+|Б) = 0,9;
вероятность поставить ошибочный диагноз «болен» здоровому человеку 𝑃 𝑂+ З = 0,01;
вероятность, что человек болен Р (Б) = 0,001;
вероятность, что человек здоров 𝑃 З = 1 − 𝑃 Б = 0,999.
Применим формулу полной вероятности
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐻1 𝑃 𝐴 𝐻1 + 𝑃 𝐻2 𝑃(𝐴|𝐻2 ).
Гипотезами здесь выступают: «человек здоров» 𝐻1 или «человек болен» 𝐻2 (два несовместных
события). Событие А, полную вероятность которого мы считаем по формуле, — «обследование дало
положительный результат» обозначим 𝑃(𝑂+):
𝑃 𝑂+ = 𝑃 З 𝑃 𝑂+ З + 𝑃 Б 𝑃(𝑂+|Б)
𝑃 𝑂+ = 0,999 ∙ 0,01 + 0,001 ∙ 0,9 = 0,01089.
Нас же просят найти условную вероятность 𝑃 З 𝑂+ ) — вероятность что человек здоров, при
условии что ему поставили диагноз «болен».
Из формулы вероятности произведения зависимых событий:
𝑃 𝐴𝐻1 = 𝑃 𝐻1 𝑃 𝐴 𝐻1 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐻1 𝐴
𝑃 𝑂+З = 𝑃 З 𝑃 𝑂 + З = 𝑃 𝑂+ 𝑃(З|𝑂+).
Отсюда:
𝑃 З 𝑂+ =
𝑃 З 𝑃 𝑂+ З
𝑃 𝑂+
=
0,999∙0,01
0,01089
≈ 0,917.
(*)
Ответ: Если человека признали больным, то с вероятностью 91,7% он здоров.
Замечания
1. Отличие 𝑃 𝑂
+
З от 𝑃 З 𝑂
+
не сразу становится понятным.
Заметим, что первая вероятность 𝑃 𝑂+ З — вероятность того, что поставят диагноз «туберкулез»
здоровому человеку, — это вероятность, которую мы можем подсчитать до опыта, то есть до проведения
обследования. Это так называемая априорная вероятность (от лат. a priori — от предшествующего). Она
небольшая 0,01.
𝑃 З 𝑂+ — это вероятность, которую мы можем подсчитать после опыта, то есть после того, как конкретный
человек прошел обследование. Она показывает вероятность того, что человек здоров, при условии, что ему
уже поставили диагноз туберкулез. Еѐ называют также апостериорной вероятностью (от лат. a posteriori – из
последующего). Она равна 91,7%, таким образом, 91,7 % людей, у которых обследование показало результат
«болен», на самом деле здоровые люди. Это говорит о том, что не следует доверять только одному
рентгеновскому обследованию, если вам поставили диагноз «туберкулез», надо воспользоваться другими
способами диагностики.
2. Формула (*) называется формулой Байеса по имени английского священника Томаса Байеса
(1702 — 1761), который вѐл исследования в ТВ. Удивительный результат в данной задаче возникает а) по
причине значительной разницы в долях больных туберкулѐзом и здоровых; б) недостаточной точности
обследования. Туберкулез — редкое явление, для которого рентгеновская диагностика не обладает нужной
степенью точности. Поэтому и возникает такая разница в значении априорной и апостериорной вероятности.